Exercice STRUCTURE ALGEBRIQUE-1
Exercice STRUCTURE ALGEBRIQUE-1
Exercice STRUCTURE ALGEBRIQUE-1
De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions caractéristiques ? Exercice 17 [ 02205 ] [correction]
Soit G = R? × R et ? la loi de composition interne définie sur G par
a) min(χA , χB ) b) max(χA , χB ) c) χA .χB
d) 1 − χA e) χA + χB − χA .χB f) χA + χB − 2χA .χB (x, y) ? (x0 , y 0 ) = (xx0 , xy 0 + y)
Sous-groupe
Exercice 15 [ 02203 ] [correction]
Soit (E, ? ) un monoïde avec E ensemble fini. Exercice 20 [ 02208 ] [correction]
On suppose que tous les éléments de E sont réguliers. Montrer que E est un Soient ω ∈ C et H = {a + ωb/a, b ∈ Z}.
groupe. Montrer que H est un sous groupe de (C, +).
Montrer que f est un endomorphisme du groupe (R? , ×). Etude du groupe symétrique
En déterminer image et noyau.
Exercice 37 [ 02224 ] [correction]
2
Soient n un entier supérieur à2, (i, j) ∈ {1, 2, . . . , n} tel que i 6= j et σ ∈ Sn .
Exercice 32 [ 02219 ] [correction] Montrer que σ et τ = i j commutent si, et seulement si, {i, j} est stable par
Justifier que exp : C → C? est un morphisme du groupe (C, +) vers (C? , ×). σ.
En déterminer image et noyau.
a) Montrer
Exercice 44 [ 02231 ] [correction] ∀(x, y) ∈ A2 , xy + yx = 0A
Soit n > 2 et c la permutation circulaire c = ( 1 2 . . . n − 1 n ).
et en déduire que
Déterminer toutes les permutations σ de Sn qui commutent avec c.
∀x ∈ A, x + x = 0A
En déduire que l’anneau A est commutatif.
Anneaux b) Montrer que la relation binaire définie sur A par x 4 y ⇔ yx = x est une
relation d’ordre.
c) Montrer que
Exercice 45 [ 02232 ] [correction]
∀(x, y) ∈ A2 , xy(x + y) = 0A
On définit sur Z2 deux lois de compositions internes notées + et ? par :
En déduire qu’un anneau de Boole intègre ne peut avoir que deux éléments.
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) et (a, b) ? (c, d) = (ac, ad + bc)
Corps
Exercice 55 [ 02243 ] [correction]
Pour a, b ∈ R, on pose a>b = a + b − 1 et a ? b = ab − a − b + 2.
Montrer que (R, >, ?) est un corps.
Exercice 56 [ 02244
√ ] [correction]
Soit d ∈ N tel que d ∈ / Q, on note
h√ i n √ o
Q d = a + b d | (a, b) ∈ Q2
h√ i
Montrer que (Q d , +, ×) est un corps.
b) Supposons que ? possède un neutre e et montrons que f = ϕ(e) est neutre Exercice 11 : [énoncé]
pour > . a) A ∩ B
∀x ∈ F, x > f = ϕ(ϕ−1 (x) ? e) = ϕ(ϕ−1 (x)) = x b) A ∪ B
et c) A ∩ B
f > x = ϕ(e ? ϕ−1 (x)) = ϕ(ϕ−1 (x)) = x d) CE A
e) A ∪ B
donc f est neutre pour > . f) A∆B
((x, y) ? (x0 , y 0 )) ? (x00 , y 00 ) = (xx0 , xy 0 + y) ? (x00 , y 00 ) = (xx0 x00 , xx0 y 00 + xy 0 + y) La loi ? est donc associative.
0 est neutre pour ? puisque
et
∀x ∈ G, x ? 0 = x
(x, y) ? ((x0 , y 0 ) ? (x00 , y 00 )) = (x, y) ? (x0 x00 , x0 y 00 + y 0 ) = (xx0 x00 , xx0 y 00 + xy 0 + y)
Enfin
donc ? est associative.
∀x ∈ G, x ? (−x) = 0
(x, y) ? (1, 0) = (x, y) et (1, 0) ? (x, y) = (x, y) donc tout élément x de G est symétrisable et sym(x) = −x.
Finalement (G, ? ) est un groupe commutatif.
donc (1, 0) est élément neutre.
x ? y −1 = y −1 ? x
Exercice 20 : [énoncé]
donne
H ⊂ C, 0 = 0 + ω.0 ∈ H.
(x ? y −1 )−1 = (y −1 ? x)−1
Soient x, y ∈ H. On peut écrire x = a + ωb et y = a0 + ωb0 avec a, b, a0 , b0 ∈ Z et
alors i.e.
x − y = (a − a0 ) + ω(b − b0 ) y ? x−1 = x−1 ? y
avec a − a0 ∈ Z et b − b0 ∈ Z donc x − y ∈ H. donc x−1 ∈ C.
Ainsi H est un sous groupe de (C, +). Ainsi C est un sous-groupe de (G, ? ).
Exercice 25 : [énoncé]
Exercice 21 : [énoncé]
Posons H = {fa,b /a ∈ C? , b ∈ C} et montrons que H est un sous-groupe de
H ⊂ C? , 1 = a0 ∈ H.
(S(C), ◦).
∀x, y ∈ H, on peut écrire x = an et y = am avec n, m ∈ Z.
IdC = f1,0 ∈ H.
xy −1 = an−m avec n − m ∈ Z donc xy −1 ∈ H. 1 b
Ainsi H est un sous groupe de (C?, ×). Z = az + b ⇔ z = Z −
a a
−1
donc fa,b ∈ S(C) et fa,b = f1/a,−b/a . Ainsi H ⊂ S(C) et
Exercice 22 : [énoncé]
∀f ∈ H, f −1 ∈ H
H ⊂ S(E), IdE ∈ H car IdE (a) = a.
∀f, g ∈ H, (f ◦ g)(a) = f (g(a)) = f (a) = a donc f ◦ g ∈ H. Enfin fa,b ◦ fc,d (z) = a(cz + d) + b = acz + (ad + b) donc fa,b ◦ fc,d = fac,ad+b .
∀f ∈ H, f −1 (a) = a car f (a) = a donc f −1 ∈ H. Ainsi,
Ainsi H es un sous-groupe de (S(E), ◦). ∀f, g ∈ H, f ◦ g ∈ H
On peut conclure.
σ k ◦ τ ◦ σ −k = k + 1 k + 2 . donc
b) Il est « connu »que toute permutation de Sn peut s’écrire comme produit de
transpositions de la forme k k + 1 . Ces dernières peuvent s’écrire comme ((a, b) + (c, d)) ? (e, f ) = (ae, af + be) + (ce, cf + de) = (a, b) ? (e, f ) + (c, d) ? (e, f )
produit de σ, de τ , et de σ −1 . Or σ n = Id et donc σ −1 = σ n−1 et par conséquent,
σ −1 peut s’écrire comme produit de σ. et la loi ? est distributive sur +.
Finalement (Z2 , +, ? ) est un anneau commutatif.
b) A ⊂ Z2 , (1, 0) ∈ A.
Exercice 43 : [énoncé] Pour tout (a, 0), (b, 0) ∈ A, on a
Notons que σ ◦ a b c ◦ σ −1 = σ(a) σ(b) σ(c) .
(a, 0) − (b, 0) = (a − b, 0) ∈ A
Soit σ : Nn → Nn une permutation définie par : σ(a) = a0 , σ(b) = b0 et σ(c) = c0 .
Si σ est paire alors le problème est résolu. et
Si σ est impaire alors soit c 6= d ∈ Nn \ {a, b, c} et τ = c d .
(a, 0) ? (b, 0) = (ab, 0) ∈ A
σ ◦ τ est une permutation paire satisfaisante.
A est donc un sous-anneau de (Z2 , +, ? ).
Exercice 44 : [énoncé]
Pour commencer, notons que, pour tout k ∈ {1, . . . , n} ck−1 (1) = k et par Exercice 46 : [énoncé]
conséquent c−(k−1) (k) = 1. Supposons que A n’ait pas de diviseurs de zéro.
Soit σ une permutation commutant avec cn . Soit x ∈ A avec x 6= 0. ∀a, b ∈ A, xa = xb ⇒ x(a − b) = 0 ⇒ a − b = 0 car x 6= 0
Posons k = σ(1) ∈ {1, 2, ..., n} et s = c−(k−1) ◦ σ de sorte que s(1) = 1. donc a = b.
Comme σ et c commutent, s et c commutent aussi et on a pour tout 2 6 i 6 n, Ainsi x est régulier à gauche. Il en est de même à droite.
s = c(i−1) ◦ s ◦ c−(i−1) d’où Supposons que tout élément non nul de A soit régulier.
s(i) = c(i−1) ◦ s ◦ c−(i−1) (i) = σ (i−1) ◦ s(1) = σ (i−1) (1) = i car c−(i−1) (i) = 1. ∀x, y ∈ A, xy = 0 ⇒ xy = x.0 ⇒ x = 0 ou y = 0 (par régularité de x dans le cas
Par conséquent s = Id puis σ = ck . où x 6= 0).
Inversement les permutations de la forme ck avec 1 6 k 6 n commutent avec c. Par suite l’anneau A ne possède pas de diviseurs de zéro.
n−1
! m+n−1
!
n+m−1
X m+n−1 k m+n−1−k
X m+n−1
(x+y) = x y + xk y m+n−1−k Exercice 49 : [énoncé]
k=0
k k=n
k
Soit x = b(ab)−1 . Montrons que x est l’inverse de a.
Or On a ax = ab(ab)−1 = 1 et xab = b(ab)−1 ab = b donc (xa − 1)b = 0 puis xa = 1
∀k ∈ {0, . . . , n − 1} , y m+n−1−k = 0A car b n’est pas diviseur de 0. Ainsi a est inversible et x est son inverse.
De plus b = a−1 (ab) l’est aussi par produit d’éléments inversibles.
car m + n − 1 − k > m et
∀k > n, xk = 0A
donc Exercice
h√ i 50 : [énoncé]
h√ i
(x + y)m+n−1 = 0A + 0A = 0A Z d ⊂ R, 1 ∈ Z d .
h√ i √ √
Ainsi x + y est nilpotent.
Soient x, y ∈ Z d , on peut écrire x = a + b d et y = a0 + b0 d avec
c) Soit n ∈ N tel que (xy)n = 0A .
a, b, a0 , b0 ∈ Z.
√ h√ i
(yx)n+1 = y(xy)n x = y.0A .x = 0A x − y = (a − a0 ) + (b − b0 ) d avec a − a0 , b − b0 ∈ Z donc x − y ∈ Z d .
√ h√ i
donc yx nilpotent. xy = (aa0 + bb0 d) + (ab0 + a0 b) d avec aa0 + bb0 d, ab0 + a0 b ∈ Z donc xy ∈ Z d .
h√ i
d) Soit n ∈ N tel que xn = 0A . Par factorisation, on peut écrire Ainsi Z d est un sous-anneau de (R, +, ×).
1 = 1 − xn = (1 − x)y = y(1 − x)
Exercice 58 : [énoncé]
0, 1 ∈ F puis par récurrence ∀n ∈ N, n ∈ F . Par passage à l’opposée ∀p ∈ Z, p ∈ F .
Par passage à l’inverse : ∀q ∈ N? , 1/q ∈ F . Par produit ∀r = p/q ∈ Q, r ∈ F .