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Chapitre : Applications linéaires

Dans tout ce chapitre, K est un corps commutatif. En pratique, K sera R ou C.

I) Généralités
a) Définitions
K
Définition 1. Soient E et F deux -espaces vectoriels. Une application f : E −→ F est dite
linéaire si pour tout (u, v) ∈ E 2 et λ ∈ , K
f (u + λv) = f (u) + λf (v).

L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E, F ).

Définition 2.
– Si F = E, alors les applications linéaires de E dans lui-même sont appelées endomorphismes
de E et leur ensemble est noté L (E).
– Si F = K, alors les applications linéaires de E dans K sont appelées formes linéaires sur E.
Exemples.
1. En analyse, limite d’une suite convergente, intégrale d’une fonction continue, dérivation.
2. Soient E un K-espace vectoriel et λ ∈ K. L’homothétie vectorielle hλ : E −→ E est linéaire
x 7−→ λx
(h0 est l’application nulle et h1 = IdE ).
K
3. L ( ) n’est constitué que des homothéties de K.
4. Pour X 6= ∅ et a ∈ X, l’application Φ : F (X, K) −→ K est linéaire.
f 7−→ f (a)
5. Les applications f : R
−→2
R et g : 2
R
−→ 2
R sont linéaires.
(x, y) 7−→ 2x + 3y (x, y) 7−→ (x + 2y, 3x − y)
6. Dans un plan orienté muni d’une base orthonormale, la rotation vectorielle d’angle θ :
 0
x = x cos θ − y sin θ,
y 0 = x sin θ + y cos θ,
est linéaire.

b) Propriétés élémentaires
Propriétés. Soient f : E −→ F et g : F −→ G deux applications linéaires où E, F , G sont des
K-espaces vectoriels.
1. f (0E ) = 0F .

Démonstration. f (0E ) = f (0E ) + f (0E ), d’où en simplifiant par le vecteur f (0E ), on en déduit
que f (0E ) = 0F .
1
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Applications linéaires 2

2. Si E 0 est un sous-espace vectoriel de E, alors l’image directe f (E 0 ) est un sous-espace vectoriel

de F .

Démonstration.
– f (E 0 ) ⊂ F et f (E 0 ) 6= ∅ car E 0 est non vide.
– Soient (y, y 0 ) ∈ (f (E 0 ))2 et λ ∈ K. Il existe (x, x0) ∈ E 02 tel que y = f (x0) et y0 = f (x0).
y + λy 0 = f (x) + λf (x0 ) = f (x 0 0
| +{zλx}) ∈ f (E )
∈E 0

car E 0 est un sous-espace vectoriel de E.

On en déduit que f (E 0 ) est un sous-espace vectoriel de F .

3. Si F 0 est un sous-espace vectoriel de F , alors l’image réciproque f <−1> (F 0 ) est un sous-espace

vectoriel de E.

Démonstration.
– f <−1> (F 0 ) ⊂ E et f <−1> (F 0 ) 6= ∅ car f (0E ) = 0F ∈ F 0 , d’où 0E ∈ f <−1> (F 0 ).
– Soient (x, x0 ) ∈ (f <−1> (F 0 ))2 et λ ∈ K.
f (x + λx0 ) = f (x) +λ f (x0 ) ∈ F 0
|{z} | {z }
∈F 0 ∈F 0

car F 0 est un sous-espace vectoriel de F .

On en déduit que f <−1> (F 0 ) est un sous-espace vectoriel de E.

4. g ◦ f : E −→ G est linéaire. On en déduit que ◦ est une L.C.I. sur L (E).

Démonstration. Soient (u, v) ∈ E 2 et λ ∈ K.

(g ◦ f )(u + λv) = g(f (u + λv)) = g(f (u) + λf (v)) = g(f (u)) + λg(f (v)) = (g ◦ f )(u) + λ(g ◦ f )(v),

d’où g ◦ f est linéaire.

Définition 3. Un endomorphisme f de E est dit stable sur un sous-espace vectoriel A de E si

f (A) ⊂ A. Dans ce cas, la restriction f|A induit un endomorphisme de A qu’on notera encore f|A .

c) Structures algébriques de L (E, F ) et L (E)

Dans L (E, F ), on utilise l’addition et la multiplication par les scalaires définies sur F (E, F ).
Pour (f, g) ∈ (F (E, F ))2 et λ ∈ , K
f + g : E −→ F et λ · f : E −→ F
x 7−→ f (x) + g(x) x 7−→ λf (x).

Théorème 1. L (E, F ) est un K-espace vectoriel. En particulier, L (E) est un K-espace vectoriel.

Démonstration. On va prouver que L (E, F ) est un sous-espace vectoriel de F (E, F ).

– L (E, F ) ⊂ F (E, F ) et L (E, F ) 6= ∅ car l’application nulle est linéaire.
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Applications linéaires 3

– Soient (f, g) ∈ (L (E, F ))2 et λ ∈ K. Pour (u, v) ∈ E 2 et α ∈ K,

(f + λg)(u + αv) = f (u + αv) + λg(u + αv),
(f + λg)(u + αv) = (f (u) + αf (v)) + λ(g(u) + αg(v)),
(f + λg)(u + αv) = (f (u) + λg(u)) + α(f (v) + λg(v)),
(f + λg)(u + αv) = (f + λg)(u) + α(f + λg)(v).

Donc f + λg ∈ L (E, F ).
On conclut que L (E, F ) est un sous-espace vectoriel de F (E, F ).

Théorème 2. (L (E), +, ◦) est un anneau, en général, non commutatif et non intègre.

Démonstration. On sait déjà que :

– (L (E), +) est un groupe abélien car L (E) est un espace vectoriel.
– ◦ est une L.C.I. sur L (E).
– ◦ est associative.
– ◦ admet un élément neutre dans L (E) car IdE est linéaire.
Il reste à prouver que ◦ est distributive à droite et à gauche par rapport à l’addition. Soit (f, g, h) ∈
(L (E))3 . Pour x ∈ E, par définition des lois,

[(f + g) ◦ h](x) = (f + g)(h(x)) = f (h(x)) + g(h(x)) = (f ◦ h)(x) + (g ◦ h)(x),

d’où (f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h. Puis,

[h ◦ (f + g)](x) = h((f + g)(x)) = h(f (x) + g(x)),

or h est linéaire, donc

[h ◦ (f + g)](x) = h(f (x)) + h(g(x)) = (h ◦ f )(x) + (h ◦ g)(x).

Par conséquent, h ◦ (f + g) = h ◦ f + h ◦ g et ◦ est distributive à droite et à gauche par rapport à

l’addition. On conclut que (L (E), +, ◦) est un anneau.

Remarque. On montre de la même manière que si (f, g) ∈ (L (E))2 et λ ∈ , alors f ◦ (λg) = K

(λf ) ◦ g = λ(f ◦ g). On pourra également noté f ◦ g = f g, f n = f ◦ f ◦ . . . ◦ f n fois si n ∈ ∗ et N
f 0 = IdE .

II) Linéarité et bijectivité

a) Isomorphismes et automorphismes
Théorème 3. Si f ∈ L (E, F ) est bijective, alors l’application réciproque f −1 est linéaire.

K
Démonstration. Soient (y, y 0 ) ∈ F 2 et λ ∈ . On pose x = f −1 (y) ∈ E et x0 = f −1 (y 0 ) ∈ E.
Comme f est linéaire, f (x + λx0 ) = f (x) + λf (x0 ). On applique f −1 à cette égalité, d’où

f −1 (y) + λf −1 (y 0 ) = x + λx0 = f −1 (f (x) + λf (x0 )) = f −1 (y + λy 0 ).

Par conséquent, f −1 est linéaire.

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Applications linéaires 4

Définition 4. Une application linéaire bijective est appelée isomorphisme et un endomorphisme

bijectif de E est appelé automorphisme de E. L’ensemble des automorphismes d’un -espace K
vectoriel E est noté Gl(E).
Corollaire 3.1. (Gl(E), ◦) est un groupe qui n’est, en général, non commutatif et qui est appelé
groupe linéaire.

Démonstration. Gl(E) est le groupe des éléments inversibles de l’anneau L (E).

Exemple. Les homothéties

b) Noyau et image
Définition 5. À toute application linéaire f ∈ L (E, F ), on associe Ker(f ) = f <−1> ({0F }) le
noyau de f et Im(f ) = f (E) l’image de f . Comme images réciproque et directe de sous-espaces
vectoriels, Ker(f ) est un sous-espace vectoriel de E et Im(f ) est un sous-espace vectoriel de F .
Théorème 4 (Caractérisation). Soit f ∈ L (E, F ).
1. f est injective si, et seulement si, Ker(f ) = {0E }.
2. f est surjective si, et seulement si, Im(f ) = F .
3. f est bijective si, et seulement si, Ker(f ) = {0E } et Im(f ) = F .

Démonstration. La propriété 2 est vraie pour n’importe quel type d’application et la propriété 3
est la réunion des deux autres propriétés. Donc il n’y a que la première à démontrer.
– Supposons que f est injective. On en déduit que 0F a au plus un antécédent par f . Or 0E est un
antécédent de 0F car f est linéaire, donc c’est le seul et Ker(f ) = {0E }.
– Réciproquement supposons que Ker(f ) = {0E }. Soit (x, x0 ) ∈ E 2 tel que f (x) = f (x0 ). Comme
f est linéaire,
f (x − x0 ) = f (x) − f (x0 ) = 0F .
D’après l’hypothèse, cela implique que x − x0 = 0E , i.e. x = x0 et f est injective.

Exemples.
1. f : (x, y, z) 7−→ (2x + y − 3z, −x + 2y + 4z) et g : (x, y, z) 7−→ (2x + y − 3z, 6x + 3y − 9z).
2. Une forme linéaire non nulle est toujours surjective.
3. L’ensemble des vecteurs fixes d’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E est Ker(f − IdE ).
4. Pour λ ∈ K∗ et f une application linéaire, Ker(λf ) = Ker(f ) et Im(λf ) = Im(f ).

III) Deux exemples importants

a) Projections-Projecteurs
Considérons E = F ⊕ G une somme directe. Pour tout vecteur x ∈ E, il existe un unique couple
(xF , xG ) ∈ F × G tel que x = xF + xG .
Définition 6. On appelle projection sur F parallèlement à G l’application

p : E −→ E
x 7−→ xF .
p est bien une application car xF existe et est unique pour tout vecteur x de E.
Applications linéaires 5

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1. p est linéaire.
2. Im(p) = F et Ker(p) = G.
3. Soit x ∈ E. On a p(x) = x ⇐⇒ x ∈ F , i.e. F = Ker(p − IdE ).

Démonstration.
1. Soit y = yF + yG un autre vecteur de E décomposé dans la somme directe. Pour tout λ ∈ R,
x + λy = xF + λyF + xG + λyG .
| {z } | {z }
∈F ∈G

Donc p(x + λy) = xF + λyF = p(x) + λp(y).

2. De façon évidente, Im(p) ⊂ F . Pour x ∈ F , la décomposition de x dans la somme directe est
x = x + 0E , donc p(x) = x, i.e. x ∈ Im(p) et F ⊂ Im(p). Par conséquent, Im(p) = F .
x ∈ Ker(p) ⇐⇒ xF = 0E ⇐⇒ x = xG ∈ G, d’où Ker(p) = G.
3. Si p(x) = x, alors x ∈ Im(p), i.e. x ∈ F . Réciproquement si x ∈ F , alors x = x + 0E est la
décomposition de x dans la somme directe, donc p(x) = x.

Théorème 5. Soit p ∈ L (E). p est une projection si, et seulement si, p ◦ p = p ou encore p2 = p.
Une telle application linéaire est appelée projecteur.

Démonstration.
– Si p est une projection, alors p est la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p) et pour tout
x ∈ E, p(x) ∈ Im(p), donc p(p(x)) = p(x), i.e. p ◦ p(x) = p(x) et p ◦ p = p.
– Réciproquement si p ∈ L (E) vérifie p2 = p, alors on montre que E = Im(p) ⊕ Ker(p) et ensuite,
que p est la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p).
→ Pour x ∈ E, soit x0 = x − p(x). Alors p(x0 ) = p(x) − p(p(x)) = p(x) − p2 (x) = 0E , d’où
x0 ∈ Ker(p) et x = p(x) + x0 . Par conséquent, x ∈ Im(p) + Ker(p) et E ⊂ Im(p) + Ker(p).
→ De plus Im(p) + Ker(p) est la somme de deux sous-espaces vectoriels de E, donc Im(p) +
Ker(p) ⊂ E et E = Im(p) + Ker(p).
→ Soit x ∈ Im(p) ∩ Ker(p). Il existe y ∈ E tel que x = p(y) avec

x = p(y) = (p ◦ p)(y) = p(p(y)) = p(x) = 0E

car x ∈ Ker(p). Donc Im(p) ∩ Ker(p) ⊂ {0E }. De plus Im(p) ∩ Ker(p) est un sous-espace
vectoriel de E comme intersection de sous-espaces vectoriels, d’où 0E ∈ Im(p) ∩ Ker(p) et
Im(p) ∩ Ker(p) = {0E }.
Il en résulte que E = Im(p) ⊕ Ker(p) et pour tout x ∈ E, x = p(x) + x0 avec p(x) ∈ Im(p) et
x0 ∈ Ker(p). Par conséquent, p est la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p).

Exemples.
1. Projections orthogonales vectorielles en géométrie.
2. Les fonctions paires et les fonctions impaires.
3. Les réels et les imaginaires purs.
4. Dans R2, soit F = R(2, −3) et G = R(1, 4).
Applications linéaires 6

b) Symétries-Involutions
On se place dans les mêmes conditions que dans le paragraphe précédent.

Définition 7. On appelle symétrie de E par rapport à F parallèlement à G l’application

s : E −→ E
x 7−→ xF − xG .

Comme pour la projection, s est bien une application car xF et xG existent et sont uniques.

Propriétés.
s+IdE
1. s est linéaire avec s = 2p − IdE et p = 2
où p est la projection sur F parallèlement à G.
2. F = Ker(s − IdE ) et G = Ker(s + IdE ).

Démonstration.
1. Pour x ∈ E, 2p(x) − x = 2xF − (xF + xG ) = xF − xG = p(x), d’où s = 2p − IdE . D’où s est une
combinaison linéaire d’applications linéaires. Par conséquent, s est linéaire.
2. Il suffit de remarquer que s − IdE = 2(p − IdE ) et s + IdE = 2p.

Théorème 6. Soit s ∈ L (E). s est une symétrie si, et seulement si, s ◦ s = IdE ou encore
s2 = IdE . Dans ce cas, on dit que s est une involution. On en déduit qu’une symétrie de E est un
automorphisme de E avec s−1 = s.

s + IdE
Démonstration. Pour s ∈ L (E), on pose p = . On remarque que s = 2p − IdE et
2
s2 = 4p2 − 4p + IdE = 4(p2 − p) + IdE . Donc

s2 = IdE ⇐⇒ p2 = p ⇐⇒ p est une projection ⇐⇒ s est une symétrie.

Exemples.
1. Symétries orthogonales vectorielles en géométrie.
2. Les fonctions paires et les fonctions impaires.
3. Les réels et les imaginaires purs.
4. Dans R2, soit F = R(2, −3) et G = R(1, 4).

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