ANNEE UNIVERSITAIRE 2018-2019

UE : 4TSI301U
Epreuve : Techniques mathématiques pour l’ingénieur, Examen
Date : Mercredi 9 janvier 2019 Heure : 11h30 Durée : 1h30
Sans document
Épreuve de Y. Chemisky, D. Jacquin, F. Marc

Barème approximatif : 1- 6 points ; 2 - 14 points

1 Roland Garros

24m

1,6m

11m
Joueur 2
1,2m
0 x 0
Joueur 1

z
V0
joueur 1: hauteur ! joueur 2 + raquette : 2,50m
raquette 0.6m
x

hauteur filet : 0.9m

~0
Figure 1 – Schéma du terrain de tennis indiquant la position du joueur, ainsi que le vecteur V

Lors d’un match de tennis, un joueur tente un lob pour faire passer la balle au dessus de
l’adversaire qui s’est approché près du filet. Il va taper la balle avec une vitesse représentée par
~ 0.
le vecteur V
Lorsque la balle a quitté la raquette, la projection sur l’axe x et z du vecteur accélération est
donnée par :

1
 ax = 0
(1)
az = −g

Dans toutes les questions il est demandé de fournir les expressions analytiques.
L’application numérique est à faire de manière séparée.
1) Déterminer les composantes du vecteur vitesse v(t) en fonction du temps t, de la norme
~ 0 (notée V0 ), et de l’angle α.
du vecteur V
2) Déterminer les composantes du vecteur position r(t) en fonction de V0 , α, t et de la
position initiale du joueur 1.
3) Déterminer l’équation de la trajectoire z = f (x).
Pour faire un lob parfait au dessus du joueur 2, on considère que la balle atterrit sur la ligne
de fond, en passant au-dessus de ce joueur.
4) Déterminer les deux conditions pour obtenir un lob parfait.
5) En considérant une vitesse V0 = 20m.s−1 , déterminez l’angle α permettant d’effectuer
un lancer qui atterrisse sur la ligne de fond.
6) Vérifiez que la balle passe au dessus de l’adversaire

2 Modélisations d’une ligne téléphonique

Une ligne téléphonique est constituée de deux fils conducteurs entourés et séparés par un
isolant. La disposition relative des fils peut varier (câble coaxial, ou paire torsadée par exemples)
mais on peut dans tous les cas modéliser une telle ligne par deux fils très faiblement résistifs
parallèles dont l’impédance est proportionnelle à la longueur, entre lesquels se trouve un isolant
très faiblement conducteur dont l’admittance entre les fils est proportionnelle à la longueur. Le
schéma équivalent est donné à la figure 2 : chaque élément infinitésimal de longueur dx de la
ligne est constitué deux impédances z1.dx et z2.dx et d’une admittance y.dx. A chaque abscisse
x de la ligne, on peut observer une tension V(x) entre les fils et un courant I(x) à travers chaque
fil.
Nous allons étudier 3 cas particuliers de ce modèle : un modèle quasi-statique purement
résistif, un modèle dynamiques sans perte, et un modèle plus complet et plus général.

En appliquant la loi des nœuds, la loi des mailles et la « loi d’Ohm généralisée » (en régime
continu ou sinusoïdal), on trouve deux relations entre V(x), V(x + dx), I(x) et I(x + dx). En faisant
tendre dx vers 0 (ou par un développement limité au premier ordre), on obtient alors un système
de deux équations différentielles couplées

dV(x)
− zI(x) = 0 (2)
dx
dI(x)
− yV(x) = 0 (3)
dx
où z = z1 + z2

2
 RG I(0) I(x) I(L)

V(x) RL
E V(0) V(L)

I(0) I(x) I(L)

x
0 x x+dx L

z1 dx z1 dx I(x) z1 dx I(x+dx) z1 dx

y dx y dx V(x) y dx V(x+dx) y dx

z2 dx z2 dx I(x) z2 dx I(x+dx) z2 dx

Figure 2 – Modélisation d’une ligne par des éléments infinitésimaux de ligne

2.1 Modèle quasi-statique

Dans ce modèle, on ne considère que les effets statiques : on identifie alors les impédances
à des résistances et les admittances à des conductances : z1 = r1 , z2 = r2 et y = g où r1 et r2 sont
les résistivités linéiques des fils et g la conductivité linéique de l’isolant.
1) En posant r = r1 + r2 , montrez que les fonctions suivantes sont solutions du système
précédent pour certaines valeurs de α et R0 que l’on précisera :

V(x) = V1 e−αx (4)

V1 −αx
I(x) = e (5)
R0
Remarque : On notera que l’on peut identifier deux couples de valeurs (α, R0 ). On montre
qu’on peut identifier toutes les solutions par combinaison linéaire des solutions associées à ces
deux valeurs.
2) Placez qualitativement α2 , α, R20 , R0 sur chacun des graphes du plan complexe de l’an-
nexe. Seule un placement dans le bon quadrant ou le bon axe est demandé. Le module
n’importe pas. On indiquera bien toutes les solutions de α, R0 .
3) Donnez les unités de r, g, α et R0 .
On considère dorénavant la solution de la forme ci-dessus (equations (4) et (5)) où α est
positif.
4) En exprimant la relation entre V(L) et I(L), trouvez la valeur de RL pour la quelle la
solution ci-dessus peut être valide (la charge est dite alors adaptée à la ligne).
5) Donnez l’expression de la puissance P(x) traversant la ligne dans le sens des x crois-
sants à l’abscisse x (on pourra par exemple considérer le dipôle à droite des deux
nœuds d’abscisse x).
6) Exprimez le coefficient de transmission T (L) = P(L)/P(0) de la ligne de longueur L.
7) Soit T dB (L) la valeur de T (L) exprimée en décibels ? Montrez que T dB (L) est proportion-
nel à L et exprimez le coefficient de proportionnalité.

3
2.2 Modèle dynamique sans perte
Une modélisation plus complète fait intervenir les effets inductifs et capacitifs. Pour éviter
la modélisation sous forme d’équations faisant intervenir les dérivées par rapport au temps et à
la position (dans le cas présent, l’équation du télégraphiste), nous allons modéliser le circuit en
régime sinusoïdal, à l’aide des impédances.
Dans un premier temps, nous ignorerons les résistances. Nous avons alors :

z1 = jl1 ω z = z1 + z2 = jlc
z2 = jl2 ω y = jcω
où l1 et l2 sont les inductances linéiques des fils et c est la capacité linéique entre les fils et
l = l1 + l2 .
On retrouve donc les équations précédentes (en remplaçant V(x) et V1 par les amplitudes
complexes V(x), V1 ) où les constantes sont maintenant des nombres complexes pouvant dé-
pendre de ω.
La résolution des équations donne α2 = z.y.
8) Quelle sont les expressions de α et R0 en fonction de l, c et ω. Sont-ils toujours des
réels ?
9) Placez qualitativement α2 , α, R20 , R0 sur chacun des graphes du plan complexe de l’an-
nexe. Seule un placement dans le bon quadrant ou le bon axe est demandé. Le module
n’importe pas. On indiquera bien toutes les solutions de α, R0 .
10) Déduisez en l’expression de l’amplitude complexe V(x) à l’abscisse x d’après l’eq. (4).
11) Quels sont les expressions du module et de la phase du facteur de V1 ?
Soit v1 (t) = V1 cos(ωt + φ1 ) la tension dont l’amplitude complexe est V1 .
12) Quelle est l’expression de v(x, t) dont l’amplitude complexe est V(x) ?
13) Montrez que cette solution fait apparaître un terme d’onde progressive ou régressive,
et identifiez l’expression de la célérité (notée C0 ).

2.3 Modèle dynamique avec perte

En pratique, une ligne téléphonique peut être modélisée en combinant les deux modèles
précédents. On tient compte de la résistance et de l’inductance des fils, et de la capacité entre les
fils. La conductance entre les fils peut être ignorée avec les isolants actuels. Nous avons alors :

z1 = r1 + jl1 ω z = z1 + z2 = r + jlc
z2 = r2 + jl2 ω y = jcω
avec les mêmes notations que précédemment.
14) Quelle sont les expressions de α2 et R20 en fonction de r, l, c et ω. Sont-ils toujours des
réels ?
15) Placez qualitativement α2 , α, R20 , R0 sur chacun des graphes du plan complexe de l’an-
nexe. Seule un placement dans le bon quadrant ou le bon axe est demandé. Le module
n’importe pas. On indiquera bien toutes les solutions de α, R0 .
Le calcul de α étant long, nous allons seulement nous intéresser au comportement qualitatif
de la ligne. Nous poserons α = αR + jαI (où αR et αI sont réels).
16) Exprimez V(x) en fonction de V1 , αR , αI et x. Donnez le module et la phase V(x) en
fonction des même grandeurs. Que remarquez vous ?

—— FIN ——

4
Numéro d’anonymat :

Annexe
Question 2) : cas quasi-statique
Im(α2 ) Im(α) Im(R20 ) Im(R0 )

Re(α2 ) Re(α) Re(R20 ) Re(R0 )

Question 9) : cas dynamique sans perte

Im(α2 ) Im(α) Im(R20 ) Im(R0 )

Re(α2 ) Re(α) Re(R20 ) Re(R0 )

Question 15) : cas dynamique avec perte

Im(α2 ) Im(α) Im(R20 ) Im(R0 )

Re(α2 ) Re(α) Re(R20 ) Re(R0 )

5
 ANNEE UNIVERSITAIRE 2018-2019
session 2

UE : 4TSI301U
Epreuve : Techniques mathématiques pour l’ingénieur, Examen
Date : Jeudi 13 mai 2019 Heure : 9h00 Durée : 1h30
Sans document
Épreuve de F. Marc

Barème approximatif : 1- 5 points ; 2 - 5 points ; 3- 10 points

1 Record de vitesse
Le Thrust SSC est le véhicule terrestre le plus rapide au monde. Il a battu le record de
vitesse pour un engin piloté terrestre en 1997. Sa vitesse au cours du temps est représentée
schématiquement sur la figure 1 en annexe.
Sans mettre en équation les courbes, répondre aux questions suivantes.
1) Sur le même graphe (en utilisant l’échelle correspondante), représentez l’accélération
a(t) en fonction du temps.
2) Quelle est la distance parcourue pendant la phase d’accélération ?
3) Quelle est la distance parcourue à la vitesse maximale ?
4) Quelle est la distance totale parcourue ?
5) Sur le même graphe (en utilisant l’échelle correspondante), représentez la distance par-
courue x(t) en fonction du temps. On essaiera de donner l’allure la plus proche possible
de la courbe réelle.

2 Plan complexe
Le point A a pour affixe z.
1) Placez avec précision dans le plan d’Argand (= plan complexe) de la figure 2 en annexe
les points :
B d’affixe −z
C d’affixe z
D d’affixe j.z
E d’affixe 1/z
F d’affixe z2
G d’affixe exp(z)

3 Calcul de la puissance utile d’une hydrolienne

Une hydrolienne doit être installée dans le courant d’un fleuve, à une faible distance de
l’embouchure. Des mesures de la vitesse V(t) du courant sur le site sont représentées par la
courbe de la figure 3, mettant en évidence la superposition du courant de marée au courant du
fleuve.

1
 La puissance instantanée P(t) délivrée par l’hydrolienne dans un courant de vitesse V(t) est
proportionnelle au cube de la valeur absolue de la vitesse. Pour une vitesse V(t) = Va = 4m/s, la
puissance délivrée est Pa = 2MW .
1) Exprimez P(t) en fonction de V(t), Va et Pa .
2) Sur le graphe de la figure 3 (en annexe), représentez la puissance instantanée P(t) avec
précision.
On veut calculer la puissance moyenne Pm fournie par l’hydrolienne dans les conditions
réelles d’utilisation. On rappelle que la puissance moyenne est reliée à la puissance instantanée
par :
ZT
1
Pm = P(t)dt (1)
T
0

où T est la période de P(t).

On se propose d’effectuer le calcul par deux méthodes : une méthode graphique, et une
méthode analytique. Au préalable, on se propose de modéliser la vitesse en fonction du temps
par l’équation suivante :
V(t) = V0 + A cos(ωt + φ) (2)
3) A partir de la figure 3, donnez les valeurs expérimentales de T , V0 , A,ω et φ (sans oublier
les unités).

Méthode graphique
4) Indiquez sur le graphe de la figure 3 où se trouve l’intégrale de P(t) nécessaire au calcul
de Pm .
5) A partir du graphe, donnez une estimation à 10 % de la puissance moyenne. On expli-
citera tous les calculs intermédiaires.

Méthode analytique
RT
6) Calculez l’intégrale In = 1
T
cos(nωt + ψ)dt où n est un entier et où ω et T sont ceux
0
indiqués ci-dessus. On fera attention au cas particulier sur n.
7) Exprimez analytiquement la puissance moyenne Pm dans le cas de l’équation (2).
8) En déduire la valeur numérique de Pm pour le cas de la figure 3.
9) Si la vitesse V0 de l’eau apportée par le fleuve est fixe, vaut-il mieux une grande ou une
petite marée ?(justifiez)

Formulaire

1 1
cos2 a = cos 2a +
2 2
1 3
cos3 a = cos 3a + cos a
4 4

2
Numéro d’anonymat :

Annexe
v(t) (m/s) a(t) (m/s2 ) x(t) (km)
350 28 21

300 24 18

v(t)
250 20 15

200 16 12

150 12 9

100 8 6

50 4 3

0 0 0
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t (s)
-50 -4 -3

-100 -8 -6

-150 -12 -9

Figure 1 – Vitesse du Thrust SSC

3
 Numéro d’anonymat :

Im(z)

0 1 Re(z)

Figure 2 – Plan d’Argand

4
 Numéro d’anonymat :

4
vitesse du courant (m/s)

-1
0 3 6 9 12 15 18 21 24
temps (heures)

2
Puisance (MW)

0 3 6 9 12 15 18 21 24
temps (heures)

Figure 3 – Vitesse et Puissance (à compléter)

5
 ANNEE UNIVERSITAIRE 2018 / 2019
. Code UE : 4TSI302U Collège
Epreuve : Examen "Electronique Numérique" Sciences
Date : Heure : Durée : 1h30 et
Documents : autorisés / non autorisés technologies
Epreuve de M/Mme : MANEUX

Avertissements : 1 /Il sera apporté beaucoup de soin à la présentation de la copie. 2 /Répondre

entièrement sur la fiche réponse. 3 / Aucune réponse ne sera comptée juste sans argumentation détaillée.

Compteur synchrone modulo 10 en code Aïken

Le code Aïken à la propriété d'être auto-complémentaire. On obtient ainsi le complément à 9 des

nombres codés en remplaçant les 0 par des 1 et les 1 par des 0. Par exemple, le complément à
9 de 6 est égal à 3. C’est-à-dire que 6 = 1100 et 3 = 0011. Ainsi, l'écriture du chiffre 3 est
complémentaire du chiffre 6 ; les 0 du chiffre 6 deviennent des 1 pour le chiffre 3 et vice versa.
La correspondance code décimal, code binaire naturel, code Aïken est donnée tableau 1.

Code
Code Code
Binaire
décimal Aïken
naturel
N B 3 B 2 B 1 B 0 A 3 A 2 A 1 A 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
2 0 0 1 0 0 0 1 0
3 0 0 1 1 0 0 1 1
4 0 1 0 0 0 1 0 0
5 0 1 0 1 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1 1 0 0
7 0 1 1 1 1 1 0 1 Figure 1 : Symbole bascule JKH
8 1 0 0 0 1 1 1 0
9 1 0 0 1 1 1 1 1
Tableau 1 : Séquence synchrone

On désire réaliser un compteur synchrone, modulo 10 en code Aïken, à l’aide de bascules

JKH synchronisées sur front descendant (l’état du compteur représentant les étapes de la
séquence).

H J K Q
0 0
Qn Qn+1 Jn Kn
0 1 0 0 X
0 1 X
1 0
1 X 1
1 1 1 X 0
Tableau 3 : Table simplifiée de la bascule JK
Tableau 2 : Table simplifiée de la bascule JK avec Qn =état présent de la bascule et Qn+1 =état
futur
1
Question 1 : D’après le tableau 1, justifier qu’il faut 4 bascules JKH pour réaliser le compteur
synchrone modulo 10 en code Aïken.
Question 2 : Quelles sont les entrées et les sorties de ce compteur ?
Question 3 : Que compte ce compteur logique ?
Question 4 : Remplir le tableau 2.
Question 5 : Remplir le tableau 3.

Le tableau 4 présente le cycle du compteur synchrone que l’on souhaite réaliser en utilisant les
sorties de quatre bascules Q3, Q2, Q1, Q0.

N Q3 Q2 Q1 Q0

Tableau 4

Question 6 : En considérant Q0 comme le bit de poids le plus faible et Q3 comme bit de poids le
plus fort, compléter le tableau 4 pour réaliser la séquence Aïken du tableau 1 .
Question 7 : On souhaite que ce compteur soit de type synchrone. Quelle conséquence cela a-t-
il sur la commande des horloges des bascules ?
Question 8 : Donner les chronogrammes des sorties des bascules (en négligeant le temps de
propagation des bascules JK devant la période de l’horloge).
Question 9 : Pour déterminer les équations des commandes à appliquer sur les entrées J0, K0,
…, J3, K3, des bascules, remplir le tableau 5 donnant l’état des entrées correspondant à la
succession des valeurs des sorties.

Etat des sorties à l’instant t Etat désiré à l’instant t+1 Etat des entrées J et K
Q3 Q2 Q1 Q0 Q3 Q2 Q1 Q0 J3K3 J2K2 J1K1 J0K0

Tableau 5

Question 10 : En utilisant les tableaux de Karnaugh, donner les expressions simplifiées des
différentes entrées en fonction des sorties.
Question 11 : En déduire le schéma de câblage du compteur synchrone.
Question 12 : En utilisant les entrées asynchrones Clr et Pre (actives sur niveau bas), comment
faut-il compléter le câblage pour remettre à zéro le compteur de façon asynchrone.
2
 Fiche réponse
NUMERO D’ANONYMAT :

Question 1

Question 2

Question 3

Question 4
H  J K Q
0 0
 
0 1
 
1 0
 
1 1
 
Tableau 2 : Table simplifiée de la bascule JK

Question 5
Qn  Qn+1 Jn Kn
0  0 X
0  1 X
1  X 1
1  X 0
Tableau 3 : Table simplifiée de la bascule JK avec Qn =état présent de la bascule et Qn+1 =état futur

Question 6

N Q3 Q2 Q1 Q0

3
Question 7

Question 8
Q0
Q1
Q2
Q3
N

Question 9

Etat des sorties à l’instant t Etat désiré à l’instant t+1 Etat des entrées J et K
Q3 Q 2 Q1 Q0 Q3 Q 2 Q1 Q0 J3K3 J2K2 J1K1 J0K0

4
Question 10

Q1Q0 Q1Q0
Q3Q2 00 01 11 10 Q3Q2 00 01 11 10
00 00
01 01
11 11
10 10
K0 = J0 =

Q1Q0 Q1Q0
Q3Q2 00 01 11 10 Q3Q2 00 01 11 10
00 00
01 01
11 11
10 10
K1 = J1 =
Q1Q0 Q1Q0
Q3Q2 00 01 11 10 Q3Q2 00 01 11 10
00 00
01 01
11 11
10 10
K2 = J2 =

Q1Q0 Q1Q0
Q3Q2 00 01 11 10 Q3Q2 00 01 11 10
00 00
01 01
11 11
10 10
K3 = J3 =

5
Question 11

J0 Q0 J1 Q1 J2 Q2 J3 Q3

H H H H

K Q0 K Q1 K Q2 K Q3
0 1 2 3

Question 12

6
 ANNEE UNIVERSITAIRE 2018 / 2019
. Code UE : 4TSI302U Collège
Epreuve : Examen "Electronique Numérique" Sciences
Date Vendredi 14 Juin Heure : 9h00 Durée : 1h30 et
Documents : autorisés / non autorisés technologies
Epreuve de M/Mme : MANEUX

Avertissements : 1 /Il sera apporté beaucoup de soin à la présentation de la copie. 2 /Répondre

entièrement sur la fiche réponse. 3 / Aucune réponse ne sera comptée juste sans argumentation détaillée.

Exercice 1 : Distributeur de monnaie

Un distributeur de monnaie fonctionne de la manière suivante :
Pièce introduite Pièces rendues Nombre
5€ 1
10€ 1€ 3
0,5€ 4
1€ 3
5€
0,5 4
1€ 1
2€
0,5 2
1€ 0,5 2

On note P 10 , P 5 , P 2 et P 1 les variables d’entrées correspondant aux pièces introduites 10€, 5€, 2€
et 1€.
On note N 5 (codé sur 1 bit), N 1 (codé sur 2 bits N 1b et N 1a ), N 0,5 (codé sur 3 bits N 0,5c , N 0,5b et
N 0,5a ) les nombres de pièces rendues de 5€, 1€ et 0,5€ respectivement.
On ne peut introduire qu’une pièce à la fois.
1.1.Compléter la table de vérité des 6 fonctions en fonction des 4 variables d’entrée
N° P 10 P5 P2 P1 N5 N 1b N 1a N 0,5c N 0,5b N 0,5a
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

1.2. Simplifier ces fonctions à l’aide de tableaux de Karnaugh

1.3. En déduire le câblage en utilisant seulement 3 portes OU à 2 entrées.

Exercice 2 : Multiplexeur à 3 entrées d’adresse

A l’aide d’un multiplexeur à 3 entrées d’adresse réaliser la fonction F.
F = A.C + A.B + A.B
Pour les entrées d’adresse, on prendra l’ordre ABC avec A pour bit de poids le plus faible et C
pour bit de poids le plus fort.

1
Exercice 3 : Multiplexeur à 4 entrées d’adresse
A l’aide d’un multiplexeur à 4 entrées d’adresse réaliser la fonction G.
G = A.P.C + H.A.P + A.P.C + H.A.P + H.A.P.C
Pour les entrées d’adresse, on prendra l’ordre ACHP avec A pour bit de poids le plus faible et P
pour bit de poids le plus fort.

Exercice 4 : Bascule D

4.1. Rappels sur la bascule RS

4.1.1. Donner une table de fonctionnement de la bascule RS réalisée avec des portes
NOR puis réalisée avec des portes NAND.
4.1.2. A l'aide d'un tableau de Karnaugh, donner l'équation logique Q n +1 de la sortie Q
en fonction des entrées R, S et de l'état précédent Q n . On envisagera le cas de la
bascule RS avec portes NOR puis le cas de la bascule RS avec portes NAND.
4.1.3. On considère une bascule D dont le schéma dérive de la bascule RS de la manière
suivante :
D S Q

R Q

4.1.4. Donner l'expression logique de Q n +1 de la sortie Q en fonction de l’entrée D, et de

l'état précédent Q n .
4.1.5. Donner une table de fonctionnement de la bascule D.
4.2.Compléter le chronogramme suivant selon 2 cas
4.2.1. la mémoire D fonctionne sur niveau haut de l’horloge
4.2.2. la mémoire D fonctionne sur front montant de l’horloge.

1
Q 0

1
Q 0

Exercice 5 : Décompteur asynchrone avec Bascule D

5.1. Diviseur de fréquence

Le compteur asynchrone est basé sur le diviseur de fréquence. Il s'agit d'une bascule D dont la
sortie inverseuse est reliée sur l’entrée D. Ainsi, à chaque front montant de l'entrée d'horloge, la

2
donnée transférée sur la sortie est complémentée. La fréquence du signal est donc divisée par
deux.

5.1.1. Rappeler la table de fonctionnement de la bascule D.

5.1.2. Donner le chronogramme de la sortie Q.
5.2. Analyse du décompteur asynchrone
Un décompteur asynchrone est constitué de plusieurs diviseurs de fréquences (autant que de
bits requis).
Soit, le décompteur 3 bits dont la structure est donnée ci-dessous et dont le signal d'horloge est
actif sur front montant:

5.2.1. Donner les chronogrammes des sorties Q1, Q2 et Q3 en respectant un cycle entier.
5.2.2. Donner l’évolution successive des sorties Q1, Q2 et Q3 en respectant un cycle entier.
5.2.3. Conclure

FIN

3
 ANNEE UNIVERSITAIRE 2018 / 2019
SESSION 1 D’AUTOMNE
Collège
PARCOURS / ETAPE : SI300 Code UE : 4TSI303ETL Sciences et
Epreuve : Dynamique des Systèmes Linéaires technologies
Date : 11/01/2019 Heure : 9h00 Durée : 1h30
Documents : non autorisés
Epreuve de M : Xavier MOREAU

ETUDE DE LA DYNAMIQUE DU LANCEUR DE L’ATTRACTION « SPACE MOUNTAIN »

1 - Introduction : analyse du fonctionnement

L’attraction « Space Mountain » se présente sous la forme d’un chapiteau renfermant une montagne russe à grande
vitesse. Les passagers peuvent faire l’expérience d’un voyage évoquant l’histoire du roman de Jules VERNE « De la
Terre à la Lune » grâce à de somptueux décors spatiaux. Les voitures sont sonorisées en synchronisation avec le
circuit qui comporte trois renversements complets. Le système de lancement, évoquant un canon, est en fait une
catapulte à propulsion électrique de type porte-avions. Les schémas de la figure 1 donnent un aperçu de l’ensemble.

Figure 1 – Vue d’ensemble de l’attraction « Space Mountain » et de son canon

1/5
 L’entraînement du tambour de la catapulte est obtenu par l’association de deux moteurs M 1 et M2 montés en
tandem selon le schéma de la figure 2. M1 et M2 sont des moteurs à courant continu à excitation séparée, de forte
puissance et d’inertie réduite. Le courant d’excitation étant constant, le modèle classique et linéaire du moteur à
courant continu est utilisé dans la suite du sujet. La position et la vitesse sont mesurées par une génératrice
tachymétrique et deux codeurs incrémentaux.

Figure 2 – Schéma de la motorisation et de l’instrumentation de l’axe du tambour de la catapulte

2 – Schématisation et paramétrage
Si l’on suppose, dans une première approche, que les deux moteurs sont parfaitement identiques et commandés par
une même tension um(t), alors il est facile de montrer que la motorisation est équivalente à un moteur unique. Un
travail préliminaire (non traité dans ce sujet) permet d’établir un schéma équivalent de la partie mécanique en
ramenant tous les éléments inertiels et dissipatifs sur l’axe moteur. Ainsi, la figure 3 présente un tel schéma utilisé
pour la suite du sujet où ceq(t) représente le couple résistant équivalent ramené sur l’axe moteur, Jeq, l’inertie
équivalente de l’ensemble des éléments inertiels ramenés sur l’axe moteur et beq le coefficient de frottement visqueux
équivalent de l’ensemble des éléments dissipatifs.

it 
l u l t  m(t)

u m (t )
r u r t  Jeq
beq ceq(t)
cm(t)
et 

Partie électrique du moteur Partie mécanique équivalente

Figure 3 – Schématisation et paramétrage retenus pour la suite du sujet

Les notations associées à la figure 3 sont les suivantes :

- partie électrique :
um(t) : tension de commande (source de tension en V) ;
i(t) : courant circulant dans l’induit du moteur (en A) ;
r et l : résistance (en ) et inductance (en H) de l’induit du moteur ;
ur(t) et ul(t): tensions (en V) aux bornes de r et de l respectivement ;
e(t) : force contre électromotrice (fcem, en V) ;
Ke et KT : constante de fcem (Vs/rad) et constante de couple (Nm/A) ;

- partie mécanique :
cm(t) : couple développé par le moteur électrique (en Nm) ;
m(t) : position angulaire de l’axe du moteur (en rad) ;
m(t) = dm(t)/dt : vitesse angulaire de l’axe du moteur (en rad/s) ;
beq : coefficient de frottement visqueux équivalent (en Nm s/rad) ;
Jeq : inertie équivalente (en kg m2) ;
ceq(t) : couple résistant équivalent ramené sur l’axe moteur (en Nm).

2/5
3 – Mise en équation
3.1 – Partie électrique
L’équation différentielle qui décrit le comportement dynamique de la partie électrique est donnée par
dit 
l  r i t   um t   et  . (1)
dt
Question 1
Expliquer et justifier (en rappelant les lois associées au domaine électrique : modèle de connaissance) la manière
dont cette équation différentielle est obtenue.

3.2 – Partie mécanique

Pour rappel, l'équation de Lagrange qui décrit le comportement dynamique d'un système par rapport aux degrés de
liberté qi (déplacements généralisés) s'exprime par une relation générale de la forme :

d  T  T V D
     i (t ) ,
dt  qi  qi qi qi
(2)

dans laquelle T représente l’énergie cinétique totale du système, V l’énergie potentielle totale, D la fonction dissipation
totale et i(t) la force ou le couple généralisés, c'est-à-dire l'ensemble des actions qui sollicitent activement le degré de
liberté qi.
Dans le cas particulier de la partie mécanique équivalente de la figure 3 (un seul degré de liberté m(t)), nous
avons :
T  J eq m2 t  , V  constante, D  beq m2 t  et   cm t   ceq t  .
1 1
(3)
2 2

Question 2
Montrer qu’en utilisant les relations (3), l’application du formalisme de Lagrange conduit à une équation
différentielle de la forme :
dm t 
J eq  beq m t   cm t   ceq t  , (4)
dt
avec pour rappel (voir notations) m(t) = dm(t)/dt.

En résumé, le modèle de connaissance de notre système est constitué d’une équation électrique (1), d’une
équation mécanique (4) et de deux équations électro-mécaniques faisant le lien entre le couple moteur cm(t)
et le courant i(t), d’une part, et la force contre électromotrice e(t) et la vitesse de rotation m(t) du moteur,
d’autre part, soit :
 dit 
l dt  r i t   um t   et 

 J dm t   b  t   c t   c t 
 eq dt eq m m eq . (5)
c t   K i t 
 m T
et   K e m t 

Question 3
Montrer que le système différentiel (5) peut se mettre sous la forme d’une représentation d’état telle que :
 x  A x  B u
y  C x , (6)

 x1  i t    y1  i t  
 u1  um t    x   t    y   t  
avec u  , x 2  , y 2  , (7)
u
 2   c t
eq   m
 x   t 
m
 y   t 
 3 m   3 m 
où les expressions analytiques des matrice A, B et C sont à préciser.

3/5
4 – Résolution du système différentiel : domaine opérationnel
La méthode choisie pour la résolution du système différentiel est la transformée de Laplace (passage dans le
domaine opérationnel). Elle peut être appliquée directement à la représentation d’état (6) permettant alors l’utilisation
des outils et méthodes de l’algèbre linéaire, ou de manière indirecte (mais équivalente) au système (5). C’est cette
dernière approche qui est retenue pour la suite du sujet.

Question 4
Montrer que la transformée de Laplace du système différentiel (5) conduit dans le domaine opérationnel à un
système d’équations mises sous forme causale tel que :

 I  p   l p  r i 0  l p  r U m  p   E  p 
l 1


Ω  p  
 m
J eq
J eq p  beq
m 0 
1
J eq p  beq

Cm  p   Ceq  p  ,  (8)

Cm  p   KT I  p 
E  p   K Ω  p 
 e m

avec I(p) = TL{i(t)}, Um(p) = TL{um(t)}, (p) = TL{e(t)}, m(p) = TL{m(t)}, Cm(p) = TL{cm(t)}, Ceq(p) = TL{ceq(t)},
i(0) = i(t=0) et m (0) = m(t=0) (Conditions Initiales : CI).

La figure 4 présente le schéma fonctionnel associé au système d’équations (8).

i(0) Ceq(p) m(0)

L1(p) L3(p)
- m(p)
Um(p) + I(p) Cm(p)
L2(p) + KT L4(p) +
+
-

E(p)
Ke

Partie électrique Partie Partie mécanique

électroméca
Figure 4 – Schéma fonctionnel associé au système d’équations (8)

Question 5
A partir du schéma de la figure 4 et du système (8), et en justifiant vos réponses, donner les expressions
analytiques des termes Li(p) avec i = 1 à 4 qui apparaissent dans les blocs du schéma fonctionnel.

Question 6
Sous l’hypothèse de conditions initiales nulles (CI = 0 : i(0) = 0 et m(0) = 0) et en supposant Ceq(p) = 0 (principe
de superposition), montrer à partir du schéma de la figure 4 ou du système d’équations (8) que la fonction de transfert
G(p) entre la tension de commande Um(p) et la vitesse de rotation m(p) a pour expression :
Ωm  p 
G p  
KT

   
. (9)
U m  p  CI 0 J eql p  J eqr  lbeq p  beqr  KT K e
2
Ceq 0

Question 7
Montrer que la forme canonique de G(p) est de la forme :
Ωm  p 
G p  
G0
 , (10)
U m  p  CI 0 2  p 
2
Ceq 0 1 p   
0  0 
où les expressions analytiques de G0, 0 et 0 sont à préciser.

4/5
 La figure 5 présente les diagrammes de Bode de la réponse fréquentielle de G(p) tracée avec :
G0 = 3 10-5 rad s-1 Nm-1, 0 = 12.5 rad/s et  = 0.95.
0

-25

Gain (dB)
-50

-75

-100
-1 0 1 2 3
10 10 10 10 10

0
Phase (deg.)

-45

-90

-135

-180
-1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Frequency (rad/s)
Figure 5 – Diagrammes de Bode de G(j)

Question 8
Les diagrammes de Bode de la figure 5 sont-ils cohérents avec l’expression analytique (10) de G(p) ?
Justifier votre réponse.

La figure 6 présente la réponse indicielle de m(t) à un saut échelon Um(p) = U0/p d’amplitude U0 = 100 V.

4.5

3.5
Vitesse moteur (rad/s)

2.5

1.5

0.5

0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Temps (s)

Figure 6 – Réponse indicielle de m(t) à un saut échelon Um(p) = U0/p d’amplitude U0 = 100 V

Question 9
La réponse indicielle de la figure 6 est-elle cohérente avec les diagrammes de Bode de la figure 5 ?
Justifier votre réponse.

5/5
 ANNEE UNIVERSITAIRE 2018 / 2019
SESSION 2 GLOBALISEE (AUTOMNE – PRINTEMPS)
Collège Sciences
PARCOURS / ETAPE : SI300 Code UE : 4TSI303ETL
et technologies
Epreuve : Dynamique des Systèmes Linéaires (DSL)

Date : Heure : Durée : 1h30

Documents : non autorisés

Epreuve de M : Xavier MOREAU

ETUDE DE LA DYNAMIQUE D’UN SYSTEME HYDRAULIQUE

1 – Schématisation et paramétrage

La figure 1 présente un système hydraulique constitué :

- d’une cuve de section S,
- d’une canalisation d’alimentation débouchant à la pression atmosphérique p0 et dans laquelle circule un débit e(t),
- d’une canalisation d’évacuation débouchant à la pression atmosphérique p0, canalisation équipée d’une résistance R et dans
laquelle circule un débit s(t).
Le niveau de la cuve est noté (t) et le fond de la cuve est à la pression p1(t).
Sf e(t)

débit entrant

p0 : pression atmosphérique

n(t)

(t) : R : résistance
n : hydraulique
niveau
niveau
d’équilibre
p0 : pression
atmosphérique
p1 : pression au fond de la cuve s(t) : débit sortant
Figure 1 – Schématisation et paramétrage du système hydraulique

2 – Mise en équation
2.1 – Modèle non linéaire
Les lois de la mécanique des fluides permettent d’écrire :
- une équation de conservation des débits, soit :
 R t    e t    s t  , (1)

où R(t) est le débit résultant dont l’expression est donnée par

 R t   S t  , (2)

- une équation de pression ; en régime turbulent, la perte de charge p1(t) – p0 aux bornes de la résistance R est fonction du
carré du débit s(t), introduisant ainsi une non-linéarité, soit :

p1t   p0 t     s2 t  , (3)

où  est une constante et où p1t   p0   g  t  , (4)

avec  la masse volumique du fluide et g l’accélération de pesanteur.

En remplaçant p1(t) par son expression (4) dans la relation (3) et en mettant cette dernière sous forme causale, on obtient le
système d’équations du dispositif, soit :

- 1/4 -
  t
  t     R   d   0
1
 S 0


 R t    e t    s t  (5)


  s t   K  t 


La figure 2 présente le schéma fonctionnel pour la simulation associé au système (5), où NL représente la non-linéarité.
 0
 e t  t 
t  t 
 d
+ 1
+
-
S
0

 s t 
K NL

Figure 2 – Schéma fonctionnel pour la simulation

Question 1
Montrer, soit en combinant les équations du système (5), soit à partir du schéma de la figure 2, que le comportement
dynamique du dispositif est décrit par une équation différentielle non linéaire du premier ordre de la forme :

S t   K  t    e t  . (6)

2.2 – Modèle linéarisé

Une façon de traiter un système non linéaire est de faire une étude aux petites variations autour d’une position d’équilibre
afin de le linéariser. Cette approche se justifie dans un contexte de régulation. Ainsi, on pose :
 t   n0  nt  avec nt   n0 , (7)

où n0 est le niveau d’équilibre de la cuve autour duquel on considère de petites variations n(t). De la même manière on pose :
 e t   de0  de t  avec de t   de0 . (8)

Quant à la relation non linéaire, celle-ci est développée en une série de Taylor dont on ne retient que les deux premiers
termes, soit :
 t   n0  nt   n0  nt  .
1
(9)
2 n0

Question 2
a - Compte tenu des notations introduites (7), (8) et (9), montrer que l’étude aux petites variations autour du niveau n0
conduit à une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme :
S n t   nt   K n0  d e t   d e0 .
K
(10)
2 n0
b – Sachant qu’en régime permanent il n’ y a pas de variation, soit nt   nt   de t   0 , montrer que l’équation (10) se
réduit à :
S n t    nt   d e t  où  
K
. (11)
2 n0
Question 3
a - A partir de l’équation (11) et à l’image du schéma de la figure 2, proposer un schéma fonctionnel causal pour la
simulation du modèle linéarisé.
b – En déduire une représentation d’état de la forme :
 x  a x  b u
 , (12)
y  c x
où x = n(t), u = de(t), y = n(t) et où les expressions des constantes a, b et c doivent être précisées.

- 2/4 -
3 – Domaine opérationnel

Question 4
Donner la transformée de Laplace de la représentation d’état (12).

Question 5
Le système est-il stable ? Justifier votre réponse.

4 – Etude du régime forcé

On s’intéresse uniquement au régime forcé : x(0) = 0.

Question 6
Montrer que la forme canonique de la fonction de transfert G(p) = N(p)/De(p), où N(p) et la transformée de Laplace de n(t)
et De(p) la transformée de Laplace de de(t), est de la forme :
G p  
G0
, (1)
p
1
1
où les expressions de G0 et 1 seront précisées.

Question 7
A la valeur constante du débit d’entrée de0 = 0.2 m3/s, un saut échelon de débit d’entrée de(t) d’une amplitude de 2 10-3 m3/s
est superposé et appliqué à la cuve, l’évolution du niveau étant enregistrée.
La figure 3 présente le tracé de n(t) = (t) – n0, où n0 = 1 m.
A partir de la figure 3, déterminer les valeurs numériques de la constante de temps  = 1/1 et du gain statique G0.

0.025

0.02
Niveau n(t) (m)

0.015

0.01

0.005

0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Temps (s)

Figure 3 – Réponse du niveau n(t) = (t) – n0 à un saut échelon de débit d’entrée de(t) d’une amplitude de 2 10-3 m3/s

Question 8
Donner les tracés asymptotiques des diagrammes de BODE de G(j) en précisant toutes les valeurs numériques nécessaires
à la compréhension.

- 3/4 -
5 – Etude des limites du domaine du modèle linéaire

A la valeur constante du débit d’entrée de0 = 0.2 m3/s, un saut échelon de débit d’entrée de(t) d’une amplitude de 0.1 m3/s
est superposé et appliqué à la cuve, l’évolution du niveau étant enregistrée.
La figure 4.a présente les tracés de n(t) = (t) – n0, où n0 = 1 m, et ce pour le système non linéaire (- - - - -) et le modèle
_______
linéarisé ( ).

De la même façon, à la valeur constante du débit d’entrée de0 = 0.2 m3/s, un saut échelon de débit d’entrée de(t) d’une
amplitude de 0.002 m3/s est superposé et appliqué à la cuve, l’évolution du niveau étant enregistrée.
La figure 4.b présente les tracés de n(t) = (t) – n0, où n0 = 1 m, et ce pour le système non linéaire (- - - - -) et le modèle
_______
linéarisé ( ).

1.4 0.025

1.2
0.02

1
Niveau n(t) (m)

Niveau n(t) (m)

0.015
0.8

0.6
0.01

0.4

0.005
0.2

0 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Temps (s) Temps (s)

(a) (b)
Figure 4 – Réponse du niveau n(t) = (t) – n0 à un saut échelon de débit d’entrée de(t) d’une amplitude de :
(a) 0.1 m3/s et (b) 0.002 m3/s
_______
(- - - - -) réponse du système non linéaire et ( ) réponse du modèle linéarisé

Question 9
En vous appuyant sur la condition qui accompagne la relation (8), à savoir d e t   d e0 , expliquer pourquoi il y a une
différence de comportement entre les réponses du système non linéaire et du modèle linéarisé figure 4.a, alors qu’il n’y en a
aucune figure 4.b.

Question 10
Si à la valeur constante du débit d’entrée de0 = 0.2 m3/s, un saut échelon de débit d’entrée de(t) d’une amplitude de 1 m3/s est
superposé et appliqué à la cuve, que peut-on dire en ce qui concerne les réponses du système non linéaire et du modèle
linéarisé ?

- 4/4 -
 ANNEE UNIVERSITAIRE 2018 / 2019
SESSION 1 D’AUTOMNE

DISVE PARCOURS / ETAPE :

Pôle Scolarité Code UE : 4TSI303U Sciences de l’ingénieur
Epreuve : Ondes
Date : 10 janvier 2019 Durée : 1h30
Documents : autorisés / non autorisés
Epreuve de M : B. Audoin

Les deux exercices sont indépendants.

On apportera un soin particulier à la rédaction.
On rappelle la formule d’Euler : pour un angle θ donné 2 j sin θ = exp( jθ ) − exp(− jθ ) .

Exercice 1 - Stationnarité
On étudie la déformation d’une corde dont une extrémité est fixe. La corde occupe l’espace
x ≤ 0 et l’extrémité fixe est en x = 0 .
Le déplacement u ( x,t ) d’un point de la corde résulte de la combinaison d’une onde incidente
progressive d’expression ui ( x,t ) = Ai exp j (ωt − kx ) , où ω désigne la pulsation, et d’une onde
réfléchie à l’extrémité fixe, d’amplitude Ar .
1- Que représente k ? Quelle est son unité ?
2- L’onde réfléchie est elle progressive ou rétrograde ?
3- On suppose l’onde réfléchie de pulsation ω ' . L’expression du déplacement ur ( x, t )
associé à l’onde réfléchie est alors ur ( x, t ) = Ar exp j (ω 't + k ' x ) . Justifier le signe
« + » dans l’argument de la fonction exponentielle.
4- En explicitant la condition de déplacement nul imposée à l’extrémité fixe de la corde :
- montrer que l’amplitude Ar de l’onde réfléchie est Ar = −Ai ,
- montrer que la pulsation ω ' de l’onde réfléchie est ω ' = ω , en déduire et justifier
que k ' = k .
5- Montrer que la superposition de l’onde incidente et réfléchie créé une onde
stationnaire.
6- Quelles sont les positions des nœuds de vibration ? Quelle est la distance séparant
deux nœuds consécutifs. On exprimera cette distance en fonction de ω et de la
célérité C, puis en fonction de f et C, où f est la fréquence.
7- Pour une fréquence de 1 Hz, la distance entre deux nœuds successifs est de 50 cm.
Quelle est la célérité des ondes ?
8- La corde est mantenue en tension par l’application d’une masse de 0.1 kg. Combien
vaut la masse linéique µ de la corde ?
9- La corde est assimilable à un cylindre de longueur L et rayon r. Si la densité
volumique de masse du matériau qui la constitue est ρ = 30 g/cm3, combien vaut r ?

1
Exercice 2 - Etude de l'antirésonance d'une corde fixée à une de ses extrémités
Une corde de longueur L , de masse linéique µ , et d'axe horizontal (Ox ) au repos est
tendue entre un vibreur situé à l'abscisse x = −L et un mur situé à l'abscisse x = 0 auxquels
ses extrémités sont attachées, voir la figure 1. La tension au repos de la corde vaut T0 . Sous
l'effet du mouvement vertical du vibreur selon l'axe (Oz ) , la corde effectue des déplacements

selon l'axe (Oz ) , de faible amplitude, mais elle ne s'allonge pas. On note u ( x,t ) ez le champ
 
de déplacement de la corde, où ez est le vecteur unitaire de l'axe (Oz ) , et T ( x,t ) la tension
en mouvement de la corde.

Figure 1
On suppose de plus que le vibreur impose au point de la corde d'abscisse x = −L des
oscillations verticales selon l'axe (Oz ) telles que :

u (−L,t ) = U cos ωt

A l'issue d'un régime transitoire, une onde stationnaire harmonique de déplacement s'établit le
long de la corde :
u ( x,t ) = A ( x ) cos (ωt + φ ) (1)

L'objectif de cet exercice est de déterminer A ( x ) et d'étudier la situation d'antirésonance.

Dans les calculs, vous utiliserez la notation complexe, c'est-à-dire que vous considérerez le
champ de déplacement complexe u ( x,t ) tel que u ( x,t ) = Re ( u ( x,t )) , qui obéit à l'équation
de d'Alembert. A u est imposée la condition aux limites u ( −L,t ) = Ue jω t , où j 2 = −1 .
1. Donnez (sans la démontrer) l'équation de d'Alembert à laquelle obéit u et exprimez la
vitesse de propagation des ondes progressives c en fonction de T0 et µ .
2. Que vaut la norme de la tension T ( x, t ) ?

3. En notation complexe, l'égalité (1) s'écrit : u ( x, t ) = a ( x ) e jω t où a ( x ) est une fonction a

priori complexe de x . En utilisant l'équation de d'Alembert, montrez que a ( x ) est solution
d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants que vous expliciterez.
Déduisez-en que a ( x ) = A1e jkx + A 2 e− jkx où A1 et A 2 sont deux constantes a priori
complexes. Vous exprimerez k en fonction de ω et c .
4. En utilisant la notation complexe, écrivez la condition à la limite imposée à la corde en
x = 0 . En déduire une relation entre A1 et A 2 . En utilisant la formule d’Euler, en déduire
une expression de a ( x ) .
5. Montrez que la condition limite en x = −L impose :

2
 sin kx jω t
u ( x,t ) = −U e
sin kL

6. Déterminez la position des ventres de déplacement de la corde. Exprimez l'amplitude Amax

des oscillations de la corde à ces ventres en fonction de U , k et L .
7. Les fréquences d'antirésonance correspondent aux minima de Amax . Montrez que les
c ⎛ 2n +1⎞
fréquences d'antirésonance sont fn = ⎜ ⎟ , avec n un entier positif ou nul.
L⎝ 4 ⎠
8. A l'antirésonance, le point d'abscisse x = −L coïncide-t-il avec un noeud ? avec un
ventre ? Justifiez votre réponse.
9. Tracez l'allure de la corde aux 2 fréquences d'antirésonance les plus basses.

3
 Année 2018/2019 le 17 juin 2019

4TSI303U SCIENCES POUR INGENIEUR

Exam Energétique
durée: 1H30
documents non autorisés
Calculatrice réglementaire (U. Bordeaux) seule acceptée

Exercice 1 : convection forcée (/10)

De la glycérine s’écoule sur une plaque chaude de longueur L = 1m à la vitesse V∞ = 3m.s-1 ,
la température du fluide loin de la plaque étant T∞ = 10°C . La température de la plaque est
maintenue à T p = 30°C . On admet que la valeur critique du nombre de Reynolds, pour un
passage d’un écoulement laminaire à celui d’un écoulement turbulent est Rec = 5 × 10 5 .
Les propriétés de la glycérine en fonction de la température T sont reportées dans le tableau
ci-dessous (on reconnaîtra les paramètres en fonction de leurs unités).

Cp (J.kg-1.K-1) ν (m2.s-1)
T(°C) ρ (kg.m-3) k (W.m-1.K-1)
x103 x10-3
0 1276 2,261 8,31 0 ,282
10 1270 2,319 3,00 0,284
20 1264 2,386 1,18 0,286
30 1258 2,445 0,50 0,286
40 1252 2,512 0,22 0,286

On rappelle que les corrélations liant les nombre de Reynolds, Nusselt et Prandtl pour un
écoulement externe sur une plaque, du point de vue local (x désigne l’abscisse sur la plaque
depuis le bord d’attaque en x = 0) et global, sont :

Nu x = 0, 332 Rex1/2 Pr1/3 , Rex < Rec

Nu L = 0,664 ReL1/2 Pr1/3 , ReL < Rec

0,288 Rex 0,8 Pr

Nu x = , Rex > Rec
1+ 0,849 Rex −0,1 ⎡⎣( Pr − 1) + ln ⎡⎣( 5 Pr + 1) / 6 ⎤⎦ ⎤⎦

Nu L = Pr1/3 ⎡⎣ 0,036 ReL 0,8 − 836 ⎤⎦ , ReL > Rec

Questions

1/ Donner la signification physique des nombres de Nusselt (Nu), Prandtl (Pr) et Reynolds
(Re).
2/ A partir de quelle distance depuis le bord d’attaque de la plaque le régime
d’écoulement devient il turbulent ? Qu’en déduisez vous ?
3/ Déterminer le coefficient d’échange à la surface de la plaque. Expliquez le choix de la
relation que vous utilisez pour cela.
4/ La largeur de la plaque étant l = 0.2 m, déterminer le flux de chaleur transporté par le
fluide.

1
Exercice 2 : Convection naturelle et rayonnement (/10)

On considère une ailette cylindrique de diamètre d et de longueur L, en cuivre de conductivité

thermique k. La température à la base de l'ailette est T0 et le flux en bout d'ailette est nul. Les
échanges de chaleur à la surface de l'ailette sont par convection naturelle et rayonnement
thermique. On note h le coefficient d'échange par convection. Pour ce qui concerne le
rayonnement, l'ailette et le milieu ambiant se comportent comme des corps noirs. Le milieu
ambiant est de l'air à la température Ta.
Valeurs numériques : d = 5 mm , L = 10 cm , T0 = 50 °C , Ta = 25 °C , k = 250 W m−1K−1 .
La constante de Stefan-Boltzmann est σ s = 5,67 ×10−8 Wm-2 K-4 .
Les paramètres thermophysiques de l’air à la température Tm = (T0 + Ta ) / 2 sont :
• Conductivité thermique de l’air : kair = 0,0283 W m−1K−1
• Viscosité cinématique de l’air : ν air = 17,95 ×10−6 m2s−1
• Nombre de Prandtl : Prair = 0,698
β g ΔT l 3
On rappelle que le nombre de Rayleigh est : Ra = Gr × Pr , où Gr = est le nombre de
ν2
Grashof (l est la dimension caractéristique de l'écoulement, β = 1 Tm est le coefficient
d’expansion thermique, on prendra : g = 10ms-2 , ΔT = T0 − Ta ) et Pr est le nombre de Prandtl.
On rappelle ci-dessous les valeurs de C et n pour la relation liant le nombre de Nusselt et le
nombre de Rayleigh en convection naturelle autour d'un cylindre : Nu = C Ra n en fonction du
régime d'écoulement.
Tableau 1
Dimension
C en convection C en convection
caractéristique
laminaire turbulente
l
C = 1,02 et n = 0,15
pour
−2 C = 0,135 et n = 0,25
Cylindre Diamètre 10 ≤ Ra ≤ 5 ×102 ; pour
horizontal extérieur C = 0,54 et n = 0,15
pour
2 ×10 < Ra ≤ 1013
7

5 ×102 ≤ Ra ≤ 2 ×107

Questions

1/ Déterminer l'expression du flux φca échangé par rayonnement entre l'ailette et le milieu
ambiant si on suppose que toute la surface de l'ailette est à la température T0 .
2/ La température de surface d'ailette et celle de l'air ambiant étant peu différentes, on peut
linéariser l'expression obtenue à la question 2/ sous la forme : φca = hr s (T0 − Ta ) où s est la
surface de l'ailette. Donner l'expression de hr en fonction de Tm et σ s . Calculer hr .
3/ Calculer le Nombre de Grashof puis le nombre de Rayleigh pour la convection naturelle
autour de l'ailette. Quel est le régime d'écoulement ?
4/ Rappeler la définition du nombre de Nusselt puis calculer le coefficient d'échange h par
convection entre l'ailette et l'air ambiant à partir de la relation adaptée dans le tableau . En
déduire le coefficient d'échange global H = h + hr .

2
 ANNEE UNIVERSITAIRE 2018 / 2019
SESSION 1 D’AUTOMNE
Collège
PARCOURS / ETAPE : S3 Code UE : 4TTV315U Sciences et
Epreuve : ANGLAIS technologies
Date : 09 janvier 2019 Heure : 9h-10h30 Durée : 1h30
Documents : non autorisés
Epreuve de Mmes : A.C. Harrison, J. Plaskett, M. Simon et D.
Williams

N° d’anomymat : …………………………………………. Note : …………………… /200

Note Partie I : ……....... /80 Note Partie II :…………. /20 Note :……………… /100

I. Choose ONE of the following subjects (a, b or c) and write an essay of 250
words minimum. (80 points)

a) The ‘Big Brother’ Internet

Discuss the following question: Is Internet surveillance a threat to our fundamental rights?
[a threat = une menace]

b) Experimenting on animals

Discuss the following quote by Professor Sir George Radda, a former Chief Executive of the Medical
Research Council in the UK: “Animal research is essential to tackling major 21st century health problems
such as cancer and heart disease. Without the use of animals it would be impossible, in many cases, to
develop drugs or any sort of medical treatment."

c) World population

Use the cartoon below to discuss the concept of overpopulation.

1/3
II. Grammar and language (20 points)

a) Read the following text. The five underlined segments are answers. Create five
questions to go with them. (10 points)

Large hydropower dams 'not sustainable' in the developing world

A new study says that many large-scale hydropower projects in Europe and the US have been
disastrous for the environment.
Dozens of these dams are being removed every year, with many considered dangerous and
uneconomic.
a
But the authors fear that the unsustainable nature of these projects has not been recognised in
the developing world.
b
Thousands of new dams are now being planned for rivers in Africa and Asia.
Hydropower is the source of 71% of renewable energy throughout the world and has played a
major role in the development of many countries.
c
But researchers say the building of dams in Europe and the US reached a peak in the 1960s
and has been in decline since then, with more now being dismantled than installed. Hydropower
only supplies approximately 6% of US electricity.
d
Dams are now being removed at a rate of more than one a week on both sides of the Atlantic.
The problem, say the authors of this new paper, is that governments were blindsided by the
prospect of cheap electricity without taking into account the full environmental and social costs
of these installations.
More than 90% of dams built since the 1930s were more expensive than anticipated. They have
e
damaged river ecology, displaced millions of people and have contributed to climate change by
releasing greenhouse gases from the decomposition of flooded lands and forests. (...)

By Matt McGrath, 5 November 2018, BBC News

a) …………………………………………………………………………………………………………..

b) …………………………………………………………………………………………………………..

c) …………………………………………………………………………………………………………..

d) …………………………………………………………………………………………………………..

e) …………………………………………………………………………………………………………..

2/3
 No. d’anonymat: ………………………………………………………..

b) Circle the correct form for the articles and verbs in bold. (10 points)

Climate change: Bug covered 'bionic mushroom' generates clean energy

US researchers have successfully tested the rather whacky idea of producing electricity from a

1
mushroom covered in a / an / the / Ø bacteria.

2
The scientists used 3D printing to attach clusters of energy-producing bugs to a / an / the / Ø cap of a
button mushroom.
3
The fungus provided the ideal environment to allow the cyanobacteria to generate a / an / the / Ø small
amount of power.
The authors say their fossil-free "bionic mushroom" could have great potential.
4
As researchers the world over search for alternative energy sources, there has been / will be / was a
sharp rise in interest in cyanobacteria.
5
These organisms, widely found in the oceans and on land, are investigating / are being
investigated / investigate for their abilities to turn sunlight into electrical current.
6
One big problem is that they do not survive / are not surviving / did not survive long enough on
artificial surfaces to be able to deliver on their power potential.
7
That's where a / an / the / Ø humble button mushroom comes in.

8
This fertile fungus is already home to many other forms of a / an / the / Ø bacterial life, providing an
attractive array of nutrients, moisture and temperature.
So the scientists from the Stevens Institute of Technology in the US developed a clever method of

9
married / marry / marrying the mushroom to the sparky bugs.

10
Appropriately enough, they come up / have come up / came up with the idea while having lunch! (…)

By Matt McGrath, 7 November 2018, BBC News

3/3