Chap 6 Description du mouvement

Sommaire
I Préambule 2
I.1 Mécanique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Le référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II Étude des mouvements 3

II.1 Les grandeurs associées au mouvement sont : . . . . . . . . . . 3
II.2 Représentation de ces grandeurs dans un référentiel orthonormé 3

III Quelques mouvements remarquables 4

III.1 Le mouvement rectiligne uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.2 Le mouvement rectiligne uniformément varié . . . . . . . . . . 4
III.3 Le mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IV Applications 6
IV.1 Vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.2 Calcul du vecteur accélération. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.3 Exploitation du tp8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.4 Tir d’un penalty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.5 Représentation des vecteurs vitesse et accélération ! . . . . . . 7
IV.6 Mouvement de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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Chap 6 Description du mouvement

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I Préambule

I.1 Mécanique du solide

Un solide est un objet indéformable, lors de l’étude de son

mouvement, on peut donc l’assimiler à un point correspondant à
son centre d’inertie ou de gravité.

Dans la suite du cours l’objet mobile sera assimilé à un point

noté M.

I.2 Le référentiel

Le référentiel indique "la position de l’observateur"(origine des po-

sitions) et fournit des axes permettant d’associer à la position de
l’objet en mouvement des coordonnées.

Les différents référentiels

Le référentiel Héliocentrique Le référentiel Géocentrique Le référentiel terrestre

Pour la plupart des expériences

Pour étudier les voyages inter- de mécanique réalisées sur Terre.
planétaires (Terre / Mars par
exemple) ou pour étudier le mou- Pour étudier le mouvement à
vement des planètes autour du l’échelle de la planète : des sa-
Soleil. tellites terrestres, cyclone etc...

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II Étude des mouvements

II.1 Les grandeurs associées au mouvement sont :

ß la distance entre l’observateur et le mobile noté OM en mètre.

ß La vitesse du mobile noté v en m.s−1 ou m/s.
ß L’accélération du mobile noté a en m/s2 ou m.s−2

II.2 Représentation de ces grandeurs dans un référentiel orthonormé

−−−−→ −−→ −−→

Vecteur position OM (t) Le vecteur vitesse v(t) Vecteur accélération a(t)

dx(t)
   
x(t) vx (t) = 
dvx (t)

−−→  dt ax (t) =
−−−−→  −−→ dOM 

 v (t) = dy(t)  −−→ d→

OM (t)  y(t) 
 
v(t) =

−  dt 
y v  dvy (t) 
  dt  dt  a(t) =
  ay (t) = 
dz(t) dt  dt
 
z(t) vz (t) = 
dvz (t)

dt az (t) =
Distance OM(t) à l’instant t : Valeur de la vitesse à l’instant t : dt
q Valeur de la vitesse à l’instant t:
v(t) = vx (t)2 + vy (t)2 + vz (t)2 q
p
OM (t) = x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 a(t) = ax (t)2 + ay (t)2 + az (t)2

Relation entre la position, la vitesse et l’accélération

Équation horaire d’un mouvement

Les équations horaires sont les équations des coordonnées en fonction du temps !
Par exemple dans le tp8, chute d’une bille, on a : y(t) = 4, 9 × t2 .

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Représentation du vecteur vitesse

−−→
→
− P0 P2
Le vecteur vitesse au point P1 d’une trajectoire est : v1 =
dt
Le vecteur vitesse en un point est tangent au point considéré à la trajectoire et dirigé dans le sens du
mouvement.

Représentation du vecteur accélération sur une trajectoire

Le vecteur accélération au point P2 d’une trajectoire est :

→
−
v3 − →−
v1
→
−
a2 =
dt

III Quelques mouvements remarquables

III.1 Le mouvement rectiligne uniforme

• Trajectoire est une portion de droite (rectiligne).

• La vitesse constante (uniforme).
• l’équation horaire est de la forme : x(t) = v × t + k0 où v est la valeur de la vitesse et k0 la position
initiale.

III.2 Le mouvement rectiligne uniformément varié

• Trajectoire est une portion de droite (rectiligne).

• Vecteur accélération est constant (uniformément varié).
1
• l’équation horaire est de la forme : x(t) = a × t2 + v0 × t + k0 où a est l’accélération, v0 la valeur de
2
la vitesse initiale et k0 la position initiale.

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III.3 Le mouvement circulaire uniforme

La base de Frénet : Le référentiel des

mouvements circulaires
Ce référentiel est associé au mobile qui tourne.
• Son centre : le mobile en mouvement ;
→
−
• un axe T tangent au cercle orienté dans le
sens du mvt (suivant le vecteur vitesse) ;
• un axe → −
n appelé normal, suivant le rayon et
orienté vers le centre.
Dans ce repère, les vecteurs vitesse et accélé-
ration
 s’écrivent  :  
v (t) = v −−→ a T (t) = 0
→
−v 
T
 a(t) 
v2

• Trajectoire est une portion de cercle (circulaire). vn (t) = 0 an (t) =
r
• La norme du vecteur vitesse est constante (uni-
forme).

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IV Applications

IV.1 Vecteur position 1. Quelle est sa position à l’instant t0 = 0s et

t1 = 0, 5 ?

2. À quelle distance du sol se trouve-t-elle à l’ins-

tant t1 ?

3. À quel instant la bille atteint le sol ?

−−→ −−→
4. Déterminer l’expression de v(t) et a(t).

5. Nommer ce mouvement.

1. Déterminer le vecteur position aux instants t1 , IV.4 Tir d’un penalty

t2 et t3 .
2. Déterminer la distance du point M à l’origine
aux instants t1 , t2 et t3 .

IV.2 Calcul du vecteur accélération.

Les équations horaires d’un mouvement sont :

x(t) = 4, 4t2 +4, 0 ; y(t) = −9, 4t2 +29t+2, 0 ;
z(t) = 0 Lors d’un tir de penalty, le vecteur position du bal-
lon s’écrit
: 
1. Déterminer ax , ay et az x(t) = 22t
−−−−→  
2. Déterminer le vecteur accélération à t = 0,2 s. OM (t)  y(t) = −4, 9t2 + 7t + 0
 

 
3. Déterminer la valeur de l’accélération suivant x z(t) = 0
à t = 0,3 s.
4. Déterminer la valeur de l’accélération à t = 0,1 1. Le tir est-il cadré ?
s.
2. Déterminer les équation horaires des coordon-
nées du vecteur vitesse.
IV.3 Exploitation du tp8

Une bille initialement au immobile, chute verticale- 3. Quelle est la vitesse du ballon à t = 0,5 s.
ment vers le bas d’une hauteur de 1,5 m.
On lui associe un axe ayant pour origine, sa po- 4. Déterminer les équation horaires des coordon-
sition initiale et orienté vers le bas. Dans ce re- nées du vecteur accélération.
père, sa position est donnée par l’équation horaire :
y(t) = 4, 9 × t2 . 5. Que constatez vous ?.

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IV.5 Représentation des vecteurs vitesse et accélération !

On enregistre les positions P0 , P1 , P2 ... du centre gravité d’un objet en mouvement. La durée entre deux
marquages successifs est τ = 60 ms.

1. Déterminer la valeur de la vitesse aux points P1 et P3 .

2. Représenter le vecteur vitesse aux points P1 et P3 à l’échelle 1 cm pour 1 m.s−1 .

3. Représentation le vecteur accélération au point P 2

IV.6 Mouvement de rotation

On enregistre les positions du centre gravité d’un

objet en mouvement. La durée entre deux mar-
quages successifs est τ = 40 ms. Le diamètre de la
trajectoire vaut 1 m.
Déterminer le vecteur accélération en un point de
la trajectoire .

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