Chapitre 1 Matrices: 1.1 Opérations Sur Les Matrices
Chapitre 1 Matrices: 1.1 Opérations Sur Les Matrices
Chapitre 1 Matrices: 1.1 Opérations Sur Les Matrices
Matrices
Exemple : Pour
0 1 −3 1
A = 2 −1 et B = 5 1 ,
0 3 4 −2
2
Matrices : Partie 2 Selma Negzaoui
on a
0 1 −3 1 0 + (−3) 1+1 −3 2
A + B = 2 −1 + 5 1 = 2+5 −1 + 1 = 7 0 .
0 3 4 −2 0+4 3 + (−2) 4 1
Preuve :
” + ” est une loi de composition interne.
” + ” est associative (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C.
” + ” est commutative A + B = B + A.
La matrice nulle (0) 1≤i≤n = 0 est l’élément neutre pour la loi ” + ”.
1≤j≤p
En effet
∀A ∈ Mn,p (K) A + 0 = 0 + A = A.
(−A) est le symétrique de A pour ” + ” où
−A = (−aij ) 1≤i≤n
1≤j≤p
puisque −A + A = 0.
Exemple :
1 −1 α −α
α =
2 0 2α 0
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Matrices : Partie 2 Selma Negzaoui
On pose Eij la matrice dont tous les coéfficients sont nuls sauf celui de la i
ème ligne et de la j ème colonne qui prend la valeur 1.
0 ... 0 ... 0
.. .. ..
. . .
Eij = 0 . . . 1 . . . 0
. .. ..
.. . .
0 ... 0 ... 0
On a ∀A ∈ Mn,p (K)
a11 a12 . . . a1p
a21 a22 . . . a2p X
A = .. .. = aij Eij .
..
. . . 1≤i≤n
1≤j≤p
an1 an2 . . . anp
Ainsi
Alors
α11 . . . α1p 0 ... 0
α21 . . . α2p 0 . . .
0
.. = .. .. .
..
. . . .
αn1 . . . αnp 0 ... 0
Donc
αij = 0, ∀1 ≤ i ≤ n et ∀1 ≤ j ≤ p.
Ainsi B est libre. (2)
(1) et (2) donnent que B est une base de Mn,p (K). Elle est appeleé base
canonique de Mn,p (K). Par conséquent dim(Mn,p (K)) = Card(B) = np.
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Matrices : Partie 2 Selma Negzaoui
p
X
cij = aik bkj .
k=1
(Rq le coefficient ci,j est donné par le produit de la ième ligne de la 1ère
matrice par la jème colonne de la 2ème matrice.)
Exemple :
0 −1 3
1 2 −1 4 0 2
1. 2 1 0 =
0 1 0 2 1 0
0 1 1
−1
2. 1 2 3 1 = (1).
0
−1 −1 −2 −3 1 −1 1 0
3. 1 1 2 3 = 1 2 3 , 2 −1 1 0 = −2 2 0 .
0 0 0 0 3 −3 3 0
1 0
1 2
4. AB = 3 4 n’existe pas car A ∈ M2,2 (R) et B ∈
−1 4
−1 5
M3,2 (R).
(A.B).C = A.(B.C).
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Matrices : Partie 2 Selma Negzaoui
Preuve :
1. (Mn (K), +) est un groupe abélien.
2. ”.” est associative
A(B.C) = (A.B).C
In est l’élément neutre pour .
In .A = A.In = A.
Exemple :
1 0 a b a b a b 1 0
= = .
0 1 c d c d c d 0 1
3. On a de plus
A.(B + C) = A.B + A.C
(B + C).A = B.A + C.A
4. ”.” est non commutative :
Contre exemple :
0 1 0 2
A= , B=
1 0 1 0
1 0 2 0
A.B = 6= B.A = .
0 2 0 1
(Mn (K), +, .) n’est pas intègre (A.B = 0 ; A = 0 ou B = 0.)
En effet, on a le contre exemple suivant :
0 1 0 2
A= 6= 0, B = 6 0
=
0 0 0 0
et
0 1 0 2 0 0
A.B = = = 0.
0 0 0 0 0 0
Produit de matrices digonales
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Matrices : Partie 2 Selma Negzaoui
Définition 1.1.5 Une matrice A ∈ Mn (K) est dite inversible s’il existe
B ∈ Mn (K) tel que :
A.B = B.A = In .
Dans ce cas B est notée A−1 .
On note :
GLn (K) = {A ∈ Mn (K); A inversible}
et on l’appelle groupe liéaire.
A.A−1 = A−1 .A = In
où P est un Polynôme.
Exemple : Soit A ∈ Mn (K). On a
ϕ : Mn (K) −→ Mn (K)
X 7−→ X.A
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Matrices : Partie 2 Selma Negzaoui
On a
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Matrices : Partie 2 Selma Negzaoui
Matrices symétriques-antisymétriques :
• Soit A ∈ Mn (K). A est dite symétrique si et seulement si t A = A.
Exemples :
1. t In = In ⇒ In est symétrique.
2. t 0 = 0 ⇒ 0 est symétrique.
3. D = diag(λ1 , . . . , λn )
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
D = ..
.. . . ..
. . . .
0 0 . . . λn
t
D = D ⇒ D est symétrique.
1 1 2
4. A = 1 −2 3
2 3 0
t
A = A ⇒ A est symétrique.
• Soit A ∈ Mn (K). A est dite antisymétrique si et seulement si t A = −A.
Exemples :
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Matrices : Partie 2 Selma Negzaoui
t
1. 0 = 0 = −0 ⇒ 0 est antisymétrique.
t
2. I = I 6= −In ⇒ In n’est pas antisymétrique.
n n
1 2
3. n’est pas antisymétriques et n’est pas symétrique.
3 4
0 1 2
4. A = −1 0 3 est antisymétrique. En effet
−2 −3 0
0 −1 −2
t
A = 1 0 −3 = −A
2 3 0
Proposition 1.1.7 Si A est antisymétrique alors la diagonale de A est
nulle.
Preuve :
t
A = −A =⇒ aii = −aii , ∀ 1 ≤ i ≤ n
=⇒ aii = 0, ∀ 1 ≤ i ≤ n.
Exemples :
1. tr(In ) = n.
2. tr(0) = 0.
Proposition 1.1.8 tr est une forme linéaire.
Preuve : Soit A, B ∈ Mn (K), α ∈ K
n
X
tr(A + αB) = aii + αbii
i=1
n
X n
X
= aii + α bii
i=1 i=1
= tr(A) + α tr(B).
⇒ tr est une forme linéaire.
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Matrices : Partie 2 Selma Negzaoui
tr(AB) = tr(BA)
n
X X
tr(AB) = cii = aik bki .
i=1 1≤i≤n
1≤k≤p
Pn
De plus, BA = (dij ), avec dij = k=1 bik akj . Donc
p
n X
X X
tr(BA) = bik aki = aik bki = tr(AB).
i=1 k=1 1≤i≤n
1≤k≤p
Remarques :
• Ona : tr(A.B − B.A) = tr(A.B) − tr(B.A) = 0 et A.B 6= B.A.
• tr(A) = 0 ; A = 0.
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