Acb 5

Remarque.
— Une fois n’est pas coutume, nous allons en donner la démonstration,

pour la bonne
raison qu’elle utilise et illustre un mode raisonnement fréquent en mathématique :
le raisonnement
par l’absurde. N’hésitez surtout pas à l’utiliser dans les exercices.
Démonstration. — Il y a exactement deux possibilités : soit √
2 est rationnel, soit √
2 est irrationnel. Supposons, par l’absurde, que √
2 soit rationnel. (Comme nous allons trouver une
contradiction à ce choix plus loin, cela montrera que ceci est impossible et donc
que √
2 est irrationnel.)
Dans ce cas, √
2 s’écrit sous la forme √
2 =
a
b
avec a ∈ Z et b ∈ Z − {0}. Si a et b sont tous
les deux pairs, alors on les divise par le plus grande puissance de 2 pour que l’un
des deux restes
au moins deviennent impair. Ceci montre que l’on peut supposer que l’on peut écrire
√
2 =
a
b
tel
que a et b ne soient pas tous les deux pairs.
En élevant l’égalité √
2b = a au carré, on trouve 2b
2 = a
2
. Ceci impose que 2 divise a
2
et donc
a. Écrivons a = 2α avec α ∈ Z. Dans l’égalité précédent, cela donne 2b
2 = (2α)
2 = 4α
2
. En
simplifiant par 2, on obtient b
2 = 2α
2
. Donc, 2 divise b
2
et aussi b. Nous venons donc de montrer
que a et b sont pairs, ce qui est contradictoire avec l’hypothèse de départ.
La racine carrée de 2 est donc un nombre irrationnel.
5. Il y a en fait deux solutions : √
2 et −
√
2.
28 CHAPITRE 1. ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
Instant culture
#. — Ce résultat a beaucoup étonnée et émerveillé les grecs : ils avaient
là un nombre d’un type nouveau, inconnu auparavant car ils ne connaissaient que les
nombres
rationnels.
1.3.2. Définition des nombres complexes. — Grâce aux nombres réels, nous avons
réussi
à définir les racines carrées de nombres positifs. Qu’en est-il des nombres
négatifs, par exemple
que vaut la racine carrée de −1 : “
√
−1
00 ? Dit autrement, quelles sont les solutions de l’équation
x
2 = −1 ? Aucun nombre réel ne convient. Alors on crée un nombre que l’on note i,
pour
“imaginaire”, dont le carré vaut −1 :
i
2 = −1 .
Définition (Nombres complexes). — Les nombres complexes sont les nombres de la
forme
z = x + iy avec x et y réels. L’ensemble des nombres complexes est noté
C := {z = x + iy | x, y ∈ R} .
Pour un nombre complexe z = x + iy, on note Re z := x la partie réelle de z et Im z
:= y la partie
imaginaire de z.
L’ensemble des nombres complexes z = x + i × 0 de partie imaginaire nulle
s’identifie avec
l’ensemble des nombres réels R = {z = x (+ i × 0) | x ∈ R}. Les nombres complexes z
= 0 + iy
de partie réelle nulle sont appelés nombres imaginaires purs; leur ensemble est
noté iR := {z =
0 + iy | y ∈ R}.
Règles de calcul. — On définit la somme, le produit et la différence de deux
nombres complexes en utilisant les mêmes règles de calcul que pour les nombres
réels et la règle i
2 = −1. Ceci
donne par exemple :
(2 + 3i) + (4 + 5i) = 2 + 3i + 4 + 5i = 2 + 4 + 3i + 5i = 6 + (3 + 5)i = 6 + 8i ,
(2 + 3i) × (4 + 5i) = 2 × 4 + 2 × 5i + 3i × 4 + 3i × 5i
= 8 + 10i + 12i + 15 × (i
2
) = 8 + 22i − 15 = −7 + 22i .
Les règles plus avancées sont toujours vraies. Par exemple, la formule du binôme de
Newton
est encore valide :
(1 + 2i)
3 = 13 + 3 × 1
2 × 2i + 3 × 1 × (2i)
2 + (2i)
3
= 1 + 6i − 12 − 8i = −11 − 2i .
Les nombres complexes formant un ensemble plus vaste que les nombres réels, on a
plus de
liberté pour inventer des opérations nouvelles. Par exemple, on peut s’amuser à
changer le signe
de la partie imaginaire d’un nombre complexe.
Définition (Conjugaison). — Le complexe conjugué z¯ d’un nombre complexe z = x + iy
est
défini par
z¯ := x − iy .
Par exemple, on a 2 − 3i = 2 + 3i.
#
Exercice 8 (Opérations élémentaires). —
Soient les nombres complexes
z1 := 2 − 3i, z2 := 3 + 4i et z3 := 1 +
1.3. NOMBRES COMPLEXES 29
Calculer les nombres complexes suivants
z1 + z2, z1 − z3, z1.z2, z1.z3,
z1
z3
, z1.z¯1, z3
1
et z1.z¯3 .
#
Proposition 9. — Pour tout nombre complexe z, les égalités suivantes sont
vérifiées.
z¯¯ = z ,
z + ¯z = 2Re z ,
z − z¯ = 2iIm z ,
z ∈ R ⇔ z = ¯z ,
z ∈ iR ⇔ z = −z . ¯
Ici, la démonstration est utile pour comprendre le sens de ces relations.
Démonstration. — Soit z = x + iy, on a
z¯¯ = x + iy = x − iy = x − (−iy) = x + iy ,
z + ¯z = x + iy + x − iy = 2x = 2Re z ,
z − z¯ = x + iy − (x − iy) = 2iy = 2iIm z ,
z ∈ R ⇐⇒ y = 0 ⇐⇒ x + iy = x − iy ,
z ∈ iR ⇐⇒ x = 0 ⇐⇒ x + iy = −x + iy .
Regardons maintenant comment on peut effectuer la division de deux nombres
complexes.
On sait que diviser des nombres est équivalent à multiplier le premier par
l’inverse du second
z
0
z = z
0 × z
−1
. On va donc chercher à calculer l’inverse d’un nombre complexe z = x + iy lorsque
ce dernier n’est pas nul.
La multiplication de z par son conjugué z¯ donne
zz¯ = (x + iy)(x − iy) = x
2 + y
2 ∈ R
+ ,
qui est un nombre réel positif. Or, le nombre complexe z n’est pas nul équivaut à
dire que ses
deux coordonnées x et y ne sont pas toutes les deux nulles, c’est-à-dire x
2 + y
2 6= 0. En divisant
l’égalité précédente par x
2 + y
2
, on obtient
(x + iy) ×
x − iy
x
2 + y
2
| {z }
inverse de x+iy
= 1 .
On a donc trouvé l’inverse de z :
z
−1 =
x
x
2 + y
2
− i
y
x
2 + y
2
.
Définition (Module). — Le module d’un nombre complexe z est défini par le nombre
réel positif
|z| := √
zz¯ .
Avec la notion de module, on peut écrire la formule dans l’inverse de

Acb 5

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Acb 5

Transféré par

Informations du document

Description originale:

Titre original

Copyright

Formats disponibles

Partager ce document

Partager ou intégrer le document

Options de partage

Avez-vous trouvé ce document utile ?

Ce contenu est-il inapproprié ?

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Acb 5

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Remarque.

— Une fois n’est pas coutume, nous allons en donner la démonstration,

Vous aimerez peut-être aussi