Cours DR TAKOU Niveau 2 AnalyseDansLesEspacesVectorielsDeDimensionFinie
Cours DR TAKOU Niveau 2 AnalyseDansLesEspacesVectorielsDeDimensionFinie
Cours DR TAKOU Niveau 2 AnalyseDansLesEspacesVectorielsDeDimensionFinie
Bibliographie
1. J. Dixier, Cours de mathématiques du 1er cycle, 2me année, Gauthier-
Villars.
2. R.Cauty et J.Ezra.
3. Guinin, Aubonnet, Joppin précis de mathématiques, Analyse 2, Bréal.
...
1
Chapitre 1
1.1 Généralités
1
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D'ESPACES MÉTRIQUES 2
Notions de boules
Dénition 1.3 Soit (E,d) un espace métrique, a ∈ E et r ∈ R+ . On appelle :
C2 :
- B(a,r) = ∅ ⇐⇒ r = 0.
- ∀ r ∈ R+ , B'(a,r) 6= ∅ car a ∈ B'(a,r).
- On ne peut pas armer de facon systématique que la sphère est vide ou non.
Observation f : I ⊂ R −→ R
(limx→x0 f (x) = l) ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ Df , | x − x0 |< η ⇒| f (x) − l |< ε)
ceci devient :
(limx→x0 f (x) = l) ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ Df , d(x−x0 ) < η ⇒ d(f (x)−l) <
ε)
Proposition 1.6 Les ouverts d'un espace métrique (E,d) satisfont les pro-
priétés ci-dessous :
O1 ∅ et E sont des ouverts.
O2 Toute intersection nie d'ouverts est ouverte.
O3 Toute réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
Proposition 1.7 Soit (E,d) un espace métrique, une partie A de E est ouverte
ssi A est réunion de boules ouvertes.
Exemples
1. Toute boule ouverte de (E,d) est un ouvert.
2. En munissant R de la distance d dénie par : d(x,y) = |x-y| ≤ , pour a,b
∈ R̄ avec a < b, ]a,b[ est un ouvert de (R,d).
Exemples :
i. Dans un espace métrique (E,d), toute boule fermée est un fermé.
ii. Ainsi, dans R, les intervales fermés [a,b] sont des fermés.
Notion de voisinage
Dénition 1.10 Soient (E,d) un espace métrique et a ∈ E . On appelle voisi-
nage de a dans (E,d) toute partie V ⊂ E contenant une boule ouverte non vide
centrée en a.
On note V(a) l'ensemble de tous les voisinages de a.
Ainsi, on a : ((V ∈ V(a)) ⇔ (∃r > 0, B(a, r) ⊂ V )) (**)
Proposition 1.11 Soit (E,d) un espace métrique. Une partie de A est ouverte
si et seulement si A est voisinage de tous ses points.
Dénition 1.13 Soit A une partie d'un espace métrique (E,d). On appelle
extérieur de A l'extérieur du complémentaire de A dans E.
On note Ext(A) l'extérieur de A et on a : Ext(A) = {˙ A
E
Proposition 1.14 Soit A une partie d'un espace métrique (E,d). A est ouverte
si et seulement si Ȧ = A.
* Montrons que A ⊂ Ȧ
Soit a ∈ A, montrons que a ∈ Ȧ c'est-à-dire cherchons r > 0|B(a, r) ⊂ A
0 0
On a : a ∈ A. Or A ouvert ⇒ ∃ r > 0 |B(a, r ) ⊂ A
0
Prendre r = r . Donc A ⊂ Ȧ
** Montrons que Ȧ ⊂ A
(cas trival)
(2) Supposons A = Ȧ et Montrons que A est ouvert
Cela revient à montrer que Ȧ est ouvert.
Adhérence et Frontière
Dénition 1.15 Soient (E,d) un espace métrique et A ⊂ E . Un point a ∈ E
est dit adhérent à A lorsque tout voisinage de a rencontre A.
On note Ā l'adhérence
T de A et on a : (a ∈ A) ⇔ ∀V ∈ V(a), A ∪ V 6= ∅
⇔ ∀ > 0, B(a, ) A 6= ∅
Il s'en suit aussitôt que tout élément de A adhère à A.
Dénition 1.17 Soit A une partie d'un espace métrique (E,d). On appelle
frontière de A, l'ensemble des points qui ne sont ni à l'interieur, ni à l'extérieur
de A.
Dénition 1.19 Densité Soit A une partie d'un espace métrique (E,d). On
dit que A est dense dans E lorsque Ā = E
0
Dans la suite, on notera Bx (a, r) (resp Bx (a, r)) une boule ouverte (resp. fermée)
de (X, dx ).
Exemple E = R, X=[0,2[
[0, 1[ est un ouvert
T de (X, dx ) T
[0, 1[= [−1, 1[ [0, 2[ = B(0, 1) [0, 2[
Donc [0, 1[ est une boule ouverte
T de [0, 2[ et par conséquent, c'est un ouvert.
Montrons que BX (a, r) = X B(a, r)
BX (a, r) = {x ∈ X, dx (a, x) < r}
= {xT ∈ X, d(a, x) < r}
= X T{x ∈ E, d(a, x) < r}
= X B(a, r)
Dénition 1.24 Soient (E,d) un espace métrique et (Un )n∈N une suite d'élé-
ments de E. Nous dirons que (Un ) converge vers l'élément l ∈ E si quel que
soit le voisinage V de l dans (E,d), il existe un entier naturel nV ∈ N tel que
∀n ∈ N, n ≥ nV ⇒ Un ∈ V .
On note alors lim Un = l ou limn→+∞ Un = l.
Observons alors qu'on a les équivalences :
Remarque Soit E un espace métrique produit des espaces métriques (E1 , d1 ), (E2 , d2 ), ..., (Ep , dp ).
Une suite (Un )n∈N une suite d'éléments de E converge vers l ∈ E si et seulement
si les suites composantes (x1n ), (x2n ), ..., (xpn ) convergent respectivement vers
les composantes l1 , l2 , ..., lp de l c'est-à-dire l = (l1 , l2 , ..., lp ).
Proposition 1.25 Soit (Un ) une suite d'éléments d'un espace métrique (E,d).
i. Si (Un ) est convergente, alors sa limite est unique
ii. Si (Un ) est convergente, alors elle est unique
Preuve
i. Soit (E,d) un espace métrique. Soit (Un ) une suite convergente vers l ∈ E .
Supposons que (Un ) converge vers l1 ∈ E et (Un ) converge vers l2 ∈ E ,
montrons que l1 = l2
. lim Un = l1 ⇒ ∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀nN , n ≥ N ⇒ Un ∈ B(l1 , )
lim Un = l2 ⇒ ∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀nN , n ≥ N ⇒ Un ∈ B(l2 , )
Supposons l1 6= l2 . Posons = d(l22,l1 ) > 0
Alors pour ce , ∃n1 ∈ N, ∀nN , n ≥ n1 ⇒ Un ∈ B(l1 , d(l22,l1 ) )
De même, ∃n2 ∈ N, ∀nN , n ≥ n2 ⇒ Un ∈ B(l2 , d(l22,l1 ) )
soit n > max(n1 , n2 ). Alors, (Un ∈ B(l1 , d(l22,l1 ) )) et (Un ∈ B(l2 , d(l22,l1 ) ))
d(l1 , l2 ) ≥ d(l1 , Un ) + d(Un , l2 ) < d(l22,l1 ) + d(l22,l1 )
D'où d(l1 , l2 ) < d(l1 , l2 )
Conclusion : l1 = l2
ii. Supposons lim Un = l et montrons que (Un ) est bornée.
Pour = 1 ∃n1 ∈ N, ∀nN , n ≥ n1 ⇒ Un ∈ B(l, 1)
Posons R = max 1, d(U0 , l), ..., d(Un−1 , l). On a ∀n ∈ N, Un ∈ B(l, R)
Conclusion : (Un ) est bornée
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D'ESPACES MÉTRIQUES 9
Dénition 1.27 Valeur d'adhérence d'une suite Soient (Un ) une suite
d'éléments de (E,d) et a ∈ E . On dira que a est une valeur d'adhérence de (Un )
lorsque :
(∀ > 0)(∀n ∈ N)(∃p ∈ N)(p > n et d(Up , a) < )
Preuve Exercice
Proposition 1.29 Caractérisation de l'adhérence Soit A une partie d'un
espace métrique (E,d), les assertions ci-dessous sont équivalentes :
i. a ∈ E est un point adhérent à A.
ii. a ∈ E est limite d'une suite d'éléments de A.
Chapitre 2
FONCTIONS
NUMERIQUES A
PLUSIEURS VARIABLES
Dans tout ce chapitre, pour n ∈ N, Rn sera muni de l'une des normes équiv-
alentes k.ke , k.ks et k.k∞ .
Quelques remarques :
R1 ) La limite d'une fonction f en x0 lorsqu'elle existe est unique.
R2 ) Soient f et g deux fonctions dénies dans un voisinage de x0 ∈ ∆ sauf
0
peut-être en x0 . On suppose que f et g admettent respectivement l et l
comme limite en x0
0 0
. Alors f+g et f.g admettent respectivement l + l et l.l comme limites en
x0
0
Si en outre l 6= 0, fg admet ll0 comme limite en x0 .
10
CHAPITRE 2. FONCTIONS NUMERIQUES A PLUSIEURS VARIABLES 11
Remarque : Soit f : ∆ ⊂ Rn −→ Rp
x 7→ f (x) f(x) peut s'écrire : f (x) = (f1 (x), f2 (x), ..., fp (x)). Les fonctions com-
posantes f1 , f2 , ..., fp sont dénies de Rn vers R.
Soit b ∈ Rp . b s'écrit b = (b1, b2 , ..., bp )
limx→x0 f (x) = b si et seulement si ∀i ∈ {1, 2, ..., p} on a limx→x0 fi (x) = bi
Dénition 2.4 On dit que f est continue en x0 lorsque limx→x0 f (x) = f (x0 )
C'est-à-dire : ∀ > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ ∆, kx − x0 k < η ⇒ kf (x) − f (x0 )k < .
Preuve Supposons
Pn Rn muni de sa base canonique
Pn (ei )1≤i≤n Soit a ∈ Rn , a
s'écrit a =
Pn i=1 ai ei , Pour un élément x = i=1 xi ei de R , on a : f(a)-f(x) =
n
2.1.3 Conséquences
i Les fonctions à n indéterminées sont des fonctions continues de Rn −→ R
ii Les fractions rationnelles sont continues sur leurs ensembles de dénition.
est continue en x0 .
Si f est continue au point a, alors les fonctions φi sont toutes continues au point
ai . La réciproque n'est pas toujours vraie ; c'est-à-dire on peut avoir toutes les
fonctions φi continues aux points ai alors que f n'est pas continue au point a.
2xy
6= (0, 0)
x2 +y 2 si(x, y)
Exemple f : Rn → R(x, y) 7→
0si(x, y) = (0, 0)
Montrons que ∀η > 0, ∃ (x0 , y0 ) ∈ R2 , k(x0 , y0 )k < η et kf (x0 , y0 )k > η2
2
Faisons tendre (x, y) vers (0,0) suivant la droite ∆ : y = x f (x, y) = x22x +x2 = 1
Posons x0 = η2 et y0 = η On a max{|x0 , y0 |} = η2 < η et kf (x0 , y0 )k > 12 . Faisons
2
tendre (x, y) vers (0,0) suivant la droite ∆ : y = x. On a : f (x, y) = x22x +x2 = 1
donc limx→0 f (x, x) = 1 6= f (0, 0) Conclusion : f n'est pas continue en (0,0).
Les applications φ1 : x 7→ φ1 (x) = f (x, 0) = 0 et φ2 : y 7→ φ2 (y) = f (0, y) =
0 sont continues en 0 comme fonctions constantes.
Exemple :
0
* p = q = 1 u=1 On a Du=1 f (a) = limt→0 f (a+t)−ft
(a)
ie Du=1 f (a) = f (a)
* Si u=0, toute fonction f : Ω ⊂ Rp −→ Rq admet en tout point a ∈ Ω, une
dérivée suivant le vecteur nul et on a Du=0 f (u) = 0
Exemple f : Ω ⊂ R2 −→ R(x, y) 7→ x2 + y 2
Soit (a, b) ∈ R2 dire si ∂f
∂x (a, b) et ∂y (a, b) existent et les calculer.
∂f
Soient (a, b) ∈ R2
* Existence de ∂f ∂x (a, b) On a : ∂x (a, b) existe si Dj f (a, b) existe
∂f
f ((a,b)+ti)−f (a,b)
Dj f (a, b) = limt→0 t
on a : (a, b) + ti = (a, b) + t(1, 0) = (a + t, b)
Ainsi limt→0 f ((a,b)+ti)−f
t
(a,b)
= lim f (a+t,b)−f
t
(a,b)
2 2 2 2
= limt→0 (a+t) +bt −a −b
2
= limt→0 2at+tt = 2a ∈ R
* Existence de ∂y (a, b) : Idem que pour
∂f ∂f
∂x (a, b)
φ(s) = f (s, b) = s2 + b2
∂f
∂x (a, b) = φprim(a) = 2a
Remarque Soit f : Ω ⊂ Rp −→ R Si ∀a ∈ Ω, ∂f
∂xi (a) existe, on dénit la
fonction :
∂f Ω −→ R
∂xi : x 7→ ∂f (x)
∂xi
Elle est appelée dérivée partielle de f par rapport à xi
φ(t) t2 u 5 u5
Si v=0, t = t2 u4 +t6 u8 = u4 +t4 u8
Donc limt→0 φ(t)
t =u
Preuve Soit un une suite convergente vers l. Montrons qu'elle est de cauchy.
Soit > 0, cherchons N ∈ N, ∀n, m ∈ N, n, m ≥ N d(un , um ) < . Comme
0 0
lim un = l, ∃N ∈ N, ∀ ∈ N, n ≥ N ⇒ d(un , l) < . Soient n, m ≥ N , onad(un , l) <
2 etd(um , l) < 2 Ainsi, d(un , um ) < d(un , l) + d(um , l) < 2 + 2 < . Prendre
0
N = N
Conséquence :
C1 Toute suite de cauchy admettant une valeur d'adhérence converge vers
cette valeur d'adhérence.
C2 Une suite de cauchy admet au plus une valeur d'adhérence.
Dénition 1.3.3 : Un espace métrique (E,d) est dit complet lorsque dans
(E,d) toute suite de cauchy converge.
Remarques :
R1 Un espace vectoriel normé complet est appelé espace de Banach
R2 Soient d1 et d2 deux distances uniformément équivalentes sur un ensem-
ble non vide E. Alors
* (E, d1 ) et (E, d2 ) ont les mêmes suites de cauchy.
* (E, d1 ) est complet si et seulement si (E, d2 ) est complet
Proposition 1.34 : Soient A une partie non vide d'un espace métrique (E,d)
et dA la distance induite sur A par d. Alors
(i) Si (A, dA ) est complet, alors A est un fermé de (E,d)
(ii) Si (A, dA ) est complet et A est un fermé de (E,d), alors (A, dA ) est
complet
Remarque : Soient
Qp (E1 , d1 ), (E2 , d2 , ..., (Ep , dp )) p espaces métriques com-
plets. Alors E = i=1 Ei muni de l'une quelconque des distances δ∞ , δe et δs
est un espace métrique complet.
0 0
(C'est-à-dire R ⊂ R) telle que R est encore un recouvrement de E.
* Un recouvrement R est dit ni lorsque le cardinal de R est ni (c'est-à-
dire card R < +∞)
* Un recouvrement R est dit ouvert lorsque tout élément de R est un
ouvert de (E,d) c'est-à-dire ∀A ∈ R, A est ouvert
Exemple E=R
- L'ensemble S des intervalles est un recouvrement de E
- L'ensemble S1 des intervalles ouverts est un sous-recouvrement de S. En
outre S1 est un recouvrement ouvert
Dénition 1.36 : Un espace métrique (E,d) est dit compact losque de tout
recouvrement ouvert de (E,d), on peut extraire un sous-recouvrement ni.
* Une partie A de (E,d) est dite compacte lorsque l'espace métrique (A, dA )
est compact.
* Une partie A de (E,d) est dite relativement compacte lorsque Ā est
compact.
Proposition 1.37 : Soit (E,d) un espace métrique compact. Pout toute suite
croissante (On )n∈N d'ouverts recouvrant E, il existe n0 ∈ N tel que E ⊂ On0 .
Preuve : (On )n∈N recouvre E. Comme E est compact, (On )n∈N admet un
sous-recouvrement ni c'est-à-dire il existe n1 , n2 , ..., np ∈ N tel que E ⊂ ∪pi=1 Oni
(*) Posons n0 = max1≤i≤p ni alors comme la suite (On )n∈N est croissante,
∪pi=1 >(*) ⇒ E ⊂ On0
⇒ E = On0
Corollaire Toute partie compacte d'un espace métrique (E,d) est bornée.
Conséquence :
* Soient (E,d) un espace métrique compact et (Fn )n∈N une suite décroissante
de fermés de E telle que n∈N Fn = ∅. Alors il existe p ∈ N, Fp = ∅.
T
* Soient (E,d) un espace métrique compact et (Fn )n∈N
T une suite décroissante
de fermés de E telle que ∀n ∈ N, Fn 6= ∅. Alors n∈N Fn 6= ∅
Exemples :
* Les pavés fermés de Nn sont compacts.
** Les boules fermées de Nn sont compacts.
Dénition 1.41 : Un espace métrique (E,d) est dit connexe s'il ne peut
s'écrire comme réunion de deux ouverts non vides et disjoints.
Remarque : E connexe veut dire que : Pour tous les ouverts O1 et O2 tels
que O1
T
O2 = ∅ ⇒ (O1 = EetO2 = ∅)ou(O1 = ∅etO2 = E)
NB : Une partie A de (E,d) est dite connexe lorsque (A, dn ) est connexe.
CHAPITRE 2. FONCTIONS NUMERIQUES A PLUSIEURS VARIABLES 19
Proposition 1.43 : Soit A une partie d'un espace métrique (E,d), les asser-
tions suivantes sont équivalentes
i A est connexe
ii Si O1 et O2 sont deux
T ouverts de (E,d) tels que A ⊂ O1 ∪ T
O2 et O1 O2 =
T
∅, alors on a : (O1 A = ∅ et A ⊂ O2 ) ou (A ⊂ O1 et A O2 =T∅)
iii Si F1 et F2 sontTdeux fermés de (E,d) tels que A ⊂ F1T
∪F2 et F1 F2 = ∅,
alors on a : (F1 A = ∅ et A ⊂ F2 ) ou (A ⊂ F1 et A F2 = ∅)
1er cas Ā ⊂ {O
E et A ⊂T
1
O2
On a : B ⊂ {O E
1
⇒ B O1 = ∅
Comme B ⊂ OT 1 ∪ O2 , onobtientB ⊂ O2
C'est-à-dire B O1 = ∅ et B ⊂ O2
CHAPITRE 2. FONCTIONS NUMERIQUES A PLUSIEURS VARIABLES 20
Remarque : Soit (Ai )i∈I , une famille de parties connexes de (E,d) tele que
i∈I Ai = ∅. Alors A = ∪i∈I Ai et une partie connexe.
T
Exercice :
1 Montrer que R est une relation d'équivalence.
2 Soit C(x) la classe d'équivalence d'un élément x ∈ E . Montrer que :
i C(x) est la plus grande partie connexe de E contenant x.
ii C(x) est fermé
iii Pour a, b ∈ E , montrer que : a 6= b ⇒ C(a) = C(b) ou C(a) C(b) = ∅.
T
NB :
- La notion de continuité uniforme est gobale et non locale comme celle de
continuité.
- f uniformément continue ⇒ f continue.
Remarque : Une partie A de (E,d) est dite connexe par arcs lorsque (A, dA )
est connexe par arcs.
* Soient x, y, z ∈ E s'il existe :
- Un chemin d'origine x et d'extremité y
- Un chemin d'origine y et d'extremité z
Alors il existe un chemin d'origine x et d'extremité z (en Exercice TD)
* Soit (Ai )i∈I une famille de parties connexes par arcs telle que i∈I Ai 6= ∅.
T
Alors, ∪i∈I Ai est connexe par arcs.
* Si A ⊂ E connexe par arcs et f : (E, d) → (F, δ) est continue, alors f(A)
est connexe par arcs.
NB : On dénit les composantes connexes par arcs de la même façon que les
composantes connexes.
Dénition 1.48 : Soit E une espace vectoriel normé. Une partie de E est dite
convexe lorsque ∀(x, y) ∈ A, [x, y] ⊂ A On rappelle que [x, y] = {(1 − t)x +
ty, 0 ≤ t ≤ 1}
CHAPITRE 2. FONCTIONS NUMERIQUES A PLUSIEURS VARIABLES 22
Proposition
1.50 : Soit (E, k.k
) un espace vectoriel normé, les applications
E∗E → E K∗E → E
+: et . : sont continues.
(x, y) 7→ x+y (λ, y) 7→ λ.y
Preuve
* Munissons E*E de la norme N dénie par N (x, y) = kxk + kyk. Observons
0 0 0 0 0
que pour (x,y), (x , y ) ∈ E ∗ E on a : k(x + y) − (x , y )k ≤ kx − x k +
0 0 0
ky − y k = N [(x, y) − (x , y )]
On vient de montrer que + est 1-lipchitzienne. Par conséquent, + est
uniformément continue d0 où continue.
* Soit (λ0 , x0 ) ∈ K ∗ E . Montrons que . est continue en (λ0 , x0 )
On a : kλx − λ0 x0 k = kλx − λx0 + λx0 − λ0 x0 k
≤ |λ|kx − x0 k + |λ − λ0 |kx0 k
Soit > 0, cherchons η > 0telque|λ − λ0 | < ηetkx − x0 k < η ⇒ kλx −
λ0 x0 k <
Posons η = kx0 k+|λ 0 |+1+
On a : kλx − λ0 x0 k ≤ η(|λ| + kx0 k)
Pour |λ| ≤ |λ0 | + η, on a : kλx − λ0 x0 k ≤ η(|λ0 | + η + kx0 k) ≤ η(|λ0 | +
1 + kx0 k)
≤ (en prenant η < 1) On conclut que (λ, y) → λ.y est continue en
(λ0 , x0 ).
Proposition 1.51 : Soient (E, k.kE ) et (F, k.kF ) deux espaces vectoriels
normés, f : E → F une appication linéaire. Les assertions ci-dessous sont équiv-
alentes :
i f est continue sur E.
ii f est continue en OE
CHAPITRE 2. FONCTIONS NUMERIQUES A PLUSIEURS VARIABLES 23
iii ∃k ∈ R∗+ , ∀x ∈ Ekf (x)kF ≤ kkxkE Dans ce cas, le réel kf k déni par
kf k = inf{k ∈ R∗+ , ∀xE kf (x)kF ≤ kkxkE } dénit une norme dans l'espace
vectoriel L(E, F ) des applications linéaires continues de E vers F.
Preuve (exercice)
Remarques :
R1 ) Tout espace vectoriel normé complet est appelé espace de Banach.
R2 ) Dans un espace vectoriel normé de dimension nie, toutes les normes
sont unifornément équivalentes.
Soit f : Ω ⊂ Rp −→ Rq
Nous notons Br la boule centrée en (0, 0, ..., 0) et de rayon r
Posons Br∗ = Br \{0}. Observons que pour a ∈ Rp , on a :
B(a, r) = {a} + Br ≡ a + Br
f (a + k) − f (a) − Df (a).k
lim||k||→0 =0
||k||
CHAPITRE 2. FONCTIONS NUMERIQUES A PLUSIEURS VARIABLES 24
Propriétés Soit f : Ω ⊂ Rp −→ Rq
1. Si f est constante, alors f est diérentiable en tout point a ∈ Ω et on a
Df (a) = 0 (application nulle)
2. Si f : Rp −→ Rq est une application linéaire, f est diérentiable en tout
point de Rp et on a :
Df (a) = f ∀a ∈ Rp
3. Soient f : Ω ⊂ Rp −→ Rq , g : Ω ⊂ Rp −→ Rq deux applications dieren-
tiables en a et α un nombre réel.
Les applications f + g et αf sont diérentiables en a et on a :
D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a)
D(αf )(a) = αDf (a)
Corollaire
1. Si dans la proposition 2.10, g est une application linéaire alors D(g ◦
f )(a) = g ◦ Df (a)
2. On suppose p = q et f : Ω ⊂ Rp −→ Ω' ⊂ Rp une application bijective.
Si f et f −1 sont diérentiables respectivement en tout point de Ω et Ω',
alors
∀a ∈ Ω, Df (a) est un isomorphisme de Rp −→ Rp et on a :
[Df (a)]−1 = Df −1 (f (a))
CHAPITRE 2. FONCTIONS NUMERIQUES A PLUSIEURS VARIABLES 25
Df : Ω −→ L(Rp , Rq )
x −→ Df (x)
Si q = 1 et g(a) 6= 0, f
g est diérentiable en a et on a :
Quelques applications
df (a).h = ∇f (a).h ∀h ∈ Rp
Exemple
c : y = x2 + x + 1
f : R2 −→ R
(x, y) −→ x2 + y 2 − 1
Observons que c a pour équation
x = t
y = t2 + t + 1
1
Or r0 (t) =
p
⇒ ||r0 (t)|| = 1 + (2t + 1)2
2t + 1
∇f (x, y) = (2x, 2y)
Ainsi, ∇f (r(t)) = (2t, 2(t2 + t + 1))
donc ds
df
(r(t)) = √ 2 2
[t + (t + (t2 + t + 1)(2t + 1)]
1+(2t+1)
Courbes de niveau
Dénition 2.13 Soit f : Ω ⊂ Rp −→ R. On appelle surface de niveau du
champ scalaire f, l'ensemble des points de Ω pour lesquels f prend une valeur
constante c.à.d. L(c) = {x ∈ Ω, f (x) = c}
Exemples
Cas de R2 Quand la courbe est déterminée par une équation de la forme
y = f (x), posons
g: R2 −→ R
(x, y) −→ f (x) − y
∇g(x0 , y0 ) = (f 0 (x0 ), −1)
∇g(x0 , y0 ).(x − x0 , y − y0 ) = 0 ⇔ f 0 (x0 )(x − x0 ) = y − y0
CHAPITRE 2. FONCTIONS NUMERIQUES A PLUSIEURS VARIABLES 27
∂f ∂f ∂f
(x)(x − x0 ) + (a)(y − y0 ) + (a)(z − z0 ) = 0
∂x ∂y ∂z
Pour i ∈ {1, . . . , p} si ∂x
∂f
i
admet une dérivée partielle par rapport à xj , on a la
fonction :
∂ ∂f
Dej (Dei (f )) ie Dej (Dei f ) = ( )
∂xj ∂xi
2
On la note Dji f ou ∂x∂i ∂x
f
j
On dénit ainsi de proche en proche des dérivées partielles d'ordre p par :
∂pf
Di1 ,...,ip f =
∂xip ∂xip−1 . . . ∂xi1
∂2f ∂2f
=
∂xi ∂xj ∂xj ∂xi
1 X
+ hi1 hi2 . . . hik−1 Di1 ...ik−1 f (x)
(k − 1)! i ,...,i
1 k−1
1 X
+ hi . . . hik Di1 ...ik (x + θh)
k! i ,...,i 1
1 k
Exemple
f: R2 −→ R
Soit
(x, y) −→ f (x, y)
On considère un changement de variable bien déni x = x(u, v), y = y(u, v).
On considère la fonction F : R2 −→ R dénie par :
On a :
∂F ∂f ∂x ∂f ∂y
= . + .
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
∂F ∂f ∂x ∂f ∂y
= . + .
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Observons que ce principe est très utile dans les équations aux dérivées partielles
(Exemple : Equation de la chaleur, équation des ondes, etc.).
CHAPITRE 2. FONCTIONS NUMERIQUES A PLUSIEURS VARIABLES 30
f : R3 −→ R
Exemple (x, y, z) −→ f (x, y, z) = (x2 + y 2 )ez − 2x2 − 1
On a : f (0, 1, 0) = 0.
2
L'équation f (x, y, z) = 0 entraine z = ln( x2x2 +y +1
2)
2
ϕ: R −→ R
On prend ici 2
(x, y) −→ ln( x2x2 +y +1
2)
CALCUL INTEGRAL
Dénition 3.2 Soit A une partie bornée de R2 . On note m+ (A), la borne in-
férieure des aires des parties pavables contenant A et m− (A) la borne supérieure
des parties pavables contenues dans A.
On dit que A est quarrable lorsque m− (A) = m+ (A).
31
CHAPITRE 3. CALCUL INTEGRAL 32
Proposition 3.5 Toute fonction continue sur une partie quarrable et com-
pacte y est intégrable.
Alors : n o
1. D = (x, y) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b, Φ(x) ≤ y ≤ Ψ(x) est une partie quarrable
de R2
2. Toute fonction f : D → R continue sur D est intégrable sur D et on a :
ZZ Z b hZ Ψ(x) i
f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx
D a Φ(x)
CHAPITRE 3. CALCUL INTEGRAL 34
Exemple Calculer :
1. x2 cos(y)dxdy
RR
[0,1]×[0, π
2]
2.
un diphéomorphisme de classe C 1 .
◦
Pour une fonction f : ∆ → R continue sur ∆, on a :
ZZ ZZ
f (x, y)dxdy = f (φ(u, v), ψ(u, v))JΦ(u, v)dudv
∆ D
et |J(r, θ)| = r
Dans R3 , les coordonnées sphériques :
x = r cos θ sin φ r ∈ [0, +∞[
y = r sin θ cos φ θ ∈ [0, 2π[
z = r cos φ φ ∈ [0, π]
et |J(r, θ, z)| = r
sur R3 .
Remarques
Par convention, tout champ scalaire f : R3 → R est appelé forme diéren-
tielle de degré 0 sur R3 .
∂w3 ∂w3
+ ∂x dx ∧ dz + ∂y dy ∧ dz
= ( ∂w ∂w1 ∂w3 ∂w2 ∂w1 ∂w3
∂x − ∂y )dx ∧ dy + ( ∂y − ∂z )dy ∧ dz + ( ∂z − ∂x )dz ∧ dx
2
Pour w = w1 ∧ dy ∧ dz + w2 ∧ dz ∧ dx + w3 ∧ dx ∧ dy , on a :
dw = dw1 ∧ dy ∧ dz + dw2 ∧ dz ∧ dx + dw3 ∧ dx ∧ dy
= ( ∂w ∂w1 ∂w1 ∂w2 ∂w2
∂x dx + ∂y dy + ∂z dz) ∧ dy ∧ dz + ( ∂x dx + ∂y dy +
1 ∂w2
∂z dz) ∧ dz ∧ dx
∂w3 ∂w3 ∂w3
= +( ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz) ∧ dx ∧ dy
= ∂w ∂w2 ∂w3
∂x dx ∧ dy ∧ dz + ∂y dy ∧ dz ∧ dx + ∂z dz ∧ dx ∧ dy
1
Dénition 3.13
Une forme diérentielle α de degré p (p ∈ N ∗ ) sur Rn est dite exacte
lorsqu'il existe une forme diérentielle β de degré p − 1 sur Rn telle que
dβ = α.
Une forme diérentielle α est dite fermée si dα = 0.
On appelle intégrale
R curviligne de la forme diérentielle ω sur la courbe
(C), la quantité notée (C) ω dénie par :
Rb
ω(M (t)). dMdt(t) dt
R
(C)
ω =
Rab Pn 0
= a i=1 w1 (x1 (t), . . . , xn (t)).xi (t)dt
ϕ: [a, b] → R3
t 7→ (x(t), y(t), z(t))
On a : Z Z
ω= P dx + Qdy + Rdz
Γ Γ
CHAPITRE 3. CALCUL INTEGRAL 39
0
x = x(t) ⇒ dx = x (t)dt
0
y = y(t) ⇒ dy = y (t)dt
0
z = z(t) ⇒ dz = z (t)dt
On a :
Z Z b
0 0 0
ω= [P (x(t), y(t), z(t))x (t)+Q(x(t), y(t), z(t))y (t)+R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt
Γ a
Proposition 3.15
L'intégrale curviligne d'une forme diérentielle ω sur une courbe (C) ne
dépend pas de la représentation paramétrique choisie. Cependant, l'orien-
tation doit être conservée car tout changement change le signe du résultat.
Cas d'une forme exacte Si ω est une forme diérentielle exacte sur Ω
simplement connexe et f une primitive de ω i.e. df = ω . Alors pour toute
courbe AB
d de classe C 1 d'origine A et d'extrêmité B tracée sur Ω. On a :
Z
ω = f (B) − f (A)
AB
d
.
~ .−
→ − →
ZZ
Φ= V dS dS = dS.~n
(S)
CHAPITRE 3. CALCUL INTEGRAL 40
ϕ : D ⊂ R2 → R3
Détails Soit :
(u, v) 7→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
une paramétrisa-
tion de (S)
Le vecteur normal ~n est donné par
∂M~ ~
∂M
∂u ∧ ∂v
~n = ~ ~
k ∂∂u
M
∧ ∂M
∂v k
Ainsi :
~
∂M ~
∂M
dS = k ∧ kdudv
∂u ∂v
De sorte que :
ZZ ~ ~
Φ= ~ (u, v).( ∂ M ∧ ∂ M )dudv
V
D ∂u ∂v
Exemple ~
(S) ≡ x2 + y 2 + z 2 = 1 V = (x, y, z)
Calculons Φ = (S) V~ .dS~
RR
S = {(x, y, z) ∈ R3 , x3 + y 3 ≤ z, 0 ≤ z ≤ 1}
Rappel Une courbe de R3 ou R2 est dite simple si elle est sans point multiple.
CHAPITRE 3. CALCUL INTEGRAL 41
Théorème 3.17 (Stockes) Soit (S) une surface ouverte à deux faces limitées
par une courbe simple, fermée et orientée (C). Soit V
~ un champ de vecteurs dont
le domaine contient (C). Le ux du rotationnel de V ~ à travers (S) est égale à la
circulation de champs de vecteurs V le long de la courbe (C) i.e.
~
−→ ~ −→
ZZ Z
rotV .dS = ~ dM
V ~
(S) (C)
Exemple ~ = (xy + y 2 , x3 )
V
D = domaine délimité par les courbes de l'équation y = x et y = x2 avec
(C) = δD (frontière de D)
Calculons (C) (V1 dx + V2 dy).
R
x = 1−t
(C2 ) : t ∈ [0, 1]
y = 1−t
Z Z
I= V1 dx + V2 dy + V1 dx + V2 dy
(C1 ) (C2 )
| {z } | {z }
I1 I2
V1 = xy + y 2 = t.t2 + t4 = t4 − t3
V 2 = x2 = t 2
dx = Rdt et dy = 2tdt
1
I1 = 0 (t4 + t3 + t2 .2t)dt
De même, on calcule I2 grâce à Green-Riemann, on a :
RR
I = (2x − 2y − x)dxdy
R 1DR x
= 0 [ x2 (x − 2y)dy]dx
R1
= 0 [xy − y 2 ]xx2 dx
R1
= 0 (x.x − x2 − (x.x2 − (x2 )2 ))dx
R1
= 0 (x4 − x3 )dx
5 4
= [ x5 − x4 ]10
1
= − 20
1
I = − 20
CHAPITRE 3. CALCUL INTEGRAL 43
Φ =
RR
V ~
~ d(S)
(S)
stockes RRR
= (D)
3dxdydz
RRR
= 3 (D)
dxdydz
= 3.volume(S)
= 3. 34 π
= 4π