Feuille de calculs 1 : Factorisation

Il est impératif d’être à l’aise avec la factorisation. Il faut bien retenir qu’il est bien plus simple de
manipuler des expressions factorisées, notamment lorsque l’on doit déterminer le signe.
Plusieurs factorisations à connaı̂tre :
⌥ a2 ≠ b2 = (a + b)(a ≠ b)
⌥ a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
⌥ a2 ≠ 2ab + b2 = (a ≠ b), c’est en fait la même que la précédente avec ≠b à la place de b.
⌥ a3 ≠ b3 = (a ≠ b)(a2 + ab + b2 )
⌥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ≠ ab + b2 ), c’est en fait la même que la précédente avec ≠b à la place de b.
Il faut éviter l’utilisation abusive du discriminant pour factoriser une expression de degré 2. Il est inutile
d’utiliser le discriminant pour factoriser x2 ≠ 4, x2 + 2x + 1 ou x2 + 6x + 9.

Méthode. Factorisation d’expressions de degré 3.

Il existe une formule générale pour déterminer les solutions de l’équation ax3 + bx2 + cx + d = 0, formule
de Cardan, mais nous ne la verrons pas.
Si y vérifie ay 3 + by 2 + cy + d = 0, alors on peut factoriser ax3 + bx2 + cx + d par x ≠ y. On a ainsi
l’existence de réels –, —, “ tels que ax3 + bx2 + cx + d = (x ≠ y)(–x2 + —x + “). On peut trouver –, —, “ en
développant et en identifiant (– = a, ...), avec plus d’agilité calculatoire, on peut les déterminer directement.
La difficulté étant de trouver ce y qui vérifie ay 3 + by 2 + cy + d = 0, que l’on appelle racine. Si on vous
demande de factoriser une expression de degré 3, alors il y a une racine “évidente”, c’est-à-dire y = 0 ou
y = 1 ou y = ≠1, plus rarement un autre entier.
Voici un exemple détaillé : factoriser x3 ≠ 2x2 ≠ x + 2 sachant qu’il y a une racine évidente.
On remarque que 1 est racine car 13 ≠ 2 ◊ 12 ≠ 1 + 2 = 0. On peut donc factoriser par x ≠ 1.

x3 ≠ 2x2 ≠ x + 2 = (x ≠ 1)(. . .) le terme de plus haut degré à gauche est en x3 ,

donc dans les ...il y a un terme en x2
pour obtenir x3 , on va faire x ◊ x2
= (x ≠ 1)(x2 + ...) on cherche maintenant à égaliser les termes en x2
Attention, il y a déjà ≠ x2 à droite. Il manque donc ≠ x2
= (x ≠ 1)(x2 ≠ x + ...) on cherche maintenant à égaliser les termes en x
Attention, il y a déjà + x
= (x ≠ 1)(x2 ≠ x ≠ 2) On utilise le terme constant pour vérifier le calcul.
≠ 1 ◊ ≠2 = 2 a priori, pas d’erreur !.
= (x ≠ 1)(x + 2)(x + 1) on factorise le dernier terme

Exercice 1. Factoriser les expressions suivantes sachant qu’elles ont une racine évidente.

1. x3 ≠ 2x2 ≠ 5x + 6 4. x3 + 6x2 + 11x + 6

2. x3 + 4x2 ≠ 12x 5. 9x3 + 12x2 + x ≠ 2
7x2 7x
3. 4x3 + 4x2 ≠ 5x ≠ 3 6. x3 ≠ 6 ≠ 6 +1

Exercice 2. Déterminer une forme factorisée pour S, T et U .

1. 2S + n = (n + 1)2 ≠ 1
2. 3T + 3S + n = (n + 1)3 ≠ 1
3. 4U + 6T + 4S + n = (n + 1)4 ≠ 1

2
Exercice 3. Calculer, le plus rapidement possible (en utilisant des identités remarquables par exemple),
les carrés des nombres entiers de 11 à 20.

Exercice 4. ı Factoriser les expressions suivantes :

1. 2a2 + 9a ≠ 18 8. 121p2 ≠ 169 15. 125a3 + 343 21. x2 + 8x + 16

2. 6n2 ≠ 19n ≠ 11 9. 361d2 ≠ 81 16. 64x3 ≠ 125
22. m2 + 16m + 64
3. 2p2 ≠ 5p ≠ 7 10. 144b2 ≠ 25c2 17. 10x2 + 5x + 2xy + y
4. 10h2 ≠ 9h ≠ 9 11. 49n2 + 168n + 144 18. x2 + 2xy + 5x3 + 23. t2 ≠ 30t + 225
5. 9d2 ≠ 73d + 8 12. 225y 2 + 120y + 16 10x2 y
24. m2 ≠ 12m + 36
6. 12t2 + t ≠ 13 13. m2 ≠ 20m + 100 19. y 2 ≠ 6y + 9
7. 16x2 ≠ 100 14. x3 + 216 20. x2 ≠ 10x + 25 25. t2 + 18t + 81

3
 Feuille de calculs 2 : Calculs algébriques

Exercice 5. Compléter les expressions ci-dessous pour que chacune d’elles soit le carré d’un binôme,
c’est-à-dire puisse se mettre sous la forme (ax + b)2
1. x2 + 2x + . . . ; x2 ≠ 2x + . . .
2. x2 + 6x + . . . ; x2 ≠ 8x + . . .
3. x2 + x + . . . ; x2 ≠ 3x + . . .
4. x2 + . . . + 9 (deux possibilités)
5. 4x2 + . . . + 9 (deux possibilités)
6. 3x2 + . . . + 3 (deux possibilités)
7. x2 + ax + . . . ; 4x2 + . . . + 9y 2 (deux possibilités)

Exercice 6. a et b étant des réels positifs, avec a > b simplifier les expressions :
Ô Ô Ô Ô
1. Ô a+1 ;
a+2
a+1
Ô a+4 ;
a+4
a+2
a b+bÔ a
Ô
a+ b
Ò Ò Ô
a2 b+ab2 a2 b≠ab2
2. a+b ; a≠b ;
a+Ôa
1+ a
Ô Ô
3. Ôa+b+Ôa≠b
a+b≠ a≠b

Exercice 7. Déterminer les valeurs demandées.

1. Pour tout entier n, un = n2 . On a ainsi pour tout entier n, un+1 = . . ., u2n = . . . et u2n+1 = . . ..
2. Pour tout entier n, un = e2n . On a ainsi pour tout entier n, un+1
un = . . ., un+1 ≠ un , (un )nœN est
géométrique de raison . . ..

Exercice 8. Pour chaque point, déterminer une suite (un )nœN telle que l’expression donnée soit égale à
un+1 ≠ un . Par exemple 2n + 1 = un+1 ≠ un avec pour tout entier n, un = n2 .
1. 1
1 2
1
2. ln 1 + n
1 1
3. n2 +3n+3
≠ n2 +n+1
1
4. n(n+1) avec n Ø 1.
5. n ◊ (n!), on rappelle que n! est le produit des entiers de 1 à n et par convention, 0! = 1.
1 Ô
6. Ô
n+1+ n

4
 Feuille de calculs 3 : Fractions

Exercice 9. Réduire en une seule fraction, la plus simple possible.

1. x
x≠y + y
x+y ; x
x≠y ≠ y
x+y
1≠2x2 1≠2x2
2. x≠1
x+1 + x+1
x≠1 + x2 ≠1
; x≠1
x+1 + x+1
x≠1 ≠ x2 ≠1
x2 1 2 1
3. x≠1 ≠ x+1 + x ;
x
x≠1 ≠ x + x+1
2 2
4. y(x≠y) + x(x≠y) ≠ x≠y ;
x y x
y(x+y) ≠ y
x(x+y) + x
2x2 ≠2x+1
5. x2 ≠x
≠ x
x+1 ; ax
a2 ≠x2
≠ a≠x
a+x ; ax≠a
x+1 ≠ ax+a
x≠1
1 1 2 x2 ≠1
6. x(x≠1)(x+1) ≠ x(x≠1) + x2 ≠1
; x≠1
x+1 + x+1
x≠1 ≠ x2 +1
1 21 2
x2 +y 2
7. x≠y
x+y + x+y
x≠y 2xy +1 xy
x2 +y 2
( 1≠x
1+x
1+x )
≠ 1≠x x2 1 1
≠ y+z 1 1
+ x+z
8. ; x
◊ y
( 1≠x )( 1+x
1+x
≠1 1≠ 1
) 1
x
1
+ y+z 1
y
1
≠ x+z
Ô
Exercice 10. Écrire sous la forme a + b 2 où a et b sont des rationnels, les nombres suivants :
3 1
A=1≠ 2 ; B =1+ 1
4≠ 1≠ Ô1
3≠ 1≠ Ô 1
2 2+1

Exercice 11. Mettre sous forme de fractions irréductibles :

1 1 1 1
1≠ 2 + 1+ 12
1≠ 3 + 1+ 13
3
≠ 5 1
≠ 4
1
4 3 3 5
A= 1 1 ; B= 1 1 ; C= 1 4 ◊ 3 5 ◊
1≠ 2 + 1≠ 13
1≠ 3 + 1≠ 12 3 + 5 4 + 3
1≠ 23
4
5
≠1

5
 Feuille de calculs 4 : Racines carrées

Ô Ô
On rappelle que si x Ø 0 alors x est le réel positif tel que ( x)I2 = x. Attention au piège classique :
Ô Ô x si x Ø 0
x2 =
” x, en effet il faut que x soit positif, on a x2 = |x| où |x| = .
≠x si x < 0

Exercice 12. Comparer les nombres suivants

Ô Ô Ô Ô
1. 14 ≠ 6 5 et 3 ≠ 5 ; 2 + 7 et 3 + 2
Ô Ô Ò Ô Ô Ô Ò Ô
2. 5 + 7 et 12 + 2 35 ; 3 + 5 et 8 + 2 15
Ô Ô Ô Ô Ô
3. 2 + 2, 1 + 5, 1 + 2 2 et 2 + 3

Exercice 13. Montrer que pour tout n œ Nú

Ò Ô Ò Ô Ò Ô
Ô Ô
n+ n≠1+ n≠ n≠1= 2 n+2

En déduire
Ò que Ò
Ô Ô
⌥ 7+4 3+ 7≠4 3=4
Ò Ô Ò Ô Ô
⌥ 3+2 2+ 3≠2 2=2 2
Ò Ô Ò Ô Ô
⌥ 4 + 15 + 4 ≠ 15 = 10

Exercice 14. Écrire les nombres suivants sans racines aux dénominateurs.
1. Ô 1Ô + Ô 1Ô
3+ 2 3≠ 2
Ô Ô Ô Ô
2. Ô Ô ≠ Ô3≠Ô2
3+ 2
3≠ 2 3+ 2
Ô
3≠1
3. 4≠ Ô 1
3+1
Ô
6
4. Ô1
≠ Ô1
2 3

Exercice 15. Vérifier les égalités suivantes :

Ò Ô Ò Ô Ô
1. 3 + 5 + 3 ≠ 5 = 10
Ò Ô Ò Ô Ô
2. 4 + 7 + 4 ≠ 7 = 14
Ò Ô Ò Ô Ô
3. 5 + 21 + 5 ≠ 21 = 14

6
 Feuille de calculs 4 : Inégalités

On dit que f : I æ R est une application croissante si pour tout x, y œ I, x Æ y =∆ f (x) Æ f (y). On
a aussi f (x) < f (y) =∆ x < y.
On dit que f : I æ R est une application décroissante si pour tout x, y œ I, x Æ y =∆ f (x) Ø f (y). On a
aussi f (x) < f (y) =∆ x > y.
On dit que f : I æ R est une application strictement croissante si pour tout x, y œ I, x Æ y … f (x) Æ f (y).
On dit que f : I æ R est une application strictement décroissante si pour tout x, y œ I, x Æ y … f (x) Ø
f (y).

Exercice 16. Montrer que si f est strictement croissante alors pour tout x, y œ I, f (x) = f (y) =∆ x = y.
De même si f est strictement décroissante.

Remarque. On transformera des inéquations en composant par des applications croissantes, décroissantes,
strictement croissantes, strictement décroissantes. Dans un premier temps, il est primordial de justifier
chaque transformation d’inéquations.

Exemple.
— Pour tout a œ R, x ‘æ x + a est strictement croissante (ne pas oublier que x ≠ a = x + (≠a))
— Pour tout a > 0, x ‘æ ax est strictement croissante (ne pas oublier que xa = a1 x)
— Pour tout a < 0, x ‘æ ax est strictement décroissante (ne pas oublier que xa = a1 x)
— Les fonctions exp et ln sont strictement croissantes.
— x ‘æ x2 est strictement croissante sur R+ et est strictement décroissante sur R≠
— x ‘æ x1 est strictement décroissante sur Rú+ et strictement décroissante sur Rú≠ mais n’est pas
1
strictement décroissante sur R ! En effet ≠1 Æ 1 et ≠1 Æ 11 .

Remarque. Si f est dérivable sur un intervalle I, f est strictement croissante sur I si pour tout x
appartenant à I, f Õ (x) > 0 avec la possibilité d’avoir f (x) = 0 en un nombre fini de points.

Exercice 17. Montrer les inégalités suivantes :

x2
1. ’x > ≠1, ln(1 + x) Æ x 4. ’x Ø 0, 1 + x + 2 Æ exp(x).
2. ’x œ R, 1 + x Æ exp(x) 5. ’x œ R, exp(x) + exp(≠x) Ø 2
x2
3. ’x Ø 0, x ≠ 2 Æ ln(1 + x) 6. ’r > 1, ’x Ø ≠1, (1 + x)r Ø 1 + rx

Remarque. Les inégalités de l’exercice précédent sont ”classiques”, n’hésitez pas à vous faire un carnet
d’inégalités que vous consulterez régulièrement.

7
 Feuille de calculs 5 : Équations, inéquations

I
x si x Ø 0
On rappelle que pour un réel x, |x| = . Pour résoudre des équations ou inéquations
≠x si x < 0
avec des valeurs absolues, on pourra faire des disjonctions de cas selon le signe de l’expression entre les
valeurs absolues afin de faire des calculs sans valeurs absolues.
Exercice 18. ı Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes
2x2 +7x+3
1. 5x2 ≠2x≠16
Ø 0 11. |x + 1| + |2x + 3| + |4x + 5| = 7
2. 2
x +x>e 12. |x2 + x ≠ 7| + |x| < 5
3. x2 ≠ 5x + 4 Ø ≠2 13. ln(x + 2) ≠ ln(x + 1) = ln(x ≠ 1)
2x≠3
4. <1
x2 ≠4
Ô 14. ln(2x2 ≠ 3x ≠ 5) Æ 2 ln 2
5. ≠x + 1 > 3x2
≠ 2x ≠ 7
Ô 15. 2e2x ≠ 5ex + 2 = 0
6. x ≠ 2 Æ x ≠ 1
Ô 16. 3e2x ≠ 2 = 5ex
7. x + 3 < ≠x + 4
8. |x + 1| = 7 17. 2 ln x = ln(3x) + ln(x + 1)
9. |x + 1| + |x + 2| = 1 18. ex(x≠1) Æ e3x+2
e2 +1
10. |2x ≠ 4| Æ |x + 2| 19. ex + e≠x > e

L’exercice suivant est accompagné d’une correction ... fausse ! Des erreurs parfois grossières, parfois
subtiles, sont présentes. L’objectif est de trouver ces erreurs et ensuite de faire correctement l’exercice.
Exercice 19. Résoudre les inéquations et équations suivantes :
Ô
1. x + 2 Ø x + 5

2. (x + 2)2 Ø x2 + 3x + 2
3. ln(x2 ≠ 1) ≠ ln(2x ≠ 1) + ln(2) = 0
Correction
1. Soit x œ [≠5, +Œ[ (pour que le terme avec une racine carrée ait un sens).
Ô
x + 2 Ø x + 5 … (x + 2)2 Ø x + 5
… x2 + 3x ≠ 1 Ø 0
On calcule Ô
le discriminant
Ô
: = 32 ≠ 4 ú (≠1) = 13, donc les racines de x2 + 3x ≠ 1 = 0 sont
≠3≠ 13 ≠3+ 13
x1 = 2 et x1 = 2 .
Ô
On sait donc que ’x œ] ≠ Œ, x1 ] fi [x2 , +Œ[, on a x2 + 3x ≠ 1 Ø 0. Or x1 > ≠5 (car 13 < 4, donc
x1 > ≠ 72 ), donc l’ensemble solution est S = [≠5, x1 ] fi [x2 , +Œ[.
2. Soit x œ R,
Ò
(x + 2)2 Ø x2 + 3x + 2 … x + 2 Ø x2 + 3x + 2
… x2 + 2x Æ 0 … x œ [≠2, 0]
Donc S = [≠2, 0].
3.
A B
2 2(x2 ≠ 1) 2(x2 ≠ 1)
ln(x ≠ 1) ≠ ln(2x ≠ 1) + ln(2) = ln =0… =1
2x ≠ 1 2x ≠ 1
I Ô Ô J
1 + 3 1 ≠ 3
… 2x2 ≠ 2x ≠ 1 = 0 … x œ ,
2 2
Ó Ô Ô Ô
1+ 3 1≠ 3
Donc S = 2 , 2

8
 Feuille de calculs 6 : Sommes

Soit n et p deux entiers avec p Æ n. On considère des nombres réels notés up , up+1 , . . . , un . La somme
n
ÿ
up + up+1 + . . . + un est notée uk . On appelle k variable de sommation. Il faut bien noter que k est une
k=p
variable muette, elle n’a pas besoin d’être déclarée et son nom importe peu. On a ainsi
n
ÿ n
ÿ
uk = ui
k=p i=p
ÿn
= uj
j=p
ÿn
= u¸
¸=p
ÿn
= ubob
bob=p

Il faudra veiller à éviter des conflits de notation (si k désigne déjà un entier dans l’exercice on ne prendra
pas k pour la variable de sommation) et privilégier si possible les notations suivantes : k,i, j, ou ¸.
Attention, la variable muette de sommation n’a aucun sens en dehors de la somme ! Par contre si une
n
ÿ n
ÿ
expression A ne dépend pas de k, alors on peut la mettre en facteur de la somme : Auk = A uk .
k=p k=p
Attention au piège classique, la somme pour k allant de p à n contient n ≠ p + 1 termes. Pour ne pas oublier
n
ÿ
ce +1, pensez à la somme pour k allant de 0 à 0, il y a un terme. Ainsi pour tout réel ⁄, ⁄ = (n ≠ p + 1)⁄.
k=p
Vous êtes censés connaı̂tre la somme des termes d’une suite géométrique :
Théorème 1. Soit x un réel différent de 1. Soit n et p deux entiers, avec p Æ n. On a
n
ÿ 1 ≠ xn≠p+1
xk = xp
k=p
1≠x
Que l’on retient ainsi : “Premier terme fois 1 moins la raison à la puissance le nombre de termes divisé par
1 moins la raison ”
L’utilisation du symbole somme sera très courante au cours de vos deux (ou trois) années de classes
préparatoires. Dans un premier temps, si vous n’êtes pas à l’aise, il ne faudra pas hésiter à écrire sous la
forme (moins rigoureuse) xp + xp+1 + . . . + xn .
q
Exercice 20. Écrire à l’aide du symbole les expressions suivantes
u2 u3
1. 34 + 35 + 36 + . . . + 315 3. u + 2 + 3 + ... + un
n
1 2 3 4 10
2. 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 1024 4. 2 ≠ 4 + 6 ≠ 8 + . . . + 50

Méthode. Nous calculerons parfois des sommes avec la technique dite du télescopage. Voici en quoi elle
consiste : Supposons que l’on doive calculer la somme des uk+1 ≠ uk pour k allant de p à n, avec p Æ n.
Cela fait :
n
ÿ
(uk+1 ≠ uk = up+1 ≠ up + up+2 ≠ up+1 + up+3 ≠ up+2 + . . . + un+1 ≠ un
k=p

=⇠ ⇠ ≠ up + up+2⇠
⇠
up+1 ≠u ⇠ + up+3 ≠ up+2 + . . . + un+1 ≠ un
⇠
⇠p+1
=⇠ ⇠ ≠ up + ⇠
⇠ ⇠⇠
⇠ ⇠ + up+3
⇠ ⇠⇠ ⇠ + . . . + un+1⇠
⇠ ⇠
⇠
up+1 up+2 ⇠p+1
≠u ⇠⇠ ⇠p+2
≠u ≠u n
= un+1 ≠ up

9
 n
ÿ
De même, uk ≠ uk+1 = up ≠ un+1 .
k=p

Pour se familiariser avec le télescopage, il ne faut pas hésiter à écrire les sommes avec des points de
suspension dans un premier temps.

Exercice 21. Calculer ces sommes à l’aide d’un télescopage.

n
ÿ n
ÿ
1. (k + 1)2 ≠ k 2 , on pourra en déduire la somme k
k=1 k=1
ÿn ÿn
2. (k + 1)3 ≠ k 3 , on pourra en déduire la somme k2
k=1 k=1
ÿn ÿn
3. (k + 1)4 ≠ k 4 , on pourra en déduire la somme k3
k=1 k=1
3 4
ÿn
1 n
ÿ
4. ln 1 + 7. k ◊ k!
k=1
k k=1
n
ÿ 1 1 ÿn
1
5. ≠ 2 8. Ô Ô
k=0
k2 + 3k + 3 k + k + 1 k+1+ k
k=1
ÿn
1
6.
k=1
k(k + 1)

10