Math Ematiques A: Probl' Eme 1
Math Ematiques A: Probl' Eme 1
Math Ematiques A: Probl' Eme 1
Mathématiques A
(durée : 3 h 30)
Problème 1
Soient E un espace vectoriel réel de dimension 3 et B = (−
→
e1 , −
→
e2 , −
→
e3 ) une base de E. Considérons
l’endomorphisme u de E tel que MatB (u) = A où
1 1 1
1
A=
2
1 1 −1 ·
4 −4 −2
1. Diagonalisation de u
a) Déterminer les valeurs propres de u. Ce résultat suffit-il à assurer la diagonalisabilité
de u ? Votre réponse sera justifiée.
b) Pour chaque valeur propre de u, déterminer une base du sous-espace propre associé.
c) En déduire que u est diagonalisable.
d) Déterminer une base B 0 = (→
−
e1 0 , −
→
e2 0 , −
→
e3 0 ) de E telle que la matrice de u dans cette nouvelle
0
base B soit
−2 0 0
0 1 0 ·
0 0 1
2. Recherche des (( racines carrées )) de u
a) On suppose qu’il existe un endomorphisme v de E tel que v ◦ v = u.
i. Démontrer que u ◦ v = v ◦ u.
ii. Démontrer que u v(− →
e1 0 ) = −2v(− →
e1 0 ). En déduire que v(−→
e1 0 ) et − →
e1 0 sont colinéaires
→
− 0
puis que e1 est un vecteur propre de v.
iii. Soit −
→x un vecteur propre de u associé à la valeur propre 1. Démontrer que
u v( x ) = v(−
→
− →x ) et en déduire que v(− →x ) appartient à Vect(− →
e2 0 , −
→
e3 0 ).
iv. En déduire qu’il existe des nombres réels a, x, y, z, t tels que
a 0 0
MatB0 (v) = 0 x y ·
0 z t
2
v. Démontrer que MatB0 (v) = MatB0 (u) et en déduire que a2 = −2.
b) Existe-t-il des endomorphismes v de E tels que v ◦ v = u ? Votre réponse sera justifiée.
3. Construction d’une base de E dans laquelle la matrice de u est de diagonale nulle
Nous constatons que la somme des éléments diagonaux de A est nulle et nous nous proposons
de démontrer que A est semblable à une matrice dont tous les éléments diagonaux sont nuls.
a) Mettons en place notre premier changement de base.
i. Démontrer que la famille −→
e , u(−
→
1 e ) est libre.
1
→
−
ii. Démontrer qu’un
→
− →
− vecteur x de composantes (a, b, c) dans la base B appartient à
Vect e1 , u( e1 ) si, et seulement si, 4b − c = 0. En déduire une condition nécessaire
et suffisante pour que la famille − →
e1 , u(−
→
e1 ), −
→
x soit une base de E.
→
− 00
I Dans la suite de ce problème, e3 désigne le vecteur de composantes (1, 1, 1) dans
la base B. On note alors B 00 la famille − →
e , u(−
1
→
e ), −
1
→
e 00 .
3
matrice de passage de C à C 0 .
ii. Calculer alors la matrice de f dans cette nouvelle base C 0 .
c) En notant la matrice de passage de C à C 0 de la façon suivante
!
a b
,
c d
a) Écrire un algorithme qui, pour un nombre entier naturel non nul n donné, calcule la
valeur de un .
b) Démontrer que la suite (un ) est convergente et préciser sa limite.
c) Démontrer que
1
∀n ∈ N∗ , vn + un = u2n .
2
1
d) Démontrer alors que la suite (vn ) converge vers ln 2.
2
2. Développement asymptotique d’une somme de Riemann
Dans cette partie, f désigne une fonction de classe C ∞ sur le segment [0; 1], à valeurs réelles.
a) Justifier l’existence d’un nombre réel M tel que ∀x ∈ [0; 1] , |f (3) (x)| 6 M .
hk k + 1i
b) Soient n ∈ N∗ , k ∈ [[0; n − 1]] et t ∈ ; .
n n
i. À l’aide de la formule de Taylor–Lagrange appliquée à la fonction f de classe C 3
sur l’intervalle [k/n; t], démontrer que
k k 0 k 1 k 2 00 k M k 3
f (t) − f − t− f − t− f 6 t− ·
n n n 2 n n 6 n
k q k
ii. Soit q ∈ N∗ . Quelle est la primitive sur R de t 7−→ t − qui s’annule en ?
n n
k k+1
iii. Par intégration entre et , démontrer que
n n
Z (k+1)/n
1 k 1 0 k 1 00 k M
f (t) dt − f − 2f − 3f 6 ·
k/n n n 2n n 6n n 24n4
e) Justifier l’existence de deux suites (ε0n ) et (ε00n ) de limite nulle telles que
1
ε0
Z
1
∀n ∈ N∗ , Sn (f 0 ) = f 0 (t) dt − Sn (f 00 ) + n
0 2n n
et Z 1
∗ 00
∀n ∈ N , Sn (f ) = f 00 (t) dt + ε00n .
0
3. Application
Les suites (un ) et (vn ) ont été définies à la question 1.
a) Démontrer qu’il existe une suite (αn ) de limite nulle telle que
1 1 αn
∀n ∈ N∗ , un = ln 2 + + 2
+ 2·
4n 16n n
b) En déduire un équivalent simple de un − ln 2 lorsque n tend vers +∞.
c) Démontrer que
1 1
] − 64n2
vn −
ln 2 n→+∞ ·
2
d) Comparer les vitesses de convergence des suites (un ) et (vn ).
FIN DE L’ÉPREUVE