Cours Analyse3 Jan 2017

Analyse 3
AMAL Youssef
analyse2.ap2@gmail.com
2016-2017
AMAL Youssef Analyse 3 2016-2017 1 / 49

Programme du cours
1 Topologie dans Rn
2 Fonction de Plusieurs Variables
3 Calcul Différentiel
4 Calcul d’Intégrales Multiples
5 Calcul d’Intégrales Curvilignes
Références :
Mathématiques 3, par E. AZOULAY
Mathématiques, par Francine Delmer
Site web : www.bibmath.net, exo7.emath.fr
Note du Module : CC 1 (40%) + CC 2 (40%) + autres (20%)
(Présence et Participation).

Plan
1 Chapitre 1 : Topologie dans Rn
Norme
Parties Ouvertes, Parties Fermées
Intérieur, Adhérence d’un ensemble
Partie Compacte de Rn
Suites de Rn
2 Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables
Introduction
Notion de limite
Comparaison et limites
Changement des variables : Coordonnées Polaires
Continuité
Applications : Ouverts-Fermés
Applications : Compacité
Applications : Connexité
3 Chapitre 3 : Calcul Différentiel
Dérivées Partielles
Fonctions différentiables
Recherche d’Extrémum
Chapitre 1 : Topologie dans Rn Norme
Définition 1.1
Soit E un K-espace vectoriel, où K ∈ {R, C} . Une application N : E → R est
appelée norme, notée encore par k . k, s.s.i. les trois propriétés sont vérifiées :
N (x) = 0 =⇒ x = 0, pour x ∈ E.
Soit α ∈ K, N (αx) = |α|N (x).
∀(x, y) ∈ E 2 , N (x + y) ≤ N (x) + N (y).
Un espace vectoriel muni d’une norme est appelé espace vectoriel normé.
Exemple :
1 Soit N une norme définie sur l’e.v. E. Montrer que N (x) ≥ 0 pour tout
x ∈ E.
2 Montrer que les applications suivantes N1 , N2 , N∞ définies sur l’espace
vectoriel réel Rn par : qP
N1 (x1 , ..., xn ) = ni=1 |xi |, N2 (x1 , ..., xn ) = n 2
P
i=1 xi ,
N∞ (x1 , ..., xn ) = max{|xi | | 1 ≤ i ≤ n} sont des normes.

Chapitre 1 : Topologie dans Rn Norme
Définition 1.2
Soit E un K-espace vectoriel. Deux normes N1 et N2 sur E sont dites
équivalentes s.s.i. ∃c, C > 0 telle que
∀x ∈ E, cN1 (x) ≤ N2 (x) ≤ CN1 (x).
Exemple :
Les normes N1 , N2 et N∞ définies sur l’espace vectoriel réel Rn
sont équivalentes,
√
A vérifier que : N∞ ≤ N1 ≤ nN∞ et N∞ ≤ N2 ≤ nN∞ .
Les normes N1 , N2 et N∞ définies sur l’espace R[X] des
polynômes à coefficients réels q
et à degré quelconque par :
2
P P
N1 (P ) = i∈N |ai |, N2 (P ) = i∈N ai , N∞ (P ) = sup |ai | avec
i∈N
P = ni=0 ai X i et n ∈ N , ne sont pas équivalentes
P

Chapitre 1 : Topologie dans Rn Parties Ouvertes, Parties Fermées
Définition 1.3
Soit (E, N ) un espace vectoriel normé, a ∈ E et r ∈]0, +∞[.
La boule ouverte de centre a et de rayon r est :
B(a, r) = {x ∈ E|N (x − a) < r}.
La boule fermée de centre a et de rayon r est :
BF (a, r) = {x ∈ E|N (x − a) ≤ r}
Exemple :
1 Dans l’e.v. (R, |.|), on a : B(a, r) =]a − r, a + r[ et BF (a, r) = [a − r, a + r].
2 Dans R2 , on a : B1,F (O, 1) ⊂ B2,F (O, 1) ⊂ B∞,F (O, 1)

Définition 1.3
Soit (E, N ) un espace vectoriel normé, a ∈ E et r ∈]0, +∞[.
La boule ouverte de centre a et de rayon r est :
B(a, r) = {x ∈ E|N (x − a) < r}.
La boule fermée de centre a et de rayon r est :
BF (a, r) = {x ∈ E|N (x − a) ≤ r}
Exemple :
1 Dans l’e.v. (R, |.|), on a : B(a, r) =]a − r, a + r[ et BF (a, r) = [a − r, a + r].
2 Dans R2 , on a : B1,F (O, 1) ⊂ B2,F (O, 1) ⊂ B∞,F (O, 1)

Définition 1.4
Un ensemble A d’un e.v.n E est appelé ouvert si, ∀a ∈ A, ∃r > 0 tq
B(a, r) ⊂ A. L’ensemble des ouverts de E est noté par O.
Exemple :
1 Dans l’e.v.n E, ∅ et E sont des ouverts de E.
2 Soit a, b deux réels tels que a < b. L’intervalle ]a, b[ est un ouvert
dans R.
3 Dans l’e.v.n E, une boule ouverte est un ouvert.
Définition 1.5
Un ensemble A d’un e.v.n E est appelé fermé si son complémentaire
Ac est ouvert. L’ensemble des fermés de E est noté par F.
Exemple :
1 Dans l’e.v.n E, ∅ et E sont des fermés de E.
2 Soit a, b deux réels tels que a < b. L’intervalle [a, b] est un fermé
dans R.
3 Dans l’e.v.n E, une boule fermée est un fermé.

Théorème 1.6
Deux normes équivalentes sur un e.v.n E définies mêmes parties
ouvertes de E.
Théorème 1.7
Toutes les normes définies sur un espace vectoriel de dimension finie
sont équivalente.
Exemple :
1 les normes de l’e.v Rn sont équivalentes.
2 Les normes de l’e.v R[X] ne sont pas forcément équivalentes.
Remarque :
Si A est un ouvert pour une norme N1 de Rn alors A est aussi ouvert
pour tout autre norme N2 définie sur Rn .

Propriété 1.8
Soit (E, N ) un espace vectoriel normé.
1 ∅ et E sont à la fois des ouverts et des fermés de E.
S
2 Si ∀i ∈ I, Ai ∈ O Alors Ai ∈ O.
i∈I
n
T
3 Si ∀i ∈ {1, ..., n}, Ai ∈ O Alors Ai ∈ O.
i=1
T
4 Si ∀i ∈ I, Bi ∈ F Alors Bi ∈ F.
i∈I
n
S
5 Si ∀i ∈ {1, ..., n}, Bi ∈ F Alors Bi ∈ F.
i=1
Exemple :
Soit laTfamille des ouverts (An )n∈N∗ avec An =] − 1/n, 1/n[. Vérifier
que An ∈/ O.
n∈N∗

Chapitre 1 : Topologie dans Rn Intérieur, Adhérence d’un ensemble
Définition 1.9
Soit (E, k . k), un espace vectoriel normé, et a ∈ E. On dit que V est
un voisinage de a s’il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ V . L’ensemble
des voisinages de a est noté par V(a).
Exemple :
1 [0, 1] est un voisinage de 1/2.
2 BF (O, 1) ∈ V((−1/2, 0)), par contre BF (O, 1) ∈
/ V((0, 1)).
3 toute partie ouverte est voisinage de chacun de ses points
Définition 1.10
Soit (E, k . k), un espace vectoriel normé, A un ensemble de E et
a ∈ E. On dit que a est intérieur à A ssi A est voisinage de a :
∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A. L’ensemble des points intérieurs à A est
appelé l’intérieur de A est noté par Å.
Exemple : [0,˚1[ =]0, 1[.

Propriété 1.11
Soit A, un sous-ensemble d’un espace vectoriel normé E.
1 Å est un ouvert.
2 Å est le plus grand ouvert inclus dans A.
3 A est ouvert si et seulement si A = Å.
Définition 1.12
Soit (E, k . k), un espace vectoriel normé, A un sous ensemble de E et
a ∈ E. On dit que a est adhérent à A ssi ∀r > 0 tel que
B(a, r) ∩ A 6= ∅. L’adhérence de A, notée Ā, est l’ensemble des
adhérents de A.
Exemple :
[0, 1[ = [0, 1].

Proposition 1.13
c ˚c ).
Soit A, un sous-ensemble d’un espace vectoriel normé E. Alors A = (A
Propriété 1.14
Soit A, un sous-ensemble d’un espace vectoriel normé E.
1 A est un fermé.
2 A est le plus petit fermé contenant A.
3 A est fermé si et seulement si A = A.
Exercice : Soit (E, k . k), un espace vectoriel normé, et a ∈ E. Soit r > 0. Alors :
1 B(a, r) = BF (a, r).
2 ˚ r) = B(a, r).
BF (a,
Définition 1.15
Soit (E, k . k), un espace vectoriel normé, A un sous ensemble de E. On appelle
frontière de A et on note F r(A), l’ensemble A \ Å.
Exemple : F r([0, 1[∪{2}) = {0, 1, 2}.

Chapitre 1 : Topologie dans Rn Partie Compacte de Rn
Définition 1.16
Une partie A de Rn est une partie bornée de Rn si : ∃r > 0, ∀x ∈ A
on a k x k≤ r.
Exemple : Toute boule est bornée dans Rn .

Définition 1.17
On dit qu’une partie A de Rn est compacte de Rn si A est à la fois
fermée et bornée.
Exemple : [0, 1] × [−2, 0] est un compacte de R2 .

Chapitre 1 : Topologie dans Rn Suites de Rn
Définition 1.18
On appelle suite à valeurs dans Rn toute application de {p0 , p0 + 1, ...} dans
Rn , une telle suite est dite définie à partir du rang p0 . On la note (Up )p≥p0 . Le
vecteur Up = (U1,p , ..., Un,p ) ∈ Rn est appelé terme générale de la suite.
Définition 1.19
Une suite (Up )p∈N dans Rn a pour limite le vecteur l ∈ Rn si :
∀ ε > 0 ∃N ∈ N tel que k Up − l k< ε
et on écrit lim Up = l.
p→+∞
Exercice :
Soit N1 et N2 deux normes définies sur Rn et soit (Up )p une suite dans Rn et
l ∈ Rn tels que lim N1 (Up − l) = 0. Montrer qu’on a aussi :
p→+∞
lim N2 (Up − l) = 0.
p→+∞
Exemple :
1 La suite de terme générale Up = (1/p, −1) converge vers l =? dans R2 .
2 La suite de terme générale Up = (0, p) définie dans R2 ...? .

Propriété 1.20
Soient (Up )p , (Vp )p deux suites de Rn , (l, l0 ) ∈ Rn × Rn et α ∈ R.
1 Si lim Up = l alors l est unique.
p→+∞
2 Si lim Up = l alors pour toute suite extraite (Uφ(p) )p de (Up )p ( φ est une
p→+∞
application strictement croissante de N dans N ) on a lim Uφ(p) = l.
p→+∞
3 Si lim Up = l et lim Vp = l0 alors
p→+∞ p→+∞
lim Up + Vp = lim Up + lim Vp = l + l0 .
p→+∞ p→+∞ p→+∞
4 Si lim Up = l alors lim αUp = αl.
p→+∞ p→+∞
5 Si lim Up = l alors lim k Up k=k l k.
p→+∞ p→+∞
6 Si lim Up = l avec Up = (U1,p , ..., Un,p ) et l = (l1 , ..., ln ) alors lim Ui,p = li
p→+∞ p→+∞
∀i = 1, ..., n.
Exemple :
Calculer les limites suivantes :
1 lim (cos(1/n), arctan(n)).
n→+∞
log(n)/n, sin(n)/n, n2 exp(−n) .

2 lim
n→+∞

Proposition 1.21
Une partie A de Rn est fermée s.s.i. ∀(Up )p ⊂ A telle que
lim Up = l alors l ∈ A.
p→+∞
Exercice :
Montrer que A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y > 1} n’est pas une partie fermée
de R2 .
Théorème 1.22 (Bolzano-Weierstrass)
Une partie A de Rn est compacte s.s.i. toute suite (Up )p , à valeurs
dans A, admet une sous-suite (Uφ(p) )p qui converge vers une limite
l ∈ A.
Exercice :
Soit K une partie compacte de R2 et soit X une partie fermée de R2
telles que K ∩ X = ∅. Montrer que la distance entre K et X est non
nulle :
il existe δ > 0 tel que k k − x k≥ δ pour tout (k, x) ∈ K × X.
Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Introduction
Fonction scalaire
Définition 2.1
Une fonction réelle, dite aussi fonction scalaire, de p variables réelles
est une application d’une partie D de Rp à valeurs dans R, notée par :
f : D ⊂ Rp −→ R
(x1 , ..., xp ) 7→ z = f (x1 , ..., xp )
où D est l’ensemble de définition de f , constitué de tout vecteur de

Rp dont l’image par f existe dans R.
Exemple :
La fonction
f : R2 −→ R p
(x, y) 7→ f (x, y) = 1 − x2 − y 2
est définie pour les valeurs de x et y telles que
x2 + y 2 ≤ 1. Dans un repère orthonormé, Df = BF (O, 1).
Graphe
f : R2 → R
S = {(x, y, z) ∈ R3 | z = f (x, y)}.
S est le graphe de la fonction f .

Fonction vectorielle
Définition 2.2
Une fonction vectorielle de p variables réelles est une application d’une partie
D ⊂ Rp à valeurs dans Rq , noté par :
f : D ⊂ Rp −→ Rq
(x1 , ..., xp ) 7→ (f1 (x1 , ..., xp ), ..., fq (x1 , ..., xp ))
où D est l’ensemble de définition de f , constitué de tout vecteur de Rp dont

l’image par f existe dans Rq . Les fi sont appelées fonctions coordonnées de f .
Remarque : Le domaine de définition de la fonction vectorielle f est :

Df = ∩qi=1 Dfi .
Exemple :
Déterminer le domaine de définition de la fonction vectorielle suivante :
f : R2 −→ R3
p 1
(x, y) 7→ f (x, y) = ( 1 − x2 − y 2 , xy, )
x−y

Fonction partielle
Définition 2.3
Soit f : D ⊂ Rp −→ Rq . Soit a = (a1 , ..., ap ) ∈ D . Pour i = 1, ..., p, on
appelle i-ème fonction partielle de f en a définie sur le domaine
Di = {x ∈ R | (a1 , ..., ai−1 , x, ai+1 , ..., ap ) ∈ D} la fonction suivante :
fa,i : Di ⊂ R −→ Rq
x 7→ f (a0 , ..., ai−1 , x, ai+1 , ..., ap )
Exemple :
Donner les expressions de la 1-ère et de la 2-ème fonction partielle en
a = (1/2, 1) de la fonction suivante :
f : B2 (O, 2) −→ R p
(x, y) 7→ f (x, y) = 4 − x2 − y 2

Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Notion de limite
Définition 2.4
Soit f une fonction de D ⊂ Rn dans Rp et l ∈ Rp . Soit a ∈ D. On dit
que lim f (x) = l si ∀ε > 0 ∃α > 0 tels que ∀x ∈ D et 0 <k x − a k≤ α
x→a
impliquent k f (x) − l k≤ ε.
Remarque :
1 La notion de limite ne dépend pas des normes utilisées.
2 La limite si elle existe est unique.
Proposition 2.5
Soit f une fonction de D ⊂ Rn dans Rp et l ∈ Rp . Soit a ∈ D. Alors
lim f (x) = l ssi ∀(xn )n ⊂ D \ {a} tel que lim xn = a implique
x→a n→+∞
lim f (xn ) = l
n→+∞

Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Notion de limite
Exemple :
On considère la fonction suivante :
f : R2 \ {(0, 0)} → R
xy
(x, y) 7→ 2
x + y2
Étudier la limite de f en (0, 0) ?
Propriété 2.6
Soient f et g deux fonctions sur D ⊂ Rp à valeurs dans Rq telles que
lim f (x) = l1 et lim g(x) = l2 , alors
x→a x→a
1 Pour tout (α, β) ∈ R2 on a lim αf (x) + βg(x) = αl1 + βl2 .
x→a
2 lim < f (x), g(x) >=< l1 , l2 >.
x→a
3 Dans le cas où q = 1, si l1 6= 0 alors lim f (x)/g(x) = l1 /l2 .
x→a
Exemple :
(1 + x2 y 2 ) sin(y)
Calculer lim .
(x,y)→(0,0) y
Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Comparaison et limites
Théorème 2.7 (Théorème des Gendarmes)

Soit a ∈ Rp et soient f , g et h trois fonctions définies sur D ⊂ Rp à
valeurs dans R vérifiant les deux propriétés suivantes :
1 lim f (x) = lim g(x) = l
x→a x→a
2 Il existe α > 0 tel que pour tout x ∈ D, 0 <k x − a k< α on a
f (x) ≤ h(x) ≤ g(x). Alors lim h(x) = l.
x→a
Exemple :
1
Calculer lim x2 sin( ).
(x,y)→(0,0) x2 + y2

Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Comparaison et limites
Proposition 2.8
Soient f : Df ⊂ Rn → Rp et g : Dg ⊂ Rm → Rn . Supposons que
g(Dg ) ⊂ Df , lim g(t) = b et que lim f (x) = l. Alors, lim f ◦ g(t) = l.
t→a x→b t→a
Exemple :
Calculer lim (x + y) ln(x + y).
(x,y)→(0,0)

Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Changement des variables : Coordonnées Polaires
Définition 2.9
Chaque point P (x, y) du plan R2 peut être déterminée par les coordonnées polaires qui sont
−−→
la coordonnée radiale r =k OP k et la coordonné angulaire θ, suivant l’application suivante :
R∗+ × [0, 2π[→ R2 \ (0, 0)

(r, θ) 7→ (x, y) = (r cos(θ), r sin(θ)),
dont l’application réciproque est l’application suivante :
R2 \ (0, 0) → R∗+ × [0, 2π[

(x, y) 7→ (r, θ),


 arctan(y/x) si x > 0 et y ≥ 0,
arctan(y/x) + 2π si x > 0 et y < 0,


p 
où r = x2 + y 2 et θ est défini comme suit : θ = arctan(y/x) + π si x < 0,
π/2 si x = 0 et y > 0,




3π/2 si x = 0 et y < 0.

La condition sur les deux variables (x, y) → 0 devient une condition sur une seule
variable r → 0.
Si on étudie une limite quand (x, y) → (a, b), on ramène le problème en (0, 0) par
translation des variables, x = a + h,y = b + k avec (h, k) → (0, 0).
x3 x2 − y 2 x2 + y 2
Calculer les limites suivantes : lim 2 2
, lim 2 2
et lim .
(x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) x
Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Continuité
Définition 2.10
Une fonction f : D ⊂ Rp → Rq est continue en a ∈ D ssi
lim f (x) = f (a).
x→a
On dit que f est continue sur D si elle est continue en tout point de
D.
Proposition 2.11
Une fonction f : D ⊂ Rp → Rq est continue en a ∈ D ssi pour toute
suite (xn )n ⊂ D telle que lim xn = a, on a lim f (xn ) = f (a).
n→+∞ x→a

Proposition 2.12
Soit f : D ⊂ Rp → Rq une fonction continue au point a = (a1 , ..., ap )
alors les p fonctions partielles fa,i de f sont continues en ai pour tout
i = 1, ..., p.
xy
Exemple : Soit f (x, y) = 2 , ∀(x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0.
x + y2
1 Étudier la continuité des fonctions partielles fO,1 et fO,2 de la
fonction f au point (0, 0).
2 Que peut dire de la continuité de la fonction f au point (0, 0).

Propriété 2.13
Soient f et g deux fonctions définies sur D ⊂ Rp à valeurs dans Rq et
continues en a, alors :
1 Pour tout (α, β) ∈ R2 , la fonction αf + βg est continue en a.
2 de même < f, g > et k f k sont continues en a.
3 Dans le cas où q = 1, si g 6= 0 au voisinage de a alors la fonction
f /g est continue en a.
4 la composée de fonctions continues est continue.
Exemples : les fonctions suivantes sont continues :

1 p : Rp → R avec p (x , ..., x ) = x .
i i 1 p i
i
2 f : Rp → R avec f (x1 , ..., xp ) = axi11 xi22 ...xpp , a ∈ R et
i1 , ..., ip ∈ N.
3 les fonctions polynômes définis sur Rp .
4 les applications linéaires définies sur Rp dans Rq (même
lipschitzienne).
Définition 2.14
Soit f : D ⊂ Rp → Rq . Soit a ∈ D \ D. Si f a une limite l lorsque x
tend vers a, on peut étendre le domaine de définition de f à D ∪ {a}
en posant f (a) = l. Et on dit que f est prolongeable par continuité au
point a.
Exemple : Pour quel paramètre α > 0 la fonction

xα y
f : (x, y) 7→ 2 est-elle prolongeable par continuité au point
x + y2
(0, 0) ?

Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Applications : Ouverts-Fermés
Théorème 2.15
Soit f une fonction continue sur D ⊂ Rp à valeurs dans F ⊂ Rq . Les
propriétés suivantes sont équivalentes :
1 f est continue en tout point de D,
2 pour tout ouvert U de F , f −1 (U ) = {x ∈ D | f (x) ∈ U } est un
ouvert de D.
3 pour tout fermé V de F , f −1 (V ) est un fermé de D.
Exemple : Montrer que l’ensemble

A = {(x, y) ∈ R2 | y 2 = x(1 − 2x)} est fermé de R2 .

Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Applications : Compacité
Théorème 2.16
Soit f une fonction continue sur D ⊂ Rp à valeurs dans Rq . Soit A
un compact de Rp tel que A ⊂ D. Alors f (A) est un compact de Rq .
Corollaire 2.17
Soit A un compact de Rp . Soit f une fonction continue sur A ⊂ Rp à
valeurs dans R. Alors f est bornée et atteint ses bornes sur A.
Exercice : Soit C = (x, y) ∈ R2 ; x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0. et Soit

f : C → R+∗ une fonction continue. Démontrer que inf f (x) > 0.
x∈C

Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Applications : Connexité
Définition 2.18
Soit A ⊂ Rn , avec n ≥ 1. Une séparation de A est une paire (O, O0 )
d’ouverts non vides de Rn tels que :
1 A ⊂ O ∪ O0
2 A ∩ O 6= ∅, A ∩ O0 6= ∅,
3 A ∩ O ∩ O0 = ∅.
Exemple :
Dans R, le paire (] − 1, 1[, ]1/2, 2[) est une séparation de
l’ensemble [0, 1/2[∪]1, 3/2].

Définition 2.19
Soit A ⊂ Rn , avec n ≥ 1. A est dit connexe si A n’admet aucune
séparation.
Exemple :
l’ensemble [0, 1/2[∪]1, 3/2] n’est pas un connexe.
Proposition 2.20
Dans R, tout ensemble est connexe si seulement s’il est un intervalle.

Définition 2.21
Soient x et y sont deux points de Rn , avec n ≥ 1, on appelle chemin
d’origine x et d’extrémité y toute application continue γ : [0, 1] → Rn
telle que γ(0) = x et γ(1) = y.
Définition 2.22
Une partie A de Rn est dite connexe par arcs si tout couple de points
de A est relié par un chemin restant dans A.
Définition 2.23
Soit A ⊂ Rn , avec n ≥ 1. A est dit convexe si pour tout a et b de A, le
segment [a, b] = {(1 − t)a + tb; t ∈ [0, 1]} est contenu dans A.
Exemple :
Dans Rn , toute partie convexe est connexe par arcs
Un cercle est un connexe par arcs.
Théorème 2.24
Soit p, q ∈ N∗ . Soit A une partie connexe (respectivement connexe par
arcs) de Rp . Soit f : A → Rq une application continue. Alors f (A) est
aussi connexe (respectivement connexe par arcs).
Corollaire 2.25
Si A ⊂ Rp , avec p ∈ N∗ , est connexe par arc alors A est connexe.
Exemple :
Tout ensemble convexe est connexe.
Définition 2.26
Une partie A de Rp est dite étoilée s’il existe a ∈ A tel que [a, x] ⊂ D
pour tout x ∈ A.
Exercice :
Toute partie convexe est une partie étoilé dans Rp . La réciproque
n’est pas en générale vraie.
A = ([0, 1] × [0, 1]) ∪ ([1, 2] × [0, 2]) est étolé mais non convexe.
Chapitre 3 : Calcul Différentiel Dérivées Partielles
Définition 3.1
Soit f : D ∈ ORn → R. On dit que f admet en a = (a1 , ..., ai , .., an )
une i-ème dérivée partielle si la i-ème application partielle associée à f
∂f
au point a est dérivable en ai , on note cette dérivée par (a), et on
∂xi
écrit :
∂f fa,i (ai + h) − fa,i (ai )
(a) = lim
∂xi h→0 h
xy(x2 − y 2 )
Exemple : Soit f : R2 → R telle que f (x, y) = si
x2 + y 2
(x, y) 6= (0, 0) et f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0).
∂f ∂f
Calculer (x, y) et (x, y) pour tout (x, y) ∈ R2 .
∂x ∂y

Définition 3.2
Soit f : D ∈ ORn → R. On dit que f est de classe C 1 sur D si f admet
∂f ∂f
en tout point x ∈ D, n dérivées partielles , ..., continues sur
∂x1 ∂xn
D. L’ensemble des fonctions de classe C 1 sur D est noté : C 1 (D, R).
f est dite de C k (D, R), avec k ∈ N∗ , si f est de C k−1 (D, R) et
admettent des dérivées partielles d’ordre k sur D, notées par :
∂kf
avec α1 , ..., αn ∈ N tels que ni=1 αi = k, et qui sont
P
α α
∂ x1 ...∂ xn
1 n
continues pour tout αi .

xy
Exemple : Soit f : R2 → R telle que f (x, y) = 2 si
x + y2
(x, y) 6= (0, 0) et f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0).
1 Montrer que f admet des dérivées partielles en (0, 0).
2 f est-elle de classe C 1 en (0, 0).

Théorème 3.3 (Schwarz)

Soit f ∈ C 1 (D, R), avec D ∈ ORn , admettant des dérivées partielles
secondes sur D et i, j ∈ {1, ..., n}.
∂2f ∂2f
1 Si et sont continues en a ∈ D alors :
∂xi ∂xj ∂xj ∂xi
∂2f ∂2f
(a) = (a)
∂2f ∂2f
2 Si f ∈ C 2 (D, R) alors on a sur D : =
xy(x2 − y 2 )
Exemple : Soit f : R2 → R telle que f (x, y) = si
x2 + y 2
(x, y) 6= (0, 0) et f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0).
∂2f ∂2f
1 Calculer (0, 0) et (0, 0).
∂x∂y ∂y∂x
2 Que peut-on déduire ?
Chapitre 3 : Calcul Différentiel Fonctions différentiables
Définition 3.4
Soit f : D ∈ ORp → Rq . On dit que f est différentiable en un point a ∈ D s’il existe une
application linéaire l ∈ L(Rp , Rq ) telle que lim (f (a + h) − f (a) − l(h)) / k h k= 0
h→0p
Remarque :
lim (f (a + h) − f (a) − l(h)) / k h k= 0 ⇐⇒ ∃ε : h ∈ V(0p ) → Rq telle que
h→0p
lim ε(h) = 0q et f (a + h) = f (a) + l(h)+ k h k ε(h).
h→0p
Théorème 3.5
Soit f : D ∈ V(a) → Rq . Si f est différentiable en a alors l’application linéaire l
vérifiant F : f (a + h) = f (a) + l(h)+ k h k ε(h) avec lim ε(h) = 0q ,
h→0p
est unique.
Définition 3.6
Si f est différentiable en a, l’application linéaire unique l vérifiant la relation (F) est
appelée la différentielle de f en a et notée par dfa . Si f est différentiable en tout
point de D. On dit qu’elle est différentiable sur D.
Exemple : Soit f, g : R2 → R avec f (x, y) = xy et g(x, y) = x + y.

Montrer que les fonctions f et g sont différentiables sur R2 et donner leurs différentielles.

Théorème 3.7
Soient f et g deux fonctions différentiables en a ∈ D. Alors :
1 f est continue en a.
2 f + g est différentiable en a et d(f + g)a = dfa + dga .
3 αf est différentiable en a et d(αf )a = αdfa .
Exemple : Calculer la différentielle de la fonction suivante :

h(x, y) = x + xy + y.
Théorème 3.8
Soient a ∈ Rn et f : D ⊂ V(a) → R différentiable en a. Alors f admet
∂f
n dérivées partielles en a telles qu’on a : dfa (h) = ni=1
P
(a).hi .
∂xi
Remarque : La réciproque est fausse, par exemple : On considère la

xy
fonction f définie par f (x, y) = 2 si (x, y) 6= (0, 0) et
x + y2
f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0).
Théorème 3.9
Soient a ∈ Rn et f : D ⊂ V(a) → R. Si f est de C 1 sur D alors f est
∂f
différentiable en a et on a : dfa (h) = ni=1
P
(a).hi .
∂xi
Exemplep: Calculer la différentielle à l’origine de la fonction f définie par :

f (x, y) = 1 + x2 + y 2 .
Théorème 3.10
Soient a ∈ Rp et f : D ⊂ V(a) → Rq telle que f = (f1 , ..., fq ). Alors f est
différentiable en a s.s.i. fi est différentiable en a pourtout i = 1, ..., q, Dans
Pp ∂f1 
i=1 (a).hi
 ∂xi 
ce cas on écrit : dfa (h) = (d(f1 )a (h), ..., d(fq )a (h)) =  ... .
 
 P
p ∂fq 
i=1 (a).hi
∂xi
Exemple : Soit f : R2 → R2 avec f (x, y) = (x + y, xy).

Montrer que la fonctions f est différentiable sur R2 et donner sa différentielle.

Définition 3.11
Soient a ∈ Rp et f : D ⊂ V(a) → Rq telle que f = (f1 , ..., fq ). On appelle Matrice Jacobienne de
f en a, la matrice notée Jf (a) définie par :
 
∂f1 ∂f1
 ∂x1 (a) . . . (a)
 ∂xp 

Jf (a) = 
 .. .. .. 
 . . . 

 ∂fq ∂fq 
(a) . . . (a)
∂x1 ∂xp
On écrit ainsi : dfa (h) = Jf (a).h pour tout h ∈ Rp .
Proposition 3.12
Soient a ∈ Rp , f : Df ⊂ V(a) → Rn différentiable en a et g : Dg ⊂ V(f (a)) → Rq différentiable en
f (a), alors la composée g ◦ f est différentiable en a et
d(g ◦ f )a = dgf (a) ◦ dfa .
En termes de Jacobiennes, on écrit :
Jg◦f (a) = Jg (f (a)).Jf (a).
Exemple : Soit f une fonction définie sur R2 dans R telle que f (x, y) = f (y, x) et qu’elle est
∂f ∂f
différentiable sur R2 . Montrer que (x, y) = (y, x).
∂y ∂x

Théorème 3.13
Soient x = x(u) et y = y(u) deux fonctions dérivables au point u et soit z = f (x, y) une
fonction différentiable au point (x, y), Alors z = f (x(u), y(u)) admet des dérivées
partielles de premier ordre au point u et on écrit :
dz ∂z dx ∂z dy
= + .
du ∂x du ∂y du
Théorème 3.14
Soient x = x(u, v) et y = y(u, v) deux fonctions admettant des dérivées partielles de
premier ordre au point (u, v) et soit z = f (x, y) une fonction différentiable au point
(x, y), Alors z(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) admet des dérivées partielles de premier ordre
au point (u, v) et on écrit :
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= + et = +
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Exercice :
√
1 On considère z = xy + y, x = cos(θ) et y = sin(θ).
dz
Calculer en θ = π/2.
dθ
2 On considère z = exp (xy), x = 2u + v et y = u/v.
∂z ∂z
Calculer et au point (1, −1).
∂u ∂v

Définition 3.15
Pour une fonction à valeurs scalaires f : D ⊂ Rp → R dont les dérivées partielles existent, son
gradient, noté grad(f ) , est défini par :
grad(f ) : D ⊂ Rp → Rp
∂f ∂f
x 7→ (x), ..., (x)
∂x1 ∂xp

Définition 3.16
Soit f : D ⊂ Rp → R, a ∈ D et u un vecteur unité de Rp . On dit que f a une dérivée
directionnelle, notée par Du f (a), au point a suivant la direction u si l’expression :
f (a + su) − f (a)
lim existe.
s→0 s
Proposition 3.17
Soit f : D ⊂ Rp → R différentiable en a ∈ D et u un vecteur unité de Rp . Alors
Du f (a) = ∇f (a).u = dfa (u).
Remarques :
1 Si f est différentiable en a alors pour tout u ∈ Rp \ 0Rp , f admet une dérivée en a suivant la
direction u.
2 L’existence de la dérivée directionnelle de f en a suivant toutes les directions n’implique pas la
différentiabilité de f en a.
Contre Exemple : Exercice
Chapitre 3 : Calcul Différentiel Recherche d’Extrémum
Définition 3.18
Soit f , une fonction définie sur une partie D de Rn et à valeur dans R.
1 On dit que la fonction f admet un maximum relatif en un point x0 de D lorsqu’il existe
un ouvert O ⊂ D telle que : f (x) ≤ f (x0 ), ∀x ∈ O \ {x0 }.
2 On dit que la fonction f admet un minimum relatif en un point x0 de D lorsqu’il existe
un ouvert O ⊂ D telle que : f (x) ≥ f (x0 ), ∀x ∈ O \ {x0 }.
3 On dit que la fonction f admet un maximum absolu en un point x0 de D lorsque :
∀x ∈ D, f (x) ≤ f (x0 ).
4 On dit que la fonction f admet un minimum absolu en un point x0 de D lorsque :
∀x ∈ D, f (x) ≥ f (x0 ).
Exemple : On définit la fonction f sur R2 par : f (x, y) = x2 + 4xy + 4y 2 . Déterminer le

minimum absolu de f sur R2 .
Définition 3.19
Soit n ∈ N∗ , Ω un ouvert de Rn et f une application de Ω dans R. Soit a ∈ Ω.
On suppose que f soit différentiable en a. On dit que a est un point critique
de f s.s.i ∇f (a) = 0.
Théorème 3.20
Soit x0 = (x10 , ..., xn0 ) ∈ Rn et soit 0 < r. Soit f une fonction de classe C 2
définie sur B(x0 , r) à valeur dans R. Alors le développement limité de f à
l’ordre 2 est donné par :
n n n
X ∂f 1 XX ∂2f
f (x0 + h) = f (x0 ) + hi (x0 ) + hi hj (x0 )
∂xi 2 ∂xi ∂xj
i=1 i=1 j=1
+ k h k2 ε(h),
∀ k h k< r, h = (h1 , ..., hn ), avec lim ε(h) = 0.

h→0
Exemple : On considère la fonction f : R2 → R définie par la relation :

f (x, y) = x2 + y 4 .

Définition 3.21
Soit n ∈ N∗ , Ω un ouvert de Rn et f une application de Ω dans R, de classe
C 2 . Soit a ∈ Ω. On appelle matrice hessienne de f en a la matrice à n lignes
∂2f
et n colonnes dont le terme à la i-ieme ligne et j-ieme colonne est (a).
∂xi ∂xj
On note Hf (a) cette matrice.
Remarque : La matrice hessienne est toujours symétrique.

Proposition 3.22
Soit n ∈ N∗ , Ω un ouvert de Rn et f une application de Ω dans R, de classe
C 2 . Soit a ∈ Ω.
1 (Condition nécessaire) On suppose que f atteint un minimum relatif
(respectivement, maximum relatif ) en a. On a alors ∇f (a) = 0 et
ht .Hf (a).h ≥ 0 pour tout h ∈ Rn (respectivement, ht .Hf (a).h ≤ 0 pour
tout h ∈ V(0)).
2 (Condition suffisante) On suppose que ∇f (a) = 0 et que ht .Hf (a).h > 0
pour tout h ∈ Rn , h 6= 0 (respectivement, ht .Hf (a).h < 0 pour tout
h ∈ V(0), h 6= 0). Alors, f atteint un minimum relatif en a
(respectivement, f atteint un maximum relatif en a).
Théorème 3.23
Soit f une fonction de classe C 2 dans un voisinage de a. Hf (a) est
alors une matrice symétrique réelle dont les valeurs propres,
nécessairement réelles, sont ordonnées comme suit :
λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn . On alors :
1 Si λi > 0 pour tout i ∈ 1, ..., n, f admet un minimum relatif en a.
2 Si λi < 0 pour tout i ∈ 1, ..., n, f admet un maximum relatif en a.
3 Si λ1 < 0 et λn > 0, alors f n’admet pas d’extremum relatif en a
(Dans R2 , ce point est appelé point selle).
4 S’il existe i ∈ 1, ..., n tel que λi = 0, on ne peut rien conclure
(voir TD).
Exemple : On considère la fonction f : R2 → R définie par la

relation : f (x, y) = x2 + 3y 2 .

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Exemple : [0,˚1[ =]0, 1[.

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Exemple : F r([0, 1[∪{2}) = {0, 1, 2}.

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Exemple : Toute boule est bornée dans Rn .

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où D est l’ensemble de définition de f , constitué de tout vecteur de

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où D est l’ensemble de définition de f , constitué de tout vecteur de Rp dont

Remarque : Le domaine de définition de la fonction vectorielle f est :

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Théorème 2.7 (Théorème des Gendarmes)

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AMAL Youssef Analyse 3 2016-2017 24 / 49

R∗+ × [0, 2π[→ R2 \ (0, 0)

dont l’application réciproque est l’application suivante :

R2 \ (0, 0) → R∗+ × [0, 2π[

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AMAL Youssef Analyse 3 2016-2017 27 / 49

Exemples : les fonctions suivantes sont continues :

Exemple : Pour quel paramètre α > 0 la fonction

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Exemple : Montrer que l’ensemble

AMAL Youssef Analyse 3 2016-2017 30 / 49

Exercice : Soit C = (x, y) ∈ R2 ; x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0. et Soit

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continues pour tout αi .

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Théorème 3.3 (Schwarz)

Exemple : Soit f, g : R2 → R avec f (x, y) = xy et g(x, y) = x + y.

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Exemple : Calculer la différentielle de la fonction suivante :

Remarque : La réciproque est fausse, par exemple : On considère la

Exemplep: Calculer la différentielle à l’origine de la fonction f définie par :

Exemple : Soit f : R2 → R2 avec f (x, y) = (x + y, xy).

AMAL Youssef Analyse 3 2016-2017 41 / 49

On écrit ainsi : dfa (h) = Jf (a).h pour tout h ∈ Rp .

d(g ◦ f )a = dgf (a) ◦ dfa .

En termes de Jacobiennes, on écrit :

Jg◦f (a) = Jg (f (a)).Jf (a).

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