TD : Applications linéaires

I Applications linéaires

Exercice 1. Dans chacun des cas suivants, dire si l’application f de E dans F est une application
linéaire.

1. f (x, y) = (x − y, x, 2x + y) 4. f (x, y, z, w, t) = (y + t, 0, 2x − 3y + 1)
p
2. f (x, y) = (y, x2 ) 5. f (x, y) = (x + y, x2 + y 2 )
3. f (x) = |x| 6. f (x, y) = (sin (x + y), x)

Exercice 2. Pour quelles valeurs du paramètre réel m l’application f est-elle linéaire avec f définie
par

∀(x, y, z) ∈ R3 , f (x, y, z) = (x − m + 4(y − m) + 5(z − m), 2(x + 2m) + 5(y + m) + 7z, 3x + 6y + 9z + 3m) .

II Noyau, image, injectivité, surjectivité, isomorphisme

Exercice 3. Pour chacune des applications linéaires suivantes (on ne demande pas ici de vérifier
qu’elles sont bien linéaires), décrire l’image et le noyau. En déduire si elles sont injectives, surjectives.
Déterminer celles qui sont des isomorphismes, des automorphismes.

1. f (x, y, z) = (x − 2y + z, x + y − 2z, −2x + y + z) 4. f (x, y, z) = (y, 0, x + z, 3x + y − 2z)

2. f (x, y) = (4x + y, x − y, 2x + 3y) 5. f (x, y) = (2x − 3y, x − y, x + 2y)
3. f (x, y, z) = (2x + y + z, x − y + 2z, x + 5y − 4z) 6. f (x, y, z) = (z, x − y, y + z)

Exercice 4. Soit E un espace vectoriel.

1. Soit f ∈ L(E) tel que : f 3 − 3f − 2IdE = 0L(E) . Prouver que f est un automorphisme de E et
exprimer f −1 en fonction de f .
2. Soit g un endomorphisme de E tel que : g 3 − g 2 = 0L(E) et tel que g 6= IdE . Montrer que g n’est
pas bijectif.

Exercice 5. Soit l’application f définie par : f (x, y, z) = (3y − 2z, −x, 4y + 3z). Montrer que f est un
automorphisme de R3 et déterminer sa réciproque.

III Applications linéaires et matrices

Exercice 6. Soient les vecteurs u = (1, 1), v = (2, −1) et w = (1, 4).
1. Montrer que (u, v) est une base de R2 .
2. Déterminer les coordonnées du vecteur w dans la base (u, v).
3. Montrer qu’il existe une unique application linéaire f : R2 → R2 telle que f (u) = (2, 1) et
f (v) = (1, −1). Déterminer f (x, y).
4. Pour quelles valeurs du paramètre réel a existe-t-il une application linéaire g : R2 → R2 telle
que : g(u) = (2, 1) g(v) = (1, −1) g(w) = (5, a)?

1
Exercice 7. On considère f et g deux
 endomorphismes
 de R2 de matrices relativement à la base
2 −4 0 1
canonique M = et N = .
1 −2 0 0
1. Déterminer les matrices de f ◦ f , g ◦ g, g ◦ f et f ◦ g.
2. Montrer que ker f = Im f et donner une base de Im f . Donner sans calcul une base de Im g.
3. On pose h = f + g. Calculer la matrice de h ◦ h. Conclusion ?

Exercice 8. Soit (e1 , e2 , e3 ) une base de R3 et λ un réel. Démontrer que la donnée de

f (e1 ) = e1 + e2 f (e2 ) = e1 − e2 f (e3 ) = e1 + λe3

définit un endomorphisme de R3 . Comment choisir λ pour que f soit surjective ? Injective ? Comment
choisir λ pour que f soit un automorphisme ?

Exercice 9. Soit E = R3 et (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de E. Soit f l’endomorphisme de E défini

par f (e1 ) = 2e2 + 3e3 , f (e2 ) = (2e1 − 5e2 − 8e3 ) et f (e3 ) = (−e1 + 4e2 + 6e3 ).
1. Donner l’expression de f (x, y, z)
2. Déterminer ker(f − IdE ) et en donner une base et la dimension.
3. Déterminer ker(f 2 + IdE ) et en donner une base et la dimension.
4. Montrer que ker(f − IdE ) ∩ ker(f 2 + IdE ) = {0E }.
5. Montrer que la réunion des deux bases précédentes constitue une base de E. Trouver l’image par
f 2 des vecteurs de cette base.

Exercice 10. On considère l’application linéaire définie par

∀(x, y, z) ∈ R3 , f (x, y, z) = (2y − 3z, −2x + 4y − 5z, z).

1. On note B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 . Déterminer la matrice M de f relativement à

B.
2. On pose : f1 = (−1, 1, 1), f2 = (1, 1, 0) et f3 = (1, 0, 0). Montrer que la famille C = (f1 , f2 , f3 )
est une base de R3 et déterminer la matrice N de f relativement à la base C.
3. On appelle matrice de passage d’une base B dans une base B 0 la matrice PB→B0 = MB0 ,B (IdR3 ).
Si un vecteur u a pour vecteur coordonnées X dans B et X 0 dans B 0 , on a X = P X 0 .
Déterminer P = PB→C matrice de passage de la base canonique à la base C.
4. Vérifier que : P N P −1 = M . Retrouver ce résultat sans calcul (remarquer que : P −1 = PC→B ).

Exercice 11. 1. Soit n ∈ N? et f ∈ L(Rn ) définie par

∀(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , f (x1 , . . . , xn ) = (x1 + · · · + xn , x2 + · · · + xn , . . . , xn ).

Montrer que f est bijective et donner l’expression analytique de sa réciproque.

 
1 ··· ··· 1
.. 
 0 ...

. 
2. En déduire que la matrice M =   .. . . ..  ∈ Mn (R) est inversible et donner son

..
 . . . . 
0 ··· 0 1
inverse.

Exercice 12. Soit h ∈ L(R3 ) défini par : h(x, y, z) = (−2x + y + 2z, −x + y + z, −2x + y + 2z).
1. Donner la matrice associée à f relativement à la base canonique de R3 .
2. Déterminer une base de ker h. Quel est le rang de h ? Donner une base de Im h.
3. Déterminer la matrice de h2 = h ◦ h. Quel est le rang de h2 ? Son noyau ? Son image ?
4. Calculer hn pour n ∈ N.

2
 3
Exercice
 13. On note  f l’endomorphisme de R défini par sa matrice relativement à la base canonique :
1 4 2
A =  0 −3 −2 . On pose u1 = (1, −1, 1), u2 = (1, 0, 0) et u3 = (0, −1, 2). Montrer que B =
0 4 3
(u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 et donner la matrice de f relativement à cette base. Que remarquez-vous ?
 
1 −1 −1
1
Exercice 14. Soit M = −2 0 −2  et f l’application linéaire canoniquement associée à M .
2
1 1 3
1. Soit u = (1, 2, −1). Montrer que (u) est une base de ker f .
2. Soient v = (1, 0, −1) et w = (1, −1, 0). Calculer f (v) et f (w).
3. Montrer que (u, v, w) est une base de R3 et donner la matrice de f relativement à cette base.
4. Montrer que Im f = ker(f − IdR3 ).

Exercice 15. Soit E = R3 et f ∈ L(R3 ) dont la matrice associée à la base canonique est
 
4 −1 5
A =  −2 −1 −1  .
−4 1 −5

1. Déterminer une base de ker f et une base de Im f .

2. Déterminer une base de ker f 2 et une base de Im f 2 .
3. Déterminer A3 . Que peut-on en déduire pour ker f 3 et Im f 3 ?

IV Applications linéaires et rang

Exercice 16. Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1 , e2 , e3 ) une base de E. Soit
f ∈ L(E) telle que : f (e1 ) = e1 − 2e2 + e3 , f (e2 ) = −2e1 + 3e2 + e3 et f (e3 ) = −2e2 + 6e3 .
1. Écrire la matrice de f relativement à la base B.
2. Déterminer le rang de f , une base et la dimension de son noyau, une base de l’image.

Exercice 17. Pour chacune des matrices suivantes, on note f l’application linéaire canoniquement
associé. Donner le rang, une base et la dimension du noyau et de l’image de f . On précisera lorsque f
est injective, surjective ou un automorphisme ou isomorphisme.
   
  1 1 1 1     −3 4 0
1 2 1  1 0 0 0  4 2 0 1 1 0  −2 4 7 
A =  −3 1 4  B=  1 1 0 0 C=
  −1 2 −3  D =  1 0 1  E = 
 1 0 −7


−3 4 −5 10 0 12 0 1 1
1 0 1 0 −1 4 0
 
    1 2 1
3 1 2 2 1 1 3  2 3 1 
F =  −1 0 1  G =  −1 −2 1 0  H=
 −1 −2
.
1 
1 1 0 2 3 −1 1
2 4 −1

Exercice 18. Déterminer le noyau et l’image des applications linéaires canoniquement associée aux
matrices suivantes (on a le droit de réfléchir avant de se lancer dans des calculs...)
 
0      
 1 
0 1 2 0 1 2 3 1 2
A=  1  B= 1 2 3 4 C =  1 0 1 0  D =  4 5 6  E =  3 4 .

0 1 2 0 1 0 0 5 6
0

3
  
0 1 1
Exercice 19. Soit A =  1 0 1  et f l’endomorphisme canoniquement associé à A.
1 1 0
1. Calculer le rang de f . En déduire le noyau et l’image de f .
2. f est-elle bijective ? Si oui, déterminer f −1 .
3. Déterminer les valeurs de λ pour lesquelles f − λIdR3 n’est pas injective. Pour chacune de ces
valeurs, déterminer ker(f − λIdR3 ).
4. Déterminer pour tout n ∈ N : (f + IdR3 )n .

V Exercices plus abstraits

Exercice 20. Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E.

1. Montrer que Im(g ◦ f ) ⊂ Im g et ker f ⊂ ker(g ◦ f ).
2. Montrer que : g ◦ f = 0L(E) ⇔ Im f ⊂ ker g.

Exercice 21. Soient E et F deux espaces vectoriels, soit f ∈ L(E, F ) et soit (x1 , . . . , xr ) une famille
de vecteurs de E. Montrer que
1. Si (f (x1 ), . . . , f (xr )) est libre, alors (x1 , . . . xr ) est libre.
2. Si (x1 , . . . , xr ) est libre et f injective, alors (f (x1 ), . . . , f (xr )) est libre.
3. Si (x1 , . . . xr ) est une famille génératrice de E et f surjective, alors (f (x1 ), . . . , f (xr )) est une
famille génératrice de F .
4. Si (f (x1 ), . . . , f (xr )) est une famille génératrice de F et f injective alors (x1 , . . . , xr ) est une
famille génératrice de E.
5. f est bijective si et seulement si l’image de toute base de E par f est une base de F .

Exercice 22. Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E tels que g ◦ f = f ◦ g.
Montrer que ker f et Im f sont stables par g.

Exercice 23. Soit f ∈ L(E, F ). Montrer que, pour tout λ ∈ R? , on a : Im(λf ) = Im f et ker(λf ) =
ker f .

Exercice 24. Soit f ∈ L(E). On pose f ◦ f = f 2 . Montrer que

ker(f 2 ) = ker f ⇔ ker f ∩ Im f = {0E }.

Exercice 25. Soit E = Rn et soit f ∈ L(E) telle que, pour tout u ∈ E, la famille (u, f (u)) soit liée.
1. Soit (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn . Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que : ∀i ∈ J1, nK,
f (ei ) = λei . (On pourra considérer e1 + ei ).
2. Montrer que f est soit identiquement nulle, soit une homothétie vectorielle.

Exercice 26. Soit f un endomorphisme de R3 . On suppose que f 3 = 0L(R3 ) et f 2 6= 0L(R3 ) .

1. Montrer qu’il existe un vecteur u ∈ R3 tel que (u, f (u), f 2 (u)) soit une famille libre de R3 .
2. Donner la matrice de f dans cette base.