3

Méthode des différences finies pour les problèmes elliptiques

Dans tout ce qui suit, L2 (a, b) est l’espace des (classes de) fonctions de carré intégrable (au
sens de Lebesgue) sur l’intervalle (a, b). Rappelons que cet espace, muni de la norme :
ÃZ ! 12
b
kvkL2 (a,b) := v 2 (x) dx
a

est un espace de Hilbert.

3.1 Un problème unidimensionnel

On considère le problème aux limites suivant :

 Trouver u : (0, 1) → R tel que :

− u00 (x) = f (x) 0 < x < 1, (3.1)


u(0) = u(1) = 0,

où f est une fonction donnée continue dans [0, 1].

Théorème 3.1.1 Le problème (3.1) admet une solution unique u ∈ C 2 (0, 1). Celle-ci est donnée par
Z x Z 1
u(x) = (1 − x) yf (y) dy + x (1 − y)f (y) dy x ∈ [0, 1].
0 x

Démonstration. Notons d’abord que toute solution du problème (3.1) est de classe C 2 . Il clair
en outre que u00 (x) = −f (x) pour x ∈ (0, 1) et que u(0) = u(1) = 0.
Montrons maintenant l’unicité. Soient u1 et u2 deux solutions du problème (3.1) et soit u =
u1 − u2 . On a
u00 (x) = 0, u(0) = u(1) = 0.
Donc, u est un polynôme de degré 1. D’où u(x) = 0 pour x ∈ [0, 1].
22 3. Différences finies pour les problèmes elliptiques

Lemme 3.1.1 (Inégalité de Poincaré)

Pour toute fonction v ∈ C 1 ([0, 1]) avec v(0) = 0, on a :

1
kvkL2 (0,1) ≤ √ kv 0 kL2 (0,1) . (3.2)
2
Démonstration. Comme v(0) = 0, on peut écrire
Z x
v(x) = v 0 (s) ds.
0

Donc, par l’inégalité de Cauchy–Schwarz :

µZ x ¶2
2 0
v (x) = v (s) ds
Z0 x
≤x (v 0 (s))2 ds.
0

Donc Z µZ ¶ µZ 1 ¶
1 1
2 0 2
v (x) dx ≤ x dx (v (s)) ds
0 0 0

D’où le résultat.

Remarque 3.1.1 Le résultat précédent est valable si on remplace l’hypothèse v(0) = 0 par v(a) = 0
où a est un point quelconque de l’intervalle [0, 1].
Lemme 3.1.2 Il existe une constante C > 0 telle que

kukL2 (0,1) + ku0 kL2 (0,1) ≤ C kf kL2 (0,1) . (3.3)

Démonstration. Multiplions l’équation (3.1) par u et intégrons par parties. On a :

Z 1 Z 1
(u0 (x))2 dx = f (x)u(x) dx.
0 0

Par l’inégalité de Cauchy–Schwarz et l’inégalité de Poincaré (3.2), on obtient :

ku0 k2L2 (0,1) ≤ kf kL2 (0,1) kukL2 (0,1)

1
≤ √ kf kL2 (0,1) ku0 kL2 (0,1) . (3.4)
2

3.2 Un schéma aux différences finies

On se propose de chercher une solution approchée du problème (3.1). Pour cela, on se donne
une subdivision de l’intervalle [0, 1] en I sous-intervalles (xi−1 , xi ) de même longueur h, i.e.
 3.2 Un schéma aux différences finies 23

xi = ih i = 0, . . . , I, h = 1/I.

Cette hypothèse de subdivision uniforme n’est nullement restrictive mais simplifie considérablement
la présentation. Nous cherchons alors une suite de valeurs (ui )i=0,...,I approchant les valeurs
(u(xi ))i=0,...,I par le schéma aux différences finies :

 −ui−1 + 2ui − ui+1 = f (x ) 1 ≤ i ≤ I − 1,
i
h2 (3.5)

u0 = uI = 0.

Il est clair que le problème (3.5) peut se traduire sous la forme d’un système linéaire. En effet,
on peut écrire
Au = b (3.6)
où    
  u1 f (x1 )
2 −1 0 ...  ..   .. 
 .. .. ..   .   . 
1 
−1 . . .

 ..



 ..


A := 2   , u :=   , b :=  .
h  0 ... .. 
. −1  .   . 
  ..   .. 
.. ..  .   . 
. . −1 2
uI−1 f (xI−1 )
Nous pouvons alors montrer (cf. exercices) que A est une matrice symétrique définie po-
sitive. On déduit que le problème approché (3.5) (ou (3.6)) admet une solution unique
u ∈ RI−1 . Il s’agit maintenant de savoir dans quelle mesure le problème (3.5) approche
le problème (3.1).

3.2.1 Notion de consistance

Pour h > 0 donné, on note

−u(xi−1 ) + 2u(xi ) − u(xi+1 )
εhi := − f (xi ) 1 ≤ i ≤ I − 1, (3.7)
h2
avec εh0 = εhI = 0.
Définition 3.2.1 On appelle le vecteur εh ∈ RI−1 erreur de troncature du schéma (3.5). De plus,
on dit qu’un schéma est consistant si on a :

lim max |εhi | = 0.

h→0 1≤i≤I−1

Clairement, le vecteur εh mesure avec quelle précision le schéma (3.5) est « bien adapté » à
la résolution du problème (3.1).
Théorème 3.2.1 On suppose que u ∈ C 4 ([0, 1]). Alors on a l’inégalité :

h2
max |εhi | ≤ sup |u(4) (x)|. (3.8)
1≤i≤I−1 12 0<x<1
24 3. Différences finies pour les problèmes elliptiques

Démonstration. On a par la formule de Taylor les identités :

h2 00 h3 (3) h4 (4) +
u(xi+1 ) = u(xi ) + hu0 (xi ) + u (xi ) + u (xi ) + u (θi ),
2 6 24
h2 h3 (3) h4 (4) −
u(xi−1 ) = u(xi ) − hu0 (xi ) + u00 (xi ) − u (xi ) + u (θi ),
2 6 24
où θi+ ∈ (xi , xi+1 ), θi− ∈ (xi−1 , xi ). Donc

h4 ³ (4) + ´
u(xi+1 ) + u(xi−1 ) − 2u(xi ) = h2 u00 (xi ) + u (θi ) + u(4) (θi− ) .
24
Utilisant l’égalité (3.7), il vient

h2 ³ (4) + ´
−εhi = u (θi ) + u(4) (θi− ) .
24
D’où le résultat.

Remarque 3.2.1 On dit, dans ce cas, que le schéma (3.5) est un schéma d’ordre deux.

3.2.2 Convergence du schéma

Pour tout vecteur v = (v0 , . . . , vI )T ∈ RI+1 , nous définissons d’abord les normes et semi–
norme suivantes :
à I
! 12
X
kvk0,h := h vi2 ,
i=0
à I−1 µ ¶2 ! 12
X vi+1 − vi
|v|1,h := h ,
i=0
h
¡ ¢1
kvk1,h := kvk20,h + |v|21,h 2 .

Lemme 3.2.1 Pour tout vecteur v = (v0 , v1 , . . . , vI )T ∈ RI+1 tel que v0 = 0 (ou bien vI = 0), on
a:

max |vi | ≤ |v|1,h , (3.9)

0≤i≤I

kvk0,h ≤ |v|1,h . (3.10)

Démonstration. Puisque v0 = 0, on a pour tout i ≥ 1 :

i−1
X i−1
X µ ¶
1 vj+1 − vj 1
vi = (vj+1 − vj ) = h 2 h2 .
j=0 j=0
h

Par l’inégalité de Cauchy–Schwarz, on obtient :

 3.2 Un schéma aux différences finies 25
  12   21
i−1 µ
X ¶2 i−1
X
vj+1 − vj
|vi | ≤ h   h .
j=0
h j=0

Donc, puisque h = 1/I :

|vi | ≤ |v|1,h 1 ≤ i ≤ I.
D’où l’inégalité (3.9).
Pour montrer l’inégalité (3.10), on a par (3.9) :
I−1
X
h |vi |2 ≤ h(I − 1) sup |vi |2 ≤ |v|21,h .
i=1 1≤i≤I−1

D’où le résultat.

Lemme 3.2.2 Soit u = (u0 , u1 , . . . , uI )T la solution donnée par le schéma numérique (3.5). On a
l’estimation :
à I−1 ! 12
√ X
kuk1,h ≤ 2 h f 2 (xi ) . (3.11)
i=1

Démonstration. On a
1
− (ui−1 − 2ui + ui+1 ) = f (xi ), 1 ≤ i ≤ I − 1.
h2
Multiplions cette égalité par ui et sommons sur les indices i :
I−1 I−1 I−1
1 X 1 X X
− ui (ui+1 − ui ) + ui (ui − ui−1 ) = f (xi )ui ;
h2 i=1 h2 i=1 i=1

ou encore
I I−1 I−1
1 X 1 X X
− ui−1 (u i − ui−1 ) + ui (ui − ui−1 ) = f (xi )ui .
h2 i=2 h2 i=1 i=1

En utilisant les conditions aux limites u0 = uI = 0 et l’inégalité de Cauchy–Schwarz, on

obtient :
I
ÃI−1 ! 12 ÃI−1 ! 21
1 X X X
2
(ui − ui−1 )2 ≤ f 2 (xi ) u2i .
h i=1 i=1 i=1

Soit, en utilisant (3.10) :

à I−1
! 12 Ã I−1
! 12
X X
|u|21,h ≤ h 2
f (xi ) kuk0,h ≤ h 2
f (xi ) |u|1,h .
i=1 i=1

L’inégalité (3.10) permet de conclure.

26 3. Différences finies pour les problèmes elliptiques

On peut ainsi montrer la convergence du schéma (3.5) :

Théorème 3.2.2 On suppose que u ∈ C 4 ([0, 1]). Alors, il existe une constante C, indépendante de
h, telle que :
max |u(xi ) − ui | ≤ Ch2 sup |u(4) (x)|. (3.12)
1≤i≤I−1 0<x<1

Démonstration. En retranchant l’équation (3.7) de (3.5) et en notant ei = u(xi ) − ui , 0 ≤ i ≤ I,

on obtient : 
 −ei−1 + 2ei − ei+1 = εh 1 ≤ i ≤ I − 1,
i
h2 (3.13)

e0 = eI = 0.
En appliquant l’inégalité (3.11), nous obtenons :

kek1,h ≤ kεh k0,h ≤ max |εhi |.

1≤i≤I−1

Comme eh0 = 0, nous déduisons de (3.9) et de (3.8) :

1 2
max |ei | ≤ kek1,h ≤ max |εhi | ≤ h sup |u(4) (x)|.
1≤i≤I−1 1≤i≤I−1 12 0<x<1

Remarque 3.2.2 Nous avons seulement pris en compte le cas des conditions aux limites homogènes.
On peut, sans peine, étendre les résultats cités ici au cas des conditions aux limites non homogènes.
Remarque 3.2.3 Il est clair que si f est de classe C 2 alors u est de classe C 4 et on peut donc écrire

max |u(xi ) − ui | ≤ Ch2 sup |f 00 (x)|.

1≤i≤I−1 0<x<1

3.3 Problèmes bidimensionnels

On va exposer la méthode des différences finies pour un problème elliptique en dimension
deux. Pour cela, on va se restreindre au cas où le domaine est le rectangle Ω = (0, a) × (0, b).
On se donne une fonction f ∈ C 0 (Ω) et on considère le problème :

 Trouver u : Ω → R tel que :

− ∆u(x, y) = f (x, y) (x, y) ∈ Ω, (3.14)


u(x, y) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω,

où ∂Ω est la frontière du domaine Ω.

Nous traiterons plus loin la question, ici délicate, de l’existence et l’unicité d’une solution du
problème (3.14).
Pour discrétiser le problème (3.14), on considère une grille de points (xi , yj ), 0 ≤ i ≤ I,
0 ≤ j ≤ J, où
xi = ih, yj = jh, 0 ≤ i ≤ I, 0 ≤ j ≤ J,
 3.3 Problèmes bidimensionnels 27

avec h = a/I = b/J. Ici encore on s’est donné une grille uniforme pour simplifier la
présentation.
Pour approcher la première équation de (3.14) on utilise le même schéma que pour le cas
unidimensionnel pour chacune des dérivées secondes. Ainsi, si on note par uij une approxi-
mation de u(xi , yj ), on obtient le schéma :

 4uij − ui,j−1 − ui,j+1 − ui−1,j − ui+1,j

 = f (xi , yj ) 1 ≤ i ≤ I − 1,

 h2

1 ≤ j ≤ J − 1, (3.15)



 u i,0 = ui,J = 0 0 ≤ i ≤ I,


u0,j = uI,j = 0 0 ≤ j ≤ J.

La figure 1 montre un exemple de grille de discrétisation du problème.

y ............
....
...
....
...
.
.....................................................................................................................................................................................................................................................................
.. . . . . . . .
.... .....
.... ... ... ... ... ... ... ...
.... ... ... ... ... ... ... ....
.... .. .. .. .. .. .. ....
....... .... .... .... .......... .... .... .... ...... .... .... .... .... ...... .... .... .... .... ...... .... .... .... .......... .... .... .... ..... .... .... .... .... .....
... ....
.... ... ... ... ... ... ... ...
.... ... ... ... ... ... ... ....
.... ... ... ... ... ... ... ....
... ... ... ... ... ... ... ....
... .
..... .... .... .... ........... .... .... .... ....... .... .... .... .... ....... .... .... .... .... ....... .... .... .... ........... .... .... .... ...... .... .... .... .... ......
•
.
..... ... ... ... ... ... ... .....
.... ... ... ... ... ... ... ....
... .. .. .. .. .. .. ....
.... . . . . . . ...
... ... ... ... ... ... ... ..
y j ....... .... .... .... .......... .... .... .... ...... .... .... .... .... ...... .... .... .... .... ...... .... .... .... .......... .... .... .... ..... .... .... .... .... ......
• • •
.... .. .. .. .. .. .. ....
.... ....
... ... ... ... ... ... ... ...
.... ... ... ... ... ... ... ....
... ... ... ... ... ... ... ..
.
..... ..
•
..... .... .... .... ......... .... .... .... ..... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... ..... .... .... .... ......... .... .... .... ..... .... .... .... .... ....
.. .. .. .. .. .
.....
... ... ... ... ... ... ... ...
.... ... ... ... ... ... ... ....
.... ... ... ... ... ... ... ....
... .. .. .. .. .. .. ..
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................
xi x

F IG . 3.1. Une grille de différences finies

Il est clair que la matrice du système linéaire a une structure bande. De plus, on peut montrer
que cette matrice est symétrique définie positive. D’où l’existence et l’unicité d’une solution
du problème discret (3.15).
Examinons maintenant le cas où Ω est un domaine quelconque de R2 . Dans ce cas, on peut
construire une grille contenant le domaine Ω comme sur le figure ci-dessous :
Il est alors difficile de prendre en compte les conditions aux limites exactement. En effet, la
frontière Γ de Ω ne coupe pas forcément la grille en des nœuds (xi , yj ). Pour remédier à cette
situation, on remplace la frontière Γ par une courbe fermée Γh ne coupant la grille qu’aux
nœuds les « plus proches » de Γ (Cf. Fig. 3.23.2). On peut ainsi aisément construire le schéma
aux différences finies approchant (3.14).

1
28 3. Différences finies pour les problèmes elliptiques

..................................................................................................................................................................
.... . .......... .. ............................... .. ..
................ .... ... ................
................ .... .. ... ... ...
......... . . .. .. .. .. ....... ..
...........................................................................................................................................................................................................................
. . .
.................. .... ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. .... ...............
... . .. .. .. .. .. .. .. .... .
.. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ............
... . . . . . . . . . .
.........................................................................................................................................................................................................................................................................
. .
.... ..... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ......
......
....
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .. ....
........................................................................................................................................................................................................................................................................................
. . . . . . . . . . . .
.... ..
.. ..
.
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. ... ... ..
.... ..... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ...
.. .
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.... ..
. .. .. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ..
. ..
. .. .... ...
. . . . . . . . . . ....
........ ..
. ..
. ..
.
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
.
. .
. ....
.. ........................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....
. . . . . . . . . . . .
.... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ........
. . . . ..
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ........
. .
..... .... .... .... .... ..... .... ..... .... .... .... .... .... .... ..... .... ......
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. .. .. . . . . . . . . . . . . . ...
.... ..... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ......
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .
... .. .....
...... .... .... ..
. ..
. ..
. ...
. ..
. ...
. ..
. ..
. ..
. ...
. ..
. .... ....
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................
..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
........ .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ....
.
... .. ..
. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.. .. .. . . . . . . . . . . . . .
....
... ..
. ..
.
. ..
.
. ..
.
. ..
.
. ..
.
. ..
.
. ..
.
. ..
.
.
..
.
. ..
.
. .. ........... ....
.
.
.... . . . . . . . . . . ...... .
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................
. .
.... .................. .... .... .... .... .... .... .... .... .........
. . .........
... .............. ... ... ... ... .... ... .... .................... ...
......................................................................................................................................................................................................................................
. .... . . . . ........ ...
.... ................................................................................................. ..
.. .. .. .. .. .. ..
....................................................................................................................

F IG . 3.2. Discrétisation pour un domaine quelconque

Remarque 3.3.1 Le fait de remplacer Γ par Γh induit, bien sûr, une nouvelle erreur dans le schéma.
La question est de savoir si cette erreur est du même ordre que l’erreur due à la discrétisation par
différences finies.

Remarque 3.3.2 La discrétisation par la méthode des différences finies a donné un système linéaire
avec une matrice ayant une structure bande. cette propriété est caractéristique de ces méthodes et peut,
bien entendu, être exploitée lors de la résolution du système linéaire.