Chap 7 Val Pro Aut 12
Chap 7 Val Pro Aut 12
Chap 7 Val Pro Aut 12
Saïd EL MORCHID
Définitions-Exemples
Exemple
Définitions
L’équation caractéristique
Définitions
Polynômes caractéristiques de degré 2
Polynômes caractéristiques de degré 3
Exemple
Exemple:
Soient
3 −2 −1 2
A= , ~u = , ~v = .
1 0 1 1
On a
−5 4
A~u = , A~v = = 2~v .
−1 2
Donc A étire le vecteur ~v .
Définition
a) Soit A une matrice carrée d’ordre n. Un vecteur propre de A est un
vecteur non nul ~x tel que A~x = α~x , pour un certain scalaire α.
b) Un scalaire α est appelé une valeur propre de A si l’équation A~x = α~x
admet une solution non triviale ~x ; cet ~x est appelé le vecteur propre
associé à α.
Exemple:
Soient
1 6 6 3
A= , ~u = , ~v = .
5 2 −5 −2
Remarque-Définition
a) α est une valeur propre de A si et seulement si l’équation
(A − αI )x = 0 (∗)
Définition
Dire que α est une valeur propre de A revient à dire que la matrice (A − αI )
est non inversible. C’est à dire que
det(A − αI ) = 0
Proposition
Un scalaire α est une valeur propre d’une matrice carrée A si et seulement si α
est solution de l’équation caractéristique
det(A − αI ) = 0.
Polynômes caractéristiques de degré 2 et 3
Proposition
a11 a12
Si A = alors son polynôme caractéristique est
a21 a22
Proposition
a11 a12 a13
Si A = a21 a22 a23 alors son polynôme caractéristique est
a31 a32 a33
P(α) = −[α3 − (a11 + a22 + a33 )α2 + (M11 + M22 + M33 ) α − det(A)].
où M11 , M22 , M33 sont respectivement les mineurs des éléments a11 , a22 et a33 .
Exemple:
Déterminez l’équation caractéristique, puis les valeurs propres de la matrice
5 −2 6 −1
0 3 −8 0
A= 0
0 5 4
0 0 0 1
Valeurs propres d’une matrice triangulaire
Théorème:
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments de sa diagonale
principale.
Exemple:
On pose
3 6 −8 4 0 0
A= 0 0 6 , B = −2 1 0 .
0 0 2 5 3 4
Déterminer les valeurs propres de A et de B.
Valeur propre d’ordre k ≥ 2
Définition:
Soit A une matrice carrée de type n × n. On dit que α est une valeur propre
réelle de multiplicité k ≤ n de A si α est une racine de multiplicité k de son
polynôme caractéristique P(X ). C’est à dire que
Exemple:
Le polynôme caractéristique d’une matrice A ∈ M6,6 est
Définition:
Soit A une matrice carrée de type n × n et α une valeur propre réelle de
multiplicité k ≤ n de A. Si la dimension de l’espace propre associé à α est < k,
la valeur propre α est dite dégénérée.
Proposition:
Soient A ∈ Mn,n et α1 , α2 , · · · , αk , k valeurs propres réelles distinctes de A. Si
~u1 , ~u2 , · · · , ~uk sont des vecteurs propres associés séparément à chacune des αi
alors ils sont linéairement indépendants.
Proposition:
Si une matrice A ∈ Mn,n possède n valeurs propres distinctes, l’ensemble des
vecteurs propres associés forment une bas de Rn .
Exemple:
On considère la matrice
4 1 −1
A= 2 5 −2
1 1 2
Définition:
Soit A une matrice carrée de type n × n. On dit qu’elle est diagonalisable s’il
existe une matrice P inversible telle que la matrice
B = P −1 AP
soit diagonale.
Remarque:
Soit T la transformation linéaire associée à A dans la base canonique de Rn .
Dire que A est diagonalisable revient à trouver une base B de Rn telle que la
matrice B de T dans cette base soit diagonale.
Proposition:
Soit A une matrice carrée de type n × n. A est diagonalisable si et seulement si
elle possède n vecteurs propres linéairement indépendants.
Remarque:
Soit A une matrice carrée de type n × n. Si A est diagonalisable, on désigne par
P la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres ~v1 , ~v2 , · · · , ~vn et B la
matrice dont la diagonale est formée de valeurs propres correspondantes aux
vecteurs propres dans le même ordre. Alors
B = P −1 AP ⇔ A = PBP −1 .
Exemple:
Soit la matrice
4 2
A=
3 −1
Théorème:
Soit A une matrice réelle symétrique. Alors toutes les racines de son polynôme
caractéristique sont réelles.
Théorème:
Soit A une matrice réelle symétrique. Si ~u , ~v sont deux vecteurs propres de A
correspondant à deux valeurs propres distinctes α1 , α2 alors ~u et ~v sont
orthogonaux.
Théorème:
Soit A une matrice réelle symétrique. Alors A est diagonalisable et il existe une
matrice orthogonale P telle que la matrice
D = P −1 AP = P t AP
soit diagonale.
Algorithme pour diagonaliser une matrice réelle symétrique:
Algorithme
On se donne une matrice symétrique A à éléments réels. Pour avoir D = P t AP
diagonale, on utilise l’algorithme suivant
Étape 1: Écrire le polynôme caractéristique P(α) de A.
Étape 2: Trouver les solutions de l’équation P(α) = 0, qui sont les valeurs propres
de A.
Étape 3: Construire la matrice diagonale D des valeurs propres, répétées autant de
fois que leur multiplicité.
Étape 4: Déterminer une base orthogonale de l’espace propre de chacune des
valeurs propres trouvées à l’étape 2.
Étape 5: Normaliser les vecteurs de l’étape 4.
Étape 6: Écrire la matrice orthogonale P dont les colonnes sont les vecteurs
unitaires de l’étape 5.
Exemples:
Exemple:
Diagonaliser la matrice
2 −2
A=
−2 5
Exemple:
Soit la matrice
11 −8 4
A = −8 −1 −2
4 −2 −4
Le polynôme caractéristique de A est
Diagonaliser la matrice A.