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Chapitre 2
Sries Numriques
1 Gnralits
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
Dnition d'une srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condition ncessaire de convergence d'une srie . . . . . . . . . . . . . Critre de Cauchy de convergence d'une srie dans un espace complet . Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reste de rang n d'une srie convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . Espace vectoriel des sries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sries complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme fondamental . . . . . . . . . . . Comparaison des sries . . . . . . . . . . Comparaison d'une srie une intgrale Srie de Riemann . . . . . . . . . . . . . Rgle de Riemann . . . . . . . . . . . . Critre de Cauchy . . . . . . . . . . . . Critre de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 2 2 3 4 5 5
6 6 8 9 10 11 13
14
14 16 16 17 18 18
4 Bilan
20
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Analyse II
Sries Numriques
Sries Numriques
Dans tout ce chapitre, K dsignera R ou C.
1 Gnralits
Sn = U0 + U1 + + Un
=
k=0
Uk
On dnit ainsi une nouvelle suite (Sn )n N partir de la suite (Un )n N . On appelle srie la suite (Un , Sn )n N d'lments dans K2 . Un est nomm terme gnral de la srie. Sn est la somme partielle de rang n. On notera, en abrg, la srie (Un ) ou bien n0 Un .
S=
k=0
Uk
La srie
n0 Un
Deux sries sont dites de mme nature si elles sont toutes les deux convergentes, ou
Remarque
Toute srie est soit convergente, soit divergente. Elle a une, et une seule de ces proprits qui lui confre sa nature.
1.1.3 Proposition 1
Soit n0 N. Les sries convergent on a :
n0 Un +
et
Un =
nn0 n0 1
Un +
n=0 n=n0
Un
n=0
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Preuve
On a n N; n n0 :
n n0 1 n
Uk =
k=0 k=0
Uk +
k=n0
Uk
(1)
Il est clair donc que si la srie n0 Un converge, alors limn+ n Uk existe. Et donc d'aprs k=0 la formule (1) limn+ + 0 Uk existe. D'o la srie n0 Un converge. k=n Inversement, si la srie n0 Un converge, en utilisant la relation (1), on dduit que la srie n0 Un converge aussi. En passant la limite lorsque n + dans (1), on obtient :
+ n0 1 +
Uk =
k=0 k=0
Uk +
k=n0
Uk
converge, alors on a :
n+
lim Un = 0
Preuve
Soit
n0 Un
n k=0 Uk
= S ).
. Si la srie
n0 Un
converge, alors :
limn+ Un = limn+ Sn Sn1 = SS = 0
Remarque
La rciproque de cette proposition est fausse comme on le verra l'un des exemples qui suivront (srie harmonique).
Un converge si et seulement si :
n+p
> 0; N N; n N ; p N ; |
k=n+1
Uk | <
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Preuve
La srie Un converge si et seulement si la suite des sommes partielles (Sn ) converge. Comme K est complet, alors il faut et il sut que Sn soit une suite de Cauchy. C.A.D :
> 0; N N; n N ; p N ; |Sn+p Sn | <
Soit :
|
n+p
Uk | <
k=n+1
Sn =
k=0
Si q = 1 :
Sn = n + 1 +. Donc
n+
q n diverge.
Donc la srie
qn
diverge.
Donc limn+ |q n+1 | = +. D'o limn+ Sn n'existe pas. Donc Donc q = ei avec = 2k .
q n+1 = ei(n+1) = cos((n + 1)) + i sin((n + 1)) limn+ q n+1 n'existe pas. Donc q n diverge.
Thorme
Soit q K, La srie gomtrique Sa somme est :
n0 q n
S=
n=0
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k=1 2N
1 k 1 k
N k=1
1 k
=
k=N +1
1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + N +1 N +2 2N 2N 2N 2N 2
N
fois
La dirence |S2N SN | tant minore par 1 , la suite (Sn )n1 n'est donc pas une suite de 2 Cauchy. 1 Par consquent, la srie n1 n est divergente et on a le thorme suivant :
Thorme
Sur la droite relle R, la srie
Soit la srie
1 n1 n
est divergente.
1 n(n+1)
Un de terme gnral Un =
n
n 1. On a :
Sn =
k=1
1 = k+1
k=1
1 1 1 n =1 k k+1 n+1
n+
lim Sn = 1
+ 1 n=1 n(n+1)
Donc la srie
1 n1 n(n+1)
=1
Rn =
k=n+1
Uk
1.5.2 Proposition
Soit
n0 Un
lim Rn = 0
et
Sn + Rn = S
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Preuve
La srie
n0 Un
n N;
k=0
Uk =
k=0
Uk +
k=n+1
Uk
Soit S = Sn + Rn donc Rn = S Sn et :
n+
lim Rn = S lim Sn = S S = 0
n+
1.6.1 Proposition
1. La somme de deux sries convergentes est une srie convergente. 2. La somme d'une srie convergente et une srie divergente est une srie divergente. 3. Pour toute srie n0 Un et tout K {0}, les sries n0 Un et n0 Un sont de mme nature.
1.6.2 Thorme
L'ensemble des sries convergentes C(K) est un sous-espace vectoriel de S(K) .
Remarque
Si
n0 Un n0 Un
+ Vn .
et
n0 Vn
Exemples
1. Un = 1 et Vn = 1 donc Un + Vn = 0. Les sries Un et Vn divergent alors que 2. Un = 1 et Vn = 1 donc Un + Vn = 2. Les sries Un et Vn divergent de mme
Un + Un + Vn converge. Vn diverge.
(Un ) est la srie des parties relles et (Vn ) est la srie des parties immaginaires. Si l'on dsigne par Sn , Sn et n les sommes partielles de rang n des sries n0 Un , n0 Wn respectivement, alors on a : n N, n = Sn + iSn
et
Pour que la suite (n ) converge il faut et il sut que les suites (Sn ) et (Sn ) convergent. Et on peut noncer le corollaire suivant :
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Corollaire
Wn converge
n0 n0 n0
Un 0.
n0 Un
Sn =
k=0
Uk
Sn+1 = Sn + Un+1 . Comme Un+1 est positif, alors Sn Sn+1 . Donc (Sn )nN est une suite
croissante. D'aprs le thorme de convergences des suites des suites monotones, pour (Sn ) converge, il faut et il sut qu'elle soit majore. On peut donc noncer le lemme fondamental suivant :
2.1.2 Lemme
Soit n0 Un une srie termes positifs. Pour que n0 Un converge, il faut et il sut que la suite des sommes partielles associes (Sn )n0 soit majore.(i,e M > 0; n N; Sn M ).
Remarque
Si (Sn ) n'est pas majore, alors
n+
lim Sn = +
Donc
n0 Un
diverge.
et n0 Vn deux sries termes positifs telles que n N; Un Vn n0 Vn converge alors n0 Un converge. n0 Un diverge alors n0 Vn diverge.
Preuve
1. En posant
Sn =
k=0 n n
Uk
n =
k=0
Vk
Si
n0 Vn converge alors d'aprs le lemme fondamental (n ) est majore. Or comme n N; Un Vn ; alors Sn n . Donc (Sn ) est aussi majore. D'aprs le lemme fodamental, n0 Un converge.
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n0 Un
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n0 Vn
diverge alors
diverge.
Remarques
1. Si n0 Un et n0 Vn sont termes ngatifs, alors il sut d'tudier les sries n0 Un et n0 Vn . 2. Dans le thorme de comparaison, on peut remplacer l'hypothse (n N; Un Vn ) par l'hypothse plus faible suivante : (n0 N; n n0 ; Un Vn ).
2.2.2 Consquence
Considrons deux sries termes strictement positifs V limn+ Un = l = 0 alors : n
> 0; N N; n N ; |
n0 Un
et
n0 Vn
et supposons que :
Un l| < Vn
1. Si n0 Un converge, alors il en est de mme pour n0 (l + )Un . Et comme n N ; Vn < (l + )Un , On dduit d'aprs le thorme de comparaison que Vn converge aussi. 2. Si n0 Un diverge, alors il en est de mme pour n0 (l )Un . Et comme n N ; (l )Un < Vn , On dduit d'aprs le thorme de comparaison que n0 Vn diverge aussi. On a donc le thorme suivant :
2.2.3 Thorme 2
Soient
n0 Un
et
n0 Vn
Alors
n0 Un
et
n0 Vn
2.2.4 Thorme 3
Soient
n0 Un
Un et
Un
converge aussi.
Remarque
f
xx0
= o(g)
|f (x)| |g(x)|
f
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xx0
= O(g)
|f (x)| |g(x)|
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Preuve
n = On a Un n+ donc > 0 ; il existe un rang N N tel que n N on a | Un | . Comme les deux sries sont termes positifs :
Un
n+
O(Vn )
> 0; N N; n N ; Un n
La srie n tant convergente, il en est de mme pour la srie n et d'aprs le thorme de comparaison de deux sries termes positifs, la srie nN Un converge. Les sries nN Un et n 0Un tant de mme nature, on en dduit que la srie n0 Un converge aussi.
Preuve
Un n+ Vn Un =+ O(Vn ) Vn =+ o(Un ) Un converge si et seulement si la srie
Remarque
Le thorme d'quivalence ne peut tre appliqu aux sries termes complexes, et aux sries termes rels de signe variable.
Exemple
Un = ln(1 +
1 ) n
1 Nous avons vu que la srie harmonique n est divergente. D'aprs le thorme d'quivalence, 1 on conclut que la srie ln(1 + n ) diverge aussi.
Sn =
k=n0
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k+1 f (x)dx k k+1 f (x)dx k k+1 n f (x)dx) k=n0 ( k n+1 n0 f (x)dx n+1 k+1
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k f (k)dx f (k) n k=n0 f (k) Sn
Sn+1 f (n0 )
n0
f (x)dx Sn
1. Supposons que
+ n0 f (x)dx
Sn+1 f (n0 )
n0
f (x)dx
n0 +
f (x)dx
Soit Sn+1
f (x)dx + f (n0 )
n0 M
La suite (Sn+1 ) est donc majore et comme f (x) est une srie termes positifs, d'aprs le lemme fondamental, la srie nn0 f (x) converge. 2. Supposons maintenant que la srie nn0 f (x) converge. Soit u n0 et posons n = E(u) on a donc :
n+1 u n+1
f (x)dx =
n0 n0
f (x)dx +
u
f (x)dx
n+1 u n+1 Comme f est positive alors u f (x)dx 0 donc n0 f (x)dx n0 f (x)dx. n+1 u D'aprs 1) on a aussi n0 f (x)dx Sn . Par consquent on a n0 f (x)dx Sn . Sn tant majore par S (on a une srie nn0 Un convergente termes positifs). Donc u n0 f (x)dx S . + + Par suite n0 f (x)dx existe et majore par S : n0 f (x)dx S .
Et on a le thorme suivant :
Thorme
Soit n0 N, f : [n0 , +[ R+ une fonction continue par morceau, dcroissante. + La srie nn0 f (x) converge si et seulement si n0 f (x)dx converge. Dans le cas de convergence, on a :
+ + +
f (x)dx
n0
k=n0
f (k)
f (n0 ) +
n0
f (x)dx
Considrons la srie de Riemann du terme gnral Un = n1 ; R. Si 0 alors limn+ Un = 0 donc la srie n1 diverge.
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est positive et dcroissante sur [1, +[. D'aprs le tho+ 1 1 n converge si et seulement si l'intgrale 1 x dx existe.
+ 1
1 dx = x
1 dx = [ln x]+ = + 1 x
Si = 1
+ 1
1 dx = lim X+ x
X 1
1 x1 dx = lim X+ 1 x
=
1
1 X 1 1 X+ 1 lim
On voit donc bien que 1+ x1 dx existe si et seulement si 1 < 0 c'est dire > 1. On peut donc noncer le thorme suivant :
2.4.2 Thorme
La srie de Riemann
1 n
Preuve
On a limn+ n Un = 0, donc :
> 0; N N / n N ; |n Un 0|
Soit alors (pour = 1) : 0 n Un 1. C'est dire 0 Un n1 . > 1 donc la srie de Riemann n1 n1 est convergente d'aprs le thorme de comparaison de sries termes positifs, on peut en conclure la convergence de la srie n0 Un .
converge si et seulement si
ou
( = 1 et > 1)
Cas 1 : > 1 : Dans ce cas on a > 1. Prenons donc = 1+ et utlisons la proposition prcdente. 2
1+ 2 n+
lim n Un = lim n
n+
Or
1 2
> 0 donc :
n+
lim
=0
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1 n2 n (ln n)
C'est dire limn+ n Un = 0 avec > 1. D'aprs la proposition prcdente, la srie converge. Cas 2 : < 1 : alors nous avons
n+
Un est
Un =
1 n(ln n)
diverge aussi.
0 : alors Un = (ln n) ; 0. n Or n 3 on a : ln n ln e = 1 donc (ln n) 1 (puisque 0). 1 1 D'o n(ln1n) n . La srie de Riemann n est divergente. On en dduit que la srie
1 n(ln n)
> 0 : Nous allons utiliser le thorme de comparaison d'une srie avec une intgrale. Considrons la fonction : f (x) = x(ln1x) dnie de [2, +[ R+ . f est positive de plus elle est
dcroissante et continue.
X 2
1 dx = x(ln x)
X
ln X ln 2
dt t
(poser t = ln x)
ln X ln 2
donc
X+ 2
lim
1 dx = lim X+ x(ln x)
dt = lim Y + t
Y ln 2
dt t
+ dt Or l'intgrale de Riemann ln 2 t existe si et seulement si > 1. Pa consquent, 2+ x(ln1x) dx existe si et seulement si > 1. On dduit d'aprs le thorme de comparaison d'une srie avec une intgrale que la srie n(ln1n) converge si et seulement si > 1. Et on peut ennoncer le thorme suivant :
converge si et seulement si
>1
ou
( = 1 et > 1)
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1. Supposons qu'il existe un rel tel que l'on ait : n N; n Un < 1, alors Un n . Or la srie gomtrique n est termes positifs et est convergente puisuqe < 1. D'aprs le thorme de majoration on dduit que la srie Un est convergente. 2. Si l'on a : n N; n Un 1 alors n N; Un 1 et donc limn+ Un = 0. Par consquent la srie Un diverge. On peut noncer le thorme suivant :
2.6.1 Thorme
Soit Un une srie termes positifs. 1. S'il existe un rel tel que n N; n Un < 1, alors la srie 2. Si n N; n Un 1, alors la srie Un diverge.
Un converge.
2.6.2 Consquence
En particulier, s'il existe l R tel que limn+
Un = l, on a alors :
n
> 0; N N / n N ;
Un l <
c'est dire
<
n
Un l <
Soit l <
Un < l +
Un < l + < 1
Par consquent la srie Un est convergente (thorme prcdent). 2. Supposons que l > 1 et prenons = l 1, on a donc :
n N ; 1<l< Un diverge.
n
Un
Remarque
Le cas l = 1 est "le cas douteux" critre de Cauchy. Le doute est lev si lim n + n Un = du + car dans ce cas on a : n N; n U 1 et donc la srie diverge. 1 n
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Exemple
1 Soit a > 0 ; Considrons la srie dont le terme gnral est : Un = (a + n )n . 1 n Un est une srie termes positifs (a + n ) > 0 n N .
n+
lim
Un = lim (a +
n+
1 )=a n Un diverge.
Si a < 1, la srie Un converge. Donc Si a > 1, la srie Un diverge. Donc n N; n Un > 1 et la srie 1 Si a = 1, on a n Un = 1 + n > 1
1. Supposons qu'il existe < 1 tel que l'on ait : n N; On obtient alors :
Un Un1 2 Un2 n U0
Les sries Un et n U0 sont termes positifs. De plus la srie n U0 est gomtrique et est convergente puisque < 1. Par consquent, la srie Un converge aussi. n+1 2. Supposons que l'on ait : n N; UUn 1, alors Un+1 Un . La suite (Un ) est donc croissante. Donc lim n +Un = 0, d'o la srie Un diverge. Et on a le thorme suivant :
2.7.1 Thorme
Soit Un une srie termes strictement positifs. n+1 1. S'il existe tel que n N, UUn < 1 alors la srie 2. Si n N;
Un+1 Un
Un converge.
1 alors la srie
Un diverge.
2.7.2 Consquence
n+1 En particulier, supposons qu'il existe l R tel que : limn+ UUn = l. Alors :
N; N N; n N on a
Un+1 l < Un
Soit l <
Un+1 <l+ Un
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n+
Un converge. Un diverge.
Remarque
Le cas l = 1 est "le cas douteux" du critre de d'Alembert. n+1 Le doute est lev si limn+ UUn = 1+ . Puisque dans ce cas on a : n N; la srie diverge.
Un+1 Un
1 et donc
Exemples
1. Soit la srie
1 n! .
Un =
1 n!
limn+
Un+1 Un
Un converge.
2.
nn n!
Un =
> 0 n
n+ 1 1 Or ln(1 + n ) n+ n . Donc :
lim
Donc la srie
3
nn n!
diverge.
3.1.2 Thorme
Si
Un est absolument convergente alors elle est convergente.
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Preuve
Soit Un une srie absolument convergente, donc la srie |Un | converge d'aprs le critre de Cauchy de convergence des sries dans un espace complet on a :
n+p
> 0; N N; n N ; p N ;
k=n+1 n+p
|Uk | <
i,e
k=n+1
|Uk | < Uk
n+p
Et comme Alors
|Uk |
|Uk | <
k=n+1
D'o la srie
Un converge.
3.1.3 Proposition
Notons par SA (K) l'ensemble des sries absolument convergentes. SA (K) est un sousespace vectoriel de S(K) (ensemble des sries dans K).
Preuve
SA (K) = car la srie du terme gnral Un = 0 SA (K). Soient Un , Vn deux sries absolument convergentes. Par consquent, les sries et |Vn | convergent. D'o || |Un | + |Vn | converge ( K). Et comme on a : n N; |Un + Vn | || |Un | + |Vn | |Un |
D'aprs le thorme de comparaison de deux sries termes positifs, on en dduit que la srie |Un + Vn | converge. C'est dire la srie Un + Vn est absolument convergente.
Exemples
1. Considrons la srie sin2n . n N ; Un = sin2n . n n sin n Etudions la srie termes positifs . On a : 2 n
n N ; |sin n| 1 donc sin n 1 2 2 n n
sin n n2
1 Or la srie n2 (de Riemann) est convergente donc la srie sin n srie est absolument convergente d'o convergente. n2
converge. Donc la
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1 . n2
Donc la srie
. n 1 |Un | = La srie de Riemann n n'est pas convergente donc la srie (1) n'est pas n absolument convergente. Par contre, et on va le montrer dans la suite du cours, cette srie converge.
3.2.1 Dnition
Soient Un et Vn deux sries termes dans C. On appelle srie-produit des sries Un et Vn , la srie est donn par :
n
Wn =
k=0
Uk Vnk
. . .
Wn = U0 Vn + U1 Vn1 + + Un V0
Remarque
n
On a n N;
Wn =
k=0
Uk Vnk
On voit que Wn est toujours dnie puisque la somme est nie. On note en gnral la srie-produit : W n = ( Un ) ( V n ) . Remarquer que cette multiplication est analogue celle des polynmes une indtermine coecients dans C.
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3.3.1 Thorme
Soient
Wn dnie par : Un et Vn deux sries absolument convergentes dans C. Alors la srie-produit
n
n N;
Wn =
k=0
Uk Vnk = U0 Vn + U1 Vn1 + + Un V0
Wn =
n=0 n=0
Un
n=0
Vn
ou Un = (1)n+1 |Un |
Exemple
La srie
(1)n n
Remarquons qu'une srie du second type se ramne celle d'une srie du premier type en changeant tous les signes. Nous tudions donc les sries alternes du premier type : Un = (1)n |Un |. On a le thorme suivant :
3.4.2 Thorme
Soit
Un une srie alterne telle que : limn+ Un = 0 n N; |Un+1 | |Un | ((|Un |) dcrot)
Alors la srie
Un est convergente.
Preuve
Soit la srie alterne
Un ; Un = (1)n |Un |. Nous avons : S2p+2 S2p = (1)2p+1 |U2p+1 | + (1)2p+2 |U2p+2 | = |U2p+2 | |U2p+1 | 0
Par consquent, les suites (S2p ) et (S2p+1 ) sont adjacentes et ont par suite la mme limite S . Il en rsule que(Sn ) converge et a pour limite S . On en dduit que la srie Un est convergente.
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Exemple
Soit la srie alterne (1) o R, x. n n Un = (1) et |Un | = n1 . On a donc Un = (1)n |Un |. n 1. Si 0 alors
n+ (1)n
n
lim Un = lim
(1)n =0 n+ n
Donc la srie n diverge. 2. Si > 1, on a |Un | = n1 . n La srie n1 de Riemann est donc convergente. (car > 1). D'o la srie (1) est n absolument convergente donc convergente. n 3. Si 0 < 1, la srie (1) n'est pas absolument convergente. (Car la srie n1 dans n ce cas ne converge pas ). Cependant on a la suite (|Un |) est dcroissante |Un | = n1 . D'aprs le thorme prcdent, n la srie (1) converge. n
Exemple
Pour 0 < 1, la srie
(1)n n
est semi-convergente.
Supposons que la srie Un vrie les trois conditions : 1. M R / n N; | n k | M . k=0 2. La suite (n ) est dcroissante. 3. limn+ n = 0. Alors la srie
Un est convergente.
Preuve
Nous allons utiliser le critre de Cauchy de convergence d'une srie dans un espace complet. On a :
n+p n+p
n N;
k=n+1
Uk =
k=n+1
Un = n n
I.Elmahi
18
Anne 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Sries Numriques
Si l'on note par Sn = n k alors l'hypothse 1) s'crit : n N; |Sn | M . k=0 En remarquant que : n = Sk Sk1 on peut crire :
n+p n+p
p N;
k=n+1
Uk =
k=n+1
k (Sk Sk1 )
= |n+1 (Sn+1 Sn ) + n+2 (Sn+2 Sn+1 ) + n+3 (Sn+3 Sn+2 ) + + n+p (Sn+p Sn+p1 )| = |n+1 Sn + Sn+1 (n+1 n+2 ) + Sn+2 (n+2 n+3 ) + + Sn+p1 (n+p1 n+p ) + n+p Sn+p | |n+1 | |Sn |+|Sn+1 | |n+1 n+2 |+|Sn+2 | |n+2 n+3 |+ +|Sn+p1 | |n+p1 n+p |+|n+p | |Sn+p |
Uk M |n+1 | +
k=n+1
(k k+1 ) + |n+p |
k=n+1
lim
Uk = 0
k=n+1 n+p
i,e > 0; N N; n N ;
k=n+1
Uk
n n converge.
Exemple
Etudier la srie complexe
ein n
o [0, 2[ R.
Un = ein n
On a : |Un | =
1 n .
Donc :
Un est absolument convergente.
Si > 1 ; La srie
Un diverge.
1 n
et n = ein .
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Anne 2007-2008
ENSA1 3.
|Sn | =
k=0
Analyse II
Sries Numriques
k =
k=0
eik = M.
2 1 ei(k+1) 1 ei |1 ei |
Donc M =
2 |1ei |
tel que : n N; |
n k=0 k |
Un est convergente.
Srie
Un
Est ce que limn+ Un = 0 ? Non La srie diverge Fin. Oui Srie termes positifs ?
Non
Test de comparaison. Test d'quivalence. Oui Comparaison avec une intgrale. Critre de Cauchy. Citre de d'Alembert.
Etudier la srie
|Un |
Fin.
Fin.
I.Elmahi
20
Anne 2007-2008