Terminale S-SI Cinématique Analytique

CINEMATIQUE : MOUVEMENTS PARTICULIERS

1. Mouvement de translation : Définitions

1.1. Translation d’un solide

Tous les points d'un solide en translation ont :

- Des trajectoires identiques
- La même vitesse.
- La même accélération

1.2. Vitesse v

x 2 − x1 ∆x
Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse moyenne : vmoy = =
t2 − t1 ∆t

vmoy s’exprime en m/s

Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse instantanée :

∆x dx(t )
v(t ) = lim ( )= = x ' (t ) La vitesse instantanée v s’exprime en m/s
∆t → 0 ∆t dt

Par conséquent, la vitesse instantanée v est la dérivée par rapport au temps de la position x.

1.3. Accélération a
dv(t ) d 2 x(t )
En dérivant la vitesse instantanée, nous obtenons l’accélération : a (t ) = = = x '' (t )
dt dt 2

L’accélération angulaire a s’exprime en m/s2

2. Mouvement de translation rectiligne uniforme

2.1. Rappel
Lorsqu’un solide S subit un mouvement de translation (quelconque, rectiligne ou circulaire) par rapport à un
repère R, tous les poins de ce solide ont la même vitesse par rapport au repère R.

2.2. Définition
Un mouvement de translation rectiligne uniforme se réalise sans accélération (0 m/s2) et avec une vitesse
constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U.

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2.3. Equations de mouvement
Étudions une voiture qui roule à vitesse constante sur une autoroute considérée rectiligne.

x(t)
On a :
t0 : instant initial du mouvement x0
t : instant de l'étude Origine du repère
x0 : position initiale (en m), à t0 ;
v0 : vitesse initiale (en m/s);
x(t) : la position x (en m) à l’instant t.
O x
Instant t0 Instant t

Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme (MRU)

Equations Graphe de l’accélération
a (m/s2)
a(t) = 0
v(t) = v0 = Cte
x(t) = v0.t + x0

x0, v0 sont les valeurs de

position et de vitesse
à l'instant zéro. a=0
Ces valeurs sont constantes 0 t
pendant toute la durée de la
phase d'étude.
Graphe de Vitesse
Les équations ci-dessus sont v (m / s)
v (t) = v 0 = C te
vraies si le MRU commence à v0
l’instant t0=0s.

0
t

Graphe de Position
Remarque :
Dans le cas où le mouvement ne x(t) = v0.t + x0
commence pas à t0=0 ; les x (m)
équations du mouvement
s'écrivent :

a(t) = 0 x0
v(t) = v0 = Constante
x(t) = v0.(t-t0) + x0
0
t

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3. Mouvement de translation rectiligne uniformément varié

3.1. Définition
Ce type de mouvement sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements,
l’accélération reste constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U.V.

3.2. Equations du mouvement

Reprenons notre même véhicule. Le conducteur décide d’écraser (raisonnablement) l’accélérateur.

x(t)

Soient :
x0
t0 : instant initial du mouvement (en s);
x0 : la position initiale, à t=t0 ;
a : l’accélération de la phase (en m/s2) ; v0 v(t)
v0 : la vitesse initiale (en m/s) ;
x(t) : la position (en m) à l’instant t.
O x
Instant t0 Instant t

Equations Graphe de l’accélération

a (m/s2)
a(t) = constante a(t) = Cte
v(t) = a0.t + v0 a0
x(t) = 1/2. a.t2 + v0.t + x0

Comme pour le MRU,

x0, v0 sont les valeurs de
0
position et de vitesse t
à l'instant zéro.
Ces valeurs, comme l'accélération,
sont constantes pendant toute la
durée de la phase d'étude.
Graphe de vitesse
Les équations ci-dessus sont v (m/s)
vraies si le MRUV commence à
l’instant t0=0s. v(t) = a.t + v0

v0
0
t
Graphe de position
Remarque : x (m)
Dans le cas où le mouvement ne
commence pas à t0=0 ; les équations du
mouvement s'écrivent :

a(t) = a0 = constante x0 x(t) = 1/2. a.t2 + v0.t + x0

v(t) = a0. (t0-t)² + v0
x(t) =1/2.a0. (t0-t)² + v0.(t0-t)² + x0 0
t

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4. Mouvement circulaire (ou de rotation) : Définitions

4.1. Rotation d’un solide

M2 Instant t2

Pour connaître, à tout instant t, la position

θ2=θ( t2)
d’un solide indéformable subissant un M1 Instant t1
mouvement de rotation, il nous suffit de définir sa
position angulaire θ (t) . ∆θ

O
θ1=θ( t1)
x

4.2. Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation ω

θ 2 − θ1 ∆θ
Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse angulaire moyenne: ω moy = =
t2 − t1 ∆t

ω moy s’exprime en rad/s

Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse angulaire instantanée :

∆θ dθ (t )
ω (t) = lim ( )= = θ ' (t) La vitesse angulaire ω s’exprime en rad/s
∆t→0 ∆t dt
Par conséquent, la vitesse angulaire est la dérivée par rapport au temps de la position angulaire.

4.3. Accélération angulaire α

dω (t ) d 2θ (t)
En dérivant la vitesse angulaire, nous obtenons l’accélération angulaire : α (t) = = 2
= θ '' (t)
dt dt
L’accélération angulaire α s’exprime en rad/s2

Remarque : L’analogie avec l’étude du mouvement en translation rectiligne est évidente.

Nous retrouvons les mêmes grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération) suivies du terme angulaire. Nous allons
donc, de la même façon, étudier des cas particuliers de mouvement de rotation.

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5. Mouvement circulaire uniforme

5.1. Définition
L’accélération angulaire α(t) est nulle. Ce mouvement est noté M.C.U.

5.2. Equations de mouvement

α(t) = θ’’(t) = 0 rad/s2
Les équations d’un MCU sont : ω(t) = ω0 = Constante
θ(t) = ω.(t-t0) + θ0

t0, ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement.

Si t0 = 0 alors les équations du MCU deviennent :

α(t) = 0 rad/s2
ω(t) = ω0 = Constante
θ(t) = ω.t + θ0

6. Mouvement circulaire uniformément varié

6.1. Définition
L’accélération angulaire α(t) est constante. Ce mouvement est noté M.C.U.V.

6.2. Equations de mouvement

α(t) = α = Constante
Les équations horaires d’un MCUV sont : ω(t) = α.(t-t0) + ω0
θ(t) =1/2.α
α.(t-t0)2 + ω0.(t-t0) + θ0

t0, α0, ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement.

Si t0 = 0 alors les équations du MCUV deviennent :

α(t) = Constante
ω(t) = α.t + ω0
1
θ(t) = .α α.t2 + ω0.t + θ0
2

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7. Vitesse et Accélération d’un point d’un solide en mouvement de rotation

Parfois, il nous est nécessaire de s’intéresser à un point M appartenant au solide en rotation.

7.1. Vitesse d’un point

En dérivant (par rapport au temps) le vecteur

position OM (t) , dans le repère ℜ, nous obtenons :

 dOM 
V(M∈S/R) =   = OM .ω (t ).t = r .ω (t ).t
 dt ℜ
t
T (M ∈ S / R)
Remarque : puisque ω(t) a même valeur pour tous les
V ( M ∈ S / R) n
points du solide, la vitesse linéaire V(M∈S/R) varie
linéairement avec la distance r à l’axe de rotation.
M
_VP
_VN
7.2. Accélération P
O N θ( t) r=OM
En dérivant (par rapport au temps) le vecteur vitesse
x
V(M∈S/R) , dans le repère ℜ, nous obtenons :

 dV(M∈S/R) 
Γ (M∈S/R) =   = r .α (t ).t − r.ω 2 (t ).n
 dt ℜ

.t : tangentielle
.n : normale

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