Analyse de systèmes dynamiques par discrétisation.

Exemples d’applications en théorie des nombres et en

biologie moléculaire
Anne Siegel

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Anne Siegel. Analyse de systèmes dynamiques par discrétisation. Exemples d’applications en théorie
des nombres et en biologie moléculaire. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2008. �tel-
00358996�

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 HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES

présentée devant

L’Université de Rennes 1
Spécialité : Mathématiques et Informatique

par

Anne Siegel

Analyse de systèmes dynamiques par discrétisation. Exemples

d’applications en théorie des nombres et en biologie moléculaire.

soutenue le 8 décembre 2008 devant le jury composé de :

Pierre Arnoux, professeur, Université de la Méditerranée

Marie-Pierre Béal, professeur, Université de Marne La Vallée
Valérie Berthé, DR CNRS ,Université de Montpellier
Jérome Buzzi, DR CNRS, Université Paris-Sud
Hidde de Jong, DR INRIA, Centre Grenoble Rhône-Alpes
Alejandro Maass, professeur, Université du Chili [rapporteur]
Jacques Nicolas, DR INRIA, Centre Rennes Bretagne Atlantique
Elisabeth Pécou, professeur, Université de Nice

au vu des rapports de :

Marie-Pierre Béal, professeur, Université de Marne La Vallée

Hidde de Jong, DR INRIA, Centre Grenoble Rhône-Alpes
Alejandro Maass, professeur, Université du Chili
Boris Solomyak, professeur, University of Washington, Seattle
Remerciements

Ce travail est avant tout le fruit de huit années de rencontres variées... Remercier tous
les gens qui y ont contribué en peu de mots est une tâche ardue.
Mes premiers et plus sincères remerciements doivent aller à Pierre Arnoux, Valérie
Berthé et Jacques Nicolas.
Pierre Arnoux m’a fait découvrir les systèmes dynamiques et a encadré mes premiers
pas dans la recherche ; il a gardé un oeil sur moi depuis ma thèse, même si les pistes que j’ai
explorées (biologie, topologie ou théorie des nombres) ne sont pas ses thèmes préférés. En
plus des règles du métier, il m’a appris à prendre le temps d’identifier l’essentiel derrière une
problématique (ce que je ne fais pas encore assez). Il est pour moi un modèle d’intégrité,
et je reste admirative de sa capacité à décrire l’essentiel d’un article obscur de 30 pages en
moins de 10 lignes limpides.
Valérie Berthé a elle aussi encadré mes premiers pas de chercheuse ; elle est devenue
une amie très proche. Son imagination, son immense culture dans différents domaines, ses
qualités d’écoute et de communicante font d’elle une grande scientifique dont j’espère être
un jour à la hauteur.
Jacques Nicolas m’a accueillie dans le projet Symbiose, à une époque où j’étais une
jeune mathématicienne très culottée récemment recrut ée en informatique au CNRS. J’étais
tentée par la biologie via l’informatique, alors que mes compétences dans ces deux domaines
étaient très limitées. Il m’a laissé ma chance... En plus de ses qualités de chercheur, son
soutien constant, ses conseils avisés, sa vision de la science et sa gestion tout en doigté de
l’équipe, en respectant la personnalité de chacun (y compris la mienne !) m’ont offert un
cadre rare pour m’épanouir en canalisant mon enthousiasme quelque peu débordant.
Mon plus grand respect et mes profonds remerciements vont aux rapporteurs qui ont
accepté de s’attaquer à ce document, dont les contours sont bien variés. Par leurs résultats
à l’interface de différents domaines, ils sont pour moi des modèles : Alejandro Maass dont
le parcours scientifique et les thèmes de recherches font le grand écart entre la théorie
ergodique et la bioinformatique ; Hidde de Jong, si grand nom de la modélisation des
systèmes biologiques ; Marie-Pierre Béal si grand nom de l’informatique théorique ; Boris
Solomyak, dont les travaux et la gentillesse ont inspiré tant de chercheurs... Je suis aussi
très honorée que Jérome Buzzi et Elisabeth Pécou (quand trouvera-t-on donc le temps de
travailler ensemble ?) aient accepté de participer à mon jury.
Je dois ensuite remercier le groupe de systémiciens avec qui tout le projet autour
de la biologie a été développé, et tous essentiels à sa réalisation : Michel Le Borgne qui
m’a beaucoup appris en informatique et biologie (entre autre que je suis allergique à la
programmation) ; Ovidiu Radulescu, à l’intuition débordante ; Philippe Veber, toujours
prêt à explorer de nouvelles voies avec enthousiasme, même quand il s’agit de relire ce

1
2

mémoire (et sauf quand il s’agit de rédiger sa thèse) ; Carito Guziolowski, venue du bout
du monde, à la volonté de fer, et imbattable pour faire parler des données de manière
intelligente ; Pierre Blavy, toujours bricoleur, mais d’une rigueur absolue lorsqu’il s’agit de
proposer une conclusion biologique ; François Moreews, expert en Java et en interactions,
Annabel Bourdé et Gregory Ranchy, toujours présents pour trouver une solution logicielle à
mes “ce serait bien si...” ; Sandrine Laguarrigue et Nathalie Théret, nos biologistes préférées
qui ont eu la patience de nous transmettre leurs intuitions et leurs connaissances en biologie
pour que nous essayions de produire des résultats exploitables ; Et les derniers arrivés,
Tatiana Bauromatova et Sylvain Blachon, qui n’hésitent pas depuis leur arrivée à nous
titiller sur l’applicabilité réelle de nos travaux ce qui oblige (heureusement) à réfléchir
encore et encore !
Au sein de ce groupe, les caractères ont toujours été bien trempés, les opinions ont
pu diverger, et les relations ont été parfois houleuses. Mais l’énergie, l’enthousiasme et
globalement la bonne humeur ne se sont jamais démenties et sont au coeur du travail
présenté ici.
Je dois encore mentionner les collaborateurs qui m’ont fait découvrir de nouveaux hori-
zons scientifiques et géographiques : Joerg Thuswaldner, qui m’a introduit à la topologie et
m’a permis de découvrir l’opéra viennois ; Shigeki Akiyama et ses numérations non entières,
ainsi que l’équipe de Japonais (Shunji Ito, Maki Furukado, Hiromi Ei) grâce auxquels le
Japon est un univers un peu moins fermé ; Arnaud Hilion et la géométrie des groupes
libres (même si décidément j’ai du mal avec la géométrie) ; Boris Adamczewski (frère ou
demi-frère selon la généalogie scientifique ?) qui m’a toujours impressionnée par sa rigueur
et ses intuitions ; Wolfgang Steiner, lui aussi d’une rigueur bien nécessaire pour recadrer
mes rédactions un peu brouillonnes.Tous ont contribué à élargir mon champ scientifique,
et ont ainsi laissé leur trace dans ce document.
Ensuite, mon amitié va à toute l’équipe Symbiose et son ambiance incroyable avec ses
pots, pauses café, repas, groupes de travail, séminaire Aubade, et activités musicales (cette
année, je me mets à la batucada). Chose fascinante, cette ambiance n’a jamais empiété
sur le sérieux et le professionalisme de l’équipe. Avec une attention particulière à François
Coste (mon alter ego dans l’équipe - souvent en opposition mais toujours amicalement)
qui porte une grande partie de cette animation (sociale et scientifique). Prochain sur la
liste des HDR ?
Ces longs remerciements ne seraient pas complets sans y inclure l’IRISA, le CNRS et
l’INRIA. Ces six dernières années, je n’ai pu que m’incliner devant l’efficacité des personnels
de l’IRISA, dont j’ai profité voire abusé (très chère Marie-Noëlle...), ainsi que devant la
bonne humeur qui règne dans ce laboratoire. J’espère sincèrement que l’alchimie (si rare
ailleurs !) entre les personnels de différentes structures et cultures résistera aux mouvements
actuels. Le CNRS a toujours soutenu mes recherches et mes prises de risque ; l’INRIA m’a
permis de profiter de son dynamisme. Là encore, je croise les doigts pour que ces deux
instituts puissent continuer à se développer en toute complémentarité.
Enfin, Stéphane, ma moitié, père et époux (presque) parfait... Depuis plus de quinze
ans, il s’est adapté un peu partout à mes envies de nouveautés. Son soutien, son équilibre,
sa disponibilité, et la joie de vivre au sein de notre famille ont été des piliers de ce travail
(son dos en sait quelque chose). Sans parler de sa patience, ces derniers mois de rédaction
en particulier. Je lui suis infiniment redevable de supporter mes lubies parfois excessives.
A mes loulous Quentin, Eymeric et Alexandre
(Toujours en forme, jamais épuisés...)

3
4
Table des matières

Avant-propos 9

1 Pourquoi coder un système dynamique ? 13

1.1 De l’astronomie à la dynamique symbolique . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Rappels historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Des exemples simples... et moins simples . . . . . . . . . . . . 15
1.1.3 Dynamique symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Cas classiques en dynamique symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Le cas markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Systèmes auto-induits et représentations par substitutions . . 21
1.2.3 Retour à la dynamique symbolique . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 La topologie de fractals pour aborder différentes questions interdis-
ciplinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Quasi-cristaux et espaces de pavages . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Géométrie discrète et génération de plans discrets . . . . . . 29
1.3.3 Étude des systèmes de numération en base non entière . . . . 31
1.4 Utilisation de systèmes dynamiques en sciences expérimentales . . . 33
1.4.1 Spécificités de la biologie moléculaire . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.2 Systèmes dynamiques en biologie moléculaire . . . . . . . . . 36
1.4.3 Comment construire des réseaux sur lesquels appliquer des
simulations dynamiques ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5 Plan du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Discrétiser de (simples ?) additions ou multiplications 43

2.1 Les enjeux de la dynamique symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1 Systèmes dynamiques symboliques . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.2 Deux situations orthogonales où la dynamique symbolique a
montré son utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.3 Les questions classiques en dynamique symbolique . . . . . . 47
2.1.4 Multiplications par des nombres simples . . . . . . . . . . . . 48
2.1.5 Multiplier par un réel β ; beta-numérations . . . . . . . . . . 50
2.1.6 Additions et systèmes auto-induits . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Multidimensionnel : quel candidat pour une partition ? . . . . . . . . 54
2.2.1 Multiplier par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5
6

2.2.2 Des multiplications par une matrice vers des additions sur un
tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.3 Additions sur un tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.4 Les fractals de Rauzy : différentes approches . . . . . . . . . 60
2.2.5 Construction du fractal de Rauzy . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.6 Propriété topologique fondamentale : autosimilarité . . . . . 63
2.2.7 Retour à la dynamique symbolique . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 Obtenir (enfin) une bonne dynamique symbolique . . . . . . . . . . . 70
2.3.1 Des pavages périodiques aux pavages autosimilaires . . . . . . 71
2.3.2 Différentes conditions de pavage . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.3 Graphes de frontière et condition décidable de pavage . . . . 77
2.3.4 Description de la frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4 Perspectives de travail : le cas non Pisot . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3 Utiliser les graphes de frontière 85

3.1 Topologie des fractals de Rauzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.1 Où la topologie des fractals s’interprète de manières variées . 86
3.1.2 Graphes de pavages et propriétés topologiques . . . . . . . . 87
3.1.3 Exemple : homéomorphisme à un disque . . . . . . . . . . . . 90
3.1.4 Perspectives d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2 Théorie des nombres. Développement en bases non-entières : le cas
non unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.1 Fractals dans le cas non unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.2 Nombres dont le β-développement est fini . . . . . . . . . . . 97
3.2.3 Nombres dont le développement est périodique . . . . . . . . 99
3.2.4 Perspectives de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 Géométrie discrète : engendrement de plans discrets . . . . . . . . . 105
3.3.1 Plans discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.2 Substitutions généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3.3 Le cas purement substitutif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.4 Approximations de plans discrets tridimensionnels : l’école
japonaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3.5 Un nouveau mode d’engendrement : règles locales pour des
substitutions bidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.6 Engendrer des plans discrets en s’appuyant sur des règles locales118
3.3.7 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4 Invariants pour des systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.4.1 Dynamique des systèmes substitutifs non unitaires . . . . . . 123
3.4.2 Vers des partitions de Markov pour des endomorphismes du
tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4.3 Dynamique symbolique des homéomorphismes de surfaces.
Automorphismes de groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . 128
 7

4 Appréhender le fonctionnement d’un système dynamique en bio-

logie moléculaire 133
4.1 Dynamique en biologie moléculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.1 Systèmes dynamiques et séquences d’ADN ? . . . . . . . . . . 134
4.1.2 Dynamique au niveau cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.3 Plusieurs stratégies pour modéliser la dynamique d’un réseau
à un niveau qualitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2 Prédictions pour des réseaux décrits par des réactions . . . . . . . . 140
4.2.1 Existence des états stationnaires dans un modèle dynamique 140
4.2.2 Condition d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.3 Prédictions et comparaison de modèles . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3 Étude de la réponse d’un système à une influence . . . . . . . . . . . 149
4.3.1 Modèles différentiels décrits par un graphe d’influence . . . . 149
4.3.2 Réponse linéaire d’un système à un influence extérieure . . . 152
4.3.3 Transport et métabolisme du lactose chez E. coli . . . . . . . 155
4.3.4 Régulation du métabolisme des acides gras . . . . . . . . . . 157
4.3.5 Ajustement numérique pour analyser l’influence des voies . . 158
4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5 De la dynamique à l’aide au raisonnement par l’analyse de con-

traintes 161
5.1 Première question : comment construire des réseaux sur lesquels ap-
pliquer des simulations dynamiques ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.1.1 Différentes approches pour la construction de modèles . . . . 162
5.1.2 Formalisation : deux questions et une règle intuitive . . . . . 164
5.1.3 De l’intuition à une contrainte satisfaite par une régulation . 165
5.1.4 Extension de la contrainte à d’autres cadres . . . . . . . . . 168
5.2 Une approche pour le diagnostic d’un réseau . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.1 Construire le système de contraintes décrivant un réseau et
les observations disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.2 Exploiter le système de contraintes : invariants et modules
spécifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.2.3 Cohérence dans la littérature : vers une contrainte plus res-
treinte mais tout aussi intuitive ? . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.2.4 Calcul des invariants et des diagnostics . . . . . . . . . . . . 174
5.2.5 Schéma d’utilisation et validation . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2.6 Etude (en cours) du rôle de la molécule EWS/FLI1 dans le
sarcome d’Ewing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.3 Une nouvelle question : identifier le signe des régulations . . . . . . . 183
5.3.1 Inférence de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.3.2 Diagnostic : identifier des interactions avec des effets multiples 185
5.3.3 Prédiction : utiliser la redondance pour tenir compte des in-
certitudes ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8

5.3.4 Combien de jeux expérimentaux sont-ils nécessaires pour pro-

céder à une inférence ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.4 De nombreuses questions à explorer : vers une aide au raisonnement
pour le biologiste ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.4.1 Différentes questions autour des plans expérimentaux . . . . 191
5.4.2 Comment sélectionner des sommets pour valider un système ? 193
5.4.3 Plan expérimentaux autour du contrôle d’un système . . . . . 196
5.4.4 Identifier des groupes d’intérêt dans un réseau . . . . . . . . 197
5.5 Synthèse des perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Bibliographie 200

Activités scientifiques 214

5.6 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.7 Communications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.8 Encadrement et enseignements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.9 Coopérations et contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.10 Animation de la recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Résumé 222
Avant-propos

Pluridisciplinarité ? Ce travail présente des contributions théoriques et pra-

tiques à la théorie des codages symboliques de systèmes dynamiques. Les applica-
tions qui vont être discutées sont variées puisqu’elles concernent différents champs
mathématiques et la modélisation en biologie moléculaire. Cette diversité s’explique
avant tout par mon parcours, puisque j’ai une formation de mathématiques pures
(études de systèmes dynamiques symboliques), et j’ai ensuite été recrutée au CNRS
par la section 07 (informatique) pour travailler sur les applications des systèmes
dynamiques dans différents domaines.
Tout en continuant mes travaux en mathématiques sur l’étude de domaines
adéquats pour discrétiser un système dynamique (voir chapitre 2), je me suis donc
intéressée aux applications des systèmes dynamiques en informatique théorique, en
particulier pour mieux caractériser les écritures de nombres en base non entière
(chapitre 3, section 2) et proposer une stratégie d’engendrement et d’étude de plans
discrets (chapitre 3, section 3). En parallèle, je me suis aussi beaucoup investie au
sein du projet de bioinformatique Symbiose à l’IRISA pour comprendre comment
les systèmes dynamiques peuvent soutenir les chercheurs en biologie moléculaire
dans la modélisation et la compréhension des phénomènes dynamiques au sein de
la cellule. Ces travaux sont décrits dans les chapitre 4 et 5.

Questions de recherches Le lecteur pourra donc se demander quel est l’homo-

généité entre ces différents travaux. À mon sens, l’ambition qui unit ces travaux est
de montrer comment on peut utiliser des méthodes de discrétisation de systèmes
dynamiques pour exploiter au mieux les informations disponibles sur le système.
Un premier objectif est d’exhiber des informations au sujet d’une dynamique que
l’on connaît explicitement et les traduire en propriétés concrètes. Un deuxième ob-
jectif est de produire de la connaissance sur une dynamique ou un modèle lorsqu’on
ne le connaît pas explicitement. J’ai abordé ces deux questions sur deux grandes
classes de systèmes dynamiques.
1. L’étude des automorphismes et des additions sur un tore. Inspirés par les cas
unidimensionnels (beta-numération, étude des suites sturmiennes), la question
principale qui se pose est de trouver un domaine fondamental pour le tore
dans lequel les trajectoires de la dynamique considérée se codent par des
systèmes symboliques simples (décrits par des mots interdits -sous-décalage
de type fini- ou des compositions de processus d’itération -substitutions). Un

9
10

bon candidat pour ces partitions est donné par une structure dont la base
est fractale, introduit par Rauzy dans les années 1980. Le chapitre 1 porte
sur mon travail pour unifier les formalismes existant autour de ce fractal, et
introduire une approche décidable pour s’assurer que ce fractal est un bon
domaine pour un codage dans le cas où l’automorphisme du tore considéré
admet une unique direction dilatante (le cas Pisot).
Dans le cas où le domaine considéré induit un bon codage, nous verrons au
chapitre 2 (section 2.1) comment les approches que j’ai développées permettent
de caractériser les propriétés topologiques du fractal. La fin du chapitre 2
détaille comment ces propriétés topologiques s’exploitent dans les différents
domaines d’informatique théorique où les automorphismes et les additions sur
un tore peuvent être considérés :
– en théorie des nombres, les propriétés topologiques du domaine de Mar-
kov permettent de caractériser les propriétés des développements finis ou
purement périodiques de rationnels en base non entière.
– en géométrie discrète, ces propriétés s’interprètent en termes de conditions
pour l’engendrement de plans discrets par des méthodes itératives.
2. L’étude de systèmes dynamiques de grande échelle en biologie moléculaire. Il
s’avère que les données et les connaissances sur les modèles relatifs aux régu-
lations transcriptionnelles dans une cellule sont souvent trop partielles pour
leur appliquer les méthodes usuellement utilisées pour la modélisation de sys-
tèmes expérimentaux. Je travaille sur l’élaboration d’un formalisme permet-
tant effectivement d’interpréter les observations en biologie moléculaire dans
un cadre dynamique pour aider à la correction de modèles, et, dans le futur,
à la mise en place de plans expérimentaux. Au vu de la qualité des données,
les aspects dynamiques sont alors remplacés par des considérations sur les dé-
placements d’états stationnaires, et analyser les données revient à formaliser
des contraintes (accessibles pour les méthodes actuelles de résolutions de con-
traintes) portant sur des ensembles discrets ; ces contraintes doivent décrire
les questions des biologistes sur leurs systèmes. Au sein du projet Symbiose,
nous avons ainsi montré comment les notions de corrections de modèles et de
diagnostic de réseaux grande échelle peuvent être abordées.

Spécificité : limiter ses ambitions pour aboutir à des applications décida-

bles. Directement liée à l’objectif tourné vers des applications, un point commun
des ces travaux est que toutes les approches proposées se sont adaptées à l’état des
connaissances actuelles, en adoptant une approche algorithmique.
En mathématiques, on souhaiterait idéalement prouver une conjecture générale
qui dit que tous les systèmes symboliques engendrés par une substitution Pisot sont
mesurablement isomorphes à une addition sur un tore. Pour l’instant, la preuve
de ce résultat semble inaccessible. Les méthodes que j’ai développées, inspirées par
l’informatique, consistent donc à vérifier cette propriété au cas par cas, avec une
approche algorithmique basée sur la construction et l’étude de graphes. Lorsque la
propriété est vérifiée, on peut concrètement exploiter cette information pour l’étude
des écritures de nombres ou la structure des discrétisations de plans.
 11

De même, en biologie moléculaire, nous sommes partis du constat que même si

des informations de plus en plus nombreuses sont mises à disposition sur le com-
portement des systèmes biologiques, elles ne sont pas en nombre suffisant pour
modéliser la complexité de la dynamique des systèmes usuellement considérés par
les chercheurs en biologie (en particulier ceux qui travaillent sur des modèles eu-
caryotes). Nous nous sommes donc volontairement restreints à la compréhension
des déplacements d’équilibres avec des approches de résolution de contraintes, avec
l’ambition d’aider au diagnostic et à la mise en place de plans expérimentaux.

Plan du document Par contre, la diversité des applications visées implique que
les travaux présentés ne sont pas du tout homogènes quant à la formalisation des
concepts abordés. En fait, la formalisation va aller en décroissant, depuis l’étude de
systèmes dynamiques en théorie ergodique (chapitre 2) à une discussion sur l’aide
à l’expérimentation que peut apporter la résolution de contraintes.
Le premier chapitre est un chapitre de revue bibliographique sur les méthodes de
discrétisation pour l’étude de systèmes dynamiques, axée sur les enjeux des systèmes
symboliques : rechercher une partition de l’espace des états qui permette de décrire
les trajectoires des points avec des suites symboliques qui vérifient une contrainte
la plus simple possible. Ces enjeux sont d’abord discutés autour de l’existence de
partitions de Markov pour certains systèmes, et ses conséquences en géométrie, théo-
rie des nombres, physique théorique et en informatique (via la géométrie discrète).
Ensuite, on évoquera la manière dont les systèmes dynamiques sont effectivement
utilisés en biologie moléculaire, où les codages symboliques associés à une approche
de vérification de modèle ont apporté des résultats substantiels.
Le second chapitre aborde la problématique de la dynamique symbolique dans le
cadre des automorphismes et des endomorphismes du tore. Nous expliquons pour-
quoi la recherche d’une bonne partition pour décrire ces applications (domaine de
Markov) est intimement liée à des questions de pavages par des compacts autosimi-
laires sur lesquels existe une dynamique d’échange de morceaux. Nous commence-
rons par résumer les connaissances sur ce domaine, et présenterons finalement une
contribution à la détermination explicite de partitions de Markov, via l’étude des
voisinages de pièces fractales dans un pavage.
Le troisième chapitre porte sur les applications des représentations des auto-
morphismes du tore par des domaines de Markov à bord fractal. Nous discuterons
en quoi des résultats précis sur la topologie des fractals permettent de répondre à
des questions en théorie des nombres, en géométrie discrète, et en perspective, en
géométrie des groupes libres.
Dans le quatrième chapitre, nous changeons de domaine d’application. On sup-
pose maintenant que l’on dispose d’observations sur un système régi par une dy-
namique au sujet de laquelle on dispose d’informations très partielles. On souhaite
exploiter au maximum cette information. La question qui se pose est donc de com-
prendre le comportement d’un système biologique à partir de connaissances et d’ob-
servations limitées. Nous montrons qu’en s’appuyant sur des méthodes algébriques
combinées avec des études de déplacements d’états stationnaires, il est possible
d’élucider la fonction de différentes régulations génétiques et de faire des prédic-
12

tions sur les effets de mutations spécifiques. Dans ce chapitre, la question biologique
étudiée est la régulation du métabolisme des acides gras. Nous utilisons différents
niveaux d’abstraction et différentes méthodes algébriques pour comprendre ce sys-
tème dynamique.
Dans le cinquième chapitre, nous formalisons et étendons les raisonnements du
chapitre 4 pour étudier la question de la correction de modèle. Ici, la probléma-
tique n’est plus de comprendre le fonctionnement d’un système mais de s’inspirer
des approches dynamiques développées au chapitre 4 pour tester si l’ensemble des
connaissances disponibles sur un système est suffisant pour expliquer un compor-
tement observé. La démarche consiste à construire un système de contraintes qui
sont vérifiées par les variations des concentrations des molécules du système, et
d’interpréter différentes questions des biologistes sur un système comme des pro-
priétés spécifiques des solutions du système de contraintes. En perspective, nous
discutons des futures applications de cette méthode pour l’élaboration d’un plan
expérimental en fonction des différents objectifs de l’expérimentateur : valider un
modèle, contrôler un système, et comprendre son fonctionnement.

Perspectives Tout au long de ce document, nous allons discuter des différentes

perspectives de ces travaux. Pour les synthétiser, mentionnons :
– En systèmes dynamiques, la construction de partition de Markov pour des
endomorphismes du tore ou des automorphismes du tore non positifs, en
considérant des espaces de représentation p-adiques ou des morphismes du
groupe libre. En application, l’objectif est de proposer de nouveaux invariants
(s’appuyant sur la topologie de fractals) pour les espaces de pavages ou les
dynamiques associées à des automorphismes de groupes libres.
– En théorie des pavages, proposer explicitement des processus d’engendrement
des plans discrets, associés à des critères topologiques pour contrôler la forme
des motifs engendrés. En particulier, cette question est fondamentale pour
avancer dans l’étude des approximations simultanées de nombres réels. Plus
théoriquement, cela permettrait de décrire explicitement les additions sur un
tore par des compositions de substitutions, et donc d’avancer dans la résolu-
tion de la conjecture dite S-adique.
– En biologie moléculaire, proposer des approches utilisables par les biologistes
pour orienter leurs plans expérimentaux et plus généralement faciliter le déve-
loppement de boucles de raisonnement/expérimentations sur des plateformes
grande-échelle et automatiques.
– Plus théoriquement, en biologie, avancer dans la compréhension du fonction-
nement des systèmes biologiques, via la caractérisation de fonctions pour des
sous-groupes de produits regroupés en modules.
Chapitre 1

Pourquoi coder un système

dynamique ?

Déterminisme (Laplace [Lap86]) : Nous devons envisager l’état présent de l’univers

comme l’effet de son état antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une
intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est
animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez
vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule le
mouvement des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome : rien ne
serait incertain pour elle, l’avenir comme le passé serait présent à ses yeux. L’esprit
humain offre, dans la perfection qu’il a su donner à l’astronomie, une faible esquisse
de cette intelligence. Ses découvertes en mécanique et en géométrie, jointes à celles de
la pesanteur universelle, l’ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions
analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même
méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à
des lois générales les phénomènes observés, et à prévoir ceux que les circonstances
données doivent faire éclore.
Déterminisme (20ème siècle) : L’univers est un système dynamique.

1.1 De l’astronomie à la dynamique symbolique

1.1.1 Rappels historiques
Astrologie Depuis toujours, l’homme essaie de prévoir l’avenir, d’une part en
recherchant des régularités dans les évènements (jour, année, saisons, lune), d’autre
part en supposant qu’elles se répètent. L’hypothèse implicite est que pour prédire
le futur d’un système, il est suffisant de connaître son passé. Aujourd’hui encore, un
lieu commun veut que l’histoire, l’économie voire la psychologie se comportent de
manière cyclique et qu’il suffit de bien étudier le passé pour comprendre le futur...
Deux idées différentes sont ici mêlées : il existe des lois pour décrire un système,

13
14

et ces lois peuvent amener à des comportements cycliques qui sont identifiables par
une bonne connaissance de l’ensemble du passé.
Galilée et Newton ont révolutionné ce point de vue : en mécanique classique,
pour prévoir la trajectoire d’un point, il suffit de connaître sa position, sa vitesse
initiale, et l’ensemble des forces auquel il est soumis. Il n’est pas nécessaire de
connaître tout son passé. Des succès spectaculaires comme la prédiction du retour
de la comète de Halley ont validé cette approche. L’hypothèse implicite est ici
qu’à chaque système en évolution, on peut associer un état, qui contient toutes
les informations pertinentes sur le système, et qui permet de prévoir son évolution
future dès lors qu’on utilise des lois. Une des ambitions majeures de la physique est
ainsi d’exhiber des lois d’évolution pertinentes.

Poincaré et les systèmes dynamiques Les prévisions sur le futur d’un système
se font en général au moyen d’équations différentielles, que les mathématiciens ont
cherché à résoudre de manière toujours plus complexe. Or, à la fin du 19ème siècle,
Poincaré s’est aperçu que dans certains cas, il est impossible de trouver des solutions
explicites à ces équations [Poi87, BG97]. Un nouveau point de vue a alors été pro-
posé : connaissant l’état du système à un moment donné, on veut connaître l’état de
ce système une unité de temps plus tard. Formellement, on considère l’ensemble de
tous les états possibles, souvent appelé X et une règle d’évolution, T : X → X, qui
à un état x (par exemple, la donnée de la position et la vitesse du soleil, la terre et
la lune) associe un état T (x) (la position des astres un jour plus tard). On obtient
ainsi le concept de système dynamique (X, T ). Formellement, le futur d’un point x
est décrit par les points x, T (x), T (T (x)), T (T (T (x)))... On l’appelle orbite de x.
Étudier un système dynamique est bien différent de l’étude des fonctions apprise
au lycée. Dans ce dernier cadre, nous avons tous recherché la manière dont T (x)
varie avec x : le principal objet d’étude est alors le graphe de la fonction T , en
particulier ses variations, ses points d’inflexion ou son comportements aux points
limites. Dans le cadre des systèmes dynamiques, on étudie l’évolution d’un point x,
en recherchant des régularités dans la suite des futurs T (x), T (T (x)), T (T (T (x))).....
C’est cette orbite de points qui constitue l’objet principal d’une étude dynamique.
Les questions typiques sont alors : les éléments d’une orbite restent-ils dans un sous-
ensemble de X ? Peuvent-ils y revenir régulièrement ? Si deux points x1 et x2 sont
proches, leurs orbites restent-elles proches ? Peuvent-elles même se rejoindre ?

Naissance d’un domaine mathématique La notion de déterminisme telle

qu’introduite par Laplace dit alors tout simplement que l’univers est un système
dynamique, au sens où le futur est exactement prédit par une loi et un ensemble
d’états habilement définis. Même si ce déterminisme a des limites, comme l’a montré
la mécanique quantique (qui dit que l’état d’une particule ne peut pas être déter-
minée de manière certaine) ou les travaux de Prigogine en thermodynamique (qui
portent sur les structures dissipatives et l’irréversibilité des phénomènes temporels),
l’hypothèse déterministe reste valable dans de nombreux cadres (et en premier lieu
en mécanique céleste), et les mathématiciens ont entamé des travaux pour obtenir
 15

une classification des systèmes en fonction de leurs comportements et leur avenir à

long terme, semblable à la classification des éléments en chimie.
Or, dès Poincaré, il est apparu que la multiplicité des trajectoires possibles ren-
dait une telle classification illusoire. L’échec de cette ambition a ouvert un immense
champ d’étude pour les mathématiciens, dans deux directions : d’une part, étu-
dier de nombreux exemples ; d’autre part, trouver des concepts qui permettent de
comprendre le comportement de ces systèmes, à la fois d’un point de vue théo-
rique (caractérisation de différents types d’ordre et de chaos) et d’un point de vue
pratique, en définissant des quantités qui décrivent partiellement un système dyna-
mique, analogues à la masse ou au potentiel pour les systèmes physiques.

1.1.2 Des exemples simples... et moins simples

Les systèmes finis Les systèmes dynamiques les plus simples sont sans conteste
les systèmes dynamiques finis, où X est un ensemble fini et T est surjective sur X.
Ces systèmes sont bien compris : puisque l’ensemble des états est fini, l’orbite de
chaque point doit forcément revenir à un moment ou à un autre sur un état déjà
traversé ; le déterminisme de la dynamique implique alors que la trajectoire devient
périodique. On dit que ces systèmes sont pré-périodiques. Par exemple, dans un
ordinateur, dont les cases mémoires sont en nombre fini, on ne peut représenter
qu’un nombre fini de nombres. Ainsi, pour un système dynamique calculé sur un
ordinateur, toutes les orbites sont finies... Dans la pratique, elles sont très souvent
de période gigantesque ; mais il arrive parfois, à cause des approximations faites lors
d’un calcul numérique, qu’une orbite apparaisse finie alors qu’on sait que le système
théorique que l’on étudie n’a pas d’orbite finie, ce qui induit des erreurs d’analyse.

Les systèmes linéaires sur un espace vectoriel Un peu plus complexes sont
les systèmes dynamiques linéaires, où X est un espace euclidien Rn et T est don-
née par l’action d’une matrice M sur Rn . Dans ce cas, une classification complète
des dynamiques existe : le comportement du système dépend essentiellement des
valeurs propres de la matrice M, qui permettent de décomposer l’espace en diffé-
rents sous-espaces sur lesquels M agit de manière simple (contraction, dilatation
ou rotation) ; on parle de théorie spectrale des applications linéaires. Concrètement,
on peut dans de nombreux cadres approximer une application quelconque par une
application linéaire (via le théorème d’Hartman-Grobman et ses différentes géné-
ralisations) ; dans ce cas, la théorie spectrale permet de comprendre la dynamique.
Ces dynamiques sont assez simples : l’origine est toujours fixe, et dans la plupart
des cas, l’orbite d’un point soit devient périodique après un certain temps, soit se
rapproche d’un point périodique, soit s’éloigne vers l’infini, en suivant éventuelle-
ment une spirale [HP05, BDV05]. Comme ce sont les dynamiques les plus simples à
comprendre et à calculer, on a longtemps cru qu’il s’agissait des seules dynamiques
possibles.

Les systèmes chaotiques Et pourtant, force a été de constater que les cas les
plus fréquents dans la nature sont hautement non-linéaires. On entre alors dans
16

l’univers du chaos. Grossièrement, on parle de chaos lorsque deux points distants

(si petite soit la distance qui les sépare) peuvent avoir deux futurs totalement dis-
tincts. Cependant que la signification du mot chaos est très fortement dépendante
du domaine dans lequel il est employé [Bla, ASY97, Dev86]. Dans tous les cas ;
une abondance de trajectoires est possible au voisinage de chaque point ; les no-
tions d’entropie ou d’exposants de Lyapounov ont été développées pour comparer
et quantifier ces trajectoires. Il faut par contre noter que, même si la trajectoire
d’un point est imprévisible, l’abondance de trajectoires produit souvent une régu-
larité statistique qui est exploitable pour étudier en moyenne le comportement du
système. Les invariants associés aux systèmes dynamiques, l’entropie en premier
lieu, permettent de décrire ces régularités.

1.1.3 Dynamique symbolique

Codage d’un système Pour trouver ces invariants, et plus généralement pour
comprendre la dynamique des systèmes, Hadamard a suggéré l’idée de découper
l’espace des états en un nombre fini de morceaux, chaque morceau ayant un nom
(généralement un chiffre ou une lettre de l’alphabet) et d’associer à tout point du
système la suite des noms des morceaux dans lesquels se trouve ses images par la
dynamique [Had98].
Par exemple, dire que abbcad... code le point x signifie que x se trouve dans le
morceau de nom a, son image T (x) dans le morceau b, l’image T (T (x)) à nouveau
dans le morceau b, par contre T 3 (x) se trouve dans c, T 4 (x) revient dans a, T 5 (x)
visite un nouveau morceau de nom d...
Finalement, étant donnée une partition de l’espace d’états, on associe à tout
point x un mot infini de symboles qui décrit sa trajectoire. On parlera de codage de
la trajectoire de x, ou plus simplement de codage de x.
Quel est l’intérêt de cette transformation ? On avait au départ une dynamique
donnée par une application difficile à décrire sur un espace d’états généralement
simple. Or, via cette opération de codage, la dynamique devient simple, puisque
coder T (x) revient à prendre le codage de x et lui enlever le premier terme ! On
a donc transformé une application complexe en une application très simple... Mais
l’espace des états s’est complexifié, puisqu’il s’agit maintenant d’un ensemble de
mots infinis dont il reste à comprendre la structure. Autrement dit, on ne représente
plus exactement la fonction de départ, ce qui permet de dépasser les limites des
approches analytiques, tout en conservant certaines propriétés essentielles de la
dynamique. La dynamique symbolique est ainsi le domaine qui cherche à identifier
les propriétés des codages de systèmes dynamiques.

Validation de l’approche Hadamard a proposé cette approche pour étudier les

propriétés de récurrence des systèmes : à quelles conditions peut-on assurer que
la trajectoire d’un point dans un système revient aussi près que possible du point
initial ? Il cherchait en particulier à savoir s’il existait un exemple de surface connexe
à courbure négative constante admettant une géodésique récurrente non périodique.
Pour cela, il a proposé de coder chaque géodésique par des 0 ou 1, en fonction des
 17

morceaux de la frontière de la surface que la géodésique traversait. Hadamard a

ainsi montré que trouver une bonne géodésique revenait à montrer l’existence d’un
mot infini non périodique composé de 0 et de 1 tel que tout motif de longueur n se
répète en un temps fini (dépendant seulement de n) dans ce mot [Had98]. Vingt-
cinq ans plus tard, Morse a démontré qu’un tel mot existe, en considérant le mot
infini qui est fixé par la transformation 0 → 01, 1 → 10 (nous reviendrons sur ce
concept de transformation très bientôt) [Mor21].
À partir de codages symboliques, on décrit un certain nombre de propriétés du
système de départ. La notion d’entropie topologique, par exemple, est basée sur ce
concept : on considère d’abord une partition du système des états ; on fixe un entier
n, et on calcule le nombre H(n) de codages existant pour les trajectoires de taille n,
c’est-à-dire pour les ensembles de points de la forme {x, T (x) . . . T n−1 (x)}. L’entro-
pie topologique relativement à la partition est la limite de la quantité (log H(n))/n.
L’entropie du système dynamique est le supremum de toutes les entropies, pris sur
l’ensemble des partitions finies. Un premier théorème montre que cette entropie
existe, un autre théorème dit qu’elle est atteinte pour n’importe quelle partition
pour laquelle deux points différents ne peuvent pas avoir le même codage [AKM65].
Finalement, pour calculer une entropie, il suffit de connaître tous les codages des
points de la trajectoire pour une bonne partition, et de compter le nombre de de
motifs dans ces codages...
Depuis, le principal enjeu de la dynamique symbolique est de rechercher une
partition de l’espace des états qui décrit les trajectoires des points avec des suites
symboliques qui vérifient une contrainte la plus simple possible. Fondamentalement,
cela revient à abstraire de manière si possible “simple” la dynamique de départ
pour dépasser les limites des approches analytiques, tout en conservant certaines
propriétés essentielles du point de vue de la dynamique.

Domaine d’application : des applications linéaires sur des espaces qui

ne sont plus vectoriels Nous avons vu que les applications linéaires sur des
espaces vectoriels sont prévisibles et non chaotiques. Pour introduire du désordre,
il faut donc enlever une de ces deux hypothèses. D’un point de vue physique, on
préfèrera rester dans un cadre vectoriel mais considérer des applications non linéaires
et introduire des méthodes analytiques ; nous discuterons de cette question dans
la section 1.4. Cependant, d’un point de vue mathématique, il est préférable de
travailler sur des espaces compacts. Dans la suite de cette section, nous allons ainsi
considérer des applications linéaires non plus à valeur dans des espaces vectoriels
mais à valeurs dans un espace quotient compact d’un espace vectoriel. Nous allons
voir comment ce passage au quotient permet de produire du chaos, et décrire ce
chaos à l’aide de dynamique symbolique.

1.2 Cas classiques en dynamique symbolique

Ainsi, l’objet principal d’étude de la dynamique symbolique est l’ensemble des
mots infinis que l’on obtient par codage d’un système dynamique.
18

1.2.1 Le cas markovien

Partition markovienne Le cas le plus simple d’un point de vue combinatoire
est celui où les mots infinis sont exactement définis par un ensemble de mots finis
interdits qui correspondent à des enchaînements interdits (on parle de sous-décalage
de type fini). Une partition d’un espace qui permet de coder un système dynamique
en un sous-décalage de type fini est appelée partition markovienne. L’existence d’une
partition markovienne pour un système signifie que l’on peut décomposer l’espace
des états en un nombre fini de morceaux, et que l’appartenance à ces morceaux est
suffisante pour connaître le futur immédiat d’un point.

Applications en théorie des nombres L’exemple le plus naturel est donné par
la multiplication par 2 ramenée sur le tore R/Z, en bijection avec l’intervalle [0, 1[
(notée T2 ) : on considère un réel x ∈ [0, 1[, on le multiplie par 2 et on ne retient
finalement que la partie après la virgule de cette quantité, c’est-à-dire T2 (x) =
2x − E(2x) (où E(y) désigne la partie entière de y). Même si cette application
semble proche de la multiplication par 2, dont la dynamique est bien comprise et
prévisible, sa dynamique n’est absolument pas prévisible : elle est d’entropie non
nulle et markovienne.
Cette application, et ses cousines (où 2 est remplacé par un réel positif β) a fait
l’objet de nombreuses études combinatoires, dynamiques ou ergodiques. La raison
en est simple : cette application est le fondement de la numération binaire, ses
généralisations sont liées aux beta-numérations. En effet, si on décompose l’espace
des états (ici l’intervalle [0, 1[) en deux parties naturelles : [0, 1/2[ et [1/2, 1[, et on
code sa dynamique comme expliqué précédemment, on montre que le codage d’un
point x n’est rien d’autre que son développement binaire. L’espace des codages est
bien markovien, puisqu’il n’y a aucun mot interdit dans les développements binaires
des réels, et on en déduit que l’application T2 est d’entropie log 2. Nous discuterons
ce point plus en détails dans les sections 2.1.4 et 2.1.5.
On peut cependant se demander quel est l’apport réel de ce point de vue dyna-
mique dans les systèmes de numération. En fait, un certain nombre de théorèmes
de type probabilistes ont été établis concernant les systèmes dynamiques, portant
en particulier sur les propriétés de retour près d’un point de départ (on est alors
dans le domaine de la théorie ergodique). Ces théorèmes, associés à la vision dy-
namique des systèmes de numération, produisent des propriétés statistiques sur les
écritures de nombres. On montre par exemple que dans le développement binaire
de presque tous les nombres réels, la fréquence de 0 et de 1 est égale à 1/2 ; en
fait, cette fréquence est uniforme quelle que soit la base (entière) dans laquelle on
développe pratiquement tous les réels [Bor09, Lan94]. de manière plus concrète,
ces approches sont aussi utilisées pour l’analyse dynamique d’algorithmes arithmé-
tiques, en considérant de l’analyse spectrale basée sur de opérateurs de transfert
[Val03].
Notons cependant qu’un piège se trouve dans le terme
√ presque tous : déterminer
si la fréquence de 1 dans le développement binaire de 2 est uniforme dans n’importe
quelle base est une question toujours ouverte [K06, Bor50, Wal06].
 19

Applications en géométrie Plus généralement, la notion de partition marko-

vienne a été utilisée en géométrie. D’abord, implicitement, par Smale, sous la forme
d’un ensemble de Cantor invariant pour des difféomorphismes de la sphère [Sma67].
Ensuite, l’existence de partitions de Markov a été démontrée pour une classe assez
large de systèmes dynamiques, en particulier les automorphismes hyperboliques des
tores et les difféomorphismes pseudo-Anosov des surfaces [Bow75].
Puisque nous allons les mentionner de nombreuses fois dans la suite, rappelons
que les endomorphismes de tores multidimensionnels sont les généralisations natu-
relles des multiplications sur un tore de dimension 1 : il s’agit d’associer à un élément
x d’un tore Tn = Rn /Zn la valeur du produit Mx modulo le réseau Zn , où M est
une matrice de taille n à coefficients entiers. L’endormorphisme est un automor-
phisme lorsqu’il est inversible sur le tore, c’est-à-dire qu’il est de déterminant ±1.
Cet automorphisme est hyperbolique si la matrice M n’admet aucune valeur propre
de module 1. Le résultat de Bowen dans [Bow75] montre que ces automorphismes
admettent toujours une partition de Markov, qui dans ce cas, est donnée par un
domaine fondamental de Zn et à un découpage de ce domaine. On parle alors de
domaine de Markov.
Entre autres applications de cette existence, citons par exemple le fait que les
automorphismes hyperboliques d’un tore de dimension deux sont mesurablement
isomorphes si et seulement s’ils partagent la même entropie [Adl98, AW70].

Trouver des domaines de Markov explicites pour des automorphismes du

tore ? Ainsi, les systèmes dynamiques, associés à une dynamique markovienne et
à la théorie ergodique fournissent de nombreux résultats probabilistes (aussi appelés
métriques) sur les trajectoires du système. Le problème réside dans l’obtention de
résultats précis sur un point donné. Dans ce cadre, la connaissance explicite de
partitions markoviennes est une étape clé pour mieux comprendre la structure des
ensembles sur lesquels les théorèmes ergodiques ne sont pas valables.
Cependant, de nombreuses difficultés apparaissent pour l’obtention de partitions
de Markov, et dès les exemples les plus simples que sont les automorphismes du
tore. La difficulté est la suivante : alors qu’en dimension deux, des domaines de
Markov existent pour les automorphismes du tore sous la forme de rectangles, en
dimension supérieure à trois, on sait que la partie contractante du bord des éléments
d’un domaine de Markov ne peut pas être lisse [Bow78, Caw91]. Il est donc vain
d’espérer construire une partition avec des objets géométriques simples.
Pour aborder cette questions, les chercheurs se sont d’abord concentrés sur une
sous-classe des automorphismes du tore : il s’agit des automorphismes hyperboliques
du tore pour lesquels la matrice M a une unique direction dilatante, qui sont appelés
automorphismes Pisot puisque la valeur propre dominante de la matrice M est un
nombre de Pisot (tous ses conjugés de Galois sont de module strictement inférieur
à 1).
Pour ces automorphismes Pisot du tore, des constructions ont été proposées en
s’appuyant sur des propriétés arithmétiques de l’automorphisme : de bons candidats
pour un domaine de Markov peuvent être construits à partir de points homoclines ;
il s’agit de considérer un élément x tel que l’orbite de x dans le futur (c’est-à-dire
20

Mn x mod Tn ) et son orbite dans le passé (M−n x mod Tn ) convergent toutes les
deux exponentiellement vite vers 0 [ES97, KV98]. Cependant, les domaines ainsi
construits ne sont pas tout à fait exacts, dans la mesure où on ne sait pas montrer
qu’ils séparent les points (au sens où les orbites de deux points doivent avoir des
codages différents). Nous rediscuterons ce point dans la section 2.2.

Une approche géométrique : des partitions de Markov aux conditions

de pavages En parallèle avec des approches arithmétiques, différents auteurs ont
adopté une approche géométrique, en proposant explicitement des domaines de Rn
candidats pour être une partition de Markov. Pour construire ces domaines, un
constat a été fait : puisqu’on considère un automorphisme du tore M qui admet
une unique valeur propre dilatante, la géométrie de l’application est très spécifique ;
il existe une unique droite sur laquelle l’action de M est une homothétie dilatante,
et un hyperplan sur laquelle la matrice agit comme une contraction.
Si on considère maintenant un domaine D candidat pour une partition de Mar-
kov de l’action de M sur le tore, ce domaine est en particulier un domaine fonda-
mental de Zn et il pave Rn régulièrement. En particulier, son intersection avec un
hyperplan à coordonnées entière induit un pavage périodique de l’hyperplan : nous
considèrerons l’hyperplan diagonal, orthogonal au vecteur (1, . . . , 1).
De plus, puisqu’il s’agit d’une partition de Markov, le domaine se décompose en
sous-domaines dont les images par la matrice sont des unions de sous-domaines. Or,
l’hyperplan contractant de M est stable par l’action de M. Il va donc “respecter”
les décompositions en sous-domaines. On en déduit que les intersections entre les
domaines de la forme D + x, pour x ∈ Zn et cet hyperplan contractant forment un
pavage de l’hyperplan qui est stable par l’action d’une contraction. On va parler de
pavage autosimilaire. Cette stabilité implique que le nombre de pièces d’intersection
est fini, alors qu’il est général infini lorsqu’on coupe un pavage avec des directions
rationnelles par un hyperplan à direction irrationnelle. L’autosimilarité implique
aussi que le le bord des intersections ne va pas pouvoir être lisse, comme cela a été
montré dans [Bow78, Caw91].
Les approches géométriques développées dans [Pra99, IO93] partent de ce cons-
tat pour proposer un domaine de Markov. Ils recherchent un domaine autosimilaire
du plan contractant qui reproduit l’action de la matrice souhaitée. Ils construisent
ensuite un domaine de Markov sous la forme d’une suspension adéquate du domaine
dans le plan contractant le long de la direction dilatante. On montre que cette cons-
truction vérifie toutes les propriétés souhaitées pour les partitions de Markov à
une unique condition : il faut que le domaine initialement construit dans l’hyper-
plan contractant induise un pavage autosimilaire de ce plan [IR06], ou de manière
équivalente, un pavage périodique (Thèse de doctorat, 2000). La question de la dé-
termination d’une partition de Markov pour les automorphismes du tore avec une
unique direction dilatante est donc finalement ramenée à la vérification d’un pavage
pour un domaine particulier d’un hyperplan.

Des pavages aux additions sur un tore Un “détail” a été passé sous silence
jusqu’à maintenant : comment construire précisément un domaine autosimilaire
 21

convenable dans l’hyperplan contractant ? Sur ce sujet, les approches dynamiques

ont là encore inspiré les mathématiciens. En effet, si le domaine autosimilaire re-
cherché dans un hyperplan contractant existe, on peut y définir une application
naturelle : on considère l’action qui part du domaine autosimilaire (dans l’hyper-
plan contractant), suit la direction dilatante, et revient dans l’hyperplan contractant
modulo Zn . Dans le cas d’un domaine de Markov, cette action est bien définie, et
puisqu’il y a pavage périodique, il va s’agir d’un échange de morceaux qui est iso-
morphe en mesure à une addition sur un tore.
Ces raisonnements intuitifs ont mis en évidence que la construction explicite
d’un domaine de Markov est intimement liée à l’étude des additions sur des tores.
Avant de revenir aux partitions de Markov, nous allons donc faire une digression
sur les additions sur un tore.

1.2.2 Systèmes auto-induits et représentations par substitu-

tions
Du point de vue de la dynamique symbolique, le cas des additions sur un tore
peut-être considéré comme “orthogonal” au cas markovien : il s’agit de systèmes
dynamique rigides et prévisibles (par exemple, ils sont d’entropie nulle), mais qui
ne sont tout de même pas pré-périodiques. On est alors dans une situation para-
doxale : le système n’est pas très simple, puisqu’il y a une infinité de trajectoires
différentes, mais ces trajectoires ne sont quand même pas très variées, puisque l’en-
tropie est nulle. Ceci sous-entend qu’il y a une régularité cachée au fond du système
et, comme nous allons le voir, des techniques d’inductions sont utilisées pour décrire
ces régularités.

Additions sur l’intervalle ; suites sturmiennes Étant donné un nombre α ∈

[0, 1[, l’addition Rα sur le tore de dimension 1 associe à tout x ∈ [0, 1[ la partie
placée après la virgule de x + α, c’est-à-dire Rα (x) = x + α − E(x + α).
Pour comprendre les trajectoires des points par cette application, Morse et Hed-
lund ont adopté une approche de dynamique symbolique, une partition naturelle
étant donnée par les intervalles de continuité de Rα [MH38, MH40]. Ils ont ainsi
montré que les mots infinis obtenus par codage ont une caractérisation combina-
toire très simple : dès que α est irrationnel, il s’agit des mots qui admettent n + 1
sous-mots différents de longueur n pour chaque entier n [MH38, MH40]. De plus,
chaque point de [0, 1[, sauf un ensemble dénombrable de points, a un codage unique
(distinct de tous les autres codages). On en déduit en particulier que l’entropie de
ces applications est nulle.
Les codages sont appelés mots sturmiens ou suites de coupure, et elles ont une
interprétation géométrique très simple : il s’agit de dessiner un quadrillage du plan
par des droites verticales et horizontales en suivant le réseau Z2 . Ensuite, il suffit
de partir de 0, de suivre la direction de la droite Y = αX + ρ en restant sur le
quadrillage. Lorsqu’on traverse une direction verticale, on retient un 0, lorsqu’on
traverse une direction horizontale, on retient la lettre 1 [Fog02, Chapitre 6]. Le mot
infini ainsi obtenu est précisément le codage de l’orbite de ρ par l’addition Rα .
22

Les différents points de vue combinatoire, dynamique et géométrique, les pro-

priétés de minimalité et la convexité des applications sous-jacentes, font que ces
suites sont utilisées dans de nombreux domaines, allant de la recherche de répéti-
tions dans les séquences d’ADN [DR04] à l’optimisation de l’allocation de ressources
dans les réseaux [GHVdL07].

Induction La méthode utilisée par Morse et Hedlund pour montrer que toutes les
suites de complexité n+1 sont des codages de rotation fait appel à une méthode assez
classique en systèmes dynamiques, qui consiste à induire sur un sous-ensemble du
système, ce qui revient à étudier la manière dont une trajectoire revient sur un sous-
ensemble bien choisi de l’espace des états. Dans l’esprit de la dynamique symbolique,
la première étape est toujours de partitionner le système un nombre de morceaux
finis. Cependant, au lieu de chercher les trajectoires d’un point, on s’intéresse ensuite
à la manière dont l’orbite d’un point x de la première pièce de la partition revient
dans cette pièce (on parle d’application de premier retour). Lorsque l’application
de premier retour a une forme semblable à l’application considérée initialement, on
procède à une partition du nouveau système, et on calcule une nouvelle application
de premier retour. À chaque étape, l’information qui est conservée est le lien entre
l’application et son application de premier retour ; il s’agit des noms des pièces de
la partition traversées avant de revenir dans la pièce de départ.
Avec cette méthode d’induction, Morse et Hedlund ont ainsi montré que tous
les mots sturmiens s’obtiennent en composant des applications élémentaires sur
des mots, appelées substitutions ou morphismes itérés, qui consistent à remplacer
les lettres d’un alphabet par des mots finis, comme par exemple la substitution
σ0 (0) = 01, σ0 (1) = 1. Plus précisément, le langage d’un mot sturmien de pente α
est déterminé par les mots finis de la forme σ0a1 σ1a2 σ0a3 . . . σ0 a2n+1 (0), où a1 , a2 , . . .
sont donnés par l’algorithme d’Euclide appliqué sur α (il s’agit de son développement
en fractions continues) et σ0 , σ1 sont deux substitutions qui décrivent le lien entre
une addition et son application de premier retour. Nous reviendrons en détail sur
ces concepts dans la section 2.1.4.
Cette décomposition en substitutions a été abondamment exploité dans la litté-
rature ; elle est à la base d’algorithmes rapides (en O(log n)) pour retrouver les n
premiers termes du codage discret d’une droite à partir de son angle [MH38, MH40,
Fog02].

Additions multidimensionnelles : le cas auto-induit de Tribonacci Cette

approche d’induction est encore valable lorsqu’on déplace par translations plusieurs
intervalles de [0, 1[ (échanges d’intervalles) [Kea75, Vee78].
Par contre, lorsqu’on considère une addition sur un tore de dimension 2, les
choses se passent beaucoup moins bien. Le problème est qu’il n’y a plus de parti-
tion naturelle du tore sur laquelle procéder à une induction. Pour progresser sur ce
sujet, Rauzy a détaillé le cas de l’addition du nombre de Tribonacci. On considère
un nombre complexe α qui vérifie α3 = α2 + α + 1 et on considère l’application
T définie sur C par z → z + α mod Z + iZ. Rauzy a exhibé une partition du tore
C mod Z + iZ qui montre que T est auto-induite, c’est-à-dire qu’elle est conju-
 23

guée à son application de premier retour [Rau82]. On en déduit qu’une dynamique

symbolique pour l’addition de α est engendrée par le point fixe de la substitution
σ(1) = 12, σ(2) = 13, σ(3) = 1 (appelée substitution de Tribonacci).
L’ensemble construit pour procéder au codage de l’addition est appelé fractal de
Rauzy ou plus tard tuile centrale. Il s’agit d’un compact, autosimilaire (puisqu’il est
solution d’un GIFS au sens de [MW88]), à bord fractal, d’intérieur non vide. Il est
aussi l’adhérence de son intérieur et homéomorphe à un disque [Rau82, Mes98].

Différents domaines d’applications L’intérêt de ce fractal n’est pas seule-

ment symbolique ; il a en fait engendré des travaux dans un grand nombre de
domaines. Une raison “philosophique” est que le fractal de Rauzy ne fait que re-
présenter géométriquement le processus symbolique d’itération décrit par la substi-
tution σ(1) = 12, σ(2) = 13, σ(3) = 1, elle-même très fortement liée au polynôme
X 3 = X 2 + X + 1. Dès lors qu’un objet mathématique (système de numération,
norme sur R2 , automorphisme du tore...) a un lien avec cette règle d’itération, il va
être visualisé ou étudié d’un point de vue géométrique via le fractal de Rauzy.
Ainsi, en théorie des nombres, Rauzy a déduit de sa construction que le triplet
(1, 1/|α|2 , 1/|α|4 ) est très mal approximé par des rationnels de même dénominateur
pour une certaine norme, et que les meilleures approximations possibles sont données
par la suite récurrente Tn+3 = Tn+2 + Tn+1 + Tn , ouvrant une porte dans le domaine
de l’approximation simultanée ( voir [HM06] et [Lot05, Chapitre 10]). Thurston
a aussi utilisé le fractal dans le cadre de l’étude des systèmes de numération à
base non-entière [Thu89]. Les premiers exemples de partitions de Markov pour des
automorphismes de R3 se sont aussi appuyés sur ce fractal [IO93, Pra99].

Généralisation de la construction Motivés par ces diverses applications, de

nombreux travaux ont cherché à généraliser la construction du fractal de Rauzy
dans différents domaines. Plusieurs méthodes de constructions sont apparues.
– La première est inspirée par la construction initiale de Rauzy [Rau82] et consi-
dère des séries entières (voir [Mes98, Mes00]). C’est cette approche qui a inspi-
rées les théories sur les points homoclines de [Ver92, Sch00a]. Nous détaillerons
cette approche dans la section 2.2.5.
– La seconde approche s’appuie sur les propriétés d’autosimilarité du fractal et
des substitutions généralisées pour le construire par approximations succes-
sives ; elle a été développée par l’école japonaise menée par S. Ito [IK91, AI01].
Dans ce cas là, on considère une substitution dont la matrice d’incidence ad-
met une unique valeur propre dominante et qui est en plus de déterminant 1
(cas Pisot irréductible unitaire). Nous en rediscuterons à la section 2.3.2.
– La troisième approche suivie à partir des beta-numérations dans [Thu89]
consiste à représenter de manière compacte l’ensemble des entiers pour une
beta-numération. Dans ces cas là, on ne considère plus une substitution mais
un nombre de Pisot β (tous ses conjugués algébriques sont de module inférieur
à 1), auquel on peut associer une substitution (cas Pisot réductible). Nous en
rediscuterons à la section 2.3.2.
24

Contribution : unification et extension des différentes approches J’ai

écrit un certain nombre de publications dans des revues pour expliciter le lien entre
ces différentes méthodes et montrer que l’approche initiale de Rauzy peut-être gé-
néralisée convenablement pour englober tous les autres cas.
– Avec V. Canterini, nous avons d’abord construit des fractals pour les substi-
tutions irréductibles et unitaires ((Trans. AMS, 2001) et (JTN Bord., 2001)).
et exploité ces fractals pour étudier les propriétés spectrales des systèmes
substitutifs (voir section 2.2.7).
Ce travail m’a donné l’occasion de rédiger des synthèses sur ces propriétés
spectrales ((Pytheas Fogg Intro, LNM, 2002), (Pytheas Fogg, LNM, 2002),
(EWT, 2003)).
– Avec V. Berthé, nous avons construit des fractals pour toutes les substitu-
tions réductibles dont la valeur propre dominante est un nombre de Pisot.
Nous avons aussi montré que ces fractals sont des ensembles d’entiers pour
des systèmes de numération associés à une substitution (Integers, 2005) (voir
section 2.3.2 et les applications à la section 3.2) .
– Dans (Erg. Th. Dyn. Sys., 2003), j’ai montré comment cette approche per-
met de modéliser les systèmes engendrés par des substitutions non unitaires,
qui n’avaient jamais fait l’objet de représentation géométrique auparavant et
était simplement considérés d’un point de vue formel sous la forme de points
homoclines (voir section 3.2.1, les application en théorie des nombres tout au
long de la section 3.2 et les applications en théorie spectrale à la section 3.4.1).

1.2.3 Retour à la dynamique symbolique

Deux classes de recouvrements associés à un fractal de Rauzy Par cons-
truction, un fractal de Rauzy peut-être associé à plusieurs recouvrements de l’espace
dans lequel il vit. On parle de recouvrement dans la mesure où on sait que posi-
tionner des copies du fractal à des endroits fixés permet de recouvrir tout l’espace
considéré.
– Un des recouvrements est périodique : on place une copie du fractal sur tous
les sommets d’un réseau ;
– un des recouvrements est autosimilaire : on place toutes les sous-pièces du
fractal sur les sommets d’un ensemble localement fini de points ; les empla-
cements sont tels que lorsqu’on subdivise le fractal et qu’on renormalise, on
retrouve exactement les mêmes configurations globales.

Pavages et applications La question qui se pose alors est de savoir si ce re-

couvrement est un pavage, c’est-à-dire si les intersections entre les tuiles sont de
mesure nulle. Comme nous le détaillerons à la section 2.3, cette propriété de pavage
s’interprète différemment en fonction des applications considérées : on obtiendra
une partition de Markov pour un automorphisme du tore avec une unique direction
dilatante dès lors que le recouvrement autosimilaire est un pavage, ce qui, dans ce
cas, est équivalent au fait que le recouvrement périodique est un pavage. On pourra
décrire une addition sur un tore par le système symbolique engendré par une sub-
 25

stitution dès lors que la substitution a des propriétés algébriques (condition Pisot)
et que le recouvrement périodique est un pavage.
Il existe une pléthore de conditions de pavages. Elles sont détaillées dans la sec-
tion 2.3. Ces conditions ont été proposées par différents auteurs en fonction des
points de vues considérés : ces conditions s’expriment en termes combinatoires
[BK06, IR06, Liv87], de beta-developpements [Hol96, Aki02], d’annulations sur
des approximations de la frontière [EI05] ou de propriété d’autosimilarité [Mes98,
FFIW06]. J’ai moi-même utilisé cette dernière méthode pour montrer que des sys-
tèmes substitutifs sont à spectre purement discret dans (Ann. Inst. Fourier, 2004).
Il faut cependant noter que toutes ces approches ont finalement été développées
de manière ad hoc sans prendre en compte les différents points de vue existant sur
les fractals de Rauzy. En particulier, aucune n’est réellement décidable, et le cas des
recouvrements périodiques est souvent laissé de côté.

Contribution : une condition de pavages unifiée et décidable Ma contri-

bution dans ce contexte a été de considérer cette question du pavage de manière
globale et décidable. J’ai commencé à explorer cette idée dans (Ann. Inst. Fourier,
2004), en considérant des pavages périodiques. En collaboration avec J. Thuswald-
ner, dans une monographie soumise à Mémoires de la SMF (Monographie S. & T.,
2008), nous avons continué ce travail pour uniformiser les approches et proposer
une condition décidable qui englobe les cas irréductibles et réductibles, pour des
recouvrements autosimilaires comme périodiques.
Notre approche consiste à construire un graphe orienté fini qui décrit exactement
les pièces qui ont un contact avec le fractal de Rauzy dans le recouvrement considéré.
La construction de ce graphe s’appuie sur les propriétés d’autosimilarité du fractal et
la description des localisations des pièces dans les recouvrements par des ensembles
localement finis. On construit ainsi un graphe de frontière dont les sommets sont
les emplacements des pièces adjacentes au fractal de Rauzy. Calculer la mesure des
intersections entre un fractal et ses voisins revient alors à calculer la valeur propre
dominante de la matrice d’adjacence du graphe de frontière, ce qui est totalement
décidable. L’intérêt de cette méthode par rapport aux autres décrites précédemment
est son “universalité” : elle englobe tous les cas traités par les conditions existantes,
les traite de manière décidable, et les étend à des cas inaccessibles jusqu’à présent,
en particulier le cas des pavages périodiques par des fractals dans le cas Pisot
réductible. Cette approche est détaillée à la section 2.3.3.

Le cas général ? Même si de nombreux points restent à éclaircir, on peut considé-

rer que le cas auto-induit correspondant à un nombre de Pisot est maintenant bien
compris pour les additions dans les espaces euclidiens. Or, il s’agit là d’un classe très
particulière de l’ensemble des additions sur un tore. En effet, si une addition est auto-
induite et peut-être représentée par un fractal de Rauzy, son paramètre principal
vérifie des propriétés algébriques assez restrictives : il s’agit d’un nombre de Pisot
unitaire, valeur propre d’une matrice à coefficients positifs. La généralisation de
l’étude symbolique des endormorphismes et des additions sur un tore doit donc être
considérée dans de multiples directions. Nous discutons certaines généralisations
26

dans différentes parties de ce manuscrit.

– La question des paramètres algébriques mais non unitaires sera étudiée sous
l’angle des systèmes de numération non unitaires dans la section 3.2, avec
la construction d’un nouveau fractal (avec des composantes dans des espaces
p-adiques) qui généralise la construction habituelle. En particulier, dans la
section 3.4.1, ce nouveau fractal est utilisé pour étudier la dynamique des
systèmes engendrés par une substitution non unitaire (Erg. Th. Dyn. Sys.,
2003).
Nous discutons dans la section 3.4.2 comment cette construction pourrait à
terme permettre d’obtenir une partition de Markov pour un endomorphisme
du tore, c’est-à-dire une application non inversible, en s’appuyant sur un tra-
vail en cours avec V. Berthé, P. Surer et J. Thuswaldner sur la représentation
de systèmes non unitaires à l’aide de nouveaux systèmes de numération (B.,
S., S. & T., en cours).
– Une généralisation est aussi de considérer des matrices qui ne sont plus à
coefficients seulement positifs. Ici, les objets combinatoires associés ne sont
plus des substitutions mais des automorphismes du groupe libre, c’est-à-dire
des règles de transformations qui autorisent des annulations. Des partitions
de Markov pour de tels automorphismes ont été proposées dans [AFHI07],
en s’appuyant sur une construction de fractal par approximations successives.
Dans la section 3.4.3, nous discutons de la dynamique symbolique pour les la-
minations attractives de classes d’automorphismes du groupe libre (Ann. Inst.
Fourier, 2006), et nous expliquons pourquoi cette approche pourrait permettre
d’obtenir des invariants topologiques pour ces classes d’automorphismes.
– Enfin, pour sortir du cadre algébrique, le challenge reste entier pour définir
des procédés d’induction généraux pour les additions sur un tore et plus géné-
ralement pour comprendre quels sont les codages symboliques que l’on peut
obtenir par des procédés d’induction répétés (voir [Fog02, Chapitre 12] et
[BFZ05]). Nous abordons cette question à la section 3.3.7, en perspective de
travaux sur l’approximation de plans discrets.

1.3 La topologie de fractals pour aborder diffé-

rentes questions interdisciplinaires
En conclusion de cette partie, nous retiendrons qu’une méthode d’étude d’un
système dynamique consiste à coder ses orbites dans une partition bien choisie. Cela
permet de passer d’objets continus à des objets combinatoires et discrets, et de les
étudier avec des points de vue à la fois combinatoires et ergodiques. Les questions
relevant de la dynamique symbolique qui sont posées sur les systèmes sont ainsi :
quelles sont les bonnes partitions pour coder (éventuellement en faisant appel à des
procédés d’induction) ? A-t-on un bon codage (est-il décrit par des mots interdits) ?
Quelles sont les propriétés combinatoires et ergodiques des systèmes obtenus ?
Pour choisir une bonne partition pour les automorphismes et les additions sur
un tore, nous venons de voir qu’il est naturel de considérer une structure compacte
 27

autosimilaire appelée fractal de Rauzy, au moins dans le cas où l’application consi-

dérée est décrite par un nombre algébrique unitaire dont tous les conjugués sont de
module inférieur à 1. Vérifier que cette structure compacte est adaptée pour repré-
senter l’application revient à vérifier une propriété de pavage, question pour laquelle
j’ai proposé d’utiliser un graphe de frontière qui décrit l’intersection du fractal avec
ses voisins dans un recouvrement localement fini.

Vers des applications autres que dynamiques ? Il faut insister sur le fait
que ces codages symboliques ont des applications externes dans différents champs
en mathématiques, informatique, ou physique, répondant par là aux ambitions de
Poincaré et Hadamard. Nous avons déjà évoqué comment des résultats substantiels
en géométrie ont été obtenus en exploitant la combinatoire de points fixes de sys-
tèmes d’itération [Mor21] ou l’existence de partitions de Markov [Sma67, Adl98]. De
même, en théorie des nombres, les systèmes symboliques, via des aspects ergodiques
et combinatoires, ont nourri des conjectures, et des constructions à base de substi-
tutions ont fourni des exemples non-triviaux pour ces conjectures [AS02, ABD06,
AB07, Roy03, HM06]. Dans cet esprit, nous allons voir maintenant comment les
graphes de frontière peuvent être utilisés dans les domaines d’applications des frac-
tals de Rauzy, ou plus précisément, comment exploiter les propriétés topologiques
de fractals pour aborder des questions liées à un processus d’autosimilarité.

Contribution sur la topologie des fractals Les propriétés topologiques des

fractals s’interprètent souvent en propriétés dans les différents domaines abordés,
comme nous le détaillerons dans la section 3.1 : en théorie des nombres, il s’agit
de caractériser des développements finis ou purement périodiques [AS05, IR05]. En
dynamique, la connexité de la base de la partition est un élément important pour
décider si cette partition de Markov est génératrice [Adl98]. En géométrie discrète, la
topologie du fractal influe sur la forme d’approximations de plans discrets [ABI02].
En géométrie, l’existence de points de coupure est un bon candidat pour être un
invariant par conjugaison par un automorphisme de groupe libre.
Même s’il existe plusieurs résultats disséminés dans la littérature concernant
la topologie des fractals (connexité, simple connexité, points intérieurs) [Mes00,
Aki02], les méthodes utilisées pour mettre en évidence des phénomènes sont très
peu généralisables et concernent des exemples fixés. Avec J. Thuswaldner, dans
(Monographie S. & T., 2008), nous montrons que les graphes de frontière permettent
non seulement de déterminer si des recouvrements sont des pavages, mais surtout
d’étudier la topologie des fractals de Rauzy (voir section 3.1). Les propriétés que
nous caractérisons sont les suivantes : mesure de la dimension de la frontière, 0
point intérieur, connexité, homéomorphisme à un disque, simple connexité et groupe
fondamental non libre.

1.3.1 Quasi-cristaux et espaces de pavages

Quasi-cristaux En physique, la dynamique symbolique a fait son apparition dans
les années 1980 avec la découverte des quasi-cristaux : en 1984, un cristal, alliage
28

d’aluminium et de manganèse a été synthétisé et a montré des symétries d’ordre 12.

Ceci était théoriquement impossible, dans la mesure où les cristaux sont connus pour
avoir des symétries d’ordre 2, 3, 4 ou 6. Le terme de quasi-cristal est donc apparu
pour désigner ces cristaux avec des symétries interdites. Leur définition n’est pas
totalement fixée, cependant, on désigne généralement par ce terme tout solide dont
le diagramme de diffraction est essentiellement discret [BT86, LGJJ93, Sen06].

Modélisation des quasi-cristaux unidimensionnels D’un point de vue ma-

thématique, la question qui s’est posée (comme pour Hadamard avec ses géodésiques
récurrentes) fut de savoir s’il existait effectivement des structures mathématiques
pour l’emplacement des atomes qui vérifient ces propriétés. Là encore, la dynamique
symbolique (et plus précisément les substitutions) a apporté sa contribution.
En effet, à une substitution on associe un espace de pavages de la droite en
considérant des pavages par des intervalles dont la taille et l’ordre sont gouvernés
par l’arithmétique et la combinatoire de la substitution. Ces espaces de pavages
sont naturellement munis d’une topologie et d’une R-action minimale et uniquement
ergodique. Les pavages unidimensionnels sont en particulier des candidats naturels
pour les cristaux dans la mesure où on peut transformer un pavage en un ensemble
discret de points en plaçant un atome à la fin de chaque intervalle. Comprendre
si cet ensemble discret modélise correctement un quasi-cristal revient à étudier son
spectre de diffraction.
Or, il a été prouvé que le spectre de diffraction d’un ensemble de points posi-
tionnés selon un pavage substitutif est purement discret si et seulement si le flot de
translation sur l’espace de pavage est lui même purement discret [LMS02]. On sait
aussi que le spectre de cette dernière action est intiment relié au spectre du système
dynamique symbolique engendré par la substitution [BK06] (voir section 2.2.3). Sa-
voir si ce spectre est purement discret est donc équivalent à décider si un fractal
de Rauzy engendre un pavage autosimilaire, et les graphes de frontière apportent
une réponse générale à cette question. Ils permettent de conclure à l’existence de
modèles naturels explicites de quasi-cristaux.

Quasi-cristaux en dimension 2 et plans discrets Pour généraliser ces résul-

tats en dimension supérieure, le problème est de définir correctement les propriétés
de répartition des atomes qui caractérisent un quasi-cristal. Dans le cas des cris-
taux, les atomes sont répartis selon un réseau. Pour un quasi-cristal, ce réseau est
remplacé par une structure non périodique mais qui présente quand même certaines
propriétés de répétitivité. Un modèle raisonnable est celui des ensembles de Meyer,
qui sont obtenus à partir d’un schéma de coupe-et-projection [Moo00]. Les pavages
associés à une suite sturmiennes sont des exemples de tels schémas en dimension
1 [GVG04]. En dimension 2, le pavage de Penrose vérifie ces propriétés et il a ef-
fectivement un spectre de diffraction purement discret, mais proposer des classes
étendues de quasi-cristaux est une tâche ardue [AP98, KP00, KV98, Rob04].
Par analogie avec la dimension 1, de bons candidats pour les schémas de coupe-
et-projection sont donnés par les approximations discrètes de plans [ABEI01, BP97].
La notion de discrétisation de surface est formellement apparue dans [Rev91] sous la
 29

forme d’espace arithmétique. Suivant la définition de [ABI02, BV00], on considère

un plan P(a,b,c) de R3 d’équation ax + by + cz = 0, et on note S l’ensemble des cubes
à coordonnées entières qui intersectent le demi-espace d’équation ax + by + cz < 0.
Le plan discret ou la surface brisée associée à P(a,b,c) est la frontière de l’ensemble
S. Ce plan discret est noté P(a,b,c) .
On obtient de bons candidats pour des schémas de coupe-et-projection (et donc
de quasi-cristaux), en remplaçant chaque face d’un plan discret par une tuile d’un
fractal de Rauzy. Cependant, la généralisation des résultats ergodiques unidimen-
sionnels à ce cadre s’avère difficile à mettre en oeuvre : en effet, les pavages considérés
ont des pièces à bord fractal et potentiellement multiples, ce qui n’entre pas dans
tous les cadres ergodiques considérés par les chercheurs sur ce domaine (voir par
exemple les survols sur les pavages multidimensionnels [Sol06, PF08]).

1.3.2 Géométrie discrète et génération de plans discrets

Concernant les plans discrets que nous venons de définir, une question impor-
tante est de les engendrer par des itérations de règles de substitutions multidimen-
sionnelles, de manière analogue à ce qui existe pour les approximations de droites
du plan qui sont codées par des itérations de substitutions.

Substitution multidimensionnelle ? Derrière cette question se pose la défi-

nition d’une substitution multidimensionnelle. Une première définition vectorielle
consiste à définir une application qui envoie une face de cube sur une union de
faces de cubes, le positionnement de ces faces dépendant du positionnement de la
pièce initiale. Le problème ici est de définir une application qui respecte la structure
d’un plan discret : les images de deux faces de cubes doivent absolument être tota-
lement disjointes. Dans ce cadre, Arnoux, Ito et Sano ont fait dans [AI01, AIS01]
une avancée considérable en définissant une substitution généralisée, obtenue comme
application duale d’une substitution et qui agit effectivement sur des faces de cubes.
Cependant, cette approche n’est absolument pas efficace pour engendrer un plan
discret. Lors de chaque itération, il faut calculer pour chaque pièce du motif un
produit de matrice par un vecteur ! Ce n’est pas du tout ce qui se passe dans
le cas unidimensionnel, où l’on itère et compose des substitutions en s’appuyant
sur la notion d’adjacence d’images de lettres (σ(U V ) = σ(U )σ(V )), sans calculer
explicitement la position de chaque lettre. Si une définition itérative existe pour les
substitutions dont les images de lettres sont des rectangles [GA97, AS02, Han00],
l’existence de règles d’adjacence dans un cas général est loin d’être évident.
Dans (TCS, 2004), avec P. Arnoux et V. Berthé, nous discutons de l’existence de
2
règles de placements pour la substitution définie sur Z2 par 1 7→ , 2 7→ 3, 3 7→ 1.
1
En exploitant le formalisme de Arnoux-Ito-Sano, nous montrons qu’il est pos-
sible de définir des règles de placement pour cette substitution qui, par itération
successives, recouvre tout un plan discret fixé. Nous montrons surtout dans (TCS,
2004) que les approches vectorielles et par règles de placements sont globalement
équivalentes avec le formalisme de Arnoux-Ito-Sano. On peut donc les considérer
30

simultanément. Des détails sont donnés dans la section 3.3.5.

Engendrement de plans discrets Pour généraliser (TCS, 2004), nous avons

cherché à savoir s’il était possible d’engendrer des plans discrets en itérant toujours
une même substitution généralisée. Dans le cas unidimensionnel, on sait que les
droites discrètes engendrées par une unique substitution ont pour pente un nombre
quadratique. Engendrer un plan discret avec une seule substitution engendre aussi
des restrictions sur le vecteur normal du plan discret : en étudiant les détails du
formalisme, on doit supposer que ce vecteur normal est le vecteur dilatant d’une
matrice M à coefficients positifs avec une unique direction dilatante, on retrouve
ainsi le cas Pisot unitaire étudié pour les partitions de Markov dans la section 1.
En particulier, on peut associer un fractal de Rauzy à la matrice M.
Dans ce cadre, dans (Integers, 2005) nous avons montré qu’il est possible d’en-
gendrer le plan discret par itérations d’une substitution généralisée sur les faces du
cube unité si et seulement si 0 est un point intérieur du fractal de Rauzy. On revient
ici aux propriétés topologiques des fractals.
Dans un survol sur les conditions de pavage que j’écris actuellement avec V.
Berthé et J. Thuswaldner pour un chapitre d’un ouvrage collectif qui sera édité
chez Cambridge University Press (CANT, 2009), nous donnons aussi une condition
explicite en terme de géométrie discrète pour vérifier cette condition : il faut et il
suffit qu’une pièce de taille fixée du plan discret soit recouverte par une itération
donnée de la substitution généralisée. Ces travaux sont décrits dans la section 3.3.3.

Une stratégie d’engendrement globale des plans discrets ? La question gé-

nérale est quand même de proposer une stratégie d’engendrement de n’importe quel
plan discret. Dans ce cadre, un travail fondateur [IO94] cherche à montrer que tous
les plans discrets sont uniformément récurrents. L’idée est d’approximer le vecteur
normal d’un plan discret par des vecteurs rationnels, en utilisant un algorithme de
fractions continues multidimensionnelles, l’algorithme de Jacobi-Perron (c’est exac-
tement la méthode utilisée dans le cas des approximations de droites). À chaque
matrice utilisée dans l’algorithme de fractions continues, ils associent une substitu-
tion multidimensionnelle. Ensuite, ils composent adroitement ces substitutions pour
engendrer des morceaux du plan discret normal au vecteur considéré au départ.
La question qui reste à déterminer est de vérifier que les morceaux grossissent
suffisamment pour engendrer tout le plan discret. Pour cela, ils utilisent un lemme
qui explique que les morceaux grossissent à partir du moment où ils ont atteint une
taille raisonnable. Ils décrivent avec un graphe fini les cas pour lesquels cette taille
raisonnable n’est pas atteinte. Même si ce travail est remarquable, il est difficilement
généralisable en l’état, et le domaine de validité du lemme utilisé est assez restreint
(voir discussion section 3.3.4).
Avec V. Berthé et J. Bourdon, nous travaillons actuellement sur une généralisa-
tion du travail de Ito et Ohtsuki pour l’adapter à différents algorithmes de fractions
continues (B., B. & S., en cours). Nous sommes partis d’un travail en collaboration
avec P. Arnoux (Jour. Montoises, 2006), où nous montrons que pour engendrer une
famille de plans discrets, il faut superposer deux propriétés bien distinctes (engen-
 31

drement et extension). Dans la section 3.3.4, nous détaillons comment il est possible
de vérifier ces deux propriétés pour plusieurs algorithmes d’engendrement. Le point-
clé est de faire appel à un critère topologique sur motifs images de substitutions
multidimensionnelles pour vérifier la propriété d’engendrement.
La perspective finale de ce travail rejoint les questions dynamiques discutées
dans la section 1.2.3 : il va s’agir de construire une suite de domaines fondamentaux
qui permettraient de représenter symboliquement la dynamique n’importe quelle
addition sur un tore par la composition de substitutions (conjecture S-adique).

1.3.3 Étude des systèmes de numération en base non entière

Systèmes de numération Explicitons maintenant le lien entre les fractals de
Rauzy et les systèmes de numération. On considère un nombre β > 1. De manière
analogue aux développements binaires ou décimaux, il est possible de décomposer
tout x ∈ [0, 1[ en base β, c’est-à-dire sous la forme x = aβ0 + βa12 + · · · + βann + . . . . Les
chiffres an ne sont pas quelconques : par analogie avec le développement décimal,
ils sont obtenus par un algorithme glouton relié à la beta-transformation Tβ : x →
β x − E(β x). Ils appartiennent donc à l’ensemble {0, 1, 2 . . . , E(β)}.
Cette écriture est liée aux systèmes dynamiques dans la mesure où le dévelop-
pement d’un réel x n’est rien d’autre que le codage de l’orbite de x sous l’action
de la beta-transformation, pour la partition donnée par ses intervalles de continuité
[Par60].
Les questions naturelles qui se posent lors de l’étude d’un système de numéra-
tion sont avant tout de de caractériser les développements des nombres, puis de
déterminer les éléments qui ont un développement fini, périodique, ou ultimement
périodique.
Pour les beta-numérations , on a des réponses assez précises aux deux premières
questions. En effet, on sait que les développements des réels x sont entièrement
caractérisés par l’écriture de 1 en base β, notée d⋆β (1). Si β est un nombre de Pisot,
on utilise les propriétés algébriques de β pour caractériser aussi les développement
ultimement périodiques (il s’agit des éléments de x ∈ Q(β)) (voir section 2.1.5).

Développements finis et topologie L’identification des développements finis

est par contre bien plus complexe. Par construction, si un nombre a un β-déve-
loppement fini, alors il appartient à l’ensemble Z[1/β] ∩ R+ . La question qui se
pose est la réciproque : quels sont les nombres β pour lesquels tous les éléments
de Z[1/β] ∩ R+ ont un développement fini ? Si cette propriété est vraie, on dit
que β vérifie une propriété de finitude, ou propriété (F). Cette propriété est bien
comprise dans le cas Pisot unitaire [FS92, Aki00], où elle est même caractérisée en
termes topologiques : 0 doit être un point intérieur du fractal de Rauzy associé à
la numération [Aki02].
Dans le cas où β est un nombre non unitaire, cependant, le fractal de Rauzy ne
vérifie pas de propriété de pavage : l’action de la matrice associée à β sur son hy-
perplan contractant n’a pas un ratio suffisant. Ceci empêche d’utiliser les approches
32

géométriques ou arithmétiques pour relier la propriété (F) au fait que 0 est point
intérieur du fractal.
Pour traiter ce cas, j’ai proposé dans la publication (Erg. Th. Dyn. Sys, 2003)
de construire un nouveau fractal de Rauzy qui tient compte de l’arithmétique sous-
jacente à β. Puisque β est un nombre non unitaire, il existe des corps locaux (exten-
sions finies de corps p-adiques) dans lesquels β n converge exponentiellement vite, et
dans ces corps on peut faire converger des séries basées sur des systèmes de numéra-
tion. J’ai donc introduit des fractals de Rauzy complets, incluant des composantes
p-adiques, et j’ai montré en collaboration avec G. Barat, V. Berthé, et S. Akiyama
dans (Monas. Math., 2008) que ces fractals induisent un pavage autosimilaire d’un
espace constitué de corps euclidiens et locaux dès que la propriété (F) est vérifiée.
En fait, 0 est un point intérieur du fractal complet et du fractal de Rauzy original,
même si ce dernier ne pave pas l’hyperplan dans lequel il vit. Des détails sont donnés
dans la section 3.2.

Développements purement périodiques Les points de vue dynamiques et

topologiques permettent aussi de mieux comprendre les développements périodiques
en beta-numération. Pour le développement en fractions continues, le théorème de
Galois dit qu’un nombre a un développement purement périodique si et seulement
s’il est quadratique et son conjugué est de module inférieur à 1. La question qui s’est
posée a été de caractériser les développements purement périodiques en base β.
Or, les techniques habituelles pour rechercher les développements purement pé-
riodiques consistent à s’appuyer sur une extension naturelle de la dynamique, qui
corrige son défaut d’injectivité [DKS96]. Différents travaux [IR06] ont montré que
dans le cas Pisot unitaire, on peut construire une extension naturelle pour Tβ comme
produit de la β-transformation Tβ et d’une contraction diagonale sur le fractal de
Rauzy (en fait, cette construction est très proche du domaine de Markov discuté
dans la section 1.1). À partir de cette extension naturelle, on déduit un théorème de
Galois pour les développements en base β Pisot unitaire : un élément de Q(β) admet
un beta-développement purement périodique si et seulement si le point formé par
ses conjugués appartient au fractal de Rauzy associé à β et s’il vérifie des conditions
métriques lui-même [IR06]. Par contre, la démonstration de [IR06] n’est valable que
dans le cas unitaire.
Comme nous le détaillerons dans la section 3.2, Dans (JNT, 2007), V. Berthé
et moi-même avons proposé une extension de ce résultat au cas non unitaire, en
utilisant les fractal de Rauzy p-adiques, et en donnant une nouvelle preuve qui fait
bien apparaître le rôle de l’extension naturelle.

Rationnels avec un développement purement périodique Cette caracté-

risation des développements périodiques à l’aide de fractals permet d’exhiber de
nouvelles propriétés des développements. Je me suis en particulier intéressée aux
rationnels dont le développement purement périodique. Lorsque b est un entier, on
sait depuis longtemps que les nombres rationnels p/q avec un développement pé-
riodique en base b sont exactement ceux pour lesquels q est premier avec la base
b. Une question est de généraliser ce résultat en base non entière. Pour le cas qua-
 33

dratique unitaire, on dispose d’une bonne généralisation, liée à la propriété (F)

[Sch80, HI97, Aki98].
En particulier, si β est un nombre Pisot unitaire, Akiyama a montré que dès que
la propriété (F) est vérifiée, il existe un intervalle non vide de la forme [0, ǫ[ dont
tous les rationnels ont un β-développement est purement périodique [Aki98]. Par
contre, tous les rationnels de [0, 1[ ne vérifient pas cette propriété ; on appelle γ(β) le
plus grand intervalle de la forme [0, a[∩Q dans lequel les rationnels de dénominateur
premier avec la norme de β ont un développements périodiques. Pour le plus petit
nombre de Pisot, on sait que γ(β) est approximé par 0.66666666608644067488. Tous
les rationnels n’ont donc pas un développement périodique.
Ceci est assez inattendu, dans la mesure où on attend que la répartition des
développements périodiques en base β soit aléatoire, en tout cas indépendante de
la position par rapport à 0. Par contre,comme nous le verrons dans la section 3.2),
ceci devient moins mystérieux si on prend en compte le fait qu’une caractérisation
des développements périodiques est donnée par un fractal de Rauzy, et est donc
reliée à sa topologie.
– Dans (Monas. Math., 2008), nous avons caractérisé γ(β) en terme d’intersec-
tion de la frontière du fractal de Rauzy p-adique, de droite dans les espaces
euclidiens et de bandes dans les espaces p-adiques. En considérant un graphe
de frontière pour le fractal de Rauzy p-adique, nous sommes parvenus à calcu-
ler la √
valeur exacte de γ(β) pour deux nombres quadratiques non unitaires :
γ(2 + 7) = 0 alors que ce √ nombre vérifie
√ la propriété (F) (il s’agit de la racine
de X 2 − 4X − 3) et γ(5 + 2 7) = (7 − 7)/12, qui vérifie toujours la propriété
(F) (il s’agit de la racine de X 2 − 10X − 3).
– Dans un travail en cours avec B. Adamczewski, W. Steiner et C. Frougny
(A., F., S.& S., en cours), nous avons utilisé la description de la frontière par
le fractal de Rauzy pour montrer que dans le cas cubique unitaire γ(β) est
un nombre irrationnel. En particulier, nous prouvons ainsi que la quantité
0.66666666608644067488 estimée dans [AS05] est bien l’approximation d’un
nombre irrationnel. Il faut bien noter que les preuves d’irrationalité faisant
appel à des considérations topologiques sont extrêmement rares.

1.4 Utilisation de systèmes dynamiques en scien-

ces expérimentales
Jusqu’à maintenant, nous avons décrit des systèmes dynamiques considérés par
des mathématiciens, mais ce faisant nous avons oublié la motivation initiale et mis
la charrue avant les bœufs. En effet, les systèmes dynamiques ont été introduits
pour permettre de mieux comprendre les observations faites dans différents cadres
expérimentaux. Le problème se pose alors légèrement différemment : on dispose
d’observations sur un système, plus ou moins variées. On fait l’hypothèse que ce
système est régi par une loi dynamique et peut être décrit par une dynamique
dt = F (X, t). L’objectif est de proposer des lois
différentielle continue de la forme dX
explicites puis d’exploiter la connaissance des lois pour décrire les trajectoires.
34

Ainsi, la mécanique céleste a consisté à proposer des lois raisonnables pour dé-
crire les trajectoires des planètes [Arn99]. De la même manière, les lois d’action
de masse, ou de Michaelis-Mentens ont été proposées pour décrire le comporte-
ment de systèmes chimiques [CB04, HS96]. Des modèles spécifiques ont été intro-
duits pour décrire le comportement de systèmes économiques, ou la dynamique des
populations [Tur03]. Les chaînes de régulations transcriptionnelles avec une retro-
régulation négative sont bien décrites par un modèle de Goodwin [Goo63, Goo65].
Plus globalement, des sigmoïdes de type “loi de Hill” décrivent bien les observations
expérimentales faites sur des régulations transcriptionnelles [Yag75]. Chaque loi fait
intervenir des paramètres, que des observations variées permettent d’estimer avec
une précision plus ou moins grande.
Dans tous ces cadres, en plus de la question dynamique de l’étude du futur
des éléments, se pose la question de la fiabilité des prédictions ou des simulations.
En effet, même si le nombre d’observations sur un système peut-être important
(il suffit de considérer la quantité phénoménale d’observations intégrées dans des
modèles météorologiques [Pie01, Hol04]), ces observations sont toujours limitées. Or,
ce sont ces observations qui définissent les états du système. Cependant, lorsqu’on
a à faire à des dynamiques chaotiques, on sait que, par essence, la moindre erreur
dans la définition d’un état générera impérativement une erreur importante dans les
prédictions. Il est ainsi fondamental de prendre en compte le niveau de fiabilité à la
fois dans l’estimation des paramètres du modèle et dans la qualité des observations,
pour évaluer le caractère prédictif des modèles.

1.4.1 Spécificités de la biologie moléculaire

Prédictions basées sur la multiplication du nombre d’observations Une
première approche consiste alors à multiplier le nombre d’observations pour com-
plexifier les modèles et augmenter la fiabilité de leurs prédictions, au moins à moyen
terme. C’est la stratégie utilisée lorsque d’une part on a la possibilité technique de
produire des observations variées sur le système, et d’autre part on cherche à pro-
duire des prédictions quantitatives à court ou moyen terme sur un système, sans en
déterminer le comportement à long terme. L’exemple typique est ici donné par les
modèles météorologiques [PG03, Kal03].
Sans disposer d’autant de données, la biochimie entre dans ce cadre, dans la
mesure où les produits entrant en réaction sont en quantité suffisante pour rendre
l’hypothèse déterministe réaliste, et où on dispose de la possibilité matérielle de tes-
ter des voies métaboliques et obtenir des valeurs de paramètres, ainsi qu’un indice
de leur fiabilité [CB04, CBJS05]. À partir de ces modèles, on procède généralement
à des simulations de modèles différentiels [HSG+ 06, THT+ 99] avec des applications
concrètes en pharmacologie par exemple [BMOH97, ECB98]. Des analyses plus for-
melles concernent la recherche d’états stationnaires et leur stabilité [AFS04]. En-
suite, une communauté importante a exploré les propriétés de la dynamique fournie
par la topologie et la stœchiométrie des réactions [PSP+ 04] : les voies élémentaires
sont en fait des espaces affines invariants pour cette dynamique, qui fournissent une
analyses des voies qui fonctionnent indépendamment [SFD00]. L’existence d’inva-
 35

riants thermodynamiques (coefficients de contrôles et d’élasticité) [BB73] permet

des analyses de sensibilité au voisinage d’un état stationnaire [Red88, Fel97, HS96]
qui sont exploitées via des approches de contraintes basées sur de l’analyse convexe
[PPP02, LB06] ou d’optimisation [SVC02, KPE03, SKB+ 02].
De même, en biologie végétale ou en dynamique des populations, les modèles
de croissance sont bien compris et permettent de mettre en œuvre des simulations
numériques qui donnent des résultats réalistes [PL90, Var03].

Biologie moléculaire En biologie moléculaire par contre, la situation est to-

talement différente. Les séquences d’ADN sont analysées avec des méthodes dyna-
miques, en particulier pour identifier des signatures de génomes. Cependant, comme
nous le discuterons dans la section 4.1.1, on ne peut pas aujourd’hui considérer que
les séquences d’ADN sont des systèmes dynamiques symboliques, au sens où elles
ne codent pas les trajectoires d’un système sur un espace.
Même si les génomes ne sont pas les codages de la dynamique d’une molécule,
tous les mécanismes permettant de passer d’un génome à l’expression explicite d’une
protéines sont des phénomènes dynamiques qui peuvent être étudiés par discréti-
sation. Plus précisément, des modèles décrivant les interactions entre molécules
existent depuis plus d’un demi siècle ; cependant, les observations sur les états de la
cellule étaient extrêmement éparses jusqu’à la fin des années 1990.
Or, il y a une quinzaine d’années, un saut technologique a eu lieu, sous la forme
de puces (à ADN, protéines-protéines, oligo...) qui permettent d’observer simulta-
nément la concentration de milliers de molécules au sein d’une cellule. Le spectre de
molécules observables est très vaste : ARN messagers [LW00], métabolites [Fie02,
Kel04], protéines [PM00, PBZ+ 03], flux métaboliques [Sau04]... Ce saut technolo-
gique a marqué la naissance d’un nouveau domaine en biomathématiques et bioin-
formatique, appelé biologie systémique. Le challenge est ici de proposer des méthodes
et des concepts pour exploiter ces observations [Kit02a, Pal06, Kan06, Alo06].
Ce domaine englobe d’abord des problématiques statistiques, dans la mesure
où les observations sont en quantité limitée (pour des raisons de coût financier) et
de qualité médiocre, ce qui nécessite des méthodes avancées pour en extraire une
information fiable des données bruitées [Fri04, Kit01]. Le domaine de la biologie
systémique concerne surtout le monde des systèmes dynamiques, dans la mesure
où il renseigne (enfin !) sur l’état complet des cellules. Si on reprend le formalisme
introduit au début de ce chapitre, on dispose maintenant à la fois de lois dyna-
miques et d’observations des états ; il devient donc légitime de chercher à prédire le
comportement des molécules à l’intérieur des cellules [JP06].

Spécificité Cependant, le traitement des problèmes posés en biologie moléculaire

ne peut pas importer les méthodes développées en physique ou en biochimie et ceci
pour deux raisons principales. D’abord, le nombre de composants en jeu dans des
processus génétiques est assez faible ; l’effet du bruit est important et la modélisation
par une dynamique différentielle déterministe est assez peu réaliste. Tout au moins,
les comportements attestés par des approches de dynamique différentielle doivent
être suffisamment robustes à un niveau de bruit important. Autre raison, l’obtention
36

de réplicats pour déterminer les paramètres des lois est très coûteuse. Dans ce
contexte, il est extrêmement complexe de construire des modèles quantitatifs et
fiables à assez grande échelle. Les modèles quantitatifs restent ainsi exceptionnels
(on notera la régulation du cycle cellulaire [TCN01, CCCN+ 04] ou les voies de
transduction de signal associées à EGF [SEJGM02] et NFκB [NIE+ 06]).
Partant de ce constat, différentes approches ont été explorées pour simuler et
modéliser la dynamique des réseaux de régulation génétique. Certaines restent dif-
férentielles (en se focalisant sur des réseaux de petite taille), d’autre discrètes (voir
section suivante) ; d’autres encore adoptent un point de vue probabiliste, voire sto-
chastique [RWA02, KEBC05]. La revue de référence en la matière est [DJ02].

1.4.2 Systèmes dynamiques en biologie moléculaire

Dynamique symbolique pour des systèmes linéaires par morceaux Une
école importante de la modélisation en biologie systémique travaille avec un point
de vue qualitatif et a finalement adopté une approche de dynamique symbolique.
L’idée est avant tout de discrétiser l’espace des états, pour ramener les analyses à
des modèles finis.
La première approximation qui est faite est de remplacer les lois de Hill qui
sont utilisées pour modéliser les régulations transcriptionnelles par des applications
linéaires par morceaux ; différents travaux ont montré que cette approche conserve
les propriétés du système biologique en terme d’attracteurs et de comportements
périodiques [Sno89]. À partir d’une dynamique définie par des équations linéaires
par morceaux, une partition de l’espace est naturellement définie par les intervalles
de continuité de l’application. On peut donc chercher à comprendre quelle est la
dynamique symbolique obtenue à partir de cette partition. Il a été montré que cette
dynamique symbolique est complexe dès que deux ou trois gènes sont impliqués
dans le système [Far06b, Far06a, LU06, CFLM06] et nécessite des investigations
poussées.

Sur-approximation markovienne Pour obtenir des systèmes simulables et ex-

ploitables, il a donc été proposé de sur-approximer les dynamiques par des ap-
plications markoviennes. Pour cela, on conserve la partition de l’espace selon les
intervalles de continuité de l’approximation linéaire par morceaux. On construit
une dynamique en supposant que chaque pièce de la partition peut être suivie de
tous les éléments qui sont dans la direction de l’attracteur de la dynamique sur la
pièce considérée. Ce faisant, on ne différencie plus les points au sein d’une pièce, et
on dispose d’une dynamique sur un ensemble fini définie par des contraintes [DJ02].
Des raffinements de cette approche pour mieux identifier les attracteurs s’appuient
sur la théorie du contrôle et permettent de rajouter à la dynamique symbolique,
en plus des intervalles de continuité, des pièces pour chaque élément de la frontière
(solutions de Filipov) [GS02].
La grande force de cette théorie est que la détermination des enchaînements
admissibles ne dépend pas de la valeur des paramètres de la dynamique considérée
au départ, mais seulement du nombre d’états pour chaque variable ayant un effet
 37

différencié sur la régulation du système, et de la comparaison des seuils de passage

à chaque état. Le fait qu’il n’existe qu’un nombre fini d’états avec une influence dif-
férente sur le comportement du système est une des spécificités des mécanismes de
régulation génétique. En d’autres termes, les informations nécessaires pour déter-
miner les conditions d’admissibilité dans la dynamique symbolique sont qualitatives
et peuvent être obtenues par une lecture approfondie de la littérature couplée avec
quelques expérimentations.
Finalement, cette approche permet concrètement d’abstraire un système dyna-
mique portant sur des régulations transcriptionnelles en un système de contraintes
locales sur des trajectoires vues comme des systèmes symboliques. Pour ces systè-
mes, il devient possible d’explorer la dynamique via des approches informatiques qui
entrent dans le cadre de la vérification de modèles [dJGHP03]. En codant les con-
traintes du système, on peut d’abord simuler les trajectoires du système et surtout
savoir, via des approches en méthodes formelles, quels sont les états stationnaires,
s’il existe des trajectoires périodiques, ou si certains états peuvent être atteints
dans certaines conditions. Des illustrations de cette approche ont été données dans
le cadre de la régulation du stress nutritionnel chez la bactérie E. Coli [BRdJ+ 05],
la virulence d’une bactérie pectinolytique [SRN07] ou le comportement de protéines
de signalisation [GA04].

Les modèles de logiques multivaluées et réseaux booléens Une alterna-

tive à cette approche consiste à oublier totalement le point de vue différentiel et
abstraire le système en un ensemble de règles logiques. Les éléments du réseau de-
viennent alors des variables qui peuvent admettre plusieurs état logiques (on parle
d’états multivalués) [Tho79, dJRCT05]. Les interactions sont modélisées par des
transitions qui à chaque état associent son attracteur ; cela signifie qu’on ne défi-
nit pas le successeur d’un élément dans la dynamique mais la position relative de
l’attracteur vers laquelle l’élément va se diriger. On dispose ici d’un peu plus de
liberté que dans le cas linéaire par morceaux, en particulier pour définir les lois de
transitions. Différentes analyses peuvent être faites pour ces modèles, partant de
modèles synchrones ou asynchrones [Tho91], en utilisant à nouveau des approches
en méthodes formelles : utilisation de logique temporelles pour requêter les trajec-
toires [BCRG04] ou parcours d’arbres de décisions représentant l’espace des états
[NTC07]. Des études poussées ont été menées avec ce formalisme au sujet du dé-
veloppement embryonnaire de la drosophile [GCT08] ou du réseau de régulation
sous-jacent au développement de la mucoviscidose [GBC+ 04].
Les modèles logiques multivalués sont apparus dans les années 1990, suivant
une évolution assez naturelle depuis les premiers réseaux booléens proposés dans les
années 1970 comme modèles aléatoires des réseaux de régulation génétique [Kau69].
Dans les réseaux booléens, on considère que les gènes sont allumés ou éteints, et
que des règles logiques permettent de prédire de manière déterministe l’état d’un
gène au temps n + 1 en fonction du temps n.
Les réseaux booléens sont en fait une dynamique symbolique déterministe “sim-
ple” dans la mesure où les successeurs au temps suivant sont déterminés uniquement
en fonction de la valeur des variables au temps donné. Avec les logiques multiva-
38

luées (ou les fonctions linéaires par morceaux), l’approche devient non-déterministe
puisque plusieurs états peuvent être les successeurs d’un état donné, puisque ces
successeurs sont déterminés en fonction des attracteurs de la dynamique. De plus,
l’approche booléenne est plus simple que l’approche multivaluée car le nombre de
valeurs qu’une variable peut prendre est limité à 2, ce qui n’est pas suffisant pour
décrire la complexité des régulations entre de multiples molécules.
Des simulations sur ces réseaux ont montré que les réseaux booléens ne sont pas
assez précis pour décrire la dynamique : il peut manquer des trajectoires observées
dans la réalité. Ils sont donc peu employés pour décrire la trajectoire des réseaux
de régulation. Par contre, ils ont montré leur intérêt pour l’étude des propriétés
globales des réseaux grande-échelle, avec des approches probabilistes [Kau93, SL98]
illustrées principalement sur le réseau de la levure S. cerevisiae [KPBT03, KPST03].

Limites de l’approche markovienne Ces approches informatiques sont extrê-

mement puissantes pour la simulation et l’étude de la dynamique d’un réseau de
régulation génétique. Elles sont cependant limitées par la taille des réseaux qui
peuvent être étudiés : du fait de l’explosion combinatoire des trajectoires considé-
rées et de la quantité d’information biologique (même qualitative) nécessaire pour
effectivement réaliser le modèle, les études sont limitées à deux ou trois dizaines de
sommets. Une autre limitation est l’intégration dans le réseau de processus continus
ou avec des échelles de temps différentes. Dans ce cas, la discrétisation des états est
moins naturelle, et la notion d’attracteur pour la dynamique renseignable à partir
de la littérature peu évidente.

Représentation par des langages et exploration combinatoire Pour éten-

dre la classe de modèles étudiables, une piste explorée a été de travailler sur la
présence des molécules aux différentes étapes des transformations ; elle concerne
les modèles sous forme de graphes de réactions. Dans ce cadre, il est généralement
proposé de modéliser un réseau dans un langage ad-hoc, puis de proposer une séman-
tique dynamique pour les éléments du langage (booléen, différentielle ou autre), et
ensuite d’interroger le système en fonction de cette sémantique, généralement avec
des algèbres de processus, des logiques temporelles ou des parcours de diagrammes
de décision [DL04, RPS+ 04, CFS06, APUM03].
Les questions posées sont variées : citons entre autres l’atteignabilité, l’existence
d’états stationnaires ou d’oscillations (dans le cas différentiel), l’enchaînement de
réactions pour produire une molécule [CRCD+ 04, MRM+ 08]. La correction de mo-
dèle est abordée par le biais de la recherche de réactions pour expliquer des requêtes.
On retrouve ainsi le même genre de questions que celles évoquées dans le cas de la
modélisation linéaire par morceaux, si ce n’est que la classe de modèles étudiables
est plus large ; en contrepartie, on ne peut pas procéder à des simulations de la
dynamique.

Prédictions à partir d’invariants robustes Proposer des prédictions à par-

tir d’un modèle présenté sous la forme d’un graphe d’interactions ou d’un graphe
 39

de réactions revient à proposer des analyses robustes d’un modèle, c’est-à-dire in-
dépendantes de la valeur exacte des paramètres et ne prenant en compte que les
informations connues sur ces paramètres. Un exemple couramment utilisé dans ce
domaine est la règle de Thomas , qui dit que si un système admet plusieurs états
stationnaires non dégénérés, alors son graphe d’interactions contient au moins un
cycle positif [Tho81]. On a ici une information globale sur le système, ayant un sens
biologique important (la bistabilité du système, induisant des phénomènes d’hys-
téresis), sans une étude détaillée de la dynamique. Cette règle, proposée dans les
années 1980, a été prouvée pour les différents formalismes existants (logique, mul-
tivalué, différentiel...) dans les années 2000 [Sou06], en faisant appel à un résultat
général sur l’univalence de flots différentiel, le théorème de Gale-Nikaido [Par83].
Plus généralement, les travaux mathématiques existant sur les prédictions de sys-
tèmes à partir d’informations qualitatives se concentrent pour la plupart sur l’étude
de signes de déterminants : les informations au sujet de l’existence ou l’unicité d’at-
tracteurs et leur stabilité sont principalement contenues dans la matrice jacobienne
de la dynamique (en particulier ses sous-déterminants), qui est précisément donnée
par le graphe d’interaction du réseaux [HKG]. Comme nous le détaillerons dans
la section 4.1.3, les approches qui se distinguent à ce sujet sont les réductions par
échelles de temps et les réductions de systèmes monotones [Son07].

Contribution : comparaison d’états stationnaires pour appréhender la

dynamique J’ai axé mes recherches sur des méthodes de prédiction robustes pour
un réseau, dans des modèles assez peu renseignés dont la taille est croissante.
Du fait de l’absence de connaissances sur la valeur numérique des paramètres, les
méthodes de prédictions vont s’appuyer sur la comparaison de différents états sta-
tionnaires (modèle non régulé génétiquement, muté, régulation génétique). Comme
nous le détaillerons dans le chapitre 4, cette restriction permet quand même de
comprendre le fonctionnement d’un système, en particulier de détecter les zones qui
méritent une modélisation fine. Dans ce travail, nous verrons comment coupler dif-
férents niveaux d’abstraction permet de comprendre le fonctionnement d’un unique
processus biologique : la régulation du métabolisme des acides gras.
D’abord, lorsqu’un système est modélisé sous la forme de graphes de réaction,
l’étude des sous-déterminants du graphe de réaction à l’aide du théorème de Gale-
Nikaido permet de caractériser les effets de certaines régulations. Nous mettons
en évidence que les régulations génétiques permettent d’augmenter l’effet tampon
d’un système métabolique sur les variations d’énergie. Nous montrons aussi que
le rôle des grandes classes d’acides gras dans leur métabolisme doit être précisé :
dans la littérature, on a souvent tendance à distinguer les acides gras saturés ou
mono-insaturés des acides gras poly-insaturés ; une de nos conclusions est que cette
classification n’est pas assez fine pour rendre compte des observations sur le système
(R., S., P., C.& L. en cours).
Ensuite, lorsqu’un système est modélisé par son graphe d’interaction, des résul-
tats sur la réponse d’un système à des paramètres extérieurs permet d’appréhender
le rôle de boucles positives dans le comportement du système (Roy. Soc. Inter, 2006).
Cela nous amène à concentrer nos analyses sur la voie des désaturations des aci-
40

des gras dans leur métabolisme. Des raisonnements sur les observations pendant un
jeûne suggèrent que cette voie admet un régulateur inconnu. Or, nous montrons que
cette voie est en fait contrôlée par une boucle positive qui fausse les raisonnements
intuitifs et enlève les incohérences.
Enfin, à un niveau dynamique beaucoup plus précis (quantitatif en particulier),
avec une analyse de données temporelles sur les différentes classes d’acides gras pen-
dant un jeûne chez des souris mutées, P. Blavy a illustré pourquoi la boucle positive
n’est pas active, et comment la modélisation de procédés dynamiques de transfor-
mation inter acides gras est suffisante pour conclure à l’existence de régulations
inconnues (JOBIM, 2008).

1.4.3 Comment construire des réseaux sur lesquels appliquer

des simulations dynamiques ?
Pourquoi reconstruire des réseaux ? Il existe donc un certain nombre de mé-
thodes inspirées par les systèmes dynamiques qui permettent d’étudier un système
en biologie moléculaire. Cependant, ces travaux sont limités par la quantité d’in-
formations disponibles sur un système. En particulier, les approches d’analyse dy-
namique ne peuvent porter que sur les interactions connues et assez bien détaillées
au sein d’un réseau. La question qui se pose est donc d’aider le biologiste à identi-
fier dans l’ensemble des molécules qui sont actives dans son système, un tout petit
nombre de produits sur lesquels une modélisation fine pourra être appliquée. Ce
domaine ne fait à priori plus partie de l’étude de systèmes dynamiques. Il s’agit
de travailler à partir des observations et des connaissances sur un système pour
suggérer l’existence d’interactions que des expérimentations précises permettront
de valider. Cependant, puisqu’on recherche des régulateurs à partir d’observations
sur un système, il est légitime d’imaginer qu’une expertise en systèmes dynamiques
peut avoir une valeur ajoutée.
Différentes approches existent pour identifier les interactions potentielles qui
existent entre différentes molécules. On entre alors dans le domaine de la recons-
truction de réseaux (voir section 5.1.1) : il s’agit principalement de rassembler les
informations dans la littérature ou d’optimiser des modèles probabilistes à partir
de données grande-échelle sur un mécanisme (voir section 5.1.1).

Diagnostic et règle causale Différentes analyses [FMS+ 07] ont montré qu’au-
cune méthode n’est convaincante prise isolément, et les réseaux grande-échelle qui
apparaissent actuellement sont finalement une compilation d’interactions déduites
de différentes méthodes et expérimentations sous différentes conditions. Il a été né-
cessaire de proposer des méthodes pour concilier différentes données hétérogènes,
repérer les incohérences pour raffiner et améliorer les modèles. Pour répondre à ces
deux questions, différentes méthodes ont été proposées. Elles diffèrent par le type de
règles sur lesquelles s’appuient la notion de cohérence ou les prédictions. Cependant,
on retrouve dans la plupart une règle implicite, appelée règle causale, qui affirme
que la modification de l’expression d’une protéine lorsque un gène est supprimé ou
sur-exprimé implique qu’une régulation (au moins indirecte) existe entre le gène
 41

manipulé et la protéine observée [DWFS99].

Au sein du projet Symbiose à l’IRISA, je me suis particulièrement concentrée sur
la manière dont les systèmes dynamiques permettent d’analyser les connaissances
disponibles (même incomplètes) sur un ensemble large de molécules en fonction des
données pour identifier des petits ensembles de molécules sur lesquels les connais-
sances sont incomplètes, ouvrant la voie, en fonction des cas, à la recherche de
régulations additionnelles ou de modélisation fines.
Au sein du projet Symbiose, en collaboration avec M. Le Borgne, O. Radulescu
et les doctorants P. Veber et C. Guziolowski, nous avons travaillé sur la règle causale
pour développer une méthode pour le diagnostic et l’analyse de réseaux qui tient
compte du manque de précision des données et des connaissances.

Validité de la règle causale ? Comme nous l’avons déjà mentionné, les modèles
causaux avaient d’ailleurs été proposés dans les années 80 [Kau69] pour étudier la
dynamique de systèmes ; ils ont été abandonnés au profil de modèles de régulation
par seuil quand il a été montré que l’ensemble des trajectoires obtenus pour les mo-
dèles causaux n’englobaient pas tous les comportements observés. Leur utilisation
pour le diagnostic de réseau est donc à priori plus que sujette à caution. Comme
nous le détaillerons dans la section 5.1.2, nous avons d’abord étudié le cadre de
validité de la règle causale ((Biosystems, 2006) et (Roy. Soc. Inter, 2006)). Même
si elle est largement utilisée, nous avons montré que cette règle n’a un sens que
lorsqu’on décrit les variations de produits entre un état de départ (stable) et l’état
stationnaire consécutif à une perturbation du système (qui peut être génétique ou
un stress environnemental). Ainsi, même si d’un point de vue dynamique les mo-
dèles causaux sont trop restrictifs, ils ont toute légitimité pour être utilisés pour
étudier des données portant sur les comparaisons d’états stationnaires.

Contribution : application au diagnostic de modèles Cette règle causale,

dans son cadre restreint d’application, nous a permis de développer un formalisme
pour analyser un système biologique modélisé sous la forme d’un graphe d’influence.
Dans le chapitre 5, nous discuterons ainsi des différentes questions pertinentes sur
un plan biologique qu’il est possible d’aborder sur des réseaux de grande taille à
l’aide d’approches de résolution de contraintes très efficaces malgré la complexité
(NP-complète) des questions abordées (Complex Us, 2006).
– Diagnostiquer un réseau, c’est-à-dire décider si l’ensemble des connaissances
intégrées dans un modèle est suffisant pour expliquer un comportement donné.
– Localiser des zones contradictoires s’il en existe (CIBB, 2008).
– Prédire le comportement du système suite à une perturbation, y compris en
présence de bruit dans les données.
– Mesurer la robustesse d’un ensemble de données par rapport aux connais-
sances.
– Identifier le signe de régulations dans un réseau pour lequel les interactions
sont connues mais les modes de régulations inconnus (BMC bioinfo, 2008).
– Estimer le nombre de jeux expérimentaux nécessaires pour faire une analyse.
42

Ainsi, une “simple” considération sur les déplacements d’états stationnaires per-
met de répondre à des questions relatives à la construction de réseaux biologiques.
Cependant, on constatera que la démarche pour répondre à ces question a surtout
consisté à aider le biologiste à formaliser ses questions sous forme de requêtes réso-
lubles avec des algorithmes adaptés. Le cadre d’application des méthodes présentées
au chapitre 5 s’avère donc bien plus large que la question de la reconstruction de
réseau, et nous discutons dans la section 5.4 des différentes questions biologiques
auxquelles il est envisageable d’apporter une réponse dans le futur, en gardant à
l’esprit la notion de systèmes dynamiques (voir aussi (Biofutur, 2007)).

1.5 Plan du document

Le but de ce document est donc de détailler quels peuvent-être les apports des
méthodes de discrétisations de systèmes dynamiques dans différents domaines. Nous
allons maintenant pouvoir détailler ces approches, en commençant par des questions
de théorie ergodique (chapitre 2) sur les automorphismes et les additions sur un tore.
Leurs applications en informatique théorique (théorie des nombres et géométrie dis-
crète), en relation avec l’étude de propriétés topologiques de fractal seront discutées
dans le chapitre 3. Dans le chapitre 4, le point de vue sera complètement modifié
puisqu’on discutera de discrétisation des déplacements d’états stationnaires dans
des systèmes différentiels plutôt que de codages de trajectoires, en considérant la
modélisation de systèmes biologiques. Enfin, dans le chapitre 5, nous adopterons
un point de vue informatique d’analyse de systèmes et données de grande échelle,
en insistant sur les questions biologiques qui peuvent être formalisées en considé-
rant des discrétisations de déplacements d’états stationnaires, avec un objectif de
résolution automatique.
Chapitre 2

Discrétiser de (simples ?)
additions ou multiplications

Dans ce chapitre, nous allons détailler les problématiques encore actuelles posées
par le codage symbolique des applications les plus simples possibles, c’est-à-dire les
additions et les multiplications sur des tores.
La section 2.1 présente une synthèse des principaux résultats de dynamique sur
ces applications sur les tores unidimensionnels.
Dans la section 2.2, nous rappellerons les différentes directions étudiées pour
passer du cas unidimensionnel au cas multidimensionnel, et les difficultés qui sont
apparues pour obtenir une bonne dynamique symbolique. Nous y montrerons que
l’obtention d’une bonne dynamique symbolique se ramène finalement à la vérifica-
tion d’une propriété de pavage.
Enfin, dans la section 2.3, nous proposerons une méthode qui englobe tous les
cas traités dans la littérature et répond à la question de la recherche des partitions
de Markov de manière décidable : il va s’agir de coder par un graphe l’ensemble des
points de recouvrement entre des tuiles, pour vérifier explicitement la condition de
pavage. Le résultat principal ici sera le Théorème 2.3.4.
Les résultats présentés dans ce chapitre seront exploités dans le chapitre suivant
pour des applications dans différents domaines des mathématiques et de l’informa-
tique théorique.

2.1 Les enjeux de la dynamique symbolique

2.1.1 Systèmes dynamiques symboliques
Grossièrement, un système dynamique est un système qui évolue au cours du
temps de façon à la fois causale (son avenir ne dépend que du passé ou du présent) et
déterministe (une condition à l’instant présent détermine un unique futur possible).
L’évolution du système dynamique peut alors être modélisée

43
44

– soit par une évolution continue dans le temps (une équation différentielle).
Mathématiquement, le système T : X × M → X est déterminé par une loi T ,
définie sur un espace des états X et un espace de paramètres temporels M .
Cette définition est la plus naturellement d’un point de vue physique ou biolo-
gique, puisque la notion de temps y est continue. Nous utiliserons ces modèles
dans les chapitres 4 et 5 pour les applications des systèmes dynamiques en
biologie moléculaire.
– soit par une évolution discontinue dans le temps, qui correspond à modéliser
l’état du système après un pas de temps donné. Le système est alors donné
par une application T : X → X. Ces modèles, moins naturels, sont toute-
fois d’une grande utilité pour mettre en évidence des résultats importants qui
se généralisent ensuite aux systèmes différentiels. Dans les systèmes disconti-
nus, l’application T peut être un homéomorphisme sur un espace topologique
(système dynamique topologique), un difféomorphisme sur une variété diffé-
rentielle (système dynamique différentiel) ou une application qui préserve la
mesure sur un espace mesurable (système dynamique mesuré).

Systèmes dynamiques mesurés La dynamique symbolique s’intéresse à des

systèmes dynamiques mesurés, tout en s’inspirant de la dynamique topologique. On
considère un compact X, qui est muni d’une topologie et d’une mesure. On suppose
que l’application T est continue sauf sur un ensemble de mesure nulle, qu’elle est
surjective sur X sauf sur un ensemble de mesure nulle, et qu’elle préserve la mesure.
Le système T : X → X est donc un système dynamique mesuré. Par contre, on ne
pourra pas parler de système dynamique topologique puisque l’inverse de T soit
n’existera pas, soit sera défini à un ensemble de mesure nulle près.
Le système dynamique est minimal lorsque l’orbite de tout point x permet de
l’engendrer X = { T n (x), n ≥ 0}.
On considère une partition mesurée de X sous la forme X = X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn ,
où les Xi sont des fermés et les intersections Xi ∩ Xj sont de mesure nulle pour la
mesure sur X invariante par T .

Système symbolique associé à un système dynamique Le codage d’un point

x pour l’action de T est le mot infini rT (x) = u0 . . . un . . . sur l’alphabet A =
{1, . . . , n} tel que T n (x) ∈ Xun pour tout entier n [LM95].
Le système symbolique associé à X est la fermeture dans AN de l’ensemble des
codages des éléments de X, il s’agit donc de l’ensemble XT = {rT (x), x ∈ X}.
Lorsque l’application T est bijective, on peut considérer l’ensemble g XT des
orbites bi-infinies, c’est-à-dire les codages . . . u−k . . . u0 u1 . . . un · · · ∈ AZ tels que
T n (x) ∈ Xun pour tout entier n dans Z.
Le langage du système symbolique (qu’il soit infini à droite ou bi-infini) est
l’ensemble des mots finis qui apparaissent dans au moins un codage d’un point
du système. La définition du système symbolique XT (et le fait qu’on considère
l’adhérence des codages des points) implique que XT contient toutes les mots infinis
qui ont le même langage que le codage d’un point.
 45

Dans le cas où le système (X, T ) est minimal, toutes les orbites de points ont le
même langage et le système symbolique contient exactement l’ensemble des mots
infinis qui admettent ce langage.

Décalage Une application naturelle agit sur l’ensemble XT , il s’agit du décalage

S qui supprime la première lettre du mot lorsqu’on considère des mots infinis à
droite.
S : u0 . . . un · · · ∈ XT 7→ u1 . . . un · · · ∈ XT .

Ce décalage s’étend aux mots bi-infinis en déplaçant simplement l’indice du mot :

Se : . . . u−2 u−1 [·]u0 . . . un · · · ∈ g g

XT 7→ . . . u−2 u−1 u0 [·]u1 . . . un · · · ∈ X T.

Par construction, on a la relation rT (T x) = S(rT (x)), ce qui signifie que consi-

dérer les orbites de T et celles de S revient globalement au même. On dit que le
décalage S sur le système XT commute avec l’application T sur le système X.
L’intérêt de Se par rapport à S est que le premier est inversible tandis que
le second ne l’est pas. Quand cela est possible, on privilégie donc Se à S ; nous
discuterons de la différence entre ces deux applications (même dans le cas inversible)
sur un exemple à la section 2.2.6.
Lorsque T n’est pas inversible (même en mesure), on ne peut pas utiliser S, e
mais on recherche souvent une extension de S inversible (nous en rediscuterons
dans la section 3.2). Pour une facilité d’écriture, on assimilera dans l’avenir les deux
notations Se et S, en se référant au contexte pour savoir si on considère des mots
infinis ou bi-infinis.

Partition génératrice La partition est dite génératrice lorsque l’application de

codage est un bon codage. Autrement dit, l’application x ∈ X 7→ rT (x) ∈ XT doit
être injective en mesure sur l’ensemble X. .

Dynamique symbolique La dynamique symbolique consiste à trouver une par-

tition génératrice pour un système. Avec cette opération, la dynamique du système,
c’est-à-dire l’étude des trajectoires, est ramenée à l’étude de la combinatoire de
certaines suites symboliques.
L’étape suivante de la dynamique symbolique (et son intérêt) consiste à carac-
tériser l’ensemble des mots infinis qui appartiennent au système symbolique XT .
Les caractérisations usuelles portent sur le langage de ces systèmes, c’est-à-dire
l’ensemble des mots finis qui apparaissent dans au moins un codage d’une orbite.
Lorsqu’on arrive à caractériser de manière simple le système symbolique, on peut
procéder à toutes sortes d’études (recherches de sous-ensembles invariants, proprié-
tés métriques, études des orbites...) qui seront autant d’informations sur le système
(X, T ) initialement considéré.
46

2.1.2 Deux situations orthogonales où la dynamique symbo-

lique a montré son utilité
La dynamique symbolique a été introduite par Hadamard et Morse au début du
vingtième siècle pour étudier les propriétés de certaines courbes de surfaces. Étant
donné un système dynamique, on recherche une partition du système qui permet
de remplacer la dynamique par un décalage sur un ensemble de mots infinis ou bi-
infinis sur un alphabet fixé. Une bonne partition doit être telle que l’ensemble des
mots infinis ainsi obtenus (appelés codage des orbites) a une structure simple à ma-
nipuler. Deux classes d’exemples se sont distingués dans l’histoire de la dynamique
symbolique : les systèmes markoviens et les systèmes auto-induits.

Systèmes markoviens (ou de type fini) et systèmes sofiques Les premiers

exemples intéressants sont ceux pour lesquels la dynamique peut-être codée par un
ensemble fini de mots interdits. Un système dynamique est dit markovien lorsque
son système symbolique pour une partition donnée est sous-décalage de type fini :
son langage est constitué de tous les mots infinis de AN dans lesquels n’apparaissent
jamais un nombre fini de motifs finis.
Si un système admet une partition génératrice qui est codée par un sous-décalage
de type fini, on dit que la partition est une partition de Markov pour le système.
Par construction, ces systèmes sont d’entropie non nulle. On sait en particulier que
les automorphismes hyperboliques des tores et les difféomorphismes pseudo-Anosov
des surfaces [Bow75] admettent tous une partition de Markov.
Un cas un peu moins contraint que les sous-décalage de type fini correspond aux
systèmes sofiques. Il s’agit d’ensembles de mots infinis dont le langage est donné par
un langage régulier, c’est-à-dire les étiquettes de chemins d’un graphe fini. Les sous-
décalage de type fini sont bien entendu sofiques, mais la réciproque n’est pas vraie :
les systèmes symboliques sofiques sont les facteurs topologiques des sous-décalages
de type fini [LM95].

Les systèmes auto-induits et les systèmes substitutifs Une autre classe

d’exemples concerne les dynamiques auto-induites, c’est-à-dire celles qui sont con-
juguées à leur application de premier retour sur un sous-ensemble bien choisi. Ces
systèmes sont de faible complexité, en particulier, d’entropie nulle, et on peut donc
les considérer comme orthogonaux aux systèmes markoviens. Pour les décrire de
manière symbolique, on utilise des codages provenant de procédés de répétitions,
appelés substitutions.
Plus précisément, une substitution sur un alphabet fini A est un morphisme de
A vers A∗ . L’exemple type est la substitution σ définie sur l’alphabet {1, 2} par
σ(1) = 12, σ(2) = 1.
L’intérêt des substitutions est qu’on peut les itérer : l’image de 1 est 12, qui
admet 121 pour image, puis 12112, 12112121, 1211212112112, ... On remarquera
que ces mots ont des débuts en commun de plus en plus long. La limite de ces mots
est un mot infini u qui est fixé par la substitution : il vérifie σ(u) = u, on parlera
de point fixe de la substitution.
 47

Toutes les substitutions n’admettent pas un point fixe (il suffit de considérer la
substitution 1 → 21, 2 → 12). Par contre, on sait que toute substitution admet au
moins un point périodique : il existe n et un mot u infini tel que σ n (u) = u.
La question naturelle qui se pose alors est de savoir plusieurs points périodiques
peuvent avoir des langages différents. Pour éviter cela, on introduit la condition de
primitivité : il s’agit de s’assurer que chaque lettre de A apparaît au bout d’un mo-
ment dans l’image de toutes les autres lettres. Ceci implique qu’un point périodique,
dont le langage contient tous les mots de la forme σ mk (u0 ), contiendra des bouts
de longueur croissante σ mk (u1 ) de tous les autres points périodiques ; les langages
seront donc globalement les mêmes.
Plus formellement, on dit que la substitution est primitive lorsqu’elle sa matrice
linéarisée Mσ estprimitive : il existe m tel que Mm σ ne „
contient«que des coefficients
1 1
strictement positifs. Par exemple, la matrice de σ est (la i-ème colonne
1 0
indique la composition en lettres de σ(i)). Cette substitution est primitive puisque
M2σ n’a aucun coefficient nul.
Sous la condition de primitivité, on sait que tous les points périodiques d’une
substitution ont même langage [Que87]. On construit un système dynamique sym-
bolique Xσ en considérant tous les mots infinis qui admettent ce langage. L’action
naturelle sur Xσ est donnée par le décalage S, qui préserve bien entendu le lan-
gage d’un mot infini. Il s’agit du système dynamique symbolique engendré par la
substitution. En utilisant l’hypothèse de primitivité, on montre que ce système dy-
namique est minimal : pour n’importe quel mot infini u ∈ Xσ , on sait que u permet
d’engendrer entièrement l’ensemble Xσ par décalage (son orbite par S est dense) :

Xσ = {S n (u), n ∈ N}.

De plus, l’ensemble AN dans lequel vit Xσ est muni d’une topologie naturelle, et
est donc un espace mesurable. Toujours sous l’hypothèse de primitivité, on montre
qu’il existe une unique mesure invariante par S pour cette topologie, et le système
dynamique est donc uniquement ergodique [Que87].

2.1.3 Les questions classiques en dynamique symbolique

Lors de l’étude d’une dynamique symbolique, le schéma est assez classique.
– On propose d’abord une partition pour le système dynamique, généralement
obtenue en considérant les sous-ensembles de X sur lesquels T est continues
(ensembles de continuité).
– On caractérise ensuite les codages du système dynamique pour cette partition.
– On montre que le codage est un bon codage (autrement dit, la partition est
génératrice) ; il s’agit de montrer que, sauf sur un ensemble petit, deux points
distincts ont des codages distincts.
– Ensuite, on peut travailler sur le système symbolique ainsi obtenu : est-il
markovien ? S’il est de faible complexité, est-il substitutif, ou engendré par
une suite de substitutions ou une structure de graphes infinis qui généralise
les odomètres (diagrammes de Bratelli, voir [DHS99]) ?
48

– Cette étude préliminaire permet de se concentrer sur les propriétés métriques

du système de départ : existence de mesures invariantes, ergodicité, spectre...
– Enfin, sur un plan topologique on cherche souvent à caractériser les orbites
finies, périodiques et ultimement périodiques, qui correspondent à autant de
points remarquables pour la dynamique de départ.

Deux classes d’exemples canoniques Les deux classes d’exemples canoniques

pour ce schéma d’études sont les multiplications et les additions sur un tore. Comme
mentionné dans le chapitre 1, ces exemples ont été étudiés en détail, et le schéma
d’étude fonctionne remarquablement bien (nous allons rapidement illustrer cela par
la suite).
Cependant, la question se pose de l’utilisation de ce schéma dans le cas multidi-
mensionnel. Dans ce cadre, il est plus difficile de choisir une partition, et encore plus
de prouver qu’elle est bien génératrice. Dans un cas bien précis (le cas Pisot), depuis
les travaux de Rauzy [Rau82] et Thurston [Thu89] dans les années 80, on commence
à avoir une bonne idée des candidats naturels pour la partition. Néanmoins, la ques-
tion de la partition génératrice reste un point clé, qui va être le principal sujet de
ce chapitre.

2.1.4 Multiplications par des nombres simples

Les exemples canoniques de systèmes markoviens sont les multiplications sur un
intervalle. Historiquement, il s’agit des dynamiques les plus étudiées. Nous allons
rapidement rappeler les résultats fondamentaux à leur sujet.

Multiplier par 2 modulo 1 Plutôt que de travailler sur l’intervalle [0, 1[, on
préfère travailler sur le tore de dimension 1 T = R/Z, qui peut-être vu comme
l’intervalle fermé [0, 1] dans lequel 0 et 1 sont identifiés comme égaux. Ces deux
ensembles sont en bijection, mais le tore est un compact alors que [0, 1[ ne l’est pas.
Un des systèmes dynamiques les plus simples est l’application sur le tore de
dimension 1 : T2 : x ∈ T 7→ 2x mod 1 ∈ T. Pour cette application, le schéma
d’étude proposé plus haut s’applique très naturellement :
– Une partition naturelle est donnée par ses intervalles de continuité [0, 1/2[,
qui sera noté par l’indice 0, et [1/2, 1[, qui sera désigné par l’indice 1.
– On montre facilement que le codage de l’orbite d’un réel x ∈ T vis-à-vis de
cette partition est le développement binaire du réel x. On en déduit que tous
les mots infinis de {0, 1}N sont des codages, à part ceux qui se terminent
par un infinité de 1. Le système dynamique symbolique associé est donc tout
l’ensemble {0, 1}N. Il est bien de type fini.
– Le développement binaire détermine entièrement un nombre réel de [0, 1[, donc
de T. Cette partition est donc génératrice.
– Les propriétés métriques du système ont été fortement exploitées dans di-
vers travaux pour proposer différentes conjectures sur les développements
des nombres. On montre par exemple que dans le développement binaire de
presque tous les nombres réels, la fréquence de 0 et de 1 est égale à 1/2 ; en
 49

fait, pour n’importe quelle base entière, la fréquence de chaque chiffre est uni-
forme dans le développement de presque tous les réels [Bor09, Lan94]. Notons
cependant qu’un piège se trouve dans le terme presque √ tous : déterminer si la
fréquence de 1 dans le développement binaire de 2 est égale à 1/2 est une
question toujours ouverte [Bor50, Wal06].
– Les informations sur les fréquences se traduisent naturellement en termes pro-
babilistes : la probabilité de revenir dans un intervalle de longueur donnée est
déterminée uniquement par la longueur de l’intervalle. On en déduit aussi que
T2 est d’entropie log 2.
– Enfin, les points périodiques pour ce système sont les rationnels dont le déno-
minateur est impair. Les points ultimement périodiques sont tous les nombres
rationnels.
– En fait, le système dynamique est fondamentalement imprévisible puisque
des réels proches (dont le développement binaires commence par les mêmes
chiffres) peuvent avoir des futurs sans sans aucun rapport après un certain
temps (puisque les futurs sont déterminés par les fins du développement bi-
naire, qui peuvent être très variées). L’existence d’un ensemble dense de points
périodiques et l’imprévisibilité sont des caractéristiques habituelles de chaos.
Des résultats identiques s’appliquent en fait pour les multiplications par un
rationnel modulo 1. Par contre, si on considère un nombre irrationnel, les choses se
compliquent un peu.

Multiplier par le nombre d’or modulo 1 On considère maintenant l’appli-

cation Tφ : x ∈ T 7→ φx mod 1, où φ désigne le nombre d’or, caractérisé par son
équation φ2 = φ + 1. Alors le schéma décrit plus haut s’applique encore :
– Une partition naturelle existe, celle qui correspond aux intervalles de conti-
nuité de Tφ , c’est-à-dire [0, 1/φ[ et [1/φ, 1[.
– Les codages de l’application sont un peu plus complexes que pour le déve-
loppement binaire mais toujours bien compris : un mot infini est le codage
de l’orbite d’un point si et seulement si d’une part il ne contient pas deux 1
consécutifs et d’autre part il ne termine pas par une succession infinie de 10.
De ce fait, le système dynamique symbolique associé est l’ensemble des mots
infinis de {0, 1}N qui ne contiennent pas le motif 11. Il s’agit donc d’un codage
de type fini.
– L’entropie de ce système est log φ. La probabilité de revenir dans un intervalle
de longueur donnée est bien caractérisée, mais elle ne dépend plus seulement
de la longueur de l’intervalle.
– Les réels dont l’orbite est ultimement périodique sont tous les éléments de
Q(φ) [Sch80] ; tous les rationnels de [0, 1[ ont une orbite purement périodique.
– Puisque l’entropie est non nulle, comme pour T2 , le système est imprévisible
et on peut parler de système chaotique.
En particulier, intimement lié à cette application existe un système de numéra-
tion en base φ : tout réel x ∈ R se décompose de manière unique sous la forme
X
x= ai φ−i ,
i≥i0
50

où la suite des chiffres ai ne contient pas deux 1 consécutifs. Ces chiffres sont obtenus
par algorithme glouton à partir de Tφ ; il s’agit précisément du codage de l’orbite
de φ−i0 x choisi tel que φ−i0 x ∈ [1/φ, 1|.
Là encore, les propriétés métriques (sur les probabilités de retour dans un inter-
valle) ont des incidences sur les développements. On montre par exemple que pour
presque tout réel, la fréquence du chiffre 0 dans le développement en base φ est
égale à 1/φ tandis que la fréquence de 1 est égale à 1/φ2 . On remarquera qu’ici,
les fréquences existent encore, mais, contrairement aux bases entières, elles ne sont
plus uniformes.

2.1.5 Multiplier par un réel β ; beta-numérations

Le cas général consiste à étudier l’application Tβ : x ∈ T 7→ βx mod 1, où β est
un réel quelconque supérieur à 1. Cette application est appelée beta-transformation.
Le schéma d’étude s’applique alors partiellement.

Partition et caractérisation des codages : beta-shift Une partition naturelle

est encore donnée par les intervalles de continuité de Tβ , qui dépendent de la partie
entière de β, notée b = ⌊β⌋. Il s’agit donc des b intervalles [0, 1/β[, [1/β, 2/β[, . . . ,
[(b − 1)/β, 1].
Les codages obtenus avec cette partition sont bien déterminés. Pour tout x ∈ T,
on note dβ (x) le codage de son orbite par Tβ . Même si l’application Tβ n’est pas
définie au point 1 (pour faire de Tβ une application bijective), il n’y a aucune
restriction à étendre Tβ au point 1 et à définir le codage de l’orbite de 1, que l’on
note dβ (1). De plus, si le codage de l’orbite de 1 est de la forme a1 . . . an 0000000,
on considère le nouveau mot infini dβ (1)∗ = (a1 . . . an−1 (an − 1))∞ . On sait alors
depuis Parry [Par60] qu’un mot infini u1 . . . un . . . sur l’alphabet {0, . . . , b − 1} est
le codage d’une orbite de Tβ si et seulement si la condition d’admissibilité suivante
est vérifiée pour l’ordre lexicographique [Bla89, Par60]

∀p ≥ 1, up up+1 up+2 · · · <lex dβ (1)∗ .

L’ensemble des mots infinis qui vérifie cette condition étendue au cas fermé ≤lex
est appelé beta-shift. Il s’agit du système symbolique qui code Tβ pour la partition
précisée plus haut.
Notons que dans le cas du nombre d’or, on a dφ (1) = 110000000..., et donc
d∗φ = (10)∞ .On retrouve ici la condition selon laquelle le motif 11 est interdit dans
le codage.

Les cas markoviens et sofiques À partir de cette caractérisation, on en déduit

que la partition produit un codage de type fini si et seulement si le mot dβ (1)∗ est
périodique [BM86]. Le nombre β est alors appelé un nombre de Parry simple.
On peut aller plus loin. Le codage symbolique de Tβ est un système sofique si
et seulement si dβ (1)∗ est ultimement périodique ; on parle de nombre de Parry. Le
graphe qui décrit le langage du système symbolique est alors entièrement déterminé
par dβ (1)∗ , comme illustré Fig. 2.1 [BM86].
 51

tn

t1 tm−1 tm tm+1 tn−1

0, · · · , t1 − 1 ... ...
1 2 m m+1 m+2 n
0, · · · ,
t2 − 1
0, · · · , tm − 1

0, · · · , tm+1 − 1

0, · · · , tm+2 − 1

0, · · · , tn − 1

Fig. 2.1 – Graphe qui décrit les codages des orbites de la multiplication par β
modulo 1, notée Tβ , dans le cas où β est un nombre de Parry. Pour construire
ce graphe, on considère le mot infini obtenu à partir du codage de 1 d∗β (1) =
t1 · · · tm (tm+1 · · · tn )∞ .

Les nombres de Parry font l’objet de nombreuses études et restent mystérieux

[Boy96, Sol94]. Une condition suffisante existe pour montrer qu’un nombre est de
Parry : si β est un nombre de Pisot, c’est-à-dire si le module de tous ses conjugués
de Galois appartient à ]0, 1[, alors β est un nombre de Parry [Ber77].

Partition génératrice et beta-numération Si les beta-transformations sont

aussi étudiées, c’est non seulement parce qu’il s’agit d’exemples canoniques de sys-
tèmes dynamiques, mais aussi parce qu’il s’agit de transformations naturelles d’un
point de vue numérique. En effet, on montre facilement que si le codage de l’orbite
d’un point x est noté dβ (x) = u1 . . . un . . . , alors x s’écrit en base β à partir de son
développement :
u1 un
x= + ···+ n + ...,
β β
et cette écriture est unique dès que la condition d’admissibilité est vérifiée. On parle
de développement de Renyi de x. L’unicité de cette écriture signifie que la partition
est génératrice pour Tβ : le codage d’un point est unique.

Propriétés métriques des beta-transformations À partir du moment où une

partition markovienne ou sofique a été considérée, il devient possible d’étudier les
propriétés métriques de la beta-transformation Tβ , et ces propriétés ont fait l’objet
d’une abondante littérature, dans le cas Pisot en particulier [Bro96, BKS91].

Points remarquables pour la dynamique Naturellement, on cherche à carac-

tériser les réels qui ont un codage remarquable pour une application Tβ , au moins
dans le cas des nombres de Parry. On montre ainsi que les orbites ultimement pé-
riodiques sont données par les éléments de Q(β) [BM86, Sch80]. Les orbites finies
52

(qui se terminent sur 0) et celles qui sont purement périodiques font aussi l’objet
de nombreuses études, que nous détaillerons dans la section 3.2. Nous proposerons
des extensions, en particulier quand β n’est pas un nombre unitaire.

Points remarquables pour la numération Du point de vue des systèmes de

numération, certains réels sont d’un grand intérêt : il s’agit des réels qui n’ad-
mettent pas de partie fractionnaire dans leur développement en base β. Pour les
définir proprement, on doit comme mentionné dans le cas du nombre d’or étendre
le développement en base β à l’ensemble des réels positifs. Si x > 1, il existe un
unique n0 tel que xβ −n0 ∈ [1/β, 1[. En considérant le développement de ce nombre,
on obtient un développement pour x sous la forme d’une partie entière et d’une
partie fractionnaire qui dépendent de β :
u1 un
x = u−n0 β n0 + u−n0 +1 β n0 −1 + · · · + u0 + + ···+ n + ....
| {z } β β
| {z }
partie entière
partie fractionnaire

Les nombres entiers pour la beta-numération sont les réels qui n’admettent pas
de partie fractionnaire.
 
 X 
Int(β) = z = ui β i ∈ Z[β]; uK . . . u0 = dβ (β −K−1 z) . (2.1)
 
0≤i≤K

Ces nombres forment un ensemble discret de R+ . Dans le cas Parry, ces nombres
présentent une régularité puisque deux éléments consécutifs ne diffèrent que par un
nombre fini de valeurs, en fait les nombres Tβa−1 (1), a ∈ {1, . . . , n} [Aki07, Thu89].
Cependant, les régularités de cet ensemble ne sont pas évidentes. On montre que
les intervalles sont ordonnés suivant l’ordre des lettres dans le point fixe d’une
substitution naturellement associée à β, qui est définie à partir de dβ (1)∗ , aussi
appelée beta-substitution [Thu89] (voir aussi (Integers, 2005)).

2.1.6 Additions et systèmes auto-induits

Un autre classe d’applications très étudiées est constituée des additions sur le
tore. Etant donné α < 1, il s’agit de comprendre la dynamique de l’application

Rα : x ∈ T 7→ x + α mod 1.

Rigidité Ces applications sont fondamentalement différentes des multiplications

Tβ . D’abord, elles sont bijectives, alors que les multiplications ne l’étaient pas. Sur-
tout, dans le cas des multiplications, il existait une infinité d’orbites ultimement
périodiques (donc finies). De plus, le système dynamique était fondamentalement
imprévisible (puisque deux points proches peuvent avoir des orbites sans aucun rap-
port après un certain temps). Pour les additions Rα , au moins dans le cas où α est
irrationnel, la situation est inverse : il n’y a aucune orbite périodique ; tous les points
 53

sont d’orbite dense dans T (autrement dit, le système dynamique est minimal). De
plus, les transformations Rα préservent la métrique circulaire. La distance sur le
cercle entre les éléments des orbites de deux points est donc constante. Il y a donc
prévisibilité à long terme.

Codage symbolique et caractérisation combinatoire Pour ces applications,

une partition naturelle est encore donnée par les intervalles de continuité [0, 1 −
α[ et [1 − α, 1[. Le schéma d’étude se passe alors relativement bien, comme l’ont
montré Hedlund et Morse dans des articles qui ont fondé la dynamique symbolique
[MH38, MH40]. Les mots infinis obtenus par codage des Rα sont très spécifiques d’un
point de vue combinatoire : un mot u0 u1 . . . uk . . . est le codage de la trajectoire de
x pour une addition Rα si et seulement si ce mot contient exactement n + 1 motifs
de longueur n pour tout n.

Une meilleure caractérisation des codages symboliques : application de

premier retour Cependant, la caractérisation des codages via leur fonction de
complexité n’est pas suffisante pour une addition donnée : comment distinguer deux
mots infinis qui sont tous deux de complexité n + 1 ? Pour cela, Morse et Hedlund
ont utilisé des applications de premier retour et de substitution, en s’appuyant sur
les substitutions : σ0 (0) = 01, σ0 (1) = 1 et σ1 (0) = 0, σ1 (1) = 10.
Les application de premier retour sont des concepts classiques en systèmes dyna-
miques : on considère un système (X, R) et un sous-ensemble X1 de X. L’application
de premier retour R∗ de R sur X1 est définie pour tout x de X1 par R∗ (x) =
Rn(x) (x), où n(x) ≥ 1 est le plus petit entier tel que Rn(x) (x) ∈ X1 .
Supposons que α > 1/2. Pour les additions Rα , on montre que l’application de
premier retour de Rα sur l’intervalle [0, α] est conjuguée par une homothétie h à une
nouvelle addition Rα1 , où α1 = α1 − [ α1 ] est obtenu par l’algorithme des fractions
continues : Rα∗
= hRα1 h−1 . On en déduit que le codage rα (1 − α) de la trajectoire
de 1 − α par Rα est lié au codage rα1 (1 − α1 ) de 1 − α1 par Rα1 par σ0 :
[1/α]−1
rα (1 − α) = σ0 rα1 (1 − α1 ).

En itérant ce processus, on obtient une écriture de rα (1 − α) comme limite des

mots σ0a1 −1 σ1a2 σ0a3 (0) où [a1 , a2 , . . . ] est le développement en fraction continue de α.
Ceci permet de caractériser entièrement les codages des additions Rα : lorsque
α > 1/2, une suite u0 . . . un . . . est le codage d’une addition Rα pour la partition
donnée par ses intervalles de discontinuité si et seulement si son langage est en-
gendré par les mots finis σ0a1 −1 σ1a2 σ0a3 . . . σ0 a2n+1 (0), où α = [0, a1 , a2 , . . . ] désigne
le développement en fractions continues de α. Le cas où α < 1/2 se traite de ma-
nière similaire, ainsi que le cas où les intervalles de continuité dans la partition sont
considérés avec des parties entières supérieures [MH38, MH40, Fog02].
Avec cette caractérisation, on montre que le codage de l’orbite d’un point pour
Rα est unique sauf pour un nombre dénombrable de points. La partition considérée
au départ est donc génératrice en mesure. Les propriétés que l’on peut déduire de
cette approche ne sont pas nouvelles : les additions irrationnelles sur un tore sont
54

minimales, d’entropie nulle, sans orbite périodique ; mais ceci se montre directement,
sans besoin de codages...
L’intérêt de cette approche réside dans la réciproque : tout système dynamique
qui est codé par des suites de complexité minimale (c’est-à-dire n+1) sera finalement
isomorphe à une addition sur un tore, et du fait de cette caractérisation, la dyna-
mique symbolique sera engendrée par la composition de substitutions. Ainsi, une
importante littérature a été consacrée à l’identification de systèmes de complexité
n + 1, et à exploiter les relations entre complexité et dynamique. Ces propriétés ont
été utilisées par exemple dans le cadre de l’optimisation de l’allocation de ressources
dans les réseaux de télécom [GHVdL07].

Le cas substitutif ; caractérisations des cas auto-induits Un cas en par-

ticulier a fait l’objet d’investigations poussées : il s’agit du cas où l’addition est
auto-induite, c’est-à-dire que son application de premier retour sur son plus grand
intervalle de continuité est conjugué à l’addition considérée au départ. La question
est alors : quelle sont les additions dont le codage symbolique est substitutif ? Avec
les approches précédentes, on arrive à un résultat très simple à exprimer : l’applica-
tion Rα est auto-induite si et seulement si la pente α admet un développement en
fractions continues purement périodique. Selon le théorème de Galois, il s’agit d’un
nombre quadratique irrationnel avec un conjugué de Galois en dehors de l’intervalle
]0, 1[ [All98, CMPS93]. Dans ce cas là, l’orbite du point α est un point fixe de sub-
stitution, en particulier il est très simple de l’engendrer. Le cas le plus connu est
celui de la substitution de Fibonacci 1 → 12, 2 → 1, dont le point fixe code l’orbite
du nombre d’or sous l’addition ayant pour pente le nombre d’or [All98, CMPS93].
La description du codage de Rα (x), pour un x quelconque et α quadratique, a été
donnée dans [Yas99, BEIR07].
Les applications de ces approches de codage ont principalement porté sur l’en-
gendrement des droites discrètes. En effet, imaginons que l’on dessine un quadrillage
du plan par des droites verticales et horizontales en suivant le réseau Z2 . La ques-
tion qui se pose est de discrétiser une droite Y = γX + ρ, c’est-à-dire, partant de
ρ, de suivre la direction de la droite Y = γX + ρ en restant sur le quadrillage.
Lorsqu’on traverse une direction verticale, on retient un a, lorsqu’on traverse une
direction horizontale, on retient la lettre b [Fog02, Chapitre 6]. Un simple calcul
montre qu’une suite de coupure pour une droite de pente γ est le codage d’un point
donné pour l’addition d’angle α = γ/(γ + 1). ainsi, en identifiant exactement le co-
dage des orbites de Rα , on obtient des procédés efficaces pour engendrer les débuts
des approximations discrètes de droites par itérations successives à partir du calcul
du développement en fractions continues de α [Fog02, Chapitre 6].

2.2 Multidimensionnel : quel candidat pour une

partition ?
Les cas canoniques que sont les additions et les multiplications sur l’intervalle
sont donc très bien compris d’un point de vue symbolique et abondamment ex-
 55

ploités. Ces travaux ont ouvert la voie à des recherches très actuelles dans le cas
multidimensionnel.

2.2.1 Multiplier par une matrice

Partitions de Markov pour les automorphismes hyperboliques du tore
La généralisation de la multiplication par β sur l’intervalle est la multiplication par
une matrice M sur un tore Tn . On parle d’endomorphismes du tore, et d’automor-
phismes lorsque le déterminant de M est égal à 1. Lorsque M n’a pas de valeurs
propres de module 1, on dit que l’automorphisme est hyperbolique.
On dispose sur ces applications d’un information importante due à Bowen : tous
les automorphismes hyperboliques des tores sont des systèmes markoviens [Bow75] ;
autrement dit, pour chaque multiplication sur le tore Tn par une matrice unitaire
et sans valeur propre de module 1, il existe une partition de Tn qui permet de coder
l’action de la matrice par des mots interdits.

Construction effective ? Précisons ici ce que signifie ici une partition de Markov.
On sait qu’un codage de type fini est associé à un ensemble de mots interdits. En
raffinant la partition (et en augmentant donc le nombre N de pièces dans cette
partition), on montre qu’un codage markovien est en fait caractérisé par un ensemble
M de paires de lettres (i, j), où, i, j ≤ N qui sont autorisées dans le codage d’une
trajectoire, tandis que les paires (i, j) qui n’appartiennent pas à M ne doivent
jamais apparaître dans un codage [LM95]. Notons bien que ici, les paires (i, j) sont
ordonnées : la lettre i peut ou non être suivie de j dans le codage. On définit ainsi
un graphe orienté sur les sommets {1, . . . N } en posant une arête de i vers j si
(i, j) ∈ M.
Rechercher une partition de Markov pour un automorphisme M consiste fina-
lement à trouver un domaine fondamental X du réseau Zn et une partition de ce
domaine en N pièces X = ∪ni=1 Xi tels que l’image par M des points d’une pièce Xi
respectent les contraintes données par l’ensemble M. Ceci revient à dire que MXi
mod Zn est exactement égal à l’union des pièces Xj , pour les j tels que (i, j) ∈ M.
La condition pour que la partition soit markovienne est donc
[
MXi = Xj mod Zn .
i→j

Dans le cas des automorphismes du tore de dimension 2, une partition de Markov

s’obtient à l’aide de rectangles de manière explicite [Bow78]. Cependant, dès qu’on
dépasse la dimension 3, on sait que la partie contractante du bord des éléments
d’une partition de Markov ne peut pas être lisse [Bow78, Caw91]. Il est donc vain
d’espérer construire une partition par des moyens simples.

Le cas des automorphismes avec une seule valeur propre dilatante Après
les résultats de Bowen sur l’existence de partitions de Markov, un certains nombre de
travaux ont cherché à construire explicitement ces partitions. La dynamique arith-
métique a été développée par différents auteurs en suivant un article fondateur de
56

Vershik [Ver92], qui a étudié le cas du nombre d’or puis étendu ses travaux au cas
quadratique Pisot [SV98]. Suivant la définition de [Sid03], le but de cette approche
est de construire des codages explicites pour des automorphismes hyperboliques
de tores ou de solenoïdes, de sorte que les propriétés géométriques de l’automor-
phisme sont clairement transposées dans le cadre dynamique. L’approche de Vershik
[Ver92, SV98] et poursuivie dans [Sch00a, KV98, Sid01, Sid02, BK05, LS05] est de
considérer des automorphismes du tore avec une seule valeur propre dilatante, et
de décomposer les points du tore sous la forme de séries entières dont la base est
donnée par un point homocline, c’est-à-dire un point qui se trouve à l’intersection
des variétés stable et instable de la dynamique.
Avec ces constructions, on obtient un codage symbolique de l’automorphisme
du tore par un système markovien. Cependant, ce codage n’est pas générateur : on
dit qu’il s’agit d’une extension finie-à-un de la transformation, ce qui signifie que le
nombre de points de l’espace de départ admettant le même codage est constant : on
ne sait pas s’il est égal à un, ce qui est nécessaire pour obtenir une vraie partition
de Markov. Plus précisément, on sait que le domaine X qui est construit contient
un nombre entier de copies d’un domaine fondamental du tore, mais on ne sait
pas montrer qu’il s’agit réellement d’un domaine fondamental ; il faudrait pour cela
montrer qu’il est de volume 1. La question de la généricité du codage n’est donc pas
résolue dans ces travaux.

2.2.2 Des multiplications par une matrice vers des additions

sur un tore
Représentation géométrique La question de la généricité du codage peut-être
abordée avec un point de vue géométrique, en proposant explicitement une cons-
truction pour une partition de Markov. Les premiers travaux dans cette direction
[IO93, KV98, Pra99] puis [Ber99, BK05] se sont appuyés sur un ensemble compact
introduit par Rauzy [Rau82] pour étudier une addition sur un tore, et repris par
Thurston [Thu89]. Il s’agit de remplacer les séries entières de [Sch00a] par des séries
entières géométriques faisant intervenir les vecteurs propres dilatants à droite et à
gauche de l’automorphisme du tore considéré [BBLT06].

Sections des partitions de Markov dans le cas Pisot : une intuition géomé-
trique La dynamique arithmétique étudie une classe spécifique d’automorphismes
hyperboliques : il s’agit des automorphismes du tore hyperbolique admettant une
seule valeur propre dilatante. La valeur propre dominante est alors un nombre de
Pisot et on montre que le polynôme caractéristique est irréductible (Trans. AMS,
2001). On appelle ces automorphismes Pisot irréductibles. Géométriquement, ces
automorphismes se dilatent selon une unique direction, ce qui simplifie amplement
la dynamique.
On en déduit des propriétés géométriques intéressantes sur le pavage donné
par une partition de Markov du tore. Ces propriétés
 sont
 bien visibles dans le cas
1 1
bi-dimensionnel (voir Fig. 2.2 pour la matrice ), mais elle sont vérifiées
2 1
 57

Fig. 2.2 – Une partition de Markov pour un automorphisme du tore T2 . Les sections
du domaine fondamental induisent un pavage périodique de la droite x + y = 0 et
un pavage stable par la contraction par −1/φ de la direction dilatante de la matrice

pour tous les automorphismes Pisot irréductibles. On a un domaine de Markov,

décomposé en pièces, qui est aussi un domaine fondamental de Zn . Ce domaine
remplit donc tout l’espace Rn de manière régulière. On découpe ce recouvrement
de Rn par différents sous-espaces.
– Lorsqu’on découpe le recouvrement périodique de Rn selon l’espace contrac-
tant de la matrice, on obtient une partition de l’hyperplan contractant. Puis-
que M stabilise à la fois l’hyperplan contractant et Zn , l’action de M sur
sa partition (une contraction par définition) permet de décomposer chaque
domaine de l’hyperplan en domaines de la même forme.
– La trace du domaine fondamental sur l’espace dilatant de la matrice (qui est
une droite) forme une partition de la droite stable par la multiplication par
la valeur propre dominante de la matrice.
– Puisque la partition représente un domaine fondamental du réseau Zn , les
sections du domaine de Markov selon n’importe quel hyperplan à coordonnées
entières, (en particulier l’hyperplan orthogonal au vecteur (1, . . . , 1)), forment
un pavage périodique du plan.

Facteur de translation À partir de la figure 2.2, on comprend mieux le fait que

le domaine fondamental du tore donné par la partition de Markov se sectionne à la
fois en un ensemble autosimilaire et en un domaine fondamental du plan. Pour cela,
on appelle X l’intersection entre le domaine de Markov et l’espace contractant de
l’automorphisme. Sur la figure 2.2, il s’agit d’un intervalle, dans le cas général, on
obtiendra un compact dans l’espace contractant. Puisque nous avons considéré un
domaine de Markov, X est un domaine fondamental de l’espace contractant pour un
réseau engendré par les projections des vecteurs canoniques sur le plan contractant.
Considérons maintenant cet ensemble X dans le tore : cela revient à placer dans
Rn tous les ensembles z + X , avec z ∈ Zn . L’application qui nous intéresse est
l’application de premier retour sur X (plongé dans le tore Tn en suivant le flot le
long de la direction dilatante. Nous l’appellerons Φ. Remonté à Rn , il s’agit donc
58

de partir d’un point de X , de suivre la direction dilatante et de s’arrêter lorsqu’on

croise une nouvelle copie de la forme z + X (que nous appellerons feuille).
Le point important, que l’on constatera sur la figure 2.2, est que le nombre de
feuilles z + X sur lesquelles on peut arriver par Φ est fini. Ce résultat est en fait
général : dans un voisinage borné de X , il n’y a qu’un nombre fini de feuilles z + X ,
et pour des raisons de densité, il suffit d’un nombre fini de feuilles z + X pour
recouvrir X , après projection dans le plan contractant.
Ceci signifie qu’on peut décomposer X en fonction de l’application Φ : on va
rassembler dans un ensemble Xz les points x dont l’image par Φ arrive dans une
même feuille z + X . Dans le tore, appliquer Φ revient alors à déplacer Xz par la
projection du vecteur z sur le plan contractant. On définit ainsi un échange de
morceaux dans X , les vecteurs de translations étant de la forme π(z), avec z ∈ Zn ,
et π la projection sur l’espace contractant parallèlement à la direction dilatante.
Ainsi, les vecteurs de translation sont fortement liés aux directions du réseau dont
X est un domaine fondamental.
De plus, les propriétés des partitions de Markov impliquent que l’application de
premier retour le long de la feuille dilatante “respecte” l’action de l’automorphisme
considéré, qui est décrite par l’action d’une substitution. Symboliquement, l’échange
de morceaux devrait donc respecter une structure substitutive.
Tout ceci est bien entendu intuitif, mais ces intuitions ont incité à considérer
géométriquement le lien entre les échanges de morceaux sur des tores, les additions
sur des tores et les systèmes symboliques engendrés par une substitution.

2.2.3 Additions sur un tore

La généralisation naturelle de l’addition sur un intervalle est l’addition sur un
tore de dimension supérieure à 1. On considère donc maintenant un tore de dimen-
sion n, noté Tn = Rn /Zn , et une addition sur ce tore par un vecteur de translation
x0 : x ∈ Tn 7→ x + x0 ∈ Tn .

À la recherche de tous les systèmes engendrés par une substitution qui

codent une addition Pour mieux comprendre ces additions sur un tore, la com-
munauté scientifique s’est inspirée des connaissances sur les additions de l’intervalle
détaillées dans la section 2.1.6. Il a donc fallut mieux comprendre le lien entre les
substitutions et ces additions dans différents contextes. Inspirées par le cas unidi-
mensionnel, les questions principales ont porté sur la relation entre le codage des
additions et les compositions de systèmes substitutifs.

Étude spectrale Avec le cas unidimensionnel, on a appris que certains systèmes

substitutifs sur deux lettres, mais pas tous, sont le codage d’additions sur l’intervalle.
Or, sur un plan ergodique, on sait avec le théorème de Von Neumann qu’un système
dynamique est isomorphe en mesure à une addition sur un groupe compact si et
seulement si son spectre est purement discret ; autrement dit, l’ensemble L2 (Xσ , S)
est engendré par les fonctions propres de l’opérateur unitaire U : f ∈ L2 (X, S) 7→
f ◦S ∈ L2 (Xσ , S) [Wal82]. Identifier les substitutions qui codent une addition sur un
 59

tore revient donc à comprendre les propriétés spectrales des systèmes symboliques
engendrés par une substitution. Cette question a occupé une large partie de la
littérature du domaine dans les années 1970 et 1980 : j’ai écrit une synthèse sur
ce sujet dans l’ouvrage collectif Pytheas-Fogg dans la collection Lectures Notes
in Mathematics (Pytheas Fogg, LNM, 2002). En tout état de cause, il s’avère que
même avec un alphabet à deux lettres, caractériser les systèmes substitutifs à spectre
purement discret, et plus globalement déterminer le spectre d’un système dynamique
substitutif est une tâche ardue.

Le cas des substitutions Pisot sur deux lettres Il ressort de l’analyse spec-
trale des années 1980 que de bons candidats pour les systèmes à spectre purement
discret sont ceux qui sont engendrés par une substitution dont la matrice d’inci-
dence a une valeur propre Pisot dont le degré algébrique est égal à la taille de
l’alphabet (comme pour les automorphismes du tore, on parlera de substitution
Pisot irréductible).
Pour cette classe de substitutions, on connaît explicitement le spectre [BK06].
On sait aussi maintenant que, si l’alphabet ne contient que deux lettres, le système
engendré par une substitution Pisot unitaire est systématiquement le codage d’une
addition sur un tore [BD02]. Le cas des substitutions sur deux lettres est donc bien
maîtrisé.

Espace de pavage associé à une substitution Pisot Pour ce qui est du cas
général, l’école américaine a publié ces dernières années un certains nombre de
travaux concernant l’étude spectrale des systèmes substitutifs. Leur approche est
la suivante : à partir d’une substitution (réductible ou irréductible) Pisot, on peut
définir un flot de translation sur un espace de pavage engendré par n’importe mot
infini qui est un point fixe (ou éventuellement périodique) pour la substitution
[BBK06, BK05]. Les valeurs propres de ce flot de translation ne dépendent que de
la matrice de la substitution [BBK06]. Une première question ouverte est de savoir
si, dans le cas Pisot unitaire, ce flot de translation dont on connaît le spectre est
effectivement à spectre purement discret.
Dans cette construction d’espaces de pavages, deux dynamiques coexistent : la
première est celle du flot de translation sur l’espace de pavage (dont on connaît ex-
plicitement le spectre), la seconde est l’application de premier retour sur une section
adéquate. Un autre résultat de Barge et Kwaplicz montre que symboliquement, une
substitution code la deuxième dynamique [BBK06].
En travaillant sur la coexistence de ces deux dynamiques, il devient possible de
montrer que le système symbolique engendré par la substitution σ(1) = 162111,
σ(2) = 435211, σ(3) = 35211, σ(4) = 435444, σ(5) = 162544, σ(6) = 62544 n’est
pas à spectre purement discret [BBK06]. Par contre, le flot de translation qui lui
est associé est à spectre purement discret. Ainsi, les systèmes substitutifs Pisot
unitaires ne sont pas tous à spectre purement discret.
On pourra cependant remarquer que si la valeur propre dominante de σ est bien
un nombre de Pisot de degré 3, elle n’est pas irréductible puisqu’elle admet des
valeurs propres de degré 2. La question reste donc entière de savoir si le système
60

associé à une substitution Pisot irréductible unitaire est à spectre discret. On sait
simplement que dans ce cas irréductible, cette propriété est équivalente au spectre
discret de la première dynamique par flot de translation.
Dans le contre-exemple de la substitution σ, même si le système substitutif n’est
pas explicitement le codage d’une addition, Barge et Kwapicz ont quand obtenu un
résultat dynamique intéressant, qui formalise et généralise des observations sur des
substitutions provenant de beta-numérations [EI05]. En effet, ils ont montré que
dès qu’un flot de translation est à spectre purement discret, le système symbolique
associé peut ne pas être une addition sur un tore, mais il sera toujours le codage de
l’application de premier retour d’une addition sur un tore. Autrement dit, il existe
toujours un réseau lié à ce système et une addition qui permet de le décrire. Dans
ce contexte, plusieurs questions ressortent :
– Vérifier que le flot de translation sur un espace de pavage engendré par une
substitution Pisot unitaire est à spectre purement discret.
– Vérifier que le système dynamique symbolique associé à la substitution est à
spectre purement discret, ou, si ça n’est pas le cas, est conjugué à l’application
de premier retour d’une translation. Cela revient à trouver un bon domaine
fondamental pour un réseau pour représenter le système.
– Étant donnée une translation sur un tore, trouver (s’il en existe) une substi-
tution qui décrit les orbites de cette translation dans une partition adéquate.
Répondre à ces questions revient aussi à répondre à la question de la construction
d’une partition de Markov. Les approches arithmétiques discutées à la section 2.2
ayant montré leurs limites, nous allons voir comment il est possible de répondre
partiellement à ces questions en adoptant un point de vue algorithmique sur les
constructions géométriques inspirées par Rauzy.

2.2.4 Les fractals de Rauzy : différentes approches

Les fractals de Rauzy ont d’abord été introduits dans [Rau82] pour étudier
l’addition du nombre de Tribonacci (qui vérifie α3 = α2 + α + 1, avec |α| < 1) sur
le tore de dimension 2 défini par C/(Z + Zα). Rauzy a montré que cette addition
est codée symboliquement par le système dynamique substitutif engendré par la
substitution de Tribonacci définie par σ(1) = 12, σ(2) = 13, σ(3) = 1. Il s’agit du
premier exemple d’échange de morceaux dans R2 qui était symboliquement codé
par une substitution.
Ces fractals ont été repris par Thurston dans un cadre de beta-numération, qui
les a alors nommé tuiles centrales [Thu89].
Ensuite, différents travaux ont généralisé leur définition pour des substitutions
Pisot ou des beta-numérations. Il y a globalement trois méthodes de construction
pour les fractals de Rauzy.
– La première est inspirée par la construction initiale de Rauzy [Rau82] et consi-
dère des séries entières. Elle a été étudiée en particulier dans [Mes98, Mes00,
SW02]. C’est cette approche qui a inspirées la dynamique arithmétique de
[Ver92, Sch00a]. Il s’agit alors de considérer une substitution Pisot irréduc-
tible unitaire (matrice d’incidence avec une unique valeur propre supérieure
 61

à 1).
– La seconde approche s’appuie sur les propriétés d’autosimilarité du fractal et
des substitutions généralisées pour le construire par approximations succes-
sives ; elle a été introduite par l’école japonaise [IK91, AI01, AIS01, IR06]. Elle
a d’abord été définie pour les substitutions Pisot unitaires irréductibles, avant
d’être étendue à toutes les substitutions Pisot unitaires. Même si le point de
vue est plus dynamique, la construction d’un fractal de Rauzy par espace de
pavage développée par l’école américaine [BK06, BBK06] entre dans ce cadre.
– La troisième approche suivie à partir des beta-numérations dans [Thu89]
consiste à représenter de manière compacte l’ensemble des entiers pour une
beta-numération (voir Eq. (2.1)). Cette approche a particulièrement été étu-
diée dans [Aki98, AS98, Aki99, BBLT06] On peut associer à ce nombre de
Pisot une substitution, mais sa matrice d’incidence peut admettre des va-
leurs propres dilatantes autres que β, on s’éloigne donc des deux premiers cas
(on dit qu’on se trouve alors dans le cas Pisot réductible, éventuellement non
unitaire).

Contribution Il s’avère que le lien entre ces trois approches se repose que sur une
seule propriété : les ensembles obtenus vérifient les mêmes relations d’autosimilarité,
ce qui permet de montrer qu’ils sont égaux (nous reviendrons sur ce point en détail
dans la section suivante).
Pendant et après ma thèse, j’ai travaillé sur l’unification de ces approches, en
étendant la première construction de Rauzy à différentes classes de substitutions
Pisot, ce qui a permis d’englober dans un même formalisme les classes traitées par
les autres méthodes de construction.
– La classe des substitutions irréductibles unitaires est étudiée dans (Trans.
AMS, 2001) et (JTN Bordeaux, 2001), en collaboration avec V. Canterini.
– La classe des substitutions réductibles est étudiée dans (Integers, 2005) et
(JNT, 2007), en collaboration avec Valérie Berthé, créant un pont avec les
approches de numérations.
– La relation entre la construction par beta-numération et celle par approxi-
mation successive est étudiée dans (Integers, 2005) : nous y montrons que les
nombres remarquables du point de vue de la beta-numération (beta-entiers)
ne sont rien d’autre que les coordonnées des sommets de plans discrets, qui
sont remarquables du point de vue des approximations successives.
– Le cas non unitaire est introduit dans (Erg. Th. Dyn. Sys, 2004) et repris dans
(JNT, 2007). Il s’agit de la seule représentation connues pour des substitutions
non unitaires.
Nous allons maintenant détailler la première construction, et rapidement men-
tionner pourquoi les autres constructions permettent d’obtenir le même ensemble.

2.2.5 Construction du fractal de Rauzy

Nous présentons ici une construction synthétique du fractal de Rauzy inspirée
par la construction arithmétique de Rauzy, qui intègre cependant le point de vue
62

géométrique développé par l’école japonais. Cette construction est détaillée dans une
monographie écrite en collaboration avec J. Thuswaldner en cours de soumission.

Hypothèses sur la substitution On considère une substitution sur un alphabet

A qui contient n éléments. Sa matrice d’incidence (obtenue par linéarisation) est
notée Mσ . On suppose que cette matrice est primitive. En particulier, cette matrice
admet une unique valeur propre dominante, que l’on note β.
On suppose d’abord que β est un nombre unitaire ; nous discuterons du relâche-
ment de cette hypothèse dans le chapitre suivant.
On note d le degré algébrique de β. On sait ainsi que d ≤ n. Cependant, il n’y
a pas nécessairement égalité, puisque le polynôme caractéristique de Mσ peut être
réductible. Il s’agit d’une des différences majeures entre l’approche des fractals de
Rauzy venant des systèmes dynamiques (où on a très longtemps supposé que le
polynôme caractéristique était irréductible) et l’approche venant des systèmes de
numération (où l’hypothèse d’irréductibilité est rarement vérifiée).
On suppose que β est un nombre de Pisot : ses conjugués de Galois sont de
module inférieur à 1. On note β (2) , . . . , β (r) les conjugués réels et β (r+1) , β (r+1) ,
. . . , β (r+s) , β (r+s) les conjugués complexes.

Vecteurs propres On note ei les vecteurs propres canoniques de Rn . On note

vβ le vecteur propre dominant de t Mσ tel que hvβ , e1 i = 1 et uβ le vecteur propre
dominant de Mσ tel que hvβ , uβ i = 1. Plusieurs normalisations ont en fait été
considérées dans la littérature. Celle-ci permet de retrouver les beta-numération.
Les deux vecteurs ont leurs coordonnées dans Q(β), et ces coordonnées sont
toutes positives. On construit des vecteurs propres pour les autres valeurs propres
en remplaçant β par chaque β (i) dans les coordonnées des vecteurs propres.

Décomposition de l’espace À partir de ces vecteurs, on décompose l’espace Rn

en différents sous-espaces :
– L’espace beta-contractant de Mσ est le sous-espace Hc engendré par les vec-
teurs propres pour les valeurs propres conjuguées à β. Il est de dimension d−1.
On note h : Hc → Hc la restriction de Mσ à Hc ; c’est donc une contraction.
– On note He la droite dilatante de Mσ , dirigée par uβ .
– L’espace beta-supplémentaire est l’espace invariant Hs à coordonnées entières
tel que Rn = Hc ⊕ He ⊕ Hs . Il est engendré par les espaces propres pour les
valeurs propres de Mσ qui ne sont pas conjuguées à β [BBK06, EIR06].
On note π : Rn → Hc la projection canonique sur Hc parallèlement à He ⊕ Hs .
Par construction, π vérifie une relation de commutation avec la contraction h : pour
tout w ∈ A∗ , on a π(l(σ(w))) = hπ(l(w)), où l désigne la linéarisation de A∗ dans
Rn .

Ligne brisée et fractal Puisque la substitution est supposée primitive, elle ad-
met au moins un mot périodique bi-infini, noté u = . . . u−k ...u−1 u0 u1 u2 . . . [Que87].
On plonge ce mot bi-infini en une ligne brisée de Rn en remplaçant chaque lettre
de u par le vecteur canonique correspondant.
 63

Fig. 2.3 – L’escalier représentant le point fixe de la substitution de Tribonacci

définie par σ(1) = 12, σ(2) = 13, σ(3) = 1. En haut, le même escalier est vu depuis
différents points focaux de l’espace : l’escalier s’enroule autour d’une droite ; vu
depuis cette droite, les sommets de l’escalier forment un ensemble borné.
En bas, l’escalier est projeté dans le plan contractant de la matrice d’incidence, ce
qui donne un fractal de Rauzy.

Dans le cas irréductible, selon l’hypothèse Pisot, la ligne brisée reste à une
distance bornée de la droite dilatante [AI01]. Dans le cas réductible, la projection
sur le beta-espace contractant reste toujours un ensemble borné. À partir de cette
projection, on définit le fractal de Rauzy (Trans. AMS, 2001).

T := {π(l(u0 . . . uk−1 )) k ∈ N}.

Les sous-tuiles du fractal sont naturellement définies par la direction de l’escalier
S pour chaque point : T (i) := {π (l(u0 . . . uk−1 )) | k ∈ N, uk = i}. On
qui est projetée
a donc T = i∈A T (i).
La primitivité de la substitution implique aussi que la définition du fractal et de
ses sous-tuiles est indépendante du point périodique choisi (voir [AI01, Que87] et
(Trans. AMS, 2001)).

2.2.6 Propriété topologique fondamentale : autosimilarité

Autosimilarité dirigée par un graphe orienté La principale propriété des
fractals de Rauzy est leur propriété d’autosimilarité. Selon [MW88], on dit qu’un
compact K est autosimilaire dirigé par un graphe orienté (GIFS) lorsqu’il existe une
décomposition du compact K = ∪Ki (les i désignant les sommets du graphe) et des
contractions τe (les e désignant les arêtes du graphe) telles que chaque sous-ensemble
vérifie [
Ki = τe (Kj ).
i→e j
64

Autrement dit, chaque ensemble Ki se décompose en copies de différents autres

ensembles Kj , préalablement contractés par des applications τe . Cette opération
de décomposition est décrite par un graphe orienté dont les sommets désignent
les ensembles Ki eux-mêmes et pour lesquels chaque copie de Kj au sein de Ki
correspond à une arête du graphe. Nous donnerons un exemple explicite à la Figure
2.4.
La propriété principale de ces ensembles est que le compact et sa décomposition
vérifiant l’équation associée à un GIFS est unique, dès que toutes les applications τe
sont des contractions. Nous allons utiliser cette unicité pour montrer que différentes
définitions de compacts produisent le même ensemble.

Désubstitution et décomposition du système symbolique Les fractals de

Rauzy permettent de représenter le système dynamique Xσ engendré par le point
périodique d’une substitution, qui est formé des mots bi-infinis ayant le même lan-
gage que le point périodique. Sur cet ensemble de mots, la substitution agit comme
une contraction. Après diverses tentatives, il a été prouvé qu’il est possible d’uti-
liser cette contraction pour simuler une division sur Xσ : tout mot bi-infini v est
l’image d’un mot w (dont la lettre centrale est notée w0 ) du même système par la
substitution, mis à part un petit décalage dans la séquence :

v = S k (σ(w)), avec w ∈ Xσ et k < |σ(w0 )|.

Dans cette écriture, on sait que le couple (k, w) est unique [Mos96, DHS99].
Notons que cette unicité est loin d’être évidente, il s’agit de la principale raison
pour laquelle le système symbolique considéré contient des mots bi-infinis et pas des
mots infinis à droite seulement (en fait, pour certaines substitutions, cette unicité
est fausse si on ne considère que des mots infinis à droite).
Dans cette écriture, on peut considérer w comme le quotient de v par σ et k
comme le reste de cette division. Plutôt que k, on préférera souvent le préfixe de
longueur k de σ(w0 ). Cette écriture permet de décomposer les éléments d’une sous-
tuile en fonction de leur origine : pour tout mot bi-infini v qui commence par la
lettre i, il existe, un unique mot w et une décomposition de l’image de la lettre
centrale σ(w0 ) sous la forme σ(w0 ) = pis, avec p de longueur k, tel que v coïncide
avec σ(w) modulo un décalage de la longueur de p.

Graphe directeur des fractals de Rauzy Ce raisonnement s’applique aux

mots bi-infinis dans Xσ mais il peut être transposé sur les débuts du point pé-
riodique. Hors, lors de la projection par π ◦ l, la substitution σ commute avec la
contraction h, et le décalage S commute avec une translation. On en déduit la
relation suivante (voir [AI01] et (Trans. AMS, 2001)) :
[
T (i) = hT (j) + πl(p).
σ(j)=pis

Ainsi, le fractal de Rauzy d’une substitution primitive est la solution d’un GIFS
dirigé par un graphe orienté appelé graphe des préfixes-suffixes.
 65

Définition 2.2.1 Les sommets du graphe des préfixes-suffixes sont les éléments de
l’alphabet A.
Il y a une arête de i vers j dans ce graphe, étiquetée par la décomposition (p, i, s)
si et seulement si σ(j) = pis.
Vincent Cantérini et moi-même avons proposé ce graphe dans (JTN Bordeaux,
2001). D’autres versions avaient été introduites antérieurement. Ainsi, dans ses
travaux sur la substitution de Tribonacci, Rauzy travaillait avec un graphe des
suffixes (les arêtes ne contiennent que le suffixe s) [Rau82]. Dans le cadre des
beta-numérations, un graphe similaire apparaît, étiqueté seulement par des préfixes
[DT93]. Or, ces deux formalismes (préfixes ou suffixes uniquement) ne conviennent
pas pour un système substitutif d’un point de vue dynamique : la principale raison
est que les étiquettes de chemins du graphe ne sont pas en bijection avec les chemins
eux-mêmes ; il peut exister deux chemins étiqueté de manière semblable qui partent
de différents sommets. Avec Vincent Canterini, nous avons donc proposé le graphe
des préfixes-suffixes, et nous avons ainsi pu généraliser les résultats de Rauzy sur la
description du système engendré par la substitution de Tribonacci.
Théorème 2.2.2 (JTN Bordeaux, 2001) Soit σ une substitution primitive Pi-
sot. Le système symbolique constitué de mots bi-infinis engendré par σ est isomorphe
en mesure à un odomètre sur l’ensemble des étiquettes de chemins infinis reconnus
par le graphe des préfixes-suffixes.

Tuiles disjointes Dans [Rau82], Rauzy montrait facilement que l’aire des inter-
sections entre les sous-tuiles est nulle : ces tuiles ne s’intersectent que sur leur fron-
tière. Il s’appuyait fortement sur cette propriété pour obtenir ses résultats, comme
nous le détaillerons plus loin.
Cependant, lors de la construction d’autres fractals, il est vite apparu que cette
propriété de sous-tuiles disjointes en mesure n’était pas prouvée. Après différents
tâtonnements, une condition combinatoire a été introduite dans [AI01] pour assurer
cette propriété (voir le survol (Pytheas Fogg, LNM, 2002)). Grossièrement, on dit
qu’une substitution vérifie la condition de fortes coïncidences dès que toutes les
paires de mots bi-infini périodiques pour la substitution partagent un segment en
commun lorsqu’elles sont représentées sous la forme d’une ligne brisée dans Rn .
Cette condition combinatoire, simple à priori, est en fait assez frustrante : on
sait que toutes les substitutions Pisot sur deux lettres la vérifient [BD02], on ne
connaît aucun contre-exemple sur des alphabets plus gros, mais on ne sait pas pour
l’instant démontrer que toutes les substitutions Pisot la vérifient.
Cette condition est cependant fondamentale, dans la mesure où elle assure que
les fractals pour les substitutions qui la vérifient sont bien la solution unique du
GIFS donné par le graphe des préfixes-suffixes.
Théorème 2.2.3 ([AI01, SW02], (Trans. AMS, 2001), (JNT, 2007)) Soit σ
une substitution primitive, unitaire et Pisot. Si σ satisfait la condition de fortes coïn-
cidences, alors les sous-tuiles de son fractal de Rauzy ont leurs intérieurs disjoints.
Ces sous-tuiles sont l’unique solution du GIFS donné par le graphe des préfixes-
suffixes.
66

Ce théorème a une histoire assez longue. Il a d’abord été démontré par Rauzy
pour la substitution de Tribonacci [Rau82]. Ensuite, ce résultat a été prouvé par
Arnoux et Ito dans [AI01] pour le cas des substitutions irréductibles, avec une
construction du fractal basée sur des approximations successives. Sirvent et Wang
ont insisté sur l’aspect GIFS, toujours pour le cas des substitutions irréductibles
[SW02].
La preuve de ce résultat pour les fractals obtenus par la méthode arithmétique
de Rauzy [Rau82] a été donnée par V. Canterini et moi-même dans (Trans. AMS,
2001), en s’appuyant sur la notion de désubstitution étudiée dans (JTN Bordeaux,
2001). Nous en déduisons des résultats sur les facteurs topologiques des systèmes
substitutifs. L’intérêt de cette construction par rapport à celle de [AI01] était que
nous pouvions envisager de travailler sur des substitutions non unitaires, comme
nous aurons l’occasion d’en discuter plus tard.
Surtout, la généralisation de ces résultats au cas réductible (où le polynôme
caractéristique de la matrice n’est plus irréductible) a été proposée dans (JNT,
2007), par Valérie Berthé et moi-même, pour considérer les problèmes liés aux beta-
substitutions. Cela a en particulier d’expliciter le lien entre les fractals de Rauzy et
les systèmes de numération. Le cas des substitutions non unitaires a aussi été traité
dans (JNT, 2007), nous en rediscutons au chapitre 3.

Exemple Considérons la substitution σ0 (1) = 112, σ0 (2) = 113, σ0 (3) =

4, σ0 (4) = 1. Il s’agit d’une substitution primitive unitaire, donc la valeur propre
dominante est un nombre de Pisot de degré 3 (β 3 − 3β 2 + β − 1 = 0).
Pour obtenir le dessin de la figure 2.4, la procédure consiste à
– Calculer les 217 premiers termes du point fixe (par itération successive).
– Calculer la projection de chaque sommet de la ligne brisée sur le plan contrac-
tant de la matrice. Pour cela, on remarque que la différence entre un sommet
de la ligne brisée et son successeur est égale à la projection π(ei ) (sur le plan
contractant), d’un vecteur de base de l’espace. Il “suffit” donc de calculer les
π(ei ) et de les ajouter une à une en suivant l’ordre des lettres du point fixe.
– Pour éviter des erreurs d’approximation, les coordonnées des projections des
sommets de la ligne brisée doivent d’abord être calculées dans les corps Q(αi )
(où les αi sont les valeurs propres contractantes) avant de les plonger dans C
pour tracer la figure.
Par construction, le fractal a 4 sous-tuiles, ce qui correspond au nombre de lettres
de l’alphabet. La première T (1) se décompose en cinq pièces (qui correspondent au
nombre de 1 apparaissant dans une image de lettres), c’est-à-dire
[ [ [ [
T (1) = hT (1) (hT (1) + π(e1 )) hT (2) (hT (2) + π(e1 )) hT (4).

Les autres pièces ne sont que des copies des précédentes :

T (2) = h(T (1) + 2π(e1 )) T (3) = h(T (2) + 2π(e1 )) T (4) = h(T (3)).

Pour retrouver cette décomposition, il suffit de considérer le graphe des préfixes-

suffixes de la substitution, montré dans la figure 2.4 : par définition du graphe, pour
 67

chaque tuile T (i), il y a autant de sous-tuiles que de flèches qui partent du sommet i
dans le graphe. De plus, le vecteur de translation associé à la sous-tuile T (j) dans la
décomposition de T (i) est donné par le préfixe apparaissant dans l’étiquette. Ainsi,
puisqu’une seule arête part des sommets 2, 3 et 4, on sait que les tuiles T (2), T (3)
et T (4) ne se décomposeront qu’en une seule sous-tuile.
Le fractal et sa décomposition sont montrés dans la figure 2.4. Dans cette figure,
la contraction h est la composée d’une homothétie contractante et d’une rotation
d’environ π/2 : l’image des tuiles (qui ont la forme de rectangles horizontaux) est
alors des rectangles pratiquement verticaux.

Fig. 2.4 – Le fractal de Rauzy pour la substitution σ0 (1) = 112, σ0 (2) =

113, σ0 (3) = 4, σ0 (4) = 1. À gauche, chaque sous-tuile est décomposée en fonc-
tion des autres sous-tuiles (sur lesquelles ont a préalablement appliqué h). L’ap-
plication h, qui contracte les éléments et les fait tourner de π/2. Ainsi, les images
par h des sous-tuiles (qui sont presque horizontales dans la figure de gauche) sont
presque verticales dans la figure du droite.
Le graphe des préfixes-suffixes, qui représente la décomposition, est montré au
centre. Le symbole e désigne le mot vide. Pour chaque tuile T (i), il y a autant
de sous-tuiles que de flèches qui partent du sommet i dans le graphe.

2.2.7 Retour à la dynamique symbolique

Échange de morceaux dans le fractal Pour montrer que l’addition par le
nombre de Tribonacci sur un tore de dimension 2 est symboliquement décrite par
un système substitutif, Rauzy s’appuie sur deux points
– D’abord, montrer que le système symbolique engendré par la substitution
commute avec une addition sur un tore. Concrètement, il montre que le sys-
tème symbolique est isomorphe en mesure à un échange de morceaux sur un
compact de R2 puis il montre que cet échange de morceaux se quotiente en
une addition sur un tore.
– Ensuite, montrer que le quotient de R2 dans le tore T2 est injectif. Cela revient
à montrer que le fractal de Rauzy est un domaine fondamental de R2 pour un
réseau bien choisi.
68

Lors de la généralisation de la définition des fractals aux substitutions Pisot, ces

deux points ont été traités séparément. Nous allons voir que la condition combi-
natoire de forte-coincidence déjà introduite permet de généraliser le premier point.
Nous verrons dans la section suivante qu’une autre condition combinatoire (dite
de super-coïncidences) permet de généraliser le second point, ainsi que d’autres
conditions plus géométriques ou arithmétiques.

Échange de morceaux La condition de fortes coïncidences assure que les pièces

du fractal sont disjointes en mesure.
Il existe une autre partition naturelle du fractal, qui consiste, dans la définition
des sous-tuiles T (i), à remplacer la condition uk = i par la condition uk−1 = i. On
obtient une autre partition du fractal en pièces disjointes, et on passe de la première
partition à la seconde en translatant chaque pièce T (i) par le vecteur −πl(i).
On définit ainsi une transformation sur le fractal de Rauzy : coder cette transfor-
mation selon la partition en sous-tuiles permet de retrouver exactement le système
engendré par la substitution. La partition est génératrice puisque chaque point du
fractal admet un unique codage sauf sur un ensemble de mesure nulle.

Théorème 2.2.4 ([AI01]) Soit σ une substitution primitive unitaire et Pisot. On

définit un échange de morceaux sur le fractal de Rauzy par : f : x ∈ T (i) 7→
x + πei ∈ T . Si σ vérifie la condition de fortes coïncidences, le codage symbolique
de la transformation f selon la partition donnée par les sous-tuiles est exactement le
système symbolique engendré par la substitution σ. De plus, ce codage est injectif en
mesure, ce qui signifie que la partition est génératrice pour l’échange de morceaux.

Là encore, ce résultat a été montré par étapes. D’abord dans le cas irréductible
dans [AI01]. Avec Vincent Canterini, nous avons redémontré ce résultat avec les
approches de séries entières dans (Trans. AMS, 2001). Cette nouvelle approche m’a
permis d’introduire le cas non unitaire dans (Erg. Th. Dyn. Sys., 2003). Le cas
réductible a été traité par Valérie Berthé et moi-même dans (JNT, 2007).

−→

Fig. 2.5 – Le fractal de Rauzy pour la substitution σ(1) = 12, σ(2) = 13, σ(3) = 1
et l’échange de morceaux défini à partir de ses trois sous-tuiles.

Quotient sur le tore : une condition suffisante On cherche toujours à com-

prendre des additions sur un tore. Pour cela, il faut remplacer l’échange de mor-
ceaux par une simple addition. Une manière simple est de quotienter le plan beta-
contractant dans lequel vit le fractal de Rauzy par un réseau qui assure que tous les
 69

vecteurs de translations π(ei ) sont égaux dans le quotient. L’existence de ce pas-

sage au quotient est assuré dans le cas où la substitution est irréductible (la taille
de l’alphabet est égale au degré de la valeur propre dominante).
Dans le cas général, Joerg Thuswaldner et moi-même avons montré qu’une condi-
tion supplémentaire est nécessaire pour pouvoir procéder à un passage au quotient.
Définition 2.2.5 (Monographie S. & T., 2008) On dit qu’une substitution pri-
mitive Pisot vérifie la condition de quotient map, s’il existe d lettres distinctes B(1),
. . . , B(d) dans A telles que
X
∀i ∈ {1, . . . , n} hei − eB(1) , vβ i ∈ ZheB(k) − eB(1) , vβ i. (2.2)
k∈{2,...,d}

On vérifie par exemple que la substitution σ0 vérifie cette condition.

Par contre, une des substitutions canoniques issues de la beta-numération ne
vérifie pas cette condition σ1 (1) = 12, σ1 (2) = 3, σ1 (3) = 4, σ1 (4) = 5, σ1 (5) = 1
(voir la monographie). Cette substitution entre dans le cadre des contre-exemples
pour la propriété de systèmes substitutifs à spectre purement discret discuté dans
la section [BBK06]. Le système substitutif n’est pas isomorphe à une translation sur
un tore : puisqu’il ne vérifie pas la condition de quotient map, son spectre est trop
large d’un point de vue algébrique pour être associé à un réseau. Par contre, comme
cela a été montré dans [EI05], le système substitutif est isomorphe à l’application
de premier retour d’une translation sur un tore, qui est obtenu comme le quotient
de R2 par un réseau dont le domaine fondamental consiste à adjoindre au fractal
de Rauzy une copie de sa plus grande pièce.

Systèmes isomorphes à une translation sur un tore Pour les substitutions σ

qui vérifient à la fois la condition de fortes coïncidences et la condition de quotient,
nous avons montré que le système substitutif admet pour facteur topologique une
translation sur un tore de dimension d − 1, où d est le degré algébrique de la valeur
propre dominante de la matrice (voir (Trans. AMS, 2001) et (Monographie S. & T.,
2008)). De plus, la projection du système substitutif Xσ sur le tore admet des fibres
qui sont constantes presque partout (voir une ébauche de la preuve dans (Pytheas
Fogg, LNM, 2002), ainsi que dans [IR06]).
En particulier, du point de vue des codages symboliques, on s’approche d’une
condition pour que le système substitutif soit une translation sur un tore. En col-
laboration avec Vincent Cantérini (pour le cas irréductible) et Joerg Thuswaldner
(pour le cas réductible), nous avons obtenu la condition suivante.
Proposition 2.2.6 (Trans. AMS, 2001) et (Monographie S. & T., 2008)
Soit σ une substitution primitive Pisot unitaire qui vérifie la condition de fortes
coïncidences et la condition de quotient. Soit d le degré algébrique de la valeur
propre dominante de σ.
Si le fractal de Rauzy
P est un domaine fondamental du réseau du plan beta-
contractant défini par k∈{2,...,d} ZhπeB(k) − πeB(1) ), alors il existe une translation
sur un tore de dimension d − 1 et une partition de ce tore qui est codée symbolique-
ment par le système symbolique engendré par la substitution.
70

Ainsi, savoir si un système substitutif est un codage générateur pour une addition
sur un tore est ramené à une question de pavage.

Une condition suffisante pour obtenir une partition de Markov Ce résul-

tat et les intuitions concernant les sections de partitions de Markov décrites à la
section 2.2.2 permettent aussi de proposer un procédé pour construire des partitions
de Markov pour les automorphismes hyperboliques du tore unitaires, Pisot et irré-
ductibles. Il s’agit de construire un ensemble de Rn qui a une forme pre-cylindrique :
la base est constituée des sous-tuiles du fractal de Rauzy dans l’hyperplan contrac-
tant, le cylindre s’élevant le long de la direction dilatante avec une hauteur qui
dépend du volume de la sous-tuile considérée :
X = ∪T (i) × [0, huβ , ei i].
Proposition 2.2.7 (Thèse de troisième cycle) Soit M un automorphisme hy-
perbolique du tore Tn à coefficients tous positifs qui admet une unique valeur propre
dilatante. Soit σ une substitution qui admet M pour matrice d’incidence. Si σ vé-
rifie la condition de fortes coïncidences et si le fractal de Rauzy est un domaine
fondamental du réseau engendré par les vecteurs π(ek ) − π(e1 ) pour k = 2 . . . n,
alors l’ensemble X est une partition de Markov pour l’action de M sur le tore.
Ce résultat a été démontré dans [IR06] avec des approches inspirées par la géo-
métrie discrète. Auparavant, j’en avais donné une démonstration dans ma thèse de
troisième cycle.
Dans le cas plus général où l’automorphisme admet plusieurs valeurs propres
dilatante mais où la plus grande est un nombre de Pisot, alors le fractal de Rauzy
permet de construire une partition de Markov pour l’action de la matrice sur l’espace
engendré par les espaces propres associés à la valeur propre dominante et à ses
conjugués algébriques [IR06].
Comme dans le cas des additions, on a ainsi ramené l’existence d’une partition
de Markov pour un automorphisme du tore à une question de pavage. Nous allons
pouvoir maintenant nous attaquer concrètement à la vérification de cette propriété
de pavage.

2.3 Obtenir (enfin) une bonne dynamique symbo-

lique
Finalement, que ce soit pour comprendre la dynamique symbolique de certaines
additions ou multiplications sur un tore, nous sommes ramenés à considérer des
substitutions primitives Pisot et unitaires et nous cherchons à savoir si le système
symbolique engendré par n’importe quel point périodique de la substitution est le
codage d’une translation sur un tore. Pour cela, nous avons proposé un candidat
pour la translation sur le tore, ainsi que la partition du tore qui produirait un codage
convenable. La seule hypothèse à vérifier maintenant est de savoir si le fractal de
Rauzy est un domaine fondamental pour le réseau considéré.
 71

2.3.1 Des pavages périodiques aux pavages autosimilaires

Ébauche de la preuve pour la substitution de Tribonacci Pour vérifier que
le fractal de Rauzy est un domaine fondamental pour un réseau dans le cas de la
substitution de Tribonacci, Rauzy a montré que l’aire du fractal était exactement
égale à l’aire d’une maille du réseau. Plus précisément, il a identifié les points du
réseau qui sont inclus dans le fractal [Rau82]. Or, cette démonstration n’a pas pu
être généralisée, elle est vraiment spécifique au système de numération associé au
nombre de Tribonacci. Une autre direction de recherche a donc été engagée par la
communauté : travailler sur différentes conditions de pavages.

Recouvrement multiple et pavages Précisons maintenant ce qu’on entend

par un pavage. Un recouvrement multiple du plan beta-contractant Hc par les sous-
tuiles SA est donné par un ensemble de translations Γ ⊂ Hc × A tel que : (1)
Hc = (γ,i)∈Γ T (i) + γ, (2) Tout compact de Hc intersecte un nombre fini de tuiles,
(3) il existe un entier p tel que presque tous les points Hc appartiennent à exactement
p tuiles.
Ainsi, les éléments de Γ sont de la forme [γ, i] et donnent un nom et un em-
placement aux pièces du recouvrement : γ dit qu’il faut positionner une tuile à
l’emplacement γ dans l’espace Hc , i spécifie quel genre de tuile doit être positionné
à cet endroit.
Quand les éléments du recouvrement ont des intérieurs disjoints deux-à-deux
(autrement dit p = 1), on dit que le recouvrement multiple est un pavage.
Ainsi, la proposition 2.2.6 nous dit que si la substitution vérifie la condition de
quotient map (2.2) (en particulier dans le cadre irréductible), le plan Hc admet un
recouvrement multiple par l’ensemble de translation
( n
)
X
n
Γlat = [γ, i] ∈ π(Z ) × A | γ ∈ Z(π(eB(k) ) − π(eB(1) )) . (2.3)
k=2

Le recouvrement est ici périodique parce que la condition surPles tuiles est indé-
pendante du nom des tuiles : pour tout point γ dans la grille nk=2 Z(π(eB(k) ) −
π(eB(1) )), on place une copie de toutes les tuiles. Un exemple est illustré à la Figure
2.6 pour la substitution σ0 qui vérifie bien la condition de quotient.

Recouvrement autosimilaire On obtient un nouvel ensemble de translations

pour un recouvrement multiple en considérant l’ensemble
Γsrs = {[π(x), i] ∈ π(Zn ) × A; 0 ≤ hx, vβ i < hei , vβ i}. (2.4)
D’un point de vue géométrique, cet ensemble de points et de noms de pièces cor-
respond à une discrétisation de plan dans l’esprit de Reveilles [Rev91] : il s’agit
de sélectionner les points à coordonnées entières qui sont au dessus de Hc et qui,
translatés par un vecteur canonique ei , sont au dessous de Hc [ABI02].
On montre que cet ensemble est un ensemble de translation pour un recouvre-
ment multiple de Hc : il est uniformémentS discret, relativement dense et localement
fini [ABI02, BK06, IR06, EIR06]. Hc = [γ,i]∈Γsrs (T (i) + γ).
72

Fig. 2.6 – Recouvrements périodiques (à gauche) et autosimilaire (à droite) associé

au fractal de Rauzy de la substitution σ0 .

La spécificité de ce recouvrement est son autosimilarité [LW96] : il est stable lors-

qu’on remplace chaque tuile par sa décomposition autosimilaire puis procède à une
renormalisation. Autrement dit, on vérifie que Γsrs est stable par la transformation
[π(x), i] → ∪σ(j)=pis [x + h−1 πl(p), j].

Partition de Markov Dans la section précédente, nous avons mis en évidence

une relation entre l’existence d’une partition de Markov basée sur les fractals de
Rauzy et la vérification d’un propriété de pavage périodique. Avec les approches
d’espaces de pavage, on montre que ces conditions sont équivalentes dans le cas
irréductible.

Théorème 2.3.1 ([IR06, EIR06, BK06]) Soit σ une substitution primitive Pi-
sot unitaire. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
– Les sous-tuiles du fractal de Rauzy pavent l’espace contractant Hc de manière
autosimilaire.
– Le fractal de Rauzy est la base d’une partition de Markov pour l’action de
la matrice d’incidence de la substitution sur un tore obtenu en quotientant
l’espace engendré par les espaces propres associés à sa valeur propre dominante
et à ses conjugués algébriques.
Si, de plus, la substitution est irréductible, alors ces conditions sont équivalentes
au fait que le système symbolique engendré par la substitution est un codage d’une
translation sur un tore de dimension d − 1, pour une partition génératrice donnée
par les sous-tuiles du fractal. La partition de Markov représente alors l’action de la
matrice sur le tore Tn .
 
1 1 1
Ainsi, pour la matrice M =  1 0 0 , qui correspond à la substitution
0 1 0
de Tribonacci, une partition de Markov est donnée à partir du fractal de Rauzy,
comme montré Fig. 2.7. Cette pièce pave l’espace selon un Z3 , et elle montre que
 73

l’orbite de tout point de l’espace est caractérisé par des chemins dans un graphe à
trois états. Les arêtes de ce graphe ayant des étiquettes toutes distinctes, le graphe
est déterministe et la représentation symbolique est markovienne.

Fig. 2.7 – Partition de Markov pour l’action de matrice de la substitution de Tribo-

nacci sur le tore de dimension 3. Cette pièce est un domaine fondamental du réseau
Z3 , comme illustré sur la figure centrale. À partir de cette représentation, on en
déduit que l’action de la matrice sur le tore est exactement décrite par les chemins
du graphe des préfixes-suffixes présenté à droite.

Conjecture Pisot Dans ce contexte, la conjecture Pisot exprime le fait que le

recouvrement autosimilaire est un pavage. Elle a d’abord été énoncée par les physi-
ciens [BT86] avant d’être formalisée en terme de substitutions [Fog02] dans le cadre
irréductible puis étendue au cadre réductible [BBK06]. Elle se dérive différemment
en fonction du type de substitution considérée.
– Pour toute substitution Pisot unitaire irréductible, les recouvrements pério-
diques et autosimilaires par le fractal de Rauzy sont tous les deux des pavages.
– Pour toute substitution Pisot unitaire (réductible), le recouvrement autosimi-
laire par le fractal de Rauzy est un pavage.
Cette conjecture est prouvée pour les substitutions irréductibles sur deux lettres.
À ce jour, tous les exemples testés par les mathématiciens n’ont pas permis
d’exhiber un contre-exemple à cette conjecture. Cependant, comme nous allons le
voir, les méthodes qui ont été utilisées ne sont pas réellement automatiques, et les
exemples considérés concernent principalement des fractals de Rauzy dans R2 ou
R3 . Une étude systématique de cette conjecture reste à faire, et demande pour cela
des algorithmes efficaces pour vérifier la condition de pavage.

2.3.2 Différentes conditions de pavage

Les différentes conditions de pavage existant sont liées aux modes de construc-
tion du fractal évoqués plus haut ; avec Valérie Berthé et Joerg Thuswaldner, j’écris
74

actuellement une synthèse sur ce sujet (CANT, 2009) à paraître chez Cambridge
University Press.

Construction par projection d’escalier : super-coïncidences La construc-

tion du fractal de Rauzy comme projection de lignes brisées est intimement liée à
l’approche par flot de translation. De cette approche ressort une condition combi-
natoire sur la substitution pour que le recouvrement autosimilaire soit un pavage.
Il s’agit de la condition de super-coïncidences. Cette condition est parue simulta-
nément (issues de points de vues combinatoires et ergodiques) dans [IR06, BK06]
pour le cas Pisot unitaire irréductible. Elle a ensuite été étendue au cas réductible
dans [EIR06, BBK06].
Grossièrement, cette condition demande que pour toute paire de lignes brisées
partant d’une face du plan discret Γsrs associé à la substitution, les escaliers par-
tagent au moins un segment en commun. Cette définition est à mettre en balance
avec la condition de fortes coïncidences qui assure que les sous-tuiles du fractal sont
disjointes : il fallait alors que les escaliers partant des faces du cube unité partagent
un segment. Si on veut un pavage, il faut étendre cette condition à toutes les faces
du plan discret.
En utilisant cette condition, il a été montré qu’une famille importante de sub-
stitutions associées à des beta-numérations vérifie la condition de pavage [BBK06].
La preuve est de nature ergodique.
La vérification de cette condition peut aussi se faire à l’aide d’un algorithme
de paires balancées, dans la lignée des idées introduites dans les années 1980 pour
l’étude du spectre des systèmes substitutifs ([Liv87], voir aussi mon survol (Pytheas
Fogg, LNM, 2002)). Cet algorithme n’a cependant jamais été implémenté, ni sa
complexité étudiée. Par construction, cet algorithme termine si et seulement si la
condition de super-coïncidences est vérifiée.

Construction arithmétique : condition (W) Comme déjà évoqué, les fractals

de Rauzy apparaissent naturellement en théorie des nombres. Par construction, le
plan beta-contractant Hc est isomorphe à l’ensemble Rr−1 × Cs , où r − 1 est le
nombre de conjugués réels de β et 2s le nombre de conjugués complexes. Or, il
existe un plongement naturel de Q(β) dans cet ensemble :
ϕ : x = P (β) ∈ Q(β) → (P (β (2) ), . . . , P (β (r+s) )) ∈ Rr−1 × Cs (2.5)
Selon l’approche de Thurston [Thu89], on définit la tuile centrale associée à β
comme la représentation par φ de l’ensemble des entiers pour la numération défini
en (2.1) : Te := ϕ(Int(β)). Avec mes collaborateurs, nous avons montré, avec une
décomposition spécifique, que cette tuile centrale vérifie exactement le GIFS associé
à une substitution qui est définie à partir du développement de 1 (voir (Monas.
Math., 2008), (JNT, 2007), (Integers, 2005)). Par unicité des solutions d’un GIFS,
on en déduit que la tuile centrale pour une beta-numération est exactement le fractal
de Rauzy d’une substitution spécifique.
Dans (Integers, 2005), nous avons montré la réciproque de cette propriété : tout
fractal de Rauzy d’une substitution Pisot unitaire est représentation de l’ensemble
 75

des entiers d’une numération. Il suffit pour cela d’étendre la définition des beta-
numérations aux numérations de Dumont-Thomas. En effet, selon [DT93], pour
toute substitution sur un alphabet A et pour chaque lettre a de P A, il est possible de
développer les réels de l’intervalle [0, hvβ , ea i[ sous la forme x = i≥1 hvβ , l(qi )iβ −i ,
où les qi sont des suites de préfixes lus dans le graphe des préfixes-suffixes à partir
du sommet a. On note dσ,a (x) la suite des préfixes qi . Dans (Integers, 2005), Valérie
Berthé et moi-même montrons que les chiffres qi de ce nouveau développement
peuvent être produits de manière gloutonne à partir d’un système dynamique sur
une suspension d’intervalles.

Proposition 2.3.2 (Integers, 2005) Soit σ une substitution primitive Pisot uni-
taire. Soit a une lettre de l’alphabet. Soit vβ un vecteur propre dominant de la
transposée le la matrice d’incidence de σ.
Pour tout x ∈ [0, hvβ , ea i[, on note q1 , q2 , . . . les préfixes d’images de lettres
qui constituent
P le développement de Dumont-Thomas de x : x peut s’écrire sous la
forme x = i≥1 hvβ , l(qi )iβ −i où les qi sont les étiquettes d’un chemin du graphe
des préfixes-suffixes qui part de a.
Alors les qi sont obtenus par codage de la dynamique suivante, qui étend les
beta-transformations.
S S
Tσ : a∈A [0, hvβ , ea i) × {a} → a∈A [0, hvβ , ea i) × {a}
(x, b) 7→ (βx − hv β , l(q)i, c)
(2.6)
σ(b) = qcs
avec
βx − δσ (q) ∈ [0, hvβ , ec i).

Nous en avons déduit que pour toute substitution primitive, le fractal de Rauzy
est la représentation des réels qui sont des entiers pour cette nouvelle numération
(Integers, 2005). Ceci a permis d’expliciter définitivement pourquoi les approches
par représentation des entiers et par représentation des points fixes sont strictement
équivalentes.
Du point de vue des beta-numération, la condition de pavage autosimilaire s’ap-
pelle propriété (W) pour weak finiteness condition [Hol96, Aki02]. Elle spécifie que

∀z ∈ Z[β −1 ] ∩ [0, 1), ∀ε > 0, ∃x, y ∈ Fin(β) tel que z = x − y et y < ε.

Pour vérifier cette condition, un algorithme est donné par [ARS04] ; Il a été
utilisé pour caractériser tous les nombres cubiques qui la vérifient. Dans (CANT,
2009), nous donnons une généralisation de cette condition à toutes les substitutions,
à l’aide de géométrie discrète. On ne sait pas encore si un algorithme permet de la
vérifier.

Construction par approximations successives : mesure de la frontière

Une autre approche pour obtenir le fractal de Rauzy consiste à construire des ap-
proximations polygonales successives et à les renormaliser. On montre que la limite
de Haussdorf de ces approximations vérifie le GIFS donné par le graphe des préfixes-
suffixes, et est donc égale à au fractal de Rauzy [AI01].
76

Dans ce cadre, pour vérifier que la condition de pavage autosimilaire est satis-
faite, il suffit de montrer que le bord des approximations successives converge vers
un ensemble de mesure nulle [IR06]. Pour vérifier cela, l’école japonaise propose
d’utiliser une description des approximations de la frontière par un morphisme de
groupe libre, et lorsqu’il y a peu d’annulation dans cette description, en déduit qu’il
y a effectivement pavage [IK91, EI05].
Cette méthode est intéressante pour certaines substitutions, mais aucun travail
à ce jour n’en a déduit des critères généraux de pavage.

Construction par autosimilarité : description de la frontière Enfin, une

dernière approche pour montrer qu’un recouvrement est un pavage consiste à calcu-
ler les intersections du fractal avec tous ses voisins dans le recouvrement considéré,
puis à montrer que ces intersections sont de mesure nulle.
La propriété fondamentale utilisée ici est la relation d’autosimilarité du fractal,
couplée avec le fait que les recouvrements sont définis par des ensembles localement
finis permet de définir un graphe fini qui décrit les intersections du fractal avec ses
voisins.
Cette approche a été d’abord utilisée dans le cas de la substitution de Tribonacci
[Mes98, Mes00], puis pour des substitutions Pisot irréductibles, dans [FFIW06] pour
les recouvrements autosimilaires. Je l’ai moi-même généralisée dans (Ann. Inst.
Fourier, 2004) pour étudier des recouvrements périodiques.

Avantages et limitations Après avoir synthétisé toutes ces approches, il faut

noter qu’elles ont finalement été développées de manière ad-hoc sans prendre en
compte les différents points de vue existant sur les fractals de Rauzy.
– Aucune ne traite complètement de manière décidable le cas des recouvrements
autosimilaires : la condition de super-coïncidences, via l’algorithme des paires
balancées, n’est que semi-décidable, puisqu’il ne termine que si la condition est
vérifiée. La condition (W) n’est vérifiable que pour les beta-substitutions ; la
construction des graphes de frontière n’est valable que dans le cas irréductible.
– Le cas du recouvrement périodique n’est traité que dans le cas irréductible, la
plupart du temps via l’équivalence avec le recouvrement autosimilaire (valable
uniquement dans cette situation). Or, dans le cas réductible, il n’y a plus
équivalence entre pavage autosimilaire et pavage périodique. Les méthodes
décrites ne sont donc plus valables. Par exemple, aucune de ces méthodes ne
permet de déterminer si le recouvrement périodique associé à la substitution
σ0 et montré Figure 2.6 est bien un pavage.
Les seules approches qui intègrent directement l’aspect périodique sont la
construction par approximations successives, qui hélas ne propose pas de cri-
tère explicite [FFIW06], et la construction par graphe de frontière, qui dans
(Ann. Inst. Fourier, 2004) ne concerne que les substitution irréductibles.
Ces constats m’ont mené, avec Joerg Thuswaldner, à proposer une méthode
globale pour répondre globalement à la question des pavages de manière décidable.
 77

2.3.3 Graphes de frontière et condition décidable de pavage

Dans (Monographie S. & T., 2008), avec J. Thuswaldner, nous faisons une
synthèse des approches par graphes de frontière de (Ann. Inst. Fourier, 2004) et
[FFIW06], en incluant une nouvelle famille de graphes (dits de contacts) introduits
dans [Thu06], pour généraliser leur construction au cas des substitutions réductibles
et aux conditions de pavages périodiques.

Idée générale On considère l’intersection entre une sous-tuile T (i) et une autre
tuile du recouvrement, notée T (j) + γ. Il est possible de décomposer les deux sous-
tuiles selon le GIFS qui gouverne le fractal, on obtient alors
[
T (i) ∩ (T (j) + γ) = (hT (i1 ) + πP(p1 )) ∩ (hT (j1 ) + πP(p2 ) + γ).
σ(i1 )=p1 is1
σ(j1 )=p2 js2
[
=h (T (i1 ) + h−1 πP(p1 )) ∩ (T (j1 ) + h−1 πP(p2 ) + h−1 γ).
σ(i1 )=p1 is1
σ(j1 )=p2 js2

Le jeu dans les publications considérées consiste à exhiber un vecteur e et un

autre vecteur γ ′ dans l’ensemble de translation associé au recouvrement tel que les
intersections dans la partie droite des équations ci-dessus se réécrivent sous une
forme convenable à translation près :

(T (i1 ) + h−1 πP(p1 )) ∩ (T (j1 ) + h−1 πP(p2 ) + h−1 γ) = e + T (i′ ) ∩ (T (j ′ ) + γ ′ )

on obtient finalement
[
T (i) ∩ (T (j) + γ) = h e + T (i′ ) ∩ (T (j ′ ) + γ ′ ) (2.7)
σ(i1 )=p1 is1
σ(j1 )=p2 js2

Ainsi, l’intersection entre T (i) et T (j) + γ se décompose en intersections du

même type, modulo des translations de vecteurs e.
Or, les recouvrements considérés sont tous localement finis, il n’existe donc qu’un
ensemble fini d’intersections de la forme T (i) ∩ (T (j) + γ) qui sont non vides. On
peut donc construire un graphe fini, qui contient toutes les intersections a priori
non vides de la forme T (i) ∩ (T (j) + γ), et où les arêtes représentent des inclusions
décrites dans (2.7).

Positionnement des différentes approches par rapport à l’idée générale

Même si cette approche semble naturelle, elle n’était pas tout-à-fait présentée de
cette manière dans [FFIW06, Thu06] ou (Ann. Inst. Fourier, 2004). En particulier,
deux points clé ont posé problème :
– Les tuiles T (j) + γ étaient construites sous la forme T (j) + x, avec x ∈ Zn .
Autrement dit, ces publications assimilaient le plan discret Γsrs ou le réseau
Γlat avec Zn . Lorsque l’espace beta-contractant est un hyperplan, cela ne pose
78

aucun problème puisqu’il y a une correspondant une-à-une entre ces deux

ensembles. Dans le cas réductible, cette correspondance n’existe plus.
Dans (Monographie S. & T., 2008), nous avons donc proposé de définir les
tuiles du recouvrement sous la forme T (j) + γ, avec γ ∈ π(Zn ), ce qui assure
l’unicité de l’écriture et surtout le fait que les vecteurs γ forment un ensemble
localement fini. En particulier, cela a mené à modifier la définition des en-
sembles de translation Γsrs et Γlat par rapport à celles de [Thu06, FFIW06]
en introduisant la projection π au sein même de la définition des vecteurs de
translation.
– Dans le cas des pavages périodiques, les vecteurs γ ′ obtenus dans (2.7) n’ap-
partiennent plus à l’ensemble de translation Γlat considéré initialement. Cela
pose un problème de stabilité.
Nous avons résolu ce problème en introduisant un nouvel ensemble de trans-
lation, qui contient les vecteurs γ0 + γ ∗ , où γ ∗ ∈ Γsrs et γ0 appartient à
sous-ensemble fini de Γlat (qui contient toutes les tuiles du pavage périodique
ayant une chance d’intersecter le fractal de Rauzy). Ces nouveaux vecteurs
forment un ensemble localement fini (même s’il n’a plus d’interprétation géo-
métrique simple), et il s’agit de la seule hypothèse nécessaire pour définir un
graphe de frontière.
– Une intersection de la forme T (i) ∩ (T (j) + γ) est non vide si et seulement
si T (j) ∩ (T (i) − γ) est elle aussi non vide. Il y a donc redondance dans la
construction du graphe, qui pose des problèmes d’explosion combinatoire lors
des calculs, ce qui peut déjà se voir dans [Mes98] et (Ann. Inst. Fourier, 2004).
Suivant la proposition de [FFIW06], nous avons proposé de définir un unique
représentant pour chaque couple d’intersections, ce qui revient à ordonner les
variables pour définir un bon parcours des contacts.

Définition des graphes de frontière

1. Nommer les noeuds du graphe : éviter la redondance. Les noeuds des graphes
de frontière représentent les intersections de la forme T (i) ∩ T (j) + γ. On
désigne cette intersection par un triplet [i, γ, j] ∈ A × π(Zn ) × A. Pour éviter
des redondances, on limite les noeuds du graphe à l’ensemble

D = {[i, γ, j] ∈ A × π(Zn ) × A | γ = π(x), (hx, vβ i > 0) ou (γ = 0 et i ≤ j)}.

2. Limiter les noeuds du graphe : utiliser la propriété de finitude locale. Nous

nous intéressons seulement aux intersections non vides. Or, les sous-tuiles
sont bornées. Cela fournit une borne pour γ dans le triplet [i, γ, j] :
2 max{||πP(p)||; (p, a, s) ∈ P}
||γ|| ≤ (2.8)
1 − max{|β (j) |; j = 2, . . . , d}
où la norme est définie sur Hc par ||x|| = max{|hx, vβ (i) i|; i = 2, . . . , r + s}.
Cette condition, ajoutée à une contrainte donnée par la définition de l’en-
semble de translation considéré pour le recouvrement, va assurer que les γ
sont en nombre fini.
 79

3. Définir les arêtes du graphe : inclusion dans la décomposition par GIFS. Les
arêtes du graphes sont définies par la relation (2.7). Un travail technique
est nécessaire pour identifier les représentants dans D des intersections qui
apparaissent dans la partie droite de (2.7) (voir (Monographie S. & T., 2008)).
4. S’adapter au pavage considéré : considérer des chemins infinis. C’est seule-
ment à cette étape que le graphe est spécifié en fonction du recouvrement
considéré (périodique ou autosimilaire). Pour un ensemble de translation don-
né Γ, le graphe de frontière est l’ensemble des chemins infinis dans le graphe
précédent issus des sommets [i, γ, j] tels que [γ, j] ∈ Γ. On montre dans (Mo-
nographie S. & T., 2008) que les conditions qui définissent ce graphe en font
un graphe fini.

Propriété fondamentale du graphe de frontière : description des intersec-

tions L’intérêt du graphe de frontière réside dans le résultat suivant : un graphe
de frontière permet de décrire l’ensemble des tuiles qui s’intersectent dans un re-
couvrement, que la condition de pavage soit vérifiée ou non.

Théorème 2.3.3 (Monographie S. & T., 2008) Soit σ une substitution primi-
tive Pisot unitaire. Soit Γ ⊂ π(Zn ) × A un ensemble de translations localement fini
qui permet de recouvrir l’espace beta-contractant à l’aide des sous-tuiles du fractal
de Rauzy.
L’intersection d’une sous-tuile T (i) avec une autre tuile T (j)+γ du recouvrement
est non vide si et seulement si [i, γ, j] ou [j, −γ, i] est un noeud du graphe de frontière
associé à Γ.

De plus, le graphe de frontière fournit une description autosimilaire des intersec-

tions de la forme T (i) ∩ (T (j) + γ), notée B[i, γ, j]. En effet, on déduit du théorème
2.3.3 que ces intersections vérifient le GIFS
[
B[i, γ, j] = hB[i1 , γ1 , j1 ] + e.
in
e
[i,γ,j]−
→[i1 ,γ1 ,j1 ] (B)
GΓ

Ceci fournit un critère explicite pour vérifier la condition de pavage : il suffit de

vérifier que la mesure de Haussdorf (ou la box-dimension) des intersections est stric-
tement inférieure à la dimension de l’espace contractant. Hors, on sait calculer la
box-dimension d’un GIFS en fonction aux valeurs propres de la matrice graphe qui
dirigé le GIFS.
On obtient donc un critère explicite, décidable et adapté à toutes les substitu-
tions Pisot, pour vérifier qu’un recouvrement autosimilaire ou périodique est effec-
tivement un pavage, qui est le résultat principal de ce chapitre.

Théorème 2.3.4 (Monographie S. & T., 2008) Soit σ une substitution primi-
tive Pisot et β la valeur propre dominante de sa matrice d’incidence.
– Le recouvrement autosimilaire associé à σ est un pavage si et seulement si la
valeur propre dominante de la matrice du graphe de frontière pour l’ensemble
de translation autosimilaire Γsrs est strictement inférieure à β.
80

– Supposons que la substitution vérifie la condition de quotient. Le recouvrement

périodique associé à σ est un pavage si et seulement si la valeur propre do-
minante de la matrice du graphe de frontière pour l’ensemble de translation
périodique Γlat est strictement inférieure à β.

2.3.4 Description de la frontière

GIFS pour la frontière Lorsque les conditions de pavage sont vérifiées, on en
déduit en particulier une équation pour la frontière des sous-tuiles T (i) :
[ [
∂T (i) := B[i, γ, j] ∪ B[j, 0, i].
(B) (B)
[i,γ,j]∈Gsrs [j,0,i]∈Gsrs
[i,γ,j]6=[i,0,i] j<i

Ces équations seront systématiquement utilisées dans le chapitre 3 pour ob-

tenir des propriétés topologiques des fractals ainsi que des propriétés des beta-
numérations.

Exemple Dans la figure 2.8, nous donnons le graphe de frontière pour le recou-
vrement autosimilaire de σ0 . En considérant tous les sommets qui sont de la forme
[1, γ, j], on peut ainsi retrouver toutes les tuiles du recouvrement qui sont adja-
centes à la tuile centrale T (1). Ainsi, on montre que T (1) intersecte les trois autres
sous-tuiles T (2), T (3) and T (4) (puisque les sommets [1, 0, 2], [1, 0, 3] and [1, 0, 4]
apparaissent dans le graphe).
Cette tuile intersecte aussi cinq autres tuiles du recouvrement : T (1) + π(0, 0,
1, 0), T (2) + π(0, 0, 1, 0), T (1) + π(0, 1, −1, 0), T (1) + π(0, 1, 0, 0) et T (1) + π(1, −1,
1, 0), qui correspondent aux sommets du graphe [1, π(0, 0, 1, 0), 1], [1, π(0, 0, 1, 0), 2],
[1, π(0, 1, −1, 0), 1], [1, π(0, 1, 0, 0), 1], [1, π(1, −1, 1, 0), 1].
En étudiant la valeur propre maximale de la matrice d’incidence de ce graphe,
on montre que le recouvrement autosimilaire est bien un pavage, comme illustré
Figs. 2.6 et 2.8.

Graphe des points triples, quadruples et autres Une remarque importante

est à faire pour ce formalisme : rien n’empêche de remplacer les intersections entre
deux tuiles par des intersections entre trois tuiles, voire quatre tuiles. On obtient
simplement des graphes de taille plus importante, mais leur définition théorique ne
pose aucun problème (si ce n’est des points techniques). Ces graphes sont précisé-
ment définis dans (Monographie S. & T., 2008). Ils permettent de décrire explicite-
ment l’ensemble des points triples et quadruples dans le pavage autosimilaire.
Par exemple, on montre formellement que, comme illustré Fig. 2.8, le pavage
autosimilaire pour la substitution σ0 induit exactement 5 points quadruples, c’est-
à-dire qu’il y a exactement 5 points du plan qui se trouvent à l’intersection d’au
moins 4 tuiles du pavages, dont une appartient à la tuile centrale.
L’identification des points triples et quadruple est nécessaire pour comprendre
la topologie des fractals, comme cela est discuté dans le chapitre 3.
 81

Fig. 2.8 – Graphe de frontière pour le recouvrement autosimilaire de la substitution

σ0 (1) = 112, σ0 (2) = 113, σ0 (3) = 4, σ0 (4) = 1. Les noms des arêtes sont omis.
“pi” désigne la projection π. Par construction, un sommet [i, γ, j] apparaît dans ce
graphe si et seulement si la sous-tuile T (i) la sous-tuile T (j) + γ dans le pavage
autosimilaire. On en déduit par exemple que la sous-tuile T (1) (en bleu foncé) a
exactement 8 voisins dans le pavage autosimilaire, comme illustré dans la figure du
bas.
82

2.4 Perspectives de travail : le cas non Pisot

En conclusion, la représentation symbolique des additions et des multiplications
sur l’intervalle est bien connue et très exploitée. La généralisation au cas multidi-
mensionnel est plus complexe. Un cas moins difficile que les autres se distingue,
il s’agit du codage des automorphismes hyperboliques du tore à coefficients posi-
tifs qui admettent une unique valeur propre dilatante ; dans ce cas, on dispose de
conditions combinatoires qui assurent que l’automorphisme est représenté par un
système symbolique markovien. De plus, la translation sur un tore définie à partir
du vecteur propre de la transposée de la matrice est représentée par un système
symbolique engendré par une substitution.
Les perspectives dans ce domaine sont principalement des questions de tests
automatiques et de généralisation à des cas non Pisot.

Complexité et expérimentations sur des alphabets grande échelle La

première question qui n’a pas été encore traitée est de déterminer la complexité des
algorithmes de vérification des conditions de pavage. Ensuite, il serait intéressant
d’appliquer cet algorithme à des jeux de matrices aléatoires Pisot de grande taille
pour savoir si la conjecture Pisot est spécifique à des dimensions de petite taille ou
si elle est encore vraie expérimentalement pour de grands alphabets.

Propriétés des partitions de Markov Dans le cas Pisot unitaire, on dispose

maintenant de critères pour obtenir des partitions de Markov. Cependant, on ne
maîtrise ni la forme (propriétés topologiques) de ces partitions, ni la complexité du
langage associé. Or, pour chaque automorphisme du tore Pisot, il existe plusieurs
substitutions qui admettent cette matrice pour matrice d’incidence. Un domaine
important de recherche consiste donc à proposer des critères de sélection d’une
substitution pour une matrice donnée, et vérifier que pour toute matrice il existe
une substitution qui vérifie ces critères. Dans cette direction, nous proposons au
chapitre 3 (section 3.1) des critères pour contrôler la topologie des fractals.

Partitions de Markov pour les endomorphismes du tore Les résultats dé-

crits ici concernent le cas Pisot unitaire. Cependant, les cas non unitaire et surtout
non Pisot sont tout aussi intéressants. Cependant, dans ces cas là, le modèle d’une
partition de Markov définie comme une suspension d’un fractal n’est plus valable.
Le cas non unitaire Pisot peut-être traité en ajoutant à la représentation des
éléments p-adiques, nous discutons cette question dans le chapitre 3 (section 3.2).
On peut alors définir un fractal et des critères pour que le système substitutif
soit isomorphe à une translation sur un groupe compact. Obtenir une partition de
Markov pour un endomorphisme du tore Pisot (et non inversible) est plus difficile,
mais l’approche p-adique est prometteuse pour construire la base de la partition,
comme discuté à la section 3.4.

Partitions de Markov pour des automorphismes non positifs du tore Les

résultats obtenus ici concernent des automorphismes Pisot dont les coefficients sont
 83

tous positifs. Pour étudier des automorphismes avec des coefficients négatifs, une
piste consiste à considérer non plus des substitutions mais des automorphismes du
groupe libre, c’est-à-dire des règles de transformations qui autorisent des annulations.
Par exemple, dans [AFHI07], les auteurs exploitant les constructions de frac-
tals à l’aide d’approximations polygonales ainsi que les formalismes d’itérations
définis dans [SAI01]. Cela permet de construire une partition de Markov pour un
automorphisme du tore T4 admettant deux directions dilatantes et deux directions
contractantes, avec certains coefficients négatifs. La généralisation de cette approche
et la définition de graphes de frontière pour les pièces de la partition de Markov
obtenue dans[AFHI07] est le prochain travail à effectuer dans cette direction.
L’étude des automorphismes du groupe libre présente des intérêts plus généraux
que la construction de partition de Markov. Dans cette direction, dans la section
3.4.3, nous discuterons de la dynamique symbolique pour les laminations attractives
de classes d’automorphismes du groupe libre et ses applications pour la définition
d’invariants à conjugaison près.

Représentation des additions sur un tore Dans le cas non algébrique, pour
les additions, la principale question concerne la description de la dynamique sym-
bolique des additions sur un tore, quelles qu’elles soient. Cela nécessite de trouver
une partition du tore convenable vis-à-vis de l’addition. S’inspirant du cas unidi-
mensionnel, on cherche à construire ce domaine fondamental par itération et re-
normalisations successives de différentes substitutions, reliées à un développement
en fractions continues du vecteur de translation. On entre alors dans le monde des
fractions continues multidimensionnelles et des substitutions généralisées, que nous
aborderons dans le chapitre 3 (section 3.3).
Si la construction d’un tel domaine fondamental est réalisée, on peut espérer
pouvoir en déduire des propriétés pour construire des partitions de Markov pour
des automorphismes du tore moins spécifiques.
84
Chapitre 3

Utiliser les graphes de

frontière

Dans ce chapitre, nous présentons différentes applications des systèmes dyna-

miques substitutifs dans différents domaines des mathématiques. Nous insistons en
particulier sur le lien entre la topologie des fractals, qui peut-être déterminée à par-
tir de dérivés des graphes de frontières, et des propriétés en théorie des nombres ou
en géométrie. Nous discutons aussi des perspectives de recherche dans les différents
domaines considérés.
La section 3.1 permet d’illustrer comment les graphes de frontière, introduits
dans le chapitre 2 pour montrer des propriétés de partition de Markov, permettent
en fait de vérifier un grand nombre de propriétés topologiques des fractals de Rauzy.
Dans la section 3.2, nous utiliserons ces propriétés topologiques de fractals pour
mieux comprendre les développements en base beta des réels, en particulier les
réels qui ont des développements fini ou purement périodiques). Dans le cas où la
base β est un nombre non unitaire, nous verrons pourquoi il faut pour cela décrire
explicitement la frontière de fractals avec des composantes p-adiques.
Dans la section 3.3, nous discuterons de la question de l’engendrement de plans
discrets par des méthodes substitutives. Nous verrons que les propriétés topologiques
des fractals ont alors des conséquences sur la forme des pièces engendrées. Nous
discuterons aussi pourquoi cette question est importante pour répondre à la question
de la représentation des additions sur un tore mentionnées dans les perspectives du
chapitre 1.
Enfin, dans la section 3.4, nous discutons de l’intérêt des propriétés topologiques
de fractals (avec de nouvelles construction) en géométrie et en théorie ergodique,
pour sortir du cadre Pisot dans la représentations des additions et des multiplica-
tions sur des tores.

85
86

3.1 Topologie des fractals de Rauzy

3.1.1 Où la topologie des fractals s’interprète de manières
variées
Comme mentionné dans le premier chapitre d’introduction, le succès des frac-
tals de Rauzy vient de leur utilisation dans une variété de domaines. En fait, dès
qu’un objet mathématique est auto-induit (au sens où il se contient lui-même), et
que le “ratio” d’induction est un nombre de Pisot, ce phénomène d’induction peut
se traduire par une substitution et se représenter par un fractal de Rauzy. De ma-
nière moins évidente, les propriétés de l’objet mathématique considéré au départ se
traduisent souvent en des propriétés topologiques des fractals.
– En théorie des nombres, des propriétés diophantiennes (recherche des meilleu-
res approximations simultanées de vecteurs pour certains nombres) se dédui-
sent de la largeur de la plus grande boule centrée en zéro et incluse dans le
fractal.
Par ailleurs, le fait que 0 est point intérieur du fractal signifie que les écritures
de nombres dans une numération en base β sont toutes finies pour les éléments
dans l’anneau R[1/β] [AS05]. De plus, le fractal de Rauzy permet de carac-
tériser les rationnels dont le développement est purement périodique [IR05].
Nous reviendrons longuement sur ces deux derniers points dans la section 3.2,
en discutant des travaux (publié ou en cours de rédaction) en collaboration
avec V. Berthé, S. Akiyama, G. Barat, B. Adamczewski, C. Frougny et W.
Steiner ((Monas. Math., 2008),(JNT, 2007)).
– Comme nous l’avons aussi déjà mentionné, le fractal de Rauzy permet de
construire une partition de Markov pour certains automorphismes d’un tore
[IO93, Pra99]. La connexité du fractal est un élément important pour décider
si cette partition de Markov est génératrice [Adl98].
– En géométrie discrète, les fractals de Rauzy sont très liés à des procédés d’en-
gendrement de plans discrets [ABI02]. La forme des pièces générés lors de
ce procédé est contrôlée par la topologie du fractal. Nous discuterons cette
question en détails dans la section 3.3, en discutant des travaux en collabora-
tion avec P. Arnoux, V. Berthé et J. Bourdon ((TCS,2004), (Jour. Montoises,
2006), (Integers, 2005)).
– En géométrie, les fractals de Rauzy permettent de représenter des flots pour
des espaces de pavages. Certaines propriétés topologiques (comme l’existence
de points de coupure) sont de bons candidats pour des invariants par conjugai-
son par un automorphisme de groupe libre : nous discuterons ce point dans la
section 3.4, en s’appuyant sur des travaux (publiés ou en cours de rédaction)
en collaboration avec P. Arnoux, V. Berthé et A. Hilion (Ann. Inst. Fourier,
2006).
Il existe plusieurs résultats disséminés dans la littérature concernant la topologie
des fractals. Par exemple, le fractal de Rauzy pour la substitution de Tribonacci
est connu pour être homéomorphe à un disque [Mes00], mais des choses assez sur-
prenantes arrivent pour d’autres fractals : ils peuvent ne pas être connexes, ne pas
 87

être simplement connexes, 0 peut ne pas être point intérieur [Aki02]. Les méthodes
utilisées pour mettre en évidence des phénomènes sont très peu généralisables et
concernent des exemples fixés.

3.1.2 Graphes de pavages et propriétés topologiques

Comme nous l’avons déjà mentionné, les travaux sur les graphes de frontière
décrits dans la section 2.3.3 permettent, en plus de donner une condition de pavage
pour les fractals de Rauzy, d’identifier explicitement les triplets et quadruplets de
tuiles qui s’intersectent dans un pavage. Dans la même monographie en cours de
soumission (Monographie S. & T., 2008), nous exploitons cette connaissance sur
les points doubles, triples et quadruple pour donner des conditions algorithmiques
pour de nombreuses propriétés de fractals. Les démonstrations sont assez variées,
nous encourageons donc le lecteur à lire les détails dans (Monographie S. & T.,
2008). Nous allons ici simplement rappeler les principales propriétés topologiques
que nous caractérisons et discuter des apports des graphes de frontière par rapport
aux résultats existant.
1. Mesure de la dimension de la frontière Des exemples de calculs de di-
mension de la frontière apparaissent dans [FFIW06, IK91, Mes00, Thu06].
Puisque les graphes de pavages fournissent une description par GIFS de la
frontière du fractal, on en déduit directement une mesure de la dimension par
boites (ou box-dimension) de cette frontière, qui dépend des valeurs propres de
la matrice d’incidence du graphe de la frontière. La principale limitation de ces
méthodes est qu’elles ne sont valables que dans le cas irréductible, puisqu’elles
s’appuient sur un procédé d’approximation de la frontière par des polygones.
Une autre limitation (sauf pour [Thu06]) est aussi l’absence d’algorithme pour
calculer la dimension. Au contraire, nous proposons dans (Monographie S. &
T., 2008) une méthode pour calculer la dimension par boites, qui est entiè-
rement automatique puisqu’elle s’appuie sur un algorithme pour calculer les
graphes de frontière. Cette méthode est utilisable pour toutes les substitutions
Pisot unitaire, cas réductible compris.
Dans le cas où les conjugués de Galois de la valeur propre dominante de la
substitution sont de même norme, on obtient un calcul de la dimension de
Haussdorf de la frontière.
2. Le point 0 est un point intérieur du fractal Dans le cas des systèmes de
numération, nous savons avec [Aki02] que 0 est un point intérieur du fractal
de Rauzy si et seulement si les écritures des éléments de Z[1/β] sont toutes
finies. Avec une approche géométrique, nous prouvons dans (Monographie S.
& T., 2008) que ce résultat est vrai pour toute substitution Pisot unitaire si
on considère le système de numération de Dumont-Thomas associé ([DT93],
voir aussi (Integers, 2005)).
3. Connexité En généralisant les critères donnés dans [Can03, Rau82], nous
donnons dans (Monographie S. & T., 2008) une condition nécessaire et suffi-
sante pour que les pièces du fractals soient connexes. Cette condition étant liée
aux graphes de frontières, elle est vérifiable par l’application d’un algorithme.
88

4. Homéomorphisme à un disque Des exemples de fractals homéomorphes à

un disque ont été étudiés dans [Luo02, Mes00, Mes06] : il s’agissait d’exemples
où une seule tuile permet de décomposer le fractal. Dans (Monographie S. &
T., 2008), nous proposons une condition en terme de graphes de frontière et de
points triples qui est suffisante pour qu’un fractal de Rauzy soit homéomorphe
à un disque, lorsque le coefficient de dilatation de la substitution est un nombre
de Pisot de degré 3. Comme pour les précédentes propriétés topologiques, on
vérifie cette condition de manière algorithmique.
Notre approche est générale : en fait, nous proposons un critère pour que la
solution d’un GIFS soit une courbe de Jordan. Nous nous sommes inspirés
d’une approche utilisée dans [LZ04] pour étudier des systèmes de numération
dans l’anneau des entiers gaussiens. Cependant, dans notre cas, la présence
de plusieurs pièces dans le GIFS empêche de déduire l’homéomorphisme à un
disque à partir de la connexité de l’intérieur [LRT02]. Nous avons donc utilisé
plusieurs résultats sur la topologie du plan pour aboutir à nos critères.
En guise d’exemple, nous détaillerons la condition d’homéomorphisme à un
disque dans la section 3.1.3.
5. Simple connexité et groupe fondamental non libre Dans le cas où le
fractal n’est pas homéomorphe à un disque, nous proposons dans (Monogra-
phie S. & T., 2008) un critère pour montrer que ce fractal contient un grand
nombre de trous. Plus précisément, notre critère permet de montrer que le
groupe fondamental de certains fractals non seulement n’est pas libre, mais
n’est même pas dénombrable. Ainsi, topologiquement, certains fractals sont
de la même nature que le tapis de Sierpinski. En particulier, puisque le groupe
fondamental n’est pas dénombrable, l’intérieur de ces fractals n’est pas sim-
plement connexe.
Tous les critères proposés s’appuient sur les graphes de frontière, et sur la combina-
toire de la substitution. Ils sont donnés par des algorithmes qui ont été implémentés
dans le programme de calcul formel MuPad, accessible sur demande.
En illustration, on pourra considérer la figure 3.1 qui propose différents exemples
de fractals ; la croix blanche y désigne le point 0.
σ1 Cette substitution est définie par σ1 (1) = 12, σ1 (2) = 3, σ1 (3) = 4, σ1 (4) = 5,
σ1 (5) = 1. Elle est réductible, sa valeur propre dominante vérifie β 3 = β − 1.
Le fractal et toutes ses sous-tuiles sont homéomorphes à un disque et 0 est un
point intérieur.
σ2 Cette substitution est définie par σ2 (1) = 2, σ2 (2) = 3, σ2 (3) = 12. Elle est
irréductible, son polynôme minimal est le même que celui de σ1 . Le fractal et
toutes ses sous-tuiles sont connexes, mais leur groupe fondamental est non-
dénombrable. Le point 0 se trouve sur la frontière du fractal.
σ3 Cette substitution est définie par σ3 (1) = 3, σ3 (2) = 23, σ3 (3) = 31223. Son
fractal n’est pas connexe et 0 est sur la frontière du fractal.
σ4 Cette substitution est définie par σ4 (1) = 11112, σ4 (2) = 11113, σ4 (3) = 1.
Elle est irréductible et le groupe fondamental de son fractal est non trivial (la
 89

Fig. 3.1 – Différents fractals de Rauzy pour les substitutions σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , σ5 et

σ6 définies dans le texte. Les sous-tuiles sont indiquées par des couleurs distinctes.
La croix blanche indique la position de l’origine 0. Les propriétés topologiques de
ces fractals sont obtenues à partir des graphes de frontières, elles sont décrites dans
le texte.
90

frontière n’est pas une courbe de Jordan). Par contre, 0 est point intérieur du
fractal.
σ5 Cette substitution est définie par σ5 (1) = 123, σ5 (2) = 1, σ5 (3) = 31. Le groupe
fondamental du fractal est non dénombrable. 0 se trouve sur la frontière du
fractal : même si cela est peu visible sur le dessin, il existe en fait un isthme
très fin qui part de l’extérieur du fractal et se termine en 0.
σ6 Cette substitution est définie par σ6 (1) = 12, σ6 (2) = 31, σ6 (3) = 1. Le groupe
fondamental du fractal est non dénombrable. 0 se trouve sur la frontière du
fractal.

3.1.3 Exemple : homéomorphisme à un disque

Tous les détails concernant les résultats sur la topologie des fractals se trouvent
dans (Monographie S. & T., 2008). Pour illustrer ces approches, nous donnons ici
quelques détails sur un critère pour déterminer que la frontière du fractal de Rauzy
est une courbe de Jordan. Cette propriété a été montrée pour le fractal associé à
la substitution de Tribonacci dans [Mes00] ; le critère que nous proposons ici est
général.

Dire que la frontière d’un compact est une courbe de Jordan est équivalent à
dire que le compact lui-même est homéomorphe à une disque. Pour vérifier cette
propriété sur un fractal de Rauzy, on utilise les propriétés d’autosimilarité du bord :
on sait que le bord se décompose de manière autosimilaire, en considérant le graphe
de la frontière par exemple. De plus, chaque morceaux du bord admet lui-même
une décomposition. En considérant les points triples du fractal, on peut vérifier si,
topologiquement, le bord peut se décomposer sous forme de cercle.

Graphe de connexité On définit ainsi le graphe de connexité de la frontière d’une

sous-tuile T (i) : ses sommets sont les ensembles de la forme T (i) ∩ (T (j2 ) + γ) qui
contiennent au moins deux points et apparaissent dans le graphe de la frontière
du fractal. On met une arête entre deux sommets (qui correspondent chacun à un
morceau de frontière) si et seulement si l’intersection entre ces bouts de frontière
est non vide.
Plus précisément, chaque sommet du graphe de connexité T (i) ∩ (T (j2 ) + γ)
correspond au sommet [i, γ, j2 ] du graphe de frontière. Pour calculer ces graphes,
il faut d’abord calculer le graphe de la frontière du fractal. Il faut ensuite étudier
ses chemins pour déterminer les sommets desquels partent au moins deux chemins
distincts. On obtient ainsi les sommets du graphe de connexité. Ensuite, pour placer
des Tarêtes, on doit considérer toutes les intersections de la forme (T (i) ∩ (T (j2 ) +
γ)) (T (i′ ) ∩ (T (j2′ ) + γ ′ )) et trouver celles qui sont non vides. Ceci correspond à
calculer les graphes des points triples et des points quadruples du fractal, sur le
même modèle que le graphe de frontière (voir (Monographie S. & T., 2008) pour
plus détails).
 91

Fig. 3.2 – Les graphes de connexité pour les sous-tuiles du fractal de la substitution
σ0 . Chaque sommet des graphes correspond à une intersection de la forme T (i) ∩
T (j)+γ qui apparaît dans la décomposition de la frontière de T (i). Un sommet entre
deux arêtes signifie que les morceaux de la frontière correspondant s’intersectent.

Exemple Pour la substitution σ0 , on obtient quatre graphes de connexité (un

pour chaque sous-tuile) décrits dans la figure 3.2. Dans le haut de la figure, on voit
que le graphe de la frontière de T (1) se décompose en six morceaux, chacun étant
adjacent à deux autres morceaux. Cela s’illustre bien sur la représentation de T (1)
en haut à droite.

Homéomorphisme à un disque On peut construire un graphe de connexité

non seulement pour les sous-tuiles T (i) mais aussi pour tous les éléments qui ap-
paraissent dans la décomposition autosimilaire de T (i). Une condition suffisante
pour que le fractal soit un homéomorphe à un disque est alors que ces graphes
de connexité aient une structure topologique simple : on attend que, en première
approximation, le bord soit un polygone (c’est-à-dire que son graphe de connexité
soit une boucle). Ensuite, on impose que tous les morceaux du polygone se dé-
92

composent sous forme de lignes brisées (leurs graphes de connexité doivent être
des lignes). En appliquant le processus d’autosimilarité, on va ainsi construire des
lignes polygonales qui convergent vers le bord du fractal en maîtrisant le processus
de décomposition, et obtenir finalement le bord d’un disque.

Théorème 3.1.1 (Monographie S. & T., 2008) Soit σ une substitution primi-
tive Pisot unitaire dont la valeur propre dominante est de degré 3. On suppose que
le recouvrement auto-similaire est un pavage.
Alors chaque sous-tuile T (i) (i ∈ A) est homéomorphe à un disque si les condi-
tions suivantes sont vérifiées.
1. Tous les graphes de connexité des sous-tuiles T (i) sont des boucles.
2. Tous les graphes de connexité des éléments qui apparaissent dans la décompo-
sition des sous-tuiles T (i) sont des lignes ou réduits à un noeud.
3. Les intersections entre trois tuiles du pavage autosimilaires sont vides ou ré-
duites à un point.

En appliquant ce théorème, on en déduit ainsi que toutes les sous-tuiles du

fractal de Rauzy de σ0 sont homéomorphes à un disque. On en déduit que le fractal
lui-même est homéomorphe à un disque en considérant la topologie des intersections
entre les sous-tuiles.

3.1.4 Perspectives d’étude

En conclusion de cette partie, nous pouvons dire que nous disposons maintenant
d’un outil puissant (les graphes de frontière et leurs dérivés) pour caractériser les
propriétés topologiques de fractals de Rauzy. Avant de passer aux applications de
ces propriétés topologiques, il faut mentionner que de nombreux travaux restent
à développer sur la topologie des fractals et la compréhension des des graphes de
frontière.

Intérieur du fractal de Rauzy La principale question concerne l’intérieur du

fractal de Rauzy. Dans les exemples mentionnés, il apparaît que cet est non connexe.
Une question naturelle porte sur la structure des composantes connexes de cet in-
térieur, ou plutôt leurs adhérences : sont-elles autosimilaires ? Sont-elles homéo-
morphes à un disque ? Des questions semblables ont été traitées dans le cas autosi-
milaire avec une seule tuile dans la décomposition [LT06, NN03b, NT04]. Le fait qu’il
y ait ici plusieurs tuiles rend les choses bien plus difficiles. Une approche peut-être
tentée par le théorème de Torhorst [Kur68, §61, II, Theorem 4], qui relie la ques-
tion de l’homéomorphisme entre un disque et l’intérieur des composantes connexes
à l’existence de points de coupure pour la tuile. Une première étape consiste donc à
rechercher des critères pour l’existence de points de coupure, qui est reliée à l’étude
d’invariants pour les automorphismes de groupes libres (voir section 3.4).
 93

Groupe fondamental Nous avons exhibé des compacts du plan euclidien dont
le groupe fondamental est non libre et non dénombrable, ce qui est pathologique
d’un point de vue topologique. Il serait intéressant de décrire la structure du groupe
fondamental.
Comme déjà mentionné, le fait que le groupe fondamental est non dénombrable
implique que l’intérieur du fractal n’est pas simplement connexe. Or, des exemples
de structures qui ne sont pas simplement connexes existent (tapis de Sierpinski,
Hawaiian Earring) et leur groupe fondamental est décrit par des mots [CL08, EK98].
Cependant, les méthodes ne sont pas tout à fait transposables ici dans la mesure
où les exemples qui ont été considérés jusqu’à maintenant étaient de dimension
topologique 1 alors que nos fractals sont de dimension topologique 2.

Dimension supérieure à 3 Une dernière direction est la généralisation des cri-

tères sur les homéomorphismes à un disque au cas où la constante de dilatation est
de degré algébrique supérieur à trois. Nous nous sommes restreints à la dimension
3 dans la mesure où nos arguments pour étudier la simple connexité sont basés sur
des propriétés de séparation du plan, tel que le théorème de Jordan. Ces résultats
ne sont plus valables en dimension supérieure. Par contre, les graphes de fron-
tière et les propriétés de pavage sont toujours valables. Pour obtenir des critères de
simple connexité, on pourrait s’appuyer par exemple sur le théorème de Moore-van
Kampen-Zippin [vK35], qui donne une caractérisation de la sphère S2 en fonction
d’ensembles de coupure. L’objectif serait de trouver un exemple de fractal dont la
frontière serait homéomorphe à une sphère, par exemple en étudiant la substitution
qui généralise Tribonacci σ(1) = 12, σ(2) = 13, σ(3) = 14, σ(4) = 1.

3.2 Théorie des nombres. Développement en bases

non-entières : le cas non unitaire
Les substitutions en théorie des nombres Depuis leurs premières utilisations,
les substitutions ont toujours été exploitées en théorie des nombres. Par exemple,
la suite de Thue-Morse, point fixe de substitution, permet de classer les entiers en
fonction de la parité de la somme de chiffres dans leur développement binaire. La
suite de Baum-Sweet caractérise les entiers dont le développement binaire contient
une plage impaire de zéro ; il s’agit d’une projection lettre à lettre du point fixe
d’une substitution [AS02].
Un autre pont entre la théorie des nombres et les substitutions est le théorème
de Cobham [Cob72], qui établit qu’une suite est la projection lettre à lettre du point
fixe d’une substitution de longueur constante k si et seulement si les éléments un
de cette suite sont obtenus en alimentant un k-automate fini avec le développement
en base k de n .
Les substitutions sont aussi utilisées pour proposer des résultats de transcen-
dance : les nombres réels dont le développement en fraction continue est donné par
la suite de Thue-Morse, la suite de Baum-Sweet ou la suite de Rudin-Shapiro sont
tous des nombres transcendants, la preuve utilisant la structure substitutive de ces
94

suites [ABD06]. Dans le même esprit, les nombres irrationnels dont le développe-
ment binaire est le point fixe d’une substitution sont transcendants [AB07].
En approximation diophantienne enfin, les substitutions ont montré leur utilité :
leurs points fixes produisent des nombres transcendants qui sont très mal approxi-
mables par des entiers algébriques cubiques [Roy03, HM06].

Beta-numérations et beta-substitutions Enfin, comme nous l’avons vu, les

substitutions sont intimement liées aux numérations en base non-entière puisque,
dans le cas Pisot, les points dont le beta-développement est entier sont décrits par
le point fixe d’une substitution.
Cette substitution, appelée beta-substitution, est définie entièrement par le déve-
loppement dβ (1) de 1 en base β. Si dβ (1) = t1 . . . tm−1 tm 0∞ est fini, on construit un
développement infini sous la forme d∗β (1) = (t1 . . . tm−1 (tm − 1))∞ ; s’il est infini, on
pose d∗β (1) = dβ (1). Dans tous les cas, on sait que d∗β (1) est ultimement périodique,
on le note alors d∗β (1) = (a1 . . . am )(am+1 . . . an )∞ . La beta-substitution est alors
définie sur l’alphabet {1, . . . , n} par σ(k) = 1ak (k + 1) for each k < n et σ(n) =
1an (m + 1). √
Par exemple, pour le nombre β = 5 + 2 7, le polynôme annulateur est X 2 −
10X − 3 = 0, ce qui implique que 1 s’écrit 1 = 10/β + 3/β 2 . Son développement est
donc dβ (1) = (10) 3 0∞. En utilisant des réécritures, on a aussi 1 = 10/β + 2/β 2 +
10/β 3 + 2/β 4 + .... Le développement impropre de 1 est donc d∗β (1) = ((10) 2)∞ et
la substitution qui décrit l’arrangement des points entiers en beta-numération est
définie par σ(1) = 110 2, σ(2) = 11.
Nous allons maintenant voir comment l’étude du fractal de Rauzy de cette substi-
tution, en particulier de sa topologie, permet de prouver des propriétés substantielles
des développements en base β, notamment dans le cas non unitaire.

3.2.1 Fractals dans le cas non unitaire

Beta-numérations et dynamique Nous avons déjà longuement discuté de l’in-
térêt des fractals de Rauzy pour construire une partition de Markov pour la dy-
namique correspondant à la multiplication par une matrice sur un tore. Du point
de vue des beta-numérations, une autre dynamique est tout aussi importante : il
s’agit de la beta-transformation Tβ . Par définition, on part de cette application
pour en coder les orbites et définir le développement en base β des réels positifs. Un
des défauts de cette application est qu’elle n’est pas injective, puisque l’image de
l’intervalle [0, 1[ est une copie de [β] intervalles. Pour mieux l’étudier, on recherche
donc une extension naturelle de cette application, c’est-à-dire une application sur
un espace plus large qui est bijective et qui admet Tβ pour facteur topologique.
Un procédé habituel et général pour construire des extensions naturelles consiste
à construire des tours de Rokhlin, et à en étudier la structure [DKS96]. Cependant,
ces extensions naturelles ne préservent pas les propriétés algébriques de Q(β). Dans
le cas Pisot unitaire, cependant, on peut construire une extension naturelle pour
Tβ comme produit de la β-transformation Tβ et d’une contraction diagonale sur le
fractal de Rauzy (en fait, cette construction est très proche de la partition de Markov
 95

discutée au chapitre 2) [IR06]. En particulier, l’image de l’anneau Z[β] dans cette

extension naturelle est un réseau. Cela permet par exemple de caractériser les réels
dont le β-développement est purement périodique (voir section 3.2.3).

Pourquoi le fractal usuel n’est pas convenable dans le cas non-unitaire

Dans la situation où β est un nombre de Pisot non unitaire, cependant, ces propriétés
d’extension naturelle ne sont plus valables. En effet, l’extension basée sur le fractal
de Rauzy n’est plus une application qui préserve la mesure : cette extension est le
produit de la β-transformation Tβ et d’une contraction diagonale sur le fractal de
Rauzy ; la β-transformation Tβ est dilatante, de rapport β, et la contraction sur le
fractal de Rauzy a pour rapport le produit des normes des conjugués de β, c’est-à-
dire N (β)/β. Ainsi, l’extension est dilatante, de rapport N (β), et il ne peut s’agir
d’une extension naturelle.
Ces arguments de mesure impliquent en particulier que les propriétés de pavages
autosimilaire ou périodique ne peuvent pas être vérifiées par un fractal de Rauzy
dans le cas non unitaire.

Espace complet de représentation Dans la publication (Erg. Th. Dyn. Sys,

2003), j’ai proposé de rajouter au fractal de Rauzy des composantes basées sur
des corps locaux. La question était alors de comprendre le spectre des systèmes
engendrés par une substitution non unitaire (nous reviendrons sur ce sujet dans
la section 3.4), mais j’ai ensuite utilisé le formalisme décrit dans cette publication
pour étudier les systèmes de numération en base non entière.
La principale idée que j’ai proposée est d’étendre l’espace de représentation
pour les fractals. On considère l’anneau des entiers O de Q(β), et Q on décom-
ν
pose l’idéal (β) en idéaux premiers dans cet anneau : (β) = βO = i=1 Pi ni .
Chaque idéal premier P ainsi obtenu définit une topologie sur le corps Q(β) ;
sa complétion produit un corps noté KP . Ce corps supporte une valeur absolue
 1/e(P)f (P)
|x|P = NK /Q (y)
P p p
= p−f (P)vP (y) , où p est défini par P ∩ Z = pZ. Ce
corps supporte aussi une mesure de Haar définie par µP (a + pm P) = p
mf (P)
.
L’espace complet de représentation Kβ est obtenu en ajoutant à l’espace de
représentation euclidien Rr−1 × Cs le produit des corps locaux KPi . Le corps Q(β)
s’injecte naturelle dans cet espace en étendant l’application φ définie dans le cas
unitaire en (2.5) :
ν
Y
φβ : x = P (β) ∈ Q(β) −→ φβ (x) = (P (β2 ), . . . P (βr+s ), x, . . . , x) ∈ K∞ × KPi .
i=1
(3.1)
L’espace Kβ est naturellement muni de la topologie produit, et des additions et
multiplications sur chaque coordonnée. Il s’agit donc d’un anneau abélien localement
compact. De plus, une mesure de Haar normalisée µβ est obtenue comme le produit
des mesures sur chaque composante. On en déduit en particulier que pour tout
borélien B de Kβ , on a
µβ (β · B) = β −1 µβ (B).
96

Fractal complet À partir de l’injection φβ , on définit naturellement le fractal de

Rauzy complet, intégrant des composantes sur des corps locaux.

Te = φβ (Int(β)) ⊂ Kβ
Pour différencier ce fractal du fractal construit au chapitre 2, le fractal de Rauzy
usuel est appelé fractal euclidien.

Justification a posteriori Il est nécessaire de s’attarder sur les raisons de ce

choix de représentation. Pour obtenir des propriétés de GIFS, de séparation des
sous-tuiles ou de pavage, il faut que l’espace de représentation vérifie plusieurs
propriétés
– les tuiles doivent être suffisamment larges pour couvrir l’ensemble de l’espace
considéré, lorsqu’elles sont déplacées selon l’ensemble de points autosimilaire
produit par l’approximation de plan.
– les tuiles doivent être suffisamment petites pour ne pas produire de recouvre-
ment, à la fois combinatoire (dans le recouvrement), topologique (intérieurs
disjoints), ou, de manière plus forte, métrique (tuiles disjointes en mesure).
Lorsque β n’est pas unitaire, considérer seulement les représentation archimé-
diennes de Q(β) produit des tuiles trop grosses pour respecter ces propriétés. Consi-
dérer seulement les places locales aurait produit des propriétés topologiques et algé-
briques intéressantes, mais cette fois-ci les tuiles auraient été trop petites, puisque
les adèles principales forment un ensemble discret du groupe des adèles. Avec le
choix proposé, nous nous trouvons entre ces deux extrêmes.

Propriétés de la tuile complète En collaboration avec Valérie Berthé, j’ai

montré dans (JNT, 2007) que cet espace de représentation est effectivement le bon
espace pour étudier les propriétés de la β-numération.
– Le fractal de Rauzy complet vérifie une relation d’autosimilarité dirigée par
le graphe des préfixes-suffixes
[  
Te (a) = φβ (β)Te (b) + φβ (p) .
(p,a,s)
a−−−−→b

– Les sous-tuiles Te (a) sont disjointes en mesure dans l’espace complet de repré-
sentation, de mesure non nulle et elles sont l’adhérence de leurs intérieurs.
– On obtient un recouvrement de l’espace en considérant les translatés des sous-
tuiles selon un ensemble autosimilaire et localement fini (ici, l’ensemble des
(a−1)
paires (x, a) telles que x ∈ Z[1/β] ∩ [0, Tβ (1))) :
[
Kβ = Te (a) + φβ (x). (3.2)
(a−1)
x∈Z[1/β]∩[0,Tβ (1))

Une des questions qui vont nous intéresser va être de donner des conditions
explicites pour que ce recouvrement de Kβ soit un pavage.
 97

Fig. 3.3 – Représentation du fractal de Rauzy complet (incluant

√ les composantes p-
adiques) pour la substitution associée au nombre β = 5 + 2 7. le polynôme minimal
de β est alors X 2 − 10X − 3. L’espace de représentation est alors R × Z3 , où Z3
désigne l’ensemble des entiers 3-adiques. L’axe vertical contient une représentation
de Z3 plongé dans l’intervalle [0, 1). L’axe horizontal correspond à l’axe réel. Puisque
le développement de 1 en base β est fini de longueur 2, il y a deux sous-tuiles pour
le fractal.
À droite, on a procédé à un zoom autour de l’axe vertical x = 0. Il semble ainsi
que le fractal contiennent une bande de la forme [0, ε] × Z3 . Nous vérifions cela
formellement à l’aide de graphes de frontière et en déduisons des propriétés des
développements purement périodiques.

Exemple Pour représenter ces fractals, on utilise

P un plongement
P de l’anneau des
entiers Zp dans R définit comme suit : x = ai pi ∈ Zp 7→ ai p−i ∈ [0, 1]. Ce
plongement est continu, il respecte la mesure mais pas la topologie de Zp . Deux
exemples sont donnés dans les figures 3.3 et 3.4.

Fig. 3.4 – Fractal de Rauzy pour la substitution associée au nombre β 2 = 4β + 3.

Comme dans la figure précédente, le fractal se représente dans R × Z3 . Par contre,
le zoom autour de l’axe vertical suggère que le fractal ne contient aucune bande de
la forme [0, ε] × Z3 .

3.2.2 Nombres dont le β-développement est fini

La propriété (F) Dans le cadre de l’étude des développements en β-numération,
une question naturelle a été d’identifier les éléments dont le β-développement est
98

fini. Par construction, si un nombre a un β-développement fini, alors il appartient

à l’ensemble Z[1/β] ∩ R+ . La question qui se pose est la réciproque : quels sont les
nombres β pour lesquels tous les éléments de Z[1/β] ∩ R+ ont un développement
fini ? Si cette propriété est vraie, on dit que β vérifie une propriété de finitude, ou
propriété (F).

Familles qui vérifient cette propriété Dans [FS92], les auteurs montrent que
dès que β est une racine dominante d’un polynôme du type X n = an−1 X n−1 + · · ·+
a0 , avec an−1 ≥ an−2 ≥ . . . a0 ≥ 1, alors β vérifie la propriété (F). Si on considère
la β-substitution engendrée par β, lorsque le polynôme X n − an−1 X n−1 + · · · − a0
est irréductible, le système dynamique symbolique est à spectre purement discret :
il est mesurablement isomorphe à une addition sur un groupe compact [Sol92].
Une caractérisation des nombres de Pisot de degré 2 ou 3 qui vérifient (F) est
explicitement donnée dans [Aki00].

Interprétation géométrique Dans le cas unitaire, la propriété (F) a des consé-

quences en termes de pavages par les tuiles du fractal de Rauzy. Selon [Aki02], cette
propriété est équivalente au faite que 0 est un point intérieur du fractal de Rauzy.
Cela implique que le recouvrement autosimilaire associé au fractal est un pavage ;
et on retrouve ainsi le fait que dans le cas où le polynôme à coefficients décroissants
est le polynôme minimal de β, le système substitutif associé est à spectre purement
discret.

Extension au cas substitutif unitaire ; preuve géométrique Dans (Integers,

2005) , Valérie Berthé et moi-même proposons une généralisation de la propriété (F)
dans le cas substitutif. Considérons une substitution σ Pisot. Comme à la section
2.2.5, on désigne par vβ un vecteur propre dominant de la transposée de la matrice
d’incidence de σ. Cependant, on normalise cette fois-ci le vecteur vβ pour que son
premier coefficient soit égal à 1. Les coefficients de ce vecteur propre sont donnés
par les produits scalaires hvβ , ek i avec les éléments de la base canonique.

Définition 3.2.1 ((Integers, 2005)) On dit que la substitution vérifie la pro-

priété (F) si et seulement pour tout x engendré par les coordonnées hvβ , ek i, le
développement de Dumont-Thomas d(σ,a) (x) de x est fini (voir Théorème 2.3.2).

∀a ∈ A = {1 . . . n},
∀z ∈ Z[hvβ , ek i, · · · , hvβ , ek i] ∩ [0, hvβ , ea i), d(σ,a) (z) est fini. (3.3)

Dans le cas des β-substitutions, on a δσ (k) = 1/β k , permettant de retrouver la

propriété (F).
Dans (Integers, 2005) nous montrons que si cette propriété est vérifiée avec β
unitaire, le recouvrement autosimilaire associé à la substitution est bien un pavage,
généralisant ainsi les résultats de [Aki02].
De plus, dans (Monographie S. & T., 2008), J. Thuswaldner et moi-même mon-
trons que dans le cas unitaire, cette propriété est équivalente au fait que 0 est un
 99

point intérieur du fractal de Rauzy. On obtient ainsi un résultat plus général que
[Aki02] puisque notre preuve, basée sur la géométrie des plans discrets, englobe
toutes les substitutions unitaires Pisot (y compris les substitutions réductibles). De
plus, on en déduit un critère algorithmique pour vérifier cette propriété, inspiré par
les graphes de frontière.

Théorème 3.2.2 (Monographie S. & T., 2008) Une substitution σ primitive

Pisot unitaire vérifie la condition de finitude définie en (3.3) si et seulement si 0
est un point intérieur du fractal de Rauzy. Cette propriété est vérifiable au moyen
de graphes de frontière.

Le cas non unitaire Les preuves de (Monographie S. & T., 2008) et [Aki02]
sont valables seulement dans le cas unitaire : dans le cas non-unitaire, le fractal de
Rauzy euclidien ne vérifie pas de propriété de pavage, puisque l’ensemble produit
par approximation de plan n’est pas un ensemble localement fini ; pour la même
raison, ses sous-tuiles ne sont pas disjointes. Ceci empêche d’utiliser les approches
géométriques ou arithmétiques pour relier la propriété (F) au fait que 0 est point
intérieur du fractal.
Dans ce cadre, le fractal de Rauzy complet (intégrant des places non-archimé-
diennes) est d’une large utilité. En effet, nous prouvons que sous la condition (F), les
sous-tuiles sont disjointes et des propriétés de pavages sont vérifiées. Dans (Monas.
Math., 2008), en collaboration avec Shigeki Akiyama, Valérie Berthé et Guy Barat,
nous exploitons ces propriétés de pavages dans l’espace complet de représentation
pour en déduire que si β vérifie la propriété (F), alors 0 est point intérieur du fractal
de Rauzy complet et du fractal de Rauzy euclidien.

Théorème 3.2.3 (Monas. Math., 2008) Soit β un nombre de Pisot. Si β vérifie

la propriété (F), alors toutes les tuiles de l’espace complet (incluant les places lo-
cales) décrites dans (3.2) sont d’intérieurs disjoints et leur frontière est de mesure
nulle. De plus, 0 est un point intérieur du fractal de Rauzy complet.

On projette ce résultat sur l’espace de représentation euclidien pour obtenir une

généralisation de [Aki02] dans le cas non unitaire.

Corollaire 3.2.4 Soit β un nombre de Pisot. Si β vérifie la propriété (F), alors 0

est un point intérieur du fractal de Rauzy euclidien T .

On ne sait pas si la réciproque du corollaire 3.2.4 est vraie : 0 point intérieur du

fractal euclidien implique-t-il que la propriété (F) est vérifiée ?

3.2.3 Nombres dont le développement est périodique

Développements ultimement périodiques Depuis l’introduction des β-déve-
loppements par Parry [Par60] une question aussi naturelle que la finitude des déve-
loppements a été d’identifier les nombres admettant des propriétés de périodicité.
Pour les bases entières, on sait depuis le lycée que les nombres dont le développement
100

en base b est ultimement périodique sont les nombres rationnels. Plus généralement,
lorsque β est un nombre de Pisot, les nombres dont le β-développement est ultime-
ment périodique sont tous les éléments de Q(β) [Ber77, Sch80].

Rationnels dont le développement est purement périodique : bases en-

tières ou quadratiques Le cas des développements purement périodiques est
plus complexe. Lorsque b est un entier, on sait depuis longtemps que les nombres
rationnels p/q avec un développement périodique en base b sont exactement ceux
pour lesquels q est premier avec la base b.
Avec des méthodes d’approximation et de renormalisation, Schmidt a prouvé
dans [Sch80] que lorsque β 2 = nβ + 1 avec n ∈ N∗ , tous les nombres rationnels
inférieurs à 1 ont un β-développement purement périodique. Dans [HI97], il a été
montré que dans le cas où β 2 = nβ − 1, n ≥ 3, aucun nombre rationnel n’admet un
développement purement périodique. Pour cela, les auteurs construisent l’extension
naturelle de la β-transformation à partir du fractal du Rauzy et l’utilisent pour
comprendre les développements purement périodiques.
Ce résultat “négatif” sur les développements purement périodiques se généralise
assez bien aux cas cubiques et autres : dès que β admet un conjugué de Galois
dans [0, 1[, aucun rationnel ne peut avoir un développement purement périodique
[Aki98].

Base non-entière unitaire Pour comprendre le cas non quadratique (au moins
cubique), Akiyama a montré que dès que la propriété (F) est vérifiée, il existe un
intervalle non vide de la forme [0, ǫ[ dont tous les rationnels ont un β-développement
purement périodique [Aki98]. Ceci est assez inattendu, dans la mesure où on attend
que la répartition des développements périodiques en base β soit aléatoire, en tout
cas indépendante de la position par rapport à 0.
Ce résultat est moins surprenant lorsqu’on considère le point du vue du fractal
de Rauzy. En effet, Ito et Rao ont proposé d’utiliser le fractal de Rauzy et ses
propriétés d’extension naturelle [IR05]. Puisque l’extension naturelle respecte la
structure algébrique de Z[β] dans le cas unitaire, on en déduit qu’un élément x de
Q(β) a un développement purement périodique si et seulement s’il existe une lettre
a telle que
– x < T (a) (1),
– La tuile T (a) du fractal euclidien contient le point du plan contractant dont
les coordonnées sont données par les conjugués de Galois de −x.
Si on suppose que la propriété (F) est vérifiée, on sait que 0 est point intérieur
du fractal, en particulier d’une de ses tuiles T (a). Cette tuile T (a) contient donc
un voisinage de 0. Si on considère maintenant un rationnel x suffisamment petit,
tous ses conjugués de Galois sont égaux à x et sont donc petits. Tout point ayant
(−x, . . . , −x) pour coordonnées dans l’espace contractant sera donc près de 0 et
appartiendra ainsi à T (a), ce qui implique que le développement de x est purement
périodique.
 101

Bases non-unitaires Dans le cas non-unitaire, comme nous l’avons déjà discuté,
les propriétés d’extension naturelle de la tuile euclidienne ne sont plus vérifiées. Dans
(JNT, 2007), avec Valérie Berthé, nous utilisons le fractal complet pour caractériser
les points au développement purement périodique dans le cas non-unitaire. Nous
généralisons le résultat de [IR05] au cas non-unitaire, en remplaçant le fractal de
Rauzy euclidien par le fractal complet. Nous donnons aussi une preuve plus simple
que celle de [IR05] et qui fait ressortir la structure d’extension naturelle proposée
par le fractal de Rauzy.

Théorème 3.2.5 (JNT, 2007) Soit β un nombre de Pisot et T son fractal de

Rauzy complet (incluant les places locales lorsque β est non-unitaire). Soit φβ le
plongement de Q(β) dans Kβ défini en (3.1). Soit x ∈ [0, 1) ∩ Q(β). Alors x a un
β-développement purement périodique si et seulement si
[ 

(−φβ (x), x) ∈ (Te (a) ) × 0, Tβa−1 (1) . (3.4)
a∈A

Plus petit rationnel qui admet un développement non périodique On

peut utiliser ce résultat pour rechercher précisément le plus grand intervalle de
rationnels de la forme [0, ǫ[∩Q qui ne contient que des points périodiques. Ce nombre
est appelé γ(β).
p p
γ(β) = sup{ε, ∀ < ε, dβ ( ) est purement périodique}.
q q
On obtient un encadrement de cette quantité en considérant l’intersection du
fractal de Rauzy avec une droite ; il s’agit d’un résultat que j’ai montré dans (Mo-
nas. Math., 2008) en collaboration avec Shigeki Akiyama, Valérie Berthé et Guy
Barat. Le résultat exact que nous obtenons s’écrit comme suit dans le cas unitaire.
Sa généralisation au cas non unitaire demande d’introduire un certain nombre de
notations liées aux corps locaux. Nous renvoyons le lecteur à l’article pour plus de
détail. La figure 3.5 résume cette situation.

Proposition 3.2.6 (Monas. Math., 2008) Soit β un nombre de Pisot unitaire.

(b−1) (a−1)
Soient a, b ∈ A tels que Tβ (1) ≤ Tβ (1) et x ∈ Z[1/β]. Soit ∆∞ l’application
diagonale : ∆ : x ∈ R → (x, . . . , x) ∈ Rr−1 × Cs . On définit les ensembles suivants
pour décrire l’intersection entre différentes tuiles :
(b−1) (a−1)
– Aa,b = −T (a) ∩ −T (b) ∩ ∆∞ ([Tβ (1), Tβ (1)])
(a−1)
= −T (a) ∩ −T (x) ∩ ∆∞ ((0, Tβ
– Ba,x S (1)))
– A = (a,b)∈A2 ,T (b−1) (1)≤T (a−1) (1) Aa,b
S β β
– B = a∈A,x∈Z[1/β]∩(0,1) Ba,x .
Alors une borne inférieure pour γ(β) est donnée par

γ(β) ≥ min( min min kxk∞ , min inf kxk∞ ).

(a,b)∈A2 x∈Aa,b a∈A x∈Ba,x
(b−1) (a−1) x∈Z[1/β]∩(0,1)
Tβ (1)≤Tβ (1) Ba,x 6=∅
Aa,b 6=∅
102

Une borne supérieure est donnée par :

γ(β) ≤ max {η; [0, η] ⊂ A ∪ B} .

Irrationalité de γ(β) Dans un travail en cours de rédaction avec Boris Adamc-

zewski, Christiane Frougny et Wolfgang Steiner (A., F., S. & S., en cours), nous
exploitons ce résultat et la présence de spirale sur la frontière du fractal pour
montrer que dans le cas cubique totalement complexe, la quantité γ(β) est un
nombre irrationnel. Ceci confirme une observation de [AS05], où, lorsque β est le
plus petit nombre de Pisot, les auteurs calculent une approximation de γ(β) par
0.66666666608644067488.

Théorème 3.2.7 (A., F., S. & S., en cours) Soit β un nombre de Pisot cubique
et unitaire. Soit T le fractal de Rauzy associé. Alors tous les points de ∂T ∩ R sont
des nombres irrationnels. En particulier, γ(β) 6∈ Q.

En plus du résultat en lui-même, l’intérêt de ce théorème est qu’il est démontré

en utilisant des propriétés topologiques de pavages, ce qui est rare dans les preuve
d’irrationalité.

Le cas non unitaire Dans le cas non unitaire, un calcul assez simple montre que
tous les rationnels de la forme 1/N (β)n n’ont pas un développement périodique. On
a donc γ(β) = 0.
On introduit alors la quantité suivante, qui évite les nombres dont le dénomina-
teur est certain de générer un développement non périodique.

γ̃(β) = sup{ε, ∀p/q < ε, pgcd(q, N (β)) = 1, dβ (p/q) est purement périodique}.

Nous montrons dans (Monas. Math., 2008) que contrairement au cas unitaire,
cette quantité n’est pas liée à la propriété (F). En effet, dans le cas quadratique non-
unitaire, la proposition 3.2.6 se généralise pour montrer que γ̃(β) est intimement
lié à la description de la frontière du fractal de Rauzy complet (incluant les places
locales). En décrivant cette frontière par un GIFS, on parvient à calculer cette
quantité dans des cas particuliers.
Théorème 3.2.8 (Monas. Math., 2008) Les rationnels ont un comportement
inattendu vis à vis des développements purement périodiques en base β non unitaire
et de la propriété
√ de finitude.
– γ̃(2 + 7) = 0 alors que ce nombre vérifie la propriété (F) (il s’agit de la
2
racine de
√ X − 4X√− 3).
– γ̃(5 + 2 7) = (7 − 7)/12, qui vérifie toujours la propriété (F) (il s’agit de la
racine de X 2 − 10X − 3).
Dans (A., F., S.& S., en cours), nous montrons aussi que dans le cas quadratique
non ramifié, γ̃(β) appartient toujours à Q(β), et nous proposons un algorithme pour
calculer cette valeur à partir de la notion de graphe de frontière.
 103

Fig. 3.5 – Illustration des trois cas de calcul des quantités γ(β) et γ̃(β). L’illustra-
tion est faite dans un cas unitaire, mais la démonstration reste valable dans le cas
non unitaire. La quantité γ̃(β) est donné par la partie la plus large de la diagonale
S (a−1)
qui est entièrement inclus dans l’extension naturelle a∈A (−Te (a) ) × [0, Tβ (1)).
e
Cette extension naturelle est représentée par les sous-tuiles −T (a) dans la direction
horizontale et par l’intervalle [0, 1) sur l’axe vertical. Ainsi, l’extension naturelle
est une union de cylindres à base fractale et de hauteur verticale. La hauteur du
cylindre dépend de la sous-tuile considérée.
En fonction du premier endroit où la diagonale sort de cette extension naturelle,
on obtient différentes situations pour γ̃(β), décrites dans (Monas. Math., 2008) et
dans la proposition 3.2.6.
La première situation correspond au cas où la diagonale part de 0 et sort de l’exten-
(a−1)
sion naturelle sur un plateau de hauteur Tβ (1). Alors, γ̃(β) appartient à l’orbite
de 1 sous l’action de Tβ .
La deuxième situation signifie que la diagonale sort de l’extension naturelle en tra-
versant une verticale entre deux plateaux. Le point d’intersection se situe alors au
dessus de l’intersection entre deux sous-tuiles (−Te (a)) ∩ (−Te (b)).
La dernière situation signifie que la diagonale traverse complètement l’extension
naturelle et sort au dessus d’une nouvelle tuile du pavage autosimilaire.
À partir de cette caractérisation et d’une description par graphe des intersections
entre les tuiles du pavage, on obtient un calcul exact de γ̃(β) pour certains β et des
informations sur son irrationalité.
104

Théorème 3.2.9 (A., F., S.& S., en cours) Supposons que β est un nombre
quadratique non unitaire,
√ solution de β 2 = aβ + b. Soit d l’entier sans facteur carré
tel que Q(β) = Q( d). Si
– b est sans facteur carré,
– b est premier avec le discriminant de Q(β),
– d est un résidu quadratique pour tout les diviseurs premiers impairs de b,
– d ≡ 1 (mod 8) si b est pair.
Alors γ̃(β) est un élément de Q(β). De plus, il existe un algorithme pour le calculer
à partir du graphe de frontière du fractal de Rauzy associé à la β-numération.

3.2.4 Perspectives de travail

L’objectif principal sur cette question reste de mieux utiliser les propriétés to-
pologiques de fractals pour comprendre les propriétés des beta-numérations. Cela
se décline en plusieurs points.

Interprétation des propriétés topologiques du fractal en terme de numé-

ration Nous avons vu que dans le cas unitaire, le fait que 0 est point intérieur du
fractal de Rauzy signifie que tous les éléments de Z[β] ∩ R+ ont un développement
fini. Une question naturelle est alors de comprendre la signification de la connexité
locale du fractal, de sa connexité ou de sa simple connexité.
Dans le cas non-unitaire, ces questions sont délicates dans la mesure où l’espace
de représentation est totalement déconnecté. Par contre, quel est l’équivalent de la
propriété de finitude dans ce cas ? Peut-on caractériser topologiquement l’ensemble
des points dont le développement est fini ?

Transcendance de γ(β) Une question difficile est d’aller plus loin dans l’étude
de γ(β), au moins dans le cas unitaire cubique.
En effet, nous savons montrer que γ(β) n’est alors pas un nombre rationnel (A.,
F., S.& S., en cours). Nous utilisons pour cela le fait que cette quantité est décrite
par l’intersection d’un courbe fractale et d’une droite. Cependant, on n’utilise pas
la description explicite du fractal par son graphe de frontière. La connaissance de
ce graphe peut-elle permettre de déterminer la valeur de γ(β) (comme c’est le cas
dans le cas quadratique), ou au moins montrer qu’il ne s’agit pas d’un élément de
Q(β) ?
Dans le cas quadratique non-unitaire, on obtient l’algébraicité de γ̃(β) en étu-
diant la frontière du fractal par une description autosimilaire. Dans le cas cubique,
il faut se restreindre à l’intersection du fractal avec une droite, qui n’est pas décrite
par un IFS à priori. Pour avancer dans cette direction, il faudra décrire explicite-
ment l’intersection du fractal et la droite, sans doute avec un arbre infini du type
diagramme de Bratelli.

Vers des approximations diophantiennes Une autre question d’intérêt est

relative au calcul des meilleures approximations simultanées d’un couple de réels.
 105

En effet, dans [HM06, IFHY03a], en suivant les idées de [Rau82], les auteurs
considèrent des nombres de Pisot β cubiques unitaires avec un conjugué de Galois
non réel. Ils montrent que les meilleures approximations du (1/β, 1/β 2 ) pour une
norme euclidienne décrite par β sont données par la suite récurrence associée à β, et,
en tout état de cause,
√ que ces nombres sont très mal approximés par des nombres
rationnels (puisque N kN (1/β, 1/β 2)k la quantité est minorée par une quantité
indépendante de N ).
La preuve s’appuie sur le fractal de Rauzy, en particulier ses propriétés de pa-
vages, sur le fait que 0 est point intérieur, et l’étude des ellipses incluses dans ce
fractal.
Pour généraliser cette approche, il faut être capable de déterminer le rayon du
fractal de Rauzy, c’est-à-dire la taille maximale de la boule incluse dans le fractal,
éventuellement pour différentes topologies. Ensuite, il faudra déterminer la valeur
du rayon de cette boule ; sans doute en la décrivant par un arbre pondéré.

Numération de Dumont-Thomas Une autre direction d’étude consiste à gé-

néraliser les résultats sur la description des éléments purement périodiques aux
numérations de Dumont-Thomas [DT93].
Dans (Integers, 2005) , nous avons proposé une dynamique relative aux numé-
rations de Dumont-Thomas. Il est raisonnable de penser que les fractals de Rauzy
décrivent eux aussi les développements purement périodiques dans ce système de
numération.
De plus, pour les systèmes de numération en base entière ou certains systèmes
en base β, des liens ont été mis en évidence entre les graphes de frontière et des
automates pour décrire le développement de l’addition de deux nombres [Berar,
ST02]. Il sera intéressant de généraliser ces approches pour décrire le développement
de Dumont-Thomas de la somme de deux nombres à partir du graphe des frontières.

3.3 Géométrie discrète : engendrement de plans

discrets
Comme mentionné dans le chapitre 1, les codages de droites discrètes dans le
plan sont parfaitement identifiés et peuvent être générés au moyens de substitutions
en considérant le développement en fractions continues de la pente de la droite
approximée [Fog02, Chapitre 6].
Une question qui occupe les informaticiens théoriciens et les mathématiciens est
de généraliser ce résultat au cas multidimensionnel : par exemple, est-il possible de
caractériser les approximations de plans discrets dans R3 ? Peut-on les engendrer
de manière efficace ? D’un point de vue mathématique, répondre à cette question
permettrait d’identifier pour tout vecteur de R2 une suite de réseaux de R2 et une
partition de leurs domaines fondamentaux qui décriraient l’action de la translation
par le vecteur.
Pour cela, plusieurs aspects doivent être considérés : il faut d’abord caractériser
les approximations de plans de manière combinatoire, et si possible dynamique, de
106

même que les suites sturmiennes sont caractérisées comme les codages d’additions
sur le tore de dimension 1. Il faut ensuite être capable de définir un développement
en fraction continue multidimensionnel d’un vecteur (qui sera le vecteur orthogonal
au plan approximé). Il faut enfin définir des substitutions multidimensionnelles qui
permettront d’engendrer le codage de l’approximation de plan.
Dans cette direction, un procédé d’extension des substitutions en grande dimen-
sion a été développé par Arnoux et Ito [AI01], et il semble très prometteur. Nous
allons dans cette section détailler comment il est possible de l’utiliser pour répondre
partiellement à la question de l’engendrement des plans discrets, et quelles sont les
perspectives dans ce domaine.

3.3.1 Plans discrets

Définitions La notion de discrétisation de surface est formellement apparue dans
[Rev91] sous la forme d’espace arithmétique. Suivant la définition de [ABI02, BV00],
on considère un plan P(a,b,c) de R3 d’équation ax + by + cz = 0, et on note S l’en-
semble des cubes à coordonnées entières qui intersectent le demi-espace d’équation
ax+by +cz < 0. Le plan discret ou la surface brisée associée à P(a,b,c) est la frontière
de l’ensemble S. Ce plan discret est noté P(a,b,c) .

Faces du plan discret Le plan discret P(a,b,c) est naturellement recouvert par
différentes faces de cubes placées en des points à coordonnées entières. Pour décrire
un plan discret, on recherche donc les couples de la forme
[ point à coordonnées entières , orientation de la face de cube ]
qui permettent de recouvrir P(a,b,c) . On introduit donc trois faces de cubes qui vont
permettre de reconstruire P(a,b,c) .

F1 = {λe2 + µe3 , (λ, µ) ∈ [0, 1[2 }

F2 = {λe1 + µe3 , (λ, µ) ∈ [0, 1[2 }
F3 = {λe1 + µe2 , (λ, µ) ∈ [0, 1[2 }.

Selon [ABI02], une face x + Fi de P(a,b,c) sera alors désignée par la notation [x, i∗ ].
L’ensemble des faces de P(a,b,c) est appelé Γ(a,b,c) ; c’est cet ensemble qu’il faut
déterminer. [
P(a,b,c) = x + Fi .
[x,i∗ ]∈Γa,b,c

Caractérisation arithmétique Par définition de la frontière dans ce cas bien

particulier, l’ensemble x + Fi est sur la frontière du demi-espace S si et seulement
si le vecteur x − ei appartient à S tandis que x n’appartient pas à S. Puisque S est
défini par l’équation ax + by + cz < 0, on obtient un caractérisation des vecteurs x
à coordonnées entières (a, b, c) :
– L’ensemble x+F1 est une face du plan discret si et seulement 0 ≤ ax+by+cz <
a.
– L’ensemble x+F2 est une face du plan discret si et seulement 0 ≤ ax+by+cz <
b.
 107

– L’ensemble x+F3 est une face du plan discret si et seulement 0 ≤ ax+by+cz <
c.
On obtient donc une description arithmétique de P(a,b,c) :

Γa,b,c = {[x, i∗ ], hx, (a, b, c)i ≥ 0 et hx, (a, b, c)i < hei , (a, b, c)i}. (3.5)

3.3.2 Substitutions généralisées

L’objectif ici est de pouvoir engendrer par un formalisme répétitif un plan dis-
cret. En particulier, il faut être capable d’agir sur les faces [x, i∗ ]. Dans ce cadre,
Arnoux et Ito ont fait dans [AI01, AIS01] une avancée considérable en définissant
une substitution généralisée, obtenue comme application duale d’une substitution
et qui agit effectivement sur des faces de cubes.

Définition Soit σ une substitution unimodulaire sur trois lettres, de matrice M.

On appelle substitution généralisée l’application E1 (σ)∗ définie comme suit :
[ [  −1 
E1 (σ)∗ [x, i∗ ] = M x + M−1 l(S), k ∗ . (3.6)
k∈{1,2,3} S, σ(k)=P iS

E1 (σ)∗ (A ∪ B) = E1 (σ)∗ (A) ∪ E1 (σ)∗ (B).

On considère par exemple

0 la substitution
1 définie par σ(1) = 3, 0
σ(2) = 13, σ(3)1=
0 1 0 −1 −2 1
233. Sa matrice est M = @ 0 0 1 A. Son inverse est M−1 = @ 1 0 0 A.
1 1 2 0 1 0
Pour calculer l’image d’une face de type 1 par E1 (σ)∗ , on recherche les 1 qui appa-
raissent dans l’image d’une lettre. Il s’avère que 1 n’apparaît que dans l’image de
la lettre 2, suivie d’un suffixe égal 3. L’image par E1 (σ)∗ d’une face de type 1 est
donc une face de type 1, déplacée par le vecteur qui correspond au suffixe suivant
1, c’est-à-dire M−1 l(3). L’image d’une face de type 2 ne contient elle aussi qu’une
face. Par contre, puisque 3 apparaît 4 fois dans les images de lettres, l’image d’une
face de type 3 contiendra 3 faces différentes. Finalement, la substitution généralisée
est définie comme suit. De manière plus visuelle, on peut dessiner les images de
faces, comme illustré à la figure 3.6.

E1 (σ)∗ [x, 1∗ ] = M−1 x + [M−1 l(3), 2∗ ] = M−1 x + [(1, 0, 0), 2∗ ]

E1 (σ)∗ [x, 2∗ ] = M−1 x + [M−1 l(33), 3∗] = M−1 x + [(2, 0, 0), 3∗]
E1 (σ)∗ [x, 3∗ ] = M−1 x + [0, 1∗ ] ∪ [0, 2∗ ] ∪ [0, 3∗ ] ∪ [(1, 0, 0), 3∗ ]

Propriétés fondamentales Les substitutions duales ont plusieurs propriétés fon-

damentales :
– La substitution duale de la composition σ1 σ2 est la composée de E1 (σ2 )∗ par
E1 (σ1 )∗ .
108

7→

[0, 1∗ ]

7→

[0, 2∗ ]

7→

[0, 3∗ ]

Fig. 3.6 – Images des faces du cube unité par la substitution généralisée de la
substitution σ(1) = 3, σ(2) = 13, σ(3) = 233. La face [0, 1∗ ] est représentée par la
face du cube orthogonale à l’axe des x (similairement pour les autres faces).

– Si A et B sont deux sous-ensembles disjoints d’un plan discret Γx de vecteur

normal x = (a, b, c), alors E1 (σ)∗ (A) et E1 (σ)∗ (B) sont constitués de pièces
disjointes du plan [AI01] discret de vecteur normal Mx [Fer05] :

E1 (σ)∗ Γx ⊂ Γt Mx .

– Si on note U = [0, 1∗ ] ∪ [0, 2∗ ] ∪ [0, 3∗ ] l’ensemble des faces du cube unité, ce

cube unité est contenu dans son image par E1 (σ)∗ :

U ⊂ E1 (σ)∗ U.

Développement en fractions continues Même si une définition de fractions

continues fait encore débat [Sch00b, Lag94, Bre81, Gra92, Nog95], globalement, tous
les algorithmes de développements en fraction continue (unidimensionnels comme
multidimensionnels) consistent à produire à partir d’un vecteur x des suites de
matrices Mi à coefficients entiers, et qui appartiennent à une famille finie de SL(N),
de telle sorte que le produit des matrices M1 M2 . . . Mn Rn converge vers une unique
direction Rx.
En dimension 2, il est prouvé qu’il n’existe globalement qu’une seule manière
d’arriver à ce résultat, via l’algorithme d’Euclide, à cause de la rigidité de SL2 (N),
qui est un monoïde libre engendré par deux matrices. De cette unicité dérivent
 109

7→

Fig. 3.7 – Image du cube unité par la substitution généralisée de σ(1) = 3, σ(2) =
13, σ(3) = 233. Chaque couleur dans la figure de droite correspond à l’image de la
même de la dite couleur dans le cube unité à gauche. On remarquera que les images
des différentes faces du cube unité ne se superposent pas. De plus, l’image du cube
unité contient le cube unité lui-même. Ces deux propriétés sont vérifiées par toutes
les substitutions généralisées.

de nombreuses propriétés remarquables pour les fractions continues (en terme de

meilleures approximations rationnelles de nombres, de caractérisation des nombres
quadratiques, ou de vitesses de convergences d’algorithmes) [Khi63, IK02].
En dimension supérieure, il n’existe plus de manière canonique de choisir la
suite des matrices Mi . À partir de l’algorithme d’Euclide, de nombreux auteurs
ont dérivé différents algorithmes ; les plus célèbres sont sans doute les algorithmes
de Jacobi-Perron [Jac68, FP54], Brun [Pod77], Selmer [Sel78] ou Poincaré [Sch00b],
mais d’autres sont encore proposés actuellement [Yas05]. Même si ce domaine est ex-
trêmement vaste, une conclusion s’impose : l’ensemble des propriétés remarquables
obtenues pour l’algorithme d’Euclide en dimension 2 ne pourra pas se retrouver
simultanément en dimension supérieure et le choix d’un algorithme de fractions
continues multidimensionnel doit se faire principalement en fonction des applica-
tions recherchées. Par exemple, les algorithmes de Brun et Jacobi-Perron sont de
bons candidats pour obtenir de bonnes approximations rationnelles de vecteurs
[BAG01, FIKO96], mais ne semblent pas totalement appropriés pour caractériser
les corps cubiques [DPLR72, IFHY03b, IY07]. Les vecteurs admettant un dévelop-
pement en fractions continues d’Arnoux-Rauzy [AR91] périodique semblent de bons
candidats pour être tous conjugués à une rotation.

Engendrement de bouts de plans discrets à partir d’un algorithme de

fractions continues Quel que soit l’algorithme, cependant, on parvient donc à
écrire un vecteur x sous la forme

x = M1 M2 . . . Mn xn . (3.7)

Imaginons maintenant que les matrices t Mi sont les matrices de substitutions σi .

Dans les faits, il n’y a aucun problème pour choisir une substitution pour chaque ma-
trice, dès qu’elle est à coefficients positifs. Selon les propriétés des substitutions géné-
ralisées, on en déduit que le codage Γx du plan discret normal à x se construit en par-
tie à partir du plan discret normal à xn , puisqu’il contient E1 (σ1 )∗ . . . E1 (σn )∗ (Γxn ).
En particulier, puisque tous les plans discrets contiennent le cube unité U, on peut
110

déduire que le plan discret Γx contient un motif généré par des substitutions géné-
ralisées
E1 (σ1 )∗ . . . E1 (σn )∗ (U) ⊂ Γx . (3.8)

Stratégie d’engendrement Différents travaux ont exhibé des conditions suffi-

santes sur le choix des substitutions ou des vecteurs pour s’assurer que les motifs qui
apparaissent dans la formule (3.8) permettent de recouvrir tout le plan discret Γx .
Nous allons détailler ces différentes approches et nos contributions dans les lignes
qui suivent.

3.3.3 Le cas purement substitutif

Restriction sur les plans considérés Une première question qui a été large-
ment étudiée concerne le cas où les matrices M dans le développement (3.7) sont
toutes identiques. Le vecteur x est alors un vecteur propre de la matrice M, pour
sa valeur propre dominante.
Dans ce cas, les motifs E1 (σ1 )∗ . . . E1 (σn )∗ (Γxn ) s’étalent dans le plan discret
normal à x. Cependant, pour espérer recouvrir tout ce plan discret, il faut que les
motifs s’étalent de manière relativement uniforme.
Or, s’il existe une valeur propre dilatante pour M (autre que la valeur propre
dominante), on montre que les motifs vont se rassembler autour de l’espace propre
pour cette deuxième valeur propre ; ils ne pourront donc pas recouvrir tout le plan
discret.
Ainsi, on doit supposer que la matrice M admet une seule valeur propre dila-
tante : selon le formalisme introduit dans le chapitre 2, elle est Pisot irréductible. Le
plan approximé est alors orthogonal à x, il s’agit du plan contractant de la matrice
t
M.
Ce cas est la généralisation du cas purement substitutif dans le cadre de l’ap-
proximation des droites de R2 . En effet, on sait que le codage d’une droite discrète
est engendré par une substitution si et seulement si la pente de la droite est un
nombre quadratique dont le conjugué de Galois est en dehors de l’intervalle (0, 1)
[Yas99]. La généralisation de cette restriction en dimension 3 correspond à considé-
rer des matrices Pisot.
Notons que même si ces restrictions paraissent farfelues et peu naturelles, elles
concernent une famille suffisamment grande pour permettre d’avancer dans la di-
rection de l’engendrement de tous les plans discrets. Nous discuterons de cela dans
la section 3.3.6.

Engendrer un plan discret par itération à partir du cube unité Dans le

cas Pisot, on est ramené à rechercher quels sont les vecteurs x pour lesquels le plan
discret est recouvert par les motifs (E1 (σ)∗ )n (U). En réalisant que les substitutions
généralisées ne font que mimer les développements en base non-entières existant sur
la droite réelle, on montre dans (Integers, 2005) et (Monographie S. & T., 2008)
la propriété suivante (la condition est exprimé sous forme suffisante dans (Integers,
2005), le fait qu’elle soit nécessaire est prouvé dans (Monographie S. & T., 2008)).
 111

Proposition 3.3.1 ((Integers, 2005),(Monographie S. & T., 2008)) Soit x

le vecteur propre dilatant à gauche de la matrice M d’une substitution unitaire et
irréductible Pisot sur trois lettres. Les ensembles (E1 (σ)∗ )n (U) recouvrent la discré-
tisation Γx du plan contractant de M si et seulement si la substitution σ vérifie la
condition de finitude étendue (3.3).

En particulier, selon la section 3.2.2, ceci est équivalent au fait que 0 est un point
intérieur du fractal de Rauzy associé à σ. Cette propriété peut donc se vérifier en
construisant un graphe de frontière. Cependant, une telle vérification sort du cadre
de la géométrie discrète et est difficilement généralisable au cas où on composera
des substitutions différentes. Nous allons donc introduire un nouveau critère pour
l’engendrement du plan Γx .

Remarque : préfixes, suffixes et versions analogues La formule (3.6) qui

définit E1 (σ)∗ fait intervenir les suffixes d’images de lettres, alors que la formule
(3.3) fait intervenir les préfixes d’images de lettres. Ceci s’explique pour des raisons
historiques et d’applications : la formule (3.6) est obtenue par dualité de l’action
d’une substitution sur des escaliers ; pour avoir une expression simple, ce sont les
inverses de préfixes −l(P ) qui apparaissent, avec des jeux de faces de cube F1 ,
F2 , F3 qui ne contiennent pas 0 (Arnoux et Ito considère les faces supérieures du
cube unité). Recentrer les faces en zéro dans la formule de Arnoux et Ito remplace
les préfixes −l(P ) par des suffixes l(S) ; on obtient ainsi la formule (3.6) qui fait
intervenir des suffixes.
Par contre, la formule (3.3) est inspirée des approches en beta-numération, où
les préfixes d’images de lettres ont été déterminants à cause de la définition des
beta-substitutions.
En fait, on peut parfaitement remplacer les suffixes l(S) dans (3.6) par des pré-
fixes l(P ), cela revient à considérer la substitution miroir à la substitution initiale.
Dans ce cas, les propriétés des substitutions généralisées ne changent pas, puis-
qu’elles ne font intervenir que la linéarisation de la matrice. De même, le fractal
de Rauzy ainsi obtenu est le symétrique −T du fractal obtenu pour la substitution
initiale ; le fait que 0 est point intérieur est donc toujours vérifié.
Pour respecter les raisons historiques, nous garderons donc dans la suite la dé-
finition (3.6), mais il faut avoir à l’esprit que les applications de ces résultats aux
beta-substitutions et en numération doivent être faites en considérant les images
miroir des substitutions.

Engendrer un plan discret à partir d’un motif Il existe un grand nombre

de substitutions pour lesquels on sait que les itérations à partir du cube unité ne
permettront pas de recouvrir tout le plan discret Γx ; il suffit de considérer toutes
les substitutions pour lesquelles 0 n’est pas point intérieur du fractal de Rauzy, que
nous avons illustré au début du chapitre. Notons cependant qu’on ne sait pas si
pour une matrice donnée il existe au moins une substitution ayant cette matrice
pour laquelle la condition est vérifiée.
112

Dans ce cas, il est possible de considérer un motif de taille plus importante à

partir duquel on peut engendrer tout le plan discret : il existe un motif V de Γx tel
que
Γx = ∪n≥0 (E1 (σ)∗ )n (V).
L’existence de ce motif peut être démontrée de plusieurs manières. Dans le cas des
beta-substitutions, l’existence d’un tel motif est prouvée dans [Aki00] en s’appuyant
sur la convergence de séries. Dans le survol (CANT, 2009), V. Berthé, J. Thuswald-
ner et moi-même introduisons une approche purement géométrique qui s’appuie sur
la notion de réseau. On obtient alors une formule explicite pour le motif V, qui
dépend du vecteur propre dilatant à droite et des vecteurs propres contractants à
gauche de la matrice d’incidence de la substitution (voir proposition suivante).

Une nouvelle condition équivalente pour la propriété de finitude (F)

L’existence de ce motif permet de donner une nouvelle condition nécessaire et suffi-
sante pour l’engendrement du plan discret Γx . La preuve sera publiée dans (CANT,
2009).

Proposition 3.3.2 (CANT, 2009) Soit σ une substitution unitaire de type Pisot.
Soit x le vecteur propre dilatant à gauche de la matrice d’incidence M de σ. La
valeur propre dilatante est notée β. On note aussi vβ (2) , . . . , vβ (r+s) les vecteurs
propres contractants de M pour les conjugués de β. On introduit les constantes
Kk = max{|hl(S), vβ (k) i| pour s suffixe propre de l’image d’une lettre par σ} et
Kk′ = min{|hl(S), vβ (k) i| pour s suffixe propre de l’image d’une lettre par σ}.
La constante d’itération associée à la substitution est
( Kk ′
)
log(2 1−|β (k) | ) − log(Kk )
N = min , 2≤k ≤r+s .
− log(|β (k) |)
Alors σ satisfait la propriété de finitude étendue, c’est-à-dire que le plan discret
Γx est engendré à partir des itérations du cube unité si et et seulement si le motif
E1 (σ)∗ N (U) recouvre le motif V défini par :
  
0 ≤ hx, uβ i < hei , uβ i
V= [x, i∗ ] ∈ Zn × A, Kk .
|hx, vβ (k) i| < 1−|β (k) | , ∀ 1 < k ≤ r + s

3.3.4 Approximations de plans discrets tridimensionnels :

l’école japonaise
Après le cas purement substitutif se pose naturellement la question de l’engen-
drement de n’importe quel plan discret. Pour cela, comme dans le cas des droites
discrètes, on remplace l’itération d’un même substitution par la composition de
substitutions différentes. La propriété de finitude (F) n’a alors plus aucun sens, et il
faut trouver un lemme qui permet de faire grossir les différentes itérations du cube
unité.
 113

Cette approche a été développée dans les années 1990 par l’école japonaise portée
par S. Ito [IO94] à partir des outils définis plus haut, en se basant sur l’algorithme de
fractions continues de Jacobi-Perron. Avec P. Arnoux et V. Berthé (Jour. Montoises,
2006), et dans un travail en cours avec V. Berthé et J. Bourdon (B., B. & S.,
en cours), nous travaillons sur la généralisation l’automatisation de l’approche de
[IO94] pour l’appliquer à d’autres algorithmes de fractions continues et étudier plus
précisément les différentes approximations de plans discrets. Avant de discuter des
apports, il est nécessaire de détailler un peu les points principaux de l’approche de
Ito et Ohtsuki.

Une stratégie d’engendrement des plans discrets Ito et Ohtsuki cherchent à

montrer que toutes les approximations discrètes de plans sont uniformément récur-
rentes. Ceci a été redémontré avec des approches arithmétiques plus tard [BV00],
mais l’approche de [IO94] demeure fort intéressante pour étudier la structure des
plans discrets. Leur idée est la suivante :
1. Tous les plans discrets sont caractérisés par leur vecteur normal x ; ils sont
ainsi de la forme Γx .
2. Le vecteur x peut être approximé par un algorithme de fractions continues.
En particulier, l’algorithme de Jacobi-Perron permet de décrire tout vecteur
x par une alternance de deux paramètres. Plus précisément, on considère les
familles de matrices  
0 1 0
M(B, C) =  0 0 1 
1 B C

L’algorithme de Jacobi-Perron considère un vecteur x = (a, b, c) tel que 0 ≤

a, b < c et construit un vecteur x1 = (a1 , b1 , c1 ) tel que 0 ≤ a1 , b1 < c1 avec

x = t M(B0 , C0 )x1 , B0 = [b/a] C0 = [c/a].

Cette opération se répète infiniment, et permet de décomposer le vecteur x

sous la forme

x = t M(B0 , C0 ) t M(B1 , C1 ) . . . t M(Bn , Cn ) xn .

Les suites Bn , Cn vérifient alors la condition d’admissibilité 0 ≤ Bn ≤ Cn ,

Cn ≥ 1 et Cn+1 6= 0 dès que Bn = Cn .
3. Pour chaque matrice M(B, C) apparaissant dans l’algorithme de Jacobi-Per-
ron, on introduit une substitution qui a cette matrice pour matrice d’incidence.

σB,C (1) = 3 σB,C (2) = 13B σB,C (3) = 23C .

4. Chaque substitution admet une substitution généralisée, qui se représente

comme suit :
114

7→ 7→

7→

Fig. 3.8 – Images des faces du cube unité par la substitution généralisée d’une
substitution de Jacobi-Perron σ3,5 . Il y a B faces de type 2 dans l’image des faces
de type 3 par σB,C , et C faces de type 3.

5. En construisant un graphe fini, on peut montrer que dès que le développement

en fractions continues de x est tel qu’il existe une suite infinie d’entiers k tels
que
Bn 6= Cn ou Cn+1 = Bn+1 ou Bn+2 6= 0, (3.9)
alors pour ces entiers, le motif E1 (σ(B0 , C0 ))∗ . . . E1 (σ(Bn , Cn ))∗ (U) contient
le cube U et l’entoure avec un anneau.
Autrement dit, E1 (σ(B0 , C0 ))∗ . . . E1 (σ(Bn , Cn ))∗ (U) \ U admet exactement
deux composantes connexes, dont une est bornée.
6. Un lemme (dit de l’anneau) remplace la condition de finitude (F). Ce lemme
établit que l’image d’un anneau par une substitution généralisée est encore un
anneau.
7. On conclut que pour tous les vecteurs x qui vérifient la condition du point
3, les motifs E1 (σ(B0 , C0 ))∗ . . . E1 (σ(Bn , Cn ))∗ (U) recouvrent le plan Γx . Si
cette condition n’est pas vérifiée, une approche identique permet de montrer
que le plan est engendré à partir d’un motif V légèrement plus gros.

Limites de l’approche Il faut faire plusieurs remarques au sujet de ces résultats.

– Le choix de l’algorithme de Jacobi-Perron est arbitraire. Il existe d’autres
algorithmes pour approximer des vecteurs, dont les applications sont diffé-
rentes. En particulier l’algorithme de Brun, utilisé pour la reconnaissance
de plans discrets [Pod77, BF08, Fer08], et l’algorithme d’Arnoux-Rauzy, qui
permet d’engendrer des systèmes substitutifs dont on conjecture qu’ils sont
isomorphes à des additions sur un tore [AR91, AI01]. Pour chaque algorithme,
la même question se pose de reconnaître les développements de vecteurs pour
lesquels le plan discret est engendré à partir d’un motif simple (si possible le
cube unité U).
– La construction du graphe fini a été faite manuellement dans [IO94]. Dans le
cas de l’algorithme de Brun, ce graphe devient de taille trop importante et il
n’a été ni construit explicitement, ni étudié.
 115

Fig. 3.9 – Un anneau et son image par une substitution généralisée, qui n’est pas
un anneau

– L”énoncé du lemme de l’anneau est hélas incomplet. En effet, si on considère

la figure 3.9 on constate que l’image de l’anneau de gauche, qui est présentée
à droite, n’est pas elle même un anneau.
Même si cette approche est prometteuse, il y a donc un certains de points à régler
avant de l’appliquer à différents algorithmes et l’exploiter à fond. En particulier, le
lemme de l’anneau tel qu’énoncé n’est pas exact. Avec P. Arnoux, V. Berthé et J.
Bourdon, nous avons retravaillé le lemme de l’anneau en introduisant des conditions
combinatoires locales, appelées règles locales, qui sont plus proches de la notion de
substitutions usuelles. Ces règles locales sont mentionnées dans [IO94] mais elles ne
sont pas réellement exploitées.
À partir de ces règles locales, on espère montrer comment il est possible d’engen-
drer efficacement des plans discrets avec différents algorithmes. Nous allons détailler
ces questions dans les deux sous-sections qui suivent.

3.3.5 Un nouveau mode d’engendrement : règles locales pour

des substitutions bidimensionnelles
Itérer une formule ou construire par règles d’adjacence ? Il faut ici faire
preuve d’honnêteté : la formule (3.6) n’est absolument pas efficace pour engendrer
un plan discret. Lors de chaque itération, il faut calculer pour chaque pièce du motif
un produit de matrices par un vecteur ! Or, si on revient au cas unidimensionnel,
ce n’est pas du tout de cette manière que les itérations sont calculées pour obtenir
des suites sturmiennes : lorsqu’on itère une substitution, on s’appuie plutôt sur
la notion d’adjacence d’images de lettres. Plus précisément, la formule de base
qui permet de construire les mots sturmiens de manière efficace est la suivante :
σ(U V ) = σ(U )σ(V ). Il n’est donc pas nécessaire de calculer systématiquement la
position des lettres dans les itérations σ n (a) ; ce mot est construit petit à petit.

Motifs La communauté des informaticiens théoriciens a fait un travail important

pour généraliser cette approche au cas multidimensionnel [AS02, Han00]. Est-il pos-
sible de définir des règles de positionnement qui permettent d’itérer une substitution
116

généralisée ? Le premier cas non trivial dans ce cadre est de considérer des suites
infinies bidimensionnelles, c’est-à-dire des suites Ui,j indicées par Z2 . Dans ce cadre,
la notion de motifs bi-dimensionnel est naturelle : il s’agit d’un motif purement géo-
métrique, qui ne contient aucune information de localisation dans Z2 . Par exemple,
un motif peut être constitué d’un 1, placé à gauche d’un 3 et en dessous d’un 2. On
ne précise par à quel endroit de Z2 ce motif se trouve.

2
3 1

Cette notion de motif (positionné ou non positionné) est discutée dans la publi-
cation (TCS, 2004).

Une substitution définie par règle de placement ? Dans ce cadre, une sub-
stitution bidimensionnelle le devrait être une application qui associe à chaque lettre
un motif bi-dimensionnel non vide. Considérons par exemple :

2
Σ0 : 1 7→ 2 7→ 3 3 7→ 1.
1

Pour être un morphisme, il faut que cette application puisse s’appliquer sur les
motifs et non pas sur les lettres. Pour cela, il est nécessaire de savoir placer les images
de lettres les unes par rapport aux autres. Le problème ici est qu’il n’existe pas de
structure de monoïde sur Z2 : il n’y a pas de manière naturelle pour positionner
2 3
deux motifs l’un à côté de l’autre. Ainsi, l’image de 12 doit-elle être ou
1
2
, or autre chose ?
3 1
En fait, on ne sait même pas si des motifs peuvent se positionner correctement
pour recouvrir tout Z2 , sauf dans le cas particulier des motifs rectangulaires de même
taille ou des opérations canoniques existent (mettre deux motifs l’un au dessus de
l’autre ou sur leur côté) [GA97].
Même si cette question du placement est résolue, il faut aussi vérifier que ces
règles de placement sont compatibles, c’est-à-dire qu’en appliquant différentes règles
de placement les éléments ne se recouvrent pas. Là encore, ces questions se résolvent
bien dans le cas où les images de lettres sont des rectangles de même taille (la
substitution se découpe dans ce cas en deux substitutions unidimensionnelles).

Un exemple non trivial Dans (TCS, 2004), P. Arnoux, V. Berthé et moi-même

utilisons les substitutions généralisées définies plus haut ainsi que la caractérisation
arithmétique des plans discrets et la proposition 3.3.2 pour montrer que des règles
non triviales de substitution existent dans Z2 pour la substitution Σ0 . En fait, cette
substitution est un codage bi-dimensionnel de la substitution généralisée associée
par la formule 3.6 à la substitution 1 → 13, 2 → 1, 3 → 2. Les règles locales
suivantes sont obtenues en travaillant à partir de la formule (3.6).
 117

2 2 2
2 2 1 1 2 1
7→ 3 1 7→ 1 7→ 2 1 2 1 7→ 1 7→
1 3 1 1 3 1
1 1 3

En utilisant les propriétés des substitutions généralisées, nous parvenons donc

à montrer que ces règles ne se superposent pas et permettent de recouvrir tout Z2
en s’appliquant itérativement. Le mot bidimensionnel obtenu est un point fixe de
la substitution Σ0 (TCS, 2004).

2
2
2 2 2 1
1 7→ 7→ 7→ 3 1 7→
1 3 1 3 1
1
1
2 2
2 2 3 1 2 1
3 1 2 1 3 1
7→ 7→ .
3 1 2 1
1 3 1
1

Fig. 3.10 – Itération des règles locales associées à Σ0 .

Une classe d’exemples non-triviaux En particulier, toutes les substitutions

unidimensionnelles qui vérifient la condition de finitude (F) vont permettent de
générer un jeu de règles locales pour des substitutions bidimensionnelles non triviales
dont les itérations engendrent des points fixes indicés par Z2 . L’étude de ces points
fixes et des différents motifs qui y apparaissent est une question encore à l’étude.
3 2
Ainsi, dans [Jam04], il est montré que les motifs , et 3 2 sont
1 1
interdits dans ces mots bidimensionnels.
Savoir si les substitutions généralisées peuvent toutes être intégralement définies
à partir de telles règles locales est une question d’actualité. Un travail de Mozès va
dans ce sens [Moz89], s’appuyant sur des résultats de Goodman-Strauss [GS98].
Tout récemment, J.-M. Gambaudo aurait démontré que tout pavage linéairement
répétitif (dont la fonction de récurrence est sous-linéaire) serait à règles locales, c’est-
à-dire qu’il existe une coloration des pièces du pavage telle que l’espace de pavage
associé est un sous-shift de type fini. Or, les plans discrets entrent dans le cadre des
pavages. Ce résultat impliquerait que tous les plans discrets linéairement répétitifs
sont à règles locales. Il reste alors à caractériser les plans discrets linéairement
répétitifs, en particulier, comprendre le lien entre cette propriété et le fait que les
coefficients du développement en fractions continues (de Jacobi-Perron par exemple)
118

sont bornés. Il reste aussi à proposer des jeux de règles locales explicites dans ce
cas.

3.3.6 Engendrer des plans discrets en s’appuyant sur des

règles locales
Les règles locales ont été définies précédemment dans le cas des mots bidimen-
sionnels. Cependant, rien n’empêche de les définir plus globalement dans un espace
Zn , en particulier dans l’ensemble des pièces de la forme [x, i∗ ] de R3 qui permettent
de décrire les plans discrets de R3 .

Admissibilité d’un motif La question sous-jacente à l’approche par règles lo-

cales est la notion d’admissibilité de motif. Plus précisément, étant donné un motif
discret fini de la forme U = ∪[y, i∗ ], ce motif peut-il apparaître dans un plan discret
Γx , à translation près ?
On peut répondre à cette question en utilisant la caractérisation arithmétique
donnée par la formule (3.5) : selon cette caractérisation, on recherche un vecteur de
translation y0 tel que pour chaque pièce [y, i∗ ] de U, l’intervalle [0, hx, ei i] contient
la quantité hy + y0 , xi. On est ainsi ramené à vérifier qu’un intersection d’intervalles
est non vide, ce qui se vérifie avec des approches de contraintes usuelles, par exemple
en Prolog.

Calcul des règles locales pour un jeu de substitutions généralisées La no-

tion d’admissibilité de motif permet d’identifier tous les motifs connexes contenant
deux pièces qui apparaissent dans un plan discret (on généralise ainsi les travaux de
[Jam04]). Par connexe on entend des pièces qui partagent au moins une face. Ces
motifs sont appelés primaires.
On considère maintenant un jeu de substitutions généralisées.
On appelle jeu de règles locales un ensemble de motifs primaires minimal pour
l’inclusion tel que
– Les images de pièces de base [0, i∗ ] par toutes les substitutions considérées
sont recouvertes par des motifs du jeu de règles locales.
– Les images des éléments du jeu sont elles-mêmes recouvertes par des règles
locales du jeu.
À partir de ces deux propriétés, on est certain d’engendrer les itérés des pièces
de base par toutes les substitutions. Si on veut itérer à partir d’un motif de base
différent, dont on est certain qu’il apparaît dans au moins un plan discret par la
condition d’admissibilité précédente, il suffit de rechercher un jeu de règles locales
qui recouvre ce motif initialement.
Notons bien qu’il n’est pas nécessaire de vérifier dans ce cadre que les règles
locales sont compatibles parce que les propriétés des substitutions généralisées nous
assurent que dans un plan discret, les positionnements d’images de lettres sont
uniques.
Il existe bien entendu plusieurs jeu de règles locales. Pour en trouver un, une
approche gloutonne est suffisante (recouvrir l’image de [0, 1∗ ] par des règles locales,
 119

7→ 7→

7→ 7→

7→ 7→

7→

Fig. 3.11 – Règles locales pour la substitution généralisée de la substitution de

Jacobi-Perron σ(2,3) . Ces règles donnent les positions relatives des images de face à
l’intérieur d’une paire. Elles sont suffisantes pour itérer la substitution généralisée
Σ1,2 .

puis les images de ces règles locales par de nouvelles règles, jusqu’à ne plus produire
de nouvelles règles).
Ainsi, pour la substitution de Jacobi-Perron σ(2,3) , on obtient le jeu de règles
locales montré Fig. 3.11.

La stratégie d’engendrement Dans (Jour. Montoises, 2006), P. Arnoux, V.

Berthé et moi-même proposons une approche pour généraliser l’approche japonaise
de [IO94]. Nous montrons que pour engendrer une famille de plans discrets, il faut
superposer deux propriétés bien distinctes :
1. Une propriété qui caractérise les développements tels que la structure topo-
logique de certains anneaux est respectée (propriété d’encadrement), un peu
plus contrainte que le lemme de l’anneau énoncé dans [IO94]. Cette propriété
remplace la propriété de finitude (F).
2. Une propriété qui caractérise les développements qui produisent un anneau sur
lequel la propriété d’engendrement s’applique (propriété de génération). Dans
[IO94], la propriété d’engendrement étant donnée par le lemme de l’anneau,
120

Fig. 3.12 – L’anneau présenté à la figure 3.9 n’était pas recouvert par règles locales
pour les substitutions de Jacobi-Perron. Par contre il est inclus dans un anneau
recouvert par règles locales, dont l’image est elle-même recouverte par règles locales.

il suffisait de caractériser les développements pour lesquels le cube unité était

totalement entouré.
Nous pouvons maintenant détailler deux résultats qui permet de concrétiser
cette approche.

Partie (1). Le lemme de l’anneau couvert par des règles locales Dans
notre travail en cours, V. Berthé, J. Bourdon et moi-même introduisons une nouvelle
définition pour les anneaux, qui intègrent la combinatoire de la substitution :

Définition 3.3.3 ((B., B. & S., en cours)) un sous-ensemble A d’un plan dis-
cret est un anneau couvert par un jeu de règles locales s’il existe une suite de motifs
primaires dans le jeu de règles locales qui recouvrent l’anneau et tels que chaque
motif intersecte exactement deux autres motifs du recouvrement.

Avec cette notion qui prend en compte la combinatoire des substitutions, nous
montrons dans (B., B. & S., en cours) que les substitutions généralisées respectent
les anneaux. Cette proposition est illustrée à la figure 3.12.

Proposition 3.3.4 (Lemme de l’anneau couvert par règles locales, (B.,

B. & S., en cours)) Soit A anneau recouvert par les règles locales associées aux
substitutions généralisées des σB,C . Alors les images de A par les substitutions gé-
néralisées des σB,C sont des anneaux recouverts par des règles locales.

Il faut noter que la preuve de ce résultat n’est pas purement topologique mais fait
intervenir la combinatoire des substitutions. Il s’agit de considérer les préimages de
chaque règle locale du jeu et vérifier qu’elles ne se déconnectent pas, par une étude
de cas. Le point principal est que cette vérification est automatique et se fait en un
temps fini.

Graphe de génération À partir du nouveau lemme de l’anneau, on peut cons-

truire un graphe qui caractérise tous les développements qui produisent effective-
ment une configuration entourant le cube unité par un anneau recouvert par règles
locales.
 121

Définition 3.3.5 On considère un ensemble de substitutions σi et un jeu de règles

locales pour leurs substitutions généralisées qui vérifie le lemme de l’anneau couvert
par règles locales.
Le graphe d’engendrement de ces substitutions est défini comme suit :
– Les configurations terminales du graphe sont tous les anneaux couverts par
règles locales qui contiennent le cube unité [0, 1∗ ]∪[0, 2∗ ]∪[0, 3∗ ] et ne contien-
nent pas d’autre anneau de ce type.
– Les sommets sont obtenus itérativement en considérant les images successives
du cube unité par les substitutions généralisées des σi et en les intersectant
avec l’ensemble des configurations terminales.
– Il existe un arc entre deux sommets B et C si et seulement s’il existe une
substitution généralisée E1 (σi )∗ et une configuration terminale A telle que
E1 (σi )∗ (C) ∩ A ⊂ B. Cet arc est étiqueté par i.

Il faut noter ici que le sens des arcs est inversé par rapport à la notion de
substitution : les flèches représentent les préimages des motifs par une substitution
et non leurs images.
Ce graphe est fini puisqu’il s’agit de sous-motifs d’un nombre fini de motifs (les
configurations terminales). D’un point de vue algorithmique, la difficulté consiste
à identifier l’ensemble des configurations terminales pour le jeu de règles locales.
Pour cela, on utilise la notion de motif admissible défini plus haut et un critère
topologique pour s’assurer que les configurations considérées sont bien minimales.
Il s’agit du point le plus long en terme de calcul dans cette approche.

Engendrement de plans discrets À partir du graphe de génération et du lemme

de l’anneau couvert par règles locales, on détermine les développements qui per-
mettent d’engendrer effectivement un plan discret.

Théorème 3.3.6 (B., B. & S., en cours) Soit σi des substitutions associées à
un algorithme de fractions continues en dimension 3. On considère un jeu de règles
locales pour lesquelles les substitutions généralisées vérifient le lemme de l’anneau
par règles locales.
On considère un vecteur x dont le développement en fractions continues est décrit
par les indices i0 , . . . , in , . . . . Si le développement est tel que pour tout n il existe
′
n tel que in in+1 . . . in+n′ indice un chemin qui part d’une configuration terminale
vers le cube unité, alors le plan discret Γx est engendré à partir du cube unité :

Γx = ∪n≥1 E(σi1 )∗ . . . E(σin )∗ ([0, 1∗ ] ∪ [0, 2∗ ] ∪ [0, 3∗ ]).

Premières constructions Nous avons vérifié que cette approche généralise exac-
tement le résultat de [IO94] dans la mesure où le graphe d’engendrement relatif aux
configurations terminales pour le lemme de l’anneau donné dans [IO94] est exacte-
ment celui qui est décrit dans [IO94]. De plus, la condition (3.9) décrit exactement
les chemins du graphe qui partent d’une configuration terminale mais ne reviennent
jamais vers le cube unité.
122

3.3.7 Perspectives
Nous avons finalement proposé une approche qui permet de décrire les développe-
ments en fractions continues de vecteurs en dimension 3 pour lesquels le plan discret
qui leur est orthogonal est engendré à partir du cube unité. Cette approche combine
des vérifications de contraintes, des constructions de graphes et des vérifications
topologiques. À partir de cette approche théorique, plusieurs perspectives sont à
l’étude.

Comparaison de différents algorithmes de fractions continues La pre-

mière application de cette méthode va être de comparer les graphes pour différents
algorithmes de fractions continues : Jacobi-Perron, Brun et Arnoux-Rauzy. En par-
ticulier, nous souhaitons vérifier si, pour ces différents algorithmes, les plans discrets
dont le vecteur normal a un développement en fractions continues avec des quotients
bornés peuvent être engendrés à partir du cube unité.
Pour les plans discrets qui ne sont pas engendrés à partir du cube unité, la
question qui se posera sera de trouver un motif plus gros que le cube unité qui
permet de les engendrer.

Topologie des motifs qui engendrent les plans Un objectif sera de choisir
le meilleur algorithme de génération de plan discret en fonction de la topologie des
morceaux engendrés. Dans le cas substitutif Pisot, la non-connexité du fractal de
Rauzy implique que les itérations successives ne sont pas connexes à partir d’un
certain rang. Ainsi, il sera intéressant de déterminer quels sont les meilleurs algo-
rithmes de fractions continues qui engendrent des plans discrets à partir de pièces au
moins connexes, si possible simplement connexes, et avec un volume équitablement
réparti.
En relation avec cette question, des approches basées sur les substitutions gé-
néralisées et l’algorithme de fractions continues de Brun fournissent des bases pour
la reconnaissance de plans discrets [ABFJ07, BF08, Fer08]. La reconnaissance de la
topologie de ces motifs est maintenant une question qu’on peut espérer comprendre
en combinant les approches topologiques présentées au début de ce chapitre avec
les questions d’engendrement de plans discrets décrites ici.

Familles de systèmes substitutifs isomorphes à une translation sur un tore

Avec cette approche, nous pourrons vérifier la conjecture d’Arnoux-Ito [AI01] se-
lon laquelle toutes les substitutions obtenues par trois substitutions de bases dites
d’Arnoux-Rauzy engendrent un système symbolique isomorphe en mesure à une
translation sur un tore ; on sait avec [AI01] que ces substitutions sont Pisot irréduc-
tibles et unitaires, il reste à montrer que leur fractal de Rauzy engendre un pavage.
On considérera aussi les développements qui engendrent des suites unidimension-
nelles qui ne sont pas uniformément équilibrées [CFZ00], pour mieux comprendre
les propriétés des plans discrets associés.
 123

Construction de fractals de Rauzy pour des paramètres non rationnels

Dans le cas Pisot substitutif, les pièces qui engendrent un plan discret peuvent être
renormalisées pour engendrer le fractal de Rauzy de la substitution, c’est-à-dire un
candidat pour un domaine fondamental d’un réseau qui code l’action d’une transla-
tion par le système substitutif. Dans le cas général, les fractions continues devraient
permettre de construire une suites de domaines fondamentaux qui permettraient
de représenter symboliquement la dynamique n’importe quelle addition sur un tore
par la composition de substitutions (conjecture S-adique).

3.4 Invariants pour des systèmes dynamiques

En dernière application des fractals de Rauzy se trouvent la continuation du
travail sur le codage des systèmes dynamiques et la définitions d’invariants.

3.4.1 Dynamique des systèmes substitutifs non unitaires

Comme mentionné dans les perspectives du chapitre 1, si le cas Pisot irréduc-
tible unitaire commence à être correctement appréhendé, les cas non unitaire et non
Pisot sont pour l’instant simplement ébauchés. Les approches d’engendrement de
plans discrets décrites dans la section 3.3 sont une piste pour traiter le cas unitaire
non Pisot. Au sujet des substitutions non-unitaires, on s’inspire des approches dé-
veloppées pour la beta-numération non unitaire (section 3.2) et à des graphes de
pavages pour démontrer des résultats non triviaux.

Fractal de Rauzy p-adique pour toutes les substitution La construction

du fractal de Rauzy complet décrites pour les beta-numérations se généralise à
toutes les substitutions non unitaires. En effet, on considère une substitution dont
la matrice d’incidence n’est pas de déterminant 1. Pour ces substitutions, on peut
construire un fractal de Rauzy euclidien ; pour les raisons détaillées dans la section
3.2.1, les sous-tuiles de ce fractal s’intersectent sur un ensemble de mesure non nulle.
En exploitant le lien entre le système symbolique et les chemins de l’automate
des préfixes-suffixes donné dans le théorème 2.2.2 ainsi que la représentation des
fractals de Rauzy par numération de Dumont-Thomas explicitée dans le théorème
2.3.2, on étend la définition du fractal de Rauzy euclidien à un fractal de Rauzy
complet qui vit dans un espace p-adique. Les formalismes sont identiques à ceux
décrits pour les beta-numérations non unitaires (section 3.2) ; je les ai détaillés dans
la publication (Erg. Th. Dyn. Sys, 2003).

Echange de morceaux dans des espaces p-adiques J’ai montré que les résul-
tats dynamiques connus dans le cas unitaire se généralisent au cas non unitaire : en
particulier, un système substitutif code les trajectoires d’un échange de morceaux
dans un espace un peu surprenant.

Théorème 3.4.1 (Erg. Th. Dyn. Sys, 2003) Soit σ une substitution irréductible
Pisot sur d lettres, qui vérifie la condition de fortes coïncidences. Soit Mσ la matrice
124

d’incidencePde σ et β la valeur propre dominante de Mσ . Pour p ∈ N premier, on

k
note Dp = i=1 e(Ji ), où e(Ji ) désigne l’indice de ramification de chaque diviseur
premier Ji de l’idéal β OQ(α) + p OQ(β) ⊂ Q(β).
Le système dynamique symbolique (Xσ , S) associé à σ est isomorphe en mesure
à un échange de morceaux sur une partie autosimilaire compacte de mesure non
nulle dans Rd−1 × Qp1 Dp1 × · · · × Qpk Dpk , où les pi sont les diviseurs premiers de
det Mσ .

Avec des méthodes identiques au cas unitaire, on peut aller plus loin dans l’étude
de la dynamique du système substitutif : l’échange de morceaux peut se quotienter
sur un groupe abélien compact en une translation.

Proposition 3.4.2 (Erg. Th. Dyn. Sys, 2003) Tout système substitutif de type
Pisot est une extension finie presque partout de son facteur équicontinu maximal,
qui est une translation sur un groupe compact.

Graphes de pavage et systèmes substitutifs à spectres discrets La ques-

tion importante d’un point de vue dynamique est de déterminer si cette opération
de quotient est injective, c’est-à-dire si l’extension est en fait un isomorphisme en
mesure. Pour cela, j’ai généralisé dans (Ann. Inst. Fourier, 2004) la définition des
graphes de pavages au cas non unitaire, et j’ai produit des graphes de pavage asso-
cié à un réseau périodique de Kσ . Cette méthode, algorithmique, permet de mon-
trer que des systèmes substitutifs non unitaire sont effectivement isomorphes à une
translation donnée sur un groupe compact, et donc à spectre purement discret.

Théorème 3.4.3 (Ann. Inst. Fourier, 2004) Le système dynamique associé à

la substitution non unitaire σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 11233 a un spectre purement
discret.

Avant cette approche, les seuls résultats connus sur le spectre discret des systè-
mes substitutifs non unitaires concernaient les substitutions sur deux lettres [BD02].
On voit ici que les graphe de pavages peuvent être exploités dans des contextes très
généraux.

3.4.2 Vers des partitions de Markov pour des endomorphis-

mes du tore
Cette section est plus prospective. Nous y discutons de pistes pour construire
des partitions de Markov pour des endomorphismes du tore.

Partition de Markov pour l’action d’une matrice sur des corps locaux
On considère donc une substitution Pisot irréductible non unitaire sur n lettres.
Comme nous venons de le rappeler, nous pouvons définir un fractal de Rauzy,
qui est un sous-ensemble de l’espace complet de représentation Kβ . La matrice
de la substitution M agit naturellement sur cet espace (via la multiplication par la
représentation de β dans chaque composante de l’espace Kβ ). Sous des conditions
 125

naturelles (qui généralisent la condition Pisot) données dans (Erg. Th. Dyn. Sys,
2003), la matrice agit aussi naturellement sur un groupe compact obtenu comment
quotient de Kβ . Comme pour le cas unitaire, l’extension naturelle introduite à la
section 3.2 est alors un bon candidat pour une partition de Markov pour cette
action. Il faut pour cela qu’une extension de la condition de pavage exprimée par
des graphes de frontière soit vérifiée, comme illustré au théorème 3.4.3 (voir (Ann.
Inst. Fourier, 2004) et (Erg. Th. Dyn. Sys, 2003)).
La différence fondamentale entre les cas unitaire et non-unitaire est que cette
partition de Markov décrit l’action de la matrice sur l’espace de représentation
complet Kβ , qui inclut des parties non-archimédiennes. Dans cet espace, l’action de
M est inversible et peut donc être décrite par un sous-shift de type fini inversible :
il va s’agit du décalage sur l’ensemble des étiquettes de chemins bi-infinis du graphe
des préfixes-suffixes (notons bien que sur un ensemble de mots bi-infinis, ce décalage
est bien inversible). Rajouter les composantes non-archimédiennes nous ramène ainsi
à un cas équivalent à l’action d’une matrice inversible sur un tore.

Partition de Markov pour un endomorphisme du tore ? Dans la réalité,

on recherche une partition de Markov pour l’action de la matrice M sur le tore Tn .
Cette deuxième action n’est plus inversible. Un domaine de Markov doit permettre
de représenter cette action par un décalage sur un sous-shift de type fini unilatéral :
puisque l’action de M n’est plus inversible, sa représentation symbolique ne le sera
plus, ce qui est le cas d’un décalage sur des mots infinis à droite seulement. Nous
recherchons donc un système symbolique de type fini unilatéral qui est isomorphe
en mesure à l’action de la matrice.
Or, l’action de la matrice M sur le tore est un facteur topologique de son action
sur l’espace Kβ . Cependant, la projection de Kβ sur Tn ne respecte pas la représen-
tation du fractal de Rauzy complet par le graphe des préfixes-suffixes ; la question
de trouver une bonne partition de Markov reste donc entière.
Géométriquement, on cherche à construire un domaine fondamental de l’espace
contractant Hc de Rn qui respecte l’action de M. Et on cherche à obtenir ce domaine
fondamental à partir du fractal de Rauzy complet T̃ . Comme nous l’avons déjà vu,
le fractal de Rauzy dans Hc existe bien, mais ses sous-tuiles ne sont pas disjointes :
il faut les séparer par des corps locaux pour arriver à les rendre disjointes.
On peut voir cette question autrement : le fractal de Rauzy euclidien recouvre
plusieurs domaines fondamentaux du réseau de Hc qui représente la section de
l’action de M, et il faut parvenir à en sélectionner un sous-ensemble représente
exactement un domaine fondamental. Autrement dit, la question est de sélectionner
pour chaque élément x de Hc un unique point de Kβ dont la partie euclidienne
coïncide avec x.

Recherche d’un candidat Un bon candidat pour ces points consiste à repré-
senter la partie non-archimédienne de l’espace de représentation comme une limite
inverse d’anneaux d’entiers. Dans ce cadre, l’élément z = hx, vβ i considéré au départ
admet plusieurs préimages dans le quotient O(Q(β))/βO(Q(β)). On peut sélection-
ner la seule préimage z1 qui appartient Z[β], puis recommencer cette opération. La
126

suite des représentations dans l’espace complet des zn , notée φβ (zn ) converge alors
dans le fractal de Rauzy complet vers un point z∞ qui admet z pour représentation
euclidienne.
Intuitivement, cela revient à sélectionner dans le fractal de Rauzy représenté
Fig. 3.3 la ligne horizontale d’ordonnée y = 1. Formellement, on peut définir ce
nouvel ensemble en considérant une généralisation des beta-numérations.

Une généralisation des beta-numérations : shift radix systems Les SRS

(shift radix systems) sont définis comme suit dans [ABB+ 05]. On considère r ∈ Rd et
on définit la fonction τr : z = (z0 , . . . , zd−1 ) ∈ Zd → (z1 , . . . , zd−1 , −⌊hr, zi⌋) ∈ Zd .
L’application τr est un SRS si pour tout z ∈ Zd il existe un entier k ∈ N tel que
τrk (z) = 0.
Ces systèmes de numération sont des généralisations des beta-numérations dans
le cas unitaire [ABB+ 05]. En effet, si on considère un nombre β et si on développe
son polynôme minimal sous la forme (X−β)(X d +rd−1 X d−1 +rd−2 X d−2 +· · ·+r0 ), le
shift radix system associé au vecteur r = (r0 , . . . , rd−1 ) coïncide avec la dynamique
de la beta-transformation dans le cas unitaire.
Les propriétés arithmétiques des SRS ont été intensivement étudiées [ABB+ 05,
ABPT06, ABPT08]. En particulier, on leur associer une tuile centrale, qui corres-
pond à rechercher les préimages dans Zn de 0 et à les renormaliser par la matrice
compagnon du vecteur r. Là encore, on montre que, pour les SRS associé au vecteur
r qui correspond à un β unitaire, la tuile ainsi obtenue coïncide avec un fractal de
Rauzy [ABB+ 05].

Un cas plus spécifique : le cas non unitaire Cependant, dans le cas non
unitaire, les applications τr apparaissent comme une restriction injective de la dy-
namique de la beta-transformation ; en fait, cette dynamique procède exactement
à la sélection de points dans O(Q(β))/βO(Q(β)) : nous démontrons ceci dans un
travail en cours de rédaction avec Paul Surer, Joerg Thuswaldner et Valérie Berthé
(B., S., S. & T., en cours).
L’intérêt de ce processus de sélection est que, avec les SRS, on peut, y compris
dans le cas non unitaire, définir un ensemble compact qui représente les entiers pour
ces systèmes de numération. Par contre, contrairement au cas unitaire, l’ensemble
compact ainsi obtenu ne coïncide pas avec le fractal de Rauzy euclidien : il s’agit
d’un sous-ensemble de ce fractal euclidien.
Une manière de visualiser cet ensemble est la suivante. On considère le frac-
tal de Rauzy complet (incluant les parties p-adique associé au nombre β.PChaque
composante
P p-adique de ce fractal se plonge dans [0, 1[ par l’application ai p i ∈
Zp → ai p ∈ [0, 1[. Comme nous l’avons déjà mentionné, ce plongement respecte
−i

la mesure du fractal, ainsi que ses parties compactes. L’image du fractal complet
dans le fractal est alors un sous ensemble de Rd−1 croisé avec un produits d’inter-
valles [0, 1]N . Le fractal obtenu avec les SRS correspond aux éléments x de Rd−1
tels que (x, 1, . . . 1) appartient au plongement du fractal. Autrement dit, ce sont les
préimages dans le fractal euclidien des éléments qui se trouvent au bout de Zp .
 127

Fig. 3.13 – Tuile centrale pour le shift radix system associée à la beta-substitution
du nombre de Pisot non unitaire beta3 = 7β2 + 3β + 2.

Les propriétés de ce nouveau compact sont complexes. Nous avons montré que
0 est un point intérieur de ce fractal. Par contre, il n’est plus autosimilaire mais
décrit par un graphe infini. La dimension de Haussdorf de son bord n’a pas encore
été calculée.

Une nouvelle propriété de pavage La propriété intéressante de cette tuile

concerne à nouveau des aspects de pavages. En effet, graphiquement, pour les
exemples considérés, il semble que ce fractal induise un pavage du plan par un
nombre de tuiles infinies liées au système de numération. En collaboration avec Paul
Surer, Joerg Thuswaldner et Valérie Berthé, nous avons pu montrer que le fractal
induit effectivement un pavage (B., S., S. & T., en cours). La méthode consiste à
estimer numériquement la taille d’approximations polygonales de la frontière. Or, il
s’avère que ces deux propriétés sont disjointes. Pour vérifier la propriété de pavage,
nous avons introduit un nouvel algorithme basé sur le recouvrement de la tuile par
des réseaux.

Théorème 3.4.4 (B., S., S. & T., en cours) Soit β défini par β 3 = 7β 2 −3β +2.
Les tuiles associées au shift radix system défini à partir de β forment un pavage du
plan R2 .

Perspective : base d’une partition de Markov ? La tuile centrale pour les

SRS est donc un sous-ensemble compact du fractal de Rauzy euclidien qui induit
des propriétés de pavages intéressantes dans le plan et est obtenu comme limite
inverse de la dynamique. Selon moi, il s’agit d’un candidat naturel pour la base
d’une partition de Markov. Les travaux futurs dans cette direction consistent à
vérifier si ce nouveau fractal est le domaine fondamental d’un réseau. Si tel est le
cas, il y a de bons espoirs pour que l’action de la matrice compagnon du vecteur r
initialement considéré admette cette structure pour partition de Markov.

Perspective : étude de la topologie des nouveaux fractals Les nouveaux en-

sembles obtenus ne sont en fait pas autosimilaires mais décrits par un graphe infini.
128

-1

-2

-3
-3 -2 -1 0 1 2

Fig. 3.14 – Pavage associé au shift radix system de la beta-substitution de beta3 =

7β2 + 3β + 2. Contrairement au cas des fractals de Rauzy, les tuiles de ce pavage
ne sont pas en nombre fini : elles ont une infinité de formes.

La question maintenant est de décrire les propriétés topologiques de cet ensemble,

en particulier sa frontière, sans doute à l’aide de graphes infinis.

3.4.3 Dynamique symbolique des homéomorphismes de sur-

faces. Automorphismes de groupes libres
Des substitutions aux automorphismes du groupe libre Une dernière ap-
plication de la dynamique symbolique concerne les automorphismes du groupe libre.
En effet, il est assez naturel d’étendre la notion de substitution à la notion d’endo-
morphisme du groupe libre. Parmi ces endomorphismes se trouvent ceux qui sont
inversibles ; on parle alors d’automorphisme du groupe libre. Les substitutions qui
se prolongent en un automorphisme du groupe libre sont appelées inversibles, et
leurs spécificités sont bien étudiées, en particulier sur les alphabets à deux lettres.

De la géométrie vers la symbolique L’intérêt porté aux automorphismes du

groupe libre vient de l’étude des difféomorphismes des surfaces par Nielsen et ensuite
Thurston [Thu88, CB88]. En effet, tout difféomorphisme d’une surface f : Mg → Mg
engendre un automorphisme du groupe fondamental de la surface, qui est un groupe
libre dès que la surface est orientable et a un bord. Notons que les automorphismes
qui sont ainsi obtenus sont assez spécifiques ; ils sont appelés géométriques. Si tous
les automorphismes du groupe F2 sont géométriques, aucun automorphisme d’un
groupe libre de rang impair ne peut coder un homéomorphisme de surface (Ann.
Inst. Fourier, 2006).
Pour étudier la dynamique de l’automorphisme à isotopie près, Thurston a in-
troduit la notion de graphe plongé dans la surface (train track). Ces objets géomé-
triques sont structurés autour de chaque sommet par un ordre cyclique qui provient
du fait que la surface est localement planaire. On peut alors considérer un feuilletage
mesurable à partir de poids qui respectent la structure du graphe sur les arêtes.
 129

Automorphismes versus substitutions La dynamique de ces trains-track et

plus généralement des automorphismes du groupe libre est difficile à appréhender.
Pour mieux la comprendre, on oublie le point de vue géométrique et on considère
un automorphisme du groupe libre d’un point de vue purement symbolique. Or,
même du point de vue symbolique, l’étude des automorphismes est délicate. En
effet, l’étude des systèmes symboliques engendrés par une substitution est basée
sur l’existence d’un mot infini périodique pour la substitution ; ce point périodique
existe pour la seule raison que la longueur de toutes les images de lettres croît vers
l’infini. Or, cette propriété n’est plus vérifiée par les automorphismes du groupe libre
puisque des annulations apparaissent (par exemple, la conjugaison fixe le mot fini
iw : a 7→ waw−1 et ses itérations successives ne font donc pas croître sa longueur).

Une condition suffisante pour limiter les annulations Pour régler ce prob-
lème, Bestvina et Handel ont proposé de coder un automorphisme Φ du groupe libre
par un représentant topologique, plus formellement une application sur un graphe
marqué f : G → G qui induit l’automorphisme Φ sur le groupe fondamental de G,
en l’occurrence un groupe libre Fn . Un tel représentant est appelé un train-track
si les itérations de f ne contiennent aucune annulation. Elles se comportent donc
comme une substitution.
Betsvina et Handel se concentrent sur les équivalents algébriques des homéo-
morphismes pseudo-Anosov des surfaces, appelés iwip (irreducible with irreducible
power). Formellement, ces automorphismes sont tels qu’aucun facteur libre n’est
envoyé par l’automorphisme et ses puissances sur un conjugué de ce facteur.
Le résultat fondamental dit que tout automorphisme iwip, à conjugaison par un
automorphisme intérieur près, admet un train-track pour représentant topologique
[BFH97]. La construction de ce train-track est en plus proposée sous une forme
proche d’un algorithme.

Dynamique d’un automorphisme du groupe libre De ce point de vue géo-

métrique, on obtient que les points intéressants à étudier pour la dynamique d’un
automorphisme du groupe libre sont les points fixes qui apparaissent sur le bord du
groupe libre.
En effet, pour les automorphismes iwip, il devient possible de construire un mot
bi-infini sur lequel l’automorphisme agit sans annulation et qui est fixé par une
puissance de l’automorphisme. À partir de ce mot bi-infini, on construit un système
dynamique [BFH00], appelé la lamination attractive symbolique, obtenue comme la
fermeture de l’orbite du point bi-infini sous l’action du décalage.
Ainsi, une lamination attractive symbolique peut être considérée de deux points
de vue [CHL06] : algébriquement, il s’agit d’un ensemble de géodésiques qui est
fermé pour la topologie induite sur le bord du groupe libre, qui est aussi invariante
pour l’action du groupe libre et invariante par renversement d’orientation. Symboli-
quement, il s’agit d’un système dynamique symbolique contenant des mots bi-infinis
et invariant sous l’action du décalage et de la symétrie par rapport à l’indice 0.
130

Lien avec les substitutions Dans (Ann. Inst. Fourier, 2006), avec V. Berthé, P.
Arnoux et A. Hilion, nous nous intéressons aux laminations attractives d’un point
de vue purement symbolique. Nous étudions d’abord le lien entre la propriété iwip
et la propriété de primitivité. Il s’avère que, même si elles sont reliées, ces deux
propriétés ne sont pas équivalentes.
Nous montrons ensuite que la lamination attractive d’un automorphisme ex-
térieur iwip dans les coordonnées données par un représentant train-track f est
un système dynamique symbolique associé à un substitution double σf , obtenue en
doublant l’alphabet constitué par les arêtes sur lequel le train-track est défini.
En particulier, nous montrons que ce système est minimal et invariant par le
flip si et seulement si la substitution double σf est non-orientable, c’est-à-dire qu’il
n’existe pas de sous-ensemble de l’alphabet qui le partitionne en deux et est stable
ou disjoint de son image par la substitution.
Ainsi, tout automorphisme extérieur Φ iwip non-orientable contient une dyna-
mique substitutive minimale, qui représente la lamination attractive de Φ du bord
du groupe libre.

Représentation par une addition Comme nous l’avons expliqué au chapitre

2, les systèmes symboliques engendrés par une substitution sont de bons candidats
pour être à spectre purement discret, c’est-à-dire isomorphes à une addition sur un
tore, en particulier lorsque leur valeur propre dominante est un nombre de Pisot.
Pour les substitutions doubles associées à un train-track, la valeur propre dominante
est le coefficient de dilatation λ de Φ. Lorsque celui-ci est Pisot, on peut donc
construire un fractal de Rauzy, qui admet des symétries très particulières et est
stable par un échange de morceaux (voir (Ann. Inst. Fourier, 2006) pour les détails).
Dans ce cas là, on sait surtout que la substitution associée vérifie la condition de
quotient. Nous avons donc utilisé les graphes de pavages pour vérifier si le système
symbolique considéré est conjugué à une addition sur un tore.

Théorème 3.4.5 (Ann. Inst. Fourier, 2006) Les laminations attractives de

train-tracks fixés pour φ1 : a 7→ c, b 7→ c−1 a, c 7→ b et φ2 : a 7→ c, b 7→ c−1 a,
c 7→ bc−1 sont à spectre discret. Elles sont isomorphes en mesure à une translation
sur le tore de dimension 2.

On montre ainsi une propriété métrique de certaines laminations attractives as-

sociées à un automorphisme du groupe libre. Dans la lignée de [CHL06], la question
reste entière pour comprendre ce que ces propriétés signifient sur la topologie et les
propriétés des arbres réels engendrés par un automorphisme du groupe libre.

Recherche d’invariants topologique à une conjugaison près Un des dé-

fauts de l’approche proposée est que nous construisons un fractal de Rauzy à partir
d’un représentant train-track. Or, il existe plusieurs représentants train-track pour
un même automorphisme du groupe libre. On ne sait pas encore si le fait d’être
conjuguées à une addition sur un tore est une propriété commune aux laminations
attractives engendrées par tous les représentants train-tracks d’un automorphisme.
L’intuition dit que les différentes représentations seront des sections d’une même
 131

suspension décrite par un domaine fondamental du tore, et auront donc globale-

ment les mêmes propriétés, mais tout reste à faire pour formaliser cette intuition.
Parallèlement, une direction de recherche consiste à comprendre les propriétés
des fractals de Rauzy qui sont invariantes lorsqu’on change de représentant train-
track. En particulier, nous avons observé que les fractals de Rauzy pour des auto-
morphismes du groupe libre conjugués semblent avoir des formes semblables (voir
Fig. 3.15). Une première étape dans cette direction serait donc d’utiliser les critères
topologiques proposés dans la section 3.1 pour comprendre quels sont les invariants
topologiques à une conjugaison près.

Fig. 3.15 – Fractals de Rauzy pour deux paires (τ4 , σ4 ), et (τ2 , σ2 ) de substitutions
Pisot unitaires irréductibles. Dans chaque paire, les substitutions sont conjuguées
par un automorphisme du groupe libre. Ces fractals semblent avoir des propriétés
topologiques communes
132
Chapitre 4

Appréhender le
fonctionnement d’un système
dynamique en biologie
moléculaire

Dans les deux chapitres précédents, nous avons vu comment on pouvait tirer
parti de la connaissance d’une application pour considérer ses propriétés dynamiques
et en extraire des informations sur les codages de cette application. Cependant, cela
nécessite d’une part de connaître explicitement l’application, d’autre part d’étudier
une application dont les régularités sont assez importantes. Dorénavant, nous allons
discuter des approches de systèmes dynamiques dans un autre domaine, la biologie
moléculaire.
La situation est dans ce cas là vraiment orthogonale à ce que nous avons consi-
déré jusqu’alors : on dispose d’observations sur un système ; on suppose simplement
que ce système suit une loi dynamique, au sujet de laquelle on dispose d’informa-
tions très partielles. Le but est d’exploiter les observations disponibles sur le système
de manière optimale.
Un des points qui frappe dans ce nouveau domaine est son manque de contours ;
il s’agit là d’un contraste frappant avec la théorie des systèmes dynamiques symbo-
liques où les enjeux sont bien déterminés. La raison principale de ce flou en biologie
des systèmes est la jeunesse de ce domaine : mis à part quelques articles précur-
seurs et fondateurs des années 1960 (le travail de Jacob et Monod en particulier),
l’importance des concepts de dynamique est réellement discutée en biologie molé-
culaire depuis seulement une quinzaine d’années : l’intérêt des biologistes croît avec
l’amélioration des techniques d’observation à grande échelle dans une cellule. Mais
finalement, ce domaine n’en est qu’à ses balbutiements. Il est donc caractérisé par
une profusion de propositions de méthodes d’analyses de réseaux et de données. A
long terme, la sélection entre les différentes approches se fera sans doute par leur

133
134

utilisation réelle en biologie.

La jeunesse de ce domaine (et l’esprit du projet Symbiose à l’Irisa) m’a incitée à
travailler avant tout sur l’identification de questions qui ont un sens d’un point de
vue biologique et peuvent aussi être abordées avec les données mises à disposition.
Pour cela, j’ai travaillé en étroite collaboration avec des biologistes moléculaires spé-
cialistes des régulations du métabolisme des acides gras (Agrocampus Rennes), ainsi
qu’avec des informaticiens (Michel Le Borgne, Philippe Veber, Carito Guziolowski)
et mathématiciens (Ovidiu Radulescu) de l’université.
Du fait de cette approche du terrain vers la formalisation, les concepts mathéma-
tiques qui vont être introduits dans la suite de ce document sont beaucoup plus
simples que dans les chapitres précédents (on considère des déplacements d’états
stationnaires pour des modèles différentiels). Par contre, les aspects de résolution
informatique, de complexité ont été plus poussés que dans les parties précédentes,
puisque les applications envisagées vont jusqu’à l’analyse de données réelles. Ainsi,
l’état d’esprit des prochains chapitres est complètement différent des chapitres pré-
cédents.
Nous allons d’abord discuter de l’intérêt des systèmes dynamiques en biologie
moléculaire, pour l’analyse de séquences ou la modélisation du comportement au
sein d’une cellule. Ceci nous amènera à présenter une approche qui consiste encore
à discrétiser les trajectoires de systèmes dynamiques, non plus dans l’esprit de la
dynamique symbolique (c’est-à-dire partitionner l’espace pour discrétiser les tra-
jectoires), mais plutôt dans un esprit statique : on supposera que dynamiquement,
le système étudié est simple (il passe d’un état stationnaire à un autre état sta-
tionnaire), et nous nous concentrerons sur la comparaison entre les différents états
stationnaires pour identifier des interactions manquant dans le modèle de départ ou
orienter de nouvelles expérimentations.

4.1 Dynamique en biologie moléculaire

4.1.1 Systèmes dynamiques et séquences d’ADN ?
Dynamique et génomes Un premier cadre d’application des méthodes de dyna-
mique symbolique en biologie moléculaire pourrait concerner l’étude des séquences
d’ADN. En effet, les séquences d’ADN sont des suites de très grande taille sur un
alphabet à quatre lettres, et une grande part des recherches à leur sujet se focalise
sur la recherche de régularités ou d’irrégularités en leur sein. On peut naturellement
voir ces séquences comme des mots infinis, et considérer que ces mots ont été pro-
duits par des phénomènes de dynamiques sur les génomes (duplication, insertion,
délétion, substitution), ce qui est exploité pour identifier des signatures de génomes
[NAT+ 04, OG04, DGV+ 99, JVEGS02].

Visualiser les régularités Une méthode pour visualiser des régularités consiste
à représenter une séquence par une image de dimension 2, avec des techniques de
jeu de chaos.
Pn Il s’agit là de représenter une séquence u1 . . . un ... par l’ensemble de
points { i=1 l(ui )/2i }, où les vecteurs l(A), l(C), l(G) et l(T ) sont quatre points
 135

du plan (typiquement, (1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1) [Jef90]. En considérant de
cette manière des génomes d’espèces différentes, on observe à l’oeil nu que les re-
présentations obtenues sont bien distinctes, et qu’elles présentent des régularités,
qui font penser à des fractals. Lors d’un stage de Master 2, T. Hénin a montré
que ces régularités sont expliquées par la présence de mots interdits dans les sé-
quences d’ADN, ces mots interdits étant liés à des faits bien connus en biologie des
séquences. Ainsi, la représentation par jeu du chaos est d’autant plus fractale que
le langage du génome considéré est proche d’un langage régulier [Hén06].

Dynamique ou algorithmique ? Les régularités dans les génomes proviennent

ainsi de mécanismes temporels qui ont fait évoluer les génomes jusqu’à leur forme
actuelle [DGV+ 99]. Cependant, il faut bien noter que la dynamique se lit non pas
sur un génome, mais plutôt l’ensemble des génomes des espèces liées par l’évolution.
En particulier, l’ordre des bases dans une séquence d’ADN ne semble pas être lui-
même le codage de la trajectoire d’une molécule dans le temps. Il faut cependant
noter qu’un lien sembler exister entre la séquence d’ADN d’une part, la structure et
la dynamique de la chromatine d’autre part (par exemple, le placement des histones
sur l’ADN n’est pas du tout uniforme), mais on est encore loin de penser que la
séquence d’ADN serait un codage de la dynamique associée [NAT+ 04].
Cela ne signifie absolument pas que les séquences d’ADN ne méritent pas une
étude attentive. En effet, en tant que produit de l’évolution de génomes, chaque gé-
nome contient un grand nombre de régularités et de contraintes cachées qui doivent
être explorées via l’étude de son langage. Cependant, cette étude entre dans le do-
maine de l’algorithmique des séquences et a priori les méthodes de discrétisation de
systèmes dynamiques ne semblent pas de grande utilité. Il s’agit là de la spécialité
d’une bonne partie du projet Symbiose [Nic08], et j’ai ainsi eu l’occasion de parti-
ciper à la définition de concepts pour rechercher efficacement des éléments répétés
dans les séquences via l’exploitation d’une représentation astucieuse des langages
sous la forme d’arbre des préfixes (Repeat, submitted, 2008). Mais on s’éloigne ici
du sujet principal de ce document : force est de constater que les séquences d’ADN
ne sont pas dynamiques, au sens où elles ne codent pas les trajectoires d’un système
sur un espace.

4.1.2 Dynamique au niveau cellulaire

Expression d’une protéine Les systèmes dynamiques sont cependant loin d’être
absents de la biologie moléculaire. Autant les génomes ne codent pas une dynamique,
autant tous les mécanismes permettant de passer d’un génome à l’expression expli-
cite d’une protéine sont des phénomènes dynamiques. Rappelons rapidement que
les protéines, composées d’une suite d’acides aminés dont la composition est déter-
minée par le code génétique, assurent l’intégrité et le fonctionnement des cellules.
Pour aboutir à la production d’une protéine, une partie d’une séquence d’ADN
doit d’abord être transcrite en un ARN, qui lui-même est traduit en protéine (voir
Fig. 4.1). La protéine obtenue va ensuite agir à différents endroits de la cellule :
certaines protéines jouent le rôle d’enzyme (catalyseur de réactions biochimiques),
136

Fig. 4.1 – Gauche : schéma des mécanismes transformant un gène en une pro-
téine. Droite : les différents rôles des protéines (Sources : http ://www.hbcprotocols.com/,
http ://www.hon.ch/Dossier/Ageing/)

d’autres de composante membranaire, d’autres encore ont un rôle structural extra

ou intracellulaire, et les dernières constituent la machinerie indispensable à diffé-
rents mécanismes tels que la réplication du matériel génétique, la transcription,
la traduction des protéines ou la mort cellulaire (sous la forme de protéases ou
d’inhibiteurs) (voir Fig. 4.1).

Régulation et dynamique Dans ce schéma, le point fondamental qui rend ces

phénomènes dynamiques est que la cellule s’est munie de la capacité de décider
d’activer une transcription, une traduction, ou même la fonction d’une protéine. Et
cette décision est principalement due à la présence ou l’absence de différentes autres
protéines. Ainsi, la transcription est activée si différents facteurs de transcription
(qui sont des protéines), sont présents pour se fixer à l’avant de la partie du génome
qui est traduite. De même, une protéine va jouer son rôle dans la cellule à partir du
moment où elle est activée, souvent par un phénomène physique tel que l’adjonction
d’un groupement phosphate (phosphorylation), un clivage, ou la formation d’un
complexe avec une autre protéine de la cellule.
Ce schéma est bien entendu très incomplet, de nombreux mécanismes de régula-
tions existent et méritent chacun d’être décrits, étudiés et approfondis. Ce qu’il faut
retenir ici, c’est que la cellule décide de produire ou non une molécule en fonction
de la quantité des autres molécules dans la cellule. Et en ce sens, la concentration
d’une molécule est fonction des concentrations de l’ensemble des molécules de la
cellule, et on peut considérer que l’ensemble de ces concentrations forment l’état
 137

d’un système dynamique.

Spécificité des systèmes Comparés aux systèmes dynamiques expérimentaux

déjà connus et étudiés, en particulier en physique et en chimie, voire en écologie, les
spécificités de la biologie moléculaire sont :
– la difficulté pour observer des molécules au sein de la cellule ;
– la difficulté pour perturber le système sans le détruire ;
– la difficulté pour avoir beaucoup de réplicats : les expériences sont qualitative-
ment reproductibles. D’un point de vue quantitatif, cependant, la variabilité
est telle qu’il faudrait quelques dizaines de réplicats pour obtenir des informa-
tions fiables ; en pratique, les coûts financiers et les difficultés expérimentales
font que le nombre de réplicats est de 3 à 5.
Des techniques d’observations haut-débit se sont cependant développées ces 15 der-
nières années, faisant entrer la biologie dans l’ère omique : elles permettent d’ob-
server plus de variables, mais avec une précision moindre. De plus, le coût limite
le nombre de réplicats. Autrement dit, nous sommes en présence de systèmes pour
lesquels :
– On dispose de lois assez générales pour décrire les phénomènes principaux de
régulation.
– On dispose d’observations qualitatives sur les concentrations des molécules
pendant des expérimentations, qui peuvent être des déplacements d’états sta-
tionnaires en réponse à un stress (privation de nourriture, privation d’oxygène,
introduction dans un milieu azoté...) ou des réponses à une perturbation gé-
nétique (délétion ou activation d’un gène). Lorsqu’elles sont dites temporelles,
ces observations consistent au maximum en une vingtaine de points temporels,
répartis souvent sur plusieurs heures voire plusieurs jours.
– On dispose de connaissances sur les phénomènes de régulation d’un système,
dans l’immense production bibliographique publiée dans le domaine de la
biologie. Cependant, ces informations sont actuellement difficilement exploi-
tables, parce que insuffisamment structurées sous la forme d’interactions.

4.1.3 Plusieurs stratégies pour modéliser la dynamique d’un

réseau à un niveau qualitatif
Il devient donc légitime de chercher à prédire le comportement des molécules
à l’intérieur des cellules, mais les problématiques posées en biologie moléculaire
ne peuvent pas importer les méthodes développées en physique ou en biochimie,
à cause de la difficulté pour construire des modèles quantitatifs et fiables à assez
grande échelle. Il faut noter quelques exceptions obtenues grâce à des travaux ex-
périmentaux considérables associés à de gros efforts de modélisation : on dispose
maintenant de modèles différentiels réalistes pour la régulation du cycle cellulaire
[CCCN+ 04] ou les voies de transduction de signal associées à EGF [SEJGM02] et
NFκB [NIE+ 06].
Différentes approches ont été explorées pour simuler et modéliser la dynamique
des réseaux de régulation génétique. Certaines restent différentielles (en se focalisant
138

sur des réseaux de petite taille), d’autre discrètes, d’autres encore adoptent un point
de vue probabiliste, voire stochastique [DJ02]. Les questions posées sont variées :
citons entre autres l’atteignabilité, l’existence d’états stationnaires ou d’oscillations,
l’enchaînement de réactions pour produire une molécule [MRM+ 08].

Approches discrètes Les approches discrètes en particulier, dont nous avons

discuté dans la section 1.4.2, sont extrêmement puissantes pour la simulation et
l’étude de la dynamique d’un réseau ; elles ont montré des résultats très encoura-
geants ces dix dernières années [BRdJ+ 05, GCT08, GBC+ 04]. Elles sont cependant
limitées par la taille des réseaux qui peuvent être étudiés : du fait de l’explosion
combinatoire des trajectoires considérées et de la quantité d’information biologique
(même qualitative) nécessaire pour effectivement spécifier le modèle, les études sont
limitées à deux ou trois dizaines de sommets.
Pour élargir la classe de modèles étudiables, la communauté des informaticiens
s’est attaché à formuler des requêtes liées à la présence de molécules aux différentes
étapes des transformations. Les modèles sont alors décrits par des réactions élé-
mentaires et utilisent des lois d’action de masse ; la valeur des paramètres n’y est
souvent pas spécifiée. Ces approches proposent de modéliser un réseau dans un lan-
gage ad-hoc, puis d’utiliser une sémantique dynamique pour les éléments du langage
(booléen, différentielle ou autre). Notons bien que la précision de la sémantique a
des conséquences sur la précision des informations demandées à l’utilisateur. Ceci
permet d’interroger le système en fonction de cette sémantique, généralement avec
des algèbres de processus, des requêtes en logique temporelle ou des analyses de
diagrammes de décision [DL04, RPS+ 04, CFS06].

Prédiction à partir d’invariants robustes Adoptant un autre point de vue,

une communauté de mathématiciens s’est attaché à définir des méthodes de pré-
dictions robustes à partir d’invariants globaux, partiellement indépendantes de la
valeur exacte des paramètres du système. Il s’agit de proposer des prédictions à
partir d’un modèle présenté sous la forme d’un graphe d’interaction ou d’un modèle
de réactions élémentaires. La principale illustration de cette approche est la règle
de Thomas , qui dit que si un système admet plusieurs états stationnaires non dé-
générés, alors son graphe d’interaction contient au moins un cycle positif [Tho81].
On a ici une information globale sur le système, ayant un sens biologique important
(la bistabilité du système, induisant des phénomènes d’hystéresis), sans une étude
détaillée de la dynamique. Cette règle, proposée dans les années 1980, a été prouvée
pour les différents formalismes existants (logique, multivalué, différentiel...) dans les
années 2000 [Sou06]. Elle est fréquemment exploitée dans les études de réseaux déjà
mentionnées : la première étape de l’étude d’un réseau consiste à identifier les cycles
positifs, qui peuvent induire une multistationnarité, et ensuite à proposer des ana-
lyses (simulation, prédiction, abduction) pour identifier les cycles qui sont effectifs,
c’est-à-dire qui provoquent effectivement une multistationnarité. Cependant, pour
les réseaux qui intègrent des aspects métaboliques, la règle de Thomas s’applique
mal : les réactions métaboliques réversibles introduisent des cycles positifs dans les
graphes d’interaction, qui souvent ne sont pas effectifs mais empêchent une analyse
 139

simple de la stationnarité.

Signes de déterminants et univalence Plus globalement, les travaux existant

sur les prédictions de systèmes à partir d’informations globales se concentrent pour
la plupart sur l’étude de signes de déterminants, ce qui est naturel puisque les ques-
tions posées concernant l’existence ou l’unicité d’attracteurs, ainsi que leur stabilité.
Or, ces informations sont principalement contenues dans la matrice jacobienne de la
dynamique (en particulier ses sous-déterminants), qui est précisément donnée par le
graphe d’interaction du réseaux [HKG]. Ce domaine est en plein essor actuellement
et évolue encore rapidement. Une méthode usuelle de réduction utilise les échelles
de temps ; elle oblige cependant à privilégier les variables lentes par rapport aux
variables rapides. On doit aussi distinguer une théorie plus mature que les autres,
inspirée de la théorie du contrôle, qui obtient pour des systèmes monotones (pour
lesquels une condition nécessaire est la présence de cycles positifs) des résultats im-
portants au sujet de l’existence d’états stationnaires et de leur stabilité. Ceci offre
un critère pour décomposer le système en modules qui présente un comportement
entrée-sortie : chaque module pris isolément converge vers un état stationnaire pour
toute condition initiale [Son07].
Lorsque seuls des cycles négatifs sont présents, nous verrons comment le théo-
rème de Gale-Nikaido [Par83] permet de montrer que le système possède un unique
état stationnaire.

Contributions J’ai axé mes recherches sur des méthodes permettant des prédic-
tions robustes pour un réseau, dans des modèles assez peu renseignés et de grande
taille. Du fait de l’absence de connaissances sur la valeur numérique des paramètres,
les méthodes de prédiction vont s’appuyer sur la comparaison de différents états sta-
tionnaires. Nous allons cependant voir que cette restriction permet quand même de
mieux comprendre le fonctionnement d’un système, en particulier de détecter les
zones qui méritent une modélisation fine.
– Les premiers résultats portent sur des réseaux formalisés sous la forme de
modèles de réactions élémentaires. Nous verrons que l’étude des sous-déter-
minants de la jacobienne du système issu du modèle de réactions permet de
caractériser les effets de certains régulations.
– La seconde classe de résultats étudie la réponse d’un système à des paramètres
extérieurs. Les systèmes sont alors décrits seulement par leur graphe d’interac-
tion, aussi appelé graphe d’influence. Lorsqu’ils sont taille moyenne, on arrive
à comprendre le rôle de boucles positives dans le comportement du système.
– La troisième classe de système comprend des réseaux de grande échelle couplés
avec des données de puces à ADN. On entre alors dans une problématique de
correction de modèles avec des méthodes de diagnostic. Cette troisième classe
de modèle sera considérée dans le chapitre suivant.
Pour toutes ces questions, une question biologique reviendra régulièrement : il
s’agit de la modélisation des régulations du métabolisme des acides gras. Nous al-
lons en particulier présenter différents modèles pour ce système, avec un niveau
d’abstraction plus ou moins important. Avec ce fil conducteur, nous allons illus-
140

trer pourquoi la biologie systémique doit adopter une démarche progressive pour
comprendre un système dans ses différentes composantes : considérer d’abord des
données qualitatives avec un graphe d’influence, puis un modèle défini par des réac-
tions mais sans spécifier ses coefficients, pour enfin se concentrer sur l’analyses de
données numériques sur une toute petite partie du modèle. Chaque type d’abstrac-
tion correspond à une classe de questions et engendre des méthodes spécifiques de
résolution. Pour revenir à ce qui a été écrit au début de ce chapitre, on pourra ainsi
illustrer l’une des principales causes de la difficulté à poser des contours pour la
biologie systémique, à savoir, la complémentarité entre les différents degrés d’abs-
traction pour l’étude d’un même système et l’impossibilité d’en préférer une par
rapport aux autres.

4.2 Prédictions pour des réseaux décrits par des

réactions
4.2.1 Existence des états stationnaires dans un modèle dy-
namique
Modèle de réactions Nous nous plaçons maintenant dans un contexte général
de dynamique différentielle : on suppose que le flux d’un produit, de concentration
Xi , est le résultat de différentes réactions Rj pour lesquels Xi est soit consommé
soit produit. Si Xi est consommé par la réaction Rj , cette réaction intervient avec
un coefficient négatif dans le flux de Xi . Si Xi est un produit de Rj , cette réaction
apparaît avec un coefficient positif.
La dynamique d’un système est donc décrite par le système suivant :
r
X
dX
= F(X, p) F(X, p) = νi Ri (X, p), (4.1)
dt
i

où X désigne la concentration des produits Xi ; p ∈ Rq désigne les paramètres

du système, F : Rn × ∆ → Rn est un champ de vecteur différentiel avec ∆ est
un sous-ensemble compact de Rq ; νi est le vecteur stoechiométrique de la réaction
élémentaire i et Ri (X, p) son taux.
Un état stationnaire est alors défini par F(X, p) = 0.

Une condition suffisante d’existence d’un état stationnaire Comme men-

tionné dans la section précédente, la recherche des états stationnaires pour les sys-
tèmes biologiques a fait l’objet d’une littérature importante, en particulier leur
unicité et leur stabilité. Les résultats d’existence sont par contre plus épars.
Avec Ovidiu Radulescu et Elisabeth Pécou, nous avons utilisé la formule de
Poincaré-Hopf pour montrer le résultat suivant sur des champs de vecteurs.

Proposition 4.2.1 ((Roy. Soc. Inter, 2006) et (R., S., P., C.& L. en cours))
Soit Φ(X) = G(X) − Λ(X) un champ de vecteurs différentiable sur Rn+ tel que
– G est borné,
 141

– Pour tout X = (X1 , . . . , Xn ) tel que Xi = 0 et Xj 6= 0 pour j 6= i, G vérifie

Gi (X) > 0,
– Λ = (Λ1 (X1 ), . . . , Λn (Xn )) : Rn n
+ → R+ , et Λi sont différentiables Λi (0) = 0
et vérifient limkXk→+∞ Λi (X) = +∞, pour tout 1 ≤ i ≤ n.
Alors l’équation Φ(X) = 0 admet au moins une solution dans Rn+ .
Même si ce résultat est peu avenant, il est en fait assez naturel d’un point de vue
biologique : G(X) représente alors les régulations entre les différents composants X
d’un modèle et Λ(X) représente la dégradation naturelle de ces composants. La pro-
position dit que si les réactions élémentaires dans le modèle vérifient les hypothèses
(raisonnables biologiquement) suivantes, alors la production et la dégradation des
composants vont s’équilibrer et exhiber un état stationnaire :
1. les dégradations doivent être des fonctions strictement croissantes de la con-
centration des produits ;
2. l’absence d’un substrat pour un flux le bloque ;
3. tous les flux qui ne sont pas des dégradations saturent à haute concentration ;
4. le système active la production d’un produit dès que sa concentration devient
nulle.
On obtient ainsi une condition générale pour l’existence d’un état d’équilibre.
L’intérêt de ce résultat est qu’il est totalement indépendant des paramètres des
fonctions Ri ; on peut donc le considérer comme une propriété robuste du système.

Exemple : métabolisme des acides gras et ses régulations Dès le début

de mes travaux en bioinformatique, j’ai travaillé avec S. Lagarrigue, du laboratoire
de génétique animale de l’Agrocampus Rennes. L’ambition de ce laboratoire est de
trouver des régulateurs génétiques du caractère d’engraissement chez le poulet. La
question de la régulation des acides gras reviendra donc régulièrement tout au long
de ce document.
Pour commencer à étudier ce problème, nous avons proposé un modèle abs-
trait du métabolisme des acides gras. Pour cela, nous avons volontairement abstrait
chaque voie du métabolisme (glycolyse, synthèse, dégradation des acides gras) en
une seule réaction. Nous avons aussi abstrait les phénomènes de régulation en deux
voies de régulation : les enzymes de la synthèse des acides gras sont globalement
connues pour être régulées par les facteurs de transcription LXRα-SREBP1, tandis
que l’oxydation des acides gras est régulée par le facteur de transcription PPAR.
De plus, une classe d’acides gras, dits polyinsaturés ou PUFA, agissent comme des
ligands pour l’activation du facteur de transcription connu pour réguler l’oxydation
des acides gras (PPAR) et l’inactivation du facteur de transcription qui régule la
synthèse des acides gras (LXRα) [Jum04].
A partir de ces connaissances, nous avons proposé le modèle décrit dans la
Figure 4.1. Ses spécificités sont les suivantes :
– Toutes les voies sont abstraites.
– Les métabolites agissent comme des régulateurs des voies de régulation trans-
criptionnelle, induisant une boucle de régulation transcription/métabolisme/-
transcription peu étudiée du point de vue de la modélisation.
142

– Les transformations de l’ATP sont prises en compte dans le modèle, via la

variable T .
Les variables de ce modèle sont données dans la table suivante. Pour faciliter
la comparaison avec les modèles de niveau d’abstraction inférieur que nous pré-
senterons dans la suite du document, nous mettons aussi les noms des enzymes
correspondantes.
d product
Type Name Concentration symbol dt
abstract corresponding
node enzyme
Metabolic Glucose G
parameter
Metabolic Acetyl Co-A A ΦA
variable Saturated and monounsaturated F1 S/MU-FA ΦF1
fatty acids
Poly-unsaturated fatty acids F2 PUFA ΦF2
Energetic Energy ATP T ΦT
variable
Genetic Active form of PPAR PP PPAR-a Ψ1
variable Active form of the regulation path L LXR-a, SREBP-a, Ψ2
LXR-SREBP SCAP
Enzymes of S/MU-FA synthesis E1 ACL, ACC, FAS Ψ3
Enzymes of S/MU-FA oxidation E2 SCD1 Ψ4
Enzymes of PUFA oxidation E3 FADS1, FADS2 Ψ5
Enzymes of Ketone body exit E4 Ψ6

Modèle abstrait de réaction du métabolisme des lipides Un modèle diffé-

rentiel pour formaliser la représentation du métabolisme donnée Fig. 4.2 est donné
dans la Table 4.1. Volontairement, les fonctions de flux et de régulations Gly, Oxi1,
Oxi2, Krebs, . . . y sont laissées à l’état symbolique. Ce modèle prend simplement
en compte la stoechiométrie des transformations en introduisant des paramètres n1 ,
n2 , αG , . . . .
8 dA
> = Gly(G, T) + n1 Oxi1(F1 , T, E2 ) + n2 Oxi2(F2 , T, E3 )
>
>
dt
>
> −Krebs(A, T) − Kout(A, E4 ) − n1 Syn(A, T, E1 ) − δA A
>
> dF1
>
> = Syn(A, T, E1 ) − Oxi1(F1 , T, E2 ) + Fin1(F1 , T) − δF1 F1
>
> dt
>
>
dF2
= −Oxi2(F2 , T, E3 ) + Fin2(F2 , T) − δF2 F2
>
> dt
>
> dT
= αG Gly(G, T) + αK Krebs(A, T) + αO1 Oxi1(F1 , T, E2 )
>
> dt
< +αO2 Oxi2(F2 , T, E3 ) − αS Syn(A, T, E1 ) − DegT(T)
>
dPP
= e 1 (F2 ) − δPP PP
Ψ
>
> dt
>
> dL
= e 2 (F2 ) − δL L
Ψ
>
> dt
>
> dE1
= e 3 (L) − δE1 E1
Ψ
>
> dt
>
> dE2 e 4 (PP) − δE2 E2
>
> dt
= Ψ
>
> dE3 e 5 (PP) − δE3 E3
>
> = Ψ
: dt
dE4
= e 6 (PP) − δE4 E4
Ψ
dt

Tab. 4.1 – Un modèle différentiel abstrait pour la synthèse des acides gras et ses
régulations.

On obtient un résultat d’existence d’un état stationnaire pour ce modèle dès que
les hypothèses biologiques associées à la Proposition 4.2.1 sont vérifiées.
 143

Gly

DegA Krebs

Kout
A T DegT

Oxi1
E4
E1 Syn Oxi2

Fin2
F1 F2
L E2 E3
Fin1
DegF2
DegF1

PP

Fig. 4.2 – Un modèle du métabolisme des acides gras et ses régulations, sous la
forme d’un graphe qui schématise un modèle différentiel défini par des réactions
élémentaires (voir 4.1). Les flèches en pointillés désignent des régulations génétiques.
Les flèches pleines désignent des flux métaboliques. Les flèches pointillées/traits
désignent des régulations énérgétiques impliquant l’ATP (T ).

Corollaire 4.2.2 Le modèle de la régulation du métabolisme des acides gras admet

au moins un état stationnaire et un état quasi-stationnaire (où les concentrations
des enzymes sont considérées comme constantes) dès que tous les flux sont bornés,
qu’ils sont nuls lorsque la concentration d’un de leurs substrats est égale à zéro et
qu’ils sont strictement positifs lorsque la concentration d’un de leurs produits est
nulle.

Deux états stationnaires mis en évidence expérimentalement Les obser-

vations sur le métabolisme font apparaître deux états stationnaires distincts pen-
dant les protocoles de mise à jeûn [LCL+ 04] : lors des phases de nutrition (où on
considère que les apports de glucose sont importants), la quantité d’acide gras dans
le foie est petite ; lors des phases de jeûne, la quantité de glucose diminue et la
quantité d’acide gras augmente. Savoir si le passage d’un état à l’autre est continu
ou si les deux états peuvent coexister est alors une question naturelle du point de
144

vue de la modélisation. Pour cela, on doit se poser la question de l’unicité de l’état

stationnaire.

4.2.2 Condition d’unicité

Table de signes des matrices de différentiation Dans ce modèle, nous avons
donc volontairement choisi de garder des informations abstraites sur les différents
∂Ri
flux. Par contre, nous avons constaté que les signes de matrice de dérivation ∂X j
sont spécifiables à partir des connaissances sur le système. Cette table de signes est
présentée dans la Table 4.2.
∂ flux Gly Krebs Kout Syn Oxi1 Oxi2 Fin1 Fin2 DegT e
Ψ e
Ψ e
Ψ e
Ψ e
Ψ e
Ψ
∂ var. 1 2 3 4 5 6
A 0 + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F1 0 0 0 0 + 0 − 0 0 0 0 0 0 0 0
F2 0 0 0 0 0 + 0 − 0 + − 0 0 0 0
T − − 0 + − − − − + 0 0 0 0 0 0
PP 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + +
L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0
E1 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E2 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E3 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E4 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
G + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

∂Ri
Tab. 4.2 – Table des signes des dérivées ∂Xj pour le modèle de la régulation du
métabolisme des acides gras.

Ceci est en fait un résultat assez général : dans le cas des réseaux transcription-
nels, on est capable de déterminer les signes de la matrice jacobienne de Φ, et on
peut s’appuyer sur cette connaissance pour appliquer la règle de Thomas et en dé-
duire des conditions d’unicité d’états d’équilibre. Pour les réseaux qui incluent des
flux métaboliques, ce processus se passe généralement mal : les signes de la matrice
jacobienne ne sont plus constants, ou, lorsqu’ils le sont, ils introduisent des cycles
positifs superflus liés à la présence de réactions réversibles. Par contre, les signes
∂Ri
des dérivées des réactions élémentaires ∂X j
peuvent être identifiés à partir de la
littérature. La question que nous allons aborder maintenant est de savoir comment
on peut s’appuyer sur cette connaissance pour proposer des études d’unicité d’états
stationnaires et de prédictions sur les modèles.

Extension de la règle de Thomas ? Pour tester l’unicité des états station-

naires d’un système, nous proposons dans (Roy. Soc. Inter, 2006) et (R., S., P., C.&
L. en cours) de nous appuyer sur le théorème de Gale-Nikaido-Inada [Par83], qui
généralise le fait qu’une fonction décroissante sur R s’annule au plus une fois.

Théorème 4.2.3 (Gale-Nikaido-Inada) Soit X → Φ(X) une application diffé-

rentiable de Rn+ dans Rn et de jacobien J. Si tous les mineurs principaux de −J
sont positifs, alors le système Φ = 0 a au plus une solution.

Comme l’a fait remarqué C. Soulé, ce théorème est en fait une généralisation
de la règle de Thomas qui dit qu’une condition suffisante pour qu’un système ait
un unique état stationnaire est que son graphe d’interaction ne contienne pas de
 145

boucle positive [Tho81, Sno98, Gou98, Sou03]. En effet, le graphe d’interaction d’un
système biologique est intimement lié à la matrice jacobienne du champ de vecteur
associé : ses arêtes correspondent aux coefficients non nuls de la matrice jacobienne ;
les signes du graphe sont donnés par les signes des coefficients de la matrice. Or, les
mineurs principaux de la matrice peuvent être exprimés comme sommes d’éléments
dont les signes sont déterminés par les cycles dans le graphe d’interaction. Si ces
cycles sont tous négatifs, on peut en déduire que tous les mineurs sont positifs et
appliquer le théorème de Gale-Nikaido (voir (R., S., P., C.& L. en cours)).
Cependant, ce résultat est trop restrictif pour la majeure partie des applica-
tions, en particulier dans le cas des réseaux métaboliques, du fait de la présence de
réactions réversibles, qui induisent des cycles positifs inactifs dans les réseaux.
Dans (R., S., P., C.& L. en cours), nous montrons comment il est possible d’ap-
pliquer itérativement le théorème de Gale Nikaido pour obtenir une condition pour
avoir un unique état stationnaire pour le système du métabolisme des lipides. Nous
allons détailler maintenant cet aspect.

Coefficients de contrôle Puisque les réactions dans le modèle sont des éléments
symboliques, au sujet desquels on connaît seulement les signes des variations par
rapport aux variables du modèle, on introduit des coefficients de contrôle pour
interpréter le rôle des réactions dans la dynamique du système.
Usuellement, les coefficients de contrôle et d’élasticité comparent l’importance
∂Ri
des variations de flux. Nous appelons ainsi coefficients de contrôle les dérivées | ∂Xj
|
qui sont non nulles dans la Table 4.2. Pour les réseaux métaboliques, ces coefficients
sont utilisés pour quantifier et étudier le rôle des enzymes régulatrices des flux
[CB04]. Ici, vu le rôle particulier joué par les métabolites que sont les PUFA et
l’ATP, on considère des coefficients de contrôles pour les variables F2 et T.

Réductions successives pour une unicité d’états stationnaires

– Le théorème de Gale-Nikaido s’applique d’abord au sous-groupe de variables
génétiques. Ceci signifie que la valeur des concentrations de E1 , E2 , E3 , E4 , L et
PP à un état stationnaire est une fonction de la valeur des concentrations des
autres variables en cet état stationnaire. On peut donc construire un nouveau
système formel en réduisant les variables génétiques, que ne fait plus intervenir
que les variables métaboliques, et qui admet les mêmes états stationnaires que
le premier modèle.
– Dans ce nouveau modèle de réaction, les signes des coefficients de contrôle
sont encore connus : ils sont déterminés en utilisant le théorème des fonctions
implicites. Pour ce nouveau modèle, on montre que les variables F1 , F2 , A
vérifient le théorème de Gale-Nikaido et peuvent donc être réduites en un
nouveau modèle qui admet T pour seule variable et G pour seul paramètre.
Là encore, par construction, ce modèle admet les mêmes états stationnaires
que les précédents.
– Pour ce dernier modèle, une condition naturelle pour avoir un unique état
stationnaire est que la dérivée du flux de T ait un signe constant.
146

L’intérêt de cette approche est qu’elle est explicite. Finalement, on obtient une
condition d’unicité d’état stationnaire qui est donnée par une fonction polynomiale
des coefficients de contrôle.
Proposition 4.2.4 (R., S., P., C.& L. en cours) Il existe quatre fonctions
∂Ri
f, g, h, l, dont les variables sont les coefficients de contrôle | ∂Xj
|, et qui sont toutes
positives telles que le modèle abstrait du métabolisme des lipides admet un unique
état stationnaire dès que les conditions suivantes sont vérifiées pour tout X :
f (X)( ∂Fin1
∂T (X) −
∂Oxi1
∂T(X) ) + h(X) > l(X), (4.2)
|g(X)( ∂Fin2 ∂Oxi2 ∂Fin1
∂T (X) − ∂T (X))| <<< f (X)| ∂T (X) −
∂Oxi1
∂T (X)| (4.3)
αS < αO1 < n1 αG , n2 αO1 < n1 αO2 . (4.4)

Interprétation biologique L’intérêt de ce résultat s’évalue par l’interprétation

biologique des conditions algébriques qui sont introduites.
– On s’assure que la condition stoechiométrique (4.4) est vérifiée en considé-
rant un bilan des molécules d’Acétyl-coA et d’ATP produites et consommées
pendant la dégradation et la synthèse des différentes classes d’acides gras.
– La condition sur la lipolyse (4.2) signifie que les variations d’énergie ont un
effet suffisamment fort sur l’entrée des acides gras dans la cellule. Ceci est en
accord avec des observations dans [LCL+ 04] pendant des protocoles de mise
à jeûn chez des souris.
– la condition sur les proportions d’acides gras (4.3) signifie que les quantités
d’acides gras polyinsaturés sont minoritaires dans les quantités d’acides gras
totaux, ce qui est confirmé par des observations de [LCL+ 04].
Ainsi, les conditions de la proposition 4.2.4 sont raisonnables d’un point de vue
biologique, et on peut conclure que cette analyse suggère que le métabolisme des
lipides incluant ses régulations admet un unique état stationnaire.

Perspective : effectivité de la méthode Dans (R., S., P., C.& L. en cours), les
calculs pour obtenir la condition d’équilibre sont fait manuellement. Une question
naturelle est d’identifier automatiquement les boîtes sur lesquelles des réductions
sont possibles, puis d’opérer ces réductions avec des méthodes de calcul algébrique.
Nos premiers essais ont abouti à une explosion combinatoire lors du calcul des signes
de mineurs, même en utilisant des propriétés de stabilité de signes.
Dans une autre direction, Ovidiu Radulescu a proposé avec Vincent Noël de
faire appel à la notion de réaction pendante [GR07] pour classer les variables en
fonction de leurs effets, ce qui permet de vérifier la condition de Gale-Nikaido sur
un plus petit sous-ensemble de déterminant. L’applicabilité de cette approche est
en cours d’étude actuellement.

4.2.3 Prédictions et comparaison de modèles

Faire de la dynamique en comparant des états stationnaires ? Comme
nous l’avons expliqué, le théorème de Gale-Nikaido peut-être utilisé pour réduire
 147

astucieusement un système de réactions et en déduire des conditions générales pour

avoir un unique état stationnaire. La question qui se pose naturellement alors est
d’utiliser ces méthodes pour comprendre le fonctionnement du système. Bien en-
tendu, comme les réactions ne sont pas paramétrées, il est impossible de procéder
à des simulations de la dynamique.
Pour obtenir des prédictions dynamiques, nous avons proposé de tirer parti
du fait que l’ordre de réduction des variables n’est absolument pas contraint par
la biologie. En particulier, comme détaillé ci-dessus, la première étape de réduc-
tion consiste à réduire les variables génétiques, c’est-à-dire les variables lentes. Ceci
est complètement contraire aux méthodes de réduction par échelles de temps qui
réduisent les variables rapides pour obtenir une bonne approximation d’une dyna-
mique sur sa variété lente. Ici, la stratégie est inverse : on a le droit de réduire les
variables lentes et obtenir une nouvelle dynamique. Cette nouvelle dynamique n’a
aucun sens physique, au sens où il ne s’agit pas d’une approximation du comporte-
ment réel du système). Par contre, la nouvelle dynamique partage avec le premier
modèle les mêmes états stationnaires.
L’intérêt de cet approche est de pouvoir mieux comprendre le comportement des
métabolites sous l’effet de différentes conditions. Nous avons illustré cela sur deux
types de prédictions.

Rôle des régulations génétiques Pour appréhender le rôle des régulations gé-
nétiques dans un modèle, on compare la valeur de son état stationnaire à celle
de l’état stationnaire du même modèle dans lequel les régulations génétiques sont
supposées constantes. L’état stationnaire de ce deuxième modèle est en fait l’état
quasi-stationnaire du modèle général. La réduction des variables génétiques per-
met d’intégrer au niveau métabolique l’effet des régulations génétiques. Les deux
modèles réduits sont montrés dans la figure 4.3.
On peut aller plus loin que cette étude graphique. En considérant les expressions
des flux après réduction, on montre
dans (R., S., P., C.& L. en cours) que la valeur
à l’état quasi-stationnaire de dGdT
est strictement supérieure à sa valeur à l’état
stationnaire.
Biologiquement, on interprète cette relation algébrique comme suit : un des rôles
des régulations génétiques est de renforcer l’effet tampon sur la quantité d’ATP :
les variations d’ATP pour une variation fixée de nutriment sont moins importantes
quand les régulations génétiques sont présentes.
Avec des comparaisons similaires entre les états quasi-stationnaires et station-
naires, on prédit aussi que les courbes qui représentent la concentration des PUFA
pendant le jeûne devraient montrer un pic : l’augmentation de la concentration des
PUFA est plus importante à court terme qu’à long terme.

Ainsi, avec un modèle extrêmement abstrait et non paramétré, une étude fine des
signes de la matrice de dérivation permet d’obtenir des informations non triviales
sur le comportement dynamique du modèle, en particulier de comparer les états
quasi-stationnaires et stationnaires.
148

G
−
G
−
Gly

Gly
DegA Krebs −
DegA Krebs − A T DegT
Kout
+
A T DegT
Kout −
+ + Oxi1
− −
Oxi1 + − Oxi2 + −
Syn +
− −
+ − Oxi2 + − Fin2
Syn F1 F2
Fin2 Fin1
F1 F2
Fin1
DegF2
DegF1
DegF2
DegF1

Fig. 4.3 – Gauche : régulations entre métabolites pendant la partie de la dyna-

mique où les régulations génétiques ne sont pas mises en place (jusqu’à l’état quasi-
stationnaire. Droite : régulations implicites entre les métabolites lorsque les régu-
lations génétiques sont mises en place. On constate que les régulations génétiques
apparaissent implicitement sous la forme de régulations additionnelles venant des
PUFA.

Prédictions expérimentales Des méthodes semblables permettent de prédire

l’effet de mutations sur des sujets. En effet, muter le gène PPAR chez un animal
s’interprète dans le modèle par l’annulation de certaines régulations. On peut à
nouveau comparer la valeur des états stationnaires et quasi-stationnaires entre les
animaux mutés et les sauvages, ce qui donne la relation suivante :
„ « „ « ˛ ˛ ˛ ˛
dT dT ˛ dF2 ˛ ˛ dF2 ˛
> et ˛ ˛ > ˛ ˛
dG dG ˛ dG ˛ ˛ dG ˛
eq,P P AR−/− eq,sauvage eq,P P AR−/− eq,sauvage

Cette relation signifie qu’une mutation des PPAR diminue l’effet tampon sur la
quantité de PUFA : l’augmentation de la concentration des PUFA pendant le jeûne
est plus important dans les cellules mutée en PPAR que dans les cellules sauvages.
Ceci est en accord avec des observations de [BLC+ 04, LCL+ 04].

4.2.4 Discussion
Avec ces travaux, nous avons ainsi pu montrer qu’un modèle extrêmement abs-
trait reproduit le principal comportement connu du métabolisme, c’est-à-dire le
passage d’un régime de synthèse à un régime d’oxydation qui stabilise la quantité
d’énergie en remplaçant les apports de nourriture par des réserves. A des échelles de
temps courtes, ce passage est assuré par des contrôles métaboliques. A des échelles
de temps longues, l’effet de régulation des PUFA renforce le contrôle par les facteurs
de transcription LXR et PPAR.
 149

Apport méthodologique Sur un plan méthodologique, l’intérêt de cette ap-

proche est que ces conclusions ont été faites à partir de la seule connaissance des
signes des dérivées des réactions par rapport aux variables du système. En parti-
culier, les prédictions sont relativement indépendantes de la valeur numérique de
constantes cinétiques.
De plus, l’absence de paramètres numériques, et l’impossibilité de procéder à des
réductions dynamiques du système peuvent finalement être vues comme un avantage
puisqu’il a permis de mettre en avant le comportement des variables métaboliques
alors que des approches de réduction usuelles auraient favorisé les variables gé-
nétiques. Cependant, ce zoom sur l’aspect métabolique a un prix : on n’apporte
des informations sur la dynamique que via la comparaison entre les états quasi-
stationnaires et stationnaires.

Généricité de l’approche ? L’enjeu est maintenant de généraliser les critères de

réduction pour les rendre utilisables sur des modèles de plus grande taille. Pour la
partie réduction de cette approche, les travaux de thèse de Vincent Noël (discutés
plus haut) sont prometteurs. L’obtention de résultats fins sur les prédictions passera
sans doute par des études fines des équations obtenues à la fin du processus de
réduction. On touche sans doute ici aux limites de l’automatisation.

Limites Les limites du modèle sont bien entendu données par son degré d’abs-
traction. En particulier, les données de [LCL+ 04] montrent que les PUFA ne se
comportent pas tous de la même manière pendant un jeûne chez des souris dans
lesquelles PPAR a été muté : en particulier, la concentration de l’acide linoléique
(PUFA avec un petit nombre de carbones) est amplifiée, tandis que la concentra-
tion des acides gras avec un grand nombre de carbones devient quasiment nulle.
Cette observation sous-entend que la désaturation qui permet de passer des PUFA
à courtes chaînes aux PUFA à longues chaînes doit être mieux comprise, ce que nous
allons faire dans la section suivante en nous plaçant à un autre niveau d’abstraction.

4.3 Étude de la réponse d’un système à une influ-

ence
Pour mieux comprendre les effets des régulations sur la désaturation dans le
métabolisme des acides gras, nous avons cherché à analyser le comportement des
enzymes de ces voies et à les mettre en relation avec les principaux régulateurs
transcriptionnels du métabolisme. Pour cela, on adopte un nouveau niveau d’abs-
traction : les modèles sont décrits par un graphe d’interaction, qui met en retrait
les transformations entre produits.

4.3.1 Modèles différentiels décrits par un graphe d’influence

Modèles différentiels On suppose maintenant qu’un système biologique est mo-
délisé par un système différentiel de forme générale, qui intègre toutes les réactions
150

au sein d’une même fonction F :

dX
= F(X, P)
dt
– X est l’ensemble des concentrations des molécules considérées dans le système.
La concentration de la molécule A est noté X(A) .
– P est l’ensemble des paramètres de contrôle du système.
– F est une application continue. La composante correspondant à la molécule
B est notée FX(B) .

Graphe d’influence Les informations concernant les régulations transcription-

nelles sur un système biologique sont usuellement représentées sous la forme d’un
graphe d’influence ou graphe d’interaction. Un exemple est donné dans la figure 4.4.
– les sommets du graphe représentent la concentration de molécules au sein du
système. Les molécules peuvent être des ARN, des métabolites, des protéines
(actives ou non) ou des complexes protéiques. Ces sommets peuvent être éti-
queté par +, – ou 0 lorsque les variations du produit considéré pendant une
expérimentations sont connues.
– Les arcs représentent les influences entre ces molécules. Ces arcs peuvent être
étiquetés par + ou – lorsque l’effet de l’influence de la source sur la cible est
connu. Plus précisément, on met une flèche d’un sommet A vers une sommet
B lorsque une variation dans la concentration de A induit un changement dans
la vitesse de production de B. Des exemples d’influences positives sont l’acti-
vation de la transcription d’un gène ou la formation d’un complexe protéique
actif. Des exemples d’influences négatives sont par exemple l’inhibition de la
transcription d’un gène ou l’inactivation d’une protéine par un clivage.

Fig. 4.4 – Gauche : Quelques interactions chez la bactérie Echerischia coli : les
sommets sous forme de cercles représentent des protéines, les sommets sous forme
de cercle plein sont des complexes protéiques, les rectangles représentent des gènes,
c’est-à-dire des portions d’une séquence d’ADN.
Droite : les relations entre les molécules permettent de créer un graphe d’influence
dont les flèches représentent des actions positives (+) ou négatives (–).
 151

Des modèles différentiels aux graphes d’influence Le lien avec la question

de l’analyse des données biomoléculaires réside dans les remarques suivantes :
– Le graphe d’influence est relié à la matrice jacobienne de F, dans la mesure
où il existe une flèche du sommet A vers le sommet B si et seulement si
∂FX(B)
∂X(A) 6= 0. Des études concernant le passage d’un modèle différentiel à un
graphe d’influence ont été précisément faites dans [RZL07, FS08].
– Les états stationnaires X pour un ensemble de paramètres P vérifient la re-
lation F(X, P) = 0.

Exemple de la régulation du métabolisme des acides gras Nous revenons

ici à notre exemple référence. La Figure 4.5 présente un graphe d’influence pour les
principales enzymes et régulateurs impliqués dans le métabolisme des acides gras.
ACL, ACC et FAS sont des enzymes impliquées dans la synthèse des acides gras.
La delta-9-désaturase (SCD1) catalyse la synthèse des acides gras mono-insaturés.
La delta-5-désaturase (FADS1) et la delta-6-désaturase (FADS2) sont les enzymes
clés de la synthèse des acides gras polyinsaturés (notés PUFA).
Comme mentionné plus haut, PPARα (noté PPAR) est un facteur de transcrip-
tion qui agit sur l’oxydation des acides gras, en particulier les PUFA. Les facteurs
LXRα (noté LXR) et SREBP1 (noté SREBP), par contre, activent la transcription
des enzymes de la synthèse. Tous les trois ont une forme active (on adjoint “-a” à
leur nom) : PPAR-a est activée par les PUFA tandis que LXR-a est inhibée par les
PUFA.
Le point frappant dans ce graphe d’influence est que les désaturases SCD1,
FADS1 et FADS2 sont activées à la fois par les protéines SREBP-a et PPAR-a.
Ceci est paradoxal dans la mesure où SREBP régule la synthèse des acides gras
tandis que PPAR induit leur oxydation ; ces enzymes ont ainsi la capacité théorique
de jouer un rôle dans les deux processus que sont la synthèse et l’oxydation.
De plus, les observations pendant les protocoles de mise-à-jeûn chez des poulets
et des rats indiquent que, même si ces trois éléments possèdent les mêmes régula-
teurs, la concentration des ARN de SCD1 augmente alors que celles de FADS1 et
FADS2 restent stables. On revient là à des observations paradoxales du même type
que celles mentionnées dans la section précédente sur le comportement des acides
gras à longue chaîne pendant le jeûne.
La différence entre SCD1 et les désaturases FADS1 et FADS2 réside dans leur
actions sur les PUFA : SCD1 est impliqué dans la production d’acides gras mono-
insaturés, qui ne sont pas des PUFA, tandis que que FADS1 et FADS2 sont des
enzymes de production de PUFA. En particulier, ces régulations induisent deux
boucles positives dans le réseau : FADS1-PUFA-PPAR et FADS2-PUFA-PPAR.
Pour mieux comprendre les relations entre ces différents produits, j’ai suggéré
de vérifier si les comportements observés pendant un protocole expérimental sur
différents produits peuvent être expliqués par les influences indirectes données dans
un graphe d’influence. Suivant les idées d’Ovidiu Radulescu, Michel Le Borgne et
Philippe Veber, nous avons formalisé cette question en proposant une théorie de
la réponse linéaire d’un système à un influence. Ces travaux ont été en particulier
152

EXT

PPAR [+]

PPARa LXR [+]

FADS1 [0]

PUFA [+]

LXRa

SCAP SREBP [-]

SREBPa

FADS2 [0] FAS [-] ACL [+] ACC [-] SCD1 [-]

Fig. 4.5 – Graphe d’influence réduit pour les régulations du métabolisme des acides
gras. Les boucles d’auto-régulation négatives sont omises. Les flèches qui se ter-
minent par − > signifient que l’interaction est positive tandis que les flèches qui
se terminent par −| correspondent à des interactions négatives. Le symbole Ext
signifie que les produits cibles sont régulés par des éléments qui ne sont pas intégrés
au graphe. Les signes placés entre crochets correspondent aux variations d’ARN
observées pendant un jeûne.

publiés dans (Biosystems, 2006) et (Roy. Soc. Inter, 2006), et nous allons maintenant
en détailler les principaux résultats.

4.3.2 Réponse linéaire d’un système à un influence extérieure

Dans le cas des régulations du métabolisme des acides gras, la question que nous
nous sommes posés était de savoir si les comportements différents observés sur SCD1
et FADS1/FADS2 pouvaient être expliqués par les relations connues dans le réseau,
ou si, comme certains biologistes le suggèrent, il existe une régulation additionnelle
sur FADS1 et FADS2. On doit donc comprendre si les déplacements d’états station-
naires observés suite à un stress (ici, le jeûne) peuvent être globalement expliqués
par les entrées du système.
 153

Réponse linéaire d’un système à un influence extérieure Une telle problé-

matique n’est rien d’autre qu’un problème de réponse statique d’un système à une
influence extérieure. La réponse est considérée comme linéaire lorsque les dépla-
cements sont petits et non linéaire lorsque les déplacements sont importants. Des
théories de la réponse linéaire de systèmes dynamiques ont été développées dans dif-
férents domaines, qui couvrent la physique [KTH98, Lar88], la mécanique [Mac70],
la chimie [OPK73, PO74], ou la biologie [KB73, HR74, KKB+ 02, VAR04].
Dans toutes ces théories, les quantités considérées sont des susceptibilités qui
représentent la dérivée des sorties par rapport aux entrées. Ces coefficients de
susceptibilité sont déduits d’équations qui doivent être compatibles avec les lois
de la thermodynamique, le cas non linéaire étant bien plus difficile à manipuler
[OPK73, Lar88, Grm01].
Différents travaux ont mis en évidence que les susceptibilités dépendent de la
topologie du réseau. Ainsi, les déplacements d’états stationnaires qui correspondent
à une petite concentration permettent de calculer la matrice jacobienne d’équations
d’évolution d’une cinétique chimique [CSR93, VAR04]. En relation avec cela, des
travaux sur le contrôle des réseaux métaboliques [KKB+ 02, CB04] montrent que la
matrice des élasticités, dans ce cas là le jacobien du système de réactions, n’est rien
d’autre que l’inverse des coefficients de contrôle (dont nous avons déjà parlé dans
la section précédente), c’est-à-dire les susceptibilités.

Formule de Mason-Coates pour les réseaux biologiques Le problème de

Dirichlet consiste à rechercher comment il est possible de déterminer la conductivité
d’un système électrique à partir des mesures de courants et de tensions sur ses bords
[Cal80, CM00]. Dans (Roy. Soc. Inter, 2006), nous montrons comment des approches
de discrétisation permettent de répondre au problème de Dirichlet dans le cadre des
systèmes biologiques. Nous y étudions en particulier la réponse de sous-graphes à
des modifications sur la frontière d’un système, qui est principalement définie par
les informations manquant sur le système. Nous généralisons ainsi la formule de
Mason-Coates pour les réseaux électriques [Mas53, Coa59].
Théorème 4.3.1 ( réponse locale à un influence extérieure (Roy. Soc. In-
ter, 2006)) Soit G un sous-graphe du graphe d’influence d’un réseau I qui suit une
dynamique différentielle décrite par une fonction F. Soit G̊ l’intérieur de G, c’est-
à-dire l’ensemble des sommets qui ne sont pas connectés à un sommet extérieur.
On considère J˚ la restriction du jacobien de F à G̊, calculée en un état stationnaire
non dégénéré : J˚i,j = ∂X
∂Fi
j
, i, j ∈ G̊.
On suppose que ∆ ˚ = det(J) ˚ 6= 0 et qu’il n’existe aucune influence directe des
paramètres du système sur l’intérieur de G.
Alors la réponse de tout élément de G à des petites variations sur la frontière
est décrite par X X aj i
δXi = δXj . (4.5)
j∈kin G j i∈P
C̊j i
G̊

in
– La notation k G désigne l’ensemble des sommets qui se trouvent sur la fron-
tière de G (supposés connectés à un sommet extérieur). L’ensemble PG̊ ras-
154

semble les chemins inclus dans G qui partent de la frontière et n’y reviennent
pas.
∂Fk
– aj i désigne le produit des coefficients d’interaction ∂Xl
parcourus en suivant
le chemin de j vers i. l(j− > i) désigne la longueur du chemin de j vers i.
˚
– C̊j i = (−1)lk(j) i +1 ∆
˚
∆
désigne le module du chemin k(j) i où k(j) ∈
k(j) i
˚ k(j) i
G̊ est le successeur de j sur le chemin considéré aj i . Les quantités ∆
sont les mineurs du jacobien obtenu en supprimant les lignes et les colonnes
qui correspondant aux sommets parcourus sur le chemin j i.
˚
∆
– Si k(j) = i, on pose alors C̊j i = C̊i = − ∆
˚ i

L’intérêt de cette approche réside dans la détermination des signes des modules
Ci et C̊j i . En effet, comme nous l’avons mentionné et utilisé en appliquant le
théorème de Gale-Nikaido, les mineurs d’une matrice se décomposent en produits
dont les signes sont liés au nombre d’éléments dans les partitions en cycles disjoints
du graphe d’influence :
P |L|
L∈L(G) (−1) lp(L)
Cj i = P |L|
(4.6)
L∈L(Gj i ) (−1) lp(L)
P |L|
L∈L(G) (−1) lp(L)
Ci = P |L|
, (4.7)
L∈L(Gi ) (−1) lp(L)

où Gj i désigne le sous-graphe de G obtenu en supprimant les sommets apparais-

sant sur le chemin j i et L(G) désigne l’ensemble des partitions de G en boucles
disjointes, |L| désigne le nombre de boucles dans une partition donnée et lp(L)
désigne le produit des coefficients de la matrice jacobienne qui correspondent aux
arêtes considérées dans les boucles.
On en déduit en particulier que si le sous graphe G ne contient aucune boucle
positive pour un état stationnaire non dégénéré, chaque partition L contient |L|
cycles négatifs, impliquant que le signe de lp(L) est lui aussi (−1)|L| . Ainsi, tous les
modules Cj i et Ci sont positifs (Roy. Soc. Inter, 2006).

Grandes variations ? Concrètement, nous pouvons maintenant considérer la si-

tuation où nous modifions l’ensemble de paramètres pour que le système se déplace
d’un état stationnaire non dégénéré à un autre. En utilisant des conditions reliées
au théorème de Gale-Nikaido discuté dans la section précédente, on montre que le
système vérifie un résultat d’unicité qui permet d’intégrer les petites variations du
Théorème 4.3.1 sur n’importe quel chemin reliant les deux états stationnaires et ne
passant pas par des sommets dégénérés.
Z X X aj i
∆Xi = dXj . (4.8)
D j∈kin G j i∈P C̊j i
G̊

Cependant, cette relation devient fausse lorsque le système rencontre un point

singulier, où il perd sa stabilité et le déplacement d’état d’équilibre n’est pas continu.
 155

Fig. 4.6 – Graphe d’influence pour les interactions concernant le métabolisme du

lactose chez E. coli (opéron lactose). Les arêtes qui se terminent par ">" indiquent
une activation tandis que les arêtes qui se terminent par "−|" indiquent une inhibi-
tion. Les boucles de retro-régulation négatives sur chaque sommet ont été omises.

Il faut alors modifier l’équation 4.8 en y ajoutant un saut fini (voir discussion dans
(Roy. Soc. Inter, 2006) pour éclairer la question de la robustesse et des conditions
de changement d’états.).

4.3.3 Transport et métabolisme du lactose chez E. coli

L’étude des influences dans un graphe d’influence peut aussi être utilisée à des
fins de prédiction. Illustrons cela sur le modèle du métabolisme du lactose chez la
bactérie E. coli.

Opéron lactose Le modèle de l’opéron-lactose a été étudié par Jacob et Monod

dans les années 1960 [JM61]. Il s’agit d’un travail fondateur qui a mis en évidence
l’importance des régulations génétiques pour expliquer le comportement d’un sys-
tème biologique.
Le métabolisme du lactose chez E. coli nécessite la présence de 3 enzymes : la β-
galactosidase LacZ, la perméase LacY et la transacétylase LacA. La perméase LacY
transporte le lactose de l’extérieur de la cellule (Le) à l’intérieur du milieu cellulaire
(Li). LacZ hydrolyse le lactose Li en glucose (G) et en allolactose (A). Les protéines
LacY et LacZ sont sous contrôle direct d’un inhibiteur appelé LacI. Inversement,
un complexe formé d’AMP cyclique et de la protéine CRP (cAM P − CRP ), agit
sur l’activité des ARN-polymérases et permet d’activer fortement la transcription
de LacY et LacZ. Enfin, A a une action inhibitrice sur LacI via la formation
d’un complexe. Ces connaissances permettent de construire un graphe d’influence
montré dans la figure 4.6. Il faut noter que Le est une entrée du système, contrôlé
par l’expérimentateur (il s’agit noeud externe).
156

Influences respectives des boucles Considérons le cas où le lactose extérieur

Le augmente. On sait alors que le système passe d’un état pauvre en lactose in-
terne Li où la transcription est bloquée à un état riche en lactose interne où la
transcription est activée. Cela revient à dire que la variation ∂X
∂Le est positive.
Li

Or, le théorème 4.3.1 implique que

aLe Li
δLi = δLe,
C̊Le Li

avec aLe Li > 0.

On explique C̊Le Li en considérant les boucles du système qui ne passent pas
par Le :
l1+ = {Li, A, LacI, LacY, Li},
l2+ = {Li, G, cAM P − CRP, LacZ, Li},
l3+ = {LacZ, A, LacI},
l1− = {Li, A, LacI, LacZ, G, cAM P − CRP, LacY, Li},
l2− = {Li, G, cAM P − CRP, LacY, Li},
l3− = {G, cAM P − CRP, LacZ},
l4− = {Li, A, LacI, LacZ, Li},
Pour calculer C̊Le Li , on recherche toutes les partitions en boucles disjointes du
graphe d’influence privé de Le, puis du graphe d’influence privé de Li et Le. Dans
˜
l’équation suivante, pour chaque boucle l, lp(l) désigne le produit des coefficients
∂Xa
d’interactions ( ∂b sur les arcs a → b contenus dans l, divisé par les coefficients
d’auto-régulation ( ∂X ˜
∂n des nœuds n de la boucle. Le signe de lp(l) est égal au
n

produit des signes des arcs contenus dans l.

„ «−1 “ ”−1 “
∂XLi ˜ 4+ ) − lp(l
˜ 3− ) ˜ 1+ ) − lp(l
˜ 2+ ) − lp(l
˜ 3+ )
C̊Le Li = 1 − lp(l 1 − lp(l
∂Li
”
˜ 1− ) − lp(l
−lp(l ˜ 2− ) − lp(l
˜ 3− ) − lp(l
˜ 4− ) + lp(l
˜ 4+ )lp(l
˜ 2− ) + lp(l
˜ 1+ )lp(l
˜ 3− ) .(4.9)

Si Li croît en fonction de Le, on obtient une contrainte non triviale sur les
différentes contribution des boucles du système à son fonctionnement :
X3 X3
∂XLi ˜ 1+ ) < 1 − ˜ i− ) − lp(l
˜ 2+ )lp(l
˜ 4− ) + lp(l
˜ 1+ )lp(l
˜ 3− ).
> 0 ssi lp(l lp(l
∂Le i=1 i=1

Effets de mutations En considérant la formule 4.9, on peut aussi prédire les

effets de mutations sur le système. par exemple, une mutation sur CRP ou sur
l’AMP cyclique implique une inactivation des boucles l2+ , l1− , l2− , l3− . en particulier,
C̊Le Li va diminuer dès que le système sauvage vérifie
˜ + ) − lp(l
lp(l ˜ + )lp(l
˜ − ) − lp(l
˜ + )lp(l
˜ − ) > −(lp(l
˜ − ) + lp(l
˜ − ) + lp(l
˜ − )).
2 1 3 4 2 1 2 3

L’intensité du flux de lactose entrant sera alors moins importante que chez la bac-
térie sauvage. Si l’inégalité inverse est vraie, le flux de lactose augmentera.
 157

4.3.4 Régulation du métabolisme des acides gras

Cette approche permet aussi de mieux comprendre les effets des différents élé-
ments du système sur la production des désaturases F ADS1 et F ADS2.

Des boucles et des chemins... Pour cela, on considère les boucles du modèle
donné dans la Figure 4.5.
l1− = {P U F A, SCAP, SREBP a, F ADS2, P U F A},
l2− = {P U F A, SREBP a, F ADS2, P U F A},
l3− = {P U F A, LXRa, SREBP, SREBP a, F ADS2, P U F A},
l4− = {P U F A, F ADS2, P U F A},
l+ = {P U F A, P P ARa, F ADS2, P U F A}.
On considère aussi des chemins qui passent par les produits P U F A, F ADS2 et LXR :
p = {P U F A, LXR − a, SREBP },
p′ = {LXR, LXR − a, SREBP },
p1 = {P U F A, F ADS2},
p2 = {P U F A, SCAP, SREBP a, F ADS2},
p3 = {F ADS2, P U F A},
p4 = {P U F A, LXRa, SREBP, SREBP a, F ADS2},
p5 = {LXR, LXRa, SREBP, SREBP a, F ADS2},
p6 = {P P AR, P P ARa, F ADS2},
p7 = {P U F A, P P ARa, F ADS2},
p8 = {P U F A, SREBP a, F ADS2},
p9 = {P P AR, P P ARa, F ADS2, P U F A},
p10 = {LXR, LXRa, SREBP, SREBP a, F ADS2, P U F A}.

Rôle de la double régulation des désaturases par SREBP et PPAR On

applique le théorème 4.3.1 au graphe

G3 = {P U F A, P P AR, P P ARa, F ADS2, SREBP a,

.
SREBP, LXRa, LXR, SCAP }

Selon les informations principales de la littérature, on suppose que toutes les

interactions sur les éléments de ce système passent par P P AR, LXR et P U F A. Ce
sont donc les seuls éléments du graphe qui ont une variation forcée δX f . Avec le
théorème 4.3.1, on peut exprimer les variations réelles du système en fonction des
variations forcées sur P P AR, LXR et P U F A.
1 δP U F Af
δP U F A = [ + ãp3 δF ADS2f + ãp9 δP P ARf + ãp10 δLXRf ] (4.10)
C̃ χX
C̃ = ˜ + ) − lp(l
1 − lp(l ˜ 1− ) − lp(l
˜ 2− ) − lp(l
˜ 3− ) − lp(l
˜ 4− ). (4.11)

Dans ces équations, les quantités ãp sont obtenues comme des produits des
éléments de la matrice jacobienne qui correspondent aux arêtes parcourues par le
chemin p.
L’équation (4.10) permet de mieux comprendre le rôle de la régulation duale
de F ADS1 et F ADS2 par P P AR et SREBP . En effet, la boucle positive l+ qui
158

passe par P U F A, F ADS2 et P P AR diminue la valeur de C̃, et selon (4.10), va

augmenter les variations de δP U F A. L’interprétation biologique est la suivante : la
double régulation des désaturases par P P AR et SREBP induit un effet de réaction
compensatoire à la demande croissante de PUFA causées par l’oxydation pendant
le jeûne. Cette interprétation est discutée en termes biologiques dans [NN03a].

Régulation des désaturases Le théorème 4.3.1 permet aussi d’obtenir la rela-

tion suivante sur les variations de FADS2 :
1
δF ADS2 = [(ãp1 + ãp2 + ãp4 + ãp7 + ãp8 )δP U F Af + ãp5 δLXRf + ãp6 δP P ARf ]
C̃
Dans cette équation, les chemins p1 , p2 , p4 , p8 ont des influences négatives tandis
que les chemins p7 , p5 , p6 ont des influences positives. La conclusion biologique est
que, intrinsèquement, l’existence de boucles positives dans le système implique qu’il
a la capacité théorique pour que les désaturases FADS1 et FADS2 ne varient pas
pendant le jeûne.
En particulier, contrairement à la conclusion qui est faite habituellement, on ne
peut pas conclure a priori à partir de l’absence de variation de FADS1 et FADS2
pendant le jeûne qu’une régulation autre que celle de SREBP et PPAR existe sur
ces protéines. La présence de boucles positives fausse tout ce raisonnement intuitif.

4.3.5 Ajustement numérique pour analyser l’influence des

voies
Avec cette dernière approche, le rôle des PUFA et des désaturases commence à
être précisé mais des inconnues demeurent. Dans le cadre de sa thèse (co-encadre-
ment INRA-INRIA), Pierre Blavy a travaillé sur la régulation des désaturations, en
s’inspirant du modèle abstrait présenté Fig. 4.2. Son travail a en particulier consisté
à exploiter des données temporelles sur le jeûne de souris sauvages et mutées en
PPAR, pour mieux comprendre les mécanismes de transformations entre acides
gras, et leurs régulations.

Modèle abstrait des entrées des acides gras L’approche adoptée a consisté
à partir d’un modèle volontairement abstrait pour les mécanismes actifs pendant le
jeûne. Pour les souris mutées pendant le jeûne, seule la bêta-oxydation est active. De
plus, les désaturations pour l’obtention des PUFA sont inactives, puisqu’elles sont
régulées par FADS1 et FADS2 qui sont elles-mêmes régulées par PPARα et SREBP
(or PPARα n’est pas présent chez les souris mutées et l’activité de SREBP décroît
pendant le jeûne). Le modèle abstrait qui a été considéré contient donc simplement
– une entrée des acides gras dans le foie à partir du tissus adipeux,
– des bêta-oxydations,
– différentes transformations métaboliques entre les acides gras (sauf les désa-
turations qui sont inactivées).
La question principale était de savoir si ce modèle différentiel extrêmement gé-
nérique pouvait se coupler avec les données, les paramètres pour le taux d’entrée
 159

et la bêta-oxydation étant indépendants de la classe d’acide gras. Les conclusions,

détaillées dans les actes de la conférence JOBIM (JOBIM, 2008), sont les suivantes.

Régulation des désaturases Les données pour les souris mutées montrent que
la production de l’acide gras C22 :6ω3 par désaturation du C18 :3ω3 est active
chez ces espèces, avec un taux d’accumulation constant. Or, si les désaturations
étaient inactives dans le modèle, on devrait observer une diminution de la production
de C22 :6ω3 chez les souris mutées. On aboutit ici à une contradiction puisque
les données indiquent que l’activité de FADS1 et FADS2 est non nulle chez les
souris mutées pendant le jeûne, ce qui suggère fortement l’existence d’un régulateur
additionnel pour ces deux protéines.
Pour vérifier cette hypothèse, nos collaborateurs à l’INRA (Pascal Martin et
Hervé Guillou, Toulouse) ont procédé à des mesures additionnelles (PCR quantita-
tive) sur les ARNs de FADS1 et FADS2. Comme nous l’avions prédit, les concen-
trations d’ARN sont non nulles, et il existe donc sans doute un régulateur inconnu
aux désaturases.
D’un point de vue méthodologique, ce résultat illustre l’importance du niveau
de modélisation et du choix de l’expérimentation pour obtenir une conclusion sur
le comportement d’un système. Dans la section précédente, nous avions expliqué
que des données de jeûne chez des souris sauvages ne suffisaient pas pour conclure à
l’existence de ce régulateur inconnu pour FADS1 et FADS2, à cause de la présence de
boucles de régulations positives dans le système qui faussent les analyses intuitives
du comportement du système. Ici, l’expérimentation s’est faite chez des souris mu-
tées, et la construction d’un modèle qui prend en compte toutes les transformations
entre les acides gras a permis de conclure positivement.

Rôle de PPAR dans la régulation de la bêta-oxydation Les analyses de

P. Blavy ont aussi mis en évidence une différence dans les taux d’oxydation entre
les souris mutées et sauvages. Cela suggère que PPAR-α a un effet sur l’oxyda-
tion indépendant de l’état nutritionnel de l’individu. Le résultat important est que
l’ajustement peut-être fait avec un taux constant en fonction du temps, chez les
souris mutées comme chez les souris sauvages. On en déduit que le rôle de PPARα
dans la régulation de l’oxydation pendant le jeûne (via les PUFA), que nous avons
discuté dans la section 4.2.3, est en fait négligeable par rapport à son rôle constitutif
comme régulateur de l’expression des enzymes de l’oxydation elle-même.

4.4 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons donc illustré certaines spécificités de la modélisa-
tion de systèmes biologiques au sujet desquels l’obtention de paramètres ne peut
être réalisée que sur une très petite portion.
Les questions principales qui se sont posées ont été
– Une étude globale de l’unicité des états stationnaires du système.
160

– La recherche de prédictions globales sur le rôle des régulations génétiques sur

le système métabolique, en particulier l’intérêt pour le système d’avoir des
contrôles à des échelles de temps courtes et longues.
– L’effet de grosses perturbations sur le système, via des inhibitions de voies de
régulation.
– Le rôle de voies métaboliques qui a priori ne se distinguaient pas des autres,
à savoir la désaturation des acides gras polyinsaturés.
Pour toutes ces questions, nous avons considéré des modèles volontairement
abstraits et non paramétrés, à des niveaux d’abstraction adaptés à la question po-
sée. C’est une lapalissade de dire qu’un modèle doit être construit en fonction des
questions posées sur le système considéré ; cette évidence doit cependant rester sys-
tématiquement à l’esprit en biologie moléculaire, à cause de la difficulté inhérente
à ce domaine pour obtenir des observations fiables sur le système.
Puisque, dans notre exemple récurrent, les mécanismes couplaient des réactions
métaboliques et des régulations génétiques, nous avons travaillé à la fois sur la
matrice des signes des dérivées du modèle de réactions, et sur le graphe d’influence
du système. En se concentrant sur l’étude des déplacements d’états stationnaires
avec des méthodes algébriques, nous avons pu apporter une réponse biologique aux
questions mentionnées plus haut.
Cette approche abstraite a aussi permis d’identifier les zones du modèle qui
étaient trop abstraites dans la littérature et méritaient une étude attentive, sur
laquelle des modélisations plus fines ont été réalisées.
L’intérêt de cette démarche se trouve donc dans la complémentarité des niveaux
d’abstraction considérés, et dans l’apport de méthodes algébriques pour élucider le
comportement d’un système biologique.
Dans le chapitre suivant, nous allons nous concentrer sur les types de raisonne-
ments qui permettent de définir une prédiction ou d’aboutir à une contradiction.
Pour cela, nous allons considérer une version simplifiée du théorème 4.3.1 et l’utiliser
comme outil de diagnostic systématique sur des réseaux de grande taille.
Chapitre 5

De la dynamique à l’aide au
raisonnement par l’analyse
de contraintes

Dans le chapitre précédent, nous avons montré comment des approches algé-
briques associées à différents niveaux d’abstraction de modèles permettent de mieux
comprendre le rôle de certains éléments d’un réseau. Dans ce chapitre, nous allons
nous intéresser à l’automatisation des raisonnements pour étudier un réseau. Il
va donc s’agir d’identifier différentes questions fondamentales du point de vue de
l’expérimentateur, et d’apporter un cadre de réponse générique à ces questions en
s’appuyant le théorème 4.3.1 qui décrit la réponse linéaire d’un système.

5.1 Première question : comment construire des

réseaux sur lesquels appliquer des simulations
dynamiques ?
Comme nous l’avons vu au chapitre 4, il existe un certain nombre de méthodes
inspirées par les systèmes dynamiques qui permettent d’étudier un système engen-
dré par la biologie. Cependant, et cela est apparu lors de nos études du métabolisme
des acides gras, ces travaux sont limités par la quantité d’information disponible sur
un système. En particulier, les approches d’analyse dynamique (même qualitative)
ne peuvent porter que sur les interactions connues et assez bien détaillées au sein
d’un réseau. Or, un des objectifs majeurs de la biologie moléculaire est de décou-
vrir de nouvelles interactions, et de comprendre leurs effets. Par exemple, dans le
cas du métabolisme des acides gras, comment identifier le régulateur inconnu des
désaturases ?
Par ailleurs, en particulier sur les systèmes eucaryotes, vu la complexité des
organismes, il n’est possible d’acquérir des données pour une dynamique précise

161
162

que pour une très petite partie du système. La question qui se pose est donc d’aider
le biologiste à identifier, au sein de l’ensemble des molécules qui sont actives dans
son système, un tout petit nombre de produits sur lesquels une modélisation fine
pourra être appliquée.
Ce domaine ne fait a priori plus partie de l’étude de systèmes dynamiques. Il
s’agit de travailler à partir des observations et des connaissances sur un système pour
suggérer l’existence d’interactions que des expérimentations précises permettront
de valider. Cependant, puisqu’on recherche des régulateurs à partir d’observations
sur un système, les systèmes dynamiques offrent un cadre utile à la production
d’hypothèses.

5.1.1 Différentes approches pour la construction de modèles

Construction de modèles La première question qui se pose ici est d’exploiter les
données pour identifier les interactions dans un système. On entre dans le domaine
de la construction de modèles. Pour cela, la stratégie la plus naturelle consiste à ras-
sembler les connaissances dans la littérature, ce qu’on fait naturellement pour des
modèles de petite taille. À très grande échelle, cette démarche a été faite pour l’or-
ganisme modèle qu’est la bactérie E. coli [SGCPG+ 06] ; il a été récemment estimé
que même pour cet organisme, on connaît au plus 30% des interactions existant.
Pour les autres organismes, des travaux similaires ont lieu portés par des applica-
tions en médecine en particulier : citons entre autres KEGG, ou les bases proposées
par les sociétés Ingenuity ou Biobase [IS98, SCG+ 01, HBC+ 01, BBH03, ZMPQ+ 02,
KGK+ 04, HMPL+ 04] ... Cependant, ces travaux sont moins avancés que ceux sur
E. coli et aucune banque de données n’est à ce jour suffisamment renseignée pour
permettre la construction d’un modèle de régulation de manière rapide, fiable et
efficace.
Pour reconstruire des modèles, des approches statistiques ont aussi été proposées,
exploitant les données grande échelle disponibles, et les couplant avec les informa-
tions stockées dans les banques de données [Fri04, STV04, JP06, BBAIdB07]. Le
premier exemple a porté sur le réseau d’interaction de la levure, pour laquelle des
données d’immuno-précipitation couplées avec des algorithmes de comparaison de
séquences ont permis de proposer à la communauté des réseaux transcriptionnels
pour la levure [LRR+ 02, HGL+ 04, MWG+ 06]. Or, ces réseaux “benchmark” n’ont
pas encore été validés expérimentalement, et de nouvelles approches apparaissent ré-
gulièrement, qui font intervenir des méthodes variées (corrélations, information mu-
tuelle, études de causalité, réseaux Bayésiens, analyses de chemins, équations diffé-
rentielles...) (voir [BBAIdB07] et la discussion dans (BMC bioinfo, 2008)). Force est
de constater que les résultats de ces multiples travaux divergent considérablement
[FMS+ 07] ; d’autant plus que peu de sources permettent effectivement de valider
les réseaux à partir de publications (mis à part [RBB+ 06, GBBK02, HBC+ 01]).
Enfin, une dernière stratégie pour reconstruire des réseaux (principalement bio-
chimiques) a consisté à isoler des interactions à partir de raisonnements logiques
sur les transformations entre molécules [JDSZ05, BV03, KGC05a]. Elle concerne
principalement des réseaux de petite taille.
 163

Diagnostic Les réseaux grande échelle qui apparaissent actuellement sont fina-
lement une compilation d’interactions déduites de différentes méthodes et expéri-
mentations sous différentes conditions. Ainsi, les différentes sources utilisées pour
construire ces réseaux introduisent des erreurs, ce qui rend les biologistes dubita-
tifs sur les études faites sur ces systèmes. Depuis quelques années, différents au-
teurs mettent ainsi en avant le besoin de méthodes pour concilier différentes don-
nées hétérogènes, repérer les incohérences pour raffiner et améliorer les modèles
[IGH01, Pal00, Kit02b]. L’objectif est alors double :
– Vérifier que le modèle est cohérent avec les observations disponibles, et sinon,
proposer des corrections.
– Proposer des prédictions pour le comportement du système. Ces prédictions
peuvent ensuite être validées par la littérature. Elles peuvent aussi mener à la
proposition d’expérimentation, dans une boucle qui alimente le modèle avec
de nouvelles données pouvant potentiellement l’invalider à nouveau.
Pour répondre à ces deux questions, différentes méthodes ont été proposées. Elles
diffèrent par le type de règles sur lesquelles s’appuient la notion de cohérence ou les
prédictions. Cependant, on retrouve dans la plupart une règle implicite, appelée règle
causale, qui affirme que la modification de l’expression d’une protéine lorsque un
gène est supprimé ou sur-exprimé implique qu’une régulation (au moins indirecte)
existe entre le gène manipulé et la protéine observée [DWFS99]. Cette règle a ainsi
été utilisée pour procéder à des test globaux de compatibilité [GRRL+ 03], pour vé-
rifier la cohérence de systèmes avec des raisonnements logiques [BSPL03, JDSZ05],
pour suggérer des voies de régulations actives en s’appuyant sur les connaissances
d’interaction protéines-protéines [YIJ04, YMM+ 05, Ide04] ou pour analyser la co-
hérence de données d’activités des voies métaboliques [HLPP06].

Contribution générale : utilisation d’une règle causale dans un cadre dy-

namique réduit pour le diagnostic de modèles J’ai travaillé à l’IRISA avec
Michel Le Borgne, Ovidiu Radulescu et les doctorants Philippe Veber et Carito Gu-
ziolowski sur l’élaboration d’une méthode pour le diagnostic et l’analyse de réseaux
qui tient compte du manque de précision des données et des connaissances, basées
sur une règle causale.
Nous avons ainsi proposé une approche pour isoler les modules incohérents dans
un réseau. La première étape consiste à construire un système de contraintes qui
clarifient et formalisent le raisonnement intuitif des biologistes. Pour cela, nous
avons étudié le cadre de validité exact de la règle causale mentionnée ci-dessus :
même si d’un point de vue dynamique les modèles causaux sont trop restrictifs,
ils ont toute légitimité pour être utilisés pour étudier des données portant sur les
comparaisons d’états stationnaires.
S’appuyant sur cette règle causale, nous avons interprété les objectifs princi-
paux du biologiste (cohérence globale, aide à la correction, prédiction) comme des
propriétés de l’ensemble des solutions du système. Il a fallu proposer des méthodes
efficaces de résolution du système de contraintes, adaptées à l’étude de réseaux de
régulation de grande taille tels que celui de E. coli : nous avons ainsi montré que nos
méthodes sont aussi fiables que les autres méthodes disponibles pour le diagnostic
164

et la prédiction [HLPP06] mais peuvent de plus être appliquées sur des réseaux de
taille bien plus grande.
Nous avons ensuite cherché à étendre le cadre d’application de ces systèmes de
contraintes, en particulier à la recherche du mode de régulation (activation ou inhi-
bition) des facteurs de transcription. Nous travaillons maintenant sur l’élaboration
de plans expérimentaux.
Ces résultats sont vraiment le fruit de la complémentarité entre divers chercheurs
de cultures différentes. Ma propre contribution a porté sur l’identification des ques-
tions qui pouvaient se poser en fonction des connaissances et des données disponibles
sur un réseau et son comportement. Nous allons donc maintenant détailler les ré-
sultats rapidement mentionnés ici en insistant sur le processus de formalisation des
questions sur un système et des approches de résolution.

5.1.2 Formalisation : deux questions et une règle intuitive

Des questions en biologie... Si nous reprenons les résultats décrits au cha-
pitre 4, les questions biologiques qui se sont posées entraient dans plusieurs catégo-
ries :
– Nous avons cherché à savoir si les connaissances sont suffisantes pour expliquer
des observations. Cette question s’est particulièrement posée pour les désatu-
rases dont le comportement, intuitivement, n’était pas celui qui était attendu
mais pour lequel nous avons vu que les conclusions intuitives n’étaient pas
nécessairement justifiées.
– Nous avons cherché à savoir à quels comportements du système il fallait s’at-
tendre après avoir perturbé le système, par exemple en inactivant (par muta-
tion) le gène de PPAR dans le métabolisme des acides gras, ou en inactivant
les régulateurs de l’opéron lactose.
– Nous avons cherché à comprendre le fonctionnement du système, c’est-à-dire à
identifier l’effet de variations de certains produits sur le comportement global
du système.

... aux requêtes en informatique ? D’un point de vue bioinformatique, pour

apporter une réponse plus précise à ces questions, on se doit d’isoler des concepts
sous-jacents à ces objectifs et de les formaliser en requêtes avec une résolution
efficace. Nous avons identifié deux concepts principaux derrière les questions biolo-
giques :
– Le diagnostic de réseau, c’est-à-dire, décider si l’ensemble des connaissances
intégrées dans un modèle est suffisant pour expliquer un comportement donné.
– La prédiction, qui revient à trouver le comportement du système suite à une
perturbation.
Ces questions apparaissent dans de nombreux domaines des sciences expérimen-
tales. La spécificité ici est de leur apporter une réponse qui est adaptée au type de
connaissances sur un système (représenté sous la forme de graphe d’influence) et au
type d’observations (souvent des données de transcriptome, qualitatives, avec très
peu de points temporels quand il y en a plusieurs).
 165

Règle intuitive Nous avons travaillé sur les raisonnements intuitifs des biolo-
gistes et cherché à les formaliser. Après une lecture approfondie de la littérature et
de nombreuses discussions avec des biologistes, il nous est apparu que les raison-
nements utilisés implicitement par les biologistes pour conclure à l’invalidité d’un
modèle (et donc à l’existence de régulations additionnelles) ou faire des prédictions
étaient basées sur une simple règle causale très intuitive : la variation d’un élément
doit être qualitativement expliquée par la variation d’au moins un prédécesseur dans
le graphe d’influence.
Un exemple est donné dans la figure 5.1, où A et B sont deux protéines qui
activent la transcription de C. Plusieurs cas peuvent se produire lors d’un stress
environnemental :
– Si la concentration de A et B augmentent lors du stress, alors C doit néces-
sairement augmenter. Ou plutôt il ne peut pas diminuer...
– En particulier, si A et B augmentent et qu’une observation établit que C
diminue simultanément, la règle de cohérence n’est pas respectée et on doit
conclure que soit les observations sont erronées, soit il manque une interaction
dans le réseau. Dans tous les cas, nous détectons un conflit dans le réseau.
– Si la concentration de A augmente et celle de B diminue, alors C peut aussi
bien augmenter que diminuer, et on ne peut rien conclure.

Fig. 5.1 – Illustration du processus de vérification de cohérence. Gauche : lorsque

les influences de A et B sont de même signe, on en déduit que C augmente. Milieu :
Dans certains cas, aucune prédiction n’est possible. Droite : Les données fournies
ne sont pas cohérentes avec le réseau.

5.1.3 De l’intuition à une contrainte satisfaite par une régu-

lation
Domaine de validité de la règle intuitive ? Le problème est que cette règle est
intuitive et, mal utilisée, elle peut mener à des erreurs de raisonnement : nous l’avons
vu dans le cadre du métabolisme des acides gras, où le fait que FADS1 et FADS2
166

ne varient pas pendant un jeûne peut être expliqué par des influences indirectes
dans le réseau, alors qu’on s’attend intuitivement à l’existence d’une régulation
additionnelle. Dans ce cas là, d’autres expérimentations appuient la thèse de la
régulation additionnelle, mais cet exemple est intéressant pour illustrer les erreurs
de raisonnement qu’on peut faire si on ne formalise pas les raisonnements utilisées
et les hypothèses sous-jacentes.
Ainsi, les modèles causaux ont été utilisés puis abandonnés dans les années
1990 pour modéliser la dynamique de réseaux de régulation, parce que non adaptés
à un cadre dynamique. Nous avons souhaité reprendre ces modèles causaux dans
un cadre plus restreint. En effet, même si les modèles causaux ne sont pas adaptés
pour étudier la dynamique des réseaux biologiques, nous avons cherché à savoir si ces
modèles peuvent être utilisés dans un cadre de déplacements d’états stationnaires.
On ne cherche plus alors à décrire l’état d’un molécule au moment n + 1 en fonction
de son état au temps n, mais à poser une contrainte globale sur les variations entre
deux états stationnaires. Nous allons expliquer maintenant pourquoi que cette règle
est vraie sous des conditions raisonnables d’un point de vue biologique.

Déplacements d’états stationnaires La restriction à des considérations sur

des états stationnaires est naturelle dès lors qu’on considère le type de données
généralement utilisées pour analyser des systèmes : la majeure partie est constituée
d’observation du transcriptome à grande échelle, sous la forme de puces à ADN
qui comparent la quantités d’ARN entre le début et la fin d’une expérimentation.
Hormis les cas où les systèmes considérés ont des comportements périodiques, le
début et la fin d’une expérimentation sont des états stationnaires d’un système
dynamique.
Ainsi, un stress environnemental désigne l’effet d’une perturbation des condi-
tions initiales. Il se modélise par le passage continu d’un état stationnaire pour un
ensemble de paramètres P1 à un état stationnaire pour un ensemble de paramètres
P2 .
Finalement, on cherche donc à comprendre comment exploiter des informations
relatives à un déplacement d’états stationnaires sachant des informations partielles
sur un système.
Dans (Biosystems, 2006), nous considérons le théorème 4.3.1 sur la réponse
linéaire d’un système pour comprendre l’effet des prédécesseurs d’un sommet d’un
graphe d’influence sur ce sommet. Le théorème 4.3.1 porte sur des variations locales,
nous avons cherché à savoir quelles conditions étaient suffisantes pour en déduire
une information sur de grandes variations.
Théorème 5.1.1 Si on suppose que pour une molécule i :
∂FX(i)
1. Il existe une constante C telle que ∂X(i) < −C, C > 0.
2. Il n’y a pas d’influence directe de P sur X(i) .
3. FX(i) ({X, X(i) = 0}) > 0.
∂FX(i)
4. Pour toute flèche k → i dans le graphe d’influence, le signe de ∂X(k) est
constant sur une plage d’expérimentation.
 167

Alors les signes des variations entre deux états stationnaires consécutifs à un stress
environnemental vérifient la contrainte suivante :
X  
∂FX(i)
signe(∆X(i) ) ≃ signe × signe(∆X(k) ).
∂X(k)
k6=i,k→i

Par exemple, si on considère le graphe d’influence de l’opéron-lactose, on en

déduit que l’équation qui régit la variation de LacY est donné par l’équation :

signe(∆LacY ) ≃ signe(∆cAM P − CRP ) − signe(∆LacI).

Spécificité du théorème Le lecteur pourra se demander quelle est la difficulté

dans l’énoncé du théorème 5.1.1, en regard surtout du théorème 4.3.1. La différence
majeure entre ces deux résultats réside dans la taille des variations : le théorème
4.3.1 proposait des contraintes sur des petites variations (approximation linéaire),
alors que le Théorème 5.1.1 porte sur le signe de grands déplacements d’états sta-
tionnaires. Il s’agit donc de montrer qu’on a le droit de conserver les relations de
signes valables sur les petites variations lorsqu’on compare deux états stationnaires
qui ne sont plus proches. On montre ceci en utilisant des méthodes usuelles de
différentiation.

Discussion biologique Ce résultat donne un domaine de validité au raisonne-

ment implicitement utilisé dans les publications de biologie. Les hypothèses sont
raisonnables biologiquement puisque
– L’hypothèse (1) est vérifiée dès que la molécule ne rétro-agit pas sur elle-
même comme un activateur direct de sa production : en dehors de ce cas, la
dégradation de la molécule assure que l’influence de la molécule sur elle même
est négative. Il faut bien noter qu’il existe un certain nombre de molécules
X(i) (facteurs de transcription en particulier) qui sont leurs propres rétro-
activateurs. Dans ces cas là, la contrainte n’est pas vérifiée pour X(i) . On
ne prendra tout simplement pas en compte cette contrainte. On peut voir
cela comme un premier apport du théorème 5.1.1 : identifier les sommets
d’un graphe d’influence pour lesquels les comportements sont contraires à
l’intuition détaillée dans la figure 5.1 et au sujet desquels il faut prendre
beaucoup de précautions.
– L’hypothèse (2) signifie que la molécule considérée est un sommet interne du
système.
– L’hypothèse (4) signifie que les influences entre les molécules restent cons-
tantes pendant les expérimentations. Cette hypothèse est la plus forte, dans
la mesure où des phénomènes biomoléculaires ont montré que le signe d’une
interaction peut changer en fonction de la quantité d’éléments agissant sur
leur cible [TS01].
L’intérêt principal du théorème 5.1 est qu’il est modulaire. Si une des hypothèses
n’est pas vérifiée pour une molécule, il suffit de ne pas prendre en compte l’équation
associée à ce sommet ; mais cela n’empêche pas de considérer les équations pour les
autres sommets du réseau qui de leur côté vérifient la relation.
168

Algèbre de signes Pour comprendre ces équations, il faut réaliser que les élé-
ments signe(∆X(i) ) ne sont pas des réels mais doivent plutôt être lus dans l’algèbre
de signes. Cette algèbre est définie par l’ensemble {+, –, ?, 0}. Le symbole + désigne
les variations positives, – désigne les variations négatives et 0 désigne les variations
nulles. Le symbole ? désigne les variations sur lesquelles on n’a pas d’information
précise.
Sur cette algèbre de signes, on définit des opérations d’addition et de multipli-
cation ainsi qu’une relation de compatibilité ≃. On peut voir cette algèbre comme
un codage des relations ensemblistes sur R, R+ , R− et {0}. Cette algèbre de signe
a été introduite dans les années 80 pour étudier des questions de raisonnements
qualitatifs à partir de règles causales ; le point de vue était plutôt dynamique que
statique [Kui84, dKB84, dKB82].
+ + – ? 0 × + – ? 0 ≈ + – ? 0
+ + ? ? + + + – ? 0 + V F V V
– ? – ? – – – + ? 0 – F V V V
? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? V V V V
0 + – ? 0 0 0 0 0 0 0 V V V V

Codage de la réponse à un stress dans l’algèbre des signes Finalement, la

situation que nous considérons est la suivante :
– Un système est modélisé par son graphe d’influence, dont les arcs sont signés
par un élément de l’ensemble {+, –, 0}. Le signe de l’arc du sommet A vers le
sommet B est noté SA,B .
– On dispose d’observations sur les variations pendant une expérimentation sur
une partie des composants du système. Ces variations sont décrites par un
élément de {+, –, 0}.
– Pour chaque élément A du système sur lequel A ne rétroagit pas positive-
ment, on peut poser une contrainte sur la variation de la concentration de A,
notée xA pendant un déplacement d’états stationnaires consécutif à un stress
environnemental :
X
xA ≈ SB,A xB (5.1)
B→A, B6=A

Validité pour des modèles non différentiels ? Dans (Biosystems, 2006), nous
avons étudié la validité de ces contraintes en supposant que les systèmes étaient régis
par des modèles différentiels. Cependant, cette hypothèse peut s’étendre. Ainsi, en
collaboration avec A. Richard, nous avons travaillé sur la validité des contraintes
dans le cadre des modèles logiques multivalués. Là encore, cette règle s’avère assez
générale [Veb07].

5.1.4 Extension de la contrainte à d’autres cadres

Nous avons étudié la validité de la règle causale pour les déplacements d’états
stationnaires lors de stress environnementaux (Biosystems, 2006). Cependant, les
 169

expérimentations opérées en biologie moléculaire ne sont pas toujours des stress

environnementaux ; au contraire, avec les progrès techniques en biologie moléculaire,
de nombreuses perturbations de systèmes consistent à forcer la sur-expression ou la
sous-expression d’un gène, par création de mutants. Dans ce cadre, des contraintes
qualitatives existent encore, mais elles doivent prendre en compte les modifications
au sein de la cellule, comme cela est détaillé ci-dessous.
De plus, lors de nos expérimentations sur différents modèles, nous avons constaté
que la règle causale est toujours valide, mais parfois trop générale pour contraindre
efficacement le système. Nous avons donc proposé de nouvelles règles causales en
fonction des types d’interaction qui apparaissent dans le système.

Perturbations génétiques Dans (BMC bioinfo, 2008), nous considérons des

données de perturbations génétiques : après croissance comparable des cellules, on
compare la quantité d’ARN dans une cellule mutée à la quantité des ARN dans une
cellule non mutée. Dans ces cas là, avec une preuve semblable au cas des stress en-
vironnementaux, on montre que les contraintes qualitatives qui régissent le système
sont les suivantes.
 P
 xA ≈ B→A, B6=A SB,A xB si tous les prédécesseurs de A



 ne sont pas perturbés



 P génétiquement

xA ≈ −SM,A + B→A SB,A xB si un prédécesseur de A, noté M
A6=M,A6=B



 P est inactivé



 x A ≈ S M,A + B→A S B,A xB si un prédécesseur de A, noté M

 A6=M,A6=B
est sur-exprimé
(5.2)

Formation de complexes Dans le cadre de l’association de deux protéines pour

former un complexe, la règle booléenne causale est vérifiée, mais elle est en fait trop
peu précise. Dans le cadre du travail de thèse de C. Guziolowski, en étudiant plus
précisément les phénomènes entrant en jeu et leurs échelles de temps, nous montrons
dans (CIBB, 2008) qu’une règle booléenne qui décrit mieux les déplacements d’états
stationnaires lors de la formation des complexes est Le plus faible gagne. Autrement
dit, la variation de la concentration du complexe est guidée par la variation du
composant en plus faible quantité.

Schémas plus généraux : phosphorylation On peut plus globalement modé-

liser la plupart des phénomènes biochimiques en proposant des règles booléennes
pour décrire les déplacements d’états stationnaires dans les systèmes biologiques.
Dans le cadre de la modélisation des régulations induites par la molécule chimère
EW F/F LI1 (collaboration avec l’institut Curie, projet ANR SITCON), Carito Gu-
ziolowski et Sylvain Blachon travaillent actuellement sur l’élaboration de règles pour
la phosphorylation de la protéine P 53. Là encore, il faut bien noter que ces règles ne
décrivent absolument pas la dynamique des interactions mais des conditions globales
sur les variations après un stress.
170

5.2 Une approche pour le diagnostic d’un réseau

Au début de la section 5.1.2, nous avons détaillé comment les questions princi-
pales que se posent un biologiste se ramènent, d’un point de vue informatique, à
rechercher des méthodes efficaces pour poser un diagnostic sur un réseau et, lorsque
le diagnostic est bon, procéder à des prédictions. Nous allons voir maintenant com-
ment nous réalisons ces tâches concrètement : l’idée principale est de partir des
contraintes définies par le théorème 5.1.1 comme formalisation de l’intuition du
biologiste, et de traduire les notions de diagnostic et de prédiction comme des ob-
jets liés à ces contraintes.

5.2.1 Construire le système de contraintes décrivant un ré-

seau et les observations disponibles
Nous considérons donc maintenant un ensemble d’observations qui comparent
l’état initial de molécules pendant des expérimentations à leur état final. Nous
pouvons construire un système de contraintes qui décrivent les états du système.

Variables Les variables correspondent soit au signe des interactions, soit à la

variation des concentrations des molécules du système. Elles sont à valeur dans
l’algèbre des signes {+, –, 0}.
– On considère une variable si,j pour décrire le signe de l’interaction allant de
la molécule i vers la molécule j, lorsque le modélisateur veut intégrer cette
interaction dans le modèle (appuyé par une publication scientifique ou des
données d’immuno-précipitation (chip-chip) par exemple).
– S’il y a k expérimentations concernant des molécules M1 , . . . , MN , on con-
(l)
sidère une variable xj pour décrire la variation de la concentration de la
molécule Mj pendant l’expérimentation numérotée l pour j ∈ {1, . . . , N } et
l ∈ {1, . . . , k}. La comparaison se fait par rapport à un état référence commun
à toutes les expérimentations.

Affectations de valeurs Les observations et connaissances permettent de fixer

la valeur de certaines variables du système.
Si la quantité d’une molécule Mj varie positivement, négativement ou ne varie
(l)
pas pendant l’expérimentation l, on fixe la valeur de xj correspondante.
Si la littérature ou des expérimentations permettent de déterminer le sens de
l’interaction de i vers j, on fixe le signe de la variable si,j . Sinon, la variable si,j est
une inconnue du système.

Contraintes entre les variables Jusqu’à maintenant, nous n’avons fait que
transcrire la connaissance et les observations, mais nous n’avons pas relié les va-
riables entre elles. Pour cela, nous utilisons les règles décrites dans la section pré-
cédente. En fonction du type d’interaction sur la molécule Mj et du type d’expéri-
(l)
mentation, on introduit une contrainte sur chaque variable xj , qui fait intervenir
 171

(l)
les variables xi pour lesquels si,j est non nul ou inconnu.
Dans le cas de l’opéron-lactose, on obtient le système de contraintes suivant.

 LacI ≈ −A


(1)

 A ≈ LacZ (2)



 LacZ ≈ cAM P − LacI (3)
Li ≈ Le + LacY − LacZ (4)



 G ≈ Li + LacZ (5)



 cAM P ≈ −G (6)

LacY ≈ cAM P − LacI (7)

5.2.2 Exploiter le système de contraintes : invariants et mo-

dules spécifiques
Les deux objectifs fondamentaux des biologistes discutés dans la section 5.1.2
s’interprètent alors facilement dans le cadre des systèmes d’équations (Complex Us,
2005) :
– la notion de cohérence revient à décider s’il existe au moins une solution au
système ;
– la notion de prédiction revient à rechercher les invariants dans l’ensemble de
toutes les solutions.

Solution Une solution dans {+, –} d’un système de contraintes associé à un mo-
dèle biologique est une affection de toutes les variables du système avec les valeurs
+ et – qui satisfait simultanément toutes les équations du système.
Une solution à valeur dans {+, –, 0} introduit la valeur 0 pour les variables et
permet de distinguer des sous-ensembles de variables pertinents.
Ces solutions correspondent aux différents observations qu’il est possible d’obte-
nir avec un stress.
Pour le cas de l’opéron-lactose (voir Fig. 4.6), il est possible d’énumérer l’en-
semble des solutions du système dans {+, –}, décrites dans la Table 5.1. Il y a une
symétrie dans l’ensemble des solutions puisque le système est linéaire. On voit ici que
les contraintes associées au système restreignent fortement l’espace des possibilités,
puisqu’on passe de 256 jeux d’observations possibles à priori à 18 jeux réellement
admissibles.

Cohérence On dit que le système de contraintes est cohérent lorsqu’il admet au

moins une solution.
Ainsi, le système de l’opéron lactose est cohérent puisqu’il admet au moins une
solution. Par contre, le système présenté dans la figure 5.1 est incohérent lorsqu’on
introduit les observations, puisqu’il s’écrit :
8
>
> C ≈ A+B
<
C = +
> A
> = −
:
B = −
172

Le LacI A LacZ Li G cAM P LacY Le LacI A LacZ Li G cAM P LacY

− − + + + + − + + − + + − − + +
− − + + − + − + + − + + + + − +
− − + + − + − − + − + + − + − −
− − + + − − + + + − + + + + − −
− + − − + − + − + − + + − + − +
− + − − + − + + + + − − + − + −
− + − − − − + − + + − − + − + +
− + − − − − + + + + − − − − + −
− + − − + + − − + + − − + + − −

Tab. 5.1 – Liste des 18 jeux expérimentaux (parmi les 28 =256 possibles) compatibles
avec le réseau modélisant l’opéron lactose.

De même, les observations sur la mise à jeûn des poulets décrites à Fig. 4.5 sont
cohérentes avec le réseau. On retrouve ainsi de manière automatique que la variation
nulle des désaturases FADS1 et FADS2 n’est absolument pas une contradiction du
système, comme nous l’avons déjà discuté à la section 4.3.4.

(l)
Prédictions On dit que la variable si,j ou xj est une prédiction du système
lorsque la valeur de cette variable est invariante dans toutes les solutions du système
de contraintes.
Par exemple, si nous revenons sur le système de l’opéron-lactose, et si on ob-
serve que Le est sous-exprimé et LacZ est sur-exprimé, on peut déduire de la liste
des solutions que, nécessairement, LacI sera sous-exprimé et A sera sur-exprimé,
puisque toutes les solutions telles que Le = – et LacZ = + sont aussi telles que
LacI = – et A = +.

Diagnostic (ou module) incompatible Un diagnostic est un sous-ensemble de

contraintes du système, minimal pour l’inclusion, qui n’admet pas de solution. Nous
reviendrons plus précisément sur cette notion dans une section ultérieure.

5.2.3 Cohérence dans la littérature : vers une contrainte plus

restreinte mais tout aussi intuitive ?
Contraintes locales vs solution globale La notion de cohérence apparaît pour
l’étude de réseaux génétiques [GRRL+ 03] ou à la fois métaboliques et génétiques
[HCP03, CKR+ 04]. Les auteurs calculent une mesure de cohérence pour différents
types de réseaux en exploitant des données de transcriptome. Des notions d’in-
fluences indirectes apparaissent aussi dans [JDSZ05, BMO+ 01] pour contraindre
des variations .
La première différence entre ces méthodes et le schéma de vérification que nous
proposons réside dans des considérations locales plutôt que globales : nous appli-
quons une règle de cohérence à l’ensemble des nœuds du système et nous consi-
dérons une solution globale pour ce système. Au contraire, dans les approches de
[GRRL+ 03, HCP03, CKR+ 04], la cohérence est étudiée localement (elle ne prend
 173

pas en compte les contraintes successives apportées par les sommets éloignés d’un
nœud). L’apport du point de vue global est d’abord de contraindre plus fortement
le système, et surtout de localiser les modules à corriger (quelle que soit leur taille)
pour orienter le modélisateur dans sa construction de réseau.

Changement d’échelle La deuxième différence entre les approches exposées

dans [GRRL+ 03, HCP03, CKR+ 04] et notre schéma de vérification est le type de
données qui peuvent être analysées : nous pouvons écrire un système de contraintes
dès qu’un jeu de données est disponible, quelle que soit sa taille. Guteriez et al
[GRRL+ 03] comme l’école allemande [HCP03, CKR+ 04] ont besoin d’une grande
variété de jeux expérimentaux pour explorer tout l’espace des dynamiques et poser
un diagnostic de compatibilité ou d’incompatibilité.
Enfin, la dernière différence porte sur la taille des jeux de données considérés :
comme nous allons le voir plus loin, Michel Le Borgne, Philippe Veber et Carito
Guziolowski ont développé des méthodes très efficace pour traiter des systèmes de
contraintes qui contiennent plusieurs milliers de variables, un ordre de grandeur
innateignable avec les approches de [GRRL+ 03, HCP03, CKR+ 04].

Une autre approche de la cohérence On retrouve aussi la notion d’influence

de chemins pour étudier un système dans les travaux de l’équipe de T. Ideker pour
proposer des plans expérimentaux en tant qu’optimum global d’influences diverses
[YIJ04, YMM+ 05]. Derrière ces approches se trouve une nouvelle notion de cohé-
rence, que nous allons appeler cohérence par chemins : une affectation des variables
est cohérente par chemins par rapport à un jeu d’observations si pour tous les som-
mets du système, il existe un chemin partant d’une entrée du système dont le signe
est compatible avec l’affectation du sommet.
P. Veber a montré que ces notions ne sont pas équivalentes : dans la Figure 5.2,
le graphe n’est pas cohérent au sens des équations qualitatives, puisque la variation
de E doit être égale à celle de D, qui est elle-même égale à celle de F . Par contre,
le graphe est cohérent au sens des chemins puisque la variation de E peut-être
expliquée par le chemin partant de A et passant par C, tandis que celle de F peut-
être expliquée par le chemine partant de A et passant par B.
Inversement, le réseau de droite est cohérent pour les équations qualitatives mais
n’est pas cohérent par chemin si C est la seule entrée puisqu’aucun chemin partant
de C ne peut expliquer la variation de B et A ; en fait, les variations de A et B
s’autojustifient.
Ces deux approches sont fondamentalement différentes :
– la cohérence par chemins force toute variation à être expliquée par une cause
extérieure, mais ne vérifie pas localement que les variations sont cohérentes,
en particulier les variations introduites sur les sommets non observés.
– Inversement, les équations qualitatives vérifient que les variations sont com-
patibles localement sur tous les sommets, mais elles n’imposent pas que les
variations aient une cause. Dans la Figure 5.2, les équations qualitatives ad-
mettent très bien que A et B augmentent alors que C diminue puisque A et
B se justifient l’un l’autre. Mais quel produit justifie leur accroissement ?
174

Fig. 5.2 – Deux réseaux qui sont cohérents respectivement seulement par chemin
et pour les équations qualitatives.

Une nouvelle contrainte plus stringente et unificatrice On peut ainsi in-

troduire une nouvelle notion de cohérence plus stringente, que nous appellerons
cohérence biologique : un modèle est cohérent avec des données s’il existe une va-
luation pour toutes les variables du système telle que toute variation non nulle sur
un sommet doit être prouvée comme une suite finie et non circulaire de déductions.
Cependant, cette notion est plus difficile à vérifier que la cohérence par équations
qualitatives définies plus haut (en particulier avec les arbres de décision dont nous
allons discuter tout de suite). Nous proposons donc de l’utiliser seulement lors de
la recherche de cause pour l’état d’un système, comme nous en rediscuterons à la
section 5.4.4.

5.2.4 Calcul des invariants et des diagnostics

Les concepts étant posés, la question est de résoudre effectivement et efficace-
ment la question de la cohérence, des prédictions et de la localisation des zones
incohérentes. Une première approche aurait pu être d’utiliser les algorithmes usuels
de résolutions d’équations qualitatives [TMD03, Dor88]. Ces algorithmes sont ba-
sés globalement sur une adaptation de l’algorithme de Gauss au cas qualitatif. La
difficulté réside dans le fait que la relation de compatibilité ≃ n’est pas transitive et
induit des problèmes algorithmiques complexes pour le choix de l’ordre de réduction
des équations.
Or, les systèmes que nous considérons peuvent contenir plusieurs milliers de va-
riables. De plus, répondre au problème de la satisfiabilité d’un système de contrain-
tes associées à un graphe d’influence est NP-complet (voir (Complex Us, 2005)) ;
autrement dit, le fait de considérer seulement les systèmes associés à une question
biologique ne permet pas de diminuer la complexité des systèmes étudiés [Dor88]. M.
Le Borgne, P. Veber et C. Guziolowski ont proposé de faire appel à différentes mé-
thodes de codage des solutions pour explorer de la manière la plus efficace possible
 175

l’espace des solutions des contraintes.

Énumérer les solutions Une première stratégie pour identifier des diagnostics et
répondre à la question des prédictions consiste à explorer l’ensemble des solutions.
Pour cela, il faut résoudre deux questions distinctes.
1. Réduire le système de contraintes à un système de taille plus petite mais équi-
valent en terme de cohérence. Plus précisément, un certain nombre d’équations
ne contraignent en fait pas le système. Il s’agit typiquement des successions
de transcriptions de gènes non observés. On obtient alors des équations de la
forme xi+1 = xi qui n’apportent rien à la cohérence du système.
Ainsi, nous montrons dans (Complex Us, 2005) que la question de la cohérence
globale du système est équivalente à la cohérence du système construit pour le
graphe d’influence qui correspond à l’image inverse des états observés et des
cycles du système (voir aussi la discussion dans la thèse de P. Veber [Veb07]).
Sur les réseaux transcriptionnels, cette opération de réduction diminue consi-
dérablement la taille du système de contraintes, et permet d’envisager une
étude de l’ensemble des solutions.
2. Représenter efficacement l’espace des solutions. Le système étant réduit à un
système de taille plus raisonnable équivalent pour la question de la cohérence,
il devient possible de représenter l’espace des solutions sous la forme d’un
arbre de décision binaire (BDD pour Binary Decision Diagram). Il s’agit d’une
structure de données dans laquelle toute formule logique (booléenne) peut
être représentée par un graphe orienté acyclique avec une racine consistant
en nœuds de décisions, et deux nœuds terminaux pour les valeurs 0 et 1.
Un chemin de la racine au nœud 1-terminal représente un modèle admissible
pour la formule considérée. Ces BDD sont très utilisés par les programmes de
conception assistée par ordinateur, pour générer des circuits (synthèse logique)
et en vérification de modèles [Bry92].
Concrètement, Michel Le Borgne, Philippe Veber et Carito Guziolowski ont
ainsi proposé une implémentation sous la forme de BDD et des algorithmes
efficaces pour les parcourir, qui permettent de rechercher des diagnostics et
procéder à des prédictions pour les graphes d’influence. Une suite logicielle
(Pyquali et Bioquali) a été développée à ce propos [LBV07], et une interface
web a été développée (http ://www.irisa.fr/symbiose/bioquali) ainsi qu’un
plugin pour la suite logicielle Cytoscape dédiée à la représentation de réseaux
biologiques [SMO+ 03].

Rechercher au moins une solution Une autre stratégie consiste non pas à
étudier l’ensemble des solutions mais à rechercher s’il existe au moins une solution
à différents problèmes. La question de la cohérence d’un système entre naturellement
dans ce cadre. La recherche des prédictions est aussi abordable en considérant la
recherche des éléments qui ne sont pas invariants (pour chaque sommet, existe-t-il
deux solutions pour le système qui prennent des valeurs opposées ?). On entre ici
dans le cadre de la résolution de contraintes.
176

Pour aborder cette question, P. Veber a proposé de se concentrer sur la pro-

grammation par ensembles réponses (ASP), en collaboration avec l’équipe de T.
Schaub à Postdam avec laquelle nous entretenons des relations scientifiques et qui
développe un solveur efficace Clasp [GKNS07]. Indiquons rapidement que la pro-
grammation par ensembles réponses est une forme de programmation déclarative
dédiée à l’exploration de problèmes réputés difficiles (NP-complets) [Nie99, Bar03].
Dans ce domaine, en pleine expansion, l’objectif est d’allier l’expressivité de la
programmation logique (type Prolog) avec la puissance des algorithmes SAT. Par
construction, les algorithmes implémentés terminent toujours en principe ; il s’agit
de la principale différence avec les solveurs de type Prolog, qui peuvent amener à
des boucles infinies.
À l’aide de Clasp, il été possible de montrer que la question de la cohérence,
celle de la recherche de diagnostic, et la recherche des prédictions sont abordables
sans passer par une étape de réduction préalable [GST+ 08].

Complémentarité Nous avons ainsi à notre disposition deux approches bien dif-
férentes mais tout aussi efficaces pour résoudre les questions biologiques qui ont
été identifiées en début de chapitre. On pourra se demander pourquoi les conserver
toutes les deux : en fait, ces approches sont complémentaires, et doivent être étu-
diées en parallèle pour pouvoir répondre à des questions plus précises que celle du
diagnostic et des prédictions.
Ces questions seront abordées plus en détail à la fin de ce chapitre, mais nous
pouvons déjà insister sur les apports des deux méthodes :
– La spécificité du parcours de l’ensemble des solutions via les BDD est qu’il
permet d’énumérer les solutions à des questions variées, même s’il ne s’agit
pas d’invariants. Ceci nous permettra en particulier d’assouplir les contraintes
sur les prédictions en recherchant non pas des variables qui sont invariantes
pour l’ensemble des solutions du système, mais des variables dont la valeur est
identique pour un pourcentage assez élevé de solutions. Ceci est impraticable
par une approche directe la programmation par ensembles réponses.
– La spécificité de la programmation par ensembles réponses est de pouvoir
interroger des systèmes de contraintes de très grande taille sans les réduire
préalablement, et d’agrandir le spectre de questions posées. En particulier,
la notion de détermination de plans expérimentaux et la recherche de causes
communes à un évènement semblent abordables en ASP mais pas avec des
algorithmes de parcours de BDD. Nous en rediscuterons plus précisément
dans la dernière section du chapitre.

5.2.5 Schéma d’utilisation et validation

Les concepts informatiques étant posés, nous pouvons proposer un schéma d’uti-
lisation pour l’étude d’un réseau.

Schéma général Le processus que nous mettons en place pour analyser un réseau
est illustré dans la figure 5.3 :
 177

– Construire un graphe d’influence à partir des connaissances disponibles, in-

cluant avant tout les régulations transcriptionnelles avec une règle booléenne.
– Appliquer un test de cohérence.
– Si le test est positif, rechercher les prédictions du système, les valider via une
étude bibliographique ou les valider expérimentalement.
– Si le test de cohérence est négatif, localiser l’emplacement des incompatibi-
lités. Corriger le modèle dans les zones incompatibles, éventuellement en in-
troduisant des régulations post-transcriptionnelles modélisées avec des règles
spécifiques. Retourner alors à l’étape 2.

Fig. 5.3 – Illustration du processus de vérification de cohérence pour un système :

on alterne des phases de construction (“manuelles”) de modèles avec des phases
automatiques de localisation de zones sur lesquelles une incompatibité existe ou
une prédiction est possible.

Réseau de régulation transcriptionnel de E. coli De manière à valider nos

méthodes sur un réseau réel, nous avons considéré le réseau transcriptionnel de
la bactérie modèle E. coli. Pour cette seule bactérie, un travail a été entrepris, qui
rassemble toutes les interactions entre protéines au sein de cette cellule. Cette infor-
mation est publiquement accessible via la base de donnée RegulonDB [SGCPG+ 06].
À partir de cette information, C. Guziolowski, pendant son master puis sa thèse, a
obtenu un réseau contenant 1763 produits et 4491 interactions.
Après réduction à l’image inverse des cycles du système (voir Sec. 5.2.4), on
obtient un graphe de 68 produits et 198 influences (voir Fig. 5.4). Par construction,
ce graphe réduit, aussi appelé cœur du réseau, est l’ensemble des gènes qui régulent
le reste du réseau, sans a priori sur les observations.
À ce réseau nous avons adjoint des données correspondant à un stress nutrition-
nel. Là encore, la base RegulonDB classe les variations des ARN pour différents
stress environnementaux, avec une référence précise pour chaque variation. Nous
avons ainsi collecté 45 variations concernant des produits du réseau.
178

Fig. 5.4 – Le graphe d’influence pour les interactions transcriptionnelles de la bac-

térie E. coli et son graphe réduit

Application du schéma Nous avons appliqué le schéma proposé ci-dessus au

réseau transcriptionnel de E. coli et le jeu de 45 observations. La boucle diagnostic-
correction a dû être utilisée 3 fois avant d’obtenir un réseau cohérent.
– Dans le réseau, certains protéines ne font pas directement partie de la ma-
chinerie de transcription, il s’agit des facteurs-sigma. Nous avons montré que
sans ces facteurs sigma, le réseau transcriptionnel n’est pas cohérent avec les
variations connues au sujet du stress nutritionnel. La phase de diagnostic a mis
en évidence que seules trois équations posaient un problème. C. Guziolowski
a alors étudié la bibliographie et introduit les facteurs-sigma dans le réseau,
ainsi qu’un complexe IHF associé à une règle booléenne spécifique (voir Fig.
5.5). Ces résultats sont explicités dans (JPBC, 2006) et discutés dans (CIBB,
2008).
– Après cette première correction, une nouvelle incohérence est apparue, qui a
été localisée autour de la molécule appY . Là encore, une étude poussée de la
littérature a montré que cette molécule reçoit un signal post-transcriptionnel
pendant le stress, qui n’avait pas été inclus initialement dans le réseau. Les
détails sont donnés dans la publication (CIBB, 2008).
Nous avons ensuite produit un ensemble de prédictions pour ce graphe compa-
tible. À partir des 45 observations initiales, nous avons prédit la variation de 526
autres éléments du réseau. Pour valider ces prédictions, nous avons considéré des
 179

−→

−→

Fig. 5.5 – Les deux sous-modules du réseau transcriptionnel de E. coli auxquels il

a fallut adjoindre des interactions spécifiques pour obtenir une compatibilité.

données de transcriptome [FHT+ 07]. Le consensus entre les observations de trans-

criptome et nos prédictions est de 80% (CIBB, 2008). A posteriori, ce taux élevé de
consensus est surprenant dans la mesure où le modèle que nous considérons n’in-
tègre que peu de phénomènes post-transcriptionnels ; ainsi, les modules de réception
des signaux extérieurs sont peu pris en compte. Il faut aussi avoir à l’esprit que le
réseau est à priori incomplet puisqu’il est construit seulement à partir des connais-
sances [GW02]. Malgré tout, cela est suffisant pour contraindre une grande partie
du système.
Notons enfin que le niveau de consensus est équivalent à celui obtenu avec les
autres approches du domaine [CKR+ 04, CP02, EP00], si ce n’est que nous tra-
vaillons avec des réseaux de bien plus grande taille et avec beaucoup moins de jeux
de données.

Réseau de grande taille : restriction des données à leur partie cohérente

Nous avons ainsi illustré que le schéma de diagnostic et prédictions est efficace sur
des réseaux de grande taille, à partir d’un jeu de données de petite taille. Par contre,
à partir d’un jeu de données de grande taille (typiquement des données de trans-
criptome), si le réseau n’est pas assez détaillé, le nombre d’incohérences augmente.
Pour illustrer ce point, nous avons testé systématiquement la cohérence entre le ré-
seau transcriptionnel de E. coli et différents jeux de données concernant des stress
publiés dans [FHT+ 07], plus précisément 226 jeux de données correspondant à 61
conditions expérimentales différentes. Seuls 31 conditions expérimentales se sont
180

avérés cohérentes avec le réseau transcriptionnel (BMC bioinfo, 2008).

Dans ces cas là, corriger le modèle devient un travail de très longue haleine.
Pour avoir une première estimation du travail à faire, nous avons considéré chaque
jeu de données indépendemment et procédé itérativement à des diagnostics : pour
chaque nœud du réseau sur lequel une incompatibilité est détectée, les contraintes
impliquant la variable sur ce nœud dans le réseau ont été enlevées du réseau. Cela
revient à ne pas prendre en compte l’ensemble des informations (régulation et ob-
servation) qui portent sur le nœud problématique. À la fin du processus, on a isolé
un sous-ensemble du réseau qui porte les incohérences, et on se concentre sur la
partie (restante) qui est compatible avec les données observées. Cette opération de
nettoyage des données sera appelée restriction cohérente des données.
Nous avons alors observé que, après cette restriction des jeux de données, les
observations du système portaient en moyenne sur 12,62% du réseau (BMC bioinfo,
2008), ce qui restreignait très fortement les jeux de données initiaux.

Étude préalable pour un jeu de grande taille : mesure de la robustesse

Pour estimer la nécessité de procéder à la correction du modèle, nous proposons une
phase préalable, qui consiste à utiliser les jeux de données restreints pour vérifier que
le réseau est globalement cohérent. Nous proposons ainsi un protocole pour tester la
compatibilité d’un graphe d’influence et d’un jeu de données de transcriptome (voir
(CIBB, 2008)).
– On considère un réseau formalisé sous la forme d’un graphe d’influence. D’un
jeu de données transcriptome, on extrait la liste des ARN qui varient signifi-
cativement de manière positive et de manière négative.
– On fixe un taux de données x (de 5 à 20%) et on procède à une sélection
aléatoire de x% des variables ayant une variation significative. Ces variables
sélectionnées sont considérées comme des observations pour le système.
– On restreint le jeu d’observations ainsi obtenu à sa partie cohérente, selon la
procédure décrite ci-dessus.
– On compare les prédictions des observations restantes avec les données trans-
criptome qui n’avaient pas été sélectionné comme observation, pour calculer
un taux de consensus entre les prédictions et les observations.
– On itère ce processus avec d’autres tirages aléatoires de x% parmi les nœuds
qui varient significativement, on en déduit un taux de consensus moyen pour
le ratio x.
– Tout le processus est itéré avec de nouvelles valeurs de x.
Cette analyse permet d’estimer si les observations sont globalement cohérentes
avec le réseau analysé. Comme nous le montrons sur le réseau transcriptionnel de
E. coli dans (CIBB, 2008), le taux de consensus ne varie pas significativement pour
les différentes valeurs de x. Il est de 90% pour les données concernant un stress
nutritionnel. Notre conclusion est que, malgré les erreurs et son aspect incomplet,
le réseau transcriptionnel de E. coli donné par RegulonDB est une bonne description
pour un stress nutritionnel (90% de consensus en moyenne). Par contre, les stress
anaérobie et de température sont moins bien décrits, puisque le taux de consensus
est de 80% en moyenne. Les détails se trouvent dans (CIBB, 2008).
 181

5.2.6 Etude (en cours) du rôle de la molécule EWS/FLI1

dans le sarcome d’Ewing
Depuis 2007, dans le cadre du projet SITCON soutenu par le programme ANR
BIOSYS, nous avons collaboré avec des équipes de l’institut Curie dans le cadre
d’une modélisation des régulations de la prolifération des tumeurs d’Ewing.

Contexte expérimental Le sarcome d’Ewing est par ordre d’importance la

deuxième tumeur osseuse maligne chez les enfants et les jeunes adultes. Dans 80%
des cas, elle est associée à une translocation des chromosomes t(11 ;22)(q24 ;q12)
qui engendre une fusion du gène EWS avec un membre de la famille ETS, appelé
FLI. Le gène chimère qui en résulte, EWS/FLI est considéré comme un activateur
transcriptionnel de la tumeur d’Ewing, par altération de l’expression de ses cibles
dans un environnement cellulaire permissif.
Bien que la tumeur d’Ewing soit l’une des tumeurs les plus étudiées, ses cellules
d’origine sont encore inconnues. Un des objectifs du projet SITCON est ainsi d’iden-
tifier les gènes cibles de EWS/FLI ainsi que les voies de régulation. Dans ce but, G.
Stoll (Institut Curie) a produit un réseau de régulation décrivant les effets connus
de la protéine chimère EWS/FLI1 (145 nœuds, 269 arcs). Ce réseau est particulière-
ment intéressant dans la mesure où, contrairement aux graphes d’influence chez E.
coli et la levure, les régulations sont extrêmement interconnectées et une abondante
combinatoire est présente : 76% des nœuds ont au moins deux successeurs. De plus,
la réduction du réseau à l’image inverse des cycles du système contient 83 nœuds
et 155 : il s’agit d’une différence majeure avec le réseau transcriptionnel de E. coli,
pour lequel la réduction permettait de passer d’un réseau contenant plusieurs mil-
liers de nœuds à un réseau de 68 nœuds seulement, soit une réduction de la taille
de 96%, alors que le procédé de réduction permet simplement de réduire le système
de 42 %.
Par ailleurs, l’équipe d’Olivier Delattre à l’institut Curie a obtenu des séries tem-
porelles pendant une expérience qui a consisté à inhiber artificiellement la protéine
EWS/FLI1 puis à l’activer à nouveau. On dispose ainsi de données permettant de
déterminer les gènes de la cellule qui sont corrélés ou anti-corrélés à EWS/FLI1.

Analyse de cohérence Les données de corrélation et d’anti-corrélation suivent

exactement les mêmes règles causales que les stress environnementaux. T. Baumu-
ratova a donc procédé à un test de cohérence entre le graphe d’influence et les
données de corrélation. Il s’est avéré que le réseau était cohérent partout sauf en un
sommet.
Après analyse de la situation biologique, l’incohérence est apparue comme ré-
sultant de la non-distinction des effets transcriptionnels et post-transcriptionnels de
deux régulations sur une protéine. Plus précisément, dans la version du graphe d’in-
fluence considéré, les ARN et les protéines actives ont été assimilées dans un même
sommet du graphe. Or, il est apparu que plus de 50% des interactions portait sur
des régulations post-transcriptionnelles. Pour cette raison, nous avons construit un
nouveau graphe d’influence à partir du modèle de régulation, ce deuxième graphe
182

Fig. 5.6 – Le réseau de régulation de la protéine chimérique EWS/FLI1, dans lequel

les ARN sont distingués de leur protéine (produit par G. Stoll et T. Baumuratova,
Institut Curie). Ce réseau comporte 329 nœuds et 583 arcs. La combinatoire y est
importante et la réduction à l’image inverse des cycles du système réduit le système
de seulement 42%.

distingue les ARN des protéines actives, et est présenté Fig. 5.6.
Avec ce deuxième graphe, les incohérences ont été résolues.

Prédictions Nous avons ensuite procédé à des calculs de prédictions sur le réseau.
Nous avons ainsi obtenu 20 prédictions sur des sommets non-observés. En particu-
lier, les prédictions ont porté principalement sur des protéines actives. À partir d’une
nouvelle analyse des données, nous avons orienté nos recherches sur des protéines
actives dont la variation est prédite mais pour lesquelles les ARN ne varient pas
significativement. Selon notre interprétation, cela signifie qu’un phénomène post-
transcriptionnel renverse l’effet naturel de la transcription sur cette protéine. Des
expérimentations sont programmées à l’automne 2008 pour rechercher la pertinence
des prédictions.

Perspective : mieux contraindre les phénomènes post-transcriptionnels

pour capter plus de comportements L’analyse du réseau de régulation de
EWS/FLI1 a mis en évidence que lorsque de nombreuses interactions post-trans-
criptionnelles sont actives, la règle de causalité est valable mais peu contraignante
pour le système. Dans ce cadre, C. Guziolowski et S. Blachon ont proposé de
construire des règles spécifiques pour les différentes modules d’interaction dans le
réseau. Comme cela a été déjà expliqué dans la section 5.1.4, les déplacements
d’états stationnaires lors de la formation de complexe peuvent être modélisés par
une règle booléenne du type le plus faible gagne. Pour d’autres processus post-
transcriptionnels tels que les signaux, il s’agit, dans le même esprit, de proposer des
 183

contraintes booléennes qui décrivent mieux les déplacements d’états stationnaires

et de contraindre plus le système.
Ces travaux sont en cours, et nous espérons obtenir à la fin un meilleur taux de
prédiction, et surtout, une meilleure description pour l’élaboration de plans expéri-
mentaux que nous aborderons en fin de chapitre.

5.3 Une nouvelle question : identifier le signe des

régulations
Nous avons ainsi proposé une approche pour isoler les modules incohérents dans
un réseau. L’idée principale est de construire un système de contraintes qui clarifient
et formalisent le raisonnement intuitif des biologistes, puis d’interpréter les objectifs
principaux du biologiste (cohérence globale, aide à la correction, prédiction) comme
des propriétés de l’ensemble des solutions du système.
L’idée de cette démarche était au départ d’aider le modélisateur à corriger son
modèle, mais le cadre d’application de cette approche s’avère finalement bien plus
général. En fait, dès qu’un expérimentateur procède à des raisonnements intuitifs
sur des données qui comparent différents états d’un système, il est possible de for-
maliser les étapes du raisonnement sous la forme de contraintes : cela permet de
mieux comprendre le domaine de validité du raisonnement, et de limiter les erreurs
de raisonnements qui peuvent apparaître en particulier à cause de la présence de
boucles positives dans un réseau.
La première difficulté qui se pose est d’interpréter la question initiale comme une
propriété de l’ensemble des solutions du système. La seconde difficulté est ensuite
de proposer un algorithme de vérification de la propriété, qui est généralement de
nature difficile. Dans cette section, nous allons illustrer cela pour la question de
l’inférence du rôle des facteurs de transcription dans les réseaux de régulation, qui
s’avère finalement assez bien circonscrite. Dans la dernière section, nous étendrons
cette discussion à l’élaboration de plans expérimentaux.

5.3.1 Inférence de signes

Différentes stratégies de nature probabiliste La problématique est de savoir
comment, à partir de données diverses sur les interactions (en particulier les mesures
d’immuno-précipitation et les connaissances sur les interactions protéine-protéine)
on peut retrouver quelles sont les interactions qui existent réellement entre les pro-
téines et éventuellement leur rôle (activation ou inhibition) par rapport à un réseau
de régulations génétiques.
De nombreuses méthodes ont été proposées à ce propos [BBAIdB07], usuellement
testées sur le réseau de la levure S. cerevisiae (voir la discussion dans (BMC bioinfo,
2008)). La plupart de ces méthodes sont de nature probabiliste : elles consistent à
considérer différents modèles pour les données informant sur les régulations, et en-
suite à calculer un optimum qui est considéré comme le réseau inféré. Il s’agit de
problèmes d’optimisation non convexes, et, en pratique, rien n’assure que les solu-
184

tions trouvées sont des optimums globaux plutôt que locaux. Dans les faits, comme
nous l’avons déjà mentionné, les différentes approches probabilistes de reconstruc-
tion de réseaux ne coïncident pas sur les organismes modèles ; elles coïncident encore
moins pour la question de l’inférence des signes.
La difficulté est accrue pour l’inférence de signes en comparaison avec la problé-
matique de la reconstruction de modèle dans la mesure où les modèles prédits sont
difficilement validables. À cause des jeux de données disponibles, l’organisme mo-
dèle habituellement étudié dans ce cadre est la levure S. cerevisiae, mais il n’existe
pas, comme pour E. coli, de base qui référence les différentes interactions entre les
molécules de cet organisme dans la littérature. Un travail considérable a été fait
pour élaborer la baseSGD intégrant les données génétiques sur la levure [HBC+ 01].
Cependant les relations protéine-protéine y sont fournies sans détailler les influences
transcriptionnelles et en particulier leur sens. Le seul travail de référencement des
publications concernant les interactions chez la levure que nous connaissons ac-
tuellement a été fait dans [GBBK02]. Malheureusement, les informations proposées
alors ne sont pas disponibles sous la forme de base de données ni actualisées.
On se retrouve donc dans une situation où la communauté propose des méthodes
pour inférer les réseaux de régulation mais n’a pas la possibilité de valider ses travaux
par une référence commune.

Apports d’une approche par contraintes ? La problématique générale de l’in-

férence de signes entre parfaitement dans le cadre des contraintes que nous avons
explicitées dans la section 5.2.1 : contrairement à la question de l’analyse d’un
graphe d’influence dans lequel les signes des arcs sont connus, on suppose qu’on a
à notre disposition un graphe d’influence dont les signes des arcs sont inconnus (ce
qui est exactement l’information fournie par les données d’immuno-précipitation)
et différents jeux de données correspondant à des stress environnementaux ou des
perturbations génétiques. On peut alors écrire une contrainte pour chaque sommet
et chaque jeu de données disponible, ce qui amène à un nouveau système de con-
traintes. Les concepts de diagnostic et de prédiction trouvent alors tout leur sens
ici :
– Les phases de diagnostic vont permettre de détecter les modules du réseau qui
présentent un comportement non trivial. En effet, vue la forme du système de
contraintes, les incohérences sont apportées par des jeux de données différents
qui prédisent des signes différents pour certaines interactions.
– Les phases de prédiction permettent d’identifier des signes de certaines régu-
lations.
L’apport de cette approche par rapport à celles existantes est double. D’abord,
la partie diagnostic n’est généralement pas abordée, puisque les méthodes exis-
tantes proposent toujours une solution considérée comme optimale, qui n’est pas
confrontée a posteriori aux données observées. Plus fondamentalement, l’approche
par contrainte consiste à sur-approximer l’ensemble des possibilités admissibles pour
les signes des interactions, puis à rechercher des invariants en leur sein ; on ne s’oblige
plus à proposer un signe pour l’ensemble des interactions du système comme le font
les approches probabilistes, qui courent le risque de calculer un optimum local et
 185

non pas global. L’approche par contrainte permet donc d’identifier la partie qui
devrait faire consensus entre les différentes approches probabilistes.

5.3.2 Diagnostic : identifier des interactions avec des effets

multiples
Interprétation des incohérences : interactions avec de multiples effets
Comme mentionné plus haut, les phases de diagnostic permettent d’identifier les
sous-modules pour lesquels différents jeux de données indiquent des modes de régu-
lations différents pour une même interaction. Selon nous, cela signifie que soit une
interaction est manquante dans le module concerné, soit qu’une protéine du module
peut à la fois agir en tant que répresseur et activateur sur sa cible en fonction de
l’état du système. On parle alors d’interaction avec de multiples effets. Nous avons
analysé les types d’incohérences qui se retrouvent dans le réseau de la levure et de
E. coli. Globalement, les incohérences se classifient comme illustré dans la figure
5.7.
– les modules de Type 1 sont composés d’une seule régulation. Plusieurs jeux de
données différents indiquent que la source inhibe et active sa cible en fonction
du contexte expérimental.
– les modules de Type 2 sont composés de gènes régulés par le même prédéces-
seur direct. Dans l’exemple, l’interaction entre Sum1 et YFL040W est inférée
pour être une activation, tandis que celle entre Sum1 et DIT2 est inférée
comme une inhibition. Cependant, un dernier jeu expérimental indique que
(YFL040W et DIT2 ) sont tous les deux sur-exprimés, ce qui génère une in-
teraction avec un effet multiple.
– Les modules de Type 3 correspondent à des gènes dont la variation est prédite
mais qui partagent un même prédécesseur indirect, induisant une interaction
avec un effet multiple.
– Les modules de type IV concernent des gènes dont la variation est prédite,
induisant des effets multiples entre leurs prédécesseurs et leurs successeurs.

Réseau transcriptionnel de E. coli Une illustration de l’intérêt des approches

de diagnostic pour l’inférence du rôle des facteurs de transcription peut-être faite
avec le réseau déjà étudié de E. coli. Nous avons repris les jeux de données cor-
respondant aux 61 stress environnementaux différents donnés dans [FHT+ 07], en
oubliant les signes donnés par RegulonDB pour les régulations dans ce réseau. Nous
avons alors constaté que pour dix modules, présentés dans la Figure 5.8, différents
jeux de données indiquent que des régulations sont à la fois des activations et des
inhibitions. Dans ces cas là, il est probable que des mécanismes régulateurs des
molécules concernés manquent dans le réseau pour décrire correctement les stress
considérés.

Application au réseau de la levure Nous avons aussi appliqué nos algo-

rithmes sur l’inférence des signes au réseau transcriptionnel de la levure S. cere-
visiae. Pour procéder à cette étude, nous avons considéré différents réseaux publiés
186

[Type I] [Type II] [Type III] [Type IV]

Fig. 5.7 – Les différents types de modules incohérents quand au mode de régulation
retrouvés chez des réseaux transcriptionnels

Fig. 5.8 – Les modules du réseau transcriptionnel de E. coli pour lesquels soit une
interaction est manquante, soit une protéine peut agir à la fois comme activateur
et inhibiteur de sa cible en fonction du contexte expérimental. Les flèches pleines
représentent des modules de Type 2, les flèches pointillées des modules de Type 1.
 187

sur cette espèce. La plupart de ces réseaux ont été construits à partir d’un tra-
vail expérimental phénoménal qui a consisté à rechercher par immuno-précipitation
l’ensemble des protéines qui se fixent sur la plupart des facteurs de transcrip-
tions connus chez la levure [LRR+ 02]. Ces données ont permis à différents auteurs
de proposer des réseaux transcriptionnels orientés mais non-signés pour la levure
[HGL+ 04, MWG+ 06, SSR+ 03, NTIM05, BBAIdB07]. À partir de ces sources, nous
avons sélectionné différents réseaux :
– Le premier est le cœur du réseau directement déduit des données chIP-chip
de [LRR+ 02], et déjà introduit dans [KPST03]. Il contient 31 nœuds et 52
interactions.
– Le deuxième réseau contient toutes les interactions entre les facteurs de trans-
cription testés dans l’étude de [LRR+ 02]. Dans ce réseau, les interactions sur
les protéines qui ne sont pas des facteurs de transcription sont omises du
réseau.
– Le troisième est le réseau étendu à l’ensemble des facteurs de transcription de
la levure, publié dans [MWG+ 06].
– Le dernier réseau considéré, grande-échelle, consiste en l’ensemble des régu-
lations obtenues par chIP-chip dans [LRR+ 02]. Il contient 2419 sommets et
4344 nœuds.
Concernant la phase de diagnostic, il faut constater que le nombre de modules
pour lesquels des interactions avec de multiples effets apparaissent est très important
pour l’ensemble des quatre réseaux considérés. Ces modules ainsi que nos prédictions
ont été listés et proposés à la communauté (voir le matériel supplémentaire de (BMC
bioinfo, 2008)). Nous espérons pouvoir travailler avec des expérimentateurs pour
prouver en particulier les phénomènes de régulations dépendante du contexte.

5.3.3 Prédiction : utiliser la redondance pour tenir compte

des incertitudes ?
Utilisation de la redondance La présence de nombreuses incohérences entre
les différents jeux de données, à la fois pour E. coli et S. cerevisiae rend les phases
de prédiction délicates. Pour procéder à des prédictions, nous avons d’abord réduit
les jeux de données à leur partie cohérente, comme expliqué dans la partie 5.2.5,
pour identifier la partie des données et du réseau pour laquelle nous étions certains
qu’il y avait compatibilité.
Nous avons ensuite appliqué la procédure d’inférence de signes sur le réseau de
E. coli dont nous avions préalablement oublié les signes, puis comparé les résultats
inférés aux signes initiaux. Le taux de faux-positifs était alors de 28,3%. La raison
de ce nombre important de faux positifs réside dans le fait que certains signes
d’interactions sont inférés à partir d’un seul jeu de données, ce qui n’est pas suffisant
pour détecter des interactions manquantes ou des comportements complexes.
Pour répondre à ce problème, nous avons proposé de tirer profit de la présence
de plusieurs jeux de données pour considérer qu’une prédiction est valable si elle
est obtenue de manière redondante pour plusieurs jeux de données indépendants.
Avec cette opération de filtrage des prédictions par redondance, nous avons obtenu
188

un taux de faux-positif de 2,5% (voir (BMC bioinfo, 2008) pour plus de précisions).
Ainsi, la redondance permet de faire des prédictions sur les signes des régulations
malgré l’incertitude des données et les incohérences contenues dans le réseau.

Données de perturbations génétiques Nous avons d’abord appliqué nos algo-

rithmes à ces réseaux avec des données correspondant à des des inhibitions de gènes
(Knock-Out) et des activations de gènes [HMJ+ 00]. Bien qu’un grand nombre de
mutants (plus de 200) aient été produits dans cette étude, nous avons constaté
que les variations observées entre les espèces normales et mutants concernaient peu
de sommets (seulement 1.6 % est en moyenne différentiellement exprimé, les expé-
riences couvrant au total 12% du réseau). À partir de ces données, nous avons inféré
162 signes du réseau grande-échelle ; parmi celles référencées dans la littérature, 75%
des signes inférés ont été validés.
Avec cette étude, nous avons surtout pu comparer notre approche à la seule ap-
proche que nous connaissons et permettant d’inférer des signes à partir de données
d’expression [YMM+ 05]. Les taux d’inférence des deux méthodes sont comparables,
et les prédictions sont identiques sur leur ensemble d’intersection. Par contre, nous
avons constaté que les deux méthodes sont complémentaires concernant leurs pré-
dictions : nos méthodes permettent d’inférer des signes à la limite externe du réseau
réduit tandis que l’approche de [YMM+ 05] infère des signes à l’intérieur du réseau
réduit.
Cela provient du type d’analyse utilisé : dans [YMM+ 05], les auteurs utilisent
une notion de cohérence par chemin (voir Section 5.2.3). Ils cherchent à identifier
les chemins les plus probables qui connectent un gène muté à des protéines dont
la concentration a varié suite à la mutation. La méthode d’optimisation recherche
donc le plus petit nombre d’interactions qui supportent la plus grande information
possible dans le réseau, et se concentre donc dans le cœur du réseau (réseau réduit
qui rassemble ses cycles). Or, c’est au sein de ce cœur que se concentre la dyna-
mique comme résultant de la combinatoire des interactions. Les considérations de
déplacements d’états stationnaires qui fondent l’approche par contraintes ne sont
donc pas assez fines pour capter des informations dans cette zone du réseau.
Inversement, les approches par localisation des chemins physiques probables
n’empruntent pas les voies extérieures au cœur, qui sont des arbres acycliques rela-
tivement indépendants. Les prédictions de [YMM+ 05] ne peuvent donc pas porter
sur ces interactions. Par contre, ces voies sont bien adaptées pour une approche par
contraintes sur les déplacements d’états stationnaires.

Données de stress environnementaux Nous avons ensuite exploité nos algo-

rithmes à partir de 15 jeux de données sur la levure correspondant à des stress
environnementaux, disponibles sur la base SGD [HBC+ 01]. Nos conclusions ont
porté sur plusieurs points :
– Les données de stress expérimentaux sont beaucoup plus informatives que les
données de perturbations génétiques au sujet des interactions existant dans
un réseau. En ce sens, il serait intéressant d’adapter les différents algorithmes
 189

Fig. 5.9 – Signes inférés dans le réseau transcriptionnel de la levure proposé dans
[MWG+ 06]

d’optimisation [YMM+ 05, SSR+ 03] pour qu’ils prennent en compte ce type
de données plutôt que des données de perturbations génétiques.
– En fonction des réseaux, le taux d’inférence est compris entre 19% et 37%. Ce
taux est similaire au taux théorique pour une vingtaine d’expériences calculé
dans le cas de E. coli.
– Comme dans le cas de E. coli, l’opération de filtrage (prédictions obtenues
à partir de jeux expérimentaux différents) permet de diminuer significative-
ment le nombre de prédictions invalidées par les références bibliographiques
de [GBBK02], sans doute dues à des interactions manquantes.

5.3.4 Combien de jeux expérimentaux sont-ils nécessaires

pour procéder à une inférence ?
Les applications réelles des méthodes de [YMM+ 05] ou de nos méthodes ont
montré que les prédictions de signes portaient finalement sur une petite partie du
réseau (au mieux 20%), malgré la variété des jeux de données considérés. Nous nous
sommes alors demandé quelle est l’influence du nombre de jeux de données sur le
résultat du processus d’inférence : est-il nécessaire de multiplier les observations
pour obtenir un meilleur taux d’inférence de signes ?

Maximum d’inférence de signes d’interactions par règles causales Nous

avons considéré le réseau de E. coli en y intégrant les signes des arcs donnés par
RegulonDB pour générer aléatoirement des solutions au système de contraintes.
Chaque solution du système modélise ainsi un jeu d’observation théorique en ré-
ponse à un stress environnemental. À partir de ces observations aléatoires, nous
190

whole network 1529 nodes 3802 edges

0.35

fraction of inference
0.3

0.25

0.2

0.15
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
number of expression profiles

Fig. 5.10 – Pourcentage de signes inférables dans le réseau de E. coli en fonction

du nombre de jeux de données d’observations disponibles

avons supprimé les signes des régulations et calculé la proportion de signes déduc-
tibles. Cette proportion dépend du nombre de jeux d’observations disponibles pour
procéder à l’inférence des signes. Les courbes obtenues montrent qu’il semble exis-
ter un taux maximal de signes de régulation inférables, qui semble proche de 40%.
Les trois cinquièmes restant du réseau ne sont pas inférables à partir de méthodes
causales (voir Fig 5.10).
Cependant, rien n’indique que le palier visible sur la courbe est effectivement
un maximum. En mêlant les diagrammes de décision, des notions d’élimination de
variables et une partition des contraintes, (voir l’algorithme 2 dans (BMC bioinfo,
2008)), P. Veber a montré que le pourcentage maximal de signes inférables dans le
réseau de E. coli à partir de données de stress expérimentaux est effectivement de
40.8%.
Nous pouvons également conclure que 30 expériences distinctes sont en moyenne
suffisantes pour inférer la moitié des signes inférables ; ceci sous-entend que multi-
plier les expérimentations au delà de quelques dizaines ne permet pas d’obtenir un
gain significatif dans la problématique de l’inférence des modes de régulation avec
notre approche.

Rôle de la dynamique ? Nous avons aussi procédé au calcul du maximum théo-

rique pour le réseau réduit de E. coli. Si le maximum théorique est assez proche
de celui du réseau global (autour de 40%) (BMC bioinfo, 2008), il est notable de
constater que le nombre moyen d’expérimentations nécessaires pour retrouver la
moitié des signes inférables est de 1000 expérimentations. Notre interprétation est
assez proche de celle que nous avons eu au sujet des localisations différentes pour
les interactions dont le signe est inférable avec une approche par contraintes ou
par recherche de chemin le plus probable [YMM+ 05]. La dynamique du système se
concentre au cœur du réseau, où le degré entrant moyen est plus important qu’en
périphérie, et des observations de stress expérimentaux ne permettent pas de la
déterminer uniquement. Par contre, il existe une grande partie du réseau de E. coli
 191

pour laquelle les aspects dynamiques jouent peu : le graphe d’influence y ressemble
à un graphe acyclique. Sur cette partie du réseau, des analyses causales avec peu
d’expérimentations sont largement suffisantes pour comprendre la structure et le
fonctionnement du système ; la dynamique du système entre peu en jeu.

5.4 De nombreuses questions à explorer : vers une

aide au raisonnement pour le biologiste ?
Au début du chapitre, nous sommes partis d’une contrainte qui formalise l’intui-
tion des biologistes sur les comportements relatifs de molécules au sein d’un système
suite à un stress. Nous avons ainsi montré comment l’étude de solutions de systèmes
de contraintes permet :
– de localiser des incohérences dans un réseau présenté sous la forme d’un graphe
d’influence, à partir d’un ou plusieurs jeux d’observations de taille variable ;
– de prédire les variations de nœuds non observés, y compris lorsque des inco-
hérences sont présentes dans certaines zones du réseau ;
– de mesurer la robustesse d’un réseau par rapport à un jeu de données de
grande taille ;
– d’identifier le rôle de régulateur d’un composant (activateur ou répresseur),
– d’estimer le nombre de jeux expérimentaux suffisant pour procéder à des in-
férences de signes.
On doit constater que la question (dynamique) de la prédiction de comportement
a été quelque peu laissée de côté au profit d’une aide au raisonnement des biologistes
pour exploiter leurs données et leurs connaissances. En terme de perspective, nous
allons maintenant décrire dans quelles directions il est important de pousser cette
aide au raisonnement.
Les différentes questions qui se posent, et qui semblent abordables avec les
concepts décrits dans ce chapitre concernent la notion de plan expérimental. Il
va s’agir de proposer les actions sur un système qui sont optimales pour obtenir une
réponse attendue par le biologiste.
Cependant, comme nous allons le voir, ce concept de plan expérimental est très
vague : dans la réalité, les objectifs des expérimentateurs sont très variés, et la
difficulté réside avant tout à identifier les différentes attentes des expérimentateurs
pour les formaliser sous forme de problèmes résolubles. Nous allons donc propo-
ser ici une classification (subjective) des différentes ambitions des biologistes qui
semblent abordables avec des approches de contraintes. Il s’agit de perspectives
dans la mesure où aucune implémentation n’a encore été effectuée.

5.4.1 Différentes questions autour des plans expérimentaux

Qu’est ce qu’un plan expérimental ? C’est un lieu commun de dire que tous
les éléments d’un système sont loin d’être observables, ou à un prix déraisonnable.
Une expérimentation est donc loin d’être faite au hasard, et nous allons discuter
192

dans ce chapitre de la fonction que peut avoir un informaticien ou un mathématicien

dans le processus d’élaboration d’une expérimentation.
Par plan expérimental nous voulons dire le fait de choisir de manière raisonnée
différentes actions sur différents produits du système de manière à produire des
observations nouvelles sur le systèmes éclairant son fonctionnement. L’aspect plan
réside dans le processus de sélection des expérimentations.

Différentes approches dans la littérature Différents groupes de scientifiques

se sont intéressés à cette question. Notons en particulier les travaux du groupe d’Ide-
ker sur la levure [YIJ04, YMM+ 05], dont la stratégie a été d’inférer des réseaux de
régulations transcriptionnelles pour S. cerevisiae avec des méthodes d’inférence par
maximum de vraisemblance. Le résultat de ces analyses a produit différents réseaux
d’interactions ayant statistiquement les mêmes probabilités d’être actifs. Pour éva-
luer la pertinence de ces différents réseaux, le groupe a sélectionné plusieurs expé-
riences de mutation dont les effets sur les réseaux théoriques étaient différents, de
manière à isoler le réseau d’interaction réellement actif [YMM+ 05]. Il faut noter que
dans ce cas, la sélection des expérimentations via l’analyse de leurs effets théoriques
a pu se faire à la main puisque l’analyse probabiliste avait permis de réduire le choix
à un petit nombre de réseaux de petite taille.
Une approche d’analyse automatique des résultats d’analyse pour proposer de
nouvelles expérimentations a été mise en place par l’école anglaise de logique induc-
tive autour de R. King, dans le programme Robot Scientist [BMO+ 01, RKK+ 01,
KGC05b]. Le projet a consisté à produire une boucle d’expérimentations couplée
avec du raisonnement automatique pour sélectionner parmi différentes voies de syn-
thèse des acides aminés aromatiques possibles, celles qui étaient réellement actives.
La partie expérimentale était seulement semi-automatique, dans la mesure où des
expérimentateurs venaient procéder aux manipulations des cellules, mais le choix
des différentes molécules à insérer dans les expérimentations était par contre opéré
par des analyses logiques.
Ce genre d’approche est promis à un avenir certain, avec l’essor des différentes
techniques omiques et des progrès dans l’automatisation de la manipulation des
produits génétiques et de l’observation des cellules. Concrètement, différentes plate-
formes grande-échelle sont en train de se mettre en place au sein des laboratoires de
biologie. La fonction de ces plate-formes est de procéder à des manipulations (KO,
injection de siRNA ou d’anticorps, combinaisons de différents produits chimiques) de
manière automatique et d’observer les effets de ces manipulations. Les observations
sont souvent assez grossières (survie ou non de la cellule, éventuellement quelques
mesures physiques).
Dans ce cadre, un besoin important va rapidement se faire sentir pour l’analyse
des résultats et surtout le choix des combinaisons de produits à injecter dans les
cellules en fonction de leurs effets. En précurseur à ces analyses, différents travaux
portent sur l’analyse des connaissances sur le caractère essentiel ou non des gènes
chez E. coli ou la levure [HGH01].
Un dernier domaine où la notion de plan expérimental est primordiale est la
 193

biologie synthétique, là encore en plein essor. Il s’agit de combiner des constructions

biochimiques pour forcer un comportement attendu. Le choix des différents mutants
qui sont produits est alors guidé par la modélisation des effets attendus. Dans ce
cadre, des approches de vérification de modèles avec les logiques temporelles ont
donné des résultats prometteurs [BYBW07]

Différentes attentes des expérimentateurs Une remarque naïve mais impor-

tante est à faire avant de discuter de l’intérêt des approches qualitatives pour l’éla-
boration de plans expérimentaux : les expérimentateurs peuvent avoir des attentes
de nature complètement différentes concernant le résultat de leurs expérimenta-
tions. Et les analyses qui doivent leur être proposées doivent être adaptées à ces
différentes attentes.
– Le premier objectif des expérimentateurs est de valider le modèle qui est étu-
dié. En effet, les modèles considérés sont usuellement constitués à partir d’in-
dications dans la littérature déduites d’expérimentations dans divers milieux,
ou de données expérimentales sujettes au bruit. Avant de faire confiance à un
tel modèle et en particulier exploiter ses prédictions, il est nécessaire de vali-
der expérimentalement le fait que le modèle soit un bon niveau de description
des phénomènes considérés lors de la construction du modèle.
– Le deuxième objectif est d’exploiter le modèle pour contrôler le système. Dans
ce cas là, l’objectif est de trouver les expérimentations qui permettent de
perturber le système de manière la plus pertinente et convaincante possible.
– Le troisième objectif est d’exploiter le modèle pour comprendre le fonctionne-
ment du système. Dans ce cadre, on cherchera en particulier à faire des expéri-
mentations qui permettent de démêler la combinatoire des voies, et d’identifier
le cœur du fonctionnement.

Des attentes à des questions concrètes et formalisables ? Les lignes qui

vont suivre vont détailler comment ces trois objectifs (validation, contrôle, fonction-
nement) peuvent être dérivés dans des questions qui sont formalisables en termes de
contraintes associées à un graphe d’influence. Si nous avons procédé à quelques tests
pour évaluer la pertinence des différents concepts présentés ici, les implémentations
réelles des approches proposées ne sont pas encore réalisées, et il s’agira d’une des
principales perspectives de ce travail.

5.4.2 Comment sélectionner des sommets pour valider un

système ?
La première attente d’un biologiste est de valider son modèle, c’est-à-dire de
montrer que les interactions intégrées dans le modèle sont suffisantes pour expliquer
les variations observées. Nous discutons ici de l’apport des approches de contraintes
pour cette notion, en fonction du rôle donné aux observations préalables sur le
système.
194

Approche usuelle pour valider un modèle vis-à-vis d’un protocole expéri-

mental donné : bloquer les influences sur un sommet Dans les publications
en biologie, la validité d’un modèle est prouvée en considérant un certain nombre
de sommets du modèle pour lesquels on observe une variation pendant un protocole
expérimental. Successivement, pour chaque sommet, la validation consistera à in-
activer tous les composants qui agissent directement sur le sommet, à renouveler le
protocole expérimental et à vérifier que la concentration du produit ne bouge plus
pendant l’expérimentation.
Dans ce cas, on admettra que, pendant l’expérimentation, les voies d’influence du
système sur le sommet considéré initialement sont à chercher parmi ses prédécesseurs
dans le modèle. Pour l’exemple de l’opéron Lactose, une validation possible consiste
ainsi à bloquer les effets de Le, LacY et LacZ et de vérifier que la concentration de
Li ne varie alors plus.
Le fait de bloquer les influences entrant sur un composant plutôt que le com-
posant lui-même est rendu nécessaire pour valider les interactions du modèle : en
invalidant simplement le composant, on ne peut pas savoir si toutes les interac-
tions intégrées dans le modèle qui concernent ce composant sont suffisantes pour
expliquer ses variations.
Idéalement, il faudrait procéder ainsi pour tous les sommets du réseau. Dans
les faits, les expérimentateurs se concentrent sur quelques sommets du réseau, sou-
vent sélectionnés parce que les inactivations des prédécesseurs sont techniquement
possibles et non léthales.
Cette approche mérite quelques commentaires :
– Avec ce type d’expérimentations, on montre que le modèle est valide pour
décrire le fonctionnement du système pendant l’expérimentation considérée. Il
est sous-entendu que dans un autre cadre expérimental, d’autres influences
peuvent apparaître et la démarche est à renouveler.
– Avec cette approche, on obtient un modèle valide, mais qui peut contenir
des influences superflues. A priori, selon notre expérience, avoir des influences
en trop n’est pas considéré comme gênant d’un point de vue expérimental.
Les analyses concernant le fonctionnement du système auront justement pour
objet dans l’avenir d’identifier le superflu et obtenir un modèle minimal.

Quelle perturbation est la plus intéressante ? Rechercher une pertur-

bation maximale du système A priori, l’expérimentateur n’a pas besoin de
l’informaticien ou du mathématicien pour procéder à cette démarche de validation.
Il lui suffit de choisir les sommets qu’il considère comme clés et de procéder à des
inhibitions de voies. Le terme suffit est largement provocateur dans la mesure où il
peut-être extrêmement difficile d’inhiber simultanément l’effet de plusieurs produits
sans provoquer la mort des cellules.
Ici, l’informaticien peut cependant être un appui pour aider à identifier les som-
mets qui permettent de valider au mieux le modèle : il va s’agir de choisir le sommet
pour lequel l’inactivation des influences des prédécesseurs induira le plus d’effets
possibles dans le système, en comparaison avec les observations du système non
perturbé pour le même protocole expérimental. Il sera de plus possible de vérifier
 195

ces effets théoriques pendant l’expérimentation.

Pour formaliser cette question, il faut modéliser précisément les effets de l’inac-
tivation des prédecesseurs d’un composant S : puisque nous sommes dans un cadre
systémique, l’invalidation des prédécesseurs peut avoir des effets sur de multiples
autres composants. Pour mesurer les effets des inactivations des prédécesseurs de
S, on va comptabiliser le nombre de prédictions obtenues pour un nouveau graphe
d’influence (déduit du premier en supprimant tous les prédécesseurs de S et leurs
influences) et un jeu d’observations obtenu en supprimant du jeu d’observations
initiales celles qui partagent avec S un prédécesseur indirect. Il s’agit donc de ré-
soudre un système de contraintes avec un nombre polynomial d’appels à un oracle
NP-complet.

Proposer un plan expérimental pour la validation du modèle indépendant

d’un protocole initial ? Comme nous l’avons déjà noté, dans cette démarche, le
modèle est validé par rapport à un protocole expérimental donné, qui fournit des
données sur lesquelles on s’appuie pour optimiser le choix des sommets à perturber.
On peut cependant introduire un degré de complexité supplémentaire et chercher
quel est le moyen de valider le modèle indépendemment de protocoles expérimen-
taux.
Cette question se pose en particulier avec la mise en place dans différents labo-
ratoires de plate-formes automatiques de manipulations génétiques : il va bientôt
être possible d’inactiver automatiquement de grands nombres de combinaisons de
quelques composants différents, et d’observer les effets de ces inactivations.
Pour répondre à cette question, nous avons proposé dans (Complex Us, 2005) et
(Biofutur, 2007) d’associer à chaque groupe de p sommets d’un graphe d’influences
un pouvoir de validation, qui est le nombre de valeurs pour ce groupe qui sont
compatibles avec au moins une solution du système de contraintes :

val(X1 , . . . Xp )
τ (X1 , . . . Xp ) = 1 − ,
2p
où val(X1 , . . . Xp ) désigne le nombre de valeurs de (X1 , . . . Xp ) dans {+, −}p qui
s’étendent en une solution globale du système de contraintes associé au réseau consi-
déré.
Nous nous sommes appuyés sur une observation là encore naïve : certains jeux de
données n’apportent en fait aucune information sur un système, dans la mesure où
toute variation de leurs composants peut s’étendre en une solution globale du sys-
tème qualitatif. Par exemple, en étudiant la Table 5.1, on constate que pour chaque
valeur du triplet (Le, G, A), il existe une valuation de (Li, LacY, LacZ, LacI, cAM P )
qui est solution du système associé à l’opéron lactose. Une observation du système
limitée aux nœuds (Le, G, A) ne peut donc pas mettre en défaut le modèle proposé.
Notons par ailleurs qu’il ne s’agit pas d’un cas isolé : il y a 56 possibilités d’observer
3 nœuds dans le graphe, et 22 d’entre elles ont un pouvoir de validation nul.
Inversement, parmi les huit valeurs possibles du triplet (LacI, A, LacZ), seuls
les jeux (+, −, −) et (−, +, +) s’étendent en une solution du système. Ainsi, ce jeu
196

de données s’avère très contraignant pour la validité du modèle. Parmi les groupes
de trois composants, il s’agit du jeu qui est le plus astreignant.

Observation Pouvoir de Observation Pouvoir de

validation validation
(LacZ, LacI, G, A) 0.75 (Li, Le, LacY, G) 0
(cAMP − CRP, LacI, G, A) 0.75 (cAMP − CRP, Li, Le, LacY ) 0
(cAMP − CRP, LacZ, G, A) 0.75 (Li, Le, LacY, A) 0.125
(LacZ, LacY, LacI, A) 0.75 (Li, Le, LacY, LacI) 0.125
(Le, LacZ, LacI, A) 0.75 (Li, Le, LacZ, LacY ) 0.125
(cAMP − CRP, LacZ, LacI, G) 0.75 (cAMP − CRP, Le, LacY, A) 0.25

Tab. 5.2 – Pouvoir de validation en fonction du groupe de sommets observés, sur

le réseau de l’opéron lactose. Le pouvoir de validation a été calculé pour tous les
groupes de 4 sommets ; dans le tableau figurent les six meilleurs scores et les six
moins bons. Si le taux d’un groupe est proche de 1, une observation des molécules
compatible avec les équations qualitatives du réseau valide fortement le réseau.
Notons qu’il ne semble pas y avoir de règle simple pour deviner, à partir du graphe
d’influence, quels groupes de sommets sont les plus importants à observer.

Un ensemble de sommets est d’autant plus à même de valider un modèle que

τ (X1 , . . . Xp ) est proche de 1. On peut donc utiliser ce taux de deux manières
différentes :
– si on dispose d’observations sur des composants X1 , . . . Xp qui sont compa-
tibles avec le modèle, τ (X1 , . . . Xp ) permet de mesurer la pertinence de la
validation.
– Si on vient de construire un modèle que l’on doit valider par des expérimen-
tations, on peut rechercher, pour des petites valeurs de p, quelles sont les p
variables les plus contraignantes et pertinentes pour cette validation.

5.4.3 Plan expérimentaux autour du contrôle d’un système

La notion de contrôle de système est bien ancienne en informatique, il s’agit
de tout un pan de l’automatique. D’un point de vue biologique, deux notions liées
au contrôle me semblent pertinentes et étudiables à l’aide de contraintes : il s’agit
d’abord de renverser une compétition, et ensuite de rechercher comment induire un
phénotype attendu.

Comment inverser le fonctionnement d’un système ? Identifier les lieux

de compétition Une première approche concrète pour contrôler le système repose
sur la notion de compétition. A priori, on peut considérer qu’une compétition existe
dès qu’un sommet S subit des influences de signes contraires, ce qui l’oblige à faire
un choix. Autrement dit, la variation de S ne peut pas être déduite des variations
de ses prédécesseurs.
Pour identifier les sommets sur lesquels un choix réel est fait, on propose dans
(Biosystems, 2006) de définir comme suit un sommet S porteur de compétition
 197

pendant une expérimentation : en S arrivent deux chemins (a) qui ne partagent

aucun sommet en commun (b) dont la source fait l’objet d’une prédiction à partir
du jeu d’observation initial dans lequel l’observation sur S (s’il y en a une) a été
retirée.
Le plan expérimental naturel associé à ce concept est de renverser le comporte-
ment du système. En particulier, puisque S subit des influences de signes contraires
(sans quoi il serait prédit), il est possible de bloquer toutes les influences qui in-
duisent la variation observée. Le modèle prédit alors que la variation de S dans ces
nouvelles conditions sera inversée.
Dans (Biosystems, 2006), nous discutons de cette notion de compétition, même
si les termes utilisés ne sont pas exactement les mêmes. Nous avons ainsi étudié
un graphe d’influence étendu pour les régulations autour du métabolisme des aci-
des gras. Nous en déduisons en particulier que LXR, SCD1 ; FADS1 et FADS2,
largement mentionnés au chapitre 4, sont porteurs de compétitions.

Comment induire un phénotype ? Un autre manière d’envisager la notion de

contrôle consiste à rechercher comment provoquer un phénotype donné. Contraire-
ment à ce qui a été discuté jusqu’à maintenant, on ne dispose plus d’expérimenta-
tions préalables sur le système. On suppose simplement qu’on dispose d’un certain
nombre de produits (si-RNA) ou d’expérimentations (knock-out, sur-expressions
grâce à des produits pharmacologiques) permettant d’inhiber ou activer certaines
molécules du système, rassemblées dans un ensemble C. On souhaite savoir si une
combinaison de ces produits permet de produire un phénotype, ce qui, d’un point
de vue théorique, correspond à fixer la variation d’un sommet S donné.
D’un point de vue contrainte, cela revient à trouver une combinaison d’affecta-
tions {+, 0, –} pour chaque variable appartenant à l’ensemble des produits contrô-
lables C telle que la prédiction de ces affectations est l’observation souhaitée sur
S.
Obtenir une solution pertinente à ce type de contraintes n’est possible que lors-
qu’il est possible d’agir sur toutes les entrées du système, et sur des sommets qui
admettent un nombre limité de prédécesseurs. En particulier, ce type de question
vise à être utilisé dans des laboratoires sur puces, où des expérimentations en masse
pourront être produites automatiquement.

5.4.4 Identifier des groupes d’intérêt dans un réseau

Si on met de côté la notion de plan expérimental, on peut interpréter la der-
nière question comment induire un phénotype en terme fonctionnel : résoudre cette
question revient à identifier un groupe de sommets fondamental pour comprendre
le fonctionnement du réseau. Cette notion se décline plus généralement vers l’iden-
tification de sous-groupes du réseau qui ont un sens en terme de comportement.
Là encore, aucun concept unique n’émerge pour l’importance et le sens donné à un
sous-groupe. Nous avons quand même distingué trois questions fondamentales qui
sont formalisables en terme de contraintes et ont un sens du point de vue biologique.
198

Comment expliquer un phénotype ? Autour de cette notion de phénotype on

trouve aussi la notion d’explication : si on dispose d’observations grande-échelle sur
un système (type transcriptome), on peut se demander naturellement quels sont les
éléments clé qui induisent les observations données.
Cette question se traduit bien en terme de contraintes : on considère un jeu
d’observations sur un système, et on y ajoute ses prédictions. Il est alors possible
de rechercher parmi les sous-ensembles de sommets observés ou prédits un sys-
tème générateur, qui induit l’ensemble des prédictions. On obtient ainsi un certain
nombre de jeux minimaux qui expliquent une expérimentation donnée et dont la
perturbation permettra par la suite de changer le comportement du système.
Cette notion permet aussi de mieux comprendre le fonctionnement du système :
un groupe minimal rassemble des éléments qui signent cette expérimentation. Imagi-
nons ensuite qu’on associe à ces éléments une fonction via une annotation par Gene
Onthology, on pourrait parvenir à mieux comprendre en quoi une expérimentation
est la combinaison de différentes influences.

Comment trouver l’origine commune de différents profils ? On peut aller

plus loin dans cette approche et rechercher une explication parmi une liste de causes
possibles. Nous travaillons actuellement par exemple sur la question de l’analyse de
données e-QTL [GDZ+ 06].
– Les quantitative trait loci (QTL) sont des portions d’ADN qu’on a pu associer à
la présence d’un phénotype donné. Dans notre cas, le facteur d’intérêt est l’état
d’engraissement du poulet. Ainsi, ces études de QTL permettent d’identifier
une liste de gènes dans laquelle se trouvent les causes génétiques du phénotype
considéré [LPCal06, APL+ 06].
– En parallèle, une approche e-QTL permet de différencier pour de multiples
gènes du génome leur différence d’état d’expression entre les individus dont
le phénotype est différent. Dans cette approche, on dispose de données de
transcriptome : grossièrement, on sait observer la variation des ARN de tous
les gènes du génome.
La question qui se pose est alors de démêler, parmi les gènes causes, quelle
combinaison permet de produire le phénotype observé. Pour cela, nous proposons
de chercher pour chaque produit dans l’ensemble des causes l’ensemble des gènes sur
lesquels il y a une influence, et de rechercher les combinaisons qui sont compatibles
avec les données e-QTL.
Plus formellement, il va s’agir de rechercher une valuation des sommets consi-
dérés comme des causes possibles (issues des données QTL) qui est cohérente biolo-
giquement avec les observations issues des données e-QTL. Dans ce cas, les pertur-
bations (solutions sans signification biologique) introduites par les boucles positives
dans les solutions des systèmes qualitatifs ne peuvent plus être admises. Nous pro-
posons de remplacer la notion de cohérence que nous utilisons habituellement par
la notion plus restrictive de cohérence biologique discutée à la section 5.2.3.
Cela nécessite avant tout de disposer de relations entre les gènes causes et les
cibles observées dans les e-QTL. Dans le cadre de sa thèse, Pierre Blavy, soutenu par
François Moreews, construit actuellement un réseau grande-échelle qui rassemble les
 199

connaissances sur les régulations entre les gènes liés au métabolisme des acides gras.
Il s’agit de rassembler à la fois les connaissances des experts sur des protéines iden-
tifiées comme importantes (LXR, P P AR, SCD1, . . . ), et de les comparer aux in-
formations qui existent au sujet des gènes variant significativement dans les e-QTL,
disponibles soit dans la base PathwayCommons soit dans les services des sociétés In-
genuity et Biobase. À la fin de ce travail, nous aurons un ensemble de connaissances
dans lequel nous pourrons rechercher les origines du facteur d’engraissement.

Comment contraindre le comportement du système ? Enfin, d’un point

de vue théorique, de même que nous avons défini le pouvoir de validation d’un
sous-ensemble du modèle, on peut définir le pouvoir de prédiction d’un ensemble
de sommets comme le ratio entre le nombre de prédictions que produisent des ob-
servations sur cet ensemble et le nombre total de jeux compatibles. En choisissant
un ensemble de sommets optimal pour ce ratio, on obtient des jeux de molécules
dont les observations sont optimales en terme de couverture dans les prédictions
induites.
Surtout, avec ce dernier concept, on obtient une définition des sommets clés du
modèle comme ceux qui influent le plus sur ce modèle. On obtient une alternative
aux approches statistiques de la théorie des réseaux biologiques, où l’importance
d’un sommet est en rapport avec sa valence et sa conservation au cours de l’évolution
[BA99]. Nous avons en perspective de comparer ces deux notions sur le réseau
de E. coli, pour vérifier que les sommets conservés au cours de l’évolution sont
effectivement ceux qui contraignent le plus le réseau.

5.5 Synthèse des perspectives

Étude de la dynamique des réseaux Finalement, les différents travaux présen-
tés dans ce chapitre permettent d’illustrer l’idée selon laquelle l’étude d’un réseau
doit se faire de manière progressive, à plusieurs échelles.
– Une première approche large échelle permettra d’analyser avec un niveau gros-
sier de détail les différentes connaissances et données à la disposition du mo-
délisateur. Dans ce cadre, les méthodes qualitatives de ce chapitre semblent
adaptées.
– Une deuxième étude concernera la dynamique de sous-groupes identifiés com-
me complexes dans la première approche. Il peut s’agir de modules porteurs
d’incohérences, ou du cœur du réseau, qui rassemble les aspects dynamiques.
Pour ces réseaux, des approches mêlant la description de réseaux métaboliques
et des approches par modèles de réactions (abordés dans la section 4.2) sont
à généraliser, en particulier pour fournir des règles simples de recherche et
d’analyse des états stationnaires, ainsi que des méthodes de prédiction de
différentes modifications du systèmes (mutations...).
– Enfin, en dernière étape, des méthodes numériques peuvent être utilisées sur
des éléments très restreints du modèle, couplées avec des jeux de données
spécifiques. Dans ce cadre, l’élaboration de schémas de raisonnement pour
200

décider quels sont les jeux d’expérimentations nécessaires peuvent être inté-
ressants.

Contraintes pour la mise en place de plans expérimentaux Plus concrè-

tement, les perspectives concernant l’étude des réseaux à leur plus haut niveau
d’abstraction (graphe d’influence) sont avant tout de réaliser concrètement une dé-
marche d’aide automatique au raisonnement des biologistes.
– Il va s’agir d’abord d’apporter une réponse aux différentes questions qui ont
été identifiées et discutées dans la section précédente, cette réponse devant être
formalisée sous la forme d’une propriété de l’espace des solutions de systèmes
de contraintes.
– Il faudra ensuite être capable de vérifier ces propriétés de manière efficace en
exploitant les possibilités et la complémentarité des solveurs de contraintes
comme des diagrammes de décision.

Une contrainte supplémentaire : schéma d’explication simple En plus de

résoudre ces problèmes, hautement non triviaux, une question fondamentale va être
d’intégrer dans le processus de résolution une notion de simplicité de preuve. En
effet, du point de vue de l’expérimentateur, un modèle n’est obtenu que comme
la juxtaposition de faits relevés dans la littérature ou suggérés par des données.
Il s’agit d’un modèle, et avant de se baser sur ses prédictions pour lancer des ex-
périmentations, l’expérimentateur se doit de comprendre l’origine des prédictions,
ne serait-ce que pour vérifier une dernière fois que les informations utilisées pour
obtenir une prédiction sont valides et que rien n’a été oublié.
En ce sens, il semble important, lors des phases de cohérence, diagnostic, pré-
diction ou proposition expérimentale, d’associer à toute proposition une preuve de
celle-ci. Ceci est bien entendu antinomique avec l’approche des solveurs de contrain-
tes SAT, qui procèdent par recherche d’un modèle et pas par déduction comme peut
le faire PROLOG.
Cependant, il serait intéressant de proposer, à partir du résultat des solveurs
de contraintes, une dernière phase d’analyse avec représentation graphique pour
illustrer une preuve simple de l’analyse recherchée, en particulier des arguments
utilisés pour aboutir à une prédiction.
Cela serait un outil efficace pour achever de convaincre la communauté en biolo-
gique de l’intérêt des approches automatiques en modélisation. Il s’agit cependant
d’une question difficile en informatique, qui nécessite des investigations poussées et
illustre encore la richesse des questions que pose la biologie aux mathématiques et
à l’informatique.
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ber Topology and linear response of interaction networks in molecular biology,
Journal of The Royal Society Interface 3(6), 2006, pp. 185 - 196
(Complex Us, 2005) P. Veber, M. Le Borgne, A. Siegel, S. Lagarrique, O. Radulescu
Complex Qualitative Models in Biology : a new approach Complexus 2, 2004/2005,
pp. 140-151 (Presented at of ECCS, Paris, 2005)

215
216

(Integers, 2005) V. Berthé and A. Siegel, Tilings associated with beta-numeration

and substitutions, INTEGERS, 5(3), pp. A2, 2005
(Ann. Inst. Fourier, 2004) A. Siegel, Pure discrete spectrum dynamical system and
periodic tiling associated with a substitution. Annales de l’Institut Fourier 2(54),
2004, p. 288-299.
(TCS, 2004) P. Arnoux, V. Berthé and A. Siegel. Two-dimensional iterated mor-
phisms and discrete planes . Theoretical Computer Science, 319, 2004, p. 145–176.
(Erg. Th. Dyn. Sys., 2003) A. Siegel. Représentation des systèmes dynamiques sub-
stitutifs non unimodulaires. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 23, 2003, 1247-
1273
(Trans. AMS, 2001) V. Canterini and A. Siegel. Geometric Representation of primitive
substitution of Pisot type. Transactions of the AMS, 353(12), 2001, pp. 5121–5144.
(JTN Bord., 2001) V. Canterini and A. Siegel. Automate des préfixes-suffixes associé
à une substitution primitive. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 13(2),
2001, pp. 353–369.
(Acta Arith, 2001) A. Siegel. Théorème des trois longueurs et suites sturmiennes :
mots d’agencement des longueurs. Acta Arithmetica, 97 (1-3), 2001, pp. 195–210.

Chapitre dans les ouvrages

(Pytheas Fogg Intro, LNM, 2002) V. Berthé and A. Siegel. Basic notions on substitu-
tions. In N. Pytheas-Fogg, Substitutions in Dynamics, Arithmetics and Combinato-
rics. Lectures Notes in Mathematics 1794, Springer-Verlag, 2002, pp. 1–34 (Chapter
1).
(Pytheas Fogg, LNM, 2002) A. Siegel, Spectral theory and geometric representation
of substitutions. In N. Pytheas-Fogg, Substitutions in Dynamics, Arithmetics and
Combinatorics. Lectures Notes in Mathematics 1794, Springer-Verlag, 2002, pp. 199–
252 (Chapter 7).

Actes de colloques à comité de lecture

(CIBB, 2008) C. Guziolowski, J. Gruel, O. Radulescu and A. Siegel, Curating a large-
scale regulatory network by evaluating its consistency with expression datasets, CIBB
2008 : Computational Intelligence Methods for Bioinformatics and Biostatistics, To
appear in Lecture Notes in Bioinformatics LNBI/LNCS, Springer-Verlag.
(JOBIM, 2008) P. Blavy, F. Gondret, H. Guillou, S. Lagarrigue, P. Martin, O. Ra-
dulescu, A. Siegel and J. Van Milgen, A minimal and dynamic model for fatty acid
metabolism in mouse liver, JOBIM, Lille, 2008.
(Jour. Montoises, 2006) P Arnoux, V Berthé, and A Siegel, Finiteness properties for
Pisot S-adic tilings Journées Montoises d’Informatique théorique. JM’06, Rennes,
2006
(EWT, 2003) A. Siegel, Spectral theory for dynamical system arising from substitu-
tions, EWM, K. Dajani, J. Von Reis (eds.), CWITract, Marseille, 2003.

Soumissions
(Repeat, submitted, 2008) J. Nicolas ; C. Rousseau ; A. Siegel ; P. Peterlongo ; F. Cos-
te ; P. Durand ; S. Tempel ; A.-S. Valin and F. Mahé, Local and Maximal Repeats,
2008.
 217

(Monographie S. & T., 2008) A. Siegel and J. Thuswaldner, Topological properties of

Rauzy fractals, 2008.

Travaux en cours
(R., S., P., C.& L. en cours) O. Radulescu, A. Siegel, E. Pécou, C. Chatelain and S.
Lagarrigue, Algebraic mddules and qualitative constraints for the study of equilibria
of biochemical models
(A., F., S.& S., en cours) B. Adamczewski, C. Frougny, A. Siegel, W. Steiner, Alge-
braicity of the length of the largest interval [0, ε[∩Q containing only purely periodic
beta-expansions.
(B., B. & S., en cours) V. Berthé, J.Bourdon, A. Siegel Génération de plan discret par
des algorithmes de fractions continues.
(B., S., S. & T., en cours) V. Berthé, A. Siegel, P. Surer, J. Thuswaldner Fractal tiles
associated to generalized radix representations and shift radix systems.
(CANT, 2009) V. Berthé, A. Siegel, J. Thuswaldner Tilings, substitutions and Rauzy
fractals : effectivity and complexity, Chapter of Combinatorics, Automata and Num-
ber Theory, Cambridge University Press.
(A., G. & S., en cours) P. Arnoux, S. Giabicani, A. Siegel Dynamique du nombre d’or.

Revues sans comité de lecture

(Biofutur, 2007) A. Siegel, C. Guziolowski, P. Veber, O. Radulescu, M. Le Borgne,
Optimiser un plan d’expérience à partir de modèles qualitatifs ?, BioFutur (275),
2007, 27-31
– P. Durand, D. Lavenier, M. Leborgne, A. Siegel, P. Veber and J. Nicolas, Applying
Complex Models on Genomic Data. ERCIM News (60), 2005.
– A. Siegel. Répétitions dans les figures géométriques. Quadrature 34, 2002, pp. 40-47.
– A. Siegel, Fractals a la carte, Tangente, Hors Série 18 Les fractales, 2004, pp. 80-84.

Divers
– A. Siegel, Représentations géométrique, combinatoire et arithmétique des systèmes
substitutifs de type Pisot, Thèse de troisième cycle, Université de la Méditérranée,
2000.

5.7 Communications
Congrès, symposium
– Workshop “Number Theory and Ergodic Theory 2008 April”, Kanazawa, Japan
(04/2008) Topological properties of central tiles and boundary graphs
– Journée annuelle du Groupe de Travail « Systèmes Dynamiques, Automates et Al-
gorithmes » (GT SDA2) du GDR Informatique Mathématique, Paris (10/2007) Pro-
priétés topologiques des fractals de Rauzy
– ICIAM’07 : International Conference on Applied and Industrial Mathematics, Zurich
(07/2007). Minisymposium : new reasearch in bioinformatics Qualitative response of
interaction networks : application to the validation of biological models.
218

– Journée de Numération Graz 2007 (04/2007) Topological properties of central tiles

for substitutions.
– Troisième carrefour OUEST-genopole, Brest, janvier 2006 Modélisation in silico de
la régulation génétique du métabolisme des lipides : Problèmes et méthodes (with S.
Lagarrigue)
– International Conference on Probability and Number Theory 2005, Japan (P&NT
05), juin 2005. Beta-numeration and Rauzy fractals for non unit Pisot numbers
– Numeration Tilings and Substitutions, Grenoble, March 2005. Finiteness properties
for substitution dynamical systems,
– Number Theoretic Algorithms and Related Topics, Strobl, Austria, October 2004.
Covering associated to a beta-shift and different conditions for tiling.
– Université d’été Sciences Mathématiques et Modélisation, Bordeaux, 2004, France.
Dynamique du nombre d’or (with P. Arnoux).
– Aperiodic Order : Dynamical Systems, Combinatorics and Operators, Banff, Canada,
mai 2004. Spectral theory of substitutive systems : combinatorial conditions for pure
discrete spectrum and tilings.
– EWM (European Wemen in Mathematics), Marseille, novembre 2003. Spectral theory
for dynamical system arising from substitutions,
– Workshop on Beta-numeration, generalized substitutions and tilings, mars 2003.
Purely periodic orbits of beta expansion for Pisot non unit,
– Forum des jeunes mathématiciennes et des jeunes informaticiennes, pp. 77-80, Paris,
March 2002. Autour des fractals de Rauzy.
– Systèmes dynamiques–l’odyssée dynamique, Session résidentielle du CIRM, troi-
sième semaine, février 2001, Marseille. Substitutions, Rauzy fractals and tilings,
– Systèmes dynamiques–l’odyssée dynamique, Session résidentielle du CIRM, cinqui-
ème semaine, février 2001, Marseille. A P -adic representation of substitutions,
– Fourth international joint meeting of the AMS and SSM, Session on Geometric and
Symbolic Dynamical Systems, Denton, Texas, mai 1999. Geometric realizations of
Pisot substitutions
– Deuxième Ecole d’automne doctorale AMIcale, Marseille, décembre 1997. Théorème
des trois longueurs et suites sturmiennes

Groupes de travail et Ateliers

– Journées CMM-INRIA, Santiago du Chili (07/2008) from questions in systemic bio-
logy to constraints resolution
– Atelier Substitutions et automorphismes de groupes libres. Porq’roll 2008 (06/2008)
Propriétés topologiques des fractals de Rauzy.
– VicAnne Meeting, Paris, IHP, janvier 2006. Etude des déplacements d’équilibre d’un
modèle différentiel par décomposition en modules.
– Atelier Substitutions et automorphismes de groupes libres, Marseille CIRM (2005)
– Groupe de travail Sur les exemples de Lattes, IRMAR, Rennes (03/2005)
– Groupe de travail Spectre des systémes adiques, Marseille, CIRM, January 2005.
Systèmes substitutifs spectre discret : conditions explicites,
– Research in team , Montpellier, July 2004 representation of Non Pisot Unit substi-
tutions
– Workshop on Beta-numeration, generalized substitutions and tilings, March 2003.
Purely periodic orbits of beta expansion for Pisot non unit,
– Atelier Substitutions généralisées, pavages et numération, Marseille, CIRM (2002).
 219

– Groupe d’étude sur la numération, CIRM, Marseille, mars 1999. Automate des
préfixes-suffixes et représentation des substitutions

Séminaires
– Station biologique de Roscoff, séminaire (10/2008)
– Université de Rennes I, Séminaire de systèmes dynamiques (02/2008)
– Laboratoire Systèmes Navals Complexes, Toulon (12/2007)
– Université de Rennes, groupe de travail application des mathématiques en biologique
(12/2007)
– Université de Nice (03/2007)
– Université Paris XI, groupe de travail Systèmes Dynamiques (05/2006)
– ENS Lyon, séminaire de mathématiques, (04/2006)
– Université de Montpellier, LIRMM, groupe de travail d’info. théorique (02/2006)
– University of Neuchâtel, colloquium de mathématiques, (01/2006)
– University of Vienna, séminaire de mathématiques (11/2005)
– Université de Rennes I, séminaire de systèmes dynamiques (11/01, 02/05)
– Université de Brest, séminaire de systèmes dynamiques , (11/04)
– ENS-Cachan, antenne Bretagne, séminaire des élèves (05/04)
– Université Paris XI, séminaire de systèmes dynamiques (06/01)
– Dijon, séminaire de systèmes dynamiques (03/01)
– Université de Montpellier, séminaire de mathématiques (03/01)
– Université Paris VII, séminaire d’informatique du LIAFA (02/01)
– Université de Marne-la-Vallée, séminaire d’informatique (12/00)
– Université Paris VI, séminaire de théorie ergodique (11/00)
– Ecole Polytechnique, séminaire de géométrie ergodique (11/00)
– Université de Bordeaux, séminaire de théorie des nombres (10/00)
– Université de Turku (Finlande), séminaire de mathématiques (09/98)
– Université de la méditérannée, séminaire de théorie ergodique (04/98, 04/00)
– Université d’Amiens, séminaire d’informatique (03/98)
– Université de Provence, séminaire de dynamique symbolique (10/97, 03/99, 04/00)

5.8 Encadrement et enseignements

Doctorat
– Directrice de la thèse de Carito Guziolowski, 2006-2009. Méthodes d’analyse quali-
tative de réseaux biologiques à grande échelle.
– Co-directrice de la thèse de Pierre Blavy, 2006-2009. Modèles multi-organes et multi-
espèces du métabolisme des lipides : nouvelles approches mathématiques et validation
biologique.
– Co-directrice de la thèse de Philippe Veber, 2004-2007. Modélisation grande échelle
de réseaux biologiques : vérification par contraintes booléennes de la cohérence des
données.

Stages de master
– Laurent Chamoin, Master 2 bio-informatique, 2006-2007. Recherche de modules dans
le réseau MAPK.
220

– Carito Guziolowski, Master 2 bio-informatique, 2005-2006. Testing a new approach

of qualitative modelling in E. Coli transcriptional regulatory network
– Mathieu Morvan, Master 2 informatique, 2004-2005. diagnostic pour la dynamique
de réseaux biologiques.
– Julien Ouy, Master 2 informatique, 2003-2004. Modélisation de réseaux biologiques
et application pour l’analyse de données expérimentales.

Enseignements
– Master 2 Modélisation de Systèmes Biologiques, Rennes. Construction et exploitation
de réseaux biomoléculaires (2008) [24h]
– Formation interne Inria, Liffré. Modélisation de réseaux biologiques (2005) [2h]
– Master 1 de bio-informatique, Rennes. (2005) [4h]
– Université d’été Sciences Mathématiques et Modélisation, Bordeaux. Dynamique du
nombre d’or (2004) [6h]
– Niveau Licence : Premier degré universitaire, Préparation concours (Mathématiques,
Marseille et Rennes) (1998, 1999, 2000, 2001) [202h]

5.9 Coopérations et contrats

Participation à des projets scientifiques
– Projet LAREDA, contrat ANR blanc (STIC) 2007-2010. Lattice Reduction Algori-
thms : Dynamics, Probabilities, Experiments, Applications. Responsable : Brigitte
Vallée (CNRS, univ. Caen).
– Projet SITCON, contrat ANR Biosys 2006-2009. Modeling Signal Transduction In-
duced By A Chimeric Oncogene. Responsable : Andrei Zynoviev (Institut Curie)
– Projet DYCONUM. contrat ANR jeunes chercheurs (mathématiques) 2006-2009.
Études diophantiennes, dynamiques et combinatoires de différentes numérations.
Responsable : Wolfgang Steiner (LIAFA, univ. paris VII)
– Projet MOCA, contrat ARC INRIA 2005-2007 MOdularité, Compositionalité et Abs-
traction dans les réseaux géniques et protéiques. Responsable : Sylvain Soliman (pro-
jet contraintes, INRIA Rocquencourt)
– Projet VICANNE, contrat ACI IMPBio 2004-2007. Modélisation dynamique et simu-
lation des systèmes biologiques. Responsable : Jean-Pierre Mazat (Univ. Bordeaux)
– Projet NUMERATION, contrat ACI Interfaces des mathématiques, 2003-2006. Res-
ponsable : Pierre Arnoux (Univ. Méditérannée)
– Projet MATHRESOGEN, contrat ACI IMPBio 2003-2006. Méthodes mathématiques
pour l’identification d’acteurs critiques dans des processus biochimiques régulés par
un réseau de gènes. Responsable : Ovidiu Radulescu (Univ. Rennes 1)

Relations internationales
– programme Egide Sakura (Franco-japonais), 2007-2008. Number theory and discrete
dynamical systems
– programme Egide Amadeus (franco-autrichien), 2008-2009. Fractals and topological
structures arising from dynamics
– relation bilatérales avec le CMM, université du Chili (visite d’un mois en 2005).
 221

Séjours à l’étranger
– Laboratoire de mathématiques de l’université de Kanazawa, Japon. Visite d’une
semaine, 2008.
– Laboratoire de mathématiques de Keio university, Japon. Visite de 3 jours, 2008.
– Laboratoire de mathématiques de l’université de Leoben, Autriche. Visite d’une
semaine, 2005.
– Centre de modélisation mathématiques, Université du Chili, Santiago du Chili. Visite
de 5 semaines, 2005.
– Laboratoire de Mathématiques de l’université du North Texas, Denton, USA. Visite
de 2 semaines, 2000.
– Laboratoire de mathématiques de l’Université de Turku, Finlande. Visite de 2 se-
maines, 1999.

5.10 Animation de la recherche

Administration
– Membre élue de la commission d’évaluation de l’INRIA, depuis 2008.
– Membre élue du conseil de laboratoire de l’IRISA (2003-2008)

Participation à des jurys de thèse

– Jury de thèse de M. Manceny (Evry, 2006). Réseaux de jeux. Une extension de la
théorie des jeux pour la modélisation des interactions locales. Application aux réseaux
de régulation génétique. Directeur de thèse : Franck Delaplace.

Participation à des comités de programmes

– Journées montoises d’informatique théorique, Rennes (2006), Mons (2008).
– ECAI 2008.
– Conférence de bioinformatique JOBIM : Bordeaux (2006), Marseille (2007), Lille
(2008)
– RIAMS 2006, Réseaux d’Interactions : Analyse, Modélisation et Simulation, Work-
shop satellite à IPG Lyon (2006) ; Lyon (2007)

Animation de la recherche
Mathématiques et informatique
– Organisation de la conférence internationale Numeration : Mathematics and Com-
puter Science, March 23-27, 2009, CIRM, Marseille. (70 participants attendus)
– Organisation de la conférence internationale Journées montoises d’informatique théo-
rique, Rennes, août 2006. (70 participants)
– J’organise régulièrement des ateliers de travail sur le thème Generalized substitution
and tilings and numeration, avec V. Berthé. Ces ateliers rassemblent une quaran-
taine de chercheurs ; la moitié sont étrangers. Des sessions ont eu lien en Juin 2007
(porquerolles), Mars 2006 (CIRM, Marseille), Avril 2005 (CIRM, Marseille), Mars
2004 (CIRM, Marseille), Mars 2003 (CIRM, Marseille),
222

Bioinformatique
– Organisation du séminaire de bioinformatique de l’IRISA depuis 2002.
– Organisation de 14 journées thématiques de bioinformatique depuis 2002, dans le
cadre de l’animation de Ouest-Génopole.
– Supervision de l’animation sur les réseaux biologiques dans le cadre du projet ACI
VICANNE (programme IMPBio, 2004-2007).
– Organisation de deux journées satelites de la conférence de bioinformatique française
JOBIM :
– Modélisation dynamique et simulation des réseaux biologiques Lille, 2008
– Modélisation dynamique et simulation des réseaux biologiques Où en est-on ?, Mar-
seille, 2007.
– Organisation d’ateliers sur les réseaux biologiques. Ces réunions ont rassemblé de 20
à 50 participants français.
– Réseaux booléens et automates cellulaires pour la modélisation de systèmes biolo-
giques, Rennes, 2007 (organisé avec P. Veber).
– Aspects stochastiques de la modélisation des réseaux de régulation, Nice 2005 (or-
ganisé avec J.A. Sepulchre).
– Modélisation de réseaux de gènes, Dijon 2004 (organisé avec E. Pécou).
Résumé

Ce travail présente des contributions théoriques et pratiques à la théorie des

codages symboliques de systèmes dynamiques. Les applications concernent diffé-
rents champs mathématiques et la modélisation en biologie moléculaire. Le but est
d’illustrer comment des méthodes de discrétisation de systèmes dynamiques et une
approche algorithmique permettent d’exploiter au mieux les connaissances dispo-
nibles sur le système, même partielles. Un premier objectif est d’exhiber des infor-
mations au sujet d’une dynamique que l’on connaît explicitement et les traduire en
propriétés concrètes. Un deuxième objectif est de produire de la connaissance sur
une dynamique ou un modèle lorsqu’on ne le connaît pas explicitement. Dans ce
document, ces deux questions sont abordées sur deux grandes classes de systèmes
dynamiques.
Les premiers systèmes considérés sont des automorphismes et des translations
sur un tore. Inspirés par les cas unidimensionnels (beta-numération, étude des suites
sturmiennes), la question principale qui se pose est de trouver un domaine fon-
damental pour le tore dans lequel les trajectoires de la dynamique considérée se
codent par des systèmes symboliques simples. Dans le cas où l’automorphisme du
tore considéré admet une unique direction dilatante (le cas Pisot), un bon candidat
pour ces partitions est donné par un domaine dont la base est fractale, introduit
par G. Rauzy dans les années 1980. Nous décrivons comment une approche déci-
dable pour décrire le bord fractal du domaine et ses propriétés de pavage, permet de
s’assurer qu’il s’agit d’un domaine adéquat pour un codage du l’automorphisme. La
description du bord du domaine permet de décrire ses propriétés topologiques, et de
les exploiter dans les différents domaines d’informatique théorique où les automor-
phismes et les additions sur un tore apparaissent. Ainsi, en théorie des nombres,
nous nous appuyons sur la topologie du domaine pour caractériser les propriétés
des développements finis ou purement périodiques de rationnels en base non en-
tière. En géométrie discrète, ces propriétés s’interprètent en termes de conditions
pour l’engendrement de plans discrets par des méthodes itératives.
La deuxième classe de systèmes concerne les systèmes dynamiques de grande
échelle en biologie moléculaire. Il s’avère que les données et les connaissances sur
les modèles de régulations transcriptionnelles dans une cellule sont souvent trop
partielles pour leur appliquer les méthodes usuellement utilisées pour la modélisa-
tion de systèmes expérimentaux. Dans ce document, nous discutons d’un formalisme
(inspiré par la dynamique) qui permet d’interpréter les observations en biologie mo-

223
224

léculaire, pour aider à la correction de modèles, et, dans le futur, à la mise en place de
plans expérimentaux. Au vu de la qualité des données, les aspects dynamiques sont
alors remplacés par des considérations sur les déplacements d’états stationnaires,
et analyser les données revient à formaliser puis résoudre des contraintes portant
sur des ensembles discrets. Nous montrons ainsi comment aborder les notions de
corrections de modèles et de diagnostic de réseaux grande échelle.
Mots clés : systèmes dynamiques discrets. Fractal. Numération. Biologie des
systèmes. Diagnostic. Contraintes.