Devoir de Math Tle D 2024 Lomé

CEFOP-ASA DEVOIR DU 1er SEMESTRE Année Scolaire 2023- 2024
M. DJAHOU Franck Durée : 4H ; Coef : 3

Tél :92 10 86 37/99 43 40 11 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Classe : Tle D
EXERCICE 1 : (3,75pts)
Soit A et B les points d’affixes respectives 1 et i dans le plan complexe. Pour tout nombre
complexe z différent de 1, on donne
(1−𝑖)(𝑧−𝑖)
𝑍= . On pose 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑒𝑡 𝑍 = 𝑋 + 𝑖𝑌 où 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑋 ; 𝑌 sont des réels.
𝑧−1
1. Calculer X et Y en fonction de 𝑥 𝑒𝑡 𝑦.
2. Déterminer les ensembles des points M :
a) Tels que Z soit réel
b) Tels que 𝑅𝑒 (Z) = X soit négatif ou nul.
c) Tels que Z soit un imaginaire pur
3. a) Démontrer que le nombre complexe Z est un réel non nul si, et seulement si, il existe
𝜋
un entier k tel que (𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵) = + K𝜋.
4
b) En déduire l’ensemble des points du plan M :
 Tels que (𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= 𝜋 (𝜋).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑀𝐵
4
𝜋
 Tels que (𝑀𝐴 , 𝑀𝐵) = (2𝜋).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4
On considère le polynôme P défini par : 𝑃(𝑧) = 𝑧 4 − 6𝑧 3 + 24𝑧 2 − 18𝑧 + 63
1.) Calcule 𝑃(𝑖√3) 𝑒𝑡 𝑃(−𝑖√3 puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second
degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout 𝑧 ∈ ℂ, on ait
𝑃(𝑧) = (𝑧 2 + 3) 𝑄(𝑧).
2.) Résoudre dans ℂ l’équation 𝑃(𝑧) = 0.
3.) Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O ; 𝑢 ⃗ ; 𝑣), les points A,
B, C, D d’affixes respectives 𝑧𝐴 = 𝑖√3; 𝑧𝐵 = −𝑖 √3 𝑧𝐶 = 3 + 2𝑖 √3;
𝑒𝑡 𝑧𝐷 = 𝑧𝐶 ; puis montrer que ces quatre pointe appartiennent à un même cercle.
𝜋
𝑧𝐶 −𝑧𝐵
4) On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que = 𝑒 −𝑖 3 puis
𝑧𝐸 −𝑧𝐵
déterminer la nature du triangle BEC
EXERCICE 3 : (5pts)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, I, J)
Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, on note f l’application, qui à tout nombre
𝑧−2+𝑖
complexe 𝑧 différent de −2𝑖, associe :Z =
𝑧+2𝑖
1/On pose 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑜𝑢 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠,
a) Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de 𝑧 en fonction de 𝑥 et 𝑦
b) Déterminer l’ensemble (𝑑) des points 𝑀 d’affixe z du plan tel que z soit réel.
c) Déterminer l’ensemble (𝐸) des points 𝑀 d’affixe z de plan tel que z soit un imaginaire
pur.
2/On note A et B les points d’affixes respectives :𝑧𝐴 = 2 − 𝑖 𝑒𝑡 𝑧𝐵 = −2𝑖, . En remarquant
𝑧−𝑧𝐴
que 𝑍 = , retrouver les ensembles (D) et (E) par une méthode graphique.
𝑧−𝑧𝐵
𝜋
3/ Quel est l’ensemble (F) des points M d’affixe z tel que : arg.(z) = +2k𝜋, (𝑘 ∈ 𝑍𝐼)
2
4/Déterminer l’ensemble (G) des points M du plan d’affixe 𝑧 tels que: |𝑧| = 1
5a/ Calculer |𝑓(𝑧) − 1|×|𝑧 + 2𝑖|
b) En déduire que, lorsque le point 𝑀 d’affixe 𝑧 parcourt le cercle de centre 𝐵 et de
rayon 5, le point 𝑀’d’affixe 𝑧 décrit un cercle dont on précisera le rayon et l’affixe de
centre.
I- Soit la fonction f définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 + √|4𝑥 2 − 9|
On considère par (𝐶) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O,𝑖, 𝑗)
1) Déterminer l’ensemble de finition de f puis écrire f sans symbole de valeur absolue
3 −3
2) Etudier la dérivabilité de 𝑓 au point 𝑥 = et 𝑥 =
2 2
3) Résoudre chacune des inéquations suivantes
3
a) ∀𝑥 ∈ [0; [ ; √9 − 4𝑥 2 − 4𝑥 > 0
2
3
b) ∀𝑥 ∈] − ∞; − [; √4𝑥 2 − 9 + 4𝑥 > 0
2
4) Etudier le sens de variation de f
5) a- Calculer les 𝑙𝑖𝑚 au borne de son ensemble de définition puis dresser son tableau de
variation
b- Montrer que (𝐶) admet deux (2) asymptote oblique dont on précisera les équations
6) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec les axes du repère
7) Construire (C) et ses asymptotes
3
II- soit g la restriction de 𝑓 sur ] ; +∞[
2
1)Montre que g est bijective sur cet intervalle vers un intervalle J que l’on précisera
2)a-Monte que la réciproque 𝑔−1 𝑑𝑒 𝑔 est dérivable sur 𝑥 = 3 + √7
b-déterminer l’ensemble de définition 𝐷𝑔−1 de 𝑔−1
3) Déterminer le tableau de variation de 𝑔−1 puis construire (c’) dans le repère précédant
Bonus : Enoncer le théorème des inégalités des accroissements finie (0,75pt)
« Au commencement la mathématiques existait et à nos jours, sans mathématiques le monde ne peut jamais
évoluer » D. Franck

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