Note Cours TS IIA2 IMI2 en Ligne
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Définitions
Signal
Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son
destinataire. La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du signal. Elle offre
les moyens d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de l'information.
Bruit
Un bruit correspond à tout phénomène perturbateur gênant la transmission ou l'interprétation
d'un signal.
Remarque :
Les notions de signal et bruit sont très relatives. Pour un technicien des télécommunications qui
écoute un émetteur lointain relayé par un satellite, le signal provenant d’une source astrophysique
(soleil, quasar) placée malencontreusement dans la même direction est un bruit. Mais pour
l’astronome qui s’intéresse à la source astrophysique, c’est le signal du satellite qui est un bruit.
S = 10log PS
N
dB PN
Système
Un système est un dispositif représenté par un modèle mathématique de type Entrée/Sortie
qui apporte une déformation au signal (Ex: modulateur, filtre, etc…).
Classification phénoménologique
On considère la nature de l'évolution du signal en fonction du temps. Il apparaît deux types de
signaux :
▪ Les signaux déterministes : ou signaux certains, leur évolution en fonction du temps peut
être parfaitement modéliser par une fonction mathématique. On retrouve dans cette classe les
signaux périodiques, les signaux transitoires, les signaux pseudo-aléatoires, etc…
▪ Les signaux aléatoires : leur comportement temporel est imprévisible. Il faut faire appel à
leurs propriétés statistiques pour les décrire. Si leurs propriétés statistiques sont invariantes
dans le temps, on dit qu'ils sont stationnaires.
Classification énergétique
On considère l'énergie des signaux. On distingue :
▪ Les signaux à énergie finie : il possède une puissance moyenne nulle et une énergie finie.
▪ Les signaux à puissance moyenne finie : il possède une énergie infinie et sont donc
physiquement irréalisable.
Rappels :
+
Classification morphologique
On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceux
dont l'amplitude est discrète ou continue.
Amplitude
Continue Discrète
x(t) x(t)
Continu
échantillonnage
Temps
t t
x[n] x[n]
Discret
n n
quantification
On obtient donc 4 classes de signaux :
Signaux particuliers
Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment
rencontrés en traitement du signal dispose d'une modélisation propre.
Par convention, on admet pour valeur à l'origine : sgn (t) =0 pour t=0.
1
0 pour t<0
u(t)=
1 pour t>0 t
Fonction rampe
r(t)
r(t) = t . u(t)
t
1
= u ( τ ) dτ
- 1
t
Fonction rectangulaire
rec(t/T)
1 pour t < 1
rect ( t )= 2 1
T Tt 1
0 pour > t
T 2
-T/2 T/2
Attention: le 1 marqué sur la flèche pleine représente l’aire de cette impulsion (et non la hauteur de
l’impulsion).
du(t)
On peut encore considérer (t) comme la dérivée de la fonction échelon : δ(t) = .
dt
▪ Propriétés :
Intégrale
+
δ(t) dt = 1
−
+
x(t).δ(t) dt = x(0)
−
+
x(t).δ(t− t ) dt = x(t )
−
0 0
Produit
x(t).δ(t) = x(0).δ(t) = x(0)
x(t).δ(t− t0 ) = x(t0 ).δ(t− t0 ) = x(t0 )
Identité
x(t) δ(t) = x(t)
Translation
x(t) δ(t− t0 ) = x(t− t0 )
x(t− t1 ) δ(t− t0 ) = x(t− t1 − t0 )
Changement de variable
1
δ(a . t) = a −1 δ(t) avec en particulier δ(ω)= δ(t)
2π f
Remarque :
Un signal physique y(t) correspondant au passage d’un état (1) vers un état (2) pourra être considéré
comme un impulsion chaque fois que son temps de montée tm sera négligeable devant les autres
temps mis en jeu dans le circuit. Il en est de même pour un échelon.
Peigne de Dirac
On appelle peigne de Dirac une succession périodique T(t)
d’impulsions de Dirac.
+
sin (πt) 1
sinc(t) =
πt t
-3 -2 -1 1 2 3
Cette fonction joue un rôle très important en traitement du signal.
▪ Propriétés :
+
sinc(t) dt = 1
-
+
sinc2(t) dt = 1
-
Représentation fréquentielle
On a pour habitude de décrire les signaux en fonction de la variable temporelle t car notre
perception des phénomènes physiques nous y incite. En électronique, la connaissance des propriétés
spectrales d'un signal est primordiale. Ainsi, on utilise souvent une représentation en fonction de la
fréquence pour caractériser un signal ou un système. Les outils de traitement des signaux nous aident
dans cette tâche.
Exemple : le support de transmission du téléphone à une bande passante de 3kHz alors que la bande
passante des signaux audibles est de 20kHz. Ceci explique pourquoi un signal audio de haute qualité
transmis par voie téléphonique sera perçu comme de mauvaise qualité par le récepteur.
Chapitre
2 Traitement du signal analogique
2
Série de Fourier
Définition
La décomposition en série de Fourier permet de décomposer un signal en somme de
sinusoïdes. On utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux périodiques. Elles
permettent ainsi de passer facilement du domaine temporel au domaine fréquentiel. Pour pouvoir être
décomposable, un signal doit être à variations bornées (Dirichlet).
2π
s(t) = S0 + A n cos ( nω0 t ) +Bn sin ( nω0 t ) ω 0 =
n=1
T0
avec
1
T0 (T)
S0 = s(t) dt
0
2
s(t) cos(n ω0 t )dt
T0 (t )
An =
0
2
s(t) sin ( n ω0 t ) dt
T0 (T)
Bn =
0
Remarques :
On appelle le signal de pulsation 0 le fondamental.
On appelle les signaux de pulsation n.0 les harmoniques de rang n.
La valeur de S0 représente la valeur moyenne de s(t).
Autre expression :
L'écriture précédentes des séries de Fourier présente en fait peu d'intérêt physique, en effet si
la fonction f(t) subit une simple translation suivant l'axe des temps alors les coefficients A n et Bn seront
modifiés. En conséquence, on cherche donc une nouvelle écriture des séries de Fourier dans laquelle
la puissance est conservée après une translation suivant l'axe des temps et où cette translation
apparaîtra sous la forme d’un déphasage.
Cette nouvelle écriture s'obtient en posant :
An = Cn sin n
B = C cos
n n n
!! Attention !!
Si l’on intervertit la place des paramètres Bn et An (An devant sin et Bn devant cos) dans la
décomposition en série de Fourier, il ne faut pas oublier de les intervertir dans la définition de n aussi.
ejn ω0 t + e− jn ω0 t ejn ω0 t − e− jn ω0 t
On pose cos ( n ω0 t ) = et sin ( n ω0 t ) =
2 2j
On obtient alors :
+ T /2
1 0
s(t) = S e
-
n
jnω0 t
avec Sn = T s(t) e
0 -T / 2
− jn ω0 t
dt
0
Les coefficients complexes Sn sont reliés aux coefficients An et Bn par les relations suivantes :
S = An − jBn
n
A +2 jB n>0
S = n n
-n
2
Remarques :
Dans les deux formes précédentes, chaque composante de fréquence était représentée par deux
coefficients. L'écriture complexe ne fait apparaître qu'un seul coefficient S n complexe mais qui
comprend bien entendu un module et une phase.
Propriétés
Transformée de Fourier
C’est une généralisation de la décomposition de série de Fourier à tous les signaux
déterministes. Elle permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation spectrale) de ces
signaux. Elle exprime la répartition fréquentielle de l’amplitude, de la phase et de l’énergie (ou de la
puissance) des signaux considérés.
Définition
Soit s(t) un signal déterministe. Sa transformée de Fourier est un fonction, généralement complexe, de
la variable f et définie par :
+
s(t) = TF−1
S(f) = S(f) ej2πft d
f
Remarque : -
On appelle spectre de s le module de la transformée de Fourier de s.
Propriétés
s(t) S(F)
e2 jπ f0 t s(t) S(f- f0 )
Egalité de Parceval :
Pour un signal d’énergie finie, l’énergie du signal est identique dans les domaines temporel et
fréquentiel.
+ 2 + 2
s(t) dt = S(f) df
− −
Exemple
Calculons la transformée de Fourier d’un signal sinusoïdale : s(t) = Scosω0 t
S(f) = + s(t) e−
j2πft dt = S+ cos ( 2π f t ) e − j2πft dt avec cos ( 2π f t ) = e j2 π f0 t + e−2 π f0 t
-
-
0 0
2
S(f)
s(t)
S/2
S
TF
t f
T0 -f0 f0
Remarques :
Convolution
Définition
Le produit de convolution d’un signal s(t) par un autre h(t) est donné par :
+
Remarque :
Remarque :
TFh(t) δ(t) = TFh(t)iTFδ(t) = TFh(t) = H(f)
d’où h(t) δ(t) = h(t) : Le Dirac est l’élément neutre de la convolution
Notion de Filtrage
Le filtrage est une forme de traitement de signal qui modifie le spectre de fréquence et/ou la
phase du signal présent en entrée du filtre et donc par conséquent sa forme temporelle. Il peut s ‘agir
soit :
- d’éliminer ou d’affaiblir des fréquences parasites indésirables
- d’isoler dans un signal complexe la ou les bandes de fréquences utiles.
Fonction de transfert
Le comportement d’un filtre est défini par l’étude
VE(t) VS(t) fréquentielle de la fonction de transfert entre la tension de sortie et
H
la tension d’entrée du filtre. On le caractérise par l’amplification et
le déphasage qu’il apporte sur les différents harmoniques du
signal d’entrée.
VS (jω)
H(j ) =
VE (jω)
VS
H dB = 20 log = Arg H(jω)
VE
Remarques :
Parfois, on préfère définir un filtre par rapport à l’atténuation qu’il amène sur la grandeur
1
d’entrée : A(jω)= .
H(jω)
On définie aussi le temps de propagation de groupe plutôt que le déphasage. Il caractérise
le
d
retard apporté par le filtre sur les différents harmoniques du signal d’entrée : τ=
dω
H est la réponse impulsionnelle du filtre : VS (t) = VE (t)* h(t) et TF VS (t) = VE (f)ih(f)
Autrement dit, le spectre du signal de sortie est égale au produit du spectre du signal d’entrée par la
réponse en fréquence du filtre.
Il est impossible pratiquement de réaliser de tels filtres. Aussi se contente-t-on d’approcher cette
réponse idéale en :
- conservant l’atténuation A inférieure à Amax dans la bande passante
- conservant l’atténuation supérieure à Amin dans la bande atténuée
Cela conduit ainsi à définir un gabarit définissant des zones interdites et des zones dans lesquelles
devront impérativement se situer les graphes représentant l’atténuation du filtre en fréquence. Suivant
le type de réponse que l’on désire obtenir, on est amené à définir 4 familles de filtres :
Passe-bas Passe-haut
A(dB) A(dB)
Amin Amin
Amax Amax
f f
fc fa fa fc
Passe-bande
Coupe-bande
A(dB) A(dB)
Amin Amin
Amax Amax
f f
fa- fc- fc+ fa+ fc- fa- fa+ fc+
Lorsque l’on veut dimensionner un filtre, on ne sait calculer analytiquement qu’un petit nombre
de fonctions caractéristiques convenant à la réalisation d’un gabarit. Ces différentes fonctions fixeront
les propriétés physiques du filtre (Butterworth, Tchebycheff, Bessel, Cauer).
Notion de Modulation
Principe
Le principe de modulation d’un signal est essentiellement utilisé pour la transmission des
signaux. Il permet d’adapter le message à transmettre au canal de transmission.
Par exemple, en radio, le message transmis par voie hertzienne est un message audio dont le
spectre sera compris dans la bande [20Hz, 20kHz]. La réception d'un tel signal nécessite des
antennes dont les dimensions sont du même ordre de grandeur que la longueur d'onde du signal (en
général de l'ordre de ½ ).
c
λ=
f
Exemple :
3108 4
Pour f = 20kHz : λ= = 1.5 10 m = 15 km !!!!!!!
20.103
Ainsi, l’objectif est de se servir d’un signal de fréquence importante pour transmettre le
message afin de réduire à des proportions raisonnable la taille des antennes. Le but de la modulation
est donc de translater le spectre d'un signal basses fréquences (BF) vers les hautes fréquences (HF).
La radio , la télévision , les lignes téléphoniques utilisent le procédé de modulation. Le signal HF
utilisé pour transporter le message est appelé la porteuse. Le message, dont on se sert pour moduler
une des caractéristiques de la porteuse, est appelé le modulant. Si la porteuse est de forme
sinusoïdale, elle accepte comme expression :
Pour transporter le message, on ne peut donc jouer que sur deux paramètres :
Remarques :
La démodulation est l’opération inverse de la modulation. Elle consiste à reconstruire le signal
modulant à partir du signal modulé. La qualité d’une modulation est déterminée par la facilité à
récupérer le signal modulant et par son immunité aux bruits.
Modulation d’amplitude
Le principe consiste à moduler l’amplitude de la porteuse sp(t) par le signal message m(t) :
Um Up
Sm (f) = δ(f-
f m + f p )+δ(f- f m - f p )+δ(f+ f m - f p )+δ(f+ f m + f p )
4
M(f)
m(t)
Um/2
Um TF
t f
-fm fm
Tm
Sp(f)
sp(t)
Up/2
Up
t f
-fp fp
Sp(f)
Sm(t) BP
Um.Up/4
Up.Um
t f
-fp-fm -fp+fm fp-fm fp+fm
m(t)
m(t)
sp(t)
sm(t)
sp(t)
Mais fabriquer une porteuse de fréquence strictement identique est très difficile. Une solution consiste
donc à transmettre la porteuse avec le message pour pouvoir facilement la reconstruire à la réception.
On l’appelle la modulation avec porteuse et l’expression du signal modulé devient :
s m (t) = k .m(t) + 1 U p cos ωp t
k est le taux de modulation.
Remarques :
On peut aussi :
- récupérer la partie résiduelle de la porteuse (qui, pour des raisons techniques, n’est
jamais supprimée à 100 %) et amplifier celle-ci.
- transmettre périodiquement une information représentant la porteuse
- transmettre un multiple ou un sous-multiple de la fréquence de la porteuse
Chapitre
3 Numérisation
3
L’importance des systèmes numériques de traitement de l’information ne cesse
de croître (radio, télévision, téléphone, instrumentation…). Ce choix est souvent justifié par des
avantages techniques tels que la grande stabilité des paramètres, une excellente reproductibilité des
résultats et des fonctionnalités accrues. Le monde extérieur étant par nature ‘’analogique’’, une
opération préliminaire de conversion analogique numérique est nécessaire. La conversion analogique
numérique est la succession de trois effets sur le signal analogique de départ :
Echantillonnage
Définition
L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis, le plus souvent équidistants, les
valeurs instantanées d’un signal. Le signal analogique s(t), continu dans le temps, est alors
représenter par un ensemble de valeur discrètes :
se(t) = s(n.Te) avec n entier
Te : période d’échantillonnage.
Cette opération est réalisée par un échantillonneur souvent symbolisé par un interrupteur.
s(t) se(t)
1
T t fe = Te t
Te
Echantillonnage idéal
L’échantillonnage idéal est modélisé par la multiplication du signal continu s(t) et d’un peigne
de Dirac de période Te.
+ +
1 + +
1
S (f) =
e S(f) δ(f- nf )
Te n→- e
Se (f) =
Te n→-
S(f- nf ) e (voir Annexe 1)
On obtient donc un spectre infini qui provient de la périodisation du spectre du signal d’origine autour
des multiples de la fréquence d’échantillonnage.
S(f) Se(f)
TF
-fM -fm fm fM f
-2fe -fe -fe/2 fe/2 fe 2fe f
Remarques :
On voit sur le spectre du signal échantillonné qu’il est possible de restituer le signal original
par un simple filtrage passe-bas.
Si fM, la fréquence maximale du spectre du signal à échantillonner, est supérieure à
fe/2, larestitution du signal original sera impossible car il va apparaître un recouvrement spectrale
lors de l’échantillonnage. On dit qu’on est en sous-échantillonnage.
Se(f)
recouvrement
Le théorème de SHANNON montre que la reconstitution correcte d’un signal nécessite que la
fréquence d’échantillonnage fe soit au moins deux fois plus grande que la plus grande des fréquences
fM du spectre du signal :
fe > 2 f M
Exemple : c'est par exemple le cas de la parole. Le spectre des sons audibles s'étend jusqu'à environ
20kHz. Dans le cas des CD audio, le signal est échantillonné à 44.1 kHz alors que dans le cas du
téléphone numérique le signal est échantillonné à 8 kHz seulement. En effet, en téléphonie, on estime
que le message est compréhensible pourvu que les composantes basses fréquences soient
transmises correctement alors que l’on veut conserver tous les harmoniques pour avoir un son de
qualité en audio. On limite ainsi le spectre à 22.05 kHz pour un CD audio et à 4 kHz pour la téléphonie
(3.4kHz en pratique).
Echantillonnage réel
En pratique, l’échantillonnage s’effectue en commandant un interrupteur par un train
d’impulsions étroites. Il est donc impossible d’obtenir des échantillons de durée quasiment nulle. La
modélisation de l’échantillonnage par un peigne de Dirac est donc erronée. En fait, chaque impulsion
va avoir une durée très courte . L’échantillonnage peut donc être modélisé par la multiplication du
signal par une suite de fonction rectangle (ou porte) de largeur .
y(t) y(t)
1
1
t t
-2Te -Te Te 2Te -/2 /2
L’expression du signal d’échantillonnage
+ devient donc :
t-kTe t +
y(t) =
k→-
rect ( δ(t− kTe )
τ ) = rect ( τ ) k→-
Et par conséquent, sa transformée de Fourier est égale à :
1 +
Y(f) = τ sinc(τ f)
T δ(f − k f ) e
(voir Annexe 1 et 2)
e k→-
+
τ
Se(f) = sinc(τ f) S(f- k f )e
Te k→-
On retrouve la même allure de spectre modulé en amplitude par une fonction en sinus cardinale.
S(f) |Se(f)|
TF
-fM -fm fm fM f
-2fe -1 -fe fe 1 2fe f
Remarques :
Pour se rapprocher d’un échantillonnage idéal et qu’ainsi le signal soit facilement
reconstructible, il faut que soit le plus petit possible.
Dans le cas où est du même ordre de grandeur que f e, il faudra fe >> 2fM.
Echantillonnage-blocage
En pratique, on n'échantillonne pas un signal pour le reconstruire juste après.
L'échantillonnage est utilisé pour prélever le signal à des instants multiples de T e et ensuite convertir
les échantillons sous forme d'un code binaire (8, 12, 16 bits, ...). Cette conversion est effectuée par
l’intermédiaire d’un convertisseur analogique-numérique (CAN). Cette conversion n’est pas
instantanée. Si le signal à convertir varie trop rapidement, il est nécessaire de procéder au blocage
du signal pour avoir une conversion sans erreur. On utilise donc un échantillonneur-bloqueur qui
mémorise la tension à convertir et la maintient constante pendant toute la durée de conversion.
L’effet de blocage peut être modélisé par une fonction porte décalée de /2 :
y(t) τ τ
1
+ t- -kTe t- 2 +
y(t) = rect 2 = rect k→-
δ(t− kTe )
k→- τ τ
t
L’échantillonnage-blocage consiste donc à la multiplication du signal par y(t). La transformée de
Fourier du signal échantillonné est donc :
+
τ
Se(f) = sinc(τ f) S(f- k f )e e -jπf τ
Te k→-
Remarques :
Le spectre est identique au précédent. Le terme en e-jπf τ traduit un déphasage entre le signal
initial et le signal échantillonné. En principe, on maintient la valeur de l’échantillon sur toute la période
d’échantillonnage donc = Te. Ainsi, pour f = fe, on a un déphasage de -.
Quantification
Définition
La quantification consiste à associer à une valeur réelle x quelconque, une autre valeur x q
appartenant à un ensemble fini de valeurs et ce suivant une certaine loi : arrondi supérieur, arrondi le
plus proche, etc…
L’écart entre chaque valeur xq est appelé pas de quantification.
Le fait d’arrondire la valeur de départ entraîne forcément une erreur de quantification que l’on
appelle le bruit de quantification.
Chapitre
4 Traitement du signal numérique
4
Le traitement numérique de l’information apporte de nombreux avantages
techniques ainsi qu’une flexibilité accrue dans beaucoup de domaine. Le traitement du signal par
transformée de Fourier pose cependant un certain nombre de problèmes. En effet un ordinateur ne
peut traiter que des signaux numériques, ceux-ci sont obtenus après un échantillonnage et une
quantification. Leur étude devra tenir compte des effets induits sur le spectre par ces deux techniques.
De plus, un calcul de transformée de Fourier est une somme d’une infinité d’échantillons. Le temps
nécessaire ainsi que la mémoire de l’ordinateur vont forcément emmener certaines contraintes à ce
niveau.
Définition
Un signal discret est défini par une suite d’échantillons espacés entre eux d’une période T e. La
transformée de Fourier appliquée à un signal discret x[n] devient donc :
nf
+ -2 jπ
X(f) = x[n]e
Fe
n→-
Remarques :
On vérifie bien que X(f) est une fonction périodique de période F e (à cause de
l’échantillonnage). Si on remplace f par ( f + k.Fe ) :
n(f+k.Fe ) -2 jπ
nf nk.Fe -2 jπ
nf
-2 jπ -2 jπ
=e +e =e
Fe Fe Fe Fe
e
Propriétés
x[n] X(F)
Linéarité α.x(n) + β.y(n) α.X(f) + β.Y(f)
kf
−2jπ
Translation x(n- k ) Fe
e X(f)
e2jπ nf0 x(n) X(f- f0 )
Fenêtrage
Avec un ordinateur, il est impossible de calculer la transformée de Fourier d’un signal discret.
En effet il faudrait un temps et une mémoire infinis Pour ces raisons, on est toujours amené à travailler
avec un nombre fini de points N. Cela revient à dire que les signaux exploités numériquement sont
toujours une troncation de signaux réels.
On construira donc un signal tronqué x T[n]. Il résulte de la multiplication des échantillons de
x[n] par une fenêtre d'analyse (ou encore fenêtre de troncature) qui limitera x T[n] à N échantillons. En
pratique, on calcule donc : nf
N-1 -2 jπ
XT (f) = xT [n] e
Fe
n=0
La fenêtre d’analyse est définie par une suite d’échantillons y[n] tels que :
x T[n] = y[n]. x[n] pour 0 n ( N-1)
x [n] = 0 pour n 0 et n ( N-1)
T
y(t) Y(f)
T
1
t f
-T/2 T/2 -3 -2 -1 1 2 3
T T T T T T
XT(f)
xT(t) 1/T
TS/2
S
t f
-f0 f0
Remarques :
On constate que le fait de tronquer le signal tend à élargir les raies contenues dans le
spectre. Plus la fenêtre sera large, plus les raies seront étroites et tendront vers les Dirac originaux.
On le conçoit aisément dans le domaine temporel puisque plus la fenêtre est large et plus le signal
tronqué se rapproche du signal d’origine.
Si on ne conserve qu’une période (environ) de la sinusoïde, les deux sinus cardinaux
sechevaucheront bien avant d’avoir atteint des amplitudes négligeables. Ainsi, plus on voudra
une résolution importante en fréquence plus il faudra conserver un nombre important de
périodes temporelles du signal à analyser… La qualité de la représentation spectrale sera d'autant
plus grande que la période d'acquisition T sera longue.
La fenêtre rectangulaire n'est pas forcément la meilleure. Dans le domaine temporel,
ele interrompt brusquement le signal à ces extrémités générant artificiellement des hautes
fréquences. Dans le domaine fréquentiel, la fonction sinc a des lobes non négligeables loin de f = 0
qui déforme le spectre.
Afin de compenser ces défauts, toute une série de fenêtres ont été imaginées. Aucune n'est
idéale, toutes ont leurs qualités et défauts suivant les applications voulues.
Par exemple, la fenêtre de Hanning présente dans le domaine fréquentiel des lobes
secondaires qui deviennent vite négligeables, mais au prix d'un lobe principal plus large. Ainsi, le
spectre sera moins précis au voisinage de f0 mais moins bruité dans les hautes fréquences.
y(t) Y(f)
T
1
TF
t f
-T/2 T/2 -3 -2 -1 1 2 3
T T T T T T
Echantillonnage en fréquence
En fait, lorsque l’on veut pouvoir représenter le spectre XT(f), il faut calculer XT(f) pour toutes
les valeurs de f (f est une variable continue). Ceci est impossible avec un ordinateur ou un DSP qui ne
peuvent traiter que des valeurs de f discrètes. Comme X T(f) est périodique de période Fe, on découpe
donc cet intervalle en M parties égales et on ne calcule X T(f) que pour les multiples de Fe/M : on
effectue un échantillonnage fréquentiel de pas f = Fe/M.
N-1 n.k
-2 jπ
XT k = xT[n]e M
pour k = [0, 1, 2,…., M-1]
n=0
▪ f > 1/T : La résolution spectrale f est trop grande. On a un recouvrement dans le domaine
temporel. C'est un peu Shannon à l'envers : si on choisit une résolution spectrale trop grande,
on ne peut pas reconstituer le signal dans le domaine temporel correctement.
xT(t)
1 T t
f
recouvrement
▪ f < 1/T : Il n’y aura plus de repliement temporel, mais des intervalles durant lesquels le
signal dont on calcule le spectre sera nul…
xT(t)
1
f
T t
T t
1
f
n.k
N-1 -2 jπ
XT k = xT[n]e N pour k = [0, 1, 2,…., N-1]
n=0
Remarques :
A Fe fixe, plus la durée d’acquisition sera longue et plus la résolution en fréquence sera fine.
A N fixe, plus Fe sera importante et plus la condition de Shannon sera respectée mais moins
la résolution en fréquence sera fine et la durée d’acquisition longue.
Notion de transformée de Fourier rapide
Pour obtenir une valeur particulière de XT[k], il faut par exemple :
Pour n = 0 :
X T k = ( x T [0] • cos ( 0 ) - x T [0] • jsin ( 0 ) )
2 produits complexes et 1 somme complexes
Pour n = N-1 :
2N produits complexes et 2(N-1) sommes complexes
Ainsi, pour obtenir les N valeurs de XT[k] il faut donc 2N2 multiplications et 2(N-1)N additions.
Par exemple, un signal où N=1024 échantillons (soit 1ko en mémoire si chaque échantillon est codé
sur 8 bits), le nombre de multiplications est de 2 097 152 et celui des additions de 2 095 104 !!!! On
arrive très vite à des temps de calcul très longs. Si ces durées ne sont pas gênantes pour des
traitement en temps différé, il n’en est pas de même en temps réel. En effet, plus le temps de calcul
sera important et plus la fréquence maximale du signal à analyser sera réduite (Shannon).
Pour pouvoir utiliser la transformée de Fourier discrète en temps réel, on dispose d’algorithmes
de calcul permettant d’obtenir les résultats beaucoup plus rapidement sous certaines conditions. Ces
algorithmes sont connus sous le nom de Transformée de Fourier Rapide (TFR) ou Fast Fourier
Transform (FFT). L'algorithme le plus connu est celui de Cooley-Tuckey.
Propriétés de WN :
-2 jπnk
▪ W 2nk = e N/ 2 = Wn k
N N/ 2
-2 jπ(nk+N/2)
▪
WNnk+N/ 2 = e N = − Wnk
N
X k =
X1 k+W .XNk 2 k
N
Pour 0 k
2 X k+ = X1k − W Nk .X 2 k
-1 N
2
Remarques :
Le coût de calcul passe de l’ordre de N2 à N log2