CINEMATIQUE DU POINT

La mécanique est le domaine de tout ce qui produit ou transmet un

mouvement, une force, une déformation.
MECANIQUE = CINEMATIQUE + DYNAMIQUE.
Dans ce premier chapitre consacré à la cinématique, nous définirons
les grandeurs physiques nécessaires à la description des mouvements.
Puis nous étudierons quelques mouvements.

I. DEFINITION ET OBJECTIFS DE LA CINEMATIQUE

1. Définition :
La cinématique est l’étude du mouvement des corps sans se
préoccuper des causes qui produisent le mouvement.

2. Les objectifs :
 Définir les grandeurs physiques nécessaires à la description
des mouvements : position, vitesse, accélération
 Définir la trajectoire d’un point mobile.
 Ecrire les relations permettant d’exprimer la position, la
vitesse, et l’accélération.

II. REFERENTIEL - REPERES - TRAJECTOIRES

La description d’un mouvement et l’étude d’un mouvement nécessite le

choix d’un référentiel associé à un repère d’espace et à un repère
de temps.

1. REFERENTIEL

Définition : un référentiel est un solide fixe, indéformable, choisi

comme référence par rapport auquel on décrit un mouvement.

Exemples de référentiels :

- Référentiel terrestre (lié à la Terre ou à un objet de la

Terre)
- Référentiel géocentrique (lié au centre du soleil)
- Référentiel héliocentrique (lié au centre du soleil)

Remarque : un mouvement est relatif au référentiel choisi c'est-à-

dire qu’un mouvement dépend du référentiel choisi.

Exemple :
Deux voyageurs A et B sont assis dans un wagon en mouvement. Le
voyageur A observe B et conclut : B est immobile. Le chef de gare C
se trouvant sur le quai où passe le train, observe B et conclut : B
est en mouvement.
Ces deux observations sont-elles contradictoires ?
Non, car elles sont faites dans deux référentiels différents : A
fait ses observations dans le référentiel du wagon, C fait ses
observations dans le référentiel lié à la Terre (quai).
2. REPERES D’ESPACE ET REPERE DE TEMPS.

Pour décrire mathématiquement un mouvement, on utilise un repère

d’espace et un repère de temps qui sont liés au référentiel d’étude.

1
2.1. REPERE D’ESPACE.

Un repère d’espace est un système d’axes muni d’une base formée de

1,2 ou 3 vecteurs unitaires et d’un point origine. Il permet le
repérage spatial de la position d’un solide en mouvement.

a. REPERE CARTESIEN

Il est constitué d’une origine notée O et d’une base souvent ( ⃗i , ⃗j , ⃗k )

orthonormée. Ce repère est alors noté ( O , ⃗i , ⃗j , ⃗k )
b. REPERE DE FRENET

C’est un repère local lié au solide décrivant une courbe (un cercle
par exemple) dans un plan.

- Origine : le point mobile M sur la courbe

- ⃗τ et ⃗n
Base formée de deux vecteurs unitaires :
⃗τ
vecteur unitaire tangent à la trajectoire en M et orienté dans
le sens du mouvement
⃗n
vecteur unitaire normal à la trajectoire en M et orienté à
l’intérieur de la courbe.
( M ,⃗τ , ⃗n )
Le repère de Frenet est alors noté

2.2. REPERE DE TEMPS

Un repère de temps est utilisé pour dater un évènement qui a lieu au

cours d’un mouvement.

- La date ou l’instant auquel se produit un évènement est noté t

- L’origine des dates ou instant initial est noté t0 est pris
égal à 0 (t0 = 0)

Remarque :
- on appelle durée d’un évènement l’intervalle de temps qui
sépare sa fin et son début.
- L’unité légale du temps est la seconde (s).

3. TRAJECTOIRES

a. définition

La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par

un mobile au cours de son mouvement.

b. exemples de trajectoires

La trajectoire est représentée par une courbe dansl’espace. Elle peu

être :
- Une droite = trajectoire rectiligne
- Un cercle = trajectoire circulaire
- Une courbe quelconque = trajectoire curviligne.

III. POSITION D’UN POINT MOBILE

2
1. Vecteur position et coordonnées cartésiennes.

Dans un repère cartésien ( O , ⃗i , ⃗j , ⃗k ) donné, à chaque instant t, un

point mobile M est repéré par le vecteur position OM

⃗  :
|x
OM = x . i + y . j + z . k ⇔ OM ¿| y ¿
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
|z
- X , y , z sont appelées coordonnées cartésiennes du point M ou

OM
⃗
les composantes du vecteur

- OM = √ x 2 + y 2 + z2
La norme du vecteur position est : ( en m )
- Si le pont M est en mouvement x , y et z varient dans le temps,
et donc sont des fonctions du temps : x = x(t) ; y = y(t) ; z =
z(t).
Ces fonctions x(t) ; y(t) et z(t) sont appelées équations
horaires du mouvement de M.

Exemple :les équations horaires du mouvement d’un point mobile M

sont :

2
{ x =2 .t ¿{ y = 4 . t +3 ¿ ¿
Remarque :

- On obtient l’équation de la trajectoire en éliminant le temps t

entre les équations horaires du mouvement.
- Lorsque à chaque instant t, l’une des coordonnées d’un point
mobile M est nulle, sa trajectoire est plane ou encore son
mouvement est plan.

2. Abscisse curviligne

Si la trajectoire d’un mobile M est connue, on peut l’orienter et

choisir un point origine O. La valeur algébrique de l’arc OM est
l’abscisse curviligne s du point M :
s = OM
Remarque :
- Si M est en mouvement : s = s(t) est l’équation horaire du
mouvement
Exemple : s = 2500 + 15.t

Activité d’application

3
 ⃗⃗ ⃗
Dans un repère orthonormé ( O , i , j , k ) , la position d’un point mobile M
est définie par les équations horaires suivantes :
,

2
¿{ x =2 . t ¿{ y = 4. t +3 ¿ ¿
1. donner la position initiale M0 du mobile à l’instant t0 = 0.

2. exprimer le vecteur position dans la base ( i , j , k ) à un instant t

⃗ ⃗⃗
donné.
3. déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire du point M.
En déduire la nature de cette trajectoire.
IV. VECTEUR VITESSE

La vitesse d’un mobile indique la rapidité avec laquelle un mobile

change de vitesse. On distingue la vitesse moyenne et la vitesse
instantanée.

1. Vecteur vitesse moyenne

Soient M1 la position du mobile à l’instant t1 et M2 la position à

l’instant t2 > t1.
Le vecteur vitesse moyenne est définie par :

OM 2 − ⃗
⃗ OM 1 M1 M2
⃗
V⃗ m = =
t2 − t 1 t2 − t1

2. Vecteur vitesse instantanée

La vitesse instantanée est la vitesse à un instant t donné.

2.1. Définition du vecteur vitesse instantanée.

par définition, le vecteur vitesse instantanée est la dérivée du

vecteur position par rapport au temps:

d (⃗
OM )
⃗v =
dt

OM d ( ⃗
Δ⃗ OM )
⃗v = lim =
Remarque : Δt → 0 Δt dt

2.2. Les caractéristiques du vecteur vitesse instantanée.

• origine : position M du mobile à l’instant donné.

• direction : tangente en M a la trajectoire.
• sens : celui du mouvement
• norme : v ( en mètre par seconde m/s)

2.3. Les coordonnées du vecteur vitesse instantanée.

2.3.1. Dans un repère cartésien.

Dans le repère cartésien, le vecteur vitesse s’écrit :

4
 ⃗v = v x . ⃗i + v y . ⃗j + v z . ⃗k
En partant de la définition, on a :
d (⃗OM ) d (x. ⃗i + y . ⃗j + z . ⃗k )
⃗v = =
dt dt
dx dy dz
⇒ ⃗v = . ⃗i + . ⃗j + . ⃗k
dt dt dt

dx .
| vx = = x
dt
.
⃗v ¿| v = dy = y ¿
y
dt
dz .
| vz = = z
D’où : dt
Remarque :

- On utilise en cinématique la notation de Newton qui consiste à

marquer toute dérivation d’une grandeur par rapport au temps,
avec un point au- dessus de cette grandeur.

-
v = √ v 2x + v 2y + v 2z
2.3.2. Dans un repère de Frenet.

L’expression du vecteur vitesse dans la base de Frenet est :

ds ⃗
⃗v = v . ⃗t = .t
dt

ds
⃗v ¿| v t = v = dt ¿
| vn = 0
Ainsi :

V. VECTEUR ACCELERATION

L’accélération indique la rapidité avec laquelle la vitesse varie.

1. Vecteur accélération moyenne

Soit un mobile en mouvement avec :

- ⃗v 1 le vecteur vitesse du mobile à l’instant t

1

- ⃗v 2 le vecteur vitesse du mobile à l’instant t

2

L’accélération moyenne du mobile entre les instants t1 et t2 vaut :

⃗v 2 − ⃗v 1 Δ⃗v
⃗a m = =
t2 − t1 Δt

‖⃗v 2 − ⃗v 1‖ ‖ Δ⃗v ‖
am = =
⃗a m t 2 − t1 Δt
Remarque : l’intensité de vaut :
5
 2. Vecteur accélération instantanée

2.1. Définition.

Le vecteur accélération instantanée est égal à la dérivée du vecteur

vitesse par rapport au temps.

d⃗
v
a=
⃗
dt

d⃗
OM
d( )
d⃗OM dt d ( d⃗
OM )
⃗v = ⇒ ⃗a = =
dt dt dt .dt
2⃗
d OM
⇒ ⃗a = 2
Remarque : dt
2.2. Expression du vecteur accélération.

2.2.1. Expression en coordonnées cartésiennes

Dans un repère cartésien ( O , ⃗i , ⃗j , ⃗k ) , le vecteur accélération

s’écrit :
| ax
⃗a = a x . ⃗i + a y . ⃗j + a z . ⃗k ⇔ ⃗a ¿| a y  ¿
| az
ax ;ay ;az sont les composantes ou coordonnées du vecteur
accélération
De la relation de définition, on a :

d ⃗v d ( v x . ⃗i + v y . ⃗j + v z . ⃗k )
⃗a = =
dt dt
dv x dv y dv z
⇒ ⃗a = . ⃗i + . ⃗j + . ⃗k
dt dt dt
Ou encore :
2
d 2⃗
OM d (x . ⃗i + y. ⃗j + z. ⃗k )
⃗a = =
dt 2 dt 2
d2 x d2 y d2 z
⇒ ⃗a = 2 . ⃗i + 2 . ⃗j + 2 . ⃗k
dt dt dt
On peut alors écrire :

dv x
d 2 x ..
| ax = = 2 = x
dt dt
dv 2 ..
⃗a ¿| a y = y = d y = y ¿
dt dt 2
dv z d 2 z ..
| az = = 2 = z
dt dt

Remarque : la norme de ⃗a vaut :

a = a2x + a2y √ a2z
exprimée en mètre par seconde carrée (m/s2).

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2.2.2. Expression dans la base de Frenet.

Dans la base ( ⃗t , ⃗n ) de Frenet, le vecteur accélération s’écrit :

|a
⃗a = at . ⃗t + a n .⃗n ⇔ ⃗a ¿ t ¿
| an

at = accélération tan gentielle

an = accélération normale
dv v2
at = et a n =
dt ρ
Remarque :

Dans la base de Frenet :

a = √ a 2t + a2n