Algebre 1

) = f (x + x
0
, y + y
0
, z + z
0
)
=
− 2(x + x
0
), y + y
0 + 3(z + z
0
)
#
= (−2x, y + 3z) + (−2x
0
, y
0 + 3z
0
)
= f (u) + f (v)
et
f (λ · u) = f (λx,λy,λz)
= (−2λx,λy + 3λz)
= λ ·(−2x, y + 3z)
= λ · f (u)
Toutes les applications ne sont pas des applications linéaires !
Exemple 24.
Soit f : R → R l’application définie par f (x) = x
2
. On a f (1) = 1 et f (2) = 4. Donc f (2) 6= 2 · f (1). Ce qui
fait que l’on n’a pas l’égalité f (λx) = λf (x) pour un certain choix de λ, x. Donc
f n’est pas linéaire. Notez
que l’on n’a pas non plus f (x + x
0
) = f (x) + f (x
0
) dès que x x0 6= 0.
Voici d’autres exemples d’applications linéaires :
1. Pour une matrice fixée A ∈ Mn,p
(R), l’application f : R
p −→ R
n définie par
f (X) = AX
est une application linéaire.
2. L’ application nulle, notée 0L (E,F)
:
f : E −→ F f (u) = 0F pour tout u ∈ E.
3. L’ application identité, notée idE
:
f : E −→ E f (u) = u pour tout u ∈ E.
6.3. Premières propriétés
Proposition 6.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Si f est une application linéaire de E
dans F, alors :
• f (0E
) = 0F
,
• f (−u) = −f (u), pour tout u ∈ E.
Démonstration. Il suffit d’appliquer la définition de la linéarité avec λ = 0, puis
avec λ = −1.
Pour démontrer qu’une application est linéaire, on peut aussi utiliser une
propriété plus « concentrée »,
donnée par la caractérisation suivante :
Proposition 7 (Caractérisation d’une application linéaire).
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f une application de E dans F.
L’application f est linéaire si et
seulement si, pour tous vecteurs u et v de E et pour tous scalaires λ et µ de K,
f (λu + µv) = λf (u) + µf (v)
ESPACES VECTORIELS 7. APPLICATION LINÉAIRE (MILIEU) 158
Plus généralement, une application linéaire f préserve les combinaisons linéaires :
pour tous λ1
, . . . ,λn ∈ K
et tous v1
, . . . , vn ∈ E, on a
f (λ1v1 + ··· + λnvn
) = λ1
f (v1
) + ··· + λn
f (vn
).
Démonstration.
• Soit f une application linéaire de E dans F. Soient u, v ∈ E, λ,µ ∈ K. En
utilisant les deux axiomes de
la définition, on a
f (λu + µv) = f (λu) + f (µv) = λf (u) + µf (v).
• Montrons la réciproque. Soit f : E → F une application telle que f (λu + µv) = λf
(u) + µf (v) (pour
tous u, v ∈ E, λ,µ ∈ K). Alors, d’une part f (u + v) = f (u) + f (v) (en
considérant le cas particulier où
λ = µ = 1), et d’autre part f (λu) = λf (u) (cas particulier où µ = 0).
Vocabulaire.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels.
• Une application linéaire de E dans F est aussi appelée morphisme ou homomorphisme
d’espaces
vectoriels. L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E, F).
• Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E. L’ensemble
des endomorphismes
de E est noté L (E).
Mini-exercices.
Montrer que les applications suivantes f
i
: R
2 → R
2
sont linéaires. Caractériser géométriquement ces
applications et faire un dessin.
1. f1
(x, y) = (−x,−y);
2. f2
(x, y) = (3x, 3y);
3. f3
(x, y) = (x,−y);
4. f4
(x, y) = (−x, y);
5. f5
(x, y) = p
3
2
x −
1
2
y,
1
2
x +
p
3
2
y
#
.
7. Application linéaire (milieu)
7.1. Exemples géométriques
Symétrie centrale.
Soient E un K-espace vectoriel. On définit l’application f par :
f : E → E
u 7→ −u
f est linéaire et s’appelle la symétrie centrale par rapport à l’origine 0E
ESPACES VECTORIELS 7. APPLICATION LINÉAIRE (MILIEU) 159

u
f (u) = −u
0
fλ(u) = λ · u
u
0
Homothétie.
Soient E un K-espace vectoriel et λ ∈ K. On définit l’application fλ par :
fλ : E → E
u 7→ λu
fλ est linéaire. fλ est appelée homothétie de rapport λ.
Cas particuliers notables :
• λ = 1, fλ est l’application identité ;
• λ = 0, fλ est l’application nulle ;
• λ = −1, on retrouve la symétrie centrale.
Preuve que fλ est une application linéaire :
fλ(αu + βv) = λ(αu + βv) = α(λu) + β(λv) = αfλ(u) + β fλ(v).
Projection.
Soient E un K-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels
supplémentaires dans E, c’est-à-dire
E = F ⊕ G. Tout vecteur u de E s’écrit de façon unique u = v + w avec v ∈ F et w ∈
G. La projection sur F
parallèlement à G est l’application p : E → E définie par p(u) = v.

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