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    Révision - Arithmétiques Bac Maths

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    Série : Arithmétique

    Prof: Abidi Farid


    Mathématiques
    Classe : 4 ème Maths Année scolaire 2019-2020

    Exercice 1
    1 Résoudre dans Z × Z l’équation ( E) : 3x − 2y = 1.

    2 Soit n un entier naturel.


    a Montrer que (14n + 3; 21n + 4) est une solution de ( E) .

    b En déduire que (21n + 4) ∧ (14n + 3) = 1.

    3 Soit d = (2n + 1) ∧ (21n + 4) .


    (a) Montrer que d = 1 ou d = 13.

    (b) Montrer que n ≡ 6 [13] ⇔ d = 13.

    4 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.


    On pose A = 21n2 − 17n − 4 et B = 28n3 − 8n2 − 17n − 3.
    a Montrer que (n − 1) /A et (n − 1) /B.

    b En déduire suivant n A ∧ B.

    Exercice 2
    1 On considère l’équation ( E1 ) : 6x − 5y = 7 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs.
    a On suppose que le couple d’entiers ( x, y) vérifie 6x − 5y = 7.

    Démontrer que x ≡ 2 [5]

    b En déduire tous les couples d’entiers, solutions de l’équation ( E1 ).


    −
    → −
    →
    2 Application : dans le plan muni d’un repère (O ; i , j ), on note ∆ la droite d’équation

    6x − 5y = 7

    Déterminer le nombre de points de ∆ dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l’abs-
    cisse est inférieure à 500.

    3 On considère à présent l’équation ( E2 ) :

    6x2 − 5y2 = 7

    dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs.

    - Prof:ABIDI Farid c 2020 1/3 - Arithmétique


    a Vérifier que si le couple ( x ; y) est solution de ( E2 ), alors

    x2 ≡ 2 [5]

    b Démontrer que, pour tout entier α, α2 est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5.

    c Quel est l’ensemble solution de l’équation ( E2 ) ?

    Exercice 3
    1 En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le PGCD de 69 et 39.

    2 En déduire un couple (u, v) d’entiers relatifs tels que 69 u + 39 v = d ,


    d désignant le PGCD de 69 et 39.

    3 Peut-on trouver deux entiers relatifs x et y tels que 69 x + 39 y = 4 ?

    4 Déterminer tous les couples ( x, y) d’entiers relatifs solutions de l’équation :

    69 x + 39 y = 3

    Exercice 4
    1 a Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 23k ≡ 1 [7].

    b Quel est le reste dans la division euclidienne de 22009 par 7 ?

    2 Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a 6= 0.


    On considère le nombre N = a × 103 + b.
    On rappelle qu’en base 10, ce nombre s’écrit sous la forme N = a00b.
    On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.
    a Vérifier que 103 ≡ −1 [7].

    b En déduire tous les nombres entiers N cherchés.

    Exercice 5
    1 Restitution organisée de connaissances
    Pré-requis :
    Soient a et b deux entiers relatifs et soit n un entier naturel non
    nul.
    a ≡ b [n] ⇔ a − b est un multiple de n.

    a Montrer à l’aide du pré-requis que a ≡ b [n] ⇔ a = b + kn, k ∈ Z.

    b En déduire que la relation de congruence est compatible avec la multiplication, c’est-à-dire


    que si a ≡ b [n] et a0 ≡ b0 [n], alors aa0 ≡ bb0 [n]

    - Prof:ABIDI Farid c 2020 2/3 - Arithmétique


    2 Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 4n par
    7.

    3 a Déterminer le reste dans la division euclidienne de 851 par 7.

    b En déduire alors, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division euclidienne
    de
    A = 8513n + 8512n + 851n par 7.

    Exercice 6
    1 On considère dans × l’équation ( E) : 47x + 53y = 1
    a Vérifier que (−9; 8) est une solution de ( E).

    b Résoudre l’équation ( E).

    c Déterminer l’ensemble des inverses de 47 modulo 53.

    d En déduire que 44 est le plus petit inverse positif de 47 modulo 53.

    2 a Justifier que 4552 ≡ 1[53]

    b Déterminer alors le reste de 45106 modulo 53.

    3 Soit N = 1 + 45 + 452 + · · · + 45105 = ∑kk= 105 k


    =0 45 .

    a Montrer que : 44N ≡ 10[53] .

    b En déduire le reste de N modulo 53.

    - Prof:ABIDI Farid c 2020 3/3 - Arithmétique

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