2016 Lass Oued 76680

Contributions aux équations d’évolution
frac-différentielles
Rafika Lassoued
To cite this version:

Rafika Lassoued. Contributions aux équations d’évolution frac-différentielles. Equations aux dérivées
partielles [math.AP]. Université de La Rochelle; Université de Monastir (Tunisie), 2016. Français.
�NNT : 2016LAROS001�. �tel-01661424�
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lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de
teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires
abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
Université de La Rochelle/Université de Monastir
Thèse
présentée en première version en vu d’obtenir le grade de
Docteur
spécialité: Mathématiques
par
Rafika Lassoued
Contributions aux équations

d’évolution frac-différentielles
Thèse dirigée par

Pr. Mokhtar KIRANE/Pr. Ferdaous KELLIL
soutenue le le 08 Janvier 2016 devant le jury composé de :
Pr. Kais AMMARI Université de Monastir (Examinateur)

Pr. Mohammed GUEDDA Université de Picardie Jules Verne (Rapporteur)
Pr. Mohammed Ali JENDOUBI Université de Tunis El Manar (Président)
Pr. Ferdaous KELLIL Université de Monastir (Co-Directeur)
Pr. Mokhtar KIRANE Université de La Rochelle (Co-Directeur)
Pr. Mohamed MAJDOUB Université de Tunis El Manar (Rapporteur)
À mes parents
Remerciements
M es chaleureux remerciements s’adressent aux professeurs Ferdaous

KELLIL et Mokhtar KIRANE qui ont dirigé cette thèse en cotu-
telle entre l’université de Monastir et l’université de La Rochelle. Qu’ils
trouvent ici ma profonde gratitude pour la confiance et la sympathie
dont ils m’ont témoignées au cours des années de thèse. Leurs qualités,
tant humaines que scientifiques furent pour moi un apport inestimable.
Je tiens à remercier vivement Professeur KIRANE pour m’avoir ac-

cueillie pendant mon séjour à l’université de La Rochelle avec beaucoup
de bienveillance et de disponibilité malgré ses occupations multiples.
J’ai beaucoup appris à son contact, j’espère avoir encore l’occasion de
profiter de leur sens physique et de sa grande culture scientifique dans
les années à venir.
Je suis très reconnaissante à Madame KELLIL qui m’a encouragée à

choisir le chemin de la recherche ; elle m’a suivie et soutenue dès mon
master de recherche avec une grande gentillesse et disponibilité. Elle
a été toujours ma tutrice pédagogique. Elle s’est beaucoup impliquée
dans la thèse et l’avant-thèse, me permettant de réaliser mon souhait
professionnel, je ne la remercierai jamais assez pour cela.
Je tiens tout particulièrement à remercier Monsieur Mohammed Ali

JENDOUBI, Professeur à la faculté des sciences de Tunis-Université de
Tunis El Manar, pour m’avoir fait l’honneur d’être président du jury.
Je suis très sensible à l’intérêt qu’ont bien voulu porter à ce travail

Monsieur Mohamed MAJDOUB, Professeur à la faculté des sciences de
Tunis-Université de Tunis El Manar, et Monsieur Mohammed GUEDDA,
Professeur à l’université de Picardie Jules Verne. Je tiens à les remercier
pour m’avoir fait l’honneur d’être rapporteurs de ce mémoire.
Je suis honorée par la présence de Monsieur Kais AMMARI, Profes-

seur à la faculté des sciences de Monastir-Université de Monastir . Je
le remercie très chaleureusement d’accepter avec une grande sympathie
d’être membre de mon jury.
J’adresse un grand merci à Monsieur Rabah KELLIL pour ses pré-

cieux conseils et ses encouragements.
v
Mes respectueux remerciements s’adressent au Monsieur Lotfi KA-
MOUN, Professeur à la faculté des sciences de Monastir-Université de
Monastir, pour son aide et sa disponibilité.
Je tiens à remercier Monsieur Ali BAKLOUTI, directeur du laboratoire

des Mathématiques Appliquées et d’Analyse Harmonique (LAMHA-
Sfax) pour l’accord qu’il m’a donnée au financement de stages.
Je remercie également Madame Wassila secrétaire à la faculté des

sciences de Monastir, mesdames Isabelle Hirsch, Jennifer De La Corte
Gomez et Sylviane Picq secrétaires à l’université de La Rochelle pour
leur aide dans les démarches administratives.
Enfin, je profite de cette occasion pour exprimer ma profonde grati-

tude à mon père, ma mère ainsi que mes frères et soeurs et tout le reste
de ma famille pour leur amour et soutien tout au long de ces années
d’études.
J’exprime mes sentiments de fraternité et d’amour à mes amies Dorsaf,
Rawdha, Wided, Besma en témoignage de tous les moments que nous
avons passés ensemble.
Monastir, le 8 Janvier 2016.
vi
Résumé
Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux équations diffé-
rentielles fractionnaires. Nous avons commencé par l’étude d’une équa-
tion différentielle fractionnaire en temps. Ensuite, nous avons étudié trois
systèmes fractionnaires non linéaires ; le premier avec un Laplacien frac-
tionnaire et les autres avec une dérivée fractionnaire en temps définie au
sens de Caputo.
Dans le premier chapitre, nous avons établi les propriétés qualitatives
de la solution d’une équation différentielle fractionnaire en temps qui
modélise l’évolution d’une certaine espèce. Plus précisément, l’existence
et l’unicité de la solution globale sont démontrées pour certaines valeurs
de la condition initiale. Dans ce cas, nous avons obtenu le comportement
asymptotique de la solution en t−α . Sous une autre condition sur la don-
née initiale, la solution explose en temps fini. Le profil de la solution et
l’estimation du temps d’explosion sont établis et une confirmation nu-
mérique de ces résultats est présentée.
Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l’étude théorique de trois sys-
tèmes fractionnaires : un système de la diffusion anormale qui décrit la
propagation d’une épidémie infectieuse de type SIR dans une popula-
tion confinée, le Brusselator avec une dérivée fractionnaire en temps et
un système fractionnaire en temps avec une loi de balance.
Pour chaque système, on présente l’existence globale et le comportement
asymptotique des solutions. L’existence et l’unicité de la solution locale
pour les trois systèmes sont obtenues par le théorème de point fixe de
Banach. Cependant, le comportement asymptotique est établi par des
techniques différentes : le comportement asymptotique de la solution du
premier système est démontré en se basant sur les estimations du semi-
groupe et le théorème d’injection de Sobolev. Concernant le Brusselator
fractionnaire, la technique utilisée s’appuie sur un argument de feedback.
Finalement, un résultat de régularité maximale est utilisé pour l’étude du
dernier système.
Mots clés
Calcul fractionnaire, dérivée fractionnaire, Laplacien fractionnaire,
système de réaction-diffusion, équation différentielle fractionnaire, so-
lution explosive, temps d’explosion, existence globale, comportement
asymptotique.
vii
Liste de publications
Les questions abordées dans cette thèse ont fait l’objet de deux ar-
ticles publiés et de deux autres soumis :
1. D. Hnaien, F. Kellil, R. Lassoued, Blowing-up solutions and global

solutions to a fractional differential equation, publié dans Fractional
Differential Calculus 4(1) : 53-61, 2014.
2. D. Hnaien, F. Kellil, R. Lassoued, Asymptotic behavior of global

solutions of an anomalous diffusion system, publié dans Journal of
Mathematical Analysis and Applications 421 : 1519-1530, 2015.
3. Mahmoud Boutefnouchet, Mokhtar Kirane, R. Lassoued, Global

existence and large time behavior of solutions of the time fractional
Brusselator, soumis dans Nonlinear Analysis Series B : Real World
Applications.
4. Ahmed Alsaedi, Mokhtar Kirane, R. Lassoued, Global existence and

asymptotic behavior for a time fractional reaction-diffusion system, sou-
mis dans Computers and Mathematics with applications.
Dans les publications mathématiques, l’ordre des noms des auteurs est al-
phabétique.
viii
Abstract
In this thesis, we are interested in fractional differential equations. We

begin by studying a time fractional differential equation. Then we study
three fractional nonlinear systems ; the first system contains a fractional
Laplacian, while the others contain a time fractional derivative in the
sense of Caputo.
In the second chapter, we establish the qualitative properties of the
solution of a time fractional equation which describes the evolution of
certain species. The existence and uniqueness of the global solution are
proved for certain values of the initial condition. In this case, the asymp-
totic behavior of the solution is dominated by t−α . Under an other condi-
tion, the solution blows-up in a finite time. The solution profile and the
blow-up time estimate are established and a numerical confirmation of
these results is presented.
The chapters 4, 5 and 6 are dedicated to the study of three fractional
systems : an anomalous diffusion system which describes the propaga-
tion of an infectious disease in a confined population with a SIR type,
the time fractional Brusselator and a time fractional reaction-diffusion
system with a balance law.
The study includes the global existence and the asymptotic behavior. The
existence and uniqueness of the local solution for the three systems are
obtained by the Banach fixed point theorem. However, the asymptotic be-
havior is investigated by different techniques. For the first system our re-
sults are proved using semi-group estimates and the Sobolev embedding
theorem. Concerned the time fractional Brusselator, the used technique
is based on an argument of feedback. Finally, a maximal regularity result
is used for the last system.
Keywords
Fractional calculus, fractional derivative, fractional Laplacian,
reaction-diffusion system, fractional differential equation, blowing-up
solution, blow-up time, global existence, asymptotic behavior.
List of publications
The issues addressed in this thesis are the subjects of two articles
published and two submitted :
ix
1. D. Hnaien, F. Kellil, R. Lassoued, Blowing-up solutions and global
solutions to a fractional differential equation, published in : Fractional
Differential Calculus 4(1) : 53-61, 2014.
2. D. Hnaien, F. Kellil, R. Lassoued, Asymptotic behavior of global so-

lutions of an anomalous diffusion system, published in : Journal of
Mathematical Analysis and Applications 421 : 1519-1530, 2015.
3. Mahmoud Boutefnouchet, Mokhtar Kirane, R. Lassoued, Global

existence and large time behavior of solutions of the time fractional
Brusselator, submitted to : Nonlinear Analysis Series B : Real World
Applications.
4. Ahmed Alsaedi, Mokhtar Kirane, R. Lassoued, Global existence and

asymptotic behavior for a time fractional reaction-diffusion system, sub-
mitted to : Computers and Mathematics with applications.
In mathematics, the order of authors in a paper is alphabetical.
x
Table des matières
Table des matières xi
Liste des figures xii
Notations xiii
1 Introduction 1
1.1 Structure de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exemples d’applications de la dérivation fraction-
naire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Présentation des résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . 5
2 Théorie du calcul fractionnaire 15

2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Outils mathématiques et fonctions spécifiques . . . . . 17
2.3 Intégration et dérivation fractionnaire . . . . . . . . . 21
2.3.1 Intégrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . 21
2.3.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . 22
2.3.3 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo . . . . . . . . . . 24
2.4 Laplacien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Les opérateurs de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Blowing-up solutions and global solutions to a

fractional differential equation 33
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Asymptotic behavior of global solutions of an

anomalous diffusion system 45
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Local existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Global existence and asymptotic behavior . . . . . . . . 51
5 Global existence and large time behavior of so-

lutions of the time fractional Brusselator 59
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
xi
5.2 Preliminaries and definitions . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Local existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Global existence and large time behavior . . . . . . . . 67
6 Global existence and asymptotic behavior for a

time fractional reaction-diffusion system 75
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Local existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Conclusion générale 87
A Compléments mathématiques 89
A.1 Lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.2 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A.3 Démonstration de la remarque 4.2.4 . . . . . . . . . . . . 91
Bibliographie 93
Liste des figures
1.1 Le profil de concentration total P( x, t) dans un domaine de

longueur L = 1 à un temps fixé, avec d = 0.1, λ1 = λ2 = 1,
v = 0 et dt = 0.0005. En noir γ1 = γ2 = 0.5, en bleu γ1 =
γ2 = 0.2. Les symboles représentent la méthode de Monte
Carlo réalisée avec 100000 particules. Les lignes continues
représentent l’intégration numérique de l’équation (1.3). . . 4
1.2 Le profil de concentration totale P( x, t) dans un domaine
de longueur L = 1 à un temps fixé, avec d = 0.1 ,
λ1 = λ2 = 1, v = 0.5 et γ1 = 0.2, γ2 = 0.5. Les sym-
boles représentent la simulation par la méthode de Monte
Carlo et les lignes continues représentent l’intégration nu-
mérique de l’équation (1.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Fonction Eα (−tα ) pour 0 < α ≤ 1 et pour 0 < α ≤ 2. . . . . . 19
3.1 Solutions for α = 0.5 and u0 = 5, 3, 2. . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Solutions for u0 = 5 and α = 0.3, 0.5. . . . . . . . . . . . . . 42
xii
Notations
Ensembles
N l’ensemble des entiers naturels
Z l’ensemble des entiers relatifs
R, R+ l’ensembles des réels et des réels positifs
C l’ensemble des nombres complexes
RN l’espace réel euclidien de dimension N ≥ 1
Ω un domaine borné régulier dans R N ( N ≥ 1) de bord ∂Ω
Fonctions, Espaces des fonctions

Eα (.) la fonction de Mittag-Leffler à un paramètre
Eα,β (.) la fonction de Mittag-Leffler à deux paramètres
L (resp. L−1 ) transformée de Laplace (resp. transformée de Laplace
inverse)
F (resp. F −1 ) transformée de Fourrier (resp. transformée de Fourrier
inverse)
C([0, T ], X ) l’ensemble des fonctions continues sur [0, T ] à valeurs
dans X
C n ([0, T ]) l’espace des fonctions de classe C n sur [0, T ] pour tout
n∈N
L p (Ω) l’espace des fonctions mesurables u sur Ω tel que |u| p
est intégrable
(1 ≤ p < ∞)
∞
L (Ω) l’espace des fonctions mesurables u sur Ω tel qu’il existe
une constante C tel que |u( x )| ≤ C pour presque tout x ∈ Ω
Lq (0, T; X ) l’espace des fonctions mesurables u sur I à valeurs dans
q
X et tel que kuk X est intégrable ( 1 ≤ q < ∞ )
AC ([0, T ]) l’espace des fonctions absolument continues sur [0, T ]
W m,1 ([0, T ]) l’espace de Sobolev usuel
L( X ) l’espace des fonctions linéaires continues de X dans X
muni de la norme k.kL(X )
Normes
Z 1p
kuk p := |u( x )| dx pour u ∈ L p (Ω)
Ω
kuk∞ :=inf{C > 0, |u( x )| ≤ C presque partout} pour u ∈ L∞ (Ω)
xiii
Z t 1q
q
kuk p,q,T := sup ku(τ )k p dτ
0< t < T 0
Z t 1q
q
kuk p,q := sup ku(τ )k p dτ
0< t < ∞ 0
k A k L( X ) := sup k Auk X
k u k X ≤1
Autres opérateurs mathématiques

∗ le produit de convolution
(., .) le produit scalaire usuel
arg(.) l’argument d’un nombre complexe
Re(.) la partie réelle d’un nomre complexe
|.| le module d’un nombre complexe
Jtα l’opérateur de l’intégration fractionnaire
Dtα l’opérateur de la dérivation fractionnaire au sens de Riemann-Liouville
c Dα l’opérateur de la dérivation fractionnaire au sens de Caputo
t
xiv
Introduction
1
L’objectif principal de cette thèse est l’étude de l’existence et le com-
portement asymptotique des solutions de certaines équations différen-
tielles fractionnaires.
1.1 Structure de la thèse
1. Dans la section suivante, nous présentons quelques exemples de pro-
cessus décrits par des équations différentielles fractionnaires. Ensuite,
nous exposons un résumé de nos principaux résultats qui sont dévolop-
pés dans les chapitres de ce mémoire.
2. Nous commençons par rappeler dans le deuxième chapitre l’historique

de la théorie du calcul fractionnaire. Ensuite, nous exposons l’intégration
et la dérivation fractionnaire tout en passant par deux différentes ap-
proches. Nous présentons aussi les outils et fonctions spécifiques utilisés
lors de l’étude des équations différentielles fractionnaires.
3. Afin de répondre à une question posée par Nakagawa, Sakamoto et

Yamamoto[61], nous nous intéressons dans le troisième chapitre à l’équa-
tion
c α
Dt u(t) = −u(t)(1 − u(t)), t > 0 (1.1)
où u(0) = u0 et c Dtα , 0 < α < 1, est la dérivée fractionnaire définie au
sens de Caputo (voir la définition 2.3.7). Avec un changement de variable
convenable, cette équation modélise l’évolution d’une certaine espèce.
Dans cette partie, on commence par montrer que la solution de l’équa-
tion (1.1) est globale pour certaines valeurs de u0 . Dans ce cas, on établit
le comportement de la solution à l’infini. Cependant, quand la solution
est locale et le temps maximal d’existence est relié à une alternative
d’explosion, la solution explose en temps fini. Notre objectif, dans ce
dernier cas, est d’obtenir une estimation bilatérale pour la solution et
approximer le temps d’explosion.
4. Dans le quatrième chapitre, nous étudions l’existence et l’unicité de la

solution d’un système non linéaire fractionnaire dans un domaine borné.
C’est un système de réaction-diffusion avec une puissance fractionnaire
du Laplacien qui décrit la diffusion anormale d’une épidémie dans une
1
2 Chapitre 1. Introduction
population confinée. En deuxième lieu, nous établissons le comporte-

ment asymptotique de la solution.
5. Le cinquième chapitre est consacré à un système non linéaire des équa-

tions différentielles fractionnaires en temps. C’est une généralisation du
Brusselator qui est un système de réaction chimique auto-catalytique
[11]. Notre but est de montrer que la solution du système est globale.
On commence par établir une estimation L2 de la solution puis par la
méthode de feedback [71] on obtient une estimation L p pour tout p ≥ 2.
Ce résultat assure l’existence globale et le comportement de la solution à
l’infini.
6. Le sixième chapitre est dédié à l’étude d’un système de réaction-

diffusion avec des dérivées fractionnaires en temps. Notre objectif est
d’établir l’existence globale et le comportement asymptotique des solu-
tions. L’étude est basée sur un résultat de régularité maximale obtenu
par Bajlekova [8].
1.2 Exemples d’applications de la dérivation

fractionnaire
Le calcul fractionnaire apparait de plus en plus fréquement dans les
champs de recherche non seulement mathématique mais aussi physique.
Cette théorie devient le sujet de plusieurs ouvrages regroupés dans [51].
Cependant, le problème posé au début est l’interprétation physique de
la dérivation fractionnaire. L’absence d’une telle interpétation a été abor-
dée lors de la première conférence internationale en 1974 qui a eu lieu
à New Haven ainsi lors des autres conférences qui ont suivi en 1984 en
Angleterre à l’université de Strathclyde et en 1989 à Tokyo. Récemment,
plusieurs études théoriques et expérimentales ont été consacrées à cette
question. Ils ont trouvé que certains systèmes thermiques [10], électro-
chimiques [21], viscoélastique [75] sont régis par des équations différen-
tielles fractionnaires.
Les domaines d’applications du calcul fractionnaire deviennent de
plus en plus nombreux, par exemple l’électrochimie, la finance[54], la
mécanique [52], la biomédecine [9, 67], etc. Dans la suite, on cite quelques
modèles physiques qui sont décrits par la dérivation fractionnaire.
Rhéologie :
La dérivée fractionnaire procure un excellent instrument pour la des-
cription des propriétés de plusieurs matériaux et processus. Elle inter-
vient lors de la modélisation mécanique des gommes et des caoutchoucs,
plus généralement les matériaux à mémoire de forme, grâce à l’intégrale
associée dans sa définition.
À titre d’exemple, dans [5, 7], les auteurs ont introduit la dérivation
fractionnaire pour modéliser l’amortissement dans les équations de mou-
vement où les matériaux employés comme isolateurs ou amortisseurs
1.2. Exemples d’applications de la dérivation fractionnaire 3
sont viscoélastiques. La nouveauté est que l’introduction de la dérivation

fractionnaire réduit le nombre de paramètres du modèle ; par exemple
pour la modélisation du comportement contrainte-déformation d’un so-
lide, Bagley et Torvik [6] ont introduit un modèle à quatre paramètres au
lieu d’une dizaine,
(1 + bDtα )σ(t) = ( G0 + G1 Dtα )ε(t),
où σ et ε désignent respectivement la contrainte et la déformation et où

b, G0 , G1 et α sont les paramètres du modèle.
Mécanique : Diffusion anormale
Beaucoup d’auteurs ont affirmé que l’usage des opérateurs fraction-
naires est souhaitable pour la description des milieux hétérogènes. Par
exemple, dans [14] et auparavant [28] ils ont remarqué que le milieu est
capable de retenir une certaine mémoire, de plus le transport de masse
n’obéit pas à la loi de diffusion normale. Pour modéliser ce phénomène,
l’approche de dérivation fractionnaire est adaptée (voir Metzler et Klafter
[57], Sokolov et al.[78]). On présente deux possibilités pour la modéli-
sation de la diffusion anormale dans les milieux où les particules des
fluides subissent des retards irréguliers.
1. L’équation de Fokker-Planck fractionnaire :

Cette équation modélise le mouvement Brownien avec un champ des
forces extérieures. Afin de décrire le transport anormale, Metzler et Klaf-
ter [58] ont introduit une version fractionnaire en temps
1− γ d
∂t P( x, t) = Dt (∂ x F ( x ) + ∂2x ) P( x, t), (1.2)
2
γ
où Dt est la dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville (la défi-
nition 2.3.3), P( x, t), d, F ( x ) sont respectivement la densité, le coefficient
de la diffusion, la force extérieure.
2. Le modèle mobile/immobile (MIM) fractionnaire :

Le modèle classique MIM est basé sur l’existence des milieux avec des
zones stagnantes [26]. La version fractionnaire a été proposé par Schumer
[74] ; l’utilisation de la dérivée fractionnaire est motivée par le fait que le
MIM fractionnaire représente une combinaison entre les équations de
transfert de masse dans les zones mobile et immobile, de plus ce modèle
a des solutions qui décrivent fidèlement les caractéristiques importantes
d’évolution du soluté. L’équation qui relit les densités des particules mo-
biles ( dans une région E1 ) et immobiles (dans E2 ) est donnée par
(∂t + λ1 1E1 ( x ) c Dtγ1 + λ2 1E2 ( x ) c Dtγ2 ) P( x, t) = ∂ x (d ∂ x − v) P( x, t), (1.3)
où c Dt i , i = 1, 2, représente la dérivée fractionnaire au sens de Caputo,

γ
d, v, P( x, t) sont respectivement le coefficient de la diffusion, la vitesse

d’advection et la densité. L’ordre de la dérivation γi est l’exposant de
stabilité de la densité des particules (mobiles et immobiles) et λi repré-

sente l’intensité de stagnation dans la région Ei , i = 1, 2.
Une preuve numérique [69] vérifie que la solution de l’équation (1.3)

coïcide avec les résultats expérimentaux. Cette illustration montre aussi
la souplesse des outils disponibles pour approximer les solutions des
équations fractionnaires. La figure 1.1 représente cette comparaison dans
le cas où γ1 = γ2 et la figure 1.2 pour γ1 6= γ2 . Le cas particulier γ2 = 0
est traité dans [55].
Figure 1.1 – Le profil de concentration total P( x, t) dans un domaine de longueur

L = 1 à un temps fixé, avec d = 0.1, λ1 = λ2 = 1, v = 0 et dt = 0.0005. En noir
γ1 = γ2 = 0.5, en bleu γ1 = γ2 = 0.2. Les symboles représentent la méthode de Monte
Carlo réalisée avec 100000 particules. Les lignes continues représentent l’intégration
numérique de l’équation (1.3).
Figure 1.2 – Le profil de concentration totale P( x, t) dans un domaine de longueur

L = 1 à un temps fixé, avec d = 0.1 , λ1 = λ2 = 1, v = 0.5 et γ1 = 0.2, γ2 = 0.5.
Les symboles représentent la simulation par la méthode de Monte Carlo et les lignes
continues représentent l’intégration numérique de l’équation (1.3).
Outre les quelques exemples dévelopés ci-dessus, il y a de nombreux

phénomènes physiques qui sont régis par les opérateurs fractionnaires
1.3. Présentation des résultats obtenus 5
(dérivation et intégration), soit comme un outil de commande soit comme

un outil de modélisation dans le domaine de biologie, mécanique, auto-
matique, théorie du contôle, finance,.. pour plus de détails voir [9, 48, 54].
Cependant, l’analyse théorique des équations différentielles fraction-
naires n’a pas obtenue une attention importante. En particulier, la théorie
d’explosion en temps fini n’a été étudiée qu’à partir des dernières décen-
nies, on peut citer [43, 44].
La principale motivation de nos contributions est l’étude théorique
des équations différentielles fractionnaires en temps et/ou en espace.
Pour mettre en lumière les points importantes, nous présentons dans
cette introduction des énoncés simplifiés de nos résultats. Des énoncés
plus complets sont exposés dans les différents chapitres présentés ci-
après.
1.3 Présentation des résultats obtenus

Chapitre 3 : Solutions explosives et solutions globales d’une équa-
tions différentielle fractionnaire non linéaire
Ce chapitre est consacré à l’étude de l’équation différentielle fraction-

naire c α
Dt u(t) = −u(t)(1 − u(t)),
(1.4)
u (0) = u0 ,
où u0 > 0 et c Dtα , 0 < α < 1, représente la dérivée fractionnaire au
sens de Caputo. Notons que, avec le changement de variable w := 1 − u
l’équation (1.4) devient c Dtα w(t) = w(t)(1 − w(t)) qui modélise l’évolu-
tion d’une certaine espèce ; le terme de la réaction w(1 − w) décrit la loi
de l’augmentation de l’espèce.
Notre travail est une généralisation de l’équation bien connue ut =
−u(1 − u) pour laquelle on peut facilement établir que la solution est
globale pour 0 < u(0) < 1. Par contre, pour le cas où u(0) > 1, la solu-
tion ne peut pas exister globalement.
Motivés par ces résultats, nous nous intéressons par l’étude théorique
de l’équation (1.4). Plus précisement, l’existence locale est assuré par le
théorème 3.3.1 [39] et nos contributions sont présentées dans le théorème
suivant :
Théorème 1.3.1 Si 0 < u0 < 1, la solution du problème (1.4) est globale et
elle satisfait à 0 < u < 1. De plus, elle est donnée par
Z t
α
u(t) = Eα (−t )u0 + (t − s)α−1 Eα,α (−(t − s)α ) u2 (s)ds,
0
et il existe deux constantes c > 0 et c1 > 0 telles que
1 α α1
0 < u(t) 6 , 0 < t < T0 := . (1.5)
1
cu0 − cα1 tα c1 cu0
De plus on a pour 0 < e < 1,

c
u(t) 6 , t > 0. (1.6)
1 + e (1 − e ) t α
Si u0 > 1, la solution de (1.4) explose en un temps fini T ∗ : lim ∗ u(t) = +∞.

t−→ T
De plus on a les estimations bilatérales suivantes :
w(t) + 1 6 u(t) 6 w
e (t) + 1,
et
Γ(α + 1) α1 Γ(α + 1) α1
∗
6 T 6 ,
4(u0 − 21 ) u0 − 1
où
1 Γ(2α)
e (t) +
w ∼ ( T − t)−α , si t −→ Twe ,
2 Γ(α) we
Γ(2α)
w(t) ∼ ( Tw − t)−α , si t −→ Tw ,
Γ(α)
où Twe est le temps d’explosion de w,
e qui vérifie
Γ(α + 1) α1 Γ(α + 1) α1
6 Twe 6 ,
4(u0 − 12 ) u0 − 21
et Tw est le temps d’explosion de w, qui vérifie

Γ(α + 1) α1 Γ(α + 1) α1
6 Tw 6 .
4( u0 − 1) u0 − 1
La démonstration du premier résultat ( 0 < u0 < 1) est basée sur

le lemme A.1.1. Le comportement de la solution donnée par (1.6) se dé-
montre en comparant la solution u avec ū(t) := Eα (−ε(1 − ε)tα ), 0 <
ε < 1, où Eα (t) est la fonction de Mittag-Leffler (voir la définition 2.2.4).
Ensuite, on obtient le profil de la solution dans le cas où u0 > 1. En
comparant la fonction w := 1 − u avec w e et w qui explosent en temps fini
[45], on établit à la fois une estimation bilatérale de la solution u et du
temps d’explosion qui dépend de la condition initiale u0 et de l’ordre de
la dérivation α.
Finalement, une approximation numérique de la solution de l’équa-
tion (1.4) est présentée en utilisant la méthode de la convolution qua-
dratique. Cette illustration est une confimation numérique du résulat
théorique ; elle montre que la solution explose en temps fini lorsque
u0 > 1 (figure 3.1) et que le temps d’explosion dépend de u0 et α (figure
3.2).
Chapitre 4 : Comportement asymptotique des solutions globales

d’un système de diffusion anormale
Dans ce chapitre, nous étudions le système de réaction-diffusion non

linéaire avec un Laplacien fractionnaire
ut = − a (−∆)α u − λuv dans R+ × Ω,

(1.7)
vt = −b (−∆) v + λuv − µv dans R+ × Ω,
β
assujetti aux conditions initiales et aux limites suivantes

u( x, 0) = u0 ( x ), v( x, 0) = v0 ( x ) dans Ω,
∂u ∂v (1.8)
= = 0 dans R+ × ∂Ω,
∂ν ∂ν
où Ω est un domaine borné régulier dans R N de bord ∂Ω, u0 et v0
sont des fonctions positives bornées données et les constantes positives
a, b, λ et µ sont les paramètres du modèle.
Ce système modélise la diffusion anormale d’une épidémie infec-
tieuse de type SIR dans une population confinée. Les constantes λ et µ
représentent respectivement le taux d’infection et le taux de rétablisse-
ment ; u(t, x ) et v(t, x ) sont respectivement les densités des individus
susceptibles et infectés. On a supposé qu’il y a pas d’infection à travers
la frontière en utilisant les conditions aux limites de type Neumann.
La diffusion anormale qui est représentée par l’opérateur (−∆δ ), δ =
α ou β, décrit le fait que les individus ne se déplacent pas aussi libre-
ment ; ils ralentissent leurs mouvements à cause des obstacles.
Dans [81], l’auteur a étudié le système (1.7) avec le Laplacien classique
(diffusion normale) dans un espace unidimentionel. Il a étabi l’existence
globale en donnant le comportement de la solution à l’infini. Plus tard,
un modèle plus générale a été étudié par Haraux et Kirane [29]. On cite
aussi l’article de Fitzgibbon et Morgan [25] qui ont développé le système
étudié dans [81] mais dans un domaine borné arbitraire. Pour d’autres
travaux concernant le modèle épidémique SIR, on peut voir [40, 50].
Notre motivation dans cette partie est de donner une généralisation de
ce modèle qui tient compte de la diffusion anormale.
Afin de présenter le résultat d’existence locale de la solution du sys-
tème (1.7)-(1.8), on a besoin de définir la solution douce.
Définition 1.3.2 Solution douce
Soient u0 , v0 ∈ L∞ (Ω) et T > 0. On dit que (u, v) ∈ C([0, T ]; L∞ (Ω) ×
L∞ (Ω)) est une solution douce de (1.7) − (1.8) si pour tout t ∈ [0, T ] on a
 Z t
 u(t) = e
 − atA p u0 − λ e−a(t−s) A p (uv)(s) ds,
Z 0t Z t
−b(t−s) B p
 v(t) = e−btBp v0 + λ e (uv)(s) ds − µ e−b(t−s) Bp v(s) ds,

0 0
(1.9)
où A p (resp. B p ) est la réalisation de (−∆ N )α ( resp. (−∆ N ) β ) dans L p (Ω), et
e−tA p (resp. e−tB p ) est le semi-groupe engendré par − A p (resp. − B p ).
Maintenant, on énonce le théorème suivant qui assure l’existence et

l’unicité de la solution locale.
Théorème 1.3.3 Soient u0 , v0 ∈ C(Ω̄), alors il existe un temps maximale
Tmax > 0 et une unique solution douce (u, v) ∈ C([0, Tmax ); C(Ω̄) × C(Ω̄))
). De plus, soit Tmax = +∞, soit Tmax < +∞ et
système (1.7) − (1.8
du
ku(t)k∞ + kv(t)k∞ −→ +∞ lorsque t −→ Tmax .
Ce théorème se démontre en appliquant le théorème du point fixe de

Banach (voir Théorème A.2.1).
Avant d’énoncer le résultat principale, nous présentons un lemme
dont nous avons montré une estimation de semi-groupe utile dans la
suite. Ce lemme est une généralisation d’un résultat obtenu dans [71].
Soient p, q, r ∈ [1, +∞], r 6 p 6 q et θ ∈ [0, 1] tels que
Lemme 1.3.4
1 θ 1−θ
= + , alors pour tout u ∈ Lr (Ω) on a
p r q
−n ( 1 − 1 )
ke−tA p uk p 6 e−λ1 θt m(t) 2α
α
r p k u kr , (1.10)
où m(t) = min{t, 1} et λ1 est la plus petite valeur propore strictement positive

du Laplacien avec une condition aux limites de type Neumann homogènes .
Finalement, un résultat d’existence globale et de convergence de la
solution du (1.7)-(1.8) est résumé dans le théorème suivant.
Théorème 1.3.5 Soit (u0 , v0 ) ∈ C(Ω̄) × C(Ω̄) tel que u0 > 0, v0 > 0. Alors
il existe une unique solution globale (u, v) de (1.7) − (1.8) vérifiant :
1. u( x, t) > 0, v( x, t) > 0; x ∈ Ω, t > 0.
2. u ∈ C B (R+ , C(Ω̄)), v ∈ C B (R+ , C(Ω̄)).
3. lim kv(t)k∞ = 0; ∃ u∞ > 0 tel que lim ku( x, t) − u∞ k∞ = 0.
t−→+∞ t−→+∞
La preuve du théorème 1.3.5 s’appuie sur un raisonnement similaire à

celui qui est fait par Haraux et Kirane [29], pour montrer que la solution
(u, v) est bornée. Ensuite, la convergence de (u, v) vers (u∞ , 0) dans C(Ω̄)
est établi en se basant sur le lemme A.1.3 et le théorème d’injection de
Sobolev.
Le théorème suivant expose le comportement asymptotique de la so-
lution qui est décrit par le taux de convergence de (u, v) vers (u∞ , 0) dans
L∞ (Ω) ; sa démonstration est basée sur l’estimation (1.10).
Théorème 1.3.6 On suppose que (u, v) est la solution de (1.7) − (1.9) et que
µ − λu∞ > 0. Alors il existe des constantes positives T et C telles que
Ce−ξ (t−T ) ,

si h(u∞ ) 6= aθλ1α , t > T,
ku(t) − u∞ k∞ 6
C (t − T + 1)e−ξ (t−T ) si h(u∞ ) = aθλ1α , t > T,
kv(t)k∞ 6 Ce−h(u∞ )(t−T ) , t > T,

où ξ = min{ h(u∞ ), aθλ1α }, h(u∞ ) = µ − λu∞ > 0, et θ est défini dans le

lemme 1.3.4.
Chapitre 5 : Existence globale et comportement asymptotique des
solutions du Brusselator avec des dérivées fractionnaires en temps
Ce chapitre est dédié à l’étude du système non linéaire suivant

(
c D β u = d ∆u − ( b + 1) u + u2 v + a,
t 1
c D β v = d ∆v + bu − u2 v,
(1.11)
t 2
dans Ω × R+ , assujetti aux conditions aux limites et initiales suivantes
∂u ∂v
( x, t) = ( x, t) = 0 sur ∂Ω × R+ ,
∂η ∂η (1.12)
u( x, 0) = u0 ( x ), v( x, 0) = v0 ( x ) dans Ω,
où Ω est un domaine borné régulier dans R N ( N ≥ 1) de bord ∂Ω.

c D β , 0 < β < 1, représente la dérivée fractionnaire au sens de Caputo.
t
u0 ( x ) et v0 ( x ) sont supposées positives et bornées ; u( x, t) et v( x, t) repré-
sentent les concentrations des espèces et d1 , d2 , a et b sont les paramètres
du modèle.
Le système obtenu en remplaçant la dérivée fractionnaire par la dé-
rivée classique est un système de réaction chimique auto-catalytique
dit le Brusselator. Ce modèle a été proposé par Progogine et Lefevre
en 1968. Plus tard, le Brusselator a attiré une importante attention. À
titre d’exemple, on cite Rothe[71], Bénilan et Labani[11], Hollis et al.[33],
Kirane[41], etc.
En considérant les opérateurs de Mittag-Leffler { Eβ (−t β A)}t≥0 et
{ Eβ,β (−t β A)}t≥0 associés à l’opérateur sectoriel A (voir la définiton
5.2.8), on introduit la solution douce du problème (1.11).
On suppose que u0 , v0 ∈ L∞ (Ω), et T > 0, on dit que (u, v) ∈
C([0, T ]; L∞ (Ω) × L∞ (Ω)) est une solution douce du système (1.11)-(1.12) si
elle vérifie
Z t
β
u(t) = Eβ (−t A1 )u0 + (t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A1 ) f (s, u(s), v(s)) ds,
0
Z t
v(t) = Eβ (−t β A2 )v0 + (t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A2 ) g(s, u(s), v(s)) ds,
0
pour tout t ∈ [0, T ] où Ai est la réalisation de (−di ∆) avec les conditions de
Neumann homogènes dans L p (Ω), i = 1, 2, et f (u, v) = −(b + 1)u + u2 v et
g(u, v) = bu − u2 v.
Dans la première partie de notre travail, on présente le résulat d’exis-
tence locale de la solution du problème (1.11)-(1.12).
Théorème 1.3.8 Existence Locale

Soient u0 , v0 ∈ C(Ω̄), alors il existe un temps maximal Tmax > 0 et une unique
solution douce (u, v) ∈ C([0, Tmax ); C(Ω̄) × C(Ω̄)) du système (1.11)-(1.12)
avec l’alternative :
- soit Tmax = +∞ ;
- soit Tmax < +∞, et dans ce cas lim ku(t)k∞ + kv(t)k∞ = +∞.
t→ Tmax
Si de plus u0 , v0 ≥ 0, u0 , v0 6≡ 0, alors on a u(t), v(t) > 0 pour tout t ∈
(0, Tmax ).
La preuve de l’existence locale se base sur le théorème du point fixe de
Banach (voir le théorème A.2.1). Pour montrer la positivité de la solution,
on a utilisé les techniques standards et le lemme 5.2.3 qui a joué un rôle
très important dans la théorie du calcul fractionnaire.
Comme première contribution, on établit une estimation en norme L2
de u et en norme L∞ de v dont on a besoin pour l’existence globale.
Théorème 1.3.9 Supposons que u0 , v0 ∈ C(Ω̄) sont telles que u0 , v0 ≥
0. Alors il existe une constante positive M telle que la solution (u, v) ∈
C([0, Tmax ); C(Ω̄) × C(Ω̄)) satisfait aux estimations suivantes :
kv(., t)k∞ ≤ M, pour t > 0, (1.13)

v ( x, t) ≤ Eβ (−t β A2 )v20 + Mt β ,
2
pour ( x, t) ∈ Ω × (0, Tmax ), (1.14)
ku(., t)k22 ≤ M(1 + t β ), pour t ∈ (0, Tmax ). (1.15)
Pour donner une estimation en norme L p de u, on a besoin du lemme

suivant qui est obtenu en utilisant l’argument de feedback et l’estimation
(1.15).
Lemme 1.3.10 Soient p0 , q1 , q2 ∈ [1, ∞], α ∈ (0, 12 ), δ ∈ (0, 1) et ε ∈ (0, 1)
tels que
ε 6 (1 − 2α)δ, (1.16)
N 1 1
− < 1, (1.17)
2 p0 p
Nβ 1 1
δ= − , (1.18)
2 p0 p
N 1 N N
+ + (1 − α) 6 1 + (1 − 2α) , (1.19)
2q1 βq2 2 2p
Nβ 1
1 1
− < . (1.20)
2 q0 q1 q2
Alors pour (u0 , v0 ) ∈ L p0 (Ω) × Lq0 (Ω), il existe des constantes positives M1
et M2 telles que
1
sup (m(t)δ kuk p ) 6 M1 ku0 k p0 + M2 m( T )ε (U + U 1−2α ) (1.21)
0< t < T
2(1− α )
où m(t) = min(1, t) and U = kvkq1 ,q2 k1 + uk2,∞ < ∞.
Finalement, nous présentons le résulat principal de notre travail qui

assure d’une part l’existence globale dans le cas particulier p0 = q0 =
p = q = ∞ et d’autre part le comportement asymptotique de la solution
du problème (1.11)-(1.12).
Théorème 1.3.11 Soient N ≤ 3 et p0 , q0 ∈ [2, ∞]. Pour (u0 , v0 ) ∈ L p0 (Ω) ×
Lq0 (Ω), le système (1.11)-(1.12) admet une unique solution globale qui satisfait
aux estimations
Nβ 1 1
sup m(t)δ ku(., t)k p ≤ M, pour p0 ≤ p ≤ ∞, δ = − ,
0< t < ∞ 2 p0 p
(1.22)
Nβ 1 1
sup m(t)η kv(., t)kq ≤ M, pour q0 ≤ q ≤ ∞, η = − , (1.23)
0< t < ∞ 2 q0 q
où m(t) = min(1, t) et M une constante positive .
Chapitre 6 : Existence globale et comportement asymptotique des
solutions d’un système de réaction-diffusion d’équations différen-
tielles fractionnaires en temps
Dans ce chapitre, nous nous intéressons au système de réaction-

diffusion fractionnaire suivant
(
c D β u − ∆u = f (u)v, dans Ω × R+ ,
t (1.24)
c D β v − d∆v = − f ( u ) v, dans Ω × R+ ,
t
avec les conditions aux limites et initiales suivantes

∂u ∂v
( x, t) = ( x, t) = 0 sur ∂Ω × R+ ,
∂η ∂η (1.25)
u( x, 0) = u0 ( x ), v( x, 0) = v0 ( x ) dans Ω,
où Ω est un domaine borné régulier dans R N ( N ≥ 1) de bord ∂Ω, u0 ( x )

et v0 ( x ) sont des fonctions positives données, d représente la constante
β
de la diffusion ; c Dt , 0 < β < 1, est la dérivée fractionnaire au sens de
Caputo. Concernant la non-linéarité f , nous supposons qu’il existe des
constantes positives M1 et M2 et un nombre réel p ≥ 1 tels que
0 ≤ f (u) ≤ M1 |u| p + M2 ,
et pour |u|, |ũ| ≤ R,
| f (u) − f (ũ)| ≤ L|u − ũ|.
Avant de présenter nos résulats, nous citons quelques exemples dans

la littérature concernant le système de réaction-diffusion avec une loi de
balance. Lors de l’étude temporelle des concentrations spatio-temporelles
des espèces U et V qui participent à la réaction moléculaire
mU + nV → (n + 1)V,
on est amené au système de réaction-diffusion
ut − a∆u = −um vn , x ∈ Ω, t > 0,

(1.26)
vt − b∆v = um vn , x ∈ Ω, t > 0,
où Ω est le milieu dans le quel la réaction moléculaire a lieu, u( x, t) et

v( x, t) sont les concentrations des espèces. Le système (1.26) a été étudié
par Masuda [56], Hollis et al.[33], Kanel et Kirane [37] et Abdelmalek et
Kouachi pour une situation plus générale [1] ; on cite aussi Ahmad et al.
[3] qui ont étudié le système fractionnaire en espace suivant
ut + (−∆) 2 u = − f (u, v), x ∈ Rn , t > 0,

α
β
vt − (−∆) 2 v = f (u, v), x ∈ Rn , t > 0,
via l’argument de dualité.

Notre objectif est l’étude de l’influence de la dérivée fractionnaire en
temps sur le comportement des solutions. Les dérivées fractionnaires
sont introduites lorsque le système a lieu dans un milieu irrégulier ou
fractal. Actuellement, les systèmes de réaction-diffusion sont largement
étudiés non seulement pour le côté mathématique mais aussi pour leurs
applications potentielles [46], [32], [30].
Dans cette partie, on établit l’existence locale de la solution du sys-
tème (1.24)-(1.25). Ensuite, l’existence globale et le comportement asymp-
totique sont obtenus en utilisant un résultat de régularité maximale ob-
tenu par Bajlekova [8]. On commence par définir la solution douce du
système (1.24)-(1.25).
On suppose que u0 , v0 ∈ L∞ (Ω), et T > 0, on dit que (u, v) ∈
C([0, T ]; L∞ (Ω) × L∞ (Ω)) est une solution douce du système (1.24)-(1.25) si
elle vérifie
Z t
u(t) = Eβ (−t β A)u0 + (t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A) f (u(s))v(s) ds,
0
(1.27)
Z t
v(t) = Eβ (−dt β A)v0 − (t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A) f (u(s))v(s) ds,
0
(1.28)
pour tout t ∈ [0, T ], où Eβ (−t β A) et Eβ,β (−t β A) sont les opérateurs de Mittag-
Leffler définis dans [80] et A est la réalisation de (−∆) avec les conditions aux
limites de type Neumann homogènes dans L2 (Ω).
Maintenant, nous présentons notre premier résultat d’existence locale
obtenu en appliquant le théorème A.2.1 et les estimations des opérateurs
Eβ (−t β A) et Eβ,β (−t β A) (voir Proposition 5.2.10)
Théorème 1.3.13 Existence Locale
Soient u0 , v0 ∈ C(Ω̄), alors il existe un temps maximal Tmax > 0 et une unique
solution douce (u, v) ∈ C([0, Tmax ); C(Ω̄) × C(Ω̄)) du système (1.24)-(1.25)

avec l’alternative :
- soit Tmax = +∞ ;
- soit Tmax < +∞, et dans ce cas lim ku(t)k∞ + kv(t)k∞ = +∞.
t→ Tmax
Dans la suite, nous établissons l’existence globale et le comportement

asymptotique de la solution en utilisant un résultat de régularité maxi-
male (voir Lemme 6.2.7).
Théorème 1.3.14 Soient u0 , v0 ∈ L∞ (Ω) tels que u0 , v0 ≥ 0. Alors le système
(1.24)-(1.25) admet une unique solution globale qui vérifie
u ≥ 0, v ≥ 0, (1.29)
kv(., t)k∞ ≤ kv0 k∞ Eβ (−γt β ), pour γ > 0, t > 0, (1.30)

1
Z
u(., t) − (u0 + v0 ) dx ≤ CEβ (−γt β ), pour t > 0, (1.31)
|Ω| Ω ∞
où C est une constante positive.

L’existence globale est obtenu en montrant que la solution (u, v) est
bornée pour tout t > 0. La limitation de v est simplement établi en utili-
sant l’estimation de l’opérateur Eβ (−t β A). Par un raisonnement se basant
sur un résultat de régularité maximale, on estime (u + dv) en norme in-
finie afin de borner u.
Ensuite, le comportement asymptotique de v est établi en montrant que
v̄(t) := kv0 k∞ Eβ (−γt β ) est une sur-solution pour v. Pour décrire le com-
portement asymptotique de u, on donne le taux de convergence de u vers
1
Z
(u + v0 ) dx. L’idée principale consiste à estimer P u dans L∞ (Ω)
|Ω| Ω 0
où P est la projection sur l’ensemble des fonctions de moyenne nulle
définie par
1
Z
P u := u − u dx.
|Ω| Ω
Théorie du calcul
fractionnaire 2
Sommaire
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
C e chapitre est consacré à la présentation des équations différentielles

fractionnaires qui sont l’objet de développements des autres cha-
pitres.
Dans la première partie, on donne un rappel historique de la théorie du
calcul fractionnaire. Puis l’accent est mis sur deux différentes approches
de la dérivation fractionnaire au sens Riemann-Liouville et au sens Ca-
puto après l’introduction de quelques outils du calcul fractionnaire : la
fonction Gamma, la fonction de Mittag-Leffler, la transformation de La-
place,..
En deuxième lieu, on introduit la définition du Laplacien fractionnaire
et ses propriétés. Ensuite, l’étude de quelques équations différentielles
fractionnaires est réalisée.
15
2.1. Historique 17
2.1 Historique
Le calcul fractionnaire est une extension des notions classiques de pri-
mitive et dérivation d’ordre entier non nul à tout ordre réel. Malgré que la
dérivation fractionnaire a été définie par plusieurs approches aux noms
de Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville, Caputo, cette notion a été in-
troduite en XV I I e siècle lorsque Gottfried Leibniz a défini le symbole
de la dérivation d’ordre entier positif, Guillaume l’Hôspital l’a interrogé
sur la possibilité d’avoir une dérivée d’ordre 12 . Cette question a attiré
l’attention des mathématiciens dont Euler ou Lagrange au XV I I I e siècle
suivi par Liouville en 1837, Riemann en 1847 ainsi que Grünwald 1867
et Letnikov en 1868. Pour plus de détails historique, on peut consulter
[62, 70].
2.2 Outils mathématiques et fonctions spéci-

fiques
Dans cette section, on présente des définitions et des propriétés de
quelques fonctions spècifiques.
∗ Fonction Gamma : Cette fonction joue un rôle important dans la théorie
du calcul fractionnaire ; elle prolonge la fonction factorielle à l’ensemble
des nombres complexes [39, 66, 52]. Pour le calcul fractionnaire on uti-
lise la définition de la fonction Gamma comme l’intégrale d’Euler de
deuxième espèce.
Définition 2.2.1 La fonction Gamma est définie sur D (Γ) := z ∈ C \
{−1, −2, ...} par
Z +∞
Γ(z) := sz−1 e−s ds, Re(z) > 0,
0
et
zΓ(z) = Γ(z + 1). (2.1)
De plus, on a pour n ∈ N
Γ(n + 1) = n!. (2.2)
L’assertion (2.1) peut être démontrée par une intégration par partie,
et (2.2) est une déduction directe.
Théorème 2.2.2 Soit z ∈ C tel que Re(z) > 0, alors on a
1 1
Z
= µ−z eµ dµ, (2.3)
Γ(z) 2πi Ha
avec Ha est le contour de Hankel, voir [52].

∗ Fonction Beta : On définit une autre fonction qui est liée à la fonction
Gamma, appelée la fonction Beta ou l’intégrale d’Euler du premier es-
pèce.
18 Chapitre 2. Théorie du calcul fractionnaire
Définition 2.2.3 La fonction Beta notée B(z1 , z2 ) est définie sur D ( B) :=

{(z1 , z2 ) ∈ C, Re(z1 ) > 0, Re(z2 ) > 0} par
Z 1
B ( z1 , z2 ) : = sz1 −1 (1 − s)z2 −1 ds.
0
De plus, on a
Γ ( z1 ) Γ ( z2 ) = Γ ( z1 + z2 ) B ( z1 , z2 ). (2.4)
La démonstration de (2.4) se fait en écrivant Γ(z1 )Γ(z2 ) comme une
intégrale double puis on introduit les coordonées polaires.
∗La fonction de Mittag-Leffler :
La fonction exponentielle ez joue un rôle très important dans la théo-
rie des équations différentielles d’ordre entier, la généralisation de cette
fonction est la fonction de Mittag-Leffler notée Eα (z), α > 0, est nom-
mée à l’honneur du mathématicien Magnus Gustaf Mittag-Leffler qui l’a
introduite au début du XIX e siécle. Par la suite Agrawal a généralisé ces
fonctions par des fonctions à deux paramétres (α > 0 et β ∈ C) et il les a
appelées fonctions de Mittag-Leffler à deux paramètres [66, 27, 60].
Définition 2.2.4 Soient α > 0 et β ∈ C, on a
+∞
zj
Eα (z) = ∑ Γ(αj + 1) , z ∈ C;
j =0
+∞
zj
Eα,β (z) = ∑ Γ(αj + β) , z ∈ C.
j =0
Dans le cas où α = 1, on a
E1 (z) = exp(z), z ∈ C.
La figure 2.1 ci-dessous montre le comportement de la fonction de
Mittag-Leffler à une paramètre pour différentes valeurs de α.
Théorème 2.2.5 ([72, 66])
Pour α ∈ (0, 1), β > 0 et η ≥ 0, on a
Eα,α (η ) ≥ 0. (2.5)
Pour m ∈ N, on a
d m
Eα (ηtα ) = ηtα−m Eα,α−m+1 (ηtα ),

(2.6)
dt
d m
t β−1 Eα,β (ηtα ) = t β−m−1 Eα,β−m (ηtα ).

(2.7)
dt
On s’intéresse maintenant au comportement asymptotique des fonc-
tions de Mittag-Leffler qui va permettre d’étudier le comportement de la
solution de certaines équations différentielles fractionnaires, voir [66, 47].
Le lemme suivant [66] décrit d’une manière générale le comportement
de la fonction de Mittag-Leffler.
2.2. Outils mathématiques et fonctions spécifiques 19
Figure 2.1 – Fonction Eα (−tα ) pour 0 < α ≤ 1 et pour 0 < α ≤ 2.
απ
Lemme 2.2.6 Pour 0 < α < 2, β > 0 et γ est tel que 2 < γ < min(π, απ )
il existe une constante C > 0 tel que
C
| Eα,β (z)| ≤ , z ∈ C, γ ≤ | arg(z)| ≤ π.
1 + |z|
En particulier, on a pour λ ≥ 0
C
| Eα (−λtα )| ≤ , t ≥ 0,
1 + λtα
|tα−1 Eα,α (−λtα )| ≤ Ctα−1 , t > 0.

∗Transformation de Laplace :
La transformation de Laplace est utilisée pour résoudre les équations
différentielles [22, 66] ; l’avantage de la transformation de Laplace est
que la plupart des opérations courantes sur la fonction f (t), telle que la
dérivation (classique ou fractionnaire) ou un décalage sur la variable t,
ont une traduction plus simple par la transformée L( f )(s). De plus la
transformation de Laplace tient compte des conditions initiales.
Définition 2.2.7 On dit que f : [0, +∞[→ R est d’ordre exponentiel σ, s’il
existe t0 , M > 0 et σ > 0 tel que
| f (t)| < Meσt , pour tout t ≥ t0 .
En d’autres termes, la fonction f (t) ne doit croitre pas plus vite qu’une certaine
fonction exponentielle quand t tend vers l’infini.
Définition 2.2.8 Pour f : [0, +∞[→ R localement intégrable, on définit L la
transformée de Laplace d’une fonction f d’ordre exponentiel σ par
Z +∞
L f (s) = f (t)e−st dt, pour s ∈ C, Re(s) > σ.
0
Théorème 2.2.9
Soient f , g deux fonctions définies sur [0, +∞[ localement intégrables et telles
que L f (resp. L g) existe pour Re(s) > σ1 (resp. Re(s) > σ2 ). Alors
1. Soient c1 , c2 ∈ R et h = c1 f + c2 g, on a
Lh(s) = c1 L f (s) + c2 L g(s), pour Re(s) > max(σ1 , σ2 ).
Z t
2. Si h(t) = f (t − τ ) g(τ ) dτ, alors
0
Lh(s) = L f (s)L g(s) pour Re(s) > max(σ1 , σ2 ).

Z t
3. Si h(t) = f (τ ) dτ, alors pour Re(s) > max(σ1 , 0) on a
0
1
L h ( s ) = L f ( s ).
s
4. Soit m ∈ N∗ et h = D m f , alors on a
m
m
Lh(s) = s L f (s) − ∑ s m − k f ( k −1) (0 ).
k =1
On peut voir que la transformation de Laplace est un opérateur bijec-

tif et continue (voir [66, 82]), donc on définit la transformation de Laplace
inverse (L−1 ) par l’intégrale de Bromwich.
Théorème 2.2.10
Soit f une fonction localement intégrable sur [0, +∞[ et d’ordre exponentiel σ,
alors
Z c+i∞
−1 1
f (t) := L (L f )(t) = L f (s)est ds, c = Re(s) > σ.
2iπ c−i∞
Pour α, β > 0 les fonctions de Mittag-Leffler sont liées à l’intégrale de

Laplace par la relation (voir [66, chap1])
 Z +∞


 e−t Eα (ztα ) dt , |z| < 1,
1  0
=
1−z  Z +∞
e−t t β−1 Eα,β (ztα ) dt , |z| < 1.



0
À l’aide d’un changement de variable on déduit les résultats suivants

qui sont utiles lors de la résolutions des équations différentielles frac-
tionnaires
s α −1 1
L( Eα (λt ))(s) = α
α
, |s| > |λ| α , Re(s) > 0, (2.8)
s −λ
sα− β 1
L(t β−1 Eα,β (λtα ))(s) = , |s| > |λ| α , Re(s) > 0. (2.9)
s −λ
α
∗ Transformation de Fourier :
2.3. Intégration et dérivation fractionnaire 21
Définition 2.2.11 Pour f une fonction intégrable sur Rn , on définit sa trans-

formée de Fourier notée F ( f ) = fˆ par
Z
F ( f )(ξ ) = fˆ(ξ ) := e−iξx f ( x ) dx.
Rn
Si fˆ est aussi intégrable, alors la transformation de Fourier inverse notée F −1

est donnée par
1
Z
−1
f (x) = F ( fˆ)( x ) := eiξx fˆ(ξ ) dξ.
(2π )n Rn
2.3 Intégration et dérivation fractionnaire

Nombreuses sont les définitions de l’opérateur de la dérivation frac-
tionnaire, nous présentons dans cette partie celles qui sont les plus uti-
lisées. Selon l’approche de Riemann-Liouville du calcul fractionnaire la
notion de l’intégrale fractionnaire est une conséquence naturelle de la
formule bien connue de Cauchy qui réduit le calcul de la nème primitive
d’une fonction f (t) à une seule intégrale
Z t Z τn−1 Z τn−2 Z τ1
J n f (t) = dτn−1 dτn−2 dτn−3 . . . f (τ0 ) dτ0
0 0 0 0
Z t
1
:= (t − τ )n−1 f (τ )dτ, t > 0, n ∈ N. (2.10)
( n − 1) ! 0
En utilisant la fonction Gamma (Γ(n) = (n − 1)!), la formule de Cauchy
peut s’étendre naturellement au réel α comme suit
Z t
1
α
J f (t) := (t − τ )α−1 f (τ ) dτ, t > 0, α ∈ R+ . (2.11)
Γ(α) 0
2.3.1 Intégrale fractionnaire au sens de Riemann-

Liouville
Afin d’obtenir une définition formelle, on introduit une certaine ter-
minologie. On considère la notation suivante pour β ≥ 0
(
1 β −1
Γ( β)
t , t>0
gβ (t) = (2.12)
0, t≤0
et g0 (t) = 0. Cette fonction satisfait à la propriété de semi-groupe

gα ∗ g β = gα + β . (2.13)
Définition 2.3.1 Pour α ≥ 0 et f ∈ L1 ([0, T ]), T > 0. L’intégrale fraction-

naire de Riemann-Liouville d’ordre α notée par Jtα f est définie par

α ( gα ∗ f )(t), α > 0
Jt f (t) := , presque partout sur [0, T ]. (2.14)
f ( t ), α=0
En utilisant (2.13) et l’associativité du produit de convolution on

conclut
Théorème 2.3.2 Soient α, β ≥ 0 et f ∈ L1 ([0, T ]) alors
β α+ β
Jtα Jt f = Jt f presque partout sur [0, T ]. (2.15)
De plus { Jtα : L1 ([0, T ]) → L1 ([0, T ]), α ≥ 0} forme un semi-groupe d’élé-

ment neutre Jt0 .
2.3.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville

Comme dans le cas classique l’opérateur de dérivation D n d’ordre
n ∈ N∗ est l’inverse à gauche de J n , alors après avoir introduit la notion
de l’intégration fractionnaire, celle de la dérivation fractionnaire devient
une exigence.
Connaissant que l’opérateur D n [22, Lemma 1.2] vérifie pour m, n ∈ N∗
tels que m ≥ n et f une fonction de C n ([0, T ])
D n f = D m J m−n f , (2.16)
Riemann et Liouville ont donné la généralisation suivante sous certaines

conditions sur f .
Définition 2.3.3 Pour α > 0, m ∈ N∗ ; m − 1 < α < m et f ∈ L1 ([0, T ])
telle que gm−α ∗ f ∈ W m,1 ([0, T ]). La dérivée fractionnaire au sens de Riemann-
Liouville d’ordre α notée Dtα f est définie par
Dtα f (t) := D m Jtm−α f (t) = D m ( gm−α ∗ f )(t), (2.17)

dm
presque partout sur [0, T ] avec D m := dtm .
Remarque 2.3.4 En particulier si α ∈ (0, 1) et f ∈ AC ([0, T ]) où AC ([0, T ])

est l’espace des fonctions absolument continues sur [0, T ] alors Dtα f existe
presque partout sur [0, T ]. De plus Dtα f ∈ L p ([0, T ]) pour 1 ≤ p < α1 , voir
[73, lemma 2.2] .
Exemple 2.3.1 Pour α ∈ (0, 1) et β > −1, on a
Γ ( β + 1) β − α
Dtα t β = t .
Γ( β + 1 − α)
La dérivée fractionnaire de Riemann-Liouville de la fonction constante est donnée

par
t−α
Dtα C = C.
Γ (1 − α )
On voit que la dérivée d’une constante est non-nulle.
2.3. Intégration et dérivation fractionnaire 23
Théorème 2.3.5 Sous les hypothèses de la définition 2.3.3 on a
Dtα Jtα f (t) = f (t) (2.18)
et
m −1
Jtα Dtα f (t) = f (t) − ∑ ( g m − α ∗ f ) ( k ) (0 ) g α + k +1− m ( t ) (2.19)
k =0
presque partout sur [0, T ].

En particulier si gm−α ∗ f ∈ W0m,1 ([0, T ]) on aura
Jtα Dtα f (t) = f (t). (2.20)
Démonstration :
En utilisant le fait que Jtα f ∈ L1 ([0, T ]) et gm−α ∗ ( Jtα f ) = gm ∗ f ∈
W0m,1 ([0, T ]) on peut appliquer Dtα à Jtα f
Dtα Jtα f = D m Jtm−α Jtα f = D m J m f = f .
De la définition de l’espace W m,1 ([0, T ]), gm−α ∗ f est donnée par la re-
présentation
m −1
gm − α ∗ f = ∑ ck gk+1 (t) + gm ∗ ϕ, (2.21)
k =0
avec ϕ ∈ L1 ([0, T ]) et ck = ( gm−α ∗ f )(k) (0) alors
Jtα Dtα f = Jtα D m ( gm−α ∗ f ) = Jtα ϕ. (2.22)
Par le produit de convolution de gα et (2.21) et la propriété de semi-

groupe (2.15) on aura
m −1
gm ∗ f = ∑ ck gα+k+1 (t) + gm+α ∗ ϕ,
k =0
ce que implique
m −1
f = ∑ ck gα+k+1−m (t) + gα ∗ ϕ. (2.23)
k =0
En combinant (2.22) et (2.23), on obtient immédiatement (2.19).

Si gm−α ∗ f ∈ W0m,1 ([0, T ]), les coefficients ck pour k = 0, 1, ..., m − 1 sont
tous nuls, il vient alors Jtα Dtα f = f .
Proposition 2.3.6 Si f ∈ W m,1 ([0, T ]) alors Dtα f existe presque partout sur
[0, T ] ; de plus elle est donnée par
m −1
Dtα f (t) = ∑ f (k) (0) gk−α+1 (t) + Jtm−α D m f (t). (2.24)
k =0
C’est une conséquence immédiate de la représentation des éléments

de W m,1 ([0, T ]) et la définition de Dtα (2.17).
La définition de la dérivation fractionnaire au sens de Riemann-Liouville

a joué un rôle important dans le développement de la théorie du calcul
fractionnaire mais lors de la modélisation des problèmes physiques elle
mène à des conditions initiales contenant les valeurs limites des dérivées
fractionnaires au sens de Riemann-Liouville en t = 0. Malgré que ces
problèmes admettent des solutions mathématiques [66], en pratique elles
n’ont aucune interprétation physique. Autre inconvénient de l’approche
de Riemann-Liouville est que la dérivée d’une constante n’est pas nulle.
Cependant, une certaine revision est demandée pour résoudre ce conflit
entre la théorie mathématique et les besoins pratiques.
2.3.3 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo

Dans cette section, on s’intéresse à l’approche proposée par Caputo
[16] et après par Caputo et Mainardi [17] gràce à son utilité pour la for-
mulation des conditions initiales avec les valeurs des dérivées d’ordre
entier en t = 0 (vitesse, accélération...) comme pour le cas des équations
différentielles d’ordre entier.
Définition 2.3.7 Pour α > 0, m ∈ N∗ ; m − 1 < α < m et f ∈
C m−1 ([0, T ]) telle que gm−α ∗ f ∈ W m,1 ([0, T ]). La dérivée fractionnaire au
sens de Caputo d’ordre α notée c Dtα f est définie par
m −1
Dt f (t) := Dtα f (t) − ∑ f (k) (0) gk+1 (t)
c α
(2.25)
k =0
presque partout sur [0, T ].
Théorème 2.3.8 Soient α > 0, m ∈ N∗ ; m − 1 < α < m et f ∈ C m ([0, T ]).
Alors c Dα f est continue sur [0, T ] ; de plus on a
t
c
Dtα f (t) = Jtm−α D m f (t) pour tout t ∈ [0, T ] (2.26)
dm
avec D m := .
dtm
En particulier si α ∈ (0, 1) on a c Dtα f (t) = Jt1−α D f (t).
La démonstration se fait en utilisant [39, Theorem 2.2] pour montrer
que c Dtα f ∈ C ([0, T ]), et en combinant la proposition 2.3.6 et le fait que
Dtα gk+1 = gk+1−α pour montrer (2.26).
L’opérateur de la dérivation fractionnaire de Caputo c Dtα est aussi

l’inverse à gauche de Jtα mais n’est pas l’inverse à droite :
Proposition 2.3.9 Pour f ∈ L1 ([0, T ]) on a c Dtα Jtα f = f . Si f ∈ C m−1 ([0, T ])
est telle que gm−α ∗ f ∈ W m,1 ([0, T ]), alors on a
m −1
Jtα c Dtα f (t) = f (t) − ∑ f ( k ) (0 ) g k +1 ( t ). (2.27)
k =0
2.4. Laplacien fractionnaire 25
Dans le cas où α ∈ (0, 1) et f ∈ C ([0, T ]) telle que g1−α ∗ f ∈ W 1,1 ([0, T ]),
alors on a
Jtα c Dtα f (t) = f (t) − f (0). (2.28)
2.4 Laplacien fractionnaire

Dans cette partie, on introduit la définition du Laplacien fractionnaire
et quelques propriétés utilisées lors de l’étude des systèmes de la diffu-
sion anormale.
Le Laplacien fractionnaire est le plus important exemple de l’opérateur
de Lévy L qui est un opérateur pseudo-differentiel défini par
Lu( x ) := F −1 ( a(ξ )F (u)(ξ ))( x ), x ∈ R N ,
où a(ξ ) est le symbole du semi-groupe de convolution des mesures défini

par la formule de Lévy-Khintchine [12, Chap1, Théorème 1].
Le Laplacien fractionnaire est un opérateur non local défini pour N ≥
1 et 0 < α ≤ 2 par
(−∆) 2 u( x ) = F −1 |ξ |α F u(ξ ) ( x ), x ∈ R N ,
α
(2.29)
pour tout u ∈ D ((−∆) 2 ) = H α (R N ) où H α (R N ) est l’espace de Sobolev

α
homogène d’ordre α donné par
H α (R N ) = {u ∈ S 0 ; (−∆) 2 u ∈ L2 (R N )}, si α ∈
α
/ N,
α
H α (R N ) = {u ∈ L2 (R N ); (−∆) 2 u ∈ L2 (R N )}, si α ∈ N,
où S 0 est l’espace de Schwartz. Pour plus de détails voir [38, 13].
Par un calcul basé sur les propriétés de la transformation de Fourier,

on peut montrer une équivalence entre la définition du Laplacien frac-
tionnaire donnée par (2.29) et la définition suivante (voir [23]) :
u( x − η ) − u( x )
Z
α
(−∆) u( x ) = −C (α) lim
2 dη. (2.30)
ε→0 |η |≥ε | η | N +α
où C (α) est une constante positive qui dépend de α.
En pratique, le Laplacien fractionnaire décrit le phénomène de la diffu-
sion anormale dans les problèmes d’évolution.
Passons à la présentation de quelques outils concernant le semi-
groupe engendré par (−∆) 2 . On considère l’équation linèaire de la dif-
α
fusion anormale (voir [38, 2, 24])

α
ut + (−∆) 2 u = 0, x ∈ R N , 0 < α ≤ 2, (2.31)
dont la solution fondamentale Sα est donnée par la formule

1
Z
eiξ.x−t|ξ | dξ.
α
Sα (t)( x ) := Sα ( x, t) = (2.32)
(2π )n Rn
En utilisant l’inégalité du Young pour la convolution et la formule d’auto-

N 1
similarité Sα ( x, t) = t− α Sα ( xt α , 1) qui est démontrée dans [38], on obtient
l’estimation suivante :
Lemme 2.4.1 Pour tout u ∈ Lr (R N ) et 1 ≤ r ≤ q, on a Sα ∗ u ∈ Lq (R N ) et

− Nα 1r − 1q
kSα (., t) ∗ u( x )kq ≤ Ct kukr , t > 0, (2.33)
où C est une constante positive.

Dans le cas d’un domaine borné Ω ⊂ R N , on présente la définition du
Laplacien fractionnaire sur Ω avec des conditions aux limites homogènes
de type Neumann noté (−∆ N ) 2 . Pour λk (k = 1, .., +∞), la valeur propre
α
du Laplacien dans L2 (Ω) avec les conditions aux limites homogènes de

type Neumann et ϕk la fonction propre associée à λk , on a
 α
 (−∆ N ) 2 ϕk = λk2 ϕk sur Ω,
α
∂ϕk
 = 0 sur ∂Ω.
∂η
Pour u ∈ D ((−∆ N ) 2 ), 0 < α ≤ 2, on a

α
Définition 2.4.2
+∞ α
∑ λk2
α
(−∆ N ) 2 u = < u, ϕk > ϕk , (2.34)
k =1
+∞ α
n ∂u o
∑ |λk
α
où D ((−∆ N ) ) := u ∈ L (Ω)/
2 2
= 0 et 2
< u, ϕk > | < ∞ .
2
∂η k =1
En utilisant la définition du Laplacien fractionnaire donnée par (2.34),

on peut montrer la formule d’intégration par partie suivante :
Lemme 2.4.3 Pour u, v ∈ D ((−∆ N ) 2 ), 0 < α ≤ 2 on a

α
Z Z
α α
u( x ) (−∆ N ) 2 v( x ) dx = (−∆ N ) 2 u( x ) v( x ) dx. (2.35)
Ω Ω
Miantenant, on présente l’inégalité de Strook-Varopoulos pour l’opé-

rateur du Laplacien fractionnaire dont la démonstration est donnée dans
[79].
Lemme 2.4.4 [49, Theorem 1]
Pour tout u ∈ L p (Ω) tel que (−∆ N ) 2 u ∈ L p (Ω), 0 < α ≤ 2 on a
α
4( p − 1)
Z Z p 2
(|u| p−2 u)(−∆ N ) 2 u dx >
α α
(−∆ N ) 4 |u| 2 dx. (2.36)
Ω p2 Ω
Pour p ∈ (1, +∞), on note par A p la réalisation de (−∆ N ) 2 dans

α
L (Ω). Il est bien connu que A p est un opérateur sectoriel qui engendre
p
le semi-groupe {e−tA p }t≥0 . La théorie des semi-groupes a été dévelopée

dans plusieurs ouvrages, voir par exemple [31, 38, 83].
2.5. Les opérateurs de Mittag-Leffler 27
Lemme 2.4.5 Pour tout u ∈ Lr (Ω) et 1 ≤ r ≤ q ≤ ∞ on a

−tA p − Nα 1r − 1q
ke uk Lq (Ω) ≤ Ct kuk Lr (Ω) , t > 0, (2.37)
et α
−tA p −λ12 t
ke uk Lq (Ω) ≤ Ce kuk Lq (Ω) , t > 0, (2.38)
où λ1 est la plus petite valeur propre du Laplacien.
2.5 Les opérateurs de Mittag-Leffler

Dans cette section, on s’interèsse à l’opérateur de Mittag-Leffler
Eα (−tα A) défini pour un opérateur sectoriel positif A par
+∞
(−tα A)k
Eα (−tα A) := ∑ Γ(αk + 1) .
k =0
Cet opérateur intervient lors de la construction de la solution du pro-

blème suivant : c α
Dt u(t) = − Au(t), t > 0
(2.39)
u (0) = u0 ∈ X
où 0 < α < 1, A : D ( A) ⊂ X → X est un opérateur sectoriel positif et X
est un espace de Banach.
On considère l’espace C α ([0, T ], X ) défini par
C α ([0, T ], X ) := {u ∈ C([0, T ], X ), c Dtα u ∈ C([0, T ], X )}

et la norme kuk := kukC([0,T ],X ) = sup kuk X .
t∈[0,T ]
Définition 2.5.1 On dit qu’une fonction continue u : [0, +∞) → X est une
solution globale du problème (2.39), si u ∈ C α ([0, T ], X ) pour tout T > 0 et
vérifie (2.39).
Pour montrer que le problème (2.39) admet une unique solution glo-
bale, on commence par établir l’équivalence entre (2.39) et une équa-
tion intégrale. Ensuite, on applique le théorème du point fixe de Banach
donné par Weissinger ( voir le théorème A.2.2).
Lemme 2.5.2 Soit u ∈ C([0, T ], X ) pour tout T > 0. Alors u est une solution
globale du problème (2.39) si et seulement si elle vérifie l’équation suivante
Z t
1
u ( t ) = u0 − (t − s)α−1 Au(s) ds, t ≥ 0. (2.40)
Γ(α) 0
Démonstration :
D’une part, pour T > 0 et u une solution globale de (2.39) on a u ∈
C([0, T ], X ), c Dtα u ∈ C([0, T ], X ) et
c
Dtα u(t) = − Au(t), t ∈ [0, T ]. (2.41)
En appliquant l’opérateur Jtα puis en utilisant (2.28) on obtient
u(t) = u(0) − Jtα Au(t)

Z t
1 (2.42)
= u0 − (t − s)α−1 Au(s) ds, t ∈ [0, T ].
Γ(α) 0
Puisque u vérifie l’équation (2.42) pour t ∈ [0, T ] avec T arbitraire alors,

elle vérifie l’équation (2.40) pour tout t ≥ 0.
D’autre part, on choisit T > 0 arbitraire tel que u ∈ C([0, T ], X ) et vérifie
l’équation
Z t
1
u ( t ) = u0 − (t − s)α−1 Au(s) ds, (2.43)
Γ(α) 0
pour tout t ∈ [0, T ].
En utilisant le fait que t 7→ Au(t) est continue, on peut appliquer c Dtα à
l’équation (2.43) pour obtenir
c
Dtα u(t) = − Au(t), t ∈ [0, T ], (2.44)
ce qui implique que c Dtα u ∈ C([0, T ], X ). De plus de l’équation (2.42) on

voit que u(0) = u0 .
Puisque T est arbitraire, u est une solution globale du problème (2.39).
Théorème 2.5.3 Pour α ∈ (0, 1) et u0 ∈ X alors le problème (2.39) admet une
unique solution globale, donnée par
+∞
(−tα A)k
u(t) = ∑ u0 = Eα (−tα A)u0 .
k =0
Γ(αk + 1)
Démonstration :
Pour T > 0 on considère l’espace ET := {u ∈ C([0, T ], X ), u(0) = u0 } et
l’opérateur B : ET → ET défini par
Z t
1
B(u(t)) := u0 − (t − s)α−1 Au(s) ds.
Γ(α) 0
Soient u, v ∈ ET on a
k A k L( X ) Z t
k B(u(t)) − B(v(t))k X ≤ (t − s)α−1 ku(s) − v(s)k X ds
Γ(α) 0
tα
≤ k AkL(X ) sup ku(s) − v(s)k X .
Γ ( α + 1) s∈[0,T ]
Par itération, on obtient pour tout k ∈ N,
tαk
k Bk (u(t)) − Bk (v(t))k X ≤ k AkLk (X ) sup ku(s) − v(s)k X
Γ(αk + 1) s∈[0,T ]
T αk
≤ k AkLk (X ) sup ku(s) − v(s)k X
Γ(αk + 1) s∈[0,T ]
≤ ω k k u − v k.
1
1 k
On a lim = 0 puisque en utilisant la formule de Stirling
k→+∞ Γ ( αk + 1)
on obtient lorsque k tend vers l’infini
αk αk √
Γ(αk + 1) = 2παk(1 + O(1)).
e
+∞
Alors la série ∑ ωk est convergente.
k =0
En appliquant le théorème A.2.2, B admet un unique point fixe u ∈ ET
pour tout T > 0. Par le lemme 2.5.2 le problème (2.39) admet une unique
solution globale.
Pour la construction de la solution, on considère la suite (Un )n≥0 définie
par
U0 = u0
Un = Bn u0 , n ≥ 1.
Pour n = 1 on a
Z t
1 tα A
Bu0 = u0 − (t − s)α−1 Au0 ds = u0 − u0 .
Γ(α) 0 Γ ( α + 1)
Par itération, on peut obtenir
n
(−tα A)k
Un = ∑ Γ(αk + 1) u0,
k =0
alors (Un )n≥0 converge vers le point fixe u, et

+∞
(−tα A)k
u(t) = ∑ Γ(αk + 1)
u0 = Eα (−tα A)u0 .
k =0

Pour étudier une équation différentielle fractionnaire non linéaire, un
autre opérateur intervient, il s’agit de { Eα,α (−tα A)}t≥0 .
Dans la suite, on introduit les formules intégrales des opérateurs de
Mittag-Leffler en utilisant la fonction de Mainardi φα [53, 52].
On présente quelques propriétés de cette fonction dans le lemme suivant.
Lemme 2.5.4 Pour α ∈ (0, 1), −1 < r < ∞ et s ∈ C. La fonction de
Mainardi φα vérifie les assertions suivantes
(A) φα (θ ) ≥ 0, θ > 0 ;
Z ∞
(B) φα (θ ) dθ = 1 ;
0
Z ∞
Γ (1 + r )
(C) θ r φα (θ ) dθ = ;
0 Γ(1 + αr )
(D) L(φα (θ ))(s) = Eα (−s);
(E) L(αθφα (θ ))(s) = Eα,α (−s).

Pour la démonstration de ce lemme voir [52].

Théorème 2.5.5 [76, Lemma 9]
Pour α ∈ (0, 1) et A un opérateur sectoriel positif, on a
Z ∞
φβ (θ )e−θt
βA
Eβ (−t β A) = dθ, t ≥ 0, (2.45)
0
et Z ∞
β θ φβ (θ )e−θt
βA
Eβ,β (−t A) =β
dθ, t ≥ 0, (2.46)
0
où {e−tA }t≥0 est le semi-groupe engendré par − A.
Maintenant, on pésente des estimations des opérateurs de Mittag-
Leffler qui sont utilisées dans les chapitres 5 et 6.

Proposition 2.5.6 Pour 1 ≤ r ≤ p ≤ ∞ tel que 2 r − p < 1 on a
N 1 1

− N2 α 1 1
r−p
k Eα (−t A)uk p ≤ Ct
α
kukr , t > 0, (2.47)

− N2 α 1 1
r − p k u k , t > 0.
k Eα,α (−tα A)uk p ≤ Ct r (2.48)
De plus,
k Eα (−tα A)uk∞ ≤ kuk∞ Eα (−tα δ), t > 0, (2.49)
et
k Eα,α (−tα A)uk∞ ≤ kuk∞ Eα,α (−tα δ), t > 0, (2.50)
où δ < Reλ est tel que λ ∈ σ( A) (le spectre de A) et C une constante positive.
Démonstration :
En utilisant les estimations du semi-groupe {e−tA }t≥0 et le lemme 2.5.4,
on obtient
Z ∞
α θφα (θ )ke−θt
αA
k Eα,α (−tα A)uk p ≤ uk p dθ
0 Z ∞
− N α( 1 − 1 ) − N2 ( 1r − 1p )
≤ Ct 2 r p αθ φα (θ ) dθ kukr
0
Γ − N 1 1

2 (r − p) + 1 − N2 α( 1r − 1p )
≤ Cα t k u kr ,
Γ − N 1 1

2 α ( r − p ) + 1
de la même manière on montre la première assertion.

En utilisant l’estimation suivante donnée dans [31]
ke−tA k ≤ e−tδ , t > 0, δ < Re(λ), λ ∈ σ( A), (2.51)
on obtient
Z ∞
φα (θ )ke−θt
αA
k Eα (−tα A)uk∞ ≤ uk∞ dθ
Z0 ∞
φα (θ )e−θt δ dθ kuk∞
α
≤
0
≤ kuk∞ L(φα (θ ))(tα δ) = kuk∞ Eα (−tα δ).
Ainsi on a
Z ∞
α θφα (θ )ke−θt
αA
k Eα,α (−tα A)uk ∞ ≤ uk∞ dθ
Z0 ∞
α θφα (θ )e−θt δ dθ kuk∞
α
≤
0
≤ kuk∞ L(α θφα (θ ))(tα δ) = kuk∞ Eα,α (−tα δ).

Remarque 2.5.7 Bien que l’étude du problème (2.39) garantit que la solution
suit les mêmes propriétés de la construction que celle du cas ordinaire (avec une
dérivée classique), nous pouvons vérifier que l’opérateur de Mittag-Leffler ne
satisfait pas la propriété du semi-groupe [64, 65]
Eα (−(t + s)α A) 6= Eα (−tα A) Eα (−sα A).
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons introduit la théorie du calcul fraction-
naire à partir d’un rappel sur les fonctions spécifiques et deux différentes
définitions de la dérivation fractionnaire. Nous avons présenté aussi le
Laplacien fractionnaire comme un opérateur non local qui décrit la dif-
fusion anormale dans le quatrième chapitre.
Enfin, les opérateurs de Mittag-Leffler sont introduits dans la clôture
de ce chapitre. Nous avons exposé les définitions de ces opérateurs et
quelques propriétés utilisées ci-après dans les chapitres 5 et 6.
Blowing-up solutions and
global solutions to a 3
fractional differential
equation
Sommaire
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Local existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Global existence and asymptotic behavior . . . . . . . . . 51
Abstract
In this paper, we give a positive answer to a problem posed by Naka-

gawa, Sakamoto and Yamamoto concerning a nonlinear equation with a
fractional derivative.
Keywords Fractional differential equation, global existence, asymp-

totic behavior, blow-up time, blow-up profile.
MSC[2010] : 34A08, 35A01, 35B01, 35B44.
33
3.1. Introduction 35
3.1 Introduction
In their overview paper concerning the mathematical analysis of frac-
tional equations, Nakagawa, Sakamoto and Yamamoto [61] posed the
problem concerning global solutions and blowing-up in a finite time of
solutions to the equation
c α
Dt u(t) = −u(t)(1 − u(t)), t > 0,
(3.1)
u (0) = u0 ,
where c Dtα is the Caputo derivative defined for g ∈ C1 [0, T ] by

Z t
1
c
Dtα g(t) = (t − τ )−α g0 (τ ) dτ,
Γ (1 − α ) 0
for 0 < α < 1.
Let us recall, in the case α = 1, the results concerning solutions of

(3.1) :
- For 0 < u(0) < 1, the solution exists globally. Moreover,
1
|u(t)| ≤ −→ 0, as t −→ +∞.
e t (1 − u 0)
- For u(0) > 1, the solution can not exist globally.
Here, we show that the same conclusions are valid for equation (3.1).
Moreover we analyse :
1. The large time behavior of the global solution.
2. The blow-up time and profile of the blowing-up solutions.
Note that if we set w = u − 1, then (3.1) reads

c
Dtα w(t) = w(t)(1 + w(t)),
which describes the evolution of a certain species ; the reaction term

w(1 + w) describes the law of increase of the species.
3.2 Preliminaries
In this section, we present some definitions and results concerning
fractional calculus that will be used in the sequel. For more information
see [39].
Chapitre 3. Blowing-up solutions and global solutions to a fractional
36 differential equation
The Riemann-Liouville fractional integral of order 0 < α < 1 of the

integrable function f : R+ −→ R is
Z t
1
J0α+ f (t) := (t − τ )α−1 f (τ ) dτ, t > 0,
Γ(α) 0
where Γ(α) is the Euler Gamma function.

The Riemann-Liouville fractional derivative of an absolutely conti-
nous function f (t) of order 0 < α < 1 is
Z t
1 d
Dtα f (t) := (t − τ )−α f (τ ) dτ.
Γ(1 − α) dt 0
The Caputo fractional derivative of an absolutely continous function
f (t) of order 0 < α < 1 is defined by
Z t
1
c
Dtα f (t) := J01+−α f 0 (t) = (t − τ )−α f 0 (τ ) dτ.
Γ (1 − α ) 0
Both derivatives present a drawback :
- The Riemann-Liouville derivative of a constant is different from zero,

Dtα C 6= 0,
while the Caputo derivative require f 0 (t) to calculate c D α f ( t ),
t for
0 < α < 1.
- We know that the Riemann-Liouville derivative of the Weierstrass

function exists for any 0 < α < 1, but not for α = 1.
But for regular function with f (0) = 0, both definitions coincide.
Next, we recall a lemma that will be used hereafter.

Lemma 3.2.1 ( see [42]). Let a, b, K, ψ be non-negative continuous functions
on the interval I = (0, T ) (0 < T ≤ ∞), let ω : (0, ∞) −→ R be a continuous,
non-negative and non-decreasing function with ω (0) = 0 and ω (u) > 0 for
u > 0, and let A(t) = max0≤s≤t a(s) and B(t) = max0≤s≤t b(s). Assume that
Z t
ψ(t) ≤ a(t) + b(t) K (s)ω (ψ(s)) ds, t ∈ I.
0
Then h iZ t
−1
ψ(t) ≤ H H ( A(t)) + B(t) K (s)ds , t ∈ (0, T1 ),
0
R v dτ −
where H (v) = v ω (τ ) (v ≥ v0 > 0), H 1 is the inverse of H and T1 > 0 is
0
Rt
such that H ( A(t)) + B(t) 0 K (s)ds ∈ D ( H −1 ) for all t ∈ (0, T1 ).
Here, we consider the problem
c α
Dt u(t) = −u(t)(1 − u(t)),
(3.2)
u (0) = u0 ,
for 0 < α < 1 and u0 > 0.
3.3. Main results 37
3.3 Main results

The local existence of solutions to (3.2) is assured by the
Theorem 3.3.1 (see [39]) We consider the fractional differential equation of
Caputo’s type given by
c α
Dt u(t) = f (t, u(t)), t > 0,
(3.3)
u (0) = u0 .
For 0 < α < 1, u0 ∈ R, b > 0 and T > 0.

Assume that
1. f ∈ C ( R0 , R) where R0 = {(t, u), 0 ≤ t ≤ T, |u − u0 | ≤ b} and
| f (t, u)| ≤ M on R0 ;
2. | f (t, u) − f (t, v)| ≤ L|u − v|, L > 0, (t, u) ∈ R0 .
Then there exists a unique solution u ∈ C ([0, h]) for (3.3), where h =
n bΓ(α + 1) α1 o
min T, .
M
Theorem 3.3.2 Let u be the solution of problem (3.2). We have :
- If 0 < u0 < 1, the solution is global and it satisfies 0 < u < 1. Mo-
reover, u is given by
Z t
α
u(t) = Eα (−t )u0 + (t − s)α−1 Eα,α (−(t − s)α ) u2 (s)ds,
0
and for some constants c > 0 and c1 > 0, we have
1 α α1
0 < u(t) ≤ , 0 < t < T0 := .
1
cu0 − cα1 tα c1 cu0
In addition, we have for 0 < e < 1

c
u(t) ≤ , t>0
1 + e (1 − e ) t α
- If u0 > 1, the solution blows-up in a finite time T ∗ : lim ∗ u(t) = +∞.

t−→ T
Moreover, we have the bilateral estimate :
w(t) + 1 ≤ u(t) ≤ w
e (t) + 1,
and
Γ(α + 1) α1 Γ(α + 1) α1
∗
≤ T ≤ ,
4(u0 − 12 ) u0 − 1
where
1 Γ(2α)
e (t) +
w ∼ ( T − t)−α , as t −→ Twe ,
2 Γ(α) we
Γ(2α)
w(t) ∼ ( Tw − t)−α , as t −→ Tw .
Γ(α)
Here, Twe is the blow-up time of w,
e which satisfies
Γ(α + 1) α1 Γ(α + 1) α1
≤ Twe ≤ ,
4(u0 − 21 ) u0 − 21
and Tw is the blow-up time of w, which satisfies

Γ(α + 1) α1 Γ(α + 1) α1
≤ Tw ≤ .
4( u0 − 1) u0 − 1
Proof of Theorem 3.3.2
Part 1. If 0 < u0 < 1, then the solution is global.

The solution to (3.2) is given by
Z t
α
u(t) = Eα (−t )u0 + (t − s)α−1 Eα,α (−(t − s)α ) u2 (s)ds. (3.4)
0
Where the Mittag-Leffler functions Eα (−tα ) and Eα,α (−tα ) are defined
by :
∞
(−1) j tαj
Eα (−tα ) = ∑ ,
j =0
Γ ( αj + 1 )
∞
(−1) j tαj
Eα,α (−tα ) = ∑ Γ(αj + α) .
j =0
If u0 > 0, then u(t) > 0 as Eα (−tα ) > 0 and Eα,α (−tα ) > 0.
Now, we set the function u(t) = 1, t > 0.
As 0 < u0 < 1, then u0 < u(0). In addition, we have

c
Dtα u(t) = 0 = −u(t)(1 − u(t)).
Hence u is an upper solution of the equation (3.2), and we have

u(t) < u(t) = 1, (see [48], Thm. 2.4.3, p. 32).
Now, we examine the large time behavior of the global solution 0 <
u < 1.
For, let us recall the estimates ( see [47]) :
- For 0 < α < 1 and µ > 0, there exists a constant c > 0 such that,
c
0 < Eα (−µ tα ) ≤ ≤ c, t > 0. (3.5)
1 + µ tα
3.3. Main results 39
- For 0 < α < 1, there exists a constant c1 > 0 such that
0 < tα−1 Eα,α (−tα ) ≤ c1 tα−1 , t > 0. (3.6)
From (3.4) and using the inequalities (3.5) and (3.6), we obtain
Z t
u(t) ≤ cu0 + c1 (t − s)α−1 u2 (s)ds. (3.7)
0
We apply Lemma 3.2.1 to (3.7) with ω ( x ) = x2 , K (s) = (t −

s)α−1 , A(t) = cu0 , B(t) = c1 .
For 0 < t < T0 , we have
c1 α
H (cu0 ) + t ∈ D ( H −1 ),
α
1 1 1 1
where H (v) = − and H −1 (z) = 1
, z 6= .
v0 v v0 −z v0
So we obtain,
−1
h c1 α i
u(t) ≤ H H (cu0 ) + t .
α
Therefore
1
u(t) ≤ , 0 < t < T0 .
1
cu0 − cα1 tα
Let 0 < e < 1, we observe that for the function u(t) := Eα,1 (−e(1 − e) tα )
we have C α
D0+ u(t) = −e(1 − e)u(t)
u (0) = 1 > u (0),
from the comparison principle [48] and inequality (3.5) it follows that
c
u(t) ≤ , t > 0.
1 + e (1 − e ) t α
Part 2. If u0 > 1, then the solution blows-up in a finite time.
1. We show that u > 1. For, let us define the new unknown function
w = u − 1. The function w satisfies
c α
Dt w ( t ) = w(t)(1 + w(t)),
(3.8)
w(0) := w0 = u0 − 1.
As u0 > 1, then w0 > 0. Moreover, we have ([39])

Z t
α
w(t) = Eα (t )w0 + (t − s)α−1 Eα,α ((t − s)α ) w2 (s)ds.
0
Therefore, w > 0 ; hence u > 1.

2. We prove that u blows-up in a finite time.
Since we have w(t) = u(t) − 1, it is seen that if u(t) −→ ∞ as

t −→ T ∗ , then w(t) −→ ∞ as t −→ T ∗ and vice versa. That is w
and u will have the same blow-up time.
We now must examine the blow-up properties of w, the solution
of problem (3.8). These are obtained by comparing w(t) with the
solutions of the following problems :
c α
Dt w ( t ) = w 2 ( t ) ,
(3.9)
w (0) = w0 ,
and
c Dα w e (t) + 21 )2 ,

t e (t) = (w
(3.10)
e (0)
w = w0 .
We see by comparison ([48]) that
e (t), 0 ≤ t < min{ Tw , Twe }.

w(t) ≤ w(t) ≤ w
Following the paper of Kirk, Olmstead and Roberts [45], we may

assert that the solution w ( resp. w)
e blows-up in a finite time Tw (
resp. Twe ), such that
Γ(α + 1) α1 Γ(α + 1) α1
≤ Tw ≤ ,
4w0 w0
and
Γ(α + 1) α1 Γ(α + 1) α1
≤ Tw ≤ .
4(w0 + 21 ) w0 + 12
e
So we have the following estimates
Twe ≤ T ∗ ≤ Tw .
Whereupon
Γ(α + 1) α1 Γ(α + 1) α1
∗
≤T ≤ .
4(w0 + 21 ) w0
3.4 Numerical implementation

In this section, we will approximate the solution u given by (3.4). For,
we need a numerical approximation of the convolution integral ; this can
be obtained using the convolution quadrature method.
3.4. Numerical implementation 41
As it has been explained in [44], a convolution quadrature approxi-

mates the continuous convolution
Z t
K (t − s) f (s) ds, t > 0,
0
by a discrete convolution with a step size h > 0. Then

Z tn n
0
K (tn − s) f (s) ds ∼ ∑ ω n − j f ( t j ),
j =0
where t j = jh, j = 0, 1, 2, ..., n and the convolution quadrature weights ω j

are determined from their generating power series as
∞ n δ(ζ ) o
∑ ω j ζ = L K (t) : h .
j
j =0
Here L{K (t) : s} is the Laplace transform of K (t) and δ(ζ ) is the genera-
ting polynomial for a linear multistep method.
Let un be the approximation of u(tn ) for n ≥ 0. Using the convolution
quadrature method we obtain
h n −1 i
un = (1 − ω0 )−1 Eα (−tα )u0 + ∑ ωn− j u j , n = 1, 2, 3....
j =0
Now, we introduce the following algorithm which gives the numerical

approximation of solution to equation (3.2).
Algorithm
Input : Give α, 0 < α < 1 and u0 , u0 > 1.
Initializations : Discretize the time with a step size h > 0 ; ti = ih, for all
i = 1, 2, ..., n, u1appx = u0 , u1 = (u0 )2 .
Step 1 : Approximate the Mittag-Leffler function GML.
Step 2 : Calculate convolution quadrature weights W using the fast
Fourier transform (FFT).
Step 3 : Calculate uiappx .
ui = GML ∗ u1appx + W ∗ ui−1 .
ui = (1 − W(1))−1 ∗ ui .
do iappx i
u = (u appx )2 .
i = i + 1.
until (uiappx blows up) or (i > n ).
Output : Numerical approximation of u.
Example 3.4.1 For Figure 3.1, we set α = 0.5 ; the initial conditions are
respectively u0 = 5, u0 = 3 and u0 = 2.
For Figure 3.2, we take the initial condition u0 = 5 and we plot the solutions ;
the dotted curve is the solution for α = 0.3 and the solid curve corresponds to
250
u0=5
u0=3
200 u0=2
150
u(t)
100
50
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
Figure 3.1 – Solutions for α = 0.5 and u0 = 5, 3, 2.
250
200
150
u(t)
100
50
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
Figure 3.2 – Solutions for u0 = 5 and α = 0.3, 0.5.

3.4. Numerical implementation 43
the solution for α = 0.5.
As it has been proved, the solution blows up in a finite time which depends
on u0 and α.
Asymptotic behavior of global
solutions of an anomalous 4
diffusion system
Sommaire
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Preliminaries and definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Local existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Global existence and large time behavior . . . . . . . . . 67
Abstract
This paper deals with an anomalous diffusion system which describes

the spread of epidemics among a population. The analysis includes some
results of the asymptotic behavior of global bounded solutions for this
system with homogeneous Neumann boundary conditions.
Keywords : parabolic system, fractional Laplacian, local and global

existence, asymptotic behavior.
MSC[2010] : 35K51, 35A01, 35B40.
45
4.1 Introduction
In this paper, we study the global existence and large time behavior
of solutions to the system
ut = − a (−∆)α u − λuv in R+ × Ω

(4.1)
vt = −b (−∆) β v + λuv − µv in R+ × Ω
supplemented with the boundary and initial conditions
∂u ∂v
= = 0 in R+ × ∂Ω, (4.2)
∂ν ∂ν
u( x, 0) = u0 ( x ), v( x, 0) = v0 ( x ) in Ω.
Here Ω is a bounded regular domain in R N with boundary ∂Ω and u0 , v0

are given nonnegative bounded functions, the constants a, b, λ and µ are
positive.
This system describes the spread of epidemics within a confined po-
pulation. The functions u( x, t), v( x, t) represent densities of susceptible
and infected individuals. The positive constants λ and µ represent the
infection rate and the removal rate respectively (see [81]). The Neumann
boundary conditions implies that there is no infection across the boun-
dary. The presence of the non local operator (−∆)δ (0 < δ < 1, δ =
α or β) which accounts for the anomalous diffusion [38, 36] means that
the sub-populations face some obstacles that slow their movement. In
recent years, this phenomena of anomalous diffusion have been obser-
ved in many areas such that physics, finance and hydrology (see [58, 59]
and references therein ).
The system obtained from (4.1) by replacing the anomalous diffusion
operator by the standard Laplacian operator (−∆) was firstly studied in
one-dimensional space by Webb [81] ; he showed the existence of global
bounded solutions and analyzed their behavior as t goes to +∞.
Later on, a more general model was studied by Haraux and Kirane [29].
They took different diffusion coefficients for the two equations and ge-
neral nonlinear terms. They proved the existence of global bounded so-
lutions and investigated their asymptotic behavior. We can also mention
the paper of Fitzgibbon and Morgan [25] who studied Webb’s system in
arbitrary bounded domain.
Recently, in [77], the authors developed a model of the spreading of an
epidemic among three populations. The existence, uniform bounds and
asymtotic behavior of solutions were investigated. An SIR epidemic sys-
tem with equal diffusion coefficients was studied in [19] ; local and global
asymptotical stability were given by linearization and using a Lyapunov
functional. These results were verified numerically. For other works on
various types of the SIR epidemic model, the reader may be referred to
[40, 50] for example and the references therein.
Our model is a further extension as it contains super-diffusion terms.
The remainder of this paper is organized as follows. In section 2, we
present some definitions and preliminaries. In section 3, we prove the
Chapitre 4. Asymptotic behavior of global solutions of an anomalous
48 diffusion system
existence of a local mild solution for the system (4.1) − (4.2). Finally, glo-
bal existence and asymptotic behavior of solutions are studied in section
4.
4.2 Preliminaries
Let us recall some facts that will be used in the sequel.
In an open bounded domain Ω, we denote (−∆ N )α the fractional power
of the Laplacian in Ω with homogeneous Neumann boundary condition.
Let λk (k = 0, 1, ..., +∞) be the eigenvalues of the Laplacian operator in
L2 (Ω) with homogeneous Neumann boundary condition and let ϕk be
the corresponding eigenfunction i.e.
(−∆ N )α ϕk = λαk ϕk in Ω,
(
∂ϕk
= 0 on ∂Ω,
∂ν
and
∂un o
D ((−∆ N ) ) = u ∈ L (Ω);
α
= 0, k(−∆ N ) uk L2 (Ω) < +∞ ,
2 α
∂ν
+∞
k(−∆ N )α uk2L2 (Ω) = ∑ |λαk < u, ϕk > |2.
k =1
So for u ∈ D ((−∆ N )α ) we have

+∞
(−∆ N ) u =
α
∑ λαk < u, ϕk > ϕk .
k =1
We have the following integration by parts formula

Z Z
u( x ) (−∆ N )α v( x ) dx = v( x ) (−∆ N )α u( x ) dx, for u, v ∈ D ((−∆ N )α ).
Ω Ω
(4.3)
We will use the following important inequalities of Stroock and Varopou-
los (see [49, Theorem 1])
Z
u( x ) (−∆ N )α u( x ) dx ≥ 0, for u ∈ D ((−∆ N )α ). (4.4)
Ω
4( p − 1) 2
Z Z p
p −1 α
u (−∆ N ) u dx >
α
(−∆ N ) 2 u 2 dx > 0, p > 1, (4.5)
Ω p2 Ω
for all u ∈ L p (Ω) such that (−∆ N ) 2 u ∈ L p (Ω).

α
Definition 4.2.1 For p ∈ (1, +∞), we denote A p (resp.B p ) the realisation of

(−∆)α (resp. (−∆) β ) with a homogeneous Neumann boundary condition in
L p ( Ω ).
4.2. Preliminaries 49
It is well known that − A p (resp.− B p ) is a sectorial operator ( see

[31]) ; so that − A p (resp.− B p ) generates an analytic semigroup {e−tA p }t≥0
(resp. {e−tB p }t≥0 ).
Lemma 4.2.2 (See [35])
For θ ∈ [0, 1] and ρ ∈ R, there exists a constant C (θ, ρ) such that, for all t > 0,

Z t  C (θ, ρ)eρt , if ρ > 0,
−θ ρs
m(s) e ds 6 C (θ, ρ)(t + 1), if ρ = 0,
0
C (θ, ρ), if ρ < 0,

where m(t) = min{t, 1}.

Let p, q, r ∈ [1, +∞], r 6 p 6 q and θ ∈ [0, 1] be such that
Lemma 4.2.3
1 θ 1−θ
= + , we have
p r q
−N ( 1 − 1 )
ke−tA p uk p 6 e−λ1 θt m(t) 2α
α
r p kukr for all u ∈ Lr (Ω).
Proof
By the interpolation inequality [31], we get
ke−tA p uk p 6 ke−tA p ukrθ ke−tA p uk1q−θ . (4.6)

Using the following inequalities (see [31] or [38])
ke−tA p ukr 6 e−λ1 t kukr

α
(4.7)
and −N ( 1 − 1 )
ke−tA p ukq 6 t 2α r q k u kr , (4.8)
we have
− N (1− θ )( 1 − 1 )
ke−tA p uk p 6 e−λ1 θt t 2α
α
r q k u kr , (4.9)
where (1 − θ )( 1r − 1q ) = 1
r − 1p .
So we obtain
−N ( 1 − 1 )
ke−tA p uk p 6 e−λ1 θt t 2α
α
r p k u kr
−N ( 1 − 1 ) (4.10)
6 e −λ1α θt m(t) 2α r p k u kr
where m(t) = min{t, 1}.
Remark 4.2.4 An important result in [29] becomes in our case
∀ε > 0, ∃ C (ε) ∈ R+ such that
−N
ke−tBp vk∞ 6 C (ε)t ( N +ε)β kvk N +ε , (4.11)
2
for all v ∈ L∞ (Ω) and all t > 0.

The inequality (4.11) with β = 1 combined with a successive iterations method
have been used in [29] to show that the solutions are bounded in C(Ω̄) (see
Proposition 3.3 [29]).
50 diffusion system
4.3 Local existence

In this section, we derive the existence of a local mild solution for the
system (4.1) − (4.2).
Definition 4.3.1 (Mild solution)
Let u0 , v0 ∈ L∞ (Ω) and T > 0.
We say that (u, v) ∈ C([0, T ]; L∞ (Ω) × L∞ (Ω)) is a mild solution of (4.1) −
(4.2) if u, v satisfy the following integral equations for t ∈ [0, T ] :
 Z t
 u(t) = e
 − atA p u0 − λ e−a(t−s) A p (uv)(s) ds,
Z 0t Z t
−b(t−s) B p
 v(t) = e−btBp v0 + λ e (uv)(s) ds − µ e−b(t−s) Bp v(s) ds.

0 0
(4.12)
Theorem 4.3.2 (Local existence)
Let u0 , v0 ∈ C(Ω̄), then there exist a maximal time Tmax > 0 and a unique mild
solution (u, v) ∈ C([0, Tmax ); C(Ω̄) × C(Ω̄)) to the problem (4.1) − (4.2), with
the alternative :
- either Tmax = +∞ ;
- or Tmax < +∞ and lim ku(t)k∞ + kv(t)k∞ = +∞.
t−→ Tmax
Proof
For arbitrary T > 0, we define the Banach space :
n o
ET := (u, v) ∈ C([0, T ]; C(Ω̄) × C(Ω̄)); k(u, v)k 6 2k(u0 , v0 )k = R ,
where k.k∞ := k.k L∞ (Ω) and k.k is the norm of ET defined by :
k(u, v)k := kuk L∞ ([0,T ];L∞ (Ω)) + kvk L∞ ([0,T ];L∞ (Ω)) .
Next, for every (u, v) ∈ ET , we define Ψ(u, v) := (Ψ1 (u, v), Ψ2 (u, v))
where for t ∈ [0, T ]
Z t
− atA p
Ψ1 (u, v) := e u0 − λ e−a(t−s) A p (uv)(s) ds
0
and
Z t Z t
−btB p −b(t−s) B p
Ψ2 (u, v) := e v0 + λ e (uv)(s) ds − µ e−b(t−s) Bp v(s) ds.
0 0
We will prove the local existence by the Banach fixed point theorem.
• Ψ : ET → ET : Let (u, v) ∈ ET . Using the estimate (4.8) (with r = p =
∞), we obtain
Rt
kΨ1 (u, v)k∞ 6 ku0 k∞ + λ 0 kuv(s)k∞ ds
6 ku0 k∞ + λR2 T.
4.4. Global existence and asymptotic behavior 51
Similarly, we have
kΨ2 (u, v)k∞ 6 kv0 k∞ + λR2 T + µRT.
So we have,
kΨ(u, v)k 6 ku0 k∞ + kv0 k∞ + 2λR2 T + µRT

6 2(ku0 k∞ + kv0 k∞ ),
1
by choosing T such that T 6 .
4λR + 2µ
1
Then Ψ(u, v) ∈ ET for T 6 .
4λR + 2µ
• Ψ is a contraction map : for (u, v), (ũ, ṽ) ∈ ET , we have
Z t
kΨ1 (u, v) − Ψ1 (ũ, ṽ)k∞ 6 λ kũṽ(s) − uv(s)k∞ ds
Z0 t
6 λ ku(ṽ − v) + ṽ(ũ − u)k∞ ds
0
6 λRT (kṽ − vk∞ + kũ − uk∞ ).
Similarly, we obtain
kΨ2 (u, v) − Ψ2 (ũ, ṽ)k∞ 6 λRT (kũ − uk∞ + kṽ − vk∞ ) + µT kṽ − vk∞
6 (λRT + µT )(kũ − uk∞ + kṽ − vk∞ ).
These estimates imply that
kΨ(u, v) − Ψ(ũ, ṽ)k∞ 6 (2λRT + µT )k(u, v) − (ũ, ṽ)k

1
6 k(u, v) − (ũ, ṽ)k,
2
1
for T 6 .
4λR + 2µ
Hence, by the Banach fixed point theorem, the system (4.1) − (4.2) ad-
mits a unique mild solution (u, v) ∈ ET .
The solutionn can be extented on a maximal interval [0, Tmax
o ) where
Tmax := sup T > 0; (u, v) is a solution to (4.1) − (4.2) in ET .
4.4 Global existence and asymptotic behavior

Theorem 4.4.1 Let (u0 , v0 ) ∈ C(Ω̄) × C(Ω̄) be such that u0 > 0, v0 > 0.
Then there exists a unique global solution (u, v) of (4.1) − (4.2) which satisfies :
1. u( x, t) > 0, v( x, t) > 0; x ∈ Ω, t > 0.
2. u ∈ C B (R+ , C(Ω̄)), v ∈ C B (R+ , C(Ω̄)).
3. lim kv(t)k∞ = 0; ∃ u∞ > 0 such that lim ku( x, t) − u∞ k∞ =
t−→+∞ t−→+∞
0.
52 diffusion system
Proof.
Part 1.
We define u+ = max(0, u) and u− = max(0, −u).
We write u = u+ − u− , multiply the first equation of problem (4.1) by
(−u− ) and integrate over Ω ; we obtain
∂u− −
Z Z Z
u dx = − a A p u− u− dx − λ (u− )2 v dx.
Ω ∂t Ω Ω
By inequality (4.4), we get

d
Z Z
− 2
(u ) dx 6 −2λ (u− )2 v dx.
dt Ω Ω
We observe that v is bounded on [0, T ], for T < Tmax , so there exists a

constant C (t) depending on t such that kv(t)k∞ 6 C (t). Whereupon,
d
Z Z
− 2
(u ) dx 6 2λC (t) (u− )2 dx. (4.13)
dt Ω Ω
Z
As (u− )2 (0) dx = 0, Gronwall’s inequality [31] allows us to obtain
Z Ω
− 2
(u ) dx = 0 ; consequently, u > 0.
Ω
∂v− −
Z Z Z
− −
v dx = −b B p v v dx + (λu − µ)(v− )2 dx.
Ω ∂t Ω Ω
Using (4.4), we have
∂v− −
Z Z
v dx 6 (λu − µ)(v− )2 dx.
Ω ∂t Ω
We note that u is bounded on [0, T ], for T < Tmax , so there exists a

constant M(t) depending on t such that
ku(t)k∞ 6 M(t). Then we have
d
Z Z
− 2
(v ) dx 6 2(λM(t) − µ) (v− )2 dx.
dt Ω Ω
By integration we get v− = 0 which gives v > 0.

Part 2.
We will derive a uniform bound of ku(t)k∞ .
Multiplying the first equation of (4.1) by u p−1 and integrating over Ω, we
d
Z
obtain u p dx 6 0 thanks to inequality (4.5). Consequently, we have
dt Ω
ku(t)k∞ 6 ku0 k∞ , ∀t ∈ [0, Tmax ). (4.14)
Z (4.1) over Ω and use the integration

We integrate the first equation of
by parts formula (4.3) which gives (−∆ N )α u( x ) dx = 0 ; we obtain
Ω
Z Z
∂u
dx = −λ uv dx 6 0.
Ω ∂t Ω
Z
So the function t 7−→ u( x, t) dx is nonincreasing. As u > 0, then it
Ω
admits a limit as t −→ +∞ :
1
Z
lim u( x, t) dx = u∞ > 0.
t−→+∞ | Ω | Ω
We add the equations of (4.1) and we integrate over Ω to obtain
d
Z Z
(u + v) dx = −µ v dx 6 0. (4.15)
dt Ω Ω
Z
We observe that the function t 7−→ (u + v) dx > 0 is nonincreasing,
Ω
hence admits a limit ; so we have
Z
lim v( x, t) dx = l > 0.
t−→+∞ Ω
Consequently v ∈ L∞ (R+ ; L1 (Ω)). Thanks to inequality (4.11) we can

proceed analogously to the proof of [29, Proposition 3.3], hence we get
v ∈ C B (R+ , C(Ω̄)).
Part 3.
Integrating the equation (4.15) over [0, t], we obtain
Z tZ Z Z
µ v( x, s) dx ds = (u0 + v0 ) dx − (u + v)( x, t) dx
0 Ω ZΩ Ω
6 (u0 + v0 ) dx.
Ω
Z +∞ Z
So, v( x, s) dx ds is finite. Moreover v( x, t) is uniformly conti-
0 Ω
nuous in t.
In fact, let h > 0 and 0 < t < t + h < Tmax , it follows that
kv(t + h) − v(t)k∞
Z t
−hbB p −tbB p
6 k(e − I )e v0 k ∞ + λ k(e−hbBp − I )e−(t−s)bBp (uv)(s)k∞ ds
Z t 0 Z t+h
−hbB p −(t−s)bB p
+µ k(e − I )e v(s)k∞ ds + λ ke−(t+h−s)bBp (uv)(s)k∞ ds
Z0 t
t+h
+µ ke−(t+h−s)bBp v(s)k∞ ds
t
= I1 + I2 + I3 + I4 + I5 .
Using Lemma A.1.2([34, Lemma 2.1]), we find that for every γ ∈ (0, 1)
I1 6 C2 (γ)hγ k B p e−tbBp v0 k∞
γ
β
6 C2 (γ)C1 (γ)hγ t−γ e−bλ1 t kv0 k∞ .
We also have
Z t β
I2 6 C2 (γ)C1 (γ)hγ (t − s)−γ e−bλ1 (t−s) kuv(s)k∞ ds.
0
54 diffusion system
By Lemma 4.2.2, we can see that

Z t β
(t − s)−γ e−bλ1 (t−s) ds 6 C3 (γ, −bλ1 ).
β
0
As v ∈ C B (R+ , C(Ω̄)) we have kv(t)k∞ 6 M, for all t > 0, where M is a

positive constant.
So, we obtain
β
I2 6 C2 (γ)C1 (γ)C3 (γ, −bλ1 ) Mhγ ku0 k∞ .
Likewise, it follows that

β
I3 6 C2 (γ)C1 (γ)C3 (γ, −bλ1 ) Mhγ .
Using the inequality (see [38])
ke−tbBp uk∞ ≤ C kuk∞ ,
we get
Rh
I4 = 0 ke−τbBp (uv)(t + h − τ )k∞ dτ
6 CMhku0 k∞ .
Consequently, for all t > δ > 0
kv(t + h) − v(t)k∞ 6 C (γ, β, δ)hγ .

Z
Then lim v( x, t) dx = 0.
t−→+∞ Ω
γ
Moreover, for γ ∈ (0, 1), applying B p to both sides of the second
equation of (4.12) and estimate, we obtain
Z t
k Bγp v(t)k p 6 k Bγp e−bBp t v0 k p +λ k Bγp e−bBp (t−s) uv(s)k p ds.
0
Using Theorem 1.4.3 [31], we get

β
k Bγp v(t)k p 6 Cm(t)−γ e−bλ1 t kv0 k p
1 Rt β
+λC |Ω| p ku0 k∞ kv0 k∞ 0 m(t − s)−γ e−bλ1 (t−s) ds.
γ
So by Lemma 4.2.2 and for all t > δ, we have k B p v(t)k p 6 C (γ, p, δ).
γ
Then {v(t)}t>δ is uniformly bounded in D ( B p ) ; so by Sobolev’s imbed-
ding theorem, the compactness of {v(t)}t>δ in C(Ω̄) is assured.
Therefore, there exists a sequence {t j } j>0 , t j −→ +∞ such that v(t j ) −→
v∗ in C(Ω̄) as j −→ +∞.
So we obtain lim kv(t)k∞ = 0.
t−→+∞
By the same way, we can show that {u(t)}t>δ is precompact in C(Ω̄) ; so
there exists a sequence {τj } j>0 , τj −→ +∞ such that lim u(τj ) = u∗
t−→+∞
in C(Ω̄).
We have (u + v)(t) −→ u∗ in C(Ω̄), which implies that (u + v)(t) −→ u∗

in L1 (Ω) as t −→ +∞. Z
1
Z
Using the fact that lim v( x, t) dx = 0 and lim u( x, t) dx =
t−→+∞ Ω t−→+∞ | Ω | Ω
u∞ , we obtain
(u + v)(t) −→ u∞ in L1 (Ω) as t −→ +∞. By uniqueness of the limit,
u∗ = u∞ .
Theorem 4.4.2 Let (u, v) be the solution of (4.1) − (4.2). Moreover assume
that µ − λu∞ > 0. Then there exist positive constants T and C such that
Ce−ξ (t−T ) ,

if h(u∞ ) 6= aθλ1α , t > T,
ku(t) − u∞ k∞ 6
C (t − T + 1)e−ξ (t−T ) if h(u∞ ) = aθλ1α , t > T,
kv(t)k∞ 6 Ce−h(u∞ )(t−T ) , t > T,

where ξ = min{h(u∞ ), aθλ1α }, h(u∞ ) = µ − λu∞ > 0, and θ is as in Lemma
4.2.3.
Proof.
For ε > 0, there exists a constant T > 0 such that for all t > T
u∞ − ε < u(t) < u∞ + ε .
µ
We take ε satisfying 0 < ε < λ − u∞ .
We multiply the second equation by v p−1 and integrate over Ω ; it holds
that
d
Z Z
v dx 6 p (λu − µ)v p dx, ∀t > T,
p
dt Ω Ω
in the light of inequality (4.5).
Hence
d p p
kv(t)k p 6 p(λ(u∞ + ε) − µ)kv(t)k p , ∀t > T.
dt
So that for 1 6 p 6 +∞, we have
kv(t)k p 6 kv( T )k p e(λ(u∞ +ε)−µ)(t−T ) , t > T. (4.16)
This in turn implies
kv(t)k∞ 6 kv( T )k∞ e(λ(u∞ +ε)−µ)(t−T ) , t > T. (4.17)
For the rate of convergence of ku(t) − u∞ k∞ to zero, we define as in

[81] two bounded linear operators M and Q by
1
Z
Mw :=< w >, Qw := w − < w >, where < w >:= w( x, t) dx.
|Ω| Ω
Adding the two equations of problem (4.1) and integrating over Ω, we

obtain
Z t
< u(t) >= − < v(t) > + < u0 > + < v0 > −µ < v(s) > ds,
0
56 diffusion system
when t → +∞, it follows that

Z +∞
u∞ =< u0 > + < v0 > −µ < v(s) > ds.
0
So, Z +∞
< u ( t ) > − u ∞ 6< v ( t ) > + µ < v(s) > ds.
t
Using (4.16) we obtain
Z +∞ Z +∞
< v(s) > ds 6 < v( T ) > e(λ(u∞ +ε)−µ)(s−T ) ds
t t
6 C1 < v( T ) > e(λ(u∞ +ε)−µ)(t−T ) , t > T,
1
where C1 = . Then
µ − λ(u∞ + ε)
| Mu(t) − u∞ | 6 C2 < v( T ) > e(λ(u∞ +ε)−µ)(t−T ) , t > T, (4.18)
where C2 = max{1, µC1 }.

As u(t) satisfies the integral equation for t > T,
Z t
− aA p t
u(t) = e u0 − λ e−aA p (t−s) (uv)(s) ds,
0
we have
Z t
− aA p (t− T )
u(t) = e u( T ) − λ e−aA p (t−s) (uv)(s) ds.
T
Then we obtain
Z t
Qu(t) = e−aA p (t−T ) Qu( T ) − λ e−aA p (t−s) Q(uv)(s) ds.
T
Using Lemma 4.2.3, we obtain the estimate
ke−aA p (t−T ) Qu( T )k p 6 Ce−λ1 θ (t−T ) ku( T )k p .

α
(4.19)
Here we set
Z t
I (t) = ke−aA p (t−s) Q(uv)(s)k p ds
TZ
t −N ( 1 − 1 )
e−aλ1 θ (t−s) kv(s)kq ds.
α
6 C m(t − s) 2α q p
T
Using (4.16) we obtain

Z t −N ( 1 − 1 )
e−aλ1 θ (t−s) e(λ(u∞ +ε)−µ)(s−T ) ds
α
I (t) 6 C kv( T )kq m(t − s) 2α q p
Z Tt− T −N ( 1 − 1 )
e−aλ1 θ (t−T −τ ) e(λ(u∞ +ε)−µ)τ dτ
α
6 C kv( T )kq m(t − T − τ ) 2α q p
0
6 C kv( T )kq e(λ(u∞ +ε)−µ)(t−T )
R t− T −N ( 1 − 1 )
× 0 m(t − T − τ ) 2α q p e(−λ(u∞ +ε)+µ−aλ1 θ )(t−T −τ ) dτ.
α
We denote
Z t− T −N ( 1 − 1 )
e(−λ(u∞ +ε)+µ−aλ1 θ )(t−T −τ ) dτ.
α
Iε (t) = m(t − T − τ ) 2α q p
0
N 1 1

If we choose p and q satisfying 0 6 2α q − p < 1 and use Lemma 4.2.2,
we obtain :
• when aλ1α θ < −λu∞ + µ = h(u∞ ), we choose ε such that 0 < λε <
h(u∞ ) − aλ1α θ, then
N 1 1
− , h(u∞ ) − aλ1α θ − λε e(h(u∞ )−aλ1 θ −λε)(t−T ) .
α
Iε (t) 6 C
2α q p
• when aλ1α θ > h(u∞ ),
N 1 1
Iε (t) 6 C − , h(u∞ ) − aλ1α θ − λε .
2α q p
Therefore
I (t) 6 C kv( T )kq e−ρ(t−T ) , (4.20)

aλ1α θ if aλ1α θ < h(u∞ ),
where ρ =
h(u∞ ) − λε if aλ1α θ > h(u∞ ).
Combining estimates (4.19) and (4.20), we get
k Qu(t)k p 6 C k(u, v)( T )k p e−ρ(t−T ) , t > T. (4.21)

Then we obtain from (4.18) and (4.21)
ku(t) − u∞ k∞ 6 C k(u, v)( T )k∞ e−ρ(t−T ) , t > T.

Now we have
u∞ − Ce−ρ(t−T ) < u(t) < u∞ + Ce−ρ(t−T ) , t > T.
So we can assert that for every 1 6 p 6 ∞,
kv(t)k p 6 C kv( T )k p e−h(u∞ )(t−T ) , t > T.

Then Mu(t) − u∞ can be estimated as
| Mu(t) − u∞ | 6 C | Mu( T )|e−h(u∞ )(t−T ) , t > T,

and
Ce−ξ (t−T ) ,

if h(u∞ ) 6= aθλ1α
k Qu(t)k∞ 6
C (t − T + 1)e−ξ (t−T ) , if h(u∞ ) = aθλ1α ,
where ξ = min{h(u∞ ), aθλ1α }.
Consequently,
Ce−ξ (t−T ) ,

if h(u∞ ) 6= aθλ1α
ku(t) − u∞ k∞ 6
C (t − T + 1)e−ξ (t−T ) , if h(u∞ ) = aθλ1α .

Global existence and large
time behavior of solutions of 5
the time fractional
Brusselator
Sommaire
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Local existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Abstract
In this paper, it is proved that the time fractional Brusselator admits a

global solution. Furthermore, some results of the asymptotic behavior
for this solution are obtained.
Keywords fractional calculus, Caputo derivative, local and global

existence, large time behavior.
MSC[2010] : 35B01, 35B40, 26A33.
59
5.1 Introduction
In this work, we are interested in the fractional Brusselator model
which arises in the modelling of autocatalytic reactions. We study the
global existence and large time behavior of the solution for the following
fractional-order Brusselator
(
c D β u = d ∆u − ( b + 1) u + u2 v + a,
t 1
c D β v = d ∆v + bu − u2 v,
(5.1)
t 2
in Ω × R+ , and supplemented with the boundary and initial conditions
∂u ∂v
( x, t) = ( x, t) = 0 on ∂Ω × R+ , (5.2)
∂η ∂η
u( x, 0) = u0 ( x ), v( x, 0) = v0 ( x ) in Ω, (5.3)
where Ω is a regular bounded domain in R N ( N ≥ 1) with smooth boun-
∂
dary ∂Ω, denotes the normal derivative on ∂Ω, ∆ stands for the Lapla-
∂η
cian operator, d1 , d2 and a are positive constants and b is a nonnegative
β
constant, u0 and v0 are nonnegative functions, c Dt , for β ∈ (0, 1), is the
Caputo fractional derivative of order β.
The system, obtained by replacing the fractional derivative by the clas-
sical one, is known as the chemical reaction diffusion Brusselator. This
model was proposed by Prigogine and Lefever in 1968. Later on, the
Brusselator model has attracted significant attention. It has been a sub-
ject of a number of papers, for example Rothe [71], Bénilan et al. [11],
Hollis et al. [33], Kirane [41], etc.
Our paper is organized as follows. In section 5.2, we present some pre-
liminaries and definitions which will be used in the following sections.
In section 5.3, the definition of mild solution of the system (5.1) and the
theorem of local existence are given. The main results of global existence
and large time behavior for the solution are presented in section 5.4.
5.2 Preliminaries and definitions

In this section, we introduce some notations, definitions, see [73], and
lemmas which will be used in the sequel.
Definition 5.2.1 For T > 0, let f ∈ L1 (0, T ) and β ≥ 0, the expression
Z t
1
(t − s) β−1 f (s)ds, t > 0, 0 < β < 1
β
Jt f (t) =
Γ( β) 0
with Jt0 f (t) = f (t) is called the Riemann-Liouville integral of order β of f .

Chapitre 5. Global existence and large time behavior of solutions of the
62 time fractional Brusselator
Definition 5.2.2 Let β ∈ (0, 1) and f ∈ AC (0, T ). The Caputo fractional

derivative of order β of f is defined by
c 1− β
Dt f (t) = Dt1 Jt
β
( f (t) − f (0)), (5.4)
d
where Dt1 = .
dt
Observe that if f ∈ C1 (0, T ), then we have
c 1− β
Dt1 f (t).
β
Dt f (t) = Jt (5.5)
Lemma 5.2.3 (see Córdoba-Córdoba [20], [4, Remark 1])

Let f be an absolutely continuous function and β ∈ (0, 1), then we have
c
Dt f 2 ( t ) ≤ 2 f ( t ) c Dt f ( t ) .
β β
(5.6)
Definition 5.2.4 For p ∈ (1, ∞), we denote by Ai , for each i ∈ {1, 2}, the
realization of −di ∆ with homogeneous Neumann boundary condition in L p (Ω),
i.e.
∂φ 2,p
D ( Ai ) = φ ∈ W 2,p (Ω); = 0 on ∂Ω := WN (Ω)

∂η
2,p
Ai φ = −di ∆φ for φ ∈ WN (Ω).
Remark 5.2.5 For p ∈ (1, ∞), it is well known that, for each i ∈ {1, 2},
− Ai is a sectorial operator (see [31]) ; so it generates an analytic semigroup
{ Ti (t) := e−tAi }t≥0 .
Lemma 5.2.6 ([13, Lemma 3.4])
For 1 ≤ r ≤ p ≤ ∞, there exists a positive constant C such that
k T (t)uk p ≤ C kuk p , t > 0, (5.7)
− N2 ( 1r − 1p )
k T (t)uk p ≤ Ct kukr , t > 0, (5.8)
where { T (t)}t≥0 is the semigroup generated by − A.
Hereafter, we present some properties of the Mittag-Leffler function
which is defined by
∞
zk
Eβ,α (z) := ∑ Γ( βk + α) ; z ∈ C,
k =0
where β > 0 and α ∈ R are arbitrary constants.

For α = 1,
∞
zk
Eβ,1 (z) := Eβ (z) = ∑ ; z ∈ C.
k =0
Γ ( βk + 1 )
5.2. Preliminaries and definitions 63
Lemma 5.2.7 (see [72])

For λ > 0 and β > 0, we have
d
Eβ (−λt β ) = −λt β−1 Eβ,β (−λt β ), t > 0. (5.9)
dt
For η ≥ 0 and 0 < β < 1, we have
Eβ,β (−η ) ≥ 0, t > 0. (5.10)
To define the mild solution, we need two operator families
{ Eβ (−t β A)}t≥0 and { Eβ,β (−t β A)}t≥0 ( A a sectorial operator) and their
properties. These operators are based on the generalized Mittag-Leffler
functions and the resolvent operators associated to the sectorial operator
A (see [76, 80]).
Definition 5.2.8 (see [76, Lemma 6])
Let β ∈ (0, 1) and suppose that A : D ( A) ⊂ X → X is a positive sectorial
operator, then we have
1
Z
β
Eβ (−t A) := eλt λ β−1 (λ β + A)−1 dλ; t ≥ 0, (5.11)
2πi Ha
and
t 1− β
Z
Eβ,β (−t β A) := eλt (λ β + A)−1 dλ; t ≥ 0, (5.12)
2πi Ha
where Ha ⊂ ρ(− A) is the Hankel path.
Let φβ (θ ) be the probability density function defined on (0, ∞) (see
[53, 80]), which satisfies :
(A) φβ (θ ) ≥ 0, θ > 0 ;
Z ∞
(B) φβ (θ ) dθ = 1 ;
Z0 ∞
Γ (1 + r )
(C) θ r φβ (θ ) dθ = , for −1 < r < ∞.
0 Γ(1 + βr )
Theorem 5.2.9 ( see [76, Lemma 9])
Under the hypotheses of Definition 5.2.8, we can rewrite the operators
{ Eβ (−t β A)}t≥0 and { Eβ,β (−t β A)}t≥0 as follows
Z ∞
β
Eβ (−t A) = φβ (θ ) T (θt β ) dθ, t ≥ 0, (5.13)
0
and Z ∞
β
Eβ,β (−t A) = β θ φβ (θ ) T (θt β ) dθ, t ≥ 0, (5.14)
0
where { T (t)}t≥0 is the semigroup generated by − A.
Proposition 5.2.10 For 1 ≤ r ≤ p ≤ ∞, let A : D ( A) ⊂ L p (Ω) → L p (Ω)
where A = −di ∆, i ∈ {1, 2}.
Then there exists a constant C > 0 such that
k Eβ (−t β A)uk p ≤ C kuk p , t > 0, (5.15)
k Eβ,β (−t β A)uk p ≤ C kuk p , t > 0, (5.16)

N 1
and for 2 (r − 1p ) < 1
− N2 β ( 1r − 1p )
k Eβ (−t β A)uk p ≤ Ct kukr , t > 0, (5.17)
− N2 β ( 1r − 1p )
k Eβ,β (−t β A)uk p ≤ Ct kukr , t > 0. (5.18)
Proof. The proof is based on the semigroup estimates given in Lemma
5.2.6.
Combining (5.13), (5.7) and (B) we obtain
Z ∞
k Eβ (−t A)uk p ≤
β
φβ (θ )k T (θt β
)uk p dθ
0Z ∞
≤ C φβ (θ ) dθ kuk p ≤ C kuk p .
0
Similarly, by (5.14), (5.8) and (C) we have

Z ∞
k Eβ,β (−t β A)uk p ≤ β θφβ (θ )k T (θt β )uk p dθ
0
Γ (2)
≤ Cβ kuk p ≤ C kuk p .
Γ (1 + β )
N 1
If 2 (r − 1p ) < 1, it follows from (5.8) and (C) that
Z ∞
k Eβ,β (−t β A)uk p ≤ β θφβ (θ )k T (θt β )uk p dθ
0 Z ∞
− N2 β( 1r − 1p ) − N2 ( 1r − 1p )
≤ Ct βθ φβ (θ ) dθ kukr
0
Γ − N 1 1

2 (r − p) + 1 − N2 β( 1r − 1p )
≤ Cβ t k u kr .
Γ − N 1 1

2 β( r − p ) + 1
5.3 Local existence

In this section, we investigate the local existence and uniqueness of
mild solutions to the problem (5.1) which can be written as follows
(
c D β u = − A u + f ( u, v ),
t 1
c D β v = − A v + g ( u, v ),
(5.19)
t 2
in Ω × R+ , and supplemented with the initial conditions (5.3) where

f (u, v) = −(b + 1)u + u2 v and g(u, v) = bu − u2 v.
5.3. Local existence 65
Definition 5.3.1( Mild solution)

Let u0 , v0 ∈ L∞ (Ω) ;
for T > 0, we say that (u, v) ∈ C ([0, T ]; L∞ (Ω) ×
∞
L (Ω)) is a mild solution of the system (5.19)-(5.3) if it satisfies the integral
equations
Z t
β
u(t) = Eβ (−t A1 )u0 + (t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A1 ) f (s, u(s), v(s)) ds,
0
Z t
v(t) = Eβ (−t β A2 )v0 + (t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A2 ) g(s, u(s), v(s)) ds,
0
for t ∈ [0, T ].
Theorem 5.3.2 (Local existence )
Let u0 , v0 ∈ C(Ω̄), then there exist a maximal Tmax > 0 and a unique mild
solution (u, v) ∈ C ([0, Tmax ); C(Ω̄) × C(Ω̄)) to the problem (5.1)-(5.2)-(5.3)
with the alternative :
- or Tmax < +∞, and in this case limt→Tmax ku(t)k∞ + kv(t)k∞ = +∞.
Proof.
For T > 0 and R := 2C (ku0 k∞ + kv0 k∞ ), we define the following Banach
space
E := {(u, v) ∈ C ([0, T ]; L∞ (Ω) × L∞ (Ω)); |k(u, v)k| ≤ R}
where k.k∞ = k.k L∞ (Ω) and
|k(u, v)k| := kuk + kvk := kuk L∞ ([0,T ];L∞ (Ω)) + kvk L∞ ([0,T ];L∞ (Ω)) .
For every (u, v) ∈ E, we define
Ψ(u, v) = (Ψ1 (u, v), Ψ2 (u, v)),
where
Z t
Ψ1 (u, v) := Eβ (−t A1 )u0 +
β
(t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A1 ) f (s, u(s), v(s)) ds,
0
and
Z t
Ψ2 (u, v) := Eβ (−t A2 )v0 +
β
(t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A2 ) g(s, u(s), v(s)) ds.
0
We will prove the local existence by the Banach fixed point theorem (see
Theorem ??).
• Ψ : E → E : Let (u, v) ∈ E, we have
Z t
kΨ1 (u, v)k∞ ≤ C ku0 k∞ + (b + 1)C (t − s) β−1 ku(s)k∞ ds
Z t 0 Z t
β −1
+ C (t − s) 2
k(u v)(s)k∞ ds + aC (t − s) β−1 ds
0 0
Tβ Tβ Tβ
≤ C ku0 k∞ + (b + 1) RC + R3 C + aC .
β β β
Tβ Tβ
kΨ2 (u, v)k ≤ C kv0 k∞ + bRC + R3 C .
β β
Whereupon
Tβ
|kΨ(u, v)k| ≤ C (ku0 k∞ + kv0 k∞ ) + ((2b + 1) R + 2R3 + a)C ;
β
β(ku0 k∞ + kv0 k∞ )
if we choose T such that T β ≤ we get Ψ(u, v) ∈ E.
(2b + 1) R + 2R3 + a
• Ψ is a contraction map : For (u, v), (ũ, ṽ) ∈ E we have
Tβ Tβ
kΨ1 (u, v) − Ψ1 (ũ, ṽ)k ≤ (b + 1) C ku − ũk + C ku2 v − ũ2 ṽk.
β β
Using the inequality
ku2 v − ũ2 ṽk ≤ kuk2 kv − ṽk + kṽk(kuk + kũk)ku − ũk, (5.20)
we obtain
Tβ Tβ
kΨ1 (u, v) − Ψ1 (ũ, ṽ)k ≤ (b + 1)C + 3CR2 |k(u, v) − (ũ, ṽ))k|.
β β
Similarly, it follows that
Tβ Tβ
kΨ2 (u, v) − Ψ2 (ũ, ṽ)k ≤ bC + 3CR2 |k(u, v) − (ũ, ṽ))k|;
β β
so,
Tβ Tβ
|kΨ(u, v) − Ψ(ũ, ṽ)k| ≤ (2b + 1)C + 6CR2 |k(u, v) − (ũ, ṽ))k|
β β
1
≤ |k(u, v) − (ũ, ṽ))k|
2
β
for T β ≤ .
2C ((2b + 1) + 6R2 )
Therefore, in view of the Banach fixed point theorem, Ψ admits a fixed
point on E. Thus the system (5.1)-(5.2)-(5.3) has a mild solution.
• Uniqueness of the solution : Let (u, v), (ũ, ṽ) ∈ E be two mild solutions
in E, for T > 0. Using (5.16) and (5.20), we have for t ∈ [0, T ] :
ku(t) − ũ(t)k∞
Z t
≤ ( b + 1) C (t − s) β−1 ku(s) − ũ(s)k∞ ds
Z t 0
β −1
+C (t − s) k(u2 v)(s) − (ũ2 ṽ)(s)k∞ ds
0 Z t
≤ ((b + 1)C + 3CR2 ) (t − s) β−1 (ku(s) − ũ(s)k∞ + kv(s) − ṽ(s)k∞ ) ds
0
5.4. Global existence and large time behavior 67
and
kv(t) − ṽ(t)k∞
Z t
≤ bC (t − s) β−1 ku(s) − ũ(s)k∞ ds
Z t 0
+C (t − s) β−1 k(ũ2 ṽ)(s) − (u2 v)(s)k∞ ds
0 Z t
≤ (bC + 3CR2 ) (t − s) β−1 (ku(s) − ũ(s)k∞ + kv(s) − ṽ(s)k∞ ) ds.
0
Hence
ku(t) − ũ(t)k∞ + kv(t) − ṽ(t)k∞
Z t
≤ C (2b + 1 + 6R2 ) (t − s) β−1 (ku(s) − ũ(s)k∞ + kv(s) − ṽ(s)k∞ ) ds,
0
by the Gronwall inequality (see Lemma A.1.4), the uniqueness follows.

5.4 Global existence and large time behavior

Lemma 5.4.1 Let (u0 , v0 ) ∈ C(Ω̄) × C(Ω̄) be such that u0 ≥ 0 and v0 ≥ 0,
then the solution (u, v) of (5.1)-(5.2)-(5.3) is positive.
Proof. We define u+ = max(0, u) and u− = max(0, −u) ; u = u+ − u− .
We have
Z Z Z
− c
Dt u − − 2
(u− )3 v dx.
β
(u ) dx ≤ −d1 (∇u ) dx −
Ω Ω Ω
Since (u, v) is a local solution on [0, Tmax ), then u and v are bounded on
[0, T ] for T < Tmax ; hence there exist continuous functions c(t) and h(t)
such that kv(t)k∞ ≤ c(t) and ku(t)k∞ ≤ h(t). It follows that
Z Z
−c
Dt u − (u− )2 dx.
β
u dx ≤ h(t)c(t)
Ω Ω
Lemma 5.2.3 allows us to obtain

Z Z
c
Dt (u− )2 dx ≤ 2h(t)c(t) (u− )2 dx.
β
Ω Ω
Z
Consider the function ψ(t) = (u− )2 dx where ψ(0) = 0 and
Ω
c β
Dt ψ(t) ≤ 2h(t)c(t)ψ(t);
it is obvious that ψ(t) = 0 and consequently, u ≥ 0.

Similarly, we have
1c β
Z Z
− 2
(v− ) c Dt v− dx
β
D (v ) dx ≤
2 t Ω Ω Z Z Z
≤ − d2 (∇v− )2 dx − u2 (v− )2 dx − b uv− dx,
Ω Ω Ω
then Z
c
(v− )2 dx ≤ 0.
β
Dt
Ω
Z Z
(v− )2 dx ≤ (v− )2 (0) dx = 0, hence
β
Applying Jt , it follows that
Ω Ω
v≥0.
Now, we present the L2 -estimate of the component u and an L∞ -

estimate for the component v.
Proposition 5.4.2 Under the same assumptions as Lemma 5.4.1, there exists a
positive constant M such that the solution (u, v) ∈ C ([0, Tmax ), C(Ω̄) × C(Ω̄))
of the system (5.1)-(5.2)-(5.3) satisfies
kv(., t)k∞ ≤ M, for all t > 0, (5.21)

v ( x, t) ≤ Eβ (−t β A2 )v20 + Mt β ,
2
for all ( x, t) ∈ Ω × (0, Tmax ),(5.22)
ku(., t)k22 ≤ M(1 + t β ), for all t ∈ (0, Tmax ). (5.23)
Proof. For the proof, we need the following lemma.

Lemma 5.4.3 It holds
a
u(t) ≥ (1 − Eβ (−(b + 1)t β ), t > 0. (5.24)
b+1
Proof. Let m̄(t) = min{u( x, t); x ∈ Ω̄}.
For any t > 0, there exists x ∗ ∈ Ω̄ such that m̄(t) = u( x ∗ , t) and
c D β m̄ ( t ) = c D β u ( x ∗ , t ).
t t
Using the fact that v ≥ 0, we obtain
c β
Dt m̄(t) ≥ −(b + 1)m̄(t) + a.
Let m̃(t) the solution of the problem
c β
Dt m̃(t) = −(b + 1)m̃(t) + a, m̃(0) = 0.
By comparison, it follows that

a
m̄(t) ≥ m̃(t) = (1 − Eβ (−(b + 1)t β ),
b+1
hence
a
u(t) ≥ (1 − Eβ (−(b + 1)t β ), t > 0.
b+1

Now, we pass to the proof of (5.21). Let us fix τ > 0 such that τ <
Tmax . By Theorem 5.3.2, the problem (5.1)-(5.2)-(5.3) has a unique solution
in [0, Tmax ) which implies that (u, v) is bounded in [0, τ ]. Hence
kv(., t)k∞ ≤ C1 for any t ≤ τ. (5.25)

For t ≥ τ, let M(t) = max{v( x, t); x ∈ Ω̄}.

For any t > 0, there exists x̂ ∈ Ω̄ such that M(t) = v( x̂, t) and c Dt M (t) =
β
c D β v ( x̂, t ).
t
It is clear that
c β
Dt M (t) ≤ u( x̂, t)(b − u( x̂, t) M(t)).
Let γ be the increasing function defined by
a
γ(τ ) := (1 − Eβ (−(b + 1)τ β ).
b+1
From this and Lemma 5.4.3, we obtain
c β
Dt M(t) ≤ ψ(γ(τ )), t ≥ τ; (5.26)
where the nonincreasing function ψ : [0, ∞[→ R is defined as follows


b
 y(b − yM (t)) for y ≥ ,


2γ(τ )
ψ(y) = b b
for y ≤ .


4M(t) 2γ(τ )

Consider M̃(t) the solution of the initial value problem
c b
Dt M̃(t) = −γ2 (τ ) M̃(t) + bγ(τ ), M̃(τ ) =
β
, (5.27)
2γ(τ )
which is given by
b
M̃(t) = E (−γ2 (τ )(t − τ ) β )
2γ(τ )Z β
t
+bγ(τ ) (t − s) β−1 Eβ,β (−γ2 (τ )(t − s) β ) ds.
τ
According to (5.9), we have

Z t
β −1 2 1 2

(t − s) Eβ,β (−γ (τ )(t − s) ) ds = 2 1 − Eβ (−γ (τ )(t − τ ) ) ;
β β
τ γ (τ )
(5.28)
hence,
b 1
M̃(t) = 1 − Eβ (−γ2 (τ )(t − τ ) β ) , t ≥ τ. (5.29)
γ(τ ) 2
Combining (5.26) and (5.29), we conclude that
b 1 b
M(t) ≤ 1 − Eβ (−γ2 (τ )(t − τ ) β ) ≤ , t ≥ τ, (5.30)
γ(τ ) 2 γ(τ )
whereupon,
b
M(t) ≤ a , t ≥ τ. (5.31)
(1 − Eβ (−(b + 1)τ β )
b+1
We also have,
c β b
Dt M ( t ) ≤ , for any t ≥ 0, (5.32)
4M(t)
β
using Lemma 5.2.3 and operating with Jt on (5.32), we obtain
bt β
M2 (t) ≤ ( M(0))2 + , t ≥ 0. (5.33)
2Γ( β + 1)
By the definition of M (t) and the estimates (5.31) and (5.33), we can
assert that
kv(., t)k∞ ≤ C2 for t ≥ τ, (5.34)
b ( b + 1)
which follows by choosing C2 ≥ .
a
The assertion (5.21) is proved with M = max{C1 , C2 } in view of estimates
(5.25) and (5.34).
Passing now to the proof of (5.22).
Let w = v2 . Using Lemma 5.2.3 and the second equation of (5.1), we
obtain
c D β w ≤ 2v c D β v
t t
≤ 2d2 v∆v − 2(uv)2 + 2buv
b b2
≤ d2 ∆w − 2(uv − )2 + ;
2 2
whereupon
c β b2
Dt w ≤ d2 ∆w + in Ω × (0, T )
2
and w = 0 on ∂Ω × (0, T ) for any T < τ.
By comparison, it follows that
b2
Z t
w( x, t) ≤ Eβ (−t β
A2 )v20 + (t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A2 ) ds;
2 0
then estimate (5.22) holds by applying Proposition 5.2.10.

Now, we estimate the component u. Adding the two equations of
problem (5.1), yields
c
Dt (u + v) − ∆(d1 u + d2 v) = a − u, in Ω × (0, ∞).
β
Multiplying by (u + v), integrating over Ω and using Lemma 5.2.3, we

obtain
1
Z Z
c
Dt (u + v)2 dx [d1 (∇u)2 + (d1 + d2 )∇u.∇v + d2 (∇v)2 ] dx
β
+
2 Ω ZΩ
≤ ( a − u)(u + v) dx.
Ω
(5.35)
As
d1 d2 + d22
d1 (∇u)2 + (d1 + d2 )∇u.∇v + d2 (∇v)2 ≥ (∇u)2 − 1 (∇v)2 ,
2 2d1
so, from (5.35), we obtain

Z Z
2
c Dβ
t (u + v) dx +d1 (∇u)2 dx
Ω Ω
d2 + d22
Z Z
2
≤ 1 (∇v) dx + 2 ( a − u)(u + v) dx.
d1 Ω Ω
(5.36)
From the second equation of (5.1), we have that
Z Z Z
c
v2 dx + 2d2 (∇v)2 dx ≤ 2
β
Dt uv(b − uv) dx. (5.37)
Ω Ω Ω
Let us consider the non-increasing function ϕ : [0, ∞[→ R defined by

 2
 2(b√y − y), for y ≥ b ,

ϕ(y) = 4
b 2 b 2
, for y ≤ .


2 4
It follows from (5.37) that
b2
Z Z
c β 2 2
Dt v dx + 2d2 (∇v) dx ≤ . (5.38)
Ω Ω 2
Combining (5.36) and (5.38), we see that the function w defined by w =
d2 + d22 2
( u + v )2 + 1 v satisfies the following estimate
2d1 d2
b2 (d21 + d22 )
Z Z Z
c β 2
Dt w dx + d1 (∇u) dx ≤ 2 ( a − u)(u + v) dx + .
Ω Ω Ω 4d1 d2
(5.39)
b2 (d21 + d22 ) d21 + d22
If we set M(b, d1 , d2 ) = + kv(., t)k22 , then we have
4d1 d2 2d1 d2
h iZ Z
c β
Dt + 1 w dx ≤ M (b, d1 , d2 ) + 2 ( a + v)(u + v) dx. (5.40)
Ω Ω
We clearly have
1
Z
2 ( a + v)(u + v) dx ≤ 2k a + vk22 + ku + vk22 ; (5.41)
Ω 2
by estimates (5.40) and (5.41), we get, as v is bounded,
1
Z Z
c β
Dt w dx + w dx ≤ M,
Ω 2 Ω
where M is a positive constant.

Finally, we conclude that
Mt β d2 + d22
Z
ku(., t)k22 ≤ w dx ≤ + ku0 + v0 k22 + 1 kv0 k22 .
Ω Γ ( β + 1) 2d1 d2

Hereafter, we will obtain bounds on ku(., t)k p by using the feedback
argument of Rothe [71].
hZ t i q1
q
Let kvkq1 ,q2 ,T := sup kv(., τ )kq21 dτ 2 and kvkq1 ,q2 = kvkq1 ,q2 ,∞ .
0< t < T 0
Proposition 5.4.4 Let p0 , q1 , q2 ∈ [1, ∞], α ∈ (0, 12 ), δ ∈ (0, 1) and ε ∈ (0, 1)

be such that
ε 6 (1 − 2α)δ, (5.42)
N 1
1
− < 1, (5.43)
2 p0 p
Nβ 1 1
δ= − , (5.44)
2 p0 p
N 1 N N
+ + (1 − α) 6 1 + (1 − 2α) , (5.45)
2q1 βq2 2 2p
Nβ 1 1 1
− < . (5.46)
2 q0 q1 q2
Then for (u0 , v0 ) ∈ L p0 (Ω) × Lq0 (Ω), there exist two positive constants M1
and M2 such that
1
sup (m(t)δ kuk p ) 6 M1 ku0 k p0 + M2 m( T )ε (U + U 1−2α ) (5.47)
0< t < T
2(1− α )
where we have set m(t) = min(1, t) and U = kvkq1 ,q2 k1 + uk2,∞ < ∞.
Proof. From estimates (5.17) and (5.18), we obtain
Nβ 1 1
Z t Nβ 1 1
− 2 ( p0 − p ) β −1− 2 ( s1 − p )
kuk p 6 Ct k u 0 k p0 + C (t − τ ) k f (u, v)ks1 dτ,
0
(5.48)
N 1 1
where s1 ∈ [1, ∞] is such that 0 < − < 1.
2 s1 p
By writing
| f (τ, u, v)| 6 |c( x, τ )(1 + u(τ ))2 |
where c( x, τ ) > max(v( x, τ ), a, b + 1), we have :
• In the case where c( x, τ ) = v( x, τ ),
2(1− α )
k f (τ, u, v)ks1 6 kv(., τ )kq1 k1 + u(τ )k2 k1 + u(τ )k2α
p , (5.49)
1 2(1 − α) 2α 1
where q1 ∈ [1, ∞] and α ∈ (0, 12 ) such that + + 6 .
q1 2 p s1
Nβ 1 1
So for δ = − , we obtain by using (5.49)
2 p0 p
m ( t ) δ k u k p 6 C k u 0 k p0
Z t Nβ
β−1− 2 ( s1 − 1p )

2(1− α )
+Cm(t)δ (t − τ ) 1 m(τ )−2αδ kv(., τ )kq1 k1 + uk2 dτ
0
×m(t)2αδ k1 + uk2α
p .
(5.50)
Let Z t Nβ 1 1
β −1− 2 ( s1 − p )
J (t) = m(t) δ
(t − τ ) G (τ )dτ, (5.51)
0
2(1− α )
where G (τ ) := kv(., τ )kq1 k1 + u(τ )k2 .
From estimates (5.22), (5.17) and (5.18), we get for q1 > q0 > 2 and
1 1
N − < 1,
q0 q1
− Nβ( q1 − q1 ) b2 β− Nβ( q1 − q1 )
kv(., t)k2q1 6 Ct 0 1 kv0 k2q0 +C t 0 1 . (5.52)
2
Then
−
Nβ 1 1 1
2 ( q0 − q1 )+ q2
b2 β2 − Nβ 1 1 1
2 ( q0 − q1 )+ q2
kvkq1 ,q2 6 Ct k v 0 k q0 + C t , (5.53)
2
Nβ 1 1 1
where q2 ∈ [1, ∞], − < .
2 q0 q1 q2
1 1
It follows that for s2 ∈ [1, ∞] verifying 6 ,
q2 s2
Z t s1
s2 2(1− α )
| G (.)|s2 := | G (τ )| dτ 2
6 kvkq1 ,q2 k1 + uk2,∞ = U < ∞. (5.54)
0
1 1 Nβ 1 1 1
Let s ∈ [1, ∞] be such that + = 1 and γ = 1 − β + − < ,
s2 s 2 s1 p s
it yields
Z t 1s
| J (t)| 6 m(t) δ
(t − τ )−γs m(τ )−2αδs dτ | G (.)|s2 . (5.55)
0
There exists then ε ∈ (0, 1), ε 6 (1 − 2α)δ such that
| J (t)| 6 Cm(t)ε U. (5.56)
Combining estimates (5.56) and (5.50), we obtain

1
m(t)δ kuk p 6 C ku0 k p0 + Cm(t)ε U (m(t)δ kuk p )2α , α ∈ (0, ). (5.57)
2
Applying the feedback argument to (5.57), we get
1
sup (m(t)δ kuk p ) 6 M1 ku0 k p0 + M2 m( T )ε (U + U 1−2α ) for all T < Tmax .
0< t < T
• In the other case (c( x, τ ) = a or (b + 1)), we obtain for α ∈ (0, 21 ) such

2(1 − α) 2α 1
that + 6 ,
2 p s1
2(1− α )
k f (τ, u, v)ks1 6 C k1 + u(τ )k2 k1 + u(τ )k2α
p ; (5.58)
we repeat the same steps as before but with q1 = ∞.

Theorem 5.4.5 Let N ≤ 3 and p0 , q0 ∈ [2, ∞]. For (u0 , v0 ) ∈ L p0 (Ω) ×

Lq0 (Ω), the system (5.1)-(5.2)-(5.3) has a unique global solution which satisfies
Nβ 1 1
sup m(t)δ ku(., t)k p ≤ M, for all p ∈ [ p0 , ∞], δ = − , p ≥ p0 ,
0< t < ∞ 2 p0 p
(5.59)
Nβ 1 1
sup m(t)η kv(., t)kq ≤ M, for all q ∈ [q0 , ∞], η = − , q ≥ q0 ,
0< t < ∞ 2 q0 q
(5.60)
where m(t) = min(1, t) and M is a positive constant.
Proof.
Let q1 , q2 ∈ [1, ∞] be such that
N N 1
< + ,
2q0 2q1 βq2
then there exist α ∈ (0, 21 ) and ε ∈ (0, 1) satisfying the assumptions (5.42)
and (5.45) of the proposition 5.4.4 for p = ∞.
So, it follows that
1
ku(., t)k∞ ≤ Mm(t)−δ ku0 k p0 + m( T )ε (U + U 1−2α , (5.61)
Nβ
where in this case δ = .
2p0
In the general case p ∈ [ p0 , ∞), we use the interpolation inequality
p0 p0
1−
kuk p ≤ kuk pp0 kuk∞ p
. (5.62)
The first result is obtained in view of estimates (5.61) and (5.62).

The second result is given by (5.22) and (5.17) (see the proof of Proposi-
tion 5.4.4).
Global existence and
asymptotic behavior for a time 6
fractional reaction-diffusion
system
Abstract
This paper is concerned with the existence of global in time solutions

of a reaction-diffusion system with time fractional derivatives. Further-
more, the large time behavior of bounded solutions is investigated. Our
method of proof relies on a maximal regularity result for fractional linear
reaction-diffusion equations that has been recently derived by Bajlekova
[8].
Keywords fractional calculus, reaction-diffusion equations, balance

law, global existence, asymptotic behavior.
MSC[2010] : 35K57, 35B01, 35B40, 26A33.
75
6.1 Introduction
This paper is concerned with the existence of global in time positive
solutions of the time fractional reaction-diffusion system with a balance
law (
c D β u − ∆u = f (u)v, in Ω × R+ ,
t (6.1)
c D β v − d∆v = − f ( u ) v, in Ω × R+ ,
t
supplemented with the boundary and initial conditions
∂u ∂v
( x, t) = ( x, t) = 0 on ∂Ω × R+ , (6.2)
∂η ∂η
u( x, 0) = u0 ( x ), v( x, 0) = v0 ( x ) in Ω, (6.3)
where Ω is a regular bounded domain in R N ( N ≥ 1) with smooth boun-
∂
dary ∂Ω, denotes the normal derivative on ∂Ω, ∆ stands for the La-
∂η
placian operator, d is the diffusion constant, u0 and v0 are nonnegative
β
functions, c Dt , for β ∈ (0, 1), is the Caputo fractional derivative of order
β.
Concerning the nonlinearity f , we assume that there exist positive
constants M1 and M2 and a real number p ≥ 1 such that
0 ≤ f (u) ≤ M1 |u| p + M2 , (6.4)
and for all |u|, |ũ| ≤ R,
| f (u) − f (ũ)| ≤ L|u − ũ|. (6.5)
Before presenting our results with their proofs, let us dwell upon
some literature concerning reaction-diffusion systems with a balance law.
When considering the time evolution of the spatio-temporal concentra-
tions of the species U and V of the molecular combination
mU + nV → (n + 1)V,
one is lead to the reaction-diffusion system
ut − a∆u = −um vn , x ∈ Ω, t > 0,

(6.6)
vt − b∆v = um vn , x ∈ Ω, t > 0,
where Ω is the medium in which the molecular combination takes place.

System (6.6) has been successfully studied by Masuda [56], Martin, Hollis
and Pierre [33], Kanel and Kirane [37] and Abdelmalek and Kouachi for
a very general situation [1] ; Ahmad et al. [3] studied the space fractional
system
ut + (−∆) 2 u = − f (u, v), x ∈ Rn , t > 0,
α
β
vt − (−∆) 2 v = f (u, v), x ∈ Rn , t > 0,
via the duality argument.
Chapitre 6. Global existence and asymptotic behavior for a time
78 fractional reaction-diffusion system
Here, we want to see the influence of the fractional time derivatives

on the behavior of the solutions.
Fractional derivatives occur when the system takes place in an irregu-
lar or fractal medium. Needless to say that fractional reaction-diffusion
equations and system are currently extensively studied not only for the
mathematical side but also for their potential applications [46], [32], [30].
In this paper, we first prove that system (6.1)-(6.2)-(6.3) admits global
solutions by relying on a maximal regularity result derived by Bajlekova.
We also derive the large time behavior of bounded solutions.
6.2 Preliminary results

In this section, we introduce some basic definitions of fractional cal-
culus which are used here after, see [73].
Definition 6.2.1 For an integrable function f , the Riemann-Liouville integral
of order β ∈ (0, 1) is defined by
Z t
1
(t − s) β−1 f (s) ds, t > 0,
β
Jt f (t) :=
Γ( β) 0
where Γ is the Euler Gamma function.

Definition 6.2.2 For an absolutely continuous function f , the Caputo fractio-
nal derivative of order β ∈ (0, 1) is
c β β
Dt f (t) := Dt ( f (t) − f (0)), t > 0, (6.7)
β
where Dt is the Riemann-Liouville fractional derivative of order β given by
β d 1− β
Dt f ( t ) : = J f ( t ). (6.8)
dt t
Lemma 6.2.3 It holds
Jt c Dt f (t) = f (t) − f (0), t > 0,

β β
(6.9)
and
c β β
Dt Jt f (t) = f (t), t > 0. (6.10)
We denote by A the realization of −∆ with homogeneous
Definition 6.2.4
Neumann boundary conditions in L2 (Ω).
Let 0 = λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ .. be the eigenvalues of A and let { ϕn }n≥0 be
the orthonormal eigenfunction system corresponding to {λn }n≥0 ; Aϕn =
λn ϕn .
As it is known [80], the mild solution of the problem (6.1)-(6.2)-(6.3)
can be expressed as follows.
6.2. Preliminary results 79
Definition 6.2.5 ( Mild solution)

Let u0 , v0 ∈ L∞ (Ω)and T > 0. We say that (u, v) ∈ C ([0, T ]; L∞ (Ω) ×
∞
L (Ω)) is a mild solution of the system (6.1)-(6.3) if it satisfies
Z t
β
u(t) = Eβ (−t A)u0 + (t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A) f (u(s))v(s) ds,
0
(6.11)
Z t
v(t) = Eβ (−dt β A)v0 − (t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A) f (u(s))v(s) ds,
0
(6.12)
for all t ∈ [0, T ], where Eβ (−t β A) and Eβ,β (−t β A) are the linear operators
defined in [80].
Now, we give some important properties of the families
{ Eβ (−t β A)}t>0 and { Eβ,β (−t β A)}t>0 .
Lemma 6.2.6 For u ∈ L∞ (Ω), we have the estimates
k Eβ (−t β A)uk∞ ≤ kuk∞ , t > 0, (6.13)
1
k Eβ,β (−t β A)uk∞ ≤ kuk∞ , t > 0. (6.14)
βΓ( β)
Moreover, there exists δ > 0 such that
k Eβ (−t β A)uk∞ ≤ kuk∞ Eβ (−δt β ), (6.15)
k Eβ,β (−t β A)uk∞ ≤ kuk∞ Eβ,β (−δt β ), t > 0, (6.16)

where Eβ (z) is the Mittag-Leffler function [47].
The proofs of estimates (6.13)-(6.16) are based on the estimates of the
semigroup { T (t) := e−tA }{t≥0} [31, 38] and the relationship between the
semigroup and the solution operator given in [76, Lemma 9] by
Z ∞
β
Eβ (−t A) = φβ (θ ) T (θt β ) dθ, t ≥ 0, (6.17)
0
and Z ∞
Eβ,β (−t β A) = β θ φβ (θ ) T (θt β ) dθ, t ≥ 0, (6.18)
0
where φβ (θ ) is the probability density function defined on (0, ∞) (see
[53, 80]).
Now, we give a regularity result of type Lq for the fractional differen-
tial equation with Riemann-Liouville derivative of order β ∈ (0, 1),
β
Dt u(t) + Au(t) = θ (t), for t ∈ (0, T ), (6.19)
1− β
with the initial condition Jt u(0) = 0 which is useful in the sequel.
We begin by fixing some notations. Recall that a Banach space X belongs
to the class HT , if the Hilbert transform is bounded on L2 (R; X ). We say

that a sectorial operator A admits bounded imaginary powers and write
A ∈ BIP ( X ) if the imaginary powers Ais form a bounded C0 −group
on X. The type θ A of this group is called the power angle of A. Then
for any ϕ A > θ A there exists a constant M = M ( ϕ A ) ≥ 1 such that
k AkB(X ) ≤ Me ϕ A (s) , s ∈ R (see [84, 8]).
Lemma 6.2.7 ([8, Corollary 4.7]) Let A be a positive operator in HT space X
β
satisfying A ∈ PK ( X ) ∩ BIP ( X; ϕ A ) with ϕ A < π (1 − 2 ). Then the problem
(6.19), for θ ∈ Lq ((0, T ); X ), has maximal Lq regularity on (0, T ) in X. More
precisely,
β
kuk Lq ((0,T );X ) + k Dt uk Lq ((0,T );X ) + k Auk Lq ((0,T );X ) ≤ C kθ k Lq ((0,T );X ) .
6.3 Local existence

Theorem 6.3.1 Let u0 , v0 ∈ C(Ω̄), then there exist a maximal time Tmax > 0
and a unique mild solution (u, v) ∈ C ([0, Tmax ); C(Ω̄) × C(Ω̄)) to the problem
(6.1)-(6.2)-(6.3) with the alternative :
- or Tmax < +∞, and in this case limt→Tmax ku(t)k∞ + kv(t)k∞ = +∞.
Proof. The existence of a local solution is obtained by the Banach fixed
point theorem (see Theorem A.2.1 ).
Even through this is well documented part, we present it for the sake of
completeness. For arbitrary T > 0, we define the following Banach space
E := {(u, v) ∈ C ([0, T ]; C(Ω̄) × C(Ω̄)); |k(u, v)k| ≤ R},
where R := 2(ku0 k∞ + kv0 k∞ ) such that k.k∞ = k.k L∞ (Ω) and
|k(u, v)k| := kuk + kvk := kuk L∞ ([0,T ];L∞ (Ω)) + kvk L∞ ([0,T ];L∞ (Ω)) .
Next, for every (u, v) ∈ E, we define
Ψ(u, v) = (Ψ1 (u, v), Ψ2 (u, v)),
where for t ∈ [0, T ],

Z t
Ψ1 (u, v) := Eβ (−t β A)u0 + (t − s) β−1 Eβ,β (−(t − s) β A) f (u(s))v(s) ds,
0
and
Z t
Ψ2 (u, v) := Eβ (−dt A)v0 −β
(t − s) β−1 Eβ,β (−d(t − s) β A) f (u(s))v(s) ds.
0
6.3. Local existence 81
We first prove that Ψ maps E onto E : Let (u, v) ∈ E, using (6.13) and
(6.14), we have
1 t Z
kΨ1 (u, v)k∞ ≤ k u0 k ∞ + (t − s) β−1 k f (u(s))v(s)k∞ ds
βΓ( β) 0
TβR
≤ k u0 k ∞ + ( M1 R p + M2 ).
βΓ( β + 1)
TβR
kΨ2 (u, v)k ≤ kv0 k∞ + ( M1 R p + M2 ).
βΓ( β + 1)
Whereupon
TβR
|kΨ(u, v)k| ≤ (ku0 k∞ + kv0 k∞ ) + 2 ( M1 R p + M2 ).
βΓ( β + 1)
βΓ( β + 1)
If we choose T such that T β ≤ , we conclude that
4( M1 R p + M2 )
Ψ(u, v) ∈ E.
Now, we show that Ψ is a contraction map : For (u, v), (ũ, ṽ) ∈ E, we
have
Tβ
kΨ1 (u, v) − Ψ1 (ũ, ṽ)k ≤ k f (u)v − f (ũ)ṽk.
β
Using
| f (u)v − f (ũ)ṽ| ≤ |v| | f (u) − f (ũ)| + | f (ũ)| |v − ṽ|,
and the assumptions (6.4) and (6.5), we get
| f (u)v − f (ũ)ṽ| ≤ L|v||u − ũ| + ( M1 |ũ| p + M2 )|v − ṽ|; (6.20)
hence,
( LR + M1 R p + M2 ) β
kΨ1 (u, v) − Ψ1 (ũ, ṽ)k ≤ T |k(u, v) − (ũ, ṽ))k|.
βΓ( β + 1)
( LR + M1 R p + M2 ) β
kΨ2 (u, v) − Ψ2 (ũ, ṽ)k ≤ T |k(u, v) − (ũ, ṽ))k|
βΓ( β + 1)
whereupon
2( LR + M1 R p + M2 ) β
|kΨ(u, v) − Ψ(ũ, ṽ)k| ≤ T |k(u, v) − (ũ, ṽ))k|
βΓ( β + 1)
1
≤ |k(u, v) − (ũ, ṽ))k|,
2
βΓ( β + 1)
for T β ≤ .
4( LR + M1 R p + M2 )
Therefore, in view of the Banach fixed point theorem Ψ admits a fixed
point on E. Thus the system (6.1)-(6.2)-(6.3) has a mild solution.

Uniqueness : If (u, v) and (ũ, ṽ) are two mild solutions in E for some
T > 0, using (6.14) and (6.20), we obtain
1 t Z
k(u, v) − (ũ, ṽ)k∞ ≤ (t − s) β−1 k f (u)v − f (ũ)ṽk∞ ds
βΓ( β) 0
2( LR + M1 R p + M2 ) t
Z
≤ (t − s) β−1 k(u, v) − (ũ, ṽ)k∞ ds;
βΓ( β) 0
so, the uniqueness follows by Lemma A.1.4 (the Gronwall’s inequality).

6.4 Global existence and asymptotic behavior

Theorem 6.4.1 Let u0 , v0 ∈ L∞ (Ω) be such that u0 ≥ 0 and v0 ≥ 0. Then
the system (6.1)-(6.2)-(6.3) admits a unique global solution which satisfies
u ≥ 0, v ≥ 0, (6.21)
kv(., t)k∞ ≤ kv0 k∞ Eβ (−γt β ), for γ > 0, t > 0, (6.22)

1
Z
u(., t) − (u0 + v0 ) dx ≤ CEβ (−γt β ), for t > 0, (6.23)
|Ω| Ω ∞
where C is a positive constant.

Proof. Step1. (Positivity of the solution) We define v+ = max(0, v)
and v− = max(0, −v) ; v = v+ − v− .
Multiplying the second equation of (6.1) by (−v− ) and integrating over
Ω, we obtain
Z Z Z
− c
Dt v − − 2
f (u)(v− )2 dx.
β
(v ) dx = −d (∇u ) dx −
Ω Ω Ω
Z
As f (u) ≥ 0, it follows that c Dt (v− )2 dx ≤ 0, thanks to [4, Remark 1].
β
Ω
β
Operating with Jt , we get by using (6.9)
Z Z
(v− )2 (t) dx ≤ (v− )2 (0) dx = 0;
Ω Ω
it follows then v− = 0, hence v ≥ 0. Z

c β
Following the same argument, we show that Dt (u− )2 dx ≤ 0 thanks
Ω
to the positivity of v and f (u). Then u− = 0 and consequently u ≥ 0.
Step2. Our goal is to prove the global existence ; we proceed by contra-
diction . Assume that Tmax < +∞.
Combining the fact that f (u)v ≥ 0 and the estimate (6.13), we get
kv(., t)k∞ ≤ k Eβ (−dt β A)v0 k∞ ≤ kv0 k∞ ; (6.24)

hence, v is uniformly bounded.

∞
Now, we have to get the L bounds of u. Adding the two equations of
(6.1) and setting w = u + dv, we obtain
c
Dt w − ∆w = (d − 1) c Dt v.
β β
(6.25)
β
Applying Jt to both sides of (6.25), we get
Jt c Dt w − Jt ∆w = (d − 1) Jt c Dt v.
β β β β β
(6.26)
In view of (6.9), (6.10) and the fact that Jt ∆ = ∆Jt , it follows that
β β
c
Dt Jt w − ∆Jt w = (d − 1)(v − v0 ) + w0 .
β β β
(6.27)
β
Let W ( x, t) = Jt w be the solution of the following equation
c
Dt W − ∆W = (d − 1)v + v0 + u0 .
β
(6.28)
From the local existence result, w is continuous on [0, T ] for T < Tmax ,
hence it is bounded and there exists t∗ ∈ [0, T ] such that w(t) ≤ w(t∗ ).
β
Then W (0) := Jt w(t)|t=0 = 0. Therefore, the equation (6.28) is supple-
mented by the initial condition W (0) = 0.
Now, let us consider two bounded linear operators M and P defined by
1
Z
Mw :=< w >, P w := w− < w > where < w >:= w( x, t) dx.
|Ω| Ω
Applying P to (6.28) , it follows that P W satisfies the following problem

c DβP W
t − ∆P W = (d − 1)P v + P (v0 + u0 ), (6.29)
P W (0) = 0.
Using (6.16) and the fact that P v and P (u0 + v0 ) are bounded, we get
Z t
kP W k∞ ≤ (t − s) β−1 Eβ,β (−δ(t − s) β )(kP v(s)k∞ + kP (v0 + u0 )k∞ ) ds ≤ C,
0
(6.30)
Z t
thanks to the estimate (t − s) β−1 Eβ,β (−δ(t − s) β ) ds < +∞ (see [68]).
0
β β
On the other hand, in view of c Dt P W = Dt P W, the function P W satis-
fies the equation
Dt P W − ∆P W = θ,
β
(6.31)
1− β
with the initial condition Jt W (0) = Jt1 w(t)|t=0 = 0 and θ := (d −
1)P v + P (v0 + u0 ).
As v, u0 and v0 are bounded, we can assert that θ ∈ Lq ((0, T ); C(Ω̄))
for q > 1. In view of Lemma 6.2.7 , it follows that the problem (6.31) has
maximal Lq regularity on (0, T ). More precisely, we have, for q > 1 and

Cq a positive constant,
β
k Dt P W k Lq ((0,T );C(Ω̄)) ≤ Cq . (6.32)
β
Therefore, as Dt P W = P w = P (u + dv), we obtain
β
kP uk Lq ((0,T );C(Ω̄)) = kP ( Dt W − dv)k Lq ((0,T );C(Ω̄)) ≤ Cq . (6.33)
To estimate Mu, we add the two equations of (6.1) and integrate over Ω,
Z
c β
Dt (u + v) dx = 0.
Ω
Z Z
β
Operating with Jt , it yields (u + v) dx = (u0 + v0 ) dx ; whereupon
Ω Ω
Mu = M(v0 + u0 ) − Mv. (6.34)
By writing u = Mu + P u, we have from (6.5)
f (u) = f (Mu + P u) ≤ M1 |Mu + P u| p + M2 ;
hence,
f (u) ≤ M1 (|Mu| p + |P u| p ) + M2 .
Gathering (6.33) and (6.34), we can assert that
p p
q
k f (u)k q ≤ M1 (kMuk∞ T q + Cq ) + M2 T q
L p ((0,T );C(Ω̄)) (6.35)
p
≤ M (1 + T ). q
In the light of (6.13) and (6.14), we get

Z t
1
kuk∞ ≤ k u0 k ∞ + (t − s) β−1 k f (u)v(s)k∞ ds.
βΓ( β) 0
Consequently, as v is bounded, we obtain

Z t
C
kuk∞ ≤ k u0 k ∞ + (t − s) β−1 k f (u)k∞ ds. (6.36)
βΓ( β) 0
p
Using the Hölder inequality and (6.35), it holds, for β > ,
q
Z t
J (t) := (t − s) β−1 k f (u)k∞ ds
0
Z t ( β −1) q q−q p
≤ (t − s) q − p ds k f (u)k q
0 L p ((0,t);C(Ω̄))
p
−
≤ Mt β (1 + t q );
hence, for any t > 0, we have
k u k ∞ ≤ M (1 + t β ). (6.37)
Combining the local existence result, (6.24) and (6.37), the system (6.1)-
(6.2)-(6.3) admits a unique global solution.
Step3. Large time estimate of v.
Using the positivity of f (u) and v, we get
c
Dt u( x, t) − ∆u( x, t) ≥ 0.
β
(6.38)
Let ū be the solution of the problem


c D β ū ( x, t ) − ∆ ū ( x, t ) = 0,

 t
∂ū

( x, t) = 0, (6.39)

 ∂η
ū( x, 0) = u0 .

By the comparison theorem, we have u( x, t) ≥ ū( x, t), for all t > 0.

Therefore, from Theorem 2.1 [72], it follows that
+∞
u( x, t) ≥ ∑ (u0, ϕn )Eβ (−λn tβ ) ϕn (x), (6.40)
n =0
where (., .) is the usual scalar product in L2 (Ω).

As lim Eβ (−λn t β ) = 0, for λn > 0 [47], we obtain
t→+∞
+∞ Z
lim
t→+∞
∑ (u0, ϕn )Eβ (−λn t β
) ϕ n ( x ) = ( u0 , ϕ0 ) ϕ0 =
Ω
u0 dx. (6.41)
n =0
In view of (6.38) and (6.40), it holds that for t T > 0,

1
Z
u( x, t) ≥ u0 dx. (6.42)
|Ω| Ω
So, there exists a positive constant γ such that
f (u) ≥ γ, for all t T. (6.43)
Consequently, we have
c β
Dt v( x, t) − d∆v( x, t) ≤ −γv( x, t). (6.44)
Moreover, using the fact that v is positive and bounded, it follows that
0 ≤ v( x, T ) ≤ kv0 k∞ .
On the other hand, the function v̄(t) := kv0 k∞ Eβ (−γt β ) satisfies

c D β v̄ ( t ) = −γv̄(t),
t
v̄(0) = k v0 k ∞ .
By comparison, it comes that
v( x, t) ≤ kv0 k∞ Eβ (−γt β ), for all t T.
To prove (6.23), we begin by applying P to the first equation of (6.1) ; we

obtain
(c Dt − ∆)P u = P ( f (u)v) ≤ CEβ (−γt β ),
β
(6.45)
where C is a positive constant. So, it follows that
kP uk∞ ≤ CEβ (−γt β ), t T. (6.46)
From (6.34) and the definition of P u, we can write
P u = u − < u0 + v0 > + < v > . (6.47)
Hence,
ku− < u0 + v0 > k∞ ≤ kP u− < v > k∞ ≤ kP uk∞ . (6.48)
Combining (6.46) and (6.48), the estimate (6.23) follows.

Conclusion générale
Dans cette thèse, nous avons étudié une équation non-linéaire avec
une dérivée fractionnaire, et trois systèmes de réaction-diffusions dont
un comporte des dérivées fractionnaires en espace et les deux autres des
dérivées fractionnaires en temps.
Dans le troisième chapitre, nous avons étudié une équation frac-

tionnaire en temps avec une non-linéarité de type Fisher-Kolmogorov-
Petrovskii-Piskunov. Nous avons répondu à des questions concernant
l’existence ou la non-existence globale de solutions positives, laissées
ouvertes dans l’article review de Nakagawa, Sakamoto et Yamamoto
[72]. Sous une certaine condition sur la donnée initiale, nous avons éta-
bli l’existence de la solution globale. De plus, nous avons étudié leur
comportement asymptotique. Dans le cas complèmentaire, nous avons
montré que les solutions explosent en un temps fini, et avons donné une
estimation bilatérale du temps d’explosion.
Dans le chapitre quatre, nous avons considéré un système de type

SIR (susceptibles, infectés, retirés ou mis en quarantaine) avec une diffu-
sion anormale décrite par une puissance fractionnaire de Laplacien qui
rend compte d’une situation sous-diffusive. Outre l’existence globale de
solutions bornées, nous avons montré la convergence de la solution vers
(u∞ , 0) ( u∞ : l’état final de la population des individus susceptibles et 0 :
l’état final des individus infectés). L’exposant du Laplacien fractionnaire
influe sur le comportement asymptotique en temps de u vers u∞ .
Le chapitre cinq a été consacré à l’étude du Brusselator fractionnaire

en temps qui décrit une réaction chimique auto-catalytique dans un
milieu fractal. En utilisant un argument de feedback du à F. Rothe, nous
avons montré l’existence globale en temps, puis nous avons analysé son
comportement à l’infinie qui est influencé par l’exposant de la dérivée
fractionnaire temporelle.
Dans le dernier chapitre, nous avons analysé un système de réaction-

diffusion fractionnaire en temps qui est régi par une loi de balance.
Le système a été validé par un théorème d’existence de solution glo-
bale unique via des estimations uniformes sur une des composantes et
l’utilisation d’un résultat de régularité maximale pour les équations frac-
différentielles pour borner la deuxième composante.
87
88 Conclusion générale
Perspectives
L’extension logique de notre travail est l’étude des systèmes de
réaction-diffusion fractionnaires en temps et en espace. Dans ce contexe,
nous pouvons proposer comme perspectives l’étude des systèmes sui-
vants :
1. le Brusselator fractionnaire en temps avec un Laplacien fraction-
naire.
2. un système de réaction-diffusion fractionnaire en temps avec un La-
placien fractionnaire et une non-linéarité qui suit la loi de balance.
Nous prévoyons que les solutions garderont les mêmes comporte-
ments asymptotiques mais avec l’apparition de la puissance fractionnaire
du Laplacien dans les estimations.
Notre travail ouvre la voie à l’étude d’autres systèmes fractionnaires
avec diverses non-linéarités.
Il serait intéressant de mettre les résultats obtenus dans un cadre pra-
tique.
Compléments mathématiques
A
Nous introduisons dans cette annexe quelques lemmes et théorèmes
qui sont utilisés dans ce manuscrit.
A.1 Lemmes
Lemme A.1.1 (voir [42, 15])
Soient a, b, K, ψ des fonctions continues sur l’intervalle I = (0, T ) (0 <
T ≤ ∞), soit ω : (0, ∞) −→ R une fonction continue, positive et croissante
tel que ω (0) = 0 et ω (u) > 0 pour u > 0 et A(t) = max0≤s≤t a(s) et
B(t) = max0≤s≤t b(s). On suppose que
Z t
ψ(t) ≤ a(t) + b(t) K (s)ω (ψ(s)) ds, t ∈ I.
0
Alors h Z t i
−1
ψ(t) ≤ H H ( A(t)) + B(t) K (s)ds , t ∈ (0, T1 ),
0
Rv
où H (v) = dτ
v0 ω ( τ )( v ≥ v0 > 0), H −1
est la fonction réciproque de H et
Rt
T1 > 0 est tel que H ( A(t)) + B(t) 0 K (s)ds ∈ D ( H −1 ) pour tout t ∈ (0, T1 ).
Pour la démonstration on cite [15].

Maintenant, nous présentons le résultat suivant concernant le semi-
groupe des opérateurs linéaires bornés {e−tA }t≥0 dans X.
Lemme A.1.2 [34, Lemma 2.1]
Pour tout γ ≥ 0, il existe une constante positive C1 (γ) tel que
k Aγ e−tA vk∞ ≤ C1 (γ)t−γ e−λt kvk∞ , v ∈ X, t > 0,
où σ( A) ⊂ {z ∈ C; Re(z) > λ > 0}.

Pour tout 0 ≤ γ ≥ 1, il existe une constante positive C2 (γ) tel que
k(e−tA − I )vk∞ ≤ C2 (γ)tγ k Aγ vk∞ , t > 0,
pour v ∈ D ( Aγ ).
89
90 Annexe A. Compléments mathématiques
On peut consulter [31, Theorem 1.4.3] ou [63, Theorem 2.6.13] pour la

démonstration.
Le lemme suivant a joué un rôle important dans les preuves des théo-
rèmes 4.4.1 et 4.4.2.
Lemme A.1.3 (voir [35])
Pour θ ∈ [0, 1] et ρ ∈ R, il existe une constante C (θ, ρ) tel que, pour tout t > 0,

Z t  C (θ, ρ)eρt , si ρ > 0,
−θ ρs
m(s) e ds 6 C (θ, ρ)(t + 1), si ρ = 0,
0
C (θ, ρ), si ρ < 0,

où m(t) = min{t, 1}.

Lemme A.1.4 (Lemme de Gronwall, voir [18, Lemma 4.2.1])
Pour T > 0 et k ∈ L1 (0, T ) tel que k ≥ 0 et C1 , C2 ≥ 0. Soit ϕ ∈ L1 (0, T ) tel
que kϕ ∈ L1 (0, T ) et
Z t
ϕ(t) ≤ C1 + C2 k (s) ϕ(s) ds, t ∈ (0, T )
0
alors Z t
ϕ(t) ≤ C1 exp C2 k(s) ds , t ∈ (0, T ).
0
A.2 Théorèmes
Dans cette partie, nous rappelons quelques résultats utilisés pour dé-
montrer l’existence locale des solutions des systèmes étudiés.
Théorème A.2.1 (Théorème du point fixe de Banach [39])
Soient ( E, d) un espace métrique complet non vide, 0 ≤ ω < 1 et T : E → E
une application tel que pour tout u, v ∈ E on a
d( Tu, Tv) ≤ ωd(u, v). (A.1)
Alors l’opérateur T admet un unique point fixe u∗ dans E.

De plus, si T k (k ∈ N ) est la suite des opérateurs définie par
T 1 = T et T k = TT k−1 , k > 1,
alors pour tout u0 ∈ E la suite { T k u0 }∞ ∗

k=1 converge vers ce point fixe u .
On note que l’application T : E → E vérifiant (A.1) est dite contractante.
Maintenant, nous présentons une généralisation du théorème du
point fixe de Banach donnée par Weissinger.
Théorème A.2.2 ([39, Theorem 1.10])
Soient ( E, d) un espace métrique complet non vide, ωk ≥ 0 pour tout k ∈ N
A.3. Démonstration de la remarque 4.2.4 91
+∞
tel que la série ∑ ωk converge et T : E → E une application tel que pour tout
k =0
u, v ∈ E on a
d( T k u, T k v) ≤ ωk d(u, v), k ∈ N. (A.2)
Alors T admet un unique point fixe u∗ dans E.
De plus, pour tout u0 ∈ E la suite { T k u0 }∞ ∗
k=1 converge vers ce point fixe u .
A.3 Démonstration de la remarque 4.2.4

On veut montrer que pour tout ε > 0 il existe C (ε) ∈ R+ tel que
−N
ke−tBp vk∞ 6 C (ε)t ( N +ε)β kvk N +ε . (A.3)
2
En utilisant l’inégalité de Niremberg-Gagliardo [31], il existe une

constante positive C (θ ) tel que
ke−tBp vk∞ ≤ C (θ )ke−tBp vk2,p

θ
ke−tBp vk1r −θ (A.4)
où k.k2,p est la norme sur W 2,p (Ω).

Grâce à l’injection de Sobolev (D (−∆) ⊂ W 2,p (Ω)) et [3, Lemma 1] on
trouve
−1
ke−tBp vk2,p ≤ Ct β kvk p pour tout t > 0. (A.5)
En combinant (A.4), (A.6) et l’estimation
ke−tBp vkr ≤ C kvkr , t > 0, (A.6)
on obtient
− βθ
ke−tBp vk∞ ≤ C (θ )t kvkθp kvk1r −θ . (A.7)
N N
Il en résulte (A.3) en choisissant p = r = 2 + ε et θ = N +ε .
Bibliographie
[1] S. Abdelmalek and S. Kouachi. Proof of existence of global so-

lution for m-component reaction diffusion systems with mixed
boundary conditions via lyapunov functional method. J. Phys. A.,
40(41) :12335–12350, 2007. (Cité pages 12 et 77.)
[2] S. Abea and S. Turner. Anomalous diffusion in view of enstein’s

1905 theory of brownian motion. Phys. A : Statistical Machanics and
its Apllications, 356 :403–407, 2005. (Cité page 25.)
[3] B. Ahmad, M. S. Alhothuali, H. H. Alsulami, M. Kirane, and S. Ti-

moshin. Proof of existence of global solution for m-component reac-
tion diffusion systems with mixed boundary conditions via lyapu-
nov functional method. Abstr. Appl. Anal., Art. ID 804784 :6 pages,
2014. (Cité pages 12, 77 et 91.)
[4] A. Alsaedi, B. Ahmad, and M. Kirane. Maximum principle for

certain generalized time and space-fractional diffusion equations.
Quart. Appl. Math., 73 :163–175, 2015. (Cité pages 62 et 82.)
[5] R.L. Bagley. Application of generalized derivatives to viscoelasticity.

PhD thesis, Air Force Institute of Technologie, 1979. (Cité page 2.)
[6] R.L. Bagley and P.J. Torvik. On the appearance of the fractional de-
rivatives in the behavior of real materials. J. Appl. Mech., 51(2) :294–
298, 1984. (Cité page 3.)
[7] R.L. Bagley and P.J. Torvik. On fractional calculus models of viscoe-
lastic behavior. J. Rheol., 23 :918–925, 1986. (Cité page 2.)
[8] E. G. Bajlekova. Fractional evolution equations in banach spaces.

PhD. thesis, Eindhoven university of technology, 2001. (Cité pages 2, 12,
75 et 80.)
[9] D. Baleanu, Z.B. Guvençu, and J.A.T. Machado. New trends in na-
notochnology and fractional calculus applications. Springer Verlag,
2009. (Cité pages 2 et 5.)
[10] J. Battaglia, L. Le Lay, J.C. Batsale, A. Oustaloup, and O. Cois. Heat

flux stimation through inverted non integer identification models.
Int. J. Therm. Sci., 39 :374–389, 2000. (Cité page 2.)
93
94 Bibliographie
[11] P. Bénilan and H. Labani. Existence of attractors for the brusselator,

"recent advances in nonlinear elliptic and parabolic problems", (M.
Bénilan, M. Chipot, L. C. Evans and M. Pierre, eds.). Pitman Research
Notes in Mathematics, Series No. 208, Longman, Harlow, 1989. (Cité
pages 2, 9 et 61.)
[12] J. Berton. Lévy processus. Cambridge University Press, 1996. (Cité
page 25.)
[13] P. Biler, G. Karch, and W. A. Woyczyński. Critical nonlinearity ex-
ponent and self-similar asymptotics for lévy conservation laws. Ann.
I. H. Poincaré-Analyse non linéaire, 18 :613–637, 2001. (Cité pages 25
et 62.)
[14] M. Bromly and C. Hinz. On the appearance of the fractional deri-
vatives in the behavior of real materials. Water Resour. Res., 40(77),
2004. (Cité page 3.)
[15] G. Bultler and T. Rogers. A generalization of lemma of bihari and
applications to pointwise estimates for integral equations. Journal of
mathematical analysis and applications, 33 :77–81, 1971. (Cité page 89.)
[16] M. Caputo. Linear models of dissipation whose Q is almost fre-
quency independent, part ii. Geophys. J. R. Astr. Soc., 13 :529–539,
1967. (Cité page 24.)
[17] M. Caputo and F. Mainardi. Theory and applications of fractional
differential equations. Riv. Nuovo Cimento (Ser II), 1 :161–198, 1971.
(Cité page 24.)
[18] T. Cazenave and A. Haraux. Critical nonlinearity exponent and self-
similar asymptotics for lévy conservation laws. Introduction aux pro-
blèmes d’évolution semi-linéaires, Ellipses, Paris, 1990. (Cité page 90.)
[19] S. Chinviriyasit and W. Chinviriyasit. Numerical modelling of an sir
epidemic model with diffusion. Appl. Math. comput., 216 :395–409,
2010. (Cité page 47.)
[20] A. Córdoba and D. Córdoba. A maximum principle applied to
quasi-geostrophic equations. Comm. Math. Phys., 249(3) :511–528,
2004. (Cité page 62.)
[21] R. Darling and J. Newmann. On the short behaviour of porous in-
teraction electrodes. J. Electrochem. Soc., 144 :3057–3063, 1997. (Cité
page 2.)
[22] K. Diethelm. Introduction to asymptotic and special functions. Lec-
ture Notes in Math., Springer-Verlag, Berlin, 2004. (Cité pages 19
et 22.)
[23] J. Droniou and C. Imbert. Fractal first order partial differential equa-
tions. Arch. Rat. Mech. Anal., 182 :299–331, 2006. (Cité page 25.)
Bibliographie 95
[24] S.D. Eidelman and A.N. Kochubei. Cauchy problem for fractional
diffusion equations. J. Differ. Equations, 199 :211–255, 2004. (Cité
page 25.)
[25] W.E. Fitzgibbon and J.J. Morgan. A diffusive epidemic model on a

bounded domain of arbitrary dimension. Differential Integral Equa-
tions, 1 :125–132, 1988. (Cité pages 7 et 47.)
[26] J.P. Gaudet, H. Jégat, G. Vachaud, and P.J.Wierenga. Solute transfer,

with exchange between mobile and stagnant water, through unsa-
turated sand. Soil Science society of American Journal, 41(4) :665–671,
[27] R. Gorenflo and F. Mainardi. Fractional calculus, integral and diffe-

rential equations of fractional order, in : A. Carpinteri, F. Mainardi
(eds), fractal and fractional calculus in continum mechanics. CISM
Courses and Lectures, 378, Springer :223–276, 1997. (Cité page 18.)
[28] C. Grasser and V. Sitta. Water and solute transport in homogeneous

and stratified media. Swiss Fred. Inst. of Technol. (ETH), Zurich, 1993.
(Cité page 3.)
[29] A. Haraux and M. Kirane. Estimations c1 pour des problèmes pa-

raboliques semi-linéaires. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math., 5 :265–280,
1983. (Cité pages 7, 8, 47, 49 et 53.)
[30] B. I. Henry, T. A. M. Langlands, and S. L. Wearne. Turing pattern

formation in fractional activator-inhibitor systems. Phys. Rev. E(3),
72(2) :14 pages, 2005. (Cité pages 12 et 78.)
[31] D. Henry. Geometric theory of semilinear parabolic equations,. Lec-

ture Notes in Math., 840 :Springer Verlag, Berlin, 1981. (Cité pages 26,
30, 49, 52, 54, 62, 79, 90 et 91.)
[32] R. Hilfer. Applications of fractional calculus in physics. Wold scien-

tific, Singapore :14 pages, 2000. (Cité pages 12 et 78.)
[33] S. L. Hollis, R. H. Martin, and M. Pierre. Global existence and boun-

dedness in reaction diffusion systems. SIAM J. Math. Anal., 18 :744–
761, 1987. (Cité pages 9, 12, 61 et 77.)
[34] H. Hoshino and Y. Yamada. Solvability and smoothing effect for

semilinear parabolic equations. Funkcial. Ekvac., 34 :475–494, 1991.
(Cité pages 53 et 89.)
[35] H. Hoshino and Y. Yamada. Asymptotic behavior of global solutions

for some reaction-diffusion systems. Nonlinear Anal., 23 :639–650,
1994. (Cité pages 49 et 90.)
96 Bibliographie
[36] M. Ilic, F. Liu, I. Turner, and V. Anh. Numerical approximation of

a fractional-in-space diffusion equation (ii)- with nonhomogeneous
boundary conditions. Fract. Calc. Appl. Anal., 9 :333–349, 2006. (Cité
page 47.)
[37] J. I. Kanel and M. Kirane. Global solutions of reaction-diffusion sys-
tems with a balance law and nonlinearities of exponential growth. J.
Differential Equations, 165(1) :24–41, 2000. (Cité pages 12 et 77.)
[38] G. Karch. Nonlinear evolution equations with anomalous diffu-
sion. qualitative properties of solutions to partial differential equa-
tions. Jindr̃ich Nec̃as Cent. Math. Model. Lect. Notes, 5 ,Matfyzpress,
Prague :25–68, 2009. (Cité pages 25, 26, 47, 49, 54 et 79.)
[39] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, and J. J. Trujillo. Theory and applica-
tions of fractional differential equations. Elsevier, 2006. (Cité pages 5,
17, 24, 35, 37, 39 et 90.)
[40] K. I. Kim, Z. Lin, and Q. Zhang. An SIR epidemic model with free
boundary. Nonlinear Anal. Real world Appl., 14 :1992–2001, 2013. (Cité
pages 7 et 47.)
[41] M. Kirane. Unbounded solutions for the brusselator. Canad. Appl.
Math. Quart., 3 :744–761, 1995. (Cité pages 9 et 61.)
[42] M. Kirane and N. e. Tatar. Convergence rates for a reaction-diffusion
system. J. Math. Anal. Appl, 20 :347–357, 2001. (Cité pages 36 et 89.)
[43] M. Kirane, Y. Laskri, and N e Tatar. Critical exponents of Fujita type
for certain evolution equations and systemswith spatio-temporal
fractional derivatives. J. Math. Anal. Appl., 312 :488–501, 2005. (Cité
page 5.)
[44] M. Kirane and S. A. Malik. The profile of blowing up solutions
to a nonlinear system of fractional differential equations. Nonlinear
Anal-Theor, 73 :3723–3736, 2010. (Cité pages 5 et 41.)
[45] C. M. Kirk, W. E. Olmstead, and C. A. Roberts. A system of nonli-
near volterra equations with blow-up solutions. J. Integral Equations
Appl., pages 347–357, 2012. (Cité pages 6 et 40.)
[46] J. Klafter, M. F. Schlesinger, and G. Zumofen. Beyond brownian
motion. Physics Today, 49(2) :33–39, 1996. (Cité pages 12 et 78.)
[47] A. M. Krägeloh. Two families of functions related to the fractio-
nal powers of generators of strongly continuous contraction semi-
groups. J. Math. Anal. Appl., 283 :459–467, 2003. (Cité pages 18, 38,
79 et 85.)
[48] V. Lakshmikantham, S. Leela, and J. Vasundhara Devi. Theory of
fractional dynamic systems. Cambridge Scientific Pubshers, 2009. (Cité
pages 5, 38, 39 et 40.)
Bibliographie 97
[49] V.A. Liskevich and Yu.A. Semenov. Some inequalities for sub-
markovian generators and their applications to the perturbation
theory. Proc. Amer. Math. Soc., 119 :1171–1177, 1993. (Cité pages 26
et 48.)
[50] W. Liu, H.W. Hethcote, and S.A. Levin. Dynamical behavior of epi-
demiological models with nonlinear incidence rates. J. Math. Biol.,
25 :359–380, 1987. (Cité pages 7 et 47.)
[51] J.T. Machado, V. Kiryakova, and F. Mainardi. Recent history of frac-

tional calculus. Commun Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 16 :1140–
1153, 2011. (Cité page 2.)
[52] F. Mainardi. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity.

Imperial College Press, London, 2010. (Cité pages 2, 17, 29 et 30.)
[53] F. Mainardi, P. Paradisi, and R. Gorenflo. Probability distributions

generated by fractional diffusion equations. Fracalmo pre-print, 2004.
(Cité pages 29, 63 et 79.)
[54] F. Mainardi, M. Roberto, R. Gorenflo, and E. Scalas. Fractional cal-

culus and continuous-time finance ii : The waiting time distribution.
Physica A, 287 :468–481, 2000. (Cité pages 2 et 5.)
[55] B. Maryshev, M. Jelson, D. Lyubimov, T. Lyuabimov, and M.C. Néel.

Non fickian flux for advection-dispersion with immobile periods. J.
Phys. A : Math. Theor., 42 :115001, 2009. (Cité page 4.)
[56] K. Masuda. On the global existence and asymptotic behavior of

solutions of reaction-diffusion equations. Hokkaido Math. J., 12 :360–
370, 1983. (Cité pages 12 et 77.)
[57] R. Metzler and J. Klafter. The random walk’s guide to anomalous

diffusion : a fractional dynamics approach. Physics Reports, 339 :1–
77, 2000. (Cité page 3.)
[58] R. Metzler and J. Klafter. The restaurant at the end of the random
walk : Recent developments in the description of anomalous trans-
port by fractional dynamics. J. Phys., A37 :R161–R208, 2004. (Cité
pages 3 et 47.)
[59] T.M. Michelitsch, G.A. Maugin, A.F. Nowakowski, F.C.G.A. Nicol-

leau, and M. Rahman. The fractional laplacian as a limiting case of
a self-similar spring model and applications to n-dimensional ano-
malous diffusion. Fract. Calc. Appl. Anal., 16 :827–859, 2013. (Cité
page 47.)
[60] K. S. Miller and B. Ross. An introduction to the fractional calcu-

lus and fractional differential equations. Wiley, Wiley, 1993. (Cité
page 18.)
98 Bibliographie
[61] J. Nakagawa, K. Sakamoto, and M. Yamamoto. Overview to mathe-

matical analysis for fractional diffusion equations - new mathema-
tical aspects motivated by industrial collaboration. J. Math-for- Ind.,
2 :99–108, 2010. (Cité pages 1 et 35.)
[62] K.B. Oldham and J. Spanier. The fractional calculus. Academic Press,
New York, 1974. (Cité page 17.)
[63] A. Pazy. Semigroups of linear operators and applications to partial
differential equations,. Appl. Math. Sci., 44 :Springer Verlag, New
York, 1983. (Cité page 90.)
[64] J-G. Peng and K-X. Peng. A note on property of the mittag-leffler
function. J. Math. Anal. Appl., 370 :635–638, 2010. (Cité page 31.)
[65] J-G. Peng and K-X. Peng. A novel characteristic of solution opera-
tor for the fractional abstract cauchy problem. J. Math. Anal. Appl.,
385 :786–796, 2012. (Cité page 31.)
[66] I. Podlubny. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity.
in Mathematics in Science and Engineering, 198, Academic Press, San
Diego, 1999. (Cité pages 17, 18, 19, 20 et 24.)
[67] S. Pooseh, H.S. Rodrigues, and D.F.M. Torres. Fractional derivatives
in Dengue epidemics. AIP conf. Proc., 1389 :739–742. (Cité page 2.)
[68] T. R. Prabhakar. A singular integral equation with a generalized
mittag-leffler function in the kernel. Yokohama Math. J., 19 :7–15,
1971. (Cité page 83.)
[69] S. H. Rakotonasy. Modèle fractionnaire pour la sous-diffusion : ver-
sion stochastique et edp. PhD thesis, Université d’avignon, France,
[70] B. Ross. Fractional calculus and its applications. Lecture Notes in
Mathematics, 457, Springer-Verlag, New York, 1975. (Cité page 17.)
[71] F. Rothe. Global solutions of reaction systems. Lecture Notes in Math.
1072, Springer, Berlin, 1984. (Cité pages 2, 8, 9, 61 et 72.)
[72] K. Sakamoto and M. Yamamoto. Initial values/boundary value pro-
blems for fractional diffusion-wave equations and applications to
some inverse problems. J. Math. Anal. Appl., 382 :426–447, 2011. (Cité
pages 18, 63, 85 et 87.)
[73] S. G. Samko, A. A. Kilbas, and O. I. Marichev. Fractional integrals
and derivatives, theory and applications. Gordon and Breach Science
Publishers, Springer, Berlin, 1987. (Cité pages 22, 61 et 78.)
[74] R. Schumer, D.A. Benson, and M.M. Meerschaert. Fractal mo-
bile/immobile solute transport. Water Resour. Res., 39(10) :1296, 2003.
(Cité page 3.)
Bibliographie 99
[75] C.R. Serment. Synthèse d’un isolateur d’ordre entier fondé sur
une architecture arborescente d’éléments viscoélectriques quasi-
identiques. PhD thesis, Université Bordeaux 1, France, 2001. (Cité
page 2.)
[76] X-B. Shu and F. Xu. The existence of solutions for impulsive frac-
tional partial neutral differential equations. Journal of Mathematics,
2013 :Article ID147193, 9 pages, 2013. (Cité pages 30, 63 et 79.)
[77] H. Shuxiang, X. Shiming, and X. Chunhong. Theoretical analysis to

a reaction-diffusion system arising in a diffusive epidemic model.
Acta Math. Sci. Ser. B Engl., Ed.24 :175–184, 2004. (Cité page 47.)
[78] I.M. Sokolov, J. Klafter, and A. Blumen. Fractional kinetics. Physics

Today, 55 :48–54, 2002. (Cité page 3.)
[79] N. Th. Varopoulos, L. Scoff-Coste, and T. Coulhon. Analysis and

geometry on groups. Cambrige University Press, 1992. (Cité page 26.)
[80] R-N. Wang, D-H. Chen, and T-J. Xiao. Abstract fractional cau-
chy problems with almost sectorial operators. J. Differ. Equations,
252 :202–235, 2012. (Cité pages 12, 63, 78 et 79.)
[81] G.F. Webb. A reaction-diffusion model for a deterministic diffusive

epidemic. J. Math. Anal. Appl., 84 :150–161, 1981. (Cité pages 7, 47
et 55.)
[82] D. V. Widder. The laplace transform. Princeton University Press, Lon-

don, 1946. (Cité page 20.)
[83] K. Yosida. Functional analysis, sixth edition. Springer-Verlag, Berlin

Heidelberg, New York. (Cité page 26.)
[84] R. Zacher. Maximal regularity of type l p for abstract parabolic vol-

terra equations. J. Evol. Equa., 5 :79–103, 2005. (Cité page 80.)
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Contributions aux équations d’évolution

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HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

Contributions aux équations

Thèse dirigée par

soutenue le le 08 Janvier 2016 devant le jury composé de :

Pr. Kais AMMARI Université de Monastir (Examinateur)

M es chaleureux remerciements s’adressent aux professeurs Ferdaous

Je tiens à remercier vivement Professeur KIRANE pour m’avoir ac-

Je suis très reconnaissante à Madame KELLIL qui m’a encouragée à

Je tiens tout particulièrement à remercier Monsieur Mohammed Ali

Je suis très sensible à l’intérêt qu’ont bien voulu porter à ce travail

Je suis honorée par la présence de Monsieur Kais AMMARI, Profes-

J’adresse un grand merci à Monsieur Rabah KELLIL pour ses pré-

Je tiens à remercier Monsieur Ali BAKLOUTI, directeur du laboratoire

Je remercie également Madame Wassila secrétaire à la faculté des

Enfin, je profite de cette occasion pour exprimer ma profonde grati-

Monastir, le 8 Janvier 2016.

1. D. Hnaien, F. Kellil, R. Lassoued, Blowing-up solutions and global

2. D. Hnaien, F. Kellil, R. Lassoued, Asymptotic behavior of global

3. Mahmoud Boutefnouchet, Mokhtar Kirane, R. Lassoued, Global

4. Ahmed Alsaedi, Mokhtar Kirane, R. Lassoued, Global existence and

In this thesis, we are interested in fractional differential equations. We

2. D. Hnaien, F. Kellil, R. Lassoued, Asymptotic behavior of global so-

3. Mahmoud Boutefnouchet, Mokhtar Kirane, R. Lassoued, Global

4. Ahmed Alsaedi, Mokhtar Kirane, R. Lassoued, Global existence and

In mathematics, the order of authors in a paper is alphabetical.

Table des matières xi

Liste des figures xii

2 Théorie du calcul fractionnaire 15

3 Blowing-up solutions and global solutions to a

4 Asymptotic behavior of global solutions of an

5 Global existence and large time behavior of so-

6 Global existence and asymptotic behavior for a

Liste des figures

1.1 Le profil de concentration total P( x, t) dans un domaine de

2.1 Fonction Eα (−tα ) pour 0 < α ≤ 1 et pour 0 < α ≤ 2. . . . . . 19

3.1 Solutions for α = 0.5 and u0 = 5, 3, 2. . . . . . . . . . . . . 42

Fonctions, Espaces des fonctions

Autres opérateurs mathématiques

2. Nous commençons par rappeler dans le deuxième chapitre l’historique

3. Afin de répondre à une question posée par Nakagawa, Sakamoto et

4. Dans le quatrième chapitre, nous étudions l’existence et l’unicité de la

population confinée. En deuxième lieu, nous établissons le comporte-

5. Le cinquième chapitre est consacré à un système non linéaire des équa-

6. Le sixième chapitre est dédié à l’étude d’un système de réaction-

1.2 Exemples d’applications de la dérivation

sont viscoélastiques. La nouveauté est que l’introduction de la dérivation

(1 + bDtα )σ(t) = ( G0 + G1 Dtα )ε(t),

où σ et ε désignent respectivement la contrainte et la déformation et où

1. L’équation de Fokker-Planck fractionnaire :

2. Le modèle mobile/immobile (MIM) fractionnaire :

(∂t + λ1 1E1 ( x ) c Dtγ1 + λ2 1E2 ( x ) c Dtγ2 ) P( x, t) = ∂ x (d ∂ x − v) P( x, t), (1.3)

où c Dt i , i = 1, 2, représente la dérivée fractionnaire au sens de Caputo,

d, v, P( x, t) sont respectivement le coefficient de la diffusion, la vitesse

stabilité de la densité des particules (mobiles et immobiles) et λi repré-

Une preuve numérique [69] vérifie que la solution de l’équation (1.3)