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    TD Vecteurs Torseur

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    Université de Lomé/ EPL 2023 − 2024

    Licence Tronc commun


    Travaux dirigés de Mécanique du solide
    Feuille 1

    Exercice 1
    Considérons un repère orthonormé R (O, → −
    e1 , →
    −e2 , →
    −
    e3 ) dans l’espace vectoriel ξ 3 , un axe ∆ (O, →
    −
    u ) passant
    →
    − →
    −
    par le point O, un vecteur unitaire u (u1 , u2 , u3 ) et un vecteur quelconque v (v1 , v2 , v3 ). Soit π un plan
    perpendiculaire à l’axe ∆ (O, →
    −u ).

    1. Calculer →
    −
    u .→
    −
    u,→
    −
    v .→
    −
    v et →
    −
    u .→
    −
    v.

    2. Déterminer, dans la base (→−


    e1 , →
    −
    e2 , →
    −
    e3 ) les composantes du vecteur →
    −
    w défini par →
    −
    w =→
    −
    u ∧→
    −
    v . En
    déduire dans cette base la matrice [u] de l’opérateur produit vectoriel.

    3. Trouver l’expression du vecteur → −


    v u , projection orthogonale du vecteur →
    −v sur l’axe ∆ (O, →
    −
    u ).
    →
    −
    En déduire la matrice [up ] de l’opérateur projection orthogonale sur l’axe ∆ (O, u ).

    4. Trouver l’expression du vecteur →


    −
    v π , projection orthogonale de →
    −
    v sur le plan π.

    Exercice 2
     →− → − → −
    Dans un système d’axe formant un trièdre trirectangle direct O, i , j , k , on donne le vecteur
    glissant:

    →
    − →
    − − →
    → −
    v =2 i +3j + k

    dont la direction passe par le point A (1, 0, 0). Soit un autre point O0 de coordonnées (1, 1, 1) .

    1. Calculer le moment du vecteur →


    −
    v au point O.

    2. Calculer son moment au point O0 en utilisant la définition.

    3. Retrouver la moment du vecteur →


    −
    v en utilisant la formule de VARIGNON.

    4. Calculer son moment par rapport aux trois axes de coordonnées.

    5. Calculer
     son moment par rapport à un axe (∆) passant par O et O0 et dont les cosinus directeurs
    sont √13 , √13 , √13 .

    1
    Université de Lomé/ EPL 2023 − 2024

    Exercice 3
     →− → − → −
    Soit un repère orthonormé R O, i , j , k et les trois vecteurs suivants:

    →
    − →
    − →
    − →
    − − →
    − →
    − − →
    − →
    −
    v1 = i +2j +3k, →
    v2 = j −2k, →
    v3 = i −2j

    dont les points d’application respectives sont A1 (0, 3, 2), A2 (3, 0, 2), A3 (3, 2, 0).

    1. Construire le torseur {T }O associé aux systèmes des vecteurs →


    −
    v 1, →
    −
    v 2 et →
    −
    v 3.

    2. Calculer l’invariant scalaire.

    3. Calculer le pas du torseur.

    4. Déterminer l’axe central du torseur.

    Exercice 4
     →− → − → −
    On considère un repère orthonormé R O, i , j , k et deux torseurs définis au mème point M par:
    ( →
    − →
    − →
    − →
    − )
    R 1 = −3 i + 2 j + 2 k
    {T1 }M = −
    → →
    − → − →
    −
    M1 (M ) = 4 i − j − 7 k M

    ( →
    − →
    − →
    − →
    − )
    R2 = 3 i − 2 j − 2 k
    {T2 }M = −
    → →
    − → − →
    −
    M2 (M ) = 4 i + j + 7 k M

    1. Quels sont le pas et l’axe central du torseur {T1 }M ?

    2. Montrer que l’automoment du torseur {T1 }M est indépendant du point M .

    3. Donner les coordonnées du torseur {T }M = α {T1 }M + β {T2 }M avec α et β des réels positifs.

    4. Que doivent vérifier les paramètres α et β pour que le torseur {T }M forme un torseur couple?
    Montrer que le moment de ce torseur ne dépend que du bras de levier. Donner une représentation
    schématique de ce moment.

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