Cours Ts
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Chapitre 1 : La tra
nsformée de Laplace
I. Introduction
Le traitement du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet l'élaboration ou
l'interprétation des signaux porteurs d'informations. Son but est donc de réussir à extraire un maximum
d'information utile sur un signal perturbé par du bruit en s'appuyant sur les ressources de l'électronique
et de l'informatique.
II. Définitions
II .1. Signal
Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son destinataire.
La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du signal. Elle offre les moyens
d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de l'information.
II .2. Bruit
Un bruit est un phénomène perturbateur gênant la transmission ou l'interprétation d'un signal.
II .3. Le traitement de signal
C’est la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources de l’électronique, de l’informatique et
de la physique appliqué, a pour objet l’élaboration ou l’interprétation des signaux porteurs de
l’information.
Son application se situe dans tous les domaines concernés par la transmission ou l’exploitation des
informations transporter par ces signaux.
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On peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés.
III .1. Classification phénoménologique
III .1. 1. Définitions
On considère la nature de l'évolution du signal en fonction du temps. Il apparaît deux types de signaux :
Les signaux déterministes : ou signaux certains, leur évolution en fonction du temps peut être
parfaitement modélisé par une fonction mathématique. On retrouve dans cette classe les signaux
périodiques, les signaux transitoires, les signaux pseudo-aléatoires, etc…
Les signaux aléatoires : leur comportement temporel est imprévisible. Il faut faire appel à leurs
propriétés statistiques pour les décrire. Si leurs propriétés statistiques sont invariantes dans le
temps, on dit qu'ils sont stationnaires.
Les signaux sinusoïdaux sont un cas particulier de ces signaux qui sont périodiques :
s(t) = A.sin[(2.π/T)t + ϕ]
Les signaux non périodiques suivant sont des cas particuliers :
x(t) = e-at pour t>0 sinon x(t) = 0 ;
y(t) = t pour t>0 sinon t<0 ;
z(t) = 1
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x(t
) y(t) z(t) s(t)
1 A
1
t 1 t t t
-A
T
Rappels :
+∞
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Φx (f)
∆F
fmin fmax
Figure (1.4) : Distribution spectrale d’un signal avec la largeur de bande ∆F.
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Φx (f)
fmin =0 ou proche de zéro
fmax
Φx (f)
f
-fmax -fmin fmin fmax
Φx (f)
f
-fmax -fmin fmin fmax
Φx (f)
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− 1 pour t < 0
sgn(t ) =
1 pour t > 0
Par convention, on admet pour valeur à l'origine : sgn (t) =0 pour t=0.
r (t ) = t.u(t )
0 pour t ≤ 0
D’où r (t ) = Figure (1.11) : Fonction rampe.
t pour t > 0
IV.4 .Fonction rectangulaire ou porte
Cette fonction est définie par :
T
1 pour t <
rect (t ) = 2
T
0 pour t >
2
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D’une manière générale pour une impulsion rectangulaire d’amplitude A, de durée T centré
en t = τ : x(t)
x(t) = A rect[( t – τ )/ T] A t
τ -T/2 τ τ +T/2
-1 1
1 pour t = 0
δ (t ) =
0 pour t ≠ 0
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IV.6.2. Propriétés
Intégrale
+∞
∫ δ (t )dt = 1
−∞
+∞
Produit
x(t ).δ (t ) = x(0).δ (t ) = x(0)
x(t ).δ (t − t 0 ) = x(t0 ).δ (t − t 0 ) = x(t 0 )
Identité
x(t ) * δ (t ) = x(t )
Translation
x(t ) * δ (t − t0 ) = x(t − t0 )
x(t − t1 ) * δ (t − t 0 ) = x(t − t1 − t 0 )
IV.8. 1. Définition
Avec lim sinx/x =1 lorsque x→0. Figure (1.17) : Fonction sinus cardinal.
IV.8.2. Propriétés
+∞
∫ sin c (t )dt = 1
2
−∞
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IV.9. Application
Représenter les signaux suivant :
δ( t+2), δ( t-3) , 2δ( t-1), x(t) = δ( t+1)- δ( t) + δ( t-2) , u(t – 1) et 2 u(t + 2)
Correction :
2δ(t-1)
x(t)
δ(t+2) δ(t-3)
1
t t
-2 1 3 -1 2
2u(t +2)
u(t-1)
2
t
t
1
-2
Figure (1.17) : Représentation des impulsions de Dirac et des Echelons décalé.
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I . Introduction
Le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa représentation fréquentielle est la
décomposition en Série de Fourier (DSF), pour les signaux périodique ou la Transformée de Fourier
(TF) pour les signaux non périodiques.
Toute transmission d'information est liée à un transfert d'énergie. Comment mesure t’on l'énergie d'un
signal?
Soit un signal x(t) défini sur [− ∞,+∞ ] , et To un intervalle de temps.
Énergie de x(t) :
To
2
E = lim ∫
2
x (t) dt
To → ∞
To
−
2
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III.1. Définition
Soit le système ci-dessous, ayant pour entrée une impulsion de Dirac δ(t) et de sortie la réponse
impulsionelle h(t) .
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x(t)
Système y(t)= x(t)*h(t)
h(t)
+∞ +∞
b- La distributivité
c- L’associativité
f1[t] * f2[t] * f3[t] = f1[t] * (f2[t] * f3[t] ) = (f1[t] * f2[t]) * f3[t]
d- L’élément neutre
+∞
f[t] * δ[t] = ∫ f (τ ).δ (t − τ ).dτ
−∞
= f[t]
e-
Soit le signal d’entré f(t), s(t) est la réponse du système tell que : f(t) * δ(t-t0) = s(t) = f( t - t0 )
t
t t
t0 t0
Le signal de sortie d’un système linéaire causal invariant dans le temps est donné par le produit
de convolution du signal d’entrée et d’une fonction h(t) appelée réponse impulsionelle.
La valeur du signal de sortie à l’instant t est ainsi obtenue par la sommation des valeurs passées
du signal d’excitation, pondérées par la réponse du système.
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III.2. Application
Exemple 1 :
2
2
t t
2
Figure (2.4 ) : La représentation temporelle des signaux x(t) et h(t).
+∞
b- le produit de convolution y (t) = x (t) * h (t) = ∫ x(t − τ ).h(τ ).dτ
−∞
h(τ)
1er cas : pour t < 0
2
2
x(t-τ)
t 2
2
x(t-τ)
0 2 t
Figure (2. 6) : La représentation des signaux pour 0 < t <2.
2.2. ( )
=4 . .
+∞
= 4 . . = 4. e- t [et – 1]
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4. ( )
=4 . .
+∞
Exemple 2 :
Soit un système « S », caractérisé par sa réponse impulsionelle h(t).
Si on excite ce système par un signal x (t), on aura une réponse y (t).
Soient les deux signaux continus x (t) et h (t) telle que :
x (t) = 1 pour 0 ≤ t ≤ 4 sinon x (t) = 0 & h (t) =1 pour -2 ≤ t ≤ 2 sinon h (t) = 0
a - Déterminer le produit de convolution y (t) = x (t) * h (t).
b - Représenter le produit de convolution y (t).
h(t) x(t)
Réponse :
a-
1
1
t t
-2 2 0 4
x(τ)
h(t - τ) 1
t-4 t 0 4
h(t - τ) 1 x(τ)
t-4 0 t 4
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1
+∞
x(τ)
h(t - τ)
t
t-4 4 t
1
+∞
x(τ) h(t - τ)
1
0 4 t-4 t
b- y(t)
t
0 4 8
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IV . Propriétés fréquentielles
IV.1. Transformation de Fourier des fonctions périodiques : Série de Fourier
L’introduction de la transformée et de la Série de Fourier permet de donner une autre représentation des
signaux très intéressante pour la théorie de l’information et du signal .Cette décomposition
exponentielle ou trigonométrique permet d’exprimer le signal en fonction de ses harmoniques.
Un signal périodique s(t) de période T, continu par morceaux et vérifiant les condition de Dirichlet ,
peut être décomposé en Série de Fourier selon la Décomposition trigonométrique suivante :
T0
2
An =
T0 ∫ s(t ). cos(n2πF t )dt
0
0
pour n ≥ 1
T0
2
Bn =
T0 ∫ s(t ). sin(n2πF t )dt
0
0
pour n ≥ 1
Remarque :
= +
bn
avec : et ϕ = Artgan (− )
n an
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C1
C2 C3 Cn
A0
Un signal périodique s(t) de période T0, continu par morceaux, peut être décomposé en Série de
Fourier selon la Décomposition exponentielle suivante :
T0
1 1 − jn 2πF 0t
Avec S ( nF 0 ) = ( an − jbn ) =
2 T0 ∫ s ( t )e
0
dt pour n ≥ 1 et S(0) = a0
Les valeurs négatives de n sont introduites dans un but de simplification, s(t) étant réel d’où nous
avons :
a -n = an et b -n = - bn
S(nF0) représente les composantes du spectre en fréquence de s(t),grandeur en général complexe, qui a
pour :
• module : |S(nf0)| = + =
• phase : ᵩ ( nF0) = Arctan(- bn / an )
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S(f)
S(-F0) S(F0)
S(-nF0) S(-3F0)
S(-2F0) S(2F0) S(3F0) S(nF0)
S(0)
IV.1.4. Application
f(t)
1 t
Correction :
2π
La période est : T = 2 s ; La pulsation est : ω = = π ; f est une fonction paire : Bn = 0.
T
La valeur moyenne est :
1 1
1 0
1 1
A0 =
T ∫−1
v (t )dt =
2 ∫
−1
v(t )dt +
2 0 ∫
v (t )dt
∀t ∈ [− 1 , 0] ∀t ∈ [0,1]
et
v (t ) = at + b ⇒ v(t ) = 3t + 3 v(t ) = −3t + c ⇒ v(t ) = −3t + 3
D’où :
0
1 0 13 3
∫
2 −1
(3t + 3)dt = t 2 + 3t =
22 −1 4
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1
1 1 1 3 3
2 ∫0
(−3t + 3)dt = − t 2 + 3t =
2 2 0 4
A0 = 3/4+3/4=3/2 A0 = 3/2
T0
2 2 1
An =
T0 ∫
0
s (t ). cos(n 2πF0 t )dt ⇒ An =
T ∫ f (t ) cos(nπt )dt
−1
0 1
An = ∫ −1 ∫
(3t + 3) cos(nπt )dt + ( −3t + 3) cos(nπt )dt
0
D’où An =
6
[1 − ( −1) ] n
( nπ ) 2
IV.2.1 Définition
Soit x(t) un signal déterministe non périodique, sa transformée de Fourier est :
X(f) =T F{x(t)}
+∞ − j 2 πft
X ( f ) = ∫ x ( t ).e dt
−∞
X(f) indique quelle "quantité" de fréquence f est présente dans le signal x(t) sur l'intervalle ] − ∞,+∞[
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I[X(f)]
-L’argument φ(f) = arg (x(f)) = Arctg( )
R[X(f)]
La transformation inverse est donnée par :
IV.2.2 Application:
t
-T/2 T/2
+∞ − j 2πft
1. X(f) =T F{x(t)} = ∫ rect (t ). e .dt
T −∞
T
2 − j2 π ft 1 [e-jπfT - e jπfT]
= ∫ 1 .e .d t =-
−T j2πf
2
sin( πα )
or sin α = 1 [ eαj – e-jα] et sinc α =
2j πα
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2. représentation de X(f) :
X(f)
T
IV.2.3. Propriétés de la TF
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δ(t) 1
δ(t – τ) e − j 2πfτ
e − j 2πf 0t δ ( f + f0 )
IV.2.5. Application :
Calculer et représenter la transformée de Fourier d’un signal sinusoïdale s(t) d’amplitude S et de
fréquence f0 telle que : s(t) = S.cos(2 π f0t)
Correction :
+∞ +∞
∫ s(t )e dt = S. ∫ cos(2πf 0t )e dt
− j 2πft − j 2πft
S( f ) =
−∞ −∞
j 2πf 0t
e + e − j 2πf 0t
or cos(2πf 0t ) =
2
+∞ +∞ +∞
e j 2πf0t +e − j 2πf 0t
− j 2πft S j 2πf0t − j 2πft
S ( f ) = S . ∫ e dt = ∫ e .e dt + ∫ e − j 2πf0t .e − j 2πft dt
− ∞
2 2 −∞ −∞
+∞ +∞ +∞ +∞
S j 2π ( f 0 − f ) t − j 2π ( f 0 + f ) t S − j 2π ( f − f 0 ) t
= ∫ e dt + ∫ e dt = ∫ e dt + ∫ e − j 2π ( f + f0 ) t dt
2 −∞ −∞ 2 −∞ −∞
S( f ) =
S
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ]
2
TF [S. cos(2πf 0 t )] = [δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ]
S
2
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Remarque :
La transformée de Fourier d’une fonction cosinus de fréquence f0 et d’amplitude S, est la
somme de deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 et +f0 ; et d’amplitude la
moitié de celle du signal :S /2.
La transformée de Fourier d’une fonction sinus de fréquence f0 et d’amplitude S, est la somme
de deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 avec une amplitude S/2 et sur +f0
avec une amplitude -S /2.
TF [a ( t ) * b( t )] = A( f ). B ( f )
Remarque :
TF [h (t ) * δ (t )] = TF [h(t )].TF [δ (t )] = TF [h(t )] = H ( f )
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I. Introduction
L’importance des systèmes numériques de traitement de l’information ne cesse de croître (radio,
télévision, téléphone, instrumentation…). Ce choix est souvent justifié par des avantages techniques
tels que la grande stabilité des paramètres, une excellente reproductibilité des résultats et des
fonctionnalités accrues. Les signaux porteurs d’informations sont pratiquement toujours de type
analogiques (amplitude et temps continu).
Le traitement de signal par voie numérique nécessite une opération préliminaire de conversion
analogique numérique. La conversion analogique numérique est la succession de trois effets sur le
signal analogique de départ :
l’échantillonnage pour rendre le signal discret
la quantification pour associer à chaque échantillon une valeur
le codage pour associer un code à chaque valeur.
II . Echantillonnage
II .1. Définition
L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis, le plus souvent équidistants, les valeurs
instantanées d’un signal. Le signal analogique s(t), continu dans le temps, est alors représenter par un
ensemble de valeur discrète :
se(t) = s(n.Te)
Avec n : entier.
Te : période d’échantillonnage.
Cette opération est réalisée par un échantillonneur souvent symbolisé par un interrupteur.
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= s(t ) . ∑ δ (t − nT )
n → −∞
e
+∞
= s(nTe ). ∑ δ (t − nTe )
n →−∞
On obtient donc un spectre infini qui provient de la périodisation du spectre du signal d’origine autour
des multiples de la fréquence d’échantillonnage fe, avec $@&
1[
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Remarque :
On voit sur le spectre du signal échantillonné qu’il est possible de restituer le signal original par
un simple filtrage passe-bas.
Le théorème de SHANNON montre que la reconstitution correcte d’un signal nécessite que la
fréquence d’échantillonnage fe soit au moins deux fois plus grande que la plus grande des fréquences
fM du spectre du signal :
fe > 2 fM
Lorsqu’il y a recouvrement spectrale, nous avons vu qu'il était impossible de reconstruire correctement
le signal. Pourtant dans la plupart des situations, le spectre du signal à échantillonner s'étale sur tout le
domaine des fréquences (tout en diminuant du coté des hautes fréquences), mais il n'existe pas une
fréquence fmax au-delà de laquelle l'énergie est nulle.
Il y a donc un problème pour choisir la fréquence d'échantillonnage. On se fixe donc en pratique une
fmax à partir de laquelle on estime la représentation de notre signal satisfaisante pour les applications
que l’on veut en faire. Puis on effectue un filtrage passe-bas (à fmax) avant l’échantillonnage afin de
remédier aux repliements de spectre. On appelle ce filtre un filtre anti repliement.
III . Application
Soit le signal sinusoïdal s(t) = sin(2ΠF.t), de période T= 1ms.
se(t) est le signal échantillonné avec un pas d‘échantillonnage Te = 0.1ms.
1- Représenter le signal s(t) et se(t) pour une période T .
1
2- Soit S(f) la transformé de Fourier de s(t) telle que S(f) = [δ(f – F) – δ(f + F)].
2j
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a- Représenter S(f).
b- Donner l’expression de la transformé de Fourier de se(t) : Se(f).
c- Représenter Se(f) pour -2 ≤ n ≤ 2.
Réponse :
1-
Figure
(4.4) :L’échantillonnage d’un signal s(t).
1 1
2- a -On a S(f) = [δ(f – F) – δ(f + F)] d’où S(f) = j[δ(f + F) – δ(f - F)]
2j 2
S (f)
1/2
F f
-F
-1/2
b- L’expression de Se(f) :
+∞
Se ( f ) = ∑F
n → −∞
e .S ( f − nf e )
c- Se(f)
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I . Introduction
Le traitement numérique de l’information apporte de nombreux avantages techniques ainsi qu’une
flexibilité accrue dans beaucoup de domaine. Le traitement du signal par transformée de Fourier pose
cependant un certain nombre de problèmes. En effet un ordinateur ne peut traiter que des signaux
numériques, ceux-ci sont obtenus après un échantillonnage et une quantification. Leur étude devra
tenir compte des effets induits sur le spectre par ces deux techniques.
De plus, un calcul de transformée de Fourier est une somme d’une infinité d’échantillons. Le temps
nécessaire ainsi que la mémoire de l’ordinateur vont forcément emmener certaines contraintes à ce
niveau.
Te
x(t) xe(t)
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Cas général :
{ x[ N ], x[ N + 1], .......x[ M ]} , N ≤ M
{ x[n ]} =
longueur : l = M − N + 1
Exemple :
Soit le signal discret suivant :
{x[n]} = { x[-1] , x[0] , x[1] , x[2] , x[3] , x[4]} = { 1 , 2 ,- 1 , 3 , 1 , 2}
1. Déterminer la longueur de ce signal ;
2. Ecrire x[n] en fonction de #V!W ;
3. Représenter le signal x[n].
Réponse
2
nk
-1
1 2geh ! ≥ 0 k
eV!W = f
0 2geh ! < 0
n
0 1 2 3 4 5 kn
1 2geh % 5 ≤ ! ≤ 5
ПT (n)= m BN!g! k
0
1 2geh % 2 ≤ ! ≤ 2
П2 (n)= m BN!g! k n
0
-2 2
Figure (5 .3) : Représentation du signal
rectangulaire .
Signal rectangulaire en fonction d’échelon unitaire est :
x2[n]
Figure (5 .4) : Addition des signaux discrets.
III.2. Multiplication
x1(n) y(t)= x1(n) . x2(n)
x2(n)
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7
4
4
3
2
1
1
nf n
00 1 2 3 0 1 2 3
_________________________________________________________________________________
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Ny = Nf1 + Nf2 -1 = 4 +4 -1 =7
66
42
45
25 19
9 4
f
nk
0 1 22 33 4 5 6
f1f1(k)
(n-p) f2(p)
4 4
3
2 1
1 nk nk
-3 - 2 - 1 0 0 1 2 3
_________________________________________________________________________________
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f2(p)
f2(p)
9
9
7
7
4
4
1
1
nk nk
0 1 2 3
0 1 2 3
f1(k-p) f1(k-p)
4
3
2
1 nk nk
-3 - 2 - 1 0 -3 - 2 - 1 0
f2(p) f2(p)
9 9
7 7
4 4
1 1
nk nk
0 1 2 3 0 1 2 3
f1(k-p)
f1(k-p)
nk
nk
0 1 2 3
0 1 2 3
_________________________________________________________________________________
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9 9
7 7
4 4
1 1
nk nk
0 1 2 3 0 1 2 3
f1(k-p) f1(k-p)
nk nk
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
9 9
7 7
4 4
1 1
nk nk
0 1 2 3 0 1 2 3
f1(k-p) f1(k-p)
nk nk
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
_________________________________________________________________________________
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y(k)
66
42
45
25 19
9 4
f
nk
0 1 22 33 4 5 6
V.1. Définition
Un signal discret est défini par une suite d’échantillons espacés entre eux d’une période Te. La
transformée de Fourier appliquée à un signal discret x[n] devient donc :
+∞ −2 jπ nf n → +∞
−2 jπnfTe
X( f ) = ∑
n → −∞
x[n ].e Fe
= ∑ x[n]. e
n → −∞
Fe / 2 nf
2 jπ
1
x[n] = ∫
Fe
X ( f ).e
Fe − Fe / 2
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V.3. Application
Soit le signal discret suivant :
x [n]
-N/2 0 N/ 2
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Cours Traitement de Signal AII21
n= N / 2
−2 jπnf
Avec Te = 1 s d’où X( f ) = ∑ .e
n =− N / 2
-2jπnf
X(f) est la somme de N + 1 termes d’une suite géométrique de raison e et de premier
jπNf
terme e .
x Kp(q' )r
% Kp(q' )r
y/2+ sin(πf(N + 1)
= =
( Kpr % Kpr )/2+ sin (•$)
„…†(‡ˆ(‰ + :)
‚(ƒ) =
„…† (Šƒ)
D’où
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Cours Traitement de Signal AII21
VI . Filtrage numérique
VI. 1. Système linéaire invariant dans le temps
Un système est discret, si à la suite d'entrée discrète x(n) correspond une suite de sortie discrète y(n).
δ ( 0) = 1
Si δ (n) est la suite unitaire , alors toute suite x(n) peut s'écrire:
δ (n) = 0 ∀n ≠ 0
+∞
x[n ] = ∑ x[m].δ [n − m]
m → −∞
Si h(n) est la réponse d'un système discret linéaire et invariant dans le temps à la suite δ (n) alors :
+∞ +∞
x[n ] → y[n ] = ∑
m → −∞
x[m].δ [n − m] = ∑ h[m]. x[n − m]
m → −∞
y ( n) = h( n) * x ( n)
Ainsi dès qu'un système peut être considéré comme linéaire, discret et invariant dans le temps, il en
découle qu'il est :
Régi par une équation de convolution ;
Entièrement déterminé par la réponse h(n) qu'il fournit lorsqu'il est excité par la suite
impulsionnelle δ (n) . Cette suite h(n) constituant la réponse impulsionnelle du système.
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Exemple :
Séquence impulsion unité :
x[n] = 1 à t = 0
x[n] = 0 à Te, 2Te ...
X(z) = 1
Séquence échelon :
x[n] = 0 si t < 0
x[n] = 1 si t ≥ 0
1
X ( z ) = 1 + z −1 + z − 2 + z − 3 + ... =
1 − z −1
Figure (5.15) : séquence échelon.
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Y ( z )
T ( z ) =
X ( z )
Puisque les transformées X(z) et Y(z) sont des polynômes contenant les puissances négatives de z, la
transmittance sera un rapport de deux polynômes en puissances négatives de z.
Un filtre numérique calcule la valeur numérique de la sortie yn à l’instant t = n.Te à partir des
échantillons précédents de la sortie et des échantillons précédents de l’entrée, plus celui qui vient d’être
appliqué sur l’entrée xn:
Cette formule de calcul ou algorithme conduit naturellement à la structure générale d’un filtre
numérique :
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Cours Traitement de Signal AII21
Remarque :
- Toutes les Te secondes, les valeurs sont décalées dans les registres, multipliées par leur
coefficient respectif et additionnées pour donner yn.
- Cette structure peut être réalisée sous forme matérielle (registres, multiplicateurs, additionneur)
ou entièrement logicielle.
- Un filtre simple calcule la sortie à partir de quelques échantillons seulement, au contraire,
l’algorithme d’un filtre sophistiqué peut compter jusqu’à une centaine de termes.
La transmittance T(z) permet de synthétiser le filtre, de tracer son diagramme de Bode et d’étudier ses
réponses à une impulsion, à un échelon ou à une entrée quelconque.
Pour passer de l’algorithme, relatif au domaine temporel, à la variable z, on utilise la règle de passage
très simple:
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Un filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF) est un système linéaire discret invariant dans le temps
régi par une équation aux différences pour lequel l'échantillon de sortie y(n) ne dépend que d'un certain
nombre d'échantillons d'entrée x(n).
N
y ( n ) = ∑ ai . x ( n − i )
i =0
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Cours Traitement de Signal AII21
On souhaite trouver l’algorithme de calcul du filtre caractérisé par la transmittance T(z) suivante :
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Cours Traitement de Signal AII21
Soit, enfin :
Remarque :
Pour passer l’algorithme à la transmittance, on utilise une règle très simple :
1. écrire l’algorithme : y n = a1 . y n−1 + a2 . y n−2 + ... + a p . y n− p + b0 .xn + b1 .xn−1 + b2 .xn −2 + ... + bq .xn −q
⇒ pour déterminer si un système analogique continu de transmittance T(p) est stable on calcule les
pôles qui sont les valeurs de « p » annulant le dénominateur ;
⇒ le système est stable si les pôles sont négatifs ou complexes avec une partie réelle négative ;
⇒ si on place ces pôles dans le plan complexe, ils se trouvent tous dans le demi-plan de gauche.
Ce critère de stabilité reste valable pour les transmittances T*(p) des systèmes échantillonnés.
⇒ un système échantillonné de transmittance T*(p) est stable si tous ses pôles pi = ai + j.bi
sont négatifs ou complexes à partie réelle négative (ai < 0)
Comme avec les systèmes échantillonnés on travaille le plus souvent avec les transmittances en z, il est
intéressant de voir la position des pôles zi dans le plan pour un système stable.
⇒ un système échantillonné de transmittance T(z) est stable si tous ses pôles sont à
l’intérieur du cercle unité.
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Chapitre 1 : La transformée de Laplace
Définition
La transformée de Laplace (TL) est un outil essentiel dans la représentation des
systèmes continues, elle trouve son application dans la représentation des fonctions des
systèmes sous le nom de fonction de transfert, elle est définie par la relation :
Soit une fonction f(t), fonction réelle de la variable t,
Tel que : P =
2-
: S.ZEHANI 2
Chapitre 1 : La transformée de Laplace
3-
S(t)
A
On a :
t
1/A
4- Exponentielle décroissante
Trouver
Propriété de décalage :
Par décomposition :
: S.ZEHANI 3
Chapitre 1 : La transformée de Laplace
Alors :
Propriétés de la TL
Parmi les propriétés les plus importantes de la TL est dans la résolution des équations
différentielles à coefficient constants:
1) Linéarité
2) Dérivée
3) :
4) La valeur initiale :
5) La valeur finale :
6) :
8)
9) Produit temporel :
10) Convolution :
: S.ZEHANI 4
Chapitre 1 : La transformée de Laplace
App :
12)
(1) est
, K=0 n-1,
Exp : trouvé la TL :
=2
Sol :
On aura :
: S.ZEHANI 5
Chapitre 1 : La transformée de Laplace
2)
Avec es conditions initiales à t=0,
La TL
Exp :
-10
(P²+3P+2)Y(P)-2P +4=
(P²+3P+2)y(P)=
: S.ZEHANI 6
Chapitre 1 : La transformée de Laplace
La
Exp : R
Ve Vs
La TL :
: S.ZEHANI 7
Chapitre 1 : La transformée de Laplace
,
Les racines de N(P)= zéros.
Les racines de D(P) = pôles.
La TL-1 de FT
1er cas : les pôles de la fonction à décomposer sont réels et (simple) distincts :
Les ak+1 ak+n-1 sont calculés de la même manière que le cas précédent, mais les ai associées
aux pôles multiple sont calculés de la manière suivante :
: S.ZEHANI 8