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Équations aux dérivées partielles
Chapitre 4 Méthodes numériques
Basée sur les notes de cours de Pierre-Olivier Parisé
Mathématiques de l’ingénieur III (MAT-2900)
Université Laval Québec, Canada Automne 2021
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 1 / 23
Table des matières
1 Méthodes des différences finies en 1D
2 Méthodes des différences finies en 2D
3 Résolution de l’équation de la chaleur
4 Erreur
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 2 / 23
But des méthodes numériques
Le but des méthodes numériques est de trouver une bonne approximation
de la solution à une équation aux dérivées partielles, dans notre cas. Pour y arriver, on veut approximer la solution en un certain nombre de points précis. Plus il y a de points, mieux notre approximation sera, dans le meilleur des cas. Nous verrons la méthodes des différences finies.
où c(x), f (x) sont des fonctions connues et g0 , g1 sont des constantes. Afin de trouver les points auxquels on veut trouver une approximation de u, on va diviser l’intervalle [0, 1] en N ∈ N petits sous-intervalles de même longueur h = 1/N. On obtient alors les points xi = i/N. La seule information que l’on connaı̂t sur u est l’équation différentielle qu’elle satisfait. POur trouver l’approximation de u(xi ) on devra l’utiliser. Toutefois, il y a un problème, car il y a la dérivée seconde qu’on ne connaı̂t pas plus. On devra trouver un moyen pour remplacer la dérivée seconde par une expression qui ne dépend que de u.
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 5 / 23
Méthodes des différences finies en 1D
On va utiliser le développement de Taylor
h2 ′′ u(xi + h) = u(xi ) + u ′ (xi )h + u (xi ) + O(h3 ) . 2 Cette expression dépend de u ′ qu’on ne connaı̂t pas. On peut aussi regarder ce déveleppement
h2 ′′ u(xi − h) = u(xi ) − u ′ (xi )h + u (xi ) + O(h3 ) . 2 En additionnant les deux expressions, on obtient
Si ui est l’approximation de u(xi ), alors on peut laisser tomber le terme
d’erreur dans l’expression précédente et on obtient le schéma suivant : −ui+1 + 2ui − ui−1 + c(xi )ui = f (xi ) . h2
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 7 / 23
Méthodes des différences finies en 1D
Si i = 1 −u2 + 2u1 − g0 + c(x1 )u1 = f (x1 ) . h2 Si i = 2, . . . , N − 2, −ui+1 + 2ui − ui−1 + c(xi )ui = f (xi ) . h2 Si i = N − 1, −g1 + 2uN1 − uN−2 + c(xN−1 )uN−1 = f (xN−1 ) . h2 On obtient N − 1 équations pour trouver N − 1 inconnues. Comme il y a plus qu’une inconnue par équation, il est un peut plus difficile de trouver leur valeur. Cependant, une façon simple de les trouver est de transformer les équations en une équation matricielle : Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 8 / 23 Méthodes des différences finies en 1D
La méthodes des différences finies est beaucoup plus facile à appliquer
avec des rectangles [0, a] × [0, b]. Regardons l’EDP ( −∆u = f (x, y ) dans [0, a] × [0, b], u(x, y ) = g (x, y ) sur le bord du rectangle.
Pour trouver les points où on approximera, on va diviser [0, a] en N
sous-intervalles de longueur hx = 1/N et diviser [0, b] en M sous-intervalles de longueur hy = 1/M.
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 11 / 23
Méthodes des différences finies en 2D
De manière similaire au cas 1D, on veut transformer le laplacien en une
expression qui ne dépend que de u(xi , yj ). On va utiliser le développement de Taylor pour des fonctions de plusieurs variables : hx2 u(xi + hx , yj ) = u(xi , yj ) + hx ux (xi , yj ) + uxx (xi , yj ) , 2 h2 u(xi − hx , yj ) = u(xi , yj ) − hx ux (xi , yj ) + x uxx (xi , yj ) . 2 En additionnant les deux expressions, on obtient u(xi+1 , yj ) − 2u(xi , yj ) + u(xi−1 , yj uxx (xi , yj ) = . hx2 En faisant le même travail avec yj , on a u(xi , yj+1 ) − 2u(xi , yj ) + u(xi , yj−1 uyy (xi , yj ) = . hy2 Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 12 / 23 Méthodes des différences finies en 2D
Si ui,j est l’approximation de u(xi , yj ), alors en remplaçant les expressions
pour uxx (xi , yj ) et uyy (xi , yj ) dans l’EDP, on obtient le schéma suivant :
−ui+1,j + 2ui,j − ui−1,j −ui,j+1 + 2ui,j − ui,j−1
2 + = f (xi , yj ) , hx hy2
avec les conditions initiales
u0,j = g (0, yj ) , uN,j = g (a, yj ) , ui,0 = g (xj , 0) , ui,M = g (xi , b) .
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 13 / 23
Méthodes des différences finies en 2D
Résumé de la méthode des différences finies
Transformer les dérivées partielles présentes dans l’EDP en des expressions
qui ne dépendent que de u évaluée aux points choisis par la division en sous-intervalles à l’aide des développements de Taylors suivants :
h2 h3 u(x ± h, y ) = u(x, y ) ± hux (x, y ) + uxx (x, y ) ± uxxx (x, y ) + · · · 2 3! k2 k3 u(x, y ± k) = u(x, y ) ± kuy (x, y ) + uyy (x, y ) ± uyyy (x, y ) + · · · 2 3!
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 14 / 23
Résolution de l’équation de la chaleur
Table des matières
1 Méthodes des différences finies en 1D
2 Méthodes des différences finies en 2D
3 Résolution de l’équation de la chaleur
4 Erreur
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 15 / 23
Résolution de l’équation de la chaleur
Le problème à résoudre est
ut − cuxx = 0 x ∈ [0, 1] , t ≥ 0 , u(x, 0) = u0 (x) x ∈ [0, 1] , u(0, t) = u(1, t) = 0 t ≥ 0 .
On divise [0, 1] en N intervalles de longueur h = 1/N. Pour la variable t,
on fera des sauts de longueur ∆t de sorte que tj = j∆t. On transforme maintenant ut (xi , tj ) et uxx (xi , tj ) à l’aide des développements de Taylor.
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 16 / 23
Résolution de l’équation de la chaleur
Pour ut , on choisit
u(xi , tj+1 ) = u(xi , tj ) + ∆tut (xi , tj ) .
Pour uxx , on fait le même processus que vu précédemment, c’est-à-dire
qu’on additionne les deux développements suivants
On obtient le schéma suivant pour 1 ≤ i ≤ N − 1 et j ≥ 0 :
ui,j+1 − ui,j c(ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j )
− =0 ∆t h2 avec les conditions initiales
ui,0 = u0 (xi ) , u0,j = 0 , uN,j = 0 .
Maintenant, la question est : Comment peut-on trouver les différents ui,j ?
En réorganisant le schéma, on a c∆t ui,j+1 = (ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ) + ui,j . h2 Si on fixe j = 0, on remarque que ui,1 ne dépend que des conditions initiales. On peut donc trouver tous les ui,1 . Une fois fait, on peut augmenter j de 1 et trouver tous les ui,2 . Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 18 / 23 Résolution de l’équation de la chaleur
Algorithme : Soit j fixé. On trouve u0,j avec les conditions initiales. On incrémente i, i.e i = i + 1. On trouve ui,j On arrête lorsqu’on trouve uN−1,j . On trouve uN,j avec les conditions initiales. On incrémente j, i.e j = j + 1 et on répète toutes les étapes.
Cet algorithme est spécifique au schéma obtenu pour l’équation de la
chaleur. Pour une autre EDP, on aura probablement un autre algorithme.
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 19 / 23
Résolution de l’équation de la chaleur
Regardons un exemple de calcul avec c = 1, u0 (x) = sin πx, N = 2 et
∆t = 0.1. Donc,
u0,0 = sin πx0 = 0 , u1,0 = sin πx1 = 1 , u2,0 = sin πx2 = 0
En on continue le processus le nombre de fois que l’on veut.
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 21 / 23
Erreur
Table des matières
1 Méthodes des différences finies en 1D
2 Méthodes des différences finies en 2D
3 Résolution de l’équation de la chaleur
4 Erreur
Jade Brisson EDPs : Chapitre 4 ULaval 22 / 23
Erreur
Maintenant qu’on est capable de trouver une approximation, la question à
se poser est : Est-ce une bonne approximation ? Malheureusement, si on n’a pas la solution analytique à notre problème, on ne peut pas calculer d’erreurs. Si on connait la solution u, alors l’erreur au point (xi , yj ) est donnée par
eij = |u(xi , yj ) − uij | .
Dans notre exemple de l’équation de la chaleur, la solution est
2 u(x, t) = e −π t sin πx. Par exemple, 2 ∗0.1 e11 = |u(x1 , t1 ) − u1,1 | = |e −π sin(π/2) − 0.2| = 0, 1727 ,
ce qui est une très grande erreur. Cela est dû à notre mauvais choix de h et de ∆t.
