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    36 Produit Scalaire

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    Ceci est un document contenant 16 exercices sur le produit scalaire et les espaces euclidiens. Les exercices couvrent des sujets comme les normes, les projections orthogonales, les déterminants de Gram, et les similitudes vectorielles.

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    Planche no 36.

    Produit scalaire

    * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile


    I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

    Exercice no 1 : (***)
    Pour A = (ai,j )16i,j6n ∈ Mn (R), N(A) = Tr(t AA). Montrer que N est une norme vérifiant de plus N(AB) 6 N(A)N(B)
    pour toutes matrices carrées A et B. N est-elle associée à un produit scalaire ?
    Exercice no 2 : (***)
    Soit E un R espace vectoriel de dimension finie. Soit k k une
     norme sur E vérifiant l’identité du parallélogramme, c’est-à-
    dire : ∀(x, y) ∈ E2 , kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 . On se propose de démontrer que k k est associée à un produit
    scalaire.
    1
    On définit sur E2 une application f par : ∀(x, y) ∈ E2 , f(x, y) = kx + yk2 − kx − yk2 .
    
    4
    1) Montrer que pour tout (x, y, z) de E3 , on a : f(x + z, y) + f(x − z, y) = 2f(x, y).
    2) Montrer que pour tout (x, y) de E2 , on a : f(2x, y) = 2f(x, y).
    3) Montrer que pour tout (x, y) de E2 et tout rationnel r, on a : f(rx, y) = rf(x, y).
    On admettra que pour tout réel λ et tout (x, y) de E2 on a : f(λx, y) = λf(x, y) (ce résultat provient de la continuité de f).
    4) Montrer que pour tout (u, v, w) de E3 , f(u, w) + f(v, w) = f(u + v, w).
    5) Montrer que f est bilinéaire.
    6) Montrer que k k est une norme euclidienne.
    Exercice no 3 : (**IT)
    Dans R4 muni du produit scalaire usuel, on pose : V1 = (1, 2, −1, 1) et V2 = (0, 3, 1, −1).
    On pose F = Vect(V1 , V2 ). Déterminer une base orthonormale de F et un système d’équations de F⊥ .
    Exercice no 4 : (***)
    1) Soit (E, | ) un espace euclidien.
    a) Soit u ∈ E. Montrer que x 7→ u|x est une forme linéaire sur E.
    b) Soit ϕ une forme linéaire sur E. Montrer qu’il existe un vecteur u de E et un seul tel que ∀x ∈ E, ϕ(x) = u|x.
    2) a) Existe-t-il A élément de Rn [X] tel que ∀P ∈ Rn [X], P|A = P(0) ?
    b) Existe-t-il A élément de R[X] tel que ∀P ∈ R[X], P|A = P(0) ?
    Exercice no 5 : (***I) (Matrices et déterminants de Gram)
    Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension p sur R (p > 2).
    Pour (x1 , ..., xn ) donné dans En , on pose G(x1 , ..., xn ) = (xi |xj )16i,j6n (matrice de Gram) et γ(x1 , ..., xn ) = det(G(x1 , ..., xn ))
    (déterminant de Gram).
    1) Montrer que rg(G(x1 , ..., xn )) = rg(x1 , ..., xn ).
    2) Montrer que (x1 , ..., xn ) est liée si et seulement si γ(x1 , ..., xn ) = 0 et que (x1 , ..., xn ) est libre si et seulement si
    γ(x1 , ..., xn ) > 0.
    3) On suppose que (x1 , ..., xn ) est libre dans E (et donc n 6 p). On pose F = Vect(x1 , ..., xn ).
    Pour x ∈ E, on note pF (x) la projection orthogonale
    s de x sur F puis dF (x) la distance de x à F (c’est-à-dire
    γ(x, x1 , ..., xn )
    dF (x) = kx − pF (x)k). Montrer que dF (x) = .
    γ(x1 , ..., xn )
    Exercice no 6 : (**I)
    Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équation 3x = 6y = 2z dans la base canonique orthonormée de R3
    ainsi que de la symétrie orthogonale par rapport à cette même droite.
    De manière générale, matrice de la projection orthogonale sur le vecteur unitaire u = (a, b, c) et de la projection ortho-
    gonale sur le plan d’équation ax + by + cz = 0 dans la base canonique orthonormée de R3 .
    Exercice no 7 : (***I) (Inégalité de Hadamard)
    Soit B une base orthonormée de E, espace euclidien de dimension n.
    Montrer que : ∀(x1 , ..., xn ) ∈ En , |detB (x1 , ..., xn )| 6 kx1 k × . . . × kxn k en précisant les cas d’égalité.

    http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.



    Exercice no 8 : (***I)
    Z1
    Existence, unicité et calcul de a et b tels que (x4 − ax − b)2 dx soit minimum (trouver deux démonstrations, une dans
    0
    la mentalité du lycée et une dans la mentalité maths sup).
    Exercice no 9 : (***)
    Soit (e1 , ..., en ) une base quelconque de E euclidien. Soient a1 ,..., an n réels donnés.
    Montrer qu’il existe un unique vecteur x tel que ∀i ∈ J1, nK, x|ei = ai .
    Exercice no 10 : (****I)
    Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n > 1.
    Une famille de p vecteurs (x1 , ..., xp ) est dite obtusangle si et seulement si pour tout (i, j) tel que i 6= j, xi |xj < 0. Montrer
    que l’on a nécessairement p 6 n + 1.
    Exercice no 11 : (****)
    Z1
    Soit P ∈ R3 [X] tel que P2 (t) dt = 1. Montrer que sup{|P(x)|, |x| 6 1} = 2. Cas d’égalité ?
    −1

    Exercice n 12 : (**)
    o

    Z1
    Soit f continue strictement positive sur [0, 1]. Pour n ∈ N, on pose In = fn (t) dt.
    0
    In+1
    Montrer que la suite un = est définie et croissante.
    In
    Exercice no 13 : (****I)
    Z1
    Sur E = Rn [X], on pose P|Q = P(t)Q(t) dt.
    −1

    1) Montrer que (E, | ) est un espace euclidien.  


    Lp
    2) Pour p entier naturel compris entre 0 et n, on pose Lp = ((X2 − 1)p )(p) . Montrer que est
    kLp k 06p6n
    l’orthonormalisée de Schmidt de la base canonique de E. Déterminer kLp k.
    Exercice no 14 : (**I)
    Soit f un automorphisme orthogonal d’un espace euclidien (E,  | ). Soit F un sous-espace vectoriel de E, stable par f
    (c’est-à-dire vérifiant f(F) ⊂ F). Montrer que f(F) = F et f F⊥ = F⊥ .
    Exercice no 15 : (***I)
    Soit f un endomorphisme d’un espace euclidien (E, | ) de dimension n > 2 vérifiant

    ∀(x, y) ∈ E2 , (x|y = 0 ⇒ f(x)|f(y) = 0)


    (f est donc un endomorphisme qui conserve l’orthogonalité). Montrer qu’il existe λ ∈ R+ et g ∈ O(E) tels que f = λg (f
    est alors la composée d’une homothétie vectorielle et d’une isométrie vectorielle et s’appelle une similitude vectorielle).
    Exercice no 16 : (***I)
    Soit (E, | ) un espace euclidien et B = (ei )16i6n une base orthonormée de E.
    1) Soit p une projection. Montrer que : p est une projection orthogonale ⇔ ∀x ∈ E, kp(x)k 6 kxk.
    2) Soit p un endomorphisme de E. Soit P = MatB (p).
    Montrer que : p est une projection orthogonale ⇔ P2 = P et t P = P
    (pour ⇐, vérifier d’abord que ∀(x, y) ∈ E2 , (p(x)|y) = (x|p(y))).
    3) Soit s une symétrie d’un espace euclidien (E, | ). Montrer que s est une symétrie orthogonale ⇔ ∀x ∈ E, ks(x)k = kxk.
    4) Soit s un endomorphisme de E. Soit S = MatB (s).
    Montrer que : s est une symétrie orthogonale ⇔ S2 = In et t S = S.

    http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

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