Table des matières

1 Espaces métriques, espaces normés, et espaces préhilbertien 1

1.1 Distance - Espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Norme - Espace normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Produit scalaire - Espace préhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Boule ouverte, boule fermée - Topologie d’un espace métrique . . . . . . . . . . 5

1
Chapitre 1
Espaces métriques, espaces
normés, et espaces préhilbertien

1.1 Distance - Espace métrique

Définition 1.1 (Distance). Soit E un ensemble non vide quelconque. Une distance (ou
métrique) sur E est une application d de E × E dans R+ vérifiant les trois propriétés
suivantes :

(D1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y (nullité sur la diagonale de E × E) ;

(D2) ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = d(y, x) (symétrie) ;

(D3) ∀(x, y, z) ∈ E × E × E, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité dite triangulaire).

Exemple 1.1. Sur R la fonction d : R × R → d(x, y) = |x − y| est une distance, appelée la

distance usuelle.

Exercice 1.1. 1) Soit E l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n et soient x0 <
x1 < · · · < xn , n + 1 points distincts de R. Montrer que pour (P, Q) ∈ E 2

d(P, Q) = max |P (xi ) − Q(xi )|,

0≤i≤n

est une distance sur E.

2) Soit E = C 0 ([a, b], R) l’espace des fonctions réelles continues sur [a, b] (a, b ∈ R) et

d(f, g) = sup |f (t) − g(t)|.

t∈[a,b]

Montrer que d est une distance sur E.

Rb
3) E = C 0 ([a, b], R) et d(f, g) = a |f (t) − g(t)|dt. Montrer que d est une distance sur E.

Ces propriétés sont très facile à démontrer.

1
Espaces métriques, espaces normés, et espaces préhilbertien

Proposition 1.1. Soit E un ensemble non vide quelconque et d une distance sur E.

1. ∀(x, y, z) ∈ E × E × E, d(x, z) ≥ |d(x, y) − d(y, z)| (inégalité triangulaire dans l’autre

sens, appelée inégalité triangulaire renversée).
p−1
X
2. ∀p ≥ 3, ∀(x1 , . . . , xp ) ∈ E p , d(x1 , xp ) ≤ d(xk , xk+1 ).
k=1

Remarque 1.1. Sur tout ensemble non vide X on peut définir une distance. Par exemple, en
posant d(x, y) = 0 si x = y ; et d(x, y) = 1 si x ̸= y. C’est la distance triviale ou discrète sur X.

Définition 1.2 (Espace métrique). Si E est un ensemble non vide et d : E × E → R+ est une
distance sur E le couple (E, d) s’appelle espace métrique.

1.2 Espace vectoriel réel

Définition 1.3. Soit E un ensemble non vide.

— Une loi de composition interne ’+’ dans E est une application de E × E dans E :

(u, v) ∈ E × E 7−→ u + v ∈ E.

— Une loi de composition externe ’.’ sur E est une application de R × E dans E :

(α, u) ∈ R × E 7−→ α.u ∈ E.

Exemples 1.1. 1. Dans E = {0; 1}, l’application T définie par

aT b = 1 − ab,

est une loi de composition interne dans E.

2. Soit E = R3 . L’application notée ’.’ de R × R3 dans R3 définie par

α.(x, y, z) = (αx, αy, αz),

est une loi de composition externe sur E.

Définition 1.4 (Espace vectoriel sur R). On appelle espace vectoriel sur R, ou R-espace
vectoriel, un ensemble non vide E muni d’une loi (de composition interne) notée ’+’ et d’une
autre loi (de composition externe) notée ’.’ telles que :

1. La loi ’+’ est associative :

∀u, v, w ∈ E, (u + v) + w = u + (v + w).

2. E possède un élément neutre 0E pour ’+’ :

∀u ∈ E, u + 0E = 0E + u = u.

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3. Tout élément de E admet un symétrique :

∀u ∈ E, ∃v ∈ E, tel que u + v = v + u = 0E .

4. La loi + est commutative :

∀u, v ∈ E, u + v = v + u.

5. ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ E, α.(β.u) = (αβ).u.

6. ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ E, (α + β).u = α.u + β.u.

7. ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ E, α.(u + v) = α.u + α.v.

8. ∀u ∈ E, 1.u = u, avec (1 ∈ R).

Le R-espace vectoriel E muni des deux lois ’+’ et ’.’ est noté par (E, +, .). Les éléments de E sont
appelés des vecteurs. Le symétrique v d’un élément u de E pour + est noté −u.

Exemples 1.2. 1. Pour tout n ∈ N∗ , l’ensemble Rn est un R-espace vectoriel pour les lois
suivantes : pour tout (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn et α ∈ R

(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )

α.(x1 , . . . , xn ) = (αx1 , . . . , αxn ).

2. Soit E un R-espace vectoriel et A un ensemble quelconque non vide. L’ensemble E A des

applications de A dans E est un R-espace vectoriel pour les lois

f + g : A −→ E
x 7−→ (f + g)(x) = f (x) + g(x),

et

α.f : A −→ E
x 7−→ (α.f )(x) = α.f (x).

Par exemple, RN l’ensemble des suites réelles est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles.

1.3 Norme - Espace normé

Définition 1.5 (Norme). Soit E un espace vectoriel (e.v.) réel. Une norme sur E est une
application N : x 7→ N (x), de E dans R+ = [0, +∞[ telle que :
(N1) N (x) = 0 ⇐⇒ x = 0 ;
(N2) N (λx) = |λ|N (x), ∀λ ∈ R, ∀x ∈ E ;
(N3) N (x + y) ≤ N (x) + N (y), ∀x, y ∈ E (inégalité triangulaire).
L’application N est souvent notée par ∥ · ∥.

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Exemples 1.3. 1) On vérifie aisément que, pour x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , les formules ∥x∥1 =
Pn n
i=1 |xi | et ∥x∥∞ = max{|x1 |, · · · , |xn |} définissent des normes sur R .
1
n
2) Pour 1 ≤ p < ∞ et x ∈ Rn , ∥x∥p = ( i=1 |xi |p ) p est aussi une norme sur Rn . Pour p = 2,
P

on retrouve le cas particulier de la norme euclidienne. ∥ · ∥p vérifie clairement (N1) et (N2).

On peut montrer que ∥ · ∥p vérifie aussi (N3) ; c’est l’inégalité de Minkowski (voir TD). Par
conséquent, ∥ · ∥p est une norme. Plus généralement, si on a une norme ∥ · ∥i sur Ei , i = 1, · · · , n,
n
! p1
X p
alors ∥(x1 , · · · , xn )∥p = ∥xi ∥i , 1 ≤ p ≤ +∞, est une norme sur E = E1 × E2 × · · · × En
i=1
(avec (x1 , · · · , xn ) ∈ E). Sur R, toutes les normes définies ci-dessus coïncident avec l’application
x 7→ |x|. Cette norme est la norme usuelle sur R.

Exercice 1.2. Vérifier que, pour tout x ∈ Rn

1
∥x∥∞ ≤ ∥x∥p ≤ n p ∥x∥∞ .

En déduire que lim ∥x∥p = ∥x∥∞ (D’où la justification de la notation ∥ · ∥∞ ).

p→+∞

Définition 1.6 (Espace normé). Un espace normé est un couple (E, ∥ ∥), où E est un R-espace
vectoriel et ∥ ∥ est une norme sur E.

Proposition 1.2. Soit (E, ∥ ∥) un espace normé. On pose d(x, y) = ∥x − y∥, ∀x, y ∈ E. Alors d
est une distance sur E.

Démonstration. En effet, (D1) découle de (N1). Pour vérifier (D2), on note que

d(y, x) = ∥y − x∥ = ∥(−1)(x − y)∥ = | − 1|∥x − y∥ = ∥x − y∥ = d(x, y).

Enfin, (D3) est une conséquence de (N3) :

d(x, y) = ∥x − y∥ = ∥(x − z) + (z − y)∥ ≤ ∥x − z∥ + ∥z − y∥ = d(x, z) + d(z, y).

Ainsi, toute norme définit une distance associée. La distance associée à la norme usuelle sur
R est la distance usuelle sur R (voir Exemple 1.1).

1.4 Produit scalaire - Espace préhilbertien

Définition 1.7 (Produit scalaire). Soit E un R-espace vectoriel. Un produit scalaire sur E
est une application u : E × E → R bilinéaire, symétrique et définie positive : c’est à dire, une
application u : E × E → R vérifiant :
(i) ∀x ∈ E, les applications u(x, ·), u(·, x) : E → R sont linéaires (u est bilinéaire) ;
(ii) ∀x, y ∈ E on a u(x, y) = u(y, x) (symétrique) ;
(iii) ∀x ∈ E\{0} on a u(x, x) > 0 (définie positive).
Le produit scalaire u(x, y) est souvent noté ⟨x, y⟩.

Remarque 1.2. Par (iii) on déduit que u(x, x) ≥ 0 pour tout x ∈ E et que u est définie (c’est à
dire, u(x, x) = 0 si et seulement si x = 0).

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Définition 1.8 (Espace préhilbertien). Un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire est
dit préhilbertien. Un espace préhilbertien de dimension finie est appelé un espace euclidien.
Pn
Exemples 1.4. 1. Sur E = Rn , n ∈ N∗ , l’application u(x, y) = i=1 xi yi est un produit scalaire.
Rb
2. Sur E = C 0 ([a, b], R), u(f, g) = a f (x)g(x)dx est un produit scalaire.

Proposition 1.3 (Inégalité de Cauchy-Schwartz). Soit E un R-espace vectoriel et u : E × E →

R un produit scalaire. Alors

p p
|u(x, y)| ≤ u(x, x) u(y, y), ∀x, y ∈ E.

Démonstration. On sait que

u(x + λy, x + λy) ≥ 0, ∀λ ∈ R.

En utilisant la bilinéarité et la symmétrie il vient alors que

0 ≤ u(x + λy, x + λy) = u(x, x) + 2λu(x, y) + λ2 u(y, y).

Le discriminant de ce polynôme en λ doit être négatif ou nul, c’est à dire on doit avoir

4u2 (x, y) − 4u(y, y)u(x, x) ≤ 0.

D’où le résultat.

Proposition 1.4 (Norme associée à un produit scalaire). Soit E un espace préhilbertien. Alors
p
l’application x 7→ ∥x∥ définie sur E par ||x|| = ⟨x, x⟩ est une norme sur E, appelée la norme
associée au produit scalaire.

Démonstration. On a, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwartz,

||x + y||2 = ⟨x + y, x + y⟩ = ⟨x, x⟩ + 2⟨x, y⟩ + ⟨y, y⟩

= ||x||2 + 2⟨x, y⟩ + ||y||2
≤ ||x||2 + 2||x||||y|| + ||y||2
= (||x|| + ||y||)2

D’où ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. Le reste est clair.

1.5 Boule ouverte, boule fermée - Topologie d’un espace

métrique

Définitions 1.1 (Boules ouvertes et fermées). Soit (E, d) un espace métrique et x ∈ E.

— Pour r > 0. L’ensemble
B(x, r) = {y ∈ E : d(x, y) < r},

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s’appelle la boule ouverte de centre x et de rayon r.

— Pour r ≥ 0. L’ensemble
B ′ (x, r) = {y ∈ E : d(x, y) ≤ r},

s’appelle la boule fermée de centre x et de rayon r.

— Pour r ≥ 0. L’ensemble
S(x, r) = {y ∈ E : d(x, y) = r},

s’appelle la sphère de centre x et de rayon r.

Exemples 1.5. 1. Dans R muni de la distance usuelle et pour a < b, on a B( a+b b−a
2 , 2 ) =
]a, b[ et B ′ ( a+b b−a
2 , 2 ) = [a, b].

2. Dans R2 muni de la norme ∥ ∥∞ et de la distance associée, B ′ (0, 1) = [−1, 1]2 est un carré
(voir Figure 1.1).

F IGURE 1.1 – Carré

3. Dans R2 muni de la norme ∥ ∥1 et de la distance associée, B ′ (0, 1) = {(x, y) ∈ R2 | |x| +

|y| ≤ 1} est un losange (voir Figure 1.2).

F IGURE 1.2 – Losange

4. Dans R2 muni de la norme ∥ ∥2 et de la distance associée, B ′ (0, 1) = {(x, y) ∈ R2 | x2 +

y 2 ≤ 1} est le disque de centre 0 et de rayon 1 (voir Figure 1.3).

F IGURE 1.3 – Disque

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Définitions 1.2. Soit (E, d) un espace métrique.

1. (Ensemble ouvert) Un ensemble O ⊂ E est dit ouvert si pour tout x ∈ O, il existe rx > 0
tel que B(x, rx ) ⊂ O.

2. (Ensemble fermé) Un ensemble F ⊂ E est dit fermé si son complémentaire E\F noté
CE F (ou bien F c ) est un ouvert.

Exemple 1.2. Dans R muni de la distance usuelle, U =]0, 1[ est un ouvert. En effet, si on pose,
pour x ∈ U , r = min{x, 1 − x}, on vérifie aisément que B(x, r) ⊂ U .

Remarque 1.3. Il est essentiel et naturel de réaliser que la notion de boule ouverte et celle
d’ouvert dépendent de la distance choisie.

Proposition 1.5. Soit (E, d) un espace métrique et x ∈ E.

(i) Une boule ouverte B(x, r) est toujours un ouvert (r > 0).
(ii) Une boule fermée B ′ (x, r) est toujours un fermé (r ≥ 0).

Démonstration. (i) Soit y ∈ B(x, r). Alors d(x, y) < r. Soit ry > 0 tel que ry ≤ r − d(x, y). Alors
si z ∈ B(y, ry ) on a

d(z, x) ≤ d(z, y) + d(y, x) < ry + d(y, x) ≤ (r − d(x, y)) + d(y, x) = r.

Donc z ∈ B(x, r). Ainsi B(y, ry ) ⊂ B(x, r).

(ii) Montrons que CE B ′ (x, r) = {y ∈ E : d(x, y) > r} est un ouvert. Si y ∈ CE B ′ (x, r) alors
d(x, y) > r et pour 0 < ρ ≤ d(x, y) − r on a B(y, ρ) ⊂ CE B ′ (x, r). D’où le résultat.

Théorème 1.1 (Propriétés des ensembles ouverts et des ensembles fermés). Soit (E, d) un
espace métrique. Alors
(i) ∅ et E sont à la fois des ouverts et des fermés.
(ii) Si (Oi )i∈I est une famille quelconque d’ouverts, alors ∪i∈I Oi est ouvert.
(iii) Si O1 , O2 , . . . , On sont des ouverts, n ∈ N∗ , alors O1 ∩ O2 ∩ · · · ∩ On est ouvert.
(ii)’ Si (Fi )i∈I est une famille de fermés, alors ∩i∈I Fi est un fermé.
(iii)’ Si F1 , F2 , . . . , Fk sont des fermés, k ∈ N∗ , alors F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fk est un fermé.

Démonstration. (i) Évidente.

(ii) Soient O = ∪i∈I Oi et x ∈ O. Alors ∃i0 ∈ I tel que x ∈ Oi0 . Comme Oi0 est ouvert =⇒ ∃r > 0
tel que B(x, r) ⊂ Oi0 =⇒ B(x, r) ⊂ ∪i∈I Oi = O. Comme x ∈ O était quelconque =⇒ O est
ouvert.
(iii) Soit x ∈ O1 ∩ O2 ∩ · · · ∩ On . Alors x ∈ O1 , x ∈ O2 , ... , x ∈ On . Comme chaque Oi est un
ouvert, il existe r1 > 0, r2 > 0, ... , rn > 0 tels que B(x, r1 ) ⊂ O1 , B(x, r2 ) ⊂ O2 ... B(x, rn ) ⊂ On .
Soit r = min(r1 , r2 , . . . , rn ) > 0. Alors B(x, r) ⊂ O1 ∩ O2 ∩ · · · ∩ On . Donc O1 ∩ O2 ∩ · · · ∩ On est
ouvert.
(ii)’ On a CE (∩i∈I Fi ) = ∪i∈I (CE Fi ). Or Fi est fermé =⇒ CE Fi est ouvert pour tout i ∈ I =⇒
∪i∈I (CE Fi ) est ouvert.
(iii)’ On a CE (F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fk ) = (CE F1 ) ∩ (CE F2 ) ∩ · · · ∩ (CE Fk ). Or, chaque Fi est fermé =⇒
CE Fi est ouvert =⇒ (CE F1 ) ∩ · · · ∩ (CE Fk ) est ouvert.

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Remarque 1.4. La sphère de centre a et de rayon r ≥ 0, S(a, r) = {x ∈ E | d(x, a) = r} =

B ′ (a, r) ∩ CE B(a, r), est fermée.

Proposition 1.6. Tout ouvert (d’un espace métrique E) est une réunion de boules ouvertes.

Démonstration. Soit O ⊂ E un ouvert. Comme O est ouvert, ∀x ∈ O, ∃rx > 0 tel que B(x, rx ) ⊂
O. Posons V = ∪x∈O B(x, rx ). Pour tout y ∈ O on a y ∈ B(y, ry ) et B(y, ry ) ⊂ V . Donc y ∈ V et
on en déduit l’inclusion O ⊂ V . De plus, O contient toute les boules B(x, rx ) et donc contient
leur réunion. D’où V ⊂ O et par suite O = V .

Exemple 1.3. Dans R muni de la distance usuelle, tout intervalle ouvert est ouvert, tout
intervalle fermé est fermé. Un intervalle de la forme ] − ∞, a] ou [a, +∞[ est fermé.
En effet, un intervalle de la forme ]a, b[, avec a, b finis, est une boule ouverte : ]a, b[= B(x, r)
a+b b−a
avec x = 2 et r = 2 . De même, [a, b] est une boule fermée. Par ailleurs,
S
]a, +∞[= n∈N∗ ]a, a + n[, et donc ]a, +∞[ est ouvert. Par le même raisonnement, ] − ∞, a[ est
ouvert. Il s’ensuit que [a, +∞[=] − ∞, a[c est fermé, et, de même, ] − ∞, a] est fermé.

Remarque 1.5. Un singleton {x} = B ′ (x, 0) de E (espace métrique) est un fermé.

Remarque 1.6. — Une intersection infinie d’ouverts peut ne pas être ouverte. Par exemple,
dans R, ∩n∈N∗ ] − n1 , n1 [= {0} n’est pas un ouvert.
— Une réunion infinie de fermés peut ne pas être fermée. Par exemple, dans R, ∪n∈N∗ [ n1 , 1 −
1
n] =]0, 1[ n’est pas un fermé.

Définition 1.9 (Topologie). Soit (E, d) un espace métrique. La topologie τ de (E, d) est la
famille de tous les ouverts de E :

τ = {O ⊂ E : O ouvert dans (E, d)}.

Le couple (E, τ ) est dit "espace topologique".

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