P1 : CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

La cinématique consiste à analyser de façon purement mathématique le mouvement des corps en

assimilant à des points matériels sans se préoccuper des causes de ce mouvement. Les grandeurs
physiques de la cinématique sont le temps, la position, la vitesse et l’accélération.
I. Notion de système :
Dans ce qui suit, ou plus globalement en physique, on s’intéresse aux propriétés d’un objet ou
d’un ensemble d’objets : par exemple on s’intéressera au mouvement d’un véhicule, aux
interactions entre la Terre et la Lune, etc., le véhicule, l’ensemble Terre-Lune, etc., constitue le
système étudié.
Le système étudié peut être indéformable : si la distance de deux points quelconques de ses
points demeure invariable au cours de son évolution : les solides constituent un exemple de tels
systèmes. Dans le cas contraire, le système est déformable : cas de la pâte à modeler par
exemple.
Pour ce qui nous concerne, en cinématique et ultérieurement en dynamique, les systèmes que
nous considérerons seront ponctuels ou encore des points matériels, c’est-à-dire des solides dont
les dimensions sont suffisamment petites pour qu’on puisse les assimilés à un point. En général,
on assimilera un solide à un point matériel qui est confondu avec le centre d’inertie du solide et
dont la masse est égale à la masse du solide considéré.
II. Vecteur position :
La position d’un mobile M, à un instant t est définie
dans le repère R (O, ⃗i, ⃗j, ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
k) par le vecteur position OM
La position du mobile M est repéré par son vecteur-
position OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x. ⃗i + y. ⃗j + z. ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : OM k
En norme : OM = √x 2 + y 2 + z 2
Si le repère est orthonormé x, y, z sont appelés
coordonnées cartésiennes du point M.
Si le mobile M est immobile dans le repère R ses coordonnées sont indépendantes du
temps.
Si M est en mouvement dans le repère R, ses coordonnées sont en fonction du temps. Ainsi
x(t), y(t) et z(t) sont appelées équations horaires ou équations paramétriques du
mouvement.

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 Pour déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire, on élimine la variable temps t entre
les paramètres x, y et z.
Application 1 :
On donne les équations horaires d’un mouvement d’un
point M sous la forme : x(t) = 2t et y(t) = 4t + 2. Déterminer
l’équation de la trajectoire décrite par le point M.
x
On a : x = 2t ⇒ t = 2

En remplaçant dans l’équation horaire de y on a :

x x
y(x) = 4 2 + 2 = 4. 2 + 2 ⇒ y(x) = 2x + 2

Ceci est l’équation d’une droite, cependant la trajectoire

n’est pas toute la droite, c’est en effet la partie de la droite telle que t ≥ 0 (en physique le temps
est toujours positif ou nul). On enduit donc que x ≥ 3 et y ≥ 2.
Cette trajectoire est rectiligne et est représentée en traits épais sur la figure ci-dessus.
Application 2 :
On donne les équations horaires d’un mouvement d’un point
M sous la forme : x(t) = t + 1 et y(t) = t2 + 2t. Déterminons
l’équation de la trajectoire décrite par le point M : x = t + 1 ⇒
t = x−1
En remplaçant dans l’équation horaire de y on a :
y(x) = (x − 1)2 + 2(x − 1)
En développant on obtient : y(x) = x 2 − 1
Ceci est l’équation d’une parabole à concavité tournée vers le
haut, mais la trajectoire n’est pas la parabole dans sa totalité, en effet c’est la branche de la
parabole correspondant à t ≥ 0, c’est-à-dire x ≥ 1.
Cette trajectoire est alors curviligne et est représentée en trait
épais sur la courbe ci-dessous.
Application 3 :
On donne les équations horaires d’un mouvement d’un point
M sous la forme : x(t) = 2cos(t) et y(t) = 2sin(t) – 1. Déterminer
l’équation de la trajectoire d’écrite par le point M.
x y+1
Tirons cos(t) de t(t) et sin(t) de y(t) : cos(t) = 2 et sin(t) = 2

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 x 2 y+1 2
Faisons maintenant la somme de leur carré : cos 2 (t) + sin2 (t) = (2) + ( )
2
𝑥2 (𝑦+1)2
Comme cos 2 (t) + sin2 (t) = 1, alors + =1
4 4

En multipliant cette relation par 4 on obtient : x 2 + (y + 1)2 = 4 = 22

La trajectoire est donc un cercle de centre A de coordonnées x A = 0 et yA = -1 et de rayon R =
2. Elle est dite donc circulaire et sens sur le schéma indique le sens de déplacement du mobile.
III. Vecteur vitesse :
1. Définition :
La vitesse instantanée à un instant t est donnée par :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Mi Mf ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OMf −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∆OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dOM
On a : v
⃗⃗ = lim = lim = lim = ⇒v
⃗⃗ =
ti →tf tf −ti ti →tf tf−ti ∆t→0 ∆t dt dt

Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée première du vecteur position par rapport au
temps.
Les caractéristiques du vecteur vitesse sont :
 Point d’application : point M ou l’on veut définir la vitesse
 Direction : la tangente en la trajectoire en ce point M
 Sens : celui du mouvement
 Norme : l’intensité du vecteur vitesse. Elle s’exprime en m/s ou m.s-1
2. Vecteur vitesse et coordonnées cartésiennes :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dOM d dx dy dz
On a v
⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x. ⃗i + y. ⃗j + z. ⃗⃗
or OM k⇒v ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x. ⃗i + y. ⃗j + z. ⃗⃗
⃗⃗ = dt (OM k) = dt . ⃗i + dt . ⃗j + dt . ⃗⃗
k
dt
dx dy dz
Posons vx = = ẋ ; vy = = ẏ et vz = = ż
dt dt dt

⃗⃗ = ẋ . ⃗i + ẏ . ⃗j + z.̇ ⃗⃗
Ainsi v k

En norme : v = √vx2 + vy2 + vz2

Nous allons reprendre les exemples vus plus haut et donner dans chaque cas le vecteur vitesse
et sa norme.
Application 1 :
dx
=2 vx =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { x = 2t ⇒ v
OM ⃗⃗ { dt ⃗⃗ = 2. ⃗i + 4. ⃗j et v = √vx2 + vy2 = √22 + 42 = 4,47 m. s −1
⇒v
y = 4t + 2 dy
vy = =4
dt
La norme est indépendante du temps : le mouvement est rectiligne uniforme.

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 Application 2 :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { x = 2t + 1
OM
y = t + 2t
vx = 1
⃗⃗ = ⃗i + (2t + 2). ⃗j ⇒ v = √12 + (2t + 2)2 = √1 + (2t + 2)2
⃗⃗ {v = 2t + 2 ⇒ v
⇒v
y

Dans ce cas la vitesse n’est pas une constante, elle est une fonction du temps.
Application 3 :
vx = −2 sin(t)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { x = 2 cos(t) ⇒ v
OM ⃗⃗ { ⃗⃗ = −2 cos(t) . ⃗i + 2 cos(t) . ⃗j
⇒v
y = 2 sin(t) − 1 vy = 2 cos(t)

En norme : v = √(−2sint)2 + (2cost)2 = √4(cos 2 t + sin2 t) ⇒ v = 2 m. s −1

Ici, le vecteur-vitesse n’est pas constant car ses coordonnées dépendent du temps, par contre sa
norme est constante : le mouvement est donc circulaire uniforme.
Exercice à faire à la maison :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
Dans un repère orthonormé (O, ⃗i, ⃗j) le vecteur position d’un mobile M est défini par : OM
10i⃗ + (−5t 2 + 10t)j⃗. Les coordonnées sont en mètre et le temps en secondes.
a. Déterminer l’équation de la trajectoire. La représenter.
b. Déterminer l’expression du vecteur vitesse du mobile M.
c. En déduire :
La valeur de la vitesse à la date t = 2 s
La valeur de la vitesse lorsque le mobile passe au sommet de sa trajectoire.
3. Vecteur vitesse et coordonnée curviligne :
̂
Mi Mf ̂f −OM
OM ̂i ̂
∆OM ̂
dOM ds
On a : v = lim = lim = lim = = dt ⇒
ti →tf tf −ti ti →tf tf−ti ∆t→0 ∆t dt

ds
⃗⃗ =
v u
⃗⃗ = v. u
⃗⃗
dt

⃗⃗ est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement

u
IV. Accélération :
1. Définition :
On appelle vecteur accélération d’un point mobile à la date t, le vecteur dérivé par rapport au
temps du vecteur vitesse. Elle s’exprime m/s2.
dv
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dOM d ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dOM d2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM d2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM
On a : a⃗⃗ = or v
⃗⃗ = ⇒ a⃗⃗ = dt ( )= ⇒ a⃗⃗ =
dt dt dt dt2 dt2

On peut définir ainsi le vecteur accélération comme la dérivée seconde par rapport au temps du
vecteur position.

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2. Vecteur accélération et coordonnées cartésiennes :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d2
d2 OM d2 x d2 y d2 z
a⃗⃗ = = (x. ⃗
i + y. ⃗
j + z. ⃗⃗
k ) = . ⃗
i + . ⃗
j + . ⃗⃗
k
dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2
d2 x d2 y d2 z
Posons ax = = ẍ ; ay = = ẍ ; az = = z̈ ⇒ a⃗⃗ = ẍ . ⃗i + ÿ . ⃗j + ẍ . ⃗⃗
k
dt2 dt2 dt2

Nous allons maintenant reprendre les exemples vus plus haut et donner dans chacun des cas,
le vecteur accélération ainsi que sa norme.
Application 1 :
x = 2t ax = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {
On a : OM ⃗⃗ et a = 0
⃗⃗ { a = ⇒ a⃗⃗ = 0
⇒v
y = 4t + 2 y

L’accélération est donc nulle.

Application 2 :
𝑎x = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { x = 2t + 1 ⇒ q
On a : OM ⃗⃗ = 2. ⃗j ⇒ v = √12 + (2t + 2)2 = √(2)2 = 2 m. s−2
⃗⃗ {a = 2 ⇒ v
y = t + 2t y

Application 3 :
ax = −2 cos(t)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { x = 2 cos(t) ⇒ v
On a : OM ⃗⃗ { ⃗⃗ = −2 cos(t) . ⃗i − 2 sin(t) . ⃗j ⇒
⇒v
y = 2 sin(t) − 1 vy = −2 sin(t)

v = √4(cos 2 t + sin2 t) = √4 = 2 m. s−1

Le vecteur-vitesse n’est pas constant mais sa norme est constante.
3. Vecteur accélération et coordonnées curvilignes :
⃗⃗ le vecteur unitaire tangent en M à la trajectoire et
Soit T
orienté dans le sens du mouvement.
dv
⃗⃗ d dv ⃗⃗
dT
On a : v ⃗⃗ ⇒ a⃗⃗ =
⃗⃗ = v. T ⃗⃗) =
= dt (v. T ⃗⃗ +
.T .v
dt dt dt

Le vecteur accélération peut se décomposer en deux vecteurs :

dv
L’accélération tangentielle : ⃗⃗⃗⃗
at = ⃗⃗
.T
dt
⃗⃗
dT
L’accélération normale : a⃗⃗⃗⃗⃗
n = .v
dt

Soit ⃗N
⃗⃗ le vecteur unitaire orthogonal à T
⃗⃗ et orienté vers l’intérieur de la trajectoire.
⃗⃗
dT v2
On démontre que : a⃗⃗⃗⃗⃗
n = .v = ⃗⃗, avec r le rayon de courbure.
.n
dt r
2
Donc : a⃗⃗ = an . ⃗N ⃗⃗ = v . ⃗N
⃗⃗ + at . T ⃗⃗ + dv . T
⃗⃗
r dt

⃗⃗, N
La base (T ⃗⃗⃗) constitue la base de Frenet. (M, T
⃗⃗, N
⃗⃗⃗) est le repère de Frenet.

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4. Mouvement accéléré, retardé ou uniforme :
Un mouvement est dit accéléré si la mesure ‖v
⃗⃗‖ de la vitesse augmente, retardé si elle diminue,
uniforme si elle est constante.
⃗⃗ 2
dv dv
⃗⃗
Lorsque v2 augmente = 2v
⃗⃗. dt = 2v.
⃗⃗⃗ a⃗⃗ > 0
dt

Si v augmente le mouvement est accéléré et v

⃗⃗. a⃗⃗ > 0 (a⃗⃗⃗⃗t et ⃗⃗⃗⃗⃗
vG sont de même sens)

Si v diminue le mouvement est décéléré et v

⃗⃗. a⃗⃗ < 0 (a⃗⃗⃗⃗t et v⃗⃗⃗⃗⃗
G sont de sens opposés)

Si v est constante le mouvement est uniforme et v

⃗⃗. a⃗⃗ = 0 (at = 0)

Si a⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
vG sont de même direction, le mouvement est rectiligne.

V. Étude de quelques mouvements :

1. Mouvement rectiligne uniforme :
1.1. Définition :
Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniforme lorsque sa trajectoire est une droite
et le vecteur vitesse constant (v
⃗⃗ = v0 ⃗i). C’est un mouvement à vecteur accélération nul.

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1.2. Équation horaire :
dv
Pour un mouvement rectiligne uniforme v = v0 = constante ⇒ a = =0
dt
dx
Or v = , par intégration on a ∶ x = vt + C
dt

A t = 0, x = x0 ⇒ x0 = vx0 + C ⇒ C = x0 ⇒ x(t) = v0 t + x0
a=0
Pour un mouvement rectiligne uniforme : {v = v0 = cte
x = v0 t + x0
Remarque : toutes les grandeurs qui apparaissent dans les équations horaires sont algébriques.
1.3. Application :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont :
Les équations paramétriques du mouvement donnant le vecteur position OM
x=t
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM {y = 2t + 4
z=0
Montrer que ce point est animé d’un mouvement rectiligne uniforme.
2. Mouvement rectiligne uniformément varié :
2.1. Définition :
Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié si sa trajectoire est une
droite et son vecteur accélération constant (a⃗⃗ = a0 ⃗i).

2.2. Équation horaire :

dv
a = a0 = cste a = ⇒ v = at + C1 or à t = 0, v0 = ax0 + C1 ⇒ C1 = v0 ⇒ v = at + v0
dt
dx 1 1
v= ⇒ x = ax 2 + v0 t + c2 or à t = 0, x0 = a(0)2 + v0 (0) + C2 ⇒ C2 = x0
dt 2 2
1
⇒ x = ax 2 + v0 t + x0
2
On peut montrer que :
v − v0 1 v − v0 2 v − v0
v = at + v0 ⇒ t = ⇒ x = a( ) + v0 ( ) + v0 ⇒ x − x0
a 2 a a
v − v0 v − v0 v − v0 v − v0 2v0 v − v0 v − v0 − 2v0
= ( + v0 ) = ( + )= ( )
a 2a a 2 2 a 2
(v − v0 )(v + v0 ) v 2 − v02
= =
2a 2a
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 ⇒ 2a(x − x0 ) = v 2 − v02 (Formule de Torricelli)
a = cte
v = at + v0
1
x = ax 2 + v0 t + x0
2
{2a(x − x0 ) = v 2 − v02
On donne ci-dessus les représentations graphiques de x, v et a en fonction du temps :

Le graphique x = f(t) est une parabole à concavité dirigé vers

le haut ou vers bas selon que l’accélération soit positive ou
négative. L’ordonnée à l’origine de cette courbe donne x0
position du mobile à t = 0.

Le graphique des vitesses est une droite dont la pente est

égale à l’accélération du mobile et donc l’ordonnée à
l’origine est la vitesse initiale.

Le graphique q = f(t) est une droite parallèle à l’axe des temps

dont l’ordonnée à l’origine est égale à l’accélération du
mobile.
2.3. Application :
Un point mobile M décrit sur un axe Oi⃗ un mouvement rectiligne
uniformément varié d’accélération a⃗⃗ = 4i⃗. A l’instant t = 0, le vecteur est v⃗⃗⃗⃗0 = −8i⃗ et le
vecteur position de M est ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM0 = 2i⃗.
1. Établir les équations horaires x(t) et v(t).
2. Déterminer la date et la position pour lesquelles la vitesse s’annule.
3. Entre quelles dates le mouvement est-il accéléré ? retardé ?
3. Mouvement rectiligne sinusoïdal :
3.1. Définition :
Un mobile M est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal si son équation horaire peut
s’écrire sous la forme : x(t) = Xm cos(w0 t + φ) ou x(t) = Xm sin(w0 t + φ)
x :élongation ou abscisse ;
Xm : amplitude maximale (toujours positive) ;
w(rad/s) : pulsation ;
(w0t + ) :phase à l’instant t ;  : phase à l’origine.
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3.2. Position du mobile :
sin(w0t + ) et cos(w0t + ) ∈ [−1; 1] donc x ∈
[−Xm ; Xm ] : le mobile se déplace sur un
segment de droite [AA′]. M est animé d’un
mouvement de va et vient de part et d’autre de
O centre du mouvement.
Les expressions de la période (T) et la
2π 1 w0
fréquence (N ou f) sont : T = w et f = T =
0 2π

3.3. Vitesse et accélération :

dx
Considérons : x(t) = Xm sin(w0 t + φ) ⇒ v(t) = = X m w0 cos(w0 t + φ) ⇒
dt

v(t) = X m w0 cos(w0 t + φ)
dv
⇒ a(t) = = −Xm w02 cos(w0 t + φ) ⇒ a(t) = −Xm w02 cos(w0 t + φ)
dt

On peut remarquer : a(t) = −Xm w02 cos(w0 t + φ) ⇒ ẍ = −w02 x ⇒ ẍ + w02 x = 0, l’équation

différentielle d’un mouvement sinusoïdal.
3.4. Propriétés mathématiques des équations trigonométriques :
a = b + 2kπ
P1 : tan(a) = tan(b) ⇒ {
a = b + π + 2kπ
a = b + 2kπ
P2 : cos(a) = cos(b) ⇒ {
a = −b + 2kπ
a = b + 2kπ
P3 : sinn(a) = sin(b) ⇒ {
a = π − b + 2kπ
3.5. Application :
Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal d’axe x’Ox support de la
trajectoire. Le point O est le centre du mouvement de période temporelle T = 1,00 s. A
l’instant initial t0 = 0 pris comme origine des dates, la position du mobile est x 0 = 1,41 cm et
sa vitesse v0 = 8,88 cm/s.
a. Déterminer la loi horaire de l’élongation du mobile.
b. A quelles dates le mobile passe-t-il à l’élongation x = - 1 cm en se déplaçant dans le sens
négatif ?
Résolution :
a. Déterminons la loi horaire : x(t) = Xm cos(w0 t + φ)
2π 2π
Déterminons la vitesse angulaire : w0 = = 1,00 = 2π rad. 𝑠 −1 ⇒ w0 = 2π rad. s−1
T

A t = 0, x0 = x ⇒ x0 = X m cos(φ) (1)

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 dx
On a v = = −Xm w0 sin(w0 t + φ) pour t = 0, v0 == −Xm w0 sin(φ) (2)
dt
(2) v −Xm w0 sin(φ) v0 π
Le rapport : (1) ⇒ x0 = ⇒ tan(φ) = − x = −1,0028 ⇒ tan(φ) = tan (− 4 )
0 Xm cos(φ) 0 w0

π π
φ =−4
φ = −4 +K
⇒{ π ⇒{ 3π
φ =−4+π+K φ=
4

Pour choisir la bonne solution on peut raisonner à partir de la vitesse initiale : v0 = 8,88 >
0 ⇒ −Xm w0 sin(φ) > 0, X m et w0 étant des grandeurs positives alors :
π
sin(φ) < 0 ⇒ φ < 0, donc φ = −
4
v 2 8,88 2
Déterminons maintenant Xm : Xm = √x02 + (w0 ) = Xm = √1,412 + ( 2π ) = 2 cm
0

⇒ Xm = 2 cm
π
La loi horaire est donc : x(t) = 2cos (2π t − )
4

b. Dates auxquelles x = - 1 cm :
π π 1
On résout pour cela l’équation : x(t) = 2cos (2π t − ) = −1 ⇒ cos (2π t − ) = − =
4 4 2
π 2π
2π
2π t − 4 = + 2πk
3
cos ( 3 ) ⇒ { π 2π
2π t − 4 = − + 2πk
3

Le système déplace dans le sens négatif donc sa vitesse est négative : v < 0 ⇒
π 2π 11
−Xm w0 sin(w0 t + φ) < 0 ⇒ sin(w0 t + φ) > 0 ⇒ 2π t − 4 = + 2πK ⇒ t = 24 + K
3

Premier passage : K = 0 ⇒ t = 0,45 s

Deuxième passage : K = 1 ⇒ t = 1,45 s
4. Mouvement circulaire uniforme :
4.1. Définition :
Un mobile décrit un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire
est un cercle et la norme de son vecteur vitesse constante.
4.2. Accélération :
ds
̂ et v
On a : s = AM ⃗⃗ = v. T
⃗⃗ = dt T ⃗⃗ et a⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗
at + a⃗⃗⃗⃗⃗
n

dv v 2
Or a⃗⃗t = T ⃗⃗ car v est constante, donc a⃗⃗ = a⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ = 0 ⃗⃗⃗ 2 ⃗⃗⃗
n = R N = Rw N
dt

Le vecteur accélération d’un mouvement circulaire uniforme est dirigé vers le centre de la
trajectoire : on dit que l’accélération est centripète.

4.3. Équations horaires :

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 La position du mobile peut être repérée par l’abscisse angulaire α.
Par définition la vitesse angulaire w est l’angle balayé pendant l’unité de temps.
dα
w= (rad. s −1 )
dt
dα ds dα
Pour un mouvement circulaire uniforme w = = cte; v = dt (Rα) = R dt = Rw ⇒ v = Rw
dt
2
v
a⃗⃗ = a⃗⃗⃗⃗⃗
n =
⃗N
⃗⃗ = RwN
⃗⃗⃗
R
dα
w= = cte ⇒ α = wt + C or à t = 0, α = α0 ⇒ C = α0 ⇒ α = wt + α0
dt
v2
an = ⃗N
⃗a⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = Rw 2 ⃗N
⃗⃗
{ R
α = wt + α0
v = Rw
4.4. Application :
Un mobile M est animé dans le plan rapporté au repère (O, ⃗i, ⃗j) d’un mouvement circulaire.
x = 2cos (wt)
Ces coordonnées s’expriment par : {
y = 2sin (wt)
a. Monter que le mouvement est circulaire uniforme.
b. Déterminer les coordonnées du vecteur accélération.
c. Quelle est l’expression de l’abscisse curviligne ?
Résolution :
a. Montrons que le mouvement est circulaire uniforme :
x
cos(wt) = 2 x 2 y 2 x2 y2
y ⇒(2) + (2) = (cos(wt)) + (sin (wt)) ⇒ 4 + 4 = 1 ⇒ x + y = 2 ,
2 2 2 2 2
{
sin(wt) = 2

Donc la trajectoire est un cercle de centre O (0, 0) et de rayon R = 2 cm.

x = 2 cos(wt) vx = −2sinw(wt) 2 2
On a: { ⇒{ ⇒ v = √(−2sinw(wt)) + (2cosw(wt)) =
y = 2 sin(wt) vy = 2cosw(wt)

√4w 2 (sin2 α + cos 2 α) = √4w 2 = 2w ⇒ v = 2w = constante

Donc le mobile est animé d’un mouvement circulaire uniforme.
vx = −2wsin(wt) ax = −2w 2 sin(wt)
b. Coordonnées du vecteur-accélération : { ⇒ ⃗
a
⃗ {
vy = 2wcos(wt) ay = −w 2 cos(wt)

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 ds
c. Abscisse s : v = dt = 2w ⇒ s = 2wt + C or à t = 0, s =

0 ⇒ C = 0 ⇒ s = 2wt
5. Mouvement circulaire uniformément varié :
5.1. Définition :
Un mobile est animé d’un mouvement uniformément varié si
la trajectoire est un cercle et que son accélération angulaire
constante.
5.2. Accélération :
v2 2 2
Dans la base de Frenet : a⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
aN + ⃗⃗⃗⃗⃗
aT = ⃗⃗ + d(Rw) T
⃗N ⃗⃗ = v ⃗N
⃗⃗ + Rd 2α T
⃗⃗ ⇒ a⃗⃗ = Rw 2 ⃗N
⃗⃗ + Rα̈ T
⃗⃗
R dt R dt
d2 α dw
α̈ = = : accélération angulaire (rad/s)
dt2 dt

dw 1
α̈ = ⇒ α̇ = α̈ t + α0̇ ⇒ α = α̈ t 2 + α̇ 0 t + α0
dt 2
a⃗⃗ = Rw 2 N ⃗⃗⃗ + Rα̈ T
⃗⃗
α̇ = α̈ t + α0̇
Pour un mouvement circulaire uniformément varié : 1
α = 2 α̈ t 2 + α̇ 0 t + α0
{α22 − α12 = 2α̈ (α2 − α1 )
x = t2
5.3. Application : Les équations horaires d’un mouvement plan sont : {
y = √4 − t 2
a. Quelle est la nature de la trajectoire.
b. Déterminer le vecteur vitesse et sa valeur.
c. En déduire les composantes normales et tangentielles de l’accélération dans la base de
Frenet.
d. En déduire les composantes cartésiennes du vecteur accélération.
e. En déduire que le module de l’accélération est indépendant du repère d’étude.
Résolution :
a. Nature de la trajectoire : x = t ⇒ y = √4 − x 2 ⇒ y 2 = 4 − x 2 ⇒ x 2 + y 2 = R2 : la
trajectoire est un cercle de centre C(0 ; 2)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dOM
vx = 1 t t 2 4
b. v
⃗⃗ = ⇒v
⃗⃗ { t ⃗⃗ = ⃗i − √4−t2 ⃗j ⇒ v = √12 + (− √4−t2 ) ⇒ a =
⇒v 3
dt vy = − √4−t2 (4−t2 )2

dv 2t v2 2 2t
c. at = = 3 et an = = 4−t2 ⇒ a⃗⃗ = 3
⃗⃗ + 2 2 ⃗N
T ⃗⃗
dt R 4−t
(4−t2)2 (4−t2 )2
4 4
d. ax = 0; ay = − 3 ⇒ a⃗⃗ = − 3 ⃗j
(4−t2 )2 (4−t2 )2

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 4
e. Dans le repère cartésien : a = 3
(4−t2 )2
4
Dans la base de Frenet : a = √a2n + a2t = 3
(4−t2)2

1. Mouvement cycloïdal :
Cherchons la trajectoire, la vitesse et l’accélération d’un point P
sur la circonférence d’une roue de rayon R roulant à vitesse v 0
constante. On admet que la roue roule sans glisser.
Prenons comme temps initial l’instant où P quitte le sol et soit
θ(t) l’angle dont atourné le rayon CP à l’instant t. Nous avons :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(t) + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OC(t) = OA AC(t) = v0 ti⃗ + R. ⃗j et OA = v0 t = Rθ(t) car la
roue ne tourne pas.

x(t) = R(wt − sin(wt)) v

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OC
OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CP
⃗⃗⃗⃗⃗, en projetant sur les axes x et y : { avec w = R0 et θ = wt
( ) (
y t = R(1 − cos wt ))
v = Rw(1 − sinwt)
⃗⃗ { x v = Rwsinwt
Par dérivation on obtient les vecteurs vitesse et accélération : v
y

1
En nome : v = 2Rw |sin (2 wt)|

On remarque que le mouvement du point P sur la circonférence est toujours dirigé dans le sens
du mouvement de la rue et que sa vitesse varie entre 0 et 2v 0.
v 1−cosθ θ
La relation vx = = tan ( 2) : montre que le vecteur-vitesse 𝑣⃗ est dirigé vers le sommet de
y sinθ

la roue (figure b).

ax = Rw 2 sinwt
On a : a⃗⃗ { ; en norme : a = Rw 2
ay = Rw 2 coswt
ax
On remarque que l’accélération est constante en norme ; le rapport = tanθ montre que le
ay

vecteur a⃗⃗ est centripète (figure c).

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