Universit Paris-Dauphine DUMI2E, Algbre 1, 2009-2010

Exercices dalgbre 1 : premire partie

Mode demploi :
- bon nombre dexercices ne seront pas traits en TD.
- les exercices prcds de "Tous TD" ou "Cours" doivent tre faits dans tous les groupes de TD.
- les rsultats des exercices prcds de Cours" sont connatre et peuvent tre utiliss directe-
ment lors des contrles.
- les exercices prcds de () sont en gnral assez faciles et doivent tre prpars la maison.
Cest un strict minimum et il est conseill de prparer galement dautres exercices.
- il faut apprendre son cours avant dessayer de faire les exercices ; dautre part, il est plus forma-
teur de comprendre fond quelques exercices que den comprendre beaucoup moiti.
1 Exercices sur la logique et nigmes
Exercice 1.1 () (sens et ngation du OU et du ET)
Jean est blond et Julie est brune. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses, puis
les nier.
1. Jean est brun ou Jean est blond.
2. Jean est roux et Julie est brune.
3. Jean nest pas blond ou Julie est brune.
4. Il nest pas vrai que Jean nest pas blond.
Exercice 1.2 () (ngation du OU et du ET) Soit x un rel. Nier les propositions suivantes :
1. x = 1 ou x = 1
2. 0 x 1 (ce qui veut dire par dnition : 0 x et x 1)
3. x = 0 ou (x
2
= 1 et x 0)
Exercice 1.3 (noncs avec lensemble vide) Soit P la proposition Tous les habitants de la lune
sont des harengs". Nier P. On suppose que la lune na aucun habitant. La ngation de P est-elle vraie
ou fausse ? P est-elle vraie ou fausse ?
Exercice 1.4 () (ngation dnoncs avec quanticateurs) Nier, en franais courant, les propositions
suivantes :
1. Il y a au moins un tudiant qui aime le tennis.
2. Tous les tudiants aiment lire.
3. Dans toutes les matires, il y a au moins un tudiant qui travaille rgulirement.
4. Il y a un tudiant qui travaille rgulirement dans toutes les matires.
Exercice 1.5 (proprits du OU et du ET) Soient A, B, C, D des propositions. Montrer que :
(A ou B) et (C ou D) est quivalent (A et C) ou (A et D) ou (B et C) ou (B et D)
Application : trouver les couples de rels (x, y) tels que :
_
(x 1)(y 2) = 0
(x 2)(y 3) = 0
1
Exercice 1.6 (Tous TD) (comprhension et ngation dimplications) Dire si les propositions sui-
vantes sont vraies ou fausses, et les nier.
1. Pour tout rel x, si x 3 alors x
2
5
2. Pour tout entier naturel n, si n > 1 alors n 2
3. Pour tout rel x, si x > 1 alors x 2
4. Pour tout rel x, x
2
1 est quivalent x 1
(pour le 4., on pourra se rappeler quune quivalence est une double implication)
Exercice 1.7 () (ordre des quanticateurs, importance de lensemble auquel appartiennent les
lments) Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses ?
1. Pour tout entier naturel n, il existe un rel x tel que x > 2n
2. Il existe un rel x tel que, pour tout entier naturel n, x > 2n
3. Pour tout rel x, pour tout rel y, si x
2
= y
2
alors x = y.
4. Pour tout rel positif x, pour tout rel positif y, si x
2
= y
2
alors x = y.
Exercice 1.8 (Tous TD) (implications) Donner la rciproque et la contrapose des implications
suivantes (x est un rel, n un entier naturel)..
1. Si le pre Nol existe alors Nol est en juillet
2. Si x 3, alors x + 2 5.
3. Si n 1 alors n
2
> n.
Exercice 1.9 (Tous TD) Soit F lensemble des femmes. On note P(x, y) lexpression x est la lle
de y", o x et y sont des femmes. Ecrire les formules suivantes dans le langage des ensembles puis
en criture formalise, puis les nier en criture formalise.
1. Toute femme a au moins une lle.
2. Il y a au moins une femme qui a au moins une lle.
3. Toute femme a au moins une mre.
4. Il y a au moins une femme qui na aucune lle.
Par exemple, la premire proposition scrit "pour tout y dans F, il existe x dans F tel que x
est la lle de y" dans le langage des ensembles, et y F, x F, P(x, y) en criture formalise. Sa
ngation en criture formalise est : y F, x F, nonP(x, y)
Exercice 1.10 (comprhension dnoncs avec quanticateurs, importance de lordre). A luniversit
Deuxphine, il ny a que deux tudiants : Jean et Julie, et trois matires : algbre, analyse et conomie.
Les rsultats des tudiants sont les suivants.
Algbre Analyse Economie
Jean 12 5 16
Julie 14 15 7
Soit E = {Jean, Julie} lensemble des tudiants. Soit F = {algbre, analyse, conomie} len-
semble des matires. Pour tout x dans E et tout y dans F, on dsigne par P(x, y) lexpression :
ltudiant x a la moyenne (10 ou plus) dans la matire y".
Oralement, exprimer en franais courant les propositions suivantes. Dire en justiant si elles sont
vraies ou fausses.
2
1. x E, y F, P(x, y)
2. x E, y F, P(x, y)
3. x E, y F, P(x, y)
4. y F, x E, P(x, y)
5. y F, x E, nonP(x, y)
6. y F, x E, P(x, y)
Par exemple, la premire proposition se lit Pour tout lment x de E, pour tout lment y de F,
x a la moyenne dans la matire y". En franais courant, on dirait Tous les tudiants ont la moyenne
dans toutes les matires". Cest faux, puisque Jean na pas la moyenne en analyse.
Exercice 1.11 (Cours) Soit a un rel. Montrer que les propositions suivantes sont quivalentes :
P : Si (pour tout rel strictement positif , on a |a| < ) alors a = 0
Q : (Il existe un rel strictement positif tel que |a| ) ou a = 0
R : Si a = 0 alors (il existe un rel strictement positif tel que |a| )
Montrer que R est vraie. En dduire que P et Q sont vraies.
Exercice 1.12 Donner, en franais courant, un exemple de ou inclusif et un exemple de ou exclusif.
En mathmatiques, le ou est-il inclusif ou exclusif ?
Exercice 1.13 (Tous TD) (Un problme courant dans la rdaction des rcurrences) Supposons quon
veuille dmontrer par rcurrence que pour tout entier naturel n, on a

n
k=0
k = n(n+1)/2. Corrigez
la rdaction suivante :
Soit P(n) la proprit : pour tout n N,

n
k=0
k = n(n + 1)/2. P(0) est vraie car.... Supposons
P(n) vraie. Alors..., donc P(n + 1) est vraie. Donc, par rcurrence,

n
k=0
k = n(n + 1)/2 pour tout
entier naturel n.
Exercice 1.14 Une rcurrence errone. On considre des botes de crayons de couleurs. Pour
tout entier n 1, soit P(n) la proposition : "Dans une bote quelconque de n crayons de couleurs,
tous les crayons sont de la mme couleur". Le raisonnement suivant prouve-t-il que P(n) est vraie
pour tout entier naturel n 1 ? Sinon, o est lerreur ?
Dans une bote dun seul crayon, les crayons ont bien sr tous la mme couleur. Donc P(1) est
vraie.
Soit maintenant n dans N

. Prenons une bote de n +1 crayons. Si lon enlve provisoirement un

crayon, il reste n crayons qui, daprs P(n), sont tous de la mme couleur. Remettons le crayons mis
lcart et enlevons un autre crayon. Toujours daprs P(n), les n crayons restants sont tous de la
mme couleur. Mais comme les crayons qui ne sont pas sortis de la bote ont une couleur constante,
il sensuit que les n + 1 crayons ont mme couleur. Donc P(n + 1) est vraie. Donc, par rcurrence,
P(n) est vraie pour tout n 1.
Question subsidiaire : pour quelles valeurs de n limplication P(n) P(n + 1) est-elle vraie ?
3
Voyage sur lle de Puro-Pira ( faire la maison, les solutions seront mises en ligne).
Le type dnigme qui suit a t popularis par le logicien Raymond Smullyan, dont je vous conseille
vivement les livres. Vous vous trouvez sur une le un peu trange : lle de Puro-Pira. Vous savez qu part
vous, on y trouve deux catgorie de gens : les Purs, qui ne disent que des choses vraies, et les Pires, qui ne
disent que des choses fausses.
Alice et Bernard sont deux habitants de lle de Puro-Pira. Il se peut que ce soient deux Purs, deux Pires,
une Pure et un Pire,... Tout est possible. De plus, les questions sont indpendantes (donc il se peut que
Bernard soit un Pire dans la question 1 et un Pur dans la question 2). Sauf indication contraire, votre but est
de dterminer le type des habitants que vous rencontrez. Cela ne sera pas toujours possible, mais presque.
Pour vous aider, les rponses aux quatres premires questions sont donnes dans les notes de bas de page.
On rappelle que "Si P alors Q" veut dire "(non P) ou Q". Donc si un Pur dit "Si P alors Q", cest que
P est fausse ou Q est vraie. Si un Pire dit "Si P alors Q", cest que P est vraie et Q est fausse. Dautre part,
dans ce qui suit et comme toujours en mathmatiques, le "ou" est inclusif.
Rencontre 1. Bernard vous dit : "Nous sommes tous les deux des Pires". Quen dduisez-vous ?
1
Rencontre 2. Alice vous dit : "Je suis une Pure et Bernard est un Pire". Que peut-on en dduire ?
2
Rencontre 3. Alice vous dit : "Si je suis une Pure alors Bernard est un Pire". Quen dduisez-vous ?
3
Rencontre 4.
Alice : "Je suis une Pure ou Bernard est un Pur."
Bernard : "Nous ne sommes pas du mme type."
4
A vous de rsoudre les nigmes suivantes.
Question 5 :
a) trouver une phrase que ni un Pur ni un Pire ne peut dire ;
b) trouver une phrase qui peut-tre dite par un Pur mais aussi par un Pire.
Rencontre 6.
Alice : "Je ne suis ni une Pure ni une Pire."
Bernard "Cest vrai !"
Rencontre 7. Chlo est une habitante de lle de Puro-Pira.
Vous : "Est-ce que Bernard et Chlo sont tous les deux des Purs ?"
Alice : "Oui."
1
Rponse : un Pur ne pourrait pas dire a. Donc Bernard est un Pire. Donc ce quil dit est faux. Donc Alice et
Bernard ne sont pas tous les deux des Pires. Or Bernard est un Pire. Donc Alice est une Pure.
2
Rponse : la seule chose que lon puisse en dduire, cest quAlice et Bernard ne sont pas tous les deux des Purs.
3
Rponse : Alice est une Pure et Bernard est un Pire. Supposons quAlice soit une Pire. Alors ce quelle dit est
vraie (rappelez-vous que si P est fausse alors nonP est vraie, donc nonP ou Q est vraie, donc par dnition "si P alors
Q" est vraie). Donc Alice est une Pure. Contradiction. Notre supposition initiale tait donc fausse. Donc Alice est une
Pure. Donc ce quelle dit est vraie. Donc Bernard est un Pire.
4
Alice et Bernard sont tous les deux des Pires. En eet, supposons quAlice soit une Pure. Alors il y a deux cas :
1er cas, Alice et Bernard sont tous les deux des Purs. Alors Bernard dit la vrit, donc il ne peut pas dire "Nous
ne sommes pas du mme type". Contradiction. 2me cas, Alice est une Pure et Bernard est un Pire. Alors Bernard
ment toujours. Donc il ne peut pas dire "Nous ne sommes pas du mme type", puisque cest vrai. Contradiction. Donc
supposer quAlice est une Pure mne une contradiction. Donc Alice est une Pire. Donc ce quelle a dit est faux. Donc
Alice et Bernard sont tous les deux des Pires.
4
Vous : "Est-ce que Bernard est un Pur ?"
Alice : "Non."
Rencontre 8. Entre Alice, Bernard et Chlo, lun des trois est le chef du village.
Alice : "Cest moi le chef."
Bernard : "Cest moi le chef."
Chlo : "Au plus lun de nous trois dit la vrit."
Qui est le chef ?
Question 9 (dicile). Sur lle des Purs et des Pires, on a vol un cheval. Il y a 4 suspects (dont un
et un seul est coupable) : Alice, Bernard, Chlo et David. Les 3 premiers sont prsents au tribunal,
le 4me, David, na pas encore t pris. Le juge, qui est un Pur et raisonne parfaitement, pose la
question : "Qui a vol le cheval ?". Voici les rponses :
Alice : "Cest Bernard qui a vol le cheval."
Bernard : "Cest Chlo qui a vol le cheval."
Chlo : "Cest David qui a vol le cheval."
Alors, lun des 3 accuss dit : "Les 2 autres mentent !". Le juge rchit et aprs quelques instants, il
dsigne lun des 3 et lui dit : "Vous ne pouvez pas avoir vol le cheval, vous tes libre." Qui est-ce ?
Laudience se poursuit aprs le dpart de linnocent. Le juge demande lun des 2 si lautre est
un Pur et aprs quon lui a rpondu par OUI ou par NON, il sait qui a vol le cheval. Qui est-ce ?
Des Espions sur lle de Puro-Pira.
Lle de Puro-Pira a t inltre par des Espions. Ceux-ci peuvent dire la vrit, mentir, dire des
choses paradoxales : tout est possible. Vous savez que parmi Alice, Bernard et Chlo, il y a exacte-
ment un Pur, un Pire, et un Espion. Vous devez devinez qui est quoi.
Rencontre 10.
Alice : "Je suis une Pure."
Bernard : "Je suis un Pire."
Chlo : "Bernard nest pas un Pur."
Rencontre 11.
Alice : "Je suis une Pure."
Bernard : "Je suis un Pire."
Chlo : "Alice est une Espionne."
Rencontre 12.
Alice : "Je suis une Pure."
Bernard : "Alice est une Pure."
Chlo : "Si vous me posiez la question, je vous dirais quAlice est une Espionne."
5
2 Ensembles, raisonnement, indices
Exercice 2.1 () Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses. Justier.
a) x R, (x = |x| ou x = |x|)
b) (x R, x = |x|) ou (x R, x = |x|)
Exercice 2.2 () (ensembles : dnitions) Soient A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {3, 6, 2} et C = {1, 3}.
Calculer A B, B C, A B, B C, C
A
(B) et B\C.
Exercice 2.3 () (ensembles : dnitions) Soient A = {3, 5}, et B = {2, 5, 9}. Calculer A B et
B A.
Exercice 2.4 () (ensembles : dnitions) Soit E = {a} un ensemble un lement. Dterminer
P(E) et P(P(E)).
Exercice 2.5 (Cours) (proprits des ensembles) Soient A un ensemble, et X, Y et Z des parties de
A. Dmontrer les proprits suivantes : a) X(Y Z) = (XY ) (XZ) ; b) C
A
(C
A
(X)) = X ;
c) C
A
(X Y ) = C
A
(X) C
A
(Y ) ; d) X Y C
A
(Y ) C
A
(X)
Exercice 2.6 (une rdaction confuse conduit des erreurs) Que pensez-vous de la dmonstration
suivante ?
"Pour tout rel x, (x 2)(x 1) = 0 x = 2, x = 1, or x ne peut pas tre gal la fois 2 et
1, donc pour tout rel x, (x 2)(x 1) est non nul".
Exercice 2.7 () (ensembles, quivalence) Soient A et B des ensembles. Montrer que AB = A
A B = B.
Exercice 2.8 (Tous TD) (preuve par contrapose) Montrer par contrapose que pour tout entier
naturel x, si n
2
est pair alors n est pair.
Exercice 2.9 (Cours) Soit x un rel positif ou nul. Montrer que si pour tout rel y strictement
positif, x y, alors x = 0.
Exercice 2.10 (Tous TD) (preuve par labsurde) Soit n N

. Dmontrer par labsurde que n

2
+ 1
nest pas le carr dun entier.
Exercice 2.11 (Tous TD, au moins en partie) (preuve cyclique) Soit E un ensemble. Soient A
et B des parties de E. Soient

A et

B leur complmentaires dans E respectifs. Montrer que les 8
propositions suivantes sont quivalentes :
(i) A B (ii)A B = A (iii)

A

B =

A (iv)A

B =
(v)

A B = E (vi)

B

A (vii)

A

B =

B (viii)A B = B
Exercice 2.12 (Tous TD) (indices : dnitions) Pour tout entier relatif k, on pose a
k
= k
2
. Calculer
les sommes suivantes :
a)
4

k=2
a
k
; b)
2

k=4
a
k
; c)
3

k=1
a
2k5
; d)
3

k=1
ka
k
; e)

{kN|2k
3
100}
a
k
; f)

{kN|13k10}
a
2k5
Exercice 2.13 (Tous TD, au moins a) et c)) (rcurrences) Dmontrer par rcurrence les galits
suivantes :
a)
n

k=1
k =
n(n + 1)
2
, b)
n

k=1
k
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
, c)
n

k=1
k
3
=
_
n(n + 1)
2
_
2
.
6
Exercice 2.14 () (indices : dnitions) Pour tout entier relatif k, on pose A
k
= [k, k + 10]. Que
valent les unions et intersections suivantes ?
a)
9
_
k=3
A
k
; b)
_
kN
A
k
; c)
9

k=3
A
k
; d)

kN
A
k
Exercice 2.15 (Tous TD) (indices, union, intersection) Que valent les unions et intersections sui-
vantes ?
a)
_
xR
[sin x, 1 + sin x] ; b)
_
x[1,+[
_
1
x
, x
_
; c)

x[1,+[
_
1
x
, x
_
; d)

x[1,+[
_
1
x
, x
_
Exercice 2.16 (Tous TD) (indices, proprits de lunion et de lintersection) Soient A un ensemble,
I un ensemble dindices et (B
i
)
iI
une famille densembles indexe par I (cest dire, la donne pour
tout i dans I dun ensemble B
i
). Montrer que :
A
_

iI
B
i
_
=

iI
(A B
i
) et A
_
_
iI
B
i
_
=
_
iI
(A B
i
)
Exercice 2.17 (ensembles) Soient A un ensemble et X, Y , Z des parties de A.
a) Donner un exemple o : X Y = X Z et Y = Z.
b) Donner un exemple o : X Y = X Z et Y = Z.
c) Dmontrer que
(X Y = X Z et X Y = X Z) = Y = Z .
Exercice 2.18 (ensembles, quanticateurs) On considre les ensembles
E =
_
x [0, 1], n N, x <
1
n + 1
_
et F =
_
x [0, 1], n N, x <
1
n + 1
_
Lensemble E a-t-il un, une innit, ou aucun lment ? Mme question pour lensemble F.
Exercice 2.19 Pour tout entier naturel p, on note pN lensemble des entiers relatifs de la forme pn
avec n dans N.
a) Montrer que pour tous entiers naturels p et q,
pN qN p qN
b) Montrer que pour tous entiers naturels p et q,
pN = qN p = q
Exercice 2.20 Soit E un ensemble et A, B, C des parties de E. Soit

A le complmentaire de A
dans E. Montrer les proprits suivantes :
a) (A\B)\C = A\(B C) b) A (

A B) = A B
Exercice 2.21 (Dirence symtrique de deux parties.) Soit E un ensemble. Pour A et B des parties
de E, on note AB lensemble (A B)\(A B). Soient A, B et C des parties de E. Montrer que :
7
AB = (A\B) (B\A)
A = A, AB = BA, A(BC) = (AB)C
A (BC) = (A B)(A C)
Exercice 2.22 (note aux chargs de TD : les notations min et max ne sont pas forcments connus ce
stade)Soit (a
ij
)
1in,1jp
une famille de rels. On dnit
A = min
1in
( max
1jp
a
ij
), B = max
1jp
( min
1in
a
ij
)
Montrer que B A.
Exercice 2.23 (dicile) Soit (A
ij
)
(i,j)IJ
une famille de parties dun ensemble E.
Comparer

iI
_
_
jJ
A
ij
_
et
_
jJ
_

iI
A
ij
_
.
Exercice 2.24 Montrer que :
n N, n 4 n! 2
n
.
Exercice 2.25 (dirence entre lensemble vide, et lensemble contenant uniquement lensemble
vide). Soit E = {0, 1, 2}. Quel est lensemble des solutions des problmes suivants ?
Problme 1 : quels sont les sous-ensembles de E qui ont au moins 4 lments distincts ?
Problme 2 : quels sont les sous-ensembles de E inclus dans C
E
(E) ?
Exercice 2.26 () (rindexation dune somme) : Soient x un rel et n un entier naturel. Calculer
la somme

n+2
k=2
x
n+2
.
3 Applications
Exercice 3.1 () Soient A = {0, 1, 2} et B = {0, 1}. Donner des exemples dapplications de A dans
B. Combien y-a-t-il de telles applications ? Mmes questions pour les applications de B dans A.
Exercice 3.2 () Soit lapplication f : R R donne par : pour tout rel x, f(x) = x
2
. Dterminer :
a) f([1, 1]), f([0, 3[), f(R) et f(R

) ; b) f([2, 0] [0, 2]) et f([2, 0]) f([0, 2]) (comparez !) ;

c) f
1
([0, 3[), f
1
([10, 3[) et f
1
(R

).
Exercice 3.3 (Tous TD) Soit lapplication g : R R donne par : pour tout rel x, g(x) = sin x.
Sans justier, donner :
a) g([0, 2]), g(R), g([0, 10[) et g([0,

2
[) ; b) g
1
([2, +[), g
1
(R), g
1
([1, 1]) et g
1
([1, 1[).
Exercice 3.4 () Les applications suivantes sont-elles bien dnies ? Si oui, sont-elles injectives ?
surjectives ? bijectives ?
1) f : {0, 1, 2} {1, 8, 1, 24} telle que f(0) = 1, f(1) = 24, f(2) = 1.
2) f : Z Z
n n
3) f : N N
n n + 1
4) f : N N
n n 1
5) f : N {1, +1} qui tout n de N associe 1 si n est pair, et 1 si n est impair.
8
Exercice 3.5 () Pour chacune des applications 1), 2), 3) et 5) de lexercice prcdent, calculer :
f({2}), f({0, 2}), f
1
({1}), f
1
({1, 1}).
Exercice 3.6 () Les applications suivantes sont elles-bien dnies ? Si oui, sont-elles injectives,
surjectives, bijectives ?
1) f
1
: R R
x x
2
2) f
2
: R R
+
x x
2
3) f
3
: R
+
R
x x
2
4) f
4
: R
+
R
+
x x
2
5) f
5
: R
+
R

x x
2
Exercice 3.7 Mme exercice pour les applications suivantes :
1) g
1
: R N
x x
2
2) g
2
: Z N
x x
2
3) g
3
: N R
x x
2
4) g
4
: R N
x x
2
Exercice 3.8 (Tous TD) Soient E et F de parties de E. Soit f : E F une application. Soit y un
rel. Expliquer (informellement) comment lon trouve partir du graphe de f les solutions dans E
de lquation f(x) = y. Comment lit-on sur le graphe de f que f est injective ? surjective ? bijective ?
(Attention : ceci a pour but de vous faire comprendre les notions dinjectivit, de surjectivit et de bijectivit.
Mais rpondre lors dun examen : "lapplication f est injective car son graphe a telle proprit", sans prouver
rigoureusement que le graphe a cette proprit, ne vous vaudra pas tous les points.)
Exercice 3.9 Soit f une application de A vers B. Dmontrer que A =

yB
f
1
({y}).
Exercice 3.10 (Cours) Soit f une application de E vers F. Soient A et A

des parties de E. Soient

B et B

des parties de F. Montrer que :

a) f(A A

) = f(A) f(A

) ; b) f(A A

) f(A) f(A

) ;
c) f
1
(B B

) = f
1
(B) f
1
(B

) ; d) f
1
(B B

) = f
1
(B) f
1
(B

).
Donner un exemple montrant que linclusion du b) peut tre stricte.
Exercice 3.11 Soit f une application de E vers F. Soient A E, B F. Montrer que A
f(f
1
(A)) et B f(f
1
(B)). Donner des exemples montrant quil ny a pas en gnral galit.
Exercice 3.12 (Tous TD) (retour sur la logique) Soient f et g deux applications de R dans R.
On suppose que pour tout rel x, f(x) et g(x) sont positifs. Soit A = {x R, f
2
(x) < g
2
(x)}. On
considre les deux propositions suivantes :
P1 : Pour tout x dans A, f(x) < g(x)"
P2 : Il existe x dans A tel que f(x) < g(x)"
a) La proposition P1 est-elle forcment vraie (cest dire vraie pour toutes fonctions f et g
satisfaisant les hypothses de lnonc) ?
b) La proposition P2 est-elle forcment vraie ? Si oui, le prouver ; sinon, donner un contre-exemple
(cest dire un exemple dapplications f et g pour lesquelles la proposition est fausse).
c) Soit E un ensemble et pour tout x dans E, soit P(x) une proposition. On suppose que la
proposition "Pour tout x dans E, P(x)" est vraie. Donner une condition ncessaire et susante sur
E pour que la proposition "Il existe x dans E tel que P(x)" soit vraie.
Exercice 3.13 (Cours) Soient E et F des ensembles (nis ou innis). Montrer quil existe une
injection de E vers F si et seulement si il existe une surjection de F vers E.
9
Exercice 3.14 Soit f une application de E vers F. Dmontrer les quivalences suivantes :
f est injective A E, A = f
1
(f(A))
f est surjective B F, B = f(f
1
(B))
Exercice 3.15 Soit f une application de E vers F et A une partie de E.
a) Dmontrer quil ny a en gnral pas dinclusion entre f(C
E
(A)) et C
F
(f(A)).
b) Toutefois, dmontrer : f bijective A P(E), f(C
E
(A)) = C
F
(f(A)).
Exercice 3.16 (Tous TD) (Fonction caractristique)
Soit E un ensemble. A toute partie A de E on associe lapplication f
A
de E dans {0, 1} dnie
par f
A
(x) = 1 si x A et f
A
(x) = 0 sinon. Lapplication f
A
est appele fonction caractristique de A.
Soient A et B deux parties de E. Exprimer en fonction de f
A
et de f
B
les fonctions caractristiques
de C
E
(A), A B, A B et A\B.
Exercice 3.17 (Tous TD) Lapplication
g : R R
x xe
x
est-elle injective, surjective ? (On pourra avec prot construire le tableau de variation de g et utiliser
des rsultats danalyse). Calculer g
1
({e}), g
1
({1}), g(R
+
) et g
1
(R
+
).
Exercice 3.18 Soient f : R R et g : R R des applications. On considre lapplication
h : R R
2
x (f(x), g(x))
a) Montrer que si f ou g est injective, alors h est injective.
b) On suppose f et g surjectives. A-t-on forcment h surjective ?
c) Montrer que si h est surjective, alors f et g sont surjectives.
d) Donner un exemple o h est injective mais ni f ni g ne sont injectives.
Exercice 3.19 () Soient
f : R

R
+
x x
2
et
h : R

R
+
x
_
|x|
a) lapplication h f est-elle bien dnie ?
b) Prouver que f et h sont bijectives, et dterminer leur rciproques.
Exercice 3.20 () Soient E, F, G des ensembles. Soient f : E F et g : F G des applications.
a) Montrer que si g f est injective et f est surjective, alors g est injective.
b) Montrer que si g f est surjective et g injective, alors f est surjective.
Exercice 3.21 () Lapplication
f : N N N
(n, p) n + p
est-elle injective ? surjective ? bijective ? Dterminer f
1
({3}).
10
Exercice 3.22 Soient E, F, G, H des ensembles et f, g, h des applications telles que : E
f
F
g

G
h
H
Montrer que si g f et h g sont bijectives, alors f, g et h sont bijectives.
Exercice 3.23 Lapplication
f : R R R R
(x, y) (x + y, xy)
est-elle injective, surjective ? bijective ?
Exercice 3.24 () Soit f : R R une application strictement monotone. Montrer que f est
injective. Donner un exemple dapplication de R dans R injective mais non monotone.
Exercice 3.25 () Sans justier, pour chacune des applications suivantes, dire si elle est injective,
surjective, bijective, ni injective ni surjective.
1) f
1
: R R
x sin x
2) f
2
: R [1, 1]
x sin x
3) f
3
: [

2
,

2
] R
x sin x
4) f
4
: [

2
,

2
] [1, 1]
x sin x
Exercice 3.26 Sans justier, pour chacune des applications suivantes, dire si elle est injective, sur-
jective, bijective, ni injective ni surjective.
1) g
1
: [0, ] [1, 1]
x cos x
2) g
2
: [0,

2
] [1, 1]
x cos x
3) g
3
: ]

2
,

2
[R
x tanx
4) g
4
: ]

2
,

2
[]

2
,
3
2
[R
x tanx
Exercice 3.27 a) Existe-t-il une application f : N N strictement dcroissante ?
b) Donner un exemple dapplication f : N N injective mais non strictement croissante.
c) Donner un exemple dapplication f : N N involutive (f f = Id
N
) mais dirente de
lidentit.
d) (relativement dicile) Soit f : N N une application injective. Montrer que f(n) +
quand n +.
Exercice 3.28 (relativement dicile) Soit E un ensemble et f : E E une application telle que
f f = f. Montrer que f est injective ou f est surjective si et seulement si f = Id
E
.
Exercice 3.29 (relativement dicile) Soit E un ensemble et f : E E une application telle que
f f f = f. Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective.
4 Relations
Exercice 4.1 () (relations) On considre la relation R dnie sur R par : pour tous rels x et y,
xRy ssi x+y 10. Cette relation est-elle reexive ? transitive ? symtrique ? antisymtrique ? totale ?
Est-ce une relation dquivalence ? Est-ce une relation dordre
Exercice 4.2 (cours) (quivalence) Soient E et F des ensembles. Soit f : E F une application.
Soit R la relation sur E dnie par : pour tous x et y dans E, xRy ssi f(x) = f(y). Montrer que R
est une relation dquivalence.
Exercice 4.3 (Tous TD) (quivalence) Montrer que les relations suivantes sont des relations dqui-
valence (on pourra utiliser lexercice prcdent). Prciser les classes dquivalence.
a) sur R, xRy cos x = cos y ;
b) sur R, xRy (cos x = cos y et sin x = sin y) ;
c) sur R, xRy E(x) = E(y), o E(x) dnote la partie entire de x;
d) sur Z Z

, (p, q)R(p

, q

) pq

= p

q ;
11
Exercice 4.4 (Tous TD) (quivalence) On considre une partition P dun ensemble E, cest--dire
une famille (A
i
)
iI
de sous-ensembles de E telle que :
E =
iI
A
i
et i I, j I, i = j A
i
A
j
=
On dnit alors la relation R sur E par : xRyi I, (x A
i
et y A
i
)
Montrer quil sagit dune relation dquivalence. Quelles en sont les classes dquivalence ?
Exercice 4.5 (Tous TD) (quivalence) Notation : si n et p sont des entiers relatifs, on dit que n
divise p, et on note n|p, sil existe un entier relatif k tels que p = kn. Par exemple, 6 divise 12 et 30,
mais ne divise pas 10.
Soit n N

. Soit R la relation sur N dnie par : pour tous entiers naturels p et q,

pRq n|p q
(on dit alors que p est congru q modulo n). Montrer que R est une relation dquivalence et que
pRq si et seulement si le reste de la division euclidienne de p par n est le mme que le reste de la
division euclidienne de q par n. Quelles sont les classes dquivalences de la relation R?
Exercice 4.6 (relations) Soit E un ensemble. Dterminer toutes les relations sur E qui sont la
fois des relations dquivalence et des relations dordre.
Exercice 4.7 (ordre) Soient A et B deux parties non vides de R (muni de la relation dordre usuelle)
admettant chacune une borne suprieure.
i) Montrer que A B a une borne suprieure et que :
sup(A B) = max{sup A, sup B}
ii) On dnit
A + B = {x R, (a, b) A B, x = a + b}
Montrer que A + B a une borne suprieure et que
sup(A + B) = sup A + sup B
Exercice 4.8 (Tous TD) (ordre) On munit R
2
des deux relations binaires :
(x, y)R
1
(x

, y

)x x

et y y

(ordre produit)
(x, y)R
2
(x

, y

)x < x

ou (x = x

et y y

) (ordre lexicographique)
On admet que ce sont des relations dordre.
i) Soit (a, b) donn dans R
2
. Identier et reprsenter les ensembles :
X
ab
= {(x, y) R
2
, (x, y)R
1
(a, b)}
Y
ab
= {(x, y) R
2
, (x, y)R
2
(a, b)}
ii) Soit A = {(10, 3), (0, 0), (1, 1), (3, 1), (1, 1), (7, 12), (20, 20)}.
a) Pour lordre produit : ordonner (classer) les lments de A (on pourra reprsenter cet ordre
en faisant une che dun lment x un lment y de A si et seulement si x est plus petit que y) ;
quels sont les lments maximaux de A? les lments minimaux ? A a-t-il un plus grand lment ?
une borne suprieure ? un plus petit lment ? une borne infrieure ?
b) Mme questions pour lordre lexicographique.
iii) Montrer que dans R
2
muni de lordre produit, toute partie non vide et majore admet une borne
suprieure. Est-ce vrai pour lordre lexicographique ? (on pourra considrer la partie B = R

R).
12
Exercice 4.9 () (ordre) On admet que linclusion est une relation dordre sur lensemble des parties
de R. Soit
A = {[0, 1], [3, 10], R
+
, Z, {4, 7}, N} .
Ordonner les parties de A suivant la relation dinclusion. Dterminer lensemble des minorants (resp.
majorants) de A. Quels sont les lments maximaux de A? les lments minimaux ? Lensemble A
a-t-il une borne infrieure ? un plus petit lment ? une borne suprieure ? un plus grand lment ?
Exercice 4.10 (Tous TD) Montrer que si un ensemble E a n lments, alors P(E) a 2
n
lments.
Exercice 4.11 (prordre) Soit E un ensemble qui a au moins deux lments. Sur lensemble des
parties de E on dnit la relation R par : pour tous A et B dans P(E), ARB si et seulement sil
existe une injection de A vers B. Montrer que R est une relation de prordre.
Exercice 4.12 Donner un exemple de partie dun ensemble ordonn qui na aucun lment maximal.
Exercice 4.13 Soit (E, ) un ensemble ordonn. Soit A une partie de E. Montrer que si A a un
plus grand lment alors A a un et un seul lement maximal. Plus dicile : la rciproque est-elle
vraie ?
On munit N de la relation de divisibilit dnie par : x, y N N,
x|y k N, y = kx
On admet que | est une relation dordre sur N.
Calculer sils existent le plus grand lment, le plus petit lment, lensemble des majorants et
des minorants des sous-ensembles suivants :
A = {4, 8, 12}, B = {2, 3}, C = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, D = {2, 3, 6, 9, 18}
5 Cardinaux, dnombrement
Exercice 5.1 (Cours : le rsultat est connatre, pas la preuve) Soit E un ensemble ni ou inni.
Montrer quil existe une injection de E dans P(E). Montrer quil nexiste pas de surjection de E
dans P(E) (indication : soit f : E P(E) une application. Considrer lensemble A = {x E, x /
f(x)}.). En dduire que P(N) nest pas dnombrable.
Exercice 5.2 () (ensembles innis) : on note 2N lensemble des entiers naturels pairs. Montrer que
lapplication
f : N 2N
n 2n
est bijective.
Exercice 5.3 (Tous TD) Exercice (ensembles innis) : soit g : N Z lapplication donne par
f(n) = n/2 si n est pair, et g(n) = (n + 1)/2 si n est impair. Montrer que lapplication g est
bijective.
Exercice 5.4 (Tous TD) Exercice (ensembles innis) : en admettant le rsultat des deux exercices
prcdents, dterminer une bijection entre 2N et Z.
Exercice 5.5 (une runion dnombrable densembles dnombrables est dnombrable) On admet que
N N est dnombrable. Soit I un ensemble dnombrable. Pour tout i dans I, soit A
i
un ensemble
dnombrable. Montrer que
_
iI
A
i
est dnombrable.
13
Exercice 5.6 Avec trois chires distincts donns dirents de 0 combien de nombres distincts peut-
on former ?
Exercice 5.7 (Tous TD) Calculer le coecient de x
2
y
3
z
5
dans (x + 2y + 3z)
10
(on pourra utiliser
deux fois de suite la formule du binme de Newton)
Exercice 5.8 () Dans un jeu de 32 cartes, on tire une main de 5 cartes. Quelle est le nombre de
mains contenant la dame de coeur ? exactement une dame ? au moins une dame ?
Exercice 5.9 Soit n un entier naturel plus grand que 3. Dterminer le nombre de diagonales dun
polygone convexe de n cts (une diagonale dun polygone relie deux sommets non conscutifs de
celui-ci).
6 Complexes
Si besoin est, on pourra admettre le rsultat suivant, qui sera dmontr dans la suite du cours : si
une application f : C C est une fonction polynme, alors il existe un complexe z tel que f(z) = 0.
Exercice 6.1 Montrer que si a et b sont deux nombres complexes de module 1 tels que ab = 1,
alors
a + b
1 + ab
est rel.
Exercice 6.2 () Que dit la formule de Moivre ? Soit R et n N. Calculer

n
k=0
cos(k),

n
k=0
sin(k),

n
k=0
C
k
n
cos(k) (indication : cos(k) = Re
_
e
ik
_
). Calculer

n
k=n
e
ik
.
Exercice 6.3 (Tous TD) Soit x R et n N

. Calculer

n
k=1
cos(x + (2k/n)) et

n
k=1
sin(x +
(2k/n)).
Exercice 6.4 (Tous TD) Soit R. Dvelopper (cos + i sin )
n
; en dduire que cos(n) est un
polynme en cos et calculer ce polynme pour n = 1, 2, 3, 4.
Exercice 6.5 (Tous TD) Soit U

le cercle unit de C priv du point 1 :

U

= {z C, |z| = 1, z = 1}
On considre lapplication :
f : R C
x f(x) =
1ix
1+ix
i) Calculer, pour tout rel x, le module de f(x). Lapplication f est-elle surjective ? injective ?
Peut-on avoir f(x) = 1 ?
ii) Soit g lapplication de R dans U

telle que : x R, g(x) = f(x). Montrer que g est bijective.

iii) On considre la relation R dnie sur U

par :
zRt si et seulement si g
1
(z) g
1
(t)
R est-elle rexive ? transitive ? une relation dordre ?
Exercice 6.6 () Ecrire, sous forme dune application de C vers C, les transformations gomtriques
suivantes :
a) rotation de centre A(1 + i), dangle /4
b) homothtie de centre B(2i), de rapport 1/3
c) symtrie orthogonale par rapport la droite y = a , a R.
14
Exercice 6.7 Soit f lapplication de C

= C\{0} dans C dnie par :

z f(z) =
ln|z|
z
2
.
i) On pose z = re
it
, avec r R
+
\{0} et t R. Calculer le module et largument de z

= f(z).
Lapplication f est-elle injective ?
ii) Soit R un rel strictement positif. On pose E = {z C

, |z| = R}. Dterminer limage directe

f(E) de E par f. Donner une interprtation gomtrique de ce rsultat.
Exercice 6.8 Dmontrer lgalit du paralllogramme :
(a, b) C, |a + b|
2
+|a b|
2
= 2(|a|
2
+|b|
2
)
Exercice 6.9 (Tous TD) Soient r
1
la rotation de centre A(1 i), dangle /2 et r
2
la rotation de
centre B(1 + i), dangle /2.
a) Dnir les transformations complexes correspondant r
1
et r
2
.
b) Calculer r
1
r
2
et r
2
r
1
et les caractriser gomtriquement.
c) Calculer r
1
r
2
r
1
1
et la caractriser gomtriquement.
Exercice 6.10 Trouver lensemble des nombres complexes z tels que les points daxes z, z
2
, z
3
soient aligns.
Exercice 6.11 Reprsenter gomtriquement lensemble suivant : {z C, |z i| +|z + 1| = 2}
Exercice 6.12 Soit f lapplication de C

dans C

dnie par :
z C

, f(z) =
2
z
.
a) Montrer que : z C

, f f(z) = z.
b) f est-elle bijective ? Si oui, calculer f
1
.
c) Soit R un rel strictement positif, et C le cercle {z C, |z| = R}. Calculer f(C).
d) Quel est lensemble {z C

, f(z) = z} ?
Exercice 6.13 Soit f lapplication de C dans C qui tout nombre complexe z = x + iy, avec x et
y rels, associe :
f(z) =
1
2
(e
y
e
ix
+ e
y
e
ix
).
a) Montrer que pour tout z rel, f(z) = cos(z).
b) Soit z dans C. Montrer que f(z +2) = f(z), que f(z) = f(z), et que f(2z) = 2(f(z))
2
1.
c) f est-elle injective ?
d) Calculer f
1
({0}).
Exercice 6.14 (Tous TD) Soit f lapplication de C

dans C dnie par :

z C

, f(z) =
1
2
_
z +
1
z
_
.
a) Lapplication f est-elle injective ? surjective ?
b) Calculer limage rciproque de {i} par f.
c) Dterminer limage directe du cercle unit U par f.
15
d) On note H le complmentaire dans C du segment [1, 1], et on note D lensemble {z C

, |z| <
1}. Montrer que lon peut dnir lapplication :
g : D H
z f(z)
e) Montrer que g est bijective. ( On pourra remarquer que le produit des racines de lquation
z

=
1
2
_
z +
1
z
_
est 1).
Exercice 6.15 () Calculer les racines carres de 2 + 2

3i, puis celles de 9i.

Exercice 6.16 (Tous TD) Rsoudre lquation z
2
+ (1 i

3)z (1 + i

3) = 0.
a) Exprimer les racines z
1
et z
2
en fonction des nombres complexes a = (

3 + i)/2 et b =
(1 + i

3)/2.
b) Dterminer le module et largument de ces racines.
En dduire les valeurs de cos(5/12), sin(5/12), cos(11/12) et sin(11/12).
Exercice 6.17 () Soit une racine carre du nombre complexe z. Trouver les racines carres de
z, (1 + i)z et z
3
en fonction de .
Exercice 6.18 (Tous TD) Rsoudre dans C lquation : z
6
+ z
3
+ 1 = 0 .
Exercice 6.19 Soit n N. Rsoudre lquation dinconnue x R :
(x + i)
n
= (x i)
n
7 Divers
Exercice 7.1 (Cours) (moyenne arithmtique et moyenne gomtrique) Soient a et b des rels po-
sitifs. Montrer que

ab
a + b
2
(on dit que la moyenne gomtrique est infrieure la moyenne arithmtique).
Exercice 7.2 (gnralise le rsultat de lexercice prcdent)
a) Montrer que : x > 1, ln(1 + x) x, puis que : x > 0, lnx x 1.
b) Soient n N

et x
1
, . . . , x
n
, x
n+1
des rels positifs tels que x
1
+ +x
n
+x
n+1
n+1. Montrer
que :
x
1
+ ... + x
n
n, o = 1 +
1
n

x
n+1
n
.
c) Dmontrer par rcurrence : n N

, x
1
R
+
, ..., x
n
R
+
,
x
1
+ + x
n
n x
1
x
2
x
n
1
d) Soient n N

et x
1
, . . . , x
n
des rels positifs. Comparer leur moyenne gomtrique (x
1
x
2
x
n
)
1
n
et leur moyenne arithmtique
1
n
(x
1
+ + x
n
).
16