Les Maths Sont Un Jeu (PDFDrive)

ALAIN GASTINEAU
j £ib rio
MEMO
Les maths
I NEDI T
I 100 jeux pour s'amuser... sans compter
Î l
SLt dMAK
Les maths
D an s la m ê m e série
Le français est un jeu, Librio n° 672

L'histoire de France est un jeu, Librio n° 813
L'anglais est un jeu, Librio n° 814
La science est un jeu, Librio n° 815
La géographie est un jeu, Librio n° 833
La mythologie est un jeu, Librio n° 834
La littérature est un jeu, Librio n° 837
La philo est un jeu, Librio n° 860
Le xx* siècle est un jeu, Librio n° 861
L'espagnol est un jeu, Librio n° 862
Paris est un jeu, Librio n° 876
Le théâtre est un jeu, Librio n° 880
La culture est un jeu, Librio n° 881
L'économie est un jeu, Librio n° 890
Le Bac français est un jeu, Librio n° 897
La psychologie est un jeu, Librio n° 904
L'histoire de l'art est un jeu, Librio n° 917
Le corps humain est un jeu, Librio n° 918
L'italien est un jeu, Librio n° 920
L'écologie est un jeu, Librio n° 944
L'orthographe est un jeu, Librio n° 948
La grammaire est un jeu, Librio n° 950
La politique est un jeu, Librio n° 956
La logique est un jeu, Librio n° 964
La sexualité est un jeu, Librio n° 965
Grand Librio - La langue française est un jeu, Librio n° 970
La finance est un jeu dangereux, Librio n° 975
Les mots sont un jeu, Librio n° 976
Alain Gastineau
Les maths W ; wn/
Inédit
L’auteur tient à rem ercier Youia H am ichi, K arine Thomas
et Pierre Jullien de leurs précieuses remarques.
© E.J.L., 2010
Som m aire
Introduction ........................................................ 7
1. Le cauchem ar des écoliers

É nigm es et petits problèm es a m u s a n ts ................... 9
2. Les grands - et les moins grands - mathématiciens
L a culture générale ................................................... 21
3. Logique ou bon sens
L a lo giqu e ..................................................................... 33
4. Zéro, un, deux, trois...
Les n om bres ................................................................ 42
5. Le loto, le casino, les paris
Les probabilités et les statistiques ............................ 54
6. D ’Euclide à Riem ann, que de chem in parcouru !
L a g é o m é t r ie ................................................................ 63
7. L a vie quotidienne
Les pourcentages, les un ités....................................... 76
8. Des parallèles courbes
Les illusions ......................................................;.......... 87
Introduction
« Je me souviens des heures que fa i passées,

en classe de troisième je crois, à essayer d'alimenter
en eau, gaz et électricité, trois maisons,
sans que les tuyaux se croisent. »
Georges Perec
Jeux de hasard (plus de 5 millions de personnes jouent au loto

chaque semaine), transactions bancaires et krachs boursiers,
courses quotidiennes, sondages d opinion, sport, arts, tests de QI
(utiles aux étudiants qui prétendent à accéder à de grandes
écoles ou aux recruteurs), petits calculs de la vie de tous les jours
qui nous poursuivent jusqu'en cuisine... Les mathématiques
envahissent n otre vie. Aucun d om ain e d 'a ctivité ne leur
échappe ! Mais la pratique des mathématiques peut paraître tel
lement compliquée !
Vous souffrez d'un blocage ? Vous éprouvez des difficultés à
aborder les « maths » avec confiance ? Vos connaissances restent
approximatives ?
Un peu de fantaisie, de surprise vous les rendront plus vivantes
et suffiront à développer l'envie d'y prêter un peu d'attention,
d'autant plus facilement que, comme le Bourgeois gentilhomme -
Monsieur Jourdain - qui disait de la prose sans qu'il n'en sût
rien, nous pratiquons les mathématiques tous les jours, sinon
sans avoir connaissance de leur existence, du moins sans en
avoir conscience.
Pour résoudre un problème, les plus savants - ou tout simple
ment ceux qui ont eu la chance (!) de les apprendre - utiliseront
7
LES MATHS SONT UN JEU
des méthodes générales, à base d'axiomes, de théorèmes, de défi

nitions ou de lois !
À défaut de faire partie des initiés - ou quand un grand doute
vous saisit -, il ne faut pas non plus hésiter à procéder par tâton
nements, de manière empirique.
Cet ouvrage a pour but de vous proposer des mathématiques
plus proches et plus ludiques.
Comme il s'adresse à un large public, les exercices et les ques
tions posés, dans une grande majorité, ne nécessitent qu'un
minimum de connaissances mathématiques et plus souvent... un
solide bon sens.
Pour ceux dont la curiosité et la soif de connaissances seraient
éveillées, quelques explications plus poussées sont placées dans
chaque chapitre. J'espère qu'à la fin de ce petit livre votre appétit
aura été aiguisé, que cela vous conduira à approfondir et à
considérer les « maths » comme un divertissement efficace fai
sant partie intégrante de notre culture.
Alain G astineau
1
le cauchemar des écoliers
Énigmes et petits problèmes amusants
Ces problèmes improbables ont été le cauchemar de plusieurs

générations d'écoliers.
Une baignoire se remplit à l'aide d'un robinet dont on connaît
le débit mais, par malchance, elle fuit. Un train part d'un
point A, un autre part d'un point B et un bourdon (très joueur !)
fait des allers-retours pendant que les trains circulent. Une poule
et demie pond un œuf et demi !...
Certes, ces élèves, au jourd'hu i p rob a b lem en t qu in qu a
génaires, ont souffert. Mais n'ont-ils pas aussi tant appris de
ces petites énigmes - curieuses ou agaçantes selon le point de
vue où l'on se place - qui ont en rich i et d évelop p é leu r
réflexion ?
À l'heure actuelle, au collège ou au lycée, plus question de per
turber l'élève, désormais confronté à des situations idéales : c'est
bien connu, de nos jours, une baignoire ne fuit plus ! Quel ensei
gnant oserait encore donner un exercice dans lequel « une poule
et demie pond un œuf et demi en un jour et demi. Combien pon
dent neuf poules en neufs jours ? », au risque de se voir accuser
de perturber le développem ent psychologique de l'enfant et
intenter un procès. Ou encore de se faire apostropher par l'élève :
« Il est débile ton problème ! » (.sic !)
Mais reprenons néanmoins quelques-uns de ces « classiques »,
qui ont fait jadis le bonheur des professeurs de mathématiques -
ou le désespoir de ceux qui étaient chargés de les résoudre - dési
reux d'attiser la curiosité de leurs élèves.
9
Les premiers exercices ne nécessitent aucun savoir-faire dans

les techniques mathématiques.
1. Une bouteille et son bouchon pèsent ensemble 110 g et la

bouteille pèse 100 g de plus que le bouchon. Combien pèse le
bouchon ?
□ 110g
□ 100 g
□ 10 g
□ 5g
2. Une poule et demie pond un œuf et demi en un jour et demi.

Combien pondent neuf poules en neuf jours ?
□ 9 œufs
□ 36 œufs
□ 54 œufs
□ 81 œufs
3. Deux trains partent respectivement de deux gares distantes

de 160 km à la rencontre l'un de l'autre et à la vitesse de 80 km/h.
Un bourdon part avec le premier train à la vitesse de 100 km/h
et suit la voie. Lorsqu'il rejoint le deuxième train, il fait demi-
tour et repart en sens inverse ; il rejoint le premier train, fait
demi-tour et continue la manœuvre. Lorsque les deux trains se
croisent, le bourdon tombe mort d'épuisement. Combien de kilo
mètres a-t-il parcouru ?
□ 100 km
□ 160 km
□ 180 km
□ 320 km
4. Trois personnes, Axel, Ève et Iris, sont placées dans cet

ordre en file indienne avec chacune un chapeau sur la tête tiré
au hasard parmi deux chapeaux noirs et trois chapeaux blancs.
Axel ne voit rien, Ève voit le chapeau d'Axel, et Iris celui d'Axel
et d'Ève. On leur demande de deviner la couleur de leur chapeau,
sans se retourner évidemment. Au bout de quelques minutes,
seul Axel est en mesure de répondre. Quelle est la couleur de son
chapeau ?
□ noir □ blanc
10
ÉNIGMES ET PETITS PROBLÈMES AMUSANTS
5. Un nénuphar double sa surface tous les jours et couvre un

étang en cent jours. Quand aura-t-il couvert la moitié de la sur
face de l'étang ?
G au deuxième jour
G au cinquantième jour
G au cinquante et unième jour
G au quatre-vingt-dix-neuvième jour
6. Au rugby, la commission chargée de juger les actes délic

tueux commis par les joueurs français est composée de dix hom
mes tels que : il y a au moins un francophone et, dès que Io n
prend deux membres, il y a au moins un francophile. La compo
sition de la commission est :
G 5 francophones et 5 francophiles
G 1 francophone et 9 francophiles
7. Un escargot se trouve au pied dun mur de 15 mètres de

haut. Pour le gravir, il monte de 2 mètres dans la journée mais
malheureusement, la nuit durant son som m eil, il glisse de
1 mètre. Combien de jours faudra-t-il à l'escargot pour atteindre
le sommet ?
G 14 jours
G 15 jours
G 16 jours
G 17 jours
8. Vu le prix des cigarettes, Ève, fumeuse et pas très riche,

décide de réutiliser les mégots. Elle en a récupéré 15 et peut avec
4 mégots reconstituer une cigarette. Com bien de cigarettes
entières pourra-t-elle fumer et combien restera-t-il de mégots ?
G elle fumera 3 cigarettes et il restera 3 mégots
9. Au Grand Prix de Monaco, Lewis Hamilton double le second

Jenson Button puis se fait dépasser par Michael Schumacher et
Fernando Alonso. À quelle place se trouve Hamilton ?
G deuxième G troisième G quatrième
11
10. Sur une collection de neuf objets, un seul a une masse plus
lourde que les autres. Quel est le nombre minimal de pesées à
effectuer pour trouver cet objet ?
G deux pesées
G trois pesées
G quatre pesées
11. Monsieur Vinet dit à son facteur :

« J ai trois filles. Le produit de leurs âges égale 36 et la somme
de leurs âges égale le numéro de la maison située en face de la
mienne. Pouvez-vous me donner leurs âges ? »
Le facteur réfléchit puis répond :
« Mais il me manque une donnée ! »
Monsieur Vinet rajoute alors :
« En effet, laînée s'appelle Charlotte. »
Le facteur donne alors la réponse. Quelle est-elle ?
12. Une baignoire peut se remplir à laid e de deux robinets.

Avec le robinet de droite on peut la remplir en 4 minutes et avec
celui de gauche en 2 minutes. On ouvre les deux robinets. En
combien de temps la baignoire va-t-elle se remplir ?
G 40 secondes
G 1 minute et 20 secondes
G 2 minutes
G 6 minutes
13. Nous avons à notre disposition un pot de 1 litre et un pot

de 2 litres. Nous cherchons à déterminer de combien de façons
on peut vider un tonneau en fonction de sa capacité.
— Si le tonneau a une capacité de 2 litres : on remplit deux
fois le pot de 1 litre ou bien on prend le pot de 2 litres. Symbo
lisons ces deux façons par : 1 - 1 et 2. On peut donc vider le
tonneau de 2 litres de deux façons différentes.
— Si le tonneau a une capacité de 3 litres : on prend trois fois
le pot de 1 litre ou bien on prend le pot de 1 litre puis celui de
2 litres ou bien on prend le pot de 2 litres puis celui de 1 litre.
Symbolisons ces trois façons par : 1 — 1 — 1 ; 1 —2 ; 2 — 1. On
peut donc vider le tonneau de 3 litres de trois façons d iffé
rentes.
12
De combien de façons peut-on vider un tonneau de 8 litres ?

□ 8
□ 12
□ 34
□ 50
14. Un père dit à son fils :

« J'ai trois fois l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as. »
Sachant qu'ils ont ensemble 100 ans, l'âge du père est :
□ 54 ans
□ 60 ans
□ 66 ans
□ 72 ans
15. On peut compliquer le problème en posant :

« J'ai trois fois l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as
et quand tu auras l'âge que j'ai, alors nous aurons ensemble
147 ans. » L'âge du père est :
□ 54 ans
□ 60 ans
□ 63 ans
Réponses
1. 5 g.
Évidemment, par précipitation, beaucoup de personnes répon
dent 10 g, ce qui ne convient pas. La bouteille, pesant 100 g de
plus que le bouchon, pèserait alors 110 g. Ensemble les deux
objets auraient donc une masse de 120 g.
On peut procéder par tâtonnements pour trouver la solution ou
bien on peut mettre ce problème en équation en appelant x la
masse du bouchon. La bouteille, pesant 100 g de plus que le bou
chon, pèserait x + 100 g et donc ensemble les deux auraient une
masse de 2x + 100 g.
Il reste à résoudre l'équation 2x + 100 = 110 soit 2x = 10 d'où
x = 5.
Le bouchon pèse donc 5 g. La bouteille pesant 100 g de plus
que le bouchon, sa masse est 105 g et ensemble, on obtient
5 + 105 = 110 g.
2. 54 œufs.
Une fois accepté que statistiquement une poule et demie peut
pondre un œuf et demi, on peut attaquer ce petit exercice.
Une réponse erronée fréquente consiste à dire 9 œufs.
Deux quantités variant, le nombre de poules et le nombre de
jours, il faut les considérer séparément.
Si nous prenons six fois plus de poules, c'est-à-dire neuf poules,
nous obtiendrons six fois plus d'œufs donc 9 œufs, toujours pour
un jour et demi.
Ainsi, neuf poules pondent en un jour et demi 9 œufs.
Maintenant, faisons varier le temps.
En six fois plus de jours, c'est-à-dire en neuf jours, il y aura six
fois plus d'œufs donc 6 x 9 = 54 œufs.
3. 100 km.
La solution est en fait évidente. Les deux trains roulent à la
même vitesse de 80 km/h et doivent parcourir 160 km, donc
quand ils se croisent ils ont roulé une heure. Ainsi, le bourdon
vole une heure à la vitesse de 100 km/h, il a donc parcouru
100 k m !
On peut aussi utiliser une solution moins économique en calcu
lant la distance parcourue par le bourdon entre chaque train puis
14
additionner toutes ces distances. Nous sommes alors face au

calcul de la somme d une série numérique convergente. Rete
nons finalement la première solution !
4. blanc.
Iris ne répond pas donc les chapeaux qu'elle voit ne sont pas
noirs sinon elle en déduirait que le sien est blanc. Par conséquent,
elle voit deux chapeaux blancs ou un blanc et un noir. Ève ne
répond pas donc le chapeau d'Axel n'est pas noir sinon elle en
déduirait que le sien est blanc. Conclusion : le chapeau d'Axel est
blanc !
5. au quatre-vingt-dix-neuvième jour.
Puisqu'il double sa surface tous les jours, le lendemain, soit au
centième jour, il aura recouvert la totalité de l'étang.
6. 1 francophone et 9 francophiles.
Il y a au moins un francophone donc il y a au plus neuf fran
cophiles. Supposons un instant qu'il y ait moins de neuf franco
philes. On pourrait alors form er une paire de francophones, ce
qui n'est pas possible. Donc il y a exactement un francophone et
neuf francophiles.
7. 14 jours.
À l'issue de la première journée, il sera à 2 mètres du sol.
À l'issue de la première nuit, il sera à 1 mètre du sol.
À l'issue de la deuxième journée, il sera à 3 mètres du sol.
À l'issue de la deuxième nuit, il sera à 2 mètres du sol.
À l'issue de la quatorzième journée, il sera à 15 mètres du sol
donc en haut du mur.
8. elle fumera 4 cigarettes et il restera 3 mégots.

Ève peut déjà faire 3 cigarettes et il restera 3 mégots mais avec
les 3 cigarettes fumées, elle récupère 3 mégots supplémen
taires. Elle en possède 6 donc elle peut faire 1 cigarette sup
plémentaire, il reste 2 mégots plus celui de celle qu'elle vient
de fum er donc le bilan est : elle a fumé 4 cigarettes et il reste
3 mégots.
15
9. quatrième.
L'erreur ici serait de penser qu'en doublant le second d'une
course, on se retrouve premier. Pas du tout, il se retrouve second
puis se fait doubler par deux pilotes donc sa place est quatrième.
10. deux pesées.

On réalise trois tas de trois objets. On en place un sur le plateau
de gauche et un sur le plateau de droite. Si le plateau est en équi
libre alors l'objet cherché est dans le troisième tas. Si la balance
penche à gauche alors il est dans celui de gauche sinon dans celui
de droite. Dans tous les cas, on détermine dans quel tas de trois
objets se trouve l'objet le plus lourd.
Il suffit alors de réaliser la même expérience. On place un objet
sur le plateau de gauche et un sur le plateau de droite. Si la
balance est en équilibre alors le troisième objet est celui que l'on
cherche sinon c'est le plus lourd des deux objets présents sur la
balance.
Deux pesées suffisent donc pour déterm iner l'objet le plus
lourd.
11.2 ans, 2 ans et 9 ans.

Le produit de leurs âges égale 36. Décomposons 36 de façon à
envisager toutes les solutions.
36 = 1 x 1 x 36
36 = 1 x 2 x 1 8
36 = 1 x 3 x 12
36 = 1 x 4 x 9
36 = 1 x 6 x 6
36 = 2 x 2 x 9
36 = 2 x 3 x 6
36 = 3 x 3 x 4
Le facteur a pour l'instant huit possibilités. Additionnons les
âges.
1 + 1 + 36 = 38
1 + 2 + 18 =21
1 + 3 + 12 = 16
1 + 4 + 9 = 14
1 + 6 + 6 = 13
2 + 2 + 9 = 13
2 + 3 + 6 = 11
3 + 3 + 4 = 10
16
Le facteur voit le numéro de la maison située en face de celle de

Monsieur Vinet donc, comme il lui manque un indice, ce numéro
est 13 et le facteur hésite entre :
— 1 an, 6 ans et 6 ans avec deux aînées jumelles ;
— 2 ans, 2 ans et 9 ans.
L aînée s'appelle Charlotte et est donc unique, la solution est
2 ans, 2 ans et 9 ans.
12. 1 minute et 20 secondes.

Notons x la capacité en litres de la baignoire.
Le robinet de droite remplit la baignoire de x litres en 4 minutes
donc le débit du robinet de droite est de x/4 litre par minute et
celui du robinet de gauche est de x/2 litre par minute. Donc
si on ouvre les deux robinets, le débit sera de x/4 + x/2 soit
3x/4 litre par minute. Ainsi pour remplir la baignoire, il s'écoule
4/3 de minutes donc 80 secondes, soit 1 minute et 20 secondes.
13. 34.
Notons u (n ) le nom bre de façons de vider un tonneau de
n litres.
Il y a une façon de vider un tonneau de 1 litre donc u (1) = 1.
Nous avons vu dans l'énoncé qu'il y a deux façons de vider un
tonneau de 2 litres et trois façons pour un tonneau de 3 litres
donc u (2) = 2 et u (3) = 3.
Pour un tonneau de 4 litres, en utilisant les mêmes notations que
celles de l'énoncé, on a :
1 — 1 — 1 — 1 ; 2 —1 — 1; 1 —2 —1; 1 — 1 —2 ; 2 —2
Il y a donc cinq façons de vider un tonneau de 4 litres
soit u (4) = 5.
Pour un tonneau de 5 litres :
1 — 1 — 1 — 1 — 1 ;2 — 1 — 1 — 1; 1 —2 — 1 — 1; 1 — 1 —2 —1;
1 — 1 1 2;2 2 1
— — — — ;
2 - 1- 2 ; 1- 2 - 2
donc u (5) = 8.
Il est temps de remarquer que :
u (3) = u (1) + u (2)
u (4) = u (3) + u (2)
u (5) = u (4) + u (3)
Vérifions cette formule pour un tonneau de 6 litres. Si on prend
un pot de 1 litre, il reste 5 litres dans le tonneau et nous avons
donc u (5) façons de le vider, et si nous avions pris le pot de
17
2 litres, il resterait 4 litres et u (4) façons de le vider. Finalement,

u (6) = u (5) + u (4).
Une telle suite de nombres est appelée suite de F ib on acci,
mathématicien italien du xm e siècle. Chaque terme égale la
somme des deux précédents.
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; ...
Leonardo FIBONACCI (1180-1250)
Remarque : on peut généraliser et montrer que le nombre de

façons de vider un tonneau de n litres avec un pot de 1 litre et
un pot de 2 litres est :
n
[5 + >/5 ] [1 + V5 ] [5 - V 5 ]
+
10 2 J 10 Jl 2 j
Reprenons les nombres de Fibonacci et effectuons le rapport de

deux termes consécutifs (le plus grand par le plus petit) :
2/1=2; 3/2 = 1,5 ; 5/3 = 1,66... ; 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625 ; ...
On montre que plus les nombres de Fibonacci sont grands plus
le rapport se rapproche du nombre d or.
Le n o m b re d 'o r est le nom bre -— > il vaut en viron
1,61803.
On retrouve la suite de Fibonacci et le nombre d'or dans de nom
breux domaines : la géométrie, la nature, l'architecture des tem
ples grecs, la musique... Le Pisan Fibonacci acquiert la célébrité
en résolvant le problème suivant : combien un couple de lapins
18
peut-il avoir de descendants par an, en supposant que chaque

couple se reproduise à l'identique, dès l'âge de 2 mois ? Le
mathématicien découvre que la proportion entre les générations
successives de lapins n'est autre que le fameux nombre d'or cher
aux Grecs.
Vous remarquerez que nous sommes partis du nombre de façons
de vider un tonneau de n litres avec un pot de 1 litre et un pot
de 2 litres, en passant par la reproduction chez les lapins, pour
nous retrouver face au nombre d'or. C'est cela les mathémati
ques ! Un maillage extraordinaire de connexions entre l'algèbre,
l'analyse, la géométrie, les probabilités, etc. Tout est relié dans
une cohérence sans faille. Continuons le voyage.
14. 60 ans.
On peut bien sûr procéder de manière empirique en testant
toutes les propositions. On constate alors que la proposition
60 ans convient. Le fils a donc 40 ans et quand le père avait
40 ans le fils en avait 20, ce qui est bien le tiers de l'âge du père.
Développons maintenant une solution algébrique permettant
de répondre à ce problème en l'absence de proposition de solu
tion.
Notons x l'âge du père et y l'âge du fils.
La différence d'âge x - y est constante au fil du temps.
Pour comprendre ce qui se passe, le plus simple est de faire un
tableau.
Si l'âge du père est y, alors, la différence d'âge étant constante,
l'âge du fils sera y - (x - y) soit 2y - x.
Père Fils
Passé y 2y - x
Présent X y
« J'ai trois fois l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as » se
traduit par x = 3 (2y - x) qui donne x = 6y - 3x soit x + 3x = 6y
d'où 4x = 6y et, en simplifiant, 2x = 3y. Ainsi, x = l,5y.
« Ils ont ensemble 100 ans » conduit à x + y = 100 soit l,5y + y = 100
donc y = 100/2,5 = 40 et x = 100 - 40 = 60.
19
15. 63 ans.
On peut toujours procéder de manière empirique en testant
toutes les propositions.
Étudions la solution algébrique.
Notons x l'âge du père et y l'âge du fils. La différence dâge x - y est
constante.
Rajoutons une ligne à notre tableau :
Père Fils
Passé y 2y - x
Présent X y
Futur 2x - y X
« J'ai trois fois l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as »
se traduit toujours par x = l,5y.
« Quand tu auras l'âge que j'ai, alors nous aurons ensemble
140 ans » donne (2x - y) + x = 147 soit 3x - y = 147.
En remplaçant x par l,5y dans l'équation 3x - y = 147, on obtient
4,5y - y = 147 donc 3,5y = 147 soit y = 42 d'où x = 63.
2
les ÿands - et les moins grands - mathématiciens
La culture générale
Qui n'a pas entendu parler du théorème de Thalès ou de celui

de Pythagore ? M ais qui connaît Sophie Germain, Évariste
Galois et tant d autres ?
Nous allons tester vos connaissances sur les plus grands
mathématiciens et sur d'autres personnalités - plus connues
pour d'autres talents - qui se sont penchées, parfois avec succès,
sur les mathématiques.
1. Il existe un théorème en géométrie qui met enjeu trois trian

gles équilatéraux appelé :
d le théorème de Napoléon
G le théorème de Charlemagne
G le théorème de Pascal
G le théorème d'Euclide
2. Le crible d'Ératosthène est :

G un algorithme détectant les nombres premiers
G un algorithme de résolution d'équations
G un algorithme de tri
G un algorithme de résolution de systèmes
3. Qui a cité la proposition suivante : « Si x et x + 2 sont deux

entiers impairs consécutifs alors x + (x + 2) + x (x + 2) est un
nombre premier » ?
G Isaac Newton G Sacha Guitry
G Pierre de Fermât G Marcel Pagnol
4. Qui parmi ces mathématiciens a obtenu le prix Nobel de

mathématiques ?
G Joseph Louis Lagrange G Alain Connes
G Andrew Wiles □ Autre réponse
5. Grigori Perelman est un mathématicien russe qui a :

Gl démontré la conjecture de Fermât
□ refusé un chèque de un million de dollars
G encaissé un chèque de un million de dollars
G obtenu la médaille Fields
6. Quels sont les deux seuls mathématiciens connus des collé

giens français à l'issue de la classe de troisième ?
G Thalès de M ilet et Pythagore de Samos
G Claude Allègre et François de Closets
G Les frères Bogdanov
G Leonhard Euler et Cari Friedrich Gauss
7. Le professeur : « Combien font, et ceci est la moindre des cho

ses pour un ingénieur moyen, combien font, par exemple, trois mil
liards sept cent cinquante-cinq millions neuf cent quatre-vingt-dix-
huit mille deux cent cinquante et un, multipliés par cinq milliards
cent soixante-deux millions trois cent trois mille cinq cent huit ? »
L'élève, très vite : « Ça fait dix-neuf quintillions trois cent quatre-
vingt-dix quadrillions deux trillions huit cent quarante-quatre
milliards deux cent dix-neuf millions cent soixante-quatre mille
cinq cent huit... »
Dans quelle pièce de théâtre peut-on lire ces quelques lignes ?
G La leçon d’Eugène Ionesco
□ Le malade imaginaire de Molière
G Le dernier des métiers de Boris Vian
G La folle de Chaillot de Jean Giraudoux
8. Qui a dit : « Ne t'inquiète pas si tu as des difficultés en

mathématiques, je peux t'assurer que les miennes sont bien
plus importantes. L'imagination est bien plus importante que
la connaissance. » ?
G Serge Gainsbourg
G Paul Dirac
G Albert Einstein
G Pierre-Gilles de Gennes
22
LA CULTURE GÉNÉRALE
9. Qui a dit : « Arithmétique ! algèbre ! géométrie ! trinité gran

diose ! triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connues est un
insensé ! Il mériterait 1''épreuve des plus grands supplices. » ?
G Serge Gainsbourg
G Sébastien Chabal
G AJbert Einstein
G le Comte de Lautréamont
10. Qui est m ort en duel à l'âge de 21 ans et a écrit la veille de

sa mort une théorie étudiée de nos jours en licence de mathé
matiques dans les universités françaises ?
G Jean Le Rond d'Alembert
G Évariste Galois
G Jean Dieudonné
G Étienne Bézout
11. Qui a résolu la conjecture émise par Fermât au x v if siècle ?

G Alain Connes G Jean Dieudonné
G Évariste Galois G Andrew Wiles
12. Quelle femme née un 1er avril utilise le pseudonyme d'Antoine

Auguste Le Blanc pour suivre les cours de l'École polytechnique
et envoyer ses travaux au célèbre mathématicien Joseph Louis
Lagrange ?
G Marie Curie G Justine Leblanc
G Sophie Germain G Emmy Noether
13. Qui a obtenu une approximation de 7Ten lançant un grand

nombre de fois une aiguille sur un parquet ?
G Pafnouti Tchebychev G Georges Buffon
G Niels Abel G Nicolas Bernoulli
14. Quel mathématicien, grâce à sa mémoire prodigieuse et à

ses dons en calcul mental, continua sa production en mathé
matiques alors qu'il était aveugle ?
G Leonhard Euler
G Jean Le Rond d'Alembert
G Cari Friedrich Gauss
G Harold Davenport
Réponses
1. le th éorèm e de N apoléon.
On considère un triangle quelconque ABC. On construit sur les
côtés [AB], [BC] et [AC] et extérieurement au triangle ABC trois
triangles équilatéraux ABE, BCF et ACG.
Notons I, J et K les centres de gravité des triangles ABE, BCF et
ACG. Le théorème permet d affirm er que IJK est un triangle
équilatéral qui a le même centre de gravité R que le triangle de
départ ABC.
Ce théorème est attribué à Napoléon Bonaparte mais des doutes
persistent. Il l'aurait énoncé au retour de la campagne d'Italie en
1797 et Lagrange aurait dit : « Nous attendions tout de vous, mon
Général, mais pas une leçon de géométrie. »
Joseph Louis LAG R AN G E (1736-1813)
2. un algorith m e détectant les nom bres prem iers.

Un nom bre p rem ier est un entier qui admet exactement deux
diviseurs entiers positifs. Par exemple, 5 est un nombre premier
car ses seuls diviseurs sont 1 et 5.
24
12 n'est pas un nombre premier car il est, par exemple, divisible

par 2.
Euclide a démontré qu'il existe une infinité de nombres pre
miers.
Le crible d'Ératosthène, mathématicien grec - qui par ailleurs
évalua la circonférence de la Terre, m it au point des tables
d'éclipses et un calendrier astronomique, construisit le premier
observatoire astronomique -, est un algorithme destiné à trouver
les premiers nombres premiers.
Cherchons par exemple ceux qui sont inférieurs à 100.
On écrit tous les entiers de 1 à 100.
On raye 1 qui n'est pas premier, on entoure 2 qui est premier
puis on raye tous les multiples de 2, à savoir 4, 6, 8, ... ; ensuite
on entoure 3 qui est donc premier car non divisible par 2 puis
on raye tous les multiples de 3, à savoir : 6, 9, 12, 15, ...
5 n'est pas rayé donc il n'est pas divisible par 2 ni par 3 donc
c'est un nombre premier. On continue le processus que l'on peut
arrêter après avoir rayé les multiples de 7.
t 2 3 4
M s 7 S S ts
11 12 13 14 ts ts 17 ts 19 SS
21 22 23 24 SS SS ST SS 29 SS
31 SS SS S4 SS SS 37 SS SS 46
41 42 43 44 45 46 47 48 48 SS
St SS 53 54 SS SS ST SS 59 SS
61 SS SS 64 SS SS
H 68 SS TS
71 ts 73 74 TS TS TT TS 79 SS
St SS 83 S4 SS SS ST SS 89 SS
St SS SS S4 SS SS 97 88 SS lûû
La liste des nombres premiers inférieurs à 100 est donc :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97.
25
ÉRATOSTHÈNE de Cyrène (environ 200 av. J.-C.)
3. M arcel Pagnol.
Mais malheureusement cette proposition est fausse.
Pour x = 1, x + ( x + 2 ) + x ( x + 2 ) =1 + 3 + 1 x 3 = 7 donc la
proposition est vraie car 7 est bien un nombre premier.
Pour x = 3, x + ( x + 2 ) + x ( x + 2 ) = 3 + 5 + 3 x 5 = 2 3 donc la
Pour x = 5, x + ( x + 2 ) + x ( x + 2 ) = 5 + 7 + 5 x 7 = 4 7 donc la
Pour x = 7, x + (x + 2) + x ( x + 2 ) = 7 + 9 + 7 x 9 = 7 9 donc la
À ce niveau des calculs, on peut penser détenir une formule fabri
quant des nombres premiers ; hélas non ! Si x = 9 alors x + (x + 2)
+ x (x + 2) = 9 + 11+ 9 x 1 1 = 1 1 9 et 119 = 7 x 1 7 donc 119 n est
pas un nombre premier, c est un nombre composé.
Il existe bien des procédés qui perm ettent de donner des
nombres premiers mais les techniques sont très compliquées.
Nous sommes toujours à la recherche d'une formule simple
permettant de fournir des nombres premiers. À vos stylos !
4. autre réponse (aucun).

Le prix Nobel de mathématiques n existe pas. Certaines personnes
avancent comme explication une rivalité amoureuse entre Alfred
Nobel et un mathématicien suédois Mittag-Leffler, qui convoitait
le cœur de la maîtresse d'Alfred Nobel. Ce dernier, jaloux et crai
gnant que son rival ne remporte le prix, décida de ne pas distin
guer les mathématiques. Mais Nobel ne s'étant pas exprimé sur
ce sujet, le doute subsiste.
Pour compenser cette injustice, on a créé la m édaille Fields, décer
née tous les quatre ans à au plus quatre mathématiciens âgés de
moins de 40 ans. De nombreux mathématiciens français ont ainsi été
récompensés : L. Schwartz, J.-P. Serre, R. Thom, A. Grothendieck,
A. Cormes, L. Lafforgue, P.L. Lions, J.-C. Yoccoz, W. Wemer.
26
5. refusé un chèque de un m illio n de dollars.

Il existe de nombreuses conjectures non résolues dont les plus
importantes ont été regroupées en Tan 2000 dans les sept problèmes
du millénaire. Chaque problème est accompagné d un prix de un
million de dollars pour sa résolution. Entre 2002 et 2003, le mathé
maticien russe Grigori Perelman, né en 1966, « cheveux rares et
barbe de pope, les yeux dans le vague soulignés par d épais sour
cils » poste des courriers sur Internet signalant qu'il a résolu la
conjecture de Poincaré, définie comme une des sept énigmes du
millénaire. La communauté scientifique reconnaît ses mérites en
lui attribuant la médaille Fields, le 22 août 2006 à Madrid. Mais
Perelman la refuse, ainsi que les 9 500 dollars qui vont avec.
Perelman est coutumier du fait : n a-t-il pas déjà décliné en 1996 le
Prix du jeune mathématicien, décerné par la Société mathématique
européenne ? Jamais deux sans trois : Perelman fait savoir, le
22 mars 2010, qu'il n'ira pas chercher le Prix du millénaire de
un m illion de dollars qui lui a été officiellement décerné par le Clay
Mathematics Institute. Perelman, qui a abandonné ses fonctions à
l'Institut Steklov, refuse toute interview et vit tel un misanthrope
depuis quatre ans dans son petit appartement de Saint-Pétersbourg.
Il aurait cessé toute recherche. Quel est le plus extraordinaire : la
démonstration de la conjecture de Poincaré ou son refus d'un
chèque de un million de dollars ?
6. Thalès de M ilet et Pyth agore de Samos.

Thalès de M ilet est un m ath ém aticien grec qui, selon la
légende, a calculé la hauteur de la pyramide de Kheops en
mesurant la longueur de son ombre et la longueur d'un bâton.
THALÈS de MÜet
(fin du - début du VIe s.
vu * s. av. J.-C.)
27
Pythagore de Samos est un mathématicien grec connu des col

légiens pour le célèbre théorème :
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la
somme des carrés des deux autres côtés.
PYTHAGORE de Samos (VIe siècle av. J.-C.)
7. L a leçon d'E ugène Ionesco.

Il s agit d une pièce qui décrit un cours particulier à domicile.
Le professeur conteste le chiffre des unités du résultat alors que
c est le plus simple à trouver. Il suffit de prendre le dernier chiffre
du premier facteur, 1, et le dernier chiffre du dernier facteur, 8,
et de les m ultiplier ; on trouve alors que le dernier chiffre est 8.
Une bonne calculatrice donne :
3 755 998 251 x 5 162 303 508 = 19 389 602 947 179 164 508.
8. A lb ert Einstein.
Voilà qui est rassurant, mais d une part, Einstein a éprouvé
quelques difficultés dans certaines matières, mais pas en mathé
matiques, et d autre part tout est relatif, les difficultés d'Albert
Einstein étant sûrement très éloignées des difficultés que ma
femme rencontre au piano !
9. Lautréam ont (Isidore Lucien Ducasse, né le 4 avril 1846 à

Montevideo en Uruguay et mort le 24 novembre 1870 à Paris,
plus connu par son pseudonyme de Comte de Lautréamont).
Il s'agit d'un extrait des Chants de Maldoror - Chant II, Strophe 10 :
«Arithmétique ! algèbre ! géométrie ! trinité grandiose ! triangle lumi
neux ! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé ! Il méri
terait l'épreuve des plus grands supplices ; car, il y a du mépris
aveugle dans son insouciance ignorante ; mais, celui qui vous
connaît et vous apprécie ne veut plus rien des biens de la terre ; se
contente de vos jouissances magiques ; et, porté sur vos ailes
28
sombres, ne désire plus que de s'élever, d'un vol léger, en construi

sant une hélice ascendante, vers la voûte sphérique des deux. [ . . . ]
Ô mathématiques saintes, puissiez-vous par votre commerce per
pétuel consoler le reste de mes jours de la méchanceté de l'homme
et de l'injustice du Grand-Tout ! » C'est dit !
10. Évariste Galois.

Élève indiscipliné, dénigré par ses pairs, repris de justice, décédé à
21 ans... et pourtant un des plus grands noms de l'histoire des
mathématiques, Évariste Galois (1811-1832) cultive tous les para
doxes. Dans ses premières années, il ne se distingue pas par de
brillants résultats. Quand il s'inscrit à son premier cours de mathé
matiques en 1827, c'est une révélation. Boulimique, il assimile tous
les mathématiciens de son temps sans pour autant parvenir à se dis
cipliner : « il ne fait que causer du tourment à ses professeurs et de se
nuire avec toutes les punitions qu'il mérite », écrit le directeur à son
sujet. Son caractère rebelle lui joue sans doute des tours lorsqu'il rate
l'examen d'admission à l'École polytechnique en 1828 puis en 1829,
privilégiant ses recherches, dont témoignent plusieurs articles, au
détriment des travaux scolaires. Il se « rabat » sur l'École normale
dont il est diplômé fin 1829. Ses prises de position politiques lui
valent l'expulsion de l'École normale puis la prison. L'Académie des
sciences, qui égare un de ses manuscrits, n'est pas convaincue par
ses travaux. À peine sorti de prison, il perd la vie dans un duel pour
une h istoire de fem m e - « Je meurs victim e d'une infâme
coquette ! » -, après avoir eu le temps de résumer son œuvre
scientifique que les mathématiciens mirent plusieurs décennies à
assimiler.
Quelles découvertes Évariste Galois n'aurait-il pas faites s'il avait
vécu plus longtemps !
Évariste GALOIS (1811-1832)
29
« f r *{'V
i* * * J K . û k /'-to «
BÉÊ ***
m m r n T ™ ~ -
■ ■ »
C r t ^ m
M V
T3 ^ -=>_; fr*
Écrits laissés par Galois la veille de son duel
11. A n drew W iles.

Le Toulousain Pierre de Fermât (1601-1665) rédigea en 1637 sa
conjecture « Il n existe pas d'entiers naturels non nuis, x, y et z tels que
xn + yn= zn où n est un entier naturel strictement supérieur à 2 », écri
vant plus bas : « J'ai une démonstration véritablement merveilleuse de
cette proposition que cette marge est trop étroite pour contenir... » Acte
de naissance d une énigme qui allait le rester plus de trois siècles. En
effet, il faut attendre 1994 et le mathématicien anglais Andrew Wiles,
né en 1953, pour trouver une réponse définitive à cette conjecture
qui s'appelle désormais le théorème de Fermat-Wiles.
Andrew W iles ne put recevoir la médaille Fields lors du Congrès
international de mathématiques de 1998 à Berlin car celle-ci
est accordée uniquement aux mathématiciens âgés de moins
de 40 ans. Le plus impressionnant est la simplicité de l'énoncé de
la conjecture, compréhensible par un collégien, comparée à la
difficulté à laquelle se sont heurtés les plus grands mathémati
ciens des trois derniers siècles.
Mais Andrew Wiles utilisant pour sa démonstration des outils
mathématiques totalement inconnus au xvn6 siècle, on ne sait tou
jours pas si Fermât avait réellement la preuve de sa conjecture.
30
Pierre de FERMAT (1601-1665)
12. Sophie Germ ain.

Sophie Germain (1776-1831), célèbre mathématicienne française,
a découvert les mathématiques à 13 ans, donc en 1789, en lisant
dans la bibliothèque de son père un livre racontant les derniers ins
tants de la vie d'Archimède. La légende dit qu Archimède, pendant
le siège de Syracuse, occupé à résoudre un problème de géométrie
(la quadrature du cercle ?) n a pas entendu les ordres dun soldat
romain qui le sommait de déguerpir et s est donc fait embrocher.
Malgré l'interdiction de ses parents qui la privaient de bougies, de
couvertures et de chauffage, Sophie Germain continue ses lectures
et son apprentissage des mathématiques. Ne pouvant avouer publi
quement son intérêt pour cette discipline réservée aux hommes, elle
utilise un pseudonyme pour se procurer les cours de Lagrange de
l'École polytechnique.
Elle s'est intéressée au théorème de Fermât et aux nombres premiers.
D'ailleurs les nombres premiers n tels que 2n + 1 soit aussi un nombre
premier s'appellent les nombres premiers de Sophie Germain.
Sophie GERMAIN (1776-1831)
31
13. G eorges Buffon.

Plus connu com me naturaliste que com m e mathématicien,
Georges Buffon (1707-1788) s'est intéressé aux calculs des pro
babilités. On lui doit notamment ce résultat étonnant : si on lance
une aiguille de longueur L au hasard sur un parquet dont les lattes
ont une largeur égale à a, a étant supérieur à L, alors la probabilité
que l'aiguille soit à cheval sur deux lattes est (2L)/(a7i). Il suffit
donc de lancer un très grand nombre de fois une aiguille pour
obtenir une valeur approchée de n. À vos aiguilles !
14. Leon h ard Euler.

Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse, perd la vue
d'un œil par suite de fièvre, puis devient complètement aveugle
en raison d'une cataracte. Il continue néanmoins ses travaux en
dictant, à son fils et à son valet, théorèmes et démonstrations.
Son œuvre considérable aborde de nombreux domaines des
mathématiques. Euler, qui a dom iné les mathématiques du
xvme siècle, est considéré comme l'un des plus grands mathéma
ticiens de tous les temps.
Leonhard EULER (1707-1783)
Et pour finir, cette citation d'Euclide : « Si vous touchez aux

mathématiques, vous ne devez être ni pressés, ni cupides, fussiez-
vous roi ou reine. »
3
Loÿque on Ion sens
La logique
Les exercices suivants, de logique et de calculs numériques,

sont au programme de nombreux concours d'admission aux éco
les de commerce ou dans certains tests de quotient intellectuel
(Q I) auxquels sont souvent soumis des candidats à un emploi.
Signalons que le QI moyen est fixé à 100 et que 50 % de la
population possède un QI entre 90 et 110. Il existe des techniques
et des astuces communes que l'on retrouve dans beaucoup
d'épreuves ; donc si vous ratez un test de QI, ne soyez pas déses
péré, entraînez-vous et repassez-en un quelques semaines plus
tard : vos résultats seront sûrement meilleurs.
Mais à un moment donné vous atteindrez vos limites : une per
sonne sur dix mille possède un QI de 160 et une sur cent mille
a un QI de 175.
Voici un exemple de suite logique :
5 -9 -7 -1 1 -9 -1 3 -1 1 -...-...
Pour construire cette suite de nombres dont le premier terme
est 5, on ajoute 4 et on retranche 2 ; donc en poursuivant le pro
cédé, on obtient 15 - 13 - ...
1. Compléter la série logique suivante :

2 - 5 - 9 - 1 4 - ...
□ 20
□ 16
□ 18
□ 22
33

1 4 - 2 8 - 3 1 2 - 4 1 6 - 5 2 0 - ...
□ 650
□ 1040
□ 624
□ 888

255-366-497-648-...
□ 825
□ 749
□ 819
□ 763

5 - 1 7 - 5 3 - 161 - 4 8 5 - . . .
□ 1957
□ 1457
□ 587
□ 781

248 (Q ) 261 (S ) 782 (H ) 734 (...)
□ Q
□ t
□ d
□ s
X X I (5) IV (3) X X X V (8) X V II (...)
□ 7
□ 17
□6
□ 10
Quatre (17) Cinq (3) Deux (4) Six (...)
□6
□ 19
□ 10
□8
34
LA LOGIQUE

45
81
12 20 ... 44 48
18
27
□ 40 □ 36
□ 32 □ 38

ï
81
216 125 ... 27 1
121
25
□ 64 □ 241
□ 36 B 4

242
111
628 123 ... 415 235
434
888
□ 909 □ 999
□ 555 □ 336

2472
159
648 62525 ... 11 12111
87
771
□ 497 □ 366
□ 294 □ 164
35
12. J'ai roulé à la vitesse de 100 km/h sur 50 km puis à la

vitesse de 50 km/h sur 100 km. Quelle est ma vitesse moyenne
sur l'ensemble du parcours ?
G 60 km/h
G 65 km/h
□ 70 km/h
G 75 km/h
13. Alain a trois fois plus de livres de mathématiques qu'Axel,

et ensemble ils en ont 60. Combien Axel a-t-il de livres de mathé
matiques ?
14. Quatre maçons travaillant à la même vitesse mettent deux

jours pour monter un tiers d'un mur puis finalement laissent l'un
d'entre eux finir le travail. Combien de temps va-t-il mettre ?
G 6 jours
G 8 jours
G 10 jours
G 16 jours
15. Un professeur dit à son élève qui vient de faire deux

devoirs : « La plus petite de tes deux notes est inférieure à 8. »
L'élève peut en conclure que :
G les deux notes sont supérieures à 8
G les deux notes sont inférieures à 8
G une note est inférieure à 8 et l'autre est supérieure à 8
G autre possibilité
16. Un professeur dit à son élève qui vient de faire deux

devoirs : « La plus petite de tes deux notes est supérieure à 8. »
L'élève peut en conclure que :
G les deux notes sont supérieures à 8
G les deux notes sont inférieures à 8
G une note est inférieure à 8 et l'autre est supérieure à 8
G autre possibilité
17. Pour se distraire ou par provocation, un procureur de la

République dit à un homme politique accusé de corruption :
« Puisque vous aimez parler, je vous laisse une ultime chance en
vous donnant la parole une dernière fois. Si ce que vous dites
est vrai, je vous condamne à 10 ans d'inéligibilité, mais si c'est
36
LA LOGIQUE
faux, je vous condamne à 20 ans d'inéligibilité. » Quelques mois

après, le politicien se présente à des élections.
Que s'est-il passé ?
18. Déplacer une barre pour que l'égalité soit vraie.
19. La proposition mathématique « Si 1 = 0 alors ABC est un

triangle rectangle en A » est :
G une proposition vraie
G une proposition fausse
20. La négation de la phrase « ABC est un triangle rectangle

et isocèle » est :
G ABC est un triangle non rectangle ou non isocèle
G ABC est un triangle non rectangle et non isocèle
G ABC est un triangle rectangle qui n'est pas isocèle
G ABC est un triangle isocèle qui n'est pas rectangle
37
Réponses
1. 20.
On passe de 2 à 5 en ajoutant 3, de 5 à 9 en ajoutant 4, de 9 à
14 en ajoutant 5 donc on ajoute 6 à 14 pour obtenir 20.
2. 624.
On multiplie le premier chiffre du nombre par 4.
14 : 1 x 4 = 4 ; 28 : 2 x 4 = 8 ; 312 : 3 x 4 = 12 ; 416 : 4 x 4 = 16 ;
520 : 5 x 4 = 20 ; 624 : 6 x 4 = 24.
3. 819.
Les deux premiers chiffres proviennent du carré du dernier.
255 : 25 = 52 ; 366 : 36 = 62 ; 427 : 49 = 72 ; 648 : 64 = 82 ;
£19 : 81 = 92.
4. 1457.
On multiplie par 3 puis on ajoute 2.
17 = 3 x 5 + 2 ; 53 = 3 x 17+ 2; 161 = 3 x 5 3 + 2;
485 = 3 x 161 + 2 ; 1457 = 3 x 485 + 2.
5. T.
La lettre entre les parenthèses est la première lettre du deuxième
chiffre constituant le nombre.
248 : le deuxième chiffre est Quatre.
261 : le deuxième chiffre est Six.
782 : le deuxième chiffre est Huit.
734 : le deuxième chiffre est Trois.
6. 6.
Il suffit de compter les bâtons constituant les chiffres romains.
7. 19.
Le chiffre entre les parenthèses égale le rang dans l'alphabet de
la première lettre du mot constituant le nombre associé.
Quatre : Q occupe la dix-septième position dans l'alphabet.
Cinq : C occupe la troisième position.
Deux : D occupe la quatrième.
Six : S occupe la dix-neuvième position.
38
LA LOGIQUE
8 . 36 .
La colonne contient des multiples de 9 et la ligne contient des
multiples de 4. Le seul nombre correspondant à ces deux critères
est 36.
9. 64.
La colonne contient des carrés et la ligne contient des cubes. Le
seul nombre proposé qui soit à la fois un cube et un carré est
64, qui est le carré de 8 et le cube de 4.
10. 909.
La colonne est constituée de nombres palindromes (on peut les
lire dans les deux sens).
Pour la ligne, le dernier chiffre égale la somme des deux premiers
chiffres.
Le seul nombre répondant à ces deux critères est 909.
11.366.
Dans la colonne, on constate que la somme des chiffres égale 15.
2 + 4 + 7 + 2 = 15 ; 1 + 5 + 9 = 15 ; 8 h- 7 = 15 ; 7 + 7 + 1 = 15.
Pour la ligne, on obtient les premiers chiffres en élevant au carré
le dernier.
64 = 82 ; 625 = 252 ; 1 = l 2 ; 121 = 112.
Le seul nombre correspondant à ces deux critères est 366.
12. 60 km/h.
Déterminons le temps écoulé dans les deux cas.
J'ai roulé à la vitesse de 100 km/h sur 50 km donc le temps de
parcours est de 0,5 h.
Puis j ai roulé à la vitesse de 50 km/h sur 100 km, ce qui corres
pond à un temps de parcours de 2 h.
Ainsi j'ai roulé durant 2,5 h et parcouru 150 km. M a vitesse
moyenne est donc 150/2,5 soit 60 km/h.
13. 15.
Il y a trois parts pour Alain et une part pour Axel donc on divise
60 par quatre. Alain a 45 livres de mathématiques et Axel 15.
14. 16 jours.
Quatre maçons mettant deux jours pour effectuer un travail, un
seul maçon mettrait quatre fois plus de temps soit huit jours
39
pour construire un tiers d un mur donc deux fois plus pour les
deux tiers restants, soit seize jours.
15. autre possibilité.

La plus petite des deux notes est inférieure à 8 mais la deuxième
peut être inférieure ou supérieure à 8.
16. les deux notes sont supérieures à 8.

Si la plus petite des deux notes est supérieure à 8, la deuxième
plus grande que la plus petite est nécessairement supérieure à 8.
Nous avons des raisonnements analogues avec la plus grande des
deux notes. Si le professeur dit à l'élève : « la plus grande de tes
deux notes est supérieure à 12 », l'élève ne pourra rien en déduire
pour la deuxième note, mais s'il lui dit : « la plus grande de tes
deux notes est inférieure à 12 », alors l'élève en déduira que les
deux notes sont inférieures à 12.
17. le politicien a répondu au procureur : « Je serai

condamné à 20 ans d’inéligibilité. »
Si cette affirmation est vraie alors il faut le condamner à 10 ans
d'inéligibilité, mais alors son affirmation devient fausse.
Si cette affirmation est fausse alors il faut le condamner à 20 ans
d'inéligibilité, mais alors son affirmation devient vraie.
Finalement, il n'est pas condamné !
18 . V T = I.
Évidemment, il faut un minimum de connaissances mathémati
ques, notamment savoir que la racine carrée de 1 égale 1.
19. est une proposition vraie.

Je vous rassure : 1 = 0 est une proposition fausse mais la propo
sition citée est une implication et on convient en mathématiques
que P implique Q est vraie si P est fausse.
Pour démontrer que Q est vraie il faut utiliser : si P est vraie et
si P implique Q est vraie alors Q est vraie.
Dans certains discours politiques, on utilise parfois P implique Q
pour démontrer que Q est vraie sans vérifier que P est vraie !
Attention à ne pas confondre une proposition et sa réciproque.
Par exemple, « si a = 0 alors ab = 0 » est une proposition vraie.
En effet si un nombre est nul alors son produit par n'importe
quel réel sera nul.
40
LA LOGIQUE
Mais la proposition réciproque « si ab = 0 alors a = 0 » est fausse.

En effet, a n est pas nécessairement nul, cela peut être b.
Nous trouvons des exemples en géométrie : « Si deux droites sont
perpendiculaires alors elles sont sécantes (elles se coupent) » mais
la réciproque est fausse, et dans la vie quotidienne, « Si j'ai gagné
deux millions au loto alors j'ai joué au loto » mais malheureuse
ment la réciproque est fausse contrairement à ce que voudrait
nous faire croire la publicité.
Si la réciproque est vraie alors on dit que les deux propositions sont
équivalentes. Par exemple, « ab = 0 équivaut à a = 0 ou b = 0 ».
Racontons à ce propos une anecdote qui concerne Bertrand Russel

(1872-1970), mathématicien, philosophe et homme politique.
Un étudiant en philosophie demanda à Russel quelques éclair
cissements :
« Prétendez-vous que de 2 + 2 = 5, il s'ensuit que vous êtes le
Pape ? »
« Oui », fit Russel.
L'étudiant étant sceptique, Russel proposa la démonstration sui
vante :
« (1) Supposons que 2 + 2 = 5.
(2) Soustrayons 2 de chaque membre de l'identité, nous obte
nons 2 = 3.
(3) Par symétrie, 3 = 2 .
(4) Soustrayons 1 de chaque côté, il vient 2 = 1.
Maintenant, le Pape et m oi sommes deux.
Puisque 2 = 1, le Pape et m oi sommes un.
Par suite, je suis le Pape. »
En littérature, les exemples de syllogismes ne manquent pas : sur

l'exemple arithmétique de tout ce qui est rare est cher, un cheval
bon marché est rare, donc un cheval bon marché est cher.
Ionesco, toujours lui, fait dire à l'un de ses personnages : « Tous
les chats sont mortels. Socrate est mortel. Donc Socrate est un
chat. »
20. ABC est un triangle non rectangle ou non isocèle.

Considérons deux propositions mathématiques notées P et Q.
La négation de P et Q est alors non P ou non Q.
4
Zéro, un, deux, trois...
Les nombres
« Il y a trois sortes de mathématiciens, ceux qui savent compter

et ceux qui ne savent pas. »
Ce chapitre aborde les principaux ensembles de nombres étu

diés du cours préparatoire à la classe de terminale.
Le plus simple d'entre eux est l'ensemble des entiers naturels.
Ce dernier conduit à un des domaines les plus difficiles des
mathématiques, l'arithmétique, qui figure au program me de
l'enseignement de spécialité des terminales S.
Bien que n'utilisant que les nombres 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, ..., l'arithmétique comporte de nombreuses conjectures non
résolues résistant aux plus grands mathématiciens.
Nous verrons que, parmi les entiers naturels, certains nom
bres, 2, 3, 5, 7, ..., occupent une place privilégiée.
Nous aborderons les mathématiques sous l'angle orthographique,
c'est-à-dire que nous apprendrons comment écrire les nombres
en toutes lettres sans faire de fautes : faut-il accorder les pluriels,
séparer les nombres par un tiret... ?
1. Combien écrira-t-on de chiffres si on écrit tous les nombres

de 1 à 100 ?
□ 100
□ 189
□ 190
□ 192
42
LES NOMBRES
2. Combien valent 2 + 6 x 3 ?
□ 24
□ 20
3. Le quart du tiers de 36 égale :
□ 3
□6
□ 9
□ 12
4. Un quart plus deux moitiés donnent :
□ 3/4
□ 5/4
□ l
□ 1,5
5. Comment écrire en toutes lettres 380 ?

□ trois cent quatre-vingt
□ trois cents quatre-vingt
□ trois cents quatre-vingts
□ trois cent quatre-vingts
6. Comment écrire en toutes lettres 408 000 ?

□ quatre cent huit mille
□ quatre cents huit mille
□ quatre cents huit milles
□ quatre cent huit milles
7. Comment écrire en toutes lettres 284 869 444 555 ?

□ deux cent quatre vingt quatre billions huit cent soixante neuf
millions quatre cent quarante quatre mille cinq cent cinquante cinq
□ deux-cent-quatre-vingt-quatre-billions-huit-cent-soixante-
n eu f-m illions-qu atre-cent-quarante-quatre-m ille-cinq-cent-
cinquante-cinq
□ deux cent quatre-vingt-quatre billions huit cent soixante-neuf
millions quatre cent quarante-quatre mille cinq cent cinquante-cinq
8. Quelle orthographe choisir ?

□ j'ai dépensé 1,99 euros et quelques milliers de dollars
□ j'ai dépensé 1,99 euros et quelques millier de dollars
□ j'ai dépensé 1,99 euro et quelques milliers de dollars
□ j'ai dépensé 1,99 euro et quelques m illier de dollars
43
9. Combien valent trente et un quart ?

□ 31/4
□ 121/4
□ 30/4
10. Compléter la suite logique suivante :

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
□ 15
□ 16
□ 17
□ 18

2 et 3, 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, ... e t ...
□ 14 et 15
□ 15 et 16
□ 23 et 17
□ 2 003 663 613 x 2195000-1 et 2 003 663 613 x 2195000 + 1
12. 22-l, 23-l, 25-l, 27-l sont appelés nombres premiers de Mer-
senne. Quel est le suivant de la série ?
□ 29-l □ 2U-1 □ 2I3-1
13. Les nombres appelés nombres parfaits sont les nombres :

□ 6, 28, 496, 8 168, ...
□ 1, 10, 100, 1 000, ...
□ 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
□ 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...

3, 5, 17, 257, 65 537, ...
□ 232 167
□ 4 294 967 297
□ 2 414 254 112
□ 7 214 253 3681*
5
15. Les nombres 88, 4 554, 27 899 872, 2 662 sont :

□ des nombres premiers
□ des nombres parfaits
□ des nombres palindromes
□ des nombres divisibles par 11
44
LES NOMBRES
16. La conjecture « tout nombre entier naturel pair différent

de 2 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers »
est appelée :
G la conjecture de Poincaré
G la conjecture de Goldbach
G la conjecture de Fermât
17. 7r ou racine carrée de 2 sont des nombres :

G entiers relatifs
G irrationnels
G rationnels
G décimaux
18. On appelle N l'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire

l'ensemble des nombres 0, 1, 2, 3, 4, et Z l'ensemble des
entiers relatifs, c'est-à-dire l'ensemble des nombres ..., - 3, - 2 ,
- 1 , 0 , 1,2,3, ...
Quelle est la proposition exacte ?
G Z a plus d'éléments que N
G Z a moins d'éléments que N
G Z a autant d'éléments que N
19. Combien vaut la somme suivante ?

S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
G 0,9
0 0,99
01
G l'infini2
0
20. L'écriture de 10 en base 2 est :

G 111
G 1010
G 101
O 10
45
Réponses
1. 192.
Pour écrire les nombres de 1 à 9, nous utilisons neuf chiffres.
Chaque nombre de 10 à 99 a deux chiffres, donc pour écrire tous
les nombres de 10 à 99, nous utilisons 2 x 90 = 180 chiffres.
En effet, de 10 à 99, il y a 99 - 10 + 1 nombres, soit 90 nombres.
Et, enfin, écrire 100 nécessite 3 chiffres.
Le bilan : 9 + 180 + 3 = 192.
2. 20.
La multiplication est prioritaire sur l'addition donc on effectue
6 x 3 = 18 puis on ajoute 2, ce qui donne 20. Pour obtenir 24, il
faut rajouter des parenthèses : (2 + 6) x 3 = 8 x 3 = 24.
3. 3.
Le tiers de 36 est 12 et le quart de 12 est 3.
4. 5/4.
Deux moitiés égalent un, et un quart plus un donnent cinq quarts.
5. trois cent quatre-vingts.

Les nombres vingt et cent prennent la marque du pluriel lorsqu'ils
ne sont pas suivis d'un autre nombre (quatre-vingts, deux cents...)
mais on écrit quatre-vingt-deux, quatre-vingt mille, deux cent trois,
huit cent mille. Attention, vingt et cent s'accordent s'ils sont suivis
d'un nom de quantité (millier, million, milliard...) qui reste un sub
stantif. On écrit donc deux cents milliers, deux cents millions.
6. quatre cent huit mille.

Mille ne prend jamais la marque du pluriel. Mille est invariable.
7. deux cent quatre-vingt-quatre billions huit cent soixante-

neuf millions quatre cent quarante-quatre mille cinq cent
cinquante-cinq.
Les adjectifs numéraux composés inférieurs à 100 et ne comportant
pas la préposition et sont unis par un trait d'union.
En ce qui concerne les grands nombres nous avons :
1 000 : mille
1 000 000 : million
46
LES NOMBRES
1 000 000 000 : milliard

1 000 000 000 000 : billion
1 000 000 000 000 000 : trillion
8. j ’ai dépensé 1,99 euro et quelques milliers de dollars.

Le pluriel commence à 2. Un nombre compris entre 0 et 2, mais
strictement inférieur à 2, ne prend pas la marque du pluriel.
Millier, million, milliard, billion, trillion... sont des noms communs
et ils prennent la marque du pluriel lorsqu'ils sont multipliés.
9. 121/4.
Quand on écrit trente et un quart sans s à quart, on parle de 30
et 1/4 donc de 30 + 1/4 = 120/4 + 1/4 = 121/4. Pour parler de 31/4,
il faut écrire trente et un quarts.
10. 17.
Il s'agit de la suite des nombres premiers.
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement
deux diviseurs positifs : un et lui-même. Le nombre 1 n'est donc
pas premier.
Euclide a démontré qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Dans le chapitre sur les grands mathématiciens, nous avons vu
comment Ératosthène a trouvé un algorithme permettant d'obtenir
les premiers nombres premiers qui sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...
Un nombre qui n'est pas premier est appelé nombre composé.
Tout nombre entier strictement supérieur à 1 peut s'écrire
comme produit de nombres premiers. C'est la décomposition
d'un nombre en produit de facteurs premiers.
Par exemple :
15 = 3 x 5
20 = 2 x 2 x 5 = 22x 5
126 = 2 x 3 x 3 x 7 = 2 x 32 x 7
2 823 730 056 = 23 x 32 x 72 x 17 x 232 x 89
Les nombres premiers sont utilisés dans de nombreuses situations
et notamment dans la sécurité informatique. Il est facile de décom
poser en produit de facteurs prem iers de petits nombres ;
d'ailleurs, cette technique fait partie du programme de troisième.
Mais cela devient extrêmement difficile et demande un temps
très long pour des nombres contenant plusieurs centaines de
chiffres. Une technique de codage, le système RSA (du nom de
47
Rivest, Shamir et Adleman), utilise cette difficulté : le codeur

choisit deux très grands nombres premiers p et q puis effectue
le produit n = p x q. Pour décoder le message, il est nécessaire
de déterminer p et q, ce qui n'est pas possible pour n contenant
plusieurs centaines de chiffres.
11. 2 003 663 613 x 2195000-1 et 2 003 663 613 x 2195000 + 1.

Les premières séries donnent des nombres premiers jumeaux.
Ce sont des nombres premiers qui ne diffèrent que de 2.
Les deux séries 14 et 15, 15 et 16 contiennent des nombres qui ne
sont pas premiers et 19 et 23 ne sont pas jumeaux.
La seule possibilité reste donc :
2 003 663 613 x 2195000-1 et 2 003 663 613 x 2195000 + 1
qui sont les plus grands nombres premiers jumeaux connus à ce
jour. Ces deux nombres possèdent plus de 50 000 chiffres dans
leur écriture décimale. On ignore toujours s'il existe une infinité
de nombres premiers jumeaux.
12. 213- 1.
22-l, 23-l, 24-l, 25-l, 26-l, 27-l, ... sont des nombres de Mersenne.
Pour comprendre la construction d'un nombre de Mersenne, il
est nécessaire de posséder quelques notions sur les puissances.
Pour simplifier l'écriture d'un produit de facteurs tous égaux
comme 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 , on écrit 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 6.
Ainsi 21= 2, 22= 4, 23= 8, 24 = 16, 25= 32, 26= 64, ...
Les nombres prem iers de Mersenne s'écrivent 2P-1 et sont
premiers.
Il est nécessaire que p soit premier pour que 2P-1 le soit mais la
condition n'est pas suffisante, la preuve : 2n-l = 2 047 = 23 x 89,
ce qui prouve que 2n-l est un nombre composé.
213-1 = 8 191 est un nombre premier.
Le plus grand nombre premier connu à ce jour est un nombre
premier de Mersenne : 242643801-l découvert en 2009 (c'est le
47e nombre premier de Mersenne connu), il possède treize m il
lions de chiffres.
La chasse est ouverte pour la découverte du 48e nombre premier

de Mersenne. L'Electronic Frontier Foundation offre des prix de
calcul coopératif afin d'encourager les internautes à contribuer
à la résolution de problèmes scientifiques par le calcul distribué
( t r ai te me nt d'un calcul sur plusieurs ordi nateurs) . Les
48
LES NOMBRES
50 000 dollars pour la découverte d'un nombre prem ier d'au

moins un million de chiffres ont été remportés en 2000 par le
GIM PS (Great Internet Mersenne Prime Search) mais il reste un
prix de 150 000 dollars pour la découverte dun nombre premier
d'au moins cent millions de chiffres et un de 250 000 dollars
pour la découverte d'un nombre premier d'au moins un milliard
de chiffres. Si vous êtes intéressé, alors vous pouvez ajouter votre
ordinateur aux milliers d'autres qui traquent dans le monde
entier un nouveau nombre premier de Mersenne.
Marin MERSENNE (1588-1648)
13. 6, 28, 496, 8 168, ...

Un n om bre p arfait est un nombre entier naturel non nul égal à
la somme de ses diviseurs stricts (les diviseurs de cet entier natu
rel autres que lui-même).
Les diviseurs stricts de 6 sont 1, 2, 3 et 1 + 2 + 3 = 6.
On suggéra l'hypothèse que Dieu aurait créé le monde en 6 jours
parce que 6 est un nombre parfait.
Les diviseurs stricts de 28 sont 1, 2,4, 7, 14 et 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 1 2 7 + 2 5 4 + 5 0 8
+ 1 016 + 2 032 + 4 064
À ce jour, on ignore toujours s'il existe des nombres parfaits
impairs.*1
4
14. 4 294 967 297.

Il s'agit du cinquième nom bre de Fermât.
Le premier nombre de Fermât est F { = 22 + 1 donc Fj = 5.
Le second est F2= 22* + 1 = 24 + 1 soit F2= 17.
49
On continue, en prenant conscience que les nombres vont rapi

dement devenir très grands.
F3= 21 *23 + 1 = 28 + 1 soit F3= 257.
7
F4= 22" + 1 = 216 + 1 soit F4= 65 537.
Vous pouvez constater que les nombres F^ F2 F3 F4 sont des
nombres premiers. Fermât pensait à tort que cela se généra
lisait à tous ces nombres, mais Euler prouva que cette affir
m ation était fausse en rem arquant que Fs = 4 294 967 297
= 641 x 6 700 417.
15. des nombres palindromes et des nombres divisibles

par 11.
Un nombre palindrome est un nombre qui garde la même valeur
quand on le lit à l'envers.
De la même manière, un palindrome est un mot ou un groupe
de mots pouvant être lu indifféremment de gauche à droite ou
de droite à gauche.
Signalons que les nombres palindromes constitués d'un nombre
pair de chiffres sont divisibles par 11.
929 et 10 301 sont des nombres premiers et palindromes.
16. la conjecture de Goldbach.

On peut la vérifier pour les premiers nombres :
4 = 2 + 2 , 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3 , 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7
Ensuite, on peut choisir un nombre plus grand, par exemple 2 010,
et chercher deux nombres premiers dont la somme égale 2 010 :
2 010 = 13 + 1 997
Encore plus grand, 12 100 = 8 087 + 4 013.
La plupart des grands mathématiciens pense que la conjecture
de Goldbach est vraie mais, à ce jour, elle n'a toujours pas été
prouvée ou infirmée.
17. irrationnels.
À l'école primaire en cours préparatoire, on étudie les nombres
entiers naturels : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
Ces nombres suffisent pour résoudre des équations telles que
x + 4 = 1 2 o u 2 x + 4 = 8 dont les solutions sont respectivement
x = 8 et x = 2.
Mais l'équation x + 8 = 2 (par exemple à quelle température faut-
il ajouter 8 °C pour obtenir 2 °C) n'a pas de solution dans l'ensemble
des entiers naturels ; il a donc fallu inventer un nouvel ensemble
50
LES NOMBRES
de nombres constitué des entiers relatifs : ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Celui-ci est pour l'instant toujours étudié en sixième. L'équation
x + 8 = 2 admet x = -6 comme solution.
Mais l'équation 2x = 1 n'a pas de solution dans l'ensemble des
nombres relatifs, les mathématiciens ont donc inventé un nou
vel ensemble de nombres, l'ensemble des nombres décimaux ;
l'équation 2x = 1 admettant dans cet ensemble la solution
x = 0,5.
Puis viennent les équations du type 3x = 1 (partager un mètre en
trois parties égales) qui nécessitent l'introduction des nombres
rationnels. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire
sous la forme d'une fraction. Les nombres rationnels ont suffi
pendant des siècles, jusqu'au jour où un géomètre a construit un
carré dont l'aire égale 2.
Une démonstration assez simple montre que l'équation x2= 2 n'a
pas de solution dans l'ensemble des nombres rationnels. Mais
alors y aurait-il une contradiction en mathématiques ? Serait-on
capable de construire un carré mais dans l'impossibilité de cal
culer la longueur de ses côtés ? Eh bien non, il suffisait de cons
truire un nouvel ensemble de nombres, l'ensemble des nombres
réels, qui contient tous les nombres cités précédemment, aux
quels on a rajouté les nombres comme racine carrée de deux,
racine carrée de trois...
Ce nouvel ensemble de nombres est l'ensemble des réels ; il s'étu
die au collège en classe de troisième.
À chaque point d'une droite, on peut associer un nombre réel et
inversement à chaque réel on associe un point de la droite ; il y
a autant de points sur une droite que de nombres réels.
Pouvons-nous résoudre toutes les équations à l'aide des nombres
réels ? Non, par exemple pas celle-ci : x2= -1.
Bien, vous avez compris le principe : on crée un nouvel ensemble
de nombres, l'ensemble des nombres complexes dont seuls les
élèves de terminale S feront la connaissance.
18. Z a autant d’éléments que N.

Les non-mathématiciens ont dû se tromper en tenant le raison
nement suivant : dans Z il y a tous les entiers naturels donc N
est contenu dans Z qui possède en plus des nombres comme -1
qui ne sont pas entiers naturels donc Z a plus d'éléments que
N. Mais N et Z ne sont pas des ensembles finis, il faut donc se
méfier.
51
Étudions la correspondance suivante :
—3 — ► 6
—2 —►4
—1 — » 2
0-0
1—1
2 — >3
Les mathématiciens appellent cette relation une bijection. À chaque

entier relatif, on associe un entier naturel et inversement à chaque
entier naturel correspond un unique entier relatif. Ceci prouve
qu'il y a autant d'éléments dans N que dans Z . En définitive, on
finit par l'accepter en se disant qu'avec des ensembles qui contien
nent une infinité d'éléments, tous les infinis se ressemblent. Eh
bien non, ce n'est pas si simple, car il y a plus de réels entre 0
et 1 que d'entiers relatifs dans Z ! Je vous laisse méditer et j'espère
que cela vous donnera envie d'en savoir plus sur les nombres.
19. 1.
Cette somme égale 1. On peut le démontrer en utilisant des argu
ments algébriques, mais aussi géométriques. Partons d'un carré
de côté 1 ; son aire égale 1. Partageons ce carré en deux rectan
gles superposables, chacun ayant une aire égale à 1/2.
Ensuite, nous partageons un des deux rectangles en deux carrés
superposables d'aire égale à 1/4. Puis, nous divisons un des deux
carrés en deux rectangles d'aire égale à 1/8. On continue ainsi de
suite en divisant les carrés en rectangles et les rectangles en deux
carrés. On obtient la figure suivante :
L'aire totale du carré est égale à la somme des aires des rectangles
et des carrés obtenus donc égale à 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... et comme
l'aire du carré de départ égale 1, on a 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
52
LES NOMBRES
20 . 1010.
En base 10, on a :
18 = 1 x 10 + 8
245 = 2 x 102 + 4 x 10 + 5
3 458 = 3 x 103 + 4 x 102 + 5 x 10 + 8.
On procède de la même manière en base 2 en utilisant 1, 2', 22,
2\ 2\ ... à la place de 1, 10, 102, 103, 104, ...
Un nombre écrit en base 2 ne contient que des 1 ou des 0.
Écriture décimale Écriture en base 2

0 0
1 1
2 10 2 = 1x 2 + 0
3 11 3= 1x 2 + 1
4 100 4 = l x 2 2+ 0 x 2 + 0
5 101 5 = 1 x 22 + 0 x 2 + 1
6 110 6 = 1 x 22 + 1 x 2 + 0
Ainsi, le nombre que l’on veut écrire en base 2 sera décomposé

en somme de puissances de 2.
10 = 8 + 2 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 + 0 donc l’écriture de 10 en
base 2 est 1010.
Écrivons 2 010 en base 2.
Les puissances de 2 sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,
1 024, 2 048, 4 096, ...
2 010 = 1 024 + 986
2 010 = 1 024 + 512+474
2 010 = 1 024 + 512+256 + 218
2 010 = 1 024 + 512+ 256 +128 + 90
2 010 = 1 024 + 512+ 256 + 128 + 64 + 26
2 010 = 1 024 + 512+ 256 + 128 + 64 + 16 + 10
2 010 = 1 024 + 512+ 256 + 128 + 64 + 16 + 8 + 2
2 010 = 1 x 210 + 1 x 29 + 1 x 28 + 1 x 27 + 1 x 26 + 0 x 25 + 1 x 24
+ I x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 + 0
donc l'écriture de 2 010 en base 2 est 11111011010.
Nous pouvons conclure qu'il y a 10 sortes de gens au monde :
ceux qui comprennent la notation binaire et ceux qui ne la com
prennent pas !
5
le loto, le casino, les paris
Les probabilités et les statistiques
Les sites du type « Comment gagner plus d'argent au loto ou

à l'Euro Millions » ou « Augmentez vos chances avec nos méthodes
de paris sportifs » fleurissent et leur nombre va s'accroître avec
la libéralisation des secteurs du pari sportif sur Internet. Dans
certaines revues, nous pouvons lire que « vu la méforme du
numéro 12, il convenait de ne pas le jouer mais la form e du
numéro 13 incitait à lui accorder un grand crédit ». Non, il ne
s'agit pas d'une revue turfiste évoquant la forme physique des
chevaux, mais des numéros des boules sorties ou non lors des
précédents tirages. Il est bon de rappeler que les tirages étant
supposés indépendants et l'hypothèse d'équiprobabilité respec
tée, chaque numéro a la même probabilité de sortir. En suppo
sant que le numéro 9 soit sorti lors des dix précédents tirages, il
a, au onzième tirage, la même probabilité d'apparaître que les
autres numéros. Une boule n'a pas une mémoire et un sens de
l'équité qui lui interdiraient de sortir au onzième tirage !
1. Sachant que le pactole du loto est de 2 millions d'euros, est-

il avantageux de faire toutes les grilles possibles pour être certain
de le gagner ?
(Petit rappel : au loto, le tirage s'effectue sur 6 numéros. Il
convient d'en cocher 5 sur une grille de 49, puis 1 sur une grille
de 10. La mise pour une grille est de 2 euros.)
□ oui G non G cela dépend
54
LES PROBABILITÉS ET LES STATISTIQUES
2. On place un singe devant une machine à écrire qui tape

5 lettres au hasard et on vous place devant une grille du loto. On
compare la probabilité que le singe tape le mot « perdu » à la pro
babilité que vous avez de gagner au loto (trouver les 6 numéros) :
□ le singe a plus de chance de taper « perdu » que vous de gagner
au loto
□ le singe a moins de chance de taper « perdu » que vous
de gagner au loto
□ le singe a autant de chance de taper « perdu » que vous de
gagner au loto
3. Pierre a deux enfants. Sachant que l'un au moins est un

garçon, quelle est la probabilité que le deuxième soit une fille ?
□ 1/2
□ 1/3
□ 2/3
4. Dans une classe de 30 élèves, la probabilité, en pourcentage,

que 2 élèves au moins aient la même date d'anniversaire est :
□ 2%
□ 5%
□ 10%
□ 71 %
5. Dans un tiro ir de com m ode se trouvent 10 paires de

chaussettes différentes et mélangées. Combien faut-il prendre
de chaussettes pour être certain d'obtenir 2 chaussettes non
dépareillées ?
□ 10
□ il
□ 20
6. Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On
tire successivement, et sans remise, deux boules de l'urne. Le
nombre de cas possibles est :
□6
□ 12
□ 16
55
7. On lance 100 fois une pièce parfaitement équilibrée, qui

tom be 90 fois sur « pile ». Quelle est la probabilité qu'elle
tombe sur pile au 101e lancer ?
□ 90/101
□ 90/100
□ 91/100
□ 1/2
8. À la roulette, je mise 1 euro sur le noir, mais le rouge sort.

Persévérant, je mise 2 euros sur le noir mais le rouge sort de
nouveau. Venu au casino avec des réserves, je mise 4 euros sur
le noir, mais le rouge persiste. Je continue ainsi en doublant à
chaque fois ma mise. Au onzième coup, je finis par gagner.
Sachant que, quand la couleur sort, le croupier doit vous verser
le double de votre mise, j'ai finalement :
□ perdu de l'argent
□ gagné 1 euro
□ gagné 512 euros
□ gagné 1 024 euros
9. Est-il plus avantageux de parier sur l'apparition d'un 6 en

lançant 4 fois le dé, que sur l'apparition d'un double 6 en lançant
24 fois deux dés ?
□ oui
□ non
10. À l'hippodrome de Vincennes, il y a 18 partants. Pour être

certain de gagner le quinté dans l'ordre, on décide de faire tous les
quintés possibles. Quel est le nombre total de quintés ?
□ environ 1 000
□ environ 10 000
□ environ 100 000
□ environ 1 000 000
11. Dans une classe de 32 élèves tout le monde se dit bonjour

en se serrant la main. Combien de poignées de mains sont ainsi
échangées ?
□ 32 x 32
□ 32 x31
□ (32 x 31)/2
56
12. Dans une classe de 11 élèves, on a relevé les notes suivantes :

0, 0, 0, 0, 4, 6, 20, 20, 20, 20, 20
Quelles sont la moyenne et la médiane ?
□ la moyenne est 11 et la médiane est 11
O la moyenne est 10 et la médiane est 6
13. Le code d’ouverture d’un coffre-fort est un nombre de

5 chiffres. Combien de codes différents peut-on faire ?
□ 50
□ 120
□ 1 000
□ 3 125
□ 30 240
□ 100 000
14. Le code d’ouverture d'un coffre-fort est un nombre de
5 chiffres différents. Combien de codes différents peut-on faire ?
□ 50
□ 120
□ 1 000
□ 3 125
□ 30 240
□ 100 000
57
Réponses
1. non.
Au loto, on choisit 5 numéros p arm i 49, ce qu i don n e
1 906 884 possibilités, puis un numéro parmi 10. Le nombre
total de combinaisons est donc 19 068 840.
En misant 2 euros par grille, il faut avancer la som me de
38 137 680 euros pour un pactole de 2 millions d euros.
En supposant que nous possédions la mise de départ, il n est donc
pas intéressant de procéder ainsi, sans compter quil peut y avoir
plusieurs gagnants ; auquel cas, il faudra partager le pactole !
Pour montrer aux élèves que la probabilité d'obtenir les 6 numéros
est réellement très faible, j'écris un nombre compris entre 1 et
19 068 840 derrière le tableau, et je leur demande de le trouver.
Ensuite, je tourne le tableau et nous constatons que, jusqu'à pré
sent, personne n'a trouvé le bon nombre. D'ailleurs, je vous propose
un loto gratuit. Trouvez le nombre compris entre 1 et 19 068 840
que j'ai écrit à la fin de ce chapitre. C'est cela espérer gagner le gros
lot au loto. Vous constaterez que faire dix grilles et dépenser
20 euros ne change pas grand-chose à l'histoire !
2. le singe a plus de chance de taper « perdu » que vous de

gagner au loto.
Le singe a une chance sur 26 de taper le « P », une chance sur
26 de taper le « E », ..., une chance sur 26 de taper le « U ».
La probabilité que le singe tape le mot « perdu » est donc (1/26)5.
Or 265= 11 88 1 376.
Nous avons vu précédemment que la probabilité de gagner au
loto est de 1 sur 19 068 840.
Ce petit exemple vous donne une idée du peu de chance que vous
avez de gagner au loto.
3. 1/3.
Comme il y a au moins un garçon, trois cas sont possibles :
Cadet Aîné
Garçon Garçon
Garçon Fille
Fille Garçon
58
Les trois cas sont équiprobables, donc la probabilité que le

deuxième enfant soit une fille est 1/3.
4. 71 %.
Calculons la probabilité de l'événement contraire. Les élèves
ont tous des dates d'anniversaire différentes. Pour le prem ier
élève, il y a 365 dates possibles, pour le deuxième il y a 364 pos
sibilités, pour le troisième, il y a 363 dates possibles, ..., pour
le trentième il reste 336 dates. Donc, le nombre de cas favora
bles est :
365 x 364 x 363 x ... x 337 x 336
Le nombre de cas possibles est 36530, donc la probabilité d'obte
nir des dates d'anniversaire différentes est :
(365 x 364 x 363 x ... x 337 x 336)/36530 soit 0,29.
Il y a donc 29 % de chances que les élèves aient tous des dates
d'anniversaire différentes.
Ainsi, la probabilité que 2 élèves au moins aient la même date
d'anniversaire est 71 %.
Pour une classe de 50 élèves, il y a 97 % de chances d'avoir
2 dates d'anniversaire identiques.
Il suffit d'inviter 23 personnes à une soirée pour avoir plus de
50 % de chance que 2 d'entre elles aient la même date d'anniver
saire.
5. II.
Dans le pire des cas, on tire 10 chaussettes et elles sont toutes
dépareillées. Il suffit alors d'en tirer une supplémentaire pour
obtenir une paire correcte.
6. 12.
Ce petit exercice bien connu des élèves de terminale nécessite de
bien comprendre l'énoncé. Il s'agit ici d'un tirage sans remise,
donc l'ensemble des possibilités est :
(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2),
(3,4), (4,1), (4,2), (4,3).
En fait, il y a 4 possibilités pour le premier choix et comme il
n'y a pas remise seulement 3 pour le second choix.
Pour l'énoncé : « Une urne contient quatre boules numérotées de
1 à 4, on tire successivement et avec remise deux boules de
l'urne », nous obtenons comme ensemble des possibilités :
59
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3),
(3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4).
Il y a 4 possibilités pour la première boule et comme il y a remise
encore 4 pour la deuxième. Ce qui donne 16 cas possibles.
Pour 1énoncé : « Une urne contient quatre boules numérotées de
1 à 4, on tire simultanément deux boules de lu m e », nous obte
nons comme ensemble des possibilités :
^ [1,2], [1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).
Ici, Tordre n'a pas d'importance ; il y a deux fois moins de cas
que dans le premier énoncé, ce qui donne 6 cas possibles.
7. 1/2.
La pièce, parfaitement équilibrée, n'a pas de mémoire. La pro
babilité quelle tombe sur « pile » est 1/2.
8. j ’ai gagné 1 euro.

Je mise 1 euro, puis 2 euros, puis 4 euros, jusqu'à 210, soit
1 024 euros, donc j'ai misé en tout 2 047 euros.
Au onzième coup, je finis par gagner donc le croupier me verse
le double de ma dernière mise, soit 2 048 euros.
Finalement, j'ai gagné 1 euro !
9. oui.
La probabilité d'apparition d'un 6 en 4 lancers est :
I - (5/6)4 = 0,518. (On calcule d'abord la probabilité de l'événe
ment contraire : il y a 5 chances sur 6 pour que cela ne se pro
duise pas pour chaque lancer. Donc, sur 4 lancers, (5/6)4que cela
ne se produise pas, soit 1 - (5/6)4que cela se produise.)
II y a donc 51,8 % de chance de voir apparaître un 6.
La probabilité d'apparition d'un double 6 en 24 lancers est :
I - (35/36)24 = 0,491.
II y a 49,1 % de chances de voir apparaître un double 6.
Il est donc plus probable de voir apparaître au moins un 6 en
4 lancers, que d'obtenir au mois un double 6 en 24 lancers. Le
Chevalier de Méré (Antoine Gombaud, 1607-1684) s'est trompé
dans la résolution du problème mais Pascal calcula correctement
ces deux probabilités.
10. environ 1 000 000.

Un quinté est une liste de 5 chevaux pris dans un ensemble en
contenant 18.
60
Il y a 18 possibilités pour choisir le premier cheval et pour cha

que choix, il y a 17 possibilités pour choisir le deuxième (nous
ne pouvons pas reprendre le même cheval). On continue ainsi
de suite avec le troisième, le quatrième et le cinquième.
Ainsi le nombre de quintés différents qu'il est possible de jouer est :
18 x 17 x 16 x 15 x 14 soit 1 028 160.
En comptant 2 euros par quinté, il faut que le pactole soit important
et que Farrivée soit constituée de chevaux à grosse cote sinon vous
risquez de partager les gains avec d autres vainqueurs.
11. (32 x 31)/2.

Prenons un des 32 élèves. Il sert la main à 31 élèves, puis on
Félimine. Le suivant doit serrer la main à 30 élèves, puis le sui
vant à 29. On continue le procédé jusqu'au dernier élève qui
aura salué toute la classe. Le nombre de poignées échangées
est donc :
31 + 30 + 29 + ... + 3 + 2 + 1 soit 496.
Nous pouvons traiter cet exercice d'une autre manière. Il y a
32 x 31 = 992 façons de choisir un couple d'élèves. Mais le couple
Dupont-Durand ou Durand-Dupont conduit à la même poignée
de mains. Il faut donc diviser le résultat par 2. Nous retrouvons
496 poignées de mains.
Reprenons le calcul 1 + 2 + 3 + ... + 2 9 + 30 + 31.
Une petite astuce, découverte par Gauss (1777-1855) quand il
était écolier, permet d'effectuer le calcul rapidement.
Notons S cette somme. Ainsi S = 1 + 2 + 3 + ... + 29 + 30 + 31.
En inversant l'ordre des termes, on ne modifie pas la somme donc
S = 31 + 30 + 29 + ... + 3 + 2 + 1.
En additionnant membre à membre ces deux égalités, on a alors :
2 S = (31 + 1) + (30 + 2) + (29 + 3) + ... + (3 + 29) + (2 + 30)
+ (1 +31).
Mais toutes les sommes entre parenthèses égalent 32.
2 S = 32 + 32 + 32 + ... + 32 + 32 + 32
Nous obtenons alors 31 termes égaux à 32 donc 2 S = 31 x 32
d'où 2 S = 992 soit S = 496.
L'œuvre de Gauss en mathématiques est considérable ; on le sur
nomme le Prince des mathématiciens et on raconte qu'à l'âge de
trois ans, il corrigea une erreur dans le livre de comptes de son
père !
61
Cari Friedrich GAUSS (1777-1855)
12. la m oyenne est 10 et la m édiane est 6.

Pour calculer la moyenne, il suffit d ajouter ces nombres, puis
de diviser par 11 ; on trouve 10.
La médiane de cette série est 6, car c est la note qui la sépare en
deux séries de même taille ; il y a 5 élèves dont la note est supé
rieure à 6 et 5 dont la note est inférieure à 6.
13. 100 000.

Nous avons 10 possibilités (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) pour choisir le
premier chiffre du code. Pour chaque choix, nous possédons encore
10 possibilités pour le deuxième chiffre du code et ainsi de suite
jusqu'au cinquième chiffre. Il y aura donc 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 ,
soit 100 000 possibilités.
14. 30 240.
Nous avons 10 possibilités (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) pour choisir
le premier chiffre du code. Pour chaque choix, nous ne possé
dons que 9 possibilités pour le deuxième chiffre du code et ainsi
de suite jusqu'au cinquième chiffre. Il y aura donc 1 0 x 9 x 8 x 7 x 6 ,
soit 30 240 possibilités.
R etour sur la question 1 : Pour le tirage du loto gratuit, le nombre

choisi est :
15 253 638
Évidemment personne n'a gagné. Il faudrait que je vende autour

de 13 millions de livres, pour que la probabilité d'avoir au moins
un gagnant dépasse 50 % !
6
D’Euclide è Eiemann,
que de chemin parcouru !
La géométrie
La géométrie euclidienne repose sur les axiomes d'Euclide,

dont voici le cinquième postulat : « Dans le plan, par un point
extérieur à une droite, on ne peut faire passer qu une parallèle à
cette droite. » Évident, non !
Et pourtant, imaginons une bactérie vivant sur une orange.
Nous dirons qu elle évolue dans un espace sphérique, dans lequel
les droites sont les grands cercles de la sphère (ceux qui ont le
même centre que la sphère). Pour notre bactérie, par un point
extérieur à une droite, on ne peut mener aucune parallèle à cette
droite ! C'est la géométrie de Riemann.
Dans la géom étrie de Lobatchevski dite géom étrie hyper
bolique, c'est pire ! Par un point extérieur à une droite, on
peut faire passer une infinité de parallèles, et la somme des
angles d'un triangle ne vaut plus 180°. Mais dans quel monde
vit-on ?
1. L'énoncé du théorème de Pythagore est :

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors :
□ AB = AC = BC
□ AB12 = AC2 + BC2
□ BC2 = AC2 + AB2
□ AC2 = BC2 + AB2
63
2. Soit ABC un triangle. La droite perpendiculaire à la droite

(BC) et passant par le milieu de [BC] est :
d une bissectrice du triangle ABC
G une hauteur du triangle ABC
□ une médiane du triangle ABC
□ une médiatrice du triangle ABC
3. Soit ABC un triangle. Les trois bissectrices d'un triangle

concourent en un point appelé :
O centre de gravité du triangle ABC
O centre du cercle circonscrit au triangle ABC
O orthocentre du triangle ABC
Ci centre du cercle inscrit dans le triangle ABC
4. Quel que soit le triangle ABC, la somme de ses angles égale :
□ 90°
□ 100°
□ 180°
□ 360°
5. Dans un triangle ABC, un angle égale le triple du plus petit et

un autre égale le double du plus petit. Quelle est la nature du triangle ?
CJ rectangle
□ équilatéral
□ rectangle et isocèle
Ci quelconque
6. Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires est :
O un carré
□ un losange
O un rectangle
O autre réponse7
7. Un polygone qui possède neuf côtés est :

C i un décagone
Ci un nonagone
O un ennéagone
O un neunagone
64
LA GÉOMÉTRIE
8. Parmi les quatre nombres proposés, la meilleure valeur appro

chée de 7T est :
□ 3,141
□ 3,142
□ 3,145
□ 3,146
9. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors le sinus de

l’angle ABC est le rapport :
□ a c /a b
□ a c /b c
□ AB/BC
10. Quelle est la pièce qui s’assemble avec celle ci-dessous pour
donner un rectangle ?
11. Deux carrés placés comme ci-dessous déterminent trois

régions. Quel nombre maximum de régions peuvent délimiter
ces deux carrés ?
□6
□8
□ 9
□ 10
65
12. Combien voit-on de carrés dans cette figure ?
□ 65
□ 100
□ 128
□ 204
□ 416
13. De combien de degrés l’aiguille des minutes tourne-t-elle

en une minute ?
□ i°
□ 6 °
□ 10°
□ 60°
14. Un dodécaèdre est un polyèdre qui possède :

□ 4 faces
□ 10 faces
□ 12 faces
□ 20 faces
15. Quelle est la bonne notation pour désigner la droite pas

sant par les points A et B ?
□ AB
□ (AB)
□ [AB]
□ [A ; B)
16. Est-il possible de construire à la règle et au compas un

carré ayant la même aire qu’un cercle donné ?
□ oui
□ non
66
LA GÉOMÉTRIE
Réponses
1. BC2 = AC2 + AB2.

Le triangle ABC est rectangle en A donc [BC] est l'hypoténuse
et le théorème est : le carré de l'hypoténuse égale la somme des
carrés des deux autres côtés.
2. une médiatrice du triangle ABC.
La médiatrice de [B C ]
Une hauteur est une droite qui passe par un sommet du triangle
et est perpendiculaire au côté opposé.
La hauteur issue de A
Une médiane est une droite qui passe par un sommet et le milieu
du côté opposé.
67
Une bissectrice est une demi-droite qui partage un angle du

triangle en deux angles égaux.
3. centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.

Les trois bissectrices d un triangle ABC concourent en un même
point appelé centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
Les trois m édiatrices d'un triangle ABC concourent en un

même point appelé centre du cercle circonscrit au triangle
ABC.
68
LA GÉOMÉTRIE
Les trois hauteurs d un triangle ABC concourent en un même

point appelé orthocentre du triangle ABC.
H est Torthocentre
du triangle ABC
Les trois médianes d un triangle ABC concourent en un même

point appelé centre de gravité du triangle ABC.
G est le centre de gravité

du triangle ABC
4. 180°,
C'est un invariant du triangle. Quelle que soit sa forme, la somme
des angles dun triangle égale 180°. La connaissance de deux
angles dun triangle détermine donc automatiquement celle du
troisième.
Si le triangle est équilatéral alors tous ses angles valent 60°.
Si le triangle est rectangle alors la somme des deux angles diffé
rents de l'angle droit égale 90°. On dit alors que les deux angles
sont complémentaires.
5. rectangle.
Notons x la mesure du plus petit angle. On a donc 3x + 2x + x = 180°
donc 6x = 180° d'où x = 30°.
Les angles du triangle sont donc 30°, 60° et 90°.
6. autre réponse.
69
Le quadrilatère ABCD n'est ni un carré, ni un rectangle, ni un

losange.
- Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu

est un parallélogramme.
- Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculai
res est un losange.
- Un parallélogramme dont les diagonales sont égales est un
rectangle.
- Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculai
res et égales est un losange et un rectangle plus communément
appelés carré.
7. un ennéagone.
Nombre de côtés Polygones

3 Triangle
4 Quadrilatère
5 Pentagone
6 Hexagone
7 Heptagone
8 Octogone
9 Ennéagone
10 Décagone
8. 3,142.
7r est le rapport de la longueur dun cercle à son diamètre.
C'est un nombre irrationnel qui possède une infinité de déci
males dont voici les cent premières :
3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197
169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 4 0 6 286
208 998 628 034 825 342 117 067
Il existe un moyen astucieux pour retenir les décimales de 7T.
On compte les lettres des mots constituant le poème suivant qui
raconte l'histoire de 7T :
Le nombre de lettres de chaque mot est la valeur d'une décimale
de 7T et un mot de 10 lettres correspond au chiffre 0.
« Que j ’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages ! »
3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5
70
LA GÉOMÉTRIE
La suite du poème est :

« Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui, de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi, ton problème eut de sérieux avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l'orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle. »
Il semblerait que le record de décimales calculées par un ordi

nateur soit de 2 700 milliards.
Quant au record de mémorisation, il doit se situer autour de
20 000 décimales. Nous rappelons que 7r est un nombre irration
nel, ce qui signifie que les décimales de 7r ne se répètent jamais
et ne forment aucune suite périodique.
9. AC/BC.
O p p o sé
[AC] est le côté opposé à A B C .

[A B ] est le côté adjacent à A B C
[B C ] est l'hypoténuse.
Le sinus de l'angle ABC égale le rapport du côté opposé par

l'hypoténuse. On écrit sin A B C = AC/BC .
71
Le cosinus de l'angle ABC égale le rapport du côté adjacent par

l'hypoténuse. On écrit cos A B C = AB/BC.
La tangente de l'angle ABC égale le rapport du côté opposé par

le côté adjacent. On écrit tan A B C = A C / A B .
Pour se souvenir de ces trois formules, les élèves apprennent le
« mot » :
S O H C AH TO A
Qui donne :
Sinus Opposé Hypoténuse Cosinus Adjacent Hypoténuse Tan
gente Opposé Adjacent.
10. 2.
11.9.
Les carrés ainsi placés déterminent neuf régions.
12. 204.
Il y a 8 x 8 carrés de côté 1.
En tout, cela fait 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1, soit 204 carrés.
72
LA GÉOMÉTRIE
13. 6°.
En soixante minutes, l'aiguille des minutes réalise un tour com
plet donc 360°. Par conséquent, en une minute, elle détermine
un angle de 360/60 soit 6°.
14. 12 faces.
Un polyèdre est un solide limité par des portions de plan poly
gonales, appelées faces. Un polyèdre régulier est un polyèdre
dont toutes les faces sont des polygones réguliers et les espaces
angulaires compris entre les faces d'un même som met sont
égaux. Il n'existe que cinq polyèdres réguliers que l'on appelle
les solides de Platon.
Nom du solide Faces Arêtes Sommets

Tétraèdre régulier 4 6 4
Cube 6 12 8
Octaèdre 8 12 6
Dodécaèdre 12 30 20
Icosaèdre 20 30 12
En notant F le nombre de faces, S le nombre de sommets,

et A le nombre d'arêtes, vous pouvez remarquer que :
F + S =A +2
73
Octaèdre Dodécaèdre
Icosaèdre
15. (A B ).
Il existe de nombreuses notations possibles avec les points A et B.
(AB) désigne une droite, [AB] est un segment, [AB) est une demi-
droite, [A ; B] est une paire de deux points, (A, B) est un bipoint,
AB est une distance, AB est un vecteur, ||a b ||est une norme, AB
est une mesure algébrique.
74
LA GÉOMÉTRIE
16. non.
L'impossibilité de ce problème vieux de vingt-cinq siècles, que
Ton appelle la quadrature du cercle, a été prouvée par Linde-
m ann (1852-1939).
7T est un nombre transcendant, donc il n'est pas solution d'une
équation algébrique à coefficients entiers. Les deux autres
grands problèmes géométriques de l'Antiquité sont la trisection
de l'an gle et la duplication du cube.
Il est simple de construire à la règle et au compas la bissectrice
d'un angle qui le partage en deux angles égaux, mais peut-on le
partager en trois parties égales ? La réponse est non ; c'est le pro
blème de la trisection d'un angle.
La duplication d'un cube consiste à construire à la règle et au
compas un cube, dont le volume est deux fois plus grand que le
volume d'un cube donné. Cette construction est impossible.
Cari Louis Ferdinand von LINDEM ANN (1852-1939)

7
la vie quotidienne
Les pourcentages, les unités...
Le domaine des mathématiques qui occupe une place im por

tante dans la vie quotidienne concerne les pourcentages et la
proportionnalité. Nous les rencontrons dans de nombreuses
circonstances : lors d'élections, dans les périodes de soldes,
pour les questions ayant trait aux salaires, aux impôts...
Êtes-vous certains de savoir calculer un prix TTC, un pourcen
tage d'augm entation, une aire, une capacité, une vitesse
moyenne, les intérêts d'un placement... ?
Dans ce chapitre, nous allons tester ces connaissances et

appréhender quelques techniques bien utiles dans la vie quoti
dienne. Avant de commencer, comme il sera beaucoup question
d'argent, je vous propose cette anecdote divertissante :
Un mendiant, espérant recevoir suffisamment de pièces pour
devenir riche demande un euro à un passant. Mais, pas de
chance, le passant est un mathématicien ; il s'arrête et démontre
au mendiant qu'il ne sera jamais riche suivant un principe qui
évoque un des paradoxes de Zénon d'Élée : « Un homme qui pos
sède un euro nest pas riche et il ne lest toujours pas si on lui
donne un euro supplémentaire. Le fait de recevoir un euro supplé
mentaire ne fait pas de vous un homme riche. En appliquant ce
principe à chaque euro que vous recevrez, on en déduit que vous
ne serez jamais riche ! »
76
LES POURCENTAGES, LES UNITÉS...
1. Un commerçant baisse le prix d'un article de 20 % puis l'aug

mente de 20 %. Le bilan est :
G le prix a baissé de 10 %
G le prix a augmenté de 10 %
G le prix n'a pas changé
G le prix a baissé de 4 %
2. En 1982, le traitement d'un professeur certifié de mathéma

tiques représentait 2,1 fois le SMIC. En 2010, il vaut 1,2 fois le
SMIC. En prenant comme référence le SMIC, quelle est l'évolu
tion du salaire d'un professeur de mathématiques entre 1982
et 2009 ?
G le salaire a baissé de 9 %
G le salaire a augmenté de 10 %
G le salaire n'a pas changé
G le salaire a baissé de 43 %
3. Le prix d'une action a décuplé. Il a augmenté de :

O 10%
O 100%
G 900 %
G 1 000 %
4. Le prix de mon loyer a subi successivement deux hausses

de 10 % mais finalement j'ai négocié auprès du propriétaire une
remise de 10 %. Peut-on dire que :
G le loyer a augmenté de 10 %
G le loyer a augmenté de 15 %
G le loyer a augmenté de 8,9 %
G le loyer a baissé de 10 %
5. Le prix d'une robe après une rem ise de 20 % est de

120 euros. Quel était le prix avant la remise ?
G 130 euros
G 140 euros
G 150 euros
O 160 euros
6. Un footballeur professionnel évoluant dans un grand club

espagnol gagne 640 000 euros par mois. Heureusement dit-on,
car sa carrière est courte, il ne « travaille » que dix ans. Combien
77
d années un salarié dont le salaire mensuel est de 1 200 euros

doit-il travailler pour égaler la rémunération du footballeur
durant sa carrière ?
□ 23 ans
Ci 133 ans
d 1333 ans
G 5 333 ans
7. Un gigaoctet représente :
□ 1 000 octets
□ 10 000 octets
□ 100 000 octets
□ 1 000 000 d'octets
□ 1 000 000 000 doctets
8. Un champ rectangulaire de 100 mètres sur 200 mètres a une

aire de :
□ 20 ares
□ 200 ares
O 2 hectares
□ 20 hectares
9. Un cube de 2 mètres de côté contient :

d 80 litres
G 800 litres
0) 8 000 litres
0) 80 000 litres
10. Quelle est, en cm2, l'aire totale des surfaces d'un parallélé
pipède rectangle dont les dimensions sont 3 cm, 4 cm et 5 cm ?
0 60 cm2
01 94 cm2
□ 120 cm2
11. Entre deux péages distants de 320 km, j'ai roulé pendant
3 heures 20 minutes. Quelle a été ma vitesse moyenne ?
□ 90 km/h
□ 96 km/h
□ 100 km/h
01 106 km/h
78
12. Si toutes les personnes de la Terre se donnent la main, alors :

G on peut faire le tour de la Terre
G on peut atteindre la Lune
G on peut atteindre Mars
13. J ai couru le marathon de Vienne à la vitesse de 12 km/h.

Quel a été mon temps ?
G 2 heures 3 minutes 59 secondes
G 3 heures
G 3 heures 30 minutes
O 4 heures
14. Ève dit à son père : « Papa, com m e tu nés pas très riche,
je ne te demanderai pas beaucoup d'argent de poche. Pour le mois
de mars, donne-m oi un centime d'euro le prem ier jour, puis
deux centimes le deuxième en doublant le m ontant chaque jour.
- D'accord », dit le père, naïf.
Combien Ève va-t-elle toucher d'argent de poche au mois de
mars ?
G environ 20 €
G environ 200 €
G environ 2 000 €
G environ 20 millions d euros
15. Dans l'entreprise Alpha, la répartition des salaires en euros

est la suivante : 1 200, 1 200, 1 300, 1 300, 1 400, 1 500, 1 500,
1 500, 2 000, 15 000, 25 000.
Quel est le salaire médian ?
G 1 200 €
G 1 500 €
O 4 800 €
16. Lors d'une étape de montagne du Tour de France, les cou

reurs grimpent une côte dont le pourcentage est voisin de 10 %.
Quel est l'angle, en degrés, correspondant à un tel pourcentage ?
0 6°
O io°
G 20°
O 30°
79
17. Voici les tranches d'imposition de l'impôt sur le revenu

2010 en fonction du quotient familial.
Tranches Taux d 'im p osition

Inférieur à 5 875 € 0%
De 5 875 € à 11 720 € 5,5 %
De 11 720 € à 26 030 € 14%
De 26 030 € à 69 783 € 30%
Supérieur à 69 783 € 40%
Monsieur Dupont, célibataire, a en 2009 déclaré 28 900 €, ce qui

lui donne, après l'abattement de 10 %, un quotient familial de
26 010 € et donc le place dans la tranche marginale d'imposition
eptre 11 720 € et 26 030 €, dont le taux d'imposition s'élève à 14 %.
Mais en 2010, du fait d'une augmentation de salaire due à une pro
motion, il a déclaré 29 000 € et son quotient familial est passé à
26 100 € ; il saute donc de tranche et passe dans celle entre 26 030 €
et 69 783 €, dont le taux d'imposition est de 30 %.
Quel sera le taux d'augmentation de son impôt ?
Oi%
□ io %
□ 16%
□ 30 %
18. Quel est le nom du modèle mathématique jugé responsable

par certains économistes de la crise financière de 2008 ?
G le mouvement galiléen
G le mouvement brownien
G le mouvement subprimien
G le mouvement marxiste
80
Réponses
1. le prix a baissé de 4 %.
Il est utile de savoir que si on augmente une quantité de t %
alors cela revient à multiplier par 1 + t/100 (appelé coefficient
multiplicateur).
Ainsi, augmenter le prix de 20 % revient à le m ultiplier par
1 + 20/100, soit 1,2.
Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par 1 - 1 %.
Ainsi, diminuer le prix de 20 % revient à le multiplier par 1 - 20/100,
soit 0,8.
Si une quantité subit une succession de hausses ou de baisses,
le coefficient multiplicateur final est obtenu en multipliant les
différents multiplicateurs.
Pour répondre à la première question du chapitre, le prix a été
multiplié par 1,2 x 0,8 donc 0,96.
Or 0,96 = 1 - 0,04 = 1 - 4/100.
Le prix a baissé de 4 %.
Le coefficient multiplicateur vous permet d obtenir directement la

valeur finale. Par exemple, pour des soldes de 30 %, il suffit de mul
tiplier le prix avant les soldes par 0,7 sans passer par le calcul de la
remise.
Vous avez placé de l'argent en assurance vie à un taux annuel de
4 %, pour obtenir le nouveau capital au bout d une année, il suffit
de multiplier par 1,04 sans passer par le calcul des intérêts.
2. le salaire a baissé de 43 %.
Lorsqu'une grandeur augmente en passant d une valeur initiale x
à une valeur finale y, le taux d'augmentation t est donné par :
t = (y - x)/x.
Pour l'avoir en pourcentage, on multiplie par 100.
Par exemple, si un prix passe de 15 € à 18 € , le taux d'augmen
tation est (18 - 15)/15 = 0,2 et, en multipliant par 100, on en
déduit, que le prix a augmenté de 20 %.
Lorsqu'une grandeur diminue en passant d'une valeur initiale x
à une valeur finale y, le taux de baisse t est donné par t = (x - y)/x.
Pour l'avoir en pourcentage, on multiplie par 100.
Par exemple, si un prix passe de 20 € à 18 € , le taux de baisse
est (20 - 18)/20 = 0,1 et, en multipliant par 100, on en déduit que
le prix a baissé de 10 %.
81
Pour notre question, il s'agit manifestement d une baisse.

Le taux d'évolution est donc donné par (2,1 - 1,2)/2,1 = 0,43 soit
en pourcentage une baisse de 43 %.
3. 900 %.
Le prix de l'action a été décuplé donc multiplié par 10. Cela signi
fie que le coefficient multiplicateur est 10 d'où 1 + t/100 = 10.
On obtient facilement t/100 = 9 d'où t = 900.
Doubler une quantité revient à l'augmenter de 100 %.
Tripler une quantité revient à l'augmenter de 200 %.
Diviser par deux une quantité revient à la diminuer de 50 %.
4. le loyer a augmenté de 8,9 %.

Le premier coefficient multiplicateur est 1,1 ; le deuxième est 1,1
et le troisième est 0,9. Ensuite, on multiplie les trois coefficients
multiplicateurs pour obtenir 1,1 x 1,1 x 0,9 = 1,089.
On en déduit que le loyer a augmenté de 8,9 %.
5. 150 euros.
Encore une fois, le plus simple est de passer par le coefficient
multiplicateur, qui dans le cas présent est 1 - 20/100 donc 0,8.
Le prix initial multiplié par 0,8 est égal à 120. Donc, pour obtenir
le prix initial, il suffit de diviser 120 par 0,8.
6. 5 333 ans.
Le salaire annuel du footballeur est 640 000 x 12 = 7 680 000 euros.
En dix ans, il aura gagné 76 800 000 euros.
Le salaire annuel du salarié est 1 200 x 12 = 14 400 euros.
Il devra donc travailler 76 800 000/14 400 = 5 333 années.
On peut directement diviser 640 000 par 1 200 pour constater
que le footballeur gagne 533,3 fois plus que le salarié.
On peut voir les choses autrement. Un salarié doit travailler environ
quarante ans, il va donc « accumuler » 14 400 x 40 = 576 000 euros.
Pour gagner ce que gagne le salarié en quarante ans, le footballeur
pourrait se contenter de travailler moins d'un mois.
7. 1 000 000 000 d'octets.

Les préfixes à placer avant le nom de l'unité sont :
Tétra pour 1 000 000 000 000
Giga pour 1 000 000 000
82
Méga pour 1 000 000

K ilo pour 1 000
Hecto pour 100
Déca pour 10
Déci pour 0,1
Centi pour 0,01
M illi pour 0,001
M icro pour 0,000 001
Nano pour 0,000 000 001
Pico pour 0,000 000 000 001
Attention ! En informatique, il existe des néologismes proposés

par l'IE C (In tern ation al E lectrotech n ical C om m ission ) un
kibioctet, noté Kio, représente 1 024 octets, un mébioctet, noté
Mio, représente 220 soit 1 048 576 octets et un Gibioctet, noté
Gio, représente 230 soit 1 073 741 824 octets.
/
8. 200 ares ou 2 hectares.
L'aire dun rectangle s'obtient en multipliant la longueur par la
largeur, donc l'aire égale 100 x 200 = 20 000 m2.
1 are correspond à 100 m2, donc l'aire est égale à 200 a.
Sachant qu'un hectare égale 10 000 m2, on peut aussi en déduire
que l'aire égale 2 ha.
9. 8 000 litres.
Le volume du cube est 2 x 2 x 2 = 8 m3 donc 8 000 d m 3. Or 1 litre
égale 1 dm3.
10. 94 cm2.
Le parallélépipède rectangle, aussi appelé pavé droit, possède six
faces rectangulaires. L'aire totale du parallélépipède rectangle est
donc 2 x ( 3 x 4 + 3 x 5 + 4 x 5 ) = 2 x (12 + 15 + 20) = 2 x 47 = 94.
11. 96 km/h.
Transformons 3 heures 20 minutes en minutes :
3 h 20 min = 3 x 60 + 20 = 180 + 20 = 200 min.
Ainsi, en 200 minutes, nous avons parcouru 320 km, donc en
1 minute nous en parcourons 200 fois moins, soit 320/200 = 1,6 km
et, en 60 minutes, 60 fois plus, donc 60 x 1,6 = 96.
83
Cest la traditionnelle règle de trois, ou passage à lim ité. Les

élèves ont tendance à utiliser ce qu'ils appellent le « produit en
croix ». On place les résultats connus dans un tableau :
Temps (m in) 200 60

Distance (km) 320 d
L égalité 200 x d = 320 x 60 suggère l'existence d'une « croix ».

On obtient 200 x d = 19 200 d'où d = 19 200/200 = 96.
12. on peut faire le tour de la Terre et on peut atteindre la

Lune.
Notre planète compte environ 6,8 milliards d'individus.
Prenons pour chaque personne une amplitude de 1 mètre. La
distance réalisée en se donnant la main est alors de 6,8 milliards
de mètres, soit 6 800 000 km donc, en prenant 40 000 km comme
circonférence de la Terre, environ 170 fois le tour de la Terre.
La distance de la Terre à la Lune est de 380 000 km donc on peut
atteindre la Lune. On ne peut pas atteindre Mars, la distance
minimale de la Terre à Mars étant de 56 millions de km.
13. 3 heures 30 minutes.

Avant de se lancer dans cet exercice, rappelons que le marathon
représente une distance de 42,195 km.
Parcourir 12 km en une heure, donc en 60 minutes, revient à effec
tuer 1 km en 5 minutes. D'ailleurs, lors des entraînements, les cou
reurs préfèrent utiliser le nombre de minutes par km. Donc, si je
fais 1 km en 5 minutes, le temps de parcours du marathon sera de
42,195 x 5 =211 minutes, soit 3 heures 31 minutes.
En réalité, c'est le temps que je comptais réaliser à Vienne,
mais cela ne s'est pas si bien passé et mon temps a été de
3 heures 41 minutes.
En fait, 2 heures 3 minutes 59 secondes est le record du monde
de la spécialité détenu par l'Éthiopien Haile Gebreselassie. Ce
temps correspond à une vitesse moyenne légèrement supérieure
à 20 km/h.
14. environ 20 millions d'euros.

Malheureusement, il y a 31 jours en mars. Ève va toucher, en
centimes d'euros, S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 230.
Cette somme se simplifie : S = 231 - 1.
84
S = 2 147 483 647 en centi mes d 'eu ros donc, en euros,

S = 21 474 836 !
Soit, en arrondissant, environ 20 millions d'euros.
Méfiez-vous de vos enfants !
15. 1 500 €.
En statistiques, il ne faut pas confondre la moyenne et la
médiane.
Pour calculer le salaire moyen, on ajoute tous les salaires pour
obtenir 52 900 €, puis on divise par 11, ce qui donne dans cette
entreprise un salaire moyen de 4 800 €. Mais ce salaire n'a pas
une grande signification car seulement deux personnes ont un
salaire supérieur à la moyenne. Il est plus judicieux d'utiliser la
médiane comme indicateur.
Le salaire médian est le salaire tel que 50 % des salariés gagnent
plus et 50 % gagnent moins. Donc ici, le salaire médian est
1 500 €.
On peut aussi calculer le premier décile, qui représente les 10 %
les plus pauvres, et le neuvième décile, qui regroupe les 10 % les
plus riches.
16. 6°.
Dire que la côte est de 10 % signifie que pour 100 mètres par
courus à l'horizontale, le dénivelé sera de 10 mètres. L'angle a
donc une tangente égale à 0,1. Une calculatrice donne alors un
d'angle d'environ 6°.
a = 5,71°
Entre l'impression que donne le dessin et l'impression ressentie

sur un vélo, il y a manifestement une différence !
17. 1 %.
Pour calculer l'impôt sur le revenu de M. Dupont en 2009, on
prend 0 % sur la tranche inférieure à 5 875 €, puis 5,5 % sur la tota
lité de la tranche 5 875 € à 11 720 €, soit 0,055 x (11 720 - 5 875)
= 321,4 €, puis 14 % sur la tranche de revenu comprise entre
11 720 € et 26 010 €, soit 0,14 x (26 010 -11 720) donc 2 000,6 €.
Finalement, en 2009, son impôt sera de 321,4 + 2 000,6 = 2 322 €.
85
En 2010, il y aura toujours 321,4 € d'im pôt sur la tranche

5 875 € à 11 720 € , puis 14 % sur la totalité de la tranche
suivante donc 0,14 x (26 030 - 11 720), donc 2 003,6 € et enfin
30 % sur la tranche de 26 030 € à 69 783 €, soit 0,30 x (26 100
- 26 030) donc 21 €.
Finalement, en 2010, son impôt sera de 321,5 + 2 003,5 + 21
= 2 346 €.
L'augmentation d'impôt est de 23 €, soit une augmentation de
1 %.
En 2010, le contribuable participe à trois tranches d'imposition,
mais seule une part infime de son quotient familial, ici 70 € , est
imposée à 30 %.
Par conséquent, l'impôt final ne peut jamais atteindre 40 % de vos
revenus. Prenons Monsieur M., footballeur au PSG dont le salaire
mensuel est de 250 000 €, et supposons qu'il soit resté célibataire.
Ses revenus annuels (sans compter les à-côtés pour simplifier)
sont donc de 3 millions d'euros, son quotient familial après abat
tement est de 2 986 906 € et son impôt sera de 1 067 538 €. Le
taux d'imposition sur le revenu est donc de 35,6 % et non pas de
50 %, comme beaucoup de personnes semblent le croire. Il ne lui
reste pour vivre que 161 000 € par mois, mais c'est suffisant pour
acheter des pâtes et faire un bon match !
18. le mouvement brownien.

Les mathématiques et leurs modèles ont-ils une responsabilité
dans la crise financière ? Les mathématiques jouent un rôle majeur
dans le monde de la finance. Tout a commencé avec le modèle
Black and Scholes, développé par Fisher Black et Myron Scholes
et publié en 1973, à l'origine de nouvelles techniques financières
appliquées aux produits dérivés. Pour simplifier, nous dirons que
les fluctuations des valeurs d'un produit dérivé sont aléatoires et
suivent un modèle brownien, découvert en 1820 par un botaniste,
Robert Brown, qui cherchait à décrire le mouvement aléatoire
d'une particule dans un fluide ! Et c'est un Français, Louis Bache
lier, qui en 1900 introduisit le mouvement brownien dans le monde
de la finance, mais il fut réellement utilisé à partir des années 1960.
Quand un trader décide d'acheter ou de vendre un produit, il se
base sur ce modèle. Le modèle mathématique n'est pas faux, mais
il convient dans un marché « normal » à hasard « sage », contrai
rement à un marché exubérant induisant un hasard « sauvage » !
8
Des parallèles courtes
Les illusions
Attention ! Il faut se m éfier de ce que Ton croit voir. Car,

après tout, le doute cartésien n'est-il pas affaire de mathéma
ticien ?
Une petite histoire illustre ce propos.
Un mathématicien, un physicien et un biologiste voyagent
dans un train qui traverse des pâturages. Soudain, parmi les
moutons blancs, le biologiste aperçoit un mouton noir :
« Regardez, il y a des moutons noirs ! », dit le biologiste.
Le physicien regarde à son tour et s'écrit :
« C'est incroyable, il y a un mouton noir. »
Finalem ent, le m athém aticien regarde par la fen être et
affirm e :
« Il y a au moins un mouton qui a un côté noir ! »
1. Nicolas, Ségolène et Alain se présentent à une élection.

Lors d'un sondage, on constate que 2/3 des électeurs préfèrent
Nicolas à Ségolène et que 2/3 des électeurs préfèrent Ségolène
à Alain.
Nicolas a-t-il plus de chances qu'Alain d'être élu ?
2. Doit-on dire « tous les nombres premiers sont impairs,

sauf un » ou « tous les nombres premiers sont impairs, sauf
deux » ?
87
3. Une étude statistique a montré que l'espérance de vie des

sénateurs est largem ent supérieure à celle de la population
française. Qu'en pensez-vous ?
4. On considère l'ensemble des entiers naturels 0, 1, 2, 3, 4, ...

Il y a autant de nombres pairs 0, 2, 4, 6, ... que d'entiers natu
rels. Qu'en pensez-vous ?
5. 1 500 candidats passent un concours de la fonction publi

que du type CAPES ou agrégation. Il y a un concours interne et
un concours externe. La répartition par sexe est introduite dans
le tableau suivant :
Concours Concours
interne externe
Hom m es Présents 100 900
Reçus 50 720
Femmes Présentes 300 200
Reçues 150 160
Ainsi, 1 000 hommes se sont présentés au concours et 770 l'ont

réussi, et 500 femmes se sont présentées et 310 l'ont réussi. En
passant aux pourcentages, cela représente 77 % de réussite pour
les hommes et 62 % de réussite pour les femmes.
En conclusion, les hommes réussissent mieux ce concours que
les femmes. Qu'en pensez-vous ?
6. On peut penser qu'il est de plus en plus difficile d'inventer

de nouveaux théorèm es. Com bien de nouveaux théorèm es
mathématiques sont publiés chaque année dans le monde ?
□ o
□ 10
□ 1 000
□ 100 000
88
LES ILLUSIONS
7. On considère un carré de côté 8, que Ton découpe en deux

triangles rectangles et deux trapèzes rectangles.
Puis nous plaçons les quatre morceaux de façon à form er un

rectangle.
8 5
5 5
5 8
L a ire du carré de départ est 82= 64 et laire du rectangle après

reconstruction est 13 x 5 =65. Mais que s est-il passé ?
8. Les deux droites horizontales ci-dessous sont-elles parallèles ?
89
9. Lequel de ces deux segments - sans tenir compte des pointes -

est le plus grand ?
<— >
>------ <
10. Lequel de ces deux disques centraux possède la plus grande

aire ?
11. Quel est le nom de cette illusion célèbre ?
90
LES ILLUSIONS
12. Quel nom donne-t-on aux illusions suivantes ?
13. Pour conclure, je vous demande de comparer le nombre

d'heures de cours en mathématiques dun élève de sixième au
nombre d'heures de cours en mathématiques d'un élève de pre
mière scientifique :
G 4 heures en sixième et 4 heures en première S
91
Réponses
1. non, Nicolas n’a pas forcément plus de chances qu’Alain d’être

élu.
On peut avoir la configuration suivante :
- Un tiers des électeurs donne comme ordre de préférence :
Nicolas, Ségolène, Alain.
Ségolène, Alain, Nicolas.
Alain, Nicolas, Ségolène.
Maintenant, comparons les chances de Nicolas à celles d'Alain.
Deux tiers des électeurs préfèrent Alain à Nicolas !
2. les deux sont possibles.

Quand on dit « tous les nombres premiers sont impairs sauf
un », on veut dire que un seul nombre premier est pair, et quand
on dit « tous les nombres premiers sont impairs sauf deux », cela
signifie que ce nombre est 2.
3. il faut se méfier des statistiques.

Quand on calcule l'espérance de vie d'un homme, on fait la
moyenne de la durée de vie des personnes de 0 à plus de 100 ans.
Les personnes mortes avant l'âge de 20 ans, même s'il y en a peu,
tirent la moyenne vers le bas. Mais quand on calcule l'espérance
de vie d'un sénateur, il y a dans cet échantillon seulement des
personnes d'un certain âge. La comparaison est impossible.
Voici une petite histoire sur les statisticiens :
La mère de trois enfants est actuellement enceinte du quatrième
enfant. Un soir, le père (un statisticien) dit à sa femme : « Tu
savais, chérie, que notre nouvel enfant allait être chinois ?
- Quoi ?
- Eh bien, oui ! Un enfant sur quatre qui naît est chinois. »
4. oui, il y a autant d’entiers naturels que de nombres pairs.

Pour s'en convaincre, il suffit d'associer son double à chaque
entier naturel. Chaque entier naturel a un et un seul double, et
chaque nombre pair est le double d'un et un seul entier naturel.
On peut résumer cette situation à l'aide d'un tableau.
92
LES ILLUSIONS
E ntier 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
D ouble 0 2 4 6 8 10 12 14 16 ...
5. faux. Les femmes réussissent aussi bien que les hommes.

Comparons les résultats pour le concours interne :
- Hommes : 50 reçus sur 100, donc 50 % de réussite.
- Femmes : 150 reçues sur 300, donc 50 % de réussite.
Pour le concours interne, il y a le même taux de réussite chez
les deux sexes.
Comparons les résultats pour le concours externe :
- Hommes : 720 reçus sur 900, donc 80 % de réussite.
- Femmes : 160 reçues sur 200, donc 80 % de réussite.
Pour le concours externe, il y a le même taux de réussite chez
les deux sexes.
En conclusion, les fem m es réussissent aussi bien que les
hommes.
6 . 100 000.
On peut en effet estimer à 100 000 le nombre de théorèmes pro
duits chaque année dans le monde. Il devient alors difficile de
tous les examiner et dégager ceux qui semblent les plus impor
tants. C est un réel problème, d'autant que la spécialisation va
en s'accentuant. On peut estimer que 95 % des mathématiciens
professionnels sont incapables de se comprendre les uns les
autres.
7. il y a un trou.
Quand nous disposons les quatre figures (deux triangles et
deux trapèzes), nous pensons obtenir un rectangle, mais c'est
faux.
M 5
5 5
93
Les points M, N, O, P ne sont pas alignés et il existe un trou très

petit entre les côtés des quatre figures. L aire de ce trou est évi
demment égale à 1.
8. oui, les droites sont parallèles.

C'est l'illusion de Hering, psychologue allemand. Les droites
parallèles semblent incurvées vers l'extérieur. On peut construire
une illusion où elles semblent incurvées vers l'intérieur.
9. les deux segments ont la même longueur.

C'est l'illusion de Müller-Lyer.
10. les deux disques centraux ont la même aire.

C'est l'illusion de Titchener.
11. l'illusion de Zollner.

Les lignes obliques sont parallèles.
12. les illusions subjectives.

Nous croyons voir des cercles ou un triangle équilatéral alors
qu'ils ne sont pas dessinés.
13. 4 heures en sixième et 4 heures en première.

Les mathématiques sont malmenées au lycée : année après année,
nous assistons à une diminution des horaires et le niveau s'effon
dre. Voici une question proposée au baccalauréat ès sciences
session d'avril-mai 1888 :
« On donne une circonférence de diamètre [AB]. Par le point A,
mener une corde [AC] telle que, si l'on faiLtourner la figure
autour de [AB], la zone engendrée par l'arc AB soit dans un rap
port donné m/n avec la surface latérale d'un cône engendré par
la droite (AC)... »
Un élève est actuellement incapable de com prendre un tel
énoncé ne serait-ce qu'au niveau de la langue française. Sans
aller si loin, nos élèves ne peuvent plus faire un sujet de
mathématiques des années 1980. Nous constatons chez eux
une nette insuffisance dans l'entraînement du calcul algébri
que ; ils sont perdus devant la manipulation des expressions
littérales, ce qui pose des problèmes en physique ou en sciences
économiques.
94
LES ILLUSIONS
Les nouveaux programmes de seconde viennent d arriver ; leurs

objectifs en ternies de compétences et de connaissances s'alignent
sur le niveau des élèves les plus faibles ou sur celui des moins
motivés.
Pour finir ces digressions mathématiques sur une note « posi

tive », je vous propose une dernière petite... « parabole » humo
ristique :
Lors d'un entretien d'embauche, un chef d'entreprise reçoit
quatre étudiants : le premier, frais émoulu de l'École polytech
nique, le second de HEC, le troisième, informaticien et le dernier
sortant de l'université.
Le chef d'entreprise explique aux quatre candidats qu'en défini
tive, pour diriger une entreprise, il suffit de savoir compter.
Il s'adresse donc au premier d'entre eux, le polytechnicien, et lui
dit : « Allez-y, comptez... »
Le polytechnicien : « Un... Deux... Un... Deux... Un... Deux... »
L'homme, étonné, s'adresse ensuite à l'étudiant sortant de HEC :
« À vous ! Comptez... »
L'étudiant sortant de HEC : « Un kilo-euro, deux kilo-euros,
trois kilo-euros... »
Il se retourne ensuite vers l'informaticien : « À vous ! Comptez... »
L'informaticien : « 0, 1, 10, 11, 100, . . . »
Désespéré, le chef d'entreprise s'adresse au dernier candidat sor
tant de faculté : « Allez-y, comptez... »
Le jeune homme commence :
« 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... »
Le chef d'entreprise rassuré : « Continuez, continuez... »
« . . . 8, 9, 10, valet, dame, roi... » !
Composition PCA
Achevé d'imprimer en Italie par üfer Grafica Veneta
en octobre 2010 pour le compte de E.J.L.
87, quai Panhard-et-Levassor, 75013 Paris
Dépôt légal octobre 2010
EAN 9782290021002
Diffusion France et étranger : Flammarion

MÉMO
La série Mémo propose des ouvrages de référence inédits,
complets et accessibles, pour apprendre, comprendre
ou se perfectionner dans les grands domaines du savoir.
Rédigés par des spécialistes, ils permettent de mémoriser
les règles et formules essentielles... et de s'amuser aussi !
Les maths <xynt iÀ/lU

Savez-vous décliner vos identités remarquables? Vous souvenez-
vous du théorème de Napoléon ?Quelle est la probabilité pour
que vous réussissiez à répondre aux 100 questions de cet ouvrage?
Pas de panique : ce Librio permet à tous de mettre un peu
defantaisie dans l’utilisation des maths avec des énigmes,
des épreuves de logique et des exercices ludiques. Vous trouverez
des réponses claires pour aborder l'algèbre et la géométrie
en toute sérénité.
Un ouvrage qui permet de passer en revue l’histoire
des mathématiques, de tester son Ql et de voir d’un œil nouveau
les calculs de la vie quotidienne. Àutiliser... sans compter !
Alain Gastineau est professeur agrégé de mathématiques,
et enseigne au lycée et en classe préparatoire. Il a déjà publié
plusieurs ouvrages à succès chez Librio.
Couverture : Éditions J'ai lu © Margaux Motin.
www.librio.net

Les Maths Sont Un Jeu (PDFDrive)

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Les Maths Sont Un Jeu (PDFDrive)

Transféré par

Informations du document

Titre original

Copyright

Formats disponibles

Partager ce document

Partager ou intégrer le document

Options de partage

Avez-vous trouvé ce document utile ?

Ce contenu est-il inapproprié ?

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Les Maths Sont Un Jeu (PDFDrive)

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

ALAIN GASTINEAU

I 100 jeux pour s'amuser... sans compter

Le français est un jeu, Librio n° 672

Les maths W ; wn/

1. Le cauchem ar des écoliers

« Je me souviens des heures que fa i passées,

Jeux de hasard (plus de 5 millions de personnes jouent au loto

des méthodes générales, à base d'axiomes, de théorèmes, de défi­

Ces problèmes improbables ont été le cauchemar de plusieurs

Les premiers exercices ne nécessitent aucun savoir-faire dans

1. Une bouteille et son bouchon pèsent ensemble 110 g et la

2. Une poule et demie pond un œuf et demi en un jour et demi.

3. Deux trains partent respectivement de deux gares distantes

4. Trois personnes, Axel, Ève et Iris, sont placées dans cet

5. Un nénuphar double sa surface tous les jours et couvre un

6. Au rugby, la commission chargée de juger les actes délic­

7. Un escargot se trouve au pied dun mur de 15 mètres de

8. Vu le prix des cigarettes, Ève, fumeuse et pas très riche,

9. Au Grand Prix de Monaco, Lewis Hamilton double le second

11. Monsieur Vinet dit à son facteur :

12. Une baignoire peut se remplir à laid e de deux robinets.

13. Nous avons à notre disposition un pot de 1 litre et un pot

De combien de façons peut-on vider un tonneau de 8 litres ?

14. Un père dit à son fils :

15. On peut compliquer le problème en posant :

additionner toutes ces distances. Nous sommes alors face au

8. elle fumera 4 cigarettes et il restera 3 mégots.

10. deux pesées.

11.2 ans, 2 ans et 9 ans.

Le facteur voit le numéro de la maison située en face de celle de

12. 1 minute et 20 secondes.

2 litres, il resterait 4 litres et u (4) façons de le vider. Finalement,

Leonardo FIBONACCI (1180-1250)

Remarque : on peut généraliser et montrer que le nombre de

Reprenons les nombres de Fibonacci et effectuons le rapport de

Le n o m b re d 'o r est le nom bre -— > il vaut en viron

peut-il avoir de descendants par an, en supposant que chaque

Qui n'a pas entendu parler du théorème de Thalès ou de celui

1. Il existe un théorème en géométrie qui met enjeu trois trian­

2. Le crible d'Ératosthène est :

3. Qui a cité la proposition suivante : « Si x et x + 2 sont deux

4. Qui parmi ces mathématiciens a obtenu le prix Nobel de

5. Grigori Perelman est un mathématicien russe qui a :

6. Quels sont les deux seuls mathématiciens connus des collé­

7. Le professeur : « Combien font, et ceci est la moindre des cho­

8. Qui a dit : « Ne t'inquiète pas si tu as des difficultés en

9. Qui a dit : « Arithmétique ! algèbre ! géométrie ! trinité gran­

10. Qui est m ort en duel à l'âge de 21 ans et a écrit la veille de

11. Qui a résolu la conjecture émise par Fermât au x v if siècle ?

12. Quelle femme née un 1er avril utilise le pseudonyme d'Antoine

13. Qui a obtenu une approximation de 7Ten lançant un grand

14. Quel mathématicien, grâce à sa mémoire prodigieuse et à

Joseph Louis LAG R AN G E (1736-1813)

2. un algorith m e détectant les nom bres prem iers.

12 n'est pas un nombre premier car il est, par exemple, divisible

La liste des nombres premiers inférieurs à 100 est donc :

ÉRATOSTHÈNE de Cyrène (environ 200 av. J.-C.)

4. autre réponse (aucun).

5. refusé un chèque de un m illio n de dollars.

des méthodes générales, à base d'axiomes, de théorèmes, de défi

6. Au rugby, la commission chargée de juger les actes délic

1. Il existe un théorème en géométrie qui met enjeu trois trian

6. Quels sont les deux seuls mathématiciens connus des collé

7. Le professeur : « Combien font, et ceci est la moindre des cho

9. Qui a dit : « Arithmétique ! algèbre ! géométrie ! trinité gran

Pythagore de Samos est un mathématicien grec connu des col

sombres, ne désire plus que de s'élever, d'un vol léger, en construi

Ce chapitre aborde les principaux ensembles de nombres étu