TD1 Traitement Du Signal

Licence Télécommunication S5 / Licence Electronique S5
Matière : Traitement du signal

Chargé du module : Mr Azeddine MEHAOUCHI
Traitement du signal : Série d’exercices N°01

Rappels des principaux résultats de la théorie du signal et des probabilités et
statistiques
Exercice N°01 : Séries de Fourier

Soit le signal périodique x(t ) représenté par la figure suivante :
x(t)
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t
-1
1. Déterminer l’expression analytique de ce signal et trouver sa période fondamentale.
2. Trouver son développement en série de Fourier et tracez son spectre d’amplitude
unilatéral.
3. Soit y (t )  x(t )  x(t  1) . Dessiner y (t ) et quel est son développement en série de Fourier.
Exercice N°02 : Transformée de Fourier

Soit le signal rectangulaire :
1, t  0.5
x(t )  rect (t )  
0, t  0.5
1. Déterminer l’énergie de ce signal et calculer sa transformée de Fourier.
2. Tracer ses spectres d’amplitude et de phase.
sin(t )
3. Déduire la transformée de Fourier du signal y (t )  et la valeur de
t
 t 2 dt .
sin 2 (t )

l’intégrale I 

Exercice N°03 : Transformée de Laplace

Soit le signal exponentiel décroissant :
x(t )  e t u (t ) ,   0
1. Trouver sa transformée de Laplace X (s ) et sa région de convergence associée.
2. Déduire la transformée de Laplace du signal : y (t )  t e  t u (t ),   0 .
2s  1
3. Sachant l’image H (s ) d’un signal h(t ) : H ( s )  , ( s )  2 . On souhaite
( s  2)( s  3) 2
connaitre h(0 ) , h( ) et h(t ) .
Matière : Traitement du signal Page 1 sur 13 Année universitaire : 2020-2021

Exercice N°04 : Variable aléatoire continue

Soit la fonction f(x) définie sur R par :
c.(1  x k ), 0  x  1
f ( x)   avec k  N et c  R
 0, ailleurs
1. Déterminer les valeurs de c et k pour que f(x) soit une densité de probabilité d’une variable
aléatoire x.
2. Déterminer la fonction de répartition F(x) pour k=1.
3. Sachant que k =1, calculer : x0 tel que prob(X<x0) = 0.5, prob(0.25≤X≤0.75) et prob(X≤0.25).
Exercice N°05 : Variable aléatoire continue bidimensionnelle

La densité de probabilité conjointe d’un couple de variables aléatoires (X,Y) est donnée par :
 k ( x  y ), 0  x  2 et 0  y  2
f x , y ( x, y )  
0 , ailleurs
Déterminer la constante k, les lois de probabilité marginales de x et y, p(X<1\Y<1), E[x], E[y], E[xy],
ρx,y, est-ce que X et Y indépendants.
Exercices supplémentaires
Exercice N°06 : Analyse fréquentielle des signaux analogiques
I. Soit le signal périodique s (t ) , de période 2 , représenté par la figure suivante :
s(t)
π t
-2π -π -π/2 π/2 2π
1. Trouver sa puissance moyenne et développer le en séries de Fourier.
2. Représenter son spectre d’amplitude bilatéral.
t
II. On considère le signal x(t )  s (t ) rect ( )
2
1. Tracer le graphe de x(t) et calculer sa transformée de Fourier.
2. Déterminer sa densité spectrale et sa fonction d’autocorrélation.
Exercice N°07 : Analyse fréquentielle des signaux analogiques x(t)

Soit le signal périodique suivant :
1
t
-T -T/2 -T/4 T/4 T/2 T
t
1. Donner la transformée de Fourier du signal xT (t )  x(t )rect ( ) .
T
2. Donner l’expression analytique de x(t ) en fonction de xT (t ) et peigne de Dirac.
3. Calculer X ( f ) en utilisant le théorème de convolution et déduire la fonction
d’autocorrélation de x(t ) .

Exercice N°08 : Transformée de Fourier

Considérer le signal triangulaire x(t) défini par :
1  t ; pour t  1
x(t )  
 0; pour t  1
1. Représenter graphiquement ce signal et calculer sa transformée de Fourier X ( f ) .
2. Calculer la dérivée x (t ) de x(t) et la T .F x (t ) . En déduire X ( f ) .
3. Calculer la dérivée seconde x (t ) de x(t) et la T .F x (t ) . En déduire X ( f ) .
4. Calculer l’énergie totale ainsi que la densité spectrale d’énergie du signal x(t).
Exercice N°09 : Transformée de Laplace

Soit un système linéaire invariant analogique (SLIA) décrit par sa fonction de transfert :
2s
H (s) 
s  4s  3
2
Déterminer la réponse impulsionnelle h(t ) pour les régions de convergences suivantes :

 ( s )  3  3   ( s )  1  ( s )  1
Exercice N°10 : Variable aléatoire continue

La densité de probabilité d’une variable aléatoire X est définie par :
 x, 0  x  1

f X ( x )  2  x , 1  x  2
 0, ailleurs

1. Calculer prob(1/2<x<3/2).
2. Déterminer la moyenne et la variance de X, ainsi la fonction génératrice du moment de X.
3. Obtenir la moyenne de X à partir la fonction génératrice du moment et comparer avec la
valeur obtenue par l’application directe de la définition.
Exercice N°11 : Variable aléatoire discrète

On jette deux dés, soient X et Y deux variables aléatoires représentant les nombres de points
obtenus du premier et deuxième dé, respectivement.
1. Calculer prob(x=3) et prob(y=2), et trouver la loi de la somme z=x+y.
2. Calculer e(z) et var(z).
Exercice N°12 : Variable aléatoire discrète bidimensionnelle

La densité de probabilité conjointe d’un couple de variables aléatoires (X,Y) est définie par :
 sin( x  y )
 , 0  x   / 2, 0  y   / 2
f ( x, y )   2
 0, ailleurs
1. Trouver la fonction de répartition FX,Y(x,y) du couple (X,Y).
2. Déterminer les lois de probabilité marginales fx(x) et fy(y).
3. Calculer E(x), E(y), Var(x), Var(y) et prob(x<π/2, y<π/4).

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Exercice N°02 : Transformée de Fourier

Exercice N°03 : Transformée de Laplace

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Exercice N°04 : Variable aléatoire continue

Exercice N°05 : Variable aléatoire continue bidimensionnelle

Exercice N°07 : Analyse fréquentielle des signaux analogiques x(t)

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Exercice N°08 : Transformée de Fourier

Exercice N°09 : Transformée de Laplace

Déterminer la réponse impulsionnelle h(t ) pour les régions de convergences suivantes :

Exercice N°10 : Variable aléatoire continue

Exercice N°11 : Variable aléatoire discrète

Exercice N°12 : Variable aléatoire discrète bidimensionnelle

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