These Moutet Mars 17

DIAGRAMMES ET THÉORIE DE LA RELATIVITÉ
RESTREINTE : UNE INGÉNIERIE DIDACTIQUE

Laurent Moutet
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Laurent Moutet. DIAGRAMMES ET THÉORIE DE LA RELATIVITÉ RESTREINTE : UNE IN-
GÉNIERIE DIDACTIQUE. Education. Université Paris 7, 2016. Français. �NNT : �. �tel-01611332�
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
COMUE Sorbonne Paris-Cité
Université Paris Diderot

Ecole Doctorale 400 "savoirs scientifiques"
Thèse
Présentée pour l'obtention du titre de docteur en didactique des sciences physiques
DIAGRAMMES ET THEORIE DE LA RELATIVITE RESTREINTE
UNE INGENIERIE DIDACTIQUE
par
Laurent MOUTET
Soutenue le 30 novembre 2016, devant le jury constitué de :
Valérie MUNIER, Université Montpellier 2 (France) : Rapporteure
Philippe R. RICHARD, Université de Montréal (Québec, Canada) : Rapporteur
Etienne PARIZOT, Université Paris Diderot : Président du jury
Marie-Blanche MAUHOURAT, IGEN (France) : Examinatrice
Cécile de HOSSON, Université Paris Diderot (France) : Directrice de thèse
Alain KUZNIAK, Université Paris Diderot (France) : Co-directeur de thèse
Laboratoire de Didactique André Revuz (EA 4434)

i
Résumé
Nous avons cherché à développer et à mettre à l’épreuve de la classe des activités utilisant un
registre basé sur des diagrammes lors de l’enseignement de la théorie de la relativité restreinte
avec des élèves de terminale S. Même si l’approche graphique est source de difficultés
didactiques, les potentialités didactiques des graphiques peuvent s’avérer être plus
avantageuses. Une étude épistémologique sur les diagrammes utilisables en relativité
restreinte nous a permis de nous rendre compte des liens importants entre les mathématiques
et la genèse de la théorie de la relativité restreinte. C’est le cas du diagramme de Minkowski.
Nous nous sommes également intéressés à deux autres diagrammes développés beaucoup plus
tard pour des raisons didactiques, ceux de Brehme et de Loedel. A la suite de séances pilotes,
nous avons développé un nouveau cadre théorique, permettant d’analyser plus finement les
interactions développées par les élèves résolvant un problème utilisant des diagrammes en
relativité restreinte. Nous avons modifié les espaces de travail mathématique (ETM) en
rajoutant un nouveau cadre de rationalité à celui des mathématiques initialement présentes,
celui de la physique. Le cadre des ETM étendu nous a permis de concevoir plusieurs versions
de séquences proposées aux élèves et de réaliser une analyse a priori de leur niveau de
difficulté et a posteriori en analysant des travaux d’élèves. Nous avons effectué l’analyse du
travail de groupes d’élèves lors d’une séquence utilisant le diagramme de Minkowski avec
GeoGebra, un logiciel de simulation graphique. Cela nous a permis d’évaluer le degré de
maîtrise du diagramme de Minkowski pour chaque élève, tant du point de vue du cadre de
rationalité des mathématiques que de celui des sciences physiques. Les résultats sont
prometteurs, ils tendent à montrer une appropriation réelle des concepts de la théorie de la
relativité restreinte via une approche utilisant des diagrammes.
ii
Abstract
We tried to develop and test several activities using a register based on diagrams for teaching
the special theory of relativity to S class of twelfth graders. The graphic approach may result
it complications in learning. However, its educational potential can turn out to be more
beneficial. An epistemological study on diagrams used in special relativity allowed us to
report important links between mathematics and the genesis of the special theory of relativity.
This is the case of the Minkowski diagram. We were also interested in two other diagrams,
Brehme and Loedel, which were developed much later for teaching purposes. Following
experimental sessions, we developed a new theoretical frame to comprehensively analyse the
interactions developed by students to solve a problem using diagrams in special relativity. We
modified the mathematical working spaces (MWS) by adding a new frame of rationality to
the existing mathematical workspace to physics. The extended frame of the MWS allowed us
to plan several versions of sequences proposed to the students and realize a priori analysis of
their difficulty level and a posteriori study by analysing pupils' works. We have considered
several works of student groups during a sequence using the Minkowski diagram with
GeoGebra, a graphic simulation software. It allowed us to estimate the degree of control of
the Minkowski diagram for every student, both from the frame of rationality of the
mathematics and the physical sciences’ point of view. The results are promising and they tend
to show a real appropriation of the concepts of the special theory of relativity with an
approach using diagrams.
iii
iv
Remerciements
Je remercie chaleureusement Cécile de Hosson pour m’avoir redonné goût à la recherche.

Cécile a été particulièrement patiente, après ces six années de préparation. Je me rappelle au
tout début elle me parlait d’une thèse en quatre ans alors que moi je disais que six ans ce n’est
pas si mal. Cécile a toujours été disponible et surtout elle m’a laissé toute liberté pour
conduire mes travaux de recherche à mon rythme, des fois me tromper, certainement travailler
d’arrache-pied mais elle était toujours là pour me soutenir. Pour cette thèse, j’ai eu la chance
de pouvoir travailler avec la personne que je voulais, le sujet comptait peu et je suis bien
content de mon choix. Lorsque Cécile m’a proposé un sujet en relativité restreinte je n’ai pas
hésité. Et pourtant, chimiste de formation, n’ayant jamais eu le moindre enseignement en
relativité restreinte lors de mon parcours universitaire, et la relativité n’étant pas encore
apparue au programme de sciences physiques au lycée, n’importe qui aurait trouvé cette
décision un peu dingue ! Cécile m’a même corrigé un chapitre dans le train l’amenant sur son
lieu de vacances et que dire de la 4G à côté d’une jolie rivière du Vaucluse pendant ses
vacances ! Merci pour tout cela.
Je remercie chaleureusement Alain Kusniak de m’avoir également encadré. Alain c’est la

force tranquille qui me faisait creuser la tête à chaque réunion. Je me rappelle une fois il m’a
dit « je t’aime bien mais il va falloir la passer cette thèse ». Je pense toujours qu’avoir eu du
temps c’est un luxe, mais, hélas, les meilleures choses ont toujours une fin. J’ai eu un peu
peur de la réaction d’Alain lorsque j’ai rajouté un nouveau plan épistémologique aux ETM
pour lesquels il a largement participé à la création et au développement. J’ai été agréablement
surpris de sa réaction, ce qui montre son ouverture d’esprit. Par contre, c’est vrai, il fallait tout
expliquer. Mes premiers écrits étaient très compacts et très implicites. Cela a été long mais
cela m’a permis une meilleure compréhension de ce que j’avançais. Je me rends compte
aujourd’hui de la chance d’avoir eu deux directeurs de thèse dans deux disciplines différentes,
en sciences physiques et en mathématiques. Cela aura été une véritable richesse. Merci
Alain !
Je remercie Valérie Munier et Philippe R. Richard d’avoir accepté d’être rapporteurs de ce

travail de thèse. J’espère qu’il vous conviendra.
Je remercie Etienne Parizot d’avoir accepté d’être le président de mon jury de thèse. Nous
avons déjà eu l’occasion de discuter un peu de relativité restreinte dans le bureau de Cécile.
Je remercie également Marie-Blanche Mauhourat d’avoir accepté d’être examinatrice lors de

ma soutenance de thèse. Cela a été un véritable plaisir de travailler avec Marie-Blanche dans
le cadre du GRIESP et lors d’autres missions qui m’ont été confiées. Une partie de ce travail
de thèse a été déclinée en une activité proposée par le GRIESP. Merci à tous ses membres
également.
Je remercie également Laurence Viennot, Isabelle Kermen, Nicolas Decamps, Wanda

Kaminski, Rita Khanfour-Armale, Philippe Colin et Evelyne Scaron pour leur soutien, les
discussions et leur bonne humeur les quelques fois où je pouvais passer au laboratoire.
J’ai eu le temps de voir passer quelques étudiants au laboratoire, je m’excuse d’avance si j’en
oublie certains. L’ambiance au laboratoire était exceptionnelle et en même temps très
v
studieuse, je leur remercie de tout cela. C’était très vivifiant lorsque je venais de mon lycée.
Merci donc à Robin, Clément, Sophie, Charlotte et Charlotte, Adry, Valentin, Assia, Zakaria,
Luz, Leonard, Michael, Alice, Zoé, Arturo, Ines …
Merci à Christiane Simon, Pierre Daussin et Thouraya Abdellatif pour leur gentillesse, leur
professionnalisme et pour m’avoir soutenu dans mon projet. C’est grâce à une discussion avec
Christiane que j’ai décidé de me relancer dans des travaux de recherche.
Je remercie mes élèves de TS du lycée Boucher de Perthes à Abbeville qui ont suivi les
différentes séquences de relativité restreinte. Les derniers ont eu peur que les diagrammes
d’espace-temps « tombent au bac ». Je m’excuse de leur avoir fait des frayeurs !
Merci à mes deux petits référentiels, Armineh et Daniel de m’avoir supporté et soutenu dans
la vie de tous les jours. A la fin de l’écriture de la thèse, je disais à Armineh « tu pourrais
rester un peu immobile par rapport à Daniel, cela m’arrangerait s’il te plait, cela serait plus
facile ».
Une pensée à ma mère qui nous a quitté pendant ces six longues années de préparation qui
« ne comprenait pas ce que j’allais faire à Paris », à mon frère Christian, trop vite parti, à mon
père, heureusement toujours parmi nous, à ma tante Anne-Marie, à Céline, Sylvain,
Anouchik, Vahe, Vache et Shakeh.
Un dernier remerciement au groupe AC/DC lors de l’écriture du mémoire, à la grande surprise

de Cécile.
vi
Diagrammes et théorie de la relativité restreinte : une

ingénierie didactique
Introduction ....................................................................................................................... 1
Première partie ................................................................................................................ 7
I. Théorie de la relativité restreinte et diagrammes d'espace-temps :

éléments épistémologiques et didactiques................................................................... 7
I.1. Les graphiques d'espace-temps : points de vue didactique ....................................... 7
I.1.1. Difficultés didactiques à utiliser des graphiques....................................................... 7
I.1.2. Potentialités didactiques des graphiques ................................................................. 11
I.2. Les diagrammes d'espace-temps : représenter des situations relativistes .............. 24
I.2.1. Consubstantialité des diagrammes et de la théorie de la relativité restreinte ......... 24
I.2.2. Des exemples de diagrammes : Minkowski, Brehme et Loedel ............................. 31
Seconde partie ................................................................................................................ 47
II. Mise à l’épreuve de deux séances pilotes mobilisant plusieurs registres

d’expression d’une situation relativiste ..................................................................... 47
II.1. Mise en place d’une première séance pilote avec des élèves de terminale ............ 47
II.1.1. Le document 1 : le langage naturel ........................................................................ 48

vii
II.1.2. Le document 2 : les schémas ................................................................................. 50
II.1.3. Le document 3 : Le registre fonctionnel ................................................................ 52
II.1.4. Le document 4 : Le registre diagrammatique ........................................................ 53
II.1.5. Le document 5 : les schémas et les diagrammes ................................................... 57
II.1.6. Le travail demandé aux élèves ............................................................................... 60
II.1.7. Analyse des documents écrits des élèves ainsi que du verbatim de la séance ....... 64
II.2. Les questions de recherche ........................................................................................ 76
II.3. Elaboration des outils d’enseignement et analyses a priori et a posteriori ............ 76
II.3.1. Description de la seconde séquence pilote liant approche géométrique et relativité

restreinte ........................................................................................................................... 77
II.3.2. Analyse a priori ................................................................................................... 101
II.3.3. L’analyse a posteriori .......................................................................................... 103
II.4. La nécessité d’un apport théorique ........................................................................ 117
Troisième partie .......................................................................................................... 132
III. Élaboration théorique d'une aide à la création d'une séquence

d'enseignement en relativité restreinte .................................................................... 132
III.1. Les espaces de travail mathématique : un cadre pour penser l'usage des
diagrammes d'espace-temps en relativité retreinte....................................................... 132
III.2. Présentation d'une nouvelle progression d'enseignement .................................. 135

viii
III.2.1. Utilisation de GeoGebra en cinématique............................................................ 135
III.2.2. Une séquence, plusieurs niveaux de progressivité ............................................. 140
III.2.3. Mise à l'épreuve de la classe .............................................................................. 184
Conclusion et perspectives .................................................................................... 201
Bibliographie ................................................................................................................. 204
Annexes............................................................................................................................. 207
Analyse de la première séance pilote ............................................................................. 207
Verbatim de la première séance pilote ........................................................................... 209
Seconde activité pilote donnée aux élèves ..................................................................... 258
Correction de la seconde activité donnée aux élèves ..................................................... 262
Marqueurs de la seconde activité pilote ......................................................................... 265
Analyse et verbatim de la seconde activité pilote .......................................................... 279
Présentation de la séquence finale .................................................................................. 403
Eléments de réponses de la séquence finale ................................................................... 423
Analyse du travail de Clément ....................................................................................... 430
Analyse du travail d’Anthony ........................................................................................ 434
Analyse du travail de Léopoldine................................................................................... 437
Analyse du travail de Lucie ............................................................................................ 441

ix
x
Tables des illustrations
Les tableaux
Tableau 1 : Extrait du programme de sciences physiques de terminale S (2012)…..........1
Tableau 2 : Extrait du programme de sciences physiques de seconde (2010)………...… 2
Tableau 3 : Extrait du programme de sciences physiques de terminale S (2012)…..........2
Tableau 4 : Avantages et inconvénients de chaque diagramme d’espace-temps

étudié……………………………………………………………………………………... 46
Tableau 5 : Différents registres utilisés dans la réponse des élèves………………........... 65
Tableau 6 : Extrait de verbatim de la première séance pilote………………….……..…. 67
Tableau 7 : Extrait de verbatim de la première séance pilote………………...…………. 69
Tableau 8 : Extrait de verbatim de la première séance pilote…………………….…..…. 71
Tableau 9 : Extrait de verbatim de la première séance pilote………………………........ 71
Tableau 10 : Extrait de verbatim de la première séance pilote………………………….. 72
Tableau 13 : Organisation de l’épisode………………………………………………...... 105
Tableau 17 : Organisation de l’épisode……………………………………...…………... 112
Tableau 18 : Organisation de l’épisode……………………………………...…………... 114
Tableau 19 : Organisation de l’épisode…………………………………...……………... 116
Tableau 20 : Les cadres de rationalité. Extrait de Malafosse (2000)……………………. 121

xi
Tableau 21 : Éléments étudiés dans cette thèse en fonction du cadre de rationalité..…… 124
Tableau 22 : Tableau synthétique de la version « initiation »………………………........145
Tableau 23 : Tableau synthétique de la version « intermédiaire »…………………......... 146
Tableau 24 : Tableau synthétique de la version 3……………………………………..… 149
Tableau 25 : Tableau synthétique des versions 4 ou 5………………………………....... 152
Tableau 26 : Résumé des différentes séquences à l’aide du modèle de l’ETM

étendu…………………………………………………………………………………….. 183
Tableau 27 : Extrait du verbatim du fichier audio de Clément………………………….. 188
Tableau 28 : Second extrait du verbatim du fichier audio de Clément………………….. 189
Tableau 29 : Erreurs de physique contenues dans le verbatim d’Anthony………….…... 192
Tableau 30 : Extrait du verbatim de Léopoldine……………………….….…….………. 196
Tableau 31 : Extrait du verbatim de Lucie…………………………………………….…199
Les documents
Document 1 : Le registre du langage naturel utilisé dans la première séance pilote..…... 49
Document 2 : Les schémas utilisés dans la première séance pilote…………………....... 51
Document 3 : Le registre fonctionnel utilisé dans la première séance pilote………......... 52
Document 4.1 : Le registre diagrammatique utilisé dans la première séance pilote ; le repère
du référentiel R…………………………………………………………………..……….. 54
Document 4.2 : Le registre diagrammatique utilisé dans la première séance pilote ; le repère
du référentiel R’………………………………………………………………….……….. 55
Document 4.3 : Le registre diagrammatique utilisé dans la première séance pilote ; les deux
repères des référentiels R et R’………...…………………………………………………. 56
Document 5.1 : Les registres diagrammatique et schématique utilisés dans la première séance
pilote ; le repère du référentiel R……………………………………………….………… 57
pilote ; le repère du référentiel R’…………………………………………………………58
xii
pilote ; les deux repères des référentiels R et R’……………………………….………… 59
Les figures
Figure 1 : La situation du « pont » dans le référentiel du pont. Extrait de Kermen et de de

Hosson (2012)…………………….…………………………………………………........ 3
Figure 2 : Les scooters cosmiques dans la situation du « pont » et le référentiel du

pont……………………………………………………………………………………….. 4
Figure 3 : Etude du mouvement de deux objets A et B. Extrait de McDermott

(1987)…………………………………………………………………………………….. 7
Figure 4 : Situation proposant de trouver la durée d’un avion pour franchir Paris Montréal en
fonction de sa vitesse. Extrait de Janvier (1993)………………………............................. 8
Figure 5 : Interprétation faussée d’une représentation graphique. Extrait de Lerouge

(1993)…………………………………………………………………………………….. 9
Figure 6 : Dépassement de deux trains. Extrait de Lerouge (1993)…………………..…. 10
Figure 7 : Dépassement d’un escargot par une limace. Extrait de Lerouge (1993)……... 10
Figure 8 : Une image pour représenter l’effet Doppler. Extrait de Leroy-Bury et Viennot
(2003)…………………………………………………………………………………….. 12
Figure 9 : Représentation d’une source et d’un récepteur immobiles. Extrait de Leroy-Bury et

Viennot (2003)…………………………………………………………………..………...13
Figure 10 : Représentation d’une source s’éloignant d’un récepteur. Extrait de Leroy-Bury et

Viennot (2003)…………………………………………………………………..………...14
Figure 11 : Graphique d’espace-temps (x, c.t)………………………………………....... 15
Figure 12 : Image de deux éclairs frappant simultanément le train pour l’observateur du quai.
Extrait de Kermen et de de Hosson (2013)………………………………………………. 16
Figure 13 : Image de la passagère au milieu du train, recevant en premier le front d’onde de

l’éclair ayant frappé l’avant du train. Extrait de Kermen et de de Hosson
(2013)…………………………………………………………………………………….. 17
Figure 14 : Situation du train dans le référentiel du quai. Extrait de Kermen et de de Hosson

(2013)…………………………………………………………………………….………. 18
xiii
Figure 15 : Situation du train dans le référentiel du train. Extrait de Kermen et de de Hosson

(2013)………………………………………………………………………….…………. 19
Figure 16 : Situation du pont dans le référentiel du pont. Extrait de de Hosson et al. (2010,
2012)……………………………………………………………………………………… 21
Figure 17 : Situation du pont dans le référentiel des scooters. Extrait de Kermen et de de

Hosson (2012)………………………………………………………………………….… 22
Figure 18 : Situation du pont dans le référentiel des scooters avec les lignes d’univers de E et
F……………………………………………………………………………………........... 23
Figure 19 : Repères de deux référentiels en mouvement rectiligne à vitesse

constante………………………………………………………………………………….. 24
Figure 20 : Correspondance des échelles des repères dans deux référentiels dans le
diagramme de Minkowski………………………………………………………………... 29
Figure 21 : Coordonnées de deux événements dans le repère du référentiel R’……..….. 30
Figure 22 : La perte de la simultanéité via la transformée de Lorentz…………………... 31
Figure 23 : Construction du diagramme de Minkowski pour v = 0,6.c…………………. 34
Figure 24 : La non-simultanéité d’événements avec le diagramme de Minkowski….….. 35
Figure 25 : Correspondance des coordonnées d’un point dans les deux référentiels d’un
Figure 26 : Correspondance des échelles entre deux repères de deux référentiels dans le
Figure 27 : Construction du diagramme de Brehme……………………………….......... 39
Figure 28 : Projections et simultanéité dans le diagramme de Brehme……………......... 40
Figure 29 : Lien entre transformée de Lorentz et diagramme de Brehme…………..…... 41
Figure 30 : Diagramme de Brehme et dilatation des durées………………………….…. 42
Figure 31 : Projections parallèlement aux axes dans un diagramme de Loedel…….……44
Figure 32 : Lignes d’univers dans un diagramme de Loedel……………………………. 45
Figure 33 : Le diagramme de Brehme de la situation de la première séance pilote……... 68
Figure 34 : Le diagramme de Brehme de la situation de la première séance pilote……... 70
Figure 35 : Une mauvaise interprétation du diagramme de Brehme à cause du code de

couleur……………………………………………………………………………………. 74
xiv
Figure 36 : Construction pas-à-pas du diagramme de Minkowski…………………......... 82
Figure 37 : Construction de l’axe Oc.t’ du diagramme de Minkowski………………….. 83
Figure 38 : Finalisation de la construction du diagramme de Minkowski et placement des

trois événements de la situation étudiée………………………………………………….. 85
Figure 39 : Coordonnées temporelles des événements dans le diagramme de

Minkowski…………………………………………………………………………….….. 86
Figure 40 : Mise en évidence d’une durée propre entre E2 et E1 dans R…………….…...88
Figure 41 : Construction du diagramme du Loedel………………………..……….……. 89
Figure 42 : Construction des axes Oc.t et Ox dans un diagramme de Loedel……….…...90
Figure 43 : Construction des droites x = c.t ou x = - c.t dans un diagramme de

Loedel…………………………………………………………………………………….. 91
Figure 44 : Coordonnées d’un événement dans le diagramme de Loedel………………..92
Figure 45 : Mise en évidence graphique de l’indépendance des événements E2 et E3 avec un

diagramme de Loedel…………………………………………………….…...…… 95
Figure 46 : Mise en évidence graphique d’une durée propre entre les événements E2 et E1
dans le référentiel R à l’aide d’un diagramme de Loedel………………………….……... 97
Figure 47 : Lectures graphiques de coordonnées temporelles sur un diagramme de

Loedel…………………………………………………………………………………….. 98
Figure 48 : Les événements E2 et E3 ne forment pas une durée propre dans le référentiel de
Daniel………………………………………………………………………………….…. 99
Figure 49 : Déterminations graphiques des durées entre les événements E3 et E2 dans deux
référentiels à l’aide du diagramme de Loedel…………….…..………………………….. 100
Figure 50 : Une analyse de la représentation du réel. Extrait de Vergnaud (1994)……... 117
Figure 51 : Description de l’ETM. Extrait de Kuzniak et Richard (2014)..……………... 118
Figure 52 : Les différentes genèses dans les ETM. Extrait de Kuzniak et Richard
(2014)…………………………………………………………………………………….. 119
Figure 53 : Relations interdisciplinaires entre les mathématiques et les sciences physiques.

Extrait de Malafosse (2000)……………………………………………...………………. 120
Figure 54 : Cadres de rationalité et registres sémiotiques. Extrait de Malafosse

(2000)…………………………………………………………………………………….. 121
Figure 55 : Différents obstacles envisageables. Extrait de Malafosse (2000)……...…….122

xv
Figure 56 : Différentes ruptures envisageables. Extrait de Malafosse (2000)………..…. 123
Figure 57 : Modèle de l’ETM étendu…………………………………………………..... 125
Figure 58 : Modèle des deux mondes associés à la modélisation en sciences physiques.

Extrait de Tiberghien (2005)……………………………………………………………... 126
Figure 59 : Double catégorisation des savoirs pour chaque monde. Extrait de Tiberghien
(2005)…………………………………………………………………………………….. 127
Figure 60 : Analyse d’une tâche effectuée par un élève à l’aide du modèle des deux mondes.
Extrait de Tiberghien (2005)………………………………………………….………….. 128
Figure 61 : Analyse d’une tâche effectuée par un élève à l’aide du modèle de l’ETM
étendu…………………………………………………………………………………….. 129
étendu…………………………………………………………………………………….. 130
Figure 63 : Image d’une poursuite de Bip-Bip par Vil Coyotte. Extrait de Cazes et
Vandebrouck (2014)…………………………………………………………………….... 136
Figure 64 : Copie d’écran de la simulation sur GeoGebra de la situation de poursuite de Bip-

Bip par Vil Coyotte. Extrait de Cazes et Vandebrouck (2014)…………………..………. 137
Figure 65 : Le cycle de modélisation de Keiser (1995) et Blum (1996)……………….... 138
Figure 66 : Position du modèle implémenté par rapport au modèle mathématique pour le

mouvement de chacun des agents. Extrait de Cazes et Vandebrouck (2014)……..……... 139
Figure 67 : Position du modèle implémenté par rapport au modèle mathématique pour la

situation globale. Extrait de Cazes et Vandebrouck (2014)………………………..…….. 140
Figure 68 : Analyse de la question 1 de la version initiation………………………….… 154
Figure 72 : Analyse de la question 1 de la version intermédiaire………………...…..…. 160
Figure 73 : Analyse de la question 2 de la version intermédiaire……...……………..…. 161
Figure 74 : Analyse de la question 3 de la version intermédiaire…………………….…. 162
Figure 75 : Analyse de la question 8 de la première version experte……………………. 164
Figure 76 : Analyse de la question 9 de la première version experte……………………. 165

xvi
Figure 77 : Placement des trois événements avec GeoGebra………………………..…. 166
Figure 78 : Représentation du repère (xOc.t) avec GeoGebra…………………..…….... 167
Figure 79 : Construction de la droite x = c.t ou x’ = c.t’ avec GeoGebra…………......... 167
Figure 80 : Analyse du début des « versions expertes 4 et 5 »……………………….......168
Figure 81 : Construction des axes Ox’ et Oc.t’ avec GeoGebra……………………..…. 169
Figure 82 : Construction des ordonnées c.t’ des différents événements avec

GeoGebra……………………………………………………………………….……….... 169
Figure 83 : Construction des abscisses x’ des différents événements avec

GeoGebra………………………………………………………………………………..... 170
Figure 84 : Construction des abscisses x et des ordonnées c.t des différents événements avec
GeoGebra…………………………………………………………………………….…… 171
Figure 85 : Analyse des « versions expertes 4 et 5 » en cours de résolution………….… 172
Figure 86 : Utilisation du curseur avec GeoGebra…………………………………….… 173
Figure 87 : Ordre chronologique des trois événements pour v = 0,1.c dans le référentiel lié à
Armineh…………………………………………………………….……………….……. 173
Armineh……………………………………………………………………………..……. 174
Armineh……………………………………………………………………………..……. 174
Figure 90 : Analyse des « versions expertes 4 et 5 » en fin de résolution…………….… 175
Figure 91 : Diagramme de Loedel initialement fourni………………………………..…. 176
Figure 92 : Tracé de xE1, xE2, xE3, c.tE1, c.tE2 et c.tE3 sur le diagramme de Loedel….........177
Figure 93 : Tracé des positions des événements E1, E2 et E3 sur le diagramme de

Loedel…………………………………………………………………………………….. 178
Figure 94 : Tracé de c.t’E1, c.t’E2 et c.t’E3 sur le diagramme de Loedel…………………. 179
Figure 95 : Ordre chronologique des événements E2 et E3 pour v = 0,11.c dans le référentiel

lié à Armineh………………………………………………………………....................... 180
Figure 96 : Simultanéité des événements E2 et E3 pour v = 0,2.c dans le référentiel lié à

Armineh…………………………………………………………………………………... 180
xvii
Figure 97 : Ordre chronologique des événements E2 et E3 pour v = 0,59.c dans le référentiel

lié à Armineh……………………………………………….………………..…………… 181
Figure 98 : Copie d’écran de la première version GeoGebra du groupe de

Clément…………………………………………………….……………………………...186
Figure 99 : Copie d’écran de la seconde version GeoGebra du groupe de Clément.…... 187
Figure 100 : Copie d’écran de la première version GeoGebra du groupe

d’Anthony……………………………………………………………………………….... 190
Figure 101 : Copie d’écran de la seconde version GeoGebra du groupe d’Anthony..…... 191
Figure 102 : Copie d’écran de la première version GeoGebra du groupe de

Léopoldine………………………………………………………………………………...193
Figure 103 : Copie d’écran de la seconde version GeoGebra du groupe de

Léopoldine………………………………………………………………………………... 194
Figure 104 : Copie d’écran de la première version GeoGebra du groupe de Lucie........... 197
Figure 105 : Copie d’écran de la seconde version GeoGebra du groupe de Lucie…..….. 198
xviii
1
Introduction
La mise en place des nouveaux programmes de sciences physiques en terminale S en 2012 a

fait apparaitre des éléments de savoir relevant de la théorie de la relativité restreinte. Les
notions d’événement, d’invariance de la vitesse de la lumière dans un référentiel galiléen et de
caractère relatif du temps (au travers de l’introduction de la durée propre et de la dilatation
des durées) sont maintenant à traiter par les enseignants.
Le programme officiel de 2012 (voir tableau 1) leur laisse une certaine latitude pour traiter
cette partie du programme « La liberté didactique du professeur consiste à faire un choix,
notamment entre une approche historique, pouvant d’emblée annoncer le postulat et le faire
suivre par des tests expérimentaux, et une approche plus «pédagogique», partant des
résultats expérimentaux pour rendre plus naturelle ensuite l’hypothèse d’Einstein. En ce sens,
le programme se présente selon un ordre qui ne saurait être prescriptif, selon l’esprit général
qui l’anime ». Cette petite partie « temps et relativité restreinte » est généralement traitée tout
au plus en deux semaines par les enseignants.
Tableau 1 : Extrait du programme de sciences physiques de terminale S (2012).
Ce sont des notions qui n’ont jamais été vues auparavant par les élèves. Cette partie de
programme nécessite une maîtrise de la notion de référentiel qui a été vue pour la première
fois dans le programme de seconde en relation avec « la nature du mouvement observé » (voir
tableau 2).
2
Tableau 2 : Extrait du programme de sciences physiques de seconde (2010).
La notion de référentiel n’a été revue ensuite qu’en classe de terminale S lorsque les élèves
doivent « choisir un référentiel d’étude » lors de la « description du mouvement d’un point au
cours du temps » (voir tableau 3).
Tableau 3 : Extrait du programme de sciences physiques de terminale S (2012).
Les programmes ne proposent pas de définition précise pour la notion de « référentiel » et

cela peut laisser le terme avec une signification flottante alors que l’on pourrait s’attendre à ce
qu’il soit défini comme « un ensemble d'observateurs immobiles les uns par rapport aux
autres et définissant les mêmes mesures de durées et de distance ». 1
Des études ont montré que dans le contexte de situations relativistes, la maîtrise de ce
concept, qui s'avère déterminante n'est pas du tout effective même après un cursus
universitaire de physique. Scherr et al. (2001) ont montré que les étudiants ont tendance à
croire que deux observateurs, situés au même endroit, constituent un même référentiel même
s’ils sont en mouvement les uns par rapport aux autres. De même, pour eux, deux
observateurs immobiles l’un par rapport à l’autre à deux endroits différents constituent deux
référentiels indépendants.
1
Dans les manuels scolaires, un référentiel est défini comme un objet ou un solide de référence, éventuellement
muni d’une horloge. Pour Valentin, L. (1983) L’Univers mécanique, Hermann, 26 : “ Par référentiel, on entend
généralement des corps solides, supposés idéalement indéformables, par rapport auxquels tout point matériel est
repéré par trois coordonnées, x, y, z, mesurées sur des axes fixes qui sont les arêtes d’un trièdre d’ordinaire
choisi trirectangle. Par exemple, les murs d’une pièce peuvent servir de référentiel même si cette pièce est la
cabine d’un bateau sur une mer agitée, ou tout autre habitacle effectuant un mouvement quelconque ”.
3
de Hosson et al. (2010, 2012) ont également montré le même type de difficultés auprès
d’étudiants professeurs de sciences physiques cette fois-ci en étudiant comment la notion
d’événement est mobilisée. Une des situations étudiées est décrite ci-après.
La situation « du pont » concerne quatre personnes immobiles sur un pont (voir figure 1). A
et B sont immobiles face à face chacun à une extrémité du pont et disposent d’un appareil
photo avec flash. C est immobile au milieu du pont, et D est également immobile sur le pont,
mais se trouve à égale distance entre A et C. À un instant donné, C émet un signal en direction
de A et B afin que ceux-ci déclenchent leur appareil photo (on considère que les temps de
réaction d’A et B sont identiques).
A B
D C
Figure 1 : La situation du « pont » dans le référentiel du pont. Extrait de Kermen et de
de Hosson (2012).
Deux autres personnes E et F traversent le pont sur deux scooters cosmiques à la vitesse
constante v = 0,8.c par rapport au sol. F se dirige de A vers B et arrive à la hauteur de D à
l’instant même où celui-ci reçoit la lumière émise par A. E, qui se trouve devant F à une
vitesse semblable à celle de F dans le référentiel du pont, arrive à la hauteur de C au moment
où celui-ci reçoit la lumière émise par les flashes A et B (voir figure 2).
4
Figure 2 : Les scooters cosmiques dans la situation du « pont » et le référentiel du pont.
Un questionnaire demande quel est l’ordre selon lequel les flashes émis par A et B sont perçus
par C, D, E et F ainsi que sur l’ordre selon lequel ces mêmes flashes ont été émis (pour C, D,
E et F) afin de voir si les étudiants confondent les événements relatifs à l’émission et à la
réception des flashes.
Les flashes sont émis au même instant dans le référentiel du pont et donc pour les points A, B,
C et D car comme ils sont immobiles les uns par rapport aux autres, ils constituent un même
référentiel. Les flashes sont reçus au même instant pour C car la lumière doit parcourir la
même distance en venant de A ou de B (AC = CB). C’est le flash venant de A qui est perçu en
premier par D car la distance à parcourir par la lumière est plus faible dans ce cas (AD < BD).
E et F forment un même référentiel, dit des scooters, car ils sont immobiles l’un par rapport à
l’autre. E et C étant au même point de l’espace-temps à l’instant où la lumière des flashes y
arrive, ils perçoivent tous les deux les flashes au même instant dans le référentiel du pont ou
dans celui des scooters. De la même façon F étant au même point de l’espace-temps que D
5
lorsque la lumière issue du flash de A y arrive, F reçoit la lumière de ce flash d’abord, et ceci
dans les deux référentiels.
Lorsque E est au niveau de C, il se trouve à égale distance de A et de B. Avant cet événement

il était plus proche de A que de B. Cela veut donc dire que pour E la lumière du flash issu de
A a parcouru une distance plus faible que celle issue de B. Dans le référentiel de E ou de F, le
flash issu de A a donc été émis après le flash issu de B.
94 étudiants professeurs de sciences physiques ont répondu au questionnaire. Ils venaient de 5

instituts de formation (IUFM) différents et parmi eux 44 ont eu un enseignement sur la
relativité restreinte. L’analyse des réponses montre, par exemple, que les étudiants ne
répondent pas de la même manière lorsqu’on les questionne sur l’ordre d’émission des flashes
émis par A et B pour les observateurs C et D ou pour les observateurs E et F. Ces deux paires
d’observateurs définissent un référentiel identique, ils devraient donc conduire à une même
mesure de l’espace et du temps. D’autre part, les étudiants trouvent que les deux événements
« E reçoit les flashes A et B » et « C reçoit les flashes A et B » ne sont pas identiques alors
qu’ils le sont puisqu’ils constituent un même point d’espace-temps.
A partir de ce constat, nous nous sommes dit qu’une manière de donner plus de sens aux
concepts utilisés en relativité restreinte pourrait être de les mobiliser dans le cadre d’espaces
graphiques2 et ceci pour plusieurs raisons :
Tout d’abord, les travaux de Walter (1996) illustrent au travers de la description de la genèse
de la théorie de la relativité restreinte, l’apport des mathématiciens sur cette théorie avec en
particulier l’influence de Poincaré et de Minkowski. Ce dernier a contribué par sa vision plus
mathématique de la relativité restreinte à de nouvelles pistes qui se sont avérées utiles pour le
développement de la théorie de la relativité générale. L’étude historique de la genèse de la
théorie de la relativité restreinte montre donc un lien important avec les mathématiques et en
particulier les diagrammes d’espace-temps3.
D’un point de vue à la fois cognitif et sémiotique, les travaux de Duval (1993) ont montré que
la compréhension d’un concept est améliorée lorsqu’au moins deux registres de représentation
sont mobilisés et lorsque les traductions entre registres sont favorisées. Ainsi un registre basé
2
Nous parlerons par la suite d’espaces diagrammatiques ou de registres diagrammatiques.
3
Nous utiliserons dans ce travail de thèse indifféremment « diagramme » ou « diagramme d’espace-temps ».
6
sur les diagrammes était mobilisable grâce à celui associé à la genèse de la théorie, celui de
Minkowski (conférence de Cologne, 1908), et de deux diagrammes développés beaucoup plus
tard dans le cadre de l’enseignement de cette théorie, les diagrammes de Brehme (1962, 1964)
et de Loedel (1955, 1957).
Enfin, en parcourant les notions et les compétences exigibles du programme de terminale S,

on s’aperçoit qu’il n’y a pas d’allusion à l’aspect graphique néanmoins la présentation du
programme parle de « constructions graphiques » comme un support d’informations possible.
Nous nous proposons donc dans ce travail de thèse d’élaborer une séquence d’enseignement
de la théorie de la relativité restreinte qui utilise des constructions graphiques4 et d’en évaluer
l’impact auprès d’élèves de terminale S.
Pour cela nous nous intéresserons pour commencer dans une première partie aux éléments
épistémologiques et didactiques de la théorie de la relativité restreinte et des diagrammes
d’espace-temps5. Nous allons voir plus particulièrement dans cette partie les difficultés que
les graphiques d’espace-temps6 sont susceptibles de générer ainsi que leurs potentialités
didactiques puis l’analyse épistémologique des diagrammes d’espace-temps. Puis nous
décrirons la mise en place d’une séance pilote. Par la suite, dans une seconde partie, nous
allons décrire l’élaboration d’outils théoriques nécessaires à la création d’une séquence
d’enseignement en théorie de la relativité restreinte. Il s’agira d’adapter les espaces de travail
mathématiques (ETM) utilisés en didactique des mathématiques pour utiliser ces outils afin de
développer une nouvelle séquence utilisant plusieurs niveaux de progressivité. L’utilisation
d’un logiciel de géométrie dynamique, GeoGebra sera envisagée (lieu d’expérimentation et de
représentation des diagrammes). Enfin, cette nouvelle séquence sera mise à l’épreuve de la
classe.
Une dernière partie nous permettra de nous interroger sur les perspectives de notre travail, en
particulier en termes de formation des enseignants.
4
Nous allons adopter dans ce travail de thèse la définition suivante pour le mot « graphique » : représentation
d'une ou plusieurs fonctions mathématiques avec l'utilisation éventuellement d'outils empruntés à la géométrie.
5
Nous allons adopter dans ce travail de thèse la définition suivante pour l’expression « diagramme d’espace-
temps » : représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts de la relativité restreinte, des constructions
graphiques associées et des relations entre les grandeurs de temps et d'espace.
6
Nous considérerons dans ce travail de thèse que l’on passe d’un graphique d’espace-temps à un diagramme
d’espace-temps lorsque deux repères dans deux référentiels différents sont représentés.
7
Première partie
I. Théorie de la relativité restreinte et diagrammes d'espace-temps :

éléments épistémologiques et didactiques
Cette partie a pour objet de montrer que les représentations graphiques (x, t) permettent de
matérialiser des concepts et des énoncés qui peuvent être, nous l’avons vu, difficiles pour les
étudiants. Nous allons montrer que l'usage des graphiques dans l'enseignement peut être
délicat, mais, pour autant, nous posons pour le moment l'hypothèse que leur gain peut être
supérieur à la difficulté de leur utilisation.
I.1. Les graphiques d'espace-temps : points de vue didactique
I.1.1. Difficultés didactiques à utiliser des graphiques
Les difficultés des élèves à utiliser les graphiques en mécanique et à manipuler en particulier
la notion de pente (voir figure 3) ont été étudiées notamment par McDermott (1987).
Figure 3 : Etude du mouvement de deux objets A et B. Extrait de McDermott (1987).

8
McDermott a utilisé un questionnement basé sur la notion de pentes pour mettre en évidence
ces difficultés. On considère par exemple deux objets A et B se déplaçant avec une vitesse
constante suivant un axe orienté. La figure 3 correspond à la représentation graphique de cette
situation. Elle a demandé, à l’instant t = 2 s, si la vitesse de l’objet A est plus grande, plus
petite ou égale à la vitesse de l’objet B. De même elle a demandé si les objets A et B peuvent
avoir la même vitesse et si oui, à quel instant. Beaucoup d’élèves se sont trompés, car ils ont
confondu la position de l’objet avec la valeur de sa vitesse. Lorsque t = 2s, la position de
l’objet A est plus petite que celle de B et pourtant la vitesse de l’objet A est plus grande que
celle de B. De même les élèves ne se rendent pas compte que les deux objets ne peuvent
jamais avoir la même vitesse.
Les élèves ont souvent tendance à traduire graphiquement une situation comme la variation
temporelle d’une grandeur (voir figure 4). C’est ce qu’a montré Janvier (1993). Il a été
demandé à 224 étudiants entrant à l’université de tracer sur le système d’axes de gauche de la
figure 4 comment varie la durée que met un avion pour franchir Paris-Montréal en fonction
de sa vitesse. La bonne réponse 9c est donnée par 23% des étudiants, on observe des réponses
de type 9d, ce qui correspond à l’évolution temporelle de la vitesse de vol de l’avion pour
15% de ces mêmes étudiants.
Figure 4 : Situation proposant de trouver la durée d’un avion pour franchir Paris
Montréal en fonction de sa vitesse. Extrait de Janvier (1993).
L’interprétation d’une représentation graphique peut être faussée à cause de l’outil graphique
lui-même ou à cause du concept représenté (voir figures 5, 6 et 7). Cela a été étudié par
9
Lerouge (1993). Il a proposé aux élèves des questionnaires avec plusieurs représentations
possibles données ci-après. Une mauvaise interprétation à cause de l’outil graphique peut être
illustrée à l’aide du résultat de l’analyse des deux graphiques de la figure 5. 57% des élèves
de fin de troisième pensent par exemple que l’intersection est réduite à un point dans le cas a
et qu’elle comporte plusieurs points dans le cas b.
a b
Figure 5 : Interprétation faussée d’une représentation graphique. Extrait de Lerouge

(1993).
Une mauvaise interprétation à cause du concept représenté peut être illustrée par les
graphiques des figures 6 et 7. La figure 6 correspond à la situation de dépassement de deux
trains. 46 % des élèves de fin de troisième pensent que la longueur des trains influe sur le
nombre de points d’intersection entre deux droites. Ici elles représentent les distances
parcourues par les deux trains en fonction du temps. La figure 7 correspond à la situation de
dépassement d’un escargot par une limace. 51 % de ces mêmes élèves pensent aussi qu’il en
est de même à cause de la faible vitesse entre la limace et l’escargot.
10
Figure 6 : Dépassement de deux trains. Extrait de Lerouge (1993).
Figure 7 : Dépassement d’un escargot par une limace. Extrait de Lerouge (1993).
11
Nous venons de mettre en évidence précédemment des difficultés pour effectuer une
traduction du registre graphique au registre du langage naturel. Il existe également des
problèmes avec d’autres registres.
La chute d’un corps en mouvement dans un fluide a été analysée par Hannoun Kummer
(2009) dans le cadre du programme de terminale S de 2002. Après l’établissement des
équations différentielles ayant pour solution une fonction de type exponentielle, les élèves
devaient être capables de tracer la courbe représentant la solution de l’équation différentielle
modélisant le mouvement de la goutte afin de pouvoir l’interpréter. Les élèves interrogés ont
eu de grosses difficultés lors de la traduction entre le registre numérique ou analytique et le
registre graphique ainsi que dans l’articulation entre la solution mathématique et sa
signification physique pour le phénomène considéré. Les exemples de phénomènes étudiés en
sciences physiques et décrits par une fonction mathématique montrent que le graphique a
souvent un rôle de tracé illustratif d’une solution analytique. Il a un rôle d’outil et il est
simplement utilisé pour une lecture par pointage en assurant une simple correspondance entre
une abscisse et une ordonnée avec la prédominance du facteur temps. Il n’a pas, par contre, le
rôle de preuve ou d’outil de calcul, le calcul associé est toujours réalisé dans le registre
analytique ou numérique.
Nous avons mis en évidence dans ce chapitre des difficultés potentielles à utiliser le registre
graphique lors de changement de registres. Nous faisons l’hypothèse que ces difficultés vont
être toujours présentes lors de l’utilisation du registre diagrammatique. Voyons maintenant
les potentialités didactiques des représentations graphiques de type (x, t) révélées,
notamment, par quelques exemples extraits de la littérature de recherche.
I.1.2. Potentialités didactiques des graphiques
L’effet Doppler est mis en évidence lorsqu’un émetteur d’ondes électromagnétiques ou

mécaniques périodiques est en mouvement relatif par rapport à un observateur. Dans ce cas-
là, la fréquence de réception est perçue différemment de la fréquence d’émission. Cela
explique par exemple que le son d’une sirène d’ambulance est perçu plus aigu lorsqu’elle se
rapproche d’un observateur sur le bord de la route et plus grave lorsqu’elle s’en éloigne.
12
En observant, par exemple, une image représentant l’effet Doppler (voir figure 8), on
s’aperçoit que la distance d, entre l’émetteur et l’observateur, placée sur le graphique donne
de l’importance à un paramètre qui n’intervient pas dans la formule de transformation des
fréquences. De même on voit « un train d’onde », avec la représentation des longueurs d’onde
 et ’, qui devient un objet qui se transforme sans que l’on sache pourquoi. Ce phénomène
est accentué par la confusion des référentiels, car « le train d’onde » associé à la longueur
d’onde  est représenté dans le référentiel de l’émetteur et celui qui est associé à la longueur
d’onde ’ l’est dans le référentiel de l’observateur sans que cela soit bien explicité sur
l’image.
Figure 8 : Une image pour représenter l’effet Doppler. Extrait de Leroy-Bury et Viennot
(2003).
Une nouvelle représentation graphique du phénomène de l’effet Doppler dans laquelle la

distance d n’a plus la même importance et pour laquelle on n’observe plus de confusion de
référentiels a été proposée par Leroy-Bury et Viennot (2003).
On considère une source se déplaçant suivant une demi-droite orientée Ox. Le récepteur est
placé à une distance d de la source sur cette demi-droite.
13
Figure 9 : Représentation d’une source et d’un récepteur immobiles. Extrait de Leroy-

Bury et Viennot (2003).
La source et le récepteur sont immobiles par rapport au référentiel terrestre (voir figure 9),
c’est pour cela que les demi-droites représentant leurs positions au cours du temps sont
parallèles à l’axe des abscisses. La source émet des bips réguliers séparés d’une durée TS qui
correspond à la période de la source. Le signal se propage jusqu’au récepteur (il aurait pu se
propager dans les deux sens, celui des x positifs et celui des x négatifs mais on ne représente
que ce qui est pertinent pour le problème). Ceci est représenté par les segments appelés
« signal ». La pente de ces segments correspond à la vitesse du signal dans le milieu de
propagation considéré. Le récepteur reçoit un bip lorsqu’un segment « signal » rencontre la
demi-droite associée aux positions au cours du temps du récepteur. Le graphique permet
ensuite de repérer la période du signal perçu par le récepteur, notée TR. Ici TR = TS car la
source et le récepteur sont immobiles par rapport au référentiel terrestre.
14
Figure 10 : Représentation d’une source s’éloignant d’un récepteur. Extrait de Leroy-

Bury et Viennot (2003).
Ici le récepteur est immobile et la source s’éloigne de lui (voir figure 10). Il est possible de
trouver la vitesse de la source par rapport au récepteur à partir de la pente de la demi-droite
représentant les positions de la source au cours du temps. La source émet également des bips
réguliers séparés d’une durée TS. Comme tout à l’heure, le signal se propage jusqu’au
récepteur. Il est possible de connaitre également sa vitesse par rapport au référentiel terrestre
grâce à la pente des segments nommés « signal ». Dans ce cas, la construction graphique
montre que TR > TS ce qui veut dire que la fréquence du signal perçu par le récepteur est plus
petite que la fréquence du signal émis par la source (la fréquence est inversement
proportionnelle à la période).
La relativité de la simultanéité de deux événements dans le cadre de la théorie de la relativité

restreinte peut également être mise en évidence par une méthode graphique (voir figure 11).
Un événement est caractérisé par quatre coordonnées : trois coordonnées d’espace et une
coordonnée de temps. Les situations étudiées sont bien souvent limitées au déplacement d’un
référentiel par rapport à un autre suivant une seule coordonnée de l’espace, x par exemple, par
souci de simplification. L’étude des coordonnées d’un événement E est ainsi limitée à l’étude
des coordonnées x et t.
15
c.t Particule A immobile
Particule B en mouvement
uniforme
45° 45°
E
c.tE
xE x
Photons
Figure 11 : Graphique d’espace-temps (x, c.t).
Dans un graphique d’espace-temps (x, c.t), un événement est un simple point et les lignes
d’univers correspondent aux positions d’une particule au cours du temps. Une particule
immobile a donc une ligne d’univers verticale. La ligne d’univers d’un photon est parallèle à
la bissectrice de l’angle formé par Ox et Oc.t qui a pour équation x = c.t si les photons se
déplacent dans le sens des x croissants. Elle peut aussi être parallèle à la bissectrice de l’angle
formé par – Ox et Oc.t si les photons se déplacent suivant le sens des x décroissants.
Une particule en mouvement ne peut pas avoir une ligne d’univers qui a une pente plus faible
que la ligne d’univers d’un photon lorsque le déplacement se fait suivant les valeurs de x
croissantes (ou une pente plus grande dans le cas d’un déplacement suivant les valeurs de x
décroissantes).
En effet, dans le cas d’un mouvement suivant les valeurs de x croissantes, la ligne d’univers
d’une particule de vitesse v a pour équation :
x = v.t
16
c.x
Cette équation peut s’écrire également : v
= c.t
Si la pente de cette droite est plus petite que celle de la droite d’équation x = c.t, cela entraîne
obligatoirement que :
c
v
< 1 et donc c < v ce qui n’est pas possible.
Kermen et de Hosson (2013) ont traduit graphiquement la situation d’une vidéo disponible à
l’adresse suivante : www.youtube.com/watch?v=wteiuxyqtoM
Cette vidéo décrit un train qui se déplace en ligne droite et avec une vitesse constante le long
d’un quai avec une vitesse proche de c. Une passagère est située au milieu du train et un
observateur se trouve immobile le long du quai. Lorsque le milieu du train coïncide avec la
position de l’observateur sur le quai, deux éclairs frappent simultanément pour cet observateur
l’avant et l’arrière du train (voir figure 12).
Figure 12 : Image de deux éclairs frappant simultanément le train pour l’observateur du

quai. Extrait de Kermen et de de Hosson (2013).
La passagère du train est atteinte en premier par le front d’onde émis par l’éclair à l’avant du
train (voir figure 13). Comme elle se trouve au milieu du train, les distances à parcourir par
chaque front d’onde sont égales. Cela veut dire que par rapport à la passagère du train, l’éclair
a frappé l’avant du train avant l’éclair qui a frappé l’arrière du train.
17
Figure 13 : Image de la passagère au milieu du train, recevant en premier le front

d’onde de l’éclair ayant frappé l’avant du train. Extrait de Kermen et de de Hosson
(2013).
La résolution graphique de cette situation est déclinée en deux parties avec un graphique dans
le référentiel du quai (voir figure 14) et un autre dans le référentiel du train (voir figure 15).
Le graphique d’espace-temps comportant un repère (x, c.t) dans le référentiel du quai est
représenté sur la figure 14. La ligne d’univers de l’observateur est une demi-droite verticale.
Les lignes d’univers de l’avant, l’arrière et la passagère du train sont représentées par des
demi-droites obliques vers la droite, car le train s’éloigne de l’observateur dans le sens des
valeurs de x croissantes.
A l’instant t0, pris pour origine des dates, les éclairs frappent simultanément l’avant et
l’arrière du train dans le référentiel du quai. De même à cet instant, la position de
l’observateur sur le quai coïncide avec la position de la passagère dans le train. Les lignes
d’univers des photons se déplaçant dans le sens des x croissants ou décroissants sont
également représentées pour les deux éclairs.
On remarque sur la construction graphique que l’instant t1 correspond au temps pour lequel la
lumière issue de l’éclair ayant frappé l’avant du train arrive au niveau de la passagère. t2 est
associé à l’instant pour lequel la lumière créée par les deux éclairs arrive simultanément au
niveau de l’observateur resté sur le quai. Enfin l’instant t3 est associé à l’arrivée, au niveau de
la passagère, de la lumière créée par l’éclair ayant touché l’arrière du train. Comme t1 < t3 on
observe graphiquement que la passagère perçoit d’abord la lumière issue de l’éclair ayant
18
touché l’avant du train. Comme elle se trouve au milieu du train, pour elle, l’éclair ayant
touché l’avant du train a eu lieu avant l’éclair ayant touché l’arrière du train.
Figure 14 : Situation du train dans le référentiel du quai. Extrait de Kermen et de de

Hosson (2013).
La figure 15 est relative au graphique d’espace-temps dans le référentiel du train en utilisant

un repère (x’, c.t’). Les lignes d’univers de l’avant, de l’arrière et de la passagère du train sont
des demi-droites verticales cette fois-ci. La ligne d’univers de l’observateur resté sur le quai
est une demi-droite oblique vers la gauche car l’observateur s’éloigne du train dans le sens des
valeurs de x’ décroissantes.
19
Figure 15 : Situation du train dans le référentiel du train. Extrait de Kermen et de de

Hosson (2013).
L’événement « observateur du quai perçoit simultanément la lumière des deux éclairs » a lieu
à l’instant t’3. Cet événement a lieu lorsque l’observateur, placé dans le référentiel du quai, se
trouve entre le milieu et l’arrière du train. Il est placé arbitrairement sur le graphique. En
remontant le temps, les lignes d’univers des photons arrivant en ce point permettent de trouver
les instants d’émission des éclairs. t’1 est associé au temps d’émission de l’éclair frappant
l’avant du train et t’2 à l’éclair frappant l’arrière du train. Les deux événements ne sont pas
simultanés dans le référentiel du train et comme t’1 < t’2, l’éclair frappant l’avant du train a
bien eu lieu avant l’éclair frappant l’arrière du train.
La non-simultanéité des deux événements associés aux éclairs frappant l’avant et l’arrière du
train dans le référentiel du train est cette fois-ci visible graphiquement, car les deux
événements correspondants n’ont pas la même coordonnée temporelle.
de Hosson et al. (2010, 2012) ont également proposé une résolution graphique de la situation
des scooters (voir figures 16, 17 et 18) préalablement présentée dans l’introduction de ce
travail de recherche et rappelée ci-après.
La situation « du pont » concerne quatre personnes immobiles sur un pont. A et B sont

immobiles face à face chacun à une extrémité du pont et disposent d’un appareil photo avec
flash. C est immobile au milieu du pont, et D est également immobile sur le pont, mais se
20
trouve à égale distance entre A et C. À un instant donné, C émet un signal en direction de A et

B afin que ceux-ci déclenchent leur appareil photo (on considère que les temps de réaction de
A et B sont identiques). Deux autres personnes E et F traversent le pont sur deux scooters
cosmiques à la vitesse constante v = 0,8.c par rapport au sol. F se dirige de A vers B et arrive
à la hauteur de D à l’instant même où celui-ci reçoit la lumière émise par A. E, qui se trouve
devant F à une vitesse semblable à celle de F dans le référentiel du pont, arrive à la hauteur de
C au moment où celui-ci reçoit la lumière émise par les flashes A et B.
La figure 16 représente le graphique d’espace-temps de la situation du pont dans le référentiel

du pont. Les lignes d’univers des points A, B, C et D sont des demi-droites verticales. Un
signal lumineux part du point C dans les deux sens à l’instant t1. Il arrive en A et B au même
instant t2 ou t3. A et B émettent deux flashes simultanés dans le référentiel du pont, puisque
produits au même instant, t2 ou t3. La lumière des deux flashes arrive au même instant t5 au
point C situé au milieu du pont. Le point D reçoit en premier la lumière du flash issue de A à
l’instant t4, puis celle issue de B en t5, puisque D est plus près de A que de B
21
Figure 16 : Situation du pont dans le référentiel du pont. Extrait de de Hosson et al.

(2010, 2012).
Les figures 17 et 18 correspondent aux graphiques d’espace-temps de la situation du pont

dans le référentiel des scooters. Les lignes d’univers obliques vers la gauche sont relatives aux
points A, B, C et D car ils se déplacent dans le sens des x décroissants. Les demi-droites
verticales correspondent aux lignes d’univers de E et F. t’5 correspond à l’instant pour lequel
la lumière issue des deux flashes A et B arrive au point C. En remontant le temps, les lignes
d’univers des photons arrivant en ce point permettent de trouver les instants d’émissions des
flashes t’3 relatif au flash émis en A et t’2 relatif au flash émis en B. Comme t’2 < t’3, le flash
émis par B a lieu avant le flash émis par A dans le référentiel des scooters. En continuant à
remonter le temps, il est possible de trouver l’instant t’1 associé à l’envoi du signal lumineux
par C vers A et B. t’4 correspond à l’instant pour lequel la lumière du flash émis par A arrive
en D.
La figure 18 montre bien que les points E et C coïncident à l’instant t’5 ainsi que D et F en t’4.
22
Figure 17 : Situation du pont dans le référentiel des scooters7. Extrait de Kermen et de

de Hosson (2012).
7
La distance entre les personnages change lorsque l’on change de référentiel.
23
Figure 18 : Situation du pont dans le référentiel des scooters avec les lignes d’univers de
E et F.
Nous venons de voir dans ce chapitre que les graphiques d’espace-temps8 permettent une
visualisation de concepts délicats à interpréter comme l’effet Doppler ou la non-simultanéité
d’événements dans le cas de mouvements relativistes. Nous allons voir par la suite les liens
étroits qui existent entre la genèse de la théorie de la relativité restreinte et les diagrammes
d’espace-temps9.
8
Voir à ce propos l’ouvrage de Sander Bais (2007)
9
Rappelons que nous considérons dans ce travail de thèse que l’on passe du graphique d’espace-temps au
diagramme d’espace-temps lorsque deux repères dans deux référentiels différents sont représentés.
24
I.2. Les diagrammes d'espace-temps : représenter des situations

relativistes
I.2.1. Consubstantialité des diagrammes et de la théorie de la relativité

restreinte10
L’histoire de la théorie de la relativité restreinte confirme un lien étroit entre les

mathématiques et les sciences physiques. Dans la suite de notre étude, nous avons considéré à
chaque fois, par souci de simplification, deux référentiels R et R’ en mouvement de
translation rectiligne uniforme l’un par rapport à l’autre. Chaque référentiel possède un repère
associé, Oxyz pour R et O’x’y’z’ pour R’. Les axes Ox et O’x’ sont ainsi confondus. R’ se
déplace à une vitesse v par rapport à R suivant Ox. Les coordonnées de y, z, y’ ou z’ ont été à
chaque fois inchangées (voir figure 19). Les origines spatiales O et O’ des deux référentiels
coïncident en t = t’ = 0.
Figure 19 : Repères de deux référentiels en mouvement rectiligne à vitesse constante.
10
D’après Hladik, J., Chrysos, M. (2001) ; Semay, C., Silvestre-Brac, B. (2010) et Walter, S.A. (1996)
25
Les transformations dites de Galilée permettent d’exprimer les coordonnées d’un point situé
dans le repère d’un référentiel particulier R, dans le repère d’un autre référentiel particulier
R’. Ces référentiels, nommés référentiels galiléens, vérifient la propriété selon laquelle tout
corps conserve son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, en l’absence de force
extérieure agissant sur lui. Les référentiels galiléens se déduisent les uns des autres par un
mouvement rectiligne uniforme. Les équations de transformation entre ces deux référentiels R
et R’ s’écrivent alors :
t' 1 0 0 0 t
x' = -v 1 0 0 x
y' 0 0 1 0 y
z' 0 0 0 1 z
D’où
t' t
x' = x-v.t
y' y
z' z
Dans cette transformation, le temps est absolu. Néanmoins, les équations de Maxwell ne sont
pas invariantes par les transformations de Galilée. Pour régler ce problème épineux, plusieurs
stratégies ont été évoquées au XIXe siècle :
- Il faut admettre que la théorie de l’électromagnétisme de Maxwell est fausse.
- Il est nécessaire de chercher à rendre compatibles les postulats de la mécanique classique et

de l’électromagnétisme.
- Il faut admettre que les postulats de la mécanique classique sont faux.
C’est la dernière stratégie qui a finalement été adoptée lors du développement des
transformations spéciales dites de Lorentz par Lorentz (1853-1928) et Poincaré (1855-1912).
Les équations de transformation entre les référentiels R et R’ s’écrivent alors :
-.v
t'  0 0 t
x' = -v. c  x
y' 0 0 y
0 0 1 0 z
z' 0 0 0 1
26
v.x
t' .(t- c2 )
D’où x' = .(x-v.t)
y' y
z' z
avec  =
Les équations de Maxwell sont cette fois-ci invariantes avec ces transformations. Lorentz a
construit en même temps une théorie de la matière dans laquelle les solides subissent une
contraction de longueur selon l’axe de leur mouvement.
v2
L=L0 1-
c2
Les atomes peuvent être représentés par des petites boules pouvant s’aplatir ou se tasser selon
l’axe de leur mouvement. Poincaré a montré que la transformation de Galilée est une
approximation valable pour v très petite devant c. Il a cherché à étendre l’invariance de toutes
les lois physiques sous la transformation de Lorentz (Principe de relativité). Il a remis en
cause la notion newtonienne de temps dès 1893 ainsi que la notion newtonienne de masse. Il a
aussi montré que les transformations de Lorentz constituent une rotation autour de l’origine
dans un espace à quatre dimensions.
v
Il faut définir pour cela la rapidité  telle que tanh  =  = c ; cosh  =  et donc sinh  = .
c.t' cosh  -sinh  0 0 c.t

x' = -sinh  cosh  0 0 x
y' 0 0 1 0 y
z' 0 0 0 1 z
Poincaré a également montré que les transformations de Lorentz forment un groupe

(découvert indépendamment par Einstein).
La transformation neutre correspond à une transformation de Lorentz pour laquelle  = 0

c'est-à-dire v = 0 m.s-1. Dans ce cas-là :
c.t' 1 0 0 0 c.t
x' = 0 1 0 0 x
y' 0 0 1 0 y
z' 0 0 0 1 z
La transformation inverse correspond à une transformation de Lorentz de rapidité –  ce qui

correspond à une vitesse du référentiel R de – v par rapport au référentiel R’.
27
c.t cosh  sinh  0 0 c.t'

x = sinh  cosh  0 0 x'
y 0 0 1 0 y'
z 0 0 0 1 z'
La composition de deux transformations de Lorentz demeure une transformation de Lorentz.

C'est-à-dire que la transformation de Lorentz d’un référentiel R’ à R de rapidité 1 associée à
la transformation de Lorentz d’un référentiel R’’ à R’ de rapidité 2 permet de trouver celle du
référentiel R’’ à R.
c.t cosh 1 sinh 1 0 0 c.t'

sinh 1 cosh 1 0 0 x'
Si yx =
0 0 1 0 y'
z 0 0 0 1 z'
c.t' cosh 2 sinh 2 0 0 c.t''

sinh 2 cosh 2
Et si x' = 0 0 x''
y' 0 0 1 0 y''
z' 0 0 0 1 z''
c.t cosh  sinh  0 0 c.t''

sinh  cosh  0 0 x'' avec  =  +  .
Alors yx = 0 0 1 0 1 2
y''
z 0 0 0 1 z''
Enfin il est possible de montrer que la composition de trois transformations spéciales de

Lorentz est également associative.
Poincaré a également montré l’invariance de l’intervalle d’espace-temps entre deux

événements E1 et E2 de coordonnées (c.t1, x1, y1, z1) et (c.t2, x2, y2, z2) par les transformations
de Lorentz. Le carré de l’intervalle d’espace-temps, noté s2 s’écrit :
s2 = c2.(t1 - t2)2 - (x1 - x2)2 - (y1 - y2)2 - (z1 - z2)2
Si s2 > 0, l’intervalle est dit du genre temps. Cela veut dire que les deux événements E1 et E2
sont dépendants.
Si s2 < 0, l’intervalle est dit du genre espace, les deux événements E1 et E2 sont
indépendants.
Enfin si s2 = 0, l’intervalle est de type lumière. Dans ce cas, des photons peuvent relient les
deux événements.
Einstein (1879-1955) a par la suite énoncé en 1905 dans sa théorie de la relativité restreinte
deux postulats.
28
Premier postulat
Tous les référentiels d’inertie sont équivalents, autrement dit, la formulation mathématique
des lois de la physique doit être la même dans tous ces référentiels.
Deuxième postulat
La vitesse de la lumière dans le vide possède la même valeur c dans toutes les directions et
dans tous les référentiels inertiels.
Minkowski (1864-1909) est un mathématicien qui a présenté dans sa conférence de Cologne

en 1908 une étude mathématique de l’espace-temps à quatre dimensions, appelé par la suite
espace de Minkowski. Il a effectué une étude sur la causalité et sur la simultanéité dans ces
espaces temps. Il a utilisé à cette occasion un diagramme d’espace-temps, appelé par la suite
diagramme de Minkowski (Semay (2010) et Walter (1996)).
La correspondance des échelles entre les repères des référentiels R et R’ est assurée par des
équations d’hyperboles de type c2.t2 - x2 = constante (on considère les coordonnées y et z
constantes, voir figure 20). La disposition des axes Ox’ et Oc.t’ par rapport aux axes Ox et
Oc.t est fonction de la vitesse du référentiel R’ par rapport à R. Il est possible de superposer
autant de repères que l’on veut, associés à des référentiels en mouvement rectiligne uniforme
les uns par rapport aux autres, dans un diagramme de Minkowski.
29
c.t c.t’
x = c.t
2 2 2
c .t -x = 1
x’
1
1
1
O
x
1
Figure 20 : Correspondance des échelles des repères dans deux référentiels dans le
diagramme de Minkowski11.
Enfin les projections des événements des différents repères se font parallèlement aux axes. Il
est ainsi possible de voir directement les coordonnées d’un même événement dans deux
référentiels différents (ou plus) se translatant l’un par rapport à l’autre à une vitesse constante
proche de la vitesse de la lumière dans le vide c (voir figure 21).
11
Dans la suite de ce travail de thèse, il sera sous-entendu, si ce n’est pas précisé, que l’unité des valeurs
numériques suivant l’axe des ordonnées et l’axe des abscisses des diagrammes d’espace-temps est le mètre.
30
c.t c.t’
x’
c.t’A x’B
A O
B x
x’A
c.t’B
Figure 21 : Coordonnées de deux événements dans le repère du référentiel R’.
Nous venons de voir que le diagramme de Minkowski est intimement lié avec le
développement de la théorie de la relativité restreinte. Il existe un lien très fort entre cette
théorie et les mathématiques puisque des mathématiciens comme des physiciens ont œuvré
pour son développement.
Nous prenons maintenant le parti d'exploiter le caractère consubstantiel du diagramme de

Minkowski à la théorie de la relativité restreinte pour étudier les éléments du programme de
terminale S (durée propre, durée impropre, ...). Nous allons explorer ensuite les potentialités
d'autres diagrammes, inspirés de Minkowski mais créés à des fins didactiques.
31
I.2.2. Des exemples de diagrammes : Minkowski, Brehme et Loedel
Nous nous sommes intéressés à trois types de diagrammes : un diagramme historique associé
à la genèse de la théorie de la relativité restreinte, celui de Minkowski et deux autres
diagrammes développés plus tard avec un rôle plus didactique : le diagramme de Brehme et
celui de Loedel. Nous allons commencer par voir comment la perte de simultanéité ainsi que
les notions de durées propres et impropres peuvent être traitées grâce à la transformée de
Lorentz afin de faire le parallèle avec l’utilisation de diagrammes.
La perte de simultanéité traitée avec la transformée de Lorentz
Nous allons voir comment la perte de simultanéité peut être traitée à l’aide de la transformée
de Lorentz. Nous nous situons au-delà du programme de terminale S.
v v Train
M’
M Voie
A B
Figure 22 : La perte de la simultanéité via la transformée de Lorentz.
Considérons deux référentiels, un lié à une voie ferrée et un lié à un train très long se
déplaçant de façon rectiligne à une vitesse v constante et proche de la vitesse de la lumière
(Einstein, 2004)12. A et B sont deux positions repérées sur la voie ferrée. Deux éclairs sont
envoyés de façon simultanée par rapport à la voie ferrée de A et B vers M qui est le milieu du
segment [AB]. M, lié à la voie ferrée, reçoit les rayons lumineux issus de A et B au même
instant et il coïncide également avec M’, qui est lié au train, au moment de la réception (voir
figure 22).
12
C’est aussi la situation du train qui a été illustrée sur la vidéo présentée dans le I.1.2.
32
Avant que M’ soit en face de M et puisque le train se déplace de A vers B, l’émetteur A était
plus proche de M’ que l’émetteur B. L’éclair émis par B aura eu un plus long chemin à
parcourir que celui émis par A. Donc B a dû émettre son éclair avant que A n’envoie le
sien.
Il est également possible d’utiliser la transformée de Lorentz pour comprendre que les deux
événements qui sont simultanés par rapport au référentiel associé à la voie, ne le sont plus par
rapport au référentiel lié au train (Hladik, 2001).
Considérons deux événements de coordonnées respectives xA, yA, zA, tA et xB, yB, zB, tB ayant
lieu dans un référentiel R tel que xB > xA.
Ces deux événements sont simultanés dans R, donc tA = tB et t = tB – tA = 0.
Le référentiel R’ est en translation uniforme par rapport à R à la vitesse v.
D’après la transformation de Lorentz :

v.xA
t’A =  (tA – c2
)
v.xB
t’B =  (tB – c2
)
v.(xB -xA ) -.v.(xB -xA )

D’où t’ = t’B – t’A =  [(tB - tA) – c2
]= c2
≠0
Cette dernière relation est toujours vraie même si v est petite mais elle est mise en évidence
lorsque la vitesse v est relativiste. Les événements ne sont pas simultanés dans R’ et t’ < 0 (si
v > 0) c’est-à-dire que t’B < t’A. L’émission de l’éclair venant de B a eu lieu en premier
dans R’.
Les durées propres et impropres traitées avec la transformée de Lorentz
La transformée de Lorentz permet de retrouver facilement la relation de dilatation des durées

du programme de terminale S.
Considérons deux événements A et B de coordonnées respectives xA, yA, zA, tA et xB, yB, zB, tB
ayant lieu dans un référentiel R tels que xA = xB.
33
La durée t = tB – tA est mesurée par une horloge H fixe dans R au même endroit que les deux
événements.
Le référentiel R’ est en translation rectiligne uniforme par rapport à R à la vitesse v.

v.xA
t’A =  (tA – c2
)
v.xB
t’B =  (tB – c2
)
Or xA = xB
v.(xB -xA )
D’où t’ = t’B – t’A =  [(tB - tA) – c2
] = .(tB - tA) = .t
Comme  s’éloigne de 1 lorsque v est proche de c alors t’ > t.
x’ A =  .(xA - v.tA)
x’ B =  .(xB - v.tB)
Or xA = xB
D’où x’B – x’A =  [(xB - xA) – v.(tB - tA)] = -.v.(tB - tA) ≠ 0
t est une durée propre. C’est une durée entre deux événements, situés au même point
d’espace (ou ayant les mêmes coordonnées spatiales), mesurée par une seule horloge fixe H
dans son référentiel R.
t’ est une durée impropre. C’est une durée entre deux événements mesurés en deux endroits
différents par deux horloges distinctes H1 et H2, fixes dans leur référentiel R’.
Le diagramme de Minkowski
Le diagramme de Minkowski a l’avantage d’être un outil historique, nous l’avons vu

précédemment. Il possède un repère xOc.t orthonormé ce qui est familier pour les élèves du
secondaire.
34
Construisons un diagramme de Minkowski avec un référentiel R’ en mouvement rectiligne

uniforme par rapport à un référentiel R à une vitesse v = 0,6.c (voir figure 23).
Tout d’abord on place un repère orthonormé (xOc.t) qui correspond à un repère du référentiel
R. On construit la bissectrice x = c.t puis la droite x = 0,6.c.t qui correspond à c.t = x / 0,6 soit
c.t = 10.x / 6. On part donc de l’origine puis on compte 10 pour c.t et 6 pour x. La droite
x = 0,6.c.t correspond à la ligne d’univers d’un objet partant du point O et se déplaçant à la
vitesse 0,6.c dans R. Cela correspond à la droite Oc.t’. La droite Ox’ est la symétrique de la
droite Oc.t’ par rapport à la droite x = c.t. Les projections sur ce type de diagramme se font
parallèlement aux axes.
c.t c.t’ x = c.t

v = 0,6.c
10
x’
O x
6
Figure 23 : Construction du diagramme de Minkowski pour v = 0,6.c.
Dans le diagramme de Minkowski, la droite x = 0 est décrite par l’axe Oc.t. De même la
droite x’ = 0 est décrite par l’axe Oc.t’.
On place les événements A et B tels que tA = tB car ces deux événements sont simultanés dans
R. On voit que t’A > t’B en projetant les événements A et B sur l’axe Oc.t’ parallèlement à
l’axe Ox’. L’événement A a bien lieu après l’événement B dans le référentiel R’
(voir figure 24) parce que la droite parallèle à l’axe Ox’ passant par l’événement A se trouve
au-dessus de celle passant par l’événement B.
35
c.t c.t’ x = c.t

v = 0,6.c
10
x’
M
t’A > t’B
 c.t’A
A  
O B x
6 10
 c.t’B
Figure 24 : La non-simultanéité d’événements avec le diagramme de Minkowski.
Le diagramme de Minkowski est donc utile pour étudier la perte de la simultanéité de deux
événements entre deux référentiels, mais les projections parallèlement aux axes ne sont pas
habituelles pour les élèves du secondaire.
36
c.t c.t’
 = 0,6
1/ = 0,8
x’
1/ A
1 
O x

Figure 25 : Correspondance des coordonnées d’un point dans les deux référentiels d’un
diagramme de Minkowski.
On considère un point A dans R tel que c.t = 1m (voir figure 25). C’est le point d’intersection
entre les deux droites d’équation c.t = 1 et x = v.t = .c.t (c’est l’équation de l’axe Oc.t’ dans
v
R avec  = c).
Comme v = 0,6.c, on a  = 0,6. Les coordonnées du point A dans R sont donc A ( ; 1).
Dans R’ les coordonnées du point A sont x’ et ct’.
D’après la transformée de Lorentz on a :
x’ = .(x - v.t) = .( - .c.t) = .( - ) = 0

v.x
t’ = .(t - c2
)
2 1
c.t’ = .(c.t - .x) = .(1 -  ) = 
1
Les coordonnées du point A dans R’ sont donc : A (0 ; ). Une unité de c.t dans R est donc
1
associée à  unité de c.t’ dans R’.
37
Sur la figure 26, entre deux événements A et B à la même position dans R on trouve c.t  4
unités de c.t par lecture graphique.
t correspond à la durée propre. En projetant une unité de c.t sur c.t’ parallèlement à x on
1
trouve une unité de c.t’ qui correspond à 0,8 unité de c.t soit . En projetant parallèlement à x’
1
les points A et B sur l’axe Oc.t’ on trouve c.t’  6,5.  = 6,5 x 0,8 = 5,2 unités de c.t.
t’ correspond à une durée impropre.
t'
On a donc t
 1,3  ,
= .
Ainsi on retrouve bien t’ = .t.
c.t c.t’
 = 0,6
1/ = 0,8
10
x’
c.tB B

6 c.t  4
c.t’  6,5 x 0,8 = 5,2
 t’ / t  1,3  1 / 0,8 = 
c.t’B
1
c.tA 
A
0,8
O x
6 10
c.t’A x A = xB

Figure 26 : Correspondance des échelles entre deux repères de deux référentiels dans le
diagramme de Minkowski.
38
Il existe une autre méthode décrite dans Semay (2010). En effet une unité de l’axe Oc.t’ ou de
1+2
l’axe Ox’ d’un repère dans le référentiel R’ se trouve à la distance de l’origine
1-2
spatiotemporelle par rapport à un repère du référentiel R.
Le diagramme de Minkowski est donc utilisable pour étudier les effets de dilatation du temps,
mais comme les échelles ne sont pas respectées d’un référentiel à un autre, les résultats ne
sont pas immédiats. Cela peut constituer une source de difficulté supplémentaire pour les
élèves du secondaire.
Le diagramme de Brehme
Dans le diagramme de Brehme (voir figures 27 et 28), l’axe Ox est perpendiculaire à l’axe
Oc.t’ et l’axe Ox’ est perpendiculaire à l’axe Oc.t. On retrouve le même angle α entre les
angles Ox’ et Ox et entre les axes Oc.t et Oc.t’. Les échelles sont conservées, c’est-à-dire que
10 unités de x’ sont représentées de la même façon que 10 unités de x, que 10 unités de c.t et
10 unités de c.t’. Cela est illustré par le tracé du cercle de rayon 10 unités de distance car x,
c.t, x’ et c.t’ sont tous les quatre homogènes à une distance.
Le diagramme de Brehme représenté sur la figure 27 correspond à v = 0,6.c. On a ainsi

1
Sin  =  = 0,6 et Cos  = 
= 0,8. Le cercle trigonométrique est utilisé pour la construction
des axes Ox et Oc.t’.

39
x = c.t
c.t
c.t’ 10
8 x

x’
O
6 8 10
Figure 27 : Construction du diagramme de Brehme.
Il n’est pas possible, par contre, de représenter plus de deux repères associés à deux
référentiels sur un diagramme de Brehme, car la position des événements dépend des repères
représentés.
Dans le diagramme de Brehme, les projections se font perpendiculairement aux axes. La

figure 28 montre qu’en prenant deux événements A et B simultanés dans R, on s’aperçoit
qu’ils ne sont plus simultanés dans R’ puisque t’B < t’A. L’événement B a lieu avant
l’événement A dans ce cas.
40
x = c.t
c.t
c.t’
10
8 M x

x = - c.t A
6   B
c.t’A 

t’B < t’A
c.t’B 

x’
O 8 10
6
Figure 28 : Projections et simultanéité dans le diagramme de Brehme.
Le diagramme de Brehme est donc utilisable pour étudier la perte de la simultanéité entre
deux référentiels. Les projections perpendiculairement aux axes sont plutôt habituelles pour
les élèves du secondaire.
41
Il est possible de retrouver les transformées de Lorentz à partir du diagramme de Brehme

représenté sur la figure 29 en utilisant des relations simples de trigonométrie.
c.t
c.t’
M x

A  B

xB

c.t’A 
xA
c.t’B

x’
O
Figure 29 : Lien entre transformée de Lorentz et diagramme de Brehme.
A partir de la figure 29, on trouve :
c.(t'A - t'B ) (xB - xA)

Sin  = AB
et Cos  = AB
1
De même, Sin  =  et Cos  = .
c.(t'A - t'B ) .(xB - xA ).v

d’où 
=  (xB – xA) et donc t’B - t’A = - c2
v.x
On retrouve bien t’ = .(t – c2
) sachant que dans ce cas tB - tA = 0.
42
Il est possible d’utiliser le diagramme de Brehme dans le cas des effets de dilatations de
durées (voir figure 30).
c.t
c.t’
B
c.tB 
c.tA 
c.t’B  
A
c.t’A  
x’
O
Figure 30 : Diagramme de Brehme et dilatation des durées.
Dans le cas d’une durée propre de R on a xA = xB.

c.(t - t )
Cos  = c.(tB' - t 'A)
B A
(t - t )
Donc  = (tB' - t 'A)
B A
En posant t = tB – tA et t’ = t’B – t’A on trouve
. t = t’
Soit t’ > t
On a bien la durée impropre qui est plus grande que la durée propre.
Le diagramme de Brehme est donc utilisable pour étudier les effets de dilatation de temps et
comme les échelles sont respectées d’un référentiel à un autre, les résultats sont immédiats.
43
Néanmoins la ligne d’univers x = 0 dans R correspond à l’axe Oc.t’ et la ligne d’univers

x’ = 0 dans R’ correspond à l’axe Oc.t. Cela peut paraitre déstabilisant d’avoir une ligne
d’univers d’un repère d’un référentiel qui correspond à un axe d’un repère d’un autre
référentiel. Ce résultat curieux n’est pas observé pour le diagramme de Minkowski.
Les lignes d’univers peuvent être inhabituelles dans le diagramme de Brehme à cause des
projections perpendiculairement aux axes.
Le diagramme de Loedel
Les diagrammes de Loedel (voir figures 31 et 32) ressemblent aux diagrammes de Brehme.
Dans le diagramme de Loedel les projections se font parallèlement aux axes comme avec le
diagramme de Minkowski. L’axe Ox est perpendiculaire à l’axe Oc.t’ et l’axe Ox’ est
perpendiculaire à l’axe Oc.t comme avec le diagramme de Brehme. Les échelles sont
également conservées et ce type de diagramme est aussi utile pour l’étude de l’ordre
chronologique d’événements.
44
c.t
c.t’
E
x’
O
Figure 31 : Projections parallèlement aux axes dans un diagramme de Loedel.
Dans un diagramme de Loedel, la ligne d’univers d’un objet immobile dans R correspondant à
x = 0 est l’axe Oc.t. De même la ligne d’univers d’un objet immobile dans R’ correspondant à
x’ = 0 est l’axe Oc.t’ (voir figure 32).
45
c.t
Ligne d’univers d’un objet situé à x = 0
Ligne d’univers d’un objet situé à x’ = 0

c.t’
E
x’
O
Figure 32 : Lignes d’univers dans un diagramme de Loedel.
Le diagramme de Loedel permet de travailler sur la simultanéité. Les échelles étant

conservées d’un référentiel à l’autre, il est facile de travailler sur la dilatation des durées.
Néanmoins les projections parallèlement aux axes peuvent être une source de difficulté pour
les élèves. Les lignes d’univers ne sont pas déstabilisantes comme sur le diagramme de
Brehme.
46
Le tableau 4 regroupe les avantages et les inconvénients des différents diagrammes vus
précédemment.
Diagramme Avantages Inconvénients
Outil historique. Non conservation des
Axes (xOc.t) orthonormés. échelles.
Utile pour lesordres Projections parallèlement aux

Minkowski chronologiques d’événements. axes.
Pas de problèmes pour les

lignes d’univers pour x = 0 ou
x’ = 0.
Projections perpendiculairement Outil non historique.

aux axes. Axes (xOc.t) non
Brehme Échelles conservées. orthonormés.
Utile pour les ordres Lignes d’univers pour x = 0

chronologiques d’événements. ou x’ = 0 contre intuitives.
Échelles conservées. Outil non historique.
Utile pour les ordres Axes (xOc.t) non

Loedel chronologiques d’événements. orthonormés.
Pas de problèmes pour les Projections parallèlement aux

lignes d’univers pour x = 0 ou axes.
x’ = 0.
Tableau 4 : Avantages et inconvénients de chaque diagramme d’espace-temps étudié.

47
Seconde partie
II. Mise à l’épreuve de deux séances pilotes mobilisant plusieurs registres

d’expression d’une situation relativiste
Nous avons mis en place des séances pilotes avec des élèves de terminale S tout en tenant
compte des études précédentes.
II.1. Mise en place d’une première séance pilote avec des élèves de
terminale
Nous avons développé une séance pilote courant janvier 2012 avant la mise en place du
nouveau programme de sciences physiques dans lequel apparaissent des notions de relativité
restreinte.
Cette séance nous a permis de voir dans quelle mesure les diagrammes sont utiles pour la
conceptualisation. Avant cette séance pilote, les élèves n’avaient jamais entendu parler des
notions de relativité restreinte en cours de sciences physiques, ce qui était une contrainte
supplémentaire. Il a ainsi fallu introduire les concepts de relativité restreinte appropriés.
L’hypothèse que nous avons retenue dans cette séance est que le passage pour les élèves d’un
registre à l’autre est fructueux d’un point de vue cognitif. Un certain nombre de questions ont
guidé cette séance : à quelles conditions les diagrammes sont-ils utiles ? Pour quels concepts ?
Selon quels schémas d’usage ?
La séquence s’appelle « la longue vie des muons ». Elle prend appui sur des travaux de
Duval (1993) pour lequel la compréhension d’un concept fait intervenir au moins deux
registres sémiotiques. C’est une activité documentaire, de niveau terminale S, traitant du
temps de vie des muons et de l’effet relativiste associé à la détermination de leur temps de vie
dans deux référentiels : le référentiel terrestre et le référentiel propre des muons. Comme les
muons ont une vitesse proche de celle de la lumière, le temps de vie des muons dans le
référentiel terrestre est plus important que le temps de vie des muons dans leur référentiel
propre. Nous avons conçu les différents documents avec un but bien précis explicité un peu
48
plus loin. Ils traitent du même sujet, se complètent et des fois sont redondants mais le registre
d’entrée change.
Les registres suivants interviennent dans les documents :
- Langage naturel (documents 1, 2, 3, 4)

- Schémas (documents 2, 5)
- Registre analytique (document 2)
- Registre fonctionnel (document 3)
- Registre diagrammatique (documents 4, 5)
Le document 1 fait appel à un seul registre alors que c’est le document 2 le plus riche
puisqu’il est articulé avec trois registres. Un code de couleur et un code algébrique ont été
adoptés. La couleur rouge et les notations R, v, t, H, x, tp sont réservées au référentiel fixe
par rapport aux muons. La couleur bleue et les notations R’, v’, H’, x’, tm’ seront réservées
au référentiel terrestre. La cohérence entre les différents documents doit permettre une aide au
déchiffrage de l’information grâce à l’explicitation de la traduction inter-registre.
II.1.1. Le document 1 : le langage naturel
Le document 1 s’inspire de l’ouvrage d’Einstein (2004) qui traite de la relativité restreinte et

générale avec la particularité d’utiliser le minimum d’outils mathématiques. La publication de
Frish et Smith (1963) a servi de support à la conception du document. Une proportion non
négligeable de muons est détectée au niveau du sol alors qu’ils auraient dû être dans leur très
grande majorité désintégrés bien avant. Le document a été conçu de façon à n’utiliser que le
langage naturel tout en adoptant le même codage utilisant les couleurs dans l’intégralité de
l’activité (rouge pour le référentiel lié aux muons et bleu pour le référentiel terrestre).
49
Les muons qui arrivent à la surface de la Terre ont été créés dans la haute atmosphère grâce à
des rayonnements cosmiques. Ils ont une masse d’environ deux cents fois celle d’un électron
et ils ont une vitesse de déplacement proche de celle de la lumière. Leur durée de vie est de
l’ordre de la microseconde.
La population des muons peut être modélisée par une loi d’évolution de type exponentielle. Il
est possible de prévoir la population des muons pouvant être détectée à la surface de la Terre
en considérant qu’ils sont formés dans la stratosphère à une vingtaine de kilomètres d’altitude.
Pourtant, même si leur vitesse est très grande, leur durée de vie est si faible que la proportion
de muons atteignant la surface de la Terre devrait les rendre quasiment indétectables. Or les
muons cosmiques sont détectés à la surface de la Terre avec une proportion largement
supérieure aux prévisions.
Cette apparente contradiction est levée en considérant deux référentiels : le référentiel R fixe
par rapport aux muons et le référentiel R’ fixe par rapport à la Terre. Dans le référentiel R, les
muons sont immobiles, c’est la Terre qui se déplace avec une vitesse proche de la lumière.
Dans le référentiel R’, la Terre est immobile, ce sont les muons qui se déplacent avec une
vitesse proche de celle de la lumière.
Comme les muons sont effectivement détectés à la surface de la Terre, ils ont parcouru, dans
le référentiel terrestre R’, une distance plus élevée que prévu. La vitesse des muons dans R’
ne pouvant pas dépasser la vitesse de la lumière, leur durée de vie a obligatoirement augmenté
dans R’.
On arrive à un résultat bien curieux. La durée de vie des muons est plus élevée dans le
référentiel terrestre R’ que dans le référentiel R, fixe par rapport aux muons.
La durée de vie des muons est bien de l’ordre de la microseconde dans R. Elle est augmentée
dans le référentiel terrestre R’. Ce phénomène est d’autant plus visible que les vitesses
considérées sont proches de celle de la lumière.
Une expérience réalisée en 1963 a confirmé le caractère relatif du temps en étudiant le

nombre de muons détectés au sommet d’une montagne et à la surface de la mer. Cela a permis
de confirmer expérimentalement les postulats d’Einstein dans sa théorie de la relativité
restreinte.
Document 1 : Le registre du langage naturel utilisé dans la première séance pilote.

50
II.1.2. Le document 2 : les schémas
Le document 2 reprend un schéma utilisé dans la publication de Frish et Smith (1963). Ce

schéma fait intervenir deux dimensions implicites : une dimension spatiale et une dimension
temporelle. Il traite de la nécessité d’avoir deux horloges synchronisées dans le référentiel
terrestre et une seule horloge dans le référentiel du muon. Les notions de durée propre et de
durée impropre sont introduites ainsi que la relation tm = .tp. Nous avons conçu ce
document afin d’utiliser les schémas et varier ainsi les registres disponibles pour les élèves.
Un texte donne avant l’explication des schémas ainsi que des notions de durées propre et
impropre. La relation de dilatation des durées est explicitée tout en conservant le code des
couleurs pour les deux types de référentiels considérés.
On considère un référentiel R possédant une horloge fixe H et un référentiel R’ possédant
deux horloges fixes H’1 et H’2. R est en mouvement de translation uniforme par rapport à R’.
Initialement les deux horloges H et H’1 sont au même endroit et H, H’1 ainsi que H’2 sont
synchronisées (H’2 est synchronisée avec H’1 au moyen d’échanges de signaux lumineux,
puis sa mesure du temps est corrigée en tenant compte du décalage temporel dû à ces
échanges).
51
L’horloge H mesure la durée tp, appelée durée propre, entre deux événements E1 (associé
au début d’un phénomène) et E2 (associé à la fin d’un phénomène) fixes dans R et à la même
position que H. Les horloges H’1 et H’2 mesurent la durée tm’, appelée durée impropre,
entre les deux mêmes événements (H’1 se trouve à la même position que E1 et H’2 à la même
position que E2) dans R’.
On a tm’ = .tp avec =
c est la vitesse de la lumière dans le vide, v’ est la vitesse du référentiel R par rapport à R’.
Généralement pour des vitesses très faibles par rapport à la vitesse de la lumière, cela conduit
à   1, c’est-à-dire tm’  tp.
Lorsque v’ est proche de c,  > 1 et donc tm’ > tp.
Cas 1 : v’ R/R’ = 0 Cas 2 : v’ R/R’ ≠ 0
Dans R Dans R’ Dans R Dans R’
E1 H H’1 E1 H H’1
H’2 H’2
E2 H H’1
H’1
E2 H H’2
H’2
Document 2 : Les schémas utilisés dans la première séance pilote.

52
II.1.3. Le document 3 : Le registre fonctionnel
Le document 3 utilise les résultats de mesures de détection de muons dans la publication de

Frish et Smith (1963).
Il permet d’utiliser les valeurs numériques de comptages de muons à deux altitudes. A l’aide
d’une relation de type exponentielle, on retrouve une relation de proportionnalité entre ’,
temps de vie du muon dans le référentiel terrestre et , temps de vie du muon dans le
référentiel du muon. Ce document permet d’utiliser un registre fonctionnel, car il suggère
d’utiliser la fonction exponentielle. Le code des couleurs est aussi utilisé afin d’expliciter le
référentiel utilisé.
D.H. Frish et J.H. Smith ont publié en 1963 une étude sur la durée de vie des muons. Ils ont
enregistré sur une heure les muons détectés au Mont Washington situé à 1907 mètres au-
dessus de la mer et ils ont comparé ces résultats par rapport aux mêmes mesures effectuées au
niveau de la mer à Cambridge.
Le temps de vie  du muon au repos dans le référentiel du muon, noté R, est de 2,21 µs. La
vitesse du muon par rapport au référentiel terrestre, noté R’, est de v’ = 0,992.c.
Les mesures effectuées au Mont Washington ont conduit en moyenne à 563 comptages par
heure, celles à Cambridge étaient en moyenne de 408 comptages par heure.
Le nombre N(t’) de muons, détectés dans le référentiel terrestre R’ en une heure, peut-être
décrit par une fonction exponentielle du type : ( ′) = qui conduit à
′=
( )
’ correspond au temps de vie du muon dans le référentiel terrestre R’.
t’-t’0 correspond à la durée de parcours vertical du muon pour une distance de 1907 m.
En considérant que c = 2,998.108 m.s-1, on trouve que ’ = 9,0.. Cela correspond avec une
relative bonne précision à ’ = ..
Document 3 : Le registre fonctionnel utilisé dans la première séance pilote.

53
II.1.4. Le document 4 : Le registre diagrammatique
Le document 4 est composé de trois sous parties (voir documents 4.1, 4.2 et 4.3). Il a été
ajouté, car il utilise essentiellement le registre diagrammatique. C’est le diagramme de
Brehme (1962, 1964) qui est utilisé. Il permet de représenter un repère (x, c.t) du référentiel
propre au muon et un repère (x’, c.t’) du référentiel terrestre sur le même diagramme. On a la
possibilité d’exprimer les coordonnées d’un événement E dans les deux repères à la fois et
donc d’avoir deux points de vue : suivant le référentiel terrestre et suivant le référentiel propre
du muon. Le second postulat d’Einstein a comme correspondance dans ce registre
diagrammatique, une seule et même bissectrice pour les deux repères (x, c.t) et (x’, c.t’). Afin
d’aider les élèves à l’appropriation de ce type de diagramme, il a été décomposé en trois sous
diagrammes : tout d’abord dans le référentiel des muons R, ensuite dans le référentiel terrestre
R’ puis dans les deux à la fois. Le code des couleurs est conservé. Les tracés relatifs au
référentiel R sont en rouge tandis que les tracés relatifs au référentiel R’ sont en bleu.
54
Dans le référentiel R, propre au muon, on définit l’événement E1 qui correspond à la création

du muon et l’événement E2 qui correspond à la détection du muon. On s’intéresse à un
mouvement vertical vers le bas suivant une seule dimension de l’espace.
L’axe des abscisses Ox et l’axe des ordonnées Oc.t forment un repère pour le référentiel R. Il
n’est pas orthonormé.
L’axe des abscisses permet de repérer une position de l’espace x et l’axe des ordonnées
permet de connaitre une date t.
Toute ligne perpendiculaire à l’axe Ox correspond à une position fixe dans R. Toute ligne
perpendiculaire à l’axe Oc.t a une date fixe dans R.
c.t
E2
E1
c.tp
O
x
Document 4.1 : Le registre diagrammatique utilisé dans la première séance pilote ; le

repère du référentiel R.
55
Dans le référentiel terrestre R’, on retrouve l’événement E1 qui correspond à la création du

muon et l’événement E2 qui correspond à la détection du muon. On s’intéresse à un
mouvement vertical vers le bas suivant une seule dimension de l’espace.
L’axe des abscisses Ox’ et l’axe des ordonnées Oc.t’ forment un repère pour le référentiel R’.
Il n’est pas orthonormé.
L’axe des abscisses permet de repérer une position de l’espace x’ et l’axe des ordonnées
permet de connaitre une date t’.
Toute ligne perpendiculaire à l’axe Ox’ correspond à une position fixe dans R’. Toute ligne
perpendiculaire à l’axe Oc.t’ a une date fixe dans R’.
c.t’
E2
x’
c.t'm
E1
Document 4.2 : Le registre diagrammatique utilisé dans la première séance pilote ; le

repère du référentiel R’.
56
Il est possible de représenter le repère relatif au référentiel R et celui relatif au référentiel R’

sur le même diagramme. La position des axes Ox’ par rapport à Ox et des axes Oc.t’ par
rapport à Oc.t, dépendent de la vitesse v’ du référentiel R par rapport au référentiel R’.
Ce diagramme correspond au cas où   1,2. Lorsque  est beaucoup plus élevé, t’m est
beaucoup plus grand que tp et les angles, entre les axes Ox et Ox’ d’une part, et entre les
axes Oc.t et Oc.t’ d’autres part, sont plus importants.
c.t’
c.t
E2
c.t’m
E1 x’
c.tp
O
x
Document 4.3 : Le registre diagrammatique utilisé dans la première séance pilote ; les
deux repères des référentiels R et R’.
57
II.1.5. Le document 5 : les schémas et les diagrammes
Le document 5 reprend la présentation du document 4 en trois sous parties (voir documents

5.1, 5.2 et 5.3) avec l’ajout des horloges comme dans le schéma du document 2. On associe
dans ce document la visualisation d’une durée grâce à l’utilisation d’horloges. Ce document
est inspiré de l’ouvrage de Takeuchi (2010) qui a fait le même travail avec les diagrammes de
Minkowski. Ce document permet de fusionner registre diagrammatique et registre
schématique.
c.t
E2
E1
c.tp
O
x
Document 5.1 : Les registres diagrammatique et schématique utilisés dans la première

séance pilote ; le repère du référentiel R.
58
c.t’
E2
x’
c.t’m
E1

séance pilote ; le repère du référentiel R’.
59
c.t’
c.t E2
c.t’m
x’
E1
c.tp
O
x

séance pilote ; les deux repères des référentiels R et R’.
60
II.1.6. Le travail demandé aux élèves
Une dernière page intitulée « travail demandé » propose trois niveaux de réflexion.
Le niveau « compréhension des documents » permet un travail simple faisant appel à un ou

plusieurs registres dans le même document dans lequel l’élève doit repérer l’information (une
phrase dans un texte, une abscisse sur un diagramme, une dimension relative de deux
intervalles). Le niveau « exploitation des documents » reste toujours un travail centré sur un
document, mais un peu plus élaboré (trouver une relation, en déduire une valeur numérique,
apporter une explication). Le niveau « question de synthèse » permet à l’élève d’utiliser tous
les documents afin de répondre à une situation problème.
Le rôle de ces questions était d’une part de faciliter l’apprentissage de certains concepts de
relativité restreinte jusque-là inconnus des élèves, d’autre part de varier les registres de
travail afin de faciliter les apprentissages et enfin d’utiliser le registre diagrammatique.
Compréhension des documents :
1. A l’aide du document 1, expliquer pourquoi les muons ont parcouru une distance dans le
référentiel terrestre R’ plus grande que prévue.
Ici on travaille exclusivement dans le registre du langage naturel. C’est un registre plutôt
habituel pour les élèves. C’est pour cela que le premier document utilise ce registre afin de
familiariser les élèves avec le sujet de l’activité.
2. A l’aide du document 2, retrouver tm’ et tp sur le schéma relatif au cas 1 et le schéma
relatif au cas 2.
Ici, le travail des élèves porte sur la notion de durée et de sa mesure à l’aide d’une horloge
dans le référentiel propre et de deux horloges dans le référentiel impropre. Il faut interpréter
un schéma issu d’une publication scientifique ainsi que les explications sur la dilatation de
61
durées. C’est la première fois que les élèves voient ces notions qui n’étaient pas encore au
programme à l’époque où la séance pilote a été réalisée. On utilise trois registres ici : le
registre analytique, le registre du langage naturel et le registre schématique. La
multiplication des registres pourrait être un indicateur de la difficulté à s’approprier les
notions de ce document. D’autre part il utilise une dimension spatiale qui n’est pas au
premier abord très accessible aux élèves, car ils sont habitués à la représentation d’axes
alors qu’ici c’est implicite.
3. En utilisant les données du document 3, expliquer l’évolution du nombre de comptages de

muons entre la mesure au Mont Washington et celle réalisée à Cambridge.
On utilise ici le registre fonctionnel afin de faire correspondre des mesures de comptages
découlant d’une expérience avec des prévisions théoriques.
4. A l’aide du document 4, expliquer comment voit-on que les muons sont fixes dans R ?
Ici, le travail fait appel au registre diagrammatique afin d’associer l’immobilité dans un
référentiel à une abscisse unique. Il faut donc savoir lire une abscisse sur un diagramme de
Brehme et en connaitre la signification physique.
5. A l’aide du document 5, que peut-on dire de tm’ et tp ?
Le travail est basé sur le registre diagrammatique. Il faut repérer un triangle rectangle sur le
diagramme de Brehme et en comparant les longueurs d’un côté et l’hypoténuse, en déduire la
comparaison entre deux durées à un facteur c près. Il est à noter que les documents d’origine
présentaient une erreur puisque le facteur c n’apparaissait pas. On voit ici directement la
dilatation des durées dans les repères des deux référentiels différents.
62
Exploitation des documents :
1. A l’aide du document 1, indiquer quel paramètre influence la durée de vie des muons dans
R’ par rapport à la durée de vie des muons dans R ?
Ici on travaille dans le registre du langage naturel. On veut mettre l’accent sur la vitesse des
muons dans le référentiel terrestre qui est le paramètre pertinent influençant la durée de vie
des muons dans le référentiel terrestre.
2. Calculer , en utilisant le document 2, pour v’ = 0,992.c. En déduire la relation entre tm’

et.tp.
Le travail est basé sur le registre analytique afin de trouver une relation analytique entre les
deux durées étudiées et de renforcer chez les élèves la notion de dilatation de durée entre les
deux référentiels R et R’.
3. A partir du document 3, calculer t’-t’0 connaissant la valeur numérique de v’ et l’altitude

du Mont Washington. En déduire la valeur numérique de ’ en utilisant l’expression suivante :
′=
( )
Retrouver que ’ = 9,0..
Même chose le travail est basé sur le registre fonctionnel. C’est un registre qui était souvent
utilisé avec les élèves de terminale S avant les changements de programme de sciences
physiques de 2012 et qui avait tendance à les rassurer, car il était habituel pour eux.
4. A partir du document 4, montrer que la création et la détection du muon ne se déroulent

pas au même endroit dans R’.
63
Le travail est ici essentiellement diagrammatique. Les élèves doivent vérifier sur le
diagramme que dans le référentiel terrestre les deux événements ne se trouvent pas au même
endroit en utilisant des projections perpendiculairement aux axes. Ils ont vu précédemment
que ces deux événements se trouvent au même lieu dans le référentiel des muons.
5. A partir du document 5, expliquer pourquoi la durée entre la création et la détection du

muon est différente dans R et dans R’.
Après avoir vu sur le diagramme que les durées dans R et dans R’ sont différentes, il est
demandé aux élèves d’identifier l’origine graphique de cette différence en indiquant que ces
deux durées sont mesurées dans deux référentiels pour lesquels les mesures de durées ne sont
pas identiques.
Question de synthèse :
A l’aide de tous les documents mis à disposition, expliquer pourquoi il est possible de détecter
les muons à la surface de la Terre avec une proportion largement supérieure aux prévisions.
Une réponse argumentée et justifiée est souhaitée.
Nous avions supposé que cette question de synthèse permettrait de voir quels sont les
registres utilisés par les élèves pour répondre au problème posé. Cette hypothèse est difficile
à étudier finement, car la réponse à la question de synthèse est rédigée à l’aide du registre du
langage naturel. Une nécessaire adaptation inter registre est donc obligatoire pour les élèves.
La correspondance entre l’utilisation de plusieurs registres et une compréhension manifeste
de la problématique irait dans le sens de l’hypothèse que nous avions posée initialement qui
était que le passage pour les élèves d’un registre à l’autre est fructueux d’un point de vue
cognitif. D’autre part nous voulions voir si un diagramme était utilisé lors de la question de
synthèse et si oui de quelle façon et pour quels concepts.
64
II.1.7. Analyse des documents écrits des élèves ainsi que du verbatim de la
séance
La séance pilote a été réalisée avec une classe de 33 élèves de terminales S pendant une
séance de deux heures en groupe à effectif réduit courant janvier 2012. L’enseignant est
l’auteur de cette étude. Les résultats écrits et le verbatim correspondant au déroulé de
l’activité d’un seul groupe ont été analysés.
La difficulté engendrée par l’utilisation des graphiques par les élèves, nous a incités à ne pas
privilégier fortement le registre diagrammatique. Les axes ne sont pas orthonormés. Ce n’est
pas habituel pour les élèves du secondaire. L’utilisation d’un axe de temps en ordonnée n’est
pas courante non plus, les élèves étant souvent induits en erreur par des chroniques (Janvier
1993). L’utilisation de l’axe « c.t » peut aussi poser problème. Les règles de projection
perpendiculairement aux axes sont aussi à assimiler. Le risque d’une mauvaise interprétation
du diagramme est très important (Lerouge 1993). La notion de pente, difficile à manipuler par
les élèves, est sous-entendue par la disposition d’un repère par rapport à un autre
(McDermott 1987).
Circulation entre les registres
Les réponses écrites des élèves ont été analysées en regardant le nombre de registres utilisés
dans les réponses des élèves (voir tableau 5). Le registre diagrammatique n’est pas utilisé en
tant que tel, mais ce sont les résultats venant de ce registre qui ont été analysés. La cohérence
des réponses est évaluée en tenant compte de la justesse de la réponse et de sa rigueur :
indication dans la réponse d’une mesure d’une durée et d’une vitesse en précisant le
référentiel d’étude, exactitude des référentiels R et R’ utilisés. Le registre fonctionnel n’est
pas utilisé également, seuls des résultats que nous considérons appartenir au seul registre
analytique sont donnés par les élèves.
65
Types de registres Pourcentage des Pourcentage de

utilisés dans la élèves concernés réponses cohérentes
synthèse13 (sur 16 au total) pour chaque catégorie
Naturel uniquement 25 % (4 élèves) 25 % (1 élève)
Naturel et algébrique 31 % (5 élèves) 40 % (2 élèves)
Naturel et résultats du
registre 19 % (3 élèves) 33 % (1 élève)
diagrammatique
Naturel, algébrique et
résultats du registre 25 % (4 élèves) 100 % (4 élèves)
diagrammatique
Tableau 5 : Différents registres utilisés dans la réponse des élèves.
On s’aperçoit à la lueur des résultats que plus le nombre de registres mobilisés est important
plus la cohérence des réponses des élèves tendrait elle aussi à devenir importante. C’est-à-dire
que les réponses seraient scientifiquement justes.
Diagramme et appropriation des concepts de la relativité restreinte
44 % des élèves utilisent les résultats du registre diagrammatique dans leur réponse finale. En
regardant les sujets distribués aux élèves et relevés par la suite, des annotations ont été
rajoutées sur les diagrammes. C’est un indicateur permettant de mettre en évidence une
appropriation du diagramme même si elle n’est que partielle.
Le document 2 a été annoté par 47 % des élèves. Il s’agissait d’un schéma tiré de la
publication originale de Frish et Smith (1963) représentant la mesure des durées dans le
référentiel terrestre et dans le référentiel des muons. C’est un document délicat à comprendre
13
Pourcentages calculés en divisant le nombre de synthèses concernées par le nombre total d’élèves.
66
pour les élèves car il explique comment mesurer des durées, ce qui est plutôt contre-intuitif
surtout lorsqu’il est nécessaire d’utiliser deux horloges à des positions différentes. Le nombre
d’annotations important montre la difficulté de l’appropriation du document pour les élèves
ainsi que le temps passé pour le comprendre. Les annotations sur les documents utilisant des
diagrammes ne concernent que 33 % des élèves. Il peut s’agir d’une précision sur des axes,
sur les événements E1 (création) ou E2 (détection), sur la mise en évidence graphique de
triangles rectangles (permettant d’en déduire que la longueur de l’hypoténuse, t’m, est plus
grande que la longueur d’un côté, tp), sur la présence d’angles droits ou l’explicitation du
fonctionnement des diagrammes (« dates fixes », « position fixe »).
38 % des élèves utilisent une démonstration faisant appel à la géométrie pour montrer que la
durée impropre est plus grande que la durée propre en comparant la longueur d’un côté d’un
triangle et la longueur de son hypoténuse. Les autres se contentent de donner soit le résultat
sous la forme de l’inégalité t’m > tp, soit sous la forme d’une phrase.
Une partie du verbatim est reprise ci-après (voir tableau 6). Nous voyons dans cet extrait
l’utilisation du diagramme. En comparant simplement la longueur du côté d’un triangle
rectangle et celle de son hypoténuse, il est possible de comparer une durée propre et une durée
impropre.
67
Oui, alors vous pouvez soit utiliser les horloges effectivement

1.00.22
pour comparer t’m ou tp. Soit vous pouvez utiliser un triangle.
Regardez, vous avez E1, E2. Donc ça correspond à deux sommets

Professeur d’un triangle. Et puis donc avec E1 et E2 plus un autre point vous
1.00.33 allez former un triangle rectangle. Ou même deux triangles

rectangles, on peut former. Est-ce que vous voyez, les deux
triangles rectangles que l’on peut former ? À partir d’E1 et E2 ?
1.00.54 Élève Oui !
Oui ? t’m c’est la distance, sur ce schéma-là, entre E1 et E2.

Pour les triangles rectangles que vous avez vus, cela
1.00.55 Professeur
correspondrait à quoi mathématiquement, ça s’appelle
comment ?
1.01.11 Élève L’hypoténuse !
L’hypoténuse. Tout le monde est d’accord ? t’m ça

1.01.12
Professeur correspondrait à l’hypoténuse. tp ça serait quoi ?
1.01.23 Par rapport au triangle que vous avez vu ?
1.01.26 Élève Le côté !
1.01.27 Professeur Ça serait un …
1.01.28 Élève Un côté !
Et qu’est-ce que l’on sait sur la dimension d’un côté par rapport
1.01.30 Professeur
à l’hypoténuse ?
Elle est égale au carré, à la somme des … L’hypoténuse est

1.01.34 Élève
égale …
1.01.38 Professeur Oui, alors là tout ce qu’on demande c’est juste une comparaison.
1.01.40 Élève C’est plus petit !
Tableau 6 : Extrait de verbatim de la première séance pilote.

68
Le diagramme de Brehme permet de comparer des durées dans deux référentiels inertiels se
déplaçant à une vitesse proche de la lumière l’un par rapport à l’autre. Cela permet par la suite
des constats géométriques simples sur la durée propre et la durée impropre (voir figure 33).
Le document d’origine comportait une erreur puisque c’était tp et t’m qui étaient
mentionnés sur les diagrammes et non c.tp et c.t’m.
c.t’
c.t E2
M
c.t’m
x’
E1
c.tp
O
x
Figure 33 : Le diagramme de Brehme de la situation de la première séance pilote.
On en déduit un triangle rectangle E1E2M rectangle en M avec E1M = c.tp et E1E2 = c.t’m.
Dans l’extrait suivant (voir tableau 7 et figure 34), on voit l’utilisation de l’association
diagramme de Brehme / horloges.
69
Sinon vous pouvez utiliser les indications des horloges. Vous

avez l’horloge, les deux horloges pour t’m et puis l’horloge
1.04.48 Professeur pour tp. Il suffit de regarder les indications. Est-ce qu’à partir
des horloges, vous vous apercevez du même résultat qu’avec le
triangle rectangle ?
1.05.08 Oui !
Élève
1.05.15 Ben si, la différence avec tp est plus petite qu’avec …
1.05.20 Professeur Oui, oui, oui, mais …
Il y a une horloge qui montre à peu près, on va dire, admettons

1.05.22 c’est midi, pour tp elle montre à peu près midi et l’autre horloge
Élève
elle montre à peu près 10.
1.05.04 Tandis que pour t’m c’est midi et puis 15, du coup.
1.05.06 Professeur Oui, donc ce n’est pas la même durée.
1.05.07 Élève tp est plus petit que t’m.

70
c.t’
15
c.t E2
10 c.t’m
0
x’
E1
c.tp
O
x
Figure 34 : Le diagramme de Brehme de la situation de la première séance pilote.
On en déduit avec les horloges que tp correspond par exemple à 10 unités de temps alors que
t’m correspond à 15 unités de temps ce qui permet de conclure que tp < t’m.
L’accueil des diagrammes de la part des élèves est plutôt mitigé lorsqu’on leur demande ce
qui les a le plus gênés dans cette activité (voir tableau 8).
71
Alors vite fait. Donc au niveau des documents, quels sont les
2.37.05 Professeur
documents qui vous ont le plus gênés ?
2.37.11 Élève Ben ce sont les diagrammes !
2.37.12 Professeur Les diagrammes qui vous ont gênés ?
2.37.14 Élève Et les horloges !
2.37.15 Professeur Les horloges. Donc les horloges c’est quel document ?
2.37.18 Élève C’est le deux !
2.37.19 Professeur Le deux ? D’accord.
Le raisonnement géométrique utilisant les triangles est contrasté. Certains élèves trouvent un
intérêt à leur utilisation (voir tableau 9).
2.37.45 Professeur D’accord. Les diagrammes vous avez vu l’intérêt ou pas ?
2.37.46 Élève Oui. Après plein d’explications.
2.37.51 Professeur Après plein d’explications.
2.37.52 Élève Avec les triangles ça permet de bien de voir les différences.
2.37.53 Professeur Les triangles ça permet bien …
2.37.54 Élève Pour voir la relation qu’il y a entre tm’ et tp.
D’autres sont plus critiques sur leur utilisation (voir tableau 10). C’est le document 5 qui
pose problème, celui qui utilise l’association diagramme et horloges.
72
2.38.10 Professeur D’accord. S’il y avait des documents à sortir, ça serait lesquels ?
2.38.13 Élève Deux. Ils ne seraient pas à sortir, mais à simplifier peut-être.
2.38.15 Professeur Deux et cinq ?
Ils seraient à simplifier peut-être. Le tableau du deux serait à

2.38.18
Élève plus expliquer.
2.38.25 Le cinq !
2.38.26 Professeur Le cinq vous ne comprenez pas ?
2.38.27 Élève Ah non. C’est l’histoire des triangles.
2.38.30 Professeur L’histoire des triangles …
En fait c’est à peu près. En fait il faudrait juste les, … mieux les
2.38.32 Élève
expliquer. Ça va les triangles, ça va encore.
Le codage de l’information fournie aux élèves
Les documents étaient reliés par un codage récurrent. La couleur rouge et les notations R, v, t,
H, x, tp étaient réservées au référentiel fixe par rapport aux muons. La couleur bleue et les
notations R’, v’, H’, x’, tm’ étaient réservées au référentiel terrestre. La cohérence entre les
différents documents devait permettre une aide au déchiffrage de l’information grâce à
l’explicitation du passage inter registre.
Ce codage de couleur peut être responsable d’une mauvaise interprétation du diagramme de

Brehme, ce qui peut perturber les élèves. L’exemple ci-après est tiré du verbatim de la séance
(voir tableau 11). L’enseignant montrait aux élèves qu’en remarquant la présence d’un
triangle rectangle sur le diagramme de Brehme et en utilisant le fait que la longueur d’un côté
est plus petite que la longueur de l’hypoténuse, on pouvait en déduire que tp < t’m
(voir figure 35).
73
1.05.53 Élève On considère lequel le triangle ?
Ah, ben soit vous pouvez utiliser les horloges qui sont
1.05.58 Professeur
indiquées …
1.06.02 Élève Oui, mais par rapport au triangle ?
Soit vous pouvez avoir celui-là. Là vous avez un triangle

1.06.05 Professeur
rectangle qui est ici.
1.06.08 Élève Et l’hypoténuse !
Ah, non, non, l’hypoténuse c’est ça. Cette distance-là, vous

1.06.12 Professeur
l’avez là.
1.06.15 Élève Ah, ok, d’accord.
2.00.01 Professeur Et là vous avez le côté.
2.00.05 Élève Ah, d’accord. Je m’étais trompé avec les couleurs.
2.00.10 Professeur Vous pouvez prendre l’autre aussi. Ici, c’est ce côté-là.
2.00.15 Élève C’est les couleurs qui me perturbent.
C’est les couleurs qui vous perturbent ? Effectivement, oui c’est

2.00.21 Professeur vrai t’m c’est en bleu et là, il y a quelque chose en rouge.
D’accord, oui, oui.

74
c.t’
c.t E2
En bleu
En rouge
c.t’m
x’
E1
c.tp
O
x
Figure 35 : Une mauvaise interprétation du diagramme de Brehme à cause du code de

couleur.
D’un autre côté, lorsque l’enseignant interroge les élèves sur leurs ressentis en fin de séance,
ils ont l’air d’avoir apprécié l’apport de la couleur (voir tableau 12).
75
Qu’est-ce que vous pensez des couleurs ? Est-ce que ça vous a

2.38.01 Professeur
aidé pour comprendre ?
Oui. Oui c’est pratique. Oui car noir et blanc ça aurait été un peu
2.38.04 Élève
pénible. Très pénible.
Un excès de codage n’est peut-être pas la solution pour simplifier le problème car au contraire
il peut être source de difficultés supplémentaires inhérentes au codage utilisé.
Conclusion sur la séance pilote
Les élèves utilisant le plus de registres semblent avoir mieux compris la problématique de la
séance pilote, car le pourcentage de réponses cohérentes dans leur synthèse finale est plus
important. Néanmoins même si le registre diagrammatique permet une présentation originale
de la dilatation des durées entre deux référentiels inertiels se déplaçant l’un par rapport à
l’autre à des vitesses proches de la vitesse de la lumière, le ressenti des élèves est parfois
mitigé. Le codage utilisé lors de cette séance aide les élèves, mais il peut aussi être source de
difficulté à cause d’une mauvaise interprétation du diagramme qui est possible. Finalement, il
est difficile de discerner l’apport du diagramme sur la compréhension des concepts de la
relativité restreinte lorsque trop de registres sont mis en œuvre, la séance pilote étant mal
conçue. La tâche n’était par contre pas facile à réaliser, car les élèves n’avaient pas vu les
concepts de relativité restreinte en cours et ces notions n’étaient pas au programme en janvier
2012. Certains points positifs encourageants quant à l’utilisation des diagrammes peuvent être
tout de même retenus (assez bonne appropriation des diagrammes par les élèves, visualisation
intéressante de la dilatation des durées en comparant les distances des deux côtés d’un
triangle) et cela nous a conduits à développer une nouvelle séquence d’enseignement utilisant
uniquement le registre diagrammatique.
76
II.2. Les questions de recherche
Les activités privilégiant le registre diagrammatique permettent aux élèves de travailler

plusieurs notions sur un nouveau registre : la notion d'événement en tant que point de
l'espace-temps, les ordres chronologiques relatifs d’événements, la notion de durée propre
définie comme une durée entre deux événements ayant une même abscisse et la durée
impropre définie par une durée entre deux événements ayant deux abscisses différentes. Dans
la mesure où cette recherche s’intéresse aux liens entre la représentation à l’aide de
diagrammes et l’apprentissage d’éléments de savoirs relevant de la théorie de la relativité
restreinte, nous nous sommes intéressés au fur et à mesure de notre travail aux questions de
recherche suivantes :
• Comment une approche à base de diagrammes permet-elle une utilisation

effective du second postulat d’Einstein par des élèves de terminale S ?
• Dans quelle mesure une approche à base de diagrammes permet-elle aux élèves
de terminale S d’approcher les notions de durée propre, et d’ordres
chronologiques relatifs d’événements ?
II.3. Elaboration des outils d’enseignement et analyses a priori et a

posteriori
De nombreux obstacles sont prévisibles lors de l’utilisation des diagrammes, mais il demeure
un autre registre accessible et peut permettre selon Duval, s’il est activé, de maîtriser le
concept étudié, car plusieurs registres sont mobilisés. Trois types de diagrammes ont été
présentés dans la première partie en ce qui concerne la perte de simultanéité de deux
événements entre deux référentiels et les effets de dilatation de temps. La première séance
pilote a montré que les élèves mobilisant plusieurs registres dans leur réponse semblent avoir
un plus grand nombre de réponses cohérentes dans leur synthèse finale. Néanmoins le registre
diagrammatique intervenant parmi de nombreux autres (langage naturel, schémas, registre
algébrique et fonctionnel), il a été difficile de repérer clairement la valeur ajoutée de son
utilisation, tout au plus un traitement original par les élèves de la dilatation des durées dans le
cadre de la théorie de la relativité restreinte a été mis en évidence. Par la suite, nous avons
donc décidé de développer une seconde séquence pilote permettant d’utiliser majoritairement
77
le registre diagrammatique afin de pouvoir mettre en évidence plus clairement la pertinence

d’utiliser ce registre.
II.3.1. Description de la seconde séquence pilote liant approche géométrique

et relativité restreinte
Le registre diagrammatique va donc être privilégié, c’est-à-dire que les concepts de la

relativité restreinte sont introduits grâce au diagramme (événements, simultanéité, durée
propre avec les événements E1 et E2, durée impropre). La résolution graphique a ici le
statut de preuve, c'est-à-dire que l’utilisation du diagramme est suffisante pour tirer des
conclusions. Les valeurs numériques utilisées sont choisies de façon à être réalistes et le
travail sur les ordres chronologiques relatifs est favorisé par l’inversion de l’ordre temporel de
deux événements E2 et E3 en fonction du référentiel considéré. Cela permet de montrer que
deux événements peuvent être totalement indépendants.
Contexte de l’activité
Il s’agit d’une séquence d’enseignement sur la relativité restreinte dans le cadre du

programme de TS. 34 élèves (sur une classe de 35) de terminale S du lycée Boucher de
Perthes à Abbeville (Somme) y ont participé. La séquence est constituée de deux séances en
groupe à effectifs réduits (1H30 à 1H45 chacune) qui ont eu lieu sur deux semaines
consécutives (3H00 à 3H30 en tout). La séquence a été filmée et enregistrée à l’aide d’une
caméra et de plusieurs enregistreurs audio.
Les notions de relativité restreinte exigibles au programme officiel avaient déjà été enseignées
aux élèves ainsi qu’une séance d’exercices corrigés. Il manquait, dans le cadre du programme
de terminale S, une activité en relation avec une situation concrète où le caractère relatif du
temps est à prendre en compte.
Il faut préciser ici que l’enseignant est l’auteur de la thèse, donc, le chercheur. La posture de
chercheur – professeur a été décrite par Santini (2013) et initialement par Sensevy (1998).
Cette association complexe permet de lutter contre deux obstacles : l’obstacle empiriste
venant du côté « professeur » et l’obstacle intellectualiste venant du côté « chercheur ». La
78
posture de chercheur-professeur nécessite de mettre en tension deux points de vue différents

dans le champ de la didactique : le point de vue de l’enseignant de la classe et le point de vue
du chercheur en didactique.
Document distribué aux élèves
Un document est distribué. Il comprend le contexte, trois questions, le rappel de la relation

entre durée propre et durée impropre, un diagramme de Minkowski relatif à la situation
étudiée et un diagramme de Loedel gradué sur les deux repères.
L’énoncé est le suivant : « Une route horizontale comporte trois dispositifs émettant des
flashs lumineux afin de repérer un danger. Daniel est immobile sur le côté de la route qui
peut être modélisée par une droite Ox orientée. Une voiture conduite par Armineh, se
déplaçant à une vitesse de + 0,8.c, passe sur la route à côté de Daniel et se dirige vers les
dispositifs lumineux. L’origine des dates et des positions correspond à l’événement pour
lequel Daniel et Armineh se trouvent à la même abscisse. En se plaçant dans le référentiel de
Daniel, les deux premiers dispositifs notés S1 et S2 se trouvent à + 3 mètres de Daniel et le
troisième, noté S3, se trouve à + 9 mètres de lui. S1 émet un flash au bout de 10 ns, S2 au bout
de 23 ns et S3 au bout de 27 ns ».
Des questions sont posées à la suite :
Pourquoi est-il impossible de fabriquer un dispositif14 permettant de déclencher le flash S3 4

ns après le déclenchement du flash S2 ?
On veut travailler ici sur les ordres chronologiques relatifs en montrant que l’ordre des
événements E2 et E3 peut changer en fonction du référentiel.
14
Le terme « dispositif » doit être pris dans le sens « appareil électronique émettant des signaux ».
79
Quelle est la durée entre l’émission du flash de S2 et du flash de S1 dans le référentiel associé
à Daniel15 ? Dans le référentiel associé à Armineh ?
On veut travailler ici sur la notion de durée propre dans le référentiel associé à Daniel et de
durée impropre dans le référentiel associé à Armineh. Cette question correspond à une
situation où la relation entre la durée propre et la durée impropre vue en cours de terminale
S est applicable. La relativité des durées est donc travaillée ici.
à Daniel ? Dans le référentiel associé à Armineh ?
Cette question correspond à une situation où aucune durée propre n’apparaît. La relation
entre la durée propre et la durée impropre vue en cours de terminale S n’est donc plus
applicable. La relativité des durées est aussi travaillée ici. Les événements E2 et E3 ont été
choisis de façon à ce que leur ordre chronologique soit inversé dans les deux référentiels
étudiés.
15
Dans le référentiel associé à Daniel ou à Armineh est une contraction de : Dans le référentiel dont Daniel ou
Armineh définit les coordonnées d’espace et de temps.
80
Modélisation de la situation par construction d’un diagramme de

Minkowski
Le diagramme de Minkowski a été choisi, car il permet de travailler avec les élèves au tout
début avec un repère orthonormé dans un premier référentiel. Son repère dans le second
référentiel permet de découvrir les projections parallèlement aux axes. Le diagramme de
Loedel utilise ensuite des projections parallèlement aux axes sur les repères des deux
référentiels.
Les coordonnées des événements dans R sont accessibles dans R’. R’ est un référentiel
associé à Armineh et R un référentiel associé à Daniel. R’ possède un mouvement rectiligne
uniforme par rapport à R suivant une droite Ox à la vitesse de 0,8.c. Ox et Ox’ sont donc deux
directions confondues dans la réalité mais sont représentées par deux axes disjoints sur des
diagrammes spatio-temporels. La même origine est utilisée pour ces axes. Le point O
correspond à l’événement pour lequel Daniel et Armineh se rencontrent (condition d’espace et
de temps). Les autres axes d’espace ne sont pas utilisés car à chaque instant y’ = y et z’ = z,
ces coordonnées ne changent pas en passant d’un repère d’un référentiel à un autre.
L’enseignant donne des consignes détaillées par la suite afin de résoudre l’exercice par une
méthode utilisant le diagramme de Minkowski. Le diagramme de Loedel est déjà tracé et il est
utilisé par les élèves avec une aide importante de l’enseignant. Ils ne sont donc pas laissés tout
seuls avec les documents. L’enseignant favorise la construction du diagramme de Minkowski
utilisé ensuite par les élèves.
On prend une échelle de 5 cm pour 3 m en abscisse et 5 cm pour 10 ns.c en ordonnée. 10 ns.c

correspondent à 10.10-93.108 soit 3 m également (voir figure 36). L’axe des abscisses est Ox
et l’axe des ordonnées Oc.t. On commence donc par un repère de R (xOc.t) orthonormé, ce
qui permet d’avoir la droite x = c.t comme bissectrice. C’est un repère du référentiel de
Daniel. On aurait pu utiliser16 1 comme valeur de c, mais pour des soucis d’homogénéité, il
aurait tout de même fallu garder des m.s-1 afin d’éviter, d’une part que l’équation de la
bissectrice devienne « x = t », et d’autre part, cette valeur de 1 m.s-1 nous a semblé
déstabilisante pour les élèves. Nous avons donc choisi de graduer l’axe Oc.t en nanosecondes
16
L’usage habituel des graphiques (x, t) est prédictif ou illustratif sans utiliser de valeurs numériques.
81
multipliées par c au lieu de le graduer en mètres, ce qui est sa véritable unité. C’est une
solution qui n’est pas parfaite, mais elle permet d’avoir formellement une lecture rapide du
temps sur l’axe Oc.t tout en satisfaisant à l’homogénéité des équations.
On indique 3, 6 et 9 m sur l’axe Ox et on place 10 ns.c, 20 ns.c et 30 ns.c (cela correspond à 3,

6 et 9 m) sur l’axe Oc.t gradué en unité de c. Les valeurs numériques ont été choisies de façon
à correspondre à une situation pseudo-réaliste. Cela permet de placer la droite x = c.t qui fait
donc ici un angle de 45° avec l’horizontale. La valeur de c est approximée par 300000 km.s-1.
82
c.t
(en ns.c)
x = c.t
30
20
10
O x
3 6 9 (en m)
Figure 36 : Construction pas-à-pas du diagramme de Minkowski.
La droite x = 0,8.c.t correspond à la ligne d’univers d’Armineh dans le référentiel R lié à

Daniel (voir figure 37). L’axe des ordonnées étant l’axe Oc.t, il faut réécrire l’équation sous
la forme c.t = k.x. Cette pente k ne peut pas être inférieure à 1 sinon cela conduirait à une
vitesse supérieure à c. On peut écrire c.t = 10/8.x et lorsqu’on utilise du papier à petits
83
carreaux, on peut prendre simplement cinq carreaux verticalement pour quatre carreaux
horizontalement par rapport à l’origine, ce qui conduit à se trouver au-dessus de la droite
x = c.t.
c.t
(en ns.c)
x = 0,8.c.t.
x = c.t
30
20
10
O x
3 6 9 (en m)
Figure 37 : Construction de l’axe Oc.t’ du diagramme de Minkowski.

84
La droite d’équation x = 0,8.c.t correspond à l’axe Oc.t’ car la ligne d’univers d’Armineh
dans R lié à Daniel est aussi décrite par l’équation x’ = 0 dans R’ lié à Armineh
(voir figure 38).
D’après le second postulat d’Einstein, la vitesse de la lumière est la même dans chaque
référentiel inertiel. Etant donné que x = c.t est la bissectrice du repère (xOc.t), elle sera
confondue avec la droite x’ = c.t’ qui est aussi la bissectrice du repère (x’Oc.t’).
85
c.t
(en ns.c)
c.t’
(en ns.c)
x = c.t
x’
30
E3

E2
20
10

E1
O x
3 6 9 (en m)
Figure 38 : Finalisation de la construction du diagramme de Minkowski et placement

des trois événements de la situation étudiée.
Ox’ est construit en prenant le symétrique de l’axe Oc.t’ par rapport à la droite x’ = c.t’ (on
compte quatre carreaux verticalement et cinq carreaux horizontalement par rapport à l’origine
pour obtenir le résultat de la figure 38). Les trois événements E1, E2 et E3 sont ensuite placés
86
dans le diagramme de Minkowski précédemment construit en utilisant le repère orthonormé

du référentiel de Daniel. La figure 39 montre comment trouver les coordonnées temporelles
des événements E2 et E3 dans chacun des repères associés aux deux référentiels R et R’.
c.t
(en ns.c)
c.t’
(en ns.c)
x = c.t
x’
30

E2
 E3
20
10

E1
O x
3 6 9 (en m)
Figure 39 : Coordonnées temporelles des événements dans le diagramme de Minkowski.

87
Le diagramme de Minkowski représenté sur la figure 39 permet de visualiser directement

l’inversion de l’ordre chronologique entre E2 et E3 dans R ou R’. La durée entre ces deux
événements est donc positive dans un référentiel et négative dans l’autre. La formule
t’ = .t reliant la durée propre t à la durée impropre t’ ne convient pas car t et t’
devraient avoir le même signe. E2 et E3 peuvent donc avoir leur ordre chronologique qui
change en fonction du référentiel.
Les diagrammes de Minkowski ont la particularité de ne pas conserver les distances entre R et
R’ c'est-à-dire que l’échelle utilisée pour Oc.t n’est pas la même que celle qui est utilisée pour
Oc.t’.
Il est possible d’utiliser la formule t’ = .t dans le cas des événements E1 et E2 car on a une
durée propre dans R. Les diagrammes de Minkowski permettent de mesurer la durée entre E2
et E1 dans R ainsi que dans R’ mais la comparaison n’est pas immédiate (voir figure 40). Il
faut tenir compte de l’échelle différente sur Oc.t et sur Oc.t’ (5 cm pour 10-8 s sur Oc.t et 6,5
1
cm pour 10-8 s sur Oc.t’ par exemple) ainsi que du rapport de 
à appliquer sur R’ car une
1
unité sur R correspond à  unité sur R’.
En utilisant la figure 40, un calcul donne par exemple dans R, t = 6,5 cm  = 1,3.10-8 s
1 1 1
= 13 ns. Et dans R’, t’ = 23,9 cm  ,
  = 3,68.10-8 s   = 36,8 ns   = 22,1 ns
t' ,
t
= = 1,7  
On retrouve numériquement la relation entre la durée propre et la durée impropre, ce qui

valide ici la mesure de t’ dans R’. Nous n’avons pas utilisé cette méthode pour vérifier
numériquement la dilatation des durées avec les élèves. Ce sont les diagrammes de Loedel qui
ont été utilisés pour cette vérification numérique.
88
c.t
(en ns.c)
c.t’
(en ns.c)
x = c.t
x’
30
E3
E2 

20
10

E1
O x
3 6 9 (en m)
Figure 40 : Mise en évidence d’une durée propre entre E2 et E1 dans R.

89
Modélisation de la situation par construction d’un diagramme de Loedel
Le diagramme de Loedel (1955, 1957) a été donné tout prêt aux élèves. Il permet de répondre
aux questions relatives aux durées entre les événements E2 et E3 dans le référentiel d’Armineh
et pour l’observatrice Armineh. Il est possible de le construire simplement en utilisant la
procédure ci-dessous.
c.t’

O x’
8
Figure 41 : Construction du diagramme du Loedel.
On commence par tracer un axe Ox’ horizontal puis un cercle de diamètre 10 unités
(voir figure 41). Si v = 0,8.c alors  = 0,8. L’angle  entre Ox’ et Oc.t’ vérifie :
90
1
Sin  =  = 0,6 et Cos  =  = 0,8. Le cercle trigonométrique de la figure 41 est utilisé lors de
la construction de l’axe Ox’.
Les axes Oc.t et Ox sont construits en utilisant le fait que Oc.t est perpendiculaire à Ox’ et que
Ox est perpendiculaire à Oc.t’ (voir figure 42).
c.t
c.t’

O x’
Figure 42 : Construction des axes Oc.t et Ox dans un diagramme de Loedel.

91
La droite x = c.t est bissectrice de Ox, Oc.t et Ox’, Oc.t’. Elle est confondue avec la droite
x’ = c.t’ (voir figure 43).
c.t
c.t’
x = c.t
x’ = c.t’
x’
O 5
Figure 43 : Construction des droites x = c.t ou x = - c.t dans un diagramme de Loedel.

92
Pour placer les trois événements E1, E2 et E3, il faut respecter les règles de construction en
réalisant des projections parallèlement aux axes.
La projection sur l’axe Ox d’un point représentatif d’un événement se fait parallèlement à
l’axe Oc.t (vertical ici). De même la projection sur l’axe Ox’ (horizontal ici) d’un point
représentatif d’un événement se fait parallèlement à l’axe Oc.t’ (voir figure 44).
c.t
c.t’
6,9
 7,6
E2
-4,3
x’
O
Figure 44 : Coordonnées d’un événement dans le diagramme de Loedel.

93
Chronologie a priori de la séquence
Une première tâche demandée aux élèves a consisté à faire un dessin de la situation dans
l’optique de se l’approprier. Ceci permet de faire varier les registres travaillés ainsi que leurs
changements afin de favoriser, selon Duval (1993), la compréhension des phénomènes.
Construction et utilisation du diagramme de Minkowski :
Le diagramme de Minkowski a ensuite été construit pas à pas avec les élèves afin de favoriser
son appropriation. On commence avec un repère orthonormé (xOc.t) relatif au référentiel de
Daniel, car c’est le plus habituel pour les élèves. Les trois événements E1, E2 et E3 sont placés
à l’aide de leurs coordonnées dans le repère orthonormé puis les droites x = 0,8.c.t ainsi que
10.x
x = c.t sont construites. x = 0,8.c.t est construite en remarquant que c.t = 8
et que la droite
x = c.t correspond à la bissectrice de l’angle décrit par les axes Ox et Oc.t (figures 37 et 38).
La droite x = 0,8.c.t correspond à la ligne d’univers d’Armineh dans le référentiel de Daniel.

Dans le référentiel d’Armineh, cette même droite correspond à x’ = 0, c’est donc l’axe Oc.t’.
On construit l’axe Ox’ dans le référentiel d’Armineh en utilisant le second postulat d’Einstein.
L’invariance de la vitesse de la lumière dans le vide dans les référentiels inertiels se décline
graphiquement au travers de la droite x = c.t qui est la bissectrice des angles décrits par les
axes Ox et Oc.t ou Ox’ et Oc.t’.
Les coordonnées des trois événements E1, E2 et E3 peuvent être visualisées dans le référentiel
d’Armineh. Il suffit de faire des projections de ces événements sur l’axe Oc.t’ parallèlement à
l’axe Ox’, ce qui n’est pas habituel pour des élèves de terminale. L’ordre séquentiel des trois
événements dans le repère relatif au référentiel d’Armineh est donc accessible graphiquement
(figures 39 et 40).
Les événements ont été conçus de façon à ce que la chronologie des événements soit inversée
dans le référentiel de Daniel (E1, E2 puis E3) et dans le référentiel d’Armineh (E1, E3 puis E2)
afin que cela soit visible graphiquement par les élèves. Cela apparaît clairement en visualisant
les coordonnées des différents événements suivant l’axe c.t.
94
Utilisation du diagramme de Loedel :
Le diagramme de Loedel est ensuite donné aux élèves avec les quatre axes Ox, Oc.t, Ox’ et
Oc.t’ déjà construits et dont le positionnement correspond à la situation où v = 0,8.c
(figure 42). Avec ce type de diagramme, les échelles sont conservées en changeant de
référentiel, il est donc plus facile de comparer des durées d’un référentiel à un autre. Les
durées en unités de c correspondent aux projections des événements sur l’axe Oc.t suivant
l’axe Ox pour le référentiel de Daniel. Ce sont les projections des événements sur l’axe Oc.t’
suivant l’axe Ox’ pour le référentiel d’Armineh.
Les trois événements E1, E2 et E3 sont placés dans le diagramme de Loedel dans le repère du
référentiel de Daniel en appliquant les règles de projections parallèlement aux axes, car leurs
coordonnées sont connues dans ce référentiel.
La seconde séance commence par la projection, à l’aide d’un vidéoprojecteur, du diagramme

de Loedel avec la visualisation des trois événements et l’explication des règles de projections
afin de déterminer les coordonnées des trois événements dans le référentiel d’Armineh
(figure 44 pour uniquement l’événement E2).
Comme on s’attend à ce que tous les élèves aient réussi à trouver les coordonnées des trois
événements dans le référentiel d’Armineh, la correction papier est donnée sous forme d’un
diagramme de Loedel sur lequel sont reportés les trois événements et leurs coordonnées dans
les deux référentiels.
Réponse à la première question :
Pourquoi est-il impossible de fabriquer un dispositif permettant de déclencher le flash S3 4 ns

après le déclenchement du flash S2 ?
Elle sera corrigée à l’aide d’une méthode numérique. Si S3 se déclenche après S2 grâce à un
dispositif adéquat utilisant un signal on devrait avoir :
dE 3 E 2 6
V signal  t  t   15 . 10 8 m.s  1  c
3 2 4 . 10  9
La vitesse du signal devant être supérieure à la vitesse de la lumière, ce n’est pas possible. Il
est possible d’utiliser une méthode graphique en raisonnant sur les pentes (voir figure 45).
95
Dans les diagrammes de Minkowski et de Loedel, la pente de la droite E2E3 est plus petite en
valeur absolue que celle de la droite d’équation x = - c.t, également en valeur absolue. La
vitesse v nécessaire pour passer de l’événement E2 à l’événement E3, dans les référentiels liés
à Daniel ou à Armineh, devrait vérifier v > c, ce qui n’est pas possible (E3 se trouve en dehors
du cône de lumière lié à l’événement E2).
x = -c.t c.t
x = c.t c.t
c.t’
x=

E2
 E1  E3
 E  x’
O
x
x
Figure 45 : Mise en évidence graphique de l’indépendance des événements E2 et E3 avec

un diagramme de Loedel.
96
Réponse à la seconde question :
La durée entre les événements E2 et E1 correspond à une durée propre dans le référentiel de
Daniel. On peut déterminer cette durée dans le référentiel d’Armineh par l’utilisation d’un
diagramme ou une voie analytique en utilisant la relation t’(E2-E1) = .t(E2-E1).
t2-t1 = 2,3.10-8 – 1,0.10-8 = 1,3.10-8 s. C’est une durée propre dans le référentiel associé à
Daniel (la durée entre deux événements ayant la même coordonnée d’espace, et mesurée par
une même horloge immobile, voir figure 46).
97
c.t
c.t’
E2 
 E1  E3
x’
O
Figure 46 : Mise en évidence graphique d’une durée propre entre les événements E2 et
E1 dans le référentiel R à l’aide d’un diagramme de Loedel.
1
  1,7
1  2
t’2-t’1 = .(t2-t1) = 1,7  1,3.10-8 s = 2,2.10-8 s dans le référentiel associé à Armineh.
Ou t’2-t’1 = 2,5.10-8 – 3,3.10-9 = 2,2.10-8 s dans le référentiel associé à Armineh à partir d’une
lecture graphique (voir figure 47).
98
c.t (en ns.c)
c.t’
23 (en ns.c)
 25,3
E2
10
3,3
E  E3
1 x’
O
Figure 47 : Lectures graphiques de coordonnées temporelles sur un diagramme de

Loedel.
99
Réponse à la troisième question :
La durée entre les événements E3 et E2 ne correspond pas à une durée propre dans le
référentiel de Daniel (voir figure 48).
c.t
c.t’
E2 
 E1  E3
x’
O
Figure 48 : Les événements E2 et E3 ne forment pas une durée propre dans le référentiel
de Daniel.
100
Il est possible de faire une détermination graphique de cette durée dans le référentiel
d’Armineh. La relation algébrique usuellement utilisée en terminale S n’est plus applicable
ici. On voit bien l’inversion des événements, car on obtient dans le référentiel d’Armineh une
durée négative.
c.t (en ns.c)
26,7
c.t’
23 (en ns.c)
 25,3
E2
4,7
-
 E1  E3
x’
O
Figure 49 : Déterminations graphiques des durées entre les événements E3 et E2 dans

deux référentiels à l’aide du diagramme de Loedel.
t’(E3-E2) < 0 et t(E3-E2) > 0 donc t’(E3-E2)  .t(E3-E2).

101
t3-t2 = 2,7.10-8 – 2,3.10-8 = 0,4.10-8 s dans le référentiel associé à Daniel.
t’3-t’2 = 4,7.10-9 – 2,5.10-8 = -2,0.10-8 s dans le référentiel associé à Armineh par une
résolution à partir du diagramme de Loedel (voir figure 49).
L’événement E3 se trouve après E2 dans le référentiel associé à Daniel.
L’événement E2 se trouve après E3 dans le référentiel associé à Armineh.
II.3.2. Analyse a priori
Choix des diagrammes utilisés
Nous avons donc commencé l’activité avec le diagramme de Minkowski car les élèves
débutent avec un repère orthonormé pour le référentiel R. Ils s’initient aux projections
parallèlement aux axes avec le diagramme de Minkowski avec le repère du référentiel R’. Le
diagramme de Loedel est ensuite utilisé dans un second temps, car ce type de diagramme
utilise toujours les projections parallèlement aux axes et de plus les échelles sont conservées
d’un référentiel à l’autre.
Hypothèses effectuées lors de la conception de la séquence d’enseignement
Des hypothèses nous ont guidés tout le long de la conception de la séquence. Elles sont de
deux types : des hypothèses macrodidactiques et des hypothèses microdidactiques.
102
Hypothèses macrodidactiques
Elles sont au nombre de trois, elles sont basées sur des considérations globales. Les deux
premières relèvent d’un choix didactique général et la dernière liée à l’activité elle-même :
a. La traduction de l’événement en tant que point de l’espace-temps ainsi que l’utilisation de

la ligne d’univers du photon dans un diagramme espace-temps permettent d’utiliser un
nouveau registre mobilisable pour la compréhension des concepts de la relativité restreinte.
b. La conservation des échelles du diagramme de Loedel facilite la compréhension du

phénomène de dilatation des durées et est cohérente avec les connaissances des sujets.
c. La conception d’une activité dans laquelle une inversion de la coordonnée temporelle

d’événements est directement visible permet aux élèves de mieux comprendre la notion
d’ordre chronologique relatif ainsi que la structure de l’espace-temps.
Hypothèses microdidactiques
Ce sont des stratégies adoptées lors de la chronologie a priori de la séquence précédente afin
de faciliter la compréhension des concepts introduits.
La construction pas à pas du diagramme de Minkowski en utilisant au tout début un repère

(xOc.t) orthonormé est justifiée par l’hypothèse d’une meilleure appropriation des
diagrammes d’espace-temps par les élèves. Puis, la construction de l’axe Oc.t’, le placement
de l’axe x = c.t et la construction de l’axe Ox’ permettent une exploitation du second postulat
par les élèves (en lien avec l’hypothèse macro-didactique a). Le placement des événements
dans (xOc.t), les règles de construction parallèlement aux axes et le travail sur la chronologie
des événements permettent une meilleure appropriation du concept d’ordre chronologique
relatif et l’utilisation concrète et effective du concept d’événement comme un point de
l’espace-temps (en lien avec les hypothèses macro-didactiques a et c).
En ce qui concerne le diagramme de Loedel, comme il est déjà donné et que les règles de
construction parallèlement aux axes sont identiques à celles du diagramme de Minkowski,
103
nous avons supposé que cela conduirait à une meilleure appropriation de ce diagramme. Le
travail des élèves sur le placement des événements dans (xOc.t) et sur la détermination des
durées, le diagramme de Loedel ayant la particularité d’avoir ses échelles conservées, permet
aux élèves une approche géométrique sur la notion de durée plus accessible, car « visuelle ».
Cela permet d’avoir une autre compréhension des notions de durées propre et impropre (en
lien avec l’hypothèse macro-didactique b).
II.3.3. L’analyse a posteriori
Etablissement de la grille d’analyse
La séquence d’enseignement a été en grande partie retranscrite et le contenu a été analysé en

découpant le corpus en éléments de signification de l’ordre de la phrase. Une grille d’analyse
empirique, détaillée en annexe, a été développée après avoir recueilli et commencé à étudier
les données. L’affinage des catégories a été développé empiriquement au fur et à mesure de la
lecture du corpus comme décrit dans l’approche de la Grounded Theory citée par Guillemette
(2006). Seules les difficultés probables des élèves avec l’outil graphique, leurs réussites et la
prise en compte du registre étaient initialement envisagées. A la lecture des verbatim, le
codage s’est affiné en prenant en compte les difficultés comme les réussites des élèves, les
apports de connaissances comme le questionnement de l’enseignant ainsi que ses
changements de stratégies entre les deux groupes. La quasi-totalité du corpus a été traité. La
précision du codage s’est arrêtée au niveau de la phrase. Lorsqu’il y avait plusieurs
possibilités de codage, c’est la catégorie avec le niveau de difficulté le plus élevé qui s’est
imposée (une réflexion inter registre prime sur une réflexion intra registre qui elle-même
prime sur une catégorie technique). Ce codage a permis de repérer les temps forts de la
séquence. Généralement, des épisodes contenant plusieurs phrases sont analysés, ce qui fait
ressortir des tendances observables. Bien souvent les résultats de deux groupes sont
disponibles, ce qui permet de comparer ou d’enrichir l’analyse.
104
Analyse de la séquence d’enseignement
Le tracé de la droite x = 0,8.c.t dans le diagramme de Minkowski
Une difficulté non initialement prévue a nécessité la mise en place de deux stratégies en
fonctions des groupes :
Le premier groupe a eu la présentation de l’échelle par l’enseignant et devait placer les trois
événements E1, E2 et E3 sur le diagramme de Minkowski en utilisant une échelle fournie pour
l’axe des abscisses Ox et pour l’axe des ordonnées Oc.t. Il devait également tracer la droite
x = 0,8.c.t, puis devant les difficultés associées à cette tâche, l’explicitation du repère
orthonormé a été donnée par l’enseignant en même temps que l’explication du placement de
la droite x = c.t. Le tracé de la droite x = 0,8.c.t a été finalisé ainsi que le tracé qualitatif des
c.t
droites de type x = a
(a > 1 correspond à un cas possible, a < 1 correspond à un cas
impossible).
Le second groupe a eu également la présentation de l’échelle par l’enseignant, a placé les trois
événements, a eu l’explicitation du repère orthonormé en même temps que le placement de la
droite x = c.t, a tracé la droite x = 0,8.c.t puis a indiqué qualitativement le placement des
c.t
droites de type x = a .
L’organisation de l’épisode est résumée dans le tableau ci-après (voir tableau 13) :
105
Repère temporel Thème
A1 35.20 à A1 43.35
Travail sur la droite x = 0,8.c.t et sur le coefficient directeur
B1 27.15 à B1 43.33
A1 49.36 à A1 50.40
Mobilisation du second postulat dans le registre diagrammatique
B1 44.05 à B1 44.52
Tableau 13 : Organisation de l’épisode.
Les échanges entre l’enseignant et les élèves peuvent se produire avec des registres différents
et c’est une source d’incompréhension. C’est le cas des échanges entre A1 40.08 et A1 42.30.
L’enseignant apporte des informations techniques alors que les élèves ont des difficultés intra
registres quant à l’utilisation de l’échelle. On voit ci-après que 73 % des apports de
l’enseignant sont de type technique alors que seulement 14 % sont de type intra registre, mais
que 50% des difficultés exprimées par les élèves sont de type intra registre.
1
La notion de coefficient directeur reste problématique, car sa valeur est de 0,8
et pas de 0,8.
x
Cela amène les élèves à réaliser une opération algébrique de l’expression x = 0,8.c.t à c.t = 0,8.
La manipulation des échelles pose aussi problème, car elle conduit à un guidage élevé de
l’enseignant (41% des échanges sont des apports de l’enseignant) et les élèves à ce stade ne
semblent pas donner de sens à la position respective des deux droites x = c.t et x = 0,8.c.t (lié
au fait que l’inversion des axes par rapport à ce qui est fait d’habitude entraîne qu’une droite
associée à une valeur de a plus élevée est plus verticale, alors que la vitesse est plus lente).
106
L’enseignant a fait le choix d’une démarche inductive, pour laquelle la compréhension du

modèle vient après sa découverte (voir A1 49.36). C’est un passage pour lequel les élèves sont
plutôt en réussite.
Le second postulat est mobilisé lors de l’étude graphique des pentes des lignes d’univers
permises. Ce sont des réussites d’élèves majoritairement inter registres ou intra registres.
Un élève arrive à réaliser une opération inter registre en reliant la pente d’une ligne d’univers
à la vitesse de l’objet étudié (voir A1 50.20).
Les élèves sont amenés ensuite à prédire la vitesse d’un objet dans le référentiel de Daniel en
fonction de la position de sa ligne d’univers sur le diagramme.
En conclusion, le placement des trois événements E1, E2 et E3 ne pose pas de problèmes

particuliers. L’axe des ordonnées Oc.t a posé des problèmes, car il est gradué en unités de
temps fois c. Le produit entre c et t est homogène à une distance ce qui veut dire que l’axe des
abscisses et l’axe des ordonnées sont homogènes à des distances. Lorsqu’on regarde les
différentes échelles on s’aperçoit que le repère xOc.t est un repère orthonormé, ce qui
implique que la droite x = c.t correspond à la bissectrice de l’angle formé par les segments Ox
et Oc.t. Il n’est par contre pas explicite pour les élèves que ce repère soit orthonormé. Le tracé
de la ligne d’univers d’Armineh pose également problème surtout pour placer la droite
d’équation x = 0,8.c.t et cela pour plusieurs raisons :
- L’équation de la droite n’est pas de la forme « ordonnée » = a × « abscisse ».

- Les élèves ont des difficultés à tracer une droite de pente a.
- On peut supposer aussi que les élèves associent une pente élevée à une vitesse
élevée, ce qui n’est pas le cas ici.
107
Le passage du registre diagrammatique au monde réel est facilité avec la mobilisation du

second postulat. On peut supposer que cela est dû au temps passé sur la notion de pente. La
notion de ligne d’univers de la lumière au travers de l’équation x = c.t n’est pas introduite à ce
niveau.
Comment construire l’invariance de c dans un diagramme de Minkowski ?
Après avoir construit le repère orthonormé relatif au référentiel de Daniel, le repère relatif au
référentiel d’Armineh est construit par déduction du premier, en utilisant la traduction du
second postulat à l’aide du diagramme.
Les droites parallèles à Oc.t’ correspondent à l’immobilité dans le

B1 45.11 à B1 46.23
référentiel d’Armineh
B1 46.50 à B1 48.46 Mobilisation du second postulat dans le registre diagrammatique
La construction du repère dans le référentiel d’Armineh pose des problèmes aux élèves, car ils
ont des difficultés à s’apercevoir que la ligne d’univers d’Armineh dans le référentiel de
Daniel correspond à l’axe Oc.t’ dans le référentiel d’Armineh.
Ce sont essentiellement des difficultés de types inter registre, ce qui nécessite un apport
conséquent de ce type de la part de l’enseignant.
Par la suite, les élèves arrivent à comprendre la construction de l’axe Ox’ par symétrie par
rapport à la droite x’ = c.t’ sans pour autant associer cette construction au second postulat
d’Einstein. Ce sont donc des réussites plutôt techniques de la part des élèves.
L’enseignant apporte lui-même la signification physique de la symétrie par rapport à la droite

x’ = c.t’ par un apport de type inter registre.
108
Visualisation de la chronologie des événements
Les diagrammes d’espace-temps, tels que ceux de Minkowski ou de Loedel utilisés dans
l’activité avec les élèves, permettent de visualiser sur l’axe des ordonnées la chronologie des
événements dans le référentiel de Daniel avec l’axe Oc.t, ou dans le référentiel d’Armineh,
grâce à l’axe Oc.t’. La séquence a été conçue de façon à ce que l’ordre chronologique des
événements soit différent dans les deux référentiels. Il a suffi de s’arranger pour que, d’une
part, l’ordre chronologique puisse changer en fonction du référentiel en prenant un événement
non inclus dans le cône de lumière d’un autre, par exemple. D’autre part, il a fallu trouver des
coordonnées d’événements particulières pour que l’ordre chronologique soit inversé.
L’organisation de l’épisode est résumée dans le tableau ci-après (voir tableau 15), deux
stratégies sont utilisées pour présenter l’ordre chronologique relatif par l’observation de deux
événements dans deux référentiels différents :
Construction puis observation de l’inversion chronologique des trois

A2 11.38 à A2 16.29
événements.
Introduction de l’inversion chronologique des événements puis

B2 00.00 à B2 13.13
justification graphique.

109
L’inversion chronologique des événements, bien que rendue visible au travers des
diagrammes d’espace-temps, pose toujours des problèmes aux élèves :
- Les règles de projection parallèlement aux axes ne sont pas toujours

maitrisées ;
- Les élèves raisonnent par rapport à la position plutôt que par rapport à la
date de l’événement ;
- La notion d’ordre chronologique relatif n’est pas forcément bien comprise ;
- Les élèves peuvent émettre des conclusions hâtives en comparant la façon
dont s’écoule le temps d’un référentiel à un autre.
Les apports de l’enseignant demeurent très importants ainsi que le questionnement servant à
relancer la réflexion des élèves.
L’appropriation du diagramme de Loedel
Après avoir construit et utilisé le diagramme de Minkowski, les élèves sont amenés à utiliser
le diagramme de Loedel, et tout d’abord à découvrir son principe de fonctionnement.
110
A2 29.56 à A2 44.32
ou Découverte de Loedel (projections et lecture des coordonnées)
B2 14.12 à B2 39.28
Dans l’enregistrement de la partie du premier groupe, l’enseignant fait des comparaisons inter
registres entre le registre diagrammatique et le registre du langage naturel. Les élèves arrivent
à attribuer les bons axes aux bons référentiels ainsi qu’à s’apercevoir que les axes Ox et Oc.t’
ainsi que Ox’ et Oc.t sont perpendiculaires entre eux.
L’enseignant bâtit la traduction du second postulat sur le diagramme avec les droites
confondues x = c.t ou x’ = c.t’ qui sont les bissectrices des angles formés par les axes Ox et
Oc.t ou Ox’ et Oc.t’. On voit également une mauvaise interprétation du diagramme avec
d’autres éventuelles bissectrices. Elles conduisent à des confusions, car cela amène à associer
de mauvais axes pour définir les repères de chaque référentiel. On voit ici la limite à utiliser
un diagramme tout prêt, sans que les élèves aient pu prendre part à sa construction.
Les règles de projections parallèlement aux axes qui viennent d’être vues avec le diagramme
de Minkowski dans le référentiel d’Armineh ont du mal à être assimilées par tous les élèves.
Le placement précis des événements pose aussi problème en particulier la manipulation de la
règle de trois lors de l’utilisation des échelles.
Dans l’enregistrement du second groupe, la règle de trois est explicitée par l’enseignant afin
de limiter les problèmes techniques des élèves. Il apporte également des informations sur la
signification physique d’abscisses négatives pour des événements dans le repère du référentiel
d’Armineh et une aide technique sur les projections et la détermination des coordonnées. Le
diagramme permet aux élèves de se rendre compte de phénomènes contre-intuitifs : inversion
de l’ordre chronologique des événements, ce qui amène la surprise chez eux (B2 31.40) et de
l’ordre des positions des événements. L’enseignant pose également plus de questions que dans
le premier groupe, ce qui induit un pourcentage de réussite plus élevé et moins de difficultés
exprimées chez les élèves.
111
Les diagrammes de Loedel posent des problèmes importants aux élèves, mais ils suscitent
néanmoins une réflexion intéressante de leur part :
- Le diagramme permet une base de discussion sur des résultats contre-intuitifs

(inversion d’ordre chronologique des événements comme celui des positions
relatives) ;
- Le second postulat d’Einstein se décline de façon graphique à l’aide d’une
recherche de bissectrices ;
- Une mauvaise interprétation du diagramme est toujours possible, avec par
exemple, une recherche par les élèves de bissectrices non pertinentes ;
- Les règles de projection parallèlement aux axes ont du mal à être bien
maitrisées par les élèves ;
- La lecture des coordonnées des événements et l’utilisation de la règle de trois
associées sont aussi problématiques.
Etude de l’ordre chronologique relatif avec le diagramme de Loedel
Les élèves sont amenés à utiliser dans la deuxième séance les diagrammes de Minkowski et
de Loedel vus dans la première séance. La première tâche des élèves consiste à revoir la
notion d’ordre chronologique relatif en étudiant deux événements indépendants E2 et E3 pour
lesquels E3 n’est pas à l’intérieur du cône de lumière d’E2.
112
A3 23.13 à A3 30.48
L’ordre chronologique relatif avec Loedel à partir des
ou
coordonnées des événements.
B3 19.01 à B3 25.09
A3 30.51 à A3 33.34
L’ordre chronologique relatif avec Loedel à partir d’un
ou
raisonnement sur les pentes.
B3 25.31 à B3 29.04
Les élèves ne font pas forcément la différence entre le temps, la date ou la durée. La notion
« d’événement » utilisée dans le cadre de rationalité familier (par exemple un concert qui dure
1H30) s’oppose avec cette même notion dans le cadre de rationalité des sciences physiques.
La notion de référentiel n’est pas toujours comprise par les élèves ce qui amène des difficultés
d’ordre conceptuel. Ils ont du mal à utiliser la notion de référentiel pour définir une durée, car
c’est contre-intuitif.
Les élèves semblent trouver qu’une durée de 4 ns est trop petite et cela peut leur paraître
comme une impossibilité technique. Les activités en relativité restreinte, même numérisées,
peuvent apparaître comme de la science-fiction à leurs yeux (peu concrètes, ne faisant partie
du monde réel). L’assignation de valeurs numériques, mêmes « pseudo » réalistes, ne facilite
pas forcement la circulation entre les registres.
Le calcul de la vitesse du signal hypothétique reliant les événements E2 et E3 permet de

montrer que ces deux événements sont indépendants. Un savoir implicite est mobilisé ici
(deux événements indépendants ne peuvent pas être reliés par un signal physique) et cela peut
être un facteur non négligeable de difficulté.
L’interprétation géométrique de l’inversion de l’ordre chronologique entre les événements E2

et E3 en fonction des référentiels est réalisable en comparant la valeur de la pente reliant les
événements et celle de la droite x = c.t. En fonction des situations, il faut utiliser la
comparaison avec la droite x = - c.t. La visualisation de l’inversion des événements E2 et E3
113
en fonction des référentiels permet de discuter de l’ordre chronologique relatif de deux

événements.
En conclusion, les diagrammes de Loedel permettent de travailler sur l’ordre chronologique

relatif de deux événements. Des difficultés demeurent, car :
- La différence entre temps, date ou durée n’est pas forcement acquise par les
élèves avec des confusions entre « événement » en tant que durée
(contamination du sens commun) et « événement » du physicien en tant que
point de l’espace-temps ;
- La notion de référentiel n’est pas toujours comprise ;
- L’obligation de définir le référentiel dans lequel une durée est mesurée est
contre-intuitive pour les élèves ;
- La vitesse d’Armineh est avancée pour traiter l’ordre chronologique relatif
d’événements dans le référentiel de Daniel ;
- Les règles de projection parallèlement aux axes ont du mal à être bien
maitrisées par les élèves ;
- La lecture des coordonnées des événements et l’utilisation de la
proportionnalité sont parfois hésitantes aussi ;
- Une durée de 4 ns n’est pas forcement concrète pour les élèves.
La visualisation sur le diagramme du problème d’ordre chronologique relatif entre les

événements est néanmoins bénéfique, car :
- Les difficultés conceptuelles des élèves sont importantes dans cet épisode,
mais les réussites conceptuelles exprimées par les élèves ne sont pas
négligeables ;
- Des explications graphiques sur la conséquence d’un déplacement à une
vitesse plus grande que celle de la lumière dans le vide peuvent être données à
cette occasion, car cette possibilité interdite peut être facilement visualisée sur
un diagramme d’espace-temps.
114
Mesure de la durée propre et comparaison avec une durée impropre dans le diagramme
de Loedel
Une durée propre est mesurée dans un référentiel galiléen à l’aide d’une seule horloge fixe
entre deux événements situés à la même position que l’horloge de mesure. Les diagrammes
d’espace-temps permettent de visualiser graphiquement la mesure de la durée propre en
mettant en valeur le fait que l’abscisse des deux événements soit identique. La conservation
des échelles d’un référentiel à l’autre avec le diagramme de Loedel peut s’avérer utile.
A3 34.34 à A3 44.44
ou Durée propre et durée impropre
B3 29.31 à B3 36.22
La durée propre visualisée dans le référentiel de Daniel est prise entre les événements E2 et
E1. Cela n’apparaît pas spontanément aux élèves que c’est une durée propre. Ils calculent la
durée impropre dans le référentiel d’Armineh à partir de la formule de dilatation des durées vu
dans le cours. Les interactions enseignant – élèves permettent donc de réactiver ici ce qui a été
déjà vu. Les questions de l’enseignant sont essentiellement techniques comme les réussites
exprimées par les élèves. Le diagramme de Loedel permet de vérifier graphiquement que la
durée prise dans le référentiel de Daniel est bien la durée propre alors que la durée prise dans
le référentiel d’Armineh est une durée impropre.
Le diagramme est aussi utilisé pour mesurer des durées, mais son utilisation n’est pas
forcément perçue par les élèves comme plus simple ou plus précise que le registre fonctionnel
ou algébrique. Ils trouvent par lecture graphique la valeur de la durée impropre dans le
référentiel d’Armineh. Le diagramme permet de réinvestir les notions de durée propre et de
durée impropre, car ces notions deviennent maintenant visibles.
115
En conclusion, les diagrammes de Loedel permettent de travailler graphiquement sur des

comparaisons de durées avec des échelles qui sont conservées d’un référentiel à un autre. La
notion de durée propre est réinvestie ici après avoir été vue en cours dans un autre contexte
non géométrique, mais :
- Cette notion de durée propre n’est pas reconnue spontanément par les élèves
dans un contexte géométrique ;
- La notion même de durée semble ne pas être toujours bien maitrisée ;
- Même si les élèves trouvent qu’il est aussi possible d’utiliser le diagramme
pour mesurer les durées, son utilisation n’est pas forcement perçue par eux
comme plus simple ou plus précise que le registre fonctionnel ou algébrique.
Néanmoins, l’utilisation du diagramme de Loedel permet :
- De vérifier dans un autre registre, ici diagrammatique, que la durée prise

dans le référentiel de Daniel est bien la durée propre, alors que la durée prise
dans le référentiel d’Armineh est une durée impropre ;
- De comparer une méthode utilisant un diagramme ou une méthode
analytique adaptée à leur niveau d’enseignement.
Comparaison de durées quelconques avec le diagramme de Loedel
Le programme de terminale S indique qu’il faut traiter le phénomène de dilatation de durée en

comparant deux durées dont l’une au moins est une durée propre en utilisant une relation
analytique tm = t0. Nous allons voir ici un cas où il est possible graphiquement de
comparer deux durées quelconques sans utiliser le formalisme mathématique de la
transformée de Lorentz vu dans le supérieur.
116
A3 44.49 à A3 50.25
ou Détermination graphique de durées quelconques
B3 37.06 à B3 43.29
Les élèves se rendent comptent que les deux durées relatives aux événements E2 et E3 ne
correspondent pas à durée propre dans le référentiel de Daniel ou d’Armineh et donc que la
relation mathématique vue en cours n’est plus applicable. Ils trouvent la durée dans le
référentiel d’Armineh en utilisant le diagramme de Loedel.
L’inversion chronologique des événements E2 et E3 dans le référentiel d’Armineh est reprise

par l’enseignant lors de la mesure d’une durée négative par les élèves. La notion de durée
propre et le domaine de validité de la relation tm=.t0 sont également travaillées.
En conclusion, les diagrammes de Loedel permettent de comparer des durées quelconques

géométriquement sans utiliser la transformée de Lorentz. Cela permet aux élèves de :
- Se rendre compte que les deux durées relatives aux événements E2 et E3 ne

correspondent pas à des durées propres dans les référentiels de Daniel et
d’Armineh et donc que la relation mathématique vue en cours n’est plus
applicable ;
- De commencer à avoir une autre définition de la durée propre en parlant de
« même abscisse » pour les événements ;
- De trouver la durée dans le référentiel d’Armineh par une méthode utilisant
un diagramme de Loedel ;
- De trouver une durée négative, de confirmer l’inversion des événements E2 et
E3 dans le référentiel d’Armineh et d’insister sur l’impossibilité d’utiliser la
relation tm = .t0 car tm et t0 doivent avoir le même signe, ce qui exclut
une inversion de l’ordre chronologique d’événements.
117
C’est une partie conduisant majoritairement à des difficultés techniques exprimées par les
élèves. Cela demande donc un apport technique important de l’enseignant ainsi qu’un
questionnement du même type.
II.4. La nécessité d’un apport théorique
Au fur et à mesure de ce travail, il nous est apparu de plus en plus crucial de construire des
outils théoriques afin de nous aider à construire et à analyser des séquences basées sur une
approche utilisant des diagrammes d’espace-temps pour introduire des concepts de la
relativité restreinte.
Nous avons déjà vu que les graphiques présentent un potentiel cognitif important. Duval
(1993) a introduit la notion de registre de représentation sémiotique en étudiant des objets
mathématiques. Il existe différents registres mobilisables : le langage naturel, l’écriture
symbolique, le graphique cartésien, les diagrammes, les figures géométriques, les tableaux de
données, … Duval soutient que la maîtrise d’un concept mathématique suppose la maîtrise
d’au moins deux registres ainsi que les conversions associées entre les registres.
L’organisation de la représentation spatiale a été étudiée par Vergnaud (1994, page 33, voir
figure 50). Il s’est interrogé sur la façon dont les propriétés du signifiant sont associées aux
propriétés du signifié et si ces propriétés sont véritablement utiles aux apprentissages.
Figure 50 : Une analyse de la représentation du réel. Extrait de Vergnaud (1994).

118
L’espace de travail mathématique (ETM) a été développé afin de mieux comprendre les
enjeux didactiques autour du travail mathématique dans un cadre scolaire par Kuzniak et
Richard (2014). Il correspond à une extension de l’espace de travail géométrique (ETG)
étudié par Kuzniak (2006, 2011). L’ETM comporte deux niveaux : un de nature cognitive en
relation avec l’apprenant et un autre de nature épistémologique en rapport avec les contenus
mathématiques étudiés (voir figure 51).
Le plan épistémologique contient un ensemble de représentamen (signes utilisés), un

ensemble d’artéfacts (instruments de dessins ou logiciels) et un ensemble théorique de
référence (définitions et propriétés).
Le plan cognitif contient un processus de visualisation (représentation de l’espace, relatif au

support matériel), un processus de construction (fonction des outils utilisés) et un processus
discursif (argumentations, de preuve).
Il existe un ETM de référence communément admis par la communauté scientifique, un ETM

personnel du professeur qui correspond à son interprétation de l’ETM de référence et un ETM
personnel de l’élève qui est mobilisé lors de résolutions de problèmes. L’ETM idoine est
construit par le professeur. Cela correspond à un aménagement de l’ETM de référence afin de
permettre à l’élève de résoudre lui-même les problèmes posés dans le cadre d’une institution
scolaire.
Figure 51 : Description de l’ETM. Extrait de Kuzniak et Richard (2014).

119
Le travail mathématique correspond à une articulation entre les plans cognitifs et

épistémologiques grâce à une genèse instrumentale (opérationnalisation des artefacts), une
genèse sémiotique (basée sur le registre des représentations sémiotiques, donne un sens aux
signes utilisés) et une genèse discursive (raisonnement mathématique et validation élaborée).
Les différentes phases du travail mathématique lors de l’accomplissement d’une tâche ont été
mises en évidence par la représentation de trois plans verticaux sur le diagramme de l’ETM
représentés sur la figure 52.
Figure 52 : Les différentes genèses dans les ETM. Extrait de Kuzniak et Richard (2014).
Les interactions de type sémiotique-instrumentale (sem-ins) permettent de mettre en œuvre

une démarche de découverte et d’exploration d’un problème scolaire donné. Celles de type
instrumentale-discursive (ins-dis) privilégient le raisonnement mathématique. Enfin, celles de
type sémiotique-discursive (sem-dis) sont caractéristiques de la communication des résultats
de type mathématique.
Pour que le travail réalisé sur des résolutions de problèmes en mathématiques soit utilisable
en sciences physiques, il convient d’étudier au préalable un modèle d’analyse de processus de
conceptualisation mettant en jeu des relations entre processus mathématiques et processus
physiques (voir figure 53). Un tel exemple de mise en lien a été développé par Malafosse
120
(2000, page 70). Son étude portait sur la loi d’Ohm, ce qui explique l’importance qu’il a
consacrée aux relations algébriques.
Figure 53 : Relations interdisciplinaires entre les mathématiques et les sciences

physiques. Extrait de Malafosse (2000).
Il a ainsi défini la notion de cadre de rationalité comme un ensemble cohérent du

fonctionnement de la pensée culturelle ou familière caractérisé par quatre composantes :
l’ensemble des objets « conceptuels », le type de procédé de validation, les éléments de
rationalité, qui constituent les règles de traitement et de validation, ainsi que les registres
sémiotiques qui sont supports à la conceptualisation et à la communication.
Dans l’exemple ci-après, trois cadres de rationalité sont étudiés : le cadre de rationalité des
mathématiques, le cadre familier et celui de la physique (voir tableau 20). Des objets
conceptuels et des éléments de rationalité ont été explicités à chaque fois.
121
Tableau 20 : Les cadres de rationalité. Extrait de Malafosse (2000).
La comparaison des processus de conceptualisation entre les mathématiques et les sciences

physiques peut donc être réinvestie à l’aide des notions de cadre de rationalité et de registre
sémiotique (voir figure 54).
Figure 54 : Cadres de rationalité et registres sémiotiques. Extrait de Malafosse (2000).

122
Il existe des obstacles liés aux changements de registres sémiotiques, ce qui va être source de
difficultés prévisibles pour les élèves. Dans l’exemple de l’établissement de la loi d’Ohm
(Voir figure 54), le registre algébrique occupe une place prépondérante, car la
correspondance entre les deux cadres n’est pas triviale pour les élèves et c’est pour cela
qu’elle conduit généralement à des obstacles (voir figure 55). En relativité restreinte, il existe
d’autres registres mobilisables tels que les registres matriciels, les registres fonctionnels, …
Figure 55 : Différents obstacles envisageables. Extrait de Malafosse (2000).
Cela conduit également à des ruptures entre les cadres culturels des mathématiques et de la
physique du point de vue des concepts scientifiques comme des conceptions des enseignants.
C’est ce qui a été montré par Malafosse (2001) sur la figure 56.
123
Figure 56 : Différentes ruptures envisageables. Extrait de Malafosse (2000).
Le tableau 21 nous permet de comparer quelques éléments utilisés dans ce travail de thèse
contenus dans les plans épistémologiques des cadres de rationalité des sciences physiques et
des mathématiques.
124
Nature des ensembles du Cadre de rationalité des Cadre de rationalité des

plan épistémologique sciences physiques mathématiques
Graphiques Graphiques
Diagrammes Diagrammes
Représentamen Relations algébriques Relations algébriques
Lignes d’univers Points
Evénements Droites
Logiciel (Audacity, …) Logiciel GeoGebra
Règles, crayon, compas, Règles, crayon, compas,

Artéfacts
rapporteur, calculatrice rapporteur, calculatrice
Calcul formel (logiciels)
Événements Coefficients directeurs
Vitesses Invariance de la bissectrice
Second postulat d’Einstein Coordonnées
Unités Projections
Durées Axe
Référentiel
Ordre chronologique Plan
Ordre chronologique relatif
Calcul formel
Axe
Positions (au cours du temps)
Tableau 21 : Éléments étudiés dans cette thèse en fonction du cadre de rationalité.
Tout ceci, nous a conduits à développer de nouveaux outils adaptés aux séquences que nous
voulions mettre en place avec les élèves de terminale S. C’est ainsi que le diagramme associé
au modèle des ETM a été transformé en rajoutant un plan épistémologique supplémentaire
125
correspondant au cadre de rationalité des sciences physiques (voir figure 57). Nous avons
choisi de ne garder qu’un seul plan cognitif, c’est pour cela que nous n’avons pas retenu un
ETM pour chaque cadre de rationalité. Le domaine auquel nous allons restreindre notre étude
est celui de la cinématique relativiste. De plus les éléments que nous intégrons font partie
d’un ETM idoine bien particulier, associé à notre étude, et qui n’est pas forcément classique.
Cela va nous permettre d’analyser finement les interactions entre les différents cadres de
rationalité et le plan cognitif de l’élève et de qualifier la nature du travail réalisé par l’élève ou
celui qui lui est demandé.
Figure 57 : Modèle de l’ETM étendu.
Le terme « preuve » est conservé, mais il prendra dans le cas de l’ETM étendu un sens plus
« mou » de justification ou de raisonnement. Nous allons nous limiter dans ce travail de thèse
uniquement aux interactions entre un plan épistémologique et le plan cognitif afin de travailler
plus particulièrement sur les interactions avec les élèves.
126
Tiberghien (2005) a décrit le phénomène de modélisation en sciences physiques à l’aide de

deux mondes décrits sur la figure 58 : celui des objets et des événements, en relation avec le
monde matériel inanimé, et celui des théories et des modèles, en relation avec les aspects
théoriques et les modèles de situations théoriques étudiées.
Le physicien décrit une situation en termes d’objets, d’événements ou de faits expérimentaux.

La validation expérimentale établit une confrontation entre les faits expérimentaux et les
prévisions issues du monde des théories et des modèles. Lors de l’apprentissage de la
physique, il conviendrait, d’après elle, d’expliciter le monde des objets et des événements.
Figure 58 : Modèle des deux mondes associés à la modélisation en sciences physiques.

Extrait de Tiberghien (2005).
Une double distinction a par la suite été établie entre savoir quotidien et savoir de la physique
pour chacun des deux mondes décrits précédemment.
127
Figure 59 : Double catégorisation des savoirs pour chaque monde. Extrait de Tiberghien
(2005).
La double catégorisation décrite sur la figure 59 permet de prendre en compte les difficultés
et les évolutions des apprenants et de montrer que la description en termes d’objets et
d’événements demandée dans l’enseignement de la physique n’est pas celle de la vie
quotidienne même pour une situation familière.
Lors d’une étude du son en classe de seconde, Tiberghien (2005) a étudié dans une situation
d’enseignement pour laquelle des élèves doivent mettre en relation des perceptions et des
phénomènes mécaniques. Nous nous intéressons plus particulièrement ici à son étude de
l’association de la perception aigu / grave avec la fréquence de vibration de la source.
La réponse d’un élève a été analysée en utilisant le modèle des deux mondes sur la figure 60.
128
Figure 60 : Analyse d’une tâche effectuée par un élève à l’aide du modèle des deux
mondes. Extrait de Tiberghien (2005).
La situation d’enseignement vise la mise en relation, par les élèves, des perceptions d’une part
et des phénomènes mécaniques d’autre part.
Un élève faisait partie d’un binôme ayant à disposition un générateur basse fréquence (GBF)
relié à un haut-parleur (HP). En changeant la fréquence du GBF il pouvait ainsi écouter le son
produit. Lors de l’échange avec son camarade, il a été mis en évidence sur le verbatim qu’il
associait à une fréquence de vibration élevée par l’intermédiaire du dispositif technique (GBF
+ HP) une vibration plus importante et donc un son plus aigu. Il a ensuite associé à la notion
de vibration, celle de la membrane du HP ainsi que l’analogie du cœur.
Cette situation nous permet de tester le modèle de l’ETM étendu que nous avons décrit à la
figure 57. Une proposition de description de la tâche réalisée par l’élève est représentée sur la
figure 61.
La fréquence de vibration élevée est associée au référentiel du plan épistémologique de la

physique (elle fait partie des définitions et des propriétés en physique) et le dispositif
technique (GBF + HP) à l’artéfact du même plan (en extrapolant les instruments de dessin ou
le logiciel initialement utilisés dans le plan épistémologique des mathématiques au dispositif
expérimental dans le plan épistémologique de la physique). Cela conduit à la construction
(même si ce terme était initialement destiné à une construction plus mathématique avec une
approche géométrique) de la notion fréquence plus élevée dans le plan cognitif de l’élève. Il
visualise dans le même plan une vibration plus importante de la membrane et il entend un son
plus aigu. L’élève développe un discours de « preuve » d’une vibration plus importante en
utilisant l’analogie du cœur en pensant sans doute à ses battements, cela donne sans doute
129
plus de sens à cette situation pour lui. Cela permet de reboucler sur le plan épistémologique de
la physique en renforçant la notion de vibration plus élevée.
Il existe ici, en fait, une double construction « fréquence élevée » associée à « aigu » puis
« son » à « vibration d’une membrane ». On considère que la seconde association a déjà été
travaillée précédemment puisque la situation d’enseignement se focalise sur la perception
aigu / grave avec la fréquence de la vibration de la source.
étendu.
Le plan épistémologique des mathématiques n’est pas mobilisé ici. Les genèses mises en
évidence sont de type instrumentales et discursives. L’association de ces deux genèses est en
général plutôt associée à une tâche favorisant le raisonnement. Même si la description semble
130
proposer un ordre chronologique privilégié, il n’en est a priori rien puisqu’il existe des va-et-
vient permanents entre les différents éléments concernés dans les deux plans.
Nous avons pu utiliser le modèle de l’ETM étendu avec l’exemple issu de l’étude de
Tiberghien (2005). Il demeure un exemple pour lequel les mathématiques ne sont pas
mobilisées, nous l’avons mis en évidence sur la figure 61. Ce ne sera plus du tout le cas avec
la cinématique relativiste pour laquelle la place des mathématiques est importante.
Le cadre des mathématiques aurait été mobilisé, par exemple, si les élèves avaient eu à
trouver ensuite sur un graphique une période T, à en déduire la fréquence f à partir de la
1
relation algébrique f = T
et à conclure si le son associé était aigu ou grave (voir figure 62).
étendu.
131
L’extraction de la période T est associée à une genèse sémiotique entre le plan

épistémologique de la physique et le plan cognitif (la période T est la durée d’un motif
élémentaire qui est généralement traitée en classe de sciences physiques en seconde). Il faut
1 1
ensuite transformer la relation algébrique f = T
en T = f ., ce qui correspond à une genèse
discursive entre le plan épistémologique des mathématiques et le plan cognitif. (il faut isoler T
puis effectuer un calcul numérique). Enfin une genèse discursive entre le plan
épistémologique de la physique et le plan cognitif est mise en œuvre lorsqu’il faut conclure si
le son est aigu ou grave (il faut effectuer un raisonnement pour conclure et utiliser les bonnes
unités pour la période T et la fréquence f).
Nous commençons donc à entrevoir les potentialités à utiliser un ETM étendu dans l’analyse
de tâches réalisées par des élèves. Nous faisons l’hypothèse par la suite que ces ETM vont
être d’une aide précieuse lors de la conception, mais aussi l’analyse de séquences
d’enseignement utilisant des diagrammes d’espace-temps en relativité restreinte, car cela va
permettre de caractériser la diversité des activités cognitives engagées.
132
Troisième partie
III. Élaboration théorique d'une aide à la création d'une séquence

d'enseignement en relativité restreinte
Nous allons nous aider du cadre théorique des ETM pour construire une séquence
d’enseignement en relativité restreinte mobilisant le registre des diagrammes. Ce cadre permet
une certaine distanciation avec les séquences proposées tout en explicitant les interactions
entre l’élève (au travers d’un plan appelé « plan cognitif ») et un niveau disciplinaire (décliné
en deux plans appelés « plan épistémologique » en fonction des cadres de rationalité des
mathématiques ou de la physique). Ce cadre théorique nous sera utile pour évaluer les tâches
réalisées et réalisables par les élèves, ce qui nous manquait dans les analyses a priori et a
posteriori de la séance ou de la séquence pilote. Commençons par décrire plus
particulièrement le fonctionnement que nous allons faire des ETM dans ce travail de thèse.
III.1. Les espaces de travail mathématique : un cadre pour penser l'usage

des diagrammes d'espace-temps en relativité retreinte
Tout d’abord il convient de repérer dans une tâche si un ou des cadres de rationalité des
mathématiques ou de la physique sont mobilisés. Si la signification physique d’un phénomène
n’est pas mobilisée et que le travail ne porte que sur l’exploitation mathématique d’objets
représentés sur un diagramme, le plan épistémologique de la physique ne sera pas utilisé.
Par exemple, s’il est demandé d’expliquer si deux événements E1 et E2, placés sur un
diagramme, ont la même abscisse dans un référentiel donné, le travail ne s’effectue pas dans
le plan de l’épistémologie de la physique qui n’est pas mobilisé.
Par contre s’il est demandé d’expliquer pourquoi les événements E1 et E2, placés sur un
diagramme, permettent de définir une durée propre dans un référentiel donné, cette fois-ci les
deux plans épistémologiques sont mobilisés. Il faut d’une part connaître la signification
physique d’une durée propre et d’autre part repérer si les deux événements ont la même
abscisse dans un référentiel donné.
133
En fonction du questionnement, la tâche peut donc porter sur un ou deux cadres de rationalité
et donc conduire à un niveau de complexité plus élevé.
Par défaut le plan cognitif est à chaque fois utilisé, car nous nous intéressons aux interactions
entre l’élève via son plan cognitif et un ou deux plans épistémologiques. De plus, nous
n’allons pas nous intéresser dans ce travail de thèse, aux éventuelles interactions entre les
deux plans épistémologiques sans passer par le plan cognitif de l’élève, car nous focalisons
notre attention sur lui en posture de résolution d’une tâche.
L’élève est étudié dans sa posture de résolution d’une tâche. Les interactions avec le plan
cognitif seront donc les seules prises en compte.
Le plan cognitif contient trois éléments (visualisation, construction, preuve). La visualisation

correspondra ici à une lecture sur un diagramme. La construction sera associée au tracé de
quelque chose sur un diagramme d’espace-temps à l’aide d’un crayon ou d’une action sur le
logiciel GeoGebra. La preuve sera associée à un raisonnement plus ou moins élaboré
conduisant à un résultat correct.
Chaque plan épistémologique contient également trois éléments (représentamen, artéfacts et

référentiel). Un représentamen correspond à un signe (par exemple un trait) représentant un
objet appartenant au cadre de rationalité des mathématiques (ici une demi-droite) ou de la
physique (ici une ligne d’univers). Les artéfacts correspondent aux outils utilisés lors de la
résolution de la tâche, un diagramme (cadre de rationalité des mathématiques) ou un
enregistrement sur papier des positions au cours du temps d’un objet (cadre de rationalité de
la physique). Enfin, le référentiel est associé à l’ensemble des règles, des définitions, des
postulats d’un domaine pour un cadre de rationalité donné (théorie de la relativité restreinte en
physique, calcul matriciel en mathématiques).
Un élément d’un plan sera bien souvent en interaction avec un élément d’un autre plan sur
une verticale pour former une genèse. Il existe également des interactions sur un même plan
qui ne sont pas associées cette fois-ci aux genèses. La genèse sémiotique correspond à une
134
interaction representamen – visualisation, la genèse instrumentale à l’interaction artéfacts -

construction et la genèse discursive à l’interaction référentiel – preuve.
La genèse sémiotique sera donc associée bien souvent ici à une observation (deux événements
avec une même abscisse ou pas, une inversion d’ordre chronologique d’événements sur une
animation). La genèse instrumentale demandera une action de la part de l’élève sur un
diagramme ou un logiciel (tracer des parallèles, relever une durée). Enfin la genèse discursive
sera associée à un raisonnement associé à un domaine théorique (on voit une inversion de
l’ordre chronologique de deux événements dans un référentiel B par rapport au référentiel A
donc les événements sont indépendants).
L’interaction entre deux éléments à la verticale dans deux plans différents forme une genèse
et correspond à un type de tâche réalisé par l’élève.
L’association de deux genèses (observée sur un verbatim ou supposée lors d’une analyse a
priori) peut être reliée à un niveau de maîtrise d’un élève sur un problème posé.
L’association d’une genèse sémiotique et d’une genèse instrumentale correspond à la

découverte du problème (découverte d’un logiciel en « cliquant » et en observant le résultat,
découverte des propriétés d’un diagramme d’espace – temps). L’élève agit sur des artefacts et
observe les résultats.
L’association d’une genèse instrumentale et d’une genèse discursive correspond plutôt à des
actions majoritairement de raisonnement. L’élève agit sur des artéfacts et en déduit des
résultats en utilisant un bagage théorique à sa disposition (l’élève trace plusieurs lignes
d’univers d’objets ayant des valeurs de vitesse différentes dans un référentiel donné et il en
déduit des résultats sur la traduction, sur le diagramme, du second postulat).
Enfin l’association d’une genèse sémiotique et d’une genèse discursive correspond à des
actions décrites comme étant plutôt de communication. Cela correspond à un niveau de
maîtrise élaboré de l’élève pour le problème posé. Il prend du recul car il n’agit pas
directement sur les artéfacts pour visualiser et en déduire des résultats théoriques (l’élève
anticipe ce qu’il pourrait se passer pour la ligne d’univers d’un objet en changeant sa vitesse
dans un référentiel donné et il comprend à quoi correspond le second postulat explicité sur le
diagramme).
135
L’association de deux genèses conduit à une tâche plus élaborée mise en œuvre par l’élève. Il
est ainsi possible de quantifier son degré de maîtrise lors de la résolution d’un problème
posé. Le niveau de difficulté d’une séance va être également relié aux associations qu’il est
possible de développer chez les élèves. Une double évaluation est donc envisageable en
utilisant le cadre théorique des ETM : une évaluation a priori de la séance et a posteriori via
l’observation du travail des élèves. Cette évaluation est aussi possible en la déclinant au
niveau des questions d’un problème posé. Enfin, comme nous avons vu, il faut aussi tenir
compte de l’utilisation des deux cadres de rationalité pour quantifier le niveau de difficulté
d’une tâche et le niveau de maîtrise d’une notion par un élève. Il doit même être possible de
quantifier ces niveaux pour chaque cadre de rationalité.
III.2. Présentation d'une nouvelle progression d'enseignement
La construction de graphiques en cinématique peut bénéficier des outils de la géométrie

dynamique avec par exemple le logiciel GeoGebra. Son utilisation correspondrait à une
mobilisation des artefacts des différents cadres de rationalité de notre modèle d’ETM étendu.
Commençons par regarder, dans la partie suivante, une utilisation de GeoGebra dans le
contexte des mathématiques.
III.2.1. Utilisation de GeoGebra en cinématique
Cazes et Vandebrouck (2014) ont étudié le déroulement d’une séquence visant à un

apprentissage des fonctions. A partir de situations réelles, les élèves devaient chercher à les
modéliser puis à les simuler à l’aide de Geogebra. La simulation a permis un réinvestissement
des connaissances sur les fonctions linéaires et affines puis une introduction de la fonction
inverse ainsi que de ses propriétés globales et asymptotiques.
La séquence commence par le visionnage par les élèves de vidéos de poursuites permettant la
constitution d’une banque de situations réelles. Une des vidéos décrit la poursuite de Bip-Bip
par Vil Coyotte (voir figure 63).
136
Figure 63 : Image d’une poursuite de Bip-Bip par Vil Coyotte. Extrait de Cazes et
Vandebrouck (2014).
Après tout un travail de mise en situation avec les élèves, il leur est posé la question suivante :
« Etant donnée une vitesse du coyote fixée, peut-il rattraper Bip-Bip et dans ce cas, quelle est
la durée de la poursuite ? ». La simulation a été construite sur GeoGebra, les élèves devant
créer des curseurs permettant de contrôler le défilement du temps et éventuellement de la
vitesse de Vil Coyotte. Il a été convenu collectivement que le mouvement se fait sur l’axe des
abscisses, que Vil Coyotte est assimilé à un point C et Bip Bip à un point P. Un repère xOy
est représenté. Bip Bip se trouve initialement à 20 m de Vil Coyotte. La position initiale C0 de
C correspond à l’origine du repère et celle P0 de P à (20, 0). La vitesse de Bip-Bip est fixée à
2 m.s-1. La figure 64 correspond à une copie d’écran de la simulation sur GeoGebra.
137
Figure 64 : Copie d’écran de la simulation sur GeoGebra de la situation de poursuite de

Bip-Bip par Vil Coyotte. Extrait de Cazes et Vandebrouck (2014).
La simulation est ensuite utilisée par les élèves pour repérer des cas de capture pour lesquelles
Vil Coyotte rattrape Bip Bip. Ils récupèrent ainsi des couples de points (v ; T) où v correspond
à la vitesse du poursuivant et T à la durée de la poursuite. Les différents couples de valeurs
des élèves sont récupérés par l’enseignant qui projette à l’écran la courbe de tendance
associée afin d’exploiter les résultats obtenus par la simulation. Les élèves visualisent le
graphe et émettent par la suite des hypothèses sur ses propriétés globales et asymptotiques.
20
Il s’agit de la courbe de la fonction qui associe x à (x-2)
et qui n’a pas encore été étudiée par
les élèves en début de classe de seconde.
Enfin les élèves sont invités à trouver la solution exacte du problème à l’aide du modèle
mathématique en leur demandant d’écrire la relation algébrique suivante : v.t = 20 + 2.t puis
20
de trouver la durée de poursuite T en fonction de v : T= (v-2)
La fonction obtenue est représentée à l’aide de GeoGebra puis comparée avec la courbe de
tendance projetée par l’enseignant, ce qui permet également retrouver les couples de points
(v, T).
138
Cazes et Vandebrouck (2014) ont basé leur travail sur le processus de modélisation décrit par
Borromeo-Ferri (2006), représenté sur la figure 65, dans lequel il utilise le schéma de Kaiser
et Blum. Il commence avec « un problème ou une simulation du monde réel » (Real
situation). En simplifiant ce problème réel, les élèves construisent ensuite « un monde réel »
(Real world model) qui est mathématisé pour conduire au « modèle mathématique »
(Mathematical model). Il conduit aux « résultats mathématiques » (Mathématical results)
qu’il est possible de confronter à la situation réelle initiale.
Figure 65 : Le cycle de modélisation de Keiser (1995) et Blum (1996).
Cazes et Vandebrouck (2014) ont également introduit la notion de modèle implémenté qui
correspond ici à l’implantation dans GeoGebra du monde réel (voir figures 66 et 67). Ainsi,
en considérant le mouvement de chacun des protagonistes (les agents), la figure 66 montre
que la simulation est consécutive au modèle mathématique qui est considéré comme admis.
139
Figure 66 : Position du modèle implémenté par rapport au modèle mathématique pour

le mouvement de chacun des agents. Extrait de Cazes et Vandebrouck (2014).
Pour le fonctionnement de la situation globale représenté sur la figure 67, les couples de
valeurs (v, T) obtenus via la simulation numérique permettent d’avoir accès au modèle
mathématique plus facilement.
140
Figure 67 : Position du modèle implémenté par rapport au modèle mathématique pour

la situation globale. Extrait de Cazes et Vandebrouck (2014).
Nous n’allons pas utiliser le logiciel GeoGebra avec le processus de modélisation décrit par
Borromeo-Ferri (2006) ni avec le modèle implémenté de Cazes et Vandebrouck (2014). Cette
étude nous a montré que le logiciel GeoGebra permet de réaliser des simulations qui, en
fonction des situations, peuvent favoriser le passage du modèle réel au modèle mathématique.
Nous faisons l’hypothèse que ce logiciel, qualifié d’artefact dans le cadre du modèle de
l’ETM étendu, pourrait favoriser des genèses entre le plan épistémologique des
mathématiques et le plan cognitif. La démarche de découverte du logiciel (genèses sémiotique
et instrumentale) et celle de raisonnement se basant sur ses fonctionnalités facilement
accessibles (genèses instrumentale et discursive) seraient ainsi favorisées.
III.2.2. Une séquence, plusieurs niveaux de progressivité
Nous avons choisi de proposer cinq versions d’une même « activité » en les classant selon la
complexité des tâches laissées à la charge des élèves et évaluées à l’aide du modèle des ETM
étendus. Ce sont des versions qui se complètent. C'est-à-dire que la troisième version englobe
la seconde version qui elle-même complétait déjà la première version. Les quatrième et
141
cinquième versions supposent que la troisième version ait déjà été traitée avec les élèves. Le
diagramme de Minkowski, est utilisé ou bien peut être construit par les élèves puis utilisé, en
fonction des versions proposées. Le diagramme de Loedel, est également travaillé sur
certaines versions « expertes ». Deux référentiels sont utilisés comme précédemment. Ils sont
associés à deux observateurs : Daniel et Armineh. Les trois mêmes événements sont placés
dans chaque repère des deux référentiels. Les versions « initiation », « intermédiaire » et
« expertes » sont décrites par la suite en fonction des interactions que l’on souhaite
développer avec les élèves. Des documents sont fournis aux élèves afin de les aider à
répondre aux questions posées dans les différentes versions. Trois versions ne mobilisent pas
le logiciel GeoGebra et deux autres le mobilisent.
Nous allons commencer par voir les différentes notions travaillées puis l’organisation des
séquences en expliquant les tâches dévolues aux élèves. Enfin, nous allons réaliser l’analyse a
priori des différentes versions proposées.
Les notions travaillées dans chaque séquence
Dans la première version, il s’agit de travailler spécifiquement les notions d’« événement » et
de « référentiel ». Au travers de ces deux notions, il s’agit ensuite de repérer graphiquement
une durée propre ou une durée impropre puis de voir s’il est possible d’appliquer la relation
de dilatation des durées vue en terminale S. Les élèves utilisent un diagramme de Minkowski.
La notion de « référentiel » n’est pas travaillée à proprement parler comme dans les études sur
ce sujet (Scherr et al. (2001) et de Hosson et al. (2010, 2012) notamment). En effet, la
situation travaillée dans chaque séquence n’engage pas deux ou trois observateurs immobiles,
mais un observateur par référentiel. Ici le travail sur la notion de « référentiel » consiste à une
prise en compte de deux référentiels différents associés à un seul observateur à chaque fois et
chacun munis d’un repère particulier. Un référentiel est donc vu comme un système de
coordonnées spatio-temporelles.
Dans la seconde version, ce sont les notions d’événement, de référentiel, de durées propre
et impropre puis d’invariance de la vitesse de la lumière dans des référentiels inertiels
qui sont travaillées. Les élèves construisent et utilisent un diagramme de Minkowski.
142
La troisième version permet de faire travailler les notions d’événement, de référentiel, de

durées propre et impropre puis d’invariance de la vitesse de la lumière dans des
référentiels inertiels. Les élèves construisent et utilisent un diagramme de Minkowski.
L’utilisation du diagramme de Loedel, associée à une détermination graphique de durée,
permet également de travailler sur la notion d’ordre chronologique relatif.
La quatrième version complète la version précédente, en réinvestissant les notions vues

précédemment, à l’aide du logiciel Geogebra et du diagramme de Minkowski. La simulation
permet d’approfondir et de compléter le travail sur l’ordre chronologique relatif en
changeant les conditions expérimentales de vitesse d’Armineh par rapport à Daniel.
La cinquième version complète également la troisième version à l’aide du logiciel GeoGebra

et, cette fois-ci, le diagramme de Loedel. La simulation permet de changer les conditions
expérimentales de vitesse d’Armineh par rapport à Daniel, de compléter et d’approfondir le
travail sur l’ordre chronologique relatif, en prenant appui sur la mesure de durées dans les
deux référentiels étudiés.
Les différentes séquences proposées permettent donc de travailler sur les notions
d’événement, de référentiel, de durées propre et impropre puis d’approfondir, en fonction
des cas, les notions d’invariance de la vitesse de la lumière dans les référentiels inertiels ou
d’ordre chronologique relatif.
Présentations et tableaux synthétiques des différentes tâches (élèves, enseignant) suivant

les versions des séquences (voir tableaux 22 à 25)
Les séquences sont constituées d’une ou deux séances en groupe (une à deux séances pour les
versions « préliminaire » ou « initiation » à deux séances pour la version 3 « experte »). Il est
préférable que le cours sur la relativité restreinte ait déjà eu lieu afin que les élèves
connaissent la relation entre durée propre et durée impropre : tm = .tp.
143
Version « initiation » (1H à 2H)
Notions Tâches « élève » Tâches « enseignant »
Passage du registre
du Passage du registre du
langage naturel au registre du langage naturel au registre du
diagramme : diagramme :
Les trois événements E1, E2 et E3 Il faut exprimer c.t en mètres.
sont placés dans un repère
orthonormé (xOc.t) relatif au
référentiel associé à Daniel en
utilisant les coordonnées fournies
dans le texte.
Cela permet de montrer qu’un

L’enseignant apporte une aide
événement correspond à un point
technique pour exprimer les
de l’espace-temps.
coordonnées des événements.
Travail dans le registre du
diagramme
diagramme
Les coordonnées des trois
Événements Cela se fait en traçant les parallèles
événements dans le repère relatif
à l’axe Ox’ passant par les
au référentiel associé à Armineh
différents événements E1, E2 et E3.
sont visualisées en appliquant les
L’intersection entre l’axe Oc.t’ et
règles de projections parallèlement
ces différentes droites permet de
aux axes. Leurs valeurs
trouver les valeurs de c.t’ et d’en
numériques ne sont pas
déduire par exemple l’ordre
déterminées.
chronologique de ces trois
événements. L’intersection entre
les parallèles à l’axe Oc.t’ passant
par les différents événements et
l’axe Ox’ permet de trouver les
abscisses des événements dans le
repère du référentiel associé à
Armineh.
Cela permet de comprendre les
règles de fonctionnement du L’enseignant explicite les règles
diagramme de Minkowski. de projection.

144
Passage du registre
du Passage du registre du
Le diagramme de Minkowski
Le repère (xOc.t) est associé au
permet de décrire les coordonnées
référentiel de Daniel et le repère
d’un événement dans au moins
(x’Oc.t’) au référentiel d’Armineh.
Référentiels deux référentiels à la fois.
Cela permet de s’approprier le

L’enseignant explicite les deux
diagramme de Minkowski et de
repères des deux référentiels.
mettre l’accent sur le rôle des
référentiels en relativité
restreinte en travaillant sur les
deux points de vue : celui de
Daniel et celui d’Armineh.
Passage du registre Passage du registre

diagrammatique au registre diagrammatique au registre
du langage naturel : du langage naturel :
La durée prise entre les Une durée propre peut être

événements E2 et E1 s’appelle une visualisée sur le diagramme
durée propre dans le référentiel lorsque la durée qui sépare deux
associé à Daniel et impropre dans événements considérés est prise à
le référentiel d’Armineh. la même coordonnée spatiale dans
le référentiel étudié.
Les durées prises entre les
événements E3 et E2 ne sont pas
Durées propre et impropre des durées propres ni dans le
référentiel associé à Daniel ni dans
le référentiel associé à Armineh.
Cela permet une définition « plus

visuelle » des durées propre et L’enseignant explicite la
impropre. définition sur le diagramme
d’une durée propre.
Passage du registre
algébrique au registre du Passage du registre
langage naturel : algébrique au registre du
langage naturel :
La relationtm = .tp est donc bien
applicable pour les événements E1 Une durée propre est notée par
145
et E2 pas pour les événements E2 et exemple tp et une durée impropre

E3. est notée par exemple tm.
Cela permet de prendre du recul

sur une relation algébrique et de
L’enseignant explicite les
connaitre ses conditions de
notations utilisées.
validité.
Tableau 22 : Tableau synthétique de la version « initiation ».
Version « intermédiaire » (2H à 3H)
Passage du registre du Passage du registre du

Le diagramme de Minkowski est On débute avec un repère dans le

construit pas à pas. Les élèves référentiel associé à Daniel. Les
commencent avec un repère deux axes Ox et Oc.t sont
orthonormé (xOc.t) relatif au perpendiculaires et l’axe Ox est,
référentiel associé à Daniel. par exemple, horizontal. L’axe des
abscisses est gradué en mètres.
Les droites x = 0,8.c.t ainsi que
L’axe des ordonnées correspond à
x = c.t sont construites.
Référentiels c.t qui a également la dimension
d’une distance et qui est aussi
gradué en mètres. Le repère du
référentiel associé à Daniel est
orthonormé. On peut prendre par
exemple une échelle de 5 cm pour
3 m en ordonnée et 5 cm pour 3 m
en abscisse. La droite x = 0,8.c.t
n’a pas une pente de 0,8 dans le
repère (xOc.t). Il convient de
représenter l’équation sous la
x 10.x
forme x = c.t = = .
0,8 8
146
Après avoir montré que la pente

peut être exprimée sous la forme de
10
, il est possible de prendre 10 cm
8
en ordonnée et 8 cm en abscisse ou
10 petits carreaux et 5 petits
carreaux par exemple afin d’avoir
un premier point. L’origine du
La construction du diagramme
repère constitue le second point
de Minkowski renforce la notion
pour tracer la droite d’équation
de référentiel, car les repères
x = 0,8.c.t.
sont construits en lien étroit avec
le contexte de l’activité. Il existe L’enseignant fournit de multiples
deux points de vue différents en informations sur la pente de la
fonction du référentiel considéré. droite x = 0,8.c.t et indique
comment tracer cette droite.
Passage du registredu Passage du registre du

La droite x = 0,8.c.t correspond

L’axe Ox’ est construit dans le
aux positions d’Armineh au cours
référentiel associé à Armineh en
du temps dans le référentiel associé
utilisant le second postulat
à Daniel. C’est aussi l’axe Oc.t’
d’Einstein qui se décline sur le
dans le référentiel associé à
diagramme.
Armineh.
Invariance de c
La droite x = c.t est la bissectrice à
la fois de l’angle formé par les axes
Ox et Oc.t et de l’angle formé par
les axes Ox’ et Oc.t’. Les droites
x = c.t et x’ = c.t’ sont confondues.
L’enseignant donne des

La construction de l’axe Ox’
informations théoriques sur la
permet d’avoir une
façon de décliner sur le
opérationnalisation du second
diagramme du second postulat
postulat.
d’Einstein.
Tableau 23 : Tableau synthétique de la version « intermédiaire ».
La suite est identique avec la version « initiation » (voir tableau 22).

147
Version 3 « experte » (Au moins 3H pour la version 3)
Le début de la version 3 « experte » correspond à la fin de la version « intermédiaire »

(voir tableaux 22 et 23).
Passage du du Passage du registre du

registre
Un diagramme de Loedel déjà

Les trois événements E1, E2 et E3
construit est donné aux élèves.
sont placés dans le diagramme de
Loedel.
Cela permet de montrer qu’un L’enseignant explicite les règles

événement correspond à un point de projection.
de l’espace-temps.

Événements diagramme
diagramme
Les coordonnées des trois
L’enseignant travaille avec les
événements sont ensuite
élèves sur la façon de lire
déterminées dans un repère du
précisément une coordonnée.
référentiel associé à Armineh, ce
qui permet par la suite de
déterminer sur le diagramme des
durées.
Le diagramme de Loedel permet

de déterminer facilement des L’enseignant explique le relevé
valeurs numériques de durées de coordonnées.
dans les deux référentiels étudiés.
148
Passage du registre du Passage du registre du

Le diagramme de Loedel permet de Le repère (xOc.t) est associé au

décrire les coordonnées d’un référentiel de Daniel et le repère
événement dans au moins deux (x’Oc.t’) au référentiel d’Armineh.
référentiels à la fois.
Référentiels Cela permet de s’approprier le

L’enseignant explicite les deux
diagramme de Loedel et de
repères des deux référentiels.
mettre l’accent sur les
référentiels en relativité
restreinte. Il existe deux points
de vue différents en fonction du
référentiel considéré (existence
de deux durées différentes pour
les mêmes événements).
Passage du registre du
diagramme au registre
algébrique :
Les élèves réalisent des mesures de
Durées propre et impropre durées, car dans ce type de

diagramme les échelles sont
conservées en changeant de
référentiel.
Cela permet de travailler sur des

valeurs concrètes de durées.
149
diagramme au registre du
langage naturel :
diagramme au registre du
Les élèves observent l’inversion langage naturel :
chronologique entre les
C’est l'occasion de dire que si
événements E2 et E3 renforcée par
l'ordre chronologique de deux
la mesure des durées.
Ordre chronologique relatif événements dans deux référentiels
inertiels différents change, c'est
que les événements sont
indépendants.
L’enseignant donne des

La notion d’ordre chronologique
informations sur l’indépendance
relatif devient plus accessible
de deux événements.
pour les élèves.
Tableau 24 : Tableau synthétique de la version 3.

150
Versions « expertes 4 ou 5 » (Au moins 1H30, une partie en devoir à faire à la maison)
Les versions 4 et 5 permettent aux élèves ayant déjà traitées la version 3 d’utiliser le logiciel
GeoGebra. Ils sont répartis cette fois-ci en binômes.
langage naturel au registre du
langage naturel au registre du
diagramme :
diagramme :
Le lien de téléchargement du
C’est aux élèves d’effectuer les
logiciel GeoGebra est fourni aux
constructions du diagramme de
élèves afin qu’ils puissent
Minkowski à l’aide du logiciel
l’installer sur leur ordinateur chez
GeoGebra pour la version 4. Une
eux. Il n’est pas donné plus
partie du travail est réalisée à la
d’indications, même pour les
maison par les élèves une à deux
élèves n’ayant pas utilisé
Événements semaines avant. La version 5
GeoGebra au lycée, ce qui était le
contient déjà un fichier GeoGebra
Référentiels cas pour la séquence testée. Il a été
avec le diagramme de Loedel pré-
observé que les élèves vont
tracé et pour lequel il faut placer
spontanément voir des tutoriels en
les événements.
ligne ou préfèrent découvrir les
fonctionnalités du logiciel en
l’utilisant directement. C’est un
logiciel assez intuitif dont la prise
en main par les élèves est
Cela permet de réinvestir les relativement rapide.
notions vues dans la version 3 à
l’aide du logiciel de simulation.
151
Travail dans le registre du Travail dans le registre du

Dans un diagramme de Des informations techniques sont
Minkowski, les axes d’un repère du données sur la fonction « curseur »
référentiel associé à Armineh sont du logiciel. Un travail est réalisé
modifiés lorsque la vitesse sur l’influence de v sur l’allure du
d’Armineh par rapport à Daniel est diagramme de Minkowski en
modifiée. La position des passant de groupes en groupes.
événements est inchangée. La
droite x = c.t est inchangée. On
peut s’apercevoir du changement Le fichier corrigé du diagramme de
de l’ordre chronologique entre les Minkowski est un exemple de
événements E2 et E3 en modifiant correction pour la version 4. Il
la valeur de v. comporte un curseur permettant de
Ordre chronologique relatif
v
Avec un diagramme de Loedel, la changer la valeur de .
c
(Versions 4 et 5)
position des événements n’est plus
Le fichier corrigé du diagramme
constante en changeant la valeur de
de_Loedel17 est un exemple de
v. Cela limite l’utilisation de tels
correction pour la version 5. Il
diagrammes à l’observation de
comporte également un curseur
deux repères dans deux référentiels
permettant de changer la valeur de
différents contrairement au v
.
diagramme de Minkowski. c
La notion d’ordre chronologique

relatif devient « observable » L’enseignant donne des
pour les élèves. La simulation informations sur la fonction
permet d’explorer des conditions « curseur » du logiciel et sur
expérimentales de vitesses l’influence de la vitesse v sur
différentes. l’allure du diagramme de
Minkowski.
17
Un autre fichier est disponible indépendamment des activités proposées. Il utilise le diagramme de Minkowski
et il affiche également les durées prises entre les deux référentiels en tenant compte d’un facteur de correction.
1+2
Une unité de l’axe Oc.t’ d’un repère dans le référentiel R’ se trouve à la distance de l’origine
1-2
spatiotemporelle d’un repère du référentiel R lorsque R’ se déplace à une vitesse v de R.
152
algébrique :
algébrique :
Le diagramme de Loedel permet
La durée propre relative aux
d’afficher facilement des valeurs
événements E1 et E2 dans le
numériques de durées dans deux
référentiel associé à Daniel et la
référentiels différents.
durée impropre relative aux mêmes
L’inversion chronologique des événements dans le référentiel
événements E2 et E3 dans le associé à Armineh sont affichées
référentiel associé à Armineh est en temps réel et permettent
Durées propre et impropre caractérisée par un affichage d’une d’utiliser la relation algébrique de
durée pondérée par un signe dilatation des durées vue en cours
(Version 5)
« moins ». de terminale S. Les durées
mesurées relatives aux événements
E2 et E3 dans les référentiels
d’Armineh et de Daniel sont aussi
affichées.
L’enseignant peut expliquer

Cela permet de travailler sur des éventuellement comment afficher
valeurs concrètes de durées et de des durées sur le logiciel
visualiser également une (différence entre deux dates).
inversion d’ordre chronologique
d’événements.
Tableau 25 : Tableau synthétique des versions 4 ou 5.
Nous venons de voir l’organisation de chaque séquence avec le détail des différentes tâches
affectées aux élèves ou à l’enseignant. Par la suite, nous allons voir l’analyse a priori des
tâches affectées aux élèves.
153
Analyse a priori de chaque version proposée à l’aide du modèle de l’ETM étendu
Les questions associées aux différentes versions sont analysées en utilisant le modèle de
l’ETM étendu.
Analyse de la version « initiation »
Que peut-on dire des abscisses des événements E1 et E2 dans les référentiels associés à
Daniel et à Armineh ?
Les abscisses des événements E1 et E2 sont identiques dans le référentiel associé à Daniel.
Elles sont différentes dans le référentiel associé à Armineh.
Les trois événements ont été placés sur le diagramme de Minkowski déjà construit. Cela
correspond à une genèse instrumentale entre le plan épistémologique des mathématiques et le
plan cognitif des élèves (voir figure 68). Les abscisses des deux événements sont visualisées.
Cela reste dans le cadre de rationalité des mathématiques. C’est une genèse de type
sémiotique entre le plan épistémologique des mathématiques et le plan cognitif des élèves.
154
Figure 68 : Analyse de la question 1 de la version initiation.
Comment s’appellent les durées prises entre les événements E2 et E1 dans les référentiels
associés à Daniel et à Armineh ? La relation tm = .tp est-elle applicable ?
La durée prise entre les événements E2 et E1 s’appelle une durée propre dans le référentiel
associé à Daniel. Elle est notée par exemple tp. C’est une durée impropre dans le référentiel
associé à Armineh. Elle est notée par exemple tm. La relationtm = .tp est donc bien
applicable. Aucun calcul n’est demandé ici.
155
Ici, le cadre de rationalité de la physique est mobilisé (voir figure 69). C’est une genèse de
type sémiotique entre le plan épistémologique de la physique et le plan cognitif des élèves, car
ils doivent être capables de repérer visuellement une durée propre et une durée impropre. Le
référentiel de la physique est aussi mobilisé puisque des notions relatives à la théorie de la
relativité restreinte sont utilisées.

156
Que peut-on dire des abscisses des événements E2 et E3 dans les référentiels associés à
Les abscisses des événements E2 et E3 sont différentes dans le référentiel associé à Daniel
comme dans le référentiel associé à Armineh.
C’est le cadre de rationalité des mathématiques qui est mobilisé (voir figure 70). Cela conduit
à une genèse de type sémiotique entre le plan épistémologique des mathématiques et le plan
cognitif des élèves lors de la visualisation des abscisses. La genèse instrumentale est
mobilisée entre ces deux mêmes plans, car les élèves doivent effectuer des projections pour
trouver les abscisses des événements.
157
Comment s’appellent les durées prises entre les événements E3 et E2 dans les référentiels
associés à Daniel et à Armineh ? La relation tm = .tp est-elle applicable ?
Les durées prises entre les événements E3 et E2 ne sont pas des durées propres ni dans le
référentiel associé à Daniel ni dans le référentiel associé à Armineh. Ce sont des durées
impropres, notée par exemple respectivement tm1 et tm2. La relation tm = .tp n’est donc
plus applicable. De plus tm1 est positive alors que tm2 est négative, car  est supérieur ou
égal à 1.
158
Dans ce cas c’est le cadre de rationalité de la physique qui est mobilisé (voir figure 71). C’est
une genèse de type sémiotique entre le plan épistémologique de la physique et le plan cognitif
des élèves lors de la reconnaissance visuelle d’une durée propre ou impropre. Le référentiel de
la physique est aussi mobilisé, car des notions de relativité restreinte sont utilisées.
La version « initiation » fait intervenir la découverte du diagramme de Minkowski déjà

construit et pour lequel il suffit de placer les trois événements puis de reconnaître sur un
diagramme une durée propre pour pouvoir appliquer ou non une relation algébrique. Cela
correspond à une activité majoritairement de découverte et d’exploration qui fait intervenir
majoritairement les genèses sémiotiques et instrumentales (sém-ins). Cognitivement, les
159
élèves réalisent une construction en plaçant les événements et visualisent le résultat de leur
construction. Le référentiel du cadre de rationalité des sciences physiques est utilisé pour la
reconnaissance de la durée propre et l’utilisation ou non de la relation de dilatation des durées.
La notion de d’ordre chronologique relatif n’est pas évoquée ici.
Analyse de la version « intermédiaire »
Les trois premières questions de la version « intermédiaire » sont analysées ci-après. Les
quatre questions suivantes ont déjà été analysées dans la version « initiation ».
Que représente la droite x = 0,8.c.t dans le référentiel associé à Daniel ?
La droite x = 0,8.c.t représente les différentes positions d’Armineh au cours du temps dans le
référentiel associé à Daniel.
Ici, c’est une genèse instrumentale entre le plan épistémologique des mathématiques et le plan
cognitif des élèves puisque les élèves ont dû tracer la droite x = 0,8.c.t (voir figure 72). Une
genèse discursive est aussi mobilisée entre ces deux plans car il faut trouver le coefficient
1
directeur de la droite qui n’est pas de 0,8 mais de 0,8.
Le plan épistémologique de la physique est également mobilisé lors de la reconnaissance

visuelle des différentes positions d’Armineh au cours du temps dans le référentiel associé à
Daniel et lors de l’utilisation du terme « position ».
160
Figure 72 : Analyse de la question 1 de la version intermédiaire.
Comment trouver l’axe Oc.t’? Placer l’axe Ox’ afin d’obtenir le diagramme de Minkowski.
L’axe Oc.t’ dans le référentiel associé à Armineh est confondu avec la droite x = 0,8.c.t.
L’axe Ox’ est le symétrique de l’axe Oc.t’ par rapport à la droite x = c.t ou x’ = c.t’.
Les deux cadres de rationalité de la physique et des mathématiques sont mobilisés

(voir figure 73).
161
Le cadre de rationalité de la physique permet d’associer la droite x = 0,8.c.t à l’axe Oc.t’ lors
d’une genèse discursive entre le plan épistémologique de la physique et le plan cognitif de
l’élève, car un raisonnement est nécessaire. On est dans le cadre de rationalité des
mathématiques lorsqu’il faut construire le symétrique de l’axe Oc.t’ par rapport à la droite
x’ = c.t’. Cela correspond à une genèse instrumentale entre le plan épistémologique des
mathématiques et le plan cognitif de l’élève. On a également une genèse sémiotique entre ces
deux plans lors de l’analyse du document 3 sur le sujet qui permet de comprendre que les
droites x = c.t et x’ = c.t’ sont confondues.
Comment exprimer graphiquement l’invariance de la lumière dans ces deux référentiels ?
La vitesse de la lumière est la même dans le référentiel associé à Daniel ou à celui

d’Armineh. La bissectrice de l’angle formé par les axes Ox et Oc.t d’un repère du référentiel
162
associé à Daniel ou de l’angle formé par les axes Ox’ et Oc.t’ d’un repère du référentiel
associé à Armineh est la même.
Les cadres de rationalité de la physique et des mathématiques sont mobilisés (voir figure 74).
Une genèse discursive entre le plan épistémologique de la physique et le plan cognitif de

l’élève est mise en évidence puisque le référentiel des connaissances de la physique est utilisé
avec le second postulat.
Une genèse sémiotique entre le plan épistémologique des mathématiques et le plan cognitif de
l’élève est mise en évidence également puisqu’on utilise la visualisation graphique de l’égalité
des bissectrices.
La version « intermédiaire » qui englobe la version « initiation », avec en plus la construction

par les élèves du diagramme de Minkowski qui va être utilisé par la suite, fait intervenir un
163
peu plus les genèses instrumentales et discursives (ins-dis). Cela correspond à une activité
favorisant le raisonnement lors de la construction du diagramme de Minkowski et lors de la
mobilisation sur le diagramme du second postulat pour construire l’axe Ox’ du référentiel
associé à Armineh. Cognitivement, les élèves réalisent une construction élaborée nécessitant
un raisonnement utilisant le référentiel du cadre de rationalité des mathématiques (symétrie)
et celui du cadre de rationalité des sciences physiques (second postulat).
Analyse de la version « experte 3 »
Les deux dernières questions de la version « experte 3 » sont analysées ci-après. Les questions
précédentes ont déjà été analysées dans la version « initiation » et « intermédiaire ».
En utilisant le diagramme de Loedel, déterminer la durée entre les événements E2 et E1

dans le référentiel associé à Daniel puis dans le référentiel associé à Armineh. Pouvait-on
utiliser une autre méthode ?
tp = tE2 - tE1 = 2,3.10-8 – 1,0.10-8 = 1,3.10-8 s dans le référentiel associé à Daniel.
tm = t’E2 - t’E1 = 2,5.10-8 – 3,3.10-9 = 2,2.10-8 s dans le référentiel associé à Armineh par une
résolution à partir du diagramme de Loedel.
1
On aurait aussi pu utiliser la relation tm = .tp   1,7
1  2
tm = t’E2 - t’E1 = .(tE2 - tE1) = 1,7  1,3.10-8 s = 2,2.10-8 s dans le référentiel associé à
Armineh.
Ce sont les cadres de rationalité des mathématiques et de la physique qui sont mobilisés ici
(voir figure 75). Le cadre de rationalité des mathématiques est utilisé lors du placement des
événements en utilisant les règles de projections. C’est une genèse instrumentale entre le plan
épistémologique des mathématiques et le plan cognitif de l’élève. La visualisation des
coordonnées temporelles correspond à une genèse sémiotique sur les mêmes plans. Le cadre
de rationalité des sciences physiques est mobilisé lors de la recherche de l’autre méthode de
164
détermination des durées en faisant appel à une genèse discursive entre le plan
épistémologique de la physique et le plan cognitif de l’élève, car un raisonnement est
nécessaire de la part de l’élève.
Figure 75 : Analyse de la question 8 de la première version experte.
En utilisant le diagramme de Loedel, déterminer la durée entre les événements E3 et E2

tm1 = tE3 - tE2 = 2,7.10-8 – 2,3.10-8 = 0,4.10-8 s dans le référentiel associé à Daniel.
tm2 = t’E3 - t’E2 = 4,7.10-9 – 2,5.10-8 = -2,0.10-8 s dans le référentiel associé à Armineh par
une résolution à partir du diagramme de Loedel.
165
On ne peut pas utiliser ici la relation tm = .tp.
Ce sont les mêmes types d’interactions que la question précédente (voir figure 76).
Figure 76 : Analyse de la question 9 de la première version experte.
La version « experte 3 » englobe les versions « intermédiaire » et « initiation ». Il faut utiliser

un diagramme de Loedel afin de pouvoir mesurer des durées dans le référentiel associé à
Armineh. Les élèves réalisent le même travail cognitif que dans la version « intermédiaire »
mais la fréquence des genèses instrumentale et discursives (ins-dis) est plus grande.
166
La version « experte 4 » est proposée après avoir traité avec les élèves la version
« experte 3 ». Le contexte et les documents fournis sont presque identiques entre les deux
versions, seul le diagramme de Loedel n’est pas traité dans la version « experte 4 ». Une
proposition de résolution est donnée par la suite (téléchargeable en cliquant sur ce lien).
Le but de cette activité est de construire le diagramme de Minkowski à l’aide du logiciel

GeoGebra, de repérer les trois événements E1, E2 et E3 dans le repère des référentiels
associés à Daniel et à Armineh et d’en déduire des résultats remarquables lorsque l’on fait
varier la vitesse d’Armineh par rapport à Daniel à l’aide de l’outil curseur.
Les élèves placent tout d’abord eux-mêmes les trois événements E1, E2 et E3. Ils doivent
éventuellement recadrer l’échelle du repère orthonormé initialement présent. C’est un repère
du référentiel lié à Daniel (voir figure 77).
Figure 77 : Placement des trois événements avec GeoGebra.

167
Ils nomment les axes Ox (axe Ox sur GeoGebra) et Oc.t (axe Oy sur GeoGebra nommé ici
Oc.t) avec éventuellement une unité en mètre (voir figure 78).
Figure 78 : Représentation du repère (xOc.t) avec GeoGebra.
Ils construisent ensuite la droite x = c.t ou x’ = c.t’ (voir figure 79) en entrant à l’aide de la
barre de saisie de GeoGebra l’équation y = x et en renommant la droite obtenue.
Figure 79 : Construction de la droite x = c.t ou x’ = c.t’ avec GeoGebra.

168
Le début de la résolution de problème correspond à une tâche mettant en jeu initialement

majoritairement une démarche de découverte (sém-ins) lors de l’utilisation du logiciel
GeoGebra dans le contexte de la relativité restreinte (voir figure 80). C’est tout d’abord le
registre mathématique qui est mobilisé.
Figure 80 : Analyse du début des « versions expertes 4 et 5 ».
L’axe Oc.t’ est ensuite construit en entrant sur la barre de saisie de GeoGebra l’équation
y= ,
si par exemple la vitesse d’Armineh par rapport à Daniel est v = 0,8.c. L’axe Ox’ est
construit en traçant le symétrique de l’axe Oc.t’ par rapport à la droite x = c.t à l’aide de la
fonctionnalité « symétrie axiale » de GeoGebra ou en entrant sur la barre de saisie l’équation
y = 0,8.x. Cela permet de construire un repère du référentiel lié à Armineh (voir figure 81).
169
Figure 81 : Construction des axes Ox’ et Oc.t’ avec GeoGebra.
Les élèves tracent les parallèles à l’axe Ox’ passant par les différents événements et coupant
l’axe Oc.t’ à l’aide de la fonctionnalité « droite parallèle » de GeoGebra. Les ordonnées c.t’
des différents événements dans un repère lié à Armineh sont repérés à l’aide de la
fonctionnalité « intersection entre deux objets » (voir figure 82).
Figure 82 : Construction des ordonnées c.t’ des différents événements avec GeoGebra.
170
Les élèves tracent éventuellement les parallèles à l’axe Oc.t’ passant par les différents
événements et coupant l’axe Ox’ également à l’aide de la fonctionnalité « droite parallèle »
de GeoGebra. Les abscisses x’ des différents événements dans un repère lié à Armineh sont
repérées à l’aide de la fonctionnalité « intersection entre deux objets » (voir figure 83).
Figure 83 : Construction des abscisses x’ des différents événements avec GeoGebra.

171
Les élèves peuvent également représenter les abscisses et les ordonnées des différents
événements dans un repère du référentiel lié à Daniel (voir figure 84).
Figure 84 : Construction des abscisses x et des ordonnées c.t des différents événements
avec GeoGebra.
172
C’est majoritairement une démarche de raisonnement (ins-dis) qui est mise en jeu lors de la
construction du diagramme de Minkowski grâce aux fonctionnalités du logiciel. C’est encore
le cadre de rationalité des mathématiques qui est mobilisé (voir figure 85).
Figure 85 : Analyse des « versions expertes 4 et 5 » en cours de résolution.
Les élèves utilisent ensuite la fonctionnalité « curseur » proposée par GeoGebra afin de
changer les conditions de vitesse d’Armineh par rapport à Daniel. Il faut introduire, par
exemple, un paramètre  compris entre 0 et 1 tel que  = . L’équation de l’axe Oc.t’ est
modifiée en changeant = ,
en =  . La valeur de v peut également être affichée
(voir figure 86).

173
Figure 86 : Utilisation du curseur avec GeoGebra.
En affichant les ordonnées ct’ des différents événements et en modifiant la valeur de , l’ordre
chronologique des événements dans le référentiel lié à Armineh est observable
(voir figures 87, 88 et 89).
Figure 87 : Ordre chronologique des trois événements pour v = 0,1.c dans le référentiel
lié à Armineh.
174
lié à Armineh.
lié à Armineh.
175
L’utilisation de la fonction « curseur » du logiciel permet de faire varier les conditions

expérimentales en changeant la vitesse d’Armineh par rapport à Daniel. Ce sont les cadres de
rationalité de la physique et des mathématiques qui sont mobilisés (voir figure 90).
Ce sont des genèses de type sémiotiques et instrumentales (démarche de découverte) qui sont
associées au cadre de rationalité des mathématiques. Le curseur est construit puis manipulé
sans rapport avec les concepts physiques. C’est une démarche de compréhension du modèle,
associée au cadre de rationalité de la physique, qui est mise en jeu lorsque les élèves
modifient la vitesse d’Armineh par rapport à Daniel. Les diagrammes de Minkowski obtenus
sont ensuite exploités en traitant de l’ordre chronologique relatif des événements. Ce sont des
genèses de type sémiotiques et discursives qui sont mobilisées et qui montrent une utilisation
avancée du modèle.
Figure 90 : Analyse des « versions expertes 4 et 5 » en fin de résolution.

176
La version « experte 5 » est proposée après avoir traité avec les élèves la version
« experte 3 ». Le contexte et les documents fournis sont presque identiques entre les deux
versions, seul le diagramme de Minkowski n’est pas fourni. La version 5 contient déjà un
fichier GeoGebra avec un diagramme de Loedel pré-tracé et également muni du curseur
permettant de changer les conditions expérimentales de vitesse d’Armineh par rapport à
Daniel (voir figure 91). Une proposition de résolution est donnée par la suite (téléchargeable
en cliquant sur ce lien).
Le but de cette activité est d’utiliser le diagramme de Loedel, de repérer les trois événements
E1, E2 et E3 dans le repère des référentiels associés à Daniel et à Armineh à l’aide du
logiciel GeoGebra, de faire des mesures de durées dans deux référentiels différents et d’en
déduire des résultats remarquables lorsque l’on fait varier la vitesse d’Armineh par rapport
à Daniel à l’aide de l’outil curseur.
Les élèves placent tout d’abord eux-mêmes les trois événements E1, E2 et E3 sur le diagramme
de Loedel déjà fourni (voir figure 91).
Figure 91 : Diagramme de Loedel initialement fourni.

177
Les élèves doivent tracer des cercles de centre O et de rayon 3 m, 6,9 m, 8,1 m ou 9 m afin de
repérer les abscisses xE1, xE2 et xE3 ainsi que les ordonnées c.tE1, c.tE2 et c.tE3 des trois
événements E1, E2 et E3 dans un repère du référentiel lié à Daniel (voir figure 92).
Figure 92 : Tracé de xE1, xE2, xE3, c.tE1, c.tE2 et c.tE3 sur le diagramme de Loedel.
178
En traçant les parallèles à l’axe Ox passant par les ordonnées c.tE1, c.tE2 et c.tE3 ainsi que les
parallèles à l’axe Oc.t passant par les abscisses xE1, xE2 et xE3, les positions des événements
E1, E2 et E3 sont trouvées (voir figure 93).
Figure 93 : Tracé des positions des événements E1, E2 et E3 sur le diagramme de Loedel.
179
Les abscisses x’E1, x’E2, x’E3 sont trouvées en traçant des parallèles à l’axe Oc.t’ passant par
les événements E1, E2 et E3 et coupant l’axe Ox’. De même, les ordonnées c.t’E1, ct’E2, c.t’E3
sont trouvées en traçant des parallèles à l’axe Ox’ passant par les événements E1, E2 et E3 et
coupant l’axe Oc.t’ (voir figure 94).
Figure 94 : Tracé de c.t’E1, c.t’E2 et c.t’E3 sur le diagramme de Loedel.
Le début de la version « experte 5 » correspond à une tâche mettant en jeu initialement une
démarche de découverte (sém-ins) du logiciel GeoGebra (voir figure 80). Une démarche de
raisonnement (ins-dis) est également mise en jeu lors de la recherche de la position des trois
événements (voir figure 85). C’est le registre mathématique qui est tout d’abord mobilisé.
Les élèves doivent ensuite utiliser la fonctionnalité « distance ou longueur » du logiciel

GeoGebra pour mesurer les distances entre l’origine du repère et les points d’intersection des
projections parallèlement à l’axe Ox (ou à l’axe Ox’) de chaque événement sur l’axe Oc.t
dans le référentiel lié à Daniel (ou sur l’axe Oc.t’ dans le référentiel lié à Armineh). En
divisant ces distances par la valeur de c, cela permet d’en déduire les durées
correspondantes.
Pour obtenir, par exemple, la durée entre l’événement E3 et l’événement E2 dans le référentiel
d’Armineh, il suffit de soustraire la durée entre l’événement E3 et l’origine du repère et celle
entre l’événement E2 et celle de l’origine du repère dans ce même référentiel. Cela permet
180
ainsi de visualiser une durée affectée d’un signe moins lors d’une éventuelle inversion
chronologique des événements E2 et E3 (voir figures 95, 96 et 97).
Figure 95 : Ordre chronologique des événements E2 et E3 pour v = 0,11.c dans le

référentiel lié à Armineh.
Figure 96 : Simultanéité des événements E2 et E3 pour v = 0,2.c dans le référentiel lié à

Armineh.
181
Figure 97 : Ordre chronologique des événements E2 et E3 pour v = 0,59.c dans le

référentiel lié à Armineh.
L’utilisation des fonctions « curseur » et « distance ou longueur » du logiciel permettent de

faire varier les conditions expérimentales en changeant la vitesse d’Armineh par rapport à
Daniel tout en visualisant des durées entre deux événements dans deux référentiels différents.
Ce sont les cadres de rationalité de la physique et des mathématiques qui sont mobilisés.
Ce sont des genèses de type sémiotiques et instrumentales (démarche de découverte) qui sont
associées au cadre de rationalité des mathématiques. Le curseur est manipulé puis l’affichage
des durées est construit puis manipulé sans rapport avec les concepts physiques.
C’est une démarche de compréhension du modèle, associée au cadre de rationalité de la

physique, qui est mise en jeu lorsque les élèves modifient la vitesse d’Armineh par rapport à
Daniel. Les diagrammes de Loedel obtenus sont ensuite exploités en traitant de l’ordre
chronologique relatif des événements. Ce sont des genèses de type sémiotiques et discursives
qui sont mobilisées et qui montrent une utilisation avancée du modèle (voir figure 90).
Voyons dans le tableau 26 la description des différentes séquences à l’aide des différents
ETM.
182
Version initiation
Version intermédiaire
183
Version experte 3
Versions expertes 4 et 5
Tableau 26 : Résumé des différentes séquences à l’aide du modèle de l’ETM étendu.

184
Le modèle de l’ETM étendu nous a permis de décrire les différentes versions de séquences
que nous proposons. Le niveau de difficulté peut être apprécié en regardant la part des
genèses instrumentale-discursive (ins-dis) par rapport aux genèses sémiotique-instrumentale
(sém-ins).
III.2.3. Mise à l'épreuve de la classe18
Nous avons décidé d’analyser le travail des élèves à la fin de la séquence de la version 4. Cela
va permettre d’évaluer leur réinvestissement des notions vues dans les séances précédentes.
De plus, comme les interventions de l’enseignant sont moins importantes, il nous a paru plus
facile de voir le travail véritablement réalisé par les élèves. Le travail de simulation avec le
logiciel GeoGebra va aussi permettre un travail plus développé sur la notion d’ordre
chronologique relatif, tout en reprenant les notions d’événement, de référentiel, d’invariance
de la vitesse de la lumière dans un référentiel inertiel puis de durées propre et impropre.
Enfin, le modèle de l’ETM étendu, nous a permis de voir que les interactions développées par
les élèves, lors de la séquence de la version 4, comportaient des genèses de type
instrumentale-discursive ou sémiotique-discursive caractéristiques d’une utilisation élaborée
du diagramme de Minkowski tant du point de vue des mathématiques que de celui de la
physique.
Une classe de 34 élèves de terminale S a suivi le cours de relativité avec la recherche et la

correction d’exercices19. La séquence, version 3, a ensuite été proposée pendant trois heures
en classe entière afin que l’ensemble des questions soient traitées par tous les élèves.
La séquence, version 4, a été ensuite donnée en devoir à réaliser à la maison. Les conditions
de vitesses étaient différentes d’un groupe à l’autre. La très grande majorité des élèves n’avait
pas utilisé le logiciel GeoGebra au lycée.
18
Des analyses plus complètes des travaux des élèves se trouvent en annexe.
19
Exercices d’application au cours cherchés à la maison et corrigés en classe.
185
Les élèves ont rendu une première version de leur devoir maison puis ils ont travaillé deux
heures en demi-classe en salle informatique afin de finaliser leur fichier GeoGebra. Chaque
élève a réalisé également un enregistrement MP3 permettant de résumer la totalité de la
séquence qui aura duré cinq heures en tout.
Quatre fichiers audio ont été analysés sur les 33 disponibles. Seuls une quinzaine sont
véritablement différents, car les membres d’un même groupe ont bien souvent la même trame
puisqu’ils avaient tout d’abord rédigé par écrit ce qu’ils devaient dire.
L’enregistrement de Clément
Le devoir maison du groupe de Clément est placé ci-après (voir figure 98). Le groupe de
Clément a représenté avec le logiciel GeoGebra un diagramme de Minkowski complet avec la
v
fonctionnalité Curseur qui est opérationnelle pour changer la valeur de c. Les trois événements
ont leur abscisse qui est représentée sur l’axe Ox’ dans le référentiel d’Armineh.
Les notions d’événements et de référentiel sont mobilisées puisque les trois événements sont
présents ainsi que les repères des deux référentiels. L’invariance de la vitesse de la lumière a
été déclinée sur le diagramme lors du tracé de l’axe Ox’ symétriquement à l’axe Oc.t’ par
rapport à la droite x = c.t ou x’ = c.t’. La notion d’ordre chronologique relatif n’est pas bien
mobilisée puisque ce sont les abscisses x’ des événements qui sont représentées, pas les
ordonnées c.t’20.
20
Une autre interprétation est également envisageable. Cela pourrait être également une confusion entre la
représentation usuelle d’une distance (en « x ») et celle mobilisée ici (en « c.t ») car l’axe Oc.t représente
également une distance. En conséquence, les élèves n’observent pas ce qu’ils auraient dû observer.
186
Figure 98 : Copie d’écran de la première version GeoGebra du groupe de Clément21.
21
Nous avons rajouté sur la copie d’écran (et les suivantes du même type) des flèches légendées afin d’expliquer
ce que les élèves ont représenté en comparant leur travail avec ce qui était attendu.
187
Sur la version retravaillée en classe22 représentée sur la figure 99, ce sont les ordonnées sur
l’axe Oc.t’ qui sont représentées afin de pouvoir mettre en évidence plus facilement
l’inversion de l’ordre chronologique d’événements dans le référentiel d’Armineh.
Figure 99 : Copie d’écran de la seconde version GeoGebra du groupe de Clément.
Ce travail met en évidence des interactions de type sémiotiques – instrumentales (découverte

du logiciel GeoGebra) ainsi qu’instrumentales – discursives (raisonnement élaboré afin de
construire le diagramme de Minkowski et d’utiliser convenablement la fonctionnalité
curseur). Clément a une maîtrise élaborée du diagramme de Minkowski dans le cadre de
rationalité des mathématiques.
22
Intervention orale de l’enseignant avec le groupe de Clément pour préciser la signification de l’axe Oc.t’.
188
L’enregistrement audio de Clément mobilise deux cadres de rationalité. Il a tendance à très

souvent paraphraser l’énoncé préalablement fourni (voir tableau 27). Nous catégorisons ceci
en interactions de type sémiotique puisque nous considérons qu’il s’agit d’une visualisation,
dans le plan cognitif de l’élève, d’informations dans le cadre de rationalité de la physique.
Cadre de
Temps Interactions23 Extrait audio
rationalité24
Clément L. Alors on est sur une route horizontale qui

00.00 SEM P comporte trois dispositifs émettant des flashs lumineux
afin de repérer un danger.
00.06 SEM P Daniel est immobile sur le côté de la route.
Une voiture conduite par Armineh se déplace à une

00.10 SEM P vitesse de 0,65.c sur la route à côté de Daniel et se
dirige vers les dispositifs lumineux.
L’origine des dates et des positions correspond à

00.17 SEM P l’événement pour lequel les coordonnées de Daniel et
Armineh coïncident.
Dans le référentiel associé à Daniel les deux premiers

00.22 SEM P dispositifs notés S1 et S2 se trouvent à +3 m de Daniel
et le troisième noté S3 se trouve à +9 m de lui.
Le but de cette activité est de construire le diagramme

de Minkowski à l’aide du logiciel GeoGebra, de
00.31 SEM P
repérer les trois événements E1, E2 et E3 dans le repère
des référentiels associé à Daniel et à Armineh.
Tableau 27 : Extrait du verbatim du fichier audio de Clément.
23
SEM pour sémiotique, INST pour instrumentale et DISC pour discursive
24
P pour physique et M pour mathématiques
189
Il commence à avoir une utilisation élaborée du diagramme de Minkowski dans le cadre de

rationalité des sciences physiques puisque des interactions de type discursives ont été
plusieurs fois identifiées dans son enregistrement audio (voir tableau 28).
On remarque donc dans le référentiel de Daniel les événements

SEM-
01.15 P E1, E2 et E3 se suivent alors que dans le référentiel d’Armineh
DISC
on a les événements E1, E3 et E2.
Il y a donc une inversion des événements dans les deux

01.29 DISC P
référentiels.
On remarque également que lorsque l’on fait varier la vitesse

INST-
01.33 P d’Armineh par rapport à Daniel, la position des événements E1,
DISC
E2 et E3 peut changer.
Tableau 28 : Second extrait du verbatim du fichier audio de Clément.
En conclusion, Clément a une utilisation élaborée du diagramme de Minkowski dans le cadre

de rationalité des mathématiques et il commence à avoir le même type d’utilisation dans le
cadre de rationalité des sciences physiques. Il demeure tout de même majoritairement sur un
plan d’interactions sémiotiques sur ce dernier cadre. Toutes les notions visées lors de cette
séquence ont été traitées. Il conviendra de faire attention à ce que « l’inversion des
événements » concerne bien l’inversion chronologique des événements et que l’expression
« la position des événements qui change » corresponde bien à l’abscisse de ces trois
événements qui est modifiée.
L’enregistrement d’Anthony
Le devoir maison du groupe d’Anthony est représenté sur la figure 100. Le diagramme de
Minkowski comporte les trois événements de placés, les différents axes, la droite x = c.t, et
des projections parallèlement à l’axe Oc.t’ coupant l’axe Ox’. Néanmoins les différents
éléments ne sont pas nommés sur GeoGebra et le curseur n’apparait pas. La notion
190
d’événement semble mobilisée. La notion de référentiel semble l’être partiellement, car les
axes des repères ne sont pas nommés. La traduction du second postulat sur le diagramme est
également partiellement mobilisée, car même si l’axe Ox’ est construit, la droite x = c.t ou
x’ = c.t’ n’est pas nommée. La notion d’ordre chronologique relatif n’est pas traitée, le
curseur permettant de changer la vitesse n’apparait pas, les coordonnées des événements sur
l’axe oc.t’ non plus.
Figure 100 : Copie d’écran de la première version GeoGebra du groupe d’Anthony.
La version retravaillée en classe25 comporte les différents éléments qui manquaient dans la
v
première version (voir figure 101). Un curseur permet de changer la valeur de c
et les
projections des événements parallèlement à l’axe Ox’ sur l’axe Oc.t’ ou parallèlement à l’axe
25
Intervention orale de l’enseignant avec le groupe d’Anthony pour donner des informations techniques sur le
curseur et la façon de nommer des éléments sur GeoGebra.
191
Oc.t’ sur l’axe Ox’ apparaissent. Les coordonnées des trois événements sont mentionnées
dans le repère (x’Oc.t’). Les axes Ox’ et Oc.t’ sont maintenant nommés, mais la droite x = c.t
ou x’ = c.t’ est simplement décrite comme « xy ». Il est possible de traiter maintenant la
notion d’ordre chronologique relatif.
Figure 101 : Copie d’écran de la seconde version GeoGebra du groupe d’Anthony.

du logiciel GeoGebra) et de façon moins marquée des interactions instrumentales –
discursives (raisonnement élaboré afin de construire le diagramme de Minkowski). Anthony a
une utilisation opérationnelle du modèle, il arrive à construire un diagramme de Minkowski. Il
n’a pas par contre encore atteint une pratique élaborée dans le cadre de rationalité des
mathématiques, car le curseur nécessaire à la simulation n’est pas initialement créé.
L’enregistrement audio d’Anthony ne porte que sur un seul cadre de rationalité. Il utilise très
souvent des interactions de type instrumentales puisqu’il a tendance à utiliser le diagramme de
Minkowski pour en déduire des résultats physiques.
192
Il commence à avoir une utilisation opérationnelle du diagramme de Minkowski dans le cadre

de rationalité des sciences physiques puisque de nombreuses interactions de type discursives
ont été identifiées dans son enregistrement audio. Néanmoins des erreurs de physique
apparaissent sur le tableau 29 (confondre le référentiel d’Armineh et de Daniel à 00.19, se
tromper dans l’ordre chronologique des événements à 01.44 et 01.54) ou des imprécisions à
00.39 (il ne parle pas des événements concernés).
Cadre de
Temps Interactions Extrait audio
rationalité
Dans le référentiel de Daniel, Armineh rencontre

00.19 SEM-INST P
l’événement E1 puis E2 puis E3.
Dans le référentiel d’Armineh, nous observons que la

durée est une durée impropre puisque les abscisses sont
INST-
00.39 P différentes contrairement au référentiel de Daniel qui lui
DISC
est une durée propre puisque les abscisses restent les
mêmes.
INST- Pour 0,5 fois la vitesse de la lumière Armineh rencontre

01.44 P
DISC les événements E1 et E3 en même temps.
INST- Pour finir pour une vitesse allant de 0,85 à 1 Armineh

01.54 P
DISC rencontre les événements E1, E2 et E3.
Tableau 29 : Erreurs de physique contenues dans le verbatim d’Anthony.
En conclusion, Anthony a une utilisation opérationnelle du diagramme de Minkowski tant du

point de vue du cadre de rationalité des mathématiques que des sciences physiques. Il
demeure tout de même majoritairement sur un plan d’interactions instrumentales sur ce
dernier cadre.
193
L’enregistrement de Léopoldine
Le devoir maison du groupe de Léopoldine est représenté sur la figure 102. Le diagramme de
Minkowski comporte les trois événements de placés, les axes Ox, Oc.t, Oc.t’, la droite x = c.t,
et des projections parallèlement à l’axe Oc.t’ coupant un axe Ox’ qui n’est pas correctement
placé. La droite x’ = c.t’ ne jouent pas ici le rôle de bissectrice de l’angle formé par les axes
Ox’ et Oc.t’. De plus, le curseur n’apparait pas. La notion d’événement semble mobilisée
ainsi que celle de référentiel puisque les deux repères apparaissent explicitement même si cela
est imparfait. La traduction de l’invariance de c sur le diagramme ne semble pas acquise
comme la notion d’ordre chronologique relatif. La droite x = c.t ou x’ = c.t’ est simplement
notée « x ».
Figure 102 : Copie d’écran de la première version GeoGebra du groupe de Léopoldine.

194
La version retravaillée en classe26 comporte les différents éléments qui manquaient dans la
première version (voir figure 103). L’axe Ox’ est bien placé, le curseur permettant de changer
v
la valeur de c
apparaît et les ordonnées c.t’ des différents événements également. Des
parallèles à l’axe Oc.t’ ou à l’axe Ox’ passant par les différents événements sont aussi
représentées.
Figure 103 : Copie d’écran de la seconde version GeoGebra du groupe de Léopoldine.

du logiciel GeoGebra) et de façon plus épisodique des interactions instrumentales –
discursives (raisonnement élaboré afin de construire le diagramme de Minkowski).
26
Intervention orale de l’enseignant avec le groupe de Léopoldine pour amener des informations techniques sur
le curseur et sur la signification des droites x = c.t ou x’ = c.t’.
195
Léopoldine a une utilisation encore incomplète du diagramme de Minkowski dans le cadre de

rationalité des mathématiques.
L’enregistrement audio de Léopoldine montre que deux cadres de rationalité sont mobilisés
(voir tableau 30). Elle utilise très souvent des interactions de type sémiotique dans le cadre de
rationalité de sciences physiques en énonçant des résultats sans utiliser véritablement le
diagramme de Minkowski (à 01.45 durée propre et impropre) ou de façon élémentaire (02.02
et 02.05 changement d’ordre des événements en bougeant le curseur). Des confusions
subsistent sur le but de l’activité (00.23 consistant à comparer des vitesses) ou sur la notion de
vitesse d’un système dans un référentiel donné (01.53 elle parle plutôt de la vitesse d’un
référentiel).
Le cadre de rationalité des mathématiques est mobilisé avec des interactions majoritairement
de type instrumental, mais aussi des interactions de type discursives non négligeables.
Néanmoins des confusions importantes sont mises en évidences sur la construction de la
droite O.c.t’ avec un coefficient directeur incorrect (00.59 et 1.05 coefficient directeur de 0,8
1
au lieu de 0,8
). Les explications du tracé de la droite x = c.t sont vagues (01.08 c’est la
fonction de x) ainsi que les positions des ordonnées c.t’ des différents événements (1.32 tracé
des parallèles qui joignent la bissectrice x’).
Cadre de
rationalité
Dans un premier temps nous avons tracé les repères

associés aux référentiels d’Armineh et de Daniel afin de
00.23 SEM-INST P
réaliser notre projet, c’est-à-dire comparer les vitesses
d’Armineh par rapport à Daniel.
Pour avoir la droite c.t’ nous rentrons la valeur indiquée

00.59 SEM-INST M
au départ pour nous qui était de 0,8.
01.05 DISC M C’était notre coefficient directeur.
Pour tracer la droite x c’est la fonction de x donc quand

INST-
01.08 M on avance en abscisse de 1 on monte de 1, donc bref c’est
DISC
la fonction x.
196
Pour trouver les points de c.t’E1, c.t’E2 et c.t’E3 il faut

INST-
01.32 M tracer la parallèle qui joint la bissectrice x’ et ils n’ont pas
DISC
la même abscisse dans le référentiel d’Armineh.
C’est dans le référentiel de Daniel qui a la durée propre et

01.45 SEM P
le référentiel d’Armineh qui a la durée impropre.
Pour finir, la vitesse dans le référentiel de Daniel est

01.53 SEM P toujours identique et la vitesse dans le référentiel
d’Armineh varie.
02.02 SEM P Les événements ne sont pas dans le même ordre.
02.05 INST P Ça dépend quand on déplace le curseur en fait. Voilà.
Tableau 30 : Extrait du verbatim de Léopoldine.
En conclusion, Léopoldine a une utilisation imparfaite du diagramme de Minkowski tant du

point de vue du cadre de rationalité des mathématiques que des sciences physiques. Des
interactions de types plus élaborés sont présentes, mais souvent incomplètes ou erronées.
L’enregistrement de Lucie
Le devoir maison du groupe de Lucie est représenté sur la figure 104. Le groupe de Lucie a
représenté avec le logiciel GeoGebra un diagramme de Minkowski contenant les trois
événements, la droite x = c.t, les quatre axes Ox, Oc.t, Ox’ et Oc.t’ ainsi que les projections
des trois événements parallèlement à l’axe Oc.t’ sur l’axe Ox’. Les noms des différents axes
n’apparaissent pas. Le curseur est utilisable, mais les axes qui apparaissent ne correspondent
pas à des axes Ox’ et Oc.t’ et la droite x = c.t n’est pas la bissectrice de l’angle formé par les
deux droites ainsi créées. La valeur affichée par le curseur n’est pas rattachée à la valeur de la
vitesse d’Armineh par rapport à Daniel.
197
Figure 104 : Copie d’écran de la première version GeoGebra du groupe de Lucie.
Sur la version retravaillée en classe27 représentée figure 105, les ordonnées des événements
sur l’axe Oc.t’ sont représentées. Elles sont nommées yE1, yE2 ou yE3. Les abscisses des
événements sur l’axe Ox’ sont nommées A,B ou C. Les noms des axes Ox’, Oc.t’ et de la
droite x = c.t ne sont toujours pas représentées.
27
Intervention orale de l’enseignant avec le groupe de Lucie pour préciser les significations de l’axe Oc.t’ et des
droites x = c.t ou x’ = c.t’.
198
Figure 105 : Copie d’écran de la seconde version GeoGebra du groupe de Lucie.

du logiciel GeoGebra) ainsi qu’instrumentales – discursives (raisonnement élaboré afin de
construire le diagramme de Minkowski). Lucie a une maîtrise opérationnelle du diagramme
de Minkowski dans le cadre de rationalité des mathématiques. Ce n’est pas encore une
utilisation experte, car la fonctionnalité du curseur n’est pas totalement maitrisée.
L’enregistrement audio de Lucie (voir tableau 31) montre la mobilisation des deux cadres de
rationalité, mathématiques et sciences physiques. Le cadre de rationalité des mathématiques
est caractérisé par une prépondérance des interactions de type instrumentales puis sémiotique.
Lucie décrit la façon dont a été construit mathématiquement le diagramme de Minkowski.
Le cadre de rationalité de sciences physiques montre une utilisation élaborée du diagramme

de Minkowski avec une prépondérance des interactions de type sémiotique et discursive ce
qui correspond à une activité experte.
199
Des erreurs d’interprétation du diagramme de Minkowski sont tout de même mises en

évidence lors de la description des différentes positions d’Armineh au cours du temps dans le
référentiel de Daniel (00.47 l’axe Oc.t’ et pas l’axe Ox’) et lorsque Lucie semble penser que
les événements sont en mouvement (01.48 et 02.23). L’inversion entre durée propre et durée
impropre semble être un lapsus (01.38) puisque Lucie parle bien d’une durée propre dans le
référentiel de Daniel (02.01).
Cadre de
rationalité
L’axe Ox correspond à la position de Daniel dans son

00.47 SEM-DISC P référentiel et Ox’ la position d’Armineh au cours du
temps par rapport à Daniel.
Sachant que E1 et E2 ont une même abscisse Daniel a une

01.38 SEM-DISC P même position, on a alors une durée impropre puisque
Daniel est immobile.
Dans le référentiel d’Armineh E1 et E2 n’ont pas la même

01.48 SEM-DISC P abscisse donc il est en mouvement et on est en présence
d’une durée impropre car les positions sont différentes.
On est en possession d’une durée impropre et d’une durée

propre donc on peut alors appliquer la relation tm = tp
02.01 DISC P
avec tm correspondant au référentiel d’Armineh et tp
correspondant au référentiel de Daniel.
Les deux sont alors en mouvement et ne sont pas

02.23 DISC P
immobiles.
Tableau 31 : Extrait du verbatim de Lucie.
En conclusion Lucie a une maîtrise opérationnelle du diagramme de Minkowski du point de

vue des mathématiques et une maîtrise experte du diagramme de Minkowski du point de vue
200
de la physique. Quelques erreurs surgissent lors de l’utilisation du modèle dans chaque cadre
de rationalité.
En résumé, nous avons effectué l’analyse a posteriori de quatre travaux d’élèves. Nous avons
tout d’abord regardé les différentes notions qu’ils ont traitées. Le fichier GeoGebra nous a
permis d’évaluer leur utilisation du registre mathématique lors de la construction du
diagramme de Minkowski. Le fichier audio a permis quant à lui d’évaluer leur utilisation du
registre physique lors de l’utilisation du diagramme de Minkowski. La nature des genèses
mises en jeu permet éventuellement de connaître le niveau de maîtrise de chaque registre. Des
genèses de nature discursives sont bien souvent associées à une utilisation plus élaborée du
registre correspondant.
201
Conclusion et perspectives
Tout au long de ce travail de thèse, nous avons cherché à développer et à mettre à l’épreuve
de la classe des activités utilisant un registre basé sur des diagrammes lors de l’enseignement
de la théorie de la relativité restreinte avec des élèves de terminale S.
Nous avons montré que l’approche graphique au sens strict est source de difficultés
didactiques (problèmes avec les pentes, interprétation faussée par la représentation elle-même
ou le concept représenté). Néanmoins, nous avons formé l’hypothèse que les potentialités
didactiques des graphiques, mises en évidence avec l’effet Doppler ou la théorie de la
relativité restreinte, pouvaient s’avérer plus avantageuses que les difficultés mises initialement
en évidence.
Une étude épistémologique sur les diagrammes utilisables en relativité restreinte nous a
permis de nous rendre compte des liens importants entre les mathématiques et la genèse de la
théorie de la relativité restreinte. Nous avons ensuite effectué une analyse épistémologique
d’un diagramme associé à la genèse de la théorie de la relativité restreinte, le diagramme de
Minkowski, puis de deux autres développés beaucoup plus tard pour des raisons didactiques,
ceux de Brehme et de Loedel.
Les travaux de Duval expliquent qu’il faut maîtriser au moins deux registres et favoriser
particulièrement les conversions entre registres pour bien comprendre un concept
mathématique. Nous avons donc créé des activités utilisant plusieurs registres avec, entre
autres, un registre basé sur les diagrammes.
La mise en place de deux séances pilotes nous a permis de tester l’enseignement, avec des
élèves, des notions d’événement, de référentiel, de durée propre ou impropre, d’invariance de
la vitesse de la lumière dans des référentiels inertiels ou d’ordre chronologique relatif à l’aide
des diagrammes d’espace-temps.
La première séance pilote comportait plusieurs registres d’entrée : langage naturel, analytique,
schématique, diagramme (avec celui de Brehme). Elle nous a permis de comprendre toute la
complexité qu’il peut y avoir à faire ressortir la contribution d’un registre par rapport à un
autre sur la compréhension d’un concept par les élèves.
La seconde séance pilote, plus ambitieuse, utilisait les diagrammes de Minkowski et de

Loedel. Nous avons développé une grille d’analyse permettant d’analyser a posteriori les
202
échanges entre l’enseignant et les élèves en tenant compte des réussites, des blocages, des
différentes interventions de l’enseignant ainsi que des registres mis en œuvre lors des
échanges.
Cela nous a permis de voir, d’une part, les difficultés à manipuler des concepts de la relativité
restreinte ou à utiliser des diagrammes d’espace-temps, et, d’autre part, de voir les
potentialités de ce type de diagrammes.
Il nous a paru primordial, à ce stade, de développer un nouveau cadre théorique afin

d’analyser plus finement les interactions développées par les élèves qui résolvent un problème
utilisant des diagrammes en relativité restreinte. C’est pour cela que nous avons modifié les
espaces de travail mathématique (ETM) en rajoutant un nouveau cadre de rationalité, celui de
la physique, au modèle initial.
Le cadre des ETM étendu nous a permis de concevoir plusieurs versions de séquences
proposées aux élèves et de réaliser une analyse a priori de leur niveau de difficulté et a
posteriori en analysant des travaux d’élèves.
Nous avons effectué l’analyse du travail de quatre groupes d’élèves lors d’une séquence
utilisant le diagramme de Minkowski avec GeoGebra, un logiciel de simulation graphique.
Cela nous a permis d’évaluer le degré de maîtrise du diagramme de Minkowski pour chaque
élève, tant du point de vue du cadre de rationalité des mathématiques que de celui des
sciences physiques.
Les résultats sont prometteurs, ils tendent à montrer une première appropriation authentique
des concepts de la théorie de la relativité restreinte via une approche basée sur des
diagrammes.
Le second postulat peut être décliné sur un diagramme en utilisant des propriétés de symétrie
axiale sur les repères de deux référentiels, en mouvement relativiste l’un par rapport à l’autre,
au niveau des différents diagrammes que nous avons étudiés. L’introduction du concept
d’événement comme un point de l’espace-temps permet, par la suite, de travailler
différemment la notion de durée propre ou impropre et même des problèmes plus délicats tels
que l’ordre chronologique relatif ou la simultanéité. La notion de référentiel est retravaillée
lors de cette approche basée sur les diagrammes, car l’accent est mis sur les points de vue de
deux observateurs liés à des référentiels différents.
Il conviendra, par la suite, de continuer à développer des séquences utilisant des diagrammes
mêlant le cadre de rationalité des mathématiques et celui de la physique en utilisant le cadre
203
théorique que nous avons modifié. Pour le moment nous avons montré que le cadre de l’ETM
étendu est opérationnel dans le cas de la cinématique relativiste. Il est probable que ce doit
être également le cas dans le cas de la cinématique non relativiste. Il faudrait vérifier plus tard
cette hypothèse et la tester avec d’autres domaines de la physique.
Les analyses que nous avons effectuées dans le cadre de l’ETM étendu se sont centrées sur les
interactions entre les plans épistémologiques (mathématiques et sciences physiques) et le plan
cognitif. Nous n’avons pas regardé les interactions entre les deux plans épistémologiques, cela
peut constituer d’autres pistes de recherche orientées sur des activités de modélisation lors de
tâches, au-delà de la cinématique relativiste, mettant en œuvre les mathématiques et les
sciences physiques.
Enfin, même après une introduction de la relativité restreinte dans les programmes du
secondaire qui date déjà de quelques années, il semble important de former les enseignants à
l’approche des concepts de la relativité restreinte par les diagrammes en montrant la plus-
value à utiliser de nouveaux registres, tant pour leur culture personnelle que pour leur
enseignement avec leurs élèves.
204
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207
Annexes
Analyse de la première séance pilote
4 élèves sur 16 utilisent uniquement le registre du langage naturel avec des réponses finales
bien souvent incohérentes.
« On arrive à détecter les muons à la surface de la Terre, car la vitesse du référentiel

terrestre est plus rapide que la vitesse du référentiel des muons. La détection arrive plus tôt
dans le référentiel du muon, les muons sont détectés donc avant d’atterrir sur Terre dans ce
référentiel alors que la détection arrive plus tard dans le référentiel terrestre ».
« Les muons sont détectés à la surface de la Terre, car leur durée de vie a augmenté. La terre
du référentiel terrestre est plus rapide que la vitesse du référentiel ».
« La durée n’est pas la même suivant le référentiel. Comme la durée n’est pas la même, la
vitesse n’est pas la même non plus. Dans ce cas, même en ayant une durée de vie similaire,
les muons peuvent atteindre la Terre à cause de leur vitesse variable, en fonction du
référentiel ».
« Il est possible de détecter des muons à la surface de la Terre, car dans le référentiel des
muons le temps passe plus vite que dans le référentiel terrestre donc ils ont une durée de vie
plus longue dans le référentiel terrestre donc il est possible d’en trouver à la surface de la
Terre. Le nombre de muons trouvé à l’expérience faite avec Frish et Smith montre une petite
erreur par rapport à ce qu’ils avaient prévu ».
5 élèves sur 16 utilisent le registre du langage naturel et des résultats obtenus à partir du
registre algébrique.
« Les muons ont une durée de vie de 21 s et se déplacent à une vitesse de 0,992c et leur
durée de vie n’est pas la même dans R que dans R’ car le temps passe plus vite dans le
référentiel des muons c’est pour tout cela qu’ils arrivent à atteindre la surface de la Terre ».
« Lorsque les muons sont créés à la surface de la Terre, ils se dirigent vers elle avec une
vitesse très proche de celle de la lumière. La durée qui est de 1 s est alors multipliée par 9
car ils se placent dans le référentiel terrestre. Leur durée de vie rallongée grâce à leur vitesse
nous permet de les détecter ».
208
« Le temps passe plus lentement dans le référentiel terrestre donc il y a moins de muons qui
sont détectés en se rapprochant de la surface de la Terre. Donc c’est logique qu’on en trouve
à la surface de la Terre. ’ (Durée de vie dans le référentiel terrestre) est 9,00 fois plus grand
que la durée de vie dans le référentiel du muon. Donc on peut en trouver à la surface de la
Terre ».
« La durée de vie d’un muon a une durée de vie 9,00 fois supérieure dans le référentiel
terrestre donc il parcourt une plus grande distance donc ils peuvent atteindre la Terre ».
« Il est possible de détecter les muons à la surface de la Terre, car dans le référentiel
terrestre le temps s’écoule moins vite. La durée de vie du muon est plus élevée dans le
référentiel terrestre que dans le référentiel du muon (’> → 19,9 s > 2,21 s). Le muon
met moins de temps dans le référentiel du muon pour parcourir une même distance (dans le
référentiel terrestre) ».
3 élèves sur 16 utilisent le registre du langage naturel et des résultats obtenus à partir du
registre diagrammatique.
« Les muons parcourent une plus grande distance que prévu dans R’ car le temps a augmenté.
Ces détections varient en fonction de l’altitude de l’endroit où a lieu la mesure. La durée de
vie des muons varie en fonction de la vitesse. La durée création – détection varie suivant R et
R’ car le temps est plus court dans R ».
« Il est possible de détecter les muons à la surface de la Terre avec une proportion supérieure
aux prévisions, car ils ont une durée de vie plus importante, mais aussi que t’m > tp ».
« Les muons ont une durée de vie de 2,21 s. Pourtant, ils ont été détectés à la surface de la
Terre. On a pu voir que leur vitesse de 0,992.c dans le référentiel R leur permet d’arriver
avant, d’où tp < t’m. Le temps est en quelque sorte ralenti grâce à leur vitesse se
rapprochant de celle de la lumière ».
4 élèves sur 16 utilisent le registre du langage naturel et des résultats obtenus à partir des
questions utilisant des réponses dans les registres algébriques et diagrammatiques.
« Normalement, la durée de vie d’un muon est de 2,21 s. On ne devrait pas pouvoir détecter
des muons à la surface de la Terre puisqu’ils sont créés dans la haute atmosphère. Dans le
référentiel terrestre, on a vu que leur durée est plus élevée. C’est dû à l’écart de temps entre
les deux référentiels tp < t’m. On sait que ’ = 7,92.. Donc le temps s’écoule moins vite
dans R’ que dans R, ce qui explique que l’on détecte plus de muons que prévu ».
209
« Il est possible de détecter les muons à la surface de la Terre avec une proportion largement
supérieure aux prévisions, car leur durée de vie est beaucoup plus importante, la vitesse
influence la durée de vie des muons dans R’ par rapport à la durée de vie des muons dans R.
t’m = 7,92.tp. La durée entre la création et la détection dans R est plus courte que dans
R’ ».
« On arrive à détecter des muons à la surface de la Terre, car comme ils se déplacent
presqu’à la vitesse de la lumière soit 0,992.c  devient supérieur à 1 donc dans la relation
t’m = .tp t’m > tp c'est-à-dire que ’ >  donc que la durée de vie des muons est plus
grande dans le référentiel terrestre que dans le référentiel du muon ce qui explique qu’on les
détecte à la surface de la Terre ».
« Le muon se déplace à une certaine vitesse, or on ne devrait pas les détecter. Dans le
référentiel terrestre, le temps s’écoule plus lentement, et les muons semblent se déplacer par
rapport à cette abscisse. La durée de vie des muons est influencée par leur vitesse. La mesure
de ’ montre que la durée de vie du muon est 9,00 fois plus grande que celle dans le
référentiel du muon. La détection ayant lieu à des niveaux différents selon l’altitude dans le
référentiel terrestre, on peut remarquer une désintégration progressive ».
Verbatim de la première séance pilote
2.08 Professeur Il y a un code des couleurs.
2.46 Commencez à lire le document 1.
Soulignez éventuellement les mots qui vous paressent

3.28
importants.
Professeur
5.18 Lorsque vous avez fini le document 1, voir question 1.
Que remarquez-vous dans le document 1 ? Je vous aide, au

7.47
niveau des couleurs.
7.59 Élève Deux référentiels différents !
8.04 Professeur Deux référentiels différents, oui, mais avec les couleurs ?
8.05 Élève Un rouge, un bleu.

210
8.06 Professeur Un rouge, un bleu. Est-ce que c’est mis n’importe comment ?
8.10 Élève Non, une couleur, ça correspond à un référentiel.
8.13 Professeur Oui, le rouge par exemple ?
8.14 Élève C’est le référentiel des muons.
8.17 Professeur D’accord, le rouge c’est le référentiel des muons, il s’appelle ?
8.18 Élève R.
8.19 Professeur Et le bleu ?
8.20 Élève R’.
8.21 Professeur R’ c’est le référentiel ?
8.22 Élève De la Terre.
8.26 De la Terre, alors regardez vite fait le document 2.

Professeur
8.31 Qu’est-ce que vous voyez pour le document 2 ?
8.33 Élève Deux couleurs.
8.36 Professeur Il y a aussi deux couleurs.
8.42 Élève Qui correspondent aux formules des référentiels.
Voilà, on retrouve du rouge et du bleu. Alors tout ce qui est en

8.44 Professeur
rouge, cela va être relatif au référentiel ?
8.45 Élève Des muons.
8.53 Professeur Donc qu’est-ce qu’on voit en rouge dans le document 2 ?
8.56 Élève R et H.
8.59 Professeur Donc R c’est le référentiel des muons.
9.02 Élève L’horloge fixe H.
9.05 Professeur Alors H l’horloge fixe elle est dans quel référentiel ?
9.08 Professeur Dans le référentiel des muons. Qu’est-ce qu’il y a d’autre ?

211
9.09 Élève tp.
9.10 Professeur tp est la durée propre qui sera mesurée dans le référentiel ?
Donc même chose pour le référentiel terrestre tout ce qui sera

9.12
bleu ce sera relatif au référentiel terrestre.
9.22 Document 3.
Professeur
Voyez on voit toujours aussi du rouge et du bleu. Tout ce qui
9.26 sera rouge ce sera relatif au référentiel des muons et tout ce qui
sera bleu ce sera relatif au référentiel terrestre.
Tournez la page. Document 4.1. Alors c’est en rouge donc ça

9.35 Professeur
veut dire que c’est relatif au référentiel ?
9.43 Professeur Des muons. 4.2 ?
9.44 Élève Terrestre.
9.45 C’est en bleu, c’est relatif au référentiel terrestre.

Professeur Et le 4.3 ? Qu’est-ce qu’on peut dire du 4.3 par rapport au 4.1 et
9.50
au 4.2 ?
9.53 Élève C’est les deux. C’est la synthèse.
Voilà, c’est la synthèse. C’est la somme des deux. Donc le 4.3

9.54 Professeur réuni 4.1 et 4.2 donc dans le 4.3 on voit à la fois ce qu’il se
passe ?
10.03 Élève Dans le référentiel des muons et le référentiel terrestre.
Voilà on voit à la fois ce qu’il se passe dans le référentiel

10.05
Professeur terrestre et dans le référentiel des muons.
10.11 Document 5.1 ?
10.12 Élève Référentiel des muons.
10.13 Professeur Référentiel des muons en plus vous voyez apparaitre des
212
horloges.
5.2, référentiel terrestre et 5.3 ça correspond à la somme du 5.1

10.18 et du 5.2 donc on voit à la fois ce qu’il se passe dans le
référentiel des muons et dans le référentiel terrestre.
D’accord ? Donc dans toute cette activité tout ce qui sera rouge
10.33 çà sera relatif au référentiel des muons et tout ce qui sera bleu ça
sera relatif au référentiel terrestre.
Alors première question donc à l’aide du document 1 expliquez

10.40 pourquoi les muons ont parcouru une distance dans le référentiel
terrestre R’ plus grande que prévue ?
Alors pour répondre à cette question ben normalement vous

10.51 devez avoir dans le texte quelques phrases qui sont en rapport
avec cette question. Oui ?
La durée de vie des muons dans le référentiel R’ est plus élevée

10.58 Élève que dans le référentiel R. Parce qu’il y’a une différence de
référentiel et une différence …
11.02 Professeur Oui alors la durée de vie, vous me dites, est plus élevée ?
11.08 Élève La durée de vie du muon est plus élevée dans R’ que dans R.
Oui, alors ça … effectivement on trouve ça … Alors c’est quel

11.14 Professeur
paragraphe ?
11.18 Élève Le quatrième.
11.22 Professeur Le quatrième.
La vitesse des muons dans R’ ne pouvant pas dépasser la vitesse

11.25 Élève de la lumière leur durée de vie a obligatoirement augmenté dans
R’.
11.30 Professeur Oui, et puis le paragraphe un peu après ?
On arrive à un résultat bien curieux, la durée de vie des muons

11.35 Élève est plus élevée dans le référentiel terrestre R’ que dans le
référentiel R fixe par rapport aux muons.
213
D’accord on trouve donc que la durée de vie a augmenté mais la

question ce n’est pas la durée de vie. C’est expliquer pourquoi
11.42
Professeur les muons ont parcouru une distance dans le référentiel terrestre
R’ plus grande que prévue ?
11.55 Donc vous répondez partiellement à la question.
Parce que lorsqu’on se place dans le référentiel des muons c’est

la vitesse de la Terre et lorsqu’on se place dans le référentiel
11.56 Élève terrestre c’est la vitesse des muons donc c’est, comment dire, en
fait une histoire de temps, de référentiel. Euh, c’est une histoire
de vitesse, ben …Ça dépend de là où on se place.
Alors on va revenir à une chose toute bête. Qu’est-ce que vous

12.19 Professeur savez pour la vitesse ? Depuis très longtemps, la formule
associée à la vitesse. V égal ?
12.26 Élève d sur t.
12.29 Professeur d sur t. Donc d c’est égal à ?
12.32 Élève Distance. V fois t.
d c’est égal à ? La distance c’est v fois t. Là vous venez de me

12.38 Professeur
dire que la durée de vie a augmenté donc ça revient à dire que t ?
12.44 Élève Est plus grand.
12.45 Professeur Est plus grand.
12.47 Élève Ça veut dire que la distance est plus grande.
Oui, vous avez la vitesse ben finalement elle ne change pas. La

12.49 Professeur durée de vie, le texte dit qu’elle est plus grande, donc
conclusion ?
13.02 Élève La distance est plus grande.
La distance est plus grande. On en parle dans le texte. Essayez

13.03
de voir dans le texte s’ils parlent de la distance.
Professeur
Et d’ailleurs ils disent qu’il y a un problème c’est pour cela
13.13
qu’ils en ont déduit ça.
214
Pourquoi ils disent que la durée de vie est plus importante dans
13.18
le référentiel terrestre ?
Parce que la vitesse des muons, elle ne peut pas dépasser celle de
13.22 Élève
la lumière.
13.27 Oui, mais il y a une contradiction avant.

Professeur
13.28 Pardon ?
13.29 Élève Ben deuxième paragraphe … Ben ils vont plus vite donc …
Il n’y a pas une question de vitesse. Y’a un problème.

13.40 Professeur Normalement il y a quelque chose que l’on devrait observer et
on ne l’observe pas.
13.46 Élève … pour les détecteurs.
13.49 La distance est plus grande que prévue. Oui, pourquoi ?
Ils ont parcouru une distance plus grande que prévue, c’est vrai.
13.52
Pourquoi ? Qu’est ce qui …
Professeur
Oui, mais quelle est l’expérience qui a été réalisée et qui a
14.01 montré que ben justement ils ont … leur durée de vie est plus
importante que prévue ?
Parce que les muons cosmiques ils ont réussi à atteindre la

14.13 Élève
surface de la Terre.
14.16 Professeur Oui et normalement ?
14.17 Élève Normalement ils sont indétectables puisqu’ils n’arrivent pas …
Oui, alors les muons ils sont créés donc dans la haute
14.19 Professeur atmosphère. Ça correspond à leur création. Et est-ce qu’ils sont
stables, d’après le texte ?
14.28 Élève Non.
14.29 Professeur Non, donc ça veut dire qu’au bout d’un certain temps ils vont …
14.34 Élève Se désintégrer.
14.35 Professeur Ils vont se désintégrer. Donc, entre le moment où ils ont été
215
créés et le moment où ils sont détectés, ils vont se déplacer.

Effectivement le texte dit que normalement avec la durée de vie
qu’ils ont dans le référentiel des muons, on n’aurait pas dû les
détecter à la surface de la Terre or on les détecte donc ça veut
dire qu’ils ont parcouru …
14.54 Élève Une distance plus grande que prévue.
Une distance plus grande que prévue. Alors pour parcourir une
distance plus grande que prévue qu’est-ce qu’on peut faire ? La
14.58 Professeur
première possibilité c’est : augmenter la vitesse et le problème
c’est ?
15.07 Élève On ne peut pas.
15.08 Professeur On ne peut pas, pourquoi ?
15.09 Élève On ne peut pas aller plus vite que la lumière !
Voilà, ils se déplacent à la vitesse, quasiment à la vitesse de la

15.10 Professeur lumière donc on ne peut pas aller plus vite. Donc l’autre
possibilité c’est ?
15.16 Élève D’augmenter le temps !
15.18 Donc je vous laisse rédiger, cette première question.
Alors lorsque vous regardez le deuxième paragraphe, on vous

15.27 explique justement cette histoire que normalement on n’aurait
pas dû les détecter et on les détecte donc …
Professeur Alors juste pour revenir sur la vitesse, on vous dit que les muons
ont une vitesse proche de celle de la lumière par rapport au
référentiel terrestre. On va dire, on va voir un peu plus tard, c’est
16.22
0,992 fois c, c'est-à-dire 99,2 % de la vitesse de la lumière. Donc
si les muons ont cette vitesse par rapport au référentiel terrestre,
dans le référentiel des muons, les muons sont comment ?
16.47 Élève Immobiles.
16.48 Professeur Ils sont immobiles et c’est la Terre qui se déplace à la vitesse de
216
99,2% de la vitesse de la lumière.
Pour reprendre ça, vous êtes dans un train qui va à 100 km/h par
rapport, euh, au quai donc par rapport au référentiel terrestre.
17.08
Une autre chose, on peut le voir différemment. Par rapport à
vous, le quai va à 100 km/h, à cette vitesse-là.
18.03 Élève Monsieur !
18.04 Professeur Oui ?
S’ils ont une durée de vie plus longue ce n’est pas parce que
18.08 Élève
justement on se rapproche de la vitesse de la lumière ?
Oui, c’est vrai. Ça …, vous avez quasiment répondu à une

18.10
prochaine question.
Est-ce que l’on peut passer à la question 2 ? Alors la question 2,

Professeur lorsque vous regardez la fin du document : à l’aide du document
19.35 2 retrouver t’m et tp sur le schéma relatif au cas 1 et le schéma

relatif au cas 2. t’m c’est en bleu ce sera dans le référentiel …
terrestre, tp c’est en rouge ce sera dans le référentiel ?
19.58 Élève Du muon.
19.59 Professeur Du muon. t ça représente quoi ? Ça représente ?
20.04 Élève Un écart de temps.
Un écart de temps, oui. Ou alors on appelle ça communément,

20.05 Professeur
… un écart de temps … ?
20.13 Élève Une durée.
Une durée, cela correspond à une durée. Donc regardez le

20.14
document 2.
Alors le document 2, il est … qu’est-ce qu’on va trouver ? Donc,

Professeur vous avez du texte, vous avez une formule, un peu plus qu’une
20.18 formule et puis vous avez deux schémas. Vous commencez à

regarder ça et puis après on va essayer de voir à quoi correspond
ces deux schémas.
217
Donc regardez attentivement le document 2. Essayez de voir en

quoi consistent les formules. A quoi correspond les deux cas, le
22.23 cas 1, le cas 2. Qu’est-ce qui est représenté ? Pourquoi c’est
représenté dans cette position et pas une autre, est-ce qu’il y a
quelque chose qui change entre le cas 1 et le cas 2.
Alors ce document 2, il parle de quoi ? Qu’est-ce qui arrive ? On

24.45 retrouve le code des couleurs rouge référentiel du muon, bleu
référentiel terrestre et il parle particulièrement de quoi ?
25.01 Élève D’horloges.
25.02 Professeur D’horloges. Donc qui dit horloges, dit ?
25.05 Élève Mesure de temps.
25.07 Mesure de temps donc mesure de la durée.

Professeur
25.10 Alors qu’est-ce qu’il y a comme horloge ?
25.11 Élève H.
25.12 Professeur H. donc H est de couleur rouge donc c’est une horloge.
25.17 Élève Dans le référentiel du muon.
Dans le référentiel du muon. Alors si c’est une horloge dans le

25.18 Professeur référentiel du muon, par rapport au référentiel du muon, elle est
comment ?
25.23 Élève Fixe.
25.24 Professeur Fixe, ensuite qu’est-ce qu’on trouve d’autre comme horloges ?
25.30 Élève H’1 et H’2.
H’1 et H’2. Donc elles sont bleues. Elles, elles sont dans le
25.31 Professeur
référentiel ?
25.37 Élève Du muon. Terrestre.
Terrestre. Bleu c’est référentiel terrestre. Si elles sont dans le

25.38 Professeur référentiel terrestre, elles sont comment par rapport au référentiel
terrestre ?
218
25.45 Élève Fixes.
Elles sont fixes. Alors ces horloges, elles vont pouvoir mesurer
25.46
deux durées. L’horloge H, elle va mesurer quelle durée ?
Professeur
Comme elle est dans le référentiel du muon, elle va mesurer une
25.58
durée dans le référentiel ?
26.01 Élève R.
26.02 Professeur Du muon, oui, référentiel R. Et donc ça va être quelle durée ?
26.06 Élève tp.
tp … et puis les horloges H’1 et H’2 vont mesurer une durée
26.07 Professeur
dans le référentiel ?
26.17 Élève Terrestre.
26.18 Professeur Terrestre, et donc ça sera ?
26.21 Élève t…
26.22 Professeur t’m. tp voyez ça s’appelle la durée... Elle a un nom particulier.
26.31 Élève Durée propre.
26.32 Professeur Durée propre. t’m, c’est la durée ?
26.34 Élève Impropre !
Impropre. Donc, vous avez une relation entre t’m et tp.

Gamma ça va être quelque chose qui va dépendre de la vitesse v’
et v’ on vous dit que c’est la vitesse du référentiel R par rapport
26.35
à R’. Donc il y a des … il y a une explication alors on vous dit
Professeur
que lorsque gamma est égal à 1 t’m est à peu près égal à tp.
Lorsque gamma est égal à un alors lorsqu’on regarde gamma …
(Écrit au tableau) C’est un sur racine d’un moins v’ carré sur c

27.10
carré. Alors c ça correspond à quoi ?
27.19 Élève C’est la vitesse de la lumière.
27.21 Professeur C’est la vitesse de la lumière dans le vide. Si on a gamma qui est
219
proche de 1 ça veut dire que v’ est comment par rapport à c ?
27.27 Élève Inférieur !
27.29 Professeur Inférieur et même très …
27.30 Élève Nulle.
27.31 Professeur Alors nulle ou …
27.32 Élève Très petit.
Très petit. Donc si v’ est petit par rapport à c, v’ carré sur c carré
ça va être très petit donc 1 moins v’ carré sur carré ça sera à peu
près égal à un. Donc on aura gamma qui est égal à un. Une
vitesse faible par rapport à la vitesse de la lumière, c’est la vie de
tous les jours. Lorsqu’on est dans une voiture, lorsqu’on est dans
27.33
un train, lorsqu’on est dans un avion. Donc la vitesse est faible
Professeur par rapport à la vitesse de la lumière puisque la vitesse de la

lumière c’est 300000 km/s. Qu’est-ce qu’on observe, ben on
observe que t’m est à peu près égal à tp. Ça veut dire une durée
impropre dans un référentiel c’est égal à … la durée impropre ?
Si vous êtes dans un train, si vous mesurez une durée, dans un

28.21 train, qu’est-ce qu’on peut dire de cette durée par rapport à la
durée, euh, au bord du quai ?
28.29 Élève C’est la même.
Ben c’est la même. Pourquoi c’est la même, parce que vous avez
28.30 Professeur
la vitesse qui est très faible par rapport à ?
28.36 Élève La vitesse de la lumière.
Par rapport à la vitesse de la lumière. Qu’est-ce qui change là

28.37 Professeur
pour les muons ?
28.40 Élève C’est presque la même.
28.41 Professeur C’est presque la même donc maintenant vous avez …
28.42 Élève On a 1 moins 1 donc ça fait zéro.

220
Alors ce n’est pas égal strictement à c donc v’ est proche de c

28.47 Professeur carré donc ça veut dire ça ne devient plus négligeable v’ carré
sur c carré donc finalement gamma il ne va plus être négligeable.
29.04 Élève Il est plus petit que …
Oui alors v’ sur c carré ça va tendre vers 1. 1 moins v’ carré sur

c carré ça va tendre vers 0 et un sur 0 ça va tendre vers quelque
29.07 Professeur
chose de grand. Donc c’est pour cela que plus v’ se rapproche de
c plus gamma est …
29.20 Élève Est grand.
Est grand et donc on vous dit dans le document 2 que t’m = 

tp. Donc ça veut dire que lorsque vous avez un référentiel qui
29.21 Professeur
se déplace à une vitesse proche de la lumière par rapport à un
autre qu’est-ce qu’on peut dire des durées impropres ?
29.39 Élève Elles changent.
Elles changent donc finalement est-ce que le temps va s’écouler

29.40 Professeur
de la même façon dans les deux référentiels ?
29.46 Élève Non.
Non donc vous voyez que lorsque vous avez des vitesses entre
deux référentiels qui sont éloignées de la vitesse de la lumière, le
29.47 temps s’écoule de la même façon par contre lorsque la vitesse
d’un référentiel par rapport à un autre se rapproche de la vitesse
Professeur
de la lumière, le temps ne s’écoule plus de la même façon.
Alors, on va voir les deux documents. Le cas numéro un ça

30.05 correspond à quoi ? A côté du cas numéro un vous avez quelque
chose.
30.13 Élève v’ égal zéro à peu près.
30.15 Professeur Alors v’ de R par rapport à R’ est égal à zéro.
Les deux vitesses sont à peu près égales. Non, ça veut dire que
30.21 Élève
gamma est égal à un. Mouais.
221
Gamma est égal à un, oui. Alors pour notre cas, pour le muon ça
30.25 Professeur correspondrait à quoi ? Ça correspondrait à un muon qui
serait …
30.33 Élève Très lent, euh … Non …
30.35 Professeur Très lent, même c’est égal à …
30.36 Élève Immobile !
Voilà immobile. Ça correspond, le cas numéro un ça correspond

à un muon immobile. Alors dans R, dans R ben vous voyez au
30.37 Professeur
début, le début ça correspond à quoi pour le muon ? Là je suis
sur le cas numéro un à gauche.
30.50 Élève C’est la création.
30.52 Professeur C’est la création, très bien et la fin ça correspond ?
30.54 Élève La détection !
La détection. Donc cas numéro un, je m’intéresse au début, euh

dans R. Donc H ça correspond à l’horloge qui est fixe dans le
30.55 Professeur référentiel du muon. Donc on mesure un certain temps. A la fin
on mesure un autre temps et donc, euh, à partir de ces deux
indications qu’est-ce qu’on va pouvoir trouver ?
31.22 Élève La durée de vie du muon.
Euh, oui mais … alors peut-être pas tout à fait la durée de vie du
muon, lorsqu’on regarde, on revoit la question, à l’aide du
document 2 retrouver t’m et tp sur le schéma relatif au cas 1 et
31.24 Professeur le schéma relatif au cas 2. Donc je reprends, on est sur le
document 2, cas numéro un, on s’intéresse au muon donc qui est
en rouge donc question : à partir des deux indications de
l’horloge qu’est-ce qu’on va pouvoir mesurer ?
31.55 Élève tm’.
31.58 Professeur t’m tout le monde est d’accord ?
32.02 Élève Non. Non c’est tp.

222
tp on va pouvoir mesurer tp. Regardez dans R vous avez un

code rouge, les horloges sont en rouge donc c’est le référentiel
du muon et puis on veut mesurer tp c’est la durée propre qui est
32.04 Professeur en rouge donc à partir des indications des deux horloges dans R
on va pouvoir trouver donc tp. Pour le cas numéro un qu’est-ce
qu’il se passe dans R’ ? Dans R’ au début, vous avez H’1 et H’2
qu’est-ce qu’on peut dire de H’1 et H’2 et même de H au début ?
32.37 Élève Elles sont synchronisées.
32.38 Professeur Elles sont synchronisées, cela veut dire qu’elles indiquent …
32.41 Élève La même valeur !
La même valeur, le même temps, elles sont synchronisées. Donc,

32.43 Professeur
quelle …
32.46 Élève Pourquoi on en a deux ici ?
32.47 Professeur Pardon ?
32.48 Élève Pourquoi on en a deux ?
Ah ben voilà, on va essayer de comprendre pourquoi. Qu’est-ce

32.49 Professeur qu’on peut dire au début pour le cas 1 de H’1 et H ? A part
qu’elles soient synchronisées, je suis d’accord, elles sont …
33.01 Élève Elles sont utilisées à des moments différents.
33.04 Professeur Elles sont ?
Je ne sais pas, elles sont utilisées à des moments différents. Elles

33.05 Élève
sont utilisées à des moments différents ou pas ?
Euh alors là je ne m’intéresse juste cas 1, H et H’ au début donc

33.11 Professeur
H et H’1 au début.
33.16 Élève C’est pareil.
33.19 Professeur Alors c’est pareil. Qu’est-ce qui est pareil ?
33.21 Élève Elles sont au même endroit.
33.22 Professeur Ah, elles sont au même endroit. Alors ce n’est peut-être pas
223
facile à voir elles indiquent …, H et H’1 indiquent le même

temps et elles sont au même endroit. Qu’est-ce que je peux dire
de H’1 et H’2 au début pour le cas 1 ? Elles indiquent le même
temps.
33.34 Mais elles ne sont pas au même endroit.

Élève Parce qu’en fait c’est sur la feuille, cela veut dire qu’elles sont à
33.42
une distance différente.
Elles sont à une distance différente, oui, à la fin, pour le cas N°1,
on a dit que là le muon est immobile. Qu’est-ce qu’il se passe si
33.46 Professeur
le muon est immobile ? Qu’est-ce qu’il va se passer pour H et
H’1 ?
34.00 Élève Elles sont toujours synchronisées et sont à la même place.
Elles sont toujours synchronisées et sont à la même place et H’2,

34.02
ben, est un peu plus loin. Ça va ?
Comment est-ce que vous allez pouvoir trouver t’m dans le cas
34.11
Professeur N°1 ?
On imagine que, on a un observateur qui est dans le référentiel

34.18 du muon. Lui qu’est-ce qu’il voit, l’observateur, au début ? Il
voit quelle horloge ?
34.30 Élève H1.
34.32 Professeur Il voit H’1 et puis ?
34.33 Élève H’2.
34.35 Professeur Ah non, elle est plus loin, il ne va pas la voir.
34.38 Élève H.
Il voit H’1 et H. ce sont les horloges qu’il voit à proximité. A la

fin, il va voir quoi le muon, pour le cas numéro 1 ? Il voit
34.39 Professeur
toujours H puisque l’horloge on va considérer que c’est une
montre et puis il voit aussi ?
34.51 Élève H’1.

224
34.52 Professeur H’1, donc H’2 est-ce qu’il la voit ?
34.53 Élève Non.
34.54 Professeur Non, donc dans le cas N°1 finalement H’2 elle ne sert à …
34.56 Élève À rien !
À rien. Le cas 2 maintenant. Alors vous avez v de R par rapport

34.57 Professeur à R’ qui est différent de 0, ça veut dire que le muon qu’est-ce
qu’il fait maintenant ?
35.07 Élève Il bouge !
Il bouge par rapport au référentiel terrestre. Alors regardez dans

R. Au début vous avez H donc ça c’est la position de l’horloge H
par rapport au référentiel du muon. A la fin on retrouve H avec
35.08 Professeur
une certaine durée donc à partir de ces deux positions d’horloge,
à partir de ces deux indications d’horloge, pardon, qu’est-ce
qu’on va pouvoir trouver, quelle durée on va pouvoir mesurer ?
35.38 Élève tp !
tp. Maintenant on regarde dans R’ pour le cas N°2. Au début

35.39 Professeur
l’horloge H est en face de quelle horloge ?
35.48 Élève H’1 !
35.49 Professeur H’1. Donc un observateur qui serait lié au référentiel du muon, il
verrait quelle horloge ? Il verrait l’horloge ?
35.55 Élève H!
35.56 Professeur H et ?
35.57 Élève H’1 !
35.58 Professeur H’1. A la fin …
35.59 Élève Il ne voit plus que H’2 et H.
Oui, donc vous avez H qui s’est déplacée. Pourquoi H s’est

36.03 Professeur déplacée parce que le muon se déplace. Donc un observateur qui
est lié au référentiel du muon, il va voir quoi ? Il va voir quelle
225
horloge ? Il va voir H et …
36.16 Élève H’2 !
Et H’2. Il ne voit plus H’1. Comment est-ce qu’on va pouvoir

36.17 Professeur
mesurer t’m maintenant ?
36.27 Élève On prend … dans le cas 1 …
36.32 Professeur Dans le cas 2, le cas 2 maintenant !
36.34 Élève H et H’2 ils ne sont plus égaux !
Oui, alors moi je veux t’m donc t’m c’est dans le référentiel
36.38 Professeur
terrestre. Vous dites la différence entre ?
36.46 Élève Entre H’1 et H’2 !
Entre H’1 et H’2. Alors pour que ça soit une valeur positive ça
36.47 Professeur
serait plutôt ?
36.52 Élève H’2 et H’1 !
H’2 et H’1. Finalement on va utiliser les horloges qu’on voit à

proximité. Vous voyez dans le cas N°2 à la fin un observateur
36.53 Professeur qui est lié au référentiel du muon lui il ne va pas voir H’1. Il va
voir H’2 et H. Est-ce que ça vous parait un peu plus clair ? Oui,
non ?
37.13 Élève Non !
Non ? Grosso modo, on utilise les horloges qu’on voit à

proximité, d’accord. Le muon …, euh…, vous avez un
référentiel …, dans le référentiel lié au muon on imagine un
observateur qui a une montre. Et donc la montre qu’il a sur lui,
euh …, on peut dire que c’est H. Donc au début, euh …, il
37.14 Professeur
regarde l’heure indiquée par la montre. A la fin, il regarde
l’heure indiquée par la montre. Et donc en faisant la différence,
il va trouver une durée. D’accord ? Comme il est dans le
référentiel du muon, il va trouver une durée dans le référentiel du
muon. Donc il va être associé à une couleur …
226
37.57 Élève Rouge !
37.58 Professeur Rouge. Et donc ça correspondrait à la durée …
38.00 Élève tp !
tp. Il a besoin de combien d’horloges, finalement, pour mesurer

38.01 Professeur
tp ?
38.05 Élève 2 1!
Ben non, une seule montre. Il regarde la montre au début, il

regarde la montre à la fin. Donc il y a besoin d’une seule montre,
une seule horloge. Bon, maintenant, vous avez le muon qui se
déplace par rapport au référentiel terrestre et donc on regarde à
chaque fois l’heure indiquée par rapport à une horloge dans le
référentiel terrestre. Donc au début, ben, il regarde sa montre,
donc H, et puis il regarde une horloge qui est sur le référentiel
38.07 Professeur
terrestre, ça va correspondre au début à H’1. Vous avez le muon
qui se déplace par rapport au référentiel terrestre, donc il ne va
plus se trouver à la même position. Il ne va plus être en face de
H’1. Il ne va plus voir l’indication de H’1, … dans le cas N°2.
Donc à la fin, l’observateur regarde son horloge, donc sa montre,
H, et il va regarder les indications d’une horloge qui est sur le
référentiel terrestre en face de lui, qui sera …
39.04 Élève H’2 !
H’2. Donc c’est pour cela que dans le cas 2, qu’il y a besoin de
39.05 Professeur deux horloges H’1 et H’2. Dans le cas N°1, est-ce qu’il y a besoin
de H’2 ?
39.15 Élève Non !
Ben non, parce que vous avez le muon qui ne se déplace pas par
rapport au référentiel terrestre. Donc l’observateur regarde sa
39.16 Professeur montre au début et à la fin et puis l’observateur regarde l’horloge
terrestre au début et à la fin. Comme il est resté à la même
position, il n’a besoin que d’une seule horloge… Allez, je vous
227
laisse répondre donc finalement la question c’est « à l’aide du

document 2, retrouver t’m et tp sur le schéma relatif au cas 1 et
le schéma relatif au cas 2 ». Donc il faut expliquer comment
dans chacun des cas on mesure t’m et comment est-ce qu’on
mesure tp… Avec tout ce qu’on vient de dire
C’est une durée. Pour avoir une durée, il faut mesurer deux
40.03 temps. Donc avec quelle horloge vous allez mesurer chacun des
temps ?
40.05 Pardon ?
Un exemple. Euh, alors on va faire le cas N°1 si vous voulez. Le

40.11 cas numéro 1, comment est-ce qu’on mesure tp ? Pour le cas
numéro1, comment est-ce qu’on va mesurer tp ?
40.28 Élève On va mesurer la longueur … sur l’horloge …
Donc pour tp dans le cas numéro 1, vous prenez quelle

40.30 Professeur
horloge ?
40.33 Élève H… On mesure une différence !
40.38 Professeur Alors tp ça va être le temps mesuré par H.
40.39 Élève À la fin …
40.40 Professeur À la fin …
40.41 Élève Moins le temps mesuré …
40.42 Professeur Moins le temps mesuré par H …
40.43 Élève Au début !
40.44 Professeur Au début. C’est tout !
40.45 Élève C’est la même chose pour delta …
40.50 Professeur Pour t’m, pour le cas N°1, vous allez utiliser quelle horloge ?
40.55 H’1 !
Élève
40.57 Moins le temps de H’1 au début.
228
Pour le cas N°1, vous êtes en face de quelle horloge ? H’1. Est-ce
41.02 Professeur
qu’on va utiliser H’2 ?
41.04 Élève Non !
Non, donc on n’utilise pas H’2. Donc pour avoir t’m ça va être
41.06 Professeur
le temps mesuré par …
41.12 Élève H’1 à la fin !
41.13 Professeur H’1 à la fin.
41.18 Élève Moins H’1 au début !
41.19 Professeur Voilà, c’est tout.
41.21 Élève Et pour le deux, … tp ?
Pour le cas N°2, je ne vous donne pas la solution, c’est

légèrement différent pour quelque chose… Non, non, il n’y a pas
41.26
de nombres… Voilà, comment fait-on pour mesurer … C’est
tout !
Ben, vous faites comme cela quand vous mesurez une durée.
41.52 Vous regardez, euh, ben l’heure, après, et vous faites, moins
Professeur
l’heure avant.
Vous êtes dans un train, vous voulez savoir la durée de votre

voyage. Comment vous allez faire pour connaitre la durée de
41.57 votre voyage, vous savez quand vous êtes parti et puis vous
savez quand vous êtes arrivé, donc avec la différence des deux,
vous avez la durée comme cela.
42.10 Élève Ben oui !
42.11 Ben oui.
Pour le référentiel …, imaginez que vous êtes dans un train,
Professeur comment peut-on savoir la durée qui s’est passée par rapport au
42.18 quai ? Ben vous êtes à la gare d’Abbeville au début et vous
voyez l’horloge à Abbeville, donc ça correspond à votre départ
puis vous arrivez à Amiens, vous regardez …, vous n’allez pas
229
regarder l’horloge à Abbeville lorsque vous êtes à Amiens. Elle

n’est plus en face de vous. Vous allez regarder l’horloge à
Amiens.
Alors ça peut paraître bizarre, pourquoi, parce que dans la vie de

tous les jours vous avez les mêmes durées dans chacun des
référentiels, mais, pourquoi ? Parce qu’on se déplace à des
vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière. Tandis que
42.55
là dans le cas du muon, il va se déplacer à une vitesse non
négligeable par rapport à la vitesse de la lumière donc,
finalement, la façon dont on va mesurer les durées va être
importante.
44.11 On passe au document 3.
Lorsque vous avez fini de répondre à la question 2, vous passez

44.18
ensuite au document 3. Même chose, vous lisez le document 3.
Si vous n’avez pas fini de répondre au document 2, vous avez

44.52 encore un peu de temps. Lorsque vous avez fini de répondre à la
question 2, vous passez au document 3.
45.29 Élève Ça serait ça du coup pour le cas deux ?
Ben oui, là on imagine ici c’est Amiens, là c’est Abbeville.

Lorsque vous partez, vous regardez l’horloge indiquée par
45.30 Abbeville, lorsque vous arrivez, vous regardez, l’horloge, à
Amiens. Mais quand vous êtes à Amiens, vous ne pouvez pas
regarder l’horloge à Abbeville …
45.53 Oui, c’est ça.

Professeur
On peut prendre l’analogie suivante. Vous êtes dans le train,
vous regardez votre montre. Votre montre, ben ça va vous
donner votre horloge H. Au début du train vous regardez
46.09
l’horloge indiquée par Abbeville et puis à la fin de votre voyage,
vous regardez l’horloge indiquée par Amiens. Mais lorsque vous
êtes à Amiens vous ne pouvez pas regarder ce qu’il se passe à
230
Abbeville.
Oui mais là la montre, la montre dans R, c’est la montre qu’on a

46.26 Élève
nous.
C’est la montre de l’observateur qui est dans le référentiel R, de

quelqu’un qui serait par exemple dans un train. En prenant une
46.32 Professeur
analogie d’un train qui se déplace par rapport au référentiel
terrestre.
46.41 Élève Ça veut dire qu’il doit aller si vite que le temps ralenti.
Lorsque je prends l’exemple du train et du référentiel terrestre

vous avez v’ qui est petit par rapport à c et donc gamma est égal
à 1, donc la différence on ne va pas la voir. Là par contre, vous
46.43 Professeur
avez le muon qui se déplace à une vitesse proche de celle de la
lumière et effectivement les indications des deux horloges vont
être différentes.
47.09 Élève Ça marche comme cela le décalage horaire ?
Non, ce n’est pas le même cas car là vous avez des vitesses qui
47.10
sont proches de la vitesse de la lumière, ce n’est pas ça.
47.25 Document 3.
Professeur
Alors pour le document 3, on retrouve un code de couleurs rouge
47.27 et bleu donc vous avez  qui apparait en rouge, 2,21 en rouge, R
en rouge, donc ça c’est dans le référentiel ?
Des muons. Vous avez R’ v’ 563 408 N(t’) ’ (t-to)’ vous avez
47.42 Professeur
une formule qui est en bleu, c’est dans le référentiel ?
47.43 Élève Terrestre !
47.44 Terrestre.
47.59 Je vous laisse découvrir ce document.

Professeur
Alors, il y a beaucoup d’informations. Vous allez vous
48.06
apercevoir que pour répondre à la question 3, il n’y a pas besoin
231
d’utiliser toutes les informations. Lorsque vous avez un

document, vous n’êtes pas amené à utiliser toutes les
informations qu’il y a dans le document.
Alors dans le document 3, la question du document 3, c’est en

utilisant les données du document 3, expliquer l’évolution du
nombre de comptage de muons entre la mesure au mont
49.10
Washington et celle réalisée à Cambridge. Alors la différence
entre le mont Washington et Cambridge, pour ce qui nous
intéresse ici, ça va être quoi ? Quel est le paramètre pertinent ?
49.30 Élève La différence avec le niveau de la mer !
Voilà, la différence d’altitude, la position par rapport à la mer.

Donc entre le mont Washington et Cambridge, vous avez
49.31
l’altitude du mont Washington qui est plus élevée que celle de
Professeur
Cambridge.
Et donc il faut expliquer l’évolution du comptage du nombre de

49.52
muons, sachant que les muons, ils ont été créés où ?
49.56 Élève Dans la haute atmosphère !
Dans la haute atmosphère. Donc peu à peu ils arrivent à la

49.57 Professeur surface de la Terre. Au fur et à mesure qu’ils se rapprochent de
la surface de la Terre, il …
50.04 Élève Il y en a moins.
50.05 Il y en a moins, pourquoi ? Parce que …
Oui, il y en a de plus en plus qui se désintègrent. On vous donne

alors le nombre de comptages qu’il y a eu au mont Washington
Professeur
50.12 et le nombre de comptages qu’il y a eu à Cambridge. Finalement
qu’est-ce qu’il faut dire ? Il faut dire si ce qui a été observé
c’est …
50.23 Élève Cohérent !
50.24 Professeur C’est cohérent. Voilà. Ben voilà, donc vous expliquez cela.
232
50.27 Élève C’est tout ?
50.29 C’est tout ce qui est demandé pour le moment pour ce document.
Dans le document 3 on vous explique le nombre de comptages.

Professeur
50.37 Donc le nombre. Un comptage c’est quoi, lorsqu’il y a un
comptage, un comptage cela correspond à un muon qui a été …
50.46 Élève Détecté !
50.57 Détecté, voilà.
Alors question 4, à l’aide du document 4 expliquer comment

Professeur
52.53 voit-on que les muons sont fixes dans R. donc, vous allez
regarder, donc euh, donc R cela correspond à quelle couleur ?
53.05 Élève Rouge !
Rouge. Donc vous avez le document 4.1, le document 4.2 et puis

53.06 Professeur
on a dit que 4.3 cela correspond …
53.15 Élève À la synthèse des deux !
À la synthèse des deux. Donc, là la question c’est à l’aide du

document 4 expliquer comment voit-on que les muons sont fixes
53.16 Professeur
dans R ? Alors quelle est la partie du document 4 que vous allez
utiliser ? 4.1, 4.2 ou 4.3 ?
53.28 Élève 4.1 !
Alors on va utiliser 4.1. On pourrait aussi utiliser 4.3. Pas 4.2

53.29 Professeur
parce que 4.2 on regarde ce qu’il se passe dans le référentiel ?
Terrestre et nous ce qui nous intéresse c’est le référentiel du

53.35 muon donc regardez le document 4.1. Donc vous avez une partie
Professeur
de texte au début, je vous laisse lire cela.
55.02 Tout le monde a lu ? Alors E1 cela correspond à quoi ?
55.03 Élève La création du muon !
55.06 Professeur La création du muon, E2 ?

233
55.08 La détection. Euh, est-ce que c’est un référentiel comme

Élève d’habitude ?
55.13 Non, il n’est pas orthonormé !
Ah, il n’est pas orthonormé. Les référentiels ne sont pas

forcément orthonormés. Vous avez vu en physique et en
55.14
Professeur mathématiques à chaque fois des référentiels orthonormés, mais
ils ne le sont pas forcément.
55.25 Qu’est-ce qu’on a comme axe des abscisses ?
55.29 Élève Ox !
Ox. Alors on repère un axe. Qu’est-ce qui vous permet de savoir

55.30 Professeur
que c’est un axe parce que ?
55.35 Élève Il y a une flèche !
Il y a une flèche. Donc effectivement Ox, vous voyez il y a une

55.36
Professeur flèche, cela correspond à l’axe des abscisses.
50.42 Qu’est-ce qu’il y a comme autre axe ?
55.43 Élève Oc.t !
55.44 Professeur Alors Oc.t. euh, c ça représente quoi ?
55.48 Élève La vitesse de la lumière !
La vitesse de la lumière. Donc finalement sur l’axe Oc.t qu’est-

55.50 Professeur
ce qu’on va avoir comme information ?
55.53 Élève c fois t !
c fois t alors effectivement on aura c fois t mais finalement cela

55.55 Professeur
revient à avoir l’indication de …
55.59 Élève Une distance !
56.01 Professeur Alors effectivement cela correspond à une distance, mais …
56.06 Élève Un temps !
56.08 Professeur On va quand même pouvoir mesurer un temps, oui.

234
Alors d’ailleurs, est-ce que c’est tp que l’on va pouvoir

56.16
mesurer ?
56.22 Élève C’est une distance !
Alors ce serait quoi, d’ailleurs il y a une petite, peut-être une

56.24
petite erreur.
Professeur
56.30 Alors comme c’est l’axe Oc.t ce serait plutôt …
56.36 Non c’est tp mais multiplié par …
56.37 Élève c!
Voilà multiplié par c. vous corrigez vous mettez c multiplié par

56.38
tp. Il y a une petite erreur.
Mais finalement ça revient à, euh, mesurer quelque chose qui est

56.48
Professeur proportionnel à tp.
Alors comment fonctionne ce diagramme ? Comment est-ce

56.54 qu’on trouve une abscisse ? L’abscisse de E1, comment est-ce
que l’on trouve l’abscisse de E1 ?
57.04 Élève Avec la perpendiculaire !
Avec la perpendiculaire. Donc on prend la perpendiculaire à

57.05 Professeur l’axe Ox passant par E1. Comment est-ce que l’on trouve
l’ordonnée d’E1 ?
57.14 Élève On prend la perpendiculaire.
57.16 Professeur On prend la perpendiculaire à l’axe Oc.t passant par …
57.19 Élève E1 !
Passant par E1. La question, à l’aide du document 4 expliquer

57.20
Professeur comment voit-on que les muons sont fixes dans R ?
57.35 Pourquoi est-ce que les muons sont fixes dans R ?
57.36 Élève Parce qu’E1 et E2 ont la même abscisse !
57.39 Professeur C’est tout !

235
Ben oui, les muons sont fixes dans R. S’ils sont fixes dans R
57.48 donc ils sont à la même position. Donc ils vont avoir la même
abscisse et on le retrouve effectivement sur le schéma.
58.00 Ça vous permet quoi ce schéma, finalement ?
58.09 Élève À savoir …
Oui, mais sur cette question-là, le fait que ce soit à la même

58.10
abscisse çà vous permet de retrouver…
58.18 Non, c’est …

Professeur
Oui mais, par exemple le fait de dire que les muons sont
58.22 immobiles dans R. Ça c’est une phrase. Comment est-ce que cela
se traduit graphiquement ?
58.34 Élève Ils sont au même point au niveau de la ligne des abscisses.
Voilà, ils sont sur la même ligne, perpendiculaire au niveau de

58.35 Professeur l’axe des abscisses. Donc finalement, c’est une traduction de ce
qui a été dit avec une phrase. C’est la traduction …
58.45 Élève Graphique !
58.46 Graphique, c’est tout.
On peut passer à une autre question ? Alors après question 5, à

58.50
Professeur l’aide du document 5 que peut-on dire de t’m et tp ?
Alors le document 5, vous avez donc le document 5.1, 5.1 c’est

59.03
en rouge, c’est relatif au référentiel ?
59.12 Élève Du muon !
59.13 Professeur Du muon. 5.2. C’est en bleu, c’est le référentiel ?
59.18 Professeur 5.3 ?
59.20 Élève La synthèse des deux. La synthèse !
Vous avez la synthèse des deux. La question c’est que peut-on

59.21 Professeur
dire de t’m et tp ? Donc il faut utiliser quel document ?
236
59.29 Élève Le 3 !
59.31 Il faut utiliser le 3 parce qu’on va comparer les deux.

Professeur
59.35 Alors qu’est-ce qui change par rapport au document 4 ?
59.39 Élève Les ordonnées et les horloges !
Euh, alors, par rapport au document 4.3 euh oui, ce qui change
59.40 Professeur
c’est qu’il y a des …
59.45 Élève Des horloges !
Des horloges. Et les horloges vous les avez déjà vues dans le
59.47 Professeur
document ?
59.49 Élève Deux !
59.50 Deux.
Professeur Donc que peut-on dire de t’m et tp ? Donc ça revient à dire ? Il
1.00.12
faut comparer quoi ? Il faut comparer ?
1.00.20 Élève Les horloges !
Oui, alors vous pouvez soit utiliser les horloges effectivement

1.00.22
pour comparer t’m ou tp. Soit vous pouvez utiliser un triangle.
Regardez, vous avez E1, E2. Donc ça correspond à deux sommets

Professeur d’un triangle. Et puis donc avec E1 et E2 plus un autre point vous
1.00.33 allez former un triangle rectangle. Ou même deux triangles

rectangles, on peut former. Est-ce que vous voyez, les deux
triangles rectangles que l’on peut former ? À partir d’E1 et E2 ?
Oui ? t’m c’est la distance, sur ce schéma-là, entre E1 et E2.

Pour les triangles rectangles que vous avez vus, cela
1.00.55 Professeur
correspondrait à quoi mathématiquement, ça s’appelle
comment ?
1.01.11 Élève L’hypoténuse !
1.01.12 Professeur L’hypoténuse. Tout le monde est d’accord ? t’m ça

237
correspondrait à l’hypoténuse. tp ça serait quoi ?
1.01.23 Par rapport au triangle que vous avez vu ?
1.01.26 Élève Le côté !
1.01.27 Professeur Ça serait un …
1.01.28 Élève Un côté !
Et qu’est-ce que l’on sait sur la dimension d’un côté par rapport
1.01.30 Professeur
à l’hypoténuse ?
Elle est égale au carré, à la somme des … L’hypoténuse est

1.01.34 Élève
égale …
1.01.38 Professeur Oui, alors là tout ce qu’on demande c’est juste une comparaison.
1.01.40 Élève C’est plus petit !
C’est plus petit. Ça peut aussi vous aider. Soit vous pouvez
1.01.41 Professeur utiliser les horloges, soit vous pouvez utiliser, ben finalement ce
qu’il se passe au niveau d’un triangle ?
1.01.54 Élève Monsieur ? C’est quoi les différents triangles rectangles ?
Alors vous avez E1, E2. Vous avez déjà deux sommets et puis il
1.01.57
y en a un troisième. Et vous avez un triangle rectangle.
Professeur Ah ben, c’est à vous de trouver. Alors il y en a un soit un peu
1.02.05 plus à gauche, soit un peu plus à droite. Vous avez deux triangles
rectangles.
1.02.13 Élève C’est ça en fait ?
1.02.15 Ben oui, vous avez celui-là ou vous avez celui-là aussi.
Professeur Là vous avez l’hypoténuse, et puis là vous avez un côté ou alors
1.02.20
sur celui-là vous avez l’hypoténuse ici, là vous avez le côté.
1.02.25 Élève D’accord !
Là ici vous avez un premier triangle rectangle, ou alors il y en a

1.02.29 Professeur
un aussi ici. Vous les voyez ?
238
1.02.33 Élève Oui, oui, d’accord !
Ici, alors heu ici, cette distance-là c’est celle-là. Ça, ça

1.02.40 Professeur
correspond à l’hypoténuse. Et là ça correspond à un côté.
Et après il suffit de comparer la distance d’un côté avec la

1.02.48
Professeur distance de l’hypoténuse. On peut aussi utiliser les horloges.
1.02.58 Vous avez vu le triangle rectangle ?
1.02.59 Oui, oui !

Élève
1.03.56 Il y a juste à expliquer que …
La question c’est juste que peut-on dire, euh que peut-on dire, de
1.03.08 Professeur
t’m et tp. Il faut juste les comparer. C’est tout.
1.03.19 Élève tp c’est plus petit que t’m.
1.03.20 Professeur Oui, c’est tout !
1.03.25 Élève tp c’est plus petit que t’m. C’est ce que je viens de dire !
1.03.28 Ben oui !

Professeur
1.03.32 Alors pourquoi delta ? Delta, ça correspond à une ?
1.03.34 Élève Durée !
Durée. Chaque fois qu’on a une durée, c’est une différence.

C’est un temps après moins un temps avant. Le delta vous l’avez
déjà vu l’année dernière avec l’énergie cinétique. Delta Ec. C’est
la variation de l’énergie cinétique. C’était l’énergie cinétique
1.03.35 Professeur après moins l’énergie cinétique avant. Donc quand on mesure
une durée c’est toujours un delta t. c’est le temps après moins le
temps avant. Pour avoir la durée d’un cours, il faut connaitre la
fin du cours moins le début du cours. Vous aurez la durée du
cours.
Comment on sait que tp c’est plus petit que t’m ? Parce que
1.04.02 Élève
l’hypoténuse …
239
Ben, vous le voyez. tp ça correspond au côté et là c’est

1.04.08 Professeur l’hypoténuse. Vous le savez depuis très longtemps. Depuis
l’école primaire que l’hypoténuse est plus grande que le côté.
1.04.26 Élève Ah d’accord !
Disons que là vous le voyez, c’est tout. Vous le voyez. Qu’est-ce

1.04.27 Professeur que … A l’école primaire, vous auriez fait quoi ? Vous auriez
pris la règle, vous auriez mesuré.
Mais là vous savez que chaque fois que vous avez un triangle, de
1.04.38 Professeur
toute façon l’hypoténuse sera toujours plus grande qu’un côté.
Sinon vous pouvez utiliser les indications des horloges. Vous

avez l’horloge, les deux horloges pour t’m et puis l’horloge
1.04.48 Professeur pour tp. Il suffit de regarder les indications. Est-ce qu’à partir
des horloges, vous vous apercevez du même résultat qu’avec le
triangle rectangle ?
1.05.08 Oui !
Élève
1.05.15 Ben si, la différence avec tp est plus petite qu’avec …
1.05.20 Professeur Oui, oui, oui, mais …
Il y a une horloge qui montre à peu près, on va dire, admettons

1.05.22 c’est midi, pour tp elle montre à peu près midi et l’autre horloge
Élève
elle montre à peu près 10.
1.05.04 Tandis que pour t’m c’est midi et puis 15, du coup.
1.05.06 Professeur Oui, donc ce n’est pas la même durée.
1.05.07 Élève tp est plus petit que t’m.
Allez, vous rédigez cela et puis on va passer donc question

1.05.48 Professeur
suivante.
1.05.53 Élève On considère lequel le triangle ?

240
Ah, ben soit vous pouvez utiliser les horloges qui sont
1.05.58 Professeur
indiquées …
1.06.02 Élève Oui, mais par rapport au triangle ?
Soit vous pouvez avoir celui-là. Là vous avez un triangle

1.06.05 Professeur
rectangle qui est ici.
1.06.08 Élève Et l’hypoténuse !
Ah, non, non, l’hypoténuse c’est ça. Cette distance-là, vous

1.06.12 Professeur
l’avez là.
1.06.15 Élève Ah, ok, d’accord.
2.00.01 Professeur Et là vous avez le côté.
2.00.05 Élève Ah, d’accord. Je m’étais trompé avec les couleurs.
2.00.10 Professeur Vous pouvez prendre l’autre aussi. Ici, c’est ce côté-là.
2.00.15 Élève C’est les couleurs qui me perturbent.
C’est les couleurs qui vous perturbent ? Effectivement, oui c’est

2.00.21 vrai t’m c’est en bleu et là, il y a quelque chose en rouge.
D’accord, oui, oui.
Professeur Allez, on passe à l’exploitation du document maintenant. Petit
1 : à l’aide du document 1, indiquez quel paramètre influence la

2.00.32
durée de vie des muons dans R’ par rapport à la durée de vie des
muons dans R. On en a un peu parlé tout à l’heure.
C’est la vitesse … ça c’est lorsqu’on se rapproche de la vitesse

2.00.47 Élève
de la lumière.
Donc à l’aide du document 1, indiquez quel paramètre influence

2.00.52 la durée de vie des muons dans R’ par rapport à la durée de vie
des muons dans R.
Professeur
Dans la vie de tous les jours, ce qui nous entoure, donc lorsqu’on
prend le train, l’avion, ben finalement ce qu’on observe ça ne
2.01.23
correspond pas à ce que l’on voit dans ce document parce que
dans ce document il y a une condition inhabituelle qui fait que
241
on n’a pas les mêmes, on n’a pas les mêmes durées de vie.
Et c’est cette condition inhabituelle qui fait que les durées de vie
2.01.47
sont différentes.
S’il y a quelqu’un tout le long de sa vie qui prend l’avion donc

2.01.57 Élève tout le temps tout le temps tout le temps à la fin de sa vie sa
montre elle aura un écart avec la nôtre.
2.02.04 Professeur Ben ça dépend, il faudrait calculer le gamma mais …
2.02.12 Élève Avec les décalages horaires et tout …
Ah le décalage horaire c’est autre chose, mais en fait il faudrait

calculer le gamma, ce qui va compter c’est … parce que si vous
avez une vitesse très faible par rapport à la vitesse de la lumière
2.02.16 Professeur vous allez avoir un gamma qui va être proche de 1 donc vous
pouvez calculer. Vous calculerez, si on a une vitesse de 3000
km/h ça ne correspond pas à la vitesse d’un avion on va dire
1000, 1000 km/h c’est 1000 km/h à comparer à 300000 km par ?
2.02.42 Élève Seconde !
Seconde. Vous allez trouver le gamma. Vous allez trouver le

décalage. Alors il existe un décalage, mais il est tellement infime
2.02.43 Professeur
que ça correspond à la précision de vos montres. Vous êtes bien
en dessous de la précision des montres.
2.02.56 Élève Quand on multiplie par une vie entière ?
2.03.01 Professeur Faites le calcul !
Ça veut dire que par exemple s’il y avait une civilisation sur une
2.03.04 Élève autre planète et que la distance entre notre planète et la leur elle
était supérieure à la vitesse de la lumière ça veut dire que …
Attendez, une distance ne peut pas être supérieure à la vitesse de

2.03.12 Professeur la lumière, ce n’est pas la même chose distance et vitesse de la
lumière.
La vitesse de la lumière elle mettrait beaucoup de temps. Enfin

2.03.15 Élève
la lumière elle mettrait énormément de temps à arriver sur une
242
planète ça veut dire qu’on les verrait plus vieux qu’ils ne le sont.
On les verrait en fait non, par exemple eux ils seront à une
époque plus ancienne, enfin …
Alors, il suffit de, d’imaginer que vous êtes dans une navette
spatiale et puis, euh, vous partez à une vitesse proche de celle de
2.03.33 Professeur
la lumière. Donc quand vous avez une minute pour vous, sur la
Terre ça va être ?
2.03.48 Élève Une minute et demie !
2.03.49 Une minute et demie, un an …
Donc finalement le temps ne va pas se passer de la même façon

Professeur
2.03.52 entre vous qui êtes dans une navette spatiale et puis peut-être
votre frère, votre sœur qui est resté sur Terre.
Ça veut dire que si on va très très loin avec une navette spatiale
2.04.01 Élève
on verra ben. La planète des singes ?
Mais c'est-à-dire qu’il faut partir et il faut revenir. Mais peut-être

qu’un voyage de deux ans dans la navette spatiale pour vous, ça
2.04.09 Professeur
va correspondre à 20 ans, 30 ans, 40 ans ou plus sur la Terre. Ce
qui dépend c’est quoi. Quel est le paramètre qui va dépendre ?
2.04.24 Élève La vitesse !
La vitesse que vous allez avoir. Si vous avez une vitesse faible
par rapport à la vitesse de la lumière, il y aura peu, il n’y aura
2.04.25 Professeur
pas de différences. Par contre si vous avez une vitesse élevée …
oui.
2.04.32 Élève On pourrait faire reculer le temps ou …
Non, là non, là non. Là, on ne peut pas avoir le temps qui recule.
2.04.34 Professeur
On peut juste avoir un temps qui s’écoule ?
2.04.42 Élève Moins vite !
2.04.43 Moins vite.

Professeur
2.04.44 Mais on ne revient pas en arrière.
243
Même en étant à une vitesse bien supérieure à la vitesse de la

2.04.46 Élève
lumière ?
On en parlera peut-être une autre fois. En fait pour reculer le

2.04.49 Professeur temps, il faut se déplacer à une vitesse plus élevée que celle de la
lumière.
2.04.58 Élève Ben ça a été, il y a une expérience … les positrons …
C’est … pour le moment la théorie dit que pour remonter le

temps, il faudrait se déplacer à une vitesse plus élevée que celle
2.05.04
de la lumière or on sait que pour le moment ce n’est pas
Professeur
possible, donc …
C’est bon ? Alors, question 2. Est-ce que tout le monde a vu

2.05.17
donc le paramètre pertinent ? Oui, tout le monde a vu ?
2.05.28 Élève Ben c’est la vitesse à laquelle les muons …
2.05.30 Oui, ça correspond à ça.
Question 2. Calculer gamma en utilisant le document 2 pour

v’=0,992.c. En déduire la relation entre t’m et tp. Donc
2.05.35 calculer gamma en utilisant le document 2, pour v’=0,992.c. En
Professeur
déduire la relation entre t’m et tp. Alors avant, est-ce que vous
avez besoin de la valeur de c ?
2.06.03 (Au tableau) v’ égal 0,992.c. v’ vous allez le mettre au carré. v’

au carré, c’est quoi. C’est 0,992 au carré fois …
2.06.13 Élève c au carré !
2.06.14 Professeur Fois c au carré. Or, c’est déjà divisé par c au carré.
2.06.18 Élève Donc, ça fait 0,992 sur 1.
Faites attention il faut le mettre au carré. Donc lorsque je mets v’

au carré c’est 0,992 au carré fois c au carré et puis voyez que
2.06.20 Professeur vous allez avoir les c qui, les c au carré qui vont se simplifier.
Donc finalement vous allez pouvoir trouver gamma comme cela
sans avoir besoin de la valeur de c.
244
Et après on vous demande, en déduire la relation entre t’m et

2.06.45
tp.
Monsieur vous pouvez réexpliquer pourquoi la relation est

2.06.55 Élève
multipliée par c carré ?
Quand vous avez, euh 4, c’est deux fois deux. Quatre c’est deux
fois deux. Quatre au carré c’est deux au carré fois deux au carré.
OK ? Donc, v’ c’est 0,992 fois c. Donc v’ au carré c’est 0,992 au
2.06.59 Professeur carré fois c au carré. Or dans la formule, de gamma c’est 1 divisé
par racine d’un moins v’ au carré sur c au carré. Et vous avez c
au carré, donc on simplifie par c au carré. Donc finalement, on a
besoin uniquement que 0,992 au carré.
2.08.04 Élève T’as combien ? 9,88 9,84 10 puissance moins un.
2.08.16 Professeur Donc après il faut trouver gamma.
2.09.00 Élève 7 virgule 92. Ouais 91. C’est en quoi gamma ?
Est-ce qu’il y a une unité pour gamma ? Là vous avez une

2.09.09 Professeur vitesse divisée par une vitesse donc il n’y a pas d’unité donc
finalement pour gamma il n’y a pas d’unité.
2.09.20 Élève Moi je n’ai pas arrondi non plus …
Et donc vous en déduisez la relation entre t’m et tp connaissant

2.09.29
Professeur gamma.
2.09.46 v’ c’est la vitesse, alors c’est de quelle couleur ?
2.09.48 Élève Bleu !
Bleu, donc c’est la vitesse de … par rapport à ? Si c’est bleu

2.09.49 Professeur
c’est par rapport au référentiel ?
2.09.56 Élève Terrestre !
2.09.57 Professeur Terrestre. Donc c’est la vitesse du ?
2.09.58 Élève Ah ? Du muon !
2.09.59 Professeur Du muon par rapport … au référentiel terrestre. Donc lorsque

245
vous avez trouvé gamma vous mettez la relation entre t’m et

tp. C’est marqué sur le document 2, vous avez la relation.
2.10.14 Élève C’est t’m = gamma fois …
2.10.16 Professeur Oui, donc vous remplacez gamma par la valeur numérique.
2.10.18 Élève C’est tout ?
2.10.20 Ben oui, pour cette question-là !
Mais ça vous permet de trouver gamma pour une certaine

Professeur
2.10.25 vitesse. Vous vous apercevez que gamma n’est pas, euh, n’est
pas égal à un. Alors vous avez trouvé combien pour gamma ?
2.10.34 Élève 7,92 !
7,92. Si vous avez une minute pour le muon ça fait combien de

2.10.35 Professeur
minutes pour le référentiel terrestre ?
2.10.43 Élève 7,92 euh …
2.10.44 Professeur D’accord !
2.10.45 Élève Ce n’est pas possible.
Ben si. Si le muon, y’a une minute. Alors ce n’est pas possible,
2.10.46
pourquoi ce ne serait pas possible ?
Alors ce n’est pas possible parce que le muon se serait

Professeur
désintégré bien avant. Alors on va prendre quelque chose, euh,
2.10.56
on va prendre une microseconde. Une microseconde pour le
muon ça fait donc ?
2.11.06 Élève 7,92 !
2.11.07 7,92 microsecondes pour la Terre.
Le temps s’écoule plus vite ou moins vite par rapport au

Professeur
2.11.15 référentiel sur la Terre, par rapport au muon ? 1 microseconde
pour le muon ça correspond à 7,92 microsecondes pour la Terre.
2.11.26 Élève Ça va moins vite !

246
Donc voyez, le temps s’écoule moins vite sur Terre. Sur le

référentiel terrestre par rapport au référentiel du muon. Tout le
monde a compris ? Une microseconde pour le muon ça
2.11.27 Professeur correspond à 7,92 microsecondes pour la Terre. Donc les, le
temps s’écoule moins vite sur Terre, sur le référentiel terrestre
par rapport au référentiel du muon. Pourquoi ? Parce que la
vitesse du muon est ?
2.11.56 Élève Est presque égale à la vitesse de la lumière.
Est proche de la vitesse de la lumière. C’est pour cela qu’il y a

2.11.57 Professeur cet effet-là. Si la vitesse du muon avait été très petite par rapport
à la vitesse de la lumière, est-ce qu’il y aurait eu une différence ?
2.12.07 Élève Ben non !
2.12.08 Non, on n’aurait pas vu de différence.
Question suivante. A partir du document 3, calculer t’-t’0

connaissant la valeur numérique de v’ et l’altitude du mont
Professeur Washington. En déduire la valeur numérique de ’ en utilisant
2.12.11
l’expression suivante ’ = (t’-t’0) / ln N0/N(t’). Retrouver que ’
est égal à 9 fois . Alors on va essayer de retrouver à quoi
correspondent les différentes valeurs. N0 ce serait quoi ?
2.12.46 Professeur (Au tableau) N0.
2.12.47 Élève C’est le nombre de muons.
2.12.48 Professeur Nombre de muons détectés !
2.12.50 Élève Au temps zéro.
Au temps zéro, oui. Alors là ça serait quoi ? Ce serait quelle

2.12.53
Professeur valeur ? Puisqu’il faut une valeur numérique.
2.13.07 Alors N(t’), N(t’) ce serait le nombre de muons détectés …
2.13.13 Élève Dans le référentiel terrestre !
2.13.14 Professeur Oui mais par rapport à N0 c’est un peu …

247
2.13.17 Élève Plus tard.
2.13.19 Professeur Un peu plus tard donc il va être comment ce nombre ?
2.13.22 Élève Plus grand. Un peu grand !
Plus petit. Bon, alors dans le document 3 vous en avez combien

2.13.23 Professeur
de valeurs numériques. Il n’y en a pas beaucoup.
2.13.29 Élève Y’a 563. No c’est 563 !
2.13.31 Professeur Voilà No c’est 563 et N(t’) ?
2.13.36 Élève 408 !
408. Bon, on a déjà deux valeurs numériques. t-t’ alors, pardon.

2.13.37 Professeur
t’0- … je reprends t’ – t’0, j’y arrive, t’ – t’0 c’est la durée ...
2.13.45 Élève C’est t. t’ !
2.13.55 Professeur Oui, mais c’est la durée de parcours du muon.
2.14.00 Élève Entre. Ben entre No et … entre 408 et 563.
2.14.06 Professeur Ah, ce n’est pas entre 408 …
2.14.07 Élève Entre le mont Washington et …
2.14.08 Professeur Entre le mont Washington et …
2.14.09 Élève Cambridge. Et le niveau de la mer !
2.14.12 Professeur Et le niveau de la mer. Y a quelle altitude ?
2.14.13 Élève 1907 m !
Donc on a 1907 m parcourus à la vitesse, quelle est la vitesse des

2.14.16 Professeur
muons ?
2.14.29 Élève 0,992 …
(Écrit au tableau) 0,992 fois c pendant la durée. Cette durée

2.14.32
Professeur c’est ?
2.14.49 C’est représenté comment ?
2.14.51 Élève tm2 t’m …

248
2.14.55 Professeur Sur la …, ce qu’on vous demande de calculer …
2.14.58 Élève C’est en bleu !
C’est en bleu. Oui, ça c’est bien c’est en bleu. Regardez la

question : A partir du document 3 calculez t’-t’o connaissant la
valeur numérique de v’ et l’altitude du mont Washington. En
2.15.01 Professeur
déduire la valeur numérique de ’ en utilisant l’expression
suivante : ’ = (t’-t’0) / ln N0/N(t’). Donc qu’est-ce qu’on calcule
là ? C’est la durée …
2.15.23 Élève t-t0 …, t’-t’0.
2.15.28 Professeur Voilà t’-t’0.
2.15.30 Élève Moins t’0 ?
En fait, on mesure une durée. Alors comment est-ce que l’on va

2.15.37 Professeur
trouver t’-t’0 ? … La vitesse est égale à quoi ?
2.15.40 Élève La distance divisée par …
La vitesse c’est la distance divisée par le temps. Donc 0,992 fois

2.15.47 Professeur
c c’est égal à ? La distance …
2.15.56 Élève d 1907 m !
2.15.57 Professeur 1907 divisé par
2.16.02 Élève t moins … t’-t’0
2.16.03 Professeur t’-t’0.
2.16.07 Élève Ça fait 1907 divisé par 0,992.
(Écrit au tableau) Alors 1907 oui divisé par 0,992. Est-ce qu’on
2.16.09 a besoin de la valeur de c maintenant ? Oui ? Donc je vais
prendre 3,00.108 ça va être égal à t’-t’0.
Professeur Donc t’-t’0 c’est la durée de parcours des muons entre l’altitude
de 1907 m et l’altitude 0 et les muons se déplacent à 0,992 fois
2.16.35
la vitesse de la lumière. Est-ce que l’on va avoir une valeur
grande ou petite ?
249
2.16.53 Élève Petite !
2.16.54 Professeur Petite pourquoi parce que les muons se déplacent ?
2.16.56 Élève Très vite !
2.16.58 Professeur Très vite. La durée de vie c’est de l’ordre de la …
2.17.00 Élève Microseconde !
Microseconde. Donc est-ce que l’on va trouver un temps plus

2.17.01 Professeur
grand que la microseconde ?
2.17.05 Élève Non !
Ben non, cela va être de l’ordre de grandeur de la

2.17.06 Professeur
microseconde… Alors vous trouvez combien ?
2.17.12 Élève 6,4.10 puissance …
2.17.15 Professeur 6,4.10 moins six secondes donc en microseconde ça fait ?
2.17.26 Élève 6,4 !
6,4 microsecondes. Alors est-ce que vous avez un chiffre de plus

2.17.27 Professeur
après le 4 c’est combien ?
2.17.31 Élève Si on arrondit, c’est un un.
Donc ça fait 6,41 microsecondes. Donc vous voyez que les

muons mettent 6,41 µs pour parcourir 1907 m. Du moment
qu’ils ne se soient pas désintégrés bien sûr. C’est un muon qui ne
2.17.35 Professeur s’est pas désintégré, il va parcourir cette distance. Donc ensuite,
ben, il suffit juste de faire l’application numérique. Donc ’ ca va
être égal à 6,41 divisé par ln de 563 sur 408. J’ai laissé 6,41 en
microsecondes, ça veut dire que ’ on va le trouver en ?
2.18.21 Élève En microsecondes !
En microseconde. ’ C’est de quelle couleur, je vais le garder ce

2.18.22 Professeur
cette couleur ?
2.18.24 Élève En rouge … en bleu !

250
En bleu donc on va trouver la … la durée de vie dans le

2.18.27 Professeur
référentiel ?
2.18.30 Terrestre.
Professeur
2.18.59 19,9 ? … Alors 19,9 c’est en quelle unité ?
2.19.12 Élève Microseconde !
Microseconde. C’est à comparer avec la …, ça c’est la durée de

2.19.13 Professeur
vie du muon dans le référentiel ?
Terrestre. La durée de vie du muon dans le référentiel du muon

2.19.21 Professeur
c’est combien ?
2.19.28 Élève 2,21 !
Alors 2,21 microsecondes. Est-ce que c’est normal ce qu’on

2.19.29 Professeur
observe ? Qu’est-ce qu’on a dit ?
2.19.34 Élève Ben que la durée de vie augmentait.
La durée de vie augmentait, pourquoi ? Parce que le temps

s’écoule … moins vite dans le référentiel … terrestre que dans le
2.19.38
Professeur référentiel du muon. Alors lorsqu’on fait ’ divisé par  … donc
’ divisé par  …
2.20.02 Donc c’est égal à 19,9 divisé par 2,21 ça fait …
2.20.07 Élève 9,00 !
2.20.08 9,00.
Professeur
2.20.13 Donc on voit que ’ c’est égal à 9,00 ...
2.20.21 Élève !
2.20.22 Fois .
Professeur
On aurait dû trouver combien en se servant des documents, des
2.20.26
questions précédentes ? On aurait dû trouver quoi à la place de
251
9 ? Là le 9, c’est la valeur de quoi, que vous avez calculé juste

avant ?
2.20.36 Élève !
C’est la valeur de gamma. Tout à l’heure vous avez trouvé

2.20.37 Professeur
combien pour gamma ?
2.20.39 Élève 7,92 !
7.92. Alors 7,92 et 9 ce n’est pas tout à fait pareil. C’est à peu
2.20.40 Professeur près le même ordre de grandeur. Mais qu’est-ce qui a été fait en
plus dans ce document-là ?
2.20.50 Élève La distance !
Alors y’a la distance qui effectivement qui est … oui mais le

2.20.52 Professeur document 3 c’est quoi ? … Est-ce que c’est de la théorie, est-ce
que c’est … ?
2.21.02 Élève C’est de la théorie. C’est une expérience !
C’est une expérience. Effectivement la théorie prévoit que mais

c’est quand même une expérience. 563 comptages par heure. 408
2.21.04 Professeur
comptages par heure. Donc à côté d’une expérience qu’est-ce qui
est associé bien souvent ?
2.21.13 Élève Une marge d’erreur !
Une marge d’erreur. Donc que peut être qu’à la marge d’erreur
près on trouve à peu près la même chose. Ce qui manque, ce qui
manque ici effectivement, c’est ?... Quelle est la marge d’erreur
2.21.14
qui est associée à … aux valeurs 563 et 408 parce que peut être
Professeur 563 et 408 c’est à plus ou moins 10%. On ne sait pas. Il n’y a pas
la précision.
Question 4. A partir du document 4, montrer que la création et la

2.21.45 détection du muon ne se déroulent pas au même endroit dans
R’... Donc il faut utiliser quel document ?
2.21.58 Élève 4.2 !

252
2.22.00 Professeur 4.2. On peut aussi utiliser ?
2.22.02 Élève 4.3 !
4.3 donc on va utiliser 4.2 puisqu’avec 4.2 on voit uniquement

ce qui se passe dans le référentiel R’. Pourquoi la création et la
2.22.03 Professeur
détection des muons ne se passent pas au même endroit dans
R’ ?
2.22.15 Élève Parce que la droite E1E2 … parce qu’il est immobile !
2.22.21 Professeur Il est immobile oui, mais, euh …
2.22.23 Élève Si d’ est perpendiculaire à …
Alors l’explication c’est tout bête. On est dans le référentiel

2.22.25 Professeur
terrestre. La création c’est où ?
2.22.31 Élève En l’air. En surface …
2.22.32 Professeur Haute atmosphère, la détection ?
2.22.33 Élève Surface de la Terre !
Surface de la Terre donc ce n’est pas au même endroit. Bon,

2.22.35 Professeur graphiquement on le voit comment que ce n’est pas au même
endroit ?
2.22.40 Élève Ils n’ont pas la même abscisse.
Ils n’ont pas la même abscisse. Lorsque vous regardez l’abscisse

2.22.41 Professeur d’E1 et l’abscisse d’E2 ce n’est pas la même chose. Comment
est-ce qu’on voit l’abscisse ?
2.22.48 Élève En traçant la perpendiculaire !
En traçant la perpendiculaire donc la perpendiculaire de E1,

pardon, la perpendiculaire à Ox’ passant par E1 ça va vous
2.22.50
donner l’abscisse de … E1. Et la perpendiculaire de Ox’ passant
Professeur
par E2 ça donnera … l’abscisse de E2.
La question c’est à partir du document 4 montrer que la création

2.23.16
et la détection du muon ne se déroule pas au même endroit dans
253
R’.
2.23.25 Élève Ben on dit qu’ils n’ont pas la même abscisse.
On peut soit le traduire par une phrase soit le traduire

2.23.36 Professeur
graphiquement. Ça ce que vous voyez c’est la traduction …
2.23.42 Élève Graphique !
Graphique de la phrase… La phrase ça serait quoi, euh, les

muons sont créés dans la haute atmosphère, ils sont détectés à la
2.23.43 Professeur
surface de la Terre. Ce n’est pas au même endroit. Comment on
le voit graphiquement ?
2.24.00 Élève Ce n’est pas la même abscisse.
2.24.01 Professeur C’est tout !
2.24.25 Question 5.
2.24.42 Professeur A partir du document 5, expliquer pourquoi la durée entre la

création et la détection du muon est différente dans R et dans R’.
2.24.52 Élève C’est la … dans R’ …
Oui mais il faut utiliser le document 5 donc lequel 5.1, 5.2 ou

2.24.57 Professeur
5.3 ?
2.24.59 Élève 5.3 !
La question avant, la question 5 de la partie compréhension du

document, on vous demandait de comparer uniquement t’m et
tp. C’était juste quelque chose de graphique sans forcément
comprendre ce qu’il se passe. Rien qu’avec l’astuce du triangle
2.25.03 Professeur
rectangle, on voyait que c’était plus grand tandis que là on vous
demande d’expliquer pourquoi la durée entre la création et la
détection du muon est différente dans R et dans R’. Est-ce que
c’est si compliqué que cela ?
2.25.27 Élève Le repère il est différent !
2.25.31 Professeur Le repère, alors le référentiel est différent. La création ça

254
correspond à quel point ?
2.25.37 Élève E1 !
2.25.38 Professeur E1. La détection ?
2.25.39 Élève E2 !
La question 5 exploitation de document et la question 5

compréhension du document c’est quasiment la même chose
2.25.48 Professeur
sauf que dans la question 5 exploitation du document on vous
demande la durée entre la création et la détection.
2.26.00 Élève Ben ça dépend du référentiel… t’m est supérieur à tp.
2.26.11 Professeur Oui.
2.26.12 Élève On l’avait déjà marqué ça !
Vous l’avez déjà marqué, mais avant vous aviez juste comparé
des distances tandis que là ben vous savez ce qui se passe entre
2.26.13 Professeur la création et la détection. Ça revient finalement à dire la même
chose sauf que maintenant vous savez que E1 c’est la … création
et E2 … la détection.
2.26.33 Élève C’est marqué ça !
Oui, mais c’est un peu plus détaillé. C’est tout. Mais sinon le
2.26.34 Professeur
résultat est le même.
2.26.48 Élève On n’a pas compris ce qu’il faut répondre !
Pourquoi la durée entre la création et la détection du muon est

2.26.51 différente dans R et dans R’ ? C’est différent oui. Qu’est-ce que
vous savez des deux ?
Alors tp est plus petit que t’m oui ? Mais c’est pour la création
Professeur
et la détection du muon. Au début la question ici 5, c’est vrai que
les deux sont très, se ressemblent beaucoup. Le premier il
2.27.03
suffisait juste de dire que le côté est plus petit que l’hypoténuse
donc c’est plus grand sans forcément avoir compris ce qui se
passait tandis que là vous savez que E1 ça correspond à la
255
création E2 la détection. Mais c’est la même réponse finalement.
2.27.34 Élève Mais il faut expliquer pourquoi aussi !
Pourquoi entre la création et la détection c’est plus court dans,

2.27.48
euh, R que R’ ?
Oui, oui, ben oui, ben oui. Entre la création et la détection c’est,
2.27.55 Professeur le temps est plus court dans R que dans R’ parce que R’, c’est
quoi, c’est le référentiel ?
Terrestre et qu’est-ce qu’on a dit du temps dans le référentiel

2.28.07 Professeur
terrestre, il s’écoule plus …
2.28.11 Élève Lentement !
Lentement. Donc le temps est plus court dans le référentiel du

muon que dans le référentiel terrestre. Donc le temps entre la
2.28.12 Professeur
création et la détection du muon dans le référentiel du muon est
plus …
2.28.28 Élève Petit !
2.28.29 Professeur Petit dans le référentiel du …
2.28.30 Élève Muon, muon !
2.28.31 Je vous laisse terminer.
Alors question de synthèse. A l’aide de tous les documents mis à

disposition, expliquer pourquoi il est possible de détecter les
muons à la surface de la Terre avec une proportion largement
supérieure aux prévisions. Une réponse argumentée et justifiée
Professeur est souhaitée à l’aide de tous les documents qu’on a vu. Il faut
2.29.06
expliquer pourquoi finalement les muons qui normalement ont
un temps de vie de 2,21 s quand on fait le calcul n’auraient pas
dû être autant détectés à la surface de la Terre. Or on s’aperçoit
qu’on arrive à en détecter à la surface de la Terre. Donc avec
tout ce qu’on a vu expliquez pourquoi.
256
Ben voilà, vous utilisez tout ce qu’on vient de voir. Ça

correspond à un résumé de tous les documents, de tout ce qu’on
a vu. C’est ça le problème, le problème c’est vous avez un muon,
le muon le temps de vie c’est 2,21 s bon, il se déplace à une
2.29.43
certaine vitesse 0,992 fois la vitesse de la lumière et lorsqu’on
fait les calculs, ben, on ne devrait pas en détecter à la surface de
la Terre or on en détecte, pourquoi ? Qu’est-ce qu’il se passe ?
Et ça fait 1h30 qu’on répond à ça donc il faut faire le résumé.
2.30.25 Élève Ça va faire deux lignes le truc là !
Donc on a parlé du temps qui ne s’écoule pas de la même façon,

de gamma, etc. etc. donc on vous demande rien de plus c’est
2.30.28 juste reprendre tout ce qu’on a vu, relisez éventuellement les
questions précédentes que vous avez répondu, essayez de faire
une synthèse pour expliquer ce qu’il se passe.
Professeur Donc j’ai besoin du document vous mettrez votre nom dessus et
puis donc de la copie que vous avez remplie vous mettrez votre
2.35.35
nom aussi dessus que je voie la correspondance et puis ensuite
on va parler juste deux trois minutes de ce que vous avez fait.
Alors vite fait. Donc au niveau des documents, quels sont les
2.37.05
documents qui vous ont le plus gênés ?
2.37.11 Élève Ben ce sont les diagrammes !
2.37.12 Professeur Les diagrammes qui vous ont gênés ?
2.37.14 Élève Et les horloges !
2.37.15 Professeur Les horloges. Donc les horloges c’est quel document ?
2.37.18 Élève C’est le deux !
2.37.19 Professeur Le deux ? D’accord.
Ce n’est pas clair. On ne comprend pas. Ce n’est pas facile à

2.37.20 Élève
comprendre.
2.37.24 Professeur Lequel le deux ?

257
2.37.25 Élève L’horloge H devant l’horloge H.
2.37.28 Professeur D’accord !
Et il y a marqué. On ne voit pas, sur la feuille on ne voit pas que

2.37.29 Élève
c’est un changement de situation en fait.
2.37.35 Professeur D’accord.
Ils devraient mettre en dessous changement de position ou le lieu

2.37.36 Élève
x et le lieu x1. Parce que du coup on ne fait pas attention.
2.37.45 Professeur D’accord. Les diagrammes vous avez vu l’intérêt ou pas ?
2.37.46 Élève Oui. Après plein d’explications.
2.37.51 Professeur Après plein d’explications.
2.37.52 Élève Avec les triangles ça permet de bien de voir les différences.
2.37.53 Professeur Les triangles ça permet bien …
2.37.54 Élève Pour voir la relation qu’il y a entre t’ et m et tp.
Qu’est-ce que vous pensez des couleurs ? Est-ce que ça vous a

2.38.01 Professeur
aidé pour comprendre ?
Oui. Oui c’est pratique. Oui car noir et blanc ça aurait été un peu
2.38.04 Élève
pénible. Très pénible.
2.38.10 Professeur D’accord. S’il y avait des documents à sortir, ça serait lesquels ?
2.38.13 Élève Deux. Ils ne seraient pas à sortir, mais à simplifier peut-être.
2.38.15 Professeur Deux et cinq ?
Ils seraient à simplifier peut-être. Le tableau du deux serait à

2.38.18
Élève plus expliquer.
2.38.25 Le cinq !
2.38.26 Professeur Le cinq vous ne comprenez pas ?
2.38.27 Élève Ah non. C’est l’histoire des triangles.
2.38.30 Professeur L’histoire des triangles …

258
En fait c’est à peu près. En fait il faudrait juste les, … mieux les
2.38.32 Élève
expliquer. Ça va les triangles, ça va encore.
2.38.39 Professeur D’accord.
2.38.40 Élève Ça ne serait pas forcement les supprimer.
2.38.43 Professeur Comment vous avez trouvé cette activité ?
2.38.44 Élève Intéressant. Sympathique. Différent. C’était intéressant.
2.38.46 Professeur Alors ce n’est pas ce qu’on fait d’habitude.
2.38.48 Élève On préfère nos TP. Un peu déroutant.
2.38.50 Professeur Un peu déroutant …
2.38.52 Élève On n’a rien à manipuler ce n’est pas drôle !
2.38.55 Professeur D’accord, bon ben je vous remercie.
Seconde activité pilote donnée aux élèves
Activité relativité
Une route horizontale comporte trois dispositifs émettant des flashs lumineux afin de repérer
un danger.
Daniel est immobile sur le côté de la route qui peut être modélisée par une droite Ox orientée.
Une voiture conduite par Armineh, se déplaçant à une vitesse de + 0,8.c, passe sur la route à
côté de Daniel et se dirige vers les dispositifs lumineux.
L’origine des dates et des positions correspond à l’événement pour lequel Daniel et Armineh
se trouvent à la même abscisse. En se plaçant dans le référentiel de Daniel, les deux premiers
dispositifs notés S1 et S2 se trouvent à + 3 mètres de Daniel et le troisième, noté S3, se trouve à
+ 9 mètres de lui.
S1 émet un flash au bout de 10 ns, S2 au bout de 23 ns et S3 au bout de 27 ns.

259
1. Pourquoi est-il impossible de fabriquer un dispositif permettant de déclencher le

flash S3 4 ns après le déclenchement du flash S2 ?
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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Quelle est la durée entre l’émission du flash de S2 et du flash de S1 dans le

référentiel associé à Daniel ? Dans le référentiel associé à Armineh ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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260
t’ = .t
Relation entre durée propre t et durée impropre t’
c.t
(en ns.c)
c.t’
(en ns.c)
x = c.t
x’
10
x
1 (en m)
Diagramme de Minkowski de la situation

261
c.t
(en ns.c)
c.t’
(en ns.c)
x = c.t
10
10
10
x’
1 (en m)
1
x
(en m)
Diagramme de Loedel de la situation

262
Correction de la seconde activité donnée aux élèves
Correction de l’activité relativité
un danger.
Une voiture conduite par Armineh, se déplaçant à une vitesse de + 0,8.c, passe sur la route à
côté de Daniel et se dirige vers les dispositifs lumineux.
L’origine des dates et des positions correspond à l’événement pour lequel Daniel et Armineh
se trouvent à la même abscisse. En se plaçant dans le référentiel de Daniel, les deux premiers
+ 9 mètres de lui.
S1 émet un flash au bout de 10 ns, S2 au bout de 23 ns et S3 au bout de 27 ns.
1. Pourquoi est-il impossible de fabriquer un dispositif permettant de déclencher le

flash S3 4 ns après le déclenchement du flash S2 ?
Si S3 se déclenche après S2 grâce à un dispositif adéquat utilisant un signal on devrait avoir :
dE 3 E 2 6
V signal  t  t   15 . 10 8 m.s  1  c
3 2 4 . 10  9
C’est impossible.
Ou
Dans les diagrammes Minkowski et de Loedel, la pente de la droite E2E3 est plus petite que
celle de la droite d’équation x = c.t, d’où la vitesse v du signal pour passer de l’événement E2
à l’événement E3, dans les référentiels liés à Daniel ou à Armineh, doit vérifier v > c. C’est
impossible (E3 se trouve en dehors du cône de lumière lié à l’événement E2).

t2-t1 = 2,3.10-8 – 1,0.10-8 = 1,3.10-8 s. C’est une durée propre dans le référentiel associé à
Daniel (deux événements au même endroit et mesurés par une même horloge immobile).
263
1
  1,7
1  2
t’2-t’1 = .(t2-t1) = 1,7  1,3.10-8 s = 2,2.10-8 s dans le référentiel associé à Armineh.
Ou
t’2-t’1 = 2,5.10-8 – 3,3.10-9 = 2,2.10-8 s dans le référentiel associé à Armineh à partir d’une
lecture graphique.

t3-t2 = 2,7.10-8 – 2,3.10-8 = 0,4.10-8 s dans le référentiel associé à Daniel.
t’3-t’2 = 4,7.10-9 – 2,5.10-8 = -2,0.10-8 s dans le référentiel associé à Armineh par une

264
c.t (en ns.c)
26,7
c.t’
23 (en ns.c)
25,3
x = c.t
E2
10
4,7
3,3 E3
- 4,3
x’
1 4,3
(en m)
x
(en m)
E1 : x1 = 3 m, c.t1 = 3 m, t1 = 1,0.10-8 s et x’1 = 1 m, c.t’1 = 1 m, t’1 = 3,3.10-9 s.
E2 : x2 = 3 m, c.t2 = 6,9 m, t2 = 2,3.10-8 s et x’2 = - 4,3 m, c.t’2 = 7,6 m, t’2 = 2,5.10-8 s.
E3 : x3 = 9 m, c.t3 = 8 m, t3 = 2,7.10-8 s et x’3 = 4,3 m, c.t’3 = 1,4 m, t’3 = 4,7.10-9 s.

265
Marqueurs de la seconde activité pilote
1. Marqueurs en relation avec les difficultés des élèves
Des marqueurs illustrant les difficultés des élèves sont analysés dans le corpus. Ils ont été
inférés après une première lecture du corpus retranscrit. Six marqueurs ont été répertoriés et
ont été associés à un code commençant par D :
- Les difficultés en relation avec la technique (codées DT) permettent de visualiser la

mauvaise utilisation des outils graphiques (tracé simple, pentes) ou des outils mathématiques :
Nous voyons ci-après la réponse fausse d’un élève suite à la question du professeur sur une
construction dans le diagramme de Loedel. La bonne réponse attendue était : « on prend la
parallèle à l’axe c.t passant par x = 3m ».
A2 Bon, comment est-ce que l’on trace toutes les positions qui sont
QT Professeur
35.30(2) égales à 3 m ?
A2
DT Élève C’est la perpendiculaire à c.t.
35.42
266
- Les difficultés langagières (codées DL) illustrent un blocage langagier et sont bien souvent
synonymes de propos qui manquent de précision ou de rigueur :
Nous voyons ici un exemple pour lequel l’élève a des difficultés pour expliquer que deux
évènements ont la même position.
A4 C’est le même que l’autre. Alors est-ce que c’est normal ou

QIR2 Professeur
02.54 pas ?
A4
DL Élève Oui on n’a pas de mètres ! De distance !
02.56
A4 Non. Alors on n’a pas de mètres, on n’a pas de distances qu’est-

QL Professeur
02.59 ce que vous voulez dire ?
A4
DL Élève Ben on n’a pas de x quoi, le x = 0 !
03.05
A4
RIR2 Élève C’est la même position !
03.13
- Les difficultés conceptuelles (codées DC) montrent la difficulté à utiliser de nouveaux

concepts :
Ici c’est un exemple de difficulté conceptuelle pour un élève qui n’a pas compris à quoi
correspondait un référentiel.
Alors question 1 pourquoi est-il impossible de fabriquer un

A3 dispositif permettant de déclencher le flash S3 4 ns après le
QSC Professeur
24.13 déclenchement du flash S2 ? Alors, qu’est-ce qu’on pourrait
répondre à cette question-là ?
A3
DC Élève Monsieur ? Parce qu’ils ne sont pas dans le même référentiel.
24.33
267
- Les difficultés intra registres (codées DIR1) montrent le souci à utiliser par les élèves les
outils graphiques. Cela correspond à une utilisation plus élaborée des outils graphiques qui
diffère de la difficulté technique (DT). Néanmoins les catégories ne sont pas toujours
exclusives entre DIR1 et DT :
L’élève a des difficultés de type intra-registre pour estimer la position de la droite x = 0,8.c.t
par rapport à la droite x = c.t.
AT 45° Pour la droite x =c.t vous allez avoir 45°.

A1
Professeur Et x = 0,8.c.t elle va être comment par rapport à x = c.t ? Alors
45.16 QIR1
elle va être plutôt vers ct ou plutôt vers x ?
A1
DIR1 Élève Vers x !
45.34
- Les difficultés inter registre (codées DIR2) illustrent la difficulté à passer d’un registre à
l’autre :
Cette proposition met en évidence une difficulté de type inter registre car l’élève ne fait pas
de lien entre l’équation de la droite et la position d’Armineh.
Donc là c’est relatif au référentiel de Daniel. Bon l’utilité de

ces diagrammes c’est qu’on va pouvoir lire ce qu’il se passe
directement dans le référentiel de Daniel et dans le référentiel
d’Armineh en même temps. Donc là vous avez un axe Ox. Pour
AIR2 Armineh ce sera l’axe Ox’. C’est le même point O, car on a la
A1 même origine mais vous allez avoir Ox’. Ox et Ox’ ne sont pas
Professeur
35.20 forcément confondus. Pour Daniel c’est l’axe Oc.t, pour
Armineh ce sera l’axe Oc.t’. Donc Oc.t et Oc.t’ ne sont pas
forcément confondus.
Ils seraient confondus si vous aviez le temps qui s’écoule de la

AC même façon dans n’importe quel référentiel ce qui n’est pas le
cas dans le cadre de la relativité restreinte.
268
Alors il va falloir construire la droite x = 0,8.ct (écrit au

AT
tableau).
QIR2 Ça correspond à quoi cette droite-là ? x est égal à 0,8 fois ct …
A1
DIR2 Élève C’est la vitesse d’Armineh.
36.30
2. Marqueurs en relation avec les réussites des élèves
Des marqueurs illustrant les réussites des élèves sont analysés dans le corpus. Six marqueurs
ont été répertoriés et ont été associés à un code commençant par R :
- Les réussites en relation avec la technique (codées RT) permettent de visualiser la maîtrise
des techniques graphiques de base ou mathématiques :
On voit ici l’élève qui arrive à repérer l’ordonnée comme étant c.t.
y = ax + b. y c’est l’ordonnée, a c’est le coefficient directeur, x

AT
A1 c’est l’abscisse et b c’est l’ordonnée à l’origine.
Professeur
37.32 Est-ce que là c’est écrit de cette façon-là ? Qu’est-ce qu’on a en
QT
ordonnée ? En ordonnée on a quoi ?
A1
RT Élève Ben c.t.
37.54
- Les réussites langagières (codées RL) illustrent une utilisation correcte du vocabulaire après
avoir eu des difficultés à s’exprimer :
L’élève répond correctement à la question de l’enseignant tout en précisant le vocabulaire

utilisé.
269
Oui, c’est x = 0,8.c.t. Alors on va essayer de comprendre. Ici

A1
QIR1 Professeur vous avez x = c.t. x = 0,8.c.t on se rapproche de l’axe Oc.t. Si on
49.36
avait x = 0,5.c.t elle serait comment cette droite ?
A1
RIR1 Élève Pareil, encore plus haut.
49.56
A1
QL Professeur Alors encore plus haut, cela veut dire qu’on se déplacerait …
49.57
A1
RL Élève Encore plus verticalement !
50.00
- Les réussites conceptuelles (codées RC) attestent la compréhension des concepts de

relativité restreinte :
L’élève a compris les conditions d’application de la relation vue en cours.
A3 Alors vous allez voir que ça marche, la relation tm=t0, ça

QC Professeur
43.59 marche quand ?
A3
RC Élève Quand on a une durée propre !
44.05
- Les réussites intra registres (codées RIR1) montrent la bonne utilisation des outils
graphiques. Comme tout à l’heure, cela correspond à une utilisation plus élaborée des outils
graphiques qui diffère de la réussite technique (RT). Néanmoins les catégories ne sont pas
toujours exclusives entre RIR1 et RT :
L’élève arrive à prévoir la position d’une ligne d’univers d’un objet en changeant la vitesse
de déplacement.
270
B1 Alors qu’est-ce qu’il se passerait si j’avais x = 0,5.c.t ? Elle

QIR1 Professeur
44.05 serait comment cette droite ? x = 0,5.c.t.
B1
RIR1 Élève Elle serait plus rapprochée. Vers l’ordonnée !
44.14
- Les réussites inter registre (codées RIR2) illustrent la réussite à passer d’un registre à l’autre.
Ici on voit un élève arrivant à associer le bon axe dans le référentiel d’Armineh avec la
position d’Armineh.
Par Rapport à Daniel si je décris l’axe Ox je me déplace. Donc

là on est par rapport à Armineh. Ça en rouge c’est la position
B1 AIR2
Professeur d’Armineh par rapport à Daniel. Maintenant je suis dans le
45.50
référentiel d’Armineh.
QIR2 Donc vous me dites c’est ?
B1
DL Élève Dans le référentiel d’Armineh ?
46.10
B1 Dans le référentiel d’Armineh, je veux savoir à quoi ça

QIR2 Professeur
46.12 correspond ça (montre sur le diagramme au tableau).
B1
DIR2 Élève Ah ça ! Abscisse !
46.18
B1
RIR2 Élève Ben non abscisse, il se déplace, c’est ordonnée !
46.18
3. Marqueurs en relation avec le questionnement de l’enseignant
Le corpus comporte des réponses d’élèves mais aussi des questions de la part de l’enseignant.
La nature des questions, le niveau de difficulté ainsi que les registres nécessaires d’être
mobilisés par les élèves pour répondre aux questions changent en fonction des situations. Six
marqueurs ont été répertoriés et ont été associés à un code commençant par Q :
271
- Questionnement sur des techniques ou sur l’habileté mathématique (codé QT) ;
Nous voyons ici la question du professeur sur une construction dans le diagramme de Loedel.
La bonne réponse attendue était : « on prend la parallèle à l’axe c.t passant par x = 3m ».
A2 Bon, comment est-ce que l’on trace toutes les positions qui sont
QT Professeur
35.30 égales à 3 m ?
A2
DT Élève C’est la perpendiculaire à c.t.
35.42
- Questionnement sur une précision de langage (codé QL) ;
Nous voyons ici un exemple pour lequel l’enseignant demande à l’élève de préciser son
propos.
A4 C’est le même que l’autre. Alors est-ce que c’est normal ou

QIR2 Professeur
02.54 pas ?
A4
DL Élève Oui on n’a pas de mètres ! De distance !
02.56
A4 Non. Alors on n’a pas de mètres, on n’a pas de distances qu’est-

QL Professeur
02.59 ce que vous voulez dire ?
A4
DL Ben on n’a pas de x quoi, le x = 0 !
03.05
Élève
A4
RIR2 C’est la même position !
03.13
- Questionnement sur la maîtrise d’un concept (codé QC) :
L’enseignant pose une question sur les conditions d’application de la relation vue en cours.
272
A3 Alors vous allez voir que ça ça marche, la relation tm=t0, ça

QC Professeur
A3
44.05
- Questionnement sur l’habileté de travail intra registre (codé QIR1). Comme tout à l’heure,
cela correspond à un questionnement sur une utilisation plus élaborée des outils graphiques
qui diffère du questionnement technique (QT). Néanmoins les catégories ne sont pas toujours
exclusives entre QIR1 et QT :
Le professeur interroge les élèves sur la position des lignes d’univers d’objets lorsque la
vitesse de déplacement change.

QIR1 Professeur
B1
44.14
- Questionnement sur l’habileté de travail inter registre (codé QIR2).
Le professeur pose une question pour avoir la signification physique d’un axe dans le
273
Par Rapport à Daniel si je décris l’axe Ox je me déplace. Donc

là, on est par rapport à Armineh. Ça en rouge c’est la position
B1 AIR2
45.50
B1
46.10

QIR2 Professeur
B1 DIR2 Ah ça ! Abscisse !
Élève
46.18 RIR2 Ben non abscisse, il se déplace, c’est l’ordonnée !
4. Marqueurs en relation avec un apport de connaissance de l’enseignant
La pratique enseignante conduit à un apport de connaissances en même temps qu’à un

questionnement. Les apports de connaissances étant de nature variée, ils ont aussi été codés
par un code commençant par A :
- Apport de connaissance visant à lutter contre le sens commun (codé ASC) :
Le professeur donne des explications aux élèves afin qu’ils puissent comprendre qu’il est
possible d’observer une inversion de l’ordre chronologique d’événements en changeant de
référentiel.
274
Donc vous voyez il y a deux référentiels différents. Il y a le

référentiel de Daniel et le référentiel d’Armineh. Trois
événements, des choses très simples. Vous avez trois flashs
lumineux avec une certaine distance et un certain temps au bout
duquel les flashs sont déclenchés. Vous voyez que dans le
référentiel de Daniel ou dans le référentiel d’Armineh, les
A2 ASC
Professeur positions des flashs sont complètement différentes et les instants
13.50 AC
des flashs, les moments où les flashs sont déclenchés sont
complètement différents et normalement vous devriez vous
apercevoir de quelque chose de curieux. La valeur numérique ne
m’intéresse pas, je veux juste l’ordre. Donc dans le référentiel
de Daniel vous avez d’abord le flash S1, le flash S2 puis le flash
S3.
A2 Essayez de me donner la chronologie pour les flashs dans le

QIR2 Professeur
13.50 référentiel d’Armineh.
A2
RIR2 Élève S1, S3, S2 !
14.37
A2
QIR2 Professeur S1, S3, S2. Est-ce que tout le monde est d’accord ?
14.38
A2
DIR2 Élève Non !
14.40
- Apport de connaissance visant à favoriser la technique ou la pratique mathématique

(codé AT) :
Le professeur apporte à ses élèves des informations mathématiques de base.

275
A1 y = ax + b. y c’est l’ordonnée, a c’est le coefficient directeur, x

AT Professeur
37.32 c’est l’abscisse et b c’est l’ordonnée à l’origine.
A1 Est-ce que là c’est écrit de cette façon-là ? Qu’est-ce qu’on a en

QT Professeur
37.32 ordonnée ? En ordonnée on a quoi ?
A1
RT Élève Ben c.t.
37.54
- Apport de connaissance visant à préciser le langage (codé AL) :
Le professeur apporte une précision sur la définition de la naissance dans l’optique de parler
ensuite de l’ordre chronologique relatif.
Donc voyez il peut y avoir des événements qui sont

complètement indépendants les uns des autres. Alors deux
événements qui peuvent être dépendants, euh ça peut être par
A3
AC Professeur exemple, la naissance d’un individu et la mort d’un individu. Ce
32.57
sont deux événements qui dépendent l’un de l’autre et on ne peut
pas avoir inversion. C’est-à-dire que l’on ne peut pas mourir
avant de naitre.
A3
RL Élève Si les bébés qui meurent dans le ventre de leur mère !
33.26
A3 Oui, alors la définition de naissance, c’est-à-dire que vous

AL Professeur
33.27 sortez du ventre de votre mère.
A3
RL Élève Ben c’est la création …
33.34
- Apport de connaissance visant à préciser un propos sur un concept (codé AC) :
Le professeur apporte une information sur la façon dont s’écoule le temps d’un référentiel à
l’autre pour deux événements donnés, dans le cadre de la relativité restreinte.
276

A1
AIR2 Professeur Armineh ce sera l’axe Ox’. C’est le même point O, car on a la
35.20
même origine, mais vous allez avoir Ox’. Ox et Ox’ ne sont pas
forcément confondus. Pour Daniel c’est l’axe Oc.t, pour
Armineh ce sera l’axe Oc.t’. Donc Oc.t et Oc.t’ ne sont pas
forcément confondus.

A1
AC Professeur même façon dans n’importe quel référentiel ce qui n’est pas le
35.20
- Apport de connaissance favorisant un travail intra registre (codé AIR1). Cela correspond à
un apport plus élaboré sur les outils graphiques qui diffère de l’apport technique (AT).
Néanmoins les catégories ne sont pas toujours exclusives entre AIR1 et AT :
Le professeur donne des indications sur les différents axes dans les diagrammes de
Minkowski et de Loedel.
277
Alors dans Minkowski et dans Loedel vous allez retrouver Ox,

vous allez retrouver Oc.t. Donc ça c’est le référentiel de
B2
AIR1 Professeur Daniel. Donc il est dans Minkowski, il est dans Loedel. C’est le
14.54
même principe. Vous allez retrouver la même chose pour
Armineh Ox’ et Oc.t’. Oui.
B2
RIR1 Élève Et aucun des repères n’est orthonormé.
15.09
Aucun des repères n’est orthonormé, oui. Dans Minkowski,

c’est vrai que c’est bien pour commencer Minkowski parce
B2 qu’on commence avec un axe Ox et Oc.t. On a quelque chose
AIR1 Professeur
15.13 qui est orthonormé. Pour Ox’ et Oc.t’ ce n’est pas orthonormé,
ce n’est pas obligé, mais on peut commencer comme cela.
Tandis qu’avec Loedel non.
- Apport de connaissance favorisant un travail inter-registre (codé AIR2) :
Le professeur explique le passage entre la relation mathématique x =0,8.c.t et la situation

concrète.
Oui donc 0,8 fois c ça correspond à la vitesse d’Armineh. t c’est

le temps donc x ça correspond à l’axe des abscisses par rapport
au référentiel de Daniel et t ça correspond au temps par rapport
A1
AIR2 Professeur au référentiel de Daniel. Donc vous avez un objet qui se déplace
36.32
à une vitesse de 0,8 fois c donc si on veut connaitre la position
d’Armineh en n’importe quel instant dans le référentiel de
Daniel on va avoir x = 0,8.c.t.
A1 Donc il faut construire cette droite. Comment est-ce que l’on

QT Professeur
36.32 peut construire cette droite ?
278
5. Marqueurs en relation avec le changement de stratégie de l’enseignant
Des changements de stratégie éventuels entre les deux groupes sont aussi codifiables à l’aide
d’un code commençant par CS :
- Changement de stratégie suite à l’apparition de difficultés à utiliser les outils graphiques

(codé CST) :
Le changement de stratégie adopté ici, consiste à placer d’autorité dès le début la droite
x = c.t et à faire trouver aux élèves que l’événement E1 se trouve sur cette droite afin de
rendre plus explicite le repère orthonormé du référentiel de Daniel dans le diagramme de
Minkowski.
Vous allez placer aussi une droite supplémentaire.

B1 AT
Professeur C’est x = ct. Ça correspond à la bissectrice (trace sur
29.48 CST
le tableau).
B1
QT Professeur Là vous avez quel angle ici ?
29.48
- Changement de stratégie suite à l’apparition de difficultés à passer d’un registre à l’autre

(codé CSIR2) :
Ici, il y a un changement de stratégie. On annonce les résultats et c’est aux élèves de le

vérifier en faisant les projections nécessaires.
279
Ce qui m’intéressera après c’est l’ordre chronologique des

événements. Pour Daniel c’est E1, après E2, après E3. Regardez
ce qu’il se passe pour Armineh. Pour Armineh vous allez vous
B2 CSIR2
Professeur apercevoir que l’ordre chronologique est différent. Vous avez
02.40 AIR2
l’événement E1, après vous avez l’évènement E3 après vous
avez l’évènement E2. Donc il y’a inversion de l’ordre des
événements.
Analyse et verbatim de la seconde activité pilote
Dans l’extrait ci-après, tiré du verbatim de la séquence du premier groupe, nous allons voir
comment le tracé de la droite x = 0,8.c.t est mené.

AIR2 Armineh ce sera l’axe Ox’. C’est le même point O, car on a la
même origine, mais vous allez avoir Ox’. Ox et Ox’ ne sont pas
forcément confondus. Pour Daniel c’est l’axe Oc.t, pour
A1 Armineh ce sera l’axe Oc.t’. Donc Oc.t et Oc.t’ ne sont pas
Professeur
35.20 forcément confondus.

AC même façon dans n’importe quel référentiel ce qui n’est pas le
Alors il va falloir construire la droite x = 0,8.ct (écrit au

AT
tableau).
QIR2 Ça correspond à quoi cette droite-là ? x est égal à 0,8 fois c.t …
280
L’enseignant commence par apporter au début des connaissances de type inter registre en
faisant le lien entre le registre diagrammatique et la situation réelle. Un apport conceptuel est
ensuite donné en faisant le lien entre le fait que les deux axes Oc.t et Oc.t’ soient non
confondus et le fait que le temps ne soit pas absolu, d’autant plus que les deux référentiels
choisis se déplacent l’un par rapport à l’autre à une vitesse non négligeable par rapport à la
vitesse de la lumière. L’enseignant donne la consigne technique de tracer la droite x = 0,8.c.t
puis pose une question assez inhabituelle pour les élèves, car en demandant quelle est la
signification physique de cette droite ils ne sont plus dans une simple réplication de ce qui a
été vu en cours. C’est une question de type inter registre car il faut faire le lien entre une
droite dans le registre diagrammatique et la position d’Armineh dans la situation énoncée.
A1
DIR2 Élève C’est la vitesse d’Armineh.
36.30
Les élèves sont mis dans une situation inédite de type inter registre car l’élève ne fait pas de
lien entre l’équation de la droite et la position d’Armineh et cela s’avère difficile pour eux.
Oui donc 0,8 fois c ça correspond à la vitesse d’Armineh. t c’est

le temps donc x ça correspond à l’axe des abscisses par rapport
au référentiel de Daniel et t ça correspond au temps par rapport
AIR2 au référentiel de Daniel. Donc vous avez un objet qui se déplace
A1
Professeur à une vitesse de 0,8 fois c donc si on veut connaitre la position
36.32
d’Armineh en n’importe quel instant dans le référentiel de
Daniel on va avoir x = 0,8.c.t.
Donc il faut construire cette droite. Comment est-ce que l’on

QT
peut construire cette droite ?
L’enseignant circule entre deux registres en donnant la signification de la droite x = 0,8.c.t.

La question qui est posée n’est plus associée qu’au niveau technique.
281
A1
DT Élève On met tout à 0 et puis on prend 0,8.
37.15
La réponse de l’élève met en évidence une difficulté de type technique pour tracer la droite
car la proposition n’est pas correcte.
On met tout à 0 et on prend 0,8 … En mathématiques lorsque

A1 vous avez une droite, c’est représenté comment ? y c’est l’axe des
QT Professeur
37.18 ordonnées et puis x c’est l’axe des abscisses. Une droite c’est du
type …
L’enseignant pose une question de type technique devant la difficulté des élèves pour tracer la
droite.
A1
RT Élève ax + b !
37.31
C’est une bonne réponse d’un élève traduisant une restitution de connaissances
mathématiques indépendamment du contexte de l’activité.
y = ax + b. y c’est l’ordonnée, a c’est le coefficient directeur, x

AT
A1 c’est l’abscisse et b c’est l’ordonnée à l’origine.
Professeur
37.32 Est-ce que là c’est écrit de cette façon-là ? Qu’est-ce qu’on a en
QT
ordonnée ? En ordonnée on a quoi ?
L’enseignant apporte des informations techniques afin de faire rendre compte aux élèves que
0,8 ne correspond pas au coefficient directeur de la droite. La question technique de
l’enseignant met l’accent sur l’ordonnée.
282
A1
RT Élève Ben c.t.
37.54
C’est une réussite de type technique d’un élève.
C’est ct. c.t c’est l’ordonnée (entoure au tableau c.t en ordonnée

et c.t dans la relation x = 0,8.c.t) et puis x c’est l’abscisse
AT
A1 (entoure d’une autre couleur x en abscisse et dans la relation
Professeur
37.55 x = 0,8.c.t).
Donc cela veut dire, est-ce que 0,8 c’est le coefficient directeur
QIR1
de la droite que l’on va représenter ?
L’enseignant apporte des informations techniques sur l’ordonnée et l’abscisse et questionne

sur la valeur du coefficient directeur de la droite. Il veut faire trouver aux élèves que le
véritable coefficient directeur est l’inverse de 0,8. La difficulté de la question est un peu plus
élevée qu’une simple question technique, tout en restant dans le même registre algébrique,
c’est pour cela qu’elle est rangée dans la catégorie intra registre.
A1
DIR1 Élève Non. C’est l’ordonnée à l’origine ? La vitesse.
38.25
Cette réponse illustre des difficultés importantes des élèves à utiliser leurs connaissances
mathématiques dans le cadre de l’activité.
283
La vitesse, oui. Alors 0,8.c cela va être la vitesse, mais alors si je

veux représenter parce que ça va être une droite dans ce
A1 diagramme. Si je veux représenter cette droite est-ce que 0,8 cela
QIR1 Professeur
38.28 va correspondre au coefficient directeur de la droite ? Alors
comment est-ce qu’il faudrait que j’écrive cela ? Lorsque vous
avez une droite c’est du type y = ax + b.
L’enseignant revient sur la notion de coefficient directeur en donnant la formule générique

d’une équation de droite. On reste dans le même registre algébrique.
A1
RIR1 Élève x / 0,8 = c.t.
39.03
C’est une bonne réponse d’un élève dans la catégorie intra registre plutôt que technique car
le niveau de difficulté est un peu plus élevé.
Oui c’est ça. On peut dire que c.t = x / 0,8. c.t ça correspond à
A1
AT Professeur l’ordonnée, x ça correspond à l’abscisse. Donc ça va être sous
39.05
cette forme-là.
C’est un apport de connaissances techniques de l’enseignant qui reprend la bonne réponse de

l’élève.
A1
RT Élève Ben on prend des valeurs !
39.23
Oui on va prendre des valeurs, mais vous avez vu que là

A1 finalement vous avez une relation de proportionnalité entre c.t et
AT Professeur
39.25 x donc vous allez juste avoir l’idée de prendre. Donc 0,8 c’est
8/10.
284
L’enseignant décide d’utiliser une autre stratégie et de travailler plutôt sur les pentes.
A1
RT Élève Cela fait 10.x / 8 !
39.42
Un élève exprime le coefficient directeur sous une forme plus pratique par la suite.
Oui c’est ça (écrit au tableau). Donc finalement on peut dire que

AT c.t = 10.x / 8. 10 / 8 cela correspond à la pente. Alors
A1
Professeur effectivement on peut prendre des points.
39.42
On a un premier point pour cette droite, le plus simple. C’est
QT
lequel ?
L’enseignant reprend des informations techniques sur la pente et l’expression de la droite

écrite sous une forme plus pratique puis pose une question simple sur un point de cette droite.
A1
RT Élève 0?
40.07
C’est une bonne réponse technique d’un élève.
C’est 0, l’origine. Ensuite 10 / 8. Lorsque vous avez 10

verticalement vous allez avoir 8 horizontalement. C’est comme
cela qu’il faut lire cela. Donc si on prend 10 verticalement
A1
AT Professeur (montre sur les axes) on aura 8 horizontalement. Inversement si
40.08
on a 5 verticalement on aura 4 horizontalement. Ce que vous
allez faire vous allez placer un point donc vous allez prendre 5
verticalement.
285
L’enseignant guide les élèves sur le choix du second point à prendre en utilisant la notion de
pente sous forme d’un déplacement vertical et d’un déplacement horizontal depuis l’origine.
A1
DIR1 Élève cm ou 5 ns ?
40.45
L’élève a un problème de catégorie intra registre, car il n’a pas compris comment utiliser
l’échelle ainsi que la notion de pente amenée par l’enseignant.
A1 Alors, essayez de faire déjà comme cela. Faites à votre idée et on

Professeur
40.46 va voir ensuite si c’est bon.
Il y a une incompréhension ici de l’enseignant sur la difficulté des élèves.
Donc vous prenez 10 verticalement et 8 horizontalement ou 5

A1
AT Professeur verticalement et 4 horizontalement. Cela revient à la même
41.03
chose. Il y a juste un rapport de deux.
L’enseignant continue d’apporter des connaissances techniques.
A1 Alors là actuellement vous faites quoi ? Vous prenez 5 cm et 4

QT Professeur
42.00 cm. C’est ça que vous êtes en train de faire ?
L’enseignant est toujours sur le niveau technique, pas ses élèves. Il n’a pas saisi la confusion
entre cm et ns pour la majorité des élèves.
A1
DIR1 Élève Non les ns et …
42.07
286
Les élèves sont en difficultés sur un autre registre que l’enseignant. Il y a une
incompréhension.
A1
QT Professeur Donc vous prenez 10 cm et 8 cm ?
42.14
L’enseignant est toujours sur le niveau technique.
A1
Non 10 ns et 8m.
42.17
DIR1 Élève
A1
10 ns et 8 m monsieur ??
42.30
Les élèves sont en difficulté sur un niveau intra registre.
Dans l’extrait ci-après, toujours tiré du verbatim de la séquence du premier groupe, nous
allons voir la suite du tracé de la droite x = 0,8.c.t.
Alors vous allez faire aussi une autre droite. Il va falloir tracer la
droite x = ct. Ça peut paraitre un peu bizarre, mais lorsque vous
A1
AT Professeur avez 5 cm pour 3 m (place sur le graphe) et là vous avez 5 cm
42.43
pour 10 ns fois c.10 ns fois c. Je vais remplacer c par sa valeur.
10 ns c’est 10.10-9 et c c’est 3.108.
L’enseignant part sur le tracé de la droite x = c.t et sur la valeur numérique de c fois t.
A1
RT Élève Cela fait 3,0 !
43.38
287
C’est une bonne réponse d’un élève au niveau technique.
Cela fait 3 m. Donc vous voyez horizontalement on a 5 cm pour

3 m. verticalement on a aussi 5 cm pour 3 m. Donc ça c’est un
repère qui est orthonormé. Donc cela peut paraitre bizarre ces
10ns.c mais si vous avez 5 cm pour 3 m vous avez aussi 5 cm
AIR1 pour 3 m parce que quand vous avez c.t c’est analogue à une
distance. Donc c’est pour cela que vous demandiez tout à l’heure
comment va-t-on faire pour 10 et 8. Comme vous avez quelque
A1
Professeur chose qui est orthonormé, grosso modo vous avez la même
43.40
échelle horizontalement et verticalement.
Donc qu’est-ce que vous pouvez faire ? Vous pouvez prendre 10

carreaux verticalement et 8 carreaux horizontalement et trouver
votre point ou alors vous pouvez prendre 10 cm verticalement et
AT
8 cm horizontalement ou alors 5 cm verticalement et 4 cm
horizontalement. C’est bon ? Donc vous placez votre point et
vous allez tracer cette droite.
L’enseignant apporte des informations techniques sur le repère orthonormé du référentiel de

Daniel dans le diagramme de Minkowski. Il utilise ensuite ces informations pour reparler de
la pente de la ligne d’univers d’Armineh.
A1
Élève Vous pouvez venir voir si vous plait ?
44.55
Donc vous allez tracer la droite x = 0,8.c.t et puis vous allez

AT
aussi tracer la droite x = c.t.
A1
Professeur Donc la droite x = c.t elle est comment celle-là ? (Trace au
45.00
QT même moment au tableau). Donc là c’est x = c.t. Quel est l’angle
ici pour x = c.t ?
288
L’enseignant reste sur le niveau technique et pose une question sur le même niveau.
A1
RT Élève 45 !
45.15
C’est une réponse d’un élève après observation d’un diagramme au tableau.
AT 45° Pour la droite x =c.t vous allez avoir 45°.

A1
Professeur Et x = 0,8.c.t elle va être comment par rapport à x = c.t ? Alors
45.16 QIR1
elle va être plutôt vers c.t ou plutôt vers x ?
Une partie de l’intervention de l’enseignant reste sur un niveau technique, l’autre est un peu
plus élaborée puisqu’elle interroge les élèves sur la position de la droite x = 0,8.c.t par
rapport à la droite x = c.t.
A1
DIR1 Élève Vers x !
45.34
L’élève ayant répondu a des difficultés pour utiliser la notion de pente vu précédemment.
Vers x ? Vous avez 10 et 8. Je compte 10. Je compte 8. Donc

est-ce que je vais être au-dessus de la droite x = c.t ou en
A1 dessous ? Je monte plus que je me déplace horizontalement.
AIR1 Professeur
45.39 Donc on va être au-dessus. Donc là vous allez avoir x = 0,8.c.t
(tracé au tableau). Donc normalement vous devez avoir quelque
chose comme cela.
289
L’enseignant relie la notion de pente au tracé de la droite. On est à un niveau plus complexe
que celui technique, car la tâche à réaliser par les élèves consiste à utiliser les outils
graphiques pour prévoir une nouvelle construction.
(Avec un élève) non parce que quand je vous ai dit comme c’est
A1 un repère orthonormé vous avez 10 et 8 là vous pouvez
AT Professeur
46.32 quasiment compter en carreaux si vous prenez 10 carreaux
verticalement.
L’enseignant relie la notion de pente à un éventuel simple comptage de carreaux.
A1
RT Élève Cela fait 5 cm
46.41
C’est une bonne réponse d’un niveau technique plutôt élémentaire.
Correct, mais vous pouvez raisonner en carreaux. Si vous avez

A1
10 carreaux verticalement vous avez 8 carreaux horizontalement.
46.42
Vous placez votre point et vous tracez votre droite.
Donc vous devez avoir actuellement vous avez deux droites.

AT Professeur Vous avez la droite x = c.t donc ça correspond à la bissectrice
A1 donc là vous avez 45° et 45° et puis vous avez x = 0,8.c.t donc le
46.54 plus simple vous comptez 10 carreaux verticalement 8 carreaux
horizontalement cela vous donne un point et puis vous avez cette
droite-là. Donc vous êtes au-dessus de la droite x = c.t.
Ce sont des interventions d’ordres mathématiques de l’enseignant.

290
A1
QT Professeur x = c.t passe par quel évènement ?
48.00
C’est une question technique de l’enseignant pour s’assurer que l’événement E1 est bien
positionné.
A1
RT Élève E1 !
48.01
Cela constitue une réponse d’ordre technique d’un élève.
E1. E1 regardez-vous avez 3 et 10 ns. Quand vous avez 10 ns ça

A1 correspond à 3 m. Donc normalement vous devez vérifier que
AT
48.02 x = c.t passe par l’évènement E1. Et donc finalement vous voyez
Professeur ici c’est juste compter des carreaux.
Donc vous devez avoir la droite x = c.t. Elle passe par
A1
AIR1 l’évènement E1 donc vous avez un angle de 45°. Puis x = 0,8.c.t
48.42
c’est au-dessus de la droite x = c.t.
L’enseignant apporte des informations techniques puis un peu plus développées lorsqu’il
compare la position relative des droites x = c.t et x = 0,8.c.t.
A1 DT Et on prend combien ?
Élève
48.56 RT On prend 10 et on prend 8 !
Ces interventions d’élèves montrent qu’à ce stade tout n’est pas encore bien compris.
291
C’est ça vous prenez 10 carreaux verticalement 8 carreaux

A1 horizontalement ou alors vous pouvez prendre 5 carreaux
48.57 verticalement et 4 carreaux horizontalement. Ça revient au
même.
A1 AT Professeur
C’est bon tout le monde a tracé ces deux droites ?
49.17
Vous pouvez aussi compter les petits carreaux. Avec les petits
A1
carreaux, ça marche bien. Vous comptez 10 petits carreaux
49.27
verticalement et 8 petits carreaux horizontalement.
A1
RT Élève C’est x = 0,8.c.t !
49.35
Ces interventions terminent la construction de la droite x = 0,8.c.t.
Les apports de l’enseignant sont essentiellement d’ordre technique.
Apports de l'enseignant
AC
AIR2 4%
8%
AIR1
12%
AT
76%
292
Alors que les difficultés des élèves sont majoritairement de type intra registre.
Difficultés exprimées par les élèves

0%
DIR2
14% DT
29%
DIR1
57%
Les échanges sont essentiellement dus à l’enseignant (apports et questionnement).
Catégories des échanges

Difficultés
exprimées par les
élèves
12%
Réussites Apports de
exprimées par l'enseignant
les élèves 43%
21%
Questions de
l'enseignant
24%
293
L’extrait ci-après est tiré du verbatim de la séquence du second groupe.
On va commencer à représenter ce qu’il se passe pour Daniel

donc on va faire un diagramme spatiotemporel. Donc, vous allez
prendre un axe Ox (trace Ox horizontalement au tableau) et puis
B1
AIR2 vous allez prendre un axe c.t (trace verticalement au tableau). c
27.15
représente la vitesse de la lumière. Au lieu de représenter
uniquement en ordonnée le temps, ce sera la vitesse de la
lumière fois le temps.
Alors pour cela vous allez utiliser la feuille à petits carreaux que
je vous ai donnée. Alors, on ne va peut-être pas faire la même
B1
erreur que les autres, vous allez vous arranger pour que l’origine
27.56
de votre repère vous allez plutôt la faire par-là (montre en bas à
droite de la feuille). Donc là vous allez avoir Ox et là Oc.t.
Professeur
Je vais vous donner une échelle pour Ox. Vous prenez 5 cm pour
3 m. Cela veut dire que les deux premiers événements E1, E2 se
AT
trouvent à 5 cm de l’origine et E3 ce sera à 15 cm. Et alors en
ordonnée c’est 5 cm pour 10 ns.c (écrit au tableau). Alors le
B1
multiplié par c, vous verrez un peu plus tard, mais là vous avez
28.32
5 cm pour 10 ns. Si vous avez 20 ns cela correspond à 10 cm. Si
vous avez 30 ns cela correspond à 15 cm. Comme vous avez les
repères Ox et Oc.t qui sont perpendiculaires, là on est dans le
référentiel de Daniel et donc vous allez placer E1, E2 et E3.
AT Vous allez placer aussi une droite supplémentaire. C’est x = c.t.

B1
CST Ça correspond à la bissectrice (trace sur le tableau).
29.48
QT Là vous avez quel angle ici ?
Le changement de stratégie adopté ici, consiste à placer d’autorité dès le début la droite
x = c.t et à faire trouver aux élèves que l’événement E1 se trouve sur cette droite par un
placement du point selon ses coordonnées (x, t). Cela permet de rendre plus explicite le
repère orthonormé du référentiel de Daniel dans le diagramme de Minkowski.
294
B1
RT Élève La moitié
30.15
B1 C’est la moitié donc c’est 45°. Donc x=ct ça correspond à 45°.

AT Professeur
30.17 D’accord ? Donc il faut placer l’événement E1, E2, E3 et x = ct.
B1
RIR2 Élève x on peut dire qu’il est en mètres ?
30.40
B1
QIR2 Professeur x est en mètres oui. Et c.t ?
30.43
B1 Oui, ct c’est aussi en mètres. Puisque c c’est en m/s, t c’est en s.

RIR2 Élève
30.50 m/s fois des s ça fait aussi des m.
L’enseignant établit la conversion entre l’axe des ordonnées Oc.t et l’unité de c.t qui est
homogène à une distance. Cela correspond à un pont entre le registre diagrammatique et le
registre algébrique.
B1
DT Élève C’est quoi x = ct ? Ah oui c’est un …
31.30
C’est la bissectrice. Lorsque vous avez une représentation y en

B1 AT
fonction de x ce serait par exemple en mathématiques la droite
31.31 CST
y = x.
Professeur
Donc vous voyez un événement lorsqu’on utilise des
B1
QIR1 diagrammes d’espace-temps, ben la représentation graphique
31.58
d’un événement c’est quoi ?
B1
RIR1 Élève Sa position
32.08
Sa position donc c’est un point. Un événement ça correspond à

AC
B1 un point dans le diagramme espace-temps.
Professeur
32.09 Alors il y a quelque chose de particulier. E1 il est comment ? Il a
QT
une position particulière E1.
295
B1
RT Élève Il est sur la bissectrice.
32.29
Ici l’enseignant définit explicitement l’événement comme un point dans le diagramme

d’espace-temps.
B1 Il est sur la droite x = c.t. Alors ce n’est pas innocent. Je vais

AT
32.32 vous expliquer pourquoi après.
B1 Donc là on est en train de voir ce qu’il se passe pour Daniel. Est-

AIR2
33.07 ce que tout le monde a placé les trois événements ?
Professeur Alors si vous avez déjà fait tout ça, essayez de voir à quoi
B1
correspond 10ns.c. En prenant c = 3.108. Pour ceux qui ont déjà
34.18
QT placé les trois événements, que fait 10ns.c ?
B1
Alors 10 ns. Nano c’est 10 - ?
34.41
B1
RT Élève 9
34.41
B1 C’est 3.10-9. C’est 3 fois 10-9 et c. Euh, attendez je recommence.

AT Professeur
34.42 C’est 10.10-9 et c c’est 3.108(marque au tableau).
B1
RT Élève 3
35.07
B1
QT Professeur Ça fait 3. 3 quoi ?
35.08
B1
RT Élève Mètres
35.10
3 mètres. Donc vous voyez que l’événement E1, ça correspond à

B1 x = 3 m et 10 ns comme vous avez verticalement l’axe ct, 10 ns
AIR1 Professeur
35.11 ça correspond aussi à 3 m. Donc on comprend comme ça c’est la
droite x = ct vous ayez E1 qui soit sur cette droite-là. Donc là
296
vous avez normalement E1 sur cette droite-là. Il doit y avoir E2

qui est par là (place sur le diagramme au tableau)
QIR1 Et puis E3 vous l’avez trouvé comment ?
L’enseignant justifie la position de l’événement E1 sur la droite x = c.t car xE1 = c.tE1 = 3 m.
B1
RIR1 Élève En dessous
35.42
B1
QIR1 Professeur Alors par rapport à E2 il est comment ?
35.43
B1
RIR1 Élève Au-dessus
35.44
Au-dessus donc vous avez E3 qui est par là. Euh, ce qui parait
clair c’est que l’ordre chronologique vous avez d’abord
l’événement E1, ensuite E2 et E3. Ça c’est pour Daniel. Alors
maintenant ce qu’on veut faire, c’est la même chose pour
Armineh et sur le même diagramme. Qu’est-ce qui est commun
B1 avec Armineh, c’est le point O. Le point O pour Daniel, c’est
AIR2
35.50 l’origine. C’est la même origine pour Daniel et Armineh. On va
vouloir construire l’axe Ox’ et l’axe Oc.t’. Ox’ c’est la position
Professeur par rapport à Armineh, Oc.t’ c’est l’axe des temps multiplié par
c pour Armineh. Alors les trois événements je les efface. Vous

allez voir il va se passer quelque chose donc … Est-ce que tout
le monde a placé les trois événements ? Oui ?
Alors qu’est-ce qu’on sait pour Armineh ? On sait que pour

B1 AT Armineh, par rapport à Daniel, Armineh se déplace. Sa vitesse
36.47 c’est 0,8.c (marque au tableau).
QT Si je veux connaitre la position d’Armineh c’est x = ?
B1
RT Élève Ben 0,8.c.t.
37.16
297
Ici l’enseignant définit explicitement le lien entre l’équation x = 0,8.c.t et la position

d’Armineh par rapport au référentiel de Daniel.
Oui c’est ça, très bien (marque au tableau x = 0,8.c.t). Armineh

B1 AIR2
Professeur elle décrit cette droite-là finalement.
37.19
QIR1 Comment on peut placer cette droite x = 0,8.c.t ici ?
B1
DT Élève Avec une droite ... Avec un coefficient directeur de 0,8.
37.55
Alors une droite avec un coefficient directeur de 0,8. Euh, en

B1
QT Professeur mathématiques, les droites vous les avez représentées comment ?
37.56
Du type ?
B1
RT Élève y = ax + b
38.05
B1 y = ax + b (marque au tableau). y c’est quoi sur votre

QIR1 Professeur
38.06 diagramme ? Ça correspond à ?
B1
RIR1 Élève C’est l’ordonnée. ct !
38.17
B1
QT Professeur C’est l’ordonnée d’accord. y c’est l’ordonnée. x ?
38.18
B1 RT Abscisse.
Élève
38.22 DT Coefficient directeur !
Alors a c’est le coefficient directeur, x c’est l’abscisse et b

l’ordonnée à l’origine. Là on n’a pas d’ordonnée à l’origine
B1 AT
Professeur (efface b au tableau). Donc vous m’avez dit que y c’est
38.23
l’ordonnée, d’accord.
QT Ici l’ordonnée c’est quoi, lorsqu’on regarde.
B1
RT Élève c.t
38.36
298
B1 C’est ct alors si on veut connaitre le coefficient directeur, qu’est-

QT Professeur
38.37 ce qu’il faut faire ?
B1
RT Élève Il faut isoler c.t !
38.46
B1
QT Professeur Oui, il faut isoler c.t. Plus simplement ?
38.47
B1
RT Élève On divise par 0,8.
38.53
On divise par 0,8 donc on a c.t = x / 0,8 (marque au tableau).

Alors là finalement ce qu’on a utilisé ce sont des axes
orthonormés parce que là vous avez 5 cm pour 3 m et là vous
avez aussi 5 cm pour 3 m parce que 10 ns.c ça correspond à la
B1 AIR1
Professeur même échelle. Donc finalement vous avez la même échelle
38.55 CST
horizontalement et verticalement. Romain oui ? Est-ce que vous
êtes d’accord que 10 ns.c ça fait 3 m ? Oui ? Et on a 5 cm pour 3
m verticalement. Horizontalement on a aussi 5 cm pour 3 m.
Donc là on a un repère orthonormé finalement.
Ici le repère orthonormé est défini explicitement par l’enseignant afin de ne pas perturber les
élèves quant au placement de la ligne d’univers d’Armineh.
0,8, pour simplifier on peut dire que c’est 8 / 10. c.t = x / 8 /10
AT
B1 (marque au tableau) donc c’est 10 x / 8.
Professeur
39.43 Comment on peut facilement construire cette droite-là en
QT
utilisant les petits carreaux ? Là vous avez un repère orthonormé.
B1
RT Élève On prend 10 et on relève de 8.
40.12
B1 Oui c’est ça. Donc à partir du point O vous comptez 10 petits

QT Professeur
40.18 carreaux et horizontalement ?
299
B1
RT Élève 8!
40.23
Vous allez avoir un point. Vous partez de l’origine et vous tracez

votre droite. On utilise la pente. Quand vous avez une pente de
B1 10 /8 on monte de 10 on se déplace de 8 horizontalement. On a
AT
40.24 le point et on a notre droite comme cela. Et donc vous allez
Professeur
pouvoir tracer la droite x = 0,8.c.t. C’est pour cela que je vous ai
donné des petits carreaux, c’est plus facile.
B1 Non, là vous avez 10 /8 donc il faut monter de 10 et se déplacer

AT
41.16 à droite de 8.
B1
DT Élève On la fait en pointillé ?
41.29
B1
AT Professeur Non vous la faites d’une couleur différente.
41.30
B1
DT Élève Pleine ?
41.33
Oui. Vous la faites d’une couleur différente. Par rapport à la

B1 droite x = ct, elle est comment la droite que vous tracez ? … Elle
AIR1
41.34 est au-dessus. Donc par rapport à la droite x = c.t elle est au-
dessus.
B1 (Trace la droite sur le graphe). Donc là vous avez cette droite-là.

AT
41.59 Donc c’est x = 0,8.c.t.
Professeur
Est-ce que tout le monde l’a tracée ? Donc vous comptez 10
B1 carreaux verticalement et 8 carreaux horizontalement. On peut
AT
42.33 faire autrement on peut aussi compter 5 carreaux verticalement
et dans ce cas-là 4 carreaux horizontalement.
B1
QT Tout le monde l’a tracée ?
43.33
300
On voit ici que l’enseignant apporte plus d’informations de type inter registre au détriment
des apports de type technique.
AC
4%
AIR2
18%
AIR1
13%
AT
65%
Les difficultés des élèves ne sont plus que de type technique.
DT
100%
301
L’enseignant donne moins d’apports à ses élèves dans ses échanges, mais pose plus de
questions ciblées. Cela conduit ses élèves à être plus en réussite car leurs difficultés ont été
identifiées par l’enseignant.
Difficultés
exprimées
par les
élèves
8%
Apports de
Réussites l'enseignant
exprimées par 34%
les élèves
28%
Questions de
l'enseignant
30%
Introduction du second postulat dans le registre diagrammatique
Dans l’extrait ci-après, tiré du verbatim de la séquence du premier groupe, nous allons voir
comment l’invariance de la vitesse de la lumière est introduite.
Oui, c’est x = 0,8.c.t. Alors on va essayer de comprendre. Ici

A1
QIR1 Professeur vous avez x = c.t. x = 0,8.c.t on se rapproche de l’axe Oc.t. Si on
49.36
avait x = 0,5.c.t elle serait comment cette droite ?
L’enseignant pose une question pour laquelle les élèves doivent avoir une réflexion dans le
registre diagrammatique.
302
A1
RIR1 Élève Pareil, encore plus haut.
49.56
A1
QL Professeur Alors encore plus haut, cela veut dire qu’on se déplacerait …
49.57
A1
RL Élève Encore plus verticalement !
50.00
L’élève répond correctement à la question de l’enseignant proposant une réflexion dans le

registre diagrammatique tout en précisant le vocabulaire utilisé.
A1
QIR1 Professeur Oui, encore plus verticalement. Si on avait x = 0,3.c.t.
50.01
A1
RIR1 Élève Encore plus rapproché !
50.03
C’est une bonne réponse d’un élève qui propose une bonne interprétation de la position d’une
nouvelle ligne d’univers.
Encore plus rapproché de l’axe Oc.t. Imaginons que l’on ait une
A1
QIR1 Professeur droite comme cela (l’enseignant dessine une demi-droite sous la
50.04
demi-droite x = c.t).
A1 Ce n’est pas possible, car c’est quelque chose qui va plus vite
RIR2 Élève
50.20 que la lumière !
Un élève arrive à relier la position d’une ligne d’univers d’un objet avec sa vitesse en passant
du registre diagrammatique au monde réel.
303
Très bien. Regardez, si vous avez une droite qui est en-dessous
A1 de x = c.t cela veut dire que c’est par exemple x = 2.c.t, mais ça
AIR2 Professeur
50.23 ce n’est pas possible car 2.c.t cela veut que l’on se déplace 2 fois
plus vite que la vitesse de la lumière.
A1
RC Élève Ce n’est pas possible !
50.38
A1 Donc tout ce qui est possible au niveau des déplacements ça va

AIR2 Professeur
50.40 être compris entre la droite x = c.t et Oc.t.
Ce passage correspond à un apport de l’enseignant sur un lien entre le registre

diagrammatique et le monde réel permettant de déterminer quels sont les déplacements
permis pour un objet en fonction de la pente de sa ligne d’univers.
Les échanges sont majoritairement des réussites exprimées par les élèves.
Apports de
l'enseignant
18%
Réussites
exprimées par
les élèves
46%
Questions de
l'enseignant
36%
Les réussites des élèves sont majoritairement de type intra registre.

304
Réussite des élèves
Langagier
20% Inter registre
20%
Conceptuel
20% Intra registre
40%

QIR1
B1
44.14
Elle serait plus rapprochée vers l’axe des ordonnées. Donc

x = 0,5.c.t ce serait comme cela (montre au tableau). x = 0,5.c.t
B1 AIR2 cela correspond à une vitesse qui est comment par rapport à la
Professeur
44.16 vitesse de la lumière ? C’est la moitié de la vitesse de la lumière.
D’accord ? x = 0,5.c.t c’est la moitié de la vitesse de la lumière.
QIR1 x = 1/3.c.t ? La droite sera encore plus ?

B1
RIR1 Élève Encore plus proche de l’axe des ordonnées !
44.44
B1 Encore plus vers la gauche. S’il y a une droite ici est-ce que c’est
QIR2 Professeur
44.45 possible ? En dessous de x = c.t ?
B1
RC Élève Non ! Ça ira plus vite que la lumière !
44.50
B1 AIR2 Professeur En dessous ça serait par exemple x = 2.c.t donc ça ce n’est pas
305
44.52 AC possible cela veut dire que l’on se déplace deux fois plus vite
que la vitesse de la lumière. Donc en fonction de la position par
rapport à x = c.t on peut voir si c’est possible ou pas.
Les échanges sont équilibrés entre les apports de l’enseignant, ses questions et les réussites
exprimées par les élèves.
Réussites
Apports de
exprimées par
l'enseignant
les élèves
34%
33%
Questions de
l'enseignant
33%
Les réussites exprimées par les élèves sont essentiellement de type intra registre.
306
Réussite des élèves
RC
33%
RIR1
67%
Les questionnements de l’enseignant sont majoritairement de type intra registre.
Questionnement de l'enseignant
QIR2
33%
QIR1
67%
307
Les apports de l’enseignant sont majoritairement de type inter registre.
Apport de l'enseignant
AC
33%
AIR2
67%
L’immobilité dans le référentiel d’Armineh
x = 0,8.c.t ça correspond à la position d’Armineh par rapport à

AIR2
B1 Daniel. Bon.
Professeur
45.11 Mais par rapport à Armineh ? Armineh elle est comment par
QT
rapport à elle ?
Après avoir défini la correspondance entre l’équation de droite x = 0,8.c.t et la ligne

d’univers d’Armineh par rapport à Daniel, l’enseignant pose une question afin de situer la
position d’Armineh par rapport à elle-même.
308
B1
RT Élève Elle est immobile !
45.21
Elle est immobile. Donc là ce qu’on a dessiné c’est la position

B1 AIR2 d’Armineh, d’accord, par rapport à Daniel. Donc par rapport à
Professeur
45.22 Armineh, elle serait immobile.
QIR2 Ça serait quel axe ?
L’enseignant apporte des connaissances et pose une question afin de faire le lien entre le
registre diagrammatique et la situation concrète.
B1
DIR2 Élève Ox’ !
45.37
Ici on voit une difficulté de type inter registre puisque l’élève indique un axe de position pour
finalement décrire une ligne d’univers. La notion de temps n’est pas prise en compte par
l’élève.
Alors Ox’ si c’est l’axe Ox’ si on se déplace suivant l’axe Ox’

B1
AIR2 Professeur cela veut dire que l’on se déplace. D’accord ? Si par exemple,
45.38
par rapport à Daniel …
B1
RIR2 Élève Ça serait l’axe des ordonnées !
45.49
Cette fois-ci c’est une bonne réponse après que l’enseignant ait expliqué que la variation de
l’abscisse x’ en décrivant l’axe Ox’ n’est pas compatible avec son immobilité dans son
référentiel. Les axes des abscisses et des ordonnées ayant été présentés, dans un épisode
précédent, comme représentant tous les deux une grandeur homogène à une distance, cela a
pu également perturber la compréhension des élèves.
309
Par Rapport à Daniel si je décris l’axe Ox je me déplace. Donc là

on est par rapport à Armineh. Ça en rouge c’est la position
B1 AIR2
45.50
B1
46.10

QIR2 Professeur
B1 DIR2 Ah ça ! Abscisse !
Élève
46.18 RIR2 Ben non abscisse, il se déplace, c’est l’ordonnée !
B1
QT Professeur Oui, donc si c’est l’axe des ordonnées c’est l’axe ?
46.19
B1
RT Élève Oc.t’ !
46.22
Oc.t’. Effectivement donc là vous avez tracé l’axe Oc.t’ (marque

au tableau) par rapport à Armineh. Donc par rapport à Daniel
B1
AIR2 Professeur c’est x = 0,8.c.t ça correspond à la position d’Armineh à
46.23
différents instants, mais par rapport à Armineh elle est fixe à
chaque fois donc on a construit l’axe Oc.t’.
Cette partie reprend ce qui a été dit précédemment, car la notion n’est pas, à première vue,
maîtrisée.
310
On voit ici que l’enseignant apporte exclusivement des informations de type inter registre.
AIR2
100%
Les questions de l’enseignant sont majoritairement de type inter registre.
Questions de l'enseignant
QT
40%
QIR2
60%
311
Les difficultés des élèves sont aussi essentiellement de type inter registre.
DL
33%
DIR2
67%
On voit ici que les réussites des élèves sont pour moitié de type technique et pour moitié de
type inter registre.
Réussites exprimées par les élèves
RT
50% RIR2
50%
312
Ce passage demeure délicat, car la part des difficultés exprimées par les élèves lors des
échanges demeure importante devant celle des réussites pour une part d’intervention de
l’enseignant relativement forte.
Difficultés
exprimées
Apports de
par les
l'enseignant
élèves
29%
18%
Réussites
exprimées par
les élèves
24% Questions de
l'enseignant
29%
B1 Qu’est-ce que vous savez de la vitesse de la lumière ? Dans le

QC Professeur
46.50 référentiel de Daniel et dans le référentiel d’Armineh ?
B1
RC Élève C’est la même vitesse !
46.55
Ici cela correspond à une question et une réponse conceptuelles (mobilisation de

connaissances vues en cours).
313
C’est la même vitesse. Oui, et ça, cette propriété, le fait que ce

AIR2
B1 soit la même vitesse, ça va se retrouver sur les diagrammes.
Professeur
46.56 x = c.t. Comment on peut définir la droite x = c.t par rapport à
QT
l’axe Ox et par rapport à l’axe Oc.t ?
B1
RT Élève C’est la bissectrice !
47.11
L’enseignant commence à faire le lien entre le second postulat et le registre diagrammatique.

Une première question purement visuelle est posée sur une propriété géométrique de la droite
x = c.t.
C’est la bissectrice. La vitesse de la lumière est la même dans le

référentiel de Daniel et dans le référentiel d’Armineh. Là qu’est-
AIR2
B1 ce qu’on a ? On a l’axe Oc.t’. On a x = c.t. Mais x = c.t ça peut
Professeur
47.12 être aussi x’= c.t’.
Comment est-ce qu’on peut trouver l’autre axe qui nous

QT
manque ? Quel axe il nous manque ?
B1
RT Élève x’ !
47.38
B1
QL Professeur x’ ?
47.40
B1 RL
Élève Ben c’est le symétrique de …x = c.t … par rapport à c.t’ !
47.45 RIR1
Ici l’enseignant fait trouver le rôle graphique de la droite x = c.t dans la construction de l’axe
Ox’.
314
C’est ça. Vous avez la même vitesse de la lumière dans le

référentiel de Daniel et le référentiel d’Armineh. Donc ça c’est le
deuxième postulat d’Einstein. Donc comment cela se traduit
AIR2
graphiquement ?
B1 AC
Professeur Cela se traduit par le fait que la droite x = c.t ou x’ = c.t’ cela va
47.47
être la bissectrice de l’axe Ox Oc.t ou alors la bissectrice de
l’axe Ox’ Oc.t’.
Donc il faut construire le symétrique de Oc.t’ par rapport à x =

QT
c.t et où va se trouver x’ donc ? L’axe x’ va se trouver ?
B1
RT Élève En dessous de x = c.t !
48.21
Après un apport conceptuel de l’enseignant permettant de relier les registres

diagrammatiques et le registre du langage naturel sur le second postulat d’Einstein, une
question technique est posée afin de situer la position de l’axe Ox’ sur le diagramme.
Il va se trouver en dessous, là (montre au tableau sur le

B1
AT diagramme). Donc tracez le symétrique de l’axe Oc.t’ par
48.22
rapport à x = c.t et vous allez avoir x’.
(Trace au tableau) Donc là vous avec x’. Donc x’ là vous avez le

même angle ici et ici. Donc vous voyez que le deuxième postulat
Professeur
d’Einstein qui vous dit que vous avez la même vitesse de la
B1 AIR2
lumière dans n’importe quel référentiel galiléen cela se traduit
48.46 AC
comment graphiquement ? Cela se traduit par le fait si vous avez
x = c.t qui est la bissectrice de x c.t, c’est aussi la bissectrice de
x’ c.t’.
Ici c’est un résumé par l’enseignant des notions vues précédemment.

315
En analysant la retranscription des échanges, on voit ici que l’enseignant apporte

majoritairement des informations de type inter registre.
AT
14%
AC
29% AIR2
57%
Les questions de l’enseignant sont majoritairement de type technique.
QC QL
20% 20%
QT
60%
316
On voit ici que les réussites des élèves sont pour moitié de type technique.
RIR1
16%
RT
50% RL
17%
RC
17%
Ce passage est plutôt bien réussi par les élèves, car leurs difficultés ne sont pas exprimées.
Réussites
exprimées par Apports de
les élèves l'enseignant
33% 39%
Questions de
l'enseignant
28%
317
Méthode inductive pour traiter l’inversion chronologique des événements
L’extrait ci-après est tiré du verbatim de la séquence du premier groupe.
Alors moi ce qui m’intéresse c’est la chronologie des

AT
événements.
A2
Professeur Pour le référentiel d’Armineh, le premier il a lieu quand ? C’est
11.38 QIR2
quel événement en premier ?
QT Pour le référentiel de Daniel en premier vous avez quel flash ?
Après avoir demandé ce qu’il se passe dans le référentiel d’Armineh, l’enseignant préfère
demander la même chose dans le référentiel de Daniel. Cela ne pose pas de problème
puisqu’il est possible de répondre à cette question sans utiliser le diagramme à partir de la
consigne écrite.
A2
RT Élève S1 !
11.52
A2 AT S1, c’est 10 ns.

Professeur
11.54 QT Ensuite vous avez quel flash ?
A2
RT Élève S2 !
11.56
A2 AT S2, ensuite vous avez S3. D’accord ?

Professeur
11.57 QIR2 Essayez de voir si c’est la même chose pour Armineh.
L’enseignant pose ensuite la même question dans le référentiel d’Armineh ce qui est
susceptible de poser plus de difficultés aux élèves puisqu’il faut maîtriser les règles de
projection sur l’axe Oc.t’ des différents événements parallèlement à l’axe Ox’.
318
(Discussion avec des élèves sur les règles de projections pour

AT
avoir les coordonnées des événements suivant x’ et Oc.t’).
Donc vous voyez il y a deux référentiels différents. Il y a le

référentiel de Daniel et le référentiel d’Armineh. Trois
événements, des choses très simples. Vous avez trois flashs
lumineux avec une certaine distance et un certain temps au bout
duquel les flashs sont déclenchés. Vous voyez que dans le
ASC référentiel de Daniel ou dans le référentiel d’Armineh, les
Professeur
A2 AC positions des flashs sont complètement différentes et les instants
13.50 des flashs, les moments où les flashs sont déclenchés sont
complètement différents et normalement vous devriez vous
apercevoir de quelque chose de curieux. La valeur numérique ne
m’intéresse pas, je veux juste l’ordre. Donc dans le référentiel de
Daniel vous avez d’abord le flash S1, le flash S2 puis le flash S3.
Essayez de me donner la chronologie pour les flashs dans le

QIR2
A2
RIR2 Élève S1, S3, S2 !
14.37
A2
QIR2 Professeur S1, S3, S2. Est-ce que tout le monde est d’accord ?
14.38
A2
DIR2 Élève Non !
14.40
L’inversion des événements pose toujours problème. La difficulté est codée de type inter-
registre car l’élève n’arrive pas à faire le lien entre le diagramme et l’interprétation physique
de ce qu’il observe. La difficulté peut aussi être simplement technique avec un élève
n’arrivant pas à réaliser des projections correctement.
319
Dans le référentiel d’Armineh, vous avez le flash S1 en premier,

ensuite vous avez le flash S3, après vous avez le flash S2. Donc
A2 ASC vous avez une inversion au niveau des événements c'est-à-dire
14.42 AC que dans le référentiel de Daniel vous avez le premier flash S1,
ensuite S2, ensuite S3 tandis que pour Armineh vous avez
inversion entre S2 et S3. Il y‘en a un qui se passe avant l’autre.
Professeur
On a représenté les trois événements dans les deux référentiels
AIR2 différents et vous voyez que dans ce cas-là vous pouvez avoir
A2
inversion des événements.
15.11
Alors pour qu’il y ait inversion des événements qu’est-ce qu’on
QC
peut dire entre les événements E2 et E3 ?
L’enseignant pose ici une question de type conceptuelle en demandant aux élèves la raison
physique de l’inversion des événements.
Je reprends. Dans le référentiel de Daniel vous avez d’abord le

A2 ASC flash relatif à S2 qui se produit en premier, après le flash relatif à
Professeur
15.26 AC S3. Dans le référentiel d’Armineh, c’est inversé. Vous avez
d’abord le flash S3 après vous avez le flash S2.
A2
RC Élève En fait on va tellement vite … !
15.48
L’élève se doute ici qu’il y a un lien avec la vitesse, mais sans pour autant donner une
réponse pleinement satisfaisante.
320
A2 Oui alors c’est la vitesse qui est élevée qui fait cela mais est-ce
QC Professeur
15.52 qu’il y a une dépendance entre E2 et E3 ?
A2
RL Élève Non !
15.58
C’est-à-dire est-ce que vous avez le flash S3 qui doit

automatiquement se passer après le flash S2 ? C'est-à-dire que
A2
QC Professeur vous avez un système électronique qui fait que vous avez
16.01
d’abord le flash S2. Lorsque le flash pour S2 s’est réalisé vous
allez avoir S3 ?
A2
RL Élève Ben non, la preuve !
16.15
La question conceptuelle de l’enseignant est tellement simplifiée que son niveau de difficulté
en devient minimal.
A2 ASC La preuve, donc ça veut dire qu’entre l’événement 2 et

Professeur
16.16 AC l’événement 3 l’ordre chronologique peut changer.
A2 Parce que vu que le flash S2 se trouve au même endroit que le

DC Élève
16.25 flash S1 … !
Les élèves semblent avoir des difficultés de compréhension avec la notion d’ordre
chronologique relatif.
321
Oui mais ce n’est pas forcément une idée que ça se trouve au

même endroit c’est juste une idée de position de l’événement par
rapport à l’espace-temps. Donc ça veut dire qu’entre
AC l’événement 2 et l’événement 3 il n’y a aucune relation et vous
ASC voyez quelque chose de bizarre, quelque chose de bizarre aussi.
A2 On pourrait imaginer deux événements qui se passent au même
Professeur
16.29 instant dans un référentiel et dans un autre référentiel ils ne se
passeraient pas en même temps.
Est-ce que tout le monde a bien vu que l’événement 2 et

l’événement 3 sont inversés dans le référentiel d’Armineh ?
QIR2
C’est-à-dire que vous avez d’abord l’événement 3 et après 2.
Est-ce que tout le monde a vu l’inversion ?

majoritairement des informations de type sens commun, techniques et conceptuelles.
AIR2
7%
ASC
33%
AC
33%
AT
27%
322
Les questions de l’enseignant sont majoritairement de type inter registre.
QC
30%
QIR2
50%
QT
20%
On voit ici que les réussites des élèves sont plutôt de types techniques ou langagiers avec bien
souvent une simple reformulation des apports de l’enseignant.
RIR2
17%
RT
33%
RL
33%
RC
17%
323
La part d’intervention de l’enseignant demeure très élevée avec une majorité d’apports et une
faible participation des élèves.
Difficultées
exprimées Catégories des échanges
par les
élèves
6%
Réussites
exprimées
par les Apports de
élèves l'enseignant
18% 46%
Questions de
l'enseignant
30%
Méthode déductive pour traiter l’inversion chronologique des événements
B2 Non la valeur on ne pourra pas la trouver par contre on va

AIR2
00.00 pouvoir comparer les événements les uns par rapport aux autres.
Professeur Il se peut que vous trouviez des valeurs négatives mais ce n’est
B2
AIR1 pas grave ça veut dire que par rapport au repère qu’on a choisi
00.26
c’est une valeur plus petite … dans l’autre sens.
B2 Monsieur, c’est possible que ça remonte les trois coordonnées ?

DT Élève
01.46 C’est parallèle à la rouge …
324
Ici l’enseignant et l’élève ne sont pas sur le même registre. L’enseignant apporte des
informations inter registre ou intra registres alors que l’élève a simplement des difficultés
techniques.
Oui, vous exprimez les trois événements dans un référentiel

différent. Et donc vous voyez que sans faire exprès … Alors
vous, vous utilisez d’habitude des repères orthonormés donc
vous avez l’habitude de prendre les perpendiculaires, mais
B2
AT normalement lorsqu’on regarde les coordonnées on regarde par
01.49
rapport à l’autre axe. On fait des projections parallèlement à
l’autre axe. Donc là vous êtes en train d’utiliser des axes non
orthonormés, bon, ce n’est pas habituel au lycée, mais ça se
Professeur
fait. Il y’a juste un coup de main à prendre.
Ce qui m’intéressera après c’est l’ordre chronologique des

événements. Pour Daniel c’est E1, après E2, après E3. Regardez
ce qu’il se passe pour Armineh. Pour Armineh vous allez vous
B2 CSIR2
apercevoir que l’ordre chronologique est différent. Vous avez
02.40 AIR2
l’événement E1, après vous avez l’évènement E3 après vous
avez l’évènement E2. Donc il y’a inversion de l’ordre des
événements.
Ici, il y a un changement de stratégie. On annonce les résultats et c’est aux élèves de le

vérifier en faisant les projections nécessaires.
B2
DIR1 Élève Et les positions par rapport à ça ?
03.02
Ici l’élève raisonne toujours par rapport à la position plutôt que par rapport à la date pour
laquelle l’événement a eu lieu.
325
On peut voir comment sont l’ordre des positions, mais moi ce

B2
AIR2 qui m’intéresse surtout c’est l’ordre chronologique des
03.08
évènements. Donc vous avez inversion des évènements.
(Passe d’élèves en élèves)
Vous voyez qu’avec la relativité il peut se passer des choses

Professeur
B2 AC très bizarres. Vous avez le même nombre d’événements mais
07.51 ASC vous avez des évènements qui sont inversés l’un par rapport à
l’autre.
B2
QT Est-ce que tout le monde a vu l’inversion des événements ?
09.01
Ici le travail des élèves ne consiste plus qu’en une validation géométrique d’une inversion de
l’ordre chronologique d’événements.
Alors l’avantage de cette représentation de Minkowski, c’est

que ça permet de comprendre l’inversion des événements.
B2
AIR2 L’inconvénient, on peut arriver à faire des mesures, mais vous
9.11
n’avez pas la même échelle entre x et c.t et entre x’ et c.t’.
Donc ça va être un petit peu plus compliqué à utiliser.
D’accord ? Donc après ce que nous allons utiliser c’est les

B2 Professeur
diagrammes de Loedel où vous avez conservation de l’échelle
9.33
dans x c.t et x’ c.t’.
AT Je vous donne la feuille que vous avez sortie tout à l’heure,
B2 c’est ce que vous venez de faire ... Donc la feuille que j’ai sorti
9.46 tout à l’heure, c’était ce que vous venez de faire parce que
sinon vous aviez déjà la réponse.
B2
DT Élève Il faut que l’on replace les points sur cette feuille ?
10.28
B2 Non, c’est juste, je vous donne la feuille que j’avais sortie tout
AT Professeur
10.29 à l’heure.
326
B2
Donc ensuite on va s’intéresser aux diagrammes de Loedel.
10.57
Pour dire ça il faut que ce soit associé à des événements, car on

peut dire tout et n’importe quoi. Pour dire que le temps
B2 s’écoule plus ou moins vite que, c’est par rapport à deux
AC
11.45 événements sinon, on ne peut pas. En fonction des événements,
on peut dire ça, on peut dire l’inverse. Il y a toutes les
situations possibles. Il faut prendre deux événements …
L’enseignant apporte des informations conceptuelles suite à une question d’un élève sur la
façon dont s’écoule le temps d’un référentiel à l’autre.
B2 C’est ce qu’on dit là, étant donné que les coordonnées sont
AT
12.05 inversées.
Avec Minkowski, simplement on peut juste dire qu’il y a une

inversion des événements. Avec Loedel on va pouvoir mesurer.
Professeur Et là on va pouvoir conclure si vous avez un segment plus
B2
AC grand ou plus petit ; on peut dire la durée est plus importante,
12.06
la durée est plus faible. Mais on ne peut pas dire le temps
s’écoule plus vite ou moins vite que, c’est toujours associé à
deux événements.
L’utilisation du diagramme de Loedel est justifiée par une comparaison plus facile de la
durée entre deux événements dans deux référentiels différents.
327
Alors est-ce tout le monde a placé les trois événements, a placé

B2
QT x’ c.t’ et a trouvé les coordonnées de E1, E2, E3 dans x’ et c.t’ ?
12.32
Alors pas les valeurs numériques, juste les projections.
Qu’est-ce qu’on peut dire de l’événement E2 et E3 ? Parce que

c’est bizarre. Pour Daniel on a d’abord E1, après E2, après E3.
B2 Professeur
QC Et pour Armineh c’est E1 après E3, après E2. Qu’est-ce qu’on
12.49
peut dire de E2 et E3, en fonction du référentiel il y en a un
avant l’autre ?
B2
QC Qu’est-ce qu’il n’y a pas pour ces deux événements ?
13.06
C’est une question difficile de l’enseignant. Il veut savoir la raison pour laquelle les
événements E2 et E3 sont inversables dans deux référentiels bien choisis.
Est-ce que l’ordre chronologique des événements peut changer

QC
en fonction des référentiels ?
Non, cela veut dire que les événements E2 et E3 sont

complètements indépendants. Je m’explique. Il n’y a pas de
boitier électronique qui fait que vous allez avoir le flash de S3
après le flash de S2. Donc vous avez des événements qui sont
complètement indépendants. Ce qui peut se passer ici, il peut se
B2
Professeur passer des choses, je ne sais pas, je suis là, je suis en train de
13.13
AC prendre ce stylo, c’est un événement. Vous allez avoir un
séisme, euh, je ne sais pas, en Indonésie, c’est un autre
événement et ces deux événements sont indépendants. Vous
comprenez, vous pouvez avoir des événements et les
événements sont complètement indépendants. Donc du moment
qu’il n’y a pas de lien vous pouvez avoir une inversion au
niveau des événements. On peut continuer ?
L’enseignant explique l’indépendance des événements sans utiliser la notion de cône de

lumière.
328

majoritairement des informations de type inter registre, techniques et conceptuelles.
AIR1
ASC 7%
7% AIR2
28%
AT
29%
AC
29%
329
Les questions de l’enseignant sont majoritairement de types conceptuels.
QT
40%
QC
60%
Les réussites des élèves ne sont pas mises en évidence dans cet extrait. La part d’intervention
de l’enseignant est plus élevée que dans l’épisode précédent avec une majorité d’apports et
une très faible participation des élèves.
Difficultées Catégories des échanges

exprimées par les
élèves
14%
Questions de
l'enseignant
23% Apports de
l'enseignant
63%
330
Alors regardez entre diagramme de Loedel et diagramme de

A2
AIR1 Professeur Minkowski. Mettez les deux diagrammes l’un à côté de l’autre.
29.56
Alors c’est le même principe.
A2
RIR1 Élève Il y a des choses qui changent !
30.07
A2 Ah, il y a des choses qui vont changer. C’est le même principe.

30.09 Vous avez Ox ça correspond à la position pour Daniel.
Oc.t ça va être, grosso modo, on va dire, ça va nous donner une

A2
indication de comment se passe le temps par rapport au
30.14 AIR2 Professeur
référentiel de Daniel.
Ox’ ça va être la position par rapport à Armineh. Oc.t’ ça va

A2
nous donner une indication de comment se déroule le temps
30.25
par rapport à Armineh.
Alors on va comparer Minkowski et Loedel. Alors Minkowski,

A2
AIR1 Professeur vous avez, on est parti d’un axe Ox et Oc.t qui étaient
30.34
perpendiculaires.
A2
RIR1 Élève Là on a Ox’ et Oc.t qui … !
30.45
Oui, tandis que là vous avez Ox’ et Oc.t. Donc vous avez l’axe
A2 AIR1
Professeur Ox’ qui est perpendiculaire à Oc.t.
30.47
QIR2 Donc Ox’ c’est le référentiel de ?
A2
RIR2 Élève Armineh !
30.55
A2 AIR2 Armineh et
Professeur
30.58 QIR2 Oc.t c’est le référentiel de ?
A2
RIR2 Élève Daniel
30.59
Daniel. Donc là vous voyez vous avez des axes qui sont
A2 AIR2 Professeur
perpendiculaires deux à deux mais pas dans le même
331
31.00 référentiel.
De même si vous regardez l’axe Ox dans Loedel il est ?
A2 QT
Ox dans Loedel il est perpendiculaire à ?
31.10
A2
RT Élève Oc.t’ !
31.16
AT Oc.t’ d’accord ?
A2
Donc vous voyez que c’est un peu le même principe, quelque
31.17 AIR1
chose d’autre va aussi se conserver.
Professeur
Dans Minkowski, j’ai utilisé ça. Vous voyez x = c.t dans
A2
AIR1 Minkowski. x = c.t c’est la bissectrice de l’angle formé par Ox
31.26
et Oc.t.
A2
DIR1 Élève Et là c’est c.t’ qui est la bissectrice de Oc.t et Ox’ !
31.38
A2
Professeur Attendez !
31.40
A2
RIR1 Élève C’est aussi la bissectrice de l’angle Ox’ et Oc.t’.
31.41
Oui dans Minkowski, donc x = c.t c’est aussi la bissectrice de

Ox’ et Oc.t’. Donc vous voyez que la droite x = c.t a la même
A2 propriété dans le référentiel de Daniel et dans le référentiel
AIR2
31.45 d’Armineh et vous comprenez que quand on dit que la vitesse
Professeur
de la lumière est la même, vous voyez que là il y a les mêmes
propriétés graphiques pour Ox Oc.t et Ox’ Oc.t’.
A2
Oui, vous disiez ?
32.11
A2
DIR1 Élève Que maintenant la bissectrice de Ox’ et Oc.t c’est c.t’ !
32.12
A2 QT Professeur Alors Ox’ … pour Loedel ?

332
32.16
A2
RT Élève Oui
32.21
A2
QT Professeur Alors Ox’ et Oc.t’ ?
32.22
A2
DIR1 Élève Non Ox’ et Oc.t ce sera c.t’ qui va être la bissectrice.
32.25
Euh, oui, peut-être. Pas persuadé parce que Oc.t’ est quand
AT
A2 même un peu plus bas. Par contre, pour Loedel, regardez !
Professeur
32.28 Pour Loedel, qu’est-ce qu’on peut dire de x = c.t pour l’axe
QT
Ox’ et Oc.t’ ?
A2
RT Élève C’est que c’est la bissectrice.
32.45
AT C’est aussi la bissectrice.

A2
Professeur Et puis qu’est-ce qu’on peut dire de x = c.t pour les axes Ox et
32.46 QT
Oc.t ?
A2
RT Élève C’est x’ = c.t’ aussi !
32.53
Alors oui on peut dire que c’est x = ct ou x’ = c.t’

A2
AT Professeur effectivement. Donc vous voyez qu’on retrouve la même chose
32.56
pour Loedel et Minkowski au niveau de la bissectrice.
A2 Eh monsieur x’ c’est pas dans le diagramme de Loedel. x’ c’est

DIR1 Élève
33.08 pas la bissectrice de c.t’ et x ?
x’ la bissectrice de Oc.t’ et x. Alors peut-être mais ça

correspond à un cas particulier qui ne nous sert pas. Pourquoi
ça nous sert pas parce que Ox et Oc.t’ ce n’est pas dans le
A2
AIR2 Professeur même référentiel. Ox c’est la position dans le référentiel de
33.15
Daniel. Oc.t’ ça nous donne une indication de comment se
passe le temps dans le référentiel d’Armineh. Donc on est en
train de comparer deux choses dans deux référentiels
333
différents. Ça correspond peut-être à un problème de la

représentation à l’aide du diagramme. C’est un cas particulier
qui ne correspond à rien physiquement.
Alors ensuite vous voyez que dans Loedel vous avez des axes
A2 qui sont perpendiculaires deux à deux. Ensuite on retrouve
AIR1
33.47 toujours Ox Ox’ du même côté de la bissectrice x = c.t et Oc.t’
Oc.t du même côté de la bissectrice.
Qu’est-ce que vous allez faire ? Et bien vous allez placer les
événements E1, E2 et E3. Donc comment vous allez faire ?
Vous allez d’abord les placer dans le référentiel de Daniel.
AT
D’accord ? Dans le référentiel de Daniel vous connaissez la
position de E1, E1 c’est 3 mètres et vous connaissez le temps
correspondant c’est 10 ns. Donc vous allez placer E1, E2, E3.
A2
Donc là vous avez les échelles qui sont données, vous utilisez
34.10
directement le diagramme de Loedel et ensuite vous regarderez
ce qu’il se passe dans le référentiel d’Armineh et là l’avantage
AIR1 Professeur des diagrammes de Loedel, c’est que vous avez des échelles
qui sont conservées donc vous allez véritablement lire les
positions et les temps dans les deux référentiels. Donc là dans
le diagramme de Loedel vous placez E1, E2 et E3.
Comment est-ce que l’on place E1, E2 et E3 ? C’est le même

principe en faisant des projections. Regardez pour x dans le
A2 diagramme de Loedel. J’ai représenté 1, vous voyez le 1 pour
AT
35.09 x ? Donc 2ième, c’est 2, troisième c’est 3 … Vous avez 3 m,
x = 3 m. Est-ce que tout le monde voit x = 3 m dans le
diagramme de Loedel ?
A2
Oui
35.29
A2 Bon, comment est-ce que l’on trace toutes les positions qui
QT
35.30 sont égales à 3 m ?
A2 DT Élève C’est la perpendiculaire à c.t.

334
35.42
A2
Professeur Non
35.43
A2
RT Élève Parallèle à c.t !
35.46
Oui, la parallèle à Oc.t. Donc pour x = 3 m, vous repérez

x = 3 m sur l’axe des abscisses et puis vous avez l’axe Oc.t qui
A2
AT Professeur est vertical. Donc vous tracez un axe vertical qui passe par
35.49
x = 3 m. Donc là ça correspond à toutes les positions qui
correspondent à x = 3 m.
A2
DT Élève Je n’ai pas compris !
36.08
Donc vous prenez 3 mètres sur l’axe Ox. Vous repérez 3

mètres, c’est la troisième graduation. Pour connaitre toutes les
A2
AT Professeur positions qui correspondent à 3 mètres, d’accord, il faut tracer
36.11
la parallèle à l’axe Oc.t. Oc.t, si vous voyez Oc.t c’est quelque
chose qui est vertical.
(Discussion avec des élèves)
A2 Ensuite vous avez 10 ns. 10 ns pour l’événement E1. Même

AT Professeur
37.10 chose, vous repérez …
A2
DT Élève Monsieur c’est sur x ou sur x’ ?
37.12
A2
AT Sur x !
37.16
Parce que l’évènement, on connait la position de l’événement

A2
AIR2 Professeur dans le référentiel de Daniel. Donc on place dans le référentiel
37.18
de Daniel et après, on va lire dans le référentiel d’Armineh.
A2
Ce n’est pas comme cela qu’on trace …
37.27
335
A2 Alors normalement l’évènement E1 vous devez le retrouver sur

38.04 la droite x = c.t. A peu près.
Parce que 3 m, quand on a dit 10 ns, 10 ns on a vu que cela

A2 correspondait à 3 m. x = c.t cela veut dire que vous avez la
AT
38.17 même valeur pour x et pour c.t. Vous devez le retrouver à peu
près sur la droite x = c.t.
A2
Oui mais 10 il faut …
38.37
A2
DT Élève Il faut décaler ?
38.37
A2 Il faut le prendre parallèlement. On trace toujours la parallèle

38.38 aux axes.
Faites attention quand vous avez 10 ns pour l’axe pour Oc.t.

A2 Bon pour savoir toutes les positions qui correspondent à 10 ns,
38.43 AT il faut partir de 10 ns et puis ensuite on trace la parallèle à Ox.
Professeur
Ce n’est pas quelque chose de perpendiculaire.
Vous n’avez pas un axe orthonormé comme d’habitude. Pour

A2
trouver les coordonnées vous devez tracer les parallèles aux
38.58
axes.
Là vous avez 10, vous faites une règle de trois. Ben regardez
A2
AT Professeur combien vous avez de cm, là vous avez par exemple … 10
40.24
unités pour 1,8 et puis vous vous voulez 27.
A2
DT Élève On divise 2,7 par 1,8 !
40.51
A2
Oui, euh, c’est 27 pas 2,7.
40.55
AT Professeur
Avant de répondre à une question, donc pour l’événement E2,
A2
vous avez 23 ns. C’est gradué sur l’axe Oc.t en 10. 10, 20, 30,
336
41.23 40 … Et vous n’avez pas les graduations intermédiaires. Alors

qu’est-ce qu’il faut faire ? Ben vous faites une règle de trois.
A2 Regardez lorsque vous avez 10 ns cela correspond à combien

QT
41.50 de cm ? De 0 à 10 vous avez combien ?
A2
RT Élève 1,8 !
41.58
1,8 cm. Donc là vous avez 23 ns et vous regardez à combien de

A2 cm cela correspond (trace un tableau de proportionnalité type
AT Professeur
41.59 collège au tableau). Donc cela veut dire que c’est 1,8 fois 23
divisé par 10.
A2
On pouvait faire 2,3 fois 1,8 direct !
42.16
RT Élève
A2
4,14 !
42.19
A2
Professeur Oui, le principal c’est d’y arriver. C’était ça votre question ?
42.22
A2
Euh, non …
42.26
Élève
A2 C’est pour savoir si c’était juste ce que j’ai fait … J’ai placé
DT
42.29 mes points.
A2 Alors E2. E2 vous l’avez placé comment ? Le 23 vous l’avez

QT Professeur
42.31 placé … mais comment ? A l’arrache ou …
A2
DT Élève Ben un peu
42.40
A2
AT Professeur Il faut le faire assez précisément.
42.42
Alors E2 normalement il est à la même abscisse qu’E1. Donc si

A2
AT Professeur vous avez tracé x = 3 m vous avez E1 et E2 qui sont au même
43.00
endroit.
337
A2
RT Élève Ah oui E2 il est un peu dessous.
43.17
Donc après ce que vous devez faire, vous devez trouver …

Donc là vous avez les différentes échelles sur l’axe Ox’ Oc.t’ et
A2
donc il faut trouver les valeurs des abscisses et des ordonnées
43.27
pour E1, E2, E3 dans le référentiel de Daniel et le référentiel
d’Armineh.
A2
Dans le référentiel de Daniel, vous connaissez déjà.
43.47
(à un élève) Alors ça E1, E2, E3, vous l’avez placé dans le

AT Professeur référentiel de Daniel, dont vous connaissiez les positions. Et ce
qui est bien c’est que Oc.t’ et Ox’ c’est le référentiel
A2 d’Armineh. Donc comment on fait pour trouver dans le
43.51 référentiel d’Armineh. Euh … Donc là, il faut trouver
l’abscisse par exemple … c.t’ c’est comme cela. Donc
l’abscisse, alors on va tracer la parallèle et là vous allez avoir
l’abscisse d’E1 dans le référentiel d’Armineh.
A2
C’est juste un problème de projections et de parallèles.
44.32
338
Les apports de l’enseignant donc majoritairement de type technique.
AIR1 AIR2
18% 20%
AT
62%
Il en est de même pour son questionnement.
QIR2
20%
QT
80%
339
Les élèves expriment essentiellement des difficultés techniques de manipulations basiques de

l’outil graphique.
DIR1
36%
DT
64%
L’accent étant mis sur le côté technique, ce sont surtout ces réussites qui sont mises en
évidence chez les élèves.
RIR2
RIR1 14%
22%
RT
64%
340
34% des échanges viennent des élèves dans cet épisode.

Difficultés
exprimées par les
élèves
15%
Réussites
exprimées par Apports de
les élèves l'enseignant
19% 53%
Questions de
l'enseignant
13%
Alors, vous prenez les deux feuilles que je viens de vous

donner. Donc c’est Minkowski, ce que vous avez fait et puis
AT
B2 maintenant on va utiliser un autre diagramme, le diagramme de
Professeur
14.12 Loedel. Il y a des choses que l’on retrouve entre ces deux-là.
Alors qu’est-ce qu’il y a de particulier ? Qu’est-ce que vous

QT
retrouvez entre Loedel et Minkowski ? Oui.
B2
x = c.t !
14.38
B2
RT Élève x = c.t
14.39
B2
Et les deux axes qui sont les mêmes. Ah pardon, les quatre !
14.41
B2 Alors x = c.t et les quatre axes qui sont les mêmes. C’est-à-
QT Professeur
14.48 dire ?
341
B2
RT Élève Ben il y’a quatre fois les axes.
14.50
B2
AT Il y a quatre fois les axes, oui.
14.52
Alors dans Minkowski et dans Loedel vous allez retrouver Ox,

Professeur vous allez retrouver Oc.t. Donc, ça c’est le référentiel de
B2
AIR1 Daniel. Donc il est dans Minkowski, il est dans Loedel. C’est le
14.54
même principe. Vous allez retrouver la même chose pour
Armineh Ox’ et Oc.t’. Oui.
B2
RIR1 Élève Et aucun des repères n’est orthonormé.
15.09
Aucun des repères n’est orthonormé, oui. Dans Minkowski,

c’est vrai que c’est bien pour commencer Minkowski parce
B2 qu’on commence avec un axe Ox et Oc.t. On a quelque chose
AIR1 Professeur
15.13 qui est orthonormé. Pour Ox’ et Oc.t’ ce n’est pas orthonormé,
ce n’est pas obligé mais on peut commencer comme cela.
Tandis qu’avec Loedel non, oui ?
B2
RT Élève Dans Loedel, l’abscisse c’est x’.
15.30
Alors, dans Loedel l’abscisse c’est x’. Alors oui effectivement

B2
QT Professeur vous avez Ox’ qui est horizontal. Mais est-ce que ça on n’aurait
15.32
pas pu faire autre chose ?
B2
RT Élève On aurait pu mettre Ox.
15.44
Oui ? On aurait pu mettre Ox. Il suffit juste de représenter

B2
AT différemment (bouge la feuille du diagramme de Loedel de
15.44
façon à avoir Ox horizontal ou Ox’ horizontal).
Professeur
B2 Est-ce que ça a une importance la façon dont elles sont placées
QT
15.53 les unes par rapport aux autres ?
B2 AT Oui, mais par exemple le fait que Ox’ soit horizontal. On aurait
342
15.57 pu mettre Ox horizontal.
B2
RT Élève Les distances auraient été les mêmes.
16.03
Oui les distances auraient été les mêmes. Si j’avais mis Ox

B2
AT horizontal. Oc.t n’aurait plus été vertical. Il aurait été décalé
16.04
Professeur vers la gauche.
B2 Alors dans Loedel il y a quelque chose de particulier, regardez
QT
16.17 l’axe Ox.
B2
RT Élève Il est décalé.
16.23
B2 Il est décalé et qu’est-ce qu’il n’y a pas autre chose avec un

QT Professeur
16.24 autre axe ?
B2
RT Élève Il est perpendiculaire avec Oc.t’.
16.28
B2 Oui, vous voyez vous avez Ox et Oc.t’ qui sont

AT Professeur
16.29 perpendiculaires. Ça c’est par construction.
B2
RT Élève Et Ox’ et Oc.t sont perpendiculaires aussi.
16.35
Oui, vous avez Ox’ et Oc.t qui sont perpendiculaires. Par

contre Ox’ c’est le référentiel d’Armineh, Oc.t c’est le
référentiel de Daniel. Donc il n’y a aucun rapport entre les
AIR2 deux parce que ce n’est pas dans le même référentiel. Par
construction, effectivement ils sont perpendiculaires. Pour
B2
Professeur x = c.t, dans Minkowski, x = c.t c’était la bissectrice des axes
16.36
Ox et Oc.t et Ox’ Oc.t’.
Je vous avais dit que finalement le second postulat d’Einstein

qui dit qu’on a la même vitesse de la lumière dans n’importe
QIR2
quel référentiel ça se traduisait graphiquement par ça. Est-ce
que dans Loedel on retrouve ça ?
B2 Élève Oui …
343
17.13
Dans Loedel on retrouve ça. Regardez x = c.t dans Loedel.

B2 Lorsqu’on regarde l’axe Ox et l’axe Oc.t x= c.t c’est aussi la
QIR1
17.14 bissectrice. C’est aussi la bissectrice de Ox’ Oc.t’. x = c.t on
Professeur
peut aussi l’écrire différemment.
B2
QT x = c.t c’est dans quel référentiel ?
17.31
B2
RT Élève De Daniel.
17.33
Dans le référentiel de Daniel. Et dans le référentiel d’Armineh

B2
QIR2 Professeur ça serait ? Dans le référentiel d’Armineh, ça s’écrirait
17.34
comment ?
B2
RIR2 Élève Oc.t’
17.43
B2
QT Oui Oc.t’ qui est égal à
17.44
Professeur
B2 à x’. Donc vous voyez que x = c.t est confondu avec la droite
AT
17.47 x’ = c.t’. C’est bon ?
Entre Minkowski et Loedel, c’est un peu le même principe. La

seule différence, c’est que dans Loedel vous allez avoir
l’échelle qui va être conservée. C’est-à-dire que vous allez
B2
AIR1 avoir la même échelle dans le référentiel de Daniel et dans le
17.57
référentiel d’Armineh. Donc on va pouvoir regarder
éventuellement, euh, mesurer des durées et regarder s’il y a
Professeur quelque chose qui change.
Ce que vous allez faire maintenant, donc vous avez le

B2
AT diagramme de Loedel, vous allez l’utiliser tel quel. Vous allez
18.20
placer les événements E1, E2 et E3.
B2 On va commencer par l’événement E1. Est-ce que tout le

QT
18.28 monde voit l’axe Ox ?
344
B2
AT Vous avez 1 qui est représenté.
18.35
B2
RT Élève Le 1 pour Daniel là ?
18.36
Oui E1 pour Daniel. Ben oui parce que E1, E2, E3 on l’a que
B2
AIR1 pour Daniel. On l’a pas pour Armineh mais du moment qu’on
18.38
le place pour Daniel après on pourra le lire pour Armineh.
Professeur Alors pour x vous avez 1. Vous allez repérer 3. Comment est-
B2 ce que l’on trouve dans le référentiel de Daniel, euh, lorsqu’on
QT
18.47 a une abscisse qui est constante ? Comment est-ce qu‘on fait
pour avoir une abscisse de constante ?
B2
RT Élève C’est une droite verticale !
19.05
B2 C’est une droite verticale oui parce qu’elle est parallèle à

QT Professeur
19.07 l’axe ?
B2 DT Des abscisses
Élève
19.10 RT Des ordonnées
De l’axe des ordonnées donc vous avez x = 3. Vous repérez x =

B2 3. Vous avez l’axe Oc.t qui est vertical. Donc on prend comme
19.13 tout à l’heure. Vous prenez la parallèle à l’axe Oc.t et donc là
vous allez avoir tous les points qui ont x = 3.
AT
Pour repérer sur l’axe Oc.t 10 ns fois c, vous le voyez ?
B2 Professeur Comment est-ce que l’on trouve la droite avec tous les points
19.32 qui ont un temps de 10 ns ? Il va falloir tracer la parallèle à
l’axe Ox et puis qui passe par le point 10 ns fois c sur l’axe c.t.
Allez, je vous laisse chercher. Donc il faut placer E1, E2, E3

B2
QT dans le référentiel de Daniel en utilisant le diagramme de
19.52
Loedel.
B2
RT Élève Ça tombe sur x = c.t !
20.08
345
B2
Ça c’est normal. Effectivement ça tombe sur l’axe x = c.t.
20.12
AT Professeur
B2
Donc les projections, se font parallèlement aux axes.
21.01
B2
DT Élève Et même chose pour les autres ?
21.08
B2
AT Professeur Même chose pour les autres …
21.10
Alors pour E1 c’est simple vous avez les graduations qui sont
données. Comment on va faire pour E2 ? Pour E2 vous avez 3
AT m, donc ça ne change pas, mais vous avez 23 ns. 23 ns il n’y a
B2
Professeur pas des graduations parfaites donc il va falloir faire une règle
22.28
de 3. Il ne faut pas placer n’importe comment.
Est-ce que vous pouvez mesurer, 10 ns ça fait combien ? De 0

QT
à 10 ns ? Combien de cm ?
B2
RT Élève 1,8
22.57
1,8 cm (marque au tableau dans un tableau de proportionnalité)

B2 AT pour 10 ns multiplié par c. Donc pour l’événement E2 vous
22.58 CST devez avoir 23 ns. Donc vous faites une règle de trois. C’est 23
fois 1,8 divisé par 10. Et donc vous aurez le nombre de cm.
Professeur Donc vous voyez qu’on a les deux référentiels qui sont
représentés sur le même diagramme d’espace-temps. On place
B2
AIR1 les trois événements en utilisant le référentiel de Daniel et par
23.38
lecture graphique on va avoir les coordonnées de ces trois
événements dans l’autre référentiel.
B2
QT Allez-vous placez les trois événements.
26.44
Professeur
B2 Alors lorsque vous avez placé les trois événements, après, vous
AT
27.18 vous êtes servi du référentiel de Daniel pour placer les trois
346
événements, ben maintenant vous allez regarder quelles sont

leurs coordonnées dans le référentiel d’Armineh. Donc vous
allez faire les trois projections sur Ox’ Oct’ et sauf que
maintenant, tout à l’heure vous avez fait juste les projections, là
vous allez faire les projections sur Ox’ et Oct’ et vous allez lire
quelles sont les coordonnées dans le référentiel d’Armineh.
B2
DT Élève Je ne comprends pas trop là.
27.51
B2
AT Professeur Vous avez fait les trois événements.
27.53
B2
RT Élève On fait pareil que tout à l’heure !
27.55
On fait pareil que tout à l’heure donc vous allez faire des
B2 projections suivant Ox’ et Oc.t’ et en plus après il va falloir
27.56 regarder quelle est la valeur. Tout à l’heure on n’a pas regardé
AT Professeur quelle était la valeur de x’ et c.t’.
Pour E3, c.t’, je prends parallèlement à c.t’ sur x’, hop ça sera
B2
ici (montre sur la copie de l’élève). Et après vous regarderez
28.15
quelle est la valeur. Ce sera 3 quelque chose.
B2
Élève Monsieur ? Là c’est bon ou pas …
28.26
Alors E1 je suis d’accord … Oui c’est sur 3 m, je suis d’accord

mais vous avez E2 c’est … 23 vous l’avez placé comment ? En
faisant comme ça ou au pif ? Comme ça ? Bon et donc 23, là
B2 vous avez l’axe Ox et donc il faut la parallèle à l’axe Ox
AT Professeur
28.31 passant par 23. Vous avez fait pour E2, oui ? Donc là oui c’est
bon … Maintenant vous faites les projections de E1, E2, E3
suivant x’ et ct’. Alors suivant x’, on fait la projection …
(inaudible)
B2 DT Élève Une fois qu’on a les trois points ?

347
30.01
Donc après il faut faire les projections de E1, E2, E3 pour

trouver la valeur de x’ et la valeur de c.t’. Tout à l’heure on a
B2 fait les projections. Là par exemple, on va prendre le cas d’E2.
AT Professeur
30.05 Alors, E2, je veux connaitre sa valeur de x’. Euh, l’axe c.t’ il est
là. Donc il faut prendre quelque chose parallèle à c.t’ passant
par E2, comme ça …
B2
DT Élève Et parallèle à x’ !
30.28
B2
AT Professeur Parallèle à c.t’ ! Si c’est parallèle à x’ on ne va jamais …
30.32
B2
RT Élève Oui !
30.36
B2
QT Professeur Et donc après il va falloir trouver la valeur.
30.37
B2
DT Élève On s’arrête lorsqu’on rencontre une droite ?
30.42
B2
AT Professeur Ben oui
30.43
B2
DT On rencontre laquelle ?
30.44
Élève
B2
RT Quand on rencontre x’ ! (Autre élève)
30.45
Là vous avez …, là c’est parallèle à c.t’ lorsque vous

B2
AT Professeur rencontrez x’ c’est bon et après il faut regarder quelle est la
30.45
valeur.
Là ce qui est intéressant c’est que maintenant, grâce au

B2
AIR1 Professeur diagramme de Loedel, vous allez avoir la position et le temps
30.55
de chacun des événements dans le référentiel d’Armineh.
348
B2
RT Élève Donc x’ c’est la position en fait ?
31.07
B2
AT Professeur Oui, c’est la position.
31.08
B2
Élève C’est x’ de …
31.09
B2 Et là vous trouvez quelque chose de négatif. Donc ça veut dire

AT Professeur
31.09 que par rapport à l’origine, ben c’est avant.
B2 Elle n’était pas face … Elle n’était pas au niveau du flash, mais
DIR2 Élève
31.29 elle (inaudible) …
B2 Regardez le temps. Sachant qu’il y a des phénomènes bizarres.

QIR1 Professeur
31.36 Vous avez inversion entre E2 et E3.
B2
Oui, oui, déjà ça c’est chaud …
31.40
Élève
B2
DT E1 c’est 0 ??
31.45
E1 c’est 0 … Oui là il faut ... Donc vous voulez quoi ? x’ ou 1 ?

B2 Donc là on a E1. On prend la parallèle … (inaudible) et là pour
AT
31.46 avoir x’ et là on avait x’, pour avoir c.t’ on prend quelque chose
Professeur
qui est parallèle à x’ et on va avoir c.t’ …
B2 Mais si vous avez x’ qui est négatif, cela veut dire que l’objet il
AIR2
32.26 est où ? Il est derrière.
B2
RT Élève Oui, ben oui.
32.31
B2
AT Professeur Si c’est négatif !
32.38
B2
RT Élève Ça parait plus logique …
32.39
B2 AIR2 Professeur Vous avez l’événement, l’origine c’est quoi ? C’est lorsque
349
32.40 Armineh et Daniel sont au même endroit. Ça çà correspond à

l’origine des espaces et l’origine des temps. Si vous trouvez x’
qui est négatif, ça veut dire que l’événement, la position, c’est
derrière elle quand vous avez Daniel et Armineh qui se
rencontrent.
Donc vous voyez que par rapport à tout à l’heure, c’est un tout
B2
AT petit peu plus. Il faut faire les projections suivant x’ et c.t’ et
33.22
trouver les valeurs.
B2 Essayez de répondre aux questions suivantes. Maintenant vous

35.36 savez utiliser, essayez de répondre aux questions.
Alors avant de répondre aux questions, il faut trouver les

coordonnées des trois événements dans le référentiel
B2
QT d’Armineh. Donc il faut avoir les valeurs de x’ et de c.t’.
35.49
Lorsque vous avez trouvé les coordonnées ensuite vous pouvez
Professeur
commencer à regarder les questions.
(à un élève) alors on va faire pour E2. E2 on peut projeter sur

c.t’... (Inaudible). On va avoir la valeur sur c.t’. D’accord ?
Pour avoir la valeur sur x’ vous avez l’axe c.t’ donc vous faites
B2 une projection là. Là vous aurez la valeur de x’. Donc vous
AT
37.57 voyez cela veut dire que l’événement E2 se passe derrière
Armineh. Vous avez Armineh et Daniel qui se rencontrent ici
et l’événement E2 c’est derrière elle. Faites une projection et
après vous trouverez les valeurs.
B2
DT Élève On arrondit à combien pour les valeurs ?
38.47
B2
AT Euh, vous gardez une décimale.
38.48
Professeur Donc vous voyez qu’avec la relativité, il peut y avoir beaucoup

B2 de choses qui sont perturbantes. Vous pouvez avoir inversion
AC
38.56 de l’ordre chronologique d’événements, vous pouvez avoir des
objets qui passent derrière parce que quand vous avez
350
changement de la perception de temps et puis d'espace il peut

se passer des choses très différentes dans chacun des deux
référentiels.
B2 (À un élève) ça c’est dans x’ et c.t’ … (Inaudible) ça c’est

AT
39.28 négatif ça …
Dans cette partie de séance, les apports de l’enseignant sont essentiellement techniques.
AC
3% Apports de l'enseignant
AIR2
AIR1 7%
14%
AT
76%
351
Il en est de même du questionnement de l’enseignant.
QIR1 QIR2
10% 10%
QT
80%
Cela n’empêche pas des difficultés pour l’écrasante majorité technique de la part des élèves.
DIR2
10%
DT
90%
352
Ainsi que des réussites dans la même catégorie.

RIR1 RIR2
4% 4%
RT
92%
L’enseignant pose plus de question que dans le premier groupe ce qui induit un pourcentage
de réussite plus élevé et moins de difficultés exprimées chez les élèves.
Difficultés Catégories des échanges

exprimées par les
élèves
10%
Réussites Apports de
exprimées par l'enseignant
les élèves 44%
25%
Questions de
l'enseignant
21%
353
Bon, alors l’avantage du diagramme de Loedel c’est que donc

vous avez un événement, un évènement ben vous allez le … ça
A3
AT Professeur se traduit comment, cela se traduit par une position et puis par
23.13
une date associée. Donc un événement cela correspond à un
point dans un diagramme d’espace-temps.
A3
DIR1 Élève Ce n’est pas une durée ?
23.30
Alors une durée c’est une différence de temps. C’est pour cela
que l’on parle plutôt de position et de temps. Une durée cela va
être une différence de temps. Donc, on place les trois
événements dans un référentiel donné donc, dans le référentiel
de Daniel. On utilise un repère qui permet de placer ces trois
A3 événements dans le référentiel de Daniel et puis on va pouvoir
AIR1 Professeur
23.32 les lire automatiquement dans le référentiel d’Armineh. Donc
vous voyez il n’y a finalement pas tant de questions à se poser
que ça, c’est juste une lecture graphique. Et on va voir ce que
l’on peut en faire. Normalement avec l’activité vous avez
différentes questions, d’accord, donc on va essayer à répondre
à ces questions.
Alors question 1 pourquoi est-il impossible de fabriquer un

A3 dispositif permettant de déclencher le flash S3 4 ns après le
QC Professeur
24.13 déclenchement du flash S2 ? Alors, qu’est-ce qu’on pourrait
répondre à cette question-là ?
A3
DC Élève Monsieur ? Parce qu’ils ne sont pas dans le même référentiel.
24.33
Non. Ben, non là on est, on vous dit que le flash S2, alors S2 se
trouve à 3 m de Daniel, on a un flash au bout de 23 ns, donc un
A3 flash lumineux. S3 se trouve à 9 m de Daniel et puis on a un
AIR1 Professeur
24.38 flash au bout de 27 ns. Donc là quand on explique cela, on est
par rapport à Daniel. Ça correspond, vous avez placé les trois
événements par rapport à Daniel. Ce n’est pas une réponse.
354
A3
DC Élève 4 ns c’est vraiment trop petit non.
25.06
A3
QC Professeur Par rapport à quoi c’est trop petit ?
25.09
A3
DL Élève Par rapport à …
25.11
A3
QC Professeur Parce que 4 ns c’est petit mais par rapport à quoi ?
25.13
A3
DC à x2 !
25.16
A3 Non, par rapport à la voiture d’Armineh... Ben oui … Oui voilà

DL Élève
25.18 … Elle va trop vite en fait. Oui même à Daniel.
A3 Daniel il ne voit pas la différence, il croit que c’est en même

DC
25.24 temps.
Oui mais, trop petit en général c’est trop petit par rapport à
A3 quoi. Qu’est-ce qu’il y a de différent entre S2 et S3 ? Parce que
QC Professeur
25.25 là vous m’avez parlé de 4 ns donc vous avez fait une différence
de temps.
A3
RL Élève Il y’a 6 m de …
25.37
A3
QT Professeur Ah 6 m. Alors 6 m en 4 ns qu’est-ce qu’on pourrait calculer ?
25.38
A3
RT Élève La vitesse.
25.42
A3 Ben la vitesse, oui. Calculez la vitesse. Quelle vitesse il

25.43 faudrait pour parcourir 6 m en 4 ns ?
A3 QT Professeur
Et comparer sa vitesse réelle et …
25.51
A3 Et comparer la vitesse à … Quelle est la vitesse limite ?

355
25.52
A3
RT Élève Ben c
25.55
A3 La vitesse de la lumière. Si vous trouvez une vitesse plus

QT Professeur
25.56 grande que la vitesse de la lumière …
A3
RT Élève C’est impossible !
25.58
A3
AT Professeur Ce n’est pas possible. Allez-y faites le calcul.
25.59
A3
RC Élève Même théorique ce n’est pas possible monsieur !
26.01
A3
Professeur Pardon ?
26.02
A3
RC Même théorique ce n’est pas possible.
26.03
Élève
A3
RL (Autre élève) ce n’est pas si théorique que ça !
26.04
Même théorique, euh non, là ce n’est pas théorique c’est

pratique. Vous avez, vous avez deux flashs lumineux, il y a une
A3
AL Professeur différence de distance entre ces deux sources, il y a une
26.05
différence de durée, ce n’est pas théorique, ça correspond à un
cas concret …
A3
RT Élève On trouve 1 milliard 500 millions m/s.
26.21
1 milliard 500 millions de m/s donc cela veut dire qu’on est au-
delà de la vitesse de la lumière. Donc est-ce que c’est possible
A3 que l’on puisse imaginer que le flash S3 se déclenche après le
AC Professeur
26.24 flash S2 avec un système automatique par exemple un système
électronique qui permette de déclencher le flash S3 après le
flash S2. Ben non ce n’est pas possible.
356
Et alors qu’est-ce qui vous permet de dire aussi que ce n’est

pas possible ? Rappelez-vous ce qu’il s’est passé entre S3 et S2
QIR2
dans le référentiel de Daniel et dans le référentiel d’Armineh ?
Vous ne vous rappelez plus ce qu’il s’est passé ?
A3
RIR1 Élève Ce n’est pas S3 qui se déclenchait avant S2 ?
26.59
Oui, voilà, dans le référentiel d’Armineh, vous aviez inversion

des événements dont vous aviez S3 qui se déclenchait avant S2.
Donc ça veut dire que l’ordre chronologique de ces deux
AIR2 événements peut changer. Ce sont deux événements qui sont
A3 indépendants. Cela veut dire que S3 ne va pas forcément se
Professeur
27.02 déclencher après S2 parce que justement on peut inverser ces
événements.
Donc on va voir la correction. Petit 1, vous marquez sur votre

QT feuille. Est-ce que je peux effacer là ? Vous avez compris le
système ?
A3
RT Élève On ne calcule pas la vitesse ?
27.37
A3
AT On va calculer, oui, oui.
27.38
Donc vous allez voir qu’il y a deux possibilités de réponses.

(Écrit au tableau) Alors petit un. Donc on va calculer la vitesse.
La vitesse est égale à la distance entre S2 et S3 divisée par
tS2S3. Donc on regarde quel doit être la vitesse de l’information
Professeur
A3 AT pour que S3 se déclenche après S2. Alors la différence de
27.42 distance, S3 se trouve à 9 m et S2 se trouve à 6 m. Donc c’est 9
moins 6 et puis la différence de temps donc la durée donc ça va
être 27 ns, donc 27.10-9 – 23.10-9. Donc ça fait 6 divisé par
4.10-9.
QT Alors lorsqu’on fait le calcul on trouve combien ?

357
A3
RT Élève 1 milliard 500 millions
29.00
A3
QT Professeur Donc en notation scientifique ?
29.02
A3
RT Élève 1 fois 109.
29.04
A3 1 milliard 500 millions donc ça fait 1,5.109 m.s-1. Et la vitesse

QT Professeur
29.06 de la lumière c’est combien ?
A3
RT Élève 300000 km.s-1.
29.23
A3 En m.s-1 c’est 3.108. Donc on a v qui est supérieur à c. Donc ce

AC Professeur
29.25 n’est pas possible.
A3
RC Élève C’est même irréalisable.
29.36
Ah si c’est réalisable. Mais c’est-à-dire que vous n’allez pas

A3
AC Professeur avoir, on ne peut pas imaginer que S3 se déclenche 4 ns après
29.38
S2. C’est complètement indépendant comme événement.
A3
RL Élève Mais je parle de dépasser la vitesse de la lumière.
29.50
A3
AC Oui, c’est impossible.
29.52
Professeur Vous ne pouvez pas avoir une information qui dépasse la
A3
AC vitesse de la lumière. Donc ce n’est pas possible on ne peut pas
29.53
imaginer un dispositif permettant de déclencher S3 après S2.
A3
RL Élève C’est S3 après S2 monsieur.
30.48
S3 après S2 oui. Alors il y a une autre façon de voir ça en

A3
QIR1 Professeur utilisant le diagramme. Comment est-ce que l’on pourrait voir
30.51
ça aussi.
358
A3
RIR1 Élève Ben la position des événements.
31.11
Ouais, avec la position des événements. Alors là vous avez

x = ct. D’accord. On peut aussi tracer x = - ct. x = - ct il va être
A3
AIR1 Professeur comme cela. Donc x = c.t on se déplace dans un sens. x = - ct
31.12
on va se déplacer en sens inverse. x = - c.t il va être comme
cela, cela va être la bissectrice de (montre au tableau)
A3
(Élève) Non !
31.43
Élève
A3
DL Sur le diagramme c’est …
31.47
A3 Attendez, x = - c.t, il va être … il va être. Il va être euh entre …

AT Professeur
31.48 ça va être la bissectrice de c.t et puis …
A3
DT Élève (Élève) x !
32.00
A3 Donc la bissectrice de ct et – x ou alors ça va être la bissectrice

AT
32.01 de – x’ et c.t’ d’accord ?
Donc x = - c.t ça va être quelque chose qui va faire comme

cela. Alors donc en fait il suffit de regarder la pente d’E2 E3. Si
vous avez la pente d’E2 E3 qui est plus petite que x = -ct cela
veut dire que cela correspond à quelque chose qui se
Professeur
A3 déplacerait au-delà de la vitesse de la lumière. Et donc ce n’est
AIR2
32.17 pas possible donc il est aussi envisageable d’utiliser des
diagrammes d’espace-temps en s’intéressant aux pentes
relatives qui joignent les deux événements et avec ces pentes
relatives on a accès à la vitesse et on compare par rapport à la
vitesse de la lumière. C’est bon on peut continuer ?
Donc voyez il peut y avoir des événements qui sont

A3 complètement indépendants les uns des autres. Alors deux
AC Professeur
32.57 événements qui peuvent être dépendants, euh ça peut être par
exemple, la naissance d’un individu et la mort d’un individu.
359
Ce sont deux événements qui dépendent l’un de l’autre et on ne

peut pas avoir inversion. C’est-à-dire que l’on ne peut pas
mourir avant de naitre.
A3
RL Élève Si les bébés qui meurent dans le ventre de leur mère !
33.26
A3 Oui, alors la définition de naissance, c’est-à-dire que vous

AL Professeur
33.27 sortez du ventre de votre mère.
A3
RL Élève Ben c’est la création …
33.34
Oui voilà, donc vous ne pouvez pas avoir la destruction avant

la création. Est-ce que vous êtes d’accord avec moi ? Et donc là
ça va être des événements qui vont dépendre l’un de l’autre.
Bon, quand vous avez des événements qui dépendent l’un de
l’autre, quand on les exprime dans des référentiels différents,
d’accord, on ne va pas avoir l’inversion de l’ordre
chronologique d’événements. Comme E2 et E3 sont
A3
AC Professeur complètements indépendants, c’est pour cela que l’on a vu dans
33.34
le référentiel de Daniel vous aviez E2 avant E3, et dans le
référentiel d’Armineh vous aviez une inversion, E3 E2. Par
contre si c’était deux événements qui étaient dépendants l’un
de l’autre, on n’aurait pas eu l’inversion. C’est-à-dire que si
vous avez dans un référentiel la création et que dans le même
référentiel vous avez la destruction, on ne peut pas imaginer
dans un autre référentiel l’inversion de ces deux événements.
Ce sont les apports conceptuels et techniques qui sont majoritaires.

360
AL AIR2
10% 10%
AT
AC 30%
35%
AIR1
15%
Les questions de l’enseignant sont majoritairement de types techniques puis conceptuels dans
une moindre mesure.
QIR2
7%
QC
26%
QIR1
7%
QT
60%
Les difficultés exprimées par les élèves sont de types conceptuels puis langagièrs.
361
DT
11%
DIR1
DC 11%
45%
DL
33%
Les réussites exprimées par les élèves sont préférentiellement de types techniques puis
langagiers.
RC
16%
RL
32%
RIR1 RT
10% 42%
Les apports de l’enseignant sont du même ordre de grandeur que les réussites exprimées par
les élèves.
362

Difficultés
exprimées par les
élèves
14%
Apports de
l'enseignant
32%
Réussites
exprimées par
les élèves
30%
Questions de
l'enseignant
24%
Alors première question pourquoi est-il impossible de fabriquer

B3
QC Professeur un dispositif permettant de déclencher le flash S3 4 ns après le
19.01
déclenchement du flash S2 ?
B3 Parce qu’étant donné que (inaudible)… Parce que ça va

DC Élève
19.15 dépendre de la vitesse de la personne qui passe !
B3
QL Professeur Pardon ?
19.22
B3
DC Élève Parce que ça va dépendre de la vitesse de l’automobiliste !
19.23
Oh non, non là vous avez, là on est dans le référentiel de Daniel

donc c’est par rapport à la route. Vous avez le flash S2 qui se
B3 trouve à 3 m de Daniel, vous avez un flash lumineux qui est
AT Professeur
19.27 déclenché au bout de 23 ns et puis S3 c’est à 9 m de Daniel
c’est au bout de 27 ns donc il n’y a pas d’histoire de quelqu’un
qui se déplace.
B3 RC Élève Parce qu’il faudrait qu’il y ait un signal qui aille plus vite que
363
19.47 la vitesse de la lumière non !
B3
QL Professeur Ah, et comment est-ce que vous déterminez ça ?
19.51
B3
RT Élève Ben il faut calculer la distance du document !
19.54
Oui, c’est ça, essayez de faire le calcul. On connait la distance

B3
QT Professeur qu’il y a entre la source 2 et la source 3. Quelle est cette
19.56
distance ?
B3
RT Élève Euh, 6 m !
20.04
On passe de 3 à 9 m donc vous avez 6 m. Vous connaissez,

vous pouvez connaitre la durée que va mettre le signal. Donc la
vitesse est la distance divisée par la durée et puis vous allez
B3
AT donc regarder quelle devrait être la vitesse du signal lumineux
20.05
qui irait de S2 à S3. Si c’est supérieur à la vitesse de la lumière,
ce n’est pas possible d’avoir quelque chose indépendant. Enfin,
Professeur d’avoir quelque chose qui dépend. Donc allez-y faites le calcul.
Alors donc il faut trouver la vitesse. La vitesse, ça va être la

distance entre l’événement E3 et puis l’événement E2 divisé par
B3 tE3 – tE2 (écrit au tableau). Donc la distance c’est 9 – 3 divisé
AT
21.09 par 27 – 23. 27.10-9 – 23.10-9. Attention parce qu’on est en ns.
Donc ça vous fait 6 m divisé par 4.10-9. Et donc là on va être en
m.s-1.
B3
RT Élève Ça fait un milliard 500 millions m/s !
22.09
B3
QT Professeur Ouais donc ça fait 1,5.10 puissance …
22.12
B3
RT Élève 6, 8, pff 9 !
22.14
B3 AC Professeur 1,5.109 m.s-1. Alors ça veut dire quoi, ça veut dire qu’on aurait
364
22.16 quelque chose qui serait supérieur à la vitesse de la lumière.

Donc v > c donc c’est impossible.
QC Alors c’est impossible de quoi ?
B3
RC Élève Parce que l’un s’est déclenché que le suivant se déclenche !
22.36
C’est ça. Il est possible d’avoir deux événements, l’événement

E2 et E3 donc ces deux-là peuvent exister par contre il est
B3 impossible d’imaginer un dispositif qui fasse déclencher le
AC
22.41 dispositif S3 4ns après le dispositif associé à S2. D’accord ?
C’est impossible d’avoir ces deux événements qui dépendent
l’un de l’autre.
Professeur On peut imaginer un référentiel, se déplaçant à une vitesse

AC proche de la lumière, par exemple, où il y a inversion de ces
événements.
B3
Qu’est-ce qu’on avait vu la dernière fois pour les événements
23.35
E2 et E3 ? Dans le référentiel de Daniel on avait l’événement E2
QT
après il y avait l’événement E3. Par contre dans le référentiel
d’Armineh, je ne sais pas si vous vous rappelez
B3
RT Élève Il y avait E3 avant E2 !
24.08
C’était l’inverse. Il y avait d’abord E3 et après E2. Donc les

B3
AC Professeur inversions sont possibles uniquement si les événements sont
24.09
indépendants l’un de l’autre.
B3
QIR2 Professeur Euh, alors il y a une autre façon de voir ça.
24.33
B3 On pouvait aussi calculer le temps que la lumière va mettre à

RC Élève
24.38 parcourir la distance et la comparer !
B3
QL Professeur Euh oui, alors qu’est-ce qu’on vient de faire là ?
24.42
B3 RL Élève Ben ça revient de faire ça aussi !

365
24.46
Ça revient à faire ça. En fait on a calculé la vitesse … Ah oui

B3
QT Professeur d’accord, je comprends. Et c’est-à-dire vous trouvez une
24.47
distance qui est ?
B3
DT Élève Négative !
24.56
Non c’est-à-dire que vous partez de E2 et vous calculez la

B3
AT distance que va parcourir la lumière en allant vers E3 et vous
24.57
trouvez une distance plus petite que les 6 m.
B3
Oui !
25.08
Professeur C’est ça ? Donc une autre façon de voir, c’est-à-dire qu’on part
de E2, on se déplace à la vitesse de la lumière et on regarde
quelle distance on a parcouru. Pour aller jusqu’à E3 il faut
B3
AC parcourir 6 m. Et allant à la vitesse de la lumière on s’aperçoit
25.09
qu’on parcourt une distance plus petite que 6 m, donc ça veut
dire que la lumière n’arrive pas à atteindre l’événement E3. Oui
on pouvait aussi faire comme cela.
Alors une autre façon de voir on peut aussi utiliser la partie

graphique en raisonnant sur les pentes. Alors là vous avez
AT
B3 x = c.t, x = c.t on a vu la dernière fois que c’est la bissectrice de
Professeur
25.31 x’ et c.t’. C’est aussi la bissectrice de x et c.t.
Et si j’avais la droite x = - c.t ça correspondrait à quoi ? x = c.t

QT
c’est la lumière qui se déplace dans un sens, x = -c.t ?
B3 DT Dans l’autre sens !

Élève
26.02 RT En sens inverse !
En sens inverse alors x = - ct ça serait la bissectrice de quoi ?

B3 Ça serait par exemple la bissectrice de – x et ct ou alors la
AIR1 Professeur
26.03 bissectrice de – x’ et ct’. Donc ça serait quelque chose qui
serait ici, là ce serait x = - ct (montre sur le diagramme de
366
Loedel au tableau).
Vous avez l’événement E2, vous avez l’événement E3. On peut

relier E2 à E3 donc vous allez avoir une droite et en comparant
les pentes qui relient l’événement E2 à E3 et x = - c.t on peut
B3 AIR2
conclure si c’est possible ou pas. La dernière fois qu’est-ce
26.24
qu’on avait dit pour les pentes ? Rappelez-vous quand on avait
construit l’axe ct’ donc ça correspondait à une vitesse de 0,8.c.
QIR2 Si vous aviez une vitesse qui était plus faible …
B3
RIR2 Élève Ben c’était au-dessus !
27.04
B3 Ouais, si vous aviez quelque chose de plus faible par exemple

QIR1 Professeur
27.05 0,5.c on se déplaçait vers ?
B3
RIR1 Élève La gauche ! La gauche !
27.11
Vers la gauche, l’axe ct. Si vous aviez quelque chose de plus

grand on se déplaçait vers la droite et on ne pouvait pas être en
dessous de x = c.t parce que cela voulait dire qu’on se déplace
27.12 AIR2 Professeur à une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière. Donc on peut
faire la même chose en reliant l’événement E2 et E3 et en
comparant avec x = - c.t. En comparant les pentes, il y a aussi
cette possibilité-là. Voilà.
B3 En admettant que ça soit possible d’aller plus vite que la vitesse

DC Élève
27.39 de la lumière, ça conduirait à quoi !
Si on va plus vite que la vitesse de la lumière ça introduit des

paradoxes. Moi je vous ai dit que lorsque vous avez deux
événements qui dépendent l’un de l’autre euh, vous ne pouvez
B3 pas avoir, si vous avez de type naissance mort, d’accord, si on
AC Professeur
27.43 se déplace à une vitesse plus grande que la vitesse de la
lumière, il va y avoir des paradoxes c’est-à-dire que vous allez
pouvoir trouver des repères associés à des référentiels où vous
avez la mort avant la naissance. Donc cela amène à des
367
paradoxes comme cela. Si vous vous déplacez à une vitesse

plus grande que la vitesse de la lumière grosso modo ça revient
à remonter le temps. C’est ça on remonte le temps et on va
mourir avant sa naissance.
B3
RC Élève Ça risque d’être dur !
28.35
Ça risque d’être dur, oui. Donc vous voyez, se déplacer à une

B3
AC vitesse plus grande que la vitesse de la lumière ça induit des
28.36
Professeur paradoxes comme cela.
B3 C’est bon ? On peut passer à la question 2 ? Donc on va passer

AT
28.47 à la question 2.
Ce sont également les apports conceptuels et techniques qui sont majoritaires.
AIR2
12%
AC
47%
AT
35%
AIR1
6%
368
Les questions de l’enseignant sont majoritairement de types techniques puis langagiers dans
une moindre mesure.
QIR2
QL 15%
23%
QC
15%
QT
39%
QIR1
8%
Les difficultés exprimées par les élèves sont de types conceptuels puis techniques.
DT
40%
DC
60%
369
Les réussites exprimées par les élèves sont préférentiellement de types techniques puis
conceptuels.
RIR2
RL 8%
7% RC
31%
RIR1
8%
RT
46%
Les apports de l’enseignant sont les plus élevés puis les réussites exprimées par les élèves sont
équivalentes aux questionnements de l’enseignant.

exprimées par les
élèves
11%
Apports de
l'enseignant
Réussites
35%
exprimées par
les élèves
27%
Questions de
l'enseignant
27%
370
Alors question suivante. Quelle est la durée entre l’émission du

A3
QT Professeur flash de S2 et du flash de S1 dans le référentiel associé à
34.34
Daniel ?
A3
DT Élève 4 ns
34.52
A3
QT Professeur 4 ns. Qu’est-ce que vous faites pour faire ça ?
34.53
A3
DT Élève 27 – 23
34.56
A3
AT Professeur Euh, par contre c’est entre S2 et S1.
34.58
A3
RT Élève 13
35.00
C’est plutôt 13. C’est-à-dire que là on sait que S2 se déclenche

A3
AT au bout de 23 ns, S1 se déclenche au bout de 10 ns, donc il
35.01
suffit juste de faire une différence 23 – 10.
Alors petit 2, donc là on étudie entre S2 et S1 (écrit au tableau).

A3 Professeur
AT tE2 – tE1, donc ça correspond à 23 – 10, ça correspond à 13 ns.
35.34
D’accord, donc une durée c’est une différence de temps.
A3 Qu’est-ce qu’il y a de particulier sur cette durée ? S2 est à

QT
36.05 quelle position ?
A3
RT Élève Ben la même
36.08
A3
AT Professeur S2 et S1 sont dans la même position.
36.09
A3
RT Pas S3 !
36.12
Élève
A3
RT Et ils ne se déclenchent pas au même moment !
36.14
371
Oui mais S3 on s’en fiche pour le moment. S2 et S1 sont dans la

A3
QT Professeur même position. Dans le cours en TS, qu’est-ce qu’on a dit de
36.15
cette position particulière, la durée ?
A3
DL Élève Immobile.
36.23
Oui, d’accord, ils sont immobiles. Alors vous voyez là (le

professeur montre au tableau) vous avez E2 qui est là, E1 qui est
A3 là, donc on voit bien que, qu’ils ont, dans l’axe x et par rapport
AIR2 Professeur
36.24 à ct, donc x c’est par rapport à Daniel, E2 et E1, on voit bien
qu’ils ont la même coordonnée. Quand on mesure une durée
par rapport à deux événements qui sont fixes.
A3
DC Élève C’est l’équation paramétrique !
36.50
Non, ça correspond à quoi comme durée ? C’est une durée ?

Vous avez deux événements qui se passent au même endroit et
A3
QL Professeur on mesure la durée correspondante … Par rapport à ce que l’on
36.51
a vu dans le cours de relativité ? IL y a un nom particulier.
C’est une durée ?
A3
RL Élève Euh, propre ?
37.09
Très bien. C’est une durée propre. Une durée propre c’est
quoi ? Vous avez deux événements qui se passent au même
A3
AC endroit. D’accord, et donc vous mesurez la durée par rapport à
37.10
Professeur ces deux événements. Donc ça, ça correspond à une durée
propre (marque au tableau).
A3 Donc vous voyez que pour avoir une durée propre, il faut avoir
AT
37.30 les deux événements qui ont la même position.
Dans le référentiel associé à Armineh, comment est-ce que

A3
QC Professeur vous pouvez faire ? Il y a deux façons là ! Comme c’est une
37.40
durée propre, comment on peut trouver ?
372
B3 Donc dans le référentiel associé à Armineh, ça serait une durée

37.48 qui serait comment ?
A3
Élève Pas propre !
37.52
A3
Professeur Oui pas propre mais on l’appelle autrement.
37.53
A3
Élève Sale
37.54
A3
Professeur Sale non. Oui ?
37.55
A3
RL Élève Mesurée
37.57
A3 Durée impropre plutôt. Quel est le lien entre la durée propre et

QC Professeur
37.58 la durée impropre ?
A3
RC C’est proportionnel.
38.03
Élève
A3
RC Il y’a une relation entre.
38.04
A3
QT Professeur Oui, ils sont proportionnels. Ça correspond ?
38.05
A3
RT Élève Avec gamma !
38.06
A la dilatation des durées avec gamma. Donc on a vu que on a

delta mesuré, delta t mesuré (marque au tableau) c’est gamma
fois delta t zéro. Donc ça c’est la durée impropre et ça c’est la
A3
AIR2 Professeur durée propre. Donc la durée propre ça va être dans le
38.08
référentiel de Daniel, la durée impropre ça sera dans le
référentiel d’Armineh. Bon, la durée impropre ça va être t’E2 -
t’E1 ça va être égal à gamma fois tE2 –tE1.
373
Donc vous allez voir donc là on va pouvoir le faire, on va

pouvoir faire le calcul avec la formule qu’on a vu en cours.
A3 AT
Alors gamma ? Gamma c’est un sur racine d’un moins v2 sur
39.00
c2.
QT Et v c’est égal à quoi ?
A3
RT Élève 0,8 c !
39.21
A3 0.8 c. Alors essayez de calculer gamma. Donc première chose

AT
39.22 vous calculez gamma et ensuite vous calculez t’E2 - t’E1.
Donc vous allez voir, on va pouvoir trouver donc la durée dans

le référentiel d’Armineh puisque dans le référentiel d’Armineh
A3 … alors ce qui est intéressant c’est que dans le référentiel
QT
39.40 d’Armineh lorsque vous regardez le diagramme qu’est-ce que
l’on peut dire de E2 et E1 par rapport à x’ ? Est-ce qu’ils ont les
mêmes coordonnées ? Regardez sur vos schémas ?
Professeur Normalement vous devez observer que E1 et E2 ils ont la même

abscisse dans le référentiel de Daniel, d’accord, donc cela
correspond à une durée propre par contre dans le référentiel
d’Armineh vous devez vous apercevoir que E1 et E2 n’ont plus
A3 la même abscisse. Donc ils ne sont pas au même endroit et
AIR2
40.04 c’est pour cela que ce n’est plus une durée propre. Pour avoir
une durée propre, il faut que les deux événements se trouvent à
la même position. Donc ils sont à la même position dans le
référentiel de Daniel, ils ne sont plus dans la même position
dans le référentiel d’Armineh.
A3
RT Élève Monsieur, je trouve 1,6 moi.
40.31
A3
QT Professeur 1,6 oui, euh après le 6 c’est quoi ?
40.33
A3 RT Élève Ben des 6 des 6 des 6.

374
40.34
A3
QT Professeur Oui donc ça arrondi à à peu près …
40.37
A3
RT Élève 1,7 !
40.38
1,7. Effectivement, on trouve que gamma est égal à 1,7. (Écrit)

A3 AT Donc gamma c’est à peu près 1,7. Donc ça veut dire que t’E2 -
Professeur
40.39 t’E1 c’est 1,7 fois 13 ns.
QT Ça fait combien ? Donc 1,7 fois 1,3 ?
A3
RT Élève 21,7 !
41.06
21,7 ns (écrit). Donc c’est pour cela que l’on vous parle de
dilatation de durées. Parce que par rapport au référentiel propre
A3 pour les deux événements E1 et E2 dans le référentiel de Daniel,
AIR2 Professeur
41.08 dans le référentiel d’Armineh la durée impropre va être
beaucoup plus importante. Ça c’est ce que l’on a vu en cours.
Est-ce qu’il y a des difficultés sur ça, sur ce petit calcul ?
Comment est-ce que l’on pourrait le voir autrement, comment

A3
QIR2 est-ce que l’on pourrait déterminer autrement cette durée
41.38
impropre ? Oui ?
Comment est-ce que vous trouvez après ce qu’il y a le gamma

A3
QT entre parenthèses ? En fait la durée propre comment est-ce que
41.42
vous la trouvez ?
Professeur
A ben la durée propre on l’a déterminée à partir des conditions,
on sait que euh, l’événement E2 est associé au flash de S2, on
A3 nous disait dans le texte que c’est 23 ns. D’accord ?
AT
41.51 L’événement E1 c’est associé au flash de S1 c’est 10 ns.
D’accord ? Donc on fait juste la différence 23 moins 10 c’est
13 ns.
A3 RT Élève D’accord !
375
42.11
A3
AIR1 Professeur D’accord ? Et ces deux événements sont à la même position.
42.12
A3
RT Élève Oui !
42.15
Donc c’est ce qu’on appelle une durée propre. Comme c’est

une durée propre on peut utiliser la formule que vous avez
A3 AC
Professeur utilisée avec la dilatation des durées. Donc là on a trouvé 21,7
42.16
ns.
QIR2 Comment est-ce qu’on aurait pu trouver différemment ?
A3
RIR2 Élève Avec le diagramme !
42.30
A3
AL Professeur Avec le diagramme.
42.31
A3
DIR2 Élève En plus dur !
42.32
A3
QL Professeur En plus dur ?
42.33
A3
RL Élève Non ! Le diagramme c’est toujours plus simple.
42.34
A3
QL Professeur Bon là ça vous parait …
42.35
A3
RL C’est moins précis !
42.37
Élève
A3
DL Ça dépend …
42.38
A3 D’accord, moins précis. Comment est-ce que l’on pourrait

QT Professeur
42.39 trouver t’E2 - t’E1 à partir du diagramme ?
A3 RT Élève On le calcule, par le diagramme !

376
42.47
A3
RT Ben non par le diagramme !
42.48
A3
RT Ben oui on le calcule sur le diagramme !
42.49
Oui, donc finalement qu’est-ce qu’il faut faire ? Il faut avoir la

coordonnée de E2 par rapport à ct’, la coordonnée de E1 par
A3 rapport à ct’ et vous faites la différence des deux. Donc allez-y
AT
42.51 faites la différence sur ce que, alors si vous n’avez pas trouvé la
bonne valeur numérique, éventuellement utilisez les valeurs
numériques que je vous ai données dans la correction.
Professeur
Donc dans la correction, euh, on va utiliser tous les mêmes
A3 valeurs, Donc pour E1, E2, E3 donc nous on utilise l’événement
AT
43.17 E1 et l’événement E2. Et donc vous avez t’1 pour E1 et t’2 pour
E2. Donc il va falloir juste faire une différence.
A3
AT Alors ça fait 25
43.36
A3
RT Élève Moins 3,3 !
43.39
A3
AT Professeur Moins 3,3.
43.40
A3
RT Élève 21,7 !
43.41
21,7. Donc vous voyez que vous retrouvez finalement la même

A3 valeur, la même durée. Mais là je suis d’accord avec vous,
AT
43.43 finalement c’est beaucoup plus simple de faire le calcul que
Professeur
s’embêter à faire le diagramme.
A3 Alors vous allez voir que ça ça marche, la relation tm=t0, ça

QC
377
A3
44.05
A3 Quand on a une durée propre, très bien. Et comme on a une

QC Professeur
44.06 durée propre, il faut que les deux événements ?
A3
DC Élève Soient égales à la durée impropre !
44.17
A3
Non.
44.19
Professeur
A3 Pour qu’on ait une durée propre il faut que les deux
QC
44.21 événements ?
A3
RC Élève Soient à la même position.
44.23
Soient à la même position, très bien. Donc pour qu’on ait une
durée propre, il faut que les deux événements soient à la même
AIR2
A3 position. Là c’était possible parce que l’événement E1 et E2 se
Professeur
44.25 trouvaient à 3 m, strictement à la même position.
Donc ça veut dire que si les événements ne se trouvent pas à la

QL
même position, la durée que l’on va mesurer cela ne sera pas ?
A3
RL Élève Une durée propre !
44.43
A3
AL Professeur Ça ne sera pas une durée propre.
44.44
378
Ce sont les apports techniques qui sont majoritaires.
AL
AC 8% AIR2
AIR1
8% 21%
4%
AT
59%
Les questions de l’enseignant sont majoritairement de types techniques puis conceptuels et

langagiers dans une moindre mesure.
QL QIR2
17% 9%
QC
22%
QT
52%
379
Les difficultés exprimées par les élèves sont équitablement réparties entre des difficultés de
types conceptuels, techniques et langagiers.
DL DT
28% 29%
DIR2
14%
DC
29%
Les réussites exprimées par les élèves sont essentiellement de types techniques.

RIR2
4%
RC
RL 15%
18%
RT
63%
380
Les apports de l’enseignant, ses questions et les réussites exprimées par les élèves sont à peu
près équitablement répartis.
Difficultés
exprimées Catégories des échanges
par les
élèves
9%
Apports de
l'enseignant
Réussites 30%
exprimées par
les élèves
33%
Questions de
l'enseignant
28%
Dans le second groupe, les élèves proposent spontanément de mesurer graphiquement la durée
entre les événements E2 et E1 dans le référentiel d’Armineh. Mais comme dans le premier
groupe, ils ont des difficultés pour trouver spontanément la représentation géométrique d’une
durée propre. La notion même de durée semble ne pas être maitrisée.
Alors 2. Quelle est la durée entre l’émission du flash S2 et du

flash S1 dans le référentiel associé à Daniel ? Alors là est-ce
B3
QT Professeur qu’il y a besoin de faire des diagrammes pour faire ça ? Vous
29.31
avez toutes les informations. On vous dit que S1 c’est 10 ns, S2
c’est 23 ns.
B3
RT Élève 13 !
29.49
B3 Et S3 c’est 27. Donc là vous faites quoi pour trouver la durée

QT Professeur
29.50 entre l’émission du flash S2 et du flash S1 ?
381
B3
RT Élève 23 - 10 !
29.57
Oui, il suffit de faire 23 – 10 et ça correspond à 13 ns. Donc

dans le référentiel de Daniel (écrit au tableau), donc dans le
B3 référentiel de Daniel, alors lorsque vous avez une durée, une
AT Professeur
29.58 durée c’est une différence de temps. Donc ça va correspondre à
tE3 – tE2, ça correspond à, alors tE3 c’est 27 – tE2 23, ça
correspond à 10 ns.
B3
RT Élève Monsieur, c’est S2 et S1 !
30.33
Ah oui, j’ai inversé donc c’est entre S2 et S1. Je suis en train de

B3 répondre à la question suivante. Alors S2 c’est 23 ns S1 c’est 10
AT
30.38 ns donc ça correspond à 13 ns. Donc là on est dans le
Professeur
référentiel de Daniel.
B3 Dans le référentiel d’Armineh, comment est-ce que l’on va

QT
31.12 faire ?
B3
RT Élève Pareil !
31.15
B3 Alors on peut faire pareil. (Écrit au tableau) Donc dans le

QT Professeur
31.16 référentiel d’Armineh. Alors vous faites comment ? Oui ?
B3
RT Élève On récupère les valeurs t’2 et t’1 de …
31.30
B3
AT Professeur Oui, c’est t’E2
31.36
B3
RT Élève Moins t’E1 !
31.37
Moins t’E1. Alors ça vous donne ? Je n’ai pas les valeurs, je

B3
QT Professeur n’ai que le questionnaire. Donc en utilisant la correction
31.38
comme cela tout le monde aura les mêmes valeurs.
B3 RT Élève 25 ns – 3,3 !
382
31.51
B3
QT Professeur Donc 25 – 3,3 ça vous donnent ?
31.52
B3
RT Élève 21,7 !
32.03
21,7 ns. Donc vous voyez qu’avec le diagramme de Loedel

vous pouvez exprimer les durées dans deux repères différents
B3 AIR2 associés à deux référentiels différents. Avec Minkowski c’est
32.05 un peu plus difficile parce que vous n’avez pas les échelles qui
sont conservées.
QIR2 Professeur Est-ce qu’on aurait pu faire autrement ?
On va regarder E1 et E2. Alors ici vous avez E1 là vous avez E2

(montre au tableau). Qu’est-ce qu’on peut dire dans le
B3
QIR1 référentiel de Daniel ? E1 et E2 qu’est-ce qu’ils ont de
32.25
particulier ? E1 et E2, regardez l’axe des abscisses. E1 et E2 ?
Oui ?
B3
DT Élève Ils sont alignés !
32.48
Alors ils sont alignés. Oui mais c’est deux points, deux points
B3
QIR1 Professeur sont forcément alignés. Oui ils sont ? Qu’est-ce qu’il y a de
32.49
particulier là (montre au tableau) ?
B3
RT Élève C’est parallèle à l’axe ct !
33.01
B3
QT Professeur Alors c’est parallèle à l’axe ct oui. Ça veut dire que ?
33.02
B3
RT Élève Ils ont la même abscisse !
33.05
B3 Ils ont la même abscisse donc ça veut dire qu’ils sont au

QT Professeur
33.06 même ?
383
B3
RT Élève La même position !
33.11
Même position et même endroit. Qu’est-ce que vous savez de

B3
QC Professeur la durée de deux événements au même endroit ? C’est une
33.12
durée qui s’appelle comment ?
B3
DL Élève Elle est égale à 0 !
33.20
B3
AL Professeur Ah non, elle n’est pas égale à 0 la durée.
33.21
B3
DL Élève Même base de référence !
33.23
B3
AL Professeur Non, ce n’est pas ça.
33.24
B3
DC Élève C’est quoi la durée déjà !
33.25
Alors je reprends. Donc on s’intéresse dans le référentiel de

B3 Daniel à la durée entre l’événement E2 et E1. Qu’est-ce qu’on a
QC Professeur
33.26 vu dans le cours comment on l’appelle cette durée ? C’est la
durée entre deux événements qui se trouvent au même endroit.
B3
RC Élève La durée propre !
33.38
C’est la durée propre. D’accord, donc la durée propre qu’on a

AC vue en cours c’est la durée entre deux événements au même
B3
Professeur endroit.
33.39
Qu’est-ce que vous savez entre la durée propre, qu’est-ce que
QC
vous connaissez comme relation avec la durée propre ?
B3
RC Élève La durée impropre c’est égal à gamma fois la durée propre !
33.58
B3 AC Professeur Oui, la durée impropre on appelle ça aussi une durée mesurée

384
34.00 donc tm = t0. Donc t0 c’est la durée propre.
Alors la durée propre ici ce serait quoi ? La durée propre ça

serait 13 ns. Puisque les 13 ns, le référentiel de Daniel ça
correspond au référentiel propre associé aux événements E1 et
QT E2. Donc là t0 c’est 13 ns. Gamma c’est un sur racine de 1 –
v2/c2. Et là vous avez v qui est égal à 0,8.c. Alors essayez de
calculer le gamma. Donc on a v = 0,8.c et gamma c’est un sur
racine de 1 – v2/c2. Donc quelle est la valeur du gamma.
B3 Connaissant la valeur du gamma et connaissant la durée propre

AT
35.23 on va en déduire la durée impropre.
B3
Élève C’est toujours la question 2 ça !
35.27
C’est toujours la question 2. On a vu, là on est en train de voir

B3 une autre méthode. La première méthode est une méthode
AT
35.28 utilisant les diagrammes, là la deuxième méthode on essaye de
Professeur
voir la relation que vous avez vue en cours.
B3
QT Donc vous trouvez combien ?
35.51
B3
RT Élève 1,66 !
35.56
Alors 1,66. Alors 1,66 on va dire à peu près 1,7. Donc gamma
B3 AT on va dire à peu près 1,7. On va en déduire la durée impropre.

Professeur
35.57 Donc durée impropre, tm, donc à peu près 1,7 fois 13.
QT Ça fait combien ?
B3
RT Élève 21,7 !
36.17
B3
QT Professeur Vous avez trouvé 21,7 ?
36.20
B3 RT Élève 21,7 !
385
36.21
Voilà. Vous retrouvez 21,7 ns. Donc vous voyez qu’on

retrouve ce qu’on a vu en cours. Parce que entre les
événements E1 et E2 dans le référentiel de Daniel, les deux
événements se trouvent au même endroit, donc la durée qu’on
trouve dans le référentiel de Daniel, c’est la durée propre.
B3
AT Professeur Lorsqu’on se place dans un autre référentiel, on va avoir une
36.22
durée impropre, une durée mesurée. Donc la formule que vous
avez vu dans le cours tm = t0 fonctionne et donc on voit
qu’effectivement la durée impropre ça correspond à ce qu’on a
trouvé graphiquement avec le diagramme de Loedel. Est-ce que
tout le monde a compris ? Oui ?
AIR2
AL
8%
17%
AC
17%
AT
58%
386
Les questions de l’enseignant sont majoritairement de types techniques.
QIR1 QIR2
11% 5%
QC
17%
QT
67%
Les difficultés exprimées par les élèves sont majoritairement des difficultés de types
langagiers puis conceptuels et techniques dans une moindre mesure.
DT
25%
DL
50%
DC
25%
387
RC
13%
RT
87%
Les questions de l’enseignant et les réussites exprimées par les élèves sont à peu près
équitablement répartis.
Difficultés
exprimées par Catégories des échanges
les élèves
8%
Apports de
l'enseignant
24%
Réussites
exprimées par
les élèves
32%
Questions de
l'enseignant
36%
388
Alors, est-ce que c’est bon pour la question 2 ? Pour tout le

A3 monde ? La question 3. Quelle est la durée entre l’émission du
QT Professeur
44.49 flash de S3 et du flash de S2 dans le référentiel associé à
Daniel ?
A3
RT Élève 4 ns !
45.05
A3
QT Professeur 4 ns, quand on fait ça qu’est-ce qu’on fait ?
45.06
A3
DT Élève tE3 - tE1 !
45.11
Oui c’est tE3, alors euh … c’est entre S3 et S2, donc c’est tE3 -
A3 tE2. Donc vous faites 27 – 23 donc on trouve 4 ns. Dans le
AT
45.13 référentiel de Daniel c’est très simple puisqu’on vous donne les
valeurs.
Alors on a (écrit au tableau) tE3 - tE2 donc il suffit juste de faire

Professeur
A3 27 moins 23 c’est 4 ns. Là on est dans le référentiel de Daniel.
AT
45.48 Regardez … C’est bon tout le monde a noté ça ? Là il n’y a
aucune difficulté, il suffit juste de faire une différence.
A3 Regardez le diagramme, le diagramme de Loedel. Comment

QT
46.20 sont les événements E3 et E2 ?
A3
RT Élève Euh, éloignés. Ce n’est pas une durée propre !
46.30
Eloignés. C’est-à-dire qu’ils ne sont pas dans la même position.

A3
AT Professeur Donc ça veut dire que ce n’est pas une durée propre. Comme ce
46.31
n’est pas une durée propre …
A3
RT Élève On ne peut rien calculer !
46.38
On ne peut rien calculer. Donc cette fois-ci la formule tm=t0

A3
AT Professeur ça marche pas parce que les événements E3 et E2 ne se trouvent
46.39
pas dans la même position. Donc la formule que vous avez
389
apprise en TS ne marche plus.
Comment est-ce que l’on peut trouver donc la durée entre

A3
QIR2 Professeur l’émission du flash S3 et S2 dans le référentiel associé à
46.58
Armineh ? On ne peut plus utiliser la formule.
A3
RIR2 Élève Graphiquement !
47.11
A3
QL Professeur Pardon ?
47.12
A3
RIR2 Élève Graphiquement !
47.12
Oui, maintenant vous allez le faire graphiquement. Donc

graphiquement, et là c’est uniquement possible graphiquement
il va falloir trouver t’E3 - t’E2. Donc là il n’est possible de le
A3 faire uniquement que graphiquement. Alors vous verrez un peu
AIR2
47.13 plus tard, il est possible de le faire par l’intermédiaire d’un
Professeur
calcul avec ce qu’on appelle la transformée de Lorentz, c’est
des choses qui sont vues dans l’enseignement supérieur, mais
la formule tm=t0 ça ne marche plus.
A3
QT Alors t’E3 c’est combien ?
47.54
A3
RT Élève 4,7 !
47.58
A3
QT Professeur Alors 4,7 ns. t’E2 ?
47.59
A3
RT Élève 25 !
48.09
A3
QT Professeur 25. Alors ça vous donne combien ?
48.10
48.14 RT Élève -20,3 !

390
A3
AT Professeur -20,3 ns
48.16
A3 AT tE3 - tE2 c’est 4 ns, donc plus 4 ns. t’E3 - t’E2 c’est – 20,3 ns.
Professeur
48.22 QC Qu’est-ce qu’on peut déduire de …
A3
DT Élève C’est pratiquement l’opposé !
48.32
A3 Euh, pratiquement l’opposé. Ça veut dire quoi pratiquement

QT Professeur
48.36 l’opposé ?
A3 Ben c’est pratiquement l’opposé… Ben c’est négatif, c’est à

DT Élève
48.38 l’opposé en fait !
A3 Ah oui d’accord. Parce que pratiquement l’opposé on passerait

AT Professeur
48.46 de + 20 à – 20. En fait le signe est différent.
A3
DT Élève Oui et puis là y’a qu’à environ 1,4 ns près …
48.53
A3
AT Professeur Ben non on passe de 4 à -20.
48.58
A3
DT Élève Par rapport à l’autre !
49.01
A3
AT Professeur Par rapport à l’autre, par rapport à la question 2 ?
49.02
A3
DT Élève Oui !
49.03
Oui sauf que là la question 3 ce ne sont pas les mêmes

événements. Ce sont les événements E3 et E2. La question
A3
AC Professeur avant c’était les événements E1 et E2. Ce n’est pas le même
49.04
contexte. Alors ce qui est intéressant, oui, c’est qu’on passe
d’une valeur positive à une valeur négative.
A3
DC Élève Cela veut dire qu’E2 va se déclencher avant E3 !
49.19
391
Oui, cela veut dire que là effectivement dans le référentiel

d’Armineh … alors dans le référentiel de Daniel vous avez E2
A3
AC d’abord après vous avez E3 et dans le référentiel d’Armineh
49.21
c’est l’inverse vous avez d’abord E3 et après vous avez E2 donc
vous avez inversion des événements.
Professeur
Dans la formule qu’on utilise tm=t0 celle-là, cette formule
A3 AC
là on peut l’utiliser lorsqu’on a des durées propres.
49.41
Qu’est-ce qu’on peut dire du signe de t0 et tm ?
A3 QT
Si t0 est positif,
49.58
A3
RT Élève Ce sera positif !
49.59
A3
QT Professeur Ce sera positif. Si t0 est négatif …
50.00
A3
RC Élève Ils dépendent l’un de l’autre !
50.02
Ils dépendent l’un de l’autre, d’accord ? Donc dans cette

A3 formule-là, vous voyez que tm et t0 doivent avoir le même
AT
50.03 signe. Là ce n’est pas du tout le cas donc vous voyez que cette
Professeur
formule là on ne peut pas du tout l’utiliser (barre au tableau).
A3 D’une part parce que vous n’avez pas du tout le même signe,
QT
50.18 d’autre part, parce que ?
A3
RC Élève On n’a pas une durée propre !
50.24
Parce qu’on n’a pas une durée propre. Pour avoir une durée
propre il faut que les deux événements soient à la même
A3
AC Professeur position et là ce n’est pas le cas. Vous avez E3 et E2 qui ne sont
50.25
pas dans la même position donc on ne peut pas, on ne peut pas
euh calculer une durée propre.
392
AIR2
7%
AC
27%
AT
66%
QL QIR2
QC 7% 8%
8%
QT
77%
393
Les difficultés exprimées par les élèves sont essentiellement de types techniques.
DC
14%
DT
86%
RIR2 RC
18% 18%
RT
64%
394
Les apports de l’enseignant, ses questions et les réussites exprimées par les élèves sont à peu
près équitablement répartis.

Difficultés
exprimées par les
élèves
15%
Apports de
l'enseignant
Réussites 33%
exprimées par
les élèves
24%
Questions de
l'enseignant
28%
Le verbatim du second groupe n’a pas mis en évidence des résultats remarquables par rapport
à ceux du premier groupe.
On peut passer à la question suivante ? Alors question suivante

3. Quelle est la durée entre l’émission du flash S3 et du flash S2
B3 QIR2
Professeur dans le référentiel associé à Daniel et dans le référentiel associé
37.06
à Armineh ?
QT Qu’est-ce qui change là par rapport à la question 2 ?
B3
RT Élève Ben c’est 3 et 2 !
37.24
Voilà au lieu de prendre les événements E2 et E1, on prend les

B3
QT Professeur événements E3 et E2. Il y a autre chose qui change. Avant que
37.26
vous fassiez les calculs.
395
B3
RT Élève La distance !
37.36
B3
QT Professeur La distance, je suis d’accord. Donc là on utilise …
37.36
B3
RT Élève Il y a un événement qui est avant l’autre dans le !
37.40
B3
AT Professeur Il y a un événement qui est avant l’autre, oui.
37.41
B3
RT Élève Il y a une inversion !
37.43
Il y a une inversion, c’est ce qu’on a vu. Et alors l’histoire de

B3 durée propre est-ce que ça va marcher maintenant. Là vous
QC Professeur
37.44 avez E3, là vous avez E2. Pour avoir une durée propre qu’est-ce
qu’il faut pour les événements ?
B3
DL Élève Ben qu’ils soient dans le même …
37.57
B3 Pour avoir une durée propre, quelle est la condition au niveau

QC Professeur
38.00 des deux événements ? Ils doivent être ?
B3
DC Élève Dans le même référentiel !
38.05
B3
AL Professeur Non, pas dans le même référentiel. Pardon ?
38.07
B3
DL Élève Indépendants !
38.08
B3 Non. Tout à l’heure pourquoi est-ce qu’on avait une durée

QT Professeur
38.12 propre pour E1 et E2 ?
B3 Parce qu’ils avaient la même abscisse ! Parce qu’ils sont

RT Élève
38.16 ensemble !
B3 AT Professeur Parce qu’ils avaient la même abscisse. Ils étaient au même

396
38.17 endroit.
B3
RT Élève Ah, là ils ne l’ont pas !
38.20
B3 Et là regardez E2 et E3 est-ce qu’ils ont la même abscisse dans

QT Professeur
38.21 le référentiel de Daniel ?
B3
RT Élève Non ! Non !
38.25
B3 Est-ce qu’ils ont la même abscisse dans le référentiel

QT Professeur
38.26 d’Armineh ?
B3
RT Élève Non ! Non ! Si ! Ben non ! Ah non non !
38.29
Non plus. Donc ni dans le référentiel de Daniel, ni dans le

référentiel d’Armineh ils ont la même abscisse. Donc aucune
B3 AC
Professeur des deux durées que l’on va mesurer ne sera des durées
38.32
propres.
QC Est-ce qu’on va pouvoir utiliser la formule tm = t0 ?
B3
RC Élève Non !
38.44
Non. Vous voyez que dans ce cas-là on ne va pas pouvoir

utiliser la formule tm = t0. Vous pouvez l’appliquer
B3
AC uniquement si vous avez deux évènements dans leur référentiel
38.45
propre. Et c’est …, le référentiel propre, c’est un référentiel
Professeur particulier où l’abscisse des deux événements est la même.

B3 Donc là vous ne pouvez faire qu’une détermination à l’aide du
QT
39.04 diagramme. Donc même chose, faites ça pour E3 et E2.
B3
AT Donc là c’est tE3 – tE2. t’E3 – t’E2.
40.18
B3
DC Élève Là ça fait un temps négatif !
40.29
397
B3 Alors ça fait un temps négatif. Est-ce que c’est surprenant ou

QC Professeur
40.34 pas par rapport à ce qu’on a vu la semaine dernière ?
B3
RC Élève Non.
40.38
B3
QT Professeur Qu’est-ce qu’on a vu la semaine dernière ?
40.40
B3
RT Élève Euh E3 se déclenchait avant E2 !
40.43
Oui, vous aviez une inversion de l’ordre chronologique

B3
AC Professeur d’événement. Donc si on a une inversion de cet ordre vous
40.45
trouvez une durée négative.
B3
Oui ! Ça fonctionne !
40.49
RC Élève
B3
Oui, c’est bon, c’est bon.
40.51
B3
QT Professeur Alors là tE3 – tE2. tE3 c’est égal à combien ?
41.10
B3
RT Élève 2,7 !
41.14
B3
QT Professeur Alors tE3 c’est 27 ns tE2 ?
41.15
B3
DT Élève 4 ns !
41.21
B3
AL Professeur Là on est pour Daniel.
41.23
B3
Élève Ah pardon !
41.24
B3 Parce que pour Armineh c’est le prime d’accord ? Donc tE3

AT Professeur
41.26 c’est 27.
398
B3
RT Élève Moins 23 !
41.30
B3 AT tE2 c’est 23 donc ça donne 4 ns.

Professeur
41.31 QT Ensuite dans le référentiel d’Armineh, t’E3.
B3
RT Élève 4,7 !
41.40
B3
AT Professeur 4,7
41.41
B3
RT Élève Moins 25 !
41.43
B3
AT Professeur Moins 25.
41.44
B3
RT Élève Et 20,3 !
41.45
B3 Donc ça fait – 20,3 ns. Comme il y a un moins ça veut dire

AT Professeur
41.46 quoi, ça veut dire que vous avez inversion des événements.
B3 Dans la formule qu’on a vue dans le cours tm = t0. Donc là

QC Professeur
41.46 pourquoi est-ce qu’on ne peut pas l’appliquer cette formule-là ?
B3
RC Élève Parce qu’on n’a pas de référentiel propre !
42.10
B3 Parce qu’on n’a pas de référentiel propre. Pour avoir un

QC Professeur
42.11 référentiel propre, il faut quoi, pour les deux événements ?
B3
RC Élève Il faut la même position !
42.17
Voilà il faut que les deux événements soient à la même position

donc cela voudrait dire qu’on pourrait trouver un référentiel de
B3 AC
Professeur telle façon à ce que les deux événements soient dans la même
42.18
position, là ce n’est pas le cas.
QT Gamma ça a quel signe ? Gamma c’est 1 sur racine de 1 –

399
v2/c2. Gamma c’est toujours ?
B3
RT Élève Positif !
42.35
B3
QT Professeur Positif. Si t0 est positif
42.36
B3
RT Élève Positif !
42.41
B3
QT Professeur tm est positif. Si t0 est négatif ?
42.42
B3
RT Élève C’est négatif !
42.45
Si tm est négatif. D’accord donc vous voyez que tm et t0
doivent avoir le même signe. Et là on voit que, ça correspond à,
par exemple si on dit que t0 c’est ça, ben ce n’est pas possible
d’avoir tm. Donc vous voyez que le fait que les deux signes
soient inversés ça montre qu’effectivement on ne peut pas
B3 utiliser cette formule. D’accord ? On peut appliquer cette
AC Professeur
42.46 formule uniquement lorsque vous avez une durée propre. Et on
voit bien que de toute façon cette formule on ne peut pas
l’appliquer parce que vous avez deux durées qui sont, qui n’ont
pas le même signe. Donc ça veut dire qu’entre E3 et E2 l’ordre
chronologique peut être modifié. Ces eux événements peuvent
exister, mais ils sont indépendants l’un de l’autre. C’est bon ?
B3
Élève Oui !
43.29
400
AL
13%
AT
AC 54%
33%
QIR2
5%
QC
28%
QT
67%
401
Les difficultés exprimées par les élèves sont majoritairement des difficultés de types
langagiers et conceptuels puis techniques dans une moindre mesure.
DT
20%
DL
40%
DC
40%
RC
23%
RT
77%
402
Les questions de l’enseignant et les réussites exprimées par les élèves sont à peu près
équitablement répartis.

exprimées par les
élèves
8%
Apports de
l'enseignant
24%
Réussites
exprimées par
les élèves
35% Questions de
l'enseignant
33%
403
Présentation de la séquence finale
Version 1 : niveau « initiation »
Relativité restreinte et géométrie
un danger.
Une voiture conduite par Armineh se déplace à une vitesse de + 0,8.c sur la route à côté de
Daniel et se dirige vers les dispositifs lumineux.
L’origine des dates et des positions correspond à l’événement pour lequel les coordonnées de
Daniel et Armineh coïncident. Dans le référentiel associé à Daniel, les deux premiers
+ 9 mètres de lui.
Dans le référentiel associé à Daniel, S1 émet un flash au bout de 10 ns, S2 au bout de 23 ns et

S3 au bout de 27 ns.
Les positions et les dates d’émissions des flashs de S1, S2 et S3 permettent de définir les trois
événements E1, E2 et E3.
Le but de cette activité est de repérer les trois événements E1, E2 et E3 dans les repères des
référentiels associés à Daniel et à Armineh et d’en déduire des résultats remarquables.
404
Document 1 : Coordonnées d’un événement E

c.t’
c.t’E
c.t
E E x’
c.tE  
O
x O
xE
x’E
Coordonnées d’un événement E Coordonnées d’un événement E dans

dans un repère (xOc.t) du référentiel un repère (x’Oc.t’) du référentiel
associé à Daniel associé à Armineh
405
Document 2 : Dilatation des durées, durée propre et durée impropre
La durée propre, notée tp, correspond à la durée entre deux événements A et B ayant les
mêmes coordonnées spatiales, dans un référentiel galiléen donné. Cette durée est mesurée par
une horloge unique, fixe dans ce référentiel, et ayant les mêmes coordonnées spatiales que les
deux événements.
Une durée impropre, notée tm, correspond à la durée entre les deux mêmes événements A et
B n’ayant pas les mêmes coordonnées spatiales, dans un référentiel galiléen donné. Cette
durée est mesurée par deux horloges, fixes dans ce référentiel et situées à la même
coordonnée spatiale de chaque événement.
Les durées tm et tp sont reliées par la relation suivante : tm = .tp.
Donnée : c = 3,00.108 m.s-1. c représente la vitesse de la lumière dans le vide.
Placer les trois événements E1, E2 et E3 dans le diagramme de Minkowski en utilisant tout
d’abord le repère (xOc.t) du référentiel associé à Daniel.
1. Que peut-on dire des abscisses des événements E1 et E2 dans les référentiels associés à
2. Comment s’appellent les durées entre les événements E2 et E1 dans les référentiels associés
à Daniel et à Armineh ? La relation tm = .tp est-elle applicable ?
406
c.t
(en m)
c.t’
(en m)
x = c.t
x’
(en m)
O x
1 (en m)
Diagramme de Minkowski de la situation

407
Version 2 : niveau « intermédiaire »
un danger.
+ 9 mètres de lui.

Le but de cette activité est de construire le diagramme de Minkowski, de repérer les trois
événements E1, E2 et E3 dans le repère des référentiels associés à Daniel et à Armineh et d’en
déduire des résultats remarquables.
408

c.t’
c.t’E
c.t
E E x’
c.tE  
O
x O
xE
x’E
Coordonnées d’un événement E Coordonnées d’un événement E dans

dans un repère (xOc.t) du référentiel un repère (x’Oc.t’) du référentiel
associé à Daniel associé à Armineh
409
deux événements.
Document 3 : Diagramme de Minkowski

c.t
(en m)
c.t’
● Le repère (xOc.t) du référentiel associé à Daniel est orthonormé. (en m)
x = c.t
x’
● Le repère (x’Oc.t’) du référentiel associé à Armineh n’est pas (en
m)
orthonormé.
● La droite x = c.t est la bissectrice de l’angle formé par les axes 3
O x
Ox et Oc.t. 1 (en m)
● La droite x’ = c.t’ est la bissectrice de l’angle formé par
les axes Ox’ et Oc.t’.

410
Placer sur une feuille les axes Ox et Oc.t puis la droite x = 0,8.c.t.
1. Que représente la droite x = 0,8.c.t dans le référentiel associé à Daniel ?
2. Comment trouver l’axe Oc.t’ ? Placer l’axe Ox’ afin d’obtenir le diagramme de Minkowski.
3. Comment exprimer graphiquement l’invariance de la lumière dans ces deux référentiels ?
411
Version 3 : niveau « expert »
un danger.
+ 9 mètres de lui.

Le but de cette activité est de construire le diagramme de Minkowski, de repérer les trois
événements E1, E2 et E3 dans le repère des référentiels associés à Daniel et à Armineh, d’en
déduire des résultats remarquables puis d’utiliser le diagramme de Loedel afin de faire des
mesures de durées dans deux référentiels différents.
412
c.t’
c.t’E
c.t
E E x’
c.tE  
O
x O
xE
x’E
Coordonnées d’un événement E dans un repère Coordonnées d’un événement E dans

(xOc.t) du référentiel associé à Daniel dans le cas du un repère (x’Oc.t’) du référentiel
diagramme de Minkowski associé à Armineh
413
deux événements.

c.t
(en m)
c.t’
(en m)
x = c.t
x’
● Le repère (xOc.t) du référentiel associé à Daniel est orthonormé. (en

m)
● Le repère (x’Oc.t’) du référentiel associé à Armineh n’est pas
orthonormé.
3
O x
● La droite x = c.t est la bissectrice de l’angle formé par les axes 1 (en m)
Ox et Oc.t.
● La droite x’ = c.t’ est la bissectrice de l’angle
formé par les axes Ox’ et Oc.t’.

414
Document 4 : Diagramme de Loedel c.t

(en m)
● Le repère (xOc.t) du référentiel associé à Daniel n’est pas
orthonormé.
● Le repère (x’Oc.t’) du référentiel associé à Armineh

c.t’
(en m)
n’est pas orthonormé.

x = c.t
3
● Les échelles sont conservées d’un repère à l’autre. O 1

x’
(en m)
1
● Les coordonnées d’un événement sont trouvées
en faisant des projections parallèlement aux axes.

x
(en m)
Placer sur une feuille les axes Ox et Oc.t puis la droite x = 0,8.c.t.
1. Que représente la droite x = 0,8.c.t dans le référentiel associé à Daniel ?
2. Comment trouver l’axe Oc.t’ ? Placer l’axe Ox’ afin d’obtenir le diagramme de Minkowski.
3. Comment exprimer graphiquement l’invariance de la lumière dans ces deux référentiels ?
415
Placer les événements E1, E2 et E3 dans le repère (xOc.t) du diagramme de Loedel.
8. En utilisant le diagramme de Loedel, déterminer la durée entre les événements E2 et E1

9. En utilisant le diagramme de Loedel, déterminer la durée entre les événements E3 et E2

416
c.t
(en m)
c.t’
(en m)
x = c.t
3
x’
O 1 (en m)
1
x
(en m)
Diagramme de Loedel de la situation

417
un danger.
+ 9 mètres de lui.

Le but de cette activité est de construire le diagramme de Minkowski à l’aide du logiciel

GeoGebra, de repérer les trois événements E1, E2 et E3 dans le repère des référentiels
associés à Daniel et à Armineh et d’en déduire des résultats remarquables lorsque l’on fait
varier la vitesse d’Armineh par rapport à Daniel à l’aide de l’outil curseur.
418

c.t’
c.t’E
c.t
E E x’
c.tE  
O
x O
xE
x’E

419
deux événements.

c.t
(en m)
c.t’
● Le repère (xOc.t) du référentiel associé à Daniel est orthonormé. (en m)
x = c.t
x’
● Le repère (x’Oc.t’) du référentiel associé à Armineh n’est pas (en

m)
orthonormé.
● La droite x = c.t est la bissectrice de l’angle formé par les axes

3
O x
Ox et Oc.t. 1 (en m)
● La droite x’ = c.t’ est la bissectrice de l’angle formé
par les axes Ox’ et Oc.t’.

420
un danger.
+ 9 mètres de lui.

Le but de cette activité est d’utiliser le diagramme de Loedel, de repérer les trois événements
E1, E2 et E3 dans le repère des référentiels associés à Daniel et à Armineh à l’aide du logiciel
GeoGebra, de faire des mesures de durées dans deux référentiels différents et d’en déduire
des résultats remarquables lorsque l’on fait varier la vitesse d’Armineh par rapport à Daniel
à l’aide de l’outil curseur.
421

c.t’
c.t’E
c.t
E E x’
c.tE  
O
x O
xE
x’E

422
deux événements.
Document 3 : Diagramme de Loedel

c.t
(en m)
● Le repère (xOc.t) du référentiel associé à Daniel n’est pas orthonormé.
● Le repère (x’Oc.t’) du référentiel associé à Armineh n’est pas
orthonormé.
c.t’
● Les échelles sont conservées d’un repère à l’autre. (en m)
● Les coordonnées d’un événement sont trouvées en faisant x = c.t

3
des projections parallèlement aux axes. O x’

1 (en m)
1
x
(en m)

423
Eléments de réponses de la séquence finale
Exemples de production attendue :
Versions « intermédiaire » et « experte » N°3
1. La droite x = 0,8.c.t représente les positions d’Armineh au cours du temps dans le

référentiel associé à Daniel.
2. L’axe Oc.t’ dans le référentiel associé à Armineh est confondu avec la droite x = 0,8.c.t.
L’axe Ox’ est le symétrique de l’axe Oc.t’ par rapport à la droite x = c.t ou x’ = c.t’.
3. La vitesse de la lumière est la même dans le référentiel associé à Daniel ou dans celui
associé à Armineh. La bissectrice de l’angle formé par les axes Ox et Oc.t d’un repère du
référentiel associé à Daniel ou de l’angle formé par les axes Ox’ et Oc.t’ d’un repère du
référentiel associé à Armineh est la même.
Versions « initiation », « intermédiaire » et « experte » N°3
E1 xE1 = 3 m tE1 = 1,0.10-8 s c.tE1 = 3m
E2 xE2 = 3 m tE2 = 2,3.10-8 s c.tE2 = 6,9 m
E3 xE3 = 9 m tE3 = 2,7.10-8 s c.tE3 = 8,1 m
4. Les abscisses des événements E1 et E2 sont identiques dans le référentiel associé à Daniel.
Elles sont différentes dans le référentiel associé à Armineh.
5. La durée entre les événements E2 et E1 s’appelle une durée propre dans le référentiel
associé à Daniel. Elle est notée par exemple tp. C’est une durée impropre dans le référentiel
associé à Armineh. Elle est notée par exemple tm. La relation tm = .tp est donc bien
applicable.
6. Les abscisses des événements E2 et E3 sont différentes dans le référentiel associé à Daniel
comme dans le référentiel associé à Armineh.
424
7. Les durées entre les événements E3 et E2 ne sont pas des durées propres ni dans le
référentiel associé à Daniel ni dans le référentiel associé à Armineh. Ce sont des durées
impropres, notée par exemple respectivement tm1 et tm2. La relation tm = .tp n’est donc
plus applicable. De plus tm1 est positive alors que tm2 est négative.
c.t
(en m)
c.t’
(en m)
x= c.t
x’
(en m)
E3

E2

E1

O x
1 (en m)
xE1 = xE2 xE3

425
c.t
(en m)
c.t’
(en m)
x’
(en m)
E3

E2

x’E3
E1
3

x’E1
O x
1 (en m)
x’E2
426
c.t
(en m)
c.t’
(en m)
x = c.t
x’
(en m)
E3
c.tE3
tm1 
E2
c.tE2

tp
E1
c.tE1

O x
1 (en m)
427
c.t
(en m)
c.t’
(en m)
c.t’E2
x’
 tm
tm2 (en m)
E3

E2

c.t’E3
E1
3

c.t’E1
O x
1 (en m)
428
Version « experte » N°3
8. tp = tE2 - tE1 = 2,3.10-8 – 1,0.10-8 = 1,3.10-8 s dans le référentiel associé à Daniel.
tm = t’E2 - t’E1 = 2,5.10-8 – 3,3.10-9 = 2,2.10-8 s dans le référentiel associé à Armineh par une
On aurait aussi pu utiliser la relation tm = .tp.
1
  1,7
1  2
tm = t’E2 - t’E1 = .(tE2 - tE1) = 1,7  1,3.10-8 s = 2,2.10-8 s dans le référentiel associé à
Armineh.
9. tm1 = tE3 - tE2 = 2,7.10-8 – 2,3.10-8 = 0,4.10-8 s dans le référentiel associé à Daniel.
tm2 = t’E3 - t’E2 = 4,7.10-9 – 2,5.10-8 = -2,0.10-8 s dans le référentiel associé à Armineh par une
L’événement E3 se trouve après l’évènement E2 dans le référentiel associé à Daniel.
L’événement E2 se trouve après l’évènement E3 dans le référentiel associé à Armineh.
On ne peut pas utiliser ici la relation tm = .tp.

429
c.t (en m)
8,1
c.t’
6,9 (en m)
 7,5
x = c.t
E2
3
1,4
1
  E3
- 4,3 O E1 x’
1 4,3
(en m)
x
(en m)
E1 xE1 = 3 m x’E1 = 1 m
c.tE1 = 3m tE1 = 1,0.10-8 s c.t’E1 = 1 m t’E1 = 3,3.10-9 s
E2 xE2 = 3 m x’E2 = - 4,3 m
c.tE2 = 6,9 m tE2 = 2,3.10-8 s c.t’E2 = 7,5 m t’E2 = 2,5.10-8 s
E3 xE3 = 9 m x’E3 = 4,3 m
c.tE3 = 8,1 m tE3 = 2,7.10-8 s c.t’E3 = 1,4 m t’E3 = 4,7.10-9 s

430
Analyse du travail de Clément
La retranscription du fichier audio de Clément a permis une analyse des différentes

interactions mises en jeu lors de sa communication en tenant compte du cadre de rationalité
des mathématiques et des sciences physiques. L’unité d’analyse du verbatim est située au
niveau de la phrase.
Cadre de
Temps Interactions28 Extrait audio
rationalité29
Clément L. Alors on est sur une route horizontale qui

00.00 SEM P comporte trois dispositifs émettant des flashs lumineux
afin de repérer un danger.
00.06 SEM P Daniel est immobile sur le côté de la route.
Une voiture conduite par Armineh se déplace à une

00.10 SEM P vitesse de 0,65.c sur la route à côté de Daniel et se
dirige vers les dispositifs lumineux.
L’origine des dates et des positions correspond à

00.17 SEM P l’événement pour lequel les coordonnées de Daniel et
Armineh coïncident.
Dans le référentiel associé à Daniel les deux premiers

00.22 SEM P dispositifs notés S1 et S2 se trouvent à + 3 m de Daniel
et le troisième noté S3 se trouve à + 9 m de lui.
Le but de cette activité est de construire le diagramme

de Minkowski à l’aide du logiciel GeoGebra, de
00.31 SEM P
repérer les trois événements E1, E2 et E3 dans le repère
des référentiels associé à Daniel et à Armineh.
28
SEM pour sémiotique, INST pour instrumentale et DISC pour discursive
29
P pour physique et M pour mathématiques
431
On a donc construit ce diagramme en prenant pour

00.43 SEM-INST M référentiel de Daniel, en abscisse on a pris donc x et en
ordonnée on a pris c.t.
Pour créer le référentiel d’Armineh on a créé donc x’

00.54 INST-DISC M
en abscisse de coefficient donc 0,65 et c.t’.
On a ensuite construit également les droites x = c.t et

01.06 INST M
x’ = c.t’.
01.10 SEM M On a remarqué que ces droites étaient donc con …
On remarque donc dans le référentiel de Daniel les

01.15 SEM-DISC P événements E1, E2 et E3 se suivent alors que dans le
référentiel d’Armineh on a les événements E1, E3 et E2.
Il y a donc une inversion des événements dans les deux

01.29 DISC P
référentiels.
On remarque également que lorsque l’on fait varier la

01.33 INST-DISC P vitesse d’Armineh par rapport à Daniel, la position des
événements E1, E2 et E3 peut changer.
On a également pu remarquer que dans le référentiel de

01.45 SEM M Daniel les points E1 et E2 avaient les mêmes abscisses,
ce qui n’est pas le cas dans le référentiel d’Armineh.
Les différents types d’interactions ont ensuite été analysés suivant le cadre de rationalité
mobilisé.
432
Cadre de rationalité des mathématiques
SEM INST DISC
Cadre de rationalité des sciences physiques
SEM INST DISC

433
Global
SEM INST DISC

434
Analyse du travail d’Anthony
La retranscription du fichier audio d’Anthony a permis une analyse des différentes

Cadre de
rationalité
Moi c’est Anthony N. Alors nous allons voir Armineh se

00.00 SEM P déplaçant à une certaine vitesse par rapport à Daniel qui
lui est fixe.
Nous allons analyser l’ordre des trois événements E1, E2

puis E3 qui sont des flashs lumineux que va rencontrer
00.08 SEM P
Armineh lorsqu’elle va se déplacer sur une route
horizontale.
Dans le référentiel de Daniel, Armineh rencontre

00.19 SEM-INST P
l’événement E1 puis E2 puis E3.
Alors que dans le référentiel d’Armineh, cela dépend de

00.26 SEM-DISC P
sa vitesse.
Grâce à GeoGebra, nous allons pouvoir déterminer les

INST-
00.30 P vitesses d’Armineh pour lesquelles l’ordre des
DISC
événements qu’elle va rencontrer sera différente.
Dans le référentiel d’Armineh, nous observons que la

durée est une durée impropre puisque les abscisses sont
INST-
00.39 P différentes contrairement au référentiel de Daniel qui lui
DISC
est une durée propre puisque les abscisses restent les
mêmes.
Sur GeoGebra on a représenté le diagramme de

00.55 SEM-INST P
Minkowski où on a placé un curseur pour pouvoir
435
modifier les vitesses d’Armineh en fonction de la vitesse

de la lumière par rapport à Daniel.
INST- Nous en observons donc les événements E1, E2 et E3

01.07 P
DISC changent d’ordre en fonction de la vitesse d’Armineh.
Quand Armineh atteint une vitesse comprise entre 0 et 0,2

01.15 SEM-INST P fois la vitesse de la lumière, elle rencontre les événements
E1, E2 puis E3.
Quand sa vitesse est à 0,2 fois la vitesse de la lumière

INST-
01.23 P Armineh rencontre les événements E2 et E3 en même
DISC
temps.
Lorsque sa vitesse est comprise entre 0,2 et 0,85 fois la

INST-
01.32 P vitesse de la lumière elle rencontre E1 E2 E … pardon E1
DISC
E3 puis E2.
INST- Pour 0,5 fois la vitesse de la lumière Armineh rencontre

01.44 P
DISC les événements E1 et E3 en même temps.
INST- Pour finir pour une vitesse allant de 0,85 à 1 Armineh

01.54 P
DISC rencontre les événements E1, E2 et E3.
Les différents types d’interactions ont ensuite été analysés suivant le seul cadre de rationalité
mobilisé ici, c’est-à-dire celui des sciences physiques.
436
SEM INST DISC

437
Analyse du travail de Léopoldine
La retranscription du fichier audio de Léopoldine a permis une analyse des différentes

Cadre de
rationalité
Bonjour je m’appelle Léopoldine. L’activité aujourd’hui

était de construire le diagramme de Minkowski afin de
00.00 SEM P
repérer les trois événements E1, E2 et E3 dans le repère du
référentiel associé à Daniel et à Armineh.
Ainsi on va en déduire des résultats remarquables puis

00.15 SEM P utiliser le diagramme de Loedel afin de faire des mesures
de durées dans deux référentiels différents.
Dans un premier temps nous avons tracé les repères

associés aux référentiels d’Armineh et de Daniel afin de
00.23 SEM-INST P
réaliser notre projet c’est-à-dire comparer les vitesses
d’Armineh par rapport à Daniel.
Nous avons inséré les points E1, E2, E3 dans le repère de

00.33 SEM-INST M Minkowski pour le référentiel de Daniel de coordonnée
(3 ; 3) pour E1.
00.44 INST M Ensuite pour E2 (3 ; 6,9) et E3 9 et en ordonnée 8.1.
Mais avant nous avons calculé pour trouver les

00.52 SEM-INST M
différentes positions des droites c.t’, x et x’.
Pour avoir la droite c.t’ nous rentrons la valeur indiquée

00.59 SEM-INST M
au départ pour nous qui était de 0,8.
01.05 DISC M C’était notre coefficient directeur.

438
Pour tracer la droite x c’est la fonction de x donc quand

INST-
01.08 M on avance en abscisse de 1 on monte de 1, donc bref c’est
DISC
la fonction x.
INST- Après pour tracer x’ nous l’avons tracé par rapport à la

01.19 M
DISC symétrie de la fonction x en fonction de c.t’.
01.28 SEM-INST M On aperçoit qu’E1 et E2 ont la même abscisse.
Pour trouver les points de c.t’E1, c.t’E2 et c.t’E3 il faut

INST-
01.32 M tracer la parallèle qui joint la bissectrice x’ et ils n’ont pas
DISC
la même abscisse dans le référentiel d’Armineh.
C’est dans le référentiel de Daniel qui a la durée propre et

01.45 SEM P
le référentiel d’Armineh qui a la durée impropre.
Pour finir, la vitesse dans le référentiel de Daniel est

01.53 SEM P toujours identique et la vitesse dans le référentiel
d’Armineh varie.
02.02 SEM P Les événements ne sont pas dans le même ordre.
02.05 INST P Ça dépend quand on déplace le curseur en fait. Voilà.
mobilisé.
439
SEM INST DISC
SEM INST DISC

440
Global
SEM INST DISC

441
Analyse du travail de Lucie
La retranscription du fichier audio de Lucie a permis une analyse des différentes interactions
mises en jeu lors de sa communication en tenant compte du cadre de rationalité des
mathématiques et des sciences physiques. L’unité d’analyse du verbatim est située au niveau
de la phrase.
Cadre de
rationalité
00.00 SEM P Lucie P. Daniel est immobile sur le côté de la route.
Armineh conduit une voiture et se déplace à 0,2.c sur la

00.03 SEM P
route à côté de Daniel.
00.09 SEM P Il se dirige vers des dispositifs lumineux.
Dans le référentiel associé à Daniel, les deux premiers

00.12 SEM P dispositifs noté S1 et S2 se trouve à 3 mètres de lui et le
troisième S3 se trouve à 9 mètres.
00.22 SEM P Le premier flash apparait au bout de 10 ns.
00.25 SEM P Le deuxième au bout de 23 ns et S3 au bout de 27 ns.
Tout d’abord on a construit un diagramme de Minkowski

00.31 SEM-INST M
composé de deux repères.
(xOc.t) du référentiel associé à Daniel qui est orthonormé

00.36 SEM-INST M et (x’Oc.t’) du référentiel associé à Armineh qui n’est pas
orthonormé.
L’axe Ox correspond à la position de Daniel dans son

00.47 SEM-DISC P référentiel et Ox’ la position d’Armineh au cours du
temps par rapport à Daniel.
00.55 INST M x’ équivaut à 0,8.c.
On remarque une invariance de la lumière dans ces deux

01.01 SEM-DISC P
référentiels, énoncée par le deuxième postulat d’Einstein
442
s’exprimant graphiquement par deux axes confondus.
En effet un axe correspondant au référentiel de Daniel

INST- x = c.t se confond avec un axe correspondant au
01.11 P
DISC référentiel d’Armineh x’=c.t’, d’où une invariance de la
vitesse de la lumière.
On a placé ensuite les trois événements E1, E2 et E3 dans

01.25 SEM-INST M le diagramme de Minkowski dans le référentiel associé à
Daniel.
01.33 SEM-INST M Dans ce référentiel E1 et E2 ont la même abscisse x = 3.
Sachant que E1 et E2 ont une même abscisse Daniel a une

01.38 SEM-DISC P même position, on a alors une durée impropre puisque
Daniel est immobile.
Dans le référentiel d’Armineh E1 et E2 n’ont pas la même

01.48 SEM-DISC P abscisse ; donc il est en mouvement et on est en présence
d’une durée impropre, car les positions sont différentes.
On est en possession d’une durée impropre et d’une durée

propre donc on peut alors appliquer la relation tm = tp
02.01 DISC P
avec tm correspondant au référentiel d’Armineh et tp
correspondant au référentiel de Daniel.
Ensuite dans les deux référentiels, les abscisses d’E2 et E3

02.17 SEM M
sont différentes.
Les deux sont alors en mouvement et ne sont pas

02.23 DISC P
immobiles.
02.26 DISC P On est alors en présence de deux durées impropres.
La relation n’est donc pas applicable, car il n’y a pas de

02.29 DISC P
durée propre.
On a ensuite construit un diagramme de Loedel pour

02.34 SEM-INST P déterminer la durée entre E2 et E3 dans le référentiel de
Daniel puis celui d’Armineh.
443
Après différents calculs, on obtient la durée propre dans

le référentiel de Daniel équivalent à 13 ns et la durée
02.43 INST P
impropre dans le référentiel d’Armineh équivalent à 22
ns.
On a ensuite reproduit le diagramme de Minkowski sur

02.57 SEM-INST P GeoGebra faisant varier la valeur de la vitesse d’Armineh
grâce à un curseur.
03.06 SEM-INST M La variable du curseur équivaut à g.
Pour tracer les axes du référentiel d’Armineh on trace

03.10 SEM-INST M
deux droites.
INST- La première correspondant à l’axe Ox’ dont l’équation est

03.14 M
DISC y = g×x et l’axe c.t’ dont l’équation est y = 1/g×x.
On place ensuite les points de E1, E2 et E3 et on projette

INST-
03.27 M grâce à des droites parallèles à Ox’ et Oc.t’, pour avoir les
DISC
coordonnées de ces points dans le référentiel d’Armineh.
On remarque que l’ordre des événements dans le

03.42 SEM-DISC P référentiel de Daniel est E1, E2 et E3 alors que dans le
référentiel d’Armineh l’ordre est bouleversé.
INST- Lorsque sa vitesse par rapport à Daniel équivaut à 0,2.c

03.52 P
DISC Armineh voit E2 et E3 en même temps.
INST- Alors que lorsque la vitesse d’Armineh par rapport à

04.02 P
DISC Daniel varie de 0,2.c à c, il perçoit E1, E3 et E2.
On est en présence d’une inversion de l’ordre

04.12 DISC P
chronologique d’événements.
Les deux personnes ne perçoivent pas les événements

04.15 SEM-DISC P
dans le même ordre selon le référentiel.
mobilisé.
444
SEM INST DISC
SEM INST DISC

445
Global
SEM INST DISC

446
447
TITRE :
Diagrammes et théorie de la relativité restreinte : une ingénierie didactique
AUTEUR :
Laurent Moutet
RESUME :
Nous avons cherché à développer et à mettre à l’épreuve de la classe des activités utilisant un
registre basé sur des diagrammes lors de l’enseignement de la théorie de la relativité restreinte
avec des élèves de terminale S. Même si l’approche graphique est source de difficultés
didactiques, les potentialités didactiques des graphiques peuvent s’avérer être plus
avantageuses. Une étude épistémologique sur les diagrammes utilisables en relativité
restreinte nous a permis de nous rendre compte des liens importants entre les mathématiques
et la genèse de la théorie de la relativité restreinte. C’est le cas du diagramme de Minkowski.
Nous nous sommes également intéressés à deux autres diagrammes développés beaucoup plus
tard pour des raisons didactiques, ceux de Brehme et de Loedel. A la suite de séances pilotes,
nous avons développé un nouveau cadre théorique, permettant d’analyser plus finement les
interactions développées par les élèves résolvant un problème utilisant des diagrammes en
relativité restreinte. Nous avons modifié les espaces de travail mathématique (ETM) en
rajoutant un nouveau cadre de rationalité à celui des mathématiques initialement présentes,
celui de la physique. Le cadre des ETM étendu nous a permis de concevoir plusieurs versions
de séquences proposées aux élèves et de réaliser une analyse a priori de leur niveau de
difficulté et a posteriori en analysant des travaux d’élèves. Nous avons effectué l’analyse du
travail de groupes d’élèves lors d’une séquence utilisant le diagramme de Minkowski avec
GeoGebra, un logiciel de simulation graphique. Cela nous a permis d’évaluer le degré de
maîtrise du diagramme de Minkowski pour chaque élève, tant du point de vue du cadre de
rationalité des mathématiques que de celui des sciences physiques. Les résultats sont
prometteurs, ils tendent à montrer une appropriation réelle des concepts de la théorie de la
relativité restreinte via une approche utilisant des diagrammes.
MOTS -CLES :
Didactique, Relativité restreinte, Diagrammes d’espace-temps, Référentiel, Événement,

durées propre et impropre, Second postulat, ordre chronologique relatif, GeoGebra,
Épistémologie, Séquence d’enseignement

These Moutet Mars 17

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DIAGRAMMES ET THÉORIE DE LA RELATIVITÉ

RESTREINTE : UNE INGÉNIERIE DIDACTIQUE

To cite this version:

HAL Id: tel-01611332

HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

Université Paris Diderot

Présentée pour l'obtention du titre de docteur en didactique des sciences physiques

DIAGRAMMES ET THEORIE DE LA RELATIVITE RESTREINTE

UNE INGENIERIE DIDACTIQUE

Soutenue le 30 novembre 2016, devant le jury constitué de :

Valérie MUNIER, Université Montpellier 2 (France) : Rapporteure

Philippe R. RICHARD, Université de Montréal (Québec, Canada) : Rapporteur

Etienne PARIZOT, Université Paris Diderot : Président du jury

Marie-Blanche MAUHOURAT, IGEN (France) : Examinatrice

Cécile de HOSSON, Université Paris Diderot (France) : Directrice de thèse

Alain KUZNIAK, Université Paris Diderot (France) : Co-directeur de thèse

Laboratoire de Didactique André Revuz (EA 4434)

Je remercie chaleureusement Cécile de Hosson pour m’avoir redonné goût à la recherche.

Je remercie chaleureusement Alain Kusniak de m’avoir également encadré. Alain c’est la

Je remercie Valérie Munier et Philippe R. Richard d’avoir accepté d’être rapporteurs de ce

Je remercie également Marie-Blanche Mauhourat d’avoir accepté d’être examinatrice lors de

Je remercie également Laurence Viennot, Isabelle Kermen, Nicolas Decamps, Wanda

Un dernier remerciement au groupe AC/DC lors de l’écriture du mémoire, à la grande surprise

Diagrammes et théorie de la relativité restreinte : une

Première partie ................................................................................................................ 7

I. Théorie de la relativité restreinte et diagrammes d'espace-temps :

I.1. Les graphiques d'espace-temps : points de vue didactique ....................................... 7

I.1.1. Difficultés didactiques à utiliser des graphiques....................................................... 7

I.1.2. Potentialités didactiques des graphiques ................................................................. 11

I.2. Les diagrammes d'espace-temps : représenter des situations relativistes .............. 24

I.2.1. Consubstantialité des diagrammes et de la théorie de la relativité restreinte ......... 24

I.2.2. Des exemples de diagrammes : Minkowski, Brehme et Loedel ............................. 31

Seconde partie ................................................................................................................ 47

II. Mise à l’épreuve de deux séances pilotes mobilisant plusieurs registres

II.1.1. Le document 1 : le langage naturel ........................................................................ 48

II.1.2. Le document 2 : les schémas ................................................................................. 50

II.1.3. Le document 3 : Le registre fonctionnel ................................................................ 52

II.1.4. Le document 4 : Le registre diagrammatique ........................................................ 53

II.1.5. Le document 5 : les schémas et les diagrammes ................................................... 57

II.1.6. Le travail demandé aux élèves ............................................................................... 60

II.2. Les questions de recherche ........................................................................................ 76

II.3. Elaboration des outils d’enseignement et analyses a priori et a posteriori ............ 76

II.3.1. Description de la seconde séquence pilote liant approche géométrique et relativité

II.3.2. Analyse a priori ................................................................................................... 101

II.3.3. L’analyse a posteriori .......................................................................................... 103

II.4. La nécessité d’un apport théorique ........................................................................ 117

Troisième partie .......................................................................................................... 132

III. Élaboration théorique d'une aide à la création d'une séquence

III.2. Présentation d'une nouvelle progression d'enseignement .................................. 135

III.2.1. Utilisation de GeoGebra en cinématique............................................................ 135

III.2.2. Une séquence, plusieurs niveaux de progressivité ............................................. 140

III.2.3. Mise à l'épreuve de la classe .............................................................................. 184

Conclusion et perspectives .................................................................................... 201

Bibliographie ................................................................................................................. 204

Analyse de la première séance pilote ............................................................................. 207

Verbatim de la première séance pilote ........................................................................... 209

Seconde activité pilote donnée aux élèves ..................................................................... 258

Correction de la seconde activité donnée aux élèves ..................................................... 262