Chap1 Signaux & Systèmes
Chap1 Signaux & Systèmes
Chap1 Signaux & Systèmes
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Exemple de déformation du signal
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Le signal transmis à travers le canal de transmission atteint le récepteur, puis il subit un traitement pour
extraire l’information utile sans bruit.
Un système de mesure a de façon générale la structure de la figure ci-dessous, le phénomène physique
que l’on veut étudier est présenté à un capteur qui le transforme en un signal électrique tension ou
courant, à ce niveau un bruit s’ajoute.
Exemples de signaux et systèmes
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Le réseau global de télécommunications que nous connaissons aujourd’hui est sans doute la grande
révolution technologique de notre temps. Il fournit aussi une pléthore d’illustrations pour la théorie des
systèmes, à commencer par la simple communication téléphonique à longue distance.
4. Classification des signaux
4.1. Selon leurs origines
- Bidimensionnel (2D)
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4.3. Selon leurs morphologies : On distingue les signaux
- A évolution temporelle continue ou discrète
- A amplitude continue ou discrète
Récapitulatif
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Exemples de signaux périodiques
Par défaut, la majorité des appareils de mesure donnent la valeur efficace de la composante alternative du
signal. Celle-ci est différente de la valeur efficace du signal.
Amplitude
Valeur Crête-à-Crête
Sinusoïde
Période
Un signal alternatif sinusoïdal x(t) possède une valeur moyenne nulle et ne peut donc pas être caractérisée
par sa valeur moyenne. C’est par exemple le cas de l’onde sinusoïdale. On caractérise ces signaux par leur
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valeur efficace. Cette grandeur est directement indiquée par l’appareil de mesure correspondant en
position alternative (AC+DC ou TRMS).
6.1. Période,
fréquence
Un signal périodique se répète identique à lui-même au cours du temps. Il est défini par sa période T, le
plus petit intervalle de temps au bout duquel il se répète. L’inverse de la période est la fréquence, notée
par exemple f : f =1/T .
Un signal sinusoïdal est complètement déterminé par sa fréquence, son amplitude et sa phase. Plus
généralement, il faut bien comprendre que les deux aspects temporel et fréquentiel sont liés : une
variation rapide de la grandeur physique correspond à une fréquence élevée.
Lorsqu’une grandeur alternative est visualisée sur oscilloscope, on la caractérise par sa forme
(sinusoïdale, triangulaire...), sa période T (ou fréquence F=1/T) et par son amplitude maximale (XM) ou
sa valeur efficace Xeff ou sa valeur crête à crête XC-C.
Un signal quelconque peut être caractérisé par sa valeur moyenne, sa valeur efficace, sa forme d’onde…
et un signal constant égal à la valeur moyenne du signal x(t).
6.2. Valeur
moyenne
La valeur moyenne d’un signal s(t) calculée sur l’intervalle [t1, t2] est définie par :
t2
1
Smoy (t 1 , t 2 )= ∫ s ( t ) dt
t 2 −t 1 t1
T
2
1
On peut définir également une valeur moyenne totale : Smoy = lim
T→∞ T
∫ s ( t ) dt
−T
2
Dans le cas d’un signal périodique, sa valeur moyenne totale est identique à sa valeur moyenne sur une
période.
De plus, elle peut être calculée à partir de n’importe quelle origine : l’intervalle d’intégration doit
posséder une largeur égale à T. Le début de cet intervalle peut être quelconque, donc on peut écrire
T
t 0+T T 2
1 1
indifféremment : Smoy =
T
∫ s ( t ) dt = ∫ s ( t ) dt= T1 ∫ s ( t ) dt
T 0
t0 −T
2
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Car t0 est un instant quelconque, et peut donc être pris égal par exemple à 0. Le résultat sera le même dans
tous les cas. L’avantage de la 2e forme est de simplifier les calculs (s’il y en a). Ceci sera valable pour
toutes les autres expressions basées sur des intégrales.
La moyenne calculée ci-dessus donne une valeur en un point. Si on applique ce calcul en tout point d’un
signal, on obtient ce que l’on appelle une moyenne mobile, qui est elle-même un signal. Soit x(t) un
t
1
signal quelconque, la définition de la moyenne mobile est la suivante : y ( t ) = ∫ x (τ ) dτ
T t −T
Selon la durée sur laquelle est calculée cette moyenne, cette opération réalise un lissage plus ou moins
important du signal traité. On verra plus loin que ce moyennage est équivalent à un filtrage passe-bas.
Exemple
Remarque : La valeur moyenne d’un signal ne nous apprend pas grand-chose sur ce signal. On a souvent
recours à l’étude de l’énergie et de la puissance d’un signal.
6.3. Valeur
efficace
√
t 0 +T
Soit s(t) un signal. Sa valeur efficace est définie par : Seff = 1 ∫ S 2 ( t ) dt
T t0
Avec t0 quelconque.
Physiquement, la valeur efficace correspond à la valeur du signal continu qui fournirait la même énergie
dans une résistance (dissipation de chaleur par effet Joule).
6.4. Valeur
instantanée d’un signal
Définition : La valeur instantanée d’un signal s(t ) à un instant t i est la valeur que prend ce signal à cet
instant t=t i: si (t)=s (t i)
Remarque : Pour un signal périodique de période T 0, la connaissance du signal sur cette durée T 0 (motif
su signal), est suffisante pour le déterminer complètement.
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6.5. Energie,
puissance
Analogie électrique
L’énergie et la puissance d’un signal sont définies par analogie avec ces mêmes grandeurs dans un circuit
électrique.
La puissance instantanée fournie par un générateur à un dipôle, traversé par un courant i(t) et dont la
tension aux bornes est u(t), est définie par: P ( t ) =u (t ) .i(t )
L’énergie dissipée sur un intervalle [t1, t2] avec t2>t1 est l’intégrale de cette puissance instantanée :
t2
Et ,t =∫ P ( t ) dt
1 2
t1
Elle s’exprime en Joules. L’énergie augmente au cours du temps. La puissance s’obtient en divisant
Et ,t
l’énergie par la durée de l’intervalle : Pt , t = 1 2
1 2
t 2−t 1
Elle s’exprime en Watts. La puissance décrit l’énergie dissipée par unité de temps, la distribution de
l’énergie dans le temps. Une grande puissance signifie beaucoup d’énergie en peu de temps.
Par exemple, dans le cas où le dipôle est une résistance :
2
2 u (t )
P ( t ) =R .i ( t )=
R
t2 t2
1
Et ,t =R∫ i 2 ( t ) dt= ∫ u2 ( t ) dt
1 2
t1
Rt 1
De la même manière, on définit l’énergie d’un signal s(t) entre deux instants t1 et t2 en considérant que ce
signal est un courant ou une tension, par celles qui seraient dissipées dans une résistance de 1ohm :
t2
Et ,t =∫ S 2 ( t ) dt
1 2
t1
9
La puissance moyenne du signal sur l’intervalle [t1, t2] est alors définie par :
t2
Et 1
∫
,t 2
Pt , t = 1
= S 2 ( t ) dt
1 2
t 2−t 1 t 2−t 1 t 1
6.6. Energie
totale
−∞
+∞
Un signal est dit à énergie finie, lorsque son énergie totale est finie : E< ∞
On dit également que l’intégrale est bornée, et que le signal est "de carré intégrable (ou sommable)".
En fait, tous les signaux réels sont à énergie finie, puisqu’on les observe sur une durée finie. Les bornes
d’intégrations sont donc forcément finies (par opposition à infinies). Les signaux à énergie infinie sont
des abstractions mathématiques, commodes pour les calculs. Par exemple, les signaux théoriques
périodiques comme la sinusoïde, l’échelon unité, etc., sont à énergie infinie.
Les signaux permanents présentent une énergie infinie. Les signaux transitoires présentent une énergie
finie.
De manière similaire au cas continu, dans le cas d’un signal discret l’énergie est définie par : E=∑ S n
2
2
Remarque : si s(t) est complexe, il faut remplacer s2(t) par |s(t)|2 et S2n par |Sn| , le carré des modules,
dans les expressions. En effet, il faut remplacer s2(t) par :
2
S ( t ) × S¿ (t )= ( a+ jb ) ( a− jb )=a2+ b2=|s (t)|
6.7. Puissance
moyenne totale
Dans le cas d’un signal quelconque non limité dans le temps, on calcule sa puissance sur une durée la plus
T
2
1
grande possible. On définit ainsi sa puissance moyenne totale : Pmoy = lim
T→∞ T
∫ S 2 ( t ) dt
−T
2
Dans le cas d’un signal périodique, sa puissance moyenne totale est la même que celle calculée sur sa
t 0+T
1
période T (et ce quel que soit l’instant d’origine t0) : Pmoy =
T ∫ S 2 (t ) dt
t0
La puissance instantanée d’un signal s(t) est simplement définie par s2(t). En pratique, on utilise plutôt la
puissance moyenne, car la puissance instantanée d’un signal varie en permanence !
Les signaux permanents présentent une puissance finie et une énergie infinie. Ils ne sont pas
physiquement réalisables.
Un signal à énergie finie est à puissance moyenne nulle, car pour une puissance moyenne non nulle on a :
10
E
E< ∞implique donc que P= lim =0
T →∞ T
6.8. Rapport
signal/bruit
Un des intérêts de connaître l’énergie d’un signal est de pouvoir calculer le rapport signal/bruit d’un
signal dans un système de transmission ou d’amplification, par exemple. Dans ce type d’applications, le
signal informatif est entaché de bruit, et on va chercher à minimiser ce dernier pour que son influence soit
Es Ps
négligeable par rapport à celle du bruit. Le rapport signal/bruit est défini par : ξ= =
Eb P b
Où Es est l’énergie du signal et Eb l’énergie du bruit, Ps et Pb les puissances correspondantes.
En général, on s’intéresse à sa valeur en décibels (dB), définie par : ξ dB=10 log 10 ξ
Rappel : la fonction logarithme de base 10 est la fonction inverse de la fonction puissance de base 10 :
X X
y=10 ↔ log 10 y=log10 ↔ log 10 y= X
Remarque : la mise au carré du signal le rend complètement positif, ce qui a pour effet d’augmenter la
surface calculée par l’intégrale. Une valeur moyenne nulle n’implique donc pas une valeur efficace nulle.
On a vu que la représentation fréquentielle d’un signal quelconque était une fonction continue de la
fréquence. La puissance peut être répartie plus dans certaines bandes de fréquences que dans d’autres. On
définira la densité spectrale de puissance, qui caractérise cette répartition. On verra qu’elle s’obtient à
partir de la fonction d’autocorrélation (dont elle est la transformée de Fourier). Dans le cas d’un bruit
blanc, cette densité spectrale de puissance est constante.
Mesure
D’un point de vue pratique, en électronique analogique, la puissance peut être obtenue au moyen d’un
redressement et d’une multiplication par lui-même.
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Dans le cas numérique, il s’agit d’une simple addition de valeurs d’échantillons mis au carré.
7. Signaux singuliers
7.1. L’échelon unité
{
u ( t )= 1 pour t ≥0
0 pour t <0
{
r ( t )= t pour t ≥ 0
0 pour t< 0
{
1
1 pour |t|≤
rect ( t )= 2
1
0 pour|t|<
2
{
1
1−2|t| pour |t|≤
tri ( t )= 2
1
0 pour |t |<
2
2π
s ( t ) =A sin( t +φ 0)
T
7.6. Signal
impulsionnel
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{
δ (t )= 1 pour t=1
0 ailleurs
Remarque : δ (t) n’est pas une fonction. C’est un “être” à valeur infinie en un point et à valeur nulle
partout ailleurs qui n’est pas représentable graphiquement.
Par convention, la représentation graphique d’une impulsion de Dirac δ (t) est une flèche verticale placée
en t=0 de longueur proportionnelle à la constante de pondération ici égale à 1.
7.7. Signaux
continus
Echelon Unité
Impulsion de Dirac
{
δ (t )= 1 pour t=1
0 ailleurs
7.8. Signaux
discrets
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8. Principales propriétés
8.1. Périodicité
Un signal x(t) est périodique s’il existe une période To telle que x (t+ ¿)=x (t )
8.2. Principales
transformations
Linéarité
y ( t ) =x1 (t )× x 2 (t)
Décalage temporel
Dilatation/Compression
Pour une valeur α >0, on définit y ( t ) =s ( αt ). Selon la valeur de , on obtient soit une compression ou
une dilatation
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Propriétés du Dirac
Modélisation mathématique issue de la théorie des Distributions (Laurent Schwartz)...
- σ(t) n ’a pas de durée, sa hauteur est infinie et son aire est égale à l ’unité
+∞
∫
−∞
δ ( t ) dt =1
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