COMPLterm-avril2018 Corrigéexo1
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COMPLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES
dernière épreuve du contrôle continu – 12 avril 2018
Durée : deux heures. Les documents et moyens de calcul sont interdits. Les cinq exercices sont
indépendants. Comme toujours, les réponses doivent être justifiées, détaillées et soigneusement rédigées.
Le barème est purement indicatif et pourra être modifié. Sur la première copie, le candidat doit porter
son nom dans le coin supérieur droit, puis l’occulter par collage. Les autres copies ou feuilles intercalaires
doivent demeurer anonymes, mais il est recommandé de les numéroter.
exercice 1 (3 points)
Soient A, B, C des sous-ensembles d’un même ensemble E. Démontrer l’équivalence logique
suivante :
A ∩ B ⊂ C ⇔ A ⊂ (E \ B) ∪ C.
solution. • Montrons d’abord : A ∩ B ⊂ C ⇒ A ⊂ (E \ B) ∪ C.
On prend comme hypothèse A ∩ B ⊂ C et on veut montrer l’inclusion A ⊂ (E \ B) ∪ C. Pour ceci, on
se donne x ∈ A et on veut montrer x ∈ (E \ B) ∪ C. Distinguons deux cas. Si x ∈ B, alors x ∈ A ∩ B,
donc x ∈ C d’après l’hypothèse. Si x ∈
/ B, alors x ∈ E \ B. Dans les deux cas, on a x ∈ (E \ B) ∪ C,
ce qu’on voulait montrer.
• Montrons ensuite : A ⊂ (E \ B) ∪ C ⇒ A ∩ B ⊂ C.
On prend comme hypothèse A ⊂ (E \ B) ∪ C et on veut montrer l’inclusion A ∩ B ⊂ C. Pour ceci, on
se donne x ∈ A ∩ B et on veut montrer x ∈ C. Puisque x ∈ A, alors x ∈ (E \ B) ∪ C d’après l’hypothèse.
Mais puisque x ∈ B, alors x ∈
/ (E \ B) et on a donc nécessairement x ∈ C, ce qu’on voulait montrer.
exercice 2 (5 points)
a) Trouver sous forme algébrique les racines carrées dans C du nombre complexe 8 + 6i. Trouver
aussi les racines carrées de 8 − 6i.
b) Résoudre dans C l’équation du second degré suivante :
z 2 − 16z + 100 = 0.
x4 − 16x2 + 100 = 0.
exercice 3 (5 points)
Le but de cet exercice est de calculer cos π8 . On considère le nombre complexe suivant :
√ iπ iπ
z= 2 (e 4 +e 2 ) (∗)
iπ iπ
a) Donner les formes algébriques de e 4 et de e 2 ; en déduire la forme algébrique de z.
3iπ
b) En mettant e 8 en facteur dans l’expression (∗), trouver aussi la forme trigonométrique de z.
c) Calculer | z | à partir de la forme algébrique de z.
d) Calculer | z | à partir de la forme trigonométrique de z.
p √
e) Déduire des questions précédentes : cos π8 = 12 2 + 2.
T.S.V.P.
exercice 4 (3 points)
On considère les polynômes à coefficients réels suivants :
A = X5 − X4 + X + 1 ;
B = X 2 + X + 1.
a) Effectuer la division euclidienne de A par B.
b) Montrer que A et B sont premiers entre eux.
c) Trouver deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1.
exercice 5 (4 points)
On considère l’application f de C dans C définie par :
z2
∀z ∈ C f (z) = .
1 + | z |2
———