PROF KHATIB EL FAKIR

PREPA BAC 2SM

2024
LYCEE ABD MALAK ESSADI
 mathématique ‫ﻣﻮﺣﺪ اﻟﺪورة اﻷوﻟﻰ‬ 2ème BAC SM
4 heures @ @™íØ@‘Ša‡à@óÈí᪠2015-2014

EXERCICE 1
k =n
Soit (Vn )n >0 la suite telle que ( ∀n ∈ ℕ ) 1
Partie (1) *
Vn = ∑k
k =1

1) montrer que ( ∀k ∈ ℕ ) ≤ ln  1 + 
* 1 1
k +1  k ‫ ن‬0.5
2) en déduire que ( ∀n ∈ ℕ* ) Vn ≤ 1 + ln (n )
‫ ن‬0.5
Partie (2) On considère la suite (U n )n ≥ 0 définie par : U 0 = 1 ‫ و‬U n +1
1
= Un +
Un

1) montrer que ( ∀n ∈ ℕ ) U n > 0 en déduire la monotonie de (U n )n ≥ 0

2) a) montrer que ( ∀n ∈ ℕ ) U n2+1 − U n2 = 2 +

1
‫ن‬1
U n2
k =n −1
‫ ن‬0.5
b) en déduire que
1
( ∀n ∈ ℕ ) U n2 = 2n + 1 + ∑ 2
k =0 U k
‫ ن‬0.5
3) montrer que ( ∀n ∈ ℕ ) U n2 ≥ 2n + 2 et calculer lim U n
n→ + ∞
‫ ن‬0.5
4) montrer que ( ∀n ∈ ℕ ) U ≤ 2n + 1 + Vn en déduire
2 1 U
n lim n
2 n→ + ∞ 2n
‫ن‬1
EXERCICE 2
Soit m un complexe . on considère dans ℂ l’équation :

( E ) Z − (1 − im ) Z + 2m − 2im = 0 on note Z1 ; Z 2 les solutions de (E )

2 2

1) Déterminer m pour que Z1 × Z 2 = 1

2) Déterminer m pour que Z1 = 1 + i soit solution de ( E ) puis déterminer la ‫ن‬1

‫ن‬1
deuxième solution ( on donne 8 − 6i = ( 3 − i ) 2 )
‫ن‬1
3) Vérifier que le discriminant de ( E ) s’écrit ∆ = (1 + 3im )2

Puis déterminer les solutions Z1 et Z 2

EXERCICE 3
Le plan ( P ) est muni d’un repère orthonormé direct (O, u, v ) .
 

On considère l’application F qui à tout point M (Z ≠ i ) fait associer le point M ' (Z ' )
‫ ن‬0.5
i (Z − 2i )
tel que Z ' = . A ( 2i ) ; B (i ) deux points de ( P )
Z −i
‫ ن‬0.5
1) résoudre dans ℂ l’équation Z ' = Z
 π π
2) a) sachant que Z − i = e ; − déterminer Z ' et arg Z ' ( )
iα
<α <
2 2
π  
b) montrer que ( ) ‫ ن‬0.5
( ∀Z ∈ ℂ − {i,2i}) arg (Z ' ) ≡ + BM , AM [2π ]
2
‫ ن‬0.5
c) en déduire l’ensemble des points M (Z ) pour que Z ' soit imaginaire
‫ ن‬0.5
3) a) montrer que ( ∀Z ∈ ℂ − {i}) (Z '− i ) (Z − i ) = 1
‫ ن‬0.5
b) déduire l’image du cercle U de centre B et de rayon R = 1

4) on considère les points D , C d’affixes d = − 1 + i ; c =1+i

‫ ن‬0.5
Z '− c Z −c
(i ) montrer que ( ∀Z ∈ {i, c, d }) =− ‫ ن‬0.5
Z '− d Z −d
En déduire que ( M ' D, M 'C ) ≡ π + ( MD, MC ) [2π ]
   
‫ ن‬0.5
( ii ) on suppose que D , C , M non alignés

montrer que D , C , M , M ' sont cocyclique

EXERCICE 4
‫ ن‬0.5
(I ) On considère la fonction f définie sur ]0, +∞[ par : f ( x ) = 2 x + ln x

1) a) calculer les limites lim f ( x ) ; lim f ( x ) ‫ ن‬0.5

x →+∞ x →0
x>0 ‫ ن‬0.5
b) étudier les branche infinie de ( C f ) en +∞
‫ن‬1
2) calculer f ' ( x ) et étudier les variations de f puis dresser le tableau de variations
‫ ن‬0.5
3) a) montrer que f ( x ) = x admet une solution α et
1
<α <1
e
b) tracer la courbe ( C f ) ( on prend α ≃ 0,57 ) ‫ ن‬0.5

( II ) Soient (U n )n ; (Vn )n deux suites définies par : ‫ن‬1

‫ ن‬0.5
U 0 = e ; U n +1 = f (U n ) et V0 = 1 ; Vn +1 = 2Vn + 1
‫ن‬1
1) a) montrer que ( ∀n ∈ ℕ ) Un ≥ e

b) vérifier que Vn +1 + 1 = 2 (Vn + 1) puis déduire Vn en fonction de n

2) a) montrer que
‫ ن‬0.5
( ∀x ≥ e ) f ( x) ≥ 2x +1
‫ ن‬0.5
b) montrer que ( ∀n ∈ ℕ ) U n ≥ Vn puis déterminer lim U n
n →+ ∞
‫ ن‬0.5
On pose h ( x ) = e − x . Soit (Wn )n la suite telle que : W0 ∈  ,1 ‫ و‬Wn +1 = h (Wn )
1 
( III )
e 
‫ ن‬0.5
1) a) montrer que ( ∀n ∈ ℕ )
1
< Wn < 1
e ‫ ن‬0.5
b) vérifier que h (α ) = α

 1 
2) montrer que  ∀x ∈  ,1  h ' ( x ) ≤ 3
1
 e  e
3) a) montrer que ( ∀n ∈ ℕ ) Wn +1 − α ≤ 3 Wn − α
1
e
b) montrer que (Wn )n est convergente et déterminer sa limite
‫ ن‬0.5
EXERCICE 5
‫ ن‬0.5
Soit n un entier tel que n ≥ 3 .

On considère la fonction fn définie sur ℝ par :

− 2x 1 ‫ ن‬0.5
fn ( x ) = nxe −
2
‫ ن‬0.5
1) a) calculer les limites lim fn ( x ) ; lim fn ( x )
x→+ ∞ x→ − ∞ ‫ ن‬0.5
b) étudier la branche infinie de (C n ) en − ∞ ‫ن‬1

2) a) étudier les variations de fn et donner le tableau de variations ‫ ن‬0.5

b) montrer que fn ( x ) = 0 admet deux solutions un et vn ( on prend un < vn ) ‫ ن‬0.5
2) a) étudier la position relative de (C n ) et (C n +1 ) ‫ن‬1

b) tracer (C 3 ) et (C 4 ) ( on donne u 3 ≃ 0, 3 ، v 3 ≃ 0, 75 et u 4 ≃ 0,2 ، v4 ≃ 1,1 ) ‫ ن‬0.5

3) a) montrer que ( ∀n ≥ 3 ) un > 0 ‫ ن‬0.5

b) étudier la monotonie de (un )n en déduire qu’elle est convergente ‫ن‬1

c) montrer que ( ∀n ≥ 3 ) et calculer lim un

1 e ‫ن‬1
≤ un ≤
2n 2n n→ + ∞

d) prouver que lim nun =

1 ‫ ن‬0.5
n→ + ∞ 2
5) a) montrer que ( ∀n ≥ 4 ) vn > 1 ( on donne e 2 < 7, 4 )

b) étudier la monotonie de (vn )n

c) montrer que ( ∀n ≥ 4 ) vn ≥ ln ( 2n ) et calculer lim vn

1
2 n→ + ∞

d) montrer que ( ∀x > 0 ) 2 ln x ≤ x en déduire que ( ∀n ≥ 4 ) vn ≤ ln n

e) déterminer lim et prouver que lim n =

vn v 1
n→ + ∞ n n → + ∞ ln n 2
FIN du sujet
 2016-15 2ème BAC

4h SM

EXERCICE 1
Partie (1) soit la fonction g définie sur ]0, +∞[ par : ( )
g x = −x 2 + 1 − ln x

1) calculer les limites lim g x ( ) ; lim g x ( )

x→+∞ x→0
x >0

1 + 2x 2
2) a)montrer que ∀x ∈  0, +∞  : ( )
g' x = −
x

b) étudier le sens de variation de g et donner le tableau de variations

3) a) montrer que 1 est l’unique solution de g x = 0 ( )

b) déduire le signe de g x ( ) sur ]0, +∞[

partie (2) on considère la fonction f définie sur par : f x = − x + 2 +

( ) ln x
]0, +∞[
x

1) calculer lim f x ( ) interpréter les résultats

x→0
x >0

2) a) montrer que ( C f ) admet en +∞ une asymptote ( ∆ ) dont précisera l’équation

b) étudier la position de ( C f ) et (∆)

3) a) montrer que ∀x ∈  0, +∞ 
( )
g x
: f' x =( ) x2

b) déduire les variations de f puis dresser le tableau de variations

4) montrer que f x = 0 admet dans ]0, +∞[ deux solutions α

( ) et β telles que

0 <α <1< β

5) tracer (C )
f ( on donne 0, 4 < α < 0, 5 ; 2, 3 < β < 2, 4 )

Partie(3 h est la fonction définie par : h x = 1 + 1 + ln x ( )

1) a) déterminer le domaine de h

b) calculer lim h x et lim

( )
h x
x→+∞
( ) x→+∞ x
1
3
 2016-15 2ème BAC

4h SM

2) montrer que h ' x = ( ) et étudier les variations de h

1
2x 1 + ln x

(
3) montrer que h 1, e  ⊆ 1, e  )
4) soit U n
( ) la suite définie par : U 0 = 1 et U n +1 = h U n
( )
n

a) montrer que ∀n ∈ ℕ( ) 1 ≤ Un ≤ e

b) montrer par récurrence que U n ( ) est croissante

n

c) déduire que U n ( ) est convergente et lim U n = β

n n →+∞

EXERCICE 2
1) en utilisant le théorème des accroissements finis montrer que

( ∀x ∈ ]0, +∞[ ) ln (1 + x ) ≤ x ≤ (x + 1) ln (1 + x )
k +1

( )
k =n k =n
k
2) a) prouver que ∀n ∈ ℕ* ∏  1 + 1  ≤ en ≤
  ∏ 1 + 1 
 
k =1  k k =1  k
n
1 1 n! 1 1n
b) en déduire que ∀n ≥ 2 ( ) 1 +  ≤ ≤ 1 +  n + 1
e n n e n

c) montrer que lim n + 1 = 1 puis déduire lim

n 1n
n!
n→ + ∞ n→ + ∞ n

EXERCICE 3
Soit g l’application définie de ℂ − {1 − i} vers ℂ − {1 − i} par :

(1 − i ) Z
( ∀Z ∈ ℂ − 1 − i { }) ( )
g Z =
Z −1+i
1) a) déterminer les deux racines carrées du nombre 3 − 4i

b) résoudre dans ℂ − {1 − i} l’équation g ( Z ) = Z + 2 + i

2) a) montrer que ∀Z ∈ ℂ − 1 − i ( { }) ( g (Z ) = g (Z ) ) ⇔ ( Z + i = 1 )
b) en déduire l’ensemble des points M ( Z ) tel que g ( Z ) réel
2
3) soit Z un nombre de ℂ − {1 − i} et on pose Z − 1 + i = e où θ ∈ [ 0, π [
iθ 3
 2016-15 2ème BAC

4h SM

a) déterminer en fonction de θ arg g Z − 1 + i (( ) ) et g Z − 1 + i

( )
3π
b) sachant que g Z − 1 + i = 2 e
( )
i
4

déterminer l’écriture exponentielle du nombre Z − 1 + i déduire Z

EXERCICE 4
Soit F la fonction définie sur 0, +∞  par : F x = x arctanx − ln 1 + x 2
1
2
( ) ( )
(
1) Montrer que ∀x ∈ 0, +∞  F ' x = arctanx ) ()
2) on considère les suites un ( ) et vn( ) telles que :
n >0 n >0

k =n k =n
k  k 
arctan   et vn = 2
1 1
un = ∑
n k =0
∑ arctan 2
 
n  n k =0 n 
a) montrer que lim vn = 0
n→ + ∞

 k k + 1
b) en appliquant le théorème des accroissements finis à F sur  , 
n n 
π π
montrer que : un − ≤ − ln 2 ≤ un
4n 4
c) en déduire la limite de un ( ) n >0

k =n
  k 
2) soit la suite Sn
( ) définie par : Sn = ∏  1 + arctan   
1
n >0  n 
k =0   n 

a) montrer que ( ∀x ≥ 0 ) x2
x−
2
≤ ln 1 + x ≤ x( )
(
b) en déduire que ∀n ∈ ℕ* ) un − vn ≤ ln Sn ≤ un et déterminer lim Sn
1
2 n→ + ∞

FIN

3
3
 2017-2016 ‫ﺍﻗﺘﺮﺍﺡ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻋﻠﻮﻡ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ‬

+
On pose =  −  , on définie sur la lois telle que ∀ ( ( )∈ ) =
+
1) Montrer que est commutative , associative dans ‫ ن‬0,75
2) Montrer que ( ) est un groupe commutatif ‫ ن‬0,5
   
3) On considère l’ensemble = =   ∈ 
 
 −   
a) Montrer que ∀ ( ()∈ ) × = ‫ ن‬0,5
−
b) En déduire que ( ×) est un groupe commutatif et déterminer ‫ ن‬0.75

On considère dans ℂ l’équation ( ) − ( + ) + (− + )= ‫ ن‬0,5

1) vérifier que le discriminant de ( ) s’écrit ∆ = ( − ) puis résoudre ( )
2) le plan ( ) est muni d’un repère orthonormé direct ( ).
on pose = = + et on considère les points ( ) ( )

π
est la rotation de centre et d’angle ; la rotation de centre ‫ ن‬0,5
π
et d’angle . On considère l’application =
‫ ن‬0,5
a) montrer que ( ) = ‫ ن‬0.75
b) soit ( ) un point du plan ( ) . on pose = ( ) et = ( )
( ) déterminer en fonction de le nombre affixe de ‫ ن‬0,5
( ) montrer que l’affixe de est =− + + en déduire la nature de ‫ ن‬0,25
− −
c) vérifier que = + +
− ‫ ن‬0,5
déterminer l’ensemble des points ( ) pour que soient alignés
‫ ن‬0,75
1) montrer que ≡  
‫ ن‬0,5
2) soit un entier relatif
‫ ن‬0,5
Montrer que − est divisible par en déduire que ≡  

3) montrer que si ≡   alors ≡  

4) résoudre dans ℤ l’équation − =

Soit un entier naturel .

‫ ن‬0,5
on considère la fonction définie sur ℝ par : ( )=
soit ( ) la courbe de dans un repère orthonormé

1) a) calculer
→−∞
( ) →+∞
( ) et
→
( ) manti.1s.fr
 ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺪﺍﺭﺱ ﻛﻮﺹ‬ 1 ‫ﺗﺠـﺮﻳـﺒﻲ ﺭﻗﻢ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻋﻠﻮﻡ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ‬

b) étudier les branches infinies de la courbe ( ) ‫ ن‬0,25

2) a) montrer que est dérivable sur  + ∞  et  − ∞  puis calculer ( ) ‫ ن‬0,5

b) dresser le tableau de variations de ‫ ن‬0,5
3) a) montrer que l’équation ( )= admet dans  − ∞  une seule solution ‫ ن‬0,5

b) montrer que (∀ ∈≥ ) − < <− ‫ ن‬0,5

4) a) montrer que ∀ ∈ ℕ( ) + ( )= en déduire que ( ) est convergente ‫ ن‬0.75

b) prouver que ( ∀ ≥ ) ≥− puis déterminer et ‫ن‬1

→+ ∞ →+ ∞

5) tracer la courbe ( ) ‫ ن‬0,5

Partie ()
−
Soit la fonction définie sur  +∞  par : ( )= > et ( )= ‫ ن‬0,5
1) montrer que est continue à droite de = ‫ ن‬0,5
2) étudier la dérivabilité de à droite de =
‫ ن‬0,5
3) calculer ( ) et étudier le sens de variations de puis dresser le tableau de
variations ‫ ن‬0,5
4) tracer la courbe ( )
Partie ( ) on considère la fonction définie sur  + ∞  par : ( )= ∫ ( ) ‫ ن‬0.75
1) montrer que est dérivable sur  + ∞  et calculer ( ) ‫ ن‬0,5
2) calculer ( ) en déduire le signe de ( )
‫ ن‬0,5
3) a) prouver que ( ∀ > ) ( )=∫
‫ ن‬0,75
b) montrer que ( ∀ > ) ≤ − en déduire ∀ ∈  (  ) ( )≥∫
( − ) ‫ ن‬0,5
c) calculer
→
( )
>
‫ ن‬0,25
4) a) vérifier que ( ∀ > ) ≤
‫ ن‬0,5
b) soit la limite de en +∞ montrer que − < < et donner le tableau de
 manti.1s.fr @@Ëíšíà@ 2015/2014

Exercice(1)
( ) ( ) −1
( ( )
On définie sur ℝ la lois interne ⊥ par : ∀ a, b ∈ ℝ 2 a ⊥ b = e ) ln 1+a 2 ln 1+b 2

1) montrer que ⊥ est commutative ; associative dans ℝ

2) a) montrer que ℝ
∗+
est une partie stable dans ℝ, ⊥ ( )
( ∗+
)
b) montrer que ℝ , ⊥ est un groupe commutatif

3) soit f l’application de ℝ + vers ℝ + telle que : ∀x ∈ ℝ +( ) f (x ) = ln (1 + x ) 2

a) montrer que f est un isomorphisme de ( ℝ , ⊥ ) vers ( ℝ , × )

+ +

b) déterminer f
−1
( 1, + ∞ ) et déduire que  e − 1, + ∞  est stable dans ( ℝ , ⊥ ) +

Exercice(2)
Soit m un paramètre complexe . on considère dans ℂ l’équation
( ) ( ) ( )
E Z 3 + 2 − i Z 2 + m 2 + 1 − 2i Z − i m 2 + 1 = 0 ( )
( )
 
( )
Le plan P est muni d’un repère orthonormé O, u, v
Parti(1)
1) a) vérifier que Zà = i est une solution de E ( )
b) résoudre dans ℂ l’équation E ( )
( )
2) déterminer l’ensemble des points M m pour que deux au moins des solutions de E ( )
aient même module
3π
3) on pose Z 2 = −1 − im ; Z 1 = −1 + im et on suppose m = e iθ ; π < θ <
2
Ecrire Z1 ; Z 2 sous forme trigonométrique
Parti(2)
On considère les points M 2 ; M 1 ; M d’affixes respectivement Z 2 ; Z1 ; m

( )
1) déterminer l’ensemble des oints M m pour que M 2 ; M 1 ; M soient alignés

2) on suppose mm + Re m ≠ 0 . ( )
() ( )
soit R l’application qui transforme N z au point N ' z ' telle que z ' = −1 + iz
a) montrer que R est une rotation en déterminant le centre Ω et l’angle φ
Z2 − m
b) montrer que
Z 2 − Z1
est imaginaire si et seulement si mm − Im m = 0 ( )
( )
c) déduire l’ensemble des points M m tel que M 2 ; M 1 ; M et Ω cocyclique

Exercice(3)
On considère dans ℕ
∗2
( )
l’équation E ( )
: 2x − 3y = 1 et soit x , y un élément de ℕ solution de E
∗2
( )
1) soit m un entier naturel tel que 2m ≡ 1 9  .
 manti.1s.fr @Ëíšíà 2014-2015

montrer que m > 3 et déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant 2n ≡ 1 9 

2) a) montrer que si y > 1 alors 2x ≡ 1 9 puis déduire que 6 x

b) montrer que 2x ≡ 1 63

3) déterminer l’ensemble des solution de E ( )
Exercice (4)
Soit n un entier naturel non nul .
( −1)
k
k = 2n xk
On considère la fonction Pn définie sur 0, + ∞  par : pn x =
  ( ) ∑
k =1 k
x −1
(A) ( ) ( )
2n
1) montrer que ∀x ≥ 0 Pn/ x =
x +1
2) étudier les variations de Pn et dresser le tableau de variation
3) montrer que Pn 1 < 0 ()
 x 1 
( )
4) a) vérifier que Pn +1 x = Pn x + x 2n +1  − ( )

 2n + 2 2n = 1 
b) déduire que ∀n ∈ ℕ∗( ) ()
Pn 2 ≥ 0

  ( )
5) montrer que l’équation Pn x = 0 admet dans 1, + ∞  une solution x n et 1 < x n ≤ 2

t 2n − 1
( B) 1) montrer que ( ∀x ≥ 0 ) ( ) ∫
1
Pn x = dt
0 t +1

xn
t 2n − 1 1 − t 2n
( )
1
∗
2) déduire que ∀n ∈ ℕ ∫1 t + 1 dt = ∫0 t + 1 dt
(
3) montrer que ∀t ≥ 1 ) t 2n − 1 ≥ n t 2 − 1( )
xn
t 2n − 1
( ) ∫ n
( )
2
∗
4) a) montrer que ∀n ∈ ℕ dt ≥ x n − 1
1
t +1 2

b) déduire que ∀n ∈ ℕ( ) 0 ≤ xn −1 ≤
2 ln 2
n
et calculer lim x n
n→ + ∞

Exercice (5)
On considère la fonction f définie sur 0, + ∞  par : f x = e x − 1
  ( )
1) a) étudier la dérivabilité de f à droite de a = 0
b) étudier la branche infinie de la courbe C f ( )
( )
2) a) calculer la dérivée f ' x et donner le tableau de variation de f

(
ex ex − 2 )
b) montrer que ∀x > 0 ( ) ( )
f" x = et étudier la concavité de C f ( )
(e − 1)
3
x
4
 manti.1s.fr @Ëíšíà 2014-2015

( )

( )
3) tracer la courbe C f dans un repère orthonormé O, i, j
(
ln 1+ tan2 x )
 π
( )
4) soit G la fonction définie sur 0;  par : G x = ∫ ()
f t dt
 2 0

 π
( ) ( )
a) étudier le sens de variation de g x = ln 1 + tan2 x sur 0; 
 2
 π
( )
b) montrer que G est dérivable sur 0;  et G ' x = 2 tan2 x
 2
( )
c) déduire une expression de G x

( )
5) calculer l’air du domaine limite par la courbe C f et les droites x = ln 2 ; x = 0 ; y = 0
 @ @Problème d’analyse

Soit n un entier naturel . on considère la fonction fn définie sur ℝ* par : fn ( x ) =

e nx
−1
x2
Partie (1) On suppose n = 1

1) a) calculer les limites lim f1 ( x ) ; lim f1 ( x ) interpréter les résultats

x →−∞ x →0

b) montrer que lim

( ) = +∞
f1 x
que peut-on déduire ?
x→+∞ x
2) calculer f1' ( x ) pour tout x de ℝ* puis donner le tableau de variations

3) a) soit h la restriction de f sur I = ]0, 2] . Montrer que h est bijective de I vers

un intervalle J à déterminer

b) calculer f1 (1) et montrer que h −1 est dérivable en a = e − 1 et déterminer (h −1 ) (e − 1)

'

4) tracer la courbe de f1

Partie (2)
1) a) étudier le sens de variation de fn sur  − ∞, 0  et  0, + ∞ 
   
b) montrer que l’équation fn ( x ) = 0 admet une seule solution α n dans  − ∞, 0 
 
2) a) étudier le signe de fn +1 x − fn x sur  − ∞, 0 
( ) ( )
 
b) déduire la position relative des courbes (C n ) et (C n +1 )

3) a) montrer que (αn )n est croissante et convergente

b) déterminer la limite de la suite (α n )n

k =n
αk2
4) On pose sn = ∑k 2
pour tout n de ℕ * . montrer que (sn )n est croissante et convergente
k =1

( on Remarque que ( ∀k ≥ 2 ) )
1 1
≤
k 2
k ( k − 1)
Partie (3)
2x
On considère la fonction F définie sur ℝ par : F ( x ) = x ∫ dt ; x ≠ 0 et F ( 0 ) =
et 1
2
x
t 2

1) a) montrer que ( ∀x > 0 ) et ( ∀x < 0 ) e 2x ≤ F ( x ) ≤ e x

1 x 1 1 1
e ≤ F ( x ) ≤ e 2x
2 2 2 2
b) déduire que F est continue en x 0 = 0

2) a) calculer les limites lim F ( x ) ; lim F ( x )

x →−∞ x →+∞

b) étudier la branche infinie de la courbe de F en +∞

 2x
3) a) montrer que
e 2x et
( ∀x ∈ ℝ* ) F (x ) = e x − x
+ x ∫ dt
t
x
2x
b) montrer que F est dérivable sur ℝ * et
et
( ∀x ∈ ℝ* ) F ' (x ) = x ∫ t
dt
x
2x 2x
4) a) montrer que ( ∀x > 0 ) e x ln 2 ≤ ∫x t dt ≤ e ln 2 et ( ∀x < 0 ) e ln 2 ≤
t
e et
∫x t dt ≤ e ln 2
2x 2x x

2x
b) déduire la limite lim ∫
et
dt
x→0 t
x

(e x − 1) + x 2x et dt
2

5) a) montrer que ( ∀x ∈ ℝ* ) F (x ) − 1
2
=−
2 ∫x t
en déduire que F est dérivable en x 0 = 0

b) dresser le tableau de variations de F

exercice
x +1
Partie(A) soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par : g ( x ) = − ln x
2x + 1

1) calculer les limites lim g x ( ) ; lim g x ( )

x→0 x→+∞
x >0

2) a) calculer la dérivée g ' ( x ) et étudier le sens de variation de g

b) donner le tableau de variations de g

3) a) montrer que l’équation g ( x ) = 0 admet une unique solution α ‫ و‬et α ∈ ]1,2[

b) en déduire le signe de g ( x )

Partie (B) on considère la fonction f définie sur ]0, +∞[ par :

2 ln x
f (x ) =
x ( x + 1)

1) calculer les limites lim f x ( ) ; lim f x ( )

x→0 x→+∞
x >0

2) étudier les branches infinies de la courbe (C f )

3) calculer la dérivée f ' ( x ) et dresser le tableau de variations de f

4) vérifier que f (α ) = puis tracer la courbe (C f )

2
α ( 2α + 1)
( on prend α ≃ 1, 84 et f (α ) ≃ 0,23 )
 Se préparer au BAC
EXERCICE 1
Le plan complexe ( P ) est muni d’ repère orthonormé direct (O, u, v ) .

2π
On pose j = e et on considère les points A , B et C d’affixes respectivement a = 8
i
3

π
b = 6 j et c = 8 j 2 . A ' est l’image du point B par la rotation r1 de centre C et d’angle ;
3
π
B ' est l’image du point C par la rotation r2 de centre A et d’angle et C ' l’image de A
3
π
par la rotation r3 de centre B et d’angle .
3
1) a) montrer que a ' l’affixe de A ' est un nombre réel
π
b) montrer que l’affixe de B ' est b ' = 16 e puis vérifier que O ∈ ( BB ' )
−i
3

c) montrer que c ' = 7 + 7i 3 est l’affixe du point C '

d) montrer que les droites ( AA ' ) ; ( BB ' ) et (CC ' ) se coupent en O

2) a) calculer OA + OB + OC

b) soit M un point du plan ( P ) d’affixe z . Prouver que (a − z ) + (b − z ) j 2 + (c − z ) j = 22

c) déduire que MA + MB + MC est minimale si M = O

PROBLÈME D’ANALYSE
PARTIE (I )

1) On pose h x = ( ) 1
+ 2 ln x
x
Calculer h ' x dresser le tableau de variations h en déduire que
( ) ( ∀x > 0 ) ( )
h x >0

2) on considère la fonction : g x = ( ) ( )
1 2
− 1 − ln x
x
a) montrer que ∀x > 0 ( ) g ' x = − h x en déduire les variations de g
( ) ( )
1
x
b) montrer que ∀x > 1 ( ) g (x ) < 0 (
et ∀x ∈  0,1 ) g (x ) > 0
( on remarque que g 1 = 0 ) ()
PARTIE (II )
 1

( ) ( )
−

Soit f la fonction définie sur 0, + ∞  par : 

 f x = 1 − x e ln x
; x ≠0 ; x ≠1
 
f 0 = 1

;() f 1 =0 ()
et C la courbe de f dans un repère O, i, j
( ) ( )

1) a) montrer que f est continue à droite de x 0 = 0

b) étudier la dérivabilité de f à droite de x 0 = 0

2) a) montrer que f est continue à droite de x 1 = 1

b) étudier la dérivabilité de f à droite de x 1 = 1

c) la fonction f est-elle continue en x 1 = 1 ?

3) étudier la branche infinie de C en + ∞( )

( ) () ()
g x
4) a) montrer que
1
−
∀x ∈  0,1 ∪ 1, +∞  f' x = e ln x

( ln x )
2

b) dresser le tableau de variations de f

5) tracer la courbe C ( )
2 x −1
PARTIE (III ) soit F la fonction définie sur 1, +∞  par : F x = ( ) ∫ f (t ) dt
x

1) montrer que ∀x ≥ 1
( ) (x − 1) f (2x − 1) ≤ F (x ) ≤ (x − 1) f (x )
2) montrer que F est dérivable à droite de a = 1

3) a) montrer que lim F x = − ∞ et calculer lim

( )
F x
x→+∞
( ) x→+∞ x
b) donner une interprétation graphique des résultats

4) a) montrer que F est dérivable sur 1, +∞  et calculer F ' x ( )

b) montrer que F est décroissante sur 1, +∞  et donner le tableau de variations

5) tracer la courbe de F
 Soit n un entier naturel non nul . Exercice de « Ln »

On considère la fonction fn définie sur 0, + ∞  par :

(
ln x 2 + 1 )
  ( )
fn x = 2x − 2 +
n
Partie (1) 1) a) calculer la limite lim f1 x ( )
x→+∞

b) étudier la branche infinie de C 1 au voisinage de + ∞

( )
2) calculer la fonction dérivée f1 x ( ) puis dresser le tableau de variations de f1
/

3) montrer que C 1 coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse α1 appartient à  0,1
( )
4) tracer la courbe (C ) (
1
on donne α1 ≃ 0, 77 )

Partie (2) 1) a) calculer lim fn x ( )

x→+∞

b) étudier la branche infinie de C n au voisinage de + ∞

( )
2) calculer la fonction dérivée fn x ( ) puis dresser le tableau de variations de fn
/

Partie (3) 1) montrer que l’équation fn x = 0 admet une seule solution αn et 0 < αn < 1
( )
2) prouver que fn αn +1 > 0 en déduire que αn
( ) ( ) est croissante et convergente
n ≥1

ln 2()
3) montrer que (∀n ∈ ℕ ) *
1 − αn ≤
2n
puis déterminer lim αn
n→ + ∞

Soit n un entier tel que n ≥ 3 .

On considère la fonction fn définie sur ]0, +∞[ par :

1
fn ( x ) = + n ln x
x
1) calculer les limites lim fn ( x ) et lim fn ( x )
x →+∞ x →0
x >0

2) calculer la dérivée fn/ ( x ) et dresser le tableau de variations de fn

3) a) étudier la position relative des courbes (C n ) et (C n +1 )

b) tracer dans un même repère les deux courbes (C 3 ) ‫( و‬C 4 )

4) a) montrer que fn ( x ) = 0 admet deux solutions Vn ; U n telles que 0 < U n <

1
< Vn ≤ 1
n
et déterminer lim U n
n →+∞

b) étudier la monotonie de (Vn )n et déduire qu’elle est convergente

5) exprimer lnVn en fonction de Vn et n puis déduire la limite de la suite (Vn )n

 Problème
Partie (1)
Soit n un entier de ℕ* et on considère la fonction gn définie sur ]0, +∞[ par :

( )
gn x = x − n +
n ln x
2
1) a) Calculer les limites lim gn x ( ) ; ( )
lim gn x
x→+∞ x→0
x >0

b) étudier les variations de gn

c) montrer que l’équation gn x = 0 admet une solution αn et 1 ≤ αn < e 2

( )
2) a) prouver que ln αn = 2 −
2
α
n n
b) montrer que la suite αn ( ) est croissante
n

c) déduire que αn ( ) est convergente et déterminer sa limite

n

Partie (2)
Soit f la fonction définie sur  0, + ∞  par : ( ) ln x
f x = x −
  2 x
1) calculer les limites lim f x ( ) ; lim f x ( )
x →+∞ x →0
x >0

2) montrer que f ' x =

g1 x ( ) puis donner le tableau de variations de f
( )
2x x
3) étudier la branche infinie de (C f ) et tracer la courbe (C f )
Partie (3)
1 k =n  k 
On considère la suite U n ( ) telle que : U n = ∑ f 1 + 
n n k =0  n 
2 2
On pose I = dx et J = ∫ f x dx ( )
ln x
∫2
1 x 1

1) a) en utilisant une intégration par partie calculer I

b) déterminer J
k +1
1+

2) a) prouver que (∀k ∈ {0,1,..., n − 1})  k 1 

∫ f (x ) dx ≤ n f  1 +
k + 1
n
1
f 1 +  ≤ 
n  n k
n 
1+
n

b) montrer que U n −
( ) ≤ J ≤U
f 2
−
f 1 ()
n
n n
c) déduire que U n ( ) est convergente et déterminer sa limite
n
 Exercice 1
Soit n un entier de ℕ .

ln ( x 2 + 1)
On considère la fonction f n définie sur [ 0, +∞[ :   par : f n ( x ) = 2x − 2 +
n
1) a) calculer la limite lim f n ( x )
x →+∞

b) étudier la branche infinie de (C n ) au voisinage de + ∞

2) calculer f n/ ( x ) étudier le sens de variation de f n et donner le tableau de variation de f n

3) montrer que l’équation f n ( x ) = 0 admet une seule solution α n et 0 < α n < 1

4) tracer la courbe (C 1 ) ( on prend α1 ≃ 0, 77 )

5) a) montrer que f n (α n +1 ) > 0 puis montrer que (α n )n ≥1 est croissante et convergente

ln ( 2 )
b) prouver que 1 − α n ≤ pour tout n de ℕ* et déterminer lim α n
2n n →+∞

Exercice 2
Soit n un entier tel que n ≥ 3 .

On considère la fonction fn définie sur ]0, +∞[ par : fn ( x ) =

1
+ n ln x
x
1) calculer les limites lim fn ( x ) et lim fn ( x )
x →+∞ x →0
x >0

2) calculer la dérivée fn/ ( x ) puis dresser le tableau de variation de fn

3) a) étudier la position des deux courbes (C n ) et (C n +1 )

b) tracer les courbes (C 3 ) et (C 4 ) dans un même repère

4) a) montrer que fn ( x ) = 0 admet deux solutions Vn et U n tels que 0 < U n <

1
< Vn ≤ 1
n
Puis calculer lim U n
n →+∞

b) étudier la monotonie de la suite (Vn )n en déduire qu’elle est convergente

5) exprimer lnVn en fonction de Vn et n en déduire la limite de (Vn )n

Exercice 3
soit n un entier de ℕ * . On considère la fonction fn définie sur [ 0, +∞[ par : fn ( x ) = e −x − x 2n +1

1) calculer la limite lim fn ( x )

x →+∞

2) calculer la dérivée fn/ ( x ) puis dresser le tableau de variation de fn

3) montrer que fn ( x ) = 0 admet une seule solution an et an < 1

4) étudier la position des courbes de fonctions fn +1 et fn en déduire que (an )n est croissante
−an
5) prouver que ∀n ∈ ℕ* ( ) ln an =
2n + 1
en déduire la limite de la suite (an )n
 Révision

Exercice 1 Exercice 2

Soit n un entier de ℕ * . On considère la fonction Soit n un entier de ℕ tel que n ≥ 2 .

ex − 1 On considère la fonction fn définie sur [0, +∞[
fn définie sur ]0, +∞[ par : fn (x ) = + n ln x
x
Partie (1) on pose g ( x ) = 1 + ( x − 1) e x par : fn ( x ) = x (ln x ) ; x ≠ 0
n

1) a) calculer lim g ( x ) et fn (0) = 0

x →+∞

b) étudier les variations de g I ) 1) a) montrer que fn est continue à droite

en déduire que ( ∀x ∈ ℝ )
+*
g (x ) > 0 de x 0 = 0

2) a) calculer les limites : b) étudier la dérivabilité de fn à droite de x 0 = 0

lim fn ( x ) ; lim fn ( x )
x →+∞ x →0
2) étudier la branche infinie de (C n ) en +∞
x >0
3) a) montrer que fn est dérivable sur ]0, +∞[
b) étudier la branche infinie de (C n ) au
(ln x ) (2n + ln x )
n −1

voisinage de +∞ et fn/ ( x ) =
2 x
3) calculer la dérivée fn puis déduire que fn est b) dresser les tableaux de variations de

strictement croissants sur ]0, +∞[ f2 et f3

4) a) étudier la position relative des courbes 4) a) étudier la position relative des courbes

(C ) et (C ) (C2 ) et (C3 )
2 1

b) tracer dans un même repère les courbes b) tracer les deux courbes (C 2 ) et (C 3 ) dans

(C 2 ) ; (C 1 ) un même repère

Partie (2) 1) montrer que l’équation fn ( x ) = 0 II ) soit g n la restriction de fn sur [1,e]

admet une seule solution α n et α n < 1 1) montrer que l’équation g n ( x ) = 1 admet

2) a) vérifier que fn +1 (α n ) = ln α n une unique solution notée an

en déduire que (α n )n est croissante 2) comparer g n+1 ( x ) et g n ( x ) puis déduire la

b) montrer que ( ∀x ∈ ]0,1])

ex − 1
≤e −1 monotonie de la suite ( an ) n≥2
x
1−e
3) on pose Vn = ln(an ) pour tout entier n ≥ 2
(
c) déduire que ∀n ∈ ℕ * ) αn ≥ e n

a) prouver que 2Vn + n ln Vn = 0

puis déterminer lim αn
n →+∞ −1
en déduire que ∀n ≥ 2( ) e 2n
≤ Vn ≤ 1

b) montrer que ( an )n≥2 est convergente et

déterminer sa limite
 2 éme BAC LYCÉE JAAFAR ELFASSI 15/05/2017
Science math -A- ELFEHRI 4 heurs
EXERCICE (1)
  x 0 y  
   
On considère dans M 3 ( )
ℝ l’ensemble H = M x , y =  0 0 ( )
0  / x, y ∈ ℝ
2
( ) 
  −2y 0 x + 2y  
   
( ) et K = M ( 0,1)
On pose J = M 1, 0

1) montrer que ( H , +,i ) est un espace vectoriel (

et que J , K ) est une base de H
2) a) montrer que K 2 = −2J + 2K ; J 2 = J et JK = KJ = K

( ) ( ) (
b) déduire que M x , y × M x ', y ' = M xx '− 2yy ', xy '+ x ' y + 2yy ' )
( )
3) soit ϕ l’application qui lie toute matrice M x , y au nombre complexe Z = x + y + i y ( )
a) montrer que ϕ est bijective de H vers ℂ et ( ∀Z = a + ib ∈ ℂ ) (Z ) = M (a − b,b )
−1
ϕ
b) montrer que ϕ est un morphisme de ( H , × ) vers ( ℂ,× )

4) déduire que ( H , +, × ) est un corps commutatif

3 4
5) on pose B = M  ,  et A = M −1,1 ( )
5 5
a) déterminer l’inverse de B et montrer que A2017 = A
2
b) résoudre dans H l’équation X + J = 0
EXERCICE (2)
( I ) soit m un nombre complexe .
on considère dans ℂ l’équation ( E ) z 2 − ( 2m + 5i ) z + 2m 2 + (1 + i ) m − 2 ( 5 + i ) = 0

( ) ( )
et on pose P m = −4m 2 − 4m 1 − 4i + 15 + 8i

1) a) vérifier que P (m ) = ( 2im + 4 + i )

2

b) résoudre l’équation ( E )
2) déterminer les valeurs de m pour lesquelles m est solution de ( E )
( )
 
( II ) le plan ( P ) est muni d’un repère orthonormé direct O ,u ,v .
On considère les deux application f et g :
( ) ( )
f : P → P ( ) ( )
g: P → P
M (Z ) → M ' (Z ' = (1 + i ) Z + 2 + 3i ) M (Z ) → M " (Z '' = (1 − i ) Z − 2 + 2i )

1) on pose M = ( g  f )( M )
1

a) montrer que l’affixe de M 1 s’écrit Z1 + 3 + 3i = 2 Z + 3 + 3i ( )

b) déduire la nature de g  f et ses éléments caractéristiques
2) a) montrer que Z " = −i Z ' − 5 + 4i
b) montrer que M " est l’image de M ' par une rotation en déterminant le centre Ω et l’angle
 2 ème BAC LYCÉE JAAFAR ELFASSI 15/05/2017
Science math -A- ELFEHRI 4 heurs
c) déterminer en fonction de Z l’affixe Z I du point I milieu M ' M " 
3) montrer que si M ' est différent de Ω alors ( ΩI ) et ( M ' M '' ) sont perpendiculaire

EXERCICE (3)
Pou r tout entier naturel n supérieur à 2 on pose an = 11......1

n fois

n
1) a) montrer que 9an = 10 − 1

b) déduire que 2017 a2016 ( on donne 2017 un nombre premier )

2) soient p et m deux entiers naturels tels que 2 ≤ p < m
p
a) montrer que am − a p = 10 am − p

b) montrer que si am ≡ a p 1963  alors 1963 am − p

c) déduire qu’il existe un nombre N qui s’écrit en base décimal avec le chiffre 1 et divisible par 1963

PROBLÈME
(I ) 1) montrer que ∀x ∈ ℝ ( ) e x −1 ≥ x

 
*+
2) soit m un élément de 1, + ∞  et gm la fonction définie sur ℝ par : gm x = x m − ln x − m ( ) ( )
a) calculer lim gm x
x→+∞
( ) et lim gm x
x→0
( )
x >0

b) étudier les variations de gm

( )
c) montrer que l’équation gm x = 0 admet exactement deux solutions 1 et α m telle que α m > e m −1
d) vérifier que 4 < α 2 < 5

( ln x )
2

(II ) on considère la fonction f définie sur ℝ

*+
par : f x ( ) =
x −1
()
; x ≠ 1 et f 1 = 0

1) a) calculer lim f x
x→+∞
( ) et lim f x
x→0
( )
x >0

b) vérifier que f est continue au point 1 puis étudier la dérivabilité de f au point 1

2) a) montrer que ∀x ∈ ℝ ( *+
− 1 { }) ( )
f' x =
ln x
( )
g2 x
( )
2
x x −1
α2 − 1
b) montrer que f α 2 = 4( ) et donner le tableau de variation de f ( on donne α 2 ≃ 4, 9 )
α2
2

(III ) on considère les deus fonctions F et G définies sur 1, + ∞  par :

 
( ) dt ( ln t )
2
x f t x

( ) ∫
F x =
t
et G x = ( ) ∫ 2
dt
1 1 t
 2 éme BAC LYCÉE JAAFAR ELFASSI 15/05/2017
Science math -A- ELFEHRI 4 heurs

( ∀x > 1) ( ) 1
( ) ( )
+ 2 ln x + 2  et calculer lim G x
2
1) montrer que G x =2−  ln x
x  x→+∞

2) on suppose que lim F ( x ) = l un nombre fini . montrer que 0 < l < 4 + F ( 2 )

x→+∞

(IV ) pour tout n de ℕ* on considère les fonctions Gn et Fn définies sur 1, + ∞  par :
 
( ) dt ( ln t )
2
x f t x
Fn x =( ) ∫ n +1
et Gn x = ( ) ∫ n +1
dt
1t 1 t
(
4 α2 − 1 )
(
1) montrer que ∀x ≥ 1 0 ≤ Fn x ≤ ) ( )
nα 2
2

( ) 1
( )
n
2) en utilisant un changement de variable t = u montrer que Gn x = 3
G xn
n
puis déduire lim Gn x
x→+∞
( )
k =n
3) montrer que ∑G (x ) = F ( x ) − F ( x )
k =1
k n

k =n
4) on pose U n = lim Fn x
x→+∞
( ) montrer que l − U n = 2 ∑k
k =1
1
3

k =n
1 l
5) montrer que lim
n→ + ∞
∑k
k =1
3
=
2

Bonne chance
 2éme SM @ @@@‹Ð 2017-2016
@ @Exercice(1) structure
 2 −1 0
 
I ) on considère dans l’anneau unitaire M 3 ( ( ) )
ℝ , +, × la matrice A =  −1 2 0
 0 0 1
 

( ( ) )
1) Calculer A2 et montrer que A2 = 4A − 3I ( on rappel que M 3 ℝ , +,i est un espace vectoriel )

2) Déduire que A admet dans un inverse que l’on déterminera

II ) ( ( )
on définie sur ℝ la lois interne T définie par : ∀ x , y ∈ ℝ2 ) xTy = x + y − 2016
1) a) montrer que T est commutative , associative dans ℝ
( )
b) montrer que ℝ,T est un groupe commutatif

2) soit ⊥ la lois définie sur ℝ par ∀ x , y ∈ ℝ 2( ( ) ) x ⊥ y = x + y − 2016

1
xy

( ) (
et on considère l’application f de ℝ vers ℝ par : f x = 2016 1 − x )
a) montrer que f est un isomorphisme de ( ℝ, × ) vers ( ℝ, ⊥ )

b) déduire que ( ℝ,T , ⊥ ) est un corps commutatif

@ @Exercice(2) complexe
< ( )
1) résoudre dans ℂ l’équation E 2Z 2 − 1 + i 3 = 0 ( on note a la solution telle que Re a > 0 ()
2) a) déterminer le module et un argument du nombre 1 + a

(
b) vérifier que 1 − a )(1 + a ) = 21 + i
2
3
puis déduire la forme trigonométrique du nombre 1 − a

( )
 
( )
3) Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé direct O, u, v .

On considère les points A , B , M , M ' , N d’affixes respectivement a , − a , z , z ' , z

et on suppose que 2zz '− 1 + i 3 = 0 et z = 1

( ) ( )
  π z −a
a) montrer que OM ',ON ≡ 2π  et z '− a = −1 + i 3
3 2az
z '− a z −a
( )(
b) montrer que si z + a z '+ a ≠ 0 alors )
z '+ a
=−
z +a
c) on suppose A , B , M non alignés montrer que A , B , M , M ' sont cocycliques

@ @Exercice(3) arithmétique
(I ) 1) 2
résoudre dans ℕ l’équation E ( ) 7x − 6y = 1
(7 )
2) on pose N = 11....1

2016 fois

( )
a) montrer que 7 2015 ,N est une solution de E ( )
 2éme SM @ @@@‹Ð 2017-2016

b) déduire que 2017 N ( on donne 2017 est un nombre premier )

(II ) On considère dans ℕ

∗2
l’équation F ( ) 7n − 3 × 2m = 1

(
1) on suppose m ≥ 5 . soit n; m ne solution de F ) ( )
n
a) montrer 7 ≡ 1 32 
p
b) déterminer suivant p le reste de la division euclidienne du nombre 7 par 32
c) déduire que 7n ≡ 1 5 

2) déterminer l’ensemble des solutions de l’équation F ( )

<
@ @Exercice(4) fonction
<
Soit p un entier naturel non nul . on considère la fonction fp telle que fp x = 1 + ln x + p ( ) ( )
( )
et on pose hp x = x − fp x ( )
Parti(1)
1) calculer les limites lim f1 x
x→+∞
( ) ; lim f1 x
x → −1
( )
x > −1

2) étudier la branche infinie de la courbe C f  au voisinage de + ∞

 1

3) étudier le sens de variation de la fonction f1 et donner le tableau de variation de f1

( )
4) donner l’équation de la tangente T à la courbe C f  au point a = 1 puis tracer C f  et T
 1
  1

( )
Parti(2)

( )
1) montrer que l’équation fp x = x admet dans  0, + ∞  une solution α p
 

( )
2) déterminer le signe de hp +1 α p et déduire que la suite α p ( ) p
est croissante

3) montrer que α p ≥ 1 + ln p et déduire lim α p

p→ + ∞

Parti(3)
( )
Soit U n
n
la suite définie par U 0 = 1 et U n +1 = f1 U n ( )
1) montrer que 1 < α1 < 3

2) a) montrer que ∀n ∈ ℕ ( ) 1 ≤ Un < 3

b) en utilisant le théorème des accroissements finis montrer que ∀n ∈ ℕ ∗ ( ) U n +1 − α1 ≤

1
U − α1
2 n
n −1
1
c) déduire que ∀n ∈ ℕ( ∗
) U n − α1 ≤  
2
puis déterminer lim U n
n→ + ∞

<
 2éme SM @ @@@‹Ð 2017-2016

Exercice(5) integral

( ) ( ) ∫ et
−1 2 x +1
Soit f la fonction numérique définie sur  −1, + ∞  par f −1 = e ln 2 et f x = dt ; x > −1
  x t +1

( ) ∫
2 x +1 1
1) montrer que ∀x > −1 dt = ln 2
x t +1

(
2) a) montrer que ∀x > −1 ) ( )
e x ln 2 ≤ f x ≤ e 2x +1 ln 2
b) déduire que f est continue à droite de a = −1

( ) puis donner une interprétation du résultat

f x
x→+∞
( )
3) calculer les limites lim f x et lim
x→+∞ x
(
e x e x +1 − 1 )
4) a) montrer que f est dérivable sur  0, + ∞  et on a ∀x > −1
  ( ) ( )
f' x =
x +1
b) étudier le sens de variation de f et dresser le tableau de variation de f

( )
f x − f −1 ( ) ≤e
(
5) a) montrer que ∀x > −1 ) e
−1
≤
x +1
2 x +1

( utiliser deux fois le théorème des accroissements finis )

b) déduire que f est dérivable à droite de a = −1 en déterminant le nombre fd' −1 ( )
( )
6) tracer la courbe C f

<
<<
 2014-2015 @@Ëíšíà@ 2BAC SM

Exercice (1)
1) résoudre dans ℂ l’équation Z 2 − 5 − 7i Z − 6 − 13i = 0 ( )
( )
 
2) Le plan complexe est munie d’un repère orthonormé direct O; u; v

On considère les points A , B et C d’affixes respectivement

a = 1 − 2i ; b = 4 − 5i et c = 4 + i

b −a
a) calculer et déduire la nature du triangle ABC
c −a
b) déterminer l’affixe d du point D pour que ABDC soit un carré
3) soit R la rotation de centre A et qui transforme le point B en C
π
a) vérifier que est une mesure de l’angle de R et que l’expression complexe
2
de R s’écrit Z ' = i Z − 1 − 3i

b) soit M ' l’image de M par la rotation R , montrer que CM ' ⊥ BM ( ) ( )

Exercice (2)
(A) ( ( ) )
On rappel que M 2 ℝ , +, × est un anneau unitaire et (M ( ℝ ) , +, ⋅) un
2

espace vectoriel réel . on considère l’ensemble

 x + y y   1 1 
( )
E = M x , y = 
 0 x +y
2
 / x, y ∈ ℝ  ( ) et on pose J =  
 0 1
     
1) a) montrer que E , + ( ) est un groupe commutatif

( )
b) montrer que E , +, ⋅ est un espace vectoriel et déterminer sa dimension
2
2) a) vérifier que J = − I + 2J et déduire que E est stable dans M 2 ℝ, × ( ( ))
b) montrer que (E, +, ×) est un anneau unitaire . est-il commutatif ?

 −1 1 0 
 
(B ) dans l’anneau unitaire M 3 ( ( ) )
ℝ , +, × on considère A =  0 − 1 0 
 0 0 − 1
 
1) a) calculer A2 et vérifier que A2 + 2A + I = θ . θ est la matrice nulle
b) déduire que A admet un inverse que l’on déterminera

( ∀n ≥ 2 ) ( ) (nA + (n − 1) I ) ( I
n n −1
2) montrer que A = −1 la matrice unitaire )

1
3
 2014-2015 @Ëíšíà 2BAC SM

Exercice(3)
Soient p un nombre premier tel que p ≥ 3 et n, a ( ) un couple de ℕ* × ℤ

1) montrer que ( a ≡ 1 p  n

ou a ≡ −1  p n  ) ⇒ (a 2
≡ 1  p n  )
2) on suppose a 2 ≡ 1  p n 

a) montrer que p a − 1 ou p a + 1

b) montrer que si p a − 1 alors a + 1 ∧ p = 1 ( )

c) déduire que a ≡ 1  p n  ou a ≡ −1  p n 
(x )
3) résoudre dan ℕ* l’équation 121 ≡ 1 125 

Exercice(4)
Partie(A)

Soit f la fonction définie par : f x = ( ) e 2x

ex + 1
1) étudier les branches infinies de la courbe (C ) f

2) calculer f ' x ( ) et étudier le sens de variation de f puis donner le tableau de

variation
3) tracer la courbe C f ( )
*+
4) a) montrer que f est une bijection de ℝ vers ℝ
−1
b) tracer dans le repère précédant la courbe de la réciproque f
c) déterminer f
−1
(x ) pour tout x de ℝ
*+

5) soient un λ réel de ℝ
*−
et S λ l’air du domaine limité par C f ( ) les axes du
repère et la droite d’équation x = λ Calculer S λ et déterminer lim S λ
λ→ − ∞

Partie (B)
Pour tout entier naturel n non nul et pour tout x de ℝ − on pose

( ) ∫ e nt
0
Fn x = dt
x
et + 1
1) a) calculer F1 x ( ) et déduire que
x→−∞
( )
lim F1 x = ln 2

b) déterminer lim F2 x
x→−∞
( ) 2
3
2) a) montrer que (∀n ∈ ℕ ) *
( )
Fn +1 x + Fn x = ( ) 1
n
(
1 − e nx )
 . 2014-2015 @Ëíšíà 2BAC SM

b) montrer par récurrence que Fn admet une limite finie en − ∞

on pose Rn = lim Fn x
x→−∞
( )
3) a) montrer que ( ∀t ≤ 0 ) 2e t ≤ 1 + e t ≤ 2

(
b) montrer que ∀n ≥ 2 ∀x ∈ ℝ − )( ) 1
2n
(
1 − e nx ≤ Fn x ≤) 1
2 n −1
( )
1 −e
(n −1)x
( )( )
c) déduire un encadrement de Rn

( ) ( )∫
n 0 *
4) on pose Gn x = −1 e ntdt pour tout x de ℝ
x

( − 1)
n

a) calculer Gn x ( ) et montrer que lim Gn x

x→−∞
( ) =
n
k =n

( ) ∑G (x ) = − F (x ) + ( −1) ( )
n
b) montrer que ∀n ≥ 2 k 1
Fn +1 x
k =1

( −1)
k
k =n
5) ( )
soit U n
n
la suite définie par : U n = ∑ k =1 k

( )
n +1
a) montrer que U n = ln 2 + −1 Rn +1

b) montrer que (U )
n n
est convergente en déterminant sa limite

3
3
 @Ëíšíà@ 2013-2014

Exercice (1) 3 points

(I ) Soit m un nombre complexe non nul .

on considère dans ℂ l’équation (I ) ( Z + 1)

2
+ m2 = 0

1) résoudre l’équation (I )
π
soit solution de (I )
i
2) déterminer m pour que e 3

3) déterminer l’ensemble des points M (m ) pour que les solutions de (I ) aient même module

( )
 
( )
II Le plan complexe est munie d’un repère orthonormé direct O; u; v

On considère les points M (m ) ; B (b = −1 + im ) et C (c = −1 − im )

1) déterminer l’ensemble des points M (m ) pour que M ; B ; C soient alignés

2) on suppose m + Re (m ) ≠ 0
2

Soit R la transformation du plan qui associer M 1 (Z1 ) au point M ' (Z ' ) tel que Z ' = iZ1 − 1
a) Montrer que R est une rotation et déterminer le centre Ω et un argument de son angle
 c −m 
∈ i ℝ  ⇔  m = Im m  ( )
2
b) Montrer que 
 c −b   
c) Déduire l’ensemble des points ( )
M m pour que M , B , C et Ω soient cocycliques

Exercice (2) 3.5 points

( )
On considère dans l’espace vectoriel M 2 ( ℝ ) , +, ⋅ l’ensemble des matrices :
 a   0 1
( ) ( )
b
M a, b =   ; a, b ∈ ℝ2 et on pose J =  
 −4b a + 2b   − 4 2
   
1) a) montrer que (E , + ) est un groupe commutatif

b) montrer que (E , +, ⋅) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension

2) a) vérifier que J 2 = 2J − 4I et déduire que J admet un inverse que l’on déterminera
b) montrer que E est une partie stable pour la × dans M 2 ( ℝ )
f:E → ℂ
( ) ( )
3) on considère l’application
M a, b → z = a + b + i b 3

a) montrer que f est un isomorphisme de ( E , ×) vers ( ℂ,×)

b) déduire la structure de (E , +, × )
 manti.1s.fr @Ëíšíà 2014-2013

Exercice (3) 4 points

Partie (1)
Soient α et β deux entiers naturels tels que α ∧ β = 1
( ) (
1) montrer que α 2 + β 2 ∧ α 2 + βα + β 2 = 1 )
2) soit p un nombre premier tel que p > 3 et p α 2 + βα + β 2

a) montrer que p ∧ α = 1 et déduire que α 3 ≡ β 3  p 

b) Montrer que p ≡ 1 6 
Partie(2)
On considère dans ℕ* × ℕ* l’équation (E ) x 3 − y 3 = 2014 x 2 + y 2 ( ) et on pose d = x ∧ y

1) montrer qu’il existe un couple (a, b ) de ℕ

*2
( ) ( )
tel que et d a 3 − b 3 = 2014 a 2 + b 2 et a ∧ b = 1

2) a) montrer que a > b et a 2 + ab + b 2 2014

b) vérifier que a 2 + ab + b 2 ≥ 7 puis déduire que a 2 + ab + b 2 = 19

3) montrer que b 2 < 7 et résoudre l’équation ( E )

Exercice (4) 5 points

Partie(1)
Soit f la fonction définie sur 0, + ∞  par : f (x ) = x + e
−x

1) étudier la branche infinie de la courbe (C f ) au voisinage de + ∞

2) étudier le sens de variation de f
3) tracer la courbe (C f )
Partie(2)
On considère la suite (U n ) définie par : U 1 = 0 et U n +1 = f (U n )
n

1) a) montrer que ( ∀x > 0 ) ln (1 + x ) ≤ x

(
b) déduire ∀n ∈ ℕ* ) ( )
ln 1 + n − ln n ≤
1
n

2) vérifier que ( ∀n ≥ 1) f ( ln n ) = ( )
1
+ ln n et montrer par récurrence que ∀n ≥ 1 U n ≥ ln n
n
puis déterminer lim U n
n →+∞

3) montrer que ( ∀n ≥ 2 ) U n ≤ 1 +
1 1
+ ..... +
2 n −1

4) a) montrer que ( ∀k > 1)

1 k 1
k
≤ ∫ k −1 x
dx
 manti.1s.fr @Ëíšíà

b) déduire que ( ∀n ≥ 2 ) U n ≤ 1 + ln (n − 1) et calculer lim

Un
n →+∞ ln n
ُExercice(5) 5points
 −
1

(I ) Soit g la fonction définie sur ℝ par :  ()

g t = e t 2 ; t≠0
()
g 0 = 0

1) étudier la dérivabilité de g au point a = 0
2) montrer que ( ∀t ∈ ℝ ) 2g (t ) = t 3g ' (t )

3) étudier le sens de variation de g et donner son tableau de variation puis tracer (C g )

 1

() ()
x
 f t = e ∫ g t dt ; t≠0
(II )
x2
On considère la fonction f définie sur ℝ par :  0

f 0 = 0
 ()
1) a) montrer que f est impaire
1

b) montrer que ( ∀x > 0 ) 0 ≤ ∫ ()

x −
g t dt ≤ xe x2
et déduire que f est continue en 0
0

et calculer f ' (x )
*+
2) montrer que f est dérivable sur ℝ

( ) ∫ g (t ) dt = 13 x g (x ) − 23 ∫ ()
x x
3) a) montrer que ∀x ∈ ℝ + 3
t 2g t dt
0 0

b) déduire que est croissante sur  0, + ∞ 

4) a) montrer que ( ∀x > 1) f (x ) ≥ x +

1
x
− 2 ( on donne ( ∀u ∈ ℝ ) e u
≥u +1 )

b) calculer lim f (x ) et dresser le tableau de variation de la fonction f

x→+∞
 @@Ëíšíà@ 2012-2013
Exercice (1)
( ( ) )
On rappel que M 2 ℝ , +,i est un espace vectoriel réel et (M ( ℝ ) , +, ×) est un anneau unitaire .
2

  x + y 3y    1 3
On considère l’ensemble E = M x , y = ( ) ( )
 / x , y ∈ ℝ2  on pose J = 
 −y x − y 

 −1 − 1 
     
( )
1) a) montrer que E , + est un groupe commutatif

b) montrer que ( E , +,i ) est un espace vectoriel puis déterminer sa dimension

2
2) calculer J et J
n
puis déterminer les coordonnées de I + J + J 2 + ..... + J n dans la base I , J ( )
(
( ) ) f (M ) = x + i y
3) soit f l’application de E vers ℂ telle que : ∀M x , y ∈ E 2

a) montrer que f est un isomorphisme de ( E , × ) vers ( ℂ,× )

b) déduire la structure de ( E , +, × )
 2 n
4) on pose A = M  1,  déterminer A en fonction de I et J
 2 
 

Exercice (2)
(I ) Soit m un nombre complexe . on considère dans ℂ l’équation :

(E ) ( ) ( )
Z 2 − 2m + 5i Z + 2m 2 + 1 + i m − 2 5 + i = 0 ( )
1) a) vérifier que ∆ = ( 2im + 4 + i )
2

b) résoudre l’équation ( E )

( )
2) déterminer m pour que les solutions de E soient confondues et donner cette solution w

( )
 
( )
II ( )
le plan P est muni d’un repère orthonormé O, u, v . on considère les points M m ; ( )
M ' (Z ' = (1 + i ) m + 2 + 3i ) ( ( )
et M '' Z '' = 1 − i m − 2 + 2i )
1) a) montrer que : ( M , M ' et M " alignés ) ⇔ ( Im (m ) = 2 )
( )
b) déduire l’ensemble des points M ' Z ' pour que M , M ' , M " soient alignés
2) soit S l’application du plan qui associer M au point M ' et S ' qui transforme M au point M "
a) montrer que S est le composé d’une homothétie et une rotation en donnant leurs éléments
caractéristiques
b) montrer que S ' S est une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport
3) soit f l’application qui lie M ' au point M "
a) montrer que f est une rotation en donnant l’affixe de son centre Ω et une mesure de son angle
b) soit I le milieu du M ' M "  et T l’application qui transforme M en I .
monter que T est une translation et déterminer son vecteur
( ) (
c) on suppose que M ' ≠ Ω . montrer que ΩI et M ' M " sont perpendiculaire )
 manti.1s.fr @Ëíšíà 2012-2013

exercice (3)
1) montrer par récurrence que ∀n ≥ 3 ( ) n −1
2 >n

2) on considère dans ℕ* l’équation (I ) x n −1 = n

a) résoudre I () pour n = 1 et pour n = 2

b) déterminer l’ensemble des solutions pour n ≥ 3
3) on considère dans ℕ* × ℕ* l’équation E ( ) a b = ba

a) soit p un entier naturel premier . montrer que : p a ⇔ p b

b) on suppose a ≠ b et soit p un diviseur premier de a et de b
(i ) α l’exposant de p dans la décomposition en nombre premier de a et β celle de p dans la
décomposition en nombre premier de b . montrer que αb = β a
(ii ) montrer que b a ou a b

(iii ) on suppose que a b déterminer les solutions de l’équation E ( )

Exercice (4)
x
On considère la fonction G définie sur ℝ par : G x = ( ) ∫ 2
dt
0 1 + 4t 2
1) a) montrer que G est dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée G ' x ( )
b) montrer que G est impaire

(
2) a) montrer que ∀t ≥ 0
1
1 + 2t
≤) 1
1 + 4t 2
b) déduire lim G x
x→+∞
( )
( ) ( )
2
3) a) montrer que ∀t ≥ 1 1 + 4t 2 ≥ 1 + t

( ) ( ) ()
b) déduire que ∀x > 1 G x ≤ G 1 − ln 4 + 2 ln x + 1 ( )
( )
c) étudier la branche infinie de la courbe ΓG au voisinage de + ∞
4) a) montrer que G est bijective de ℝ vers ℝ
b) soit F la réciproque de G .

montrer que F est dérivable sur ℝ et ∀x ∈ ℝ F ' x =

1
2
( 2
1 + 4F x ) ( ) ( )
c) montrer que F est deux fois dérivable sur ℝ et que F " x − F x = 0 ( ) ( )
()
d) calculer F ' 0 ; F ( 0 ) puis déterminer F ( x ) et G ( x ) en fonction de x

exercice (5)
pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 .
k =n

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ xk
k
on définie la fonction fn sur 1, + ∞  par : fn x = ln x − 1 + Pn x avec Pn x =
  k =1
 manti.1s.fr @@Ëíšíà 2012-2013

1) a) étudier le sens de variation de Pn sur 1, + ∞ 

 
( ) ( )
b) étudier le signe de fn +1 x − fn x sur 1, + ∞ 
 

(
c) montrer que ∀x ∈ 1, + ∞ 
 
xn
x −1
) ( )
fn/ x =
et donner le tableau de variation de fn

( )
2) a) montrer que l’équation fn x = 0 admet une seul solution bn
b) montrer que la suite bn ( ) n
est décroissante et qu’elle est convergente

( )
3) tracer la courbe C 2 on donne 1 < b2 < 1,2
4) soit p un entier de ℕ* .
p +1

(
a) montrer que ∀p ∈ ℕ* ) ∫ x1 dx ≤ p1
p

b) montrer que ( ∀n ≥ 2 ) (
ln n + 1 ≤ Pn 1) ()
 1 
(
c) déduire que ∀n ≥ 2 )fn  1 +  > 0 puis montrer que nlim
n + 1
b =1
→+∞ n

/  1 
5) a) étudier le sens de variation de fn +1 sur l’intervalle 1,1 + 
 n + 1
b) en utilisant le théorème des accroissements finies à fn +1 sur bn +1, bn  montrer que :

( )( )
bn +1 − 1 ≤ n + 1 bn − bn +1 ≤ bn − 1
c) déduire un encadrement du nombre b3
 @@Ëíšíà@ 2012-2013
Exercice (1)
( ( ) )
On rappel que M 2 ℝ , +,i est un espace vectoriel réel et (M ( ℝ ) , +, ×) est un anneau unitaire .
2

  x + y 3y    1 3
On considère l’ensemble E = M x , y = ( ) ( )
 / x , y ∈ ℝ2  on pose J = 
 −y x − y 

 −1 − 1 
     
( )
1) a) montrer que E , + est un groupe commutatif

b) montrer que ( E , +,i ) est un espace vectoriel puis déterminer sa dimension

2
2) calculer J et J
n
puis déterminer les coordonnées de I + J + J 2 + ..... + J n dans la base I , J ( )
(
( ) ) f (M ) = x + i y
3) soit f l’application de E vers ℂ telle que : ∀M x , y ∈ E 2

a) montrer que f est un isomorphisme de ( E , × ) vers ( ℂ,× )

b) déduire la structure de ( E , +, × )
 2 n
4) on pose A = M  1,  déterminer A en fonction de I et J
 2 
 

Exercice (2)
(I ) Soit m un nombre complexe . on considère dans ℂ l’équation :

(E ) ( ) ( )
Z 2 − 2m + 5i Z + 2m 2 + 1 + i m − 2 5 + i = 0 ( )
1) a) vérifier que ∆ = ( 2im + 4 + i )
2

b) résoudre l’équation ( E )

( )
2) déterminer m pour que les solutions de E soient confondues et donner cette solution w

( )
 
( )
II ( )
le plan P est muni d’un repère orthonormé O, u, v . on considère les points M m ; ( )
M ' (Z ' = (1 + i ) m + 2 + 3i ) ( ( )
et M '' Z '' = 1 − i m − 2 + 2i )
1) a) montrer que : ( M , M ' et M " alignés ) ⇔ ( Im (m ) = 2 )
( )
b) déduire l’ensemble des points M ' Z ' pour que M , M ' , M " soient alignés
2) soit S l’application du plan qui associer M au point M ' et S ' qui transforme M au point M "
a) montrer que S est le composé d’une homothétie et une rotation en donnant leurs éléments
caractéristiques
b) montrer que S ' S est une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport
3) soit f l’application qui lie M ' au point M "
a) montrer que f est une rotation en donnant l’affixe de son centre Ω et une mesure de son angle
b) soit I le milieu du M ' M "  et T l’application qui transforme M en I .
monter que T est une translation et déterminer son vecteur
( ) (
c) on suppose que M ' ≠ Ω . montrer que ΩI et M ' M " sont perpendiculaire )
 manti.1s.fr @Ëíšíà 2012-2013

exercice (3)
1) montrer par récurrence que ∀n ≥ 3 ( ) n −1
2 >n

2) on considère dans ℕ* l’équation (I ) x n −1 = n

a) résoudre I () pour n = 1 et pour n = 2

b) déterminer l’ensemble des solutions pour n ≥ 3
3) on considère dans ℕ* × ℕ* l’équation E ( ) a b = ba

a) soit p un entier naturel premier . montrer que : p a ⇔ p b

b) on suppose a ≠ b et soit p un diviseur premier de a et de b
(i ) α l’exposant de p dans la décomposition en nombre premier de a et β celle de p dans la
décomposition en nombre premier de b . montrer que αb = β a
(ii ) montrer que b a ou a b

(iii ) on suppose que a b déterminer les solutions de l’équation E ( )

Exercice (4)
x
On considère la fonction G définie sur ℝ par : G x = ( ) ∫ 2
dt
0 1 + 4t 2
1) a) montrer que G est dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée G ' x ( )
b) montrer que G est impaire

(
2) a) montrer que ∀t ≥ 0
1
1 + 2t
≤) 1
1 + 4t 2
b) déduire lim G x
x→+∞
( )
( ) ( )
2
3) a) montrer que ∀t ≥ 1 1 + 4t 2 ≥ 1 + t

( ) ( ) ()
b) déduire que ∀x > 1 G x ≤ G 1 − ln 4 + 2 ln x + 1 ( )
( )
c) étudier la branche infinie de la courbe ΓG au voisinage de + ∞
4) a) montrer que G est bijective de ℝ vers ℝ
b) soit F la réciproque de G .

montrer que F est dérivable sur ℝ et ∀x ∈ ℝ F ' x =

1
2
( 2
1 + 4F x ) ( ) ( )
c) montrer que F est deux fois dérivable sur ℝ et que F " x − F x = 0 ( ) ( )
()
d) calculer F ' 0 ; F ( 0 ) puis déterminer F ( x ) et G ( x ) en fonction de x

exercice (5)
pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 .
k =n

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ xk
k
on définie la fonction fn sur 1, + ∞  par : fn x = ln x − 1 + Pn x avec Pn x =
  k =1
 manti.1s.fr @@Ëíšíà 2012-2013

1) a) étudier le sens de variation de Pn sur 1, + ∞ 

 
( ) ( )
b) étudier le signe de fn +1 x − fn x sur 1, + ∞ 
 

(
c) montrer que ∀x ∈ 1, + ∞ 
 
xn
x −1
) ( )
fn/ x =
et donner le tableau de variation de fn

( )
2) a) montrer que l’équation fn x = 0 admet une seul solution bn
b) montrer que la suite bn ( ) n
est décroissante et qu’elle est convergente

( )
3) tracer la courbe C 2 on donne 1 < b2 < 1,2
4) soit p un entier de ℕ* .
p +1

(
a) montrer que ∀p ∈ ℕ* ) ∫ x1 dx ≤ p1
p

b) montrer que ( ∀n ≥ 2 ) (
ln n + 1 ≤ Pn 1) ()
 1 
(
c) déduire que ∀n ≥ 2 )fn  1 +  > 0 puis montrer que nlim
n + 1
b =1
→+∞ n

/  1 
5) a) étudier le sens de variation de fn +1 sur l’intervalle 1,1 + 
 n + 1
b) en utilisant le théorème des accroissements finies à fn +1 sur bn +1, bn  montrer que :

( )( )
bn +1 − 1 ≤ n + 1 bn − bn +1 ≤ bn − 1
c) déduire un encadrement du nombre b3