Résolution numérique de l’équation de Laplace.

Application à l’étude de l’écoulement d’une couche de peinture

sur une plaque plane.
Travaux pratiques du cours de méthodes numériques, Ensimag, 1re année

Du 21 mars au 2 mai 2011

L’objectif de ces travaux pratiques est la résolution numérique d’une équation aux dérivées
partielles modélisant l’écoulement de peinture induit par le déplacement d’un pinceau. Un tel
calcul permet par exemple d’estimer l’épaisseur de la couche de peinture déposée sur une surface.
Ces travaux vous permettrons de mettre en application des méthodes itératives de résolution
de système linéaire vu en cours. Vous utiliserez également des formules d’intégration numérique
basées sur la théorie des polynômes d’interpolation.

Informations pratiques :
Elles seront mise à jour sur la page web suivante :
http ://www-ljk.imag.fr/membres/Adrien.Magni/mn.html

1 Description du problème
Il s’agit d’étudier l’écoulement de peinture induit par le déplacement d’un pinceau sur une
paroi plane horizontale. Dans ce modèle rudimentaire, on suppose que le pinceau est constitué
d’une infinité de plaques planes rigides d’épaisseur négligeable et disposées verticalement. La
peinture occupe la totalité du volume délimité par les plaques et la paroi (figure 1).
. .
. .
. .
l
l
. . H
. . l
. x .
y

z
0
Wp

Fig. 1 – Modèle du pinceau.

La distance de séparation des plaques est l. Le pinceau se déplace à une vitesse constante
−WP par rapport à la paroi horizontale. On choisit un repère cartésien orthonormé Oxyz dans le
référentiel lié au pinceau. La paroi horizontale coïncide avec le plan Oyz et défile sous le pinceau

1
(fixe) avec une vitesse WP dans la direction Oz. Les plaques verticales composant le pinceau
sont parallèles au plan Oxz, de longueur infinie dans la direction Oz et H suivant Ox. On fait
les hypothèses suivantes :
– fluide newtonien homogène incompressible,
– écoulement permanent et unidirectionnel dans la direction Oz,
– champ de pression uniforme et constant au cours du temps,
– forces de pesanteur négligeables.
La loi fondamentale de la dynamique se réduit alors à l’équation de Laplace

∂2w ∂2w
+ = 0, (1)
∂x2 ∂y 2

où w(x, y) est la composante du champ de vitesse suivant 0z. Le problème étant périodique en y
de période l, on étudie seulement un élément fondamental de largeur l. La peinture adhère aux
plaques, donc les conditions aux limites s’écrivent

 w(0, y) = WP , ∀y ∈ [0, l],
w(H, y) = 0, ∀y ∈ [0, l], (2)
w(x, 0) = w(x, l) = 0, ∀x ∈ [0, H].


Le problème à résoudre est donc modélisé par (1) et (2). Il est schématisé dans la figure 2.
x

w=0
H

w=0 w=0
∆w = 0

w=Wp l y
z

Fig. 2 – Schématisation du problème à résoudre.

1.1 Approximation par différences finies

On propose de résoudre l’équation de Laplace (1) munie des conditions aux limites de Di-
richlet (2) par une approximation de type différences finies. On considère une discrétisation du
domaine [0, H] × [0, l] suivant une grille régulière formée par des points de coordonnées (xi , yj ),
avec xi = i h, yj = j k, h = H/(M + 1), k = l/(N + 1), 0 ≤ i ≤ M + 1 et 1 ≤ j ≤ N + 1. On
note wi,j une approximation de w(xi , yj ), obtenue par un schéma aux différences finies que nous
allons décrire. On fixe w0,j = WP et wM +1,j = wi,0 = wi,N +1 = 0, d’après les conditions aux
limites (2). Lorsque w est de classe C 4 on a

∂2w 1
2
(xi , yj ) = 2 [w(xi+1 , yj ) − 2 w(xi , yj ) + w(xi−1 , yj )] = O(h2 )
∂x h
(utiliser la formule de Taylor comme dans le premier chapitre du cours). De même

∂2w 1
(xi , yj ) = 2 [w(xi , yj+1 ) − 2 w(xi , yj ) + w(xi , yj−1 )] = O(k 2 ).
∂y 2 k

2
L’équation (1) donne donc en (xi , yj )
1
 2
−k w(xi+1 , yj ) − k 2 w(xi−1 , yj ) − h2 w(xi , yj−1 ) − h2 w(xi , yj+1 ) + 2(h2 + k 2 )w(xi , yj )

h2 k2
= O(h2 ) + O(k 2 ).

On remplace donc (1)-(2) par le problème approché

 −k 2 wi+1,j − k 2 wi−1,j − h2 wi,j−1 − h2 wi,j+1 + 2(h2 + k 2 )wi,j = 0



w0,j = WP , WM +1,j = Wi,0 = Wi,N +1 = 0 (3)

1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N.


On définit le vecteur

u = (w1,1 , w1,2 , ..., w1,N , w2,1 , w2,2 , ..., w2,N , ..., wM,1 , wM,2 , ..., wM,N )T (4)

contenant les valeurs approchées de w à calculer. On note aussi

b = k 2 (WP , WP , ..., Wp , 0, 0, ..., 0)T , (5)

où seulement les N premières composantes de b sont non nulles. Le problème (3) s’écrit sous la
forme
Au = b (6)
avec A ∈ MM N (R). La matrice A s’écrit par blocs de taille N
 
S −D 0 ... 0

 −D .. 
 S −D 0 . 

A= 0
 .. .. 
(7)
−D . . 0 
 ..
 
.. 
 . 0 . S −D 
0 ... 0 −D S

où D = k 2 I, I désignant la matrice identité d’ordre N, et S ∈ MN (R) s’écrit

 
2h2 + 2k 2 −h2 0 ... 0
 .. 

 −h2 2h2 + 2k 2 −h2 0 . 

S=
 2 .. .. .

0 −h . . 0
..
 
 .. 2 2 2

 . 0 . 2h + 2k −h 
0 ... 0 −h 2 2
2h + 2k 2

On peut vérifier que A est inversible et symétrique définie positive.

2 Résolution numérique d’un système linéaire

2.1 Complément sur les méthodes itératives
Les méthodes itératives sont des méthodes couramment utilisées pour résoudre des systèmes
linéaire creux de grande taille. Elles sont issues de plusieurs années de recherche et la construc-
tion de nouvelles méthodes, plus rapides et plus précises, est encore un domaine de recherche
actif. Nous exposons ici un résumé des principales méthodes de résolution de systèmes dont la
matrice est symétrique définie positive.

3
 Notons
Ax = b (8)
le système à résoudre. On peut décomposer la matrice A sous la forme A = M − (M − A) =
M − N , la matrice M étant facilement inversible. On considère alors la solution du système (8)
comme la limite de la suite (x(k) )k≥0 définie par

M x(k+1) = N x(k) + b = (M − A)x(k) + b, (9)

et une condition initiale x(0) . De manière équivalente, (9) peut s’écrire :

 
M x(k+1) − x(k) = b − Ax(k) (10)

et on note r(k) = b − Ax(k) le résidu. Ainsi si x(k) → x alors Ax = b. Les méthodes de Jacobi
et Gauss-Seidel sont définies par des choix particulier de la matrice M . Dans le premier cas
M = D, la diagonale de A et dans le second P = D + L, L étant la partie triangulaire inférieure
de A. Citons aussi la méthode de relaxation SOR qui consiste à choisir M = L + D/ω, ω ∈ ]0, 2[
étant un paramètre à determiner pour optimiser la vitesse de convergence. Supposons connu
x(k) , l’itéré suivant est donné par la relation

(D + ωL) x(k+1) = [(1 − ω)D − ωU ] x(k) + ωb.

La ieme composante de x(k+1) vérifie donc

(k+1) (k) (k)
X X
aii xk+1
i +ω aik xk = (1 − ω) aii xi − ω aik xk + ω bi
k<i k>i

qui s’écrit encore !

ω X
xk+1
i = xi + − aik xk + bi (11)
aii
k

si les (i − 1) premières composantes du vecteur x sont celles de x(k+1) et les composantes

i, i + 1, ..., n sont celles de x(k) .

La méthode de Richardson stationnaire consiste à choisir M = I, la matrice identité, et

d’introduire un paramètre α pour accélérer la convergence des itérés x(k) vers la solution x du
système. (10) devient
x(k+1) − x(k) = α r(k) . (12)
La condition initiale x(0) étant donné, le résidu r(0) = b − Ax(0) l’est aussi. Supposons x(k) et r(k)
connus, et calculons x(k+1) , r(k+1) . x(k+1) est donné par (12) et r(k+1) est déterminé en injectant
la valeur de x(k+1) donnée par (12) dans la définition du résidu r(k+1) = b − Ax(k+1) . Finalement
les itérés de la méthode de Richardson peuvent être calculés par l’algorithme suivant :
 (0)
 x , donne, r(0) = b − Ax(0) ,
x(k+1) = x(k) + α r(k) ,
 (k+1)
r = r(k) − α Ar(k)

Remarquons que le résidu r(k) = −∇Φ(x(k) ) avec

1
Φ(w) = (Aw, w) − (b, w). (13)
2

4
 P
Les parenthèses représentent le produit scalaire euclidien (x, y) = xi yi . On peut montrer que
le minimum de Φ est atteint en x, solution du système (8). La méthode de Richardson est donc
aussi une méthode de minimisation de (13).

La méthode des gradients conjugués utilise cette remarque en optimisant l’algorithme de

Richardson pour que la minimisation soit plus rapide. Les itérés sont alors calculés de la manière
suivante :
x(k+1) = x(k) + α(k) p(k) ,
Où p(k) est la direction de descente, et le coefficient α(k) dépend des itérations. Les p(k) sont
déterminées telles que (p(k+1) , Ap(k) ) = 0 ou de manière équivalente

(r(k+1) , −Ap(k) )
p(k+1) = rk+1 + β (k+1) p(k) , avec β (k+1) = .
(p(k) , Ap(k) )

Le paramètre α(k) est calculé afin que Φ(x(k+1) ) soit minimal ∀α ∈ R. On obtient

(r(k) , p(k) )
α(k) = .
(p(k) , Ap(k) )

On peut montrer que les réels α(k) et β (k+1) s’écrivent aussi

α(k) = ||r(k) ||22 /(p(k) , Ap(k) )

β (k+1) = ||r(k+1) ||22 /||r(k) ||22 ,

où ||x||22 = (x, x). La méthode des gradients conjugués se résume donc ainsi :

x(0) donne, p(0) = r(0) = b − Ax(0) .

Tant que ||r(k) ||2 /||b||2 >  faire :
 (k)
α = ||r(k) ||22 /(p(k) , Ap(k) )
 x(k+1) = x(k) + α(k) p(k) (14)

 r(k+1) = r(k) − α(k) Ap(k)

 β (k+1) = ||r(k+1) ||2 /||r(k) ||2
2 2
p(k+1) = r(k+1) + β (k+1) p(k) .

Cette méthode est efficace pour résoudre de nombreux systèmes, mais la convergence peut être
lente si la matrice A est mal conditionnée. Une astuce dite de préconditionnement consiste à
multiplier le système (8) par l’inverse d’une matrice P , facile à calculer. L’intérêt est d’obtenir
un nouveau système à résoudre dont la matrice P −1 A est mieux conditionnée que A. Le nouveau
système obtenu sera plus rapide à résoudre. Dans le cas extrême où l’on choisirait P = A le
système P −1 Ax = P −1 b est directement résolu, mais la matrice P = A doit être inversée. La
matrice A étant symétrique et définie positive il existe une décomposition de cholesky A = T T T .
Il est possible de choisir P comme étant une décomposition “simplifiée” P = T̃ T̃ T , où l’on impose
que seuls les termes diagonaux et sous diagonaux de T soient non nuls. Les coefficients non nuls
de T̃ = (ti,j ) sont alors donnés en fonction de A = (ai,j ) par les formules suivantes :
 √
 t1,1 = a1,1 , t2,1 =
a2,1 /t1,1

1/2
tp,p = ap,p − t2p,p−1 , p = 2, ..., M N (15)

 t
p,p−1 = a /t
p,p−1 p−1,p−1 , p = 2, ..., M N.

5
 Considérons à nouveau la méthode de Richardson (12) pour résoudre le système P −1 Ax =
P −1 b. En remplacant A par P −1 A et b par P −1 b on a,
 
x(k+1) − x(k) = α P −1 b − P −1 Ax(k)

ou encore en multipliant par P ,

 
P (x(k+1) − x(k) ) = α b − Ax(k) = α r(k) . (16)

Dans le cas particulier ou α = 1, on retrouve l’égalité (10) avec M = P .

De la même façon que l’on a construit la méthode des gradients conjugués, (16) peut se
généraliser en utilisant une direction de descente obtimale :

P (x(k+1) − x(k) ) = α(k) p(k) .

On obtient la méthode des gradients conjugués préconditionnés suivante, où P est une matrice
symétrique définie positive :
x(0) donne, r(0) = b − Ax(0) , p(0) = z (0) = P −1 r(0) .
Tant que ||r(k) ||2 /||b||2 >  Faire :

α(k) = (z (k) , r(k) )/(p(k) , Ap(k) )
 x(k+1) = x(k) + α(k) p(k)

 (k+1) (17)
 r = r(k) − α(k) Ap(k)
 P z (k+1) = r(k+1)

 (k+1)
 β = (z (k+1) , r(k+1) )/(z (k) , r(k) )
p(k+1) = z (k+1) + β (k+1) p(k) .

2.2 Comparaison des principales méthodes

L’efficacité des méthodes exposées précédemment va être analysée en comparant leur vitesse
de convergence. On considère pour cela le problème test suivant ( les conditions aux limites et
le terme source sont différents du problème physique étudié) :
2 2
−∆w = − ∂∂xw2 − ∂∂yw2 = f (x, y), x ∈ [0, H], y ∈ [0, l],
w(0, y) = w(H, y) = 0, ∀y ∈ [0, l], (18)
w(x, 0) = w(x, l) = 0, ∀x ∈ [0, H].
On se donne la solution exacte

w(x, y) = 100 x y (x − H)(y − l) (19)

L’erreur faite avec la solution numérique pourra ainsi être calculée. Le terme source f (x, y) est
déterminé en injectant la solution (19) dans l’équation (18). La résolution du problème (18) est
faite par la méthode des différences finies, en utilisant la même discrétisation qu’au paragraphe
1.1. La solution numérique wnum est contenue dans le vecteur u (4) qui est solution du système
Au = s, la matrice A étant la même qu’en (7). Le second membre s est

s = h2 k 2 (f1,1 , f1,2 , ..., f1,N , f2,1 , f2,2 , ..., f2,N , ..., fM,1 , fM,2 , ..., fM,N )T , (20)

où on a noté fi,j = f (xi , yj ) pour i = 1, ..., M et j = 1, ..., N .

Par la suite on fixe la condition initiale x(0) = 0, et on désigne par ||.|| la norme euclidienne
||x||2 = (x, x)1/2 . On utilisera le critère d’arrêt suivant :

||r(k) ||/||b|| <  ou k ≥ kmax . (21)

6
Question 1 Ecrire une fonction définissant la matrice A sous forme de matrice creuse. On
évite de stocker les zeros de la matrice pour économiser de l’espace mémoire. On utilisera un
tableau A(1 :N*M,1 :5), puisqu’il y a au maximum 5 coefficients non nuls sur chaque ligne.

Question 2 Ecrire une fonction qui calcule la composante i du produit de la matrice A par un
vecteur x puis une autre qui calcule le vecteur y = Ax. La matrice A construite à la question 1
sera présente en argument de ces deux fonctions.

Question 3 Ecrire une fonction sor qui calcule les itérés x(k) définis par (11) jusqu’à ce que le
critère d’arrêt (21) soit atteint. Les paramètres d’entrée sont la matrice A, les dimensions N et M,
le second membre b, le critère d’arrêt , le paramètre ω, et le nombre d’itérations maximal kmax .
En sortie, la fonction retourne la solution du système, le nombre d’itérations nite effectuées et
le residu obtenu à chaque itération (sous la forme d’un tableau res(1 :nite)).
P
Question 4 Ecrire une fonction qui calcule le produit scalaire euclidien (x, y) = xi yi de deux
vecteurs.

Question 5 Ecrire une fonction gc qui calcule les itérés x(k) définis par l’algorithme (14) jus-
qu’à ce que le critère d’arrêt (21) soit atteint. Les paramètres d’entrée sont la matrice A, les
dimensions N et M, le second membre b, le critère d’arrêt , et le nombre d’itérations maxi-
mal kmax . En sortie, la fonction retourne la solution du système, le nombre d’itérations nite
effectuées et le residu obtenu à chaque itération (sous la forme d’un tableau res(1 :nite)).

Question 6 Ecrire une fonction qui construit la matrice T̃ dont les coefficients sont définis en
(15). Seuls les coefficients non nuls seront stockés.

Question 7 Ecrire une fonction qui résout le système P x = y dans les deux cas suivants :
P = D et P = T̃ T̃ T . On rapelle que D est la partie diagonale de A. Dans le cas où P = T̃ T̃ T on
résoudra deux systèmes triangulaire, une étape de descente (T̃ z = y) et une autre de remontée
(T̃ T x = z).

Question 8 Ecrire une fonction gcp qui calcule les itérés x(k) définis par l’algorithme (17)
jusqu’à ce que le critère d’arrêt (21) soit atteint. Les paramètres d’entrée sont la matrice A, les
dimensions N et M, le second membre b, le critère d’arrêt , le nombre d’itérations maximal kmax
et un entier numP qui indique la matrice P que l’on considère. En sortie, la fonction retourne la
solution du système, le nombre d’itérations nite effectuées et le residu obtenu à chaque itération
(sous la forme d’un tableau res(1 :nite)).

Question 9 On fixe  = 10−5 , N = 50, M = 20, H = 2, l = 1/2 et x(0) = 0.

Ecrire un programme qui construit le vecteur (20) et calcule les solutions numériques wnum
du problème (18) en résolvant le système par les méthodes SOR, des gradients conjugués, puis
en utilisant les matrice P = D et T̃ T̃ T pour préconditionner le système. Pour la méthode SOR,
on utilisera le paramètre ω = 2/(1 + sin(π k)).
Dans les cinq cas, vous donnerez le nombre d’itérations effectuées, l’erreur avec la solution
exacte ||wex − wnum||2 et vous tracerez la courbe du résidu en fonction des itérations en échelle
logarithmique.

7
2.3 Application au problème physique : simulation de l’écoulement de la
peinture
Ayant validé la méthode des gradients conjugués pour résoudre le système Au = s dans la
section précédente, on l’utilise maintenant pour simuler l’écoulement de peinture présenté dans
le paragraphe 1.

Question 10 On fixe  = 10−5 , N = 100, M = 40, H = 2, l = 0.5, WP = 50 et x(0) = 0. Ecrire

un programme qui construit le vecteur (5) et calcule la solution numérique du problème (3) en
résolvant le système (6) par une méthode de gradient conjugué préconditionné par la matrice
P = T̃ T̃ T . Vous donnerez le nombre d’itérations effectuées, et afficherez la solution numérique
obtenue.

3 Calcul du débit par intégration numérique

On souhaite calculer le débit volumique D de peinture entre deux plaques verticales de
hauteur H et distantes de l. La couche de peinture déposée sur la paroi pourra ensuite s’en
déduire. La difficulté consiste à approcher l’intégrale bidimensionnelle suivante :
Z H Z l
D= w(x, y) dx dy. (22)
0 0

Désignons dans la suite f , une fonction réelle, continue sur un intervalle [a, b] et cherchons
tout d’abord à approcher l’intégrale monodimensionnelle
Z b
I(f ) = f (x) dx.
a

On appelle formule de quadrature à m points pour l’intégrale I(f ) une approximation de la

forme I(f ) ≈ Qm (f ),
m
X
Qm (f ) = (b − a) αi f (xi ),
i=1

c’est-à-dire une somme pondérée de valeurs de f en des points (xi )1,...,m de l’intervalle [a, b]. On
dit que ces points sont les nœuds de la formule de quadrature, et que les nombres αi ∈ R sont
ses poids — même si les poids réels sont en fait les (b − a)αi . Les poids et les nœuds dépendent
de m mais pas de f .
Une manière d’obtenir une formule de quadrature est d’intégrer une approximation polyno-
miale de la fonction f . L’idée est que si les deux fonctions sont proches, leurs intégrales le sont
aussi. Ainsi, pour m ≥ 2, la formule de Newton-Cotes à m points est définie par
Z b
QN C(m) = Pm−1 (x) dx,
a

b−a
où Pm−1 est le polynôme de degré m − 1 qui interpole f aux points xi = a + (i − 1) m−1 ,
i = 1, . . . , m. Un calcul simple permet d’obtenir les expressions suivantes de QN C pour m =
2, . . . , 4 :
QN C(2) = b−a


2 f (a) + f (b) , (formule
des trapèzes)
b−a a+b


QN C(3) = 6 f (a) + 4f 2
+ f (b) , (formule de

Simpson)
b−a 2a+b a+2b


QN C(4) = 8 f (a) + 3f 3 + 3f 3 + f (b) ,

8
 Il est possible d’estimer l’erreur de ces différentes approximations, suivant les valeurs de m.
On peut montrer, par exemple, que si f est au moins de classe C 4 sur [a, b], alors l’erreur pour
la formule de Simpson vérifie
Z b
 (b − a)5


 f (x) dx − QN C(3)
≤ M4 ,

a
 2880
 
où M4 = supx∈[a,b] f (4) (x).
Une idée pour améliorer l’approximation est de diviser l’intervalle [a, b] de départ, et d’ap-
pliquer les formules de Newton-Cotes sur chaque sous-intervalle.
Soit a = z0 < · · · < zn+1 = b une subdivision de [a, b], on peut écrire
Z b n Z
X zi+1
f (x) dx = f (x) dx.
a i=0 zi

En appliquant la formule QN C(m) à chaque sous-intervalle, on obtient une formule de quadrature

(n)
composite. On note QN C(m) l’approximation de I(f ) ainsi obtenue. Nous ne considérons que des
b−a
formules composites sur subdivisions uniformes : zi = a + ih, i = 0, . . . , n + 1, avec h = n+1 . En
notant

m + 1 si m est impair
p= ,
m si m est pair
on montre que si f est de classe C p sur [a, b], on a l’estimation d’erreur suivante pour la
formule composite : Z b 
(n)
f (x) dx − QN C(m)  = O(hp Mp ),
 


a
 (p) 
ou l’on a noté Mp = supx∈[a,b] f (x).

Considérons maintenant l’intégrale d’une fonction g, réelle et continue sur un intervalle [a, b]×
[c, d] :
Z bZ d
J(g) = g(x, y) dx dy.
a c
On introduit une subdivision a = z0 < ... < zM +1 = b de l’intervalle [a, b] et c < w0 < ... <
wN +1 = d de [c, d]. Alors,
M X
X N Z wj+1 Z zi+1
J(g) = g(x, y) dx dy. (23)
i=0 j=0 wj zi

En utilisant des formules de quadrature à m points

Z zi+1 m
X
g(x, y) dx = (zi+1 − zi ) αk g(xk , y).
zi k=1

L’expression (23) de J(g) est alors approchée par la formule suivante :

M X
N m X
m
(M,N )
X X
Q2D(m) = (zi+1 − zi )(wj+1 − wj ) αk αl g(xk , xl ). (24)
i=0 j=0 k=1 l=1

9
En utilisant la formule de quadrature des trapèzes, et en notant h = (b − a)/(M + 1), k =
(d − c)/(N + 1), (24) se simplifie comme ceci
M N
(M,N ) hk X X
Q2D(2) = (g(zi , wj ) + g(zi , wj+1 ) + g(zi+1 , wj ) + g(zi+1 , wj+1 )) . (25)
4
i=0 j=0

(M,N )
Question 11 Ecrire une fonction Int_2d qui calcule Q2D(2) .

3.1 Estimation de la couche de peinture déposée sur une paroi plane

L’épaisseur δ de la couche de peinture déposée par le pinceau sur la paroi horizontale est
définie comme étant celle d’une couche fictive de vitesse uniforme Wp au voisinage de la surface
x = 0 et de débit volumique D. Ainsi,
Z H Z l
Wp l δ = D = w(x, y) dx dy. (26)
0 0

En utilisant la méthode de séparation des variables, il est possible de calculer la solution w

du problème (1)-(2) sous la forme d’une série, à condition que la hauteur H → ∞. On en déduit
alors une formule analytique du débit :

8 Wp l 2 X 1
D= , (27)
π3 n3
n impair

qui s’approxime à l’aide de la fonction d’Apéry a = 1.20205690315959...

7a
D= Wp l 2 . (28)
π3
Question 12 Calculez le débit D en intégrant la solution numérique obtenue à la question 10
(N = 100, M = 40, H = 2 et l = 0.5). En déduire l’épaisseur de la couche de peinture δ déposée
sur la paroi.

10