Professeur référent : Olivier Bouillot

Université Paris-Sud XI
Travail d’Étude et de Recherche

Fonctions elliptiques
Découverte d’un monde périodique
Malek Ait-Kaci
Sébastien Besnier

Orsay, le 4 novembre 2012

Table des matières

1 Fonctions elliptiques : définition et premiers résultats 6

1.1 Les fonctions méromorphes et périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Théorèmes de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Exemples de Weierstaß 13
2.1 La fonction ℘ de Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Un théorème de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Exemples de Jacobi 18
3.1 Construction originale des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Définitions et formules de dérivation et d’addition des fonctions de Jacobi . . . . 20
3.3 Illustrations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Extension aux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Liens entre ℘ et sn 30
4.1 Un lien entre ℘ et sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Expression de ℘ en fonction de sn2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Expression de sn2 en fonction de ℘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Conclusion 32
5.1 Lien entre fonctions et intégrales elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Courbes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Fonctions admettant un théorème d’addition algébrique . . . . . . . . . . . . . . 33

2
Introduction

Pourquoi elliptique ?
Comment calculer le périmètre d’une ellipse ? Une des premières réactions pourrait être de
se dire que le calcul de l’aire étant relativement aisé, celui du périmètre ne devrait pas poser de
problèmes majeurs. Malheureusement, il n’en est rien !
En effet, considérons une ellipse dans le repère orthonormé (O, x, y) :
x2 y 2
+ 2 =1,
a2 b
avec b ≥ a > 0. En effectuant le changement de variable ỹ = ab y, l’équation s’écrit
x2 + ỹ 2 = a2 ,
ce qui est l’équation d’un cercle d’aire a2 π dans le repère (O, x, ỹ). Pour repasser dans le repère
(O, x, y), il suffit de dilater la figure verticalement d’un facteur ab ; l’aire de l’ellipse est donc de
abπ.
Calculons maintenant le périmètre sur le premier cadran ; x prend alors ses valeurs dans
l’intervalle [0; a], et on peut exprimer y comme une fonction de x :
s
x2
y(x) = b 1 − .
a2
La longueur de la courbe est alors donnée par :
q
2
Z aq Z a 1 − (b2 − a2 ) xa2
1 + y 0 (x)2 dx = q dx .
x2
0 0 1− a2

En posant k 2 = b2 − a2 et en effectuant le changement de variable t = xa , on est ramené à

calculer : Z 1√
1 − k 2 x2
√ dx .
0 1 − x2
Cette intégrale ne peut pas s’exprimer de façon explicite grâce aux fonctions usuelles et on
l’appelle intégrale elliptique de seconde espèce.

Dans ce mémoire, nous nous intéresserons en réalité aux fonctions elliptiques de première
espèce. C’est à dire qu’on travaille sur les fonctions f qui vérifient
Z f (x)
1
x= √ √ dx (1)
0 1− x2 1 − k 2 x2

3
où k ∈ [0; 1[ est appelé le module. Cette intégrale n’est pas celle que nous avions obtenu pour
calculer le périmètre de l’ellipse. Elle apparaît cependant naturellement lorsqu’on cherche à
résoudre le problème du pendule simple ; nous allons en donner une heuristique sans chercher à
justifier tous les calculs. Prenons donc un pendule de masse m, suspendu à un fil de longueur l,
soumis à l’accélération g de la pesanteur terrestre. L’angle entre le fil et la vericale est noté θ.
En termes énergétiques, le problème est traduit de la façon suivante :
1
m(l∂t θ)2 + mgl(1 − cos(θ)) = E
2
où E est une constante positive représentant l’énergie mécanique ; le premier terme correspond
à l’énergie cinétique, le second à l’énergie potentiel. En bon mathématiciens, empressons nous
de prendre toutes les constantes égales à 1 ; notons également E = 2k 2 en imposant1 k ∈ [0; 1[.
L’équation devient alors :
1
(∂t θ)2 + 1 − cos(θ) = 2k 2 ,
2
ce que l’on peut encore écrire :
θ
(∂tθ)2 = 4(k 2 − sin2 ( )) . (2)
2
! !
1 θ θ
Effectuons alors le changement de variable φ = arcsin sin . En dérivant sin = k sin(φ),
k 2 2
on obtient :
1 θ
cos( )∂t θ = k cos(φ)∂t φ .
2 2
En élevant au carré, on a alors :
4k 2 (1 − sin2 (φ))
(∂t θ)2 = (∂t φ)2 .
1 − sin2 ( 2θ )
L’équation (2) devient :
4k 2 (1 − sin2 (φ))
2 (∂t φ)2 = 4k 2 (1 − sin2 (φ)) ,
1 − k sin (φ)
2

d’où q
(∂t φ) = 1 − k 2 sin2 (φ) .
En notant φ−1 la fonction réciproque de φ, on a alors2 :
1
(φ−1 )0 (t) = q ,
1 − k 2 sin2 (t)

ce qui implique (en posant u = sin(t)) :

Z x Z sin(x)
dt du
φ−1 (x) = q = √ √ .
0 1 − k 2 sin2 (t) 0 1 − u2 1 − k 2 u2

1. Cette limitation traduit le fait qu’on souhaite étudier un mouvement oscillant ; en effet, si l’énergie
mécanique est trop grande, le pendule tourne autour de son axe au lieu d’osciller.
2. Les physiciens diraient dφ dt 1
dt = truc, donc dφ = truc , mais nous sommes des gens sérieux.

4
On a alors : Z sin(φ(x))
du
x= √ √ ;
0 1 − u2 1 − k 2 u2
autrement dit, nous avons trouvé f comme !
nous le cherchions en (1), il s’agit de la fonction
1 θ
déterminée (pour k 6= 0) par f = sin . On dénomme kf par sn, et on définit cn =
√ √ k 2
1 − sn2 et dn = 1 − k 2 sn2 .

On peut alors constater que ces fonctions ont des propriétés semblables aux fonctions
trigonométriques3 (formules d’addition et de dérivation). De plus, pour k 6= 0, en les étendant au
plan complexe grâce aux formules d’addition, on s’aperçoit qu’il s’agit de fonctions méromorphes
doublement périodiques (dans un sens qui sera précisé dans le document).

De quoi parle ce mémoire ?

Nous prenons en fait dans ce mémoire le contre-pied de cette approche en définissant une
fonction elliptique comme une fonction méromorphe sur C doublement périodique.
Nous nous intéressons dans le premier chapitre aux fonctions périodiques et méromorphes
sur C. Cette étude nous conduit rapidement au théorème 1.2 qui nous apprend que de telles
fonctions ne peuvent pas avoir plus de trois périodes, à moins d’être constantes. Suivent ensuite
des théorèmes attribués à Liouville portant sur les zéros et pôles d’une fonction elliptique.
Le chapitre se finit en définissant la notion d’ordre d’une fonction elliptique (théorème 1.16) ;
la suite du mémoire étudiera les deux types de fonction d’ordre 2 (à savoir les fonctions de
Weierstraß et de Jacobi) et leurs interactions.
Le second chapitre introduit la fonction de Weierstraß ℘. Le résultat le plus intéressant de
ce chapitre est sans aucun doute le théorème de structure 2.6 affirmant que n’importe quelle
fonction elliptique s’exprime comme fraction rationnelle de ℘ et de sa dérivée.
Le troisième chapitre définit rigoureusement les fonctions sn, cn et dn de Jacobi, introduites
ci-dessus. L’essentiel du chapitre est un long fleuve (tranquille ?) où l’on construit petit à petit
ces fonctions, en les définissant tout d’abord sur un segment de R, puis en les étendant à R, et
enfin à C. On y trouvera également des représentations illustrant la dépendance en k de ces
fonctions.
Pour ces deux types de fonction (Weierstaß et Jacobi), on établit des formules d’addition.
Le quatrième et dernier chapitre donne finalement les liens entre les fonctions de Weierstraß
et de Jacobi.

3. En prenant k = 0, on retombe d’ailleurs exactement sur les fonctions trigonométriques

5
Chapitre 1

Fonctions elliptiques : définition et

premiers résultats

1.1 Les fonctions méromorphes et périodiques

Ω désignera dans cette section un ouvert connexe. De plus, sans précisions supplémentaires,
un disque sera ouvert.
En guise d’entrée en matière, cette section se propose de montrer un premier théorème de
structure sur l’ensemble des fonctions méromorphes. Nous classifierons ces fonctions par leurs
propriétés de périodicité ; nous verrons notamment qu’une fonction méromorphe ne peut avoir
plus de deux périodes distinctes (dans un sens à préciser). Pour cela, nous donnons la définition
suivante de période :
Définition 1.1 Une fonction f : Ω → C est périodique de période λ si pour tout z dans Ω,
z + λ ∈ Ω et f (z + λ) = f (z).
On note alors Λ l’ensemble des périodes de f .
Notons que 0 est toujours une période, et Λ = C si, et seulement si, f est entière et constante.
Il est également immédiat que Λ est un Z−module. Le théorème annoncé plus haut s’écrit alors :

Théorème 1.2 Soit f : Ω → C une fonction méromorphe non constante et Λ son ensemble de
périodes. Il y a alors exactement trois possibilités :
• Λ = {0},
• il existe λ ∈ C∗ tel que Λ = Zλ, de module minimal,
• il existe un couple (λ1 ; λ2 ) ∈ (C∗ )2 tel que Im( λλ21 ) 6= 0, Λ = Zλ1 + Zλ2 , et (|λ1 |, |λ2 |)
minimal (pour l’ordre lexicographique1 sur R2 ) pour cette propriété.
Lorsque nous serons dans le troisième cas, nous appellerons alors λ1 et λ2 des périodes
fondamentales.

Remarque 1.3 En général, il n’y a pas unicité des périodes fondamentales, comme l’illustre la
figure 1.1.
1. C’est à dire défini par : (x; y) 4 (x0 ; y 0 ) ⇔ x < x0 ou (x = x0 et y ≤ y 0 )

6
 λ02
λ1 λ2

λ01

Figure 1.1 – Illustration du troisième cas du théorème : dans les deux graphiques, les points noirs
représentent les éléments de Λ. (λ1 ; λ2 ) et (λ01 ; λ02 ) sont deux choix distincts de périodes fondamentales.

Nous pouvons immédiatement déduire du théorème le résultat suivant, du à Jacobi :

Corollaire 1.4 Une fonction méromorphe avec trois périodes indépendantes est constante.

Si Λ = {0}, on est dans le premier cas. On suppose donc maintenant Λ 6= {0} .

La démonstration du théorème se découpe en deux temps principaux. On montre d’abord que

l’ensemble des périodes est discret ; ceci est une conséquence du principe des zéros isolés. Pour
finir, on construit une base (de Z-module) (à un ou deux éléments selon les cas) de l’ensemble
des périodes.

Nous commençons donc la preuve par un résultat topologique :

Lemme 1.5 L’ensemble Λ des périodes est discret dans C ; c’est à dire qu’il ne contient pas de
points d’accumulation.
Preuve. Supposons par l’absurde que l’ensemble Λ possède un point d’accumulation λ∞ dans
C . On peut alors trouver une suite (λn )n∈N de périodes distinctes de λ∞ telle que λn → λ∞ .
Soit z0 ∈ Ω . Comme f est périodique, f (z0 ) = f (z0 + λn ) ; par continuité de f , on a de plus
f (z0 + λn ) → f (z0 + λ∞ ) et donc f (z0 ) = f (z0 + λ∞ ). En considérant alors la fonction méromorphe
g : Ω → C définie par g(z) = f (z) − f (z0 ), on constate que z0 + λ∞ est un zéro non isolé de g. Donc
g est nulle et f constante, ce qui contredit notre hypothèse.

Λ étant discret dans C, l’ensemble {|λ|; λ ∈ Λ \ {0}} l’est également et il existe un élément
λ1 de Λ tel que |λ1 | = min{|λ|; λ ∈ Λ \ {0}}.
Les Zλ1 sont des éléments de Λ situés sur la droite Rλ1 ; par minimalité de |λ1 |, ce sont les
seuls éléments de cette droite appartenant à Λ : si z = rλ1 ∈ Λ avec r ∈ R \ Z, on construit2
z 0 = z − E(r)λ1 ∈ Λ qui est de norme (r − E(r))|λ1 | < |λ1 | .
2. E désigne la partie entière inférieure.

7
 Si Λ \ Zλ1 est vide, Λ = Zλ1 et nous sommes alors dans le second cas du théorème.

Supposons maintenant Λ \ Zλ1 non vide et notons λ2 un élément de valeur absolue minimale
de cet ensemble (il existe bien par le lemme 1.5) ; par construction, |λ1 | ≤ |λ2 |. Le résultat
suivant va nous permettre de conclure que nous sommes alors dans le troisième cas du théorème :

Lemme 1.6 Si Λ \ Zλ1 6= ∅, tout élément λ de Λ possède une unique représentation :

λ = n1 λ1 + n2 λ2 , (n1 , n2 ∈ Z) .

Preuve. Comme λ2 n’est pas sur la droite vectorielle engendrée par λ1 , (λ1 , λ2 ) forme une base
R-espace vectoriel C. Ainsi, il existe µ1 , µ2 dans R tels que λ = µ1 λ1 + µ2 λ2 . Prenons maintenant
deux entiers n1 , n2 tels que |µj − nj | ≤ 12 , pour j = 1, 2 et considérons λ0 = λ − n1 λ1 − n2 λ2 =
(µ1 − n1 )λ1 + (µ2 − n2 )λ2 ∈ Λ. De plus, λ1 et λ2 n’étant pas colinéaires, l’inégalité triangulaire
suivante est stricte :

|λ0 | < |µ1 − n1 ||λ1 | + |µ2 − n2 ||λ2 |

1 1
≤ |λ1 | + |λ2 |
2 2
≤ |λ2 | .

Ainsi, par minimalité de |λ2 |, λ0 est un élément de (nλ1 )n∈Z et donc on peut trouver un entier n tel
que λ0 = nλ1 . Finalement, λ = (n1 + n)λ1 + n2 λ2 . L’unicité annoncée découle immédiatement de
l’unicité d’écriture d’un vecteur dans une base dans un espace vectoriel.

Le théorème 1.2 est donc démontré. Le cas des fonctions méromorphes admettant exactement
deux périodes est le sujet principal de ce mémoire.

Définition 1.7 Une fonction méromorphe sur C admettant exactement deux périodes fonda-
mentales distinctes est appelée fonction elliptique.

Nous pouvons dès à présent constater que l’ensemble des fonctions elliptiques sur un réseau
donné est un corps différentiel3 . La suite du chapitre aura pour objet de donner quelques
propriétés intéressantes de ces fonctions.

1.2 Théorèmes de Liouville

On va déterminer dans cette partie des propriétés sur les zéros et les pôles d’une fonction
elliptique. Ces résultats intéressants en soi permettront aussi de préparer le terrain à un
théorème de structure sur l’ensemble des fonctions elliptiques. Pour cela, donnons nous un
réseau Λ = Zλ1 + Zλ2 avec (λ1 ; λ2 ) des périodes fondamentales.

Définition 1.8 On appelle un parallélogramme fondamental de Λ l’enveloppe convexe de

l’ensemble {α; α + λ1 ; α + λ1 + λ2 ; α + λ2 } avec α ∈ C .

8
 α + λ1 + λ2
α + λ2

α + λ1
α

Figure 1.2 – Un parallélogramme fondamental issu de α

Le résultat préliminaire suivant concerne les résidus de f et nous sera utile pour démontrer
le théorème 1.10.

Théorème 1.9 Soient f une fonction elliptique et P un parallélogramme fondamental de Λ tel

que f n’ait ni zéro ni pôle sur la frontière4 de P .
Alors la somme des résidus de f dans P est nulle.

Preuve. D’après le théorème des résidus :

Z X
f (z)dz = 2iπ Res(f, a) ,
∂P a∈S

où S est l’ensemble des pôles de f dans P . Or comme f est de période λ2 , on a :

Z α+λ1 Z α+λ2 +λ1
f (z)dz = f (z)dz .
α α+λ2

De même, f est de période λ1 . Les intégrales sur les deux autres segments s’annulent aussi. On a
donc : X
2iπ Res(f, a) = 0 .
a∈S

Le théorème qui suit sera un argument clef pour le théorème de structure 2.6 page 16.

Théorème 1.10 Soient f une fonction elliptique et P un parallélogramme fondamental de Λ

tel que f n’ait ni zéro ni pôle sur la frontière de P . Notons {ai }i∈I les points singuliers5 (zéros
et pôles) de f à l’intérieur de P , et mi l’ordre de multiplicité de ai .
Alors : X
mi = 0 .
i∈I

3. Un corps différentiel K est un corps muni d’une opération de dérivation ∂ : K → K tel que ∂ soit un
morphisme de groupe additif et vérifie l’égalité de Leibniz : ∂(uv) = ∂(u)v + u∂(v). Ici, ∂ est la dérivation
holomorphe.
4. On peut toujours trouver un tel P , le nombre de zéros et pôles de f dans un parallélogramme étant fini ;
en effet, l’ensemble de ces zéros et pôles est discret et le parallélogramme est compact.
5. Où I est un ensemble fini d’indice.

9
 f0
Preuve. Comme f est elliptique, f 0 l’est et l’est aussi6 . On peut alors appliquer le théorème
f
f0
1.8 à :
f
f 0 (z) f0
Z
X
0= dz = 2iπ Res( , a) ,
∂P f (z) a∈S
f

f0
où S est l’ensemble des pôles de dans P . On termine en se rappelant que Res(f 0 /f, ai ) = mi .
f


Pour unifier le discours, nous posons la définition suivante :

Définition 1.11 (Point singulier) Si u est un pôle d’ordre k, nous dirons que u est un point
singulier d’ordre -k, et si u est un zéro d’ordre k, nous dirons alors que u est un point singulier
d’ordre k. Nous noterons alors ordu f l’ordre7 d’un point singulier u.

Remarque 1.12 Nous pouvons alors reformuler le théorème 1.10 en disant que la somme des
ordres des points singuliers de f sur le tore C/Λ est égale à zéro. Nous utiliserons cette vision
dans la suite.

Corollaire 1.13 Soient f une fonction elliptique et P un parallélogramme fondamental de Λ

tel que f n’ait ni zéro ni pôle sur la frontière.
Alors, f a au moins deux pôles en comptant l’ordre de multiplicité.

Preuve. En effet, si f n’a aucun pôle, elle est holomorphe et bornée, donc constante et n’est donc
pas elliptique. Si f possède un unique pôle de multiplicité 1 le théorème 1.10 est mis en défaut.

Le théorème 1.15 donne un joli résultat. Le point astucieux de la preuve est la démonstration
du lemme suivant :
Lemme 1.14 Soit f une fonction elliptique, α dans le domaine de définition de f et λ une
période de f .
Alors :
α+λ f 0 (z)
Z
dz ∈ 2iπZ .
α f (z)
f 0 (α + λ) f 0 (α)
Preuve. Soit γ un chemin de α à α + λ évitant les pôles et zéros de f . Comme = ,
f (α + λ) f (α)
f (γ) est un chemin fermé. On a alors

f 0 (z)
Z Z
α+λ dω
dz = = 2iπ Ind(f (γ), 0) .
α f (z) f (γ) ω
Comme l’indice d’une fonction est à valeur entière, le lemme est bien démontré.


6. On a vu que l’ensemble des fonctions elliptiques était un corps différentiel.
7. Noter qu’il s’agit d’un entier relatif.

10
Théorème 1.15 Soient f une fonction elliptique et P un parallélogramme fondamental de
Λ tel que f n’ait ni zéro ni pôle sur la frontière. Notons {ai }i∈I les points singuliers de f à
l’intérieur de P et mi l’ordre de multiplicité de ai .
Alors : X
mi ai = 0 (mod Λ) .
i∈I

Preuve. Pour tout ai , il existe une fonction g holomorphe sur un voisinage de ai , non nulle telle
que f (z) = (z − ai )mi g(z). Donc :

f 0 (z) mi g 0 (z)
z = z( + )
f (z) z − ai g(z)
mi ai g 0 (z)
= mi + +z .
z − ai g(z)
Ainsi :
f 0 (z)
Res(z , ai ) = mi ai .
f (z)
Par le théorème des résidus :
f 0 (z)
Z X
z dz = 2iπ mi ai .
∂P f (z) i∈I

Regardons à présent le membre de gauche de cette égalité :

f 0 (z) f 0 (z) f 0 (z)

Z Z α+λ1 Z α+λ2 +λ1
z dz = z dz − dzz
∂P f (z) α f (z) α+λ2 f (z)
f 0 (z) f 0 (z)
Z α+λ1 +λ2 Z α
+ z dz − z dz .
α+λ1 f (z) α+λ2 f (z)

f0
Or, avec le changement de variable w = z − λ2 , étant λ2 -périodique, on a :
f

f 0 (z) f 0 (w)
Z α+λ2 +λ1 Z α+λ1
z dz = (w + λ2 ) dw .
α+λ2 f (z) α f (w)
D’où :
f 0 (z) f 0 (z)
Z α+λ1 Z α+λ2 +λ1 Z α+λ1 0
f (z)
z dz − z dz = λ2 dz .
α f (z) α+λ2 f (z) α f (z)
En effectuant un travail similaire sur l’autre paire d’intégrales, on obtient :

f 0 (z)
Z α+λ1 0 Z α+λ2 0
f (z) f (z)
Z
z dz = λ2 dz − λ1 dz .
∂P f (z) α f (z) α f (z)

Le lemme 1.14 permet alors de trouver k, k 0 entiers tels que

mi ai = 2iπ(λ1 k + λ2 k 0 ) .
X
2iπ
i∈I

Nous pouvons dégager la notion d’ordre d’une fonction elliptique.

11
Théorème 1.16 (Définition de la notion d’ordre) Soient f une fonction elliptique, P un
parallélogramme fondamental de Λ et c ∈ C tel que f − c n’ait ni zéro ni pôle sur le bord de P .
Alors le nombre de solutions de l’équation f (z) = c situées à l’intérieur de P ne dépend que
de f et et est égal au nombre de pôle de f . On appelle alors ce nombre ordre8 de f .

Preuve. D’après le principe de l’argument9 en notant respectivement Z et S le nombre de zéros et

de pôles de f − c contenus dans P (avec multiplicité), on a :

1 f 0 (z)
Z
dz = Z − S .
2iπ ∂P f (z) − c

En procédant comme dans le théorème 1.9, on obtient :

f 0 (z)
Z
dz = 0 ,
∂P f (z) − c

d’où Z = S. Il ne reste plus qu’à remarquer que les pôles de f − c sont les pôles de f pour conclure.

Le corollaire 1.13 se reformule alors en disant que toute fonction elliptique est au moins
d’ordre 2.

Dans la suite de ce mémoire, nous nous intéresserons aux fonctions elliptiques d’ordre 2.
Elles sont de deux types, celles possédant un pôle d’ordre 2 (de type Weierstraß), et celles
possédant deux pôles simples (de type Jacobi) à l’intérieur d’un parallélogramme fondamental.
Nous montrerons que l’on peut passer d’une famille à l’autre.

8. Attention à ne pas confondre avec l’ordre d’un point singulier défini en 1.11.
9. Principe de l’argument
Z 0 : si γ est un lacet simple positivement orienté formant le bord ∂K d’un compact
1 f (z)
régulier K, alors dz = Zf,K − Pf,K , où Zf,K et Pf,K représentent respectivement le nombre de zéros
2iπ γ f (z)
et de pôles de f dans K comptés avec leur multiplicité.

12
Chapitre 2

Exemples de Weierstaß

2.1 La fonction ℘ de Weierstraß

Dans le chapitre précédent, nous avons établi quelles formes devaient avoir les fonctions
méromorphes périodiques. Il est aisé de construire des fonctions ne présentant qu’une seule
période1 ; cependant, il est moins évident de construire des fonctions non triviales admettant
deux périodes fondamentales distinctes. Cette section va en exhiber un exemple2 : la fonction ℘
de Weierstraß.
Pour cela, donnons nous un réseau Λ = Zλ1 + Zλ2 avec Im( λλ12 ) 6= 0. La fonction ℘ que nous
allons définir va dépendre du réseau choisi ; ainsi, en toute rigueur, nous devrions la noter ℘Λ .
Cependant, pour ne pas alourdir les notations nous la noterons simplement ℘.
Propriété 2.1 (Définition de la fonction ℘ de Weierstraß) Pour z ∈ C\Λ, nous définis-
sons !
1 X 1 1
℘(z) = 2 + +
z λ∈Λ0
(z − λ)2 λ2
où λ dans Λ0 = Λ \ {0}.
La série de fonctions définissant ℘ est uniforemément convergente sur tout compact disjoint
1 1
de Λ. Par conséquent, comme chaque z 7−→ (z−λ) 2 + λ2 est méromorphe, ℘ est également

méromorphe.
   
1 1  1
Comme pour z dans un compact disjoint de Λ, on a  (z−λ) 2 − =O , il suffit de

λ2 |λ|3

montrer le lemme suivant pour établir cette proposition :
X 1
Lemme 2.2 Si α > 2, alors α
converge3 .
λ∈Λ0 |λ|
Preuve. Le résulte découle de l’équivalence de normes en dimension finie. Comme (λ1 , λ2 ) forme
une base du R−espace vectoriel C, l’application définie par N (x1 λ1 + x2 λ2 ) = max(|x1 |, |x2 |) est
une norme, qui est équivalente à | · |. Il suffit donc de montrer que la série
X 1
max(|n1 |, |n2 |)
(n1 ,n2 )∈Z2 \{0}

1. Penser par exemple aux fonctions trigonométriques.

2. Nous verrons dans la section suivante que cet exemple sera en fait fondamental.
3. La réciproque est également vraie : si α ≤ 2, la série diverge

13
 est convergente. Cette série se découpe suivant les quatre quadrants et vaut donc
∞ ∞ X
∞
X 1 X 1
4 +4 .
nα
n1 =1 1 n1 =1 n2 =1
max(n1 , n2 )α

Or peut majorer la somme sur tous les couples (n1 , n2 ) par deux fois la somme sur les couples tels
que n1 ≥ n2 . La série est donc majorée par
∞ ∞
X 1 X n1
4 +8
n1 =1
nα1 n1 =1
nα1

qui converge car α > 2.

La périodicité de ℘ n’est pas immédiate, nous utiliserons celle de ℘0 pour l’établir :

Propriété 2.3 ℘ est paire et Λ−périodique.
Preuve. La parité de ℘ est quasi immédiate : il suffit de réaliser que sommer sur les points du
réseau ou sur leurs opposées revient au même (il s’agit d’un changement d’indice de sommation).
La convergence de la série définissant ℘ étant uniforme sur tout compact, on peut donc dériver
terme à termes pour calculer ℘0 :
1
℘0 (z) = −2
X

λ∈Λ
(z − λ)3

(noter que l’on somme cette fois sur Λ tout entier). ℘0 est alors clairement Λ−périodique ; dit
autrement,
∂
(℘(z + λ1 ) − ℘(z)) = 0 .
∂z
Comme C \ Λ est connexe, il existe donc C ∈ C tel que

℘(z + λ1 ) = ℘(z) + C,

d’où, en prenant z = −λ1 /2,

℘(λ1 /2) = ℘(−λ1 /2) + C .
Or ℘ étant paire, on a C = 0. En raisonnant de même avec λ2 , on a bien montré que ℘ est
Λ−périodique.


Pour conclure nous donnons deux propriété sur la fonction ℘. La propriété 2.4 est une
formule d’addition, alors que la propriété 2.5 donne une équation différentielle vérifiée par ℘ ;
nous aurons des résultats de même nature pour les fonctions de Jacobi dans le chapitre suivant.

Propriété 2.4 Pour z1 , z2 ∈ C/Λ, z1 et z2 non nuls, en notant Mz1 ,z2 la matrice

℘0 (z1 )
 
℘(z1 ) 1
0
Mz1 ,z2 =  ℘(z2 ) ℘ (z2 ) 1


℘(z1 + z2 ) −℘0 (z1 + z2 ) 1

on a det(Mz1 ,z2 ) = 0 .

14
 Preuve. Soit z1 et z2 non nuls dans C/Λ. Supposons dans un premier temps que ℘(z1 ) 6= ℘(z2 ).

Soient A, B ∈ C tel que ℘0 (zi ) = A℘(zi ) + B pour i ∈ {1; 2}, et soit φ(z) = ℘0 (z) − A℘(z) − B.
Il est facile de voir que φ est elliptique et possède un pôle d’ordre 3 en 0. D’après le théorème 1.10,
φ possède donc trois zéros (comptés avec multiplicités) dans le tore. Il existe donc z3 ∈ C/Λ tels que
z1 , z2 et z3 sont les zéros de φ (éventuellement, z3 = z1 ou z2 ).
D’après le théorème 1.15, on a alors z1 + z2 + z3 = 0 (mod Λ). D’où :

φ(z3 ) = 0 = ℘0 (−z1 − z2 ) − A℘(−z1 − z2 ) − B .

Or ℘ étant paire et ℘0 impaire, on a :

−℘(z1 + z2 ) = A℘(z1 + z2 ) − B .

En injectant cette identité dans le calcul du déterminant (développer par rapport à la dernière
colonne), on arrive sans difficulté à la relation annoncée.

Dans le cas où ℘(z1 ) = ℘(z2 ), on considère ξh = z2 + h tel que ξh ∈ C \ Λ. Pour h proche de 0,

on a bien ℘(z1 ) 6= ℘(ξh ) et donc det(Mz1 ,ξh ) = 0 . Par continuité de l’application h 7−→ det(Mz1 ,ξh ),
on a alors det(Mz1 ,z2 ) = 0 .

Propriété 2.5 La fonction ℘ vérifie l’équation différentielle suivante

℘0 (z)2 = 4℘(z)3 − g2 ℘(z) − g3

X 1 X 1
où g2 = 60 et g 3 = 140 .
λ∈Λ0
λ4 λ∈Λ0
λ6

Nous nous contenterons d’esquisser la preuve de cette propriété :

Preuve. L’idée de la preuve est de développer ℘ en série de Laurent autour de ces pôles, puis
grâce à ce dévellopement, remarquer que z 7−→ ℘0 (z)2 − 4℘(z)3 + g2 ℘(z) + g3 se prolonge en 0 en ces
pôles ; elle sera alors bornée donc constante d’après le théorème de Liouville.

L’introduction indiquait page 3 que l’on cherchait à étudier des fonctions f tels que :
Z f (x)
dx
x= √ √
0 1 − t2 1 − k 2 t2
Or, d’après l’équation différentielle obtenue, on aurait plutôt un polynôme de degré 3 sous la
racine. Nous laisserons le lecteur se convaincre qu’un changement de variable approprié permet
de passer d’une forme à l’autre.

15
2.2 Un théorème de structure
Dans la section précédente, nous avons exhibé une fonction elliptique. Nous allons voir ici
qu’en réalité, il n’y en a pas "beaucoup d’autres". En se fixant un réseau Λ comme précédemment,
nous allons en effet montrer le théorème suivant :

Théorème 2.6 Le corps des fonctions elliptiques est engendré par ℘ et ℘0 . Autrement dit, une
fonction elliptique est une fraction rationnelles en ℘ et ℘0 .

Le reste de cette section est dédiée à la démonstration de ce résultat. Nous aurons notamment
besoin du théorème de Liouville 1.10 énoncé page 9.
Revenons à la preuve du théorème 2.6 : comme une fonction peut toujours se décomposer en
une somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire, il suffit alors de montrer le théorème
pour les fonction présentant une parité. De plus, comme ℘0 est impaire, si f est impaire, le
produit f ℘0 est paire. Nous pouvons donc nous contenter d’établir le résultat suivant pour
prouver le théorème :

Propriété 2.7 Soit f une fonction elliptique paire, alors elle s’écrit comme une fraction
rationnelle en ℘.

Nous aurons alors directement le corollaire suivant :

1
Corollaire 2.8 Soit f une fonction elliptique impaire, alors f = ℘0
g où g est une fraction
rationnelle en ℘.

Démontrons maintenant la proposition 2.7 et prenons f comme dans l’énoncé. L’idée est de
construire une fonction g, fraction rationnelle en ℘ dont les points singuliers, considérés avec
leurs multiplicités, sont exactement ceux de f . Ainsi, g/f sera entière et bornée, donc constante
par le théorème de Liouville, ce qui démontrera le résultat.

La succession de remarques suivantes va nous permettre de construire une telle fonction g.

Lemme 2.9 Soit f une fonction elliptique paire.

1. Si u est un point singulier de f d’ordre k, alors il en est de même pour −u.

2. Si u est un point singulier tel que u = −u (mod Λ)( i.e. 2u = 0 (mod Λ)), alors u est
d’ordre au moins deux.

3. Soit u 6= 0 (mod Λ) et hu : z 7−→ ℘(z) − ℘(u). Si 2u 6= 0 (mod Λ), alors u et −u sont les
deux seuls zéros de hu (sur le tore) et ils sont simples. Sinon, u est le seul zéro de hu et
est d’ordre 2.

4. Si u est un point singulier de f tel que 2u = 0, u 6= 0 (mod Λ), alors u est d’ordre pair.
Preuve. Soit f une fonction elliptique paire.
1. Comme f est elliptique paire, les fonctions z ∈ C/Λ 7−→ f (z) et z ∈ C/Λ 7−→ f (−z) sont
identiques. Donc si u est un point singulier d’ordre k, il en va de même pour −u.

16
 2. Soit u un point singulier tel que u = −u(mod Λ) ; f étant paire, f 0 est impaire et f 0 (u) = −f 0 (−u).
Comme f 0 est Λ−périodique, on a f 0 (u) = −f 0 (u) d’où f 0 (u) = 0.

3. Comme ℘ (et donc hu ) ne possède qu’un seul pôle sur le tore (à savoir 0(mod Λ)) qui est d’ordre
2, d’après la remarque 1.12, la somme des ordres des zéros de hu doit aussi être 2. Donc si
2u 6= 0 (mod Λ), u et −u sont deux zéros simples de hu ; d’après le 2., si 2u = 0 (mod Λ),u est
au moins d’ordre 2, donc exactement d’ordre 2. Dans les deux cas, hu n’a pas d’autres zéros.

4. Pour u un zéro, si f (u)/hu (u) 6= 0 alors ordu f = 2. Si f (u)/hu (u) = 0, comme f /hu est elliptique
et paire, on peut lui appliquer le 2. et recommencer. Pour u un pôle, raisonner de même en
considérant f hu .

Nous avons maintenant assez de matériel pour construire g. D’après le 1. du lemme précédent,
l’ensemble
Z = {u 6= 0(mod Λ); u est un point singulier de f }
se partitionne donc en ri=1 {ui , −ui }. Pour chaque ui , trouvons un entier mi tel que la fonction
S

gi : z 7−→ [℘(z) − ℘(ui )]mi présente une singularité du même ordre que f en ui . Les 3. et 4. du
lemme nous permettent alors de poser :

mi = ordui f si 2ui 6= 0 (mod Λ)

1
mi = ordui f si 2ui = 0 (mod Λ) .
2
Donc par construction, la fonction g : z 7−→ ri=0 gi (z) a bien le même ordre que f en tout
Q

z 6= 0 (mod Λ). Grâce au théorème 1.10, cela reste vrai en 0 (mod Λ). Nous avons donc démontré
la propriété 2.7 et le théorème 2.6.

Pour conclure ce chapitre, nous allons donner explicitement l’expression de ℘00 (qui est
elliptique) en fonction de ℘ et ℘0 . En exprimant les fonctions sous forme de séries, le résultat
semble très complexe à obtenir. En revanche, en se servant de l’équation de la propriété 2.5, le
problème devient trivial. En effet, en dérivant l’expression

℘02 = 4℘3 + g2 ℘ + g3 ,

on obtient
2℘0 ℘00 = 12℘0 ℘2 + g2 ℘0 ,
puis
1
℘00 = 6℘2 + g2 .
2

17
Chapitre 3

Exemples de Jacobi

Nous allons dans ce chapitre définir les fonctions de Jacobi sn, cn et dn qui sont des analogues
des fonctions trigonométriques. Afin de faire le lien entre ces deux types de fonctions, nous
commençons dans une première partie par définir de manière non conventionnelle les fonctions
trigonométriques. La construction des fonctions de Jacobi sera très fortement calquée sur cette
définition. Nous verrons à la fin du chapitre qu’elles sont elliptiques.

3.1 Construction originale des fonctions trigonométriques

Considérons la fonction
Z
1 dt
u : [−1; 1] → R et A= √ .
0 1 − t2
Z
x dt
x 7−→ √
0 1 − t2

Cette fonction est impaire, strictement croissante sur [0; 1], valant1 0 en 0 et A en 1. La
fonction u est donc une bijection de [−1; 1] sur [−A; A] et sa fonction réciproque u−1 est aussi
impaire et strictement croissante. On pose alors les définitions suivantes.

Définition 3.1 Pour x ∈ [−A; A], on définit le sinus et le cosinus par

( −1
sin(x) = u
q
(x),
cos(x) = 1 − sin2 (x) .
π
1. Il est bien connu que A = ; cependant, on suppose ici qu’on ne le sait pas et on définit le nombre π par
Z 2
1 dt
π=2 √
0 1 − t2

18
 À partir de ces définitions, on retrouve très simplement les relations suivante :

sin(0) = 0 cos(0) = 1,




π π

    

sin =1 cos = 0,






 2 2

∂ 1 q
 (sin(x)) = 0 = 1 − sin2 (x) = cos(x),



 ∂x u (sin(x))

∂ −2 cos(x) sin(x)



(cos(x)) = q = − sin(x) .




 ∂x 2 1 − sin2 (x)

De ces formules de dérivation on retrouve aisément les formules d’addition usuelles :

Propriété 3.2 Pour x, y dans [−A; A] tels que x + y soit aussi dans [−A; A], on a

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x),

cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) .

Preuve. Considèrons la fonction f définie par

f (x, y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) .

En dérivant partiellement, on a ∂x f = ∂y f ; on en déduit que f (x, y) = F (x + y) où F est une

fonction de R dans R. Comme F (x) = f (x, 0) = sin(x), la première formule est bien établie. Pour
obtenir la seconde, on peut dériver la première par rapport à x.

Pour l’instant, ces fonctions sont définies sur [−A; A]. Cherchons à étendre la définition du
sinus et du cosinus à R tout entier tout en préservant ces formules d’addition. Pour x ∈ [A; 2A],
cela impose :

sin(x) = sin((x − A) + A) = sin(x − A) cos(A) + sin(A) cos(x − A) = cos(x − A) .

De manière similaire, pour x ∈ [A; 2A] on obtient

cos(x) = − sin(x − A) .

Par récurrence, on définit alors facilement sin et cos sur R+ , puis sur R tout entier grâce aux
propriétés de parité.

Remarque 3.3 Nous aurions pu étendre ces définitions par un tout autre moyen. En effet,
connaissant les formules de dérivation, on peut en déduire les développements en série entière
du sinus et du cosinus grâce à la formule de Taylor-McLaurin. Les rayons des séries entières
étant infinis, on peut alors définir ces deux fonctions trigonométriques sur le plan complexe tout
entier. Les formules d’additions sont évidemment encore conservées.

19
3.2 Définitions et formules de dérivation et d’addition
des fonctions de Jacobi
Soit k ∈ [0; 1[ , on pose :
Z
1 dt
u : [−1; 1] → R et K= √ √ .
0 1 − t 1 − k 2 t2
2
Z
x dt
x 7−→ √ √
0 1 − t2 1 − k 2 t2
Par les mêmes arguments que dans la section précédente, u est une bijection de [−1; 1] dans
[−K; K], ce qui nous permet de poser les définitions suivantes.

Définition 3.4 Pour x dans [−K; K] on définit les fonctions sn, cn, dn par :

sn(x) = u−1 (x),





 q

cn(x) = 1 − sn2 (x) ,

 q

1 − k 2 sn2 (x)


dn(x) =

(les fonctions cn et dn sont bien définies car sn prend ses valeurs dans [−1 ; 1]). Ces fonctions
dépendent de k, qu’on appelle le module ; c’est pourquoi on notera parfois sn(x, k), cn(x, k) et
dn(x, k) lorsqu’il sera utile de mettre le module en évidence.

Remarque 3.5 On retrouve très facilement les fonctions trigonométriques à partir des fonctions
de Jacobi. En effet, pour k = 0, on a sn(·, 0) = sin et cn(·, 0) = cos. De plus, on pourrait prendre
k = 1 dans les définitions ci-dessus, et on aurait sn(·, 1) = sinh ; en revanche, nous n’avons pas
d’identité équivalente entre cn et cosh. C’est cette dissymétrie qui nous pousse à ne définir ces
fonctions que pour k ∈ [0, 1[ ; ce choix évitera de distinguer le cas k = 1 dans la plupart des
raisonnements.

On peut alors déterminer des propriétés immédiates pour ces fonctions de manière analogue au
travail fait pour les fonctions trigonométriques :

 sn(0) = 0, cn(0) = 1,
dn(0) = 1,
√
 sn(K) = 1, cn(K) = 0, dn(K) = 1 − k 2 .
√
Posons k 0 = 1 − k 2 , qu’on appellera le co-module. Pour x ∈ [−K; K] on, a les identités :

sn2 (x, k) + cn2 (x, k) = 1,






dn2 (x, k) + k 2 sn2 (x, k) = 1,






 k 2 cn2 (x, k) + k 02 = dn2 (x, k),

cn2 (x, k) + k 02 sn2 (x, k) = dn2 (x, k) .



Les fonctions de Jacobi vérifient les formules de dérivations suivantes, analogues à celle des
fonctions trigonométriques.

20
Propriété 3.6 Pour tout x dans ] − K; K[

d
[sn(x)] = cn(x)dn(x),



dx






 d
[cn(x)] = −sn(x)dn(x),




dx
d


[dn(x)] = −k 2 sn(x)cn(x) .




dx
Preuve. Pour la première expression, on part de la définition de la fonction u. Pour tout x ∈] − 1; 1[
,
d 1
[u(x)] = √ √ .
dx 1 − x2 1 − k 2 x2
D’où, pour tout x ∈] − K; K[ ,
d q q
[sn(x)] = 1 − sn(x)2 1 − k 2 sn(x)2 = cn(x)dn(x) .
dx
Pour la seconde expression, on dérive l’identité sn2 (x) + cn2 (x) = 1 , et on obtient :
d d
[cn(x)]cn(x) − [sn(x)]sn(x) = 0 .
dx dx
Comme x ∈] − K, K[, cn(x) 6= 0, on peut simplifier par cn(x) :
d
[cn(x)] = dn(x)sn(x) .
dx
La dernière expression se détermine de manière similaire.

Comme pour les fonctions trigonométriques on peut déterminer des formules addition à
partir de ces formules de dérivation.
Théorème 3.7 Pour (x, y) ∈ [0; K]2 tel que x+y ∈ [−K; K], en posant βxy = 1−k 2 sn2 (x)sn2 (y),
on a

βxy sn(x + y) = sn(x)cn(y)dn(y) + sn(y)cn(x)dn(x),

βxy cn(x + y) = cn(x)cn(y) − sn(x)sn(y)dn(x)dn(y),
βxy dn(x + y) = dn(x)dn(y) − k 2 sn(x)sn(y)cn(x)cn(y) .

Preuve. Nous démontrons uniquement la première formule, les autres s’en déduisent grâce aux
différentes identités énoncées plus haut.
La démonstration est très semblable à celle des formules d’additions pour les fonctions trigonométriques ;
pour x, y dans [0; K] tels que x + y reste dans [0; K], nous définissons f par (comme |k|, |sn| ∈ [0, 1[,
βxy est bien non nul) :

sn(x)cn(y)dn(y) + sn(y)cn(x)dn(x)
f (x, y) =
βxy

et montrons que f (x, y) = sn(x + y).

21
 Pour abréger les notations posons :

 sx = sn(x),
 sy = sn(y),
cx = cn(x), cy = cn(y),

 d = dn(x), d = dn(y),
x y

En dérivant partiellement par rapport à x, on obtient

2
βxy ∂x f = βxy [cx dx cy dy + sy (−sx dx dx + cx (−k 2 sx cx ))] − [(sx cy dy + sy cx dx )(−k 2 s2y (2sx cx dx ))]
= βxy [cx dx cy dy − sx sy (d2x + k 2 c2x )] + 2k 2 sx cx dx s2y (sx cy dy + sy cx dx )
= cx dx cy dy (βxy + 2k 2 s2x s2y ) − sx sy [βxy (d2x + k 2 c2x ) − 2k 2 s2y c2x d2x ]
= cx dx cy dy (1 + k 2 s2x s2y ) − sx sy (d2x d2y + k 2 c2x c2y ) .

Cette expression étant symétrique en x et y, tout comme celle de la fonction f , on en conclut que
∂x f = ∂y f . On a donc f (x, y) = F (x + y) pour une certaine fonction F . Or comme :

sn(x)cn(0)dn(0) + sn(0)cn(x)dn(x)
F (x) = f (x, 0) = = sn(x),
1 − k 2 sn2 (x)sn2 (0)

on a bien f (x, y) = F (x + y) = sn(x + y) .

Comme pour les fonctions trigonométriques, on cherche à étendre les domaines de définitions
de ces fonctions à R tout en préservant ces formules d’addition. Pour x ∈ [K; 2K], cela impose :

sn(x − K)cn(K)dn(K) + sn(K)cn(x − K)dn(x − K)

sn(x) = sn((x − K) + K) = ,
1 − k 2 sn2 (x − K)sn2 (K)

c’est-à-dire
cn(x − K)dn(x − K) cn(x − K)
sn(x) = = .
1 − k 2 sn2 (x − K) dn(x − K)
De la même manière on a :
sn(x − K)

cn(x) = −k 0 ,



dn(x − K)

 k0
 dn(x) = .


dn(x − K)

Remarque 3.8 En prenant x = K, on obtient

sn(2K) = 0, cn(2K) = −1 et dn(2K) = 1 .

En prenant y = 2K dans les formules du théorème 3.7, on obtient alors pour x dans R


 sn(x + 2K) = −sn(x),
cn(x + 2K) = −cn(x),


dn(x + 2K) = dn(x) .

On en déduit immédiatement que sn et cn sont 4K−périodiques et que dn est 2K−périodique.

22
 1 1

0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(a) sn (b) cn

Figure 3.1 – Tracés pour k = 0, 1.

1 1

0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

-6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6

(a) sn (b) cn

Figure 3.2 – Tracés pour k = 0, 9.

3.3 Illustrations graphiques

La visualisation des représentations graphiques des fonctions de Jacobi apporte des informa-
tions intéressantes.
Comme le montre la figure 3.1, pour k petit, les fonctions sn et cn sont très proches des
fonctions sinus et cosinus.
Pour k proche de 1, la période augmente, et on observe un applatissement de la courbe de sn,
ainsi qu’un changement de concavité de celle de cn, comme l’illustre la figure 3.2. L’augmentation
de la période provient du fait que la fonction
Z 1
dt
k ∈ [0, 1[ 7−→ K = √ √
0 1− 1 − k 2 t2
t2
π
est croissante de à +∞ .
2

23
 Lorsque k "tend" vers 1, l’allure des courbes est radicalement différente de celles des fonctions
trigonométriques. Celle de sn "tend" vers une fonction créneau, les paliers étant de plus en plus
espacés ; celle de cn "tend" vers un peigne de Dirac, les pics étant eux aussi de plus en plus
espacés (voir la figure 3.3). Le terme "tendre" n’est absolument pas utilisé de façon rigoureuse ici,
mais pour donner une idée du comportemment de ces courbes ; en effet, il n’y aucune convergence
(pas même ponctuelle) de sn(·, k) (resp. cn(·, k)) vers sn(·, 1) (resp. cn(·, 1)) lorsque k → 1− .
Ce comportement se comprend très bien physiquement : en reprenant l’introduction de ce
mémoire, on observe que ksn = sin(θ/2) où θ est l’angle entre la verticale et le fil du pendule.
Rappelons que l’énergie mécanique est E = 2k 2 et que k = 1 est la valeur critique pour laquelle
le pendule tourne complètement autour de son axe au lieu d’osciller. Ainsi, lorsque k est proche
de 1, le pendule va avoir de grandes oscillations et restera "suspendu" quasiment à la verticale
un long moment avant de redescendre.

Notons par ailleurs qu’il y a une brusque transition lorsque nous passons de k = 1 − 
à k = 1 : nous passons d’une fonction bornée périodique à une fonction non périodique non
bornée ! Ces constatations nous confortent dans le choix d’avoir exclus 1 pour le domaine de
définition de k.

1 1

0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

(a) sn (b) cn

Figure 3.3 – Tracés pour k = 0, 99999.

La figure 3.4 montre que pour de faibles valeurs de k, dn est quasi-constante. Pour k = 0,5 ,
la courbe est très similaire à celle d’un cosinus que l’on aurait compressé puis translaté. Pour
des valeurs de k proche de 1, la courbe ressemble à une chaînette. Lorsque k "tend" vers 1, on
retrouve le même phénomène de pics qu’avec la fonction cn.

Finalement, la figure 3.5 montre la superposition des courbes des trois fonctions de Jacobi.
On peut noter que pour k très proche de 1, les fonctions dn et cn sont quasi-identiques au
signe près. Ce comportement s’explique très bien grâce à la formule : k 2 cn2 (·, k) + k 02 = dn2 (·, k)
(rappelons que k 2 + k 02 = 1, donc lorsque k est proche de 1, k 0 est proche de 0).

24
 1 1

0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -2 0 2 4

(a) k = 0, 1 (b) k = 0, 5
1 1

0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

-10 -5 0 5 10 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

(c) k = 0, 99 (d) k = 0, 99999

Figure 3.4 – Tracés de dn pour différentes valeurs de k.

1 1

0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

-4 -2 0 2 4 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

(a) k = 0, 5 (b) k = 0, 99999

Figure 3.5 – Tracés des fonctions de Jacobi pour différentes valeurs de k ; sn est en rouge, cn en bleu
et dn en vert.

25
3.4 Extension aux nombres complexes
On cherche maintenant à étendre la définition des fonctions de Jacobi au plan complexe tout
entier. Nous commençons tout d’abord à les définir sur l’axe iR.

Pour cela, considérons la fonction suivante :

Z
0 0 0
1 dt
v : R →] − K , K [ où K = √ √
0 1− 1 − k 02 t2
t2
Z
x dt
x 7−→ √ √
0 1+ t2
1 + k 2 t2

√
(on rappelle que k 0 = 1 − k 2 ). L’expression de K 0 est à mettre en regard avec celle de K : la
t2
seule différence consiste en la substitution de k en k 0 . Le changement de variable u2 =
1 + t2
0
permet (après un calcul laissé au lecteur) de montrer que l’on a lim v(x) = K . La fonction v
x→+∞
est donc une bijection, de même que la fonction suivante :

w : iR → i ] − K 0 , K 0 [
ix 7−→ i v(x)

Le changement de variable formel t = iτ nous donne alors pour x ∈ R :

Z ix
dτ
w(ix) = iv(x) = √ √ .
0 1 − τ 2 1 − k2τ 2
Ce jeu d’écriture fait apparaître l’intégrante à l’origine de notre définition première de sn. Nous
posons alors la définition suivante.

Définition 3.9 Pour y ∈] − K 0 , K 0 [, sn(iy) := w−1 (iy) .

La prochaine propriété permettra facilement d’étendre la fonction sn à iR tout entier.

0 sn(y, k 0 )
0
Propriété 3.10 Pour y ∈] − K , K [, sn(iy, k) = i .
cn(y, k 0 )
Preuve. Soit x ∈ R. Dans l’intégrale définissant v(x), en effectuant le changement de variable
t = tan ψ, et en notant φ = arctan x on a :
Z Z
φ dψ φ dψ
v(x) = q = q .
0 p 0
cos2 (ψ) 1 + k 2 tan2 (ψ) 1 − k 02 sin2 (ψ)

Comme φ ∈] − π/2; π/2[, le changement de variable α = sin(ψ) est légal et on a alors :

Z
sin(φ) dα
v(x) = √ √ .
0 1 − α2 1 − k 02 α2

26
 Par la définition des fonction sn et cn, on a alors :

sin(φ) = sn(v(x), k 0 ) et cos(φ) = cn(v(x), k 0 ) .

sin(φ)
Or x = tan(φ) = .
cos(φ)
Soit maintenant y ∈] − K; K[, on prend alors x = v −1 (y). L’identité ci-dessus se réécrit :

sn(y, k 0 )
v −1 (y) = .
cn(y, k 0 )

En multipliant par i, on a :
sn(y, k 0 )
w−1 (iy) = i ,
cn(y, k 0 )
ce qui termine la preuve.

Pour définir cn et dn sur i ] − K, K[, on utilise les mêmes formules que dans la définition
3.4. Grâce à la propriété ci-dessus, cela conduit immédiatement pour y dans ] − K, K[ aux
expressions :
sn(y, k 0 )

sn(iy, k) = i


cn(y, k 0 )






1


cn(iy, k) =


 cn(y, k 0 )
dn(y, k 0 )




 dn(iy, k) =

cn(y, k 0 )


Dans la section précédente, nous avons déjà défini les fonctions de Jacobi sur R. Nous définissons
alors ces fonctions sur iR par les formules ci-dessus pour tout y ∈ R où ces expressions ont un
sens, c’est à dire pour y 6= K 0 (mod 2K 0 ) (sinon cn(y) = 0 et les quotients ne sont pas définis).
Pour définir sn sur C, on se base de nouveau sur les formules d’additions prouvées au
théorème 3.7 en remplaçant y par iy :

βx(iy) sn(x + iy) = sn(x)cn(iy)dn(iy) + sn(iy)cn(x)dn(x)

1 dn(y, k 0 ) sn(y, k 0 )
= sn(x) + i cn(x)dn(x)
cn(y, k 0 ) cn(y, k 0 ) cn(y, k 0 )
1 dn(y,k0 ) sn(y,k0 )
sn(x) cn(y,k 0 ) cn(y,k 0 ) + i cn(y,k 0 ) cn(x)dn(x)
sn(x + iy) = sn(y,k0 )2
.
1 + k 2 sn(x)2 cn(y,k 0 )2

Une fois sn définie, on va voir qu’elle vérifie les équations de Cauchy-Riemann. On démontre
d’abord un lemme de dérivation de sn sur les imaginaires.

Lemme 3.11 Pour tout y dans R , ∂y sn(iy) = isn0 (iy) .

27
 Preuve.
sn(y, k 0 )
∂y sn(iy) = i∂y
cn(y, k 0 )
cn(y, k 0 )dn(y, k 0 )cn(y, k 0 ) + sn(y, k 0 )sn(y, k 0 )dn(y, k 0 )
∂y sn(iy) = i
cn(y, k 0 )2
dn(y, k 0 )
∂y sn(iy) = i
cn(y, k 0 )2
∂y sn(iy) = idn(iy)cn(iy)
∂y sn(iy) = isn0 (iy) .

Remarque 3.12 C’est une propriété qui est nécessaire pour que sn soit holomorphe. Pourtant,
étant donné la construction de sn , ce résultat ne semble pas trivial. Ce résultat reste vrai pour
cn et dn .

Dérivons à présent sn par rapport à x puis à y :

2
βx(iy) ∂x sn(x + iy) =βx(iy) [cx dx ciy diy + siy (−sx dx dx + cx (−k 2 sx cx ))]
− [(sx ciy diy + siy cx dx )(−2k 2 s2iy (sx cx dx ))]
2
βx(iy) ∂x sn(x + iy) =βx(iy) [cx dx ciy diy − sx siy (d2x + k 2 c2x )]
+ 2k 2 s2iy (sx cx dx )(sx ciy diy + siy cx dx )
2
βx(iy) ∂x sn(x + iy) =(cx dx ciy diy )(1 + k 2 s2x s2iy )
 
− sx siy βx(iy) (d2x + k 2 c2x ) − 2k 2 s2iy c2x d2x ;

2
βx(iy) ∂y sn(x + iy) =βx(iy) [sx (−isiy diy diy − ik 2 siy ciy ciy ) + iciy diy cx dx ]
− [(sx ciy diy + siy cx dx )(−2k 2 s2x isiy ciy diy )]
2
βx(iy) ∂y sn(x + iy) =iβx(iy) [ciy diy cx dx − sx siy (d2iy + k 2 c2iy )]
+ 2ik 2 s2x (siy ciy diy )(sx ciy diy + siy cx dx )
2
βx(iy) ∂y sn(x + iy) =i(cx dx ciy diy )(1 + k 2 s2x s2iy )
 
+ i(sx siy ) βx(iy) (−(d2iy + k 2 c2iy )) + 2k 2 s2x c2iy d2iy .

On a donc :
1
∂z sn(z) = (∂x + i∂y ) (sn(x + iy)) = 0
2
sn est R-dérivable et vérifie l’équation de Cauchy-Riemann donc elle est holomorphe.

Remarque 3.13 En prenant y = K 0 , dans les définitions de sn , cn et dn , on obtient

1 −idn(x) −icn(x)
sn(x + iK 0 ) = , cn(x + iK 0 ) = et dn(x + iK 0 ) = .
ksn(x) ksn(x) ksn(x)

28
En prenant y = 2K 0 , on obtient alors pour x dans R

sn(x + 2iK 0 ) = sn(x),




cn(x + 2K) = −cn(x),


dn(x + 2K) = dn(x) .

On en déduit aisément que sn est 2iK 0 −périodique et que dn est 4iK 0 −périodique. Enfin, on
peut montrer aussi que cn est 2K + 2iK 0 −périodique ([1] p.38).

29
Chapitre 4

Liens entre ℘ et sn

4.1 Un lien entre ℘ et sn

On a vu deux manières bien différentes de construire des fonctions elliptiques. Le théorème
de structure 2.6 nous donne à penser que les fonctions de Weierstraß sont prépondérantes. sn
étant elliptique, elle est une fraction rationnelles en ℘ et ℘0 . On va voir qu’en fait ces deux
notions sont équivalentes.
Soient e1 ,e2 et e3 dans C telles que e1 + e2 + e3 = 0 .
e1 − e3
Considérons1 φ(z) = e3 + où λ, k ∈ C .
sn(λz, k)2
Alors, on a successivement :

λcn(λz)dn(λz)
φ0 (z) = −2(e1 − e3 )
sn(λz)3

(1 − sn(λz)2 ) (1 − k 2 sn(λz)2 )
φ0 (z)2 = 4λ2 (e1 − e3 )2
sn(λz)6

0 2 − e3 )2 (1 − sn(λz)2 (1 − k 2 sn(λz)2 )
2 (e1
φ (z) = 4λ
sn(λz)2 ) sn(λz)4
! !
1 1
φ0 (z)2 = 4λ2 (e1 − e3 )(φ(z) − e3 ) −1 − k2
sn(λz)2 sn(λz)2
! !
0 2 2 φ(z) − e3 φ(z) − e3
φ (z) = 4λ (e1 − e3 )(φ(z) − e3 ) −1 − k2
e1 − e3 e1 − e3

0 2 λ2  
φ (z) = 4 (φ(z) − e3 ) (φ(z) − e1 ) φ(z) − e3 − k 2 (e1 − e3 ) .
e1 − e3
e2 − e3
On pose λ2 = e1 − e3 et k 2 = .
e1 − e3
1. On a défini sn pour k ∈ [0, 1[ , néanmoins un théorème de Hille ([2] p.144) permet d’étendre cette définition
àk∈C.

30
 λ2
Ainsi : φ0 (z)2 = 4 (φ(z) − e3 ) (φ(z) − e1 ) (φ(z) − e2 ) .
e1 − e3
φ vérifie l’équation f 0 (z)2 = 4f (z)3 + g2 f (z) + g3 avec :
(
g2 = −4(e1 e2 + e1 e3 + e2 e3 ),
g3 = 4e1 e2 e3 .
Donc : ∃a ∈ C, φ(z) = ℘(z + a) , où ℘ est la fonction de Weierstraß d’invariants g2 et g3 .
0 étant un pôle de φ , a est un pôle de ℘ donc une période de ℘ .
On en conclut que φ(z) = ℘(z) .

4.2 Expression de ℘ en fonction de sn2

Soit Λ un réseau. On peut construire ℘ pour ce réseau et on obtient les trois constantes e1 ,
e2 et e3 telles que e1 + e2 + e3 = 0 .
Le résultat précédent s’applique :
e1 − e3
℘(z) = e3 +  √ q 2 .
e2 −e3
sn z e1 − e3 , e1 −e3

Il n’y a pas prépondérance des fonctions ℘ sur les fonctions sn .

4.3 Expression de sn2 en fonction de ℘

On fixe k ∈ [0, 1[ , on souhaite connaître une expression simple2 de sn(·, k)2 en fonction de
℘.
Soient par exemple :
e1 = 2 − k 2



e = 2k 2 − 1
 2

e3 = 1 − k 2
et (
g2 = −4(e1 e2 + e1 e3 + e2 e3 ) = 12(k 4 − k 2 + 1)
g3 = 4e1 e2 e3 = 4(2k 6 − 3k 4 − 3k 2 + 2)
On peut construire ℘ ayant pour invariants g2 et g3 , d’où :
3
sn(z, k)2 = .
℘( √z3 ) + 1 + k2

2. sn2 étant elliptique et paire on peut trouver une expression de ce type en utilisant la méthode du théorème
de structure 2.6 mais elle ne sera pas simple du tout !

31
Chapitre 5

Conclusion

Après cette promenade dans le monde des fonctions elliptiques, nous trouvons intéressant de
donner une liste non exhaustive de résultats qui auraient pu être développés dans ce mémoire.
Plusieurs objets mathématiques portent le nom d’elliptique, les intégrales elliptiques, mentionnées
en introduction, se rapprochent des fonctions de Jacobi et les courbes elliptiques peuvent être
décrites grâce aux fonctions ℘ de Weierstraß . On va décrire sommairement ces liens dans
les paragraphes suivants et on mentionnera aussi un résultat fort sur les fonctions qui ont un
théorème d’addition.

5.1 Lien entre fonctions et intégrales elliptiques

On appelle intégrale elliptique une intégrale de la forme :
Z q
R(x, P (x))dx
où R une fraction rationnelle et P un polynôme de degré 3 ou 4 à racines simples. Legendre a
montré qu’on pouvait distinguer trois espèces :
 Z √
 1 − k 2 x2
√ dx ,



1 − x2





 Z

dx
√ √ ,



 1 − k x2 1 − x2
2
Z
dx



√ √ √ .



1 + nx 1 − k 2 x2 1 − x2
2


Toute intégrale elliptique est combinaison linéaire d’intégrales de ces trois types (avec k ∈ [0, 1[)
et d’intégrales élémentaires. En effectuant le changement de variable x = sin(φ) on obtient trois
fonctions :
Z
ψ dφ



 F (k, ψ) = q ,
0
− 2 sin(φ)2




 Z
1 k
ψ

 q

E(k, ψ) = 1 − k 2 sinφ)2 dφ ,
 0

 Z
ψ dφ





 Π(k, n, ψ) = q q q .
0
1 + nsin(φ)2 1 − k 2 sin(φ)2 1 − sin(φ)2



32
Si de plus, on pose sn(u, k) = x = k sin(φ) on trouve les relations suivantes entres ces intégrales
et les fonctions de Jacobi :


 F (k, ψ) =u,



 Z

 u
dn(v)2 dv ,

E(k, ψ) =
 0

 Z
u dv




 Π(k, n, ψ) = .
1 + n2 sn(v)2

0

On pourra trouver dans ([1] p.16) de nombreux résultats sur ce thème.

5.2 Courbes elliptiques

Les courbes elliptiques sur C sont des courbes algébriques qui ont une certaine forme. Elles
vérifient les équations du type y 2 = 4x3 + g2 x + g3 , avec g2 , g3 ∈ C . On reconnait là une
équation familière. Les courbes elliptiques interviennent dans le calcul de périmètres d’ellipses
(on retrouve nos petits) et ont la propriété suivante : pour chaque courbe elliptique Γ on peut
trouver un réseau Λ tel que 
 x = ℘(z)
 y = ℘0 (z)
soit un paramétrage de Γ où ℘ est la fonction de Weierstraß de réseau Λ .

5.3 Fonctions admettant un théorème d’addition algébrique

Définition 5.1 On dit qu’une fonction f admet un théorème d’addition algébrique si, dès que
x, y et x + y appartiennent au domaine de définition de f , f (x), f (y), f (x + y) sont liés par
la relation P (f (x), f (y), f (x + y)) = 0 où P est un polynôme de trois variables.

Théorème 5.2 Un fonction holomorphe admettant un théorème d’addition algébrique est soit :

• une fonction algébrique en la variable z ;

• une fonction algébrique en emz où m est une constante ;
• une fonction algébrique de la fonction ℘ de Weierstraß .

On peut trouver une preuve de Montel [3] d’un théorème plus général sur les fonctions
analytiques sur un intervalle de R.

33
Bibliographie

[1] Bowman Frank, Introduction to Elliptic Functions with applications, (Dover Publications,
1961.)
[2] Hille Einar, Analytic Function Theory, Vol. II, (Ginn & Co., 1962.)
[3] Montel Paul, Sur les fonctions d’une variable réelle qui admettent un théorème d’addition
algébrique, (Annales scientifiques de l’É.N.S. 3e série, tome 48 (1931), p. 65-94.)
[4] Lang Serge, Elliptic Functions, (Springer-Verlag, 2e éd., 1987)
[5] Hellegouarch Yves, Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles (Dunod, 2e éd., 2001)

34