DS1 3e 2021 2022 Arithmetique-Corr
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Corrigé
1. Décomposez les entiers 756 et 441 en produit de facteurs premiers (détaillez les calculs).
441 = 3 × 147
756 = 2 × 378
= 3 × 3 × 49
= 2 × 2 × 189
441 = 32 × 72
= 2 × 2 × 3 × 63
=2×2×3×9×7
756 = 22 × 33 × 7
3. Applications
756
3. a. Rendre irréductible la fraction en expliquant votre raisonnement.
441
On divise numérateur et numérateur de la fraction par leur PGCD pour la rendre irréductible :
756 756 ÷ 63 12
= =
441 441 ÷ 63 7
3. b. Olivia souhaite réaliser une mosaïque sur un mur de sa maison. La surface à paver est un rectangle
de dimensions 756 cm et 441 cm et doit être entièrement recouverte par des carreaux carrés de même
dimension sans découpe.
3. b. 1. Olivia peut-elle utiliser des carreaux de faïence 6 cm de côté ?
La longueur du côté du carreau dit être un diviseur commun de 756 et 441.
Or 6 ne divise pas 441 puisque :
Corrigé
Le nombre total de voyageurs est de : 13 + 180 = 193.
Puisque les bus ont 25 places maximum on va effectuer la division euclidienne de 193 par 25 :
193 = 25 × 7 + 18
Il faudra donc prendre 8 bus. Avec 7 bus qui seront remplis intégralement et un qui aura 18 passagers pour
25 places.
Corrigé
On peut affirmer que les voitures se recroiseront sur la ligne de départ après un temps qui sera un multiple
commun de 30 et de 36. On peut lister les multiples et ou effectuer les décomposition en facteurs premiers.
Les voitures se recroiseront sur la ligne de départ après 180 minutes, donc après 3 heures.
Corrigé
L’affirmation 1 est fausse puisque 9 est impair mais n’est pas premier. En effet 9 a plus de 2 diviseurs, qui
sont : 1, 3 et 9
Affirmation 2
Aristoteles affirme « Je prends un nombre entier naturel. Je lui ajoute 7 et je multiplie le résultat par 5.
J’ajoute le double du nombre de départ au résultat. J’obtiens toujours un multiple de 7. »
Corrigé
Notons n le nombre entier naturel choisi au départ.
Étape 1 n
Étape 2 n+7
Étape 3 5 × (n + 7)
Étape 4 5 × (n + 7) + 2n
5 × (n + 7) + 2n = 5n + 35 + 2n = 7n + 35
On veut alors prouver que ce résultat est un multiple de 3. On cherche alors à écrire le résultat sous la forme
7 fois un entier.
7n + 35 = 7 × (n + 5)
Avec (n + 5) entier, donc le résultat obtenu est bien un multiple de 7. L’affirmation de Aristoteles est vraie.
Corrigé
Bonus
Soit n un nombre entier naturel.
La somme de 3 entiers consécutifs peut s’écrire :
S = (n − 1) + n + (n + 1) = 3 × n