Activités
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Le professeur indique que les deux élèves ont raison et que les définitions qu'ils ont données
sont équivalentes.
U T
K N Tanguy
Florent
E G
Mike
a. Quels sont les élèves qui ont schématisé correctement l'énoncé ? Pour les figures
fausses, explique l'erreur commise.
angle(ABC)=
angle(BCD)=
angle(CDA)=
angle(DAB)=
Appuie sur la touche F9 puis déplace les points A et B. Que remarques-tu ? Explique ta
réponse en utilisant une propriété de la symétrie.
calc(angle(ABC)+angle(BCD))=
calc(angle(BCD)+angle(CDA))=
Appuie sur la touche F9 puis déplace les points A et B. Que remarques-tu ?
f. Pour les questions b. à d., écris une propriété qui commence par : « Si un quadrilatère
est un parallélogramme alors ... . ».
angle(BAD)=
AB=
AD=
Appuie sur la touche F9 puis déplace le point B jusqu'à obtenir BAD = 90°. Quelle semble
être la nature du quadrilatère ABCD ? Explique ta réponse en utilisant les propriétés sur les
angles d'un parallélogramme.
c. Déplace le point B pour que l'angle BAD ne soit pas égal à 90° et pour que AB = AD.
Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD ? Explique ta réponse en utilisant une
propriété sur les côtés opposés d'un parallélogramme.
angle(AOB)=
Appuie sur la touche F9 puis déplace le point B jusqu'à obtenir AOB = 90°. Quelle semble
être la nature du quadrilatère ABCD ? Vérifie ta conjecture en faisant apparaître la longueur
des quatre côtés du quadrilatère ABCD à l'aide de la règle . Explique ta réponse en
utilisant une propriété de la médiatrice d'un segment.
AC=
BD=
Appuie sur la touche F9 puis déplace le point B jusqu'à obtenir AC = BD et AOB ≠ 90°.
Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD ? Vérifie ta conjecture en recopiant dans
la fenêtre Analyse :
angle(ABC)=
angle(BCD)=
angle(CDA)=
angle(DAB)=
Appuie sur la touche F9.
a. Pour chaque réponse d'élève, énonce la propriété du losange qui sert à sa construction.
C
Cela peut être résolu de deux façons différentes :
B
C C
B C B
B
On trace les côtés [AB] et On reproduit ces mêmes
[BC] du quadrilatère Pour aller de B à C, on se déplacements à partir de
ABCD. déplace de 6 carreaux A. Ainsi on obtient un
Le quadrilatère ABCD est vers la droite et de 1 quadrilatère non croisé tel
un parallélogramme donc carreau vers le haut. que AD = BC et
ses côtés [BC] et [AD] sont (AD) // (BC), c'est donc
de même longueur et bien un parallélogramme.
À toi de jouer
1 Reproduis sur ton cahier la figure 2 Reproduis sur ton cahier la figure
suivante puis trace le parallélogramme suivante puis trace le parallélogramme
EFGH en utilisant une propriété des RSTU en utilisant la propriété des
côtés du parallélogramme. diagonales du parallélogramme.
T
E
F S
R
G
C D C
C
A B A B A B
On trace les côtés [AB] et On trace la parallèle à (AB) On trace la parallèle à (BC)
[BC] du quadrilatère passant par C. passant par A. Ces deux
ABCD. droites sont sécantes en
Le quadrilatère ABCD est D.
un parallélogramme donc Ainsi ABCD a ses côtés
ses côtés opposés sont opposés parallèles deux à
parallèles deux à deux : deux, c'est donc bien un
soit (AB) // (CD) et parallélogramme.
(BC) // (AD).
A B A B A B
À toi de jouer
3 Construis le parallélogramme PRLG tel que PR = 5 cm, PG = 6 cm et
RPG = 74° en utilisant la propriété sur le parallélisme des côtés opposés du
parallélogramme.
4 Construis le parallélogramme DRAP tel que DR = 6 cm, DP = 8 cm et
= 40° en utilisant la propriété sur l'égalité des longueurs des côtés opposés du
RDP
parallélogramme.
5 Construis le parallélogramme VOLE tel que VO = 4 cm, VE = 5 cm et VL = 3 cm.
C U
Exemple : TRUC est un parallélogramme tel que CT = 5 cm,
TR = 6 cm et CTR = 55°. Détermine la mesure de
cm
l'angle
CUR . Justifie.
5
55°
T 6 cm R
Recherche :
➊ On sait que TRUC est un ➋ On demande la mesure d'un angle, on
parallélogramme donc on dispose de utilise donc une propriété sur les angles
toutes les propriétés de ce quadrilatère. du parallélogramme.
Démonstration :
Données Propriété Conclusion
On sait que TRUC est un Si un quadrilatère est un Donc
CTR =
CUR = 55°.
parallélogramme et que parallélogramme alors ses
CTR = 55°. angles opposés ont la
même mesure.
A I
Exemple : Soit IDE un triangle et R le milieu du segment [EI].
On a tracé le point A, symétrique de D par rapport à R.
Démontre que AIDE est un parallélogramme. R
Recherche : E D
➊ On sait que AIDE est un quadrilatère. ➋ On cherche donc une propriété qui
On sait de plus que R est le milieu de la permet de démontrer qu'un quadrilatère
diagonale [EI] de ce quadrilatère et qu'il est un parallélogramme en utilisant ses
est également le milieu de la diagonale diagonales.
[AD] car D et A sont symétriques par
rapport à R.
Démonstration :
Données Propriété Conclusion
On sait que R est le milieu Si un quadrilatère a ses Donc AIDE est un
de [EI]. On sait que A et D diagonales qui se coupent parallélogramme.
sont symétriques par en leur milieu alors c'est
rapport à R donc R est un parallélogramme.
aussi le milieu de [AD].
T T
R R
R
2 cm A 2 cm A
2 cm A
3 cm
E E E
C C
2,5 cm
M2,5 cm
A G A G A G
M M
8 cm
E E E
Pour que le quadrilatère On trace la droite On relie les points A, N, G
ANGE soit un losange, il perpendiculaire à la droite et E pour former le
faut tracer un quadrilatère (AG) passant par M et on losange.
dont les diagonales ont place les points N et E sur Ainsi, le quadrilatère ANGE
même milieu et sont cette droite à 2,5 cm du a ses diagonales qui se
perpendiculaires. On trace point M. coupent en leur milieu et
la diagonale [AG] et on qui sont perpendiculaires,
place son milieu M. c'est donc bien un
losange.
Remarque : Pour construire un carré, on utilise la même méthode que pour le losange
mais avec des diagonales de même longueur.
À toi de jouer
6 Construis un rectangle BLAN de centre C dont les diagonales mesurent 7 cm et tel
que l'angle
BCL mesure 80°.
À toi de jouer
7 Dessine un carré BEAU de centre X dont les diagonales mesurent 4 cm. Démontre
que le triangle AUX est un triangle rectangle isocèle en X.
Exemple : ABCD est parallélogramme tel que ABD est un triangle isocèle en A. Démontre
que ABCD est un losange.
Démonstration :
Données Propriété Conclusion
ABD est un triangle isocèle Si un parallélogramme a Donc ABCD est un
en A donc les côtés [AB] et deux côtés consécutifs de losange.
[AD] sont de même même longueur alors c'est
longueur. ABCD est donc un losange.
un parallélogramme avec
deux côtés consécutifs
[AB] et [AD] de même
longueur.
À toi de jouer
8 Dessine un parallélogramme ABCD tel que AB = 3 cm, AD = 6 cm et
ABC = 90°.Démontre que ABCD est un rectangle.
b. e.
g
h k
c. f.
U 4,4 cm E
T
R S
b. Que peut-on dire de la longueur des côtés
opposés d'un rectangle ? Déduis-en les
longueurs des côtés [BL] et [LE].
c. Que peut-on dire des diagonales [BE] et E
[LU] ? a. On donne : RO = 9,1 cm,
ORE = 50°.
On demande : le périmètre P du losange,
ORS ,
9 Propriétés du rectangle
OSE et ROS .
V E b. On donne : RT = 2,8 cm, OE = 4,2 cm.
35° On demande : OT, RS et RTO .
O
4, 2 c. On donne : RE = 5,1 cm,
RES = 110°.
cm On demande : REO ,
ROE et
ORE .
16 Lorsque c'est possible, construis les 21 Après avoir tracé une figure à main levée,
parallélogrammes ABCD suivants. Quand la construis en vraie grandeur les
construction n'est pas possible, explique parallélogrammes suivants :
pourquoi.
a. VERT avec VT = 5 cm, ERT = 125° et
a. AB = 5 cm, AD = 3,5 cm et BD = 7 cm. VE = 4 cm.
b. AB = 2 cm, AD = 4,5 cm et AC = 3,5 cm. b. BLEU de centre I avec BL = 6 cm, UI = 3 cm
c. AD = 4 cm, AB = 2,8 cm et BD = 7 cm. et IE = 4 cm.
c. NOIR avec NI = 62 mm,
NIR = 40° et
17 Avec trois points
RNI = 30°.
a. Place trois points P, I et M non alignés.
b. Place à main levée un point N tel que les 22 Trace un segment [GR] de 7 cm de
points P, I, M et N soient les sommets d'un longueur. Construis un parallélogramme dont
parallélogramme. [GR] est un côté puis un autre dont [GR] est
une diagonale.
c. Combien y-a-t-il de positions possibles pour
le point N ? On appellera ces points N1, N2 ...
Dans chaque cas, trace puis nomme le 23 Avec le périmètre
parallélogramme obtenu. Construis un parallélogramme dont le périmètre
est 16 cm et dont la longueur d'un côté est le
18 Dans chaque cas, construis un triple de celle d'un côté consécutif.
parallélogramme :
a. LISE tel que LI = 5 cm et IS = 2,5 cm en 24 Avec des cercles
utilisant l'équerre et la règle graduée. Trace deux cercles concentriques de centre O.
b. MARC tel que MR = 7 cm et AC = 6 cm en En te servant uniquement d'une règle non
utilisant la règle graduée. graduée, trace un parallélogramme de centre O
dont deux sommets appartiennent à l'un des
c. NOAH tel que NO = 3 cm et NA = 8 cm en cercles et les deux autres à l'autre cercle.
utilisant le compas et la règle graduée.
d. Les parallélogrammes tracés sont-ils les 25 À partir d'un programme de tracé
mêmes pour tous les élèves de la classe ?
a. Construis un parallélogramme NUIT.
b. d.
3
26 Écris un programme de tracé pour les
3 deux figures suivantes en commençant à
40° 2
2 chaque fois par :
2,4
« Trace un parallélogramme... »
a. R P S b. B
20 Dans un repère
A
a. Place dans un repère les points suivants :
A(– 1 ; 0), B(1 ; 1) et C(4 ; – 2).
b. Place les points D, E et F pour que ABCD, S
U T C
ABEC et ACBF soient des parallélogrammes.
D
c. Donne les coordonnées des points D, E et F.
E
d. Que dire des points A, B et C pour le triangle V
DEF ? RSTU et ABCD sont des parallélogrammes.
E
A D C
D
a. Quelle est la nature des triangles AOD, BOA,
H COB ? Justifie.
b. Que peut-on en déduire pour les longueurs
B OA, OB, OC et OD ?
F
c. Démontre alors que le quadrilatère ABCD est
C un rectangle.
d. Les angles
OAD et
OBC sont-ils égaux ?
G Explique pourquoi.
obtenues se coupent en E, F, G et H.
a. Démontre que le
°
53 Comme au cirque D
8 cm
a. ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD].
La perpendiculaire à (AC) passant par D coupe
(AB) en I et la perpendiculaire à (AC) passant
cm
par B coupe (DC) en J. Construis la figure.
5
b. Démontre que le quadrilatère IBJD est un
parallélogramme. 6 cm
a. Reproduis le quadrilatère PIED en vraie
D grandeur.
54 Triangle et cercle
b. Démontre que c'est un losange.
a. En utilisant les A
informations portées sur B c. Quels quadrilatères obtient-on si on procède
la figure ci-contre, de la même façon sur les autres faces ?
démontre que ADBC est
(AD)//(BC) d. Quelle particularité le parallélépipède doit-il
un parallélogramme. C avoir pour que PIED soit un carré ?
b. Trace un cercle de centre O et de diamètre
e. Quelles particularités doit-il avoir pour que
[AB]. Place un point M en dehors du cercle et de
les quadrilatères tracés sur toutes ses faces
la droite (AB). Place le point N, symétrique du
soient des carrés ?
point M par rapport au point O. Démontre que
AMBN est un parallélogramme.
58 Figures juxtaposées
55 Au feu ! a. Construis un triangle équilatéral ABC de
5 cm de côté.
a. Construis le parallélogramme FEUX tel que
FE = 5 cm, EU = 6 cm et FEU = 50°. b. À l'extérieur du triangle et de telle sorte que
les figures ne se recouvrent pas, place les
b. Trace la perpendiculaire à (FE) passant par points D et E tels que ABDE soit un rectangle
F, elle coupe (UX) en R. Trace la perpendiculaire avec AD = 7 cm.
à (UX) passant par U, elle coupe (FE) en G.
c. De la même façon, place les points F et G
c. Quelle est la nature du quadrilatère FRUG ? tels que ACFG soit un losange avec
Justifie ta réponse.
ACF = 150°.
a. Démontre que RSTU est un rectangle. c. Que peut-on en déduire pour les droites (d1)
et (d2) ?
b. Démontre que VWXY est un rectangle.
4 cm
E F
suivants : parallélogramme, rectangle, losange,
carré, cerf-volant, trapèze et quadrilatère
quelconque.
c. Sur 7 autres cartes, construisez avec vos
instruments les quadrilatères précédents.
d. Pour chaque catégorie (les rectangles, les D C
losanges et les carrés) complétez chaque
propriété suivante (ce qui fera 9 cartes au a. Voici deux programmes de construction de la
total) : figure ci-dessus. Le premier a été écrit par un
• « Je suis un quadrilatère avec des élève et le second par un professeur. Indiquez
diagonales … . » ; les différences entre les deux textes et dites
pourquoi la formulation de l'élève n'est pas
• « Je suis un quadrilatère avec des côtés
correcte.
….»;
• « Je suis un quadrilatère avec un centre Texte de l'élève
de symétrie et … axe(s) de symétrie qui Je trace une ligne verticale de 4 cm de longueur
sont … . ». et je mets les points A et D. Puis je trace une
e. Pour les rectangles et les losanges, ligne horizontale formant un angle droit avec la
complétez chacune des propriétés suivantes sur première et qui la coupe au milieu (qui
une carte (ce qui fera 4 cartes au total) : s'appelle E), de 4 cm aussi ; je place le point F
• « Je suis un parallélogramme qui a des au bout. Après, je trace une autre ligne
diagonales … . » ; verticale qui forme un angle droit avec la ligne
horizontale, je place les points B et C et je trace
• « Je suis un parallélogramme qui a des
des lignes qui relient E, B, F et C. Pareil pour A
côtés … . ». et B, puis C et D. Et pour finir, je prends le
f. Pour les carrés, complétez de deux façons compas, je mets la pointe sur I et j'écarte
différentes chacune des propriétés suivantes jusqu'au point A pour faire un cercle. Et voilà !
sur une carte (ce qui fera 6 cartes au total) : Texte du professeur
• « Je suis un parallélogramme qui a … . » ; Trace un segment [AD] de longueur 4 cm et de
• « Je suis un rectangle qui a … . » ; milieu E. Place le point F sur la médiatrice de
• « Je suis un losange qui a … . » . [AD] tel que EF = 4 cm. Place les points B et C
tel que BECF soit un carré. Place le point I à
g. Vérifiez que vous avez bien 33 cartes (14 l'intersection de (BD) et (AC). Trace le
avec des figures et 19 avec des propriétés).
quadrilatère ABCD. Trace le cercle de centre I
2e partie : À la bataille ! et passant par A.
Maintenant que le jeu est construit, vous allez b. Dessinez sur une feuille blanche une autre
pouvoir jouer, par groupe de deux, à la bataille figure géométrique contenant six points, un
des quadrilatères. cercle et deux quadrilatères particuliers (pensez
à coder la figure et à nommer les points).
h. Mélangez puis distribuez les cartes faces
cachées. Appliquez alors les règles de la bataille c. Rédigez sur une feuille blanche un
traditionnelle sachant que les cartes sont programme de construction de la figure tracée
rangées dans l'ordre suivant : au b. en tenant compte des caractéristiques
d'un texte mathématique.
• carré (la plus forte) ;
d. Échangez avec un autre groupe les
• losange ou rectangle (à égalité) ;
programmes de construction puis réalisez la
• parallélogramme ; figure correspondant au programme reçu.
• trapèze ou cerf-volant (à égalité) ; Remettez le programme de construction et la
• quadrilatère quelconque (la plus faible). figure au professeur qui validera l'ensemble.