Université Moulay Ismaïl

Ecole Normale Supérieure

Département des Sciences

Filière : Licence d’éducation

Spécialité : Enseignement Secondaire-Mathématiques

Module : Analyse 5

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Notion de topologie dans Rn

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Résponsable : Pr. M. AIT KHELLOU

Notes de Cours
Table des matières

1 Notion de topologie dans Rn 1

1.1 L’espace vectoriel normé Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Notions topologiques dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Boules ouvertes, boules fermées et parties bornées . . . . 3
1.2.2 Les ouverts et les fermés de Rn . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Suites de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Adhérence, Intérieur et Frontière d’une partie de Rn . . . 6
1.2.6 Ensembles compacts de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.7 Ensembles convexes de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.8 Ensembles connexes par arcs de Rn . . . . . . . . . . . . 8

I
Chapitre 1
Notion de topologie dans Rn

1.1 L’espace vectoriel normé Rn

Rn est l’espace produit de n ensembles identiques à R, i.e

· · × R}, où n ∈ N∗ .
Rn = |R × ·{z
n fois

Un élément x de Rn s’écrit sous la forme x = (x1 , x2 , . . . , xn ), où les xi sont des

réels. L’espace Rn peut être muni d’une structure d’espace vectoriel sur R. Il
suffit de poser pour tout couple x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) et pour
tout α ∈ R :

x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) et α x = (α x1 , α x2 , . . . , α xn ).

Rn est un espace vectoriel de dimension finie (dim Rn = n) dont B = {e1 , . . . , en }

est la base canonique où e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) et en = (0, . . . , 0, 1).

1.1.1 Distances
Définition 1.1.1. Soit E un ensemble quelconque. On appelle distance (ou métrique)
sur E toute application d définie de E × E à valeurs dans R+ , vérifiant les propriétés
suivantes :
i) ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = 0 ⇔ x = y (Séparation) ;
ii) ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = d(y, x) (Symétrie) ;
iii) ∀(x, y, z) ∈ E × E × E, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (Inégalité triangulaire).

L’ensemble E muni de cette distance est appelé espace métrique noté (E, d).

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Analyse 5 (Notes de cours)/ S3/ENS M. Ait Khellou

Exemples 1.1.2.
1. L’application définie par d(x, y) = |x − y| est une distance sur R.
2. L’application définie par d(x, y = |x − y| + | x1 − y1 | est une distance sur R∗ .

0 si x = y ;
3. L’application définie sur E × E par d(x, y) = est une dis-
1 si x 6= y
tance sur E appelée la distance discrète et (E, d) est un espace métrique
discret.

1.1.2 Normes
Définition 1.1.3. Soit E un K-espace vectoriel (K = R ou C). On appelle norme sur
E toute application N de E dans R+ vérifiant les propriétés suivantes :
i) ∀x ∈ E, N (x) = 0 ⇐⇒ x = 0 (Séparation) ;
ii) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, N (λ x) = |λ| N (x) (Condition d’homogéneité) ;
iii) ∀(x, y) ∈ E × E, N (x + y) ≤ N (x) + N (y) (Inégalité triangulaire).
N (x) la norme de x est souvent notée kxkE ou kxk. L’espace E muni de
cette norme est appelé espace vectoriel normé (e.v.n). On le note (E, k k).
Exemples 1.1.4.
1. La valeur absolue est une norme sur R.
2. On peut munir l’espace vectoriel Rn par les normes usuelles k k1 , k k2 et
k k∞ en posant pour chaque élément x = (x1 , . . . , xn ) de Rn :
n
P
kxk1 = |xi |;
i=1
n  21
x2i
P
kxk2 = (Norme euclidienne);
i=1
kxk∞ = sup |xi | (Norme sup ou infini).
i=1,...,n

Exercice. Vérifier que les applications précédentes k k1 , k k2 et k k∞ sont des

normes sur Rn .
Remarque 1.1.5.
1. Tout espace vectoriel normé (E, || ||) est un espace métrique dont la dis-
tance est définie par d(x, y) = ||x − y||. Cette distance est appelée distance
associée à la norme || || et on a ||x|| = d(x, 0) pour tout x ∈ E.
2. On peut trouver des espaces métriques dont la distance n’est associée à
aucune norme.
Proposition 1.1.6. Soit (E, || ||) un espace vectoriel normé.

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• ∀x ∈ E, ||x|| ≥ 0 et || − x|| = ||x||.

Pp Pp
• ∀x1 , . . . , xp ∈ E, ∀λ1 , . . . , λp ∈ K, || i=1 λi xi || ≤ i=1 |λi | ||xi ||.
• ∀x, y ∈ E, | ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||.

Preuve. "Exercice".

Définition 1.1.7. Deux normes N1 et N2 , définies sur un même espace vectoriel

normé E, sont dites équivalentes s’ils existent deux réels strictement positifs α et β
tels que
α N1 (x) ≤ N2 (x) ≤ β N1 (x), ∀x ∈ E.
On écrit alors N1 ∼ N2 .

Exercice. Montrer que les trois normes usuelles || ||1 , || ||2 et || ||∞ définies sur
Rn sont équivalentes.

Remarque 1.1.8. Généralement, dans un espace vectoriel normé de dimension

finie ( en particulier dans Rn ) toutes les normes sont équivalentes.

1.2 Notions topologiques dans Rn

1.2.1 Boules ouvertes, boules fermées et parties bornées
Définitions 1.2.1. Soit a ∈ Rn et r ∈ R∗+ .
1. La partie S(a, r) = {x ∈ Rn : ||x − a|| = r} est appelée sphère de centre a et
de rayon r.
2. On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r la partie de Rn notée
B(a, r) (ou B|| || (a, r) pour montrer la norme utilisée) et définie par

B(a, r) = {x ∈ Rn : ||x − a|| < r}.

3. On appelle boule fermée de centre a et de rayon r la partie de Rn notée

B 0 (a, r) (ou Bf (a, r) ou B||0 || (a, r)) et définie par

B 0 (a, r) = Bf (a, r) = {x ∈ Rn : ||x − a|| ≤ r}.

Remarques 1.2.2.
1. Dans le cas où a = 0Rn et r = 1, on parle des boules et sphères unitées.
2. Les boules (resp. sphères) ont des formes géométriques différentes selon
les normes utilisées.

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Analyse 5 (Notes de cours)/ S3/ENS M. Ait Khellou

Exemples 1.2.3.
? Dans (R2 , || ||1 ) :

S|| ||1 ((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)||1 = 1} = {(x, y) ∈ R2 : |x|+|y| = 1}

et B|| ||1 ((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)||1 < 1} = {(x, y) ∈ R2 : |x|+|y| < 1}.
? Dans (R2 , || ||2 ) :
p
S|| ||2 ((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)||2 = 1} = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}
p
et B|| ||2 ((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)||2 < 1} = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}.
? Dans (R2 , || ||∞ ) :

S|| ||∞ ((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)||∞ = 1} = {(x, y) ∈ R2 : max(|x|, |y|) = 1}

et B|| ||∞ ((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)||∞ < 1} = {(x, y) ∈ R2 : max(|x|, |y|) < 1}.

F IGURE 1.1 – Sphères et Boules unités pour les normes k k1 , k k2 et k k∞ respectivement

Définition et propriété 1.2.4. Une partie A de Rn est dite bornée si elle est in-
clue dans une boule (ouverte ou fermée). Dans ce cas, le diamètre de A est fini, où le
diamètre est défini par

diamA = sup{d(a, b) : (a, b) ∈ A × A} < ∞.

Autrement dit, A et bornée dans Rn si, et seulement s’il existe M > 0 tel que pour
tout x ∈ A on a kxk ≤ M.

1.2.2 Les ouverts et les fermés de Rn

Définitions 1.2.5.
1. On dit qu’une partie θ de Rn est ouverte si elle est vide ou si pour tout a ∈ θ, il
existe une boule ouverte de centre a contenue dans θ.
C’est-à-dire, θ est un ouvert si, et seulement si, θ = ∅ ou ∀a ∈ θ, ∃r > 0 tel que
B(a, r) ⊂ θ.

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2. On dit qu’une partie F de Rn est fermée si son complémentaire {FRn est un ouvert
dans Rn .
Remarques 1.2.6.
1. Généralement, les définitions précédentes restent les mêmes dans n’im-
porte quel espace vectoriel normé E.
2. Les notions d’ouvert et de fermé dans Rn sont indépendantes de la norme
choisi car toutes les normes de Rn sont équivalentes.
Exemples 1.2.7.
1. Les boules ouvertes (resp. fermées) de Rn sont des ouverts (resp. fermés)
dans Rn .
2. Toute partie finie (contient un nombre fini d’éléments) de Rn est fermée.
3. ∅ et Rn sont à la fois ouverts et fermés.
Proposition 1.2.8.
i) Toute union (finie ou infinie) d’ouverts de Rn est un ouvert.
ii) Toute intersection finie d’ouverts de Rn est un ouvert.
iii) Toute union finie de fermés de Rn est un fermé.
iv) Toute intersection (finie ou infinie) de fermés de Rn est un fermé.
Preuve. "Faite au cours"
Exercice. Donner des contre-exemples pour expliquer pourquoi on ne peut
pas généraliser les résultats ii) et iii) à des ensembles d’indices quelconques.

1.2.3 Voisinages
Définition 1.2.9. On dit qu’une partie V de Rn est un voisinage de a ∈ Rn si V
contient une boule de centre a. On note par V(a) l’ensemble des voisinages de a.
Autrement dit, V ∈ V(a) si, et seulement s’il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ V.
Exemple 1.2.10. Pour r > 0, la boule fermée B 0 (a, r) est un voisinage de a.
Proposition 1.2.11. Soit a ∈ Rn .
i) Si V ∈ V(a) alors a ∈ V.
ii) Toute intersection finie de voisinages de a est un voisinage de a.
iii) Si V ∈ V(a) et V ⊂ W alors W ∈ V(a).
Preuve. "Exercice".
Remarque 1.2.12. Dans un espace vectoriel normé E, deux normes équiva-
lentes N1 et N2 définissent la même topologie, c’est-à-dire, les ouverts de (E, N1 )
sont des ouverts de (E, N2 ) et réciproquement. Il en est donc de même pour
les fermés et les voisinages.

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1.2.4 Suites de Rn
Définition 1.2.13. "La convergence dans Rn "
Soit (xk )k∈N une suite dans Rn , c’est-à-dire, xk = (xk1 , . . . , xkn ) ∈ Rn pour tout k ∈ N.
On dit que la suite (xk )k∈N converge vers l ∈ Rn si lim kxk − lk = 0, ce qui signifie
k→∞
que
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀k ≥ N on a kxk − lk < ε.
Dans ce cas, la limite l est unique et on note lim xk = l ou xk −−−→ l.
k→∞ k→∞

Remarque 1.2.14. Si (xk )k∈N est une suite de Rn , alors pour toute application
ϕ : N → N strictement croissante, la suite (xϕ(k) )k∈N est appelée une sous-suite
(ou suite extraite ou suite partielle) de la suite (xk )k∈N .

Définition 1.2.15. "Suites de Cauchy dans Rn "

On dit qu’une suite (xk )k∈N d’éléments de Rn est de Cauchy si

∀ε > 0, ∃N ∈ N, tel que ∀p ≥ N, ∀q ≥ N on a kxp − xq k < ε.

Théorème 1.2.16. Soit (xk )k∈N une suite de Rn , avec xk = (xk1 , . . . , xkn ) pour tout
k ∈ N. La suite (xk )k∈N est convergente vers l = (l1 , . . . , ln ) ∈ Rn si, et seulement si,
les n suites réelles (xk1 )k∈N , . . . et (xkn )k∈N sont convergentes vers l1 , . . . et ln respecti-
vement. On dit que la convergence dans Rn est équivalente à la convergence compo-
sante par composante.

Preuve. "Faite au cours".

Remarques 1.2.17. Par le même principe, on peut généraliser des résultats

connues pour les suites réelles au cas des suites dans Rn , à savoir :
1. Une suite (xk )k∈N de Rn , où xk = (xk1 , . . . , xkn ) pour tout k ∈ N, est de
Cauchy si, et seulement si, les n suites réelles (xk1 )k∈N , . . . et (xkn )k∈N sont
toutes de Cauchy.
2. Toute suite convergente de Rn est une suite de Cauchy. La réciproque
n’est pas vérifiée sauf dans un espace complet, ce qui est le cas pour
(Rn , k k).
3. Toute suite convergente (xk )k∈N de Rn est bornée, c’est-à-dire qu’il existe
M > 0 tel que kxk k ≤ M, ∀k ∈ N. De plus k lim xk k ≤ M.
k→∞
4. "Théorème de Bolzano-Weierstrass" : De toute suite bornée de Rn , on
peut extraire une sous-suite qui converge.

1.2.5 Adhérence, Intérieur et Frontière d’une partie de Rn

Définitions 1.2.18. Soit A une partie de Rn .

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1. L’adhérence de A, notée A (ou adh(A)), est le plus petit ensemble fermé conte-
nant A. D’après la Proposition 1.2.8, l’adhérence de A n’est autre que l’inter-
section de tous les fermés contenant A.
2. L’intérieur de A, noté Å (ou Int(A)), est le plus grand ouvert contenu dans A.
C’est la réunion de tous les ouverts contenus dans A.
3. La frontière de A, notée ∂A (ou F r(A)), est l’ensemble des points adhérents à A
qui ne sont pas des points intérieurs à A. C’est-à-dire,
∂A = A\Å = A ∩ (Å)c .

Remarques 1.2.19. Soit A une partie de Rn .

• Å ⊂ A ⊂ A;
• A est fermé si, et seulement si, A = A;
• A est ouvert si, et seulement si, Å = A;
• ∂A = A ∩ Ac .
Proposition 1.2.20. Soit A une partie de Rn .
i) x ∈ Å si, et seulement s’il existe ε > 0 tel que B(x, ε) ⊂ A.
ii) x ∈ A si, et seulement si, pour tout ε > 0 on a B(x, ε) ∩ A 6= ∅.
iii) x ∈ A si, et seulement s’il existe une suite (xk )k∈N d’éléments de A qui
converge vers x.
iv) A est fermé si, et seulement si, pour toute suite (xk )k∈N de A qui converge
vers x on a x ∈ A.
Preuve. "Faite au cours".

1.2.6 Ensembles compacts de Rn

Définition 1.2.21. Une partie K de Rn est dite compacte si elle est fermée et bornée.
Exemples 1.2.22. 1. Les boules fermées, les sphères et les parties finies sont
des compactes de Rn .
2. La boule B(a, r) = {x ∈ Rn \kx − ak < r} n’est pas compacte car c’est
une partie non fermée et l’ensemble U = {x ∈ Rn \kx − ak ≥ r} n’est pas
compacte car c’est une partie non bornée.
Théorème 1.2.23. "Bolzano-Weierstrass"
Soit K une partie non vide de Rn , alors les assertions suivantes sont équivalentes :
i) K est compact ;
ii) De toute suite de K, on peut extraire une sous-suite convergente dans K.
Preuve. Il suffit d’appliquer à la fois les 4ème assertions de la Remarque 1.2.17
et la Proposition 1.2.20.

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Analyse 5 (Notes de cours)/ S3/ENS M. Ait Khellou

1.2.7 Ensembles convexes de Rn

Définitions 1.2.24.
1. Soient a et b deux points de Rn . On appelle segment de Rn d’extrémités a et b,
l’ensemble noté [a, b] et défini par

[a, b] = {(1 − t) a + t b / t ∈ [0, 1]} = {a + t (b − a) / t ∈ [0, 1]}.

2. Une partie C de Rn est dite convexe si pour tous points a et b de C on a le

segment [a, b] est inclue dans C. Autrement dit,

∀a, b ∈ C, ∀t ∈ [0, 1], on a a + t (b − a) ∈ C.

Exemple 1.2.25. Toute boule (ouverte ou fermée) de Rn est convexe.

1.2.8 Ensembles connexes par arcs de Rn

Définition 1.2.26. Soient a, b ∈ Rn , on appelle chemin ou arc joignant a à b toute
application continue γ : [0, 1] → Rn telle que γ(0) = a et γ(1) = b.

Définition 1.2.27. On dit qu’une partie A de Rn est connexe par arcs si deux points
quelconques de A peuvent être reliés par un arc.
Autrement dit, pour tout couple (a, b) ∈ A × A, il existe une application continue
γ : [0, 1] → Rn , telle que, γ(0) = a et γ(1) = b.

Exemple 1.2.28. Toute partie convexe de Rn est connexe par arcs. En effet, si
a, b ∈ A, on pose γ(t) = (1 − t)a + tb pour tout t ∈ [0, 1]. Puisque A est convexe,
alors γ(t) ∈ A pour tout t ∈ [0, 1]. De plus, γ est continue de [0, 1] vers A. Ainsi,
γ est un arc allant de a vers b. Par conséquent, A est connexe par arcs.
En particulier, dans R, tous les intervalles (non vides) sont connexes par arcs.

FIN .
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