Chap.3 - Cinematique
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DÉFINITIONS
Système de référence :
Pour pouvoir décrire le mouvement d’un mobile en général il nous faut un repère : c’est à dire
un système de référence qui comprend un point d’origine, et un système de trois axes gradués
formant un trièdre direct, toutes les distances sont calculées dans ce système d’axes par
rapport à l’origine.
Trajectoire :
C’est la courbe que décrit le point matériel lors de son mouvement. Elle peut être réelle
(route, chemin de fer, …) ou fictive (orbite planétaire…).
I. MOUVEMENT RÉCTILIGNE
I.1. TRAJÉCTOIRE
Soit un mobile – que nous assimilons à un point matériel – animé d’un mouvement rectiligne.
Donc sa trajectoire est segment de droite, d’où nous n’avons besoin que d’un seul paramètre
pour connaître la position du point matériel en question, ce paramètre est la distance par
rapport à un point d’origine dit « Origine des coordonnées ». Alors nous commencerons à
étudier le mouvement du mobile par rapport à ce point (O) à partir d’un temps t0 = 0s
considéré comme « Origine des temps ».
I.2. POSITION
La position du mobile est définie d’abord en choisissant un sens positif du déplacement sur
l’axe contenant la trajectoire. Ce choix est arbitraire. Les positions en aval (après) du point
d’origine sont notées positivement, les positions en amont (avant) sont notées négativement.
Alors nous pourrons commencer le repérage de la position du mobile pour différents temps t.
La position à chaque instant est représentée dans un tableau comme celui qui suit
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t t0 t1 t2 ….
x(t) x(t0) x(t1) x(t2) ….
Exemple : x(t) = – 5.t2 + 20.t (qui est représentée graphiquement par un arc de parabole)
x (en mètres) et t (en secondes).
Remarque : x(t) est une valeur algébrique, elle peut être positive (après le point d’origine),
négative (avant le point d’origine) ou nulle (au point d’origine).
x x2 x1
Vmoy tg x1
t t 2 t1
C’est la pente de la droite qui coupe le diagramme
des espaces aux point (t1,x1) et (t2,x2). t
t1 t2
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La vitesse instantanée n’est pas une vitesse mesurée entre deux instants t1 et t2 mais la vitesse
à un instant t donné (dans notre exemple elle correspond à la valeur que nous donne le
compteur de vitesse, par exemple 120 km/h sur l’autoroute ou 50 km/h en ville). En fait cette
notion est théorique car en réalité on ne peut que calculer des intervalles de temps et non des
instants t. Dans la pratique nous assimilons la vitesse instantanée à l’instant t à la vitesse
moyenne sur un intervalle de temps Δt très petit (assez petit pour éviter les changements
significatifs de vitesse) centré sur t. Unité (système [MKSA]) : m/s.
V(t1)
c)- Diagramme des vitesses
Donc si nous pouvons calculer V(t) à chaque instant t
d’une façon ou d’une autre alors nous somme en mesure
de tracer la courbe V(t) en fonction de t ; c’est le
diagramme des vitesses du mobile. V(t2) t
t1 t2
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De la même manière que nous avons procédé pour définir la vitesse moyenne, nous
définissons l’accélération moyenne comme étant la variation de la vitesse entre les instants t1
et t2 divisée par Δt = t2 – t1. Son unité dans le système [MKSA] est le m/s2.
V(t)
a)- Détermination graphique
V(t1)
V V t 2 V t1
amoy tg
t t 2 t1
L’accélération instantanée est définie comme étant le taux de variation de la vitesse par
rapport au temps en un instant donné (comme la notion de vitesse instantanée c’est une notion
purement théorique), donc :
V
ainst lim (Unité : m/s2)
t 0 t
V(t)
a)- Détermination graphique
t
t
b)- Détermination analytique
V dV t
ainst lim ainst t a t ou a t V t
t 0 t dt
d’où si nous connaissons l’expression de la fonction V(t) nous pouvons obtenir a(t) en
dérivant cette fonction.
Exemple : V(t) = –10.t + 20 a(t) = –10 m/s2.
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dxt
Puisque nous savons que V t donc xt V t .dt
dt
D’où le déplacement entre deux points t1 et t2 est donné par :
t2
xt 2 xt1 V t .dt V(t)
t1
xt 2 xt1
est égale à l’aire A sous la surface du
diagramme des vitesses.
A t
t1 t2
b)- Détermination analytique
Le déplacement entre deux points t1 et t2 est donné par
t2
xt 2 xt1 V t .dt
t1
Si nous voulons connaître la position du mobile à n’importe quel instant t, alors il nous faut
connaître sa position en un instant donné t0.
t
xt xt 0 V t .dt
t0
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dV t
Puisque nous savons que a t
dt
D’où si nous connaissons l’expression de a(t) et la vitesse V(t0) en un instant donné t0, alors :
t
V t V t 0 at .dt
t0
Remarque : Vous remarquerez que pour connaître le résultat d’un calcul intégral. Il nous faut
toujours connaître d’un point donné (x(t0) ou V(t0) ) c’est ce qu’on appèle les conditions
initiales du mouvement. Ceci est dû à l’existence de la constante d’intégration qu’il nous faut
déterminer.
ex
Le vecteur position s’écrit alors : OM xt .e x
M 1 M 2 OM OM 2 OM 1 xt 2 xt1 .ex
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Propriété : Le vecteur vitesse est toujours parallèle au mouvement dirigé suivant le sens du
déplacement du mobile.
e)- Application :
L’accélération d’un corps le long d’une droite dirigée est donné par a(t) = 4 – t2 m/s2 (t en
secondes).
1. Trouvez l’expression de la vitesse et de la position en fonction du temps. On donne
V = 2 m/s et x = 9 m à t = 3 s.
2. Représentez les vecteurs vitesse et accélération à t = 1 s .
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V
tg =V
x0
0
t t t
tg =a
x0 V0 a
t t t
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M 1M 2
M2
X X
O O
Vecteur position : OM t .
Vecteur déplacement : M 1 M 2 OM 2 OM 1
Pour un déplacement très petit (déplacement élémentaire) : d OM est parallèle à la
trajectoire et dans le sens du déplacement du mobile.
d OM
Vecteur vitesse : V t
dt
Ce vecteur est toujours tangent à la trajectoire et dans le sens du déplacement du
mobile.
dV t
Vecteur accélération : a t
dt
Y
Vecteur position : OM xt .e x yt .e y
d OM
Vecteur vitesse : V t x t .e x y t .e y y M
dt
ey
Ou bien V t Vx .ex V y .e y X
x
Avec Vx x t et V y y t O ex
dV
Vecteur accélération : a t x t .e x y t .e y
dt
Ou bien a t a x .e x a y .e y avec a x x t et a y y t
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Exemple :
OM t 5.t .ex 5.t 2 5.t 10 .ey
xt 5.t
d’où V t 5.e x 10.t 5.e y
y t 5.t 5.t 10
2
a t 10.e
y
xt
Equation de la trajectoire : y x
y t
x2
Exemple : Dans l’exemple précédent on trouve y x x 10
5
Montrons que le vecteur accélération moyenne est toujours dirigé vers l’intérieur de la courbe
(par construction graphique). Et de même pour le vecteur accélération instantanée at .
Donc at peut être décomposé en deux vecteurs :
aT : Accélération tangentielle.
aN : Accélération normale.
aT
a aT aN aN
V2
aN accélération normale (change la direction de V )
R
R est le rayon de courbure de la trajectoire
a
dV t Trajectoire
aT accélération tangentielle (change le module de V )
dt
Démonstration :
dV d dVt deT
at V t .eT eT V t
dt dt dt dt
V
eT est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement. eT
V
Cherchons la dérivée du vecteur unitaire eT .
Ce vecteur peut être projeté sur les axes (OX) et (OY) : eT cos.ex sin .e y
Tel que est l’angle compris entre l’axe (OX) et le vecteur eT .
deT deT d
.eN
dt d dt
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Avec • est la vitesse angulaire de rotation du vecteur eT .
Et eN sin .ex cos.e y est le vecteur unitaire normale à la trajectoire ( eN eT 0 ).
Accélération tangentielle :
L’accélération tangentielle est la dérivée du module de la vitesse.
dV t
aT
dt
dV t
Le vecteur accélération tangentielle est parallèle à eT . Donc : aT aT .eT eT
dt
Accélération normale :
deT
Le terme V t représente l’accélération normale.
dt
Puisque • est la vitesse angulaire de rotation du mobile, alors : V R.
V2
D’où : aN aN .eN V. .eN eN
R
Y R Trajectoire
eN V
eT
M
O X
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Remarque :
La dérivée de tout vecteur unitaire de direction variable avec le temps est égale à la vitesse
angulaire de rotation de ce vecteur multipliée par le vecteur unitaire qui lui est
perpendiculaire (orienté dans le sens des angles croissants).
Vecteur position : OM r.er M
r
e er
d OM dr de r X
Vecteur vitesse : V t er r
O
dt dt dt
der de
Calculons et aussi .
dt
dt
der der d
de
r
d
cos .ex sin .ey sin .ex cos .ey .e
dt d dt d d
de de d
de
d
sin .ex cos .ey cos .ex sin .ey .er
dt d dt d d
donc
er .e et e .er
d’où
V t r .er r .e
dV t d
Vecteur accélération : a t
dt
dt
r .er r .e
2
a t r r .er 2r r .e
Exemple : r t R R. cos.t et t .t
Calculer les vecteurs position, vitesse et accélération en coordonnées
polaires.
Représenter les vecteurs vitesse et accélération à t = /2.
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Remarque importante :
On définit le vecteur vitesse angulaire par :
Module :
{ Direction : perpendiculaire au plan de rotation.
z M
OM
ez
ey
ex y Y
O
x
X
Vecteur position : OM t .
Vecteur déplacement : M 1 M 2 OM 2 OM 1
d OM
Vecteur vitesse : V t
dt
o ce vecteur est toujours tangent à la trajectoire et dans le sens du déplacement
du mobile.
dV t
Vecteur accélération : a t
dt
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Vecteur position : OM x t .e x yt .e y z t .e z
d OM
Vecteur vitesse : V t x t .e x y t .e y z t .ez
dt
dV
Vecteur accélération : a t x t .e x y t .e y z t .e z
dt
Exemple :
xt 5. cos2 .t
OM t 5. cos2 .t .ex 5. sin2 .t .ey 10.t .ez
yt 5. sin2 .t d’où V t 10 . sin 2 .t .ex 10 . cos2 .t .e y 10 .ez
z t 10.t a t 20 . cos2 .t .ex 20 . sin 2 .t .e y
2 2
e cos .e x sin .e y e .e Y
e sin .e x cos .e y e .e
e e e 0
z z z
X
b) Etude du mouvement :
OM t .e z.e z
d OM t
V t .e . .e z .ez
dt
at dV t . 2 .e 2 . . .e z .e
dt
z
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Soit nous avons deux repères (OXYZ) et (O’X’Y’Z’). Exprimons les vecteurs positions vitesses
et accélérations en coordonnées cartésiennes dans les deux repères d’un mobile M se
déplaçant dans l’espace.
Z’
Z
Y’
O’
M
O
Y
X X’
OM t x.e x y.e y z.e z
d OM t
Repère (OXYZ) : V t x .e x y .e y z .e z
dt
at dV t x .e y .e z .e
dt
x y z
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OM t x.e x y .e y z .e z
d OM t
Repère (O’X’Y’Z’) : V t x .e x y .e y z .e z
dt
at dV t x .e y .e z .e
x y z
dt
Si nous nous plaçons dans le repère (OXYZ) et le considérons comme fixe, et si le repère
(O’X’Y’Z’) est en mouvement par rapport au repère (OXYZ), alors le mouvement de
(O’X’Y’Z’) peut être considéré comme une composition de deux mouvement :
Mouvement de translation pure de O’ par rapport à O.
Mouvement de rotation des axes ex , e y et ez autours de O’.
Remarques :
Si le repère (O’X’Y’Z’) est fixe par rapport au repère (OXYZ) alors Ve 0 et
V V.
Si le repère (O’X’Y’Z’) est en mouvement de translation pure par rapport au repère
d OO
(OXYZ) ( il n’y a pas de rotation des axes) alors Ve .
dt
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Remarques :
Si le repère (O’X’Y’Z’) est en mouvement de translation pure par rapport au repère
d 2 OO
(OXYZ) ( il n’y a pas de rotation des axes) alors ae et a c 0.
dt2
Si les deux repères sont fixes ou en mouvement de translation uniforme l’un par
rapport à l’autre alors ae 0 et ac 0 a a .
Si le mobile est fixe par rapport au repère (O’X’Y’Z’) alors ac 0 .
Vitesse du mobile Ordre de grandeur de ac
10 m/s 1,46 10-3 m/s2
200 m/s 29 10-3 m/s2
11000 m/s (Apollo) 1,6 m/s2
70000 m/s (éjection de plasma) 10,2 m/s2
Remarque importante :
Si on connaît la vitesse de rotation des axes (X’Y’Z’) par rapport au repère (OXYZ) alors on
utilise les produits vectoriels ei ei
Dans l’expression de la vitesse on trouve
V V Ve
d OO
Ve OM
dt
et l’accélération devient
a a ae ac
d 2 OO d
ae
dt 2
dt
OM OM est l’accélération d’entraînement
a c 2 . V est l’accélération de Coriolis
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