Cours Hydrodynamique

C O L E P O L Y T E C H N I Q U E
F DR A L E D E L A U S A N N E
Christophe A NCEY
L ABORATOIRE HYDRAULIQUE ENVIRONNEMENTALE (LHE)
Ecole Polytechnique Fdrale de Lausanne

Ecublens
CH-1015 Lausanne
Notes de cours
version 1.1 du 2 juillet 2007

2
TABLE DES MATIRES 3
Table des matires
1 Quelques rappels de mathmatiques 1

1.1 Drive partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Quelques oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Oprateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Oprateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Oprateur laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Drive totale ou drive matrielle ou drive particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Guide de survie pour le calcul des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Surfaces planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Surfaces de rvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.3 Le cas des surfaces orientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Quelques rappels utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.2 Quelques relations vectorielles ou tensorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.3 Quelques relations sur les oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.4 Units de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Rappel de mcanique du point et du solide rigide 15

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Mcanique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Conservation de la quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Conservation de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Mcanique du solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Motivations : pourquoi faire une mcanique du solide rigide? . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Diffrences avec la mcanique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 Cinmatique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.4 quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Proprits des fluides et statique des fluides 23

3.1 tats de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Dformation dun matriau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Viscosit des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 TABLE DES MATIRES
3.3.1 Manifestation lchelle macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.2 Origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Pression des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.2 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.3 Principe dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.4 Calcul des forces de pression en perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Tension de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6.1 quations de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Les quations de bilan 45

4.1 Quelques lments de cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.1 Description eulrienne ou lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.2 Trajectoires et lignes de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.3 Dformation et rotation dun volume de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Quelques lments de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.1 Types de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.2 Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Thormes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.1 Vue gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.2 Thorme de transport en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.3 Gnralisation et thorme de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.4 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.5 Conservation de la quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.6 Conservation de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.7 Quelques applications du thorme de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Les fluides newtoniens 79

5.1 Les quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.1 Bases thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.2 Les quations de Navier-Stokes sous forme gnrique . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Bases phnomnologiques du comportement newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3 Adimensionalisation des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.2 Mise en uvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.3 Nombre sans dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3.4 Rgimes dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 coulements domins par la viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
TABLE DES MATIRES 5
5.4.1 Sdimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4.2 coulement dans les milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4.3 Effet coin dhuile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4.4 talemement dune couche dhuile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5 La turbulence ou les limites du modle newtonien (laminaire) . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.1 Vue densemble sur la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.2 Moyenne des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.3 Problme de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5.4 Base exprimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5.5 Exemple : coulement sur un plan inclin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6 Synthse : quations de Navier-Stokes dans diffrents systmes . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6.3 xprience de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.6.4 xprience de Trouton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 Analyse dimensionnelle et thorie de la similitude 117

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2 Le thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.1 Exemple : calcul de la force de trane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.2 Thorme de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Analyse dimensionnelle et quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.1 Rgimes dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.2 Analyse dimensionnelle des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4 Similitude en ingnierie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4.1 Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7 coulements laminaires en charge 129

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3 coulement permanent uniforme laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3.2 coulement de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.3.3 coulement de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8 coulements turbulents en charge 135

8.1 coulement permanent uniforme lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.1.1 quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.1.2 Phnomnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.1.3 Zone logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.1.4 Zone centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6 TABLE DES MATIRES
8.1.5 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.2 coulement permanent uniforme rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.2.1 quations du mouvement ; effet de la rugosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.2.2 Calcul du dbit pour des canalisations rugueuses . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9 Calcul pratique des pertes de charge 141

9.1 Dissipation dnergie dans les conduites en rgime tabli . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.1 Bilan dnergie en rgime laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.2 Bilan dnergie en rgime turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.2 Pertes de charge singulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2.2 Principales formules de perte de charge singulire . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.3.1 Vidange dun barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10 coulement surface libre 153

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.2 Les quations de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.2.1 Drivation des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.2.2 Forme conservative et non conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.2.3 Forme caractristique des quations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2.4 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11 Rgime permanent uniforme 169

11.1 Relation dquilibre pour un rgime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.2 Loi de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.2.1 Loi de Manning-Strickler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.2.2 Loi de Darcy-Weisbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.2.3 Loi de Chzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.2.4 Loi de Keulegan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.2.5 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.3 Justification physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12 Hauteur normale selon la section dcoulement 175

12.1 Hauteur normale et courbe de tarage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.2 Granulomtrie et rsistance lcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.3 Limites des relations u(h, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.4 Structure morphologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
13 Rgime permanent non-uniforme 181

13.1 Courbes de remous obtenues par les quations de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . 181
13.2 Rsolution de lquation de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
TABLE DES MATIRES 7
13.2.1 Canaux faible pente : courbes M1M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

13.2.2 Canaux forte pente : courbes S1S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.2.3 Rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
14 Courbes de remous et coulement critique 187

14.1 Hauteur critique et rgimes associs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
14.2 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
14.3 Conjugaison dune courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
14.3.1 Donnes du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
14.3.2 Rsolution du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
14.3.3 Rsolution assiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
15 quation de Bernoulli et ses applications 197

15.1 Charge totale et charge spcifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
15.1.1 Dbit charge spcifique constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
15.1.2 Hauteur charge spcifique constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
15.2 Courbes de remous obtenues par lquation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
15.3 Effet dun obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
15.3.1 coulement sur une topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
15.3.2 Dune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
16 Rupture de barrage coulements rapidement varis 203

16.1 Rupture de barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
16.1.1 Solution de Ritter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
16.1.2 Solution de Whitham : prise en compte de la rugosit du fond . . . . . . . . . . 208
16.2 Rsolution numrique du problme de rupture de barrage . . . . . . . . . . . . . . . . 211
16.2.1 Rsolution par une mthode lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
16.2.2 Mthode des caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
16.2.3 Mthode des diffrences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
16.3 coulements rapidement varis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
17 Phnomnes de propagation dans leau 227

17.1 Phnomnes de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
17.1.1 Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
17.1.2 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
17.1.3 Convection-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17.1.4 Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
17.1.5 Onde dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
17.1.6 Onde cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
17.2 Ondes dynamiques : ondes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
17.2.1 Calcul approximatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
17.2.2 Calcul plus complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
17.3 Ondes dynamiques : ondes de choc (mascaret) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8 TABLE DES MATIRES
17.4 Ondes dynamiques : roll waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

17.5 Ondes cinmatiques : ondes de crue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Bibliographie 240
TABLE DES MATIRES 9
Avant-propos
Il sagit dun recueil de notes contenant les principales notions du cours ainsi que les formules
utiles connatre. Il ne sagit pas dun cours complet de mcanique des fluides. Le support complet
de mon cours peut tre trouv travers :
les deux ouvrages Hydrodynamique et Hydraulique de Graf & Altinakar ;
le manuel de cours Mcanique des fluides de Rhyming ;
le cours mcanique des fluides : une introduction par Botsis & Deville ;
louvrage Constructions hydrauliques de Sinniger & Hager.
tous publis aux PPUR (collection Traits de Gnie Civil pour les ouvrages de Graf & Altinakar et
Sinniger & Hager).
Les 6 premiers chapitres correspondent au cours du premier semestre mcanique des fluides I .
Les chapitres 78 sont vus au second semestre mcanique des fluides II .
Il existe une multitude de faons denseigner la mcanique des fluides et ses applications. On
peut la prsenter sous une forme trs mathmatique, trs physique, ou trs oriente vers les appli-
cations. Mon parti-pris est de prsenter la mcanique des fluides sous un aspect souvent qualifi de
thorique , qui rebute parfois les tudiants des filires de lEnvironnement et du Gnie Civil, mais
ce prix que lon peut acqurir une vision densemble et une mthodologie scientifique pour ap-
procher les problmes pratiques de la mcanique des fluides. La prsentation plus pragmatique que
lon trouve dans certains ouvrages a, certes, lavantage de fournir un contenu directement applicable,
mais linconvnient de ressembler une collection de recettes de cuisine.
Jemploie les notations usuelles modernes :
les exemples sont le plus souvent introduits laide de Exemple. et on indique la fin
dun exemple par le symbole qed u t;
les problmes dinterprtation sont indiqus par le symbole N ;
les vecteurs, matrices, et tenseurs sont en gras ;
les variables sont en italique ;
les fonctions, oprateurs, et nombres sans dimension sont en roman ;
le symbole O (O majuscule) signifie est de lordre de ;
le symbole o (o minuscule) signifie est ngligeable devant ;
je nemploie pas la notation D/Dt pour dsigner la drive particulaire, mais d/dt (quil ne fau-
dra donc pas confondre avec la diffrentielle ordinaire selon t). Je considre que le contexte est
suffisant pour renseigner sur le sens de la diffrentielle et prfre garder le symbole D/Dt pour
dautres oprations diffrentielles plus complexes ;
le symbole veut dire proportionnel ;
le symbole ou veut dire peu prs gal ;
les units employes sont celles du systme international : mtre [m] pour les longueurs, se-
conde [s] pour le temps, et kilogramme [kg] pour la masse. Les units sont prcises entre cro-
chets ;
pour la transpose dune matrice ou dun vecteur, jemploie le symbole en exposant : A veut
dire transpose de A .
Remerciements pour les relecteurs suivants : Damien Bouffard, Steve Cochard, Nicolas Andreini.
10 TABLE DES MATIRES
Ce travail est soumis aux droits dauteurs. Tous les droits sont rservs ; toute copie, partielle ou
complte, doit faire lobjet dune autorisation de lauteur.
La gestion typographique du franais a t ralise avec LATEX laide du package french.sty de Ber-
nard Gaulle. Les figures 1.9, 1.10, et 3.2 ont t ralises partir du code PSTricks de F. Vandenbrouck.
1
Chapitre 1
Quelques rappels de mathmatiques
Prrequis
calcul diffrentiel
calcul intgral
calcul vectoriel, matrices, produit scalaire
Objectifs
Rappeler les notions de calcul diffrentiel : drive dune fonction scalaire, diffren-
tielle dune fonction plusieurs variables.
Introduire les principaux oprateurs utiliss en mcanique.
Dfinir le produit tensoriel.
Donner les principes appliquer pour le calcul sur des surfaces quelconques.
Contenu
Ce chapitre est conu comme un rappel de cours des principales notions mathmatiques connatre
pour suivre le cours.
2 CHAPITRE 1. QUELQUES RAPPELS DE MATHMATIQUES
1.1 Drive partielle

La notion de drive partielle est une gnralisation de la drive dune fonction scalaire des
fonctions de plusieurs variables. Ainsi, sur le plan mathmatique, la dfinition de la drive est :
df f () f (x)
= f 0 (x) = lim ,
dx x x
dont linterprtation est donne en termes de pente de la tangente : f 0 (x) reprsente la pente de la
tangente la courbe C dquation y = f (x) au point dabscisse x.
= +
Figure 1.1 : interprtation de la drive en termes de droite tangente
Ainsi, une petite variation de f autour de f (x0 ) est donne par :
df = f 0 (x0 )dx,
cest--dire localement, quand x est trs proche de x0 , les variations de f sont voisines de celles de
sa tangente : f (x) = f (x0 ) + (x x0 )f 0 (x0 ) + . Ces notions se gnralisent sans problme des
fonctions de plusieurs variables. Par exemple, pour une fonction f (x, y), la diffrentiation par rapport
la variable x se dfinit :
f f (, y) f (x, y)
= fx (x, y) = lim ,
x x x
cela veut dire que lon diffrentie par rapport x en gardant y constant (on est dans le mme cas que
dans le cas scalaire).
Exemple. Par exemple, prenons :
f (x, y) = 1 + y ln x.
On tire :
f y
= ,
x x
f
= ln x.
y
u
t
Comme prcdemment, on peut dfinir la diffrentielle totale de f autour dun point (x0 , y0 ) :
f f
df = dx + dy
x y
1.1. DRIVE PARTIELLE 3
On peut interprter df en termes de plan tangent : en effet si on interprte df z f (x0 , y0 ), dx

x x0 , et dy y y0 , alors lquation prcdente donne lquation dun plan :
z = f (x0 , y0 ) + fx (x x0 ) + fy (y y0 ).
Figure 1.2 : interprtation des drives partielles en termes de plan tangent.
Exemple. Par exemple, dans lexemple prcdent, on a :
f f y
df = dx + dy = dx + ln xdy.
x y x
u
t
En rsum, la notion de drive partielle nest gure diffrente de celle dune drive dune
fonction scalaire ( une seule variable). Les choses peuvent sembler se compliquer un peu
quand on introduit la drive matrielle (voir 1.3), mais il ne sagit que de difficults for-
melles puisque les manipulations et linterprtation physique demeurent identiques.
1.2 Quelques oprateurs

Pour se simplifier la vie, le physicien aime rduire la taille des quations. Il introduit pour cela des
oprateurs , cest--dire des ensembles doprations diffrentielles groups gnriquement sous
un seul terme. Ces oprateurs ont galement des significations physiques.
1.2.1 Oprateur gradient

Le plus simple et le plus connu est loprateur gradient not grad ou (appel symbole nabla),
qui une fonction g lui associe le vecteur compos de toutes ses drives partielles. Par exemple si
f (x, y, z), alors :
f f f
gradf = f = , , .
x y z
x2
Exemple. Considrons f (x, y; t) = xt + x2 y/t. On trouve que le gradient de f = xt + t y est le
vecteur :
x x2
gradf = t + 2 y, .
t t
u
t
Notons que :
Attention dans lexemple ci-dessus le gradient a concern les variables despace x, y et non de
temps t car en mcanique, loprateur gradient ne sapplique le plus souvent quaux variables
spatiales ; dans ce cas :
f f
f (x, y; t) = , .
x y
On a mis un ; dans la liste des variables de la fonction pour sparer variables despace et de
temps.
Les expressions ci-dessus ne sont valables quen coordonnes cartsiennes. En coordonnes
cylindriques (r, , z), il faut employer :

f 1 f f
f = , ,
r r z
On a la relation :
df (x) = gradf dx
ce qui permet pour les plus tmraires dintroduire la drive selon un vecteur : gradf = df (x)/dx.
Leffet de loprateur gradient sur un objet de dimension n est dobtenir un objet de dimension
n + 1.
On peut tendre la dfinition un champ vectoriel ; par exemple si u = (a(x,y), b(x,y)), alors

a a
grad u = x y

b b .
x y
Gomtriquement, loprateur gradient peut tre interprt comme le vecteur normal une sur-
face (resp. une courbe). En effet, considrons une surface (resp. une courbe) dans un espace de di-
mension 3 (resp. de dimension 2) muni dun repre cartsien (x, y, z), dont lquation paramtrique
est (x, y, z) = 0 ; par exemple, dans le cas dune sphre de rayon a, on a (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 a2 .
Un vecteur normal cette surface est k = ; par exemple, dans le cas de la sphre, cela donne
k = = 2(x, y, z). Cela peut simplement se prouver en se rappelant que le plan tangent la courbe
(x, y, z) = 0 au point M0 (x0 , y0 , z0 ) a pour quation cartsienne

(x x 0) + (y y 0) + (z z 0) = 0,
x y z
1.2. QUELQUES OPRATEURS 5
ce qui est quivalent crire que

MM0 ,
pour tout point M (x, y, z) du plan tangent, ce qui montre bien que est normale la surface = 0.
Physiquement, loprateur gradient sert ds lors quon a besoin de gnraliser la notion de drive
des problmes plusieurs variables despace. Par exemple, dans un problme scalaire, le gradient
de temprature T est not T /x. Pour un problme dans lespace, le gradient sera T . Cest ainsi
que la loi de Fourier qui lie le flux de chaleur au gradient scrit
T
jQ = ,
x
pour un problme unidirectionnel (transmission de chaleur dans un tube par exemple), mais
jQ = T,
avec la conductibilit thermique. Notons au passage que le flux de chaleur dans un problme tridi-
mensionnel est un vecteur.
Quelques dveloppements avec loprateur gradient :
gradient dun produit de 2 fonctions (cela donne un vecteur)
grad (f g) = g grad f + g grad g.
gradient dun produit dune fonction et dun vecteur (cela donne une matrice)
grad (f u) = u grad f + f grad u.
gradient dun produit scalaire (cela donne un vecteur)
grad (u v) = u grad v + v grad u + u (rot v) + v (rot u),
o reprsente le produit vectoriel et rot loprateur rotationnel.
1.2.2 Oprateur divergence

Un autre oprateur est la divergence, note div ou (faire bien attention au point en position cen-
trale aprs le symbole), qui un vecteur u lui associe la fonction rsultant de la somme des drives
partielles de ses composantes. Par exemple si u = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z)), alors :
a b c
divu = u = + + .
x y z
Exemple. Reprenant lexemple prcdent, on trouve que la divergence du gradient de f (x, y; t) =

2
xt + xt y est la fonction :

x x2 2y
div(gradf ) = t+2 y + = .
x t y t t
u
t
Physiquement, loprateur divergence apparat frquemment dans les problmes de flux dune
quantit travers une surface ou un volume. Considrons en effet le flux dune quantit f travers la
surface S entourant un petit volume infinitsimal dxdy. Ce flux se dfinit comme
Z
= f ndS,
S
n = ey
y + dy

n = ex
x x + dx
Figure 1.3 : flux travers une surface de contrle.
avec n la normale la surface. Ici, cette dfinition peut donner lieu une dcomposition sur chacune
des facettes . On a ainsi
Z Z Z Z
= f ex dS + f ex dS f ey dS + f ey dS.
1 3 2 4
Prenons les deux premiers termes du membre de droite, on a

Z Z Z y+dy
a
f ex dS + f ex dS = (a(x + dx, y) a(x, y)) dy = dxdy + o(dxdy).
1 3 y x
On fait de mme avec les deux derniers termes et on additionne les quatre termes pour obtenir lap-
proximation
a b
= + dxdy + o(dxdy) f dxdy.
x y
On voit donc que le flux de quivaut au terme de divergence multipli par le volume (ici une surface)
du volume de contrle dxdy. Le rsultat important retenir est la relation entre flux et oprateur
divergence. On peut dmontrer un thorme dit de Green-Ostrogradski qui gnralise ce rsultat.
Le thorme de Green-Ostrogradski (appel encore thorme de la divergence) nonce le rsultat
suivant Z Z
div udV = u ndS.
V S
Un corollaire du thorme de Green-Ostrogradski est le suivant

Z Z
grad f dV = f ndS.
V S
Quelques relations utiles de composition avec loprateur divergence :

divergence du produit dun champ scalaire et dun champ vectoriel (cela donne un scalaire)
div (f u) = u grad f + f div u.
divergence du produit dun champ vectoriel et dun tenseur dordre 2 (matrice) (cela donne un
scalaire)
div (Au) = u div A + A : grad u,
o le symbole reprsente le double produit contract :
A : grad u = trace(Au).
1.2. QUELQUES OPRATEURS 7
1.2.3 Oprateur laplacien

Le dernier oprateur est le laplacien, not 1 , soit encore
2f 2f 2f
f (x, y, z) = f = + + ,
x2 2y z 2
en coordonnes cartsiennes.
Physiquement, cet oprateur se rencontre chaque fois que lon fait un calcul de flux avec une
quantit qui drive dune gradient. Par exemple, on a vu plus haut que le flux temprature de tem-
prature tait reli au gradient via la loi de Fourier. Un simple bilan dnergie permet dcrire que
laccroissement de chaleur (nergie) par unit de temps doit correspondre la variation de ce qui
entre et de ce qui sort dun certain volume (cest--dire le flux de chaleur) sil ny a pas de cration de
chaleur.
x x + dx
Figure 1.4 : transmission de chaleur dans un barreau.
En dimension 1 (problme scalaire), cela snonce
T jQ
c dx = dx,
t x
accroissement de chaleur par unit de temps = flux de chaleur,
avec c la chaleur massique, la masse volumique; le bilan est fait pour un barreau de largeur unitaire
dans la direction x et de longueur infinitsimale dx. On aboutit finalement lquation de la chaleur
T 2T
= ,
t x2
avec = c/. La gnralisation un espace deux ou trois dimensions ne pose pas de problme ;
on a
T
c = jQ = T = T.
t
1. not galement 2 car f = f

1.3 Drive totale ou drive matrielle ou drive particulaire

Jusqu prsent, ill ny a pas eu de difficults particulires puisque le calcul diffrentiel considre
tour tour chacune des variables en prenant toutes les autres constantes, puis on diffrentie par rap-
port cette variable, ainsi de suite. Plus difficile est le cas o les variables ne sont plus indpendantes,
mais dpendantes. Cest ce cas qui sera le plus frquent en mcanique des fluides.
On appelle drive matrielle (appele encore drive particulaire ou drive totale par rapport
au temps) dune fonction f (x, y, z, t) la quantit suivante (dans le cas de coordonnes cartsiennes)
df f f f f f
= +u +v +w = + u f ,
dt t x y z t
|{z} | {z }
drive locale terme dadvection
avec (u, v, w) les coordonnes de la vitesse locale. Notons que certains auteurs emploient parfois le
signe D()/Dt pour d()/dt pour mettre laccent sur le fait quil sagit dune drive matrielle, mais
lemploi de d()/dt est tout aussi logique car, en fin de compte, si x et y sont des fonctions de t, alors f
nest quune fonction de t et cela a un sens de parler de df /dt.
Exemple. Considrons le cas :
x2
f (x, y, z) = xz + y
z
Si les variables sont indpendantes, on a :
f x
fx = = z + 2 y,
x z
f x2
fy = =0+ ,
y z
f x2
fz = = x 2 y,
z z
et la diffrentielle totale scrit :

f f f x x2 x2
df = dx + dy + dz = z + 2 y dx + dy + x 2 y dz.
x y z z z z
Admettons maintenant quil y ait une dpendance de x, y, z(t) en fonction de t. On peut dfinir une
nouvelle drive par rapport au temps sous la forme :
df
,
dt
qui nest gnralement pas gale f /t. Pour preuve, divisions lexpression donnant df par dt :

df f dx f dy f dz x dx x2 dy x2 dz
= + + = z+2 y + + x 2y .
dt x dt y dt z dt z dt z dt z dt
Cette relation vaut f /t uniquement lorsque dx/dt = 0, dy/dt = 0, et dz/dt = 0 cest--dire lorsque
les variables x, y, et z sont indpendantes de t. Considrons maintenant un exemple o il y a une
dpendance de la forme :
x(t) = t, y(t) = t2 et z(t) = t.
On a donc :
dx dy
= 1 et = 2t.
dt dt
On tire :
df t t2 t2
= t + 2 t2 + 2t + t 2 t2 = 2t + 3t2 .
dt t t t
1.4. PRODUIT TENSORIEL 9
2
Notons que si on remplace x, y, et z par leur expression dans f (x, y, z) = xz + xz y, on a : f (t) = t2 + t3 ,
dont la drive donne bien : f 0 (t) = 2t + 3t2 . u
t
Physiquement, loprateur de drive matrielle joue un trs grand rle en mcanique des fluides
puisquon ne suit pas individuellement toutes les particules du fluide, mais quon regarde ce qui se
passe localement (description dite eulrienne du mouvement). Considrons ainsi la composante u
du champ de vitesse u = (u, v, w). On se place un endroit repr par le point M(x, y, z). Dans un
voisinage infinitsimal autour de ce point passent des particules. Ainsi une particule en M linstant
t sera en M (x + ut, y + vt, z + wt) linstant t + t et elle aura la vitesse (u + u, v + v, w + w).
Lacclration selon la direction x au point M est donc
u u u u u u
ax = lim = +u +v +w = + u u.
t0 t t x y z t
On fait de mme avec les autres composantes. Lacclration locale au point M est donc la somme de
lacclration locale des particules et dun terme non linaire +u u qui est le taux de convection de
u, cest--dire le taux de variation de u dans lespace. On parle galement dadvection pour qualifier
ce terme. Transport par convection ou advection signifie ici la mme chose.
1.4 Produit tensoriel

On introduit le produit de deux vecteurs a et b. Le produit tensoriel est not ab ou bien a b ;
cest un oprateur linaire qui a tout vecteur n lui associe un autre vecteur tel que :
(ab)n = (b n)a.
Cet oprateur peut donc tre reprsent par une matrice si lon se place dans un repre cartsien (ou
dans dautres types de repre). Par exemple, en dimension 2, on a :

ax bx ax by
(ab) = ,
ay bx ay by
avec a = (ax , ay ) et b = (bx , by ).
Figure 1.5 : produit tensoriel.
Ce produit tensoriel ne doit pas tre confondu avec le produit scalaire (qui donne un scalaire) ou
le produit vectoriel (qui donne galement un vecteur, mais dans le plan normal au plan engendr par
a et b).
1.5 Guide de survie pour le calcul des surfaces

Le calcul dune surface S passe par la dfinition de llment infinitsimal de surface dS :
Z
S= dS.
S
Il faut distinguer les lments infinitsimaux (voir figure 1.6) :

sur des surfaces planes ; dans ce cas, on a : 2 S = dS = dxdy (coordonnes cartsiennes) ou
bien dS = rdrd (coordonnes polaires). On emploie ici 2 S pour indiquer que la surface l-
mentaire est le produit de de deux incrments de longueur ;
sur des surfaces de rvolution, cest--dire des surfaces obtenues par rotation dune courbe
autour dun axe de symtrie : 2 S = dS = Rdd`, avec d` un incrment de longueur et R la
longueur (rayon puisquil sagit dune rotation) sparant llment infinitsimal de laxe de sy-
mtrie. Une sphre par exemple est obtenue par rotation dun cercle autour dun diamtre.
Figure 1.6 : deux cas diffrents de surface infinitsimale.
1.5.1 Surfaces planes

Une mthode qui marche souvent est de dcomposer la surface mesurer en bandelettes. Sur la
figure 1.6, cela revient tendre la surface 2 S par intgration de long de laxe x (jusqu atteindre les
limites de la surface). Llment dintgration sera alors de la forme dS = `(y)dy, avec `(y) la longueur
de la bande laltitude y.
Exemple. Calculons la surface dun disque de rayon R. La bandelette a pour longueur `(y) =
2R cos (y), avec y = R sin . On dduit donc que dy = R cos d. Do 2 :
Z +/2 Z +/2
S= dS = 2R cos2 d = R2 .
/2 /2
u
t
1.5.2 Surfaces de rvolution

Pour une surface deprvolution, il faut calculer la longueur incrmentale d`. On a : d`2 = dx2 + dy 2 .
Soit encore : d` = dx 1 + f 02 (x). Lorsque la surface fait une rvolution complte ( = 2), on a
intrt faire le calcul sur une bandelette
pannulaire de primtre 2r(z) (voir la figure 1.6). La surface
dintgration dS = 2r(z)dl = 2r(z)dz 1 + f 02 (z).
Exemple. Calculons la surface dune sphre de rayon R. La sphreest obtenue par rotation
dun cercle dquation z = f (x) = R2 x2 ; dans ce cas-l, f 0 = Rx/ 1 x2 . Soit d` = dx(1
(x/R)2 )1 . Dans le cas dune sphre, le calcul peut se simplifier grandement en remarquant que x =
R cos , on a d` = Rd. Le primtre de la bandelette est r(z) = 2R cos . On tire dS = 2R2 cos d.
On a :
2. Pour intgrer, se servir de cos a cos b = cos(a b) + cos(a + b)
1.5. GUIDE DE SURVIE POUR LE CALCUL DES SURFACES 11
Figure 1.7 : calcul de la surface dun cercle.
Figure 1.8 : calcul du d`.
Z +/2 Z +/2
S= dS = 2R2 cos d = 4R2 .
/2 /2
u
t
1.5.3 Le cas des surfaces orientes

Pour certains calculs, on a besoin de calculer dSn, avec n la normale oriente de lintrieur vers
lextrieur (la notion dintrieur ne sera pas aborde ici). On rappelle ici juste la manire de calculer
la normale n pour une courbe y = f (x). La tangente est porte par le vecteur t = (1, f 0 (x)). Un vecteur
perpendiculaire est par exemple p = (f 0 (x), 1) car on a pp t = 0. On dfinit la normale comme un
vecteur perpendiculaire unitaire : n = p/|p| = (f (x), 1)/ 1 + f 02 .
0
1.6 Quelques rappels utiles
1.6.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques

Le plus souvent, on se sert de lun des trois systmes suivants
coordonnes cartsiennes (x, y, z) : voir figure 1.9 ;
coordonnes cylindriques (r, , z) : voir figure 1.10 ;
coordonnes sphriques (x = r cos sin ) , y = r sin sin , z = r cos ) avec 0 et
, dS = r2 sin dd sur une sphre de rayon r, dV = r2 sin drdd.
Pour des applications particulires, on peut tre amen utiliser des repres curvilignes plus com-

plexes.
z
z
M
ez
ey y
O
y
x
ex
x
Figure 1.9 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes cartsien.
ez
z
H e
z
r
M er
ez
ey e
O
ex y
r
P er
x
Figure 1.10 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes cylindrique.
La drive matrielle sexprime diffremment dans chaque systme de coordonnes

coordonnes cartsiennes (x, y, z), on a
du u u u u
ax = = +u +v +w ,
dt t x y z
dv v v v v
ay = = +u +v +w ,
dt t x y z
dw w w w w
az = = +u +v +w .
dt t x y z
coordonnes cylindriques (r, , z), on a
u u v u v 2 u
ar = +u + +w ,
t r r r z
1.6. QUELQUES RAPPELS UTILES 13
u u v u uv u
a = +u + + +w ,
t r r r z
w w v w w
az = +u + +w .
t r r z
1.6.2 Quelques relations vectorielles ou tensorielles
N : M = M : N,
a (b c) = (a c)b (a b)c,
(M a) b = M : (ab) et a (b M) = M : (ab),
ab : cd = a (b cd) = a ((b c)d) = (a b)(c d) = ac : bd
1.6.3 Quelques relations sur les oprateurs
(f g) = gf + f g,
(f a) = a f + f a,
(a b) = b( a) a( b),
1
a = (a a) a ( a),
2
ab = ab + b a
1 : a = a,
(f 1) = f,
(a )b = a (b) ,
f (x) x f (x)
= ,
x x x
ab : (c) = a (b) c,
avec x = |x|.
1.6.4 Units de mesure

Dans ce cours, on utilise les units du systme international ou systme mtrique dcimal 3 . Ce
systme repose sur 7 units fondamentales :
longueur : le mtre [m] ;
masse : le kilogramme [kg] ;
temps : la seconde [s]
intensit lectrique : lampre [A] ;
temprature : le kelvin [K] ;
intensit lumineuse : le candela [cd] ;
quantit de matire : la mole [mol].
3. Le systme mtrique fut instaur sous la Rvolution franaise pour remplacer les units employes sous lAncien Rgime
(poise, pied, etc.). La dfinition et lusage des mesures ont t fixs la fin du XIXe sicle et au XXe sicle par la Confrence
gnrale des poids et mesures. Seuls quelques pays, dont le Royaume-Uni et les tats-Unis, nont pas encore adopt le systme
mtrique.
Chaque mesure est associ un symbol, dont la typographie a t fixe. On se sert soit de noms
propres (le symbole commence alors par une majuscule), soit des units de base. Par exemple :
force : le newton [N] (1 N = 1 kgm/s2 ) ;
pression : le pascal [Pa] (1 Pa = 1 kgm/s2 ) ;
vitesse : [m/s] ;
masse volumique : [kg/m3 ] ;
acclration : [m/s2 ] ;
surface : [m2 ] ;
dbit : [m3 /s] ;
nergie : le joule (1 J = 1 kgm2 /s2 ) ;
puissance : le watt (1 W = 1 kgm2 /s3 ).
On introduit des puissances de 10 pour pondrer lunit. Les plus usuelles en mcanique sont don-
nes dans le tableau 1.1
Nom Puissance de 10 symbole

micro 106
milli 103 m
centi 102 c
dci 101 d
dca 101 da
hecto 102 h
kilo 103 k
mega 106 M
Tableau 1.1 : nom des multiples de 10 et symbole associ.
Quelques rappels :
les units sont en caractre roman et non en italique ;
les units sont spares par un espace du nombre qui les prcde : 12 m et non 12m ;
les noms propres qui ont servi fabriquer des units deviennent des noms ordinaires et sac-
cordent en consquence ;
on crit 0 C (0 degrs Celsius) et 273 K (273 kelvins).
Dans la vie courante, on emploie souvent des units diffrentes : le litre [`] pour les volumes, le
bar [bar] pour la pression atmosphrique, etc.
Un petit moyen mnmotechnique pour dcomposer une unit en units fondamentales. Prenons
par exemple du joule ; le joule sert comme unit pour lnergie et le travail. Le travail dune force,
cest une force multiplie par une distance
travail = force longueur = N m = kg m2 /s2 .

15
Chapitre 2
Rappel de mcanique du point et du

solide rigide
Prrequis
mcanique du solide : loi fondamentale de la mcanique (conservation de la quantit
de mouvement), dfinition dun moment de force
calcul diffrentiel
Objectifs
Rappeler les principes fondamentaux de la mcanique.
Introduire les liens entre les diffrentes sortes de mcanique.
Contenu
Ce chapitre rappelle les bases de la mcanique du solide rigide avec deux objectifs : bien matri-
ser les concepts de base en mcanique (conservation de la quantit de mouvement) et tre laide
dans les calculs simples dinteraction entre un fluide et une structure (par exemple, effet dun lac de
retenue sur un barrage).
16 CHAPITRE 2. RAPPEL DE MCANIQUE DU POINT ET DU SOLIDE RIGIDE
2.1 Introduction
Il existe plusieurs niveaux de description du comportement mcanique dun objet, niveaux de

plus en plus raffins et donc plus gourmands en quations :
1. mcanique du point : cest le degr 0 de la description mcanique. La dynamique est entire-

ment rgie par une seule quation, appele quation fondamentale de la mcanique et que lon
retrouve comme postulat de base de toutes les autres descriptions mcaniques. Ce principe
nonce que toute force applique provoque une variation de quantit de mouvement et rci-
proquement ; pour cette raison, on parle galement de principe de conservation de la quantit
de mouvement. Ce postulat est d Newton 1 et peut tre considr comme lavance scienti-
fique majeure, qui a permis de faire basculer la science dun tat purement descriptif (qualitatif
et spculatif ) un tat prdictif et quantitatif.
2. mcanique du solide rigide : lobjet occupe maintenant un volume dans lespace. Pour le re-
prer dans lespace, il faut connatre les ventuelles rotations quil peut subir. Un autre jeu
dquations est donc ncessaire, en plus de la conservation de la quantit de mouvement : cest
lquation du moment cintique.
3. mcanique des milieux continus : lobjet est un milieu dformable. Il faut donc crire main-
tenant les quations sous une forme spcifique pour traduire la dformation du milieu. M-
caniques des solides et des fluides sont deux branches majeures de la mcanique des milieux
continus.
Il existe dautres niveaux de description encore plus labores que la mcanique des milieux conti-
nus classique. Dans la classification de Paul Germain, la mcanique des milieux continus classique
est une mcanique du premier gradient car on sarrte aux termes du premier ordre (donc du
premier gradient) quand on dcrit le mouvement de faon infinitsimale. On peut construire des
thories du second gradient (et ainsi de suite) en poussant plus loin lordre du dveloppement dans
la description cinmatique. Linconvnient est quon introduit des objets de plus en plus complexes
et de plus en plus dquations pour dcrire le mouvement. Ainsi, pour dcrire la vitesse dun point,
il faut 3 variables ; dans le cas dun solide, il en faut deux vecteurs 3 composantes, soit 6 variables
(vitesses de translation + de rotation). Pour un milieu dformable, il faut utiliser deux tenseurs (d-
formation et rotation), comprenant chacun 6 variables indpendantes, soit 12 variables. Dans le cas
dune thorie de second gradient, on manipule des deux tenseurs dordre 3, soit au total 36 variables...
2.2 Mcanique du point
2.2.1 Conservation de la quantit de mouvement
Cest la mcanique la plus lmentaire o lon cherche dcrire le mouvement dune masse ponc-
tuelle m. Lquation du mouvement est donne par le principe de conservation de la quantit de
mouvement d Newton qui nonce que toute variation de la quantit de mouvement est due une
variation de force et rciproquement :
du X
m = mg + Fi , (2.1)
dt
avec u la vitesse et Fi les forces appliques la masse autres que le poids P = mg. La quantit mu
sappelle la quantit de mouvement et mdu/dt est appele la variation (au cours du temps) de la
quantit de mouvement (pour une masse constante).
1. Les travaux de Newton avaient t rsums dans les Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principes math-
matiques de philosophie naturelle) publis en 1687. Cet ouvrage introduit galement un grand nombre de lois importantes :
loi des chocs, mouvement des fluides, thorie des mares, inertie dun corps, etc.
2.2. MCANIQUE DU POINT 17
2.2.2 Conservation de lnergie cintique

Une formulation alternative repose sur lutilisation de lnergie au lieu de la quantit de mouve-
ment. En multipliant lquation (2.1) par u, on obtient :
du X
mu = mg u + u Fi ,
dt
soit en introduisant lnergie cintique Ec = 12 m|u|2
dEc X
= Pi + mg u, (2.2)
dt
avec Pi = u Fi la puissance de la force Fi . On peut
R aussi intgrer cette quation au cours du temps
pour faire apparatre le travail des forces : Wi = u Fi dt. On dduit lquation de conservation de
lnergie cintique X
Ec + Ep = Wi , (2.3)
qui nonce que la variation des nergies cintique et potentielle entre R deux instants est gale la
somme des travaux. Lnergie potentielle est dfinie comme Ep = mu gdt. Notons que depuis
le milieu du XIXe sicle, il est dusage dintroduire lnergie potentielle ainsi et de faire jouer un rle
diffrent la force de gravit par rapport aux autres forces ; on aurait pu sen passer et crire que la
variation de lnergie cintique tait gale la somme des travaux de toutes les forces.
Dans la rsolution de problme, on a le choix entre lquation de la quantit de mouvement et de
conservation de lnergie cintique (ou de la puissance). Il faut se souvenir que ces deux principes
sont identiques et quon utilise lun ou lautre. Il peut tre plus avantageux de calculer le mouvement
avec lquation de lnergie cintique lorsque des forces ne travaillent pas, cest--dire lorsque uFi =
0 (la force est perpendiculaire la trajectoire suivie par le point).
2.3 Mcanique du solide rigide
2.3.1 Motivations : pourquoi faire une mcanique du solide rigide?

Introduction
Ce qui vient dtre dit se gnralise dans problme une collection de points. Par exemple, on
peut tudier le mouvement des plantes autour dune soleil en les considrant individuellement
comme des masses ponctuelles.
Une gnralisation de ces rsultats est galement obtenue en admettant que la mcanique du
point sapplique des volumes infinitsimaux autour dun point matriel M condition que lon
modifie un peu les notations pour tenir compte du caractre infinitsimal du volume autour de M :
masse masse volumique
force ponctuelle contrainte locale
Dans ces conditions, la relation fondamentale de la dynamique scrit
du X
= g + (contrainte)i .
dt i
Lorsquon fait ainsi, on entre dans le domaine de la mcanique des milieux continus et dans la suite
du cours, on va approfondir cette relation dans le cas particulier o le milieu continu est un fluide.
En mcanique des structures, on travaille le plus souvent avec des milieux qui sont des solides dfor-
mables (lastiques).
Il existe toutefois toute une classe de problmes pour lesquels on a besoin dun niveau de sophis-
tication un peu plus important que la mcanique du point, mais bien moins lourde que la mcanique
des milieux continus. Cest typiquement ce que lon fait en mcanique du solide rigide o
la distribution de la masse au sein dun volume est pris en compte (la masse nest concentre
dans un point) ;
diffrents types de force peuvent tre pris en compte (force de volume, force de surface) ;
on peut dcrire le mouvement en translation et rotation du solide ;
on nglige les dformations et llasticit du solide.
Figure 2.1 : reprsentation dun champ de contrainte en force quivalente.
Pour cela il faut reprsenter les contraintes en forces quivalentes.
Forces de volume et de surface
Les forces de volume f comme laR pesanteur f = g sont faciles prendre en compte ; on les
remplace par une force totale F = S VdV avec un point dapplication au centre de gravit ; par
2.3. MCANIQUE DU SOLIDE RIGIDE 19
exemple, la force de pesanteur est gale F = mg applique au centre de gravit.

Plus dlicat est le traitement des contraintes appliques la surface du solide. Une distribution
de contrainte peut donner lieu une force et un moment de force 2 . La force totale de surface est
simplement dfinie comme Z
F = dS,
S
avec autrement S la surface dit la force est quelque chose comme la valeur moyenne de la contrainte
(F = S, avec la contrainte moyenne). Comme pour toute caractrisation de variations htro-
gnes, il faut souvent donner un peu plus que la valeur moyenne ; ainsi, en statistique, on dcrit sou-
vent la dispersion dun chantillon par sa valeur moyenne et son cart type (ou son moment dordre
1). On fait de mme en mcanique en introduisant le moment dynamique :
Z
M= xdS,
S
avec x une distance compte depuis le point O. Le moment dune force est calcul par rapport un
point arbitraire A (voir ci-dessous le rappel de la dfinition). Ce moment est nul si le point de calcul
correspond au point dapplication B de la force ou bien si la force est parallle au vecteur AB. On
peut se servir, en retour, de cette proprit pour dfinir le point dapplication dune force comme
tant le point o le moment est nul. On dfinit le moment en A, A tant arbitrairement plac le long
de la surface S, comme tant Z
M/A = (x xA )dS,
S
et on recherche la position du point A dabscisse xA telle que M/A = 0.

Une application triviale de ce principe est le point dapplication de la force de gravit : on trouve
facilement que le poids sexerce au centre de gravit du solide.
2.3.2 Diffrences avec la mcanique du point
Pour un solide rigide, la mcanique est dans lensemble identique si ce nest quon admet que la
distribution de masse nest plus ponctuelle, mais occupe un certain volume de lespace. On suppose
par ailleurs que ce solide ne subit aucune dformation, donc sa masse et son volume sont identiques
(ainsi que la surface enveloppant ce volume : le solide ne change pas de forme). Cela implique
quil existe par rapport au cas de la masse ponctuelle des degrs de libert supplmentaires : le
solide peut subir des rotations. Il faut donc introduire une nouvelle quation qui est lquation
de conservation du moment cintique.
quil existe des forces qui peuvent sappliquer la surface du solide (force de contact comme la
force de frottement) tandis que dautres sappliquent sur tout le volume (la force de gravit par
exemple).
2.3.3 Cinmatique du solide
Pour dcrire le mouvement du solide, il faut donner :

la vitesse calcule au centre de gravit du solide uG ;
la vitesse de rotation du solide (par exemple rotation du solide par rapport un axe) .
La vitesse en tout point M du solide sen dduit par la relation dite du champ solide
u(M ) = uG + GM.
2. Considrons par exemple une plaque o lon applique une rpartition non homogne de contrainte ; alors, dans ce cas,
lhtrognit dans la distribution des contraintes a tendance induire un moment de force, et donc une rotation de la
plaque.
2.3.4 quations du mouvement

Moments de force et dinertie
Nous commenons par introduire quelques dfinitions. On appelle moment dune force 3 F par
rapport un point A la relation suivante
M/A (F) = AB F,
o B est le point dapplication de la force. Le point A est arbitraire.

On appelle moment cintique par rapport au point A (arbitraire) la quantit
Z
/A = AM udV.
V
Lorsque le solide est rigide, son champ de vitesse est solide et on peut simplifier la dfinition du
moment cintique de la faon suivante :
AM u = (AG + GM) (uG + GM).
Pour simplifier, on note r = GM. On dduit
AM u = (AG + GM) (uG + GM).

R
Ensuite, on intgre sur le volume, puis on se sert de la dfinition du centre de gravit ( GMdV = 0)
pour obtenir : Z Z
AM udV = mAG uG + r ( r)dV,
V V
Z Z Z
AM udV = mAG uG + (r r)dV ( r)rdV.
V V V
Les deux derniers termes intgrales sont sous cette forme gnrique relativement complexes, mais
ds lors quon spcifie le volume du solide, ils peuvent tre plus ou moins facilement calculs et on
peut montrer quil existe une matrice dite matrice dinertie I telle que
Z Z
(r r)dV ( r)rdV = I/A
V V
car les composantes du vecteur rotation interviennent de faon linaire dans les intgrales. Par exemple,
si lon considre une rotation par rapport un axe passant par le centre de gravit G du solide, alors
on montre que la seconde intgrale est nulle puisque r se trouve tre orthogonal au vecteur rotation
et dans ce cas-ci, la matrice dinertie est la matrice identit pondre dun facteur multiplicatif
appel moment dinertie.
Exemple. Le moment dune inertie dune sphre de masse m et de rayon a par rapport un
axe passant par son centre C est
Z
2
I/C = (r r)dV = ma2 .
V 5
u
t
De faon gnrique, le moment cintique dun solide peut donc scrire sous la forme
/A = mAG uG + I/A .
Notons que si le point A concide avec le centre de gravit G, alors on
/G = I/A .
3. ou moment dynamique.
2.3. MCANIQUE DU SOLIDE RIGIDE 21
Cette quation est importante puisquelle montre que lon peut calculer le moment dinertie dans
un rfrentiel qui nest pas ncessairement un rfrentiel fixe (par exemple si lobjet est en rotation,
on peut le calcul dans un rfrentiel attach lobjet, ce qui peut considrablement simplifier les
calculs). Une autre consquence est le thorme de Knig qui nonce que si lon connat le moment
dinertie en G, on peut dduire ce moment pour nimporte quel point A grce la relation
/A = /G + AG uG ,
le moment en G pouvant se calculer dans un rfrentiel fixe ou bien barycentrique.
quation du moment cintique
Il existe une quation qui est le pendant exact de la conservation de la quantit de mouvement 4 .
Ce thorme snonce ainsi :
d X
/A = ABi Fi ,
dt i
avec Bi le point dapplication de la force Fi et A un point fixe ou bien un point concidant avec le
centre de gravit. Si A nest pas un point fixe, il faut ajouter muA uG :
d X
/A = ABi Fi muA uG .
dt i
Synthse : quations du mouvement pour un solide rigide
Pour un solide rigide, les quations du mouvement sont composes de :

quation de conservation de la quantit de mouvement ;
quation de conservation du moment cintique.
Dans les ouvrages consacrs la mcanique du corps rigide, il est dusage dintroduire le torseur
cintique TC = [mu, A ] en point A la runion du vecteur quantit de mouvement et du moment ci-
ntique. La drive par rapport au temps de ce torseur redonne les quations fondamentales. Le tor-
seur dynamique est le torseur des rsultants de force et des moments dynamiques TD = [F, M/A (F)].
Lorsque le point A est fixe ou bien si A est en G, on a
d
TC = TD .
dt
Cest la version abrge des deux relations fondamentales pour le solide rigide.
4. Le rsultat est admis ici, mais peut tre dmontr laide du thorme de Reynolds vu plus loin. En effet, en considrant
le point A fixe et en diffrentiant /A par rapport au temps, on a
d d d
/A = m AG uG + I/A ,
dt dt dt
soit encore
d d d
/A = 0 + mAG uG + I/A .
dt dt dt
Dans le mme temps, on a
Z
d d
/A = AM udV,
dt V dt
Z
d du
/A = AM dV,
dt V dt
or localement on a du/dt = (contrainte). On peut donc intgrer ce terme comme la dfinition du moment intgral de force.
Cas particulier : statique du solide
Dans le cadre du cours vu ici, on sintressera principalement des solides au repos, comme
par exemple un mur de barrage soumis laction hydrostatique dune retenue deau. Dans ce cas,
lquilibre du solide se rduit deux quations de la statique :
la somme des forces est nulle 5 X
mg + Fi = 0 ;
i
le moment des forces en nimporte quel point A est nul

X
mAG g + APi Fi = 0,
i
avec Pi le point dapplication de la force Fi .
5. Ce que dans les petites classes, on rsumait par le triangle des forces est nul , le triangle tant compos de la force de
pesanteur, de la force de raction, et de laction rsultante de la pression de leau.
23
Chapitre 3
Proprits des fluides et statique des

fluides
Prrequis
mcanique du solide : loi fondamentale de la mcanique (conservation de la quantit
de mouvement), dfinition dun moment de force ;
calcul diffrentiel.
Objectifs
Dfinir ce quest un fluide : dfinition basique, diffrence avec un gaz et un solide.
Familiariser avec le calcul de pression sur des surfaces, exemple le plus basique din-
teraction fluide/structure.
Introduire les proprits des fluides les plus importances : tension de surface, visco-
sit.
Prsenter des exemples de calcul typique de la mcanique des fluides laide des
volumes de contrle.
Contenu
Ce chapitre est une premire introduction la mcanique des fluides. On passe en revue trois
proprits importantes : la viscosit, la tension de surface, et la pression. On introduit le calcul des
pressions en prsentant lquation de Pascal.

24 CHAPITRE 3. PROPRITS DES FLUIDES ET STATIQUE DES FLUIDES
3.1 tats de la matire

Il y a trois tats de la matire (voir figure 3.1) pour un corps simple :
solide : matriau faible temprature ;
liquide : matriau temprature moyenne et pression suffisamment leve ;
gaz : matriau temprature suffisamment leve et faible pression.

(a) (b) (c)
Figure 3.1 : reprsentation idalise des trois tats de la matire : (a) solide (rseau ordonn de molcules/atomes), (b) fluide
(collection dense et dsordonne de molcules), (c) gaz (collection dilue et trs agite de molcules).
Les diffrents tats occups par un corps simple peuvent tre reprsents dans un diagramme
p, T , V comme le montre la figure 3.2. Les surfaces grises reprsentent des tats purs o un seul
tat subsiste, alors que la surface blanche reprsente lensemble des tats o deux phases peuvent
co-exister. Le point C est appel point critique.
S S/L L
Fluide
C
L/G
S/G
T
G
Figure 3.2 : diagramme schmatique des phases dun corps simple dans un espace pression (p), temprature (T ), et volume
(V ).
Ltat solide est un tat organis de la matire : les arrangements entre molcules prsent un ordre
relativement stable dans le temps. Les tats gazeux et liquide reprsentent la matire en dsordre : il
nexiste pas dordre privilgi dans lagencement des molcules car celles-ci sont perptuellement en
mouvement. Un fluide au repos lchelle humaine est en fait, lchelle molculaire, en perptuelle
agitation.
Les tats gazeux et liquide prsentent des similarits : ce sont des fluides. Un fluide na pas de
forme propre : plac dans un rcipient, il adopte les formes du rcipient. Il existe galement des dif-
frences notables : un liquide a une surface libre ; si lon place un liquide dans un bol, on observe
3.1. TATS DE LA MATIRE 25
une interface nette, appele surface libre, entre ce liquide et le gaz environnant. Un gaz a tendance
occuper tout le volume qui soffre lui. Un gaz na donc pas de surface libre.
lchelle atomique, ces diffrences peuvent sexpliquer assez simplement : un gaz est une col-
lection trs dilue de molcules ou datomes. Si d reprsente la taille dune molcule, alors la distance
entre deux molcules est de lordre de 10d. Dans le cas dun liquide, cette distance intermolculaire
est beaucoup plus faible, de lordre de d en gnral. Cela a des rpercussions considrables sur les in-
teractions entre molcules : pour un gaz, les molcules se rencontrent rarement et interagissent prin-
cipalement au moment des collisions par des changes de quantit de mouvement. Pour un liquide,
les interactions sont bien plus frquentes et sont dune nature diffrente : il sagit le plus souvent din-
teraction lectrostatique dattraction ou de rpulsion. La figure 3.3 montre le potential dinteraction
V (r), dit de Lennard-Jones 1 , et la force dinteraction qui en dcoule
12 6 !
d d
V (r) = 4 ,
r r
o r est la distance depuis le centre de la molcule. Aux faibles distances r/d < 1, linteraction est
une trs forte rpulsion qui soppose linterpntration des atomes, puis vers r d la force devient
ngative : deux molcules voisines se sentent attires, mais cette force dattraction diminue trs rapi-
dement avec r. Il sagit des forces de Van der Waals 2 . Les molcules polyatomiques simples (comme
leau) peuvent galement porter des charges lectriques, qui donnent naissance des forces lectro-
statiques dattraction ou de rpulsion sensiblement plus fortes que les forces de Van der Waals dues
aux atomes qui les composent.
2
V ( r )/
0 1 2 3 4 5
r/ d
Figure 3.3 : potentiel de Lennard-Jones (trait continu) et force drive f = dV /dr (trait tiret) en fonction de la distance r
du centre de la molcule. Pour un corps simple comme largon (Ar), on a d = 0,34 nm et = 120kB K2 , avec kB = 1,380 1023
J/K la constante de Boltzmann.
Notre connaissance des proprits dun gaz est bien plus avance que pour un liquide. Ds la fin
du XIXe sicle, reprenant des ides formules par de nombreux physiciens de Bernoulli Clausius,
les physiciens Maxwell et Boltzmann 3 ont labor les bases de la thorie dite thorie cintique
des gaz , qui permet dexpliquer les proprits macroscopiques des gaz (notamment la relation
1. Edward Lennard-Jones (18941954) tait un mathmaticien anglais, considr comme un des pionniers de la chimie
molculaire. Ses travaux ont port sur les forces intermolculaires, la valence, la catalyse de surface, et la structure molculaire.
2. Johannes Diderik van der Waals (18371923) tait un physicien hollandais. Instituteur, il sest passionn pour la physique
et a consacr son temps libre ses recherches. Son mmoire de thse prsentait une thorie importante sur les gaz ; il fut
honor par le prix Nobel en 1910.
3. Les physiciens anglais et autrichien James Clerk Maxwell (18311879) et Ludwig Eduard Boltzmann (18441906) sont
deux monuments de la physique. Ils sont les auteurs de vritables tours de force. Maxwell est surtout connu pour ses tra-
vaux sur le magntisme ; les quatre quations connues aujourdhui sous le nom dquations de Maxwell sont la formalisation
(par un mathmaticien anglais, Oliver Heaviside) de ses travaux. Maxwell a fait aussi des avances majeures en thermody-
namique. Boltzmann est considr comme le pre de la mcanique statistique puisquil a cr la plupart des outils encore
entre pression et temprature) en se fondant sur une description simplifie des interactions mol-
culaires (mouvements alatoires avec des changes de quantit de mouvement lors des collisions).
Cette thorie a galement marqu le fondement de la mcanique statistique, branche de la physique
qui vise tablir les proprits macroscopiques de la matire partir du comportement lmentaire
des molcules. ce jour, aucune thorie cintique des liquides aussi simple et performante que la
thorie cintique des gaz nexiste. Cette difficult caractriser le comportement liquide se retrouve
en thermodynamique lorsquon cherche tablir une quation dtat, cest--dire une relation entre
pression, temprature, et volume. La loi de Boyle-Mariotte 4 est lquation dtat la plus simple quon
puisse imaginer
pV = xRT,
avec p la pression, V le volume du gaz, x le nombre de moles, T la temprature, et R la constant
des gaz parfaits (R = 8,31 = kB NA J/K/mol, avec NA le nombre dAvogadro). Elle a t tablie la
fin du XVIIe sicle indpendamment par les physiciens Boyle et Mariotte partir dexpriences de
laboratoire. De nos jours, on utilise une variante de cette loi, connue sous le nom de loi de Van der
Waals, qui est plus prcise a
p + 2 (V b) = nRT,
V
avec a et b deux constantes. Il nexiste pas dquation pour un liquide car tout simplement on ne peut
pas relier simplement la pression et la temprature.
La manipulation des concepts de base de la thorie cintique et de lois empiriques comme la
loi des gaz parfaits permet daboutir des ordres de grandeur trs bons pour des gaz simples (gaz
monoatomique comme largon) et relativement corrects pour des gaz plus complexes. Mme si la
thorie cintique ne permet pas de prdire le comportement de tous les gaz, les explications quelles
donnent sont qualitativement correctes et sappliquent la plupart des fluides. Lide de base est
que les particules sont sans cesse agites. Ainsi, pour un gaz au repas, si la vitesse moyenne est en
moyenne nulle, la vitesse instantane des particules ne lest pas. On peut faire une dcomposition
de la vitesse instantane u en une vitesse moyenne u (nulle quand le gaz est au repos) et une vitesse
fluctuante u0 : u = u + u0 , avec u = hui (moyenne dans le temps de la vitesse) et hu0 i = 0. Si on calcule
la vitesse quadratique
u2 = u u = (u + u0 )2 = u2 + 2u u0 + u02 ,
et quon prend la valeur moyenne
hu2 i = u2 + 2u hu0 i +hu02 i,
| {z }
0
p
on peut dfinir la quantit v = hu2 i comme tant la vitesse quadratique moyenne ; pour un fluide
au repos, cette vitesse donne une chelle de variation des fluctuations de vitesse et on lappelle vitesse
thermique ou vitesse dagitation thermique. Pour un gaz dilu, les agitations des particules crent
des fluctuations de quantit de mouvement, qui on le verra par la suite, peuvent tre interprtes
lchelle macroscopique comme une force. La force par unit de surface dun gaz au repos sappelle
la pression (cf. 3.4) et la thorie cintique montre que sil n atomes de masse m par unit de volume,
alors la pression se dfinit partir de la vitesse quadratique
1
p= nmv 2 ,
2
or daprs la loi de Boyle-Mariotte, la pression lchelle macroscopique est p = nkT (puisque le
nombre de moles x renferment xNA molcules dans un volume V ), do lon dduit immdiatement
r
3kT
v= ,
m
utiliss aujourdhui. Mme si lide des atomes est trs vieille (Dmocrite en parlait dj cinq sicles avant notre re), cest
bien Boltzmann qui a fournit une thorie complte et rigoureuse. Trs critiqu par ses confrres (la thorie de lther prvalait
la fin du XIXe sicle), Boltzmann sen trouva trs affect et se suicida. Il fallut attendre les expriences de Plank sur le corps
noir et dEinstein sur leffet photolectrique pour quon rende justice ses travaux.
4. Robert Boyle (16261691) tait un aristocrate anglais passionn par la physique. Il est lorigine de la Royal Society of
London (lquivalent de lAcadmie des Sciences en France) et a fortement plaid en faveur des sciences exprimentales. Edme
Mariotte (16201684) tait un ecclsiastique franais, physicien et botaniste franais. La loi des gaz parfaits fut dtermine
indpendammant par Boyle (1662) et Mariotte (1676).
3.2. DFORMATION DUN MATRIAU 27
ce qui montre que lagitation thermique ne dpend que de la temprature et de la masse des atomes.
Exemple. Considrons un gaz de masse atomique 14 g/mol la pression atmosphrique et

temprature ordinaire (T = 20 C= 293 K). On tire que la densit particulaire n vaut n = p/k/T =
105 /293/(1,38 1023 ) = 2,47 1025 atomes/m3 . La vitesse dagitation est donc
r
3 1,38 293 6,02
v= 722 m/s !
14 103
3.2 Dformation dun matriau

Un fluide est le plus souvent dcrit comme un milieu continu, dformable, et scoulant. Ainsi,
quoique discret lchelle molculaire (cest--dire compos de molcules), un gaz comme lair peut
tre dcrit comme un milieu continu notre chelle dobservation, cest--dire on peut ngliger le
comportement individuel des molcules (un cube de 1 m de ct contient 3 107 molcules !) et
dcrire le comportement local laide de champs vectoriels continus. Ainsi le champ vitesse u(x,t)
signifie la vitesse du fluide la position x et au temps t (ce que lon mesure avec un appareil comme
un tube Pitot) et correspond physiquement la vitesse moyenne des molcules contenues dans un
voisinage infinitsimal autour de x.
Tous les matriaux sont dformables et peuvent tre considrs comme fluide si lon attend suf-
fisamment longtemps. Cest donc lchelle de temps qui est importante. On introduit cet effet un
nombre sans dimension dit de Dborah 5 :
tr
De = ,
te
avec tr temps de relaxation du matriau et te le temps de lexprience (ou de lobservation). Si De 1,

le matriau se comporte un fluide et inversement si De 1, il se comporte comme un solide. Par
exemple, un glacier est fluide lchelle gologique !
Un fluide peut tre compressible, cest--dire le volume quil occupe change avec la pression ap-
plique. Ainsi, les gaz peuvent facilement changer de volume, mais les liquides sont caractriss par
une trs faible compressibilit. Un fluide compressible peut scouler volume constant. On dit alors
que lcoulement est isochore. faible vitesse, un coulement dair est isochore : on peut ngliger
toute variation de volume du gaz. En revanche, trs grande vitesse, le gaz va se comprimer et on
ne peut plus ngliger la compressibilit de lair ; un phnomne caractristique est londe de choc
(une saute brutale de la masse volumique du gaz) lors du passage du mur du son par un avion su-
personique. En aronautique, on se sert ainsi du nombre de Mach, rapport de la vitesse de lobjet
sur la vitesse du son, comme indice servant caractriser limportante de la compressibilit dans la
dynamique du gaz.
3.3 Viscosit des fluides
3.3.1 Manifestation lchelle macroscopique
Beaucoup de fluides de lenvironnement courant sont des fluides newtoniens. Ces fluides se ca-
ractrisent notamment par une dpendance linaire des contraintes et des vitesses de dformation.
Ainsi, Newton montra que lorsquon cisaille un fluide (voir figure 3.4)
il se produit une force de rsistance du fluide contre cette action de cisaillement ;
cette force est proportionnelle au taux de cisaillement, ici U/h [1/s].
5. Ce nombre a t appel ainsi en rfrence un passage dans la Bible, o la prophte Dborah dclara les montagnes
scouleront avant le Seigneur , ce qui fut interprt par les rhologues modernes comme la premire affirmation que tout
scoule si on attend suffisamment longtemps.
h e
y
e
x
Figure 3.4 : cisaillement dun fluide entre deux plaques parallles espaces dune distance h ; la plaque suprieure se dplace
la vitesse U .
Tableau 3.1 : quelques valeurs de viscosit T = 20 30 C.

kg/m3 Pa.s m2 /s
eau 1000 103 106
air 1,17 2105 1,6 105
Si on dfinit la contrainte de cisaillement comme la force par unit de surface [Pa=N/m2 ], alors
on a la relation :
U
= ,
h
o est le coefficient de viscosit dynamique [en Pa.s]. On introduit aussi une viscosit cinmatique
= / [en m2 /s] (cette relation sert par exemple dans la dfinition du nombre de Reynolds). Lunit
de mesure de la contrainte est le Pascal [Pa], cest--dire 1 Pa = 1 N/m2 . On verra plus loin au cha-
pitre 5 que cette loi empirique scrira
= , (3.1)
avec le taux de cisaillement ou gradient de vitesse, qui dans le cas particulier examin ici prend la
valeur U/h.
La viscosit dpend foncirement de la temprature du liquide : en gnral, elle diminue avec la
temprature (plus la temprature est leve, plus lagitation molculaire est grande, moins le fluide
oppose de rsistance). Ainsi, la viscosit de leau liquide vaut 1,8 103 Pa.s pour T = 0C, 1,0
103 Pa.s pour T = 20C, 0,35 103 Pa.s pour T = 80C, et 0,28 103 Pa.s pour T = 100C. Pour
un gaz, cest linverse : on observe une augmentation de la viscosit avec la temprature. Le tableau
3.1 donne les valeurs des viscosits pour leau et lair temprature ambiante ainsi que la masse
volumique. Le tableau 3.2 donne la viscosit dynamique pour des produits courants.
retenir que lunit de la viscosit dynamique est le Pa.s (unit du systme international ou USI).
Auparavant on employait le poiseuille (1 PI = 1 Pa.s) ou le poise (le plus souvent le centipoise) : 1 Pa.s
= 10 Po = 100 cPo. Pour la viscosit dynamique, on emploie le m2 /s ; certains ont recours au stokes
(St) 1 St = 1 cm2 /s = 104 m2 /s et 1 cSt = 1 mm2 /s = 106 m2 /s.
Tableau 3.2 : quelques valeurs de viscosit de matriaux familiers temprature ordinaire.

(Pa.s)
air 2 105
eau 103
huile dolive 0,1
miel 1 10
sirop drable 100
bitume 108
3.3. VISCOSIT DES FLUIDES 29
3.3.2 Origine physique

La viscosit des gaz monoatomiques dilus peut sexpliquer assez simplement laide de la tho-
rie de cintique. Pour des gaz polyatomiques ou concentrs, les prdictions de cette thorie sont un
peu moins bonnes. Pour les liquides, le sujet a t abord depuis longtemps, mais reste encore trs
dbattu.
Considrons lexprience de Newton, o le gaz est cisaill entre deux plaques. lchelle ato-
mique, les molcules vont en moyenne dans la direction x, mais sont galement en perptuelle agi-
tation. Considrons deux couches voisines et parallles de molcules, dont le mouvement moyen est
un glissement relatif selon x. Si le libre parcours moyen 6 des molcules est `, alors lordre de gran-
deur de la sparation entre deux couches dans la direction y est 2`. Une molcule est donc anime
dune vitesse
fluctuante due lagitation thermique, qui est isotrope et qui prend donc une valeur
v(T ) T dans toutes les directions v = (v, v), et dune vitesse moyenne u(y) selon la direction x.
La vitesse instantane est donc la somme de ces deux vitesses u = (u + v, v).
n
y+`
y`
x x + x
Figure 3.5 : thorie cintique trs simplifie : on considre un volume de contrle compris entre deux couches de glissement
lchelle molculaire.
Considrons un petit volume de contrle entre deux couches, long de x, comme le montre la
figure 3.5. Du fait de lagitation thermique, chaque instant, peu prs n/6 molcules passent de
laltitude y + ` y (les autres vont dans les autres directions de lespace), o n dsigne le nombre
moyen de molcules par unit de volume ( ne pas confondre avec la normale n). Le flux lmentaire
de quantit de mouvement pour une particule entrant dans le volume scrit sur la face suprieure (
laltitude y + `)
v(T )u(y + `)
(y + `) = m(u n)nx = x,
v(T )2
avec n la normale la facette. Comme il y a en n/6 particules entrant dans le volume par unit de
temps, on dduit que le flux tangentiel (dans la direction x) scrit donc x (y +`) = nmvu(y +`)x/6.
On fait de mme avec la facette intrieure sachant que les flux latraux ne comptent pas (flux nul car
le volume est pris entre deux couches adjacentes) et on tire que le flux est x (y `) = nmvu(y
`)x/6. Le flux total tangentiel par unit de longueur est donc
x (y + `) + x (y `) nmv nmv du
t = = (u(y + `) u(y `)) ` + O(`),
x 6 3 dy
quand on fait un dveloppement limit au premier ordre. On peut faire de mme avec le flux normal,
mais comme la vitesse fluctuante ne dpend que de la temprature, on trouve que les deux compo-
santes lmentaires du flux sont de signe oppos et il ny a donc pas de flux de quantit de mouve-
ment dans la direction y. Comme on peut interprter un flux de quantit comme une contrainte (voir
chap. 4), on en dduit que ce flux tangentiel quivaut une contrainte de frottement tangentiel
du
= ,
dy
6. Le libre parcours moyen est la distance moyenne parcourue par une molcule entre deux collisions.
avec
= nmv`/3
le coefficient de viscosit. Grce la thorie cintique, on peut expliquer le comportement newto-
nien des gaz, mais galement calculer le coefficient de viscosit dynamique, notamment prvoir sa
variation avec la temprature : T , ce qui est bien vrifi exprimentalement.
3.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens
Dans ce cours, on sintresse essentiellement des fluides newtoniens. Pour un fluide newtonien
temprature constante et plac dans un coulement dit en cisaillement simple, la contrainte de
cisaillement est relie au taux de cisaillement (gradient de vitesse) par la relation linaire (3.1). Autre-
ment dit, si lon trace le rapport = / en fonction du taux de cisaillement, on obtient une droite
horizontale, comme le montre la figure 3.6.

Figure 3.6 : loi de viscosit pour diffrents types de fluide.
Tous les fluides ne vrifient pas cette relation ou bien la vrifient partiellement. Par exemple,
lhuile de cuisine est newtonienne, mais la mayonnaise ne lest pas : si on place de la mayonnaise
sur une assiette et quon incline lgrement cette assiette, rien ne se passe. En fait, il faut exercer une
contrainte minimale pour que la mayonnaise scoule. On dit que la mayonnaise possde un seuil de
contrainte. On peut faire une exprience en plaant un objet la surface de la mayonnaise : un corni-
chon a toutes les chances de rester la surface tandis quon peut facilement y enfoncer une cuillre.
Le seuil de contrainte peut empcher la sdimentation dun corps si la pression exerce par ce corps
est infrieure ce seuil. Si lon trace la relation = f () pour un tel fluide, on obtient une courbe
comme celle reporte sur la figure 3.7, avec une valeur non nulle de la contrainte de cisaillement
quand le taux de cisaillement tend vers 0.
Dautres fluides nont pas de seuil de contrainte, mais une viscosit qui dpend du taux de cisaille-
ment. On distingue ainsi deux classes de comportement (voir figure 3.7) :
comportement rho-paississant : plus le taux de cisaillement est important, plus la rsistance
du fluide est grande. Cela se traduit souvent par des comportements exprimentaux de la forme
n , avec n > 1. Dans les produits alimentaires, les produits base damidon sont le
plus souvent rhopaississants (cest aussi en partie pour cette raison que lon les utilise pour
paissir une sauce) ;
comportement rhofluidifiant : plus le taux de cisaillement est important, plus la rsistance
du fluide est faible. Exprimentalement, on observe des variations de la forme n , avec
n < 1. Le ketchup est un produit rhofluidifiant. Certaines peintures possdent cette proprit
pour faciliter leur application ; elles peuvent galement tre thixotropes : lapplication dune
contrainte provoque une dstructuration du matriau, entranant une chute de viscosit, qui
varie au cours du temps (si le matriau est laiss au repos, il retrouve sa structure originale et
donc sa viscosit originale).
3.3. VISCOSIT DES FLUIDES 31
Figure 3.7 : loi dcoulement = f () pour un fluide seuil.
noter que la plupart des matriaux un tant soit peu complexes sont non newtoniens, mais on
emploie frquemment lapproximation de fluide newtonien car assez souvent on travaille sur une
gamme restreinte de taux de cisaillement et que dans ce cas-l, lapproximation peut tre correcte.
Par exemple, on parle de viscosit dun glacier lorsquon fait des calculs de fluage approximatifs sur
des trs grandes chelles de temps.
3.4 Pression des fluides

lchelle molculaire, on a vu quun fluide au repos est compos de molcules qui, si leur vitesse
moyenne u est nulle, sont quand mme animes dune vitesse alatoire v rsultant des interactions
entre elles (collisions, rpulsions de Van der Waals, etc.). Cette vitesse est fluctuante au gr des inter-
actions et elle est dautant plus grande que la temprature est grande. En fait, du point de vue ther-
modynamique, la temprature nest quune mesure de cette agitation molculaire. Lorsquon place
une paroi solide (voir figure 3.8), les molcules vont entrer en collision avec cette paroi et donc, si on
moyenne au cours du temps ces diffrentes impulsions, il en rsulte une force moyenne dite force de
pression.
Figure 3.8 : pression contre une paroi.
Ainsi, on montre que pour un gaz dilu la pression est dfinie comme :
1
p= nmv 2 ,
3
avec n le nombre de molcules par unit de volume, v la vitesse dagitation thermique, et m la masse
dune molcule. La force exerce sur la paroi est donc
F = p Sn,
avec n la normale la surface oriente vers lextrieur (voir figure 3.8) et S la surface de la paroi. Le
principe daction et de raction impose que la force exerce par la surface sur le fluide est :
F = p Sn.
Lunit de surface est le Pascal [Pa].

On peut gnraliser cette notion en replaant la paroi solide par une surface virtuelle (voir figure
3.9). La pression est alors le flux de quantit de mouvement fluctuante transporte par les molcules
franchissant la surface S. Lorsquun fluide est au repos sous laction de la gravit, les molcules si-
tues une tranche daltitude z doivent supporter le poids de la colonne au-dessus pour maintenir
lquilibre. La pression est donc dautant plus forte quon a beaucoup de fluide au-dessus de soi. Une
proprit remarquable de la pression est quelle est ncessairement isotrope, cest--dire quelle que
soit la facette considre dun volume de contrle infinitsimal, la pression est la mme. En effet,
compte tenu de lorigine de la pression lchelle molculaire, lisotropie des fluctuations de vitesses
entrane lisotropie de la force rsultante de pression.
3.4.2 Loi de Pascal

Considrons maintenant lquilibre mcanique dune tranche de fluide de surface S et dpais-
seur dz, situe entre les altitudes z et z + dz. Il y a quilibre si la somme des forces projete sur laxe z
3.4. PRESSION DES FLUIDES 33
Figure 3.9 : pression au sein dun fluide.
Figure 3.10 : quilibre dune colonne de fluide.
est nulle. La diffrence de pression doit donc contrebalancer exactement laction de la pesanteur (la
somme des forces appliques au volume de contrle doit tre nulle) :
(p(z + dz) + p(z))S gSdz = 0,
soit encore dp = gdz ou bien :

dp
= g.
dz
Cest la loi de Pascal 7 ou loi de statique des fluides. Cette loi se gnralise des repres quelconques :
p + g = 0.
Dans un fluide au repos, le gradient de pression contrebalance leffet de la pesanteur.
Exemple. Une application directe de ce rsultat est la pression dans latmosphre suppose
temprature T constante (champ isotherme). Lquilibre des pressions doit vrifier daprs la loi de
7. Blaise Pascal (16231662) a t un scientifique majeur et universel du XVIIe sicle. En mcanique des fluides, il repris les
travaux de Torricelli et ralisa un certain nombre dexpriences dhydrostatique et de pompage, qui lui permirent dtablir sa
loi. En mathmatiques, il travailla sur les probabilits. On lui doit un certain nombre dinventions comme la calculatrice mca-
nique, la seringue, et la presse hydraulique. Il sest galement intress diffrents aspects de la littrature, de la mthodologie
scientifique, et de la thologie.
gaz parfaits : p = RT (R = 8,31 J/K), donc en couplant avec la loi de Pascal, on tire :
dp p
= g,
dz RT
dont lintgration donne
gz
+ constante.
ln p =
RT
En appelant Pa la pression atmosphrique au niveau de la mer, on obtient finalement :
gz
p = Pa exp .
RT
Cette quation sappelle quation du nivellement baromtrique. u
t
3.4.3 Principe dArchimde

Le principedArchimde 8 snonce ainsi. Tout corps immerg dans un fluide au repos est soumis
de la part du fluide une pousse verticale, oppose la force de gravit, gale au poids du volume
de fluide dplac et applique au centre de masse de ce fluide (centre appel centre de carne pour
les bateaux).
Ce principe se dduit assez aisment de lquation de Pascal. Considrons le volume V occup
par le corps immerg et intgrons lquation de Pascal
Z Z
pdV + gdV = 0,
V V
do lon dduit par utilisation du thorme de Green-Ostrogradski

Z Z
pndS + gdV = 0.
S V
| {z } | {z }
rsultante des forces de pression poids propre
3.4.4 Calcul des forces de pression en perspective

La force de pression exerce sur une paroi de surface S est :
Z
F = (pn)dS
S
avec n normale la surface lmentaire dS, oriente de lintrieur vers lextrieur (ici lintrieur si-
gnifie lintrieur de la paroi ; lextrieur indique le fluide). Le calcul de la force se fait en plusieurs
tapes :
1. calculer la pression ;
2. identifier les surfaces o la pression p est constante (en gnral, surface altitude constante) ;
3. dterminer la surface infinitsimale dS compte tenu de la gomtrie de la surface S (voir 1.5) ;
4. calculer les composantes de n (on vrifie sil ny a pas un axe privilgi de projection de la r-
sultante des forces) ;
R
5. on intgre F = S (pn)dS.
Il y a des astuces de calcul (utilisation du thorme dArchimde), mais il vaut mieux matriser la
dmarche du calcul intgral.
8. Archimde de Syracuse (287212 avant Jsus-Christ) est larchtype du grand savant de lAntiquit, la fois physicien,
mathmaticien, et ingnieur. Il vcut en Sicile lpoque o Rome commenait prendre une place croissante en Mditerra-
ne. On lui doit de nombreuses avances en gomtrie, en mcanique (principe dArchimde, bras de levier), et en ingnierie
(vis sans fin).
3.5. TENSION DE SURFACE 35
3.5 Tension de surface

La tension de surface est une proprit des fluides, qui sont attirs ou repousss lorsquils sont
en contact avec un solide, un liquide, ou un gaz. Cette proprit est importante puisquelle explique
la stabilit des gouttes de pluie dans latmosphre, les larmes du vin, le dplacement des insectes
la surface de leau, les proprits anti-adhrence de certains ustensiles de cuisine, les mulsions en
cuisine, leffet du savon, les remontes capillaires dans les solides poreux, etc.
linterface entre deux fluides, il existe des interactions molculaires en gnral de rpulsion
entre les deux fluides : les milieux ntant pas miscibles, il existe une force la surface de contact qui
permet de sparer les deux fluides et viter leur imbrication ou leur mlange. On appelle tension de
surface ou tension capillaire cette force surfacique permettant de maintenir deux fluides en contact le
long dune interface commune. On la note ; a la dimension [Pa.m]. Si lon considre maintenant
un liquide le long dune paroi solide, on observe leffet inverse : il existe des forces dadhsion. On
dira le plus souvent que le fluide est mouillant sil est attir par le solide : une goutte deau a ainsi
le plus. On dit quil est non mouillant lorsquil est repouss par la surface solide ; cest par exemple
ce quon cherche produire en construisant des revtements en tflon avec les ustensiles de cuisine
pour viter ladhsion des graisses ou bien quand on farte les skis avec des farts fluores.
(a)
(b)
Figure 3.11 : goutte sur une surface solide dans le cas dun fluide au repos (a) mouillant et (b) non mouillant.
Quand on place une petite entit de fluide dans un autre fluide, cette entit isole prend la forme
dune goutte sphrique si rien ne vient (comme un mouvement du fluide environnant) sopposer
cette forme. En effet, la forme sphrique est la forme qui minimise lnergie de surface, cest--dire
lnergie que doit dpenser la particule pour viter que du fluide environnant ne pntre dans la
goutte. Considrons une goutte de rayon R dun fluide au repos immerge dans un autre fluide au
repos. La pression dans la goutte est pi ; celle dans le fluide extrieur est pe . La goutte est lquilibre
si le travail des forces de surface est contrebalanc par le travail des forces de pression (on suppose
quon augmente virtuellement le rayon dun incrment dR et on impose que la goutte retrouve sa
position dquilibre, donc tous les travaux des diffrentes forces doivent se compenser) :
travail lmentaire des forces Wp de pression (force de volume) : pression incrment de vo-
lume = p d 34 R3 , avec p = pi pe ;
travail lmentaire
des forces Wt de tension (force de surface) : tension incrment de sur-
face= d 4R2 .
On doit avoir Wp + Wt = 0. En diffrentiant, puis en simplifiant, on trouve :
2
p = pi pe = .
R
Cest la loi de Laplace 9 . travers toute interface entre deux fluides, il existe une saute de pression
9. Pierre-Simon Laplace (17491827) a t un mcanicien et mathmaticien franais la fin du XVIIIe sicle et dbut du
Figure 3.12 : goutte en quilibre.
gale 2/R. La tension de surface de leau en contact avec lair est = 70 103 Pa.m. Cette loi peut
se gnraliser des surfaces libres non sphriques

1 1
p = pi pe = + 0 , (3.2)
R R
avec R et R0 les rayons de courbure principaux.

La tension de surface permet dexpliquer la remonte capillaire le long dune paroi solide. En ef-
fet, exprimentalement que la surface libre dun liquide ne marque pas un angle droit avec une paroi,
mais est lgrement incurve vers le haut (liquide mouillant) ou vers le bas (liquide non mouillant).
Lordre de grandeur de la remonte capillaire est obtenue en galement la pression (suppose hy-
drostatique) due la gravit et la saute de pression due aux forces capillaires, ce qui donne daprs
lquation 3.2

gh , (3.3)
R
avec h le rayon de courbure et h la remonte capillaire, R0 et o lon a nglig la pression
atmosphrique (voir figure 3.13). En faisant lapproximation R h, on dduit lordre de grandeur
suivant
2
h =O .
g
Figure 3.13 : remonte capillaire le long dune paroi solide dans le cas dun fluide mouillant.
XIX e sicle. Ses travaux ont port sur des problmes de mcanique cleste, o il analysa les problmes dinteraction laide
dquations diffrentielles, de mathmatiques (loi de probabilit, transforme de Laplace), et la thermomcanique des fluides
(changement dtat des corps).
3.5. TENSION DE SURFACE 37
Ce calcul peut se faire plus rigoureusement en intgrant lquation (3.3) et en servant de la dfi-
nition du rayon de courbure
(1 + y 02 )3/2
R(x) = ,
y 00
o y(x) est lquation de la surface libre. Pour rsoudre cette quation, on a besoin dune condition
aux limites. Celle-ci est donne exprimentalement par langle que forme le liquide avec la paroi
solide, angle qui est appel angle de contact. En partant de lquation diffrentielle gy(x) = /R(x)
associe la condition aux limites y 0 (0) = cotan, en la multipliant par y 0 , puis en intgrant une
fois, on obtient !
1 2 1
d y + p =0
2 g 1 + y 02
p
ce qui veut dire que la quantit = y 2 + 2/(g 1 + y 02 ) se conserve. Comme la surface libre doit
devenir horizontale quand x crot, on trouve que doit tre nul (car y 0 0 et y 0 quand x ).
En se servant de la condition aux limites, on trouve finalement

h=2 (1 sin ).
g
Une manifestation des effets de tension de surface est la remonte capillaire due la dpression
locale cause par la courbure de la surface libre. Considrons un tube de petites dimensions (dia-
mtre 2r petit devant la hauteur du tube) plong dans un liquide de masse volumique . La pression
sous linterface (point A sur la figure 3.14) est

PA = Pa 2 ,
R
o R dsigne le rayon de courbure de la surface libre suppose de forme hmisphrique et Pa est
la pression atmosphrique. Ce rayon de courbure peut tre reli au diamtre du tube et langle de
contact de la faon suivante : r = R cos . Au point B, la pression vaut donc :
PB = PA + gh,
or ce point tant la mme altitude que la surface libre non perturbe du liquide, la pression doit
tre gale la pression atmosphrique. On en dduit donc la remonte capillaire
2 cos
h= .
gr
Cest la loi de Jurin.

38
B

CHAPITRE 3. PROPRITS DES FLUIDES ET STATIQUE DES FLUIDES
2r
Figure 3.14 : remonte capillaire le long dun tube cylindrique.
3.6 Diffusion
3.6.1 quations de diffusion
Une proprit assez gnrale aux fluides est la diffusion lie lagitation molculaire et/ou au
mouvement fluide. Si lon place dans de leau un volume fini dune solution dune espce diffusante
(cest--dire elle ne va pas sdimenter tout de suite) comme par exemple de lencre ou du sucre fin,
on va observer une redistribution et un transport progressif de cette espce dans tout le volume. Il
en est de mme si lon chauffe localement un fluide, la chaleur va se propager progressivement dans
tout le volume. Dans les deux cas de figure, on parle de diffusion.
Un cas typique de diffusion est rencontr lorsquil y a un gradient de concentration. Par exemple,
soit n(x, t) le nombre de particules en x, linstant t le long dun barreau de section S. Exprimenta-
lement, on observe que le flux de particules travers ce barreau peut tre dfini laide dune relation
dite (premire) loi de Fick 10
n dn
J= = D ,
St dx
avec D le coefficient de diffusion molculaire (suppos constant), S la surface du barreau, n la dif-
frence entre le nombre de particules entrant en x et sortant en x + x (voir figure 3.15) pendant
t. Cette loi empirique est lquivalent de la loi dOhm pour une rsistance : I = U/R ; le coefficient
de diffusion correspond la conductivit (1/R), n la diffrence de potentiel U , et I et J sont deux
courants . Si on fait un bilan dans le barreau considr comme un milieu unidimensionnel et
quon applique le principe variation de n au cours du temps = ce qui entre moins de ce qui sort ,
on aboutit une quation de diffusion pour n(x, t), qui est en tout point semblable lquation de la
chaleur
n 2n
= D 2. (3.4)
t x
Lexemple typique de solution est celle obtenue en considrant qu linstant t = 0, on lche une
quantit N de particules, qui seraient concentres initialement dans une bande infiniment fine au-
tour de x = 0. Les particules vont ensuite se propager dans les deux directions. Ce que lon montre,
10. Adolf Eugen Fick (18291901) tait un mdecin allemand spcialis en physiologie. Il proposa la loi qui porte aujourdhui
son nom et qui fut tablie partir dexpriences de diffusion dun gaz travers une membrane. Il est lorigine des lentilles de
contact et des premires mesures du dbit cardiaque.
3.6. DIFFUSION 39
n(x) n(x + dx) = n + n

S
x x + dx
Figure 3.15 : bilan de matire dans un barreau.
cest que la solution mathmatique lquation de diffusion est une gaussienne

N x2
n(x, t) = e 4Dt .
2 Dt
0.8
0.6
n( x,t )
0.4
0.2
0
-4 -2 0 2 4
x
Figure 3.16 : solution lquation de diffusion dans le cas o la condition initiale correspond la diffusion dune tache
ponctuelle, avec ici N = 1 et D = 1 m2 /s. Trait continu : solution t = 0,1 s ; trait tiret court : solution t = 1 s ; trait tiret
long : solution t = 10 s.
Comme le montre la figure 3.16, leffet de la diffusion molculaire est dadoucir le profil de concen-
tration en n : au fur et mesure, le profil est de plus en plus plat.
Comme pour la loi de Fourier vu au chapitre 1, on peut gnraliser cette loi scalaire pour obtenir
une loi tensorielle (en dimension 3) en interprtant la drive comme un gradient :
J = Dn,
o J est appel aussi le vecteur densit de courant et cette quation est appele seconde loi de
Fick. On peut obtenir une quation linaire tridimensionnelle de diffusion
n
= D J.
t
Aussi bien pour les cas scalaire que tridimensionnel, on considre que la diffusion a lieu dans un
fluide au repos. Si le fluide est en mouvement, il faut tenir compte de ladvection de matire ; math-
matiquement, on remplace la drive locale par rapport au temps par une drive totale
dn dn
= + u n = D J = D4n.
dt dt

Il sagit l dune description empirique de la diffusion, mais il existe une description plus tho-
rique du phnomne. Les mcanismes de la diffusion peuvent tre apprhends de faon indirecte
par un processus dit dauto-diffusion que lon retrouve dans le mouvement brownien. Le mouvement
brownien est le mouvement alatoire dune petite particule (du pollen, des poussires, des sables de
taille micromtrique) immerge dans un fluide. Cette particle est soumise des chocs avec les mo-
lcules du fluide, ce qui explique le mouvement erratique de la particule. Ce phnomne a t dcrit
pour la premire fois en 1827 par Brown 11 alors quil observait avec un microscope du pollen en sus-
pension dans leau. Physiquement, le mouvement brownien peut se comprendre comme suit (voir
figure 3.17) :
entre deux chocs, la particule se dplace en ligne droite avec une vitesse peu prs constante ;
la particule est acclre instantanment lorsquelle est percute par une molcule ou bien
rencontre une paroi et sa trajectoire marque un changement net de direction.
O
M1
M3 M2
Mn+1
Mn
(a) (b)
Figure 3.17 : idalisation du mouvement brownien. (a) vue gnrale ; (b) agrandissement.
Puisque la particule suppose au repos ralise des dplacements alatoires au gr des collisions,
il ny a pas de raison pour quil y ait un sens de dplacement favoris, donc en valeur moyenne, le
dplacement r(t) est nul, ce que lon note par
hr(t)i = 0
o les crochets hi renvoient une moyenne (dans le temps). En revanche, le moment du second
ordre 12 ou la variance du dplacement nest pas nul. Ce moment scrit hr2 (t)i et peut sinterpr-
ter comme la moyenne du carr du dplacement. On mettre assez simplement que ce moment du
second ordre scrit 13
hr2 (t)i = n`2 ,
avec n le nombre de chocs subit par la particule. On suppose ici quen moyenne, tous les bouts de
trajectoires sont de mme longueur `. Il sensuit aussi que si tc dsigne le temps moyen entre deux
11. Robert Brown (17731858) tait un botaniste anglais. En 1827, en observant du pollen avec un microscope, il constata que
le pollen bougeait dans tous les sens. Il renouvela lobservation sur dautres plantes, interprtant dans un premier temps ce
phnomne comme la manifestation dun organisme vivant. Cependant, il observa la mme chose sur des particules inertes.
Lexplication du phnomne ne sera donn que bien plus tard par la thorie dEinstein en 1905 (Smoluchowski, Bachelier, et
Langevin), puis par les expriences de Perrin laube de la premire guerre mondiale. R
12. Si f dsigne une densit de probabilit dune variable
R n X, alors la moyenne de X est xf (x)dx et est appel moment du
premier ordre ; le moment dordre n est simplement x f (x)dx. P
n
13. Il suffit pour cela dcrire qu linstant t, r(t) = OMn = i=0 Mi1 Mn , puis de calculer la moyenne de hr (t)i en
2
faisant la dcomposition.
3.6. DIFFUSION 41
collisions, on a n = t/tc (on a aussi tc = `/w, avec w la vitesse de la particule entre chaque collision),
do
`2
hr2 (t)i = n`2 = t.
tc
Si on dfinit le coefficient dediffusion comme tant D = `2 /tc = w`, on trouve que hr2 (t)i = Dt. La
particule diffuse donc en t autour de sa position initiale r = 0.
Notons que le raisonnement ralis en dimension 2 peut tre men dans le cas dune propagation
alatoire dans une seule direction de lespace, ce qui va permettre dapporter un clairage diffrent au
problme de la figure 3.15, o lon tudiait un transport de particules dans un barreau. Considrons
une particule parmi les n particules et supposant quelle soit en mouvement alatoire. La probabi-
lit quelle aille dans une direction quivaut celle quelle dans la direction oppose ; la probabilit
quelle change de direction linstant t est indpendante de tout ce qui a pu se passer jusqu lins-
tant t. La direction est donc alatoire et peut prendre deux valeurs quiprobables = 1 ; le temps
t est continu ; la vitesse de la particule est suppose constante et gale w. On crit donc tout cela
sous forme mathmatique
1
P (x x, t + t|x, t) = ,
2
1
P (x + x, t + t|x, t) = ,
2
avec x et t de petits intervalles despace et temps, qui sont fixes. Ce que lon peut traduire : la pro-
babilit que la particule soit linstant t + t en x x sachant quelle tait en x linstant t vaut 1/2.
En se servant des lois de composition des probabilits 14
P (x, t + t) = P (x, t + t|x x, t)P (x x, t) + P (x, t + t|x + x, t)P (x + x, t)

1 1
= P (x x, t) + P (x + x, t).
2 2
En faisant un dveloppement limit au second ordre 15 en x, on trouve que P vrifie lquation
2P
P (x, t + t) P (x, t) = x2 ,
x2
puis un dveloppement au premier en t amne finalement
P x2 2 P
= .
t 2t x2
On note que cest la mme quation que celle de la chaleur ou celle de la diffusion (3.4) sous rserve
que x2 /t soit constant. On pose donc x = 2Dt. On aboutit donc lquation suivante pour la
probabilit P (x, t)
P 2P
=D 2,
t x
qui est une forme particulire de lquation de Fokker-Planck. Une solution de cette quation est la loi
de Gauss. Puisquen moyenne le dplacement moyen est nul (aucune direction favorise), on dduit
que
1 x2
P (x, t) = e 4Dt .
4Dt
On note dans ce cas particulier la correspondante des quations et des solutions pour n(x, t) et
P (x, t).
Un point important galement noter dans notre explication du mouvement brownien est quen-
core une fois, cest lagitation thermique des atomes qui explique le comportement observ lchelle
macroscopique. Lagitation est donc responsable la fois dune force continue (force de viscosit) et
dune force erratique (collisions donnant naissance au mouvement brownien). Cest cette analyse
14. Rappelons que P (x, y) = P (x|y)P (y) par dfinition de la probabilit conditionnelle.
15. Rappel f (x + x) = f (x) + xf 0 (x) + x2 f 00 (x)/2 + .
qui a permis Einstein 16 de calculer le coefficient de diffusion dune particule sphrique de rayon a
dans un fluide newtonien de viscosit
kT
D= ,
6a
qui montre que le coefficient de diffusion est un rapport entre lnergie cintique fluctuante kT et la
force de frottement visqueuse 6a.
Dans les expriences de Brown, on a prcis que le mouvement brownien affecte des particules
de petite taille, typiquement de taille micromtrique pour une particule dans de leau. On peut carac-
triser plus finement lchelle de taille et les caractristiques du fluide pour lesquelles le mouvement
brownien est important. Cela peut se faire par exemple en considrant la (seconde) loi de Fick pour
calculer la diffusion de particules dans un fluide en mouvement avec une vitesse caractristique u
n
t
+ | {zn} = D4n
u
| {z }
.
|{z} convection diffusion
variation locale
Si lon compare dans cette quation diffrentielle, la part joue par la convection et celle joue par la
diffusion, on peut former un rapport sans dimension appel nombre de Pclet 17
convection u n/l u l
Pe = ,
diffusion Dn/l2 D
o l est une chelle caractristique du systme tudi (taille de la particule ou libre parcours moyen).
Lorsque P e 1, la convection lemporte sur la diffusion. Les particules sont donc transportes (ad-
vectes) par le fluide. Dans le cas contraire, lorsque P e 1, la diffusion lemporte sur la convection.
16. Albert Einstein (1879-1955) a t le physicien le plus clbre du XXe sicle sicle, principalement pour ses travaux sur
la relativit, qui remettait en cause notre conception du monde. Einstein a galement eu des contributions importantes en
physique des fluides en expliquant le mouvement brownien et en calculant la viscosit quivalente dune suspension dilue
de particules dans un fluide newtonien.
17. Jean Claude Eugne Pclet (17931857) tait un physicien franais, essentiellement tourn vers lenseignement. Il est
lorigine de lcole Centrale des Arts et Manufactures.
3.6. DIFFUSION 43
Testez vos connaissances

1. Trois facettes sont plonges la mme profondeur, mais avec des orientations diffrentes. Sur
quelle facette la pression est maximale?
Figure 3.18 : facettes la mme profondeur.
2. Trois facettes de longueur h ou 2h sont plonges des profondeurs lgrement diffrentes. Sur
quelle facette la force de pression est maximale?
Figure 3.19 : facettes de longueur diffrente.
3. Dans un tube en forme de U et de hauteur h, on place un fluide lger de masse volumique %1 ,

puis un fluide lourd de masse volumique %2 . Initialement, le tube est rempli compltement.
Que se passe-t-il?
Figure 3.20 : deux fluides dans un tube en U.
4. Un rservoir est muni dun tuyau qui sert de siphon. On incline ce tuyau. O se situe la surface
libre dans le tuyau?
5. On dit que la pression atmosphrique ressentie au niveauRde la terre quivalente au poids de la

colonne dair par mtre carr au-dessus de la terre : P0 = 0 gdz. Est-ce vrai?
6. Idem si on se place sous la coque dun bateau. Est-ce que la pression au point le plus bas cor-
respond au poids de la colonne de bateau au-dessus de ce point?
Figure 3.21 : siphon.
Figure 3.22 : pression la surface de la terre.
Figure 3.23 : pression sous la coque dun bateau.
7. On place un corps solide de masse m sur un plan horizontal. On tire le solide vitesse constante
en exerant une force F . Le solide est soumis une action de frottement de type Coulomb :
T = f N , avec f le coefficient de frottement, N la composante normale de la force de raction, et
T sa composante tangentielle. On ralise tout dabord lexprience dans lair. On ritre ensuite
lexprience dans leau. Dans quel milieu (eau ou air) la force de traction est la plus faible?
Figure 3.24 : traction dun solide dans lair ou sous leau.

45
Chapitre 4
Les quations de bilan
Prrequis
Mathmatiques: calculs intgral et diffrentiel ; conditions initiales et aux limites
pour un problme diffrentiel.
Mcanique : relation fondamentale de la dynamique.
Objectifs
Introduire au raisonnement en mcanique des fluides fond sur la notion de volume
de contrle.
Dfinir la drive particulaire et les quations de conservation de la masse, de la
quantit de mouvement, et de lnergie.
Faire le lien entre quations globales (sur des volumes de contrle) et quations lo-
cales.
Contenu
On prsente dans ce chapitre les quations de bilan de la masse, de la quantit de mouvement,
et de lnergie sous diffrentes formes : formes globales o lon considre ce qui se passe sur des vo-
lumes de contrle et formes locales o lon examine ce qui se passe dans un volume infinitsimal. Ces
quations de conservation se retrouvent dans toutes les branches de la physique et de la mcanique.
La particularit en mcanique des fluides est lintroduction de la drive particulaire ou matrielle.
En effet, contrairement la mcanique du solide o lon suit le mouvement du solide, il est plus com-
mode en mcanique des fluides de considrer des volumes de contrle et examiner ce qui se passe
dans et aux frontires de ce volume sans se soucier du devenir des particules.
46 CHAPITRE 4. LES QUATIONS DE BILAN
4.1 Quelques lments de cinmatique

Pour dcrire les forces exerces par un fluide sur une structure ou bien connatre les proprits
de transport au sein du fluide, il est essentiel de dcrire mathmatiquement le mouvement du fluide
lui-mme. Cette description est apple cinmatique. Elle est complmentaire de la description des
efforts, appele dynamique (voir 4.2).
Pour un corps solide, les relations cinmatiques sont les relations qui lient dplacements (trans-
lation et rotation), vitesses, et acclration. Pour un corps dformable, les choses se compliquent un
peu car le matriau est une collection de points (en fait des volumes infinitsimaux), avec chacun sa
propre histoire plus ou moins dpendante de celle des autres points. La description du mouvement
au sein dun milieu continu dformable peut se faire dune multitude de faons que lon va essayer
ici dexpliquer simplement.
4.1.1 Description eulrienne ou lagrangienne
Commenons par une image. Vous souhaitez connatre la vitesse des vhicules sur un tronon
dautoroute. Vous avez deux faons de faire :
prendre vous-mme un vhicule et chronomtrer le temps mis pour aller dun point un autre ;
tre observateur en se plaant sur le bord de lautoroute et compter le nombre de voitures qui
passent dans un laps de temps donn ou bien mesurer le temps quelles mettent parcourir un
tronon donn.
De mme, si vous tes en charge des contrles radars sur une autoroute, vous avez le choix entre
placer un radar un endroit fixe et flasher les voitures, dont la vitesse dpasse la vitesse autorise,
ou bien vous immiscer dans la circulation avec un radar embarqu. Dans le second cas, la mesure est
un peu plus dlicate car la vitesse calcule par le radar est une vitesse relative par rapport au vhicule
de police ; outre la mesure faite au radar, il faut donc disposer de la vitesse du vhicule de police.
En mcanique, on fait de mme. Quand on souhaite dcrire un flux, on peut :
suivre le mouvement des particules (une par une) : cest la description lagrangienne ;
se placer un endroit fixe et regarder ce qui passe (cest--dire ce qui entre ou sort) : cest la
description eulrienne.
La description lagrangienne offre quelques facilits dans le calcul des vitesses et des acclrations
puisque si lon suit un volume infinitesimal de fluide, dont la position est repre par r(t), alors la
vitesse et lacclration sont simplement la drive dordre 1 et 2 par rapport au temps de la position :
v(t) = r et a(t) = r. Linconvnient est que pour dcrire le fluide, il faut dcrire un trs grand nombre
de points en fonction du temps. Mesurer une grandeur caractristique de lcoulement peut savrer
galement difficile raliser et interprter car le plus souvent en pratique, on fait de la mesure en
un point fixe de lespace ; quelques exceptions prs, il nest pas commode de faire de la mesure en
suivant les particules.
La description eulrienne permet de saffranchir de ces problmes dinterprtation exprimen-
tale. Elle est toutefois un peu plus dlicate apprhender et conduit des formulations math-
matiques des quations du mouvement, qui sont un peu plus complexes que les quations lagran-
giennes.
Pour dcrire le mouvement, on dcompose celui-ci en un mouvement de translation et une d-
formation. En effet, un petit volume de fluide subit au cours de son dplacement un dplacement
(translation) et des dformations (rotation, tirement). Pour sen convaincre, repartons de lexp-
rience de Newton vue au 3.3.1 : dans cette exprience, le fluide tait simplement cisaill entre deux
plaques ; le profil de vitesse tait linaire u(y) = ay avec a = U/h et U la vitesse de la plaque sup-
rieure. Si lon marquait des particules linstant t = 0 en traant un cercle, on pourrait examiner
comment une forme simple est transporte et dforme. Comme le profil de vitesse est linaire, on
peut calculer comment le cercle a volu aprs un temps t. Comme le montre la figure 4.1, le cercle
se dplace et se dforme progressivement en ellipse.
4.1. QUELQUES LMENTS DE CINMATIQUE
C

B
D
O A C O
D
B
A
47
Figure 4.1 : dformation dun disque dans un coulement simplement cisaill.
Cela est assez facilement prvisible ici puisque si lon part de lquation paramtrique dun cercle
x = x0 + r cos ,
y = y0 + r sin ,
avec (x0 , y0 ) les coordonnes de O et r le rayon du cercle. Au temps, t chaque point M (x, y) a atteint
une position M
x0 = x + u(y)t,
y 0 = y.
Les points A ( = 0), B ( = /2), C ( = ), et D ( = 3/2) sont transforms en A, B, C, et D par

simple translation u(y)t. Le cercle est transform en ellipse et on note que les distances entre le centre
O et les points repres A, B, C, et D ont t modifies : il y a eu tirement des longueurs. En regardant
les axes principaux (les axes de symtrie) de lellipse, on observe que ceux-ci tournent au cours du
temps du fait du cisaillement : le mouvement saccompagne donc galement dune rotation.
En rsum, le mouvement dune particule de fluide se traduit par un dplacement en bloc, dune
rotation, et dune dformation. Cest ce que lon va voir de faon plus prcise maintenant en exami-
nant tout dabord le champ de dplacement (voir 4.1.2), puis celui de dformation (voir 4.1.3)
4.1.2 Trajectoires et lignes de courant
On va tout dabord dcrire le mouvement par translation. Traditionnellement, on fait appel trois
courbes pour caractriser le champ de dplacement dune srie de particules :
la trajectoire dune particule : cest la courbe dcrite par une particule au cours de son mouve-
ment. Si lon trace dans lespace la courbe T dquation x = r(t) en fonction de t, on obtient
la trajectoire. En tout point M le long de T , la tangente cette courbe T donne la vitesse de la
particule linstant o elle occupait le point M ;
la ligne dmission : cest le lieu, un instant donn, des points occups par des particules de
fluide qui sont toutes passes ou ont t mises partir dun mme point P fixe dans lespace ;
la ligne de courant : cest une courbe pour laquelle la tangente en chaque point est parallle au
champ (instantan) de vitesse des particules. Voir exercice no 1 pour son quation.
La premire courbe fournit une reprsentation du mouvement au cours du temps dune seule par-
ticule, tandis que les autres renseignent sur ce qui se passe un instant donn pour une multitude
de particules. Une srie de trajectoires montre comment des particules isoles bougent au cours du
temps alors que les lignes de courant visualisent le champ de dplacement de toutes les particules
un instant donn.
Ces courbes ont une importance thorique car elles permettent dexpliquer ou de visualiser ce qui
se passe au sein du fluide de faon lmentaire. Sur le plan exprimental, elles sont galement trs
intressantes car depuis longtemps, on connat plusieurs techniques qui permettent de visualiser
le mouvement au sein du fluide. Une mthode courante consiste ensemencer le fluide de petites
particules rflchissantes (poudre daluminium par exemple), puis de les clairer fortement (avec
un faisceau laser par exemple) pour rendre visible le mouvement local au sein du fluide. On peut
substituer ces marqueurs par des bulles de gaz ; cette technique a de multiples avantages car on peut
mettre par catalyse ou injection dair des bulles le long de formes prdfinies (un point, une ligne
droite, etc.) et pendant des temps variables (mission continue ou discontinue).
On sintresse galement dautres quantits comme le profil de vitesse ou de vorticit, qui per-
mettent de dcrire la dformation au sein du milieu, et plus spcifiquement les dplacements.
coulement permanent
Intressons maintenant un coulement dans une rivire lapproche dun seuil. On suppose
que le rgime est permanent. Si lon place un tube une certaine profondeur et que lon injecte
pendant un certain laps de temps des bulles, on forme une ligne dmission dont le point de dpart
est lembouchure du tube [voir figure 4.2(a)]. Si maintenant on met une seule bulle, quon prend
une multitude de clichs au cours du temps et quon les superpose, on obtient la trajectoire dune
particule [voir figure 4.2(b)]. Naturellement en rgime permanent, lignes dmission et trajectoires se
superposent puisquune particule passant par un point fixe suit toujours le mme chemin. La ligne
de courant est galement identique la ligne dmission. Si lon met des bulles selon la verticale
et que lon suit la colonne de bulles au cours du temps, on constante que celle-ci se dplace et se
dforme. La variation relative de longueur permet de visualiser le profil de vitesse selon la hauteur
[voir 4.2(c)].
(a) (b)
(c) (d)
Figure 4.2 : coulement permanent dun fluide dans une rivire lapproche dun seuil : (a) ligne dmission ; (b) trajectoire
dune particule ; (c) champ de vitesse et lignes de courant ; (d) profils de vitesse selon la hauteur.
4.1. QUELQUES LMENTS DE CINMATIQUE 49
coulement non permanent
Pour le mouvement en rgime permanent, les choses sont donc plutt simples, mais elles se
corsent ds quon sintresse des coulements non permanents. Par exemple, examinons le mou-
vement des particules autour dun batteur, qui oscille autour de son axe. Il est assez vite vident que
les lignes dmission ne correspondent plus une seule trajectoire.
La figure 4.3 montre trois trajectoires diffrentes issues dun mme point dmission. Selon la
position du batteur, la particules passera par-dessus ou par-dessous. Cela peut se comprendre assez
aisment en examinant les lignes dmission pour une position donne du batteur [voir figure 4.4(a)],
qui en gnral sont dvies par le batteur. Notons que si au lieu dmettre les bulles en continu, on
les met de faon intermittente, on obtient des lignes dmission discontinues [voir figure 4.4(b)] :
chaque incrment donne une direction de la ligne dmission en un endroit donn. Si lon prend
une image une fraction de seconde aprs, chaque petit incrment se sera dplac. La superposition
des deux images donne le champ de vitesse [voir figure 4.5(b)]. En reliant les vecteurs vitesses, on
peut tracer approximativement les lignes de courant [voir figure 4.5(c)]. Dans lexemple du batteur,
on note qu chaque instant, les lignes de courant et dmission sajustent la position du batteur et
ne concident jamais.
Figure 4.3 : trois trajectoires diffrentes issues du mme point pour trois temps diffrents.
(a) (b)
Figure 4.4 : lignes dmission selon deux techniques (a) mission en continu des bulles, (b) mission par intermittence.
(a) (b)
(c) (d)
Figure 4.5 : construction des lignes de courant : avec un stroboscope on claire pendant un petit laps de temps t les bulles
mises dune srie de points et on filme pendant ce temps-l le petit filet lumineux reflt par les bulles (b). Ce filet donne une
ide du dplacement lmentaire et si on le divise par la dure t, on obtient une srie de vecteurs vitesse en diffrents points
(c). Enfin, on se sert de ce champ de vecteurs pour esquisser la forme des lignes de courant (c et d). Des images prises des
instants diffrents montrent que les lignes de courant varient fortement selon la position du batteur.
4.1.3 Dformation et rotation dun volume de fluide
Principe
On peut montrer quen dehors de la translation, tout mouvement se traduit par une rotation et
une dformation des particules de fluide. Considrons un incrment de longueur AB. La longueur
de cet incrment est petite (on la note dX). Un lment de fluide situ en A linstant t se trouve
linstant t + dt en A et on a AA0 = udt. De mme pour le point B, on a BB0 = (u + du)dt. On tire
A0 B0 = A0 A + AB + BB0 ,
soit encore
dx = A0 B0 = udt + AB + (u + du)dt,
En se servant de la dfinition de la diffrentielle totale : du = u dX (la drive aussi bien dans le

terme de gradient que le terme dX se construisent dans le systme de coordonnes dorigine, donc
ici dX). On en dduit que :
dx = dX + A0 B0 = dX + (u dX)dt.
Cela peut se mettre sous la forme

dx dX
= u dX,
dt
o le membre de gauche peut sinterprter comme une vitesse de dplacement. La grandeur ainsi
introduite u est un tenseur dordre 2 (cest--dire une matrice dans un repre fix), qui peut se
dcomposer de la faon suivante :
u + (u) u t u
u = + ,
2 2
u
A
A
dX dx
B
B u + du
Figure 4.6 : dformation dun incrment de longueur AB.
cest--dire une partie symtrique

u + u
D= ,
2
et une partie anti-symtrique
u u
W= .
2
On peut montrer que :
le tenseur des taux de dformation D reprsente la dilatation et la dformation angulaire subies
par lincrment de longueur AB au cours du mouvement ;
le tenseur W reprsente la vitesse de rotation subie par lincrment de longueur AB au cours
du mouvement. En effet, si on note = 21 u le taux de rotation instantan, alors pour tout
vecteur n on a : W n = n (voir problme no 2). Le vecteur tourbillon ou vorticit est le
vecteur rotationnel du champ de vitesse = u ; on a la relation = /2.
Seule la dformation pure (D) nous intresse pour caractriser la dformation dun fluide car la ro-
tation dun lment fluide namne aucune contrainte effective 1 .
criture matricielle de W et D
Considrons un problme bidimensionnel. Le champ de vitesse scrit alors

u(x, y, t)
u= .
v(x, y, t)
Le gradient de vitesse est donc un tenseur, dont la reprsentation matricielle scrit

u u
x y .
u = v v
x y
On en dduit la matrice des taux de dformation

u 1 v u
+
u + u
x 2 x y
D= =
1 v
,
2 u v
+
2 x y y
1. En effet, on verra que le tenseur des contraintes apparat dans les quations du mouvement sous la forme dune diver-
gence , or la divergence dun terme rotational est nul : W = 0, donc sans effet sur lquation du mouvement car tout
terme fonction linaire de W sannulerait.
tandis que la matrice des taux de rotation est

1 v u
0
u + u 2 x y
W= =
1
.
2 v u
+ 0
2 x y
Lorsquun fluide est incompressible ou lcoulement est isochore, la masse volumique du fluide
est constante ; la conservation de la masse entrane u = 0 (voir 4.3.4). On montre quil existe une
fonction appele fonction de courant (x, y ; t) telle que

u= et v = ,
y x
2 2

de telle sorte que u = yx yx = 0. Le nom fonction de courant a t choisi car les lignes
isovaleurs = cte sont les lignes de courant. En effet, si on diffrentie lquation (x, y) = cte, on

dx + dy = 0,
x y
soit encore
dy v
vdx + udy = 0 y 0 = = ,
dx u
qui est lquation diffrentielle dune ligne de courant (voir exercice no 1).
Un coulement pour lequel 6= 0 est dit rotationnel. Le cas oppos = 0 correspond aux coule-
ments dit irrotationnels. Ces coulements sont trs importants sur le plan thorique car de nombreux
coulements dintrt pratique peuvent tre dcrits comme des coulements irrotationnels ; dans ce
cas l, la description de lcoulement sen trouve considrablement simplifie car si = 21 u = 0,
alors il existe une fonction scalaire (x, y, z ; t) telle que
u = .
On dit alors que le champ de vitesse drive du potentiel , appel potentiel des vitesses. Au lieu de tra-
vailler avec un champ vectoriel, on se ramne un problme scalaire. De plus, lorsque lcoulement
est isochore ou le matriau est incompressible, on a u, donc
u = = 4 = 0.
Le potentiel des vitesses vrifie alors lquation dite de Laplace. Les lignes isopotentielles = cte
forment une famille de courbes orthogonales au rseau des lignes de courant. De plus, lorsque lcou-
lement est irrotationel et plan, on a :
v u 2 2
= + = 0,
x y x2 y 2
donc la fonction de courant vrifie galement lquation de Laplace. Cette proprit remarquable
fait que le potentiel complexe w = + est une fonction holomorphe, ce qui ouvre des possibi-
lits thoriques trs intressantes dans le calcul analytique des caractristiques dcoulement bidi-
mensionnel. Des problmes entiers tels que le mouvement dun fluide autour dune gomtrie com-
plexe telle quune aile davion ont pu tre traits ainsi bien avant lavnement des calculs numriques
(Rhyming, 2004, voir pp. 101192).
Interprtation de D : taux de dilatation et cisaillement
Examinons le tenseur des taux de dformation D. Dans un repre cartsien en dimension 2, on

peut dcomposer D une matrice diagonale et une matrice o les termes diagonaux sont nuls

u 1 v u u
+ 0

x 2 x y =

x 0
D= 1 v v + ,
u v 0
+ 0
2 x y y y
Figure 4.7 : lignes de courant et isopotentielles pour un coulement non visqueux ( = 0) autour dune sphre au repos. Les
courbes sont obtenues en rsolvant lquation de Laplace (Batchelor, 1967, voir 2.9, 6.8).

1 v u
avec = + le taux de cisaillement.
2 x y
Les termes diagonaux reprsentent une dilatation du fluide dans ses directions normales, tandis
que les termes non diagonaux reprsentent une dformation angulaire. Pour sen convaincre, consi-
drons tout dabord le mouvement dun petit carr infinitsimal (voir figure 4.9). Aprs un temps t,
le point B anim de la vitesse u + u/x sloigne du point A bougeant la vitesse u et initialement
distant de dx. La variation de longueur ÀB du segment AB est au bout du petit temps t : u/xt
et la vitesse laquelle cette variation intervient est donc
ÀB u
x = = .
dt x
D
C
v
y
d yd t
C
D
dy
A B B
dx
u
x
d xd t
Figure 4.8 : dilatation sans cisaillement dun carr (en dimension 2).
De mme dans la direction y, le dplacement de D sera

v ÀD v
ÀD = dt ralis la vitesse y = = .
y dt y
Il sensuite que x et y sont les taux de dilatation du fluide dans les directions normales. Un cas
particulier important concerne les fluides incompressibles et les coulement isochores. On a alors
u v
trD = x + y = u = + = 0,
y y
ce qui montre que les taux de dilatation sont opposes : x = y .

\ Aprs un temps dt,
Considrons maintenant les termes hors diagonale. Examinons langle DAB.
le point D aura boug dun angle denviron u/ydt tandis que le point B aura boug dun angle
\ est donc (u/ydt+v/xdt)/2 et la vitesse
denviron v/xdt. La variation moyenne de langle DAB
moyenne de cet angle est appele le taux de cisaillement

1 v u
= + .
2 x y
u
y
d yd t
C
D
D
C
dy
B
v
x
d xd t
A B
dx
Figure 4.9 : cisaillement dun carr (en dimension 2) sans rotation ni dilatation.
Interprtation de W : vitesse de rotation
Considrons un petit lment infinitsimal de forme carre (voir figure 4.10). Ce petit carr subit
une rotation dun angle autour de laxe vertical passant par A. Cela se produit par exemple si la
vitesse selon y en A diffre de celle en B. En effet, si la vitesse en A est (u, v), alors la vitesse en B
(spar de A dune distance dx) est (u + u/xdx, v + v/xdx).
uy d xd t
D C
B
D
v
x
d xd t
A B
Figure 4.10 : rotation sans cisaillement dun carr (en dimension 2) dun angle autour de Az.
Dans le repre attach au point A, les nouvelles coordonnes de B seront aprs un temps dt :
(u/xdxdt, v/xdxdt), cest--dire que le point B subit une rotation dangle (qui est petit)
v
B tan B dt.
x
Cette rotation sest faite une vitesse de rotation
B v
B = = .
dt x
On peut reproduire ce raisonnement avec D distante de dy du point A au temps t. Au temps t + dt, le
point D aura subi une rotation dun angle
u u
D tan D dt la vitesse angulaire D = .
y y
Les axes x et y du carr ont donc subit une rotation la vitesse moyenne

1 1 v u
= (B + D ) = ,
2 2 x y
qui est la composante selon z du vecteur taux de rotation instantane

w v
y
z
1 1 u w

= u= .
2 2 z x
v u

x y
4.2 Quelques lments de dynamique
4.2.1 Types de force
Considrons un volume de contrle V et faisons un bilan des forces. Parmi les forces appliques
au volume de contrle, il faut distinguer les forces :
qui sappliquent au sein du volume (force volumique). Dans le prsent contexte, la seule force
volumique considre est la gravit Fv = mg, m tant la masse de fluide contenu dans le volume
de contrle ;
qui sappliquent la surface du volume de contrle ; on parle de force surfacique (on a vu un
exemple avec la pression dun fluide au repos). On peut crire de faon gnrique que ces forces
agissant la surface du volume de contrle scrivent :
Z
Fs = df ,
S
avec df la force infinitsimale agissant sur un lment infinitsimal dS. Comme il sagit dune
force de surface, on peut crire diffremment lintgrale pour faire apparatre explicitement
llment dintgration dS
Z
df
Fs = dS.
S dS
Ce faisant on fait apparatre le rapport df /dS, que lon va appeler une contrainte et quon notera .
On va montrer quil existe une relation simple entre la contrainte et la normale n la facette dS.
V, S
df
dV dS
g
n
Figure 4.11 : volume de contrle et forces appliques : force de volume, force de surface.
Finalement, la somme des forces appliques au volume de contrle scrit

Z Z
F = Fs + Fv = gdV + dS, (4.1)
V S
avec la contrainte applique sur la facette dS.
4.2.2 Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes
Il faut dfinir un objet appel tenseur des contraintes qui sert calculer les contraintes qui sexercent
sur une surface oriente par le vecteur unitaire n. On dfinit la contrainte sexerant sur un lment
de surface S comme tant la limite des forces f par unit de surface quand S devient petit :
f
= lim .
S0 S
4.2. QUELQUES LMENTS DE DYNAMIQUE 57
En considrant lquilibre dun petit tetradre 2 , Cauchy 3 a montr quil existe un objet , le tenseur
des contraintes, tel que :
= n, (4.2)
cest--dire que la contrainte varie linairement avec la normale n.

Par construction, ce tenseur est symtrique : = . Dans un repre cartsien, le tenseur des
contraintes est donc reprsent par une matrice symtrique. Physiquement, la symtrie du tenseur
des contraintes traduit labsence (suppose) de couple de contraintes lchelle infinitsimale 4 .
Quand on connat le tenseur des contraintes, on peut calculer ltat des contraintes en tout point
de lespace fluide.
f
n
Figure 4.12 : facette infinitsimale et force applique.
La contrainte exerce par le fluide sur une paroi (oriente par la normale extrieure n) est =
n. Dans le cas dun fluide au repos, le tenseur des contraintes concide avec la pression :
= p1,
o 1 est le tenseur unit. On parle de tenseur sphrique ou isotrope car quelle que soit la direction
considre de lespace, la contrainte est identique et gale p.
Lorsque le fluide est perturb, il quitte sa position dquilibre, ce qui modifie son tat de contraintes.
Le tenseur des contraintes est alors crit sous la forme :
= p1 + T,
o T est le tenseur des extra-contraintes ; T traduit lcart lquilibre. Ce tenseur est ncessairement
une fonction des dformations subies par le fluide et plus exactement des vitesses (ou taux) de d-
formation. On verra au chapitre 5 quune relation linaire T et D sous la forme T = 2D ( tant la
viscosit) est la relation la plus simple que lon puisse concevoir et caractrise ce quon va appeler le
comportement newtonien.
4.2.3 Interprtation
Considrons un petit carr de taille infinitsimale et on veut calculer les contraintes sur une fa-
cette 1 (resp. 2) regardant la direction x. Par dfinition, ltat de contraintes est donn par

xx xy 1 xx
=n= = .
xy yy 0 xy
2. Pour une dmontrer, se reporter (Botsis & Deville, 2006, pp. 111114).
3. Augustin Louis Cauchy (17891857) tait un mathmaticien franais. Ses travaux ont galement concern la mcanique
des fluides, notamment son mmoire sur la propagation des ondes la surface dun liquide a constitu une tape importante
du calcul avec des fonctions variable complexe pour la mcanique des fluides. Professeur de mathmatiques la prestigieuse
cole Polytechnique, Cauchy a galement beaucoup travaill enseigner lanalyse de faon plus rigoureuse. Il a redfini les
concepts de fonction, de limite, de continuit, de drive, et dintgrale.
4. Il existe des thories plus labores o la description dynamique repose sur le postulat inverse : lexistence de couples de
contrainte pour tout volume infinitsimale. Ces thories sont appeles thorie des milieux de Cosserat, du second gradient,
des fluides micro-polaires, etc.
La contrainte a donc pour composantes (xx , xy ) :

xx est appele la contrainte normale (dans la direction x). Quand xx > 0, on parle de traction
et inversement quand xx < 0, on parle de compression ;
xy est appele la contrainte de cisaillement.
La contrainte normale xx sur la facette 1 est en gnral diffrente de la contrainte normale yy sur
la facette 2. Quand ces deux contraintes sont gales et que les contraintes de cisaillement sont nulles,
on dit que ltat de contrainte est isotrope. Une fluide au repos connat un tat de contraintes isotrope
en tout point car = p1, avec p la pression hydrostatique.
En revanche, la contrainte de cisaillement xy est identique sur la facette 1 ou 2. Cest une pro-
prit directement lie la symtrie du tenseur des contraintes.
n facette 2
x y

yy
xx
x y
n facette 1
Figure 4.13 : contraintes sur un carr de taille infinitsimale.

4.3. THORMES DE TRANSPORT 59
4.3 Thormes de transport

Ici on va chercher exprimer les principes de conservation (masse, quantit de mouvement, ner-
gie) pour des systmes fluides. On va voir quil existe une multitude de reprsentations possibles du
mme principe :
formulation sur un volume de contrle (formulation dite globale ou intgrale) ou bien pour un
volume infinitsimal (quation dite locale) ;
formulation sur des volumes de contrle ouverts ou ferms.
Cette multitude est au dbut perue par ltudiant comme une complexit supplmentaire de la m-
canique des fluides, mais lusage, elle savre fort pratique car cela permet une meilleure compr-
hension physique et une rsolution plus simple des problmes.
4.3.1 Vue gnrale

Les lois de la mcanique scrivent diffremment selon le type de description choisie, mais elles
expriment les mmes principes. Ces principes sont au nombre de trois :
la masse se conserve ;
la variation de quantit (masse vitesse) est gale la somme des forces appliques 5 ;
lnergie totale se conserve : cest le premier principe de la thermodynamique.
Comme on la vu plus haut, la description lagrangienne est gnralement peu adapte la mca-
nique des fluides compte tenu du grand nombre de particules dans un fluide. Il est donc prfrable
de recourir une description eulrienne, mais cela est au prix dune description mathmatique qui,
au premier abord, peut sembler plus complique. La description eulrienne introduit deux notions-
cls, souvent difficiles apprhender :
la notion de systme ouvert et de volume de contrle ;
la notion de drive matrielle ou particulaire.
Les systmes ouverts sont des ensembles de points contenus dans une enveloppe (la surface de
contrle S) travers laquelle ils peuvent changer avec lextrieur (le fluide environnant ou bien une
paroi) de lnergie, de la matire, etc. Cette surface de contrle peut tre fixe (cest--dire elle ne
varie pas au cours du temps) ou bien bouger une vitesse diffrente ou gale celle du fluide ; sa
forme peut galement constante (cest--dire indformable) ou bien varier.
Exemple. Pour reprendre lexemple prcdent, on peut se placer un nud autoroutier, crer
une surface de contrle fictive, et compter les vhicules qui entrent dans le systme, ceux qui en
sortent, et ceux qui sarrtent sur le bas-ct ou une aire dautoroute. Lvaluation du trafic se fait en
faisant un dcompte de ces diffrentes catgories au cours du temps. u t
Exemple. Une fuse est un systme ouvert puisquelle met des gaz afin de se propulser dans
lespace. u
t
Par opposition, un systme ferm est un systme matriel qui nchange pas avec lextrieur. Il est
en gnral astreint suivre fidlement le mouvement du fluide.
Exemple. Par exemple, reprenons le cas de lautoroute, un vhicule est en quelque sorte un
systme ferm mme sil est en mouvement puisque rien nentre ou ne sort. u t
5. Il existe des formulations alternatives qui expriment la conservation de lnergie cintique. Rappelons que la variation
dnergie cintique (masse carr de la vitesse) est gale la diffrence entre la puissance fournie et la puissance dissipe.
Rappelons que lon peut travailler aussi bien en termes de puissance (force vitesse) ou de travail (force dplacement),
ce sont les mmes concepts ; la seule diffrence est que la puissance reprsente la variation du travail par unit de temps.
Dans la majorit des cas, cette quation de conservation de lnergie cintique est quivalente lquation de la quantit de
mouvement et, dans la rsolution des problmes, il faut choisir lune ou lautre des formulations. Dans certains cas, il ny a pas
une quivalence directe ; on en verra un exemple avec le ressaut hydraulique. Enfin il y a des quantits drives de lnergie
cintique (lnergie cintique fluctuante par exemple en turbulence), qui sont gouvernes par des quations spcifiques.
Exemple. Il serait possible de considrer un turboracteur dun avion comme un systme

ferm si la dfinition du systme englobait les gaz rejets par le racteur, mais cela ne serait pas trs
utile puisque ce qui nous intresse cest lavion et non le centre de masse du systme avion + gaz. Le
plus souvent, pour modliser ce qui se passe dans un racteur, on considre un volume de contrle
ouvert et fix aux parois intrieures du racteur. u t
Figure 4.14 : volume de contrle dans une tuyre dun racteur.
Afin de faciliter la comprhension des quations de transport, on va tout dabord examiner ce

qui se passe pour un milieu idal, qui serait unidimensionnel 6 au 4.3.2. Pour ce cas idal, on va
tout dabord un rappel de calcul intgral pour comprendre comment les quations sont drives. On
va voir trois quations de transport : conservation de la masse, de la quantit de mouvement, et de
lnergie. Au 4.3.3, on va sintresser des problmes quelconques en dimension 2 ou 3 ; tout ce qui
a t dit pour la dimension 1 sera extrapol pour la dimension 2 ou 3.
4.3.2 Thorme de transport en dimension 1

Bases mathmatiques
Rappelons quelques formules classiques danalyse :

drive dune primitive (dfinition dune primitive) :
Z t
d
f ()d = f (t).
dt 0
drive dune primitive avec borne variable :

Z a(t)
d
f ()d = f (a(t))a0 (t).
dt 0
drive dune fonction compose :

Z b Z b
d f (x, t)
f (x, t)dx = dx.
dt a a t
formule de Leibnitz :
Z Z b(t)
d b(t) f (x, t) db da
f (x, t)dx = dx + f (b(t)) f (a(t)) .
dt a(t) a(t) t dt dt
R
Ce rsultat se dmontre simplement en introduisant F = f (x, t)dx la primitive de f par int-
R b(t)
gration par rapport x. On a ainsi : a(t) f (x, t)dx = F (b(t), t) F (a(t), t). En diffrentiant par
rapport t et en se servant de la relation des drives composes ((f g)0 = g 0 f 0 g), on dduit
6. Cette idalisation peut servir tudier des problmes rels, par exemple des pipelines, lorsque la longueur est bien su-
prieure la largeur dcoulement.
la relation de Leibnitz 7 . Notons que lon peut transformer cette quation de telle sorte que tout
le membre de droite soit plac sous le mme signe intgral. Pour cela il suffit de remarquer que
Z b(t)
db da
f (b(t)) f (a(t)) = (f (, t)u(, t))d,
dt dt a(t) x
avec u la vitesse.
A B
x = a( t), u A = a = da/d t x = b( t), u B = b = d b/d t
Figure 4.15 : coulement unidirectionnel et volume de contrle occup par le segment AB.
Conservation de la masse
Considrons un volume de contrle V entre les points A et B, dont la position peut varier en fonc-
tion du temps : xA = a(t) et XB = b(t). La masse M de ce volume est constante, donc si dsigne
la masse par unit de volume (ici une masse linaire puisquon est en dimension 1), on a
dM
= 0,
dt
or par dfinition on a
Z Z b(t)
M= (x, t)dx = (x, t)dx
V a(t)
ce qui donne daprs la formule de Leibnitz

Z b(t)
dM
= (x, t)dx + B b A a = 0.
dt a(t) t
On a introduit A et uA = a la masse volumique et la vitesse au point A (on fait de mme avec le point
Rb
B). En se servant de lidentit a f /xdx = f (b) b(a), on peut transformer cette galit en
Z b(t)
dM
= (x, t) + (u) dx = 0,
dt a(t) t x
ce qui permet de tout passer sous le signe intgral. Lintgrale est nulle si lintgrand est nul, soit

+ (u) = 0. (4.3)
t x
Cette quation est appele forme locale de la conservation de la masse ou quation de continuit. Un
cas particulier important est le cas du fluide incompressible pour lequel on a = cste, soit
u
(u) = 0 = 0.
x x
7. Gottfried Wilhelm von Leibniz (16461716) tait un philosophe, scientifique, mathmaticien, diplomate, et juriste alle-
mand. Il a jet les bases du calcul intgral et diffrentiel. Il a galement eu un rle important en mcanique en nonant le
principe de laction et de la raction et celui des forces vives (nergie cintique).
Thorme de Reynolds
De cette quation, on peut galement montrer un thorme dit de Reynolds, qui permet din-
tervertir les oprateurs intgration et drivation temporelle lorsque lintgrand scrit sous la forme
f , avec f une fonction quelconque. Considrons en effet une quantit macroscopique (cest--dire
dfinie sur le volume de contrle)
Z Z b
I(t) = f (x, t)dx = f (x, t)dx,
V a
avec a et b des bornes pouvant prendre des valeurs quelconques, et diffrentions la par rapport t
Z Z b
dI d b f
= (x, t)f (x, t)dx = dx + B f (b, t)uB A f (a, t)uA ,
dt dt a a t
Z b
f f u
= + dx,
a t x
Z b
f u f
= f + +f + u dx.
a t t x x
En regroupant les termes en , puis en se servant de lquation de continuit (4.3), on transforme

cette dernire quation
Z
dI d b u f u f
= f + +f + u dx,
dt dt a x t x x
Z b
f f
= + u dx,
a t x
Z b
df
= dx,
a dt
avec df /dt = f /t + uf /x la drive matrielle (puisque f est une fonction de x et t), ce qui
permet daboutir lgalit suivante, appele thorme de Reynolds
Z b Z b
d d
(x, t)f (x, t)dx = (x, t) f (x, t)dx. (4.4)
dt a a dt
On prendra garde ici que le terme d/dt dans le membre de gauche porte sur une fonction qui ne
dpend que du temps t cest donc une drive classique 8 alors que dans le second membre,
il porte sur une fonction deux variables f (x, t), donc il signifie une drive matrielle : df /dt =
f /t + uf /x.
Conservation de la quantit de mouvement ; quation dEuler
Lapplication de ce thorme de Reynolds nous permet dtablir la conservation de la quantit de

mouvement et de lnergie cintique, dont une forme parmi les plus intressantes sera le thorme
de Bernoulli. Par dfinition, la quantit de mouvement dun volume de contrle (unidimensionnel)
est Z Z b
Q= (x, t)u(x, t)dx = udx,
V a
et le principe de Newton ou principe fondamental de la mcanique nous enseigne que la variation

de quantit de mouvement rsulte des forces appliques au volume, soit
dQ
= forces appliques.
dt
8. On a notamment df /dt = f /t.
Admettons ici que les seules forces appliques au systme soient la force de gravit (et supposons
que le sens de la gravit soit dans le sens des x) et la force de pression sur le pourtour du domaine (ici
en dimension 1, ce pourtour se rsume aux points A et B), alors on a
dQ
= gV + pA pB ,
dt
avec pA et pB la pression exerce sur le volume de contrle par le fluideRenvironnant (sur les points A
et B), V = b a le volume de V, et la masse volumique moyenne ( = V dx/V ). On a donc daprs
le thorme de Reynolds

Z b Z b
dQ du u u
= dx = + u = gV + pA pB .
dt a dt
a t
|{z} x
| {z }
acclration locale acclration convective
On peut transformer le membre de droite de telle sorte quil puisse tre interprt comme une int-
grale
Z b
p
gV + pA pB = g dx,
a x
do Z b Z b
du p
dx = g dx,
a dt a x
ce qui impose que localement, on doive avoir
du u u p
= + u = g . (4.5)
dt t x x
Rappelons que cette formule nest valable quen dimension 1 et en labsence de frottement visqueux.
Une telle quation de conservation de la quantit de mouvement couple lquation de continuit
est appele quation dEuler ou bien quation du mouvement pour les fluides parfaits (appels en-
core fluides non visqueux ). Cest la relation de la quantit de mouvement la plus simple que lon
puisse imaginer et malgr sa simplicit, elle permet de rsoudre un grand nombre de cas concrets
dintrt pratique.
Conservation de lnergie cintique ; quation de Bernoulli
Toujours par application du thorme de Reynolds, on peut dduire le thorme de conservation

de lnergie cintique et sa forme drive dite thorme/quation de Bernoulli Appelons k = u2 /2
lnergie cintique locale et K lnergie cintique macroscopique. Daprs le thorme de Reynolds,
on a Z Z b
1
K= (x, t)u2 (x, t)dx = k(x, t)dx.
V 2 a
Le principe de conservation de lnergie cintique snonce
Z b
dK 1 d 2
= u (x, t)dx = puissance des forces appliques,
dt a 2 dt
= gV uG + pA uA uB pB ,
car la puissance des forces appliques est gale au produit desR forces et des vitesses au point dappli-
cation. Ici, uG dsigne la vitesse au centre de gravit (uG = V udx/V ou moyenne massique de la
vitesse). Comme prcdemment, on peut transformer le membre de droite en un terme intgral
Z
pu
gV uG + pA uA uB pB = gu dx,
V x
Z
pu
= u dx,
V x x
Z
u
= u ( + p) p dx,
V x x
o dsigne le potentiel gravitaire, cest--dire lnergie potentielle dont drive la force de gravit :
g = /x, avec ici = gx. On arrive
Z b
dK d
= k(x, t)dx
dt a dt
Z
u
= u ( + p) p dx,
V x x
puis aprs quelques manipulations algbriques et en utilisant lquation de continuit (4.3), on ob-
tient
Z b
dK u2 /2 u2 /2
= + u dx,
dt a t x
Z b
k uk
= + dx,
a t x
qui aurait pu tre obtenu plus directement en appliquant directement la formule de Leibnitz. On en
dduit la formule macroscopique de conservation de lnergie cintique
Z b Z
k k u
+u dx = u ( + p) p dx,
a t x V x x
ainsi que la forme locale

k u
+ u (k + + p) + (k + p) = 0. (4.6)
t x x
Cette formule peut considrablement se simplifier quand
lcoulement est incompressible = cste u/x = 0 daprs lquation de continuit (4.3) ;
lcoulement est permanent : les drives temporelles disparaissent. On a ainsi k/t = 0.
On aboutit alors

(k + + p) = 0,
x
soit
k + + p = cste. (4.7)
La somme de lnergie cintique k, du potentiel gravitaire (ou nergie potentielle) , et de la pression
p doit rester constante. Cette relation est appele quation de Bernoulli. Elle est remarquable car il
sagit dune relation purement scalaire, sans oprateur intgral ou diffrentiel, ce qui la rend trs
facile demploi.
4.3.3 Gnralisation et thorme de Reynolds

La formule de Leibnitz se gnralise des intgrales multiples (cest--dire sur des volumes au lieu
dintgrales sur des intervalles). On obtient la relation suivante appele thorme de transport :
Z Z Z
d f
f dV = dV + f u ndS, (4.8)
dt V V t S
o V est un volume de contrle contenant une certaine masse de fluide, S est la surface enveloppant
ce volume, et n est la normale la surface S ; la normale n est unitaire (|n| = 1) et oriente vers
lextrieur. Cette relation crite ici pour une fonction scalaire f stend sans problme des vecteurs
f quelconques.
La relation (4.8) est fondamentale car elle permet dobtenir toutes les quations fondamentales
de la mcanique. Elle veut sinterprter de la faon suivante :
La variation temporelle dune quantit f dfinie sur un volume de contrle V est gale la
somme de :
la variation de f au cours du temps au sein du volume de contrle (variation dite
locale) ;
le flux de f travers la surface S enveloppant le volume de contrle (flux = ce qui
entre ce qui sort de V ).
Le thorme de transport peut galement scrire sous la variante suivante (en se servant du tho-
rme de Green-Ostrogradski) :
Z Z
d f
f dV = + (f u) dV
dt V V t
Attention la notion de volume de contrle matriel : cest un volume fluide, ses frontires
sont fluides et se dplacent comme le reste du fluide ; la vitesse u la frontire S concident avec la
vitesse locale du fluide. Sil en est autrement, on parle de volume (de contrle) arbitraire et la vitesse
u la frontire S ne correspond pas celle du fluide. Par exemple si on prend un volume arbitraire V
fixe au cours du temps alors u = 0 le long de S et
Z Z
d f
f dV = dV.
dt V V t
Un corollaire importante du thorme de transport est le thorme de Reynolds 9 qui sap-

plique des fonctions f massiques, cest--dire que lon peut crire sous la forme f , avec la masse
volumique du fluide.
Z Z
d d
f dV = f dV. (4.9)
dt V V dt
La dmonstration est relativement simple :

Z Z Z
d f f
f dV = + (f u) dV = + uf + f + f (u) dV
dt V V t V t t
Compte tenu de lquation de continuit [voir q. (10.3) ci-dessous] et en identifiant la forme df /dt =
f /t + u f , on tire le thorme de Reynolds.
4.3.4 Conservation de la masse

On applique le thorme de transport (4.8) la fonction scalaire f = . On dduit :
Z Z Z
d (x, t)
dV = dV + u ndS,
dt V V t S
avec V un volume matriel et S la surface enveloppant ce volume. En utilisant le thorme de la

divergence (Green-Ostrogradski), on tire :
Z Z
d (x, t)
dV = + (u). dV
dt V V t
On a gal la drive de la masse avec 0 car dans la plupart des cas, la masse se conserve au cours du
temps sil ny a pas de cration de masse ou de perte au sein dun volume matriel. De plus, si est
continue (pas donde de choc par exemple), alors on peut crire
(x, t)
+ u = 0. (4.10)
t
9. Osborne Reynolds (18421912) tait un mcanicien britannique, dont le nom est associ au nombre sans dimension qui
sert dpartager les coulements laminaires et turbulents. Exprimentateur et thoricien, Reynolds a tudi les quations de
Navier-Stokes et a propos de nombreux dveloppements thoriques (thorie de la lubrification, dcomposition des vitesses,
et moyenne des quations de Navier-Stokes.
Cette quation sappelle lquation de conservation locale de la masse ou bien encore quation de
continuit. On peut encore lcrire :
1 d
= u.
dt
Si le fluide est incompressible ou lcoulement isochore : = constante, donc lquation de conti-
nuit devient :
u = 0.
Cest lquation dont on se servira le plus dans la suite de ce cours. crite sous forme algbrique, cette
quation scrit en dimension 2 :
u v
u= + = 0,
x y
et en dimension 3
u v w
u= + + = 0,
x y z
avec u = (u, v, w) le champ de vitesse.
4.3.5 Conservation de la quantit de mouvement

Formulation macroscopique
On applique le thorme de transport (4.8) la fonction vectorielle reprsentant la quantit de

mouvement locale f = u :
Z Z Z
d u
udV = dV + u(u n)dS.
dt V V t S
Il existe dautres variantes permettant dexprimer la drive matrielle de u. En utilisant le thorme

de la divergence, on tire : Z Z
d u
udV = + uu dV,
dt V V t
ou bien en servant en plus de lquation de continuit
Z Z
d u
udV = + uu dV.
dt V V t
Attention dans ces deux quations uu reprsente une matrice : il sagit dun produit tensoriel de
deux vecteurs. De manire gnrale, le produit tensoriel de deux vecteurs a et b scrit ab et pour tout
vecteur c, on a (ab)c = (b c)a.
Le principe fondamental de la dynamique veut que toute variation (temporelle) de quantit de

mouvement rsulte de lapplication de forces. Donc, on peut crire une relation gnrale de la forme
Z
d
udV = forces appliques au volume V.
dt V
Daprs la relation (4.1), les forces appliques comprennent les forces de volume (poids) et les
forces de surface agissant la surface du volume. Il sensuit que la forme macroscopique complte
des quations de conservation de la quantit de mouvement scrit :
Z Z
d
udV = mg + dS ,
dt V |{z}
| S {z }
poids
force de surface
Z Z
= gdS + ndS
V V
o = n dsigne la contrainte, le tenseur des contraintes. On rappelle que le tenseur des

contraintes se dcompose en tenseur des pressions p1 et un tenseur des extra-contraintes T : =
p1 + T. Le tenseur T dpend de la nature du fluide tudi ou du niveau dapproximation :
T = 0 correspond au cas des fluides parfaits (ou non visqueux) et les quations du mouvement
qui en rsultent sont appeles quations dEuler ;
T = 2D correspond au cas des fluides newtoniens et les quations du mouvement qui en
rsultent sont appeles quations de Navier-Stokes. Elles sont examines en dtail au chapitre 5 ;
T = F(D) correspond au cas des fluides non newtoniens, avec F la loi de comportement du
fluide. Les quations du mouvement rsultantes sont appeles quations de Cauchy 10
Formulation locale
Une application du thorme de Green-Ostrogradski permet daboutir la formulation locale des

quations de la quantit de mouvement :

du u
= + uu = g + = g p + T, (4.11)
dt t
car (p1) = p (1) + 1 p = p. Comme prcdemment on a suppos pour passer de la formula-

tion macroscopique la forme locale que les diffrents champs (vitesse et masse volumique) taient
continus. Lquation locale nest pas valable pour une onde de choc ou bien un ressaut hydraulique ;
il faut appliquer
soit les formulations intgrales de la conservation de quantit de mouvement pour viter davoir
traiter la discontinuit ;
soit ajouter des conditions supplmentaires qui viennent complter les quations locales qui
restent valables de part et dautre de la discontinuit. De telles relations sont appeles relations
de Rankine-Hugoniot ou bien conditions de choc.
Exemple. Voir le cours dhydraulique pour des applications. u

t
On peut encore crire cette quation sous une forme raccourcie :
du
= p + T,
dt
o lon associe le terme gravitaire g au terme du gradient de pression et, ce faisant, on a introduit
la pression gnralise p = p + et le potentiel gravitaire tel que g = . Cette formulation
sera par exemple utilise en hydraulique en charge pour traiter les effets de la gravit en termes de
pression gnralise.
Les quations locales peuvent scrire :
u
+ (uu) = g p + T, (4.12)
t
ou bien :
u
+ uu = g p + T, (4.13)
t
Cette dernire quation est la plus employe. La principale diffrence est lie la place de la masse
volumique . Si lcoulement est isochore ou le matriau incompressible, ces deux quations sont tri-
vialement obtenues puisque est constante. Lquation (4.13) ou ses variantes sappelle lquation de
conservation de la quantit de mouvement ou bien lquation de Newton ou bien encore lquation
fondamentale de la dynamique. Le cas particulier o T = 0 correspond aux quations dEuler, qui
comme on la prcis plus haut, constituent le jeu dquations du mouvement le plus simple quon
10. Il ny a pas de consensus sur lappellation de cette quation dans la littrature technique.
puisse imaginer et qui permettent de rsoudre un grand nombre de problmes pratiques en ingnie-
rie (dynamique des gaz, coulements grande vitesse, etc.) :
u
+ uu = g p, (4.14)
t
En dimension 2, lquation de conservation (4.13) peut tre projete de la faon suivante dans un
repre cartsien
u u u p Txx Txy
+ u + v = gx + + ,
t x x x x y
v v v p Txy Tyy
+ u + v = gy + + ,
t x x y x y
avec u = (u, v) les composantes du vecteur vitesse, (gx , gy ) composantes du vecteur gravit.
Attention la notation uu. Cela ne signifie pas le produit entre le vecteur u et le tenseur (ma-
trice) u. En fait, en toute rigueur, il faudrait crire : (u)u, les parenthses servant indiquer que
loprateur diffrentiel u est appliqu au vecteur u.
Une autre formulation vectorielle de lquation de conservation de quantit de mouvement est
obtenue en faisant remarquer que u peut scrire uu = |u|2 /2 + ( u) u. On a alors :
u 1
+ |u|2 + ( u) u = g p + T,
t 2
u 1
+ |u|2 + u = g p + T,
t 2
avec = u la vorticit. Cette quation est parfois appele quation de Gromeka-Lamb. Elle est
utile quand on veut tudier la vorticit du fluide, cest--dire les tourbillons et structures similaires
qui se crent dans un fluide. Cette notion ne sera pas utilise ici, mais lquation de Gromeka-Lamb
nous sera utile dans le cours dhydraulique quand on calculera des coulements deau sur une pro-
tubrance du lit.
Interprtation du terme de divergence des contraintes
On peut interprter le termes p + T qui apparat dans lquation de conservation de la

quantit de mouvement (4.13) en considrant un volume infinitsimal, ce qui permet notamment
dexpliquer pourquoi les contraintes apparaissent sous la forme dune divergence. Le raisonnement
est classique et a dj t appliqu au 1.2.2 pour expliquer le sens physique de loprateur diver-
gence. Tout dabord, il faut se demander quelles sont les forces appliques un volume de contrle
infinitsimal, dont le volume (il sagit dune surface) par unit de largeur dxdy (voir figure 4.16).
force de volume : action de la pesanteur g ;
forces la surface du volume de contrle : elles sont calcules laide de .
Considrons un repre cartsien en dimension 2. La reprsentation de dans ce repre est don-
ne par la matrice symtrique :
xx xy
= .
xy yy
Les contraintes sur la face oriente par la normale n = (1, 0) sont :

xx
1 = n = .
xy
tandis que sur la facette oppose oriente par la normale n = (1, 0)

xx +
x dx
xx
1 = n = xy .
xy + x dx
Figure 4.16 : projection de la relation dquilibre des contraintes sur un volume lmentaire.
On fait de mme pour les normales orientes par n = (0, 1) et n = (0, 1). La projection des efforts
sur laxe x scrit donc (contrainte surface par unit de largeur) :

xx xy xx xy
xx + xx + dx dy + xy + xy + dy dx = + dxdy.
x y x y
De mme, sur laxe y, on trouve que la projection des efforts sexprime comme :

xy yy
+ dxdy.
x y
Ces petits calculs montrent que les efforts exercs sur la surface de contrle dun volume infinitsimal
peuvent se calculer de faon gnrique laide de lexpression .
4.3.6 Conservation de lnergie

Premier principe de la thermodynamique
Le premier principe de la thermodynamique nonce que lnergie totale E, varie cause du travail
des forces extrieures et du flux de chaleur
E = W + Q,
avec E la variation dnergie totale, cest--dire lintgrale sur le volume de contrle de lnergie
cintique k et lnergie interne e (e tant lnergie interne massique), W le travail des forces ext-
rieures au sein du volume de contrle, Q le flux de chaleur travers la surface de contrle S. Au lieu
de parler en termes de travail, on peut parler en termes de puissance puisque si lon divise lquation
prcdente par un petit incrment de temps t
E W Q
= ,
t t t
et en faisant tendre t vers 0, on obtient
Z Z Z Z
d
(k + e)dV = g udV + udS jQ ndS ,
dt
| V {z } |V {z S } | S {z }
taux de variation de lnergie totale E W Q
avec jQ le flux de chaleur (voir 1.2.1), W le taux de variation du travail (ou puissance) des forces
extrieures, Q le flux de chaleur qui passe par unit de temps travers la surface S, et 0 la contrainte
exerce par le milieu extrieur sur le volume de contrle sur une facette dS oriente par n.
Examinons maintenant de plus prs la puissance des forces extrieures. Cette puissance com-
prend des termes positifs (puissance fournie au volume de contrle) et ngatifs (puissance dissipe
au sein du volume ou aux frontires). La puissance fournie au volume comprend gnralement la

puissance apporte par la force de gravit et les forces de pression (ce nest pas une rgle absolue)
tandis que la dissipation dnergie rsulte gnralement des extra-contraintes (dissipation visqueuse
dans le cas dun fluide newtonien). Comme prcdemment pour les contraintes, il est plus sage de
faire une dcomposition entre puissances dues des forces de volumes et puissances dues des
forces de surface sans se soucier du signe de ces contributions :
W = puissance fournie au volume V + puissance dissipe aux frontires et dans V,
Z Z
= g udV + udS,
V S
Par dfinition de la contrainte via le tenseur des contraintes (voir 4.2.2), on a

= n = (p1 + T) n = pn + T n,
ce qui permet dcrire
Z Z
W = g udV + u (pn + T n) dS,
ZV ZS
= g udV + (pu + T u) ndS, (4.15)
V S
car T est symtrique. La formulation macroscopique du premier principe de la thermodynamique

est donc le suivant
Z Z Z
d
(k + e)dV = g udV + (pu + T u jQ ) ndS. (4.16)
dt V V S
On souhaite disposer dune formulation locale de ce principe. Ltape suivante consiste donc crire
les intgrale de surface apparaissant dans le membre de droite de lquation (4.16) sous forme din-
tgrales de volumes. lapplication du thorme de Green-Ostrogradski fournit immdiatement
Z Z
(pu + T u jQ ) ndS = (pu + T u jQ ) dV.
S V
En substituant cette dernire relation dans lquation (4.16), on arrive finalement lquation locale
de conservation de lnergie totale
d
(k + e) = g u + (pu + T u jQ ) . (4.17)
dt
Conservation de lnergie cintique
Il est possible dobtenir une relation locale pour le taux de variation de lnergie cintique en
multipliant lquation de conservation de la quantit de mouvement (4.13) par la vitesse u
u
u + u (uu) = u g u p + u T,
t
et de l, en remplaant les termes de la forme uu par |u|2 /2, on arrive
1 |u|2
+ u (|u|2 ) = u g u p + u T.
2 t 2
En se servant de lquation de continuit (10.3) et de lidentit 2 (ku) = |u|2 (u) + u |u|2 ,
on peut transformer cette quation et obtenir une drive matrielle de lnergie cintique locale
dk k
= + (ku) = u g u p + u T. (4.18)
dt t
Cette quation est appele quation de conservation de lnergie cintique. Dans cette quation, le
terme u g reprsente la puissance de la force de gravit, u p la puissance des forces de pression,
et u T la puissance des extra-contraintes (dissipation dnergie).
Fonction de dissipation
En comparant les quations (4.18) et (4.17), on note certaines similitudes dans les termes ap-
paraissant dans le membre de droite, similitudes que lon va exploiter pour fournir diffrentes ex-
pressions des nergies cintique et interne. Pour cela, on va se livrer quelques manipulations alg-
briques. Tout dabord, en servant des proprits de composition de loprateur divergence, on peut
crire :
(T u) = u T + T : u.
Compte tenu de la symtrie de T, on a la relation T : u = D : T 11 . En effet, on a vu au 4.1.3
que le tenseur gradient de vitesse se dcompose en une partie symtrique (le tenseur des taux de
dformation D) et une partie antisymtrique (le tenseur des taux de rotation W)
u = D + W.
On montre ensuite que la trace du produit de tout tenseur symtrique S et de tout tenseur antisym-
trique A est nulle car une proprit de loprateur trace est son invariance quand il est compos avec
lopration de transposition. Pour tout tenseur M, on a tr(M ) = tr(M). Si on applique cette rgle au
produit M = A S
tr[(A S)] = tr[S A ],

= tr[S (A)],
= tr[S A],
car S = S, mais A = A. Comme par ailleurs loprateur trace ne dpend pas de lordre dans lequel
on fait le produit S A (S : A = A : S), on a dans le mme temps
tr[(A S)] = tr[S A],

= tr[A S].
Si on compare les quations ci-dessus, on aboutit tr[A S] = tr[A S], donc ncessairement
tr[A S] = 0. On en dduit donc que
T : u = T : (D + W) = T : D.
La quantit = tr(T D) = T : D sappelle la fonction de dissipation et reprsente la puissance

dissipe par les extra-contraintes T.
On crit finalement
(T u) = u T + .
Avec cette relation en main et en retranchant membre membre les quations (4.18) et (4.17), on
dduit
d
e = p u + jQ . (4.19)
dt
Cela montre que dans le cas gnral, lnergie interne du volume de contrle varie au cours du temps
sous leffet
de la puissance dissipe par les extra-contraintes (visqueuses dans le cas newtonien) ;
de la puissance dissipe ou fournie par la dilatation/compression du matriau pu = p(d/dt)/
[daprs lquation de continuit (10.3)] ;
de la puissance colorifique jQ .
On appelle cette quation lquation de conservation de lnergie interne. Elle sinterprte ainsi : lo-
calement, lnergie cintiquek varie au cours du temps sous leffet de transport du paramtre la
vitesse u, dapport/dissipation aux frontires du domaine, et de la dissipation volumique .
11. Rappelons la signification du symbole : . Il sagit de la notation abrge de loprateur trace : tr(A S) = A : S. On
lappelle galement produit doublement contract. Voir 1.2.2.
Un cas particulier important est celui des fluides incompressibles ( = cte) dans un coulement
isotherme (jQ = 0). Dans ce cas prcis, lquation de lnergie interne se simplifie grandement
d
e = .
dt
Cela montre que lnergie interne est dissipe via les extra-contraintes. Ce cas particulier se rencontre
trs frquemment en pratique puisque la plupart des coulements dintrt pratique sont isochores
et isothermes. La fonction de dissipation = T : D nous renseigne alors compltement sur la faon
dont le systme dissipe son nergie.
quation gnrale de Bernoulli
Une autre formulation intressante est obtenue par manipulation de lquation de conservation
de lnergie cintique (4.18) dans le cas o on peut considrer le fluide comme incompressible :
est une constante. On note = gz le potentiel gravitaire (g = ) et p = p + la pression
gnralise. On tire donc que : g p = p . On peut donc crire du fait de lincompressibilit
dk k
= + (ku)
dt t
k |u|2
= + u .
t 2
De mme, on peut crire
u g u p + u T = u p + (u T).
Avec ces relations en main, on crit lquation de conservation de lnergie cintique (4.18) sous la
forme
k |u|2
+ (u T) = + u + u p ,
t 2
k
= + u (k + + p) . (4.20)
t
Cette quation sinterprte ainsi :
reprsente lnergie dissipe par unit de volume ;
(uT) reprsente lnergie dissipe ou produite aux frontires du domaine. Pour sen convaincre,
il suffit dintgrer ce terme sur V, puis dutiliser le thorme de Green-Ostrogradski ;
k/t est la variation locale dnergie cintique ;
u (k + + p) reprsente le transport ou advection dune quantit = k + + p qui est la
somme de lnergie cintique k, de lnergie potentielle , et de la pression p.
Rappelons que, comme en mcanique du point ou du solide, le thorme de lnergie est une re-
prsentation alternative de la relation fondamentale de la dynamique. Pour un problme rgulier, on
peut employer lune ou lautre, cest--dire les relations (4.13) ou (4.18) ; le choix de lune ou de lautre
tient le plus souvent la rapidit du calcul ou bien la commodit du raisonnement, mais quel que
soit le choix opr, le rsultat final est identique. Dans certains problmes plus complexes, on ne peut
en pratique utiliser quune ou lautre des formes. Par exemple, dans ltude des chocs ou des ressauts
hydrauliques, il faut travailler avec des quations macroscopiques (sur des volumes de contrle) car
les champs peuvent tre localement discontinus ; en outre, on ne peut pas utiliser facilement lqua-
tion de lnergie cause de dissipation localise de lnergie au niveau de la discontinuit. Dans ce
cas-l, seule lquation de la quantit de mouvement doit tre utilise.
Un cas particulier important est le cas dun coulement permanent dun fluide non visqueux.
Dans ce cas-l, on a
coulement permanent k/t = 0 ;
viscosit nulle T = 0 et = 0.
Sous ces conditions, lquation (4.20) devient
u (k + + p) = 0,
ce qui veut dire que u est normal au vecteur en tout point, or daprs linterprtation gomtrique
de loprateur gradient (voir 1.2.1), est un vecteur normal aux surfaces isopotentielles = cte,
donc u doit tre tangent ces surfaces isopotentielles. Au 4.1.2, nous avons vu que le lieu des points
o le vecteur vitesse est tangent est appele une ligne (resp. une surface) de courant. Il sensuit que
le long dune ligne de courant, la quantit est constante.
En rsum, le thorme de Bernoulli nonce que si
lcoulement est permanent,
lcoulement est isochore ou bien le matriau incompressible,
les dissipations dnergie sont ngligeables,
alors le long de toute ligne de courant, la quantit = k + + p se conserve. Dans le cas frquent o
lnergie potentielle scrit = gz, alors on
u2
= gz + + p = cte, (4.21)
2
avec u = |u|.
Ce thorme est remarquable car il sagit dune relation purement algbrique (pas de diffren-
tielle ou dintgration) qui permet de relier vitesse, pression, et position du fluide. Ce thorme a
de nombreuses applications. Il est trs apprci des ingnieurs (et des tudiants) pour rsoudre ra-
pidement des problmes pratiques. Toutefois, dans bien des cas pratiques, on ne peut pas ngliger
la dissipation dnergie et il faut alors utiliser des formules plus complexes que lquation de Ber-
noulli (4.21). Le cours dhydraulique en charge donnera des exemples dadaptation de lquation de
Bernoulli pour des conduits de grande longueur.
4.3.7 Quelques applications du thorme de Bernoulli
Exemple. La formule de Toricelli 12 permet de calculer la vitesse de vidange dun rcipient

contenant une hauteur h dun liquide (de masse volumique ). Cette formule stablit facilement
laide de lquation de Bernoulli.
Considrons une ligne de courant entre un point A la surface libre du liquide dans le rcipient
et un point B au niveau de lorifice. On suppose que la pression atmosphrique pa sapplique ces
deux points (le gaz contenu dans le rservoir nest pas sous pression). Daprs lquation (4.21), on a
2
vA v2
gzA + + pA = gzB + B + pA ,
2 2
avec zA et zB la position de A et B, vA et vB les vitesses en A et B, et pA et pB la pression aux points A et

B. Si le diamtre du rservoir est suffisamment grand par rapport au diamtre de lorifice, la vidange
est lente et, dans un premier temps, on peut supposer que lcoulement est permanent ; de plus, la
vitesse en A doit alors tre trs faible, donc on pose vA 0. De plus on a pA = pB = pa et zA = zB + h,
ce qui permet de simplifier lquation ci-dessus
2
vB p
gh = vB = 2gh.
2
12. Evangelista Torricelli (16081647) tait un physicien et mathmaticien italien, contemporain de Galile. Il est principa-
lement connu pour linvention du baromtre et la formule qui porte aujourdhui son nom. Il a galement travaill sur des
problmes de gomtrie et doptique.
74

A
CHAPITRE 4. LES QUATIONS DE BILAN
Figure 4.17 : vidange dun rservoir.
a u
B
A
h
O
Figure 4.18 : propagation dun front vitesse constante.
Exemple. La formule de von Krmn 13 permet de calculer la vitesse du front dun fluide lourd
dans un fluide plus lger. Ce problme a t rsolu par von Krmn au moment de la seconde guerre
mondiale, quand les Allis lui demandaient de calculer la vitesse de propagation dun gaz toxique
dans latmosphre. Cette formule a de nombreuses applications en mtorologie (avancement dun
front froid), en ocanographie (propagation dun courant de turbidit), et dans les problmes de m-
lange.
On considre lintrusion dun fluide lourd de masse volumique dans un fluide ambiant, plus
lger (a < ), au repos, et faiblement visqueux de telle sorte quon nglige la dissipation dnergie.
On souhaite calculer la vitesse du front (u) en fonction de sa hauteur et des masses volumiques.
Pour cela, von Krmn admet que la vitesse du front est constante. Il se place dans le repre at-
tach au front. Dans ce repre, le front est fixe et cest le fluide ambiant qui en mouvement avec une
vitesse u. Comme lcoulement est permanent, la ligne de la surface libre est galement une ligne
de courant et on peut appliquer le thorme de Bernoulli entre un point B situ linterface entre
fluides lourd et lger (B est dans le fluide ambiant) et le point O situ au front (point fixe situ la fois
dans le fluide lourd et dans le fluide ambiant)
1
PB + a (u)2 + a gh = P0 + 0 + 0.
2
Il considre aussi un point A situ juste sous linterface (A est dans le fluide lourd). Puisque dans
le repre attach au front, le fluide lourd est au repos, la loi de lhydrostatique sapplique et on a
notamment P0 = PA +gh. Si on prend maintenant A et B infiniment voisins, la diffrence de pression
13. Theodore von Krmn (18811963) a t lun des plus grands mcaniciens des fluides du XXe sicle. N en Hongrie (alors
province de lEmpire Austro-Hongrois), il migra par la suite en Allemagne, puis aux tats-Unis. Ses travaux portrent essen-
tiellement sur la couche limite logarithmique, les instabilits derrire les obstacles (les fameuses alles de von Krmn), les
coulements supersoniques, etc. Comme Thomson et Reynolds avant lui, il a t aussi un exemple de mcanicien, avec des
intrts tout la fois sur les points fondamentaux de la mcanique et les applications (principalement militaires).

A B
Figure 4.19 : tube de Pitot.
(en labsence deffet de tension de surface) doit tre nulle : PA = PB , do

r
a
u= 2 gh,
a
ou encore
u
0 = 2,
gh

avec g 0 = (a )/a la gravit rduite. La dernire quation montre que le nombre de Froude u/ g 0 h
est constant au front. Exprimentalement, cette formule donne de bons rsultats, mais il faut souvent
ajouter un facteur correctif car on travaille avec des fluides ambiants qui ne sont pas infiniment pais.
Exemple. Le tube Pitot 14 sert mesurer la vitesse locale dun fluide en le reliant la diffrence
de pression dun manomtre liquide.
Lide est la suivante : on considre un coulement et on plonge un tube Pitot de telle sorte quil
soit parallle aux lignes de courant. son embouchure, le fluide peut pntrer. Une fois quil a occup
tout lespace disponible au sein du tube, il ny a plus de fluide qui entre et la vitesse au point B,
embouchure du tube, est donc nulle. On lappelle un point darrt de la ligne de courant.
Considrons une ligne de courant AB. En A, on a p = PA (par exemple une pression hydrostique),
v = vA = v , et z = zA . En B, on a p = pB , uB = 0, et z = zA = zB . Le thorme de Bernoulli donne
donc
1 2 1 2
pA + vA + gzA = pB + vB + gzB
2 2
= pB + gzA ,
do p
v = 2(pB pA ).
Comme la diffrence de pression pB pA peut tre dtermine si on utilise un manomtre (tube en
U), on peut dduire la vitesse v .
14. Henri Pitot (16951771) tait un hydraulicien franais. Il fut nomm surintendant du Canal du Midi et construisit un
aqueduc pour lalimentation en eau de Montpellier. Afin de pouvoir mesurer les vitesses de leau dans les rivires et canaux, il
inventa un appareil qui porta aujourdhui son nom.

1. Comment dfinissez-vous la trajectoire dune particule? Comment calculer la trajectoire dune
particule dans une description lagrangienne du mouvement? Si lon suppose que lon est en r-
gime permanent, montrer que la trajectoire des particules dans une reprsentation eulrienne
du mouvement vrifie lquation diffrentielle :
dx dy
= ,
u(x, y) v(x, y)
o (u, v) reprsente le champ de vitesse en un point (x, y).
Rponse : la trajectoire dune particule est la courbe dcrite par la particule au cours de son
mouvement, donc si x = r(t) avec x la position et r(t) une fonction du temps, alors la courbe
{r(t), t > 0} est la trajectoire. En rgime permanent la trajectoire concide avec la ligne de cou-
rant. Une ligne de courant est tangent en tous ses points au champ de vitesse, donc si y = f (x)
est lquation cartsienne dune ligne de courant, on doit avoir t, vecteur tangente de la ligne de
courant, qui est collinaire au vecteur vitesse u, ce qui veut dire quil existe un paramtre rel
tel que
t = u,
or par dfinition, le vecteur tangent est proportionnel lincrment drive (dx, dy = f 0 (x)dx).
Donc on a : u = dx et v = dy = f 0 (x)dx. En liminant entre ces deux quations, on dduit
dx dy
= ,
u(x, y) v(x, y)
soit encore f 0 (x) = v/u.
2. On considre une rotation dun angle dans le plan x y (rotation par rapport un axe vertical
z). Quelle est la matrice de la transformation? Quel lien avec le produit vectoriel?
Rponse : une rotation transforme un point M (x, y) en un point M (x0 , y 0 ) de la faon suivante
x0 = x cos y sin ,
y 0 = x sin + y cos .
Dans lespace de dimension 3, il faut donner une troisime quation z 0 = z. Matriciellement,
ces quations sont quivalentes

cos sin 0
x0 = R x, avec R = sin cos 0 .
0 0 1
La matrice est donc antisymtrique quand = /2. Par ailleurs, si on examine la transformation
linaire suivante (produit vectoriel)
x x0 = x, avec (a, b, c) un vecteur,
on a de faon quivalente sur le plan matriciel

bz cy 0 c b
x0 = cx az = G x, avec R = c 0 a ,
ay bx b a 0
qui est une matrice antisymtrique pour toute valeur de a, b, et c. Cela montre que toute matrice
antisymtrique peut tre interprte comme un produit vectoriel. La comparaison des deux
matrices donne c = sin = 1. Une rotation de /2 forme donc un produit vectoriel.
3. Un ingnieur dun bureau dingnieurs cherche calculer la hauteur de la vague gnre par
lentre dune avalanche dans un lac de retenue. Il a pu tablir lordre de grandeur de la vitesse
de lavalanche. Pour calculer la hauteur de cette vague, il considre que londe se dplace
la mme
vitesse que lavalanche, or la vitesse dune onde en eau peu profonde est donne par
c = gh. Donc si lon connat la vitesse, on peut en dduire la hauteur totale. Daprs vous ce
raisonnement est-il juste ou faux?
Figure 4.20 : vague gnre par une avalanche dans une retenue deau.
79
Chapitre 5
Les fluides newtoniens
Prrequis
mathmatiques: calculs intgral et diffrentiel
mcanique : relation fondamentale de la dynamique
mcanique des fluides : lois de conservation
Objectifs
Prsenter lanalyse dimensionnelle et le calcul des nombres sans dimensions pour
simplifier les quations.
Introduire lquation de Navier-Stokes pour les fluides visqueux (newtoniens).
Contenu
Dans ce chapitre, on aborde les quations de Navier-Stokes qui permettent de dcrire les cou-
lements de fluide newtonien. Par rapport aux fluides parfaits (dcrits laide des quations dEuler
vues au chapitre prcdent), les fluides newtoniens sont des fluides visqueux o lnergie peut tre
dissipe lorsque le fluide est cisaill. Sur le plan phnomnologique, ces fluides se caractrisent par
une relation linaire entre la contrainte et la vitesse de dformation.
Dans le cas tudi ici (fluides newtoniens), la loi de comportement (cest--dire la relation entre
le tenseur des contraintes et le tenseur des taux de dformation) est linaire. Un grand nombre de
fluides dusage courant (eau, air, huile, etc.) sont des fluides newtoniens. Les quations du mouve-
ment pour un fluide newtonien sont appeles quations de Navier-Stokes. On examine galement
comment le comportement change lorsque la dissipation viscosit devient ngligeable (quations
dEuler) ou bien lorsque les termes inertiels deviennent trs faibles devant les contraintes visqueuses
(quations de Stokes). Le premier cas se rencontre frquemment on cherche des approximations
simples des coulements turbulents tandis que le second cas est typique des coulements domins
par la viscosit (coulement souterrain, sdimentation, etc.).
80 CHAPITRE 5. LES FLUIDES NEWTONIENS
5.1 Les quations de Navier-Stokes

La plupart des fluides de notre environnement (eau, air, huile, etc.) sont dits newtoniens car leur
loi de comportement suit la loi de Newton. Dautres fluides ne suivent pas cette loi et on les dit non
newtoniens. La boue ou la peinture par exemple sont des fluides non newtoniens.
5.1.1 Bases thoriques
Au repos, un fluide ne subit que laction de la gravit et les seules contraintes en son sein sont les
pressions. On a vu prcdemment la loi de la statique :
p + g = 0,
montrant que le gradient de pression p doit contrebalancer exactement le champ de pesanteur pour
quil y ait quilibre (u = 0). Que se passe-t-il maintenant si le fluide nest plus au repos?
On a vu au chapitre prcdent que les quations du mouvement sont composes de lquation de
conservation de la masse (10.3) et de lquation de conservation de la quantit de mouvement (4.11).
Dans cette dernire apparat un terme T, qui reprsente les extra-contraintes, cest--dire les
contraintes supplmentaires dues au mouvement du fluide (cf. 4.2.2). Pour fermer les quations du
mouvement (cest--dire pour quil y ait autant dquations que de variables), il faut disposer dune
quation supplmentaire, appele quation ou loi de comportement, qui dcrit les relations entre
contraintes et vitesses de dformation au sein du fluide.
Loi de comportement newtonienne
La relation la plus simple que lon puisse imaginer entre et D est une relation linaire. La loi
exprimentale de Newton invite crire :
= p1 + 2D ou bien T = 2D , (5.1)
o est la viscosit dynamique [Pa.s]. On appelle cette relation la loi de comportement newtonienne.
Lorsquon injecte cette forme de loi de comportement dans les quations de conservation de la quan-
tit de mouvement, on obtient les quations dites de Navier-Stokes (voir infra).
5.1.2 Les quations de Navier-Stokes sous forme gnrique
Les quations de Navier-Stokes sous forme tensorielle :

u
+ uu = g p + 2 D,
t
avec D le tenseur des taux de dformation (partie symtrique du gradient de vitesse u). il faut com-
plter ce systme par lquation de continuit qui, pour un fluide incompressible, prend la forme :
u = 0,
pour aboutir aux quations compltes du mouvement. On se reportera au 5.6 pour voir comment
scrivent ces quations quand elles sont projetes dans un repre cartsien.
Les quations de Navier-Stokes forment un jeu dquations dites fermes car il y a autant de
variables (ou dinconnues) que dquations. Pour utiliser ces quations pour rsoudre un problme
pratique, il faut des quations supplmentaires, qui fournissent les conditions initiales et aux limites.
5.1. LES QUATIONS DE NAVIER-STOKES 81
5.1.3 Conditions aux limites

Pour rsoudre un problme diffrentiel, il faut connatre
les conditions initiales : initialement t = 0, quelle tait la configuration de lcoulement?
les conditions aux limites : aux frontires du domaine de calcul, quimpose-t-on lcoule-
ment?
On va sintresser ici aux conditions aux limites. Comme il y a deux types de variables dans les qua-
tions du mouvement (variables cinmatiques lies au champ de vitesse et variables dynamiques re-
lies au champ de contraintes), on considre
les conditions aux limites cinmatiques : ce sont les conditions que doivent vrifier le champ
de vitesse ;
les conditions aux limites dynamiques : ce sont les conditions que doivent vrifier les champs
de contrainte et de contrainte aux frontires du domaine.
En gnral, on considre galement deux types de frontires :
les frontires solides sont des parois, qui ne se dforment pas (ou trs peu) ;
les frontires matrielles sont des interfaces entre deux liquides ou un liquide et un gaz (la sur-
face libre est une frontire matrielle). Dans ce cas, la frontire a une forme qui peut varier au
cours du temps et il faut donc une quation qui dcrit comment sa forme et sa position varient
avec le temps.
Frontire solide
Pour une paroi solide (par exemple, sur une facette oriente par n, on considre que la vitesse
vrifie les deux conditions suivantes
condition de non-pntration : le fluide ne peut pas entrer dans le solide (qui est impermable),
donc la composante normale de la vitesse est nulle :un = u n = 0 ;
condition dadhrence (ou de non-glissement) : le fluide adhre la paroi solide, donc la com-
posante tangentielle doit galement tre nulle : ut = u t = 0, avec t un vecteur tangent la
paroi.
Il sensuit que la vitesse u est nulle le long dune paroi solide. Cest la condition aux limites cinma-
tique.
Pour la condition aux limites dynamiques, on crit quil y a quilibre de linterface (si celle-ci est
fixe), donc daprs le principe daction et de raction, on a
f luide n + solide n = 0,
avec f luide le tenseur des contraintes fluides, solide le tenseur des contraintes du solide, puisque la
contrainte au sein du fluide doit concider avec celle du solide le long de linterface.
Frontire matrielle
En gnral, une frontire matrielle est une interface mouvante entre deux fluides ; dans quelques
cas, par exemple pour la surface libre dun coulement permanent, cette surface peut occuper un lieu
fixe de lespace.
On crit F (x, t) = 0 lquation de la frontire. Par exemple, pour une surface libre dun coule-
ment deau le long dune rivire, on crit F = y h(x, t) = 0, avec h la hauteur deau par rapport au
fond. La normale en tout point est donne par F/|F |. Une surface matrielle vrifie
dF
= 0,
dt
car un point de la surface matrielle un instant donn reste toujours sur cette surface nimporte
quel autre instant (ses coordonnes peuvent changer au cours du temps si la surface se dforme,
mais il appartient toujours linterface). Par exemple, dans le cas de la surface libre dune rivire, on
a
dF d dy dh
= (y h(x,t)) = 0 = v = = . (5.2)
dt dt dt dt
Comme pour la paroi solide, la condition dynamique implique lgalit des contraintes entre les
fluides des deux milieux au niveau de linterface. Sil y a des effets de tension de surface, il convient de
rajouter un terme supplmentaire traduisant cette tension pour la composante normale des efforts.
Trs souvent, dans le cas dune surface libre dun coulement deau, il est possible de ngliger laction
du fluide ambiant (lair) et dans ce cas, on a
f luide n = (p1 + T) n = 0,
le long de la surface libre.

5.2. BASES PHNOMNOLOGIQUES DU COMPORTEMENT NEWTONIEN 83
5.2 Bases phnomnologiques du comportement newtonien

La loi de Newton = 2D tire son nom de lexprience de Newton, qui semble tre le premier
avoir mis en vidence et proposer une relation dcrivant la rsistance dun fluide visqueux. En 1687,
Isaac Newton crivait the resistance which arises from the lack of slipperiness of the parts of the
liquid, other things being equal, is proportional to the velocity with which the parts of the liquid are
separated from one another . Cette observation est la base de la thorie newtonienne des fluides.
Traduit sous une forme moderne, cette phrase signifie que la rsistance lcoulement (par unit de
surface) autrement dit la contrainte est proportionnelle au gradient de vitesse U/h:
U
= (5.3)
h
o U est la vitesse relative la quelle se dplace la plaque suprieure et h est lpaisseur de fluide
cisaill (voir figure 5.1). est un coefficient intrinsque au fluide, appel viscosit. Cette relation est
dun grand intrt pratique :
Cest la faon la plus simple dexprimer une loi rhologique (loi linaire).
Elle fournit un moyen de mesurer la viscosit .
h e
y
e
x
Figure 5.1 : exprience de Newton : cisaillement simple dune couche de fluide (coulement de Couette).
En 1904, Trouton ralisa des expriences sur une barre de section carre compose dun fluide
trs visqueux (bitume), qui consistait tirer le fluide une vitesse constante. La figure 5.2 montre le
principe de lexprience. Le fluide subit une longation axiale la vitesse constante , dfinie comme
o ` est la longueur de lchantillon de fluide. Pour ses experiences, Trouton trouva
tant : = `/`,
une relation linaire entra la force normale par unit de surface (contrainte normale) et la vitesse
dlongation :
1 d`
= e = e (5.4)
` dt
Cette relation est structurellement trs similaire celle propose par Newton, mais elle introduit
un nouveau coefficient, quon appelle de nos la viscosit de Trouton ou viscosit longationnelle. On
trouve quon a la relation suivante entre viscosits e = 3.
Cela peut sembler un peu gnant que deux expriences similaires ( premire vue) ne fournissent
pas le mme rsultat. En fait ces deux expriences sont cohrentes si on se sert des quations de
Navier-Stokes.
Dans le cas de lexprience de Newton, on montre facilement que le champ de vitesse est linaire :
u = U ex y/h. Le gradient de vitesse ou taux de cisaillement est = u/y = U/h et on trouve que
= .
Dans le cas de lexprience de Trouton, on peut facilement rsoudre les quations de Navier- Voir la
solution
Stokes si lon nglige les termes inertiels (cest--dire le terme du/dt), ce qui est plausible car, pour dtaille
pouvoir faire une exprience dlongation, il faut choisir un fluide trs visqueux et le solliciter lente- en
annexe.
ment (exprience trs faible nombre de Reynolds). Les composantes du tenseur des taux de dfor-
mation sont :

/2 0 0
D= 0 0 (5.5)
0 0 /2
84
l

CHAPITRE 5. LES FLUIDES NEWTONIENS
dl
Figure 5.2 : exprience de Trouton : longation axiale dun barreau de fluide soumis une contrainte normale .
Le tenseur des contraintes peut tre crit :

0 0 0
= 0 0 (5.6)
0 0 0
Une simple comparaison de ces quations conduit poser : p = and = 3, cest--dire :

e = 3.
5.3. ADIMENSIONALISATION DES QUATIONS 85
5.3 Adimensionalisation des quations
5.3.1 Problmatique
Ladimensionalisation des quations du mouvement est une tape importante :

elle peut permettre de simplifier les quations en supprimant les termes petits par rapport
dautres ;
elle permet de trouver les nombres sans dimension qui sont utiles pour proposer des critres
de similitude. Ces critres servent en ingnierie faire le lien entre des expriences chelle
rduite sur des maquettes et des coulements en grandeur relle. Par exemple, pour optimiser
la forme dune coque de bateau, on ralise des essais chelle rduite dans des bassins.
Le second point va tre abord au chapitre suivant ( 6). Le premier point va nous permettre de
simplifier les quations du mouvement. On constate en gnral que les quations de type Navier-
Stokes sont trs compliques rsoudre, mais quil est possible de trouver des approximations, qui
fournissent une solution satisfaisante en pratique. Ladimensionnalisation des quations fournit un
outil trs pratique pour supprimer des termes ngligeables. Par exemple, admettons quune quation
diffrentielle puisse aprs quelques arrangements tre crite sous la forme
dy(x)
+ y(x) = 1,
dx
avec pour condition aux limites y(0) = 1 et o = 0,01 est un petit paramtre. Si lon rsout cette
quation de faon rigoureuse sur le plan mathmatique, on trouve aprs un peu de calcul
ex ( + ex 1)
y(x) = .

Si maintenant on fait lapproximation suivante : y est ngligeable devant y 0 , alors on a rsoudre
lquation trs simple y 0 = 1, soit y(x) = x + 1. Comme le montre la figure 5.4, lcart entre la solution
thorique et la solution approche est trs faible, mais saccentue au fur et mesure que lon sloigne
du point origine (o lon avait fix la condition aux limites). Comme en gnral, on sintresse une
solution uniquement sur un certain domaine de calcul, on peut tre trs satisfait de la cette solution
approche pour rsoudre un cas pratique. Dans ce type de configuration, liminer les termes ngli-
geables permet non seulement de simplifier considrablement les calculs, mais galement de mieux
comprendre la physique des phnomnes.
4
y( x )
1
0 1 2 3 4 5
x
Figure 5.3 : comparaison de la solution thorique et de la solution approche y = x + 1 (trait tiret) sur le domaine 0 x 5.
5.3.2 Mise en uvre

Prenons un exemple concret : vous devez optimiser la carrosserie dun vhicule en travaillant sa
forme pour diminuer sa rsistance au roulement, donc sa consommation. Pour cela vous souhaitez
tudier la rsultante des forces de frottement exerces par lair sur la carrosserie laide des qua-
tions de Navier-Stokes. Pour simplifier le problme, vous devez introduire les ordres de grandeur des
variables du problme (vitesse, longueur de la voiture, etc.). Ces ordres de grandeur sappellent des
chelles ou facteurs dchelle. Par exemple, pour un vhicule, lordre de grandeur de la longueur est
L
Figure 5.4 : chelles de longueur et de vitesse pour le mouvement dune voiture.
L 4 m tandis que celui de la vitesse est V 100 km/h, soit encore V 30 m/s. On emploie
ici lindice pour dsigner une chelle de grandeur. Le symbole veut dire peu prs gal . Il
est en effet pas trs diffrent de considrer que la voiture mesure 4 ou 5 m en longueur ; ce qui est
important, cest que lordre de grandeur est de quelques mtres.
Une fois les chelles introduites pour chaque type de variable, on va pouvoir introduire des va-
riables sans dimension. Par exemple, on crit
x
|{z} = L X
|{z} ,
|{z}
variable dimensionnelle facteur dchelle variable sans dimension
o le caractre majuscule X dsigne une variable sans dimension despace (X na pas de dimension
physique) et si lordre de grandeur a t correctement fix pour L , alors on a X qui doit tre compris
entre 0 et 1 ou bien proche de 1. On crit que X = O(1), ce qui veut dire que X est de lordre de 1.
Grce ce changement de variable, lunit de physique et lordre de grandeur sont ports par lchelle
L tandis que X ne reprsente que la variable relative de x. Si lon fait cela avec les autres variables,
on va pouvoir comparer membre membre les termes des quations mme si ceux-ci sont relatifs
des processus physiques diffrents. Par exemple, pour les quations de Navier-Stokes, on introduit
un jeu de variables sans dimension :
u U U et x L X
U U U
x X , y Y , et xy XY ,
L L L
L
t ,
U
p P P
avec p qui dsigne ici la la pression gnralise (pression + potentiel de gravit). Quelques remarques :
les chelles ne sont pas indpendantes. Par exemple, si on fixe une chelle une vitesse et une
chelle de longueur, on se donne ncessairement une chelle de temps ;
pour les variables despace, il peut y avoir plusieurs chelles. Par exemple, pour une rivire, la
longueur de la rivire est bien suprieure sa largeur ou sa hauteur ; il faut donc introduire au
moins deux chelles : une pour la longueur, lautre pour la hauteur deau ;
plusieurs chelles possibles pour la pression selon le type dcoulement. En gnral on pose
P = gH (coulement surface libre) ;
5.3. ADIMENSIONALISATION DES QUATIONS 87
P = U2 (coulement en charge) ;
P = U /L (coulement trs lent).
5.3.3 Nombre sans dimension

Les rapports dchelles fournissent des nombres sans dimension. Par exemple, on introduit le
nombre de Reynolds ( = /) :
U H force dinertie
Re = = .
force de viscosit
Pour un coulement deau surface libre (P = gH ), le rapport suivant
U2 force dinertie
F r2 = =
gH force de pression hydrostatique
est appel nombre de Froude. Ce nombre sans dimension joue un grand rle en hydraulique flu-
viale. Dans le cas de la sdimentation dune particule de petite taille dans un fluide newtonien (P =
U /L, a : diamtre de la particule), on dfinit le nombre de Stokes
U2 U a force dinertie
St = = = .
U /a force de frottement
Notons quil est formellement possible dobtenir une multitude de nombre sans dimension (toute
combinaison de nombres sans dimension est galement sans dimension), mais en gnral on ne
considre que ceux dont il existe une signification physique bien tablie. De tels nombres (Reynolds,
Froude, Weber, Stokes, etc.) sont en gnral construits comme des rapports de force ou bien des rap-
ports de temps caractristiques ou bien dchelles de longueur typiques. Ils peuvent donc toujours
sinterprter comme des rapports de grandeurs caractristiques. Par exemple, le nombre de Stokes a
t introduit comme un rapport de forces, mais on pourrait linterprter comme un rapport de temps
caractristiques
tp
St = ,
tf
avec tp le temps de relaxation de la particule (le temps typique de variation de la vitesse quand on
perturbe ltat dquilibre de la particule) et le temps caractristique du fluide (lchelle de temps sur
laquelle le fluide sajuste tout changement de la particule).
5.3.4 Rgimes dcoulement

En substituant les variables dimensionnelles par des variables sans dimension, on tire les qua-
tions de Navier-Stokes sous forme adimensionnelle :
dU P 1
= 2 P +
d U Re
On dduit trois comportements possibles selon la valeur du nombre de Reynolds :

Quand Re :
dU P
= 2 P
d U
Ce sont les quations dEuler sous forme adimensionnelle (pour le fluide dit parfait ou fluid non
visqueux). Les frottements visqueux peuvent tre ngligs ; lcoulement est donc contrl par
un quilibre entre forces de pression et dinertie. Les quations dEuler fournissent alors une
bonne approximation du mouvement. Le mouvement dun avion en vol sub- ou supersonique
peut donc tre tudi laide de ces quations. Le thorme de Bernoulli fournit des approxi-
mations utiles quand la gomtrie du problme sy prte. Pour des applications, voir 4.3.7.
Quand Re 0 :
0 = P +
Ce sont les quations de Stokes sous forme adimensionnelle (pour le fluide sans inertie). Lcou-
lement est entirement command par lquilibre entre gradient de pression et force visqueuse.
Ce type dcoulement sobserve trs frquemment dans des coulements travers des mat-
riaux poreux, des coulements prs dobstacles (couches limites laminaires), des problmes de
sdimentation de particules fines, etc. Pour des applications, voir 5.4.
Quand Re = O(1 100), inertie, gradient de pression, et viscosit sont trois processus de mme
importance. Il faut rsoudre lquation de Navier-Stokes compltement. Notons que pour Re >
2000, lcoulement devient turbulent. Pour des applications, voir 5.5.
5.4. COULEMENTS DOMINS PAR LA VISCOSIT 89
5.4 coulements domins par la viscosit

Pour des coulements trs faible nombre de Reynolds, les termes inertiels dans les quations
de Navier-Stokes sont ngligeables et lcoulement est contrl par un quilibre entre pression et
contrainte visqueuse. Lapproximation des quations de Navier-Stokes quand Re 0 est appele
quation de Stokes. Sous forme adimensionnelle (avec P = U /L), on a pour un fluide incompres-
sible
P = 4U
(5.7)
U = 0,
car D = 4U par dfinition du laplacien et de D. Sous forme dimensionnelle, on a p = 24u.

On peut transformer ce jeu dquations en dcouplant le champ de pression et celui de vitesse en
prenant le divergence de lquation de conservation de la quantit de mouvement. On obtient alors
un jeu dquations indpendantes pour chaque variable. On montre alors que la pression est une
fonction harmonique alors que la vitesse est une fonction dite biharmonique
4P = 0,
4 U = 0,
avec 4 f = 44f loprateur biharmonique (on applique deux fois de suite loprateur de Laplace).
On va voir des applications assez diverses et plus ou moins directes de ces quations dans des
problmes dingnierie :
sdimentation de particles (cf 5.4.1) : calcul de la vitesse de sdimentation en fonction du
diamtre ;
coulement dans un massif poreux (cf 5.4.1) : calcul du dbit dinfiltration travers un sol ;
lubrification dun palier (cf 5.4.3) : force supporte par le palier dun moteur ;
coulement dun fluide visqueux (cf 5.4.4) : vitesse dtalement dune lave volcanique ou dun
bitume sous leur propre poids.
5.4.1 Sdimentation
On souhaite calculer la vitesse up de sdimentation dune particule sphrique de diamtre 2a et
de masse volumique p dans un fluide newtonien au repos (viscosit , masse volumique f ). On
considre tout dabord le problme analogue o cest la particule qui est immobile et le fluide en
mouvement avec une vitesse loin de la particule gale up . laide des fonctions de Green, on peut
montrer que la force exerce par le fluide sur la particule est alors (sous forme dimensionnelle)
F = 6aup .
Maintenant si on revient au problme originel, on peut dduire la vitesse de la particule lorsquelle

sdimente. En rgime permanent, la force de rsistance du fluide contrebalance exactement le poids
djaug 1 de la particule ; on a donc
F = 6aup = m0 g,
avec m0 = 4(p f )a3 /3. Cette relation est souvent appele loi de Stokes. On dduit immdiatement
m0 g 2 a2 g
up = = (p f ) .
6a 9
Notons au passage que la force de frottement exerce par le fluide se met le plus souvent sous la
forme
F = Cd (Rep )f a2 u2p ,
1. Le poids djaug est le poids moins la force dArchimde.
2a
up
Figure 5.5 : mouvement dune sphre dans un fluide newtonien.
avec Cd le coefficient dit de trane, qui est crit comme une fonction du nombre de Reynolds parti-
culaire Rep = f up a/, a2 est la section efficace de la sphre vue par le fluide. On se reportera au
chapitre 6 pour comprendre lorigine de cette formulation. Par comparaison avec les deux quations,
on dduit immdiatement que
24
Cd = .
Rep
Lavantage de cette formulation est quon peut la gnraliser pour des coulements nombre de
Reynolds grand ou intermdiaire (voir figure 6.2).
Application numrique. Calculer la vitesse de sdimentation dune argile avec a = 1 m et
p = 2650 kg/m3 dans de leau (f = 1000 kg/m3 et = 103 Pa.s) :
2 1012 9,81
up = (2650 1000) = 3,6 m/s.
9 103
Le nombre de Reynolds particulaire associ est
f up a 1000 3,6 106 106

Rep = = = 3,6 106 1,
103
donc lhypothse de nombre de Reynolds faible est bien vrifie.
5.4.2 coulement dans les milieux poreux

Un milieu poreux est un matriau au sein duquel existe un rseau de pores ou de canaux relis
entre eux. Un sol, la plupart des matriaux de construction, certains alliages mtalliques (obtenus par
frittage dune poudre) offrent des exemples de milieux poreux. Lorsque les pores sont de petite taille,
lcoulement dun liquide newtonien (eau, air, huile, etc.) se fait tout petite vitesse et lapproxima-
tion de Stokes est gnralement valable. Pour que le fluide scoule travers un milieu poreux, il faut
exercer un gradient de pression pour vaincre les forces de frottement au sein du rseau interne. Le
problme qui se pose en ingnierie est de calculer le dbit qui transite travers un massif poreux
connaissant le gradient de pression.
Si on considre un cas idal tel que lcoulement dun fluide entre deux plans parallles (voir cours
dhydraulique) de longueur L et espacs dune distance d, on montre que la vitesse moyenne u (ou
vitesse dbitante) est relie au gradient de pression par la relation
pg dp
= = u,
L dx k0
avec k0 = d2 /12 une coefficient de permabilit de la structure poreuse (appel permabilit intrin-
sque) et pg la pression gnralise. Ce rsultat se gnralise empiriquement quand on considre un
0 x
h(x)
h1
Q h2
Figure 5.6 : coulement travers un massif poreux.
Tableau 5.1 : quelques valeurs de permabilit des milieux poreux.

k0 (m2 )
sol 0,110
roche dure (grs) 5 104 5
roche sdimentaire (calcaire) 2 103 0,05
sable 20200
matriau poreux quelconque (assemblage de rseaux). La loi qui lie vitesse dbitante et gradient de
pression est connue sous le nom de loi de Darcy 2
k
u= p, (5.8)
g
avec k le coefficient de permabilit ou de filtrage, appele conductivit hydraulique ; on a k = gk0 /.

Le terme g sert transformer le terme de pression en quivalent hauteur deau (quivalent sou-
vent utilis en ingnierie). On passe parfois le terme g sous loprateur ; la quantit p/(g) est
dimensionnellement quivalente une hauteur et on lappelle la charge hydraulique H. Lquation
de Darcy (5.8) scrit donc galement
u = kH,
On note la ressemblance entre cette quation et les lois de Fick et de Fourier utilises respectivement
pour le calcul des gradients de concentration et de temprature (voir chap. 3). Avec les notations em-
ployes ici, k est homogne une vitesse [m/s], alors que k0 est homogne une surface [m2 ]. Seul
k0 est intrinsque au matriau (k dpend du fluide interstitiel). Voici quelques ordres de grandeur
pour k0 :
Avec la loi de Darcy, on peut par exemple calculer le dbit dinfiltration Q (par unit de largeur)
travers un massif poreux (voir figure 5.6) qui spare deux retenues deau (au repos) des niveaux
diffrents et constants h1 et h1 . On suppose que la ligne deau est faible courbure de telle sorte
lcoulement est peu prs unidirectionnel ; cela implique que dans la formule de Darcy (5.8), on a
p (p/x, 0). On suppose galement que leau est trs lent et quil ny a pas deffet de tension de
2. Henry Philibert Gaspard Darcy (18031858) tait un hydraulicien franais. Ingnieur des Ponts et Chausses, il a t
lauteur de plusieurs contributions majeures en hydraulique en puisant dans les problmes qui se posaient lingnieur de
lpoque. On lui doit ainsi les premires notions sur la couche limite dans lcoulement dun fluide, le dveloppement de
lquation de Darcy-Weisbach (rsistance de lcoulement dans un conduit), la loi de Darcy de lcoulement en milieux po-
reux, qui a t la pierre fondatrice de lhydraulique souterraine, ainsi que des amliorations notables du tube de Pitot pour
mesure les vitesses au sein dun fluide.
surface, donc la pression reste hydrostatique aussi bien dans les retenues deau que dans le massif :
p = gh(x) en tout point du massif. Le dbit est ici dfini comme le produit de la hauteur deau h(x)
et de la vitesse dbitante u
h
Q = uh(x) = k h(x).
x
Par ailleurs, en rgime permanent, le dbit est constant, donc lintgration de lquation ci-dessus
donne
1
Qx = kh2 + a,
2
avec a une constante dintgration. Compte tenu des conditions aux limites (en x = 0, h = h1 ), on en
dduit que a = kh21 /2, soit finalement en x = L
1
Q= k(h21 h22 ).
2L
Dautres applications importantes de la formule de Darcy sont donnes par le pompage dune nappe
(rabattement de nappe) travers un puits et lcoulement sous un barrage (stabilit de barrage)
5.4.3 Effet coin dhuile

Considrons une couche dhuile (suppose incompressible) entre deux plans mtalliques mobiles
(par exemple, huile de lubrification dans un palier de moteur) espacs dune hauteur variable h(x)
et de longueur `. Lespacement h reste trs petit devant ` : h(x) `. La vitesse de dplacement du
plan suprieur est constante et gale ud ; celle du plan infrieur est nulle. Les chelles typiques du
problme sont les suivantes : U = 1 cm/s (vitesse des plans), H = 1 mm (espacement des plans),
L = 10 cm. La viscosit dune huile de type silicone est de lordre de 1 Pa.s ; sa masse volumique
est de lordre 1100 kg/m3 . Le rapport daspect et le nombre de Reynolds sont petits
H U H 1,1 103 102 103

= = 102 et Re = = 102 .
L 1
y
h1
h(x) h2
x
Figure 5.7 : couche de lubrifiant entre deux parois.
Nous introduisons les variables sans dimensions suivantes :
u U U et v V V,
x L X et y H Y,
Notons que lquation de continuit (5.9) implique que V = U H /L = U . Pour la pression, on in-
troduit lchelle P = U /L (voir supra) ; on introduit une pression gnralise (pression du fluide
+ potentiel gravitaire) sans dimension : p P P . La projection des quations de Navier-Stokes dans
le repre attach la partie fixe du palier donne pour la conservation de la masse :
u v
+ = 0, (5.9)
x y
et des quations de quantit de mouvement :

2
u u u p u 2u
+u +v = + + , (5.10)
t x y x x2 y 2
2
v v v p v 2v
+u +v = + + . (5.11)
t x y y x2 y 2
On substitue les variables dimensionnelles par les variables sans dimension, ce qui fait apparat les
rapports sans dimension Re et . Les quations du mouvement sans dimension scrivent alors :
U V
+ = 0, (5.12)
X Y
dU P 2U 2U
Re = + 2 2
+ , (5.13)
dt X X Y 2
dV P 2V 2V
Re = + 2 + . (5.14)
dt Y X 2 Y 2
On nglige les termes qui sont petits devant 1, cest--dire ici tous les termes o et/ou Re appa-
raissent. La projection sur laxe x de lquation (7.4) donne ainsi
P 2U
+ = 0,
X Y 2
ce qui peut sintgrer facilement
U = Y 2 + aY + b,
avec = P /X le gradient de pression motrice sous forme adimensionnelle, a et b deux constantes
dintgration. En repassant sous forme dimensionnelle cela donne
u = Gy 2 + ay + b,
o a et b sont toujours deux constantes dintgration (mais dimensionnelles) et G(x) = p/x est
le gradient de pression motrice sous forme dimensionnelle. On suppose que G est une fonction de x
uniquement (voir cours dhydraulique pour la justification). Les conditions aux limites sont

y = 0, u = 0,
y = h(x), u = ud
On obtient finalement
Gh2 (x) y y y
u(x, y) = 1 + ud 1 .
2 h h h
La conservation du dbit entrane que
Z h(x)
Gh3 (x) ud h(x)
q= udy = + = cste
0 12 2
ce qui impose que le gradient de pression est

12 ud h(x)
G(x) = q .
h3 (x) 2
Une nouvelle intgration donne le profil de pression motrice
Z x Z x
ud d d
p(x) p1 = 12 q .
2 0 h2 () 3
0 h ()
Si lon suppose que le palier baigne dans un bac dhuile, on a p1 = p2 = p0 , avec p0 une pression au
sein du bac. Donc, si lon considre le palier sur toute sa longueur, le gradient de pression est nul, ce
qui implique que le dbit vrifie finalement
R ` d
ud 0 h2 ()
q= .
2 R ` d
0 h2 ()
Application numrique. Considrons que le palier soit en forme de coin avec un angle petit. On
a donc tan = (h1 h2 )/L qui doit tre petit ; par exemple, on prend = 0,5 (soit = 0,12). On on
note pref la pression de rfrence pref = ud L/h22 = 59 kPa ( = 1 Pa.s, ud = 1 cm/s, h2 = 0,13 mm).
La rpartition de pression au sein du coin est donc

p(x) p0 6 h h
= 2 1 ,
pref 1 h2 h2
ce qui donne une surpression maximale de

pmax p0 3 1
= 9,8.
pref 2 ( + 1)
Lordre de grandeur de la pression de rfrence est de 59 kPa, la pression maximale de lordre de 590
kPa, ce qui autorise le dplacement de pices dont le poids peut atteindre des valeurs importantes :
un palier de 0,1 0,1 m2 peut ainsi supporter des masses denviron 60 kg.
5.4.4 talemement dune couche dhuile

On considre quon place dans un rcipient rectangulaire de lhuile trs visqueuse. un ins-
tant t = 0, on soulve le rcipient et lhuile commence scouler sur un plan horizontal sous la
forme dune couche peu paisse. On cherche calculer le mouvement de ce volume fini dhuile qui
stale lentement le long du plan, notamment le profil de hauteur h(x, t). On reprend les quations
de Navier-Stokes vues prcdemment pour le coin dhuile. Le principal changement est la diffrence
de gomtrie dcoulement : pour le coin dhuile, le mouvement du fluide est forc par le plan en
translation alors quici le fluide scoule du fait du gradient de pression. Si le fluide est suffisamment
visqueux, on va retrouver que les termes inertiels sont ngligeables. Lcoulement est donc contrl
par lquilibre entre le gradient de pression et la contrainte de frottement visqueux. Pour un coule-
ment surface libre lent, la pression doit tre proche de la pression hydrostatique, donc lchelle de
pression est cette fois P = gH , avec H une chelle de hauteur fixe par les conditions initiales
(par exemple H =5 cm). Lquilibre entre gradient de pression et contrainte visqueuse implique que
lchelle de vitesse U est fixe
p 2u gH3
2 U = .
x y L
xf
h(x)
Figure 5.8 : talement dune couche huile.
En employant un changement de variables similaires ce qui a t fait au 5.4.3, on obtient le jeu

suivant dquations pour la conservation de la quantit de mouvement :

U U U P 2U 2U
Re +U +V = + 2 + , (5.15)
T X Y X X 2 Y 2

V V V P 2V 2V
3 Re +U +V = 1 + 2 2
+ 2 , (5.16)
T X Y Y Y X 2
o T est un temps sans dimension ; on pose en effet t = T T , avec T = L /U . Lquation de conti-

nuit scrit
U V
+ = 0, (5.17)
X Y
Considrons le cas dun coulement peu pais, cest--dire 1, et trs lent, cest--dire Re 1).
Dans ce cas, on obtient lapproximation suivante :
2U P
= ,
Y 2 X
P
= 1.
Y
On dduit : P = H Y et UY Y = HX . Lintgration donne : U = HX Y 2 /2 + aY + b. Comme U (0) = 0,
on a b = 0. La contrainte est nulle la surface libre, donc UY (H) = HX H + a = 0, soit a = HHX . La
vitesse locale est donc :
1 H
U (X, Y, T ) = Y (Y 2H).
2 X
La vitesse moyenne est :
Z
1 H 1 H 2
U = U dY = H .
H 0 3 X
Intgrons maintenant lquation de continuit selon la hauteur
Z H
U V
+ dY = 0,
0 X Y
soit encore Z H
U
dY + V (H) V (0) = 0,
0 X
or daprs la condition la limite la surface libre (5.2) et la condition de non-pntration, on a
dH H H
V (H) = = + U (H) .
dT T x
V (0) = 0,
De plus, en se servant de la rgle de Leibnitz, on peut crire

Z H Z H
U H
dY = U dY U (H) ,
0 X X 0 X
H
= (U H)dY U (H) ,
X X
ce qui permet finalement darriver la forme intgre de lquation de continuit
H
+ (U H) = 0. (5.18)
T X
On tire lquation fondamentale du mouvement pour ce problme :

H 1 3 H
H = 0. (5.19)
T 3 X X
Cette quation peut encore se mettre sous la forme :

2
H H 3 2H H
= + H2 ,
T 3 X 2 X
La premire partie de lquation est de la forme yt = yxx , typique des ondes pour des phnomnes
de diffusion (quation diffrentielle quasi-linaire) tandis que le dernier terme droite introduit un
terme de convection non linaire.
Comme conditions aux limites, on a : H(Xf ) = 0 (hauteur nulle au front) et on suppose que le
volume initial est constant et vaut A. La conservation du volume implique quau cours du temps, on
ait : Z Xf
H(X, t)dX = A = cste. (5.20)
0
Pour rsoudre ce type dquations, on emploie un technique spcifique (quon ne dveloppera pas
ici), qui sappelle la mthode des solutions auto-similaires et qui consiste laide dun changement
de variables de passer dune quation aux drives partielles ( deux variables) une quation diff-
rentielle ordinaire, plus simple rsoudre. On recherche une solution sous la forme
x
H = bT n H(), avec = .
atm
On va rechercher si de telle solutions existent en identifiant les coefficients a, b, n, et m. On choisit a
de telle sorte que = 1 donne la position du front. On suppose donc que la position du front vrifie
une loi de la forme xf = atm . La conservation de la masse entrane que lon doit avoir
Z Xf Z 1
n n+m
bT H()dX = abT H()d = A.
0 0
Cela impose donc n + m = 0 car le volume ne dpend pas du temps. Examinons individuellement
tous les termes apparaissant dans lquation fondamentale (5.19) :
H
= nbT n1 H mbT n1 H0 ,
T
H b nm 0
= T H,
X a
2H b
= 2 T n2m H00 ,
X 2 a
2H b4
H3 = 2 T 4n2m H00 H3 ,
X 2 a
2
H b4
H2 = 2 T 4n2m H02 H2 .
X a
Pour que dans lquation finale, le temps napparaisse pas, il faut que 4n 2m = n 1. La rsolution
des quations 4n 2m = n 1 et n + m = 0 donne
1 1
n = et m = .
5 5
On substitue chacune des expressions ci-dessus dans lquation (5.19) et on trouve
1 1 1 b4 00 3 b4 02 2
bH bH0 = H H + 2H H .
5 5 3 a2 a
Pour que b et a napparaissent plus, il faut poser b3 = a2 , soit b = a2/3 . On aboutit alors :
1 1 1
H H0 = H00 H3 + H02 H2 , soit encore
5 5 3
0 5 3 0 0
(H) + (H H ) = 0.
3
En = 1, on a H = 0, donc par intgration on tire que
5
H + H3 H0 = 0.
3
Soit encore :
5 3 2
H + = c.
9 2
En = 1, on a H = 0, donc c = 1/2. On aboutit alors :
1/3
9
H= (1 2 ) . (5.21)
10
On en dduit que le paramtre a vaut :
3/5
A3/5 A3/5 A
a = R1 = 3/5 = 1,133A3/5 ,
( 0 Hd)3/5 9 1/3 (1/3) 0,812
1

5 10 (5/6)
o reprsente la fonction gamma. Enfin, puisque U = 31 Hx H 2 , on dduit que lon peut crire
U = a5 T 4/5 U() avec U = . Le profil en long de lcoulement H() ainsi que la variation de U avec
sont reports la figure 5.9.
On peut ensuite repasser aux variables dimensionnelles. Une difficult est quon a fait appel
plusieurs chelles sans les spcifier pleinement (L et H , par exemple), ce qui rend le retour aux
variables dimensionnelles plus dlicat. Une faon de procder sans refaire tous les calculs est la sui-
vante. On sait maintenant que la solution doit scrire sous la forme
h(x, t) = a2/3 t1/5 H(),
avec H donn par lquation (5.21), = x/a/t1/5 , et un facteur dimensionnel qui ne sert ici qu
sassurer que h est bien homogne une longueur, ce que lon note ici [h] m. Ce facteur ne peut
dpendre que des caractristiques du fluide et de la gomtrie de lcoulement, soit ici g, , et , sous
la forme dune loi puissance (voir le chapitre 6 sur lanalyse dimensionnelle) : = g . Pour que
soit sans dimension, il faut choisir a tel que
[a] ms1/5 ,
donc
[] [h/a2/3 /t1/5 ] m1/3 s1/3 .
Comme [h] m/s2 , [] kg/m3 , [] kg/m/s, on a = (/g)1/3 . La conservation de la masse
entrane Z xf
W
h(x, t)dx = W a5/3 = ,
0 0,812
avec W le volume initial de fluide. Do finalement
1/5 2/5 " 1/5 #
W2 1/5 W x
h(x, t) = t H() = 1,181 H 0,883 1/5 ,
g 0,659 g t t gW 3
alors que la position du front est donne par
1/5

xf = f at1/5 = 1,133 t1/5 .
gW 3
Application numrique. Un entrepreneur dpose un tas de bitume sur un sol horizontal. Le

volume par unit de largeur de ce tas est W = 1 m3 /ml. Ce bitume a une viscosit de 104 Pa.s et une
masse volumique de 2200 kg/m3 . Calculer la distance ` parcourue en une semaine par le front du
dpt de bitume. Quelle est lpaisseur au centre du tas?
La distance parcourue est
1/5
1/5 104
` = f at = 1,133 (7 24 3600)1/5 = 18,9 m.
2200 9,81 1
Le bitume se sera tal denviron 18,9 m. Lpaisseur au centre du tas est
1/5 1/5 1/3
W2 1/5 W2 1/5 9
h(0, t) = t H(0) = t = 0,899t1/5 ,
g 0,659 g 0,659 10
donc aprs 7 jours, on a h(x = 0, t = 7) = 6,3 cm.
0.8
0.6
H 0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(a)
1
0.8
0.6
U
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(b)
(c)
Figure 5.9 : variation de H (a) et U (c). Essai au laboratoire sur une solution concentre de sucre ( = 420 Pa.s) : vue en
perspective du front de la masse de fluide en train de staler ; clich (traitement numrique) : S. Cochard & N. Andreini.
5.5. LA TURBULENCE OU LES LIMITES DU MODLE NEWTONIEN (LAMINAIRE) 99
5.5 La turbulence ou les limites du modle newtonien (laminaire)
5.5.1 Vue densemble sur la turbulence

Quand linertie augmente, les petites fluctuations de vitesses peuvent tre amplifies cause de
la non-linarit du terme convectif uu dans la drive particulaire, ce qui conduit une perte de
stabilit de lcoulement. On dit que lcoulement devient turbulent.
Pour mettre cela en vidence dans les quations, on introduit la dcomposition de Reynolds de la
vitesse en une valeur moyenne et une fluctuation : u = hui + u0 . Quand on moyenne, les fluctuations
disparaissent hu0 i = 0, o le symbole hi dsigne loprateur moyenne. Dans les quations de Navier-
Stokes, on remplace u par la dcomposition de Reynolds, puis on moyenne ; on part de lquation

u
+ uu = p + T,
t
pour aboutir :
hui
+ huihui = hp i + T hu0 u0 i,
t
car hu0 u0 i =
6 0 a priori. Cette dernire quation appele quation de Reynolds est trs semblable la
premire (Navier-Stokes) si ce nest quun nouveau terme est apparu
t = hu0 u0 i.
Cest le tenseur de Reynolds (qui reprsente la turbulence). Ce nouveau tenseur (symtrique) intro-
duit de nouvelles inconnues et il faut donc fournir des relations supplmentaires pour rsoudre le
systme dquations. On parle de fermeture des quations du mouvement.
Le rgime dcoulement est caractris selon la valeur du nombre de Reynolds :
Re 0 : coulement laminaire
Re = O(100 1000) : coulement transitionnel
Re > Rec = O(2000) : coulement turbulent, turbulence dveloppe
La turbulence traduit une perte de stabilit du rgime laminaire ; elle introduit donc du dsordre
dans la distribution des vitesses. Une des principales difficults de ltude de la turbulence est que,
malgr le dsordre induit, de nouvelles structures apparaissent. Les coulements atmosphriques
prsentent de nombreux exemples de structures turbulentes : forme en spirale des dpressions et
ouragans, forme des nuages, etc. Lexistence de ces structures explique le caractre non local de la
turbulence : ce qui se passe un endroit donn peut dpendre trs fortement de ce qui passe dans un
voisinage plus ou moins loign. Cela implique que, pour le traitement statistique de la turbulence,
il est ncessaire dintroduire des chelles de longueur caractristiques.
5.5.2 Moyenne des quations de Navier-Stokes

La cl pour comprendre (un peu) et modliser la turbulence est lie la notion de fluctuations de
vitesse et de pression : les coulements turbulents prsentent des fluctuations alatoires des vitesses.
En pratique, cela veut dire que si lon met un tube Pitot dans une rivire pour mesurer la vitesse
locale, on observe que la vitesse fluctue au cours du temps (voir figure 5.10). On dcompose alors la
vitesse instantane u(t) en une vitesse moyenne (vitesse moyenne dans le temps) et une fluctuation
de vitesse note u0
u(t) = hui + u0 (t),
avec Z T
1
hui = u(t)dt,
T 0
la moyenne temporelle de la vitesse ; exprimentalement, la moyenne se calcule en intgrant le signal
sur un temps arbitraire T (en gnral, T doit tre choisi suffisamment grand pour que la moyenne soit
stationnaire). Cette dcomposition sappelle la dcomposition de Reynolds.
u(t)
u0
<u>
Figure 5.10 : fluctuation de la vitesse instantane.
RT
Sur le plan thorique, loprateur u(x, t) T1 0 u(x, t)dt sappelle loprateur moyenne tempo-
relle ; il permet de passer dune vitesse instantane u(x, t) une vitesse moyenne hui (qui ne d-
pend plus que la position x ). On peut construire dautres oprateurs de moyenne : par exemple une
moyenne dans lespace (dite moyenne spatiale) ou une moyenne densemble, o lon suppose que lon
ralise la mme exprience un trs grand nombre de fois et quon moyenne sur ces ralisations .
On admet le plus souvent que ces moyennes sont quivalentes (on parle dergodicit du systme)
entre elles et quon peut les interchanger sans problme. Loprateur moyenne a plusieurs proprits
intressantes :
la moyenne dune somme est gale la somme des moyennes : hf + gi = hf i + hgi ;
la moyenne dun produit dune fonction f par une constante est : hf i = hf i. Attention cela
ne marche pas pour deux fonctions non constantes hf gi = 6 hf ihgi ;
la moyenne est invariant par elle-mme : hhf ii = hf iOn tire de cette relation et de la prcdente
que hf hgii = hf ihgi ;
la moyenne dune fluctuation est nulle hu0 i = 0 ;
mais la moyenne du carr dune fluctuation nest pas nulle : hu02 i > 0 (sauf si u0 = 0) ;
on peut intervertir les oprations de moyenne et de diffrentiations (grce lergodicit du sys-
tme)
f hf i
h i= ,
x x
f hf i
h i= ;
t t
mais attention cela ne marche pas avec la drive matrielle cause du terme convectif (non
linaire)
df dhf i
h i= 6 .
dt dt
Examinons en effet ce que vaut la moyenne dune drive matrielle. On utilise tout la dcom-
position de Reynolds : f = hf i + f 0 et u = hui + u0 . Examinons le terme convectif de la drive
matrielle
u f = (hui + u0 ) (hf i + f ),
= hui hf i + hui f 0 + u0 hf i + u0 f 0 .
Moyennons maintenant cette quation laide de loprateur moyenne spatiale :
hu f i = hhui hf ii + hhui f 0 i + hu0 hf ii + hu0 f 0 i,

= hui hf i + hu0 f 0 i,
o lon sest servi des relations vues plus haut. On trouve que la moyenne de la drive mat-
rielle vaut donc
df f
h i = h i + hu f i,
dt t
f
= h i + hui hf i + hu0 f 0 i,
t
dhf i
= + hu0 f 0 i.
dt
cause du caractre non linaire de la convection, il apparat donc un produit hu0 f 0 i sup-
plmentaire.
Avec ces outils en main, on va donc pouvoir moyenner maintenant les quations de Navier-Stokes.
Lobjectif est de fournir une quation du mouvement moyen, cest--dire une quation pour les
champs moyens hui et hpi. On part de la formulation suivante des quations de Navier-Stokes pour
un fluide newtonien incompressible
u = 0,

u
+ uu = g p + 24u,
t
o lon rappelle que lon a uu = uu, o uu dsigne le produit tensoriel de u par u. On introduit
ensuite la dcomposition de Reynolds pour la vitesse et la pression
p = hpi + p0 et u = hui + u0 .
On substitue ces relations dans les quations de Navier-Stokes
hui + u0 = 0,

u0 hui
+ + (huihui + u0 u0 + u0 hui + huiu0 ) = g hpi p0 + 2 (4hui + 4u0 ) .
t t
Ltape suivante est de prendre la moyenne temporelle, ce qui permet daboutir la forme suivante
hui = 0,

hui
+ (huihui + u0 u0 )) = g hpi + 24hui.
t
On note que les quations moyennes de Navier-Stokes, appeles encore quations de Reynolds, sont
trs proches des quations originelles si ce nest quun nouveau apparat dans les quations au niveau
de lacclration convective : u0 u0 . Comme ce terme se prsente sous la forme dun divergence
(comme le tenseur des contraintes), il peut sinterprter comme une contrainte. On introduit donc
un nouveau tenseur, appel tenseur de Reynolds : t = hu0 u0 i. Si on crit ce tenseur dans une
base cartsienne, on a une matrice symtrique
0 0
0 0 hu u i hu0 v 0 i
t = hu u i = .
hu0 v 0 i hv 0 v 0 i
Ce tenseur de Reynolds reprsente les contraintes effectives gnres par la turbulence du fluide ;
pour cette raison, on lappelle aussi tenseur des contraintes turbulentes. En effet, pour lcoulement
moyen, le mouvement erratique des particules de fluide gnre une dissipation supplmentaire par
rapport un coulement purement laminaire qui aurait le mme champ de vitesse et de pression. Le
premier effet de la turbulence est donc dinduire une dissipation dnergie supplmentaire.
La principale difficult rside dans le calcul du tenseur de Reynolds t . On peut se dire que puis-
quon vient dobtenir un jeu dquation pour le mouvement moyen, on peut faire de mme et driver
un jeu dquations pour u0 et p0 . On peut en effet obtenir un jeu dquations gouvernant les fluctua-
tions simplement en soustrayant aux quations de Navier-Stokes les quations de Reynolds. Toute-
fois, ce nouveau jeu dquations nest pas ferm. Tous les modles thoriques de calcul de t ont
t ce jour vous lchec et en pratique, il faut recourir des quations de fermeture empiriques,
cest--dire des relations qui permet de calculer de faon plus ou moins implicite t en fonction
des caractristiques de lcoulement. Il nexiste malheureusement pas dquation de fermeture uni-
verselle. chaque type de problme, il existe en gnral une quation de fermeture plus ou moins
complexe, dont lexprience a montr quelle pouvait fournir une approximation correcte. On va ici
prsenter la plus simple dentre elle (le modle dit de longueur de mlange), qui fournit une bonne
approximation de ce qui se passe pour des coulements prs dune paroi solide. Cest cette gomtrie
que lon va rencontrer le plus souvent dans les applications en hydraulique.
5.5.3 Problme de fermeture

Les quations de fermeture sont plus ou moins empiriques et plus ou moins complexes. Les plus
simples sont des fermetures algbriques o lon crit directement une relation entre grandeur fluc-
tuante et grandeur moyenne, par exemple en cisaillement simple (coulement prs dune paroi) :
dhui
= t ,
dy
avec t la viscosit turbulente. Les fermeture algbriques dpendent du problme trait. Ainsi :
loi de paroi t = t / = `2m dhui 3
dy , `m = y est la longueur de mlange introduite par Prandtl , qui
reprsente la taille caractristique des structures turbulentes prs de la paroi, et o 0,4 est
la constante de von Krmn ;
pour un jet t = ù.
On remarque ainsi que pour une paroi, le modle de la longueur de mlange prvoit que la contrainte
de cisaillement dpend du carr du taux de cisaillement dhu(y)i/dy et nest donc plus une fonction
linaire de dhu(y)i/dy comme pour le rgime laminaire, ce qui montre que la dissipation dnergie
(rappelons que la puissance dissipe scrit = dhu(y)i/dy) crot trs rapidement avec la vitesse
moyenne. Comme on le montre au 5.5.5, cette dpendance a galement une profonde influence
sur le profil de vitesse, puisque celui-ci devient logarithmique proximit de la paroi.
y
hu(y)i
vortex
Figure 5.11 : turbulence prs dune paroi.
5.5.4 Base exprimentale

Reynolds a mise en vidence simplement la turbulence en ralisant lexprience reporte sur la
figure 5.12 : il sagit dinjecter dans un coulement dans un tube cylindrique un filet dencre colore.
3. Ludwig Prandtl (18751953) est un mcanicien allemand. Chercheur et enseignant la rputation internationale bien
tablie, Prandtl est linstigateur de lcole de Gttingen en mcanique des fluides, qui attira parmi les meilleurs scientifiques
de lpoque. Les fondements de la thorie de la couche limite y furent tablies. La thorique de la longueur de mlange fut
dveloppe par Prandtl sur la base dune analogie entre le mouvement turbulent et la cintique des gaz.
Si lcoulement est laminaire, la trajectoire des particules est parallle la gnratrice du tube ; le filet
dencre reste donc un mince filet, qui peut ventuellement se diluer sous leffet de la diffusion mol-
culaire. Dans un coulement turbulent, en revanche, les trajectoires sont erratiques, ce qui conduit
une dispersion rapide de lencre et la formation de structures sous forme de volutes, appeles tour-
billons.
Figure 5.12 : mise en vidence de la turbulence (lexprience de Reynolds).

5.5.5 Exemple : coulement sur un plan inclin

On considre un coulement permanent uniforme dun fluide newtonien incompressible le long
dun plan infini. La hauteur dcoulement est h.
y
y=h
Figure 5.13 : coulement en rgime permanent le long dune plaque infinie incline dun angle .
tape 1 : recherche des symtries
Lcoulement est bidimensionnel. Il y a invariance par translation selon x et invariance par t

(coulement permanent). On en dduit que la vitesse selon x scrit donc u(y). Il ny a pas de vitesse
selon y : v = 0.
tape 2 : quations du mouvement
Les quations de Navier-Stokes scrivent
u v
+ = 0,
x y
qui est systmatiquement vrifie. La projection selon x des quations de conservation de la quantit
de mouvement donne
2
u u u p u 2u
+u +v = g sin + + 2 ,
t x x x x2 y
soit aprs simplification

p d2 u
0 = g sin + 2, (5.22)
x dy
On fait de mme pour la projete selon y
2
v v v p v 2v
+u +v = g cos + + ,
t x x y x2 y 2
soit aprs simplification

p
0 = g cos . (5.23)
y
Les conditions aux limites ;
cinmatique : condition dadhrence au fond
u=0; (5.24)
dynamique : contrainte nulle la surface libre ey = 0 (pression atmosphrique nglige)
du
p = 0 et y = 2 = 0 en y=h. (5.25)
dy
tape 3 : rsolution des quations en rgime laminaire
En rgime laminaire, la viscosit est constante. Lquation (5.23) montre que la pression est hy-
drostatique
p = g cos (h y).
On dduit donc lquation (5.22) de la quantit de mouvement selon (x) que
d2 u
g sin = ,
dy 2
qui sintgre facilement :
g sin 2
u(y) = y + y + ,
2
avec et des constantes dintgration. La condition aux limites (5.24) au fond implique que
= 0,
tandis que la condition aux limites (5.25) la surface libre

g sin
u0 (h) = h + = 0.

Le champ de vitesse scrit donc
g sin
u(y) = 2hy y 2 .
2
Le profil de vitesse est donc parabolique.
tape 4 : rsolution des quations en rgime turbulent
Si on fait lexprience avec du miel de masse volumique 1100 kg/m3 , de viscosit = 10 Pa.s, sur
un plan inclin de 30 et pour une hauteur h de 5 cm, on trouve que la vitesse moyenne vaut
Z
1 h 1 g sin 2
u = u(y)dy = h 45 cm/s
h 0 3
et donc le nombre de Reynolds vaut peu prs
1100 5 102 0,045
Re = = 2,47.
10
Lcoulement est donc laminaire et on peut appliquer les quations de Navier-Stokes. Que se passe-
t-il si on prenait de leau ( = 1000 kg/m3 et = 103 Pa.s) la place du miel ? Pour les mmes
conditions exprimentales, la vitesse de lcoulement serait en thorie de
u = 4087 m/s,
soit un nombre de Reynolds de

1000 5 102 4087
Re = = 2,4 108 .
103
Lcoulement serait donc turbulent et on ne peut plus appliquer les quations de Navier-Stokes.
On va donc crire les quations de la turbulence dans le cas du modle trs simple de la longueur
de mlange de Prandtl. La contrainte de cisaillement dans un rgime permanent uniforme scrit
daprs lquation (5.22)
= g sin (h y),
tandis que le modle de Prandtl donne la relation
du
= t ,
dy
avec t la viscosit turbulente

dhui
t = (y)2 ,
dy
o 0,41 est la constante de von Krmn et hu(y)i est la vitesse moyenne (dans le temps). Lqua-
tion du mouvement est donc
2
dhui
g sin (h y) = (y)2 , (5.26)
dy
soit
s
dhui g sin h 1
= ,
dy y2 y
dont lintgration donne

dhui g sin p h y i
=2 h y h arctanh 1 + c,
dy h
avec c une constante dintgration. On note que le profil de vitesse nest plus parabolique (voir fi-
gure 5.14) et diverge vers quand y 0. Pour viter cela, on impose une condition dadhrence
une hauteur y = y0 . Notons que malgr cela, lintgrale du champ de vitesse existe et vaut
Z h p
2 gh3 sin
dhu(y)idy = .
0 3
La vitesse moyenne est alors
Z h
1 2 gh sin
u = dhu(y)idy = .
h 0 3
Une application numrique pour leau nous donne une vitesse moyenne de 80 cm/s comparer avec
les 4087 m obtenus prcdemment.
0.8
0.6
y/h
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u( y )/umax
Figure 5.14 : profils de vitesse sous forme adimensionnelle pour un coulement en rgime permanent le long dune plaque
infinie incline dun angle : coulement turbulent (ligne continue) avec y0 = 104 m et c = 4,29 ; coulement laminaire
(ligne discontinue). umax est la vitesse la surface libre.
Remarque. On ralise souvent lintgration du profil de vitesse (5.26) en supposant que dans la
contrainte de cisaillement, si on est suffisamment prs du fond, alors y h (ce qui revient supposer
que la contrainte est constante et gale la contrainte paritale p = gh sin ). Ce faisant, on simplifie
lintgration puisque
dhui gh sin 1
,
dy y
soit r
1 p
hui = ln y + C,

avec C une constante dintgration. Cest pour cette raison que lon parle de profil de vitesse logarith-
mique pour dcrire un coulement turbulent prs dune paroi.
5.6 Synthse : quations de Navier-Stokes dans diffrents systmes

Rappelons lquation de Navier-Stokes sous forme tensorielle :

u
+ uu = p + T,
t
avec p la pression gnralise (p = p + , avec le potentiel gravitaire choisi tel que g = )
et T le tenseur des extra-contraintes qui prend la forme linaire T = 2D, D le tenseur des taux de
dformation, la viscosit dynamique.
Cette quation est complter par lquation de continuit qui, pour un fluide incompressible,
prend la forme :
u = 0.
Remarque importante : rappelons que les quations dEuler sont un cas particulier des quations de
Navier-Stokes lorsque la viscosit = 0 (cest--dire T = 0).
5.6.1 Coordonnes cartsiennes

Conservation de la quantit de mouvement

u u u u p Txx Txy Txz
+u +v +w = + + + ,
t x y z x x y z

v v v v p Txy Tyy Tyz
+u +v +w = + + + ,
t x y z y x y z

w w w w p Txz Tyz Tzz
+u +v +w = + + + ,
t x y z z x y z
Conservation de la masse (quation de continuit)
u v w
+ + = 0.
x y z
Les composantes de T sont facilement tablies partir de la dfinition du tenseur des extra-
contraintes pour un fluide newtonien : T = 2D avec D = 21 (D + D ) :

u 1 u v 1 u w
+ +
x 2 y x 2 z x
1 u v v 1 v w
T = 2 2 y + x y 2 z + y .

1 v w
1 u w w
2 z + x 2 z + y z
# Remarque importante : voir exercice no 2 pour une formulation plus simple des quations de
Navier-Stokes en coordonnes cartsiennes.
5.6.2 Coordonnes cylindriques

Conservation de la quantit de mouvement Se reporter la figure 1.10 pour la reprsentation des
coordonnes cylindriques.

u u 1 u v u p 1 rTrr 1 Tr Trz T
+u +v +w = + + + ,
t r r r z r r r r z r

v v 1 v u v 1 p 1 r2 Tr 1 T Tz Tr Tr
+u +v + +w = + 2 + + ,
t r r r z r r r r z r
5.6. SYNTHSE : QUATIONS DE NAVIER-STOKES DANS DIFFRENTS SYSTMES 109

w w v w w p 1 rTrz 1 Tz Tzz
+u + +w = + + + ,
t r r z z r r r z
Conservation de la masse (quation de continuit)
1 ru 1 v w
+ + = 0.
r r r z
Le tenseur des extra-contraintes scrit :
u 1 1 u v v
1 u

w
r 2 r + r r 2 z + r
1 1 u v v 1 v u 1 v 1 w
r + r r
T = 2 2 r + r 2 z + r
.
1 u w 1 v 1 w w
2 z + r 2 z + r z

1. On considre le champ de vitesse suivant dans le demi-plan y > 0 :
u = kx et v = ky,
avec k > 0 et o (u, v) sont les deux composantes de la vitesse. Le rgime est permanent. Le
demi-plan y 0 est occup par un solid ; la frontire y = 0 est donc une paroi solide.
calculer le tenseur gradient de vitesse de ce champ de vitesse ;
en dduire le tenseur des taux de dformation ;
calculer ltat de contrainte au point A sur la paroi, A ayant pour coordonnes (0, 1) ;
calculer les lignes de courant (trajectoire des particules) ;
est-ce que les conditions aux limites sont vrifies? Est-ce que le champ de vitesse pourrait
tre celui dun fluide newtonien?
2. Montrer que pour un fluide incompressible, les quations de conservation de la quantit de
mouvement de Navier-Stokes peuvent scrire galement :
2
u u u u p u 2u 2u
+u +v +w = + + 2 + 2 ,
t x y z x x2 y z

v v v v p 2v 2v 2v
+u +v +w = + 2
+ 2+ 2 ,
t x y z y x y z

w w w w p 2w 2w 2w
+u +v +w = + + + .
t x y z z x2 y 2 z 2
Remarque : ces quations scrivent sous forme gnrique :
du
= g p + 2u,
dt
avec
2f 2f 2f u
f = 2
+ 2 + ,
x y z 2
loprateur laplacien.
Annexe : exemples de rsolution complte
5.6.3 xprience de Newton
On ralise une exprience de cisaillement en rgime permanent. A priori, les composantes de

la vitesse sont des fonctions des variables x, y, et t. On va simplifier cette dpendance laide des
considrations suivantes :
Le rgime est permanent, donc on peut crire que t () = 0 pour chacune des composantes.
Lcoulement est unidirectionnel dans la direction x. La vitesse ne peut pas dpendre de x. At-
tention cela nest pas ncessairement vrai pour la pression car certains coulements unidirec-
tionnels sont dus un gradient de pression (coulement en charge). Nous verrons ici que la
pression est effectivement indpendante de x, mais cela nest pas vrai pour les coulements
dans des conduits ;
Au final, cela veut que lon les dpendances suivantes : p(x, y), u(y), et v(y).
h e
y
e
x
Figure 5.15 : exprience de Newton.
tape 2 : quations du mouvement
Les quations de Navier-Stokes pour un matriau incompressible scrivent
u = 0,
du
p + .
dt
On considre deux sortes de conditions aux limites :

cinmatique : que valent les vitesses aux limites du domaine fluide?
dynamique : et quelles sont les forces?
Pour les vitesses :
le long des plaque (en y = 0 et y = h), la condition de non-pntration sexprime
v=0 (5.27)
le long des plaque, la condition dadhrence donne
u = U en y = h, (5.28)
u = 0 en y = 0. (5.29)
Pour les forces :

pas de condition impose sur la plaque infrieure ;
en revanche, pour la plaque suprieure en mouvement, la force sur la facette suprieure doit
correspondre celle impose par la mise en mouvement de la plaque. Lquation du mouve-
ment pour la plaque de masse M et de vitesse v est
dv
M = M g + R + F,
dt
F = F ex la force applique par loprateur pour mettre la plaque en mouvement et R =
(Rx , Ry ) tant la force de raction (cest--dire la force exerce par le fluide sur la plaque), qui
par dfinition scrit Z
R= ey dS.
S
avec = p1 + le tenseur des contraintes totales. Le signe moins provient de lapplication
du principe daction et de raction. Comme la vitesse de la plaque est suppose constante, on
tire de lquation du mouvement de cette plaque que
F + Rx = 0.
M g + Ry = 0.
soit Rx = F et Ry = M g.
Cela donne donc Z
ey dS = F ey M gex ,
S
soit encore en y = h
Mg
p xx = , (5.30)
S
F
xy = = , (5.31)
S
avec S la surface de la plaque ;
sur la facette du fond, on pourrait crire que la force exerce par le fluide doit correspondre la
force de raction du support, mais on na pas besoin de conditions aux limites cet endroit. On
ne dtaille donc pas cette condition.
tape 3 : rsolution des quations
On commence rsoudre lquation de conservation de la masse :

u v
+ = 0,
x y
soit
v
= 0.
y
Il sensuit que v est constant, or la condition de non-pnration (5.27) impose v = 0.
Examinons le tenseur des taux de dformation

1 0 u0 (y)
D= ,
2 u0 (y) 0
o lon note que les termes normaux comme Dxx = (y2 u) sont nuls compte tenu de la dpendance
des composantes de la vitesse vis--vis des variables despace. Le tenseur des extra-contraintes scrit
donc :
0 u0 (y)
= 2D = .
u0 (y) 0
La projection selon x de ces quations donne
p p d2 u
0= + = + 2, (5.32)
x y x dy
o = xy = u0 (y) est la contrainte de cisaillement. On fait de mme pour la direction y
p
g = 0, (5.33)
y
do lon dduit que la pression est de forme hydrostatique
p = gy + a,
avec a une constante dintgration. La condition aux limites (5.30) donne
Mg
p= en y = h,
S
car xx = 0. Donc on dduit que a = M g/S + gh. Lintgration de lquation (5.32) donne :
u = by + c,
avec b et c deux constantes dintgration. Les conditions aux limites (5.285.29) imposent c = 0 et
b = U/h. Les profils de vitesse et de pression scrivent donc
y Mg
u=U et p = + g(h y).
h S
La force de frottement correspond la force applique par loprateur
du U
F = S = S = S .
dy h
On vrifie donc la relation trouve exprimentalement par Newton, qui affirme que la force de frot-
tement est une fonction linaire de la vitesse U de la plaque et varie inversement proportionnelle
lespacement h entre les deux plaques.
5.6.4 xprience de Trouton
On ralise une exprience dlongation en rgime permanent. A priori, les composantes de la

vitesse sont des fonctions des variables x, y, z, et t. On va simplifier cette dpendance laide des
considrations suivantes :
Le rgime est permanent, donc on peut crire que t () = 0 pour chacune des composantes.
Lcoulement est unidirectionnel dans la direction y. Comme il sagit dun mouvement dlon-
gation, cela veut dire que deux particules initialement contenues dans le mme plan horizontal
restent au mme niveau, donc v ne peut pas dpendre de x ou z (sinon la barre serait en tor-
sion).
Le problme est invariant par rotation de /2, donc x et z jouent le mme rle (on doit donc
avoir des quations identiques) et les vitesses selon x et z sont identiques.
Mme raisonnement pour la dpendance de u et w en y : ces deux composantes ne peuvent
pas dpendre de y car sinon la surface libre (ct BC ou DA), il y aurait des dformations non
homognes. Par ailleurs, on doit avoir une contraction dans la direction x et z cause de la
conservation du volume (matriau incompressible) : on gagne en longueur, donc on perd en
largeur.
La symtrie fait que u ne peut pas dpendre de z et vice versa, w ne peut pas dpendre de x.
Au final, cela veut que lon les dpendances suivantes : u(x), w(z), et v(y).
y
n = ey
t +dt
A B
y=l
t
D C
x
0
Figure 5.16 : exprience de Trouton : longation axiale dun barreau de fluide soumis une contrainte normale = F/S
tape 2 : simplification des quations
Dans le cas de lexprience de Trouton, llongation nest possible que si le matriau est trs vis-
queux sinon la barre seffondrerait sous leffet de la gravit et si les vitesses dlongation sont faibles.
Typiquement avec : 104 Pa.s, 2000 kg/m3 , U0 = 1 mm/s, et L0 = 0,1 m, le nombre de Reynolds
est de lordre de
2 103 101 103
Re = = 2 105 ,
104
ce qui implique que Re est trs petit et quon peut ngliger les termes inertiels. On peut donc consi-
drer que les quations de Stokes sont une approximation correcte des quations de Navier-Stokes.
Examinons le tenseur des taux de dformation
0
u (x) 0 0
D= 0 v 0 (y) 0 ,
0 0 w0 (z)
o lon note que les termes de cisaillement comme Dxy = (y u + x v)/2 sont nuls compte tenu de
la dpendance des composantes de la vitesse vis--vis des variables despace. Le tenseur des extra-
contraintes scrit donc :

2u0 (x) 0 0
= 2D = 0 2v 0 (y) 0 .
0 0 2w0 (z)
Les quations de Stokes pour un matriau incompressible scrivent
u = 0,
p + = 0.
La projection selon x de ces quations donne
p x p 2u p
+ = + 2 2 = + 2u00 (x), (5.34)
x x x x x
o x = 2u0 (x) est la contrainte normale dans la direction x. On fait de mme pour les autres direc-
tions
p y p 2v p
g + = g + 2 2 = g + 2v 00 (y), (5.35)
y y y y y
p z p 2w p
+ = + 2 2 = + 2w00 (z). (5.36)
z z z z z
Lquation de conservation de la masse donne :
u u w
+ + = 0. (5.37)
x y z
tape 3 : conditions aux limites
On considre deux sortes de conditions aux limites :

cinmatique : que valent les vitesses aux limites du domaine fluide?
dynamique : et quelles sont les forces?
Pour les vitesses :
sur la facette du fond CD, on a
v=0 (5.38)
(barre fixe sur le fond) ;
sur la facette suprieure AB, on a
v = ` (5.39)
o ` = d`(t)/dt (la vitesse du fluide correspondant la vitesse impose par loprateur. Cette
vitesse est la drive par rapport au temps de la distance ` = DA ;
sur les facettes latrales BC et DA, on ne peut rien dire pour u et w. On note toutefois quil sagit
dun mouvement de contraction, donc la vitesse
u sannule en x = 0 et w en z = 0. (5.40)
Les composantes des vitesses u et w doivent tre des fonctions impaires.

Pour les forces :
pas de force sur les facettes latrales BC et DA ;
la force sur la facette suprieure doit correspondre celle impose par loprateur. Cela donne
donc Z
ey dS = F ey ,
S
avec = p1 + le tenseur des contraintes totales. Soit encore

F
y p = en y = `, (5.41)
S
avec S = a2 la section de la barre (en toute rigueur il faudrait tenir compte de la contraction de
la barre, mais on note que si la largeur diminue de , on a S = (a )2 = a2 + 2a + 2 a2 au
premier ordre) ;
sur la facette du fond, on pourrait crire que la force exerce par le fluide doit correspondre la
force de raction du support, mais on na pas besoin de conditions aux limites cet endroit. On
ne dtaille donc pas cette condition.
tape 4 : rsolution des quations
On commence rsoudre lquation de conservation de la masse. On note que cette quation

doit tre valable pour tout x, y, z. Lquation de conservation de la masse (5.37) nest vrifie que si
u0 , v 0 , et w0 sont des constantes et que la somme de ces constantes est nulle. De plus, on doit w0 (z) =
u0 (x) = cte. On pose donc

= v 0 (y) et u0 (x) = w0 (z) = ,
2
o est une constante dterminer. Lintgration de la premire quation donne
v(y) = y + ,
avec une constante dintgration. On se sert des conditions aux limites (5.385.39) pour trouver
`
= et = 0.
`
On fait de mme pour u0 = /2, dont lintgration fournit

u(x) = x + ,
2
avec une constante dintgration On se sert de la condition aux limites (5.40) pour trouver
= 0.
Le champ de vitesse w est galement

w(z) = z.
2
Reste maintenant trouver la pression. La projection selon x de la quantit de mouvement [qua-
tion (5.34] donne par intgration selon x
p + 2u0 (x) + C(y, z) = 0,
avec C une constante dintgration, qui dpend a priori de y et z puisquon intgre selon x. Pour
trouver C, on substitute lexpression p = 2u0 (x) + C(y, z) = + C(y, z) dans les quations (5.35
5.36)
p C C
g + 2v 00 (y) = g + 2v 00 (y) = g = 0,
y y y
dont lintgration selon y donne
C(y, z) = gy + D(z),
avec D une constante dintgration, qui dpend a priori de z. Par raison de symtrie, la pression
ne peut pas tre une fonction de z via D [on pourrait faire le calcul en commenant dabord par
lquation (5.36) selon z]. D est ici une simple constante de pression hydrostatique (la pression doit
tre nulle sur AB do D = g` et C = g(` y). Au final, on arrive
p = + g(` y).
On a rsolu tout le problme. Pour revenir lexprience de Trouton, on peut faire remarquer quen
y = `, on a daprs lquation (5.41)
F
y p = 2 + = ,
S
soit encore
F 3 d`
= ,
S ` dt
qui est bien la loi exprimentalement vrifie par Trouton.
117
Chapitre 6
Analyse dimensionnelle et thorie de

la similitude
Prrequis
notion dunit physique
Objectifs
introduire la notion de nombre sans dimension ;
montrer comment on peut rduire le nombre de variables dans un problmes laide
dune thorme de Vaschy-Buckingham ;
prsenter lintrt des rsultats exprimentaux prsents laide de variables adi-
mensionnelles ;
introduire les concepts la base de lutilisation de modles rduits.
Contenu
Ce chapitre est une introduction la similitude des phnomnes physiques quand on change
la taille caractristique des expriences. On peut montrer quil existe une invariance dchelle pour
certains phnomnes, cest--dire certains rsultats en mcanique des fluides sont valables quelle
que soit lchelle dexprience (du micromtre au kilomtre par exemple).
La thorie de la similitude peut aussi servir rduire le nombre de variables physiques utiles dans
une tude en recherchant des combinaisons de variables, qui nont pas dunit physique (nombre
sans dimension). Le nombre de Reynolds vu au chapitre prcdent en a fourni un exemple.
118 CHAPITRE 6. ANALYSE DIMENSIONNELLE ET THORIE DE LA SIMILITUDE
6.1 Introduction
Par thorie de la similitude, on entend lusage de nombre sans dimension et le support thorique
permettant dinterprter les expriences ralises petite chelle et visant reproduire des phno-
mnes complexes.
Exemple. Par exemple, il est souvent trs difficile de calculer numriquement ou thorique-
ment le fonctionnement dun ouvrage hydraulique ou bien, si cela est possible, cela peut tre trs
coteux (en temps, en argent) de faire une tude complte. Il peut alors tre intressant de procder
des essais chelle rduite au laboratoire sur des maquettes. La question est comment utiliser les
donnes obtenues chelle rduite pour dduire les caractristiques du phnomne en grandeur
relle.
La thorie de la similitude est un ensemble de rgles qui vise :
proposer des nombres sans dimensions 1 tels que le nombre de Reynolds ou le nombre de
Froude ;
simplifier les quations de base ;
diminuer le nombre de paramtres pertinents ncessaires ltude exprimentale (mais gale-
ment numrique ou thorique) des phnomnes ;
tablir les critres respecter pour quune exprience chelle rduite soit reprsentative dun
phnomne en grandeur relle (on dit que lexprience est en similitude avec le phnomne) ;
fournir les relations de changement dchelle entre expriences.
6.2 Le thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme
6.2.1 Exemple : calcul de la force de trane
Exemple. Commenons par un exemple. On veut calculer la force dite de trane exerce par
un fluide newtonien (incompressible) sur une particule sphrique de diamtre 2r. La force se calcule
comme : Z
F= ndS,
S
avec n la normale la surface S de la particule et le tenseur des contraintes du fluide, cest--dire
= p1 + 2D, avec p la pression, d le tenseur des taux de dformation, la viscosit dynamique.
Cest un problme complexe rsoudre puisquil faudrait rsoudre en mme temps les quations de
Navier-Stokes pour dcrire la phase fluide anime dune vitesse uf :

uf
+ uf uf = g p + 2 D,
t
u = 0,
et lquation de la quantit de mouvement pour la particule :
dup
mp = mp g + F,
dt
avec mp la masse la particule et up sa vitesse. Les conditions aux limites sont de plus : uf = up + r
sur la surface S de la particule, avec la vitesse de rotation de la particule donne lquation de
conservation du moment cintique :
Z
d
Jp = r (n)dS.
dt S
avec Jp = 2mr2 /5 le moment dinertie.

1. cest--dire qui nont pas de dimension (unit) physique
6.2. LE THORME DE VASCHY-BUCKINGHAM OU THORME 119

Figure 6.1 : coulement dun fluide autour dune sphre.
On a 5 variables : la force F que lon cherche calculer, la viscosit dynamique , la masse volu-
mique , le rayon de la particule r, et sa vitesse relative par rapport au fluide u = |up uf |. La premire
chose faire est de dterminer les units de ces grandeurs physiques dans le systme international
en ne faisant appel quaux grandeurs fondamentales, savoir :
unit de distance : le mtre [m],
unit de temps : la seconde [s],
unit de masse : la masse [kg].
Les units ou dimensions physiques sont reportes dans le tableau physique :
variable F u r
unit (SI) kg m s2 m s1 kg m3 kg m1 s1 m
exposant a b c d e
On recherche la force F en fonction de r, , u, et : F = (u, , , r) sil existe une relation univoque

ou bien, de faon plus gnrale, (F, u, , , r) = 0. Il semble vident, sans mme faire de physique,
quon ne peut pas prendre nimporte quelle fonction pour des raisons dhomognit des dimen-
sions physiques. Par exemple :
F = ur,
nest pas possible car cela nest pas homogne : [kg m s2 ] 6= [kg3 m1 s4 ] ! Il faut donc que la com-
binaison des diffrentes units donne un rsultat cohrent du point de vue dimensionnel. Lanalyse
dimensionnelle nest, dune certaine faon, que la recherche des combinaisons possibles entre va-
riables physiques respectant les contraintes dhomognit dimensionnelle.
Quelles sont les possibilits ? Pour cela, recherchons les paramtres a, b, c, d, et e permettant de
former des combinaisons homognes du point des dimensions physiques. Si on a relation gnrale
de la forme (F, u, , , r) = 0, cela veut dire que les combinaisons des units doivent vrifier :
[F ]a [u]b []c []d [r]e = 0,
soit encore en se servant des units des variables (voir tableau ci-dessus) :
a + c + d = 0,
a + b 3c + d + e = 0,
2a b d = 0.
On a 3 quations pour 5 inconnues ; on ne peut donc en dterminer que 3 et les 2 inconnues res-
tantes doivent tre considres comme des variables libres (ou ajustables). Prenons par exemple a et
d comme variables libres 2 et dterminons les autres paramtres b, c, et e. On trouve :
b = (2a + d), c = (a + d), e = b = (2a + d).
Une implication de cette analyse est galement que la relation gnrale (F, u, , , r) = 0 de dimen-
sion 5 peut en fait se rduire une relation de dimension 2 (puisquon na que 2 variables libres a et
2. Ce choix nest justifi ici que par notre dsir de disposer de deux nombres sans dimension, lun relatif la force de trane,
lautre la viscosit.
d) que lon note gnriquement sous la forme (1 , 2 ) = 0. Les nombres 1 et 2 sont des nombres
sans dimension ; on a une infinit de choix selon la valeur de a et d, mais deux critres doivent nous
aider dans ce choix :
trouver des nombres avec une signification physique ;
trouver des nombres indpendants 3 .
Pour 1 , considrons par exemple a = 1 et d = 0, on a alors b = 2, c = 1, d = 2, soit :
F
1 = .
r2 u2
Pour 2 , considrons par exemple a = 0 et d = 1 (on est sr que les nombres sont indpendants), on
a alors b = 1, c = 1, d = 1, soit :
1
2 = =2 .
ru Re
On a reconnu le nombre de Reynolds particulaire Re = (2r)u/ avec = / la viscosit cinmatique.
Toute fonction de 1 et/ou 2 peut tre utilise pour dfinir des nombres sans dimension. Ainsi,
arbitrairement du point de vue mathmatique (mais cela a un sens physique), on dfinit les nombres
sans dimension utiles pour notre problme :
F ru
1 = 1 2 2
et 2 = Re = .
2 r u

La relation recherche doit ncessairement scrire sous la forme :
(1 , 2 ) = 0,
ou encore
F
1 2 2
= (Re).
2 r u
On appelle le coefficient de trane et on le note le plus souvent Cd ; F est la force de trane 4 . On

montre thoriquement en rsolvant les quations de Navier-Stokes dans le cas Re 1 (cest--dire ,
les termes inerties sont ngligeables 5 ) :
F 24
1 2 2
= (Re) = quand Re 0.
2 r u
Re
Cette relation est appele loi de Stokes et elle est utile par exemple pour calculer une vitesse de sdi-
mentation de particules fines (il faut que Re 1). Mise sous forme dimensionnelle, on tire :
F = 6ru.
grand nombre de Reynolds (Re 1), les expriences montrent que :
F
1 2 2
= (Re) 0,4 0,5 quand Re .
2 r u
La figure 6.2 montre la variation du coefficient de trane en fonction du nombre de Reynolds

particulaire.
N Une chose importante retenir : on peut dfinir un nombre indfini de nombre sans dimension
puisque toute combinaison de nombre sans dimension est galement sans dimension. Il faut choisir
et dfinir les nombres de telle sorte quils aient un sens physique. Cela est assur si lon dfinit le
3. Si (a, d) reprsente les coordonnes dun vecteur de dimension 2, alors on doit choisir des vecteurs non colinaires. Par
exemple le choix (a, d)=(0, 1) et (a, d)=(1, 0) est correct ; le choix (a, d)=(0, 1) et (a, d)=(0, 2) est incorrect.
4. Il existe dautres types de forme dinteractions entre un fluide et une particule.
5. On a vu que les quations de Navier-Stokes sappelaient quations de Stokes dans ce cas-l.
6.2. LE THORME DE VASCHY-BUCKINGHAM OU THORME 121
Figure 6.2 : variation du coefficient de trane avec le nombre de Reynolds particulaire.
nombre sans dimension comme un rapport soit de longueurs, soit de forces (contraintes), soit de
temps. Par exemple le nombre de Reynolds est :
2ur u2 inertie
Re = =2 u ,
r contrainte de cisaillement
on peut donc dfinir le nombre de Reynolds comme le rapport des forces dinertie sur les forces
visqueuses. On peut galement, dans le cas particulier du nombre de Reynolds, interprter le nombre
sans dimension comme un rapport de temps caractristiques :
2ur u (2r)2 tturb.

Re = = = ,
2r tec.
avec tec. = u/(2r) le temps de relation de la particule (temps reprsentatif mis par la particule pour
parcourir une distance gale son diamtre) et tturb. = (2r)2 /() un temps caractristique de diffu-
sion de la turbulence. Toujours avec le nombre de Reynolds, on peut montrer quil sagit aussi dun
rapport de longueurs caractristiques :
2ur u `part.
Re = = 2r = ,
`turb.
avec `part. = 2r la longueur caractristique de la particule et `turb. = /u la taille caractristique des

tourbillons de la turbulence.
6.2.2 Thorme de Vaschy-Buckingham

Considrons que nous cherchons calculer une variable a dpendant de k 1 autres variables
indpendantes et possdant une unit physique diffrente :
a = (a1 , a2 , , ak1 ),
ces variables sont dfinies dans un systme de mesures faisant appel p units fondamentales (en
gnral, p = 3 avec comme units fondamentales : le mtre, la seconde, le kilogramme). Le thorme
de Vaschy-Buckingam ou thorme dit quon peut former m = k p nombres sans dimension et
quau lieu dtudier un problme de dimension k : a = (a1 , a2 , , ak1 ), on peut se ramener un
problme de dimension m < k explicit en termes de nombres sans dimension :
1 = (1 , 2 , , m1 ).
Les m nombres sans dimension sont systmatiquement crits comme des fonctions monomiales des
variables ai :
i ni ni
i = an0 a1 1 ak1
k1
,
Les m k exposants nji sont inconnus et sont dtermins en rsolvant un systme linaire obtenu
en considrant les units physiques de chaque variable. Voir lexemple prcdent pour un exemple
pratique.
On prendra soin de dfinir des nombres sans dimension ayant une signification physique. noter
que ces nombres sans dimension peuvent tre obtenus sans passer par le thorme en examinant
les quations du mouvement et en les rendant sans dimension, cest typiquement ce qui a t fait au
5.3 pour les quations de Navier-Stokes. Cest trs souvent prfrable car cela permet didentifier et
dfinir proprement les nombres sans dimension pertinents.
Exemple. Calcul de la puissance dune explosion nuclaire

Il sagit dun exemple clbre dapplication de lanalyse dimensionnelle ralise par Taylor en
1950. Aprs la seconde guerre mondiale, les autorits amricaines ont lev le secret dfense concer-
nant des sries de clichs dune explosion atomique car elles les jugeaient inexploitables par des
puissances trangres. Pourtant, Taylor par un simple raisonnement dimensionnel parvint calculer
la puissance de lexplosion (donne qui, elle, tait reste confidentielle) !
Figure 6.3 : extrait des sries de photographies dune explosion atomique par Mack.
Daprs Taylor, leffet premier dune explosion atomique est londe de pression prcdant la boule
de feu (voir figure 6.3) et dont lordre de grandeur est de plusieurs centaines datmosphres. Trois
paramtres gouvernent ce processus : la quantit dnergie injecte (la puissance) E [kg m2 s2 ], la
masse volumique de lair [kg m3 ], le rayon rf de la boule [m], et le temps t depuis lexplosion [s].
On a 4 variables et 3 units fondamentales. On peut donc former un nombre adimensionnel :
rf
= 1/5 2/5 .
E t 1/5
Pour une explosion donne, ce nombre doit tre constant, ce qui implique que : rf E 1/5 t2/5 au
cours du temps. La connaissance exprimentale (voir figure 6.4) de la relation rf (t) a permis Taylor
de calculer lexplosion atomique.
6.3 Analyse dimensionnelle et quations du mouvement

Lanalyse dimensionnelle offre des techniques efficaces pour obtenir une ide gnrale de la so-
lution dun problme mme dans des cas complexes. Lide est de chercher les termes prdominants
dans les quations du mouvement ; en ngligeant les autres termes et en crivant des ordres de gran-
deur pour estimer les termes diffrentiels, on peut gnralement aboutir des estimations du com-
portement de la solution.
On considre lexemple dun supertanker, qui schoue contre un rcif. Au moment de limpact,
la paroi est ventre et commence librer instantanment du ptrole (assimil un fluide visqueux
6.3. ANALYSE DIMENSIONNELLE ET QUATIONS DU MOUVEMENT 123
rf
150
100
70
50
30
20
15
t
0.0001 0.00050.001 0.005 0.01 0.05
Figure 6.4 : comparaison entre la loi de similitude de Taylor et le rayon rf calcule partir des sries de photographies ato-
miques par Mack.
newtonien incompressible de viscosit dynamique et de masse volumique ). Le volume par unit

de largeur du bateau est V ; la largeur de la cale est `. Le problme est considr comme bidimen-
sionnel (on nglige les courants marins ainsi que les effets du vent dans la diffusion de la nappe de
ptrole). Pour simplifier lanalyse du problme, on suppose que seul le rservoir au-dessus de la ligne
de flottaison est concern. On appelle h(x,t) la hauteur de fluide ; h0 dsigne la hauteur de fluide ini-
tiale dans le rservoir.
Pour les applications numriques, on prendra = 1 Pa s et = 1 kg/m3 (caractristiques du
ptrole de lErika qui stait chou en 1999 sur les ctes bretonnes). La cargaison totale est de 31 000
m3 pour une longueur de 184 m, soit V 170 n2 ; on a aussi h0 = 10 m et ` = 20 m.
y
supertanker
Figure 6.5 : coulement dune nappe de ptrole le long de locan.
Les quations du mouvement sont les quations de Navier-Stokes

u
+ uu = g p + u , (6.1)
t |{z} | {z }
| {z } gradient de pression viscosit
inertie
u = 0, (6.2)
avec u = (u, v) le champ de vitesse et p la pression.
6.3.1 Rgimes dcoulement

Au cours de laffaissement et sa propagation la surface de locan, le volume de ptrole connat
plusieurs rgimes distincts. Chacun de ces rgimes correspond un quilibre entre deux termes pr-
pondrants de lquation de conservation de la quantit de mouvement (6.1). On a a ainsi
aux temps trs petits, il y a une acclration brutale du fluide, qui acquiert trs rapidement une
vitesse constante. Ce rgime dcoulement est analogue une rupture de barrage (voir cours
dhydraulique) et pour cette raison on lappellera rgime de rupture ;
aux temps petits (quelques temps aprs la rupture de la coque), le fluide a commenc span-

cher assez largement en dehors du bateau et un quilibre entre inertie et gradient de pression
stablit. La rupture ayant induit une acclration brutale du fluide, linertie reste grande pen-
dant un certain temps aprs la rupture. Dans le mme temps, le fluide commence se dformer
en schappant de la coque, mais comme la distance parcourue est assez petite (voir figure 6.6,
rectangle hachur), le gradient de pression est galement considrable. Les forces de frottement
visqueux nont pas le temps dagir. Lanalyse dimensionnelle des termes va montrer quon a bien
un quilibre entre inertie et gradient de pression. Ce rgime est appel rgime inertiel ;
aux temps longs, le fluide a commenc staler et lcoulement a une forme de plus en plus
oblongue, ce qui laisse penser que linertie devient de plus en plus petite alors que dans le
mme temps les forces de frottement visqueux ont un effet de plus en plus grand. Lquilibre se
fait entre viscosit et gradient de pression. Ce rgime est appel le rgime visqueux.
On pourrait galement imaginer un quilibre entre inertie et viscosit puisque du fait de ltalement,
le gradient de pression diminue galement.
A
h(x,t)
h0
x
O Q F
Figure 6.6 : schmatisation du mouvement.
6.3.2 Analyse dimensionnelle des quations

Pour obtenir une solution trs approche, on nglige les dtails sur la forme de la couche de p-
trole et on considre qu tout instant, cette couche peut tre dcrite comme une couche rectangu-
laire de hauteur uniforme h(x,t) et de longueur x (la distance entre le front et le fond de cale, le point
O sur la figure 6.6). La conservation de la masse entrane que pour tout t, on a
h(x,t)x = V.
Lquation de conservation de la quantit de mouvement (6.1) projete sur laxe Ox scrit

2
u u u p u 2u
+u +v = + + .
t x y x x2 y 2
Lordre de grandeur de la pression est p gh (pression proche de la pression hydrostatique car

lcoulement est surface libre) et lordre de grandeur de la vitesse est u x/t. Pour les diffrentielles
dune quantit f , on utilisera les approximations suivantes
f f f f f f f
= , = , et = =x .
t t x x y h V
6.3. ANALYSE DIMENSIONNELLE ET QUATIONS DU MOUVEMENT 125
Rgime de rupture
Le rgime de rupture correspond la mise en mouvement dun volume fini V de fluide. On peut
quantifier cela laide de la relation de Bernoulli : imaginons un point F situ au bas droit de la paroi.
Au moment de la rupture suppose instantane, la pression de ce point passe brutalement de la
pression hydrostatique p0 = gh0 la pression atmosphrique pa = 0 ( une constante prs). Si
on applique lquation de Bernoulli
u20 u2
p0 + + gy = pa + i + gy,
2 2
une diminution brutale de pression induit une augmentation
instantane de la vitesse : lordre de
grandeur de la vitesse initiale serait donc ui 2 gh0 daprs lquation de Bernoulli (car le fluide
tait initialement au repos u0 = 0).
En mme que du fluide schappe du bateau, une onde rgressive se propage dans la cuve du
bateau de la droite vers la gauche jusqu ce que le point A situ sur la paroi oppose soit touche
(voir figure 6.6, ligne tirete). La vitesse de propagation de cette onde au point Q (voir figure
6.6, ligne
pointille) est donne par la vitesse des ondes pour les coulements peu profonds : uQ = gh0 . Cette
onde met un temps t1 = `/uQ pour atteindre la paroi oppose.
partir de ce moment l, lcoulement va entrer dans un nouveau rgime.
Dans le cas dun ptrolier de type Erika, le temps t1 est 2 s (ui = 10 m/s).
Rgime inertiel
Aux petits temps, le rgime est inertiel, cest--dire lcoulement est gouvern par un quilibre
entre pression et inertie. Lquation de quantit de mouvement implique donc
u p
,
t x
o lon a nglig le frottement visqueux. Notons aussi que dans les termes inertiels, on na retenu que
lacclration locale. Cest un peu arbitraire et cela ne change pas le rsultat de lanalyse (on aurait
aussi bien pu prendre les termes convectifs). On fait les approximations suivantes
u x p gh
2 et
t t x x
En liminant h = V /x, on aboutit
x3 gV t2 ,
ce qui montre que la position du front varie comme t2/3 . Si on examine maintenant le terme visqueux
2
u 2u u u u x3
+ + =
x2 y 2 x2 h2 h2 tV 3
o lon a nglig 2 u/x2 2 u/y 2 car h x. Par ailleurs, comme x (gV t2 )1/3 , on dduit que
2u gt
2
.
x V
Si on compare maintenant les forces dinertie et de frottement, on obtient le rapport suivant
2 1/3
yu2
7/3
t 3/7 g 2/7 7/3 t
I= = 2 = t = ,
u
t
h V 4/7 tc
avec tc = V 4/7 / 3/7 /g 2/7 un temps critique de transition. Le rapport I est trs petit tant que t tc . Le
temps tc marque donc la transition vers un rgime visqueux o le frottement visqueux devient un des
lments de la dynamique de ltalement. Lapplication numrique donne ici tc = 190 s, soit environ
3 min.
Rgime visqueux
Pour ce rgime, lcoulement est domin par lquilibre entre gradient de pression et force de
frottement
2u p
2 ,
y x
soit comme
2u x 1 p gh
et ,
y 2 t h2 x x
on dduit que
gV 3
x5 t,

donc le front avance comme x (gV 3 /)1/5 t1/5 . On peut comparer cette solution avec la solution
thorique complte dtermine au 5.4.4, o lon avait trouv que la position du front tait
1/5
gV 3
xf = 1,133 t1/5 ,

soit la mme solution au facteur multiplicatif 1,13 prs.
Synthse
La position du front en fonction du temps est reporte la figure 6.7.
x t1/5
xt x t2/3
t
rgime de rupture rgime inertiel rgime visqueux
Figure 6.7 : position du front de lcoulement en fonction du temps selon le rgime.
On peut se poser la question sil existe un rgime dquilibre entre linertie et la viscosit. Pour
quun tel rgime existe, cela veut dire que linertie devient prpondrante par rapport au gradient de
pression. Comparons donc les deux contributions
u
t 1 x3
J= p
.
x
gV t2
Pour que linertie lemporte, il faut que J 1, donc que x croisse plus vite que t2/3 , ce qui nest pas
possible ici. On en conclut que ce rgime ne peut pas prendre place en pratique.
6.4. SIMILITUDE EN INGNIERIE 127
6.4 Similitude en ingnierie
6.4.1 Principes
En ingnierie on utilise souvent des modles rduits prsentant la mme forme que le modle en
grandeur relle (similitude gomtrique) et on recherche des matriaux et des conditions dcoule-
ment au laboratoire pour crer des coulement en similitude (dynamique).
La similitude du modle rduit avec le phnomne tudier est assure quand tous les para-
mtres de similitude (cest--dire les nombres sans dimension introduits lors de lanalyse dimen-
sionnelle, par exemple en utilisant le thorme ) sont identiques aux deux chelles.
Il nest pas toujours possible de respecter strictement les critres de similitude. Cela na pas les
mmes consquences selon le problme en question :
par exemple en arodynamique, la similitude se fonde sur le nombre de Reynolds. On observe
que le coefficient de trane Cd (Re) tend vers une constante quand Re 1 (voir figure 6.2). La
valeur exacte de Re nest donc pas trs importante ;
dans dautre cas, cela a des rpercussions. En sdimentologie, la force de trane est en Re1 ,
donc la vitesse peut tre trs sensible au nombre de Reynolds !
Dans certains cas, il est possible de contourner la difficult en modifiant le rapport de similitude
gomtrique. On parle de distorsion gomtrique par exemple quand, pour modliser une rivire, on
emploie une chelle de largeur diffrente de lchelle de longueur. On parle de similitude incomplte
quand seuls quelques-uns des critres sont satisfaits. Cest souvent le cas en transport solide o il est
difficile de satisfaire la similitude dynamique (nombre de Froude) de la phase liquide et celle de
la phase solide.
Enfin il faut prendre garde au fait que la diminution dchelle peut donner lieu de nouveaux
phnomnes comme la capillarit : par exemple dans le cas de la simulation dune rivire, si lon
diminue trop lchelle dobservation au laboratoire, il y a de fortes chances quun coulement deau
soit influenc par les tensions de surface la surface libre, qui modifient la forme des vagues, des
ressauts, les vitesses dcoulement, etc.
129
Chapitre 7
coulements laminaires en charge
7.1 Introduction
Il faut bien diffrencier :
les coulements en charge : le fluide est mouvement parce quon applique un gradient de pres-
sion ;
les coulements surface libre : le fluide est mouvement sous leffet de laction de la gravit (en
gnral).
Dans une conduite il existe une relation entre la vitesse et la pression, relation qui peut tre dcrite
laide de lquation de Bernoulli. On introduit la charge :
p u2
H =z+ + ,
%g 2g
avec z la hauteur (nergie potentielle) lendroit considr, p/(%g) la hauteur pizomtrique, et u2 /(2g)
la hauteur cintique. Pour un fluide parfait, la charge reste constante. Pour un fluide rel, elle dimi-
nue dans la direction de lcoulement
dH
< 0.
dx
Cela traduit la dissipation dnergie par frottement visqueux. Cette dissipation traduite en termes de
charge hydraulique sappelle la perte de charge.
7.2 quations du mouvement
7.2.1 Coordonnes cartsiennes

On va sintresser des coulements dans des sections rectangulaires. Laxe des abscisses x est
pris selon la direction de lcoulement alors que laxe des ordonnes y est perpendiculaire la surface
dcoulement. Les quations du mouvement sont les quations de Navier-Stokes sont composes
dune quation de continuit
u v
+ = 0, (7.1)
x y
et des quations de quantit de mouvement :

u u u p Txx Txy
% +u +v = %g sin + + , (7.2)
t x y x x y

v v v p Tyy Txy
% +u +v = %g cos + + , (7.3)
t x y y y x
130 CHAPITRE 7. COULEMENTS LAMINAIRES EN CHARGE
avec :
u v u v
Txx = 2 , Tyy = 2 , et Txy = = + .
x y y x
En se servant de lquation de continuit, on peut aussi crire les quations de Navier-Stokes sous
la forme dune quation souvent plus simple mmoriser (et parfois rsoudre) puis que dans le
membre de droite on reconnat le laplacien de la composante u ou v :

u u u p 2 u 2 u
% +u +v = %g sin + + 2, (7.4)
t x y x x2 y

v v v p 2 v 2v
% +u +v = %g cos + 2 + 2. (7.5)
t x y y x y
Ces quations ne sont valables quen coordonnes cartsiennes ; le repre est inclin dun angle
par rapport lhorizontale. Souvent ici = 0 (mais pas forcment) ; afin de sabstraire de ces pro-
blmes, on introduira la pression gnralise : p = p + %gy (pour = 0).
Les conditions aux limites sont les conditions habituelles dadhrence et non-pntration pour
les composantes de la vitesse ; cela sajoutent des conditions sur la pression du fluide lentre et
la sortie de la conduite.
7.2.2 Coordonnes cylindriques
On va sintresser des coulements dans des canalisations base circulaire ; laxe z correspond
laxe de la canalisation. En coordonnes cylindriques, le jeu dquations du mouvement prend une
forme plus complexe :

u u 1 u v u p 1 ru 1 2u 2u 2 v
% +u +v +w = + + 2 2 + 2 2 ,
t r r r z r r r r r z r

v v 1 v u v 1 p 1 rv 1 2v 2v 2 u
% +u +v + +w = + + 2 2
+ 2+ 2 ,
t r r r z r r r r r z r

w w v w w p 1 w 1 2w 2w
% +u + +w = + r + + ,
t r r z z r r r r2 2 z 2
1 ru 1 v w
+ + = 0.
r r r z
7.3 coulement permanent uniforme laminaire
7.3.1 Dfinitions
On introduit les notions suivantes

coulement de Couette : coulement entre deux plans horizontaux parallles. Ici on considre
quils sont spars dune distance e = 2b et de largeur ` ;
coulement de Poiseuille : coulement dans un cylindre base circulaire. Ici on considre que le
rayon est R.
on dit quun coulement est permanent si les drives locales par rapport au temps sont nulles.
Par exemple pour la vitesse :
u
= 0.
t
7.3. COULEMENT PERMANENT UNIFORME LAMINAIRE 131
Figure 7.1 : coulement de Couette dans une canalisation rectangulaire.
Figure 7.2 : coulement de Couette dans une canalisation circulaire.
on dit que lcoulement est uniforme dans la direction dcoulement x sil ny a pas de variation
de la vitesse de lcoulement dans cette direction. Par exemple pour la vitesse, cela entrane :
u
= 0.
x
Un coulement permanent uniforme est parfois aussi coulement pleinement dvelopp ou ta-
bli.
7.3.2 coulement de Couette

Les quations du mouvement se rduisent :
2u 1 p
= , (7.6)
y 2 % x
1 p
0= , (7.7)
% y
On a plac le terme de gravit avec le terme de pression. Ici p dsigne la pression gnralise.
Figure 7.3 : coulement laminaire de Couette.

On dduit par intgration le profil de vitesse (parabolique) :

1 p
u= y(y 2b),
2 x
et le dbit :

2 `b3 p
q= . (7.8)
3 x
La vitesse moyenne appele encore vitesse dbitante est :

q b2 p
u = = ,
2`b 3 x
Le profil de contrainte de cisaillement est linaire puisque

du p
(y) = = = (y b).
dy x
Si lon introduit la la contrainte paritale

u p
p = = b ,
y y=0 x
on peut galement crire :

y
= p 1 .
2b
La puissance dissipe scrit
Z 2b
= dy,
0
avec = du/dy le taux de cisaillement ; or par intgration par partie on tire :

Z 2b
d
= [ u]e0 udy,
0 dy
o lon voit que le premier terme du membre de droite est nul (condition dadhrence) et le second
peut scrire :
Z 2b Z 2b
d
udy = p udy = p u.
0 dy 0
On en conclut que la dissipation dnergie scrit
= p u,
soit encore
2
b3 p
= ,
3 x
ce qui peut encore se changer en

3 2
= u ,
b
en remplaant le gradient de pression par la vitesse moyenne. On note donc que la dissipation est
linairement dpendante de la viscosit, mais dpend du carr de la vitesse moyenne.
7.3. COULEMENT PERMANENT UNIFORME LAMINAIRE 133
7.3.3 coulement de Poiseuille

Les quations sont un peu plus compliques, mais la mthode identique. On trouve

D4 p
q= . (7.9)
128 z
Cest la formule dite de Poiseuille qui permet de relier gradient de pression et dbit dans une conduite
circulaire en rgime laminaire.
La contrainte paritale est :
R p
p = .
2 z
Dmonstration faire en exercices.
135
Chapitre 8
coulements turbulents en charge
8.1 coulement permanent uniforme lisse
8.1.1 quations du mouvement

On rappelle quen turbulence, on peut obtenir un jeu dquations dites moyennes en faisant la
dcomposition de Reynolds : u = hui + u0 , avec u0 la fluctuation de vitesse et hui la vitesse moyenne
(dans le temps).
Le jeu dquations (outre lquation de continuit) rsoudre est :

hui
% + huihui = hp i + hTi % hu0 u0 i, (8.1)
t
avec u le champ de vitesse instantane (u, v, w les composantes dans un repre cartsien), hTi le ten-
seur des contraintes visqueuses : hTi = 2hDi avec hDi le tenseur des taux moyens de dformation
hDi = (hui + hui )/2.
Simplifications pour la suite du calcul :
Le tenseur de Reynolds % hu0 u0 i est remplac par une quation de fermeture algbrique de
type longueur de mlange propose par Prandtl (voir 5.5.3 du cours de mcanique des fluides)
avec
% hu0 u0 i = t hDi, (8.2)
avec t la viscosit turbulente (ce nest pas une constante, mais une fonction de du/dy ou de
u) et D le tenseur des taux moyens de dformation. Ce modle est parfois dit pseudo-laminaire
car il est trs proche structurellement du modle newtonien.
Le tenseur des contraintes visqueuses est toujours :
hTi = 2hDi.
Notons quil existe des modles de turbulence qui sont bien moins rudimentaires que le modle
empirique de longueur de mlange. Une meilleure prcision et une plus grande gnralit peuvent
tre obtenues en considrant des quations diffrentielles supplmentaires. Un modle nergtique
comme le modle k ` revient faire lhypothse dune viscosit turbulente dfinie comme

t = ` k,
avec k lnergie cintique turbulente 1

1
k= hu02 i + hv 02 i + hw02 i ,
2
1. Notons que lappellation est un peu trompeuse car il sagit dune nergie cintique par unit de masse, nintervenant
pas dans la dfinition de k.
136 CHAPITRE 8. COULEMENTS TURBULENTS EN CHARGE
qui reprsente lnergie cintique de la turbulence. Pour sen convaincre, il suffit de calculer la moyenne
de lnergie cintique instantane :
1 1 2 1
hu2 i = h(hui + u0 ) i = hui2 + k.
2 2 2
k est dtermin en rsolvant une quation supplmentaire dite de conservation de lnergie cin-
tique turbulente (non reporte dans ce cours), qui sobtient partir de lquation quantit de mou-
vement de Navier-Stokes en la multipliant par u0 , puis en la moyennant. Cette quation nest pas
ferme , cest--dire il faut encore des hypothses supplmentaires pour la rsoudre. Un autre mo-
dle populaire est le modle k , selon lequel t = C k 2 / avec = hu0 : u0 i la dissipation
turbulente et C une constante. Ces modles de turbulence sont couramment implments dans les
codes de calcul industriel de type FLUENT.
8.1.2 Phnomnologie
Il faut distinguer les parois lisses et les parois rugueuses. En effet, la prsence de rugosit :
modifie fortement la turbulence prs de la paroi ;
pose le problme de la dfinition de la localisation du point origine y = 0.
On montre que la solution comporte trois parties diffrentes traduisant un effet spcifique de la tur-
bulence :
Trs prs de la paroi, la vitesse est trs faible, donc le nombre de Reynolds local Re = uy/ est
petit : Re 0 ; lcoulement est localement laminaire. On parle de sous-couche visqueuse. Le
jeu dquations rsoudre est le mme que prcdemment. Au premier ordre, on peut mettre
la solution sous forme :
u = u ,
avec u la vitesse de frottement, appele encore vitesse de cisaillement :
r
p u
u = , et = y
%
La vitesse de frottement est la traduction de la contrainte paritale en termes de vitesse alors
que est une ordonne sans dimension . Exprimentalement on observe que la sous-couche
visqueuse stend sur 0 < < 3.
Preuve. Lquation (7.3.2) montre que la vitesse scrit :

1 p
u= y(y 2b),
2 x
donc au premier ordre en y, on a :

1 p 1
u y(2b) = p y.
2 x
On pose u2 = p /% et y = /(%u ) et on retrouve la formulation prcdente. u t

Au fur et mesure quon sloigne, Re crot, lcoulement devient turbulent. La turbulence est
influence fortement par la paroi (fort cisaillement de vitesse). On va montrer que le profil de
vitesse est logarithmique. On parle de zone logarithmique. Cette loi est valable pour 25 < <
500 avec la contrainte supplmentaire y/b < 0,2 (il ny a pas un strict recouvrement avec la zone
visqueuse). Note : Pour 3 < < 25, il sagit dune zone de transition, la vitesse se calcule de
faon numrique (pas dapproximation analytique).
Loin des parois, linfluence des parois est moindre. La turbulence est peu prs homogne. On
parle de zone centrale. Cette zone stend partir de y/b > 0,2.
Les deux premires sous-couches forment la couche interne, entirement domine par la paroi,
de la couche-limite. Le reste sappelle la couche externe ; cette notion n a ici pas beaucoup de sens car
la zone centrale correspond la rencontre des deux couches limites.
8.1. COULEMENT PERMANENT UNIFORME LISSE 137
Figure 8.1 : structuration de lcoulement en sous-couches.
Figure 8.2 : profil de vitesse la paroi. Donnes exprimentales.
8.1.3 Zone logarithmique
On intgre lquation (8.1) en ne considrant que la projection de Navier-Stokes sur x. En rgime

pleinement tabli, on part de lquilibre entre le terme de divergence des contraintes % hu0 u0 i (dis-
sipation visqueux) et le gradient de pression motrice :

hui hp i
t = ,
y y x
o lon a nglig le frottement visqueux et employ un modle de fermeture de type longueur de

mlange (8.2). On tire
hui hp i
t = y + c,
y x
o c est une constante. En ngligeant la sous-couche visqueuse, on peut relier le taux de cisaillement
moyen et la contrainte paritale : en y = 0, t hui
y = p /% (dfinition de la contrainte de cisaillement),
avec t = t / la viscosit cinmatique turbulente. On dduit :
hui 1 hp i p
t = y+ ,
y % x %
p
Trs prs de la paroi, on peut ngliger le terme linaire %1 x y devant le terme de frottement qui est
trs grand, soit au premier ordre :
hui p
t .
y %
La loi de fermeture est ici : t = (y)2 du/dy, soit
r
dhui p 1
= .
dy % y
Soit r
p 1 u
hui = ln y + c = ln y + c.
%
La constante dintgration c est calcule pour quil y ait accord avec la couche laminaire.
hui
= 2,5 ln + 5,5,
u
car 1/ 2,5. Cest le profil de vitesse logarithmique (valable pour 25 < < 500), que lon retrouve
assez frquemment en rgime turbulent prs dune paroi.
8.1.4 Zone centrale

Dans la zone centrale, il y a moins de cisaillement. La loi ad hoc de fermeture employe pour la
paroi nest plus valable, on emploie :
t = 0,080bu
(saturation de la viscosit turbulente). Il faut intgrer les quations de Navier-Stokes turbulentes (en
remplaant par t ) pour la zone centrale et ajuster la constante dintgration pour quil y ait conti-
nuit avec la zone logarithmique. On note um la vitesse maximale atteinte en y = b (symtrie du
problme). On montre que :
um
= 2,5 ln r + 5,5,
u
avec r lordonne de la transition zone centrale/logarithmique. Le profil de vitesse scrit finalement
dans la zone centrale
um hui(y) y 2
= 6,3 1 ,
u b
pour 0,2 < y < 1,8b.
8.1.5 Synthse
On peut sommer les diffrentes contributions. La contribution de la sous-couche visqueuse est
ngligeable. Finalement le dbit scrit :

bu
q = 2`bu 2,5 ln + 3,21 ,

8.2. COULEMENT PERMANENT UNIFORME RUGUEUX 139
et la vitesse de frottement
r 1/2
p b p
u = = .
% % x
Comme pour lcoulement laminaire, la contrainte paritale scrit :
p
p = b .
x
Cette proprit importante interviendra dans le calcul des pertes de charge. En effet, la dissipation
scrit :
p bu
= p u = b u 2,5 ln + 3,21
x
soit encore en remplaant le gradient de pression

bu
= %u3 2,5 ln + 3,21 .

Si lon compare au rgime laminaire, la dissipation dnergie ne dpend plus de la viscosit et devient
une fonction assez complexe de la vitesse de cisaillement u (ou bien de la vitesse moyenne u, calcul
que nous ne reportons pas ici).
Remarque : coulement de Poiseuille
Pour un coulement de Poiseuille, le raisonnement est identique et on aboutit la formule du

dbit :
2 Ru
q = R u 2,5 ln + 2,04 ,

et la vitesse de frottement
r 1/2
p R p
u = = .
% 2% z
8.2 coulement permanent uniforme rugueux
8.2.1 quations du mouvement ; effet de la rugosit

Les quations sont les mmes que prcdemment, mais il se pose le problme de dfinir o se
situe y = 0. Exprimentalement cela correspond lordonne o u = 0. Il existe une relation empi-
rique entre la taille caractristique des rugosits ks et lincrment de la longueur de mlange dans
la loi de fermeture : `m = (y + ) (rappelons t = `2m du/dy) :

0,036ks pour ks > 3,1/u rugueux
=
0 pour ks < 3,1/u lisse
On introduit galement une sorte de nombre de Reynolds li la rugosit
ks u
ks+ =

pour sparer le rgime turbulent rugueux du rgime lisse.
La taille caractristique
q de la rugosit peut galement tre dfinie comme la moyenne quadra-
tique ks = ys (x) o ys (x) est le profil de la surface par rapport au plan moyen 2 . En pratique,
2
2. On a donc ys (x) = 0
comme un tat de surface reste difficile raliser simplement, on introduit la notion de rugosit
quivalente de sable , cest--dire le diamtre de grains de sable (de mme taille) uniformment r-
partis sur une surface parfaitement lisse et qui produiraient une perte de charge quivalente celle
cause par la rugosit dune conduite industrielle. Le problme de lchelle rugosit est surtout d-
licat dans le domaine de transition 3 < ks+ < 70 car il est alors vraisemblable quil faille plusieurs
chelles de longueur pour dcrire ltat de surface de la conduite ; les formules empiriques peuvent
tre imprcises dans ce domaine de transition.
Figure 8.3 : micro-rugosit des parois.
8.2.2 Calcul du dbit pour des canalisations rugueuses

La prsence dune rugosit a pour effet daugmenter la turbulence de paroi (do leffet sur la
longueur de mlange). La consquence directe est une modification de la vitesse dans la zone loga-
rithmique :
hui y
= 2,5 ln + 8,34.
u ks
En revanche, il ny a pas de modification du profil de vitesse dans la zone centrale. Le dbit scrit
alors pour une canalisation plane rectangulaire (Couette) :

b
q = 2`bu 2,5 ln + 6,04 ,
ks
et pour un coulement dans un conduit circulaire (Poiseuille) :

R
q = R2 u 2,5 ln + 4,87 .
ks
141
Chapitre 9
Calcul pratique des pertes de charge
9.1 Dissipation dnergie dans les conduites en rgime tabli

Jusqu prsent, on a suppos quon appliquait un gradient de pression et on calculait le dbit r-
sultant travers une section de gomtrie connue. En pratique, on a rarement besoin dun tel niveau
de calcul et on se contente de formules approches. Ces formules sont fondes sur lutilisation du
thorme de Bernoulli et la notion de coefficient de frottement.
9.1.1 Bilan dnergie en rgime laminaire
Bilan dnergie dans une conduite longue
On a vu que lquation de Bernoulli

S gnralise en rgime permanent et applique sur un volume
de contrle V (de frontire C S) scrit :
Z Z Z
%|u|2
un + p dS = n (u T)dS T : DdV,
2
|S {z } |S {z } |V {z }
flux dnergie puissance dissipe la frontire , puissance dissipe dans le volume
o nous rappelons que p est ici la pression gnralise. La condition dadhrence la paroi fait que
le membre de gauche et le premier terme du membre de droite sont nul le long de la surface C com-
posant la conduite.
Figure 9.1 : volume de contrle pour une conduite.

142 CHAPITRE 9. CALCUL PRATIQUE DES PERTES DE CHARGE
On sintresse des coulements tablis dans des conduits assez longs, ce qui implique :
la longueur de la canalisation (cylindrique) L est bien plus grande que la longueur dtablisse-
ment
Le 0,06Re pour un rgime laminaire,
=
D 0,63Re1/4 pour un rgime turbulent ,
avec Re = uD/ le nombre de Reynolds de lcoulement, D le diamtre de la conduite, u la
vitesse dbitante (ou vitesse moyenne).
la section ne change pas avec x ;
lcoulement est tabli : u/x = 0 ;
la composante selon y (r en coordonnes cylindriques) de la vitesse est nulle : u = (u, 0, 0). La
pression gnralise est considre comme constante dans une section droite.
Si S1 et S2 sont lentre et la sortie de la conduite, alors on peut simplifier lquation
Z 2 Z 2 Z
%u %u
+ p udS + + p udS = dV,
S1 2 S2 2 V
R
avec = T : D la fonction de dissipation interne. En effet, la puissance dissipe S n (uT)dS aux
frontires S est globalement nulle si le dbit est constant. La constance de la pression sur une section
et linvariance du dbit q (volumique) amnent aprs avoir divis par q lquation de conserva-
tion de la charge :
Z Z Z
% 3 3 1
p1 p2 = u dS u dS + dV.
2q S S q V
| 2 {z 1 }
0
Dans une conduite en rgime tabli, la diffrence de pression motrice quivaut la dissipation
dnergie (aux pertes de charge).
Les pertes de charge
Les termes sont homognes des pressions. On peut les rendre aussi homognes des hauteurs
en divisant par %g : cest la pratique courante en hydraulique. On introduit quelques grandeurs :
R
puissance totale dissipe par frottement (visqueux) : P = V dV [W] (Watt) ;
charge hydraulique en [Pa] (1 Pa=1 N/m2 = 1 J/m3 ) :
Z
%
X =p+ u3 dS,
2q S
ou bien en [m] (usage en hydraulique)
Z
p 1
H= + u3 dS,
%g 2qg S
Lquation de conservation de la charge scrit (alors avec ces notations) sous la forme abrge :
1 P
H1 = H2 + .
%g q
La quantit
1 P
H =
%g q
sappelle la perte de charge. Elle est exprime ici en [m] ou parfois en [mCE] mtres de colonne
deau . Pour retrouver lnergie totale dissipe, il suffit de calculer : P = %gHq. On introduit aussi
la perte de charge unitaire [m/ml], cest--dire la variation de perte de charge par longueur de cana-
lisation L. On crit ainsi :
dH H p1 p2 p
= = = . (9.1)
dx L L x
9.1. DISSIPATION DNERGIE DANS LES CONDUITES EN RGIME TABLI 143
Pertes de charge et coefficient de frottement
Il faut maintenant relier la pression aux frottements aux parois. Si le rgime est tabli, on montre
simplement partir de lquation de conservation de la quantit de mouvement :
Z Z Z
(u n)udS = pndS + T ndS,
S S A
que lon a : Z
p p2 p1 1 A 1
= = p dS = p = p , (9.2)
x L V A V L
avec V = S L le volume de fluide compris entre les sections S1 et S2 (entre et sortie de la conduite) ;
A est la surface du tube C entre les sections S1 et S2 . p est la valeur moyenne de la pression sur cette
surface. La longueur L vrifie
V section L Dh
L= = =
A primtre L 4
et sera le plus souvent introduite sous la forme dun diamtre hydraulique Dh . Il sagit de la dimen-
sion caractristique de la canalisation. Pour :
une conduite circulaire :
Dh = 2R,
une conduite rectangulaire :
`b
Dh = 4 .
` + 2b
noter quand b `, Dh b.
Attention le nombre de Reynolds de lcoulement ( ne pas confondre avec un nombre de Rey-
nolds local) est dfini avec le diamtre hydraulique :
uDh
Re = ,

avec u la vitesse dbitante.

Enfin, il reste relier la contrainte la paroi une vitesse ; par convention et usage, cest la vitesse
dbitante u qui sert de vitesse caractristique. Pour cela on introduit un coefficient de frottement Cf
sous la forme :
1
= Cf %u2 .
2
Exemple. Par exemple en combinant lquation du dbit pour une conduite rectangulaire

2 `b3 p
q= ,
3 x
avec la relation donnant la contrainte paritale :
p
= b ,
x
on tire : p = 3u/b, soit :
24
Cf = .
Re
Pour une conduite circulaire, on a :
16
Cf = .
Re
u
t
Calcul en pratique des pertes en ligne en rgime laminaire
Un problme courant est : connaissant les caractristiques de la canalisation et le dbit, quelle est
la perte de charge en ligne (ou unitaire)?
Dans le cas gnral, pour une canalisation de longueur L, on obtient en combinant les quations
(9.19.2) :
dH H p 4Cf u2
= = = [m/m],
dx L %gL Dh 2g
L u2
H = f [m], (9.3)
Dh 2g
avec f = 4Cf le coefficient de perte de charge en ligne 1 . Ainsi on pose pour une conduite circulaire :
64
f= ,
Re
qui donne la droite gauche dans le diagramme de Moody (voir figure 9.2). Notez que dH/dx est
homogne une pente et pour cette raison, est parfois pente dnergie.
Notons quen gnral, on considre que la rugosit de la conduite ne joue pas de rle pour les
coulements laminaires : en rgime laminaire, la perte de charge est indpendante de la rugosit.
Cela nest toutefois vrai que pour des conduites industrielles classiques o les asprits sont ala-
toirement rparties et de petite taille. Il est possible pour certaines conduites spcialement usines
dobtenir une diminution des pertes de charge en rgime laminaire. On parle deffet de peau de requin
(shark skin effect) de faon gnrale pour dcrire ce type de phnomne que le rgime soit turbulent
ou laminaire ; les mcanismes sont nanmoins diffrents car dans le cas laminaire, la rduction de
perte de charge est obtenue en crant des zones de recirculation entre les asprits de telle sorte que
le fluide a tendance glisser le long des parois. En rgime laminaire, cette diminution de frottement
obtenue par usinage des parois est relativement faible (de lordre de 1 %), alors quen rgime turbu-
lent, des diminutions de plus de 10 % peuvent tre ralises.
9.1.2 Bilan dnergie en rgime turbulent

Perte de charge en rgime turbulent
On peut tablir une quation de Bernoulli valable pour le rgime turbulent ; la principale diff-
rence avec le rgime laminaire est que lquation nest valable que pour les valeurs moyennes de
vitesse et que la fonction de dissipation est nettement plus complexe car il faut tenir compte des
fluctuations de vitesse comme mcanisme supplmentaire dnergie.
En multipliant par la vitesse moyenne hui lquation de conservation de la quantit de mouve-
ment
hui
% + huihui = hp i + hTi % hu0 u0 i,
t
avec p la pression gnralise, on tire lquation gnralise de Bernoulli. En rgime permanent,
cette quation scrit :
Z Z Z
%|hui|2
hui n + hp i dS = hui ([2hDi %hu0 u0 i] n)dS dV,
S 2 S V
avec = [2hDi %hu0 u0 i] : hDi la fonction de dissipation interne. Il y a peu de diffrences, du

point de vue de la structure de lquation, avec lquation de Bernoulli pour le cas laminaire. Comme
prcdemment, on utilise les mmes hypothses et on introduit :
la charge hydraulique :
Z Z
1 %|hui|2 1 %|hui|2
H= hui n + hp i dS = u + hp i dS
%gq S 2 %gq S 2
1. On trouve aussi la notation = 4Cf = f dans certains ouvrages.
la puissance dissipe :
Z Z
0 0
P = hui ([2hDi %hu u i] n)dS dV.
S V
Lquation de Bernoulli scrit alors sous la forme simple :

1
H = H1 H2 = P q n ,
%gq
avec n 1,75 pour une conduite lisse et n = 2 pour une conduite rugueuse (corrlation exprimen-
tale). La relation de conservation de la quantit de mouvement donne :
dH 1 hp i 1 dP
= = cte = .
dx %g x %gq dx
Comme pour le cas laminaire, on introduit une contrainte paritale sous la forme :
hp i dH
p = L = %gL ,
x dx
avec L = Dh /R la longueur caractristique de la conduite (introduite pour le cas laminaire). La
relation entre perte de charge et coefficient de frottement scrit comme pour le cas laminaire [voir
quation (9.3)] :
L u2 L u2
H = 4Cf =f ,
Dh 2g Dh 2g
avec u la vitesse dbitante et
4Cf = f,
le coefficient de frottement. Notons quen rgime turbulent, on prfre relier le dbit la vitesse de
frottement u (plutt quau gradient de vitesse comme en laminaire). Notons quon a :
1 p u 2

Cf = 2 = ,
2 %u u
ou souvent (par usage)
1 1 u
p =p = .
Cf /2 f /8 u
Calcul pratique de f en rgime turbulent
Exprimentalement, on observe que pour les coulements turbulents, f dpend

uniquement du nombre de Reynolds Re si la conduite est lisse (ou hydrauliquement lisse) ;
uniquement de la rugosit relative ks /R ou ks /b si la conduite est rugueuse (ou hydraulique-
ment rugueuse) ;
la fois de Re et ks dans le rgime de transition lisse/rugueux.
La sparation entre rgime lisse et rugueux se fait laide du nombre sans dimension ks+ = ks u /
(voir 8.2.1). Pour les conduites circulaires industrielles, on introduit souvent la distinction suivante :
le rgime est lisse si ks+ < 5. Il est (pleinement) rugueux si ks+ > 70 ; la viscosit nest alors plus
importante, ce qui explique que f devienne indpendant du nombre de Reynolds. On parle de rgime
rugueux transitionnel lorsque 5 < ks+ < 70.
Il existe trois stratgies classiques pour calculer f :
on utilise une formule de type Nikuradse en supposant que le rgime est turbulent lisse ou
turbulent rugueux, puis on vrifie lhypothse de dpart ;
on utilise une formule de type Colebrook, qui est valable pour une large gamme dcoulements
(lisses et rugueux) ;
on se sert de labaque de Moody.

Mthode 1 : formulation la Nikuradse
Le tableau 9.1 rcapitule les formules de Nikuradse 2 . Ce sont des quations implicites en Cf ou f ,
qui dpendent du rgime turbulent (lisse ou rugueux) et de la gomtrie de la conduite. Ces formules
ne sont pas dmontres ici, mais peuvent tre obtenues partir des quations vues prcdemment.
Tableau 9.1 : coefficient de frottement selon le rgime turbulent et la gomtrie de la conduite.
rectangulaire
q circulaire
q
1 1
lisse p = 2,5 ln Re Cf /2 0,25 p = 2,5 ln Re Cf /2 + 0,31
Cf /2 Cf /2
1 b 1 R
rugueux p = 2,5 ln + 6,04 p = 2,5 ln + 4,87
Cf /2 ks Cf /2 k s
En pratique :
on fait lhypothse que lcoulement est hydrauliquement lisse ou rugueux ;
on calcule f en fonction du type de rgime (lisse ou rugueux) et des donnes du problmes
(nombre de Reynolds, caractristiques gomtriques
p de la conduite, rugosit) ;
on calcule la vitesse de frottement u = u f /8, puis le nombre de Reynolds associ la rugosit
ks+ = u ks /, et enfin on vrifie la pertinence de lhypothse initiale.
Notons que les formules telles que celles de Nikuradse ne sont valables que pour les rgimes asymp-
totiques : turbulence lisse ks+ < 3 5 et turbulence rugueuse ks+ > 70.
Notons quaujourdhui, il existe des formules plus prcises que les formules tablies par Niku-
radse. Ainsi, la formule de McKeon (2005) permet de calculer le coefficient de frottement avec une
prcision infrieure 1,25 %
1 p
= 0,83 ln(Re f ) 0,537,
f
qui valable pour 31 103 Re 35 106
Mthode 2 : formulation la Colebrook

Pour les conduites circulaires, on peut utiliser la formule de Colebrook 3 (1939) valable quelle que
soit la rugosit (pour Re > 2300) :
!
1 ks 0,887
p = 2,56 ln 0,27 + p ,
Cf /2 2R Re Cf /2
ou encore
1 k 2,51
= 0,91 ln 0,27 s + .
f 2R f Re
Cette formule a lavantage de donner un rsultat relativement prcis sans se soucier de la nature
du rgime turbulent (lisse/rugueux), mais la prcision peut tre faible pour le rgime transitionnel
5 < ks+ < 70.
Mthode 3 : abaque de Moody-Stanton
On peut galement utiliser les donnes exprimentales synthtises dans le diagramme de Moody-
Stanton (1944) valable pour les conduites industrielles.
2. Johann Nikuradse (18941979) tait un mcanicien des fluides allemand. Il tait originaire de Gorgie (Russie), mais fit
son doctorat en Allemagne sous la direction de Prandtl au Kaiser-Wilhelm Institut Gttingen. On lui doit principalement les
formules qui portent son nom et qui dcrivent les coulements turbulents rugueux/lisses dans une conduite. Il introduit aussi
la notion de rugosit effective ks . cause de ses acquaintances avec le rgime nazi, sa rputation a t fortement ternie aprs
la Seconde guerre mondiale.
3. Cyril Colebrook (19101997) tait un ingnieur hydraulicien anglais. Il fit toute sa carrire dans le cabinet Binnie and Part-
ners Londres. Son nom est associ la formule de Colebrook ou Colebrook-White pour calculer le coefficient de frottement
pour un coulement turbulent dans une conduite rugueuse.
Figure 9.2 : diagramme de Moody.

9.2 Pertes de charge singulires
9.2.1 Problmatique
Les pertes de charge singulires traduisent les pertes dnergie au niveau dun changement rapide
dans une conduite (changement de section, arrive dans un rservoir, etc.). Une singularit induit la
fois une dissipation locale dnergie, mais galement une modification de lcoulement lamont et
laval de la singularit (modification des lignes de courant). Les rsultats suivant ne sont pertinents
que pour des singularits suivies et/ou prcdes de canalisations suffisamment longues (4050 dia-
mtres de conduite) ou bien dun rservoir de grandes dimensions.
Les pertes de charge singulires sont introduites sous la forme :
u2
Hs = [m],
2g
avec le coefficient de perte de charge singulire. Le problme est de savoir dans quelle section il
faut prendre la vitesse dbitante. On se souviendra quune perte de charge est une perte dnergie.
Figure 9.3 : exemple de perte de charge singulire : largissement brusque.
9.2.2 Principales formules de perte de charge singulire
On ne donne ici que les formules pour des tubes cylindriques :

largissement brutal :
u21
Hs = [m],
2g
2
2
8 S1 2 S1 S1
avec = 2 3 S2 + 3 S22 si lcoulement est laminaire et = 1 S2 pour un coulement
turbulent (profil de vitesse uniforme). On emploie S1 pour la section amont et S2 pour laval.
Lentre dun rservoir se dduit en prenant S2 .
rtrcissement brutal :
u2
Hs = 2 [m],
2g
avec 2
1
= 1
0,59 + 0,41(S2 /S1 )3
pour un coulement turbulent. Pour lentre dans une canalisation on prendra = 0,5 ; cest la
formule de Borda 4 pour une canalisation bord vif.
4. Jean-Charles Borda (17331799) aurait pu tre un hros de roman. Tour tour, magistrat, officier dans larme franaise,
puis la marine royale, il devint directeur de lcole Navale. Il sintressa divers problmes de mcanique des fluides ayant
trait aux applications militaires : rsistance de lair sur un projectile, rsistance de leau sur une coque, coulement travers
des orifices, la roue aube, etc.
9.2. PERTES DE CHARGE SINGULIRES 149
Changement de direction : au niveau du coude (changement de direction exprim en degrs,

avec un rayon de courbure Rc ), il y a une perte de charge donne par la formule de Weissbach 5
7/2 !
R
= 0,13 + 1,85 ,
90 Rc
avec R le rayon de la conduite. Pour un coude sans rayon de courbure, on peut employer la
variante suivante :

= sin2 + 2 sin4 .
2 2
Pour un coude angle vif (Rc 0) dangle 90, on peut prendre = 1,3.
5. Julius Weisbach (18061871) tait un professeur allemand de mathmatiques appliques et de mcanique luniversit
de Freiberg. Il a galement men un grand nombre dexpriences pour dterminer les pertes de charge singulires pour di-
verses configurations. Son nom est galement associ la formule de Darcy-Weissbach pour les pertes de charge rgulires.
9.3 Application
9.3.1 Vidange dun barrage

On considre une conduite de vidange dun barrage de hauteur (deau) h0 . La conduite est lisse et
de diamtre D. Sa longueur totale est L. La chute de dnivellation est note h1 . On cherche calculer
le dbit la sortie de la conduite.
Figure 9.4 : coulement en charge dans un conduit de vidange dune retenue.
Pour cela on applique le thorme de Bernoulli entre O et B :
H0 = HB + H,
o la perte de charge H comprend la fois :

les pertes de charge rparties
u2 f
Hr = L,
2g D
les pertes de charge singulires dues lentre dans la canalisation en O et le coude en A :
u2
Hs = (A + 0 ) .
2g
En dtaillant, on a en O :
u2 p0 u2
HO = z O + + = h1 + + h0 ,
2g g 2g
tandis quen B on a :
u2 pB u2
HB = z B + + = .
2g g 2g
On en dduit que la vitesse moyenne est solution de lquation :

u2 u2 u2 f
h1 + + h0 = + L + A + 0 .
2g 2g 2g D
On dduit facilement que :

!1/2
2g(h0 + h1 )
u = f
.
D L + A + 0
Le dbit est simplement Q = S u, avec S = D2 /4. Si les coefficients de perte de charge sont des
constantes, cette quation se calcule trs simplement. Si le coefficient de frottement f est fonction du
nombre de Reynolds, il faut rsoudre une quation non linaire ou bien procder par ttonnement.
9.3. APPLICATION 151
Application numrique
On prend D = 1 m, L = 1000 m, ks /D = 105 , h0 = 10 m, et h1 = 10 m. On emploie la formule de

Colebrook
1 ks 2,51
= 0,91 ln 0,27 + .
f 2R f Re
On a vu par ailleurs : 0 = 0,5 et A = 1,3. En programmant avec Mathematica, on trouve que la vitesse
vaut 6,1 m, soit un dbit de 4,8 m3 /s.
d = 1;
L = 1000;
= 10^(-6);
ks= d/10^5;
g = 9.81;
h0 = h1= 10;
vit = Sqrt[(h0+ h1)*2*g]
FindRoot[
{u== ((2 g (h0 + h1))/((f/d) L + 0.5 + 1.3))^(1/2),
1/Sqrt[f] == -0.91 Log[0.27 (ks/d) + 2.51/(Sqrt[f]*Rey)],
Rey == u (d/ )},
{{u, vit}, {f, 0.01}, {Rey, vit (d/ )}}]
Out[72]= 19.8091
Out[73]= u 6.14456, f 0.00859314, Rey 6.14456 106
In[1]:= ? FindRoot
FindRoot lhs rhs, x, x0 searches for a numerical solution to the equation lhs
rhs, starting with x x0. FindRoot eqn1, eqn2, ... , x, x0 , y, y0 , ...
searches for a numerical solution to the simultaneous equations eqni.
Figure 9.5 : exemple de rsolution de calcul de f et de u avec un logiciel de calcul.

153
Chapitre 10
coulement surface libre
10.1 Introduction
10.1.1 Gnralits
Lhydraulique surface libre se distingue de lhydraulique en charge par lexistence dune surface
libre, cest--dire dune surface o lcoulement est en contact direct avec latmosphre 1 : le gradient
de pression ne peut plus tre le moteur de lcoulement, cest la gravit qui devient lagent moteur.
Le domaine dapplication est large :
cours deau : rivires, fleuves, etc. ;
canaux de navigation, dirrigation, etc. ;
systmes dvacuation : rseaux dassainissement pluvial ;
amnagements : retenues deau, usines de production dlectricit, ports, etc.
Une caractristique de la plupart de ces coulements : une hauteur dcoulement petite par rapport
la longueur dcoulement. On parle dcoulement filaire.
10.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations

bief : tronon homogne en termes de pente moyenne et de section dcoulement (on emploie
parfois aussi le mot bisse, notamment dans le Valais) ;
type de cours deau : une distinction des cours deau en fonction de la pente i :
i < 3 % on parle de rivire,
3 < i < 6 %, on parle de rivire torrentielle ,
i > 6 %, on parle de torrent ;
primtre mouill : longueur de la surface dcoulement en contact avec le lit (fond + berges),
cest--dire le primtre de la section dcoulement la largeur au miroir.
section dcoulement (ou section mouille) S : partie de la section du canal limite par les parois
et la surface libre ;
hauteur dcoulement : hauteur moyenne deau, par dfinition : h = S/B ;
hauteur normale hn : cest la hauteur dun coulement permanent uniforme dans un bief. La
hauteur normale est fonction du dbit Q, de la rugosit K, et de la pente moyenne i ;
tirant deau : profondeur maximale dune section dcoulement ;
largeur au miroir B : largeur de la section dcoulement au niveau de la surface libre ;
rayon hydraulique : cest une longueur caractristique dfinie par RH = S/. Pour un coule-
ment dans un canal rectangulaire infiniment large (B h), le rayon hydraulique correspond
la hauteur dcoulement h ;
1. La pression du fluide cette interface est gale celle de latmosphre.
154 CHAPITRE 10. COULEMENT SURFACE LIBRE
rgime uniforme : rgime dcoulement le long dun bief o les caractristiques dcoulement
(hauteur et vitesse) sont constantes quelle que soit la position le long de la direction dcoule-
ment. On a ainsi h/x = 0 ;
rgime permanent : rgime o lcoulement ne dpend pas du temps. On a ainsi h/t = 0 ;
rgime graduellement vari : rgime dcoulement o la variation de hauteur dans la direction
dcoulement est trs faible, typiquement si L dsigne une longueur dcoulement et h une
variation de hauteur, on a h/L 1. Les quations de Saint-Venant ou le calcul diffrentiel
des courbes de remous ne sont valables que pour ce rgime ;
rgime rapidement vari : rgime dcoulement o la variation de hauteur dans la direction
dcoulement est trs importante, typiquement si L dsigne une longueur dcoulement et h
une variation de hauteur, on a h/L = O(1). lapproche dune singularit ou bien en cas de
ressaut hydraulique, lcoulement peut entrer dans un rgime rapidement vari ;
ressaut hydraulique : variation brutale de hauteur deau (passage dun rgime torrentiel un
rgime fluviam) ;
pente moyenne : pente moyenne longitudinale i = tan dun bief exprim en % ou en ;
rayon hydraulique : cest la longueur caractristique RH = S/ ;
rgime torrentiel : rgime supercritique (Fr > 1), forte vitesse, faible hauteur ;
rgime fluvial : rgime subcritique (Fr < 1), faible vitesse, hauteur leve ;
dbit Q : flux deau par unit de temps travers la surface dcoulement ;
vitesse moyenne u : vitesse u = Q/S ;
coefficient de rugosit : coefficient traduisant la rugosit des parois (coefficient de Chzy not
C ou de Manning-Strickler not K) ;
lit mineur : lit occup ordinairement par un cours deau par opposition au lit majeur qui corres-
pond lemprise maximale historique dun cours deau ou la plaine inondable. On parle aussi
de niveau des plus hautes eaux (PHE) pour dsigner la cote maximale atteinte par la surface
libre dun cours deau ;
la berge ou rive est le talus qui spare le lit mineur du lit majeur. Lorsque la berge est couverte
par la vgtation, on parle de ripisylve ;
ltiage correspond aux plus basses eaux dun cours deau (gnralement durant lt). Le dbit
dtiage est donc le dbit minimal dun cours deau. Le dbit de plein bord (bankfull discharge
en anglais) est le dbit atteint lorsque la rivire sort de son lit mineur. Durant une crue, on parle
de dbit de pointe (peak discharge en anglais) pour dsigner le dbit maximal atteint. Pour les
crues, on peut relier le dbit de pointe la priode de retour T 2 . On parle de dbit dominant est
le dbit de la crue ordinaire qui permet de faonner un cours deau. Pour les rivires sable, le
dbit dominant correspond au dbit de pointe dune crue de priode 12 ans alors que pour un
lit gravier, il correspond crue de priode de retour de quelques dizaines dannes.
2. La priode de retour T est dfinie par rapport la probabilit dobserver la crue (ou une crue suprieure) P : T = 1/P ;
cest aussi lintervalle de temps moyen entre deux crues ayant dpassant un certain seuil.
10.1. INTRODUCTION
Tableau 10.1 : terminologie franaise, allemande, anglaise et dfinitions.
franais allemand anglais dfinition, remarques (notation)

bief Gewsserabschnitt reach tronon homogne dune rivire
rivire Fluss, Bach rivier cours deau faible pente
rivire torrentielle Gebirgsfluss torrential river cours deau de pimont forte pente
torrent Wildbach torrent cours deau trs forte pente
primtre mouill benetzter Umfang wetter perimeter partie mouille dune section en travers ()
lit majeur Hochwasservorland flood plain zone envahie lors des grosses crues
lit mineur Niederwassergerinne low water channel lit habituellement occup par le cours deau lorsque les eaux sont basses
ripisylve Ufervegetation riparian vegetation vgtation sur les berges
gomtrie du lit Gerinnegeometrie bed geometry caractrisation gomtrique laide des profils en long et en travers dun lit
rugosit Rauighkeit, Rauheit roughness tat de surface du lit
section dcoulement Abflussquerschnitt flow section section transversale dun cours deau ou dun lit
section mouille benetzter Querschnitt wetted section surface de la section dcoulement (S)
rayon hydraulique hydraulischer Radius hydraulic radius rapport entre la section et le primtre mouill (RH = S/)
largeur au miroir Gerinnebreite flow width largeur transversale du cours deau calcule au niveau de la surface libre (B)
pente du lit Gerinnegeflle bed gradient valeur moyenne de la pente dun bief (i = tan )
hauteur deau mittlere Wassertiefe mean flow depth hauteur moyenne dfinie par h = S/B
moyenne
hauteur critique kritische Tiefe critical flow depth hauteur deau correspondant au rgime critique (hc )
tiage Niederwasser low water plus basses eaux dun cours deau
niveau des plus hautes hchster Hochwas- maximum flood stage
eaux serstand
plus hautes eaux dun Hochwasser flood niveau deau nettement suprieur ce qui est ordinairement observ
cours deau crue
rgime uniforme gleichfrmige Str- uniform flow hauteur deau constante le long du bief
mung
rgime (graduelle- ungleichfrmige Str- (gradually) varied flow variation lente du niveau deau le long du bief
ment) vari mung
rgime sous-critique (strmender Str- (fluvial) subcritical rgime caractrise par des vitesse faible : F r < 1
(fluvial) mungszustand) sub- flow
kritische Strmung
rgime supercritique (schieender) super- (torrential) supercriti- rgime caractris par des vitesses fortes : F r > 1
(torrentiel) kritische Strmung cal flow
nombre de Froude Froude-Zahl Froude number nombre sans dimension F r = u/ gh
dbit Durchfluss flow rate, discharge flux de vitesse travers la section
155
156
Tableau 10.1 : terminologie franaise, allemande, anglaise et dfinitions.
franais allemand anglais dfinition, remarques (notation)

vitesse moyenne (d- mittlere Geschwindig- mean flow vitesse moyenne dans la section u = Q/S
bitante) keit
ressaut hydraulique Wechselsprung hydraulic jump augmentation brutale du niveau lie au passage dun coulement super-
sub-critique
CHAPITRE 10. COULEMENT SURFACE LIBRE

10.1. INTRODUCTION 157
Figure 10.1 : coupe dune rivire.
Pour un cours deau naturel, la gomtrie du lit nest pas quelconque, mais obit certaines rgles.
Un cours deau doit laisser transiter un dbit, qui varie en fonction du temps. En gnral, il existe des
cycles annuels, mais au gr des prcipitations et de la fonte des neiges, le dbit peut varier dune
anne sur lautre dune faon extrmement variable (voir Fig. 10.2). Les dbits ordinairement ren-
contrs faonnent le cours deau, cest--dire la gomtrie du lit (section en travers, granulomtrie,
etc.) est compatible avec le dbit moyen transitant par ce cours deau. On parle de dbit dominant
pour dsigner un dbit (suffisamment lev) qui est capable de modifier la gomtrie du lit. En fonc-
tion du terrain (pente, nature gologique du terrain, etc.), le cours deau a plusieurs possibilits pour
optimiser le transit deau en ajustant la largeur, la profondeur, la sinuosit, etc.
1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999
30
Qr1 m3 /3
25
20
15
10
5
1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999
an
Figure 10.2 : variation du dbit de pointe journalier sur la rivire Lonza (Valais) sur la priode 19741999. Chaque point
reprsente le dbit maximal journalier.
Une difficult supplmentaire est quoutre le dbit liquide faire transiter, il y a galement un
transport de sdiment. Les sdiments sont apports au cours deau par les montagnes sous forme
de blocs grossiers et dlments plus ou moins fins. Ces lments sont transports et subissent une
dgradation progressive et un tri granulomtrique dautant plus marqu que la pente du lit devient
faible ; pour ces raisons, on observe que la granulomtrie moyenne du lit diminue rgulirement
entre la source et le dbouch du cours deau.
Pour un mme cours deau, selon la section considre, il existe des interrelations troites entres
capacit de transport solide, dbit liquide, et caractristiques gomtriques. Comme le montre la fi-
gure 10.3, on trouve des corrlations entre paramtres dcoulements et les variables caractrisant la
gomtrie du lit. Ces interrelations sont gnralement stables et laissent penser quil existe un tat
de pseudo-quilibre du cours deau o les variations locales et temporelles des dbits solide et li-
quide sont contrebalances sans problme particulier par diffrents mcanismes. On parle souvent
dquilibre dynamique du lit pour dsigner cet ajustement continuel du cours deau autour dun tat
dquilibre. Il existe cependant des circonstances pendant lesquelles cet quilibre peut tre compro-
mis : typiquement lors dune crue de priode de retour leve (de quelques annes centaines dan-
nes) ou bien cause de laction de lhomme (construction dun barrage, prise deau, etc.), lquilibre
dun cours peut tre rompu, causant des dsordres graves, brutaux, et rapides.
Figure 10.3 : relation entre largeur miroir et dbit de plein bord pour des rivires de la rgion Alberta (Canada). Daprs des
donnes de donnes collectes par Gary Parker. La largeur au miroir a t crite sous forme adimensionnelle : B = B/d50 et
5/2
Q = Q/(d50 g), avec d50 le diamtre mdian des grains composant le lit.
Compte tenu de la variation de la pente du cours deau et de la taille des sdiments, la gomtrie
du cours deau varie de faon trs significative entre la source et le dbouch. Dans la partie amont,
o le sdiment est fourni la rivire, la pente est gnralement forte et le lit est droit (quand il est
vu en plan) ; le lit peut tre incis dans un matriau diffrent des sdiments quil transporte ou bien
prendre place dans ses dpts alluviaires. Au contraire, dans les zones de plaine, le cours deau coule
exclusivement sur son propre alluvion gnralement compos de matriaux fins (limons, sables, ma-
triaux organiques). La sinuosit du lit crot le plus souvent de faon inverse la pente du lit ; inver-
sement, plus la pente est faible, plus le cours deau a tendance une section dcoulement unique et
bien calibre (section homogne).
10.1. INTRODUCTION 159
pente
Profil en long
lit divaguant lit mandres

lit rectiligne lit en tresses
torrent rivire
rivire torrentielle
5-6 % 2-3 %
Figure 10.4 : vue en plan du lit dune rivire.

10.2 Les quations de Saint Venant
Les quations de Saint-Venant 3 sont une forme intgre (intgration selon la hauteur) des qua-
tions de Navier-Stokes. Elles permettent de calculer les hauteurs deau et vitesses moyennes le long
de la direction dcoulement en fonction du temps. Elles ne sont applicables quen rgime graduel-
lement vari.
10.2.1 Drivation des quations
Hypothses
Nous allons utiliser ici les hypothses simplificatrices suivantes :

(A1) On sintresse un coulement deau le long dun profil bidimensionnel curviligne, dont les
variations sont faibles (rayon de courbure infini), cest--dire la surface dcoulement est peu
prs plane, dinclinaison par rapport lhorizontale. On rattache un systme de coordonnes
cartsiennes (x, y, z) ce repre (x est orient selon la ligne de plus grande pente, y est normale
au plan de glissement, z reprsente une direction latrale).
(A2) On considre un mouvement essentiellement bidimensionnel (z nintervient pas dans les cal-
culs). Les calculs peuvent tre gnraliss la dimension 3.
(A3) Il ny a pas de variation significative de la section dcoulement sur de courtes distances (les
variations sont toujours progressives). Il en est de mme pour les hauteurs dcoulement, qui
varient doucement dun point lautre de lcoulement sur un mme bief. On parle de rgime
graduellement vari ou bien dapproximation des grandes longueurs donde pour dsigner ce
rgime ou cette approximation. Il sagit donc dun rgime peu loign du rgime permanent
uniforme. Les lignes de courant sont donc parallles la surface libre, elle-mme peu prs
parallle la ligne de fond. Le rapport caractristique = H /L appel rapport daspect est
petit devant 1 (avec H : chelle de hauteur et L chelle de longueur) ; typiquement pour une
rivire de 10 km et profonde de 10 m, on a = 103 1.
(A4) Les lignes de courant au sein de lcoulement ne subissent pas de bifurcation brutale.
(A5) La surface dcoulement exerce une contrainte de frottement p sur lcoulement.
(A6) La masse volumique de leau est constante: % %.
(A7) Il ny a pas de variation de masse durant lcoulement (apport ou perte deau).
(A8) Le lit est fixe (pas de transport solide, pas drosion, pas de dpt) et de rugosit uniforme tout
le long du bief considr.
(A9) La pente locale nest pas trop forte (tan doit tre infrieur 1020 %) sinon il y a un risque
dinstabilit de la surface libre ( roll waves ou train donde).
Le principe de base dans les modles de type Saint-Venant est de partir des quations locales de
conservation de la masse et de la quantit de mouvement, de les intgrer suivant la verticale pour les
moyenner, puis de les simplifier en supprimant les termes de faible influence.
Conservation de la masse
Considrons lquation de conservation de la masse %/t + (%u) = 0, o u dsigne la vitesse

locale de lcoulement. Lintgration de cette quation selon la hauteur dcoulement, cest--dire le
3. Adhmar Barr de Saint-Venant (17971886) tait un mcanicien franais. Polytechnicien de formation, il tudia aussi
lcole Nationale des Ponts et Chausse, o il fit lessentiel de sa carrire. Ses travaux de recherche ont couvert un champ
considrable de domaines scientifiques et dapplication : hydraulique maritime, navigation le long des canaux et sur route,
lasticit, thorie des fluides visqueux, turbulence et perte de charge dans les conduites. Avant Reynolds, il avait pressenti
limportance de la turbulence dans le calcul des pertes de charge. En 1871, il proposa un jeu dquations aux drives partielles
dcrivant le mouvement unidimensionnel dune onde de crue.
10.2. LES QUATIONS DE SAINT VENANT 161
long de la direction y, donne :

h(x,t)
Z Zh
u v h
+ dy = u(x,y,t)dy u(h) v(x,h,t) v(x,0,t), (10.1)
x y x x
0 0
o u et v sont les composantes de la vitesse selon les directions x et y. la surface libre et au fond, la
composante normale de la vitesse v doit satisfaire respectivement
dh h h
v(x,h,t) = = + u(x,h,t) et v(x,0,t) = 0. (10.2)
dt t x
Do lon dduit lquation moyenne de conservation de la masse :
h hu
+ = 0, (10.3)
t x
o lon a dfini les valeurs moyennes de la faon suivante :
h(x,t)
Z
1
f(x,t) = f (x,y,t)dy.
h(x,t)
0
Conservation de la quantit de mouvement
La mme procdure peut tre applique lquation locale de conservation de la quantit de

mouvement : %du/dt = %g p1 + T, o T reprsente le tenseur des extra-contraintes et p la
pression. Toutefois, comme il y a plus de termes que dans lquation de conservation de la masse et
comme certains ont un effet mineur sur la dynamique de lcoulement, on va se servir de lanalyse
dimensionnelle pour simplifier lquation de conservation de la quantit de mouvement.
Outre les chelles de longueur et de hauteur (L et H ) introduites prcdemment, on dfinit
galement une chelle de vitesse U = gH cos (de telle sorte que F r = O(1)) dans la direction de
lcoulement, V = U lchelle de vitesse dans la direction normale au lit (y), une chelle de temps
T = U /L , une chelle de pression P = gH cos (coulement surface libre, donc lordre de
grandeur de la pression est la pression hydrostatique), et les nombres sans dimension de Reynolds et
de Froude
U H U
Re = et F r = .
gH cos
On suppose quon est en rgime turbulent : Re 1. On suppose que le nombre de Froude nest ni
grand, ni petit : F r = O(1) (il peut tre plus petit ou plus grand que 1). On peut alors adimensionna-
liser toutes les variables
u v x y t
u = , v = , x = , y = , et t = ,
U V L H T
tandis que les contraintes sont transformes de la faon suivante
U U U p
Txx = Txx , Txy = Txy , Tyy = Tyy , et p = ,
L H L P
Lquation locale de quantit de mouvement scrit donc

du Re 1 p Txx Txy
Re = tan + 2 + , (10.4)
dt F r2 x x y

dv Re p Txy Tyy
3 Re = 1 + 2 + 2 . (10.5)
dt F r2 y x y
On va maintenant utiliser le fait que 1 et que le nombre de Reynolds Re 1 (coulement tur-
bulent). On note que dans les quations apparat parfois le produit Re, dont la valeur est indfinie ;
on va ici supposer que Re = O(1) (ce qui implique donc 2 Re 1). Lquation (10.5) se simpli-
fie considrablement puisque la plupart des termes sont ngligeables sauf la pression et le terme de
gravit
p
1 = 0,
y
qui une fois remise sous forme dimensionnelle et aprs intgration, nous montre que la distribution
de pression est hydrostatique
p = %g(h y) cos .
Dans lquation (10.4) seule la composante avec Txx disparat ; les autres termes sont a priori du
mme ordre de grandeur
du p Txy
= tan + ,
dt x y
qui remise sous forme dimensionnelle donne
du p Txy
% = %g sin + .
dt x y
Sans difficult nous obtenons lquation moyenne de conservation de la quantit de mouvement

aprs avoir intgr lquation prcdente selon y entre 0 et h :
!
hu hu2 hp
% + = %gh sin p , (10.6)
t x x
o la contrainte de frottement (appele aussi contrainte paritale) est p = Txy (x,0,t), la pression
moyenne est p, la contrainte normale moyenne dans le sens de lcoulement est Txx .
Le systme dquations (10.310.6) nest pas ferm car le nombre dinconnues dpasse le nombre
dquations. Une approximation courante est dintroduire un paramtre, appel parfois le paramtre
de quantit de mouvement de Boussinesq, qui relie le carr de la vitesse moyenne la moyenne du
carr de la vitesse
Zh
1
2
u = u2 (y) dy = u2 .
h
0
Une approximation courante est dcrire = 1. On peut ainsi transformer le terme hu2 /x dans
lquation (10.6)
hu2 hu2 hu2
= .
x x x
Une autre approximation, que nous avons implicitement utilise ci-dessus, est relative au calcul
des contraintes. Puisque nous avons suppos que les variations de hauteur le long de laxe x sont
faibles (approximation donde longue), cela implique que, pour toute quantit m relative au mouve-
ment de lavalanche, nous avons : m/y m/x. Cela implique que toute tranche dcoulement
peut tre traite comme localement uniforme. Avec une telle hypothse, il est possible de calculer la
contrainte la paroi en considrant que son expression en fonction de u et h est identique celle
du rgime permanent ; on utilisera alors les formules donnes dans le prochain chapitre (Manning-
Strickler, Chzy, etc.) pour calculer p .
10.2.2 Forme conservative et non conservative

Le jeu dquations du mouvement moyen compos de la conservation de la masse (10.3) et de la
quantit de mouvement (10.6) est appel la forme conservative des quations de Saint-Venant car
leur obtention et leur forme finale refltent directement le principe gnral de conservation de la
masse et de la quantit de mouvement sur un volume de contrle ; elles peuvent dailleurs tre obte-
nues de cette faon sans passer par une intgration de la forme locale des quations du mouvement.
On utilise souvent en pratique une forme dite non conservative de lquation de la quantit de
mouvement, qui consiste se servir de lquation (10.3) pour transformer les termes hu en u. On
obtient facilement en faisant ainsi

u u h
%h + u = %gh sin %h cos p .
t x x
Formes conservative et non conservative sont strictement quivalentes sur le plan mathmatique
tant que les solutions u et h sont continues. En revanche, dans le cas de solutions discontinues (for-
mation dun ressaut hydraulique par exemple), la forme non conservative fournit une solution fausse
au niveau de la discontinuit. Pour la rsolution numrique des quations, il est prfrable dem-
ployer la forme conservative lorsque des solutions discontinues sont possibles.
La formulation non conservative a nanmoins plusieurs avantages. Premirement, la forme des
termes inertiels est trs proche de la drive matrielle, ce qui facilite la mmorisation et linterpr-
tation de cette quation. Deuximement et cest l le point important , elle permet daboutir une
formulation alternative intressante, dite forme caractristique des quations de Saint-Venant.
10.2.3 Forme caractristique des quations de Saint-Venant

Pour cela, on transforme lquation
de conservation de la masse en la multipliant par g cos et
en introduisant la variable c = gh cos ; cette variable reprsente en fait la clrit des ondes se
propageant la surface libre dans le cas dune eau peu profonde au repos
c2 c2 u
+ = 0,
t x
soit encore
c u c
2
+c + 2u = 0. (10.7)
t x x
Lquation de quantit de mouvement devient avec cette nouvelle variable
u u c p
+ u = g sin 2c . (10.8)
t x x %h
On ajoute maintenant membre membre les quations (10.7) et (10.8) et on obtient
p
(u + 2c) + (u + c) (u + 2c) = g sin .
t x %h
En retranchant maintenant membre membre lquation (10.7) lquation (10.8), on obtient
p
(u 2c) + (u c) (u 2c) = g sin .
t x %h
On introduit r et s les variables dites de Riemann ainsi que + = u + c et = u c la vitesse de
propagation de linformation ; S = g sin p /(%h) est appel terme source . Les deux quations
prcdents scrivent avec ces nouvelles notations
r r
+ + = S, (10.9)
t x
s s
+ = S. (10.10)
t x
Cette formulation est appele forme caractristique des quations de Saint-Venant. Elle joue un rle
fondamental dans la mthode dite des caractristiques qui est trs souvent employe pour rsoudre
numriquement les quations de Saint-Venant. Lide de base est dinterprter les quations en termes
dinformation transmise. Commenons par une remarque liminaire : soit f (x, t) une fonction de x et
t et admettons que f soit constante le long dune courbe C dquation x = xs (t) dans le plan x t. Le
long de cette courbe on a donc daprs la rgle de composition des drives :
d f dxs f
f (xs (t), t) = + = 0,
dt t dt x
puisque f (xs (t), t) = cste. Inversement, si lon rencontre une quation aux drives partielles de la
forme
f f
+a = 0, (10.11)
t x
avec a une constante ou bien une fonction de x et t, alors on peut crire que cette quation est qui-
valente lquation diffrentielle ordinaire
d dxs
f (xs (t), t) = 0 le long de la courbe caractristique = a. (10.12)
dt dt
Physiquement, cela veut dire que le long de la courbe temporelle x = xs (t), la quantit f se conserve ;
f reprsente linformation transmise et dxs /dt reprsente la vitesse de transmission de cette informa-
tion ; la courbe dite courbe caractristique x = xs (t) montre le cheminement de linformation dans le
plan x t. Ce qui est dit ici avec un membre de droite nul (terme source nul) marche galement sil y
a un terme de source non nul, par exemple
f f
+a = g(x, t),
t x
se transforme en
d dxs
f (xs (t), t) = g le long de la courbe caractristique = a.
dt dt
Dans ce cas l, g se traduit comme la modulation de linformation le long de la courbe caractris-
tique. Revenons pour linstant lquation (10.11) dans le cas o le terme source est nul et a est une
constante. Cherchons rsoudre un problme avec des conditions initiales de la forme f (x,0) = b(x)
t = 0 ; dans ce cas-l, les courbes caractristiques sont des droites de la forme x = at + x0 . La for-
mulation caractristique (10.12) du problme nous dit que f est constant le long de x = at + x0 . Donc
initialement, si lon part dun point x0 , la valeur de f est b(x0 ) et cette valeur est la mme tout le long
de la courbe caractristique
f (x, t) = b(x0 ) f (x, t) = b(x at),
quand on remplace x0 par x at (puisquon reste sur la caractristique). Notons que les courbes
caractristiques sont toutes des droites parallles.
dx/dt = a
x
x0
Figure 10.5 : courbes caractristiques dans un problme une variable lorsque a est constant.
Ce que nous venons de dire pour un problme diffrentiel se gnralise sans problme lorsque a
nest pas constant (les courbes caractristiques ne sont alors pas ncessairement des droites), des
termes sources non nuls, et des problmes plusieurs variables. Si lon se sert de ces quelques r-
sultats pour interprter la forme caractristique des quations de Saint-Venant, on arrive aux notions
suivantes :
reprsente la vitesse de propagation de linformation dans un cours deau. On lappelle vi-
tesse caractristique. La vitesse de linformation est gale la somme de la vitesse moyenne de
leau plus ou moins la clrit des ondes. Notons tout dabord que + > . Puis, notons quau
repos (u = 0) la vitesse calcule correspond bien la clrit c : | | = c ;
on a toujours + > 0 (hormis de supposer que u est dans le sens oppos x), mais peut tre
positif ou ngatif. crivons cette vitesse caractristique
p
= u c = u gh cos = gh cos (F r 1),
donc
lorsque lcoulement est supercritique (F r > 1), on a > 0. Il sensuit que linformation
se propage uniquement dans la direction des x positifs (les ondes vont tout le temps dans
le sens de lcoulement) ;
lorsque lcoulement est subcritique (F r < 1), on a < 0. Il sensuit que linformation se
propage dans la direction des x positifs (onde progressive) et des x ngatifs (onde rgres-
sive). Autrement dit, une perturbation dun coulement se propage aussi bien vers lamont
que vers laval.
considrons un problme initial o u et h sont connues t = 0. On souhaite savoir comment
volue le cours deau. Prenons lexemple de la figure 10.6 o lon est en rgime subcritique.
Pour simplifier on reprsente les courbes caractristiques manant dun point x0 sur laxe t = 0
comme des droites, mais dans le cas gnral ce sont des courbes quelconques, dont la forme est
donne par lquation diffrentielle dx/dt = . Puisquon est en rgime subcritique, les deux
caractristiques sont lune croissante et lautre dcroissante. Dun point initial x0 manent deux
courbes ; lespace compris entre ces deux caractristiques est appel domaine dinfluence car la
valeur prise par u et h est conditionne par la valeur initiale en x0 . Inversement considrons un
point M dans le plan x t ; jusqu ce point, on peut tracer deux caractristiques (une positive,
une ngative) venant des points x0 et x1 situs laxe t = 0 ; autrement dit, pour connatre u et h
t, il faut connatre ce qui se passe t = 0 en x0 et x1 , puis intgrer les quations caractristiques
(10.9) et (10.10) le long des courbes caractristiques. Cela peut se faire simplement dans des cas
simples, mais le plus souvent il faut faire cela numrique ; cest le principe de la mthode des
caractristiques.
considrons un problme avec des conditions initiales et aux frontires, cest--dire on connat
u et h t = 0 et on impose leur valeurs sur une frontire, par exemple en x = 0. Par exemple,
si on examine le problme du remplissage dbit constant dun canal, on considre comme
conditions initiales u = h = 0 et comme conditions aux limites h = q et u = cste en x = 0
(puisque q = uh est constant). Selon que le rgime est sub- ou super-critique, les conditions
aux limites peuvent ou non tre choisies librement. Par exemple en rgime subcritique F r <
1), ce qui se passe initialement en A (voir figure 10.7) est propag dans les deux sens (ondes
progressive + et rgressive ). Londe rgressive touche au temps tB laxe x = 0 au point B ; de
ce point partent deux nouvelles caractristiques, dont lune (onde + ) croise au point M lautre
caractristique + manant de A. Dans ce cas-ci, la condition aux limites en x = 0 ne peut pas
tre choisie nimporte comment puisque linformation est reue intgralement de la condition
initiale en t = 0 ; mathmatiquement on peut se passer de cette condition qui namne rien
de plus que lon ne sache dj. La situation est tout diffrente pour le rgime supercritique
(F r > 1). Dans ce cas l, aucune caractristique manant dun point A sur laxe t = 0 ne peut
couper laxe x = 0 : les conditions initiales ninfluent pas sur les conditions aux limites en x = 0.
Pour savoir ce qui se passe en M linstant t, il faut donc une caractristique manant de B : il
faut donc obligatoirement fournir une condition aux limites sinon on ne peut pas rsoudre le
problme. On dit que le problme est mal pos.
deux caractristiques dune mme famille (par exemple deux courbes + ) ne peuvent pas se
croiser si la solution est continue. Sur la figure 10.7, on observe deux caractristiques + ma-
nant de B et C se croiser en M, o arrive galement une caractristique issue de A. Dans ce
cas-l, le problme serait indtermin car on ne peut pas trouver un jeu unique de valeurs de u
et h qui vrifie les quations caractristiques. Il y a alors formation dun choc ou une disconti-
nuit dans les valeurs de u et h (ce quon appellera par la suite un ressaut hydraulique).

dx/dt = dx/dt = +
domaine dinfluence
x
x0
t
M (x, t)
dx
dt = + dx
=
dt
x
x0 x1
Figure 10.6 : courbes caractristiques dans un problme deux variables (rgime subcritique).
10.2.4 Synthse
Les quations de Saint-Venant sont composes :
dune quation de conservation de la masse
h hu
+ = 0, (10.13)
t x
dune quation de conservation de la quantit de mouvement :
u u h p
+ u = g sin g cos . (10.14)
t x x %h
Pour boucler ces quations, il faut connatre la loi de frottement p (u, h). Il faut aussi prciser des
conditions aux limites, qui dpendent principalement du type de rgime (super-/subcritique)
pour un rgime supercritique, linformation se propage uniquement de lamont vers laval (il
ny a pas de remonte dinformations). La condition la limite doit tre pose lamont. Dans
un problme dvolution, il est ncessaire de spcifier la fois les conditions et les conditions
aux limites ;
pour un rgime subcritique, linformation se propage non seulement de lamont vers laval,
mais galement de laval vers lamont (il y a une remonte dinformations). La condition la
limite doit tre pose laval pour un simple problme de type cours de remous. Dans un pro-
blme dvolution, il faut prciser principalement les conditions initiales. Selon le problme,

dx/dt = + M
Fr < 1
B dx/dt = +
dx/dt =
x
A
t
Fr > 1
M

dx
dt = +
B dx
dt =
x
A
Figure 10.7 : courbes caractristiques dans un problme aux conditions initiales et avec des conditions aux limites. Diffrence
entre le problme super- et subcritique pour le choix des conditions initiales. Courbe continue : onde + ; courbe discontinue :
onde .
x
C B A
Figure 10.8 : courbes caractristiques dans un problme avec formation dun choc en M. Courbe continue : onde + ; courbe
discontinue : onde .
les conditions aux limites peuvent tre superflues ou bien non compatibles avec les conditions
initiales.
Les quations de Saint-Venant permettent de rsoudre un grand nombre de problmes hydrau-
liques ds lors que la courbure de la surface libre nest pas trop forte, en particulier lorsquil ny a pas
de ressaut hydraulique sparant un rgime supercritique dun rgime subcritique ou bien lorsquil
y a une chute deau au niveau dun seuil. En pratique, les types de problme que lon peut rsoudre
sont trs divers, par exemple :
propagation dune crue dans une rivire (voir chap. 11) ;
rupture de barrage dans une rivire (voir chap. 10) ;

volution dune ligne deau en fonction du dbit fourni (voir chap. 7).
Ces quations ont t crites pour un canal infiniment larges et hu reprsente le dbit par unit
de largeur. On pourrait les crire de faon plus gnrale pour une section S(x, t) par laquelle transite
un dbit Q(x, t). On a alors :
S Q
+ = 0, (10.15)
t x
Q Q2 S 1 h p
+ = gS sin gS cos . (10.16)
t x x %
Rappelons que h = S/B et u = Q/S. Dans cette forme gnrale, la loi de frottement sexprime comme
une fonction p (u, RH ). Pour un coulement travers une section quelconque, la clrit des ondes
est r
gS
c= ,
B
avec B la largeur au miroir. De l, on dduit que le nombre de Froude est dfini comme

u Q B
Fr = = p .
c gS 3/2
En prsence de transport solide, il faut complter ces quations par lquation dExner qui dcrit
lrosion ou lengravement du lit :
y` qs
=DE = ,
t x
avec y` la cote du lit (par rapport un niveau de rfrence), E le taux drosion du lit (nombre de
particules par unit de surface et par unit de temps qui sont entranes par lcoulement), D le taux
de dpt, et qs le dbit solide (rsultat net entre rosion et sdimentation du lit).
169
Chapitre 11
Rgime permanent uniforme
11.1 Relation dquilibre pour un rgime permanent uniforme

Considrons un bief uniforme (section en travers uniforme, rugosit uniforme) de pente i =
tan > 0 et un dbit constant. Dans ces conditions, on peut observer un rgime permanent uni-
forme o il y a quilibre parfait entre frottement aux parois et force motrice (gravit). La hauteur est
appele hauteur normale. Considrons une tranche de fluide le long du lit (sur un petit morceau de
bief AB) et crivons que toute la force de pesanteur du volume de fluide soit tre entirement repris
par le frottement aux parois.
h
A
B
i
Figure 11.1 : quilibre dune tranche de fluide. La hauteur h est ici le tirant deau puisquelle correspond la hauteur maximale
deau dans le cours deau.
p = %gh sin ,
ou de faon plus gnrale pour un canal de section quelconque : p = S%g sin , avec le primtre
mouill, ce qui donne :
p = %g sin RH %giRH , (11.1)
(canal de section quelconque). Pour des pentes faibles, on a sin tan = i.
Relation avec les quations de Saint Venant : en rgime permanent uniforme, les termes avec des
diffrentielles disparaissent dans les quations (10.1310.14). On a donc :
p
g sin = ,
%h
soit encore : p = %gh sin , qui quivaut bien la relation (11.1) dans le cas o RH = h (canal infini-
ment large).
Relation avec le thorme de Bernoulli :
Le thorme de Bernoulli scrit sur une petite tranche du bief de longueur L = dx
u2 (A) u2 (B)
y` (A) + h(A) + = y` (B) + h(B) + + H,
2g 2g
170 CHAPITRE 11. RGIME PERMANENT UNIFORME
avec y` la cte du fond. Comme le rgime est suppos permanent et uniforme (u(A) = u(B) et h(A) =
h(B)), on dduit que
y` (A) = y` (B) + H.
En introduit la pente y` (A) y` (B) = idx et la perte de charge H dH, on tire idx = dH. On
introduit la pente de la perte de charge appele pente de frottement (voir ci-dessous lutilisation du
thorme de Bernoulli) : jf = dH/dx, avec H la charge hydraulique. La condition dcoulement per-
manent uniforme scrit alors :
i = jf .
11.2 Loi de frottement

Plusieurs lois empiriques ont t proposes pour tablir la relation entre p et les variables dcou-
lement u et h. Ces lois sont les quivalents des formules de pertes de charge rgulires vues dans les
sances prcdentes.
11.2.1 Loi de Manning-Strickler

La loi la plus employe car valable pour une large gamme de dbits et de rugosit est la loi de
Manning 1 -Strickler 2 ; la contrainte paritale scrit
%g u2
p = , (11.2)
K 2 R1/3
H
avec K le coefficient de Manning-Strikler souvent reli la rugosit du lit, par exemple la loi de Meyer-
Peter 3 & Mller 4 (1948) :
26
K = 1/6 ,
d90
ou bien sa variante actuelle (formule de Jggi, 1984) :
26 23,2
K= 1/6
= 1/6
,
ks d90
o d90 est diamtre des gros blocs (90 % des blocs ont un diamtre plus petit que d90 ) ; ce diamtre
caractristique sert aussi dfinir une chelle caractristique ks = 2d90 , qui est utilise notamment
dans la formule de Keulegan. Les valeurs de K sont tabules en fonction du type de cours deau :
canal en bton lisse : K = 65 90 m1/3 s1 ;
canal en terre : K = 40 60 m1/3 s1 ;
1. Robert Manning (18161897) tait un ingnieur irelandais, travaillant tout dabord dans ladministration irelandaise
(drainage) avant de fonder sa propre socit (travaux portuaires). Il est surtout connu pour la formule quil proposa en 1895 et
qui synthtisait les donnes obtenues prcdemment par le franais Henry Bazin.
2. Albert Strickler (18871963) tait un hydraulicien suisse. La premire partie de sa carrire fut consacre au dveloppe-
ment de micro-centrales lectriques ; il dirigea notamment la Socit suisse de transmission lectrique jusqu sa dissolution
en 1939. Aprs 1939, il travailla comme consultant indpendant, principalement en Suisse germanophone. Le nom de Strickler
est surtout connu grce limportant travail exprimental, qui permis dtablir la formule qui porte son nom et qui reprend
les lois prcdemment dveloppes par Philippe Gauckler et Robert Manning.
3. Eugen Meyer-Peter (18831969) commena sa carrire comme ingnieur pour la socit Zschokke Zrich. En 1920,
il fut nomm professeur dhydraulique de lETHZ et cra un laboratoire dhydraulique pour tudier exprimentalement des
coulements graduellement varis, du transport solide, de laffouillement de fondations, etc. Les travaux les plus connus de
Meyer-Peter sont ceux relatifs au transport de sdiment dans les rivires alpines, notamment la formule dite Meyer-Peter-
Mller (1948) obtenue par la compilation de donnes exprimentales obtenues pendant 16 annes lETHZ.
4. Robert Mller (19081987) tait un ingnieur hydraulicien suisse spcialis dans le transport de sdiment et les pro-
blmes drosion. Il fit lessentiel de sa carrire au VAW de lETH, o il travailla notamment avec Hans Einstein et Eugen
Meyer-Peter. En 1957, il dmissionna et exera une activit de conseil en hydraulique. Il sintressa plus particulirement la
correction des eaux dans le canton du Jura et la liaison des lacs de Murten, Bienne, et Neuchtel.
11.2. LOI DE FROTTEMENT 171
rivire galet, rectiligne, section uniforme : K = 30 40 m1/3 s1 ;

rivire avec mandre, sinuosit, etc. : K = 20 30 m1/3 s1 ;
rivire vgtalise ou torrent : K = 10 m1/3 s1 .
Principalement dans les pays anglo-saxons, on crit aussi K en fonction du coefficient de Manning n
1
K= .
n
Notons que la formule de Manning-Strickler ne sapplique pas sur des fonds trs lisses (bton liss
par exemple). On pose parfois la relation suivante
K < 78u1/6 ,
qui fournit la borne suprieure du coefficient K en fonction de la vitesse moyenne u. En pratique,

cette borne suprieure se situe entre 80 et 100 m1/3 s1 .
11.2.2 Loi de Darcy-Weisbach
Pour les coulements en charge, on a employ la formule de Darcy-Weisbach. Cette formule et ses
variantes peuvent galement sappliquer lhydraulique surface libre, surtout dans le cas de fond
relativement lisse
f
p = % u2 , (11.3)
8
avec :
1 ks 2,51
= 2 log10 + ,
f 14,8RH 4Reu f
(formule de Colebrook-White o lon remplace le diamtre hydraulique par 4RH ). Cette quation
non linaire est complexe rsoudre et on lui prfre une forme approche :
r
8 RH
= 3,38 + 5,75 log10 .
f d84
On prendra garde que dans un certain nombre de formules de rsistance (dont la loi de Darcy-
Weisbach), le nombre de Reynolds est dfini partir du rayon hydraulique
4RH u
Re = ,

car en hydraulique en charge, le nombre de Reynolds est dfini partir du diamtre hydraulique DH
et quon a DH = 4RH .
11.2.3 Loi de Chzy
La loi de Chzy 5 est la formule historique, peu utilise aujourdhui si ce nest pour obtenir des
ordres de grandeur
%g
p = 2 u2 , (11.4)
C
avec C le coefficient de Chzy variant dans la fourchette 3090 m1/2 s1 (du plus rugueux au plus
lisse).
5. Antoine de Chzy (17181798) tait un ingnieur civil franais. On lui doit le canal de lYvette, qui alimentait Paris en eau
potable, ce qui fut loccasion de la premire formule connue reliant la pente dun canal, la gomtrie de la section en travers,
et le dbit. Il introduit galement la notion de rayon hydraulique.
11.2.4 Loi de Keulegan

Pendant longtemps, on a utilis le profil de vitesse logarithmique (en principe valable unique-
ment prs du fond) pour dcrire tout le profil de vitesse dun coulement hydrauliquement turbulent
dans un canal. Fonde sur cette approximation, la loi de Keulegan 6 est une formule bien adapte
pour les coulements sur des lits gravier. Elle revient supposer que la contrainte la paroi se-

rait similaire celle donne par la formule de Chzy, mais avec un coefficient C = g1 ln(11h/ks )
fonction de la hauteur deau et de la rugosit, soit encore :
2
p = %u2 , (11.5)
ln2 (11h/ks )
avec la constance de von Krmn et ks une taille caractristique des rugosits du lit (ks 2d90 ).
La formule est valable tant que le fond est suffisamment rugueux, cest--dire h/ks < 10. Cette for-
mule peut se gnraliser des gomtries plus complexes en substituant la hauteur h par le rayon
hydraulique RH .
Notons que de nos jours, on prfre employer une loi puissance de type Manning-Strickler plu-
tt quune loi logarithmique pour relier le coefficient de Chzy aux paramtres hydrauliques. Par
exemple, pour des lits gravier (fond mobile), la formule de Parker donne
1/6
h
C = 8,10 g ,
ks
qui fournit des rsultats bien meilleurs que la formule de Keulegan pour des lits trs rugueux (h/ks <
5).
11.2.5 Synthse
On en dduit facilement les diffrentes formules du rgime permanent uniforme ; elle sont recen-
ses dans le tableau 11.1. La relation q = f (h) (ou bien u = f (h)) est appele courbe de tarage ou bien
loi dcoulement ou bien encore dbitance du canal.
Tableau 11.1 : vitesse moyenne, hauteur normale, et pente de frottement selon la loi de frottement utilise.
loi de frottement u hn a jf
3/5
2/3 q u2
Manning-Strikler u = K iRH hn = jf = 4/3
K i K 2 RH
r s !2/3
8g 1/2 f u2 f (RH )
Darcy-Weisbach u = iRH hn = q jf =
f 8gi 2g 4RH
2/3
1/2 1 u2
Chzy u = C iRH hn = q jf =
C i C 2 RH
a uniquement pour un canal infiniment large
6. Garbis Hvannes Keulegan (18901989) tait un mcanicien amricain dorigine armnienne. Il commena ses tudes en
Turquie, puis migra aux tats-Unis pour les achever. Il fit lessentiel de sa carrire dans le National Bureau of Standards (NBS),
o il participa la cration du NBS National Hydraulic Laboratory. Ingnieur de recherche, il travailla principalement sur les
coulements turbulents stratifis. La loi qui porte son nom date de 1938 et rsultait dune tude exprimentale des profils de
vitesse pour des coulements surface libre dans des canaux rugueux.
11.3. JUSTIFICATION PHYSIQUE 173
11.3 Justification physique

Dans la majorit des cas, le rgime dcoulement de la phase fluide est turbulent. Une loi de com-
portement prenant en compte la turbulence peut scrire sous la forme suivante :
= p1 + 2D + h%f u0 u0 i
o u0 la fluctuation de vitesse, <> dsigne un oprateur moyenne. Dans cette expression, le premier
terme reprsente les effets de pression du fluide ( cause de lincompressibilit cest un terme ind-
termin qui doit tre trouv en rsolvant les quations du mouvement). Le second terme (loi de New-
ton) reprsente les termes de viscosit. Le troisime terme, appel tenseur de Reynolds, reprsente
les effets des fluctuations de vitesse lies la turbulence. Une pratique courante consiste ngliger
la contribution visqueuse (compte tenu du nombre de Reynolds) et supposer que les fluctuations
de vitesse sont du mme ordre de grandeur et peuvent tre lies la vitesse moyenne du fluide de la
manire suivante :
duy
u0x u0y `m
dy
Cette hypothse, due Prandtl, tire son origine dune analogie avec le libre parcours moyen dune
particule dans la thorie cintique des gaz de Boltzmann. Le coefficient de proportionnalit `m in-
troduit dans lquation est appel longueur de mlange. La valeur de la longueur de mlange a t
dduite exprimentalement. Une difficult dans la dtermination de `m est quelle na pas en gnral
de caractre intrinsque except dans des rgions sous influence de parois (coulements dits pari-
taux).
Figure 11.2 : dlimitation et typologie des zones turbulentes dans un coulement surface libre.
Ainsi, pour des coulement surface libre dans des canaux droits inclins, il est possible de dis-
tinguer grosso modo trois zones turbulentes :
prs de la paroi, la turbulence est gnre par la rugosit et des processus internes lis la sous-
couche visqueuse ( proximit immdiate de la paroi). Une hypothse usuelle tire darguments
dimensionnels est de relier la longueur de mlange la profondeur de la manire suivante :
`m = y
avec la constante de von Krmn ( 0,4). Cette zone stendant sur environ 20 % de la
hauteur dcoulement est appele zone logarithmique pour des raisons indiques ci-aprs ;
prs de la surface libre, la turbulence est fortement influence par la surface libre ;
entre les deux interfaces, se trouve une rgion dite intermdiaire o la turbulence rsulte dchanges
entre les deux zones productrices prcdentes. La valeur de la longueur de mlange dans les
deux rgions suprieures peut tre estime de la manire suivante :
`m h
avec un paramtre empirique de valeur proche de 0,12.

Examinons ce qui se passe pour lcoulement prs de la paroi. En rgime permanent uniforme,
lquation du mouvement scrit :
2
du
= %f g sin (h y) = %f y ,
dy
o %f g sin (h y) est la contrainte de cisaillement dduite de lquation de conservation de mouve-
ment en rgime permanent uniforme. En introduisant la vitesse de frottement la paroi
q p
u = p /%f = gh sin ,
on obtient : r
du 1 u y
= 1 .
dy y h
En se limitant aux termes du premier ordre en y/h, puis par intgration, on obtient le profil de
vitesse proximit de la paroi :
u 1 y
= ln
u y0
o y0 est une profondeur laquelle on admet que la vitesse sannule. On trouve donc que le profil des
vitesses moyennes est logarithmique. Naturellement, cette expression, valable pour des parois lisses,
doit tre corrige si lon veut prendre en compte une rugosit du fond. Pour des surfaces rugueuses,
deux types de condition aux limites sont mis en vidence en fonction de la taille typique des grains
composant la rugosit (ds ) et de lpaisseur de la sous-couche visqueuse () :
les surfaces dites lisses (ds ) ;
celles dites rugueuses (ds ).
Pour une surface rugueuse, les expriences en conduite indiquent que la distance y0 vrifie : y0 =
ds /30. Dans ce cas, par intgration du profil des vitesses moyenne, on dduit que la vitesse moyenne
de lcoulement est :
u 1 30h 11h
= ln 2,5 ln
u eds ds
En pratique, il est souvent commode dexprimer la vitesse moyenne la hauteur dcoulement
par lintermdiaire du coefficient de Chzy C :

u = C sin h,
On obtient par simple comparaison :

g 30h 11h
C= ln 7,83 ln
eds ds
Pour une surface plane (en pratique pour des rugosits de surface infrieures 250 mm), les ex-
priences montrent que la distance y0 vrifie : y0 /9u . On en dduit que le profil de vitesse prs
dune paroi lisse :
u 1 9u y
= ln
u e
Jusqu une poque rcente, une pratique courante consistait extrapoler tout lcoulement
lexpression de la longueur de mlange valable la paroi. partir des annes 1960, des termes de
correction ont t rajouts pour tenir compte de la modification de la turbulence loin des parois.
Parmi les plus connus, la loi (empirique) de sillage de Coles donne de bons rsultats pour de nom-
breuses classes dcoulement. La mthode consiste ajouter la loi logarithmique un terme correctif
de la forme suivante :
u 1 y z
= ln + sin ,
u y0 2h
avec un paramtre dintensit, valant approximativement 0,2 lorsque le nombre de Reynolds Re =
uh/ est suprieur 2000 et proche de zro lorsque le nombre de Reynolds est infrieur 500 (pour
un canal surface libre). Une autre mthode de correction consiste considrer la variation de la
longueur de mlange en fonction de la profondeur comme cela a t vu plus haut.
175
Chapitre 12
Hauteur normale selon la section

dcoulement
12.1 Hauteur normale et courbe de tarage

La hauteur normale est la profondeur moyenne deau en rgime permanent uniforme. Elle se
calcule en galant contrainte paritale et contrainte motrice. Par exemple, si lon applique une loi de
type Manning-Strickler, on obtient une quation implicite pour hn
2/3

Q = hB u = KRH iS,
(avec S = hB = f (hn ) la section dcoulement, B la largeur au miroir, Q le dbit total, h la hauteur
moyenne deau) qui peut se rsoudre explicitement dans le cas dun canal infiniment large (B h,
soit RH h) :
3/5
q
hn = ,
K i
avec q le dbit par unit de largeur. La hauteur normale est une fonction du dbit et de la pente. Elle
correspond au tirant deau pour un canal rectangulaire ou un canal infiniment large, mais sen dis-
tingue dans les autres cas. pente constante, la relation h = f (q) est appele courbe de tarage ou de
dbitance. Sa reprsentation graphique se prsente sous la forme dune courbe avec deux branches :
pour les petits dbits, une relation rapide de la hauteur avec le dbit ;
quand le dbit dpasse le dbit de plein bord, le cours deau quitte son lit mineur, ce qui se
traduit par une faible augmentation de la hauteur quand le dbit crot.
Les gomtries de canaux les plus courantes sont la section trapzodale (en terre pour la naviga-
tion et lirrigation), rectangulaire (bton ou maonnerie pour les amnagements hydrauliques), ou
circulaire (en bton pour lassainissement pluvial).
Tableau 12.1 : hauteur, primtre mouill, section pour trois gomtries usuelles.
type circulaire rectangulaire trapzoidal
h R(1 cos ) h h
S R2 ( sin cos ) Bh (B + b)h/2
2R B + 2h 2h/ cos + b
12.2 Granulomtrie et rsistance lcoulement

La rsistance lcoulement est en grande partie lie la taille des grains. Par exemple, il existe
des formules empiriques donnant le coefficient de Manning-Strickler en fonction de la granulomtrie
176 CHAPITRE 12. HAUTEUR NORMALE SELON LA SECTION DCOULEMENT
i=cte
qpb q
Figure 12.1 : courbe de tarage.
Figure 12.2 : sections usuelles pour des canaux.
telle que la formule de Meyer-Peter et Mller
26
K= 1/6
,
d90
ou ou bien la formule plus de rcente de Jggi
23,2
K= 1/6
,
d90
ou encore celle de Raudkivi

24
K= 1/6
,
d65
avec d65 le diamtre des particules tel que 65 % (en poids) des grains du lit aient un diamtre infrieur
infrieur.
La morphologie dun chenal varie en fonction de la pente de telle sorte quil y ait un certain qui-
libre entre la pente (terme gravitaire moteur dans les quations du mouvement), le dbit liquide, et
12.3. LIMITES DES RELATIONS U (H, ) 177
le dbit solide :
Pour les rivires (naturelles) de plaine, la sinuosit du lit, la possibilit de migration des mandres,
et le dveloppement de structures morphologiques (dunes, bancs de sable) permettent dobte-
nir cet quilibre moyen.
Pour les rivires torrentielles et les torrents, cet quilibre se manifeste principalement travers
un quilibre de la section en travers et il existe une relation entre granulomtrie du lit, capacit
de transport, et dbit dominant ; la dissipation dnergie est variable en fonction de la composi-
tion granulomtrique du lit (plus le lit est grossier, plus la dissipation dnergie est importante)
et des structures morphologiques (distribution rgulire de seuils et de mouilles, antidune). En
gnral, les lits composs dlments granulomtriques varis sont pavs (armoring en an-
glais), cest--dire il se forme une couche la surface du lit, compose dlments grossiers,
offrant une bonne rsistance lrosion et permettant de dissiper suffisamment dnergie. Le
pavage est gnralement stable (cest--dire il nest pas affouill par les petites crues), mais il
peut tre dtruit lors de grosses crues. Pavage et structures morphologiques voluent sans cesse
soit par ajustement local (petite crue), soit par dstabilisation massive, puis restructuration ; les
chelles de temps associes varient fortement :
Tableau 12.2 : dure moyenne de vie T (en annes) du pavage et des structures morphologiques.
type T
pavage 12
seuil 2050
alternance seuil/mouille 1001000
12.3 Limites des relations u(h, )

La principale difficult dans lapplication des formules de rgime permanent o lon suppose que
u = u(h, ) est que pour un certain nombre de rivires, la pente est loin dtre uniforme mme sur
de petits espaces de longueur. Un exemple typique est donn par les rivires torrentielles avec un lit
irrgulier fait de seuils et mouilles ( step and pool rivers en anglais) qui
aux basses eaux montrent une courbe de remous trs irrgulire suivant le relief du lit (impor-
tante dissipation dnergie). Dans ce cas, le mouvement moyen nest pas dict par une relation
de la forme u(h, ) (succession de rgimes graduellement et rapidement varis) ;
aux hautes eaux montrent une courbe de remous uniforme qui est plus ou moins parallle la
ligne moyenne du lit. Dans ce cas, il est possible daboutir une relation u(h, ).
Pour ce type de rivire, il nest pas possible de trouver une relation univoque u = u(h, ) pour toutes
les hauteurs dcoulement. Cette indtermination est aggrave lorsquil y a transport solide car les
formes du fond peuvent changer au cours dune mme crue, ce qui amne un changement de la
relation u = u(h, ) pour un bief donn.
Figure 12.3 : forme de la courbe de remous en (a) basses eaux, (b) hautes eaux.
De mme, le coefficient de rugosit du lit peut varier de faon significative avec le tirant deau
pour les raisons suivantes :
la rugosit du fond et des berges ne sont pas identiques (par exemple cause de la vgtation).
Il faut alors employer des mthodes spcifiques pour calculer une rugosit quivalente. Il existe
plusieurs de ces mthodes : mthode dEinstein, des parallles confondues, etc.
si le cours deau dborde de son lit mineur, il va rencontrer une rugosit trs diffrentes (terrains
agricoles, routes, obstacles, etc.).
12.4 Structure morphologique

Toutes les relations vues prcdemment ne sont valables que pour des cours deau fond fixe
et droit. Lorsque le lit prsente des structures morphologiques (comme des dunes), une sinuosit
(mandres), et un fond mobile, la rsistance lcoulement peut crotre de faon notable.
Ainsi lorsquil y a des structures morphologiques de type dune, il faut tenir compte des dissipa-
tions supplmentaires induites. La dissipation dnergie due la prsence de ces structures peut tre
importante. Elle est due :
la cration de tourbillons grande chelle au sein du fluide (processus prdominant pour les
dunes) ;
au remous de la surface libre, avec parfois apparition de ressauts hydrauliques (processus pr-
dominant pour les anti-dunes).
Figure 12.4 : gomtrie simplifie dune dune.
Pour quantifier ces effets, considrons une alternance de dunes le long du lit, de hauteur caract-
ristique a et de longueur L. En premire approximation, on peut admettre que lon peut assimiler la
dissipation dnergie induite par les dunes une perte de charge singulire : la dune se comporte
comme un rtrcissement de la section dcoulement, suivi dun largissement brusque. laide
dune formule de perte de charge pour coulements divergents de type Borda, applique entre les
points 1 et 2, on trouve :
2
(u1 u2 ) u2 a 2
H1 = ,
2g 2g h
o est un coefficient de perte de charge. La profondeur deau h est calcule par rapport une ligne
fictive, qui reprsente laltitude moyenne du fond (reprsente par une ligne fine la figure 12.4). La
vitesse au point 1 est donc : u1 = q/(h a/2) tandis quen 2, on a u2 = q/(h + a/2).
Cette perte de charge singulire sajoute la dissipation dnergie par frottement sur le fond
Cf u2 Cf u2
H2 = L L ,
RH 2g h 2g
avec Cf = f /4 le coefficient de frottement qui peut tre reli, par exemple, au coefficient de Strickler
1 g u2 2g
p = Cf u2 = 2 1/3 Cf = 1/3
,
2 K R 2
K RH
H
12.4. STRUCTURE MORPHOLOGIQUE 179
ou bien au coefficient de Chzy

1 g 2g
p = Cf u2 = 2 u2 Cf = 2 .
2 C C
La perte de charge totale est donc
u2 a 2 Cf u2
H = H1 + H2 = +L ,
2g h RH 2g
On peut calculer un coefficient de frottement quivalent Cf comme tant la somme des pertes de
charge locale dues la dune :
L u2
H = Cf ,
h 2g
soit encore
a2
Cf = Cf + .
Lh
q
On peut galement en dduire un coefficient de Chzy equivalent : Ceq. = 2g/Cf . On en dduit une
nouvelle loi dcoulement similaire lquation (voir tableau 11.1) obtenue pour un rgime uniforme
sur fond plat : s
Lh
u = C sin h.
Lh + a2 C 2 /(2g)
Ce petit calcul simple permet de montrer que, plus la taille de la dune augmente, plus la vitesse
moyenne dcoulement diminue.
Il existe des formules empiriques comme celle de Sugio pour des cours deau naturels (0,1 < d50 <
130 mm) et des canaux (0,2 < ks < 7 mm) :
0,54 0,27
u = KRH i ,
avec K = 54 80 pour des dunes, K = 43 pour une rivire mandre. Dautres formules ont t
dveloppes, mais elles prsentent peu prs toutes linconvnient de ne fournir que des tendances
car les donnes exprimentales sont trs disperses.
181
Chapitre 13
Rgime permanent non-uniforme
13.1 Courbes de remous obtenues par les quations de Saint Ve-

nant
En rgime permanent, le systme dquations (10.1310.14) se simplifie. La conservation de la
masse devient :
hu
= 0,
x
do lon tire que le dbit par unit de largeur q = hu est constant, tandis que lquation de quantit
de mouvement se simplifie en :
u h p
u = g sin g cos . (13.1)
x x %h
En se servant de u = q/h et h/x = dh/dx, on tire :

u2 dh p
g cos = g sin .
h dx %h
On obtient une quation diffrentielle du premier ordre dite quation de la courbe de remous ou de
la ligne deau. Cette quation tant du premier ordre, il faudra une condition aux limites, lamont
ou laval, sur la hauteur dcoulement pour pouvoir la rsoudre. Pour simplifier les notations on
introduit le nombre de Froude qui scrit pour des canaux infiniment larges :
u
Fr = .
gh cos
on aboutit alors :
dh 1 p %gh sin
= , (13.2)
dx %gh cos Fr2 1
avec ici p = p (u, h) et Fr des fonctions implicites de h(x). Il existe dautres expressions de cette
quation, toutes quivalentes mais faisant appel des quantits diffrentes (voir 13.2).
Pour des canaux quelconques, on peut montrer que la dfinition du nombre de Froude est iden-
tique (puisque h = S/B). En revanche lquation de remous est plus complexe car il faut tenir compte
des ventuelles variations de la largeur au miroir B dans la direction dcoulement ; on montre quon
aboutit :
dh 1 p %gS sin %hu2 B 0 (x)
= .
dx %gS cos Fr2 1
Notons que la formule du rgime permanent se dduit de ces quations en prenant h0 (x) = 0.
182 CHAPITRE 13. RGIME PERMANENT NON-UNIFORME
13.2 Rsolution de lquation de remous

Lquation de remous peut se mettre sous la forme usuelle :
dh jf i
= 2 , (13.3)
dx Fr 1
o lon a introduit i = tan et la pente de frottement

p
jf = .
%gh cos
Dans le cas dun canal infiniment large et dune rugosit de type Chzy, on peut galement la mettre
sous la forme suivante (forme appele quation de Bresse) :
dh 1 (hn /h)3
=i , (13.4)
dx 1 (hc /h)3
o lon a pos :
la hauteur normale hn , qui est solution de lquation p = %ghn sin (solution : hn = (q 2 /(C 2 i))1/3
pour un canal infiniment large) ;
la hauteur critique hc = (q 2 /g)1/3 .
Auparavant on oprait une classification des courbes de remous en fonction des valeurs respectives
de h, hn , et hc . Quand la pente est positive (i > 0), on a :
profil de type M ( mild ) pour pente douce quand hn > hc ;
profil de type S ( steep ) pour pente forte quand hn < hc .
Il faut ajouter les profils critiques C quand h = hc . Lorsque la pente est nulle, la hauteur normale
devient infinie, la courbe de remous devient horizontale ; on parle de profil H. Lorsque la pente est
ngative, on parle de profil adverse A. Notons quil ny a pas de hauteur normale dans ce cas-l.
13.2.1 Canaux faible pente : courbes M1M3

Ce sont les courbes observes pour un canal descendant (i > 0) pente faible (hn > hc ). On
distingue trois branches :
h > hn > hc : la courbe est tangente hn lamont et sa tangente devient horizontale laval.
On rencontre ce type de courbe lamont dun barrage, dun lac, ou dun obstacle. Le profil est
croissant (h0 > 0).
hn > h > hc : la courbe est tangente hn lamont. Le profil est dcroissant (h0 < 0). Sa tangente
aurait tendance devenir verticale laval car la courbe de remous croise la hauteur critique.
On rencontre ce type de courbe lamont dune chute ou de toute variation brutale de la pente,
o il y a passage dun coulement fluvial torrentiel.
hn > hc > h : la courbe est tangente hn lamont. Le profil est croissant (h0 > 0). laval il
se forme un ressaut. On rencontre ce type de profil la sortie dune vanne lorsque la pente du
radier laval est faible.
13.2. RSOLUTION DE LQUATION DE REMOUS 183
M1
hn
hc
M2
hn
hc
M3
hn
hc
Figure 13.1 : allure des courbes.
13.2.2 Canaux forte pente : courbes S1S3

Ce sont les courbes observes pour un canal descendant (i > 0) pente forte (hn < hc ). On
distingue l encore trois branches :
h > hn > hc : la courbe est tangente hn laval et sa tangente tendrait devenir verticale
lamont car la courbe de remous croise la hauteur critique. On rencontre ce type de courbe
laval dun barrage ou dun changement. Le profil est croissant (h0 > 0).
hn > h > hc : la courbe est tangente hn laval. Le profil est dcroissant (h0 < 0). Sa tangente
aurait tendance devenir verticale lamont. On rencontre ce type de courbe laval dune
augmention brutale de la pente, o il y a passage dun coulement fluvial torrentiel, ou bien
lors dun largissement brutal de la section dcoulement.
hn > hc > h : la courbe est tangente hn laval. Le profil est croissant (h0 > 0). laval il
se forme un ressaut. On rencontre ce type de profil la sortie dune vanne dnoye lorsque la
pente du radier laval est forte.
S 1
hc
hn
S 2
hc
hn
S 3
hc
hn
Figure 13.2 : allure des courbes.
13.2.3 Rsolution
De nos jours, on rsout numriquement lquation de remous. Comme il sagit dune quation
diffrentielle du premier ordre, il suffit de connatre une seule condition aux limites. En pratique,
on ne peut pas choisir nimporte comment la position amont/aval de cette condition (pour des pro-
blmes de propagation donde abords au 10.2.2). En effet :
pour un rgime fluvial, la condition aux limites peut tre choisi lamont ou laval ;
pour un rgime torrentiel, il faut placer la condition aux limites lamont.
Limposition dune condition aux limites dans un cours deau peut se faire laide de singularits o
le dbit et/ou la hauteur sont imposs (vanne, seuil, chute).
En pratique, les coulements fluviaux sont calculs dans la direction inverse de celle de lcoule-
ment (condition la limite laval) tandis quen rgime torrentiel, la condition la limite est place
lamont.
13.2. RSOLUTION DE LQUATION DE REMOUS 185
Figure 13.3 : tableau rcapitulatif des courbes.

Figure 13.4 : quelques exemples des courbes de remous en fonction des amnagements.
187
Chapitre 14
Courbes de remous et coulement

critique
14.1 Hauteur critique et rgimes associs

La hauteur crot ou dcrot selon le signe respectif du numrateur et du dnominateur dans lqua-
tion diffrentielle (13.2), ce qui donne diffrentes formes de courbes de remous (voir figure 13.3). No-
tons ce point important : lorsque le nombre de Froude prend la valeur 1, le dnominateur est nul et
en ce point la drive devient infinie, ce qui est physiquement impossible. En fait au voisinage de ce
point, il se forme
soit une discontinuit de la surface libre appele ressaut quil faut tudier avec des outils spci-
fiques (cf. 14.2) lorsquon passe dun rgime super- subcritique ;
soit une chute deau, cest--dire une acclration brutale et un raidissement de la surface
libre (passage dun seuil par exemple, avec transition dun rgime sub- supercritique).
La pente du canal et/ou la hauteur pour lesquelles on a Fr = 1 sappelle la pente critique et la
hauteur critique hc . On distingue deux rgimes selon la valeur du nombre de Froude :
Fr < 1, rgime sub-critique plus couramment appel rgime fluvial pour lequel on a h > hc ;
Fr > 1, rgime super-critique plus couramment appel rgime torrentiel pour lequel on a h <
hc .
La hauteur critique tant dfinie comme tant Fr(hc ) = 1, on tire que :
1/3
1 Q2
hc = ,
g cos B 2
avec Q le dbit total et B la largeur au miroir. Dans le cas dun canal rectangulaire, en introduisant le
dbit par unit de largeur q = Q/B, on tire :
1/3
q2
hc = .
g cos
Le dbit critique ne dpend pas (directement) de la pente, mais uniquement du dbit liquide.
14.2 Ressaut hydraulique

Au niveau dun ressaut, la courbure de la ligne deau est trop importante et les quations de Saint
Venant cessent dtre valables. On utilise alors le thorme de quantit de mouvement de part et
188 CHAPITRE 14. COURBES DE REMOUS ET COULEMENT CRITIQUE
dautre du ressaut (sur un volume de contrle) pour simplifier le problme et dduire les caract-
ristiques du ressaut. Pour cela on considre un volume de contrle (par unit de largeur) de part et
dautre du ressaut. Notons que lcoulement va de la gauche vers la droite et il faut se souvenir que
dans ce sens dcoulement, un ressaut provoque une augmentation de hauteur, jamais une diminu-
tion (en effet le ressaut est associ une dissipation dnergie, donc un ralentissement de lcoule-
ment). La tranche amont (resp. aval) est rfrence par lindice 1 (resp. 2). La longueur du volume de
contrle est L.
(a)
L
h2 u2
h u1
1
(b)
Figure 14.1 : simulation dun ressaut au laboratoire (a) et schmatisation dun ressaut (b).
On fait les hypothses suivantes

lcoulement est permanent et le dbit par unit de largeur vaut q ;
lcoulement est unidirectionnel ;
le ressaut est immobile (sa vitesse de dplacement est nulle) ;
la pression est hydrostatique loin du ressaut ;
le profil de vitesse est uniforme ;
le fond est peu rugueux.
On considre un volume de contrle dont les frontires englobent le ressaut.
Lquation de continuit donne : u1 h1 = u2 h2 = q.

Lquation de quantit de mouvement
Z Z Z Z
u(u n)dS = gdV pndS + T ndS
V V V V
projete le long de la direction dcoulement donne :
1
%q(u2 u1 ) = Lp + %g(h21 h22 ).
2
14.3. CONJUGAISON DUNE COURBE DE REMOUS 189
On suppose que lon connat les conditions lamont et on veut dduire ce qui se passe laval.
Quand on peut ngliger le frottement p , on tire :
q
h2 1
= 1+ 8Fr21 1 . (14.1)
h1 2
4
h2 /h1
0
1 2 3 4 5
Fr1
Figure 14.2 : variation du rapport h2 /h1 en fonction du nombre de Froude.
La figure 14.2 montre que le rapport h2 /h1 varie de faon peu prs linaire avec le nombre de
Froude amont F r1 .
Lquation (14.1) sappelle quation de conjugaison et les hauteurs h1 et h2 sont dites conjugues.
La perte de charge associe scrit :
3
q
1+ 3 8Fr21
u2 u21 (h2 h1 )3
H = H2 H1 = h2 h1 + 2 = = h1 q .
2g 4h1 h2 2
16 1 + 8Fr1 1
La longueur du ressaut nest en gnral pas trs leve, ce qui permet de justifier notre approxima-
tion. Exprimentalement on trouve que :
L Fr
= 160 tanh 12,
h1 20
pour 2 < Fr < 16.
14.3 Conjugaison dune courbe de remous
14.3.1 Donnes du problme
Exemple. On considre un amnagement compos :

dun rservoir avec une vanne de 2 mtre de hauteur laissant passer un dbit q = 10 m2 /s en
O;
dun coursier en pente raide (i1 = 5 %) et moyennement rugueux (coefficient de Chzy C =
50 m1/2 .s1 ), dune longueur de 10 m entre O et A ;
dun canal de pente douce (i1 = 0,2 %) et de mme rugosit rugueux que le coursier C =
50 m1/2 .s1 , dune longueur de 1000 m entre A et B ;
dun seuil dune pelle p = 0,5 m en B.
Le coursier et le canal sont trs larges.
Figure 14.3 : amnagement tudi (chelle de longueur non respecte).
14.3.2 Rsolution du problme

On souhaite calculer la courbe de remous et notamment la position et les caractristiques du
ressaut. Pour cela on calcule les caractristiques de lcoulement :
pour le coursier, on est en rgime supercritique (torrentiel) : hn = 0,92 m, Fr0 = 1,12, Frn = 3,6 ;
pour le canal, on est en rgime subcritique (fluvial) : hn = 2,71 m, Frn = 0,71.
Pour lensemble de lamnagement, la hauteur critique est la mme et vaut :
s
q2
hc = 3 = 2,17 [m],
g
Connaissant la hauteur dcoulement lamont du coursier (h = 2 m), on peut calculer la courbe de

remous en rsolvant lquation (13.4) numriquement. On trouve quen A, la hauteur vaut hA = 1,54
m. On peut ensuite commencer intgrer lquation (13.4) pour le canal. Sans surprise, on trouve
quil y a une transition critique au point C. On trouve numriquement xC = 90 m. Pour calculer la
position du ressaut, on commence par calculer lautre branche reliant le point C lexutoire B. Au
niveau du seuil le dbit est contrl par la hauteur de p (voir 16.3) :
3/2
2
q= g (H p) [m2 /s],
3
ce qui implique que la charge totale H doit sadapter lamont du seuil pour laisser transiter le dbit
q. On trouve quau voisinage de B, la charge H doit valoir H = 3,73 m, do lon dduit que la hauteur
avant le seuil doit tre de hB = 3,25 m. On calcule alors la courbe de remous entre A et B en rsolvant
lquation (13.4) avec la condition laval h = hB en B.
La position du front est trouve en recherchant lintersection de la courbe conjugue (trace en
tiret sur la figure) de la courbe de remous AC avec la courbe de remous manant de D. On trouve
que lintersection se fait en D de coordonne : xD = 24 m. On relie les deux courbes de remous
manant de A et celle venant de B en considrant quelle se rejoignent au point D et quen ce point
elles subissent un saut reprsent par le segment DD sur la figure 14.4. ut
3.25
3
D
2.75
2.5
h
2.25
C
O
2
1.75 D
A
1.5
0 50 100 150 200
x
Figure 14.4 : courbes de remous : solution donne par lquation (13.4) (courbe continue), courbe conjugue (trait disconti-
nue), et position du ressaut (courbe en gras).
14.3.3 Rsolution assiste
1. On commence par calculer les caractristiques hydrauliques dans les deux biefs.
In[19]:= q 10;
Ch 50;
i1 0.05;
hn1 q Ch Sqrt i1 ^ 2 3
Frn q hn1 ^ 1.5 Sqrt 9.81
hc q ^ 2 9.81 ^ 1 3
Fr1 q 2 ^ 1.5 Sqrt 9.81
Out[22]= 0.928318
Out[23]= 3.56961
Out[24]= 2.16825
Out[25]= 1.12881
In[26]:= i2 0.002;
hn2 q Ch Sqrt i2 ^ 2 3
Fr2 q hn2 ^ 1.5 Sqrt 9.81
Out[27]= 2.71442
Out[28]= 0.713922
2. On calcule la ligne deau dans le bief OA. On note que la hauteur en A vaut 1,54 m, donc elle est
suprieure la hauteur normale, mais infrieure la hauteur critique, ce qui veut dire quen A
lcoulement est toujours supercritique.
In[14]:= eqn1 NDSolve

h' x i1 1 hn1 h x ^ 3 1 hc h x ^ 3 , h 0 2 , h x , x, 0, 100
des0 Plot Evaluate h x . eqn1 , x, 0, 10 ;
hs Evaluate h x . eqn1 1 . x 10
Out[14]= h x InterpolatingFunction 0., 100. , x
2 4 6 8 10
1.9
1.8
1.7
1.6
Out[16]= 1.53911
3. On calcule la ligne deau dans le bief AB. Au point C, la routine de calcul sarrte car une singu-
larit est dtecte (dnominateur tendant vers linfini dans lquation 13.4).
In[20]:= eqn2 NDSolve

h' x i2 1 hn2 h x ^ 3 1 hc h x ^ 3 , h 10 hs , h, x, 10, 600
xl Flatten h . eqn2 .
HoldPattern InterpolatingFunction x__, y___ x 2
des1 Plot Evaluate h x . eqn2 , x, 10, xl , PlotRange 0, 3 ;
NDSolve::ndsz :
At x 90.30048673927307`, step size is effectively zero; singularity or stiff system suspected. Plus
Out[20]= h InterpolatingFunction 10., 90.3005 ,
Out[21]= 90.3005
2.5
1.5
0.5
20 40 60 80
4. On calcule la courbe conjugue de la ligne deau dans le bief AB.
In[26]:= conj h_ : 1 2 h Sqrt 8 q h ^ 1.5 Sqrt 9.81 ^ 2 1 1

des2 Plot conj Evaluate h x . eqn2 1 ,
x, 10, xl , PlotRange All, PlotStyle Dashing 0.01, 0.01 ;
Show des0, des1, des2 ;
2.8
2.6
2.4
40 60 80
2.8
2.6
2.4
2.2
20 40 60 80
1.8
1.6
5. On calcule les caractristiques hydrauliques au niveau du seuil.

In[48]:= p 0.5;
g 9.81;
Hf q ^ 2 3 3 2 g^ 1 3 p N
sol h . Solve h q h ^2 2 g Hf, h
q sol 3 ^ 1.5 Sqrt g
Out[50]= 3.75238
Out[51]= 1.03212, 1.50644, 3.27807
Out[52]= 0.537945
6. On calcule la courbe de remous dans le bief AB.
In[70]:= eqn3 NDSolve h ' x i2 1 hn2 h x ^ 3 1 hc h x ^ 3 , h 1000 sol 3 ,

h, x, 1000, 10
xl2 Flatten h . eqn3 .
HoldPattern InterpolatingFunction x__, y___ x 1
des3 Plot Evaluate h x . eqn3 , x, 1000, xl2 , PlotRange All ;
des4 Plot conj Evaluate h x . eqn3 1 ,
x, 1000, xl2 , PlotRange 0, 3 , PlotStyle Dashing 0.01, 0.01 ;
Out[70]= h InterpolatingFunction 10., 1000. ,
Out[71]= 10.
3.2
3.1
200 400 600 800 1000

2.9
2.8
2.5
1.5
0.5
200 400 600 800 1000
7. On peut tracer les courbes de remous et leur conjugue. On note la symtrie de la reprsentation
graphique.
In[57]:= des Show des0, des1, des2, des3, des4, Frame True, Axes False, FrameLabel
StyleForm " x ", FontSize 18, FontSlant "Italic", FontFamily "Times",
PrivateFontOptions "OperatorSubstitution" False ,
StyleForm " h ", FontSize 18, FontFamily "Times", FontSlant "Italic",
PrivateFontOptions "OperatorSubstitution" False ,
DefaultFont "Times", 14 , ImageSize 500 ;
8. On calcule le point dintersection entre la courbe de remous (lune des deux) et la conjugue de
lautre courbe.
In[58]:= xr x . FindRoot
conj Evaluate h x . eqn3 1 Evaluate h x . eqn2 , x, 10, 90 1
FindRoot conj Evaluate h x . eqn2 1 Evaluate h x . eqn3 , x, 10, 90
Out[58]= 37.8227
Out[59]= x 37.8227
197
Chapitre 15
quation de Bernoulli et ses

applications
15.1 Charge totale et charge spcifique

La charge totale hydraulique scrit :
u2
H = y` + h + ,
2g
avec y` la cote du fond. La charge totale reprsente lnergie totale (nergie potentielle + nergie
pizomtrique + nergie cintique) traduite en termes de hauteur (cest--dire en divisant lnergie
par %/g)
Pour simplifier, on a nglig le terme cos devant h. La quantit
u2
Hs = h +
2g
sappelle lnergie spcifique et reprsente lnergie du fluide une cote donne (pression + nergie
cintique) ; la charge totale est donc la somme de la charge spcifique Hs et de lnergie potentielle
y` . Pour une pente donne, lnergie spcifique est une fonction de la hauteur ou bien du dbit.
15.1.1 Dbit charge spcifique constante

Si on crit la charge spcifique comme une fonction du hauteur, on a :
q 2
Hs (h) = h + ,
2gh2
do lon tire que le dbit par unit de largeur q = uh vaut
p
q(h) = 2gh2 (Hs h).
ou sous forme adimensionnelle
q(h) p
q = p = 2 2 (1 ), (15.1)
gHs 3
avec = h/Hs . Il sagit dune courbe en cloche asymtrique prenant sa valeur maximale en = 2/3
(h = 2Hs /3) puisque
dq 2 3 2
= = 0 pour = .
d 2 2 3
198 CHAPITRE 15. QUATION DE BERNOULLI ET SES APPLICATIONS
0.5
0.4
0.3
q*
0.2 Fr>1 Fr<1
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 15.1 : variation de lnergie spcifique avec la hauteur dcoulement.
p Il sensuit
p que le dbit ne peut pas prendre nimporte quelle valeur, mais varie entre 0 et qmax =
gh3 = 8gHs3 /27. On note que pour ce dbit maximal, on Fr = 1. Le dbit maximal dans une
section correspond au dbit critique. On note galement que pour un mme dbit, il existe deux
hauteurs possibles, lune en rgime supercritique, lautre en rgime subcritique.
15.1.2 Hauteur charge spcifique constante

Si lon se place un dbit donn 0 < q < qmax , lnergie spcifique est une fonction de la hauteur :
q 2
Hs (h) = h + ,
2gh2
p
que lon peut crire galement sous forme adimensionnelle en divisant par hc = 3
q 2 /g
Hs 1 1
H = =+ ,
hc 2 2
avec = h/hc . La courbe correspondante est reporte la figure 15.2 ; le comportement de cette
courbe est le suivant :
quand h 0, Hs q 2 h2 : la charge diverge aux faibles profondeurs ;
quand h , Hs h : la charge spcifique tend asymptotique vers la droite Hs = h.
Le minimum de Hs est atteint pour la hauteur critique puisque
dH 2 1
=1 = 0 pour = 1.
d 2 3
Le diagramme Hs = Hs (h) permet de raisonner qualitativement sur la forme des courbes de remous.
Il faut pour cela bien distinguer le cas supercritique du cas subcritique. Considrons un rgime sub-
critique sur une marche descalier de hauteur p = zb za .
La charge totale se conservant, doit avoir une diminution de la charge spcifique de p
u2
HA = HB = z + h + Hs (B) = Hs (A) p.
2g
15.2. COURBES DE REMOUS OBTENUES PAR LQUATION DE BERNOULLI 199
H*
4
Fr>1 Fr<1
0
0 2 4 6 8

ha hb
marche
za zb
Figure 15.3 : courbe de remous sur une marche descalier en rgime subcritique.
Sur la figure 15.4, on a reprsent les tats ( = h/hc , H ) correspondants aux points A et B. Le
point B est obtenu en oprant une translation verticale p. On note que la hauteur hb en B est nces-
sairement plus faible quen A. On peut reproduire le raisonnement dans le cas dun rgime supercri-
tique et on trouve un rsultat oppos : au passage dune marche ascendante, la courbe de remous est
croissante (augmentation de la hauteur entre les points A et B sur la figure 15.4).
15.2 Courbes de remous obtenues par lquation de Bernoulli

Lquation de Bernoulli permet galement de retrouver lquation de remous. En diffrentiant la
charge totale H par rapport x et en introduisant la pente de frottement : jf = dH/dx, on a :
dh d q2
jf = i + + ,
dx dx 2gh2
soit encore :
dh jf i
= 2 ,
dx Fr 1
6
A A
5
H*
4
B
3
B
2
0 2 4 6 8

comme prcdemment avec les quations de Saint-Venant.
15.3 Effet dun obstacle
15.3.1 coulement sur une topographie

Considrons un coulement permanent de profondeur h0 et de vitesse
u0 la cote de rfrence
z0 = 0. Le nombre de Froude associ cet coulement est F0 = u0 / gh0 . Sur le fond, il existe une
protubrance de hauteur zm ; la cote du fond est donne par une quation de la forme y = z(x).
h
0
zm
Figure 15.5 : variation dune ligne deau le long dune protubrance.
La conservation de la charge implique daprs le thorme de Bernoulli

d u2
+ h + z = 0,
dx 2g
tandis que la conservation du dbit entrane
d
(hu) = 0.
dx
En tout point x, on a donc :
u2 u2
+ h + z = 0 + h 0 + z0 ,
2g 2g
qui peut se transformer en divisant par h0
2
1 h0 h z 1
F0 + + = F02 + 1. (15.2)
2 h h0 h0 2
15.3. EFFET DUN OBSTACLE 201
Il existe certaines contraintes quant lutilisation de cette quation pour dterminer la ligne deau
dans des cas concrets. En effet si on diffrentie (15.2) par x, on obtient
2
u dh dz
1 = ,
gh dx dx
ce qui montre que sur la crte de lobstacle (z = zm , z 0 = 0) on doit avoir F r = 1 (coulement critique)
ou bien h0 = 0. Notons aussi que si localement le nombre de Froude vaut 1, alors z 0 = 0, ce qui veut
dire que le nombre de Froude ne peut pas dpasser la valeur critique 1 (ou bien passer au-dessous
de 1 si F0 > 1) quand F0 < 1. Un coulement subcritique reste subcritique (et inversement pour un
coulement supercritique). Cela implique galement quil existe une hauteur maximale dobstacle
associe un nombre de Froude F r = 1 ; de lquation (15.2), on tire en posant F r = 1 que
zmax 3 2/3 1
= 1 F0 + F02 .
h0 2 2
Lorsque zm > zmax , on ne peut appliquer aussi simplement le thorme de Bernoulli et lcoulement
prend une forme beaucoup plus complexe, notamment avec la formation de ressaut et donde de
part et dautre de lobstacle.
15.3.2 Dune
partir de lquation de conservation de la quantit de mouvement
u u 1
+ u u = + |u|2 + ( u) u = %g p + T,
t t 2
on dduit quen rgime permanent (t u = 0) et pour un coulement irrotationnel (ce qui implique
que ( u) u = 0), la contrainte de cisaillement au fond (en y = 0) vrifie lquation de bilan
suivante
1 Hs
g sin + =g , (15.3)
% y x
o on a introduit lnergie spcifique :
u2
Hs = h cos + ,
2g
et on a suppos que la pression tait hydrostatique (ce qui se montre en considrant la projection
selon y de la quantit de mouvement et en supposant que les variations de hauteur sont faibles) :
p = %gh cos .
En rgime permanent et uniforme, lnergie spcifique est constante et on retrouve que la contrainte
de cisaillement varie selon lexpression dj vue dans le chapitre consacr au rgime permanent uni-
forme y
= p 1 ,
h
avec la contrainte au fond p = %gh sin . On a report sur la figure 15.7 la variation de lnergie sp-
cifique en fonction de la hauteur dcoulement dbit constant. Leffet dune protubrance sur la
contrainte de cisaillement dpend du rgime dcoulement. La prsence dune protubrance de hau-
teur a modifi la surface libre de leau (voir fig. 15.6). Elle induit donc le passage un rgime non
uniforme. Recherchons comment varie la contrainte de cisaillement de part et dautre de la protub-
rance. On se placera dans le cas dun rgime fluvial (le traitement du rgime torrentiel est similaire).
En rgime fluvial, en admettant que lnergie totale (Hs + y` , avec y` la cote du fond) se conserve,
lnergie spcifique au droit de la protubrance (point 3) doit tre plus faible que lnergie spcifique
du rgime uniforme (point 1). La diffrence entre les deux nergies vaut a. Comme lindique la figure
15.7, cela conduit aux deux observations suivantes :
sur la face amont de la protubrance, la contrainte de cisaillement prs du fond est plus forte
quen rgime uniforme ;
Figure 15.6 : variation dune ligne deau le long dune protubrance. On a galement report les variations de la contrainte de
cisaillement selon que lon est lamont ou laval de la protubrance. La variation de la contrainte de cisaillement en rgime
non uniforme est calcule partir de lquation (15.3).
H
Hs=H 3
Hs=H1
supercritique
ue
iq
2
rit
branche
bc
su
e
1
ch
an
br
h
hc h1 h3 h2
Figure 15.7 : variation de lnergie spcifique en fonction de la hauteur dbit constant pour le rgime permanent uniforme
tabli loin de la protubrance. La courbe en pointill correspond lnergie spcifique au droit de la protubrance (dduite
dune translation verticale de a de la prcdente). Les points 1, 2, 3 renvoient aux indices des hauteurs dcoulement. Dans le
diagramme h H, les courbes dnergie spcifiques sont toutes parallles et la distance entre deux courbes correspond la
diffrence dnergie potentielle.
sur la face aval, la contrainte de cisaillement est plus faible prs du fond que celle dtermine
en rgime uniforme.
Lorsquon est prs des conditions critiques drosion pour le rgime uniforme, on en dduit que la
face amont sera le lieu dune rosion plus importante et quinversement, la face aval sera le sige dun
dpt (si la contrainte paritale est suffisamment faible). Lorsque le processus drosion et dpt
de part et dautre de la protubrance est oprant, on assiste au dplacement de la structure ainsi
cre. On dsigne en gnral par dune le nom de telles structures morphologiques, qui se dplace de
lamont vers laval.
203
Chapitre 16
Rupture de barrage coulements

rapidement varis
Les quations de Saint-Venant peuvent servir calculer des problmes dcoulements transi-
toires rapides comme la rupture dun barrage. Cest principalement parce que le rapport daspect
= H /L reste petit que ces quations sont encore capables de fournir une approximation correcte
des coulements rels. Pour des coulements rapidement varis, comme lcoulement au-dessus
dun seuil, les quations de Saint-Venant cessent dtre valables ; on emploie alors des quations qui
spcifient localement la relation entre hauteur et dbit. Ces quations sont le plus souvent empi-
riques, mais leur forme est justifie laide du thorme de Bernoulli.
16.1 Rupture de barrage
16.1.1 Solution de Ritter
On considre un mur vertical qui retient un lac de retenue, dont le volume est suppos infini.
La hauteur deau initiale est hi . linstant t = 0, on suppose que le mur du barrage sefface totale-
ment et laisse scouler le volume deau sur un lit horizontal. Cest la gomtrie la plus simple quon
puisse imaginer. Le problme correspondant est appel problme de rupture de barrage. La premire
solution analytique connue est due Ritter 1 . La mthode classique de rsolution est fonde sur la
mthode des caractristiques, voque au chapitre 10.2. Nous allons voir cette mthode ainsi quune
autre approche dite mthode des formes autosimilaires qui exploite les proprits dinvariance
des quations diffrentielles.
Mthode des formes auto-similaires
Lorsquon nglige le frottement sur le fond et quon considre un fond horizontal, les quations
de Saint-Venant scrivent
h hu
+ = 0, (16.1)
t x
u u h
+u +g = 0. (16.2)
t x x
1. August Ritter (18261908) tait un ingnieur (gnie mcanique) allemand. Il commena sa carrire dans des usines fa-
briquant des machines, puis en 1859 il obtient un poste luniversit dHannovre. Il fut nomm professeur de mcanique
Aix-la-Chapelle en 1870, o il finit sa carrire. Ses recherches lont amen sintresser diffrents problmes pratiques de
la mcanique et de la thermique. En particulier, il proposa en 1892 la premire solution analytique du problme de rupture
de barrage. En fait, la premire solution mathmatique de ce type de problme est vraisemblablement d au mathmaticien
allemand Georg Friedrich Bernhard Riemann, qui proposa en 1859 une mthode gnrale de rsolution des quations hyper-
boliques comme celles de Saint-Venant.
204 CHAPITRE 16. RUPTURE DE BARRAGE COULEMENTS RAPIDEMENT VARIS
hi
x
Figure 16.1 : gomtrie du problme dit de rupture de barrage .
Dans le cas dune rupture de barrage, les conditions initiales et aux limites sont les suivantes
< x < , u(x,0) = 0,
x < 0, h(x,0) = hi , (16.3)
x > 0, h(x,0) = 0.
On recherche une solution sous la forme dune solution auto-similaire
u = t/ U () et h = t/ H(),
avec = x/t la variable de similarit, H et U deux fonctions dterminer. En replaant u et h par
leur forme auto-similaire dans les quations (16.116.2), on trouve : + = 1 et + 2 = 2. Pour que
cette solution satisfasse les conditions initiales et aux limites, on doit poser = = 0, do = 1. Le
systme dquations (16.116.2) devient alors
dU dH
H + (U ) = 0,
d d
dU dH
(U ) +g =0
d d
On aboutit alors un systme dquations, qui mis sous forme matricielle scrit
0
H U U
= 0,
U g H0
o le prime symbolise la drive selon . Pour que ce systme admette une solution non triviale, il
faut que son dterminant sannule, ce qui conduit gH = (U )2 . On substitute cette relation dans
le systme dquations ci-dessus et on tire U 0 = 2/3, do U = 2( + c)/3, o c est une constante
1 2
dintegration, H
= 4(c 2 ) /(9g). La constante c0 est trouve en se servant des conditions aux
limites : c0 = ghi . Retournant aux variables originales, on dduit finalement la solution dite de
Ritter des quations de Saint-Venant
2 x
u(x, t) = u = + c0 , (16.4)
3 t
1 x 2
h(x, t) = + 2c0 . (16.5)
9g t
La justification du terme de forme auto-similaire apparat clairement quand on examine la solu-

tion trace sur la figure 16.2 : les solutions se ressemblent toutes et semblent tre des formes tires
partir dune seule courbe. Quelques autres remarques :
le front est le point o h = 0, donc ici cest le point tel que x = 2c0 t, ce qui indique que la vitesse
du front est uf = 2c0 . Cest une valeur qui ne dpend que de la hauteur initiale et daucun autre
paramtre (comme le volume de fluide). Cette valeur est aussi le double de la clrit des ondes
en eau peu profonde c0 = ghi ;
la forme du front est parabolique : le fluide se prsente comme une lame de plus en plus fine
au fur et mesure que lon sapproche du front. Cela nest pas cohrent avec les observations
puisquen gnral le front se prsente plutt comme un mur deau. On verra comment on peut
expliquer cela en faisant intervenir localement la rugosit du lit (voir 16.1.2) ;
16.1. RUPTURE DE BARRAGE 205
u( x,t )
3
0
-10 -5 0 5 10
(a) x
1
0.8
0.6
h( x,t )
0.4
0.2
0
-10 -5 0 5 10
(b) x
Figure 16.2 : solution du problme de rupture de barrage aux temps : t = 0 ; 0,5 s ; 1 s ; 1,5 s ; 2 s. (a) Variation de la vitesse
moyenne u en fonction de x pour les diffrents temps ; notons que la variation verticale au niveau du front nest pas la solution
physique et ne sert ici qu positionner le front. (b) variation de la hauteur en fonction de x pour diffrents temps.
toutes les courbes h(x, t) passent par le point x = 0 et h = 4c20 /(9g) = 4hi /9. De mme, toutes
les courbes u(x, t) passent par le point x = 0 et u = 2c0 /3. Cela
p montre que la rupture de barrage
est quivalent injecter un dbit constant et gal uh = 8 gh3i /27.
Mthode des caractristiques
On a vu au 10.2 que lon pouvait transformer les quations de Saint Venant, cest--dire un jeu
dquations aux drives partielles :
h
+ (uh) = 0, (16.6)
t x
u u h
+u +g = 0, (16.7)
t x x
en un systme dquations diffrentielles ordinaires en soustrayant ou additionnant membre chaque
quation
dr dx p
= 0 le long de = + = u + gh, (16.8)
dt dt
ds dx p
= 0 le long de = = u gh. (16.9)
dt dt

Cela fait apparatre deux nouvelles inconnues : r = u + 2 gh et s = u 2 gh), dites variables de
Riemann. Dans le cas prsent, les variables r et s sont constantes le long des courbes caractristiques
dquation dx/dt = . Pour cette raison elle sont appeles invariantes de Riemann.
Remarque sur lobtention de la forme caractristique. Le passage du systme (16.616.7) au sys-

tme (16.816.9) peut ressembler un tour de passe-passe puisquon a additionn et retranch des
quations pour obtenir le rsultat souhait. En fait, cette transformation repose sur un mcanisme
assez gnral de transformation des quations diffrentielles hyperboliques que lon va expliciter ici.
Rappelons tout dabord que lon peut crire (16.616.7) sous la forme condense

U+A U = S,
t x
avec : U = {h, u}, S = 0 et :
u h
A= .
g u
Les valeurs propres de la matrice A introduite dans le systme dquations (16.616.7) sont :
i = u c,

avec c = gh, et les vecteurs propres gauche 2 sont :
c
vi = , 1 .
h
Multipliant les quations (16.616.7) par le vecteur gauche v1 , on tire :

c h hu h u u
+ c = +u ,
h t x x t t
que lon peut arranger de la faon suivante :

c h h u u
+ (u c) = + (u c) , (16.10)
h t x t t
On note la prsence du facteur c/h et une certaine symtrie des membres de droite et de gauche.
Le membre de droite peut sinterprter comme la drive de u par rapport t le long de la courbe
C dquation dx/dt = = u c. On aimerait bien faire de mme avec le membre de gauche,
mais le facteur c/h pose problme. On souhaiterait pouvoir faire entrer le rapport c/h dans les termes
diffrentiels ; pour cela introduisons une fonction (h) telle que :
d c dh
= .
dt h dt

On trouve facilement par intgration (puisque c = gh) : (h) = 2 gh = 2c. Lquation (16.10) peut
donc scrire
d du dx p
= le long de = = u gh,
dt dt dt
soit encore
ds dx p
= 0 le long de = = u gh,
dt dt
avec s = u = u 2c. On fait ensuite de mme avec le second vecteur gauche v2 ; on obtient une
quation similaire (16.10) au signe prs et o u c est remplac par u + c.
dr dx p
= 0 le long de = + = u + gh,
dt dt
avec r = u + = u + 2c. u
t
C
t C+
x
=
R2
c0
t
2c 0t
R1 x=
R3
u = 0, h = 0
x
Figure 16.3 : ventail des caractristiques manant du point origine.
Les quations de Saint-Venant sont quivalentes au systme dquations diffrentielles ordinaires :
d
(u 2 h) = 0,
dt

le long des courbes caractristiques C : dx/dt = u h.
Si on considre une rupture de barrage, on doit avoir comme conditions initiales :
pour la vitesse < x < u(x,0) = 0
pour la hauteur x<0 h(x,0) = hi
x>0 h(x,0) = 0
La perturbation engendre t = 0 et x = 0 par la rupture va se propager lamont et laval.
Initialement, comme u et h sont constants, les variables r et s le sont aussi. Aprs la rupture, toute
la partie du volume deau qui nest pas encore mis en mouvement est galement caractrise par des
valeurs de r et s constantes. Mathmatiquement, on montre que lorsquon a un domaine dcoule-
ment constant (R1 sur la figure 16.3), cest--dire o u et h sont constants, il existe ncessairement
un domaine dit onde simple (R2 ) avec une dpendance u(h) et une famille de caractristiques
qui sont des droites. Il existe un troisime domaine vide (R3 ) o lcoulement nest pas encore
parvenu. On ne connat pour linstant pas lextension de ces diffrents domaines dans le plan x t.
Examinons tout dabord les caractristiques C+ manant de laxe t = 0 et x < 0. Le long de ces
caractristiques, les invariants sont p
r = u + 2 gh = 2c0 , (16.11)

avec c0 = ghi la vitesse initiale de londe de rupture. Ces caractristiques ont pour quation
dx p
= + = u + gh,
dt
qui sont des courbes (que lon ne connat pas encore) dans le domaine R2 , mais des droites dans le
domaine R1 puisque u et h sont constants. Linformation est transmise le long de ces caractristiques
du domaine R1 vers le domaine R2 .
La caractristique marquant les limites de cette zone non perturbe, que lon appellera domaine
R1 (voir figure 16.3), est la droite x = c0 t reporte en gras sur la figure 16.3. Cette caractristique
manant de 0 reprsente tout simplement la propagation de la discontinuit initiale de h en x = 0 (
t = 0). Elle appartient la famille C dquation
dx p
= = u gh,
dt
2. Les vecteurs propres gauche vrifient : vi A = i vi .
qui avec les valeurs initiale gauche de 0 donne ici dx/dt = c0 . Dans le domaine R2 , la famille de
caractristiques C est forme un rseau en ventail (onde simple centre) dquation
x p
= = u gh, (16.12)
t
En rsolvant le systme dquation (16.1116.12), on trouve alors :
2 x
u= + c0 , (16.13)
3 t
1 x 2
h= + 2c0 , (16.14)
9g t
noter quen x = 2c0 t, la hauteur devient nulle. Le domaine R3 reprsentant le domaine non encore
concern par la rupture de barrage est dlimit par la caractristiques x = 2c0 t qui est la fois une
caractristique C et C+ . Lavance du front se fait la vitesse 2c0 .

noter quon a ici : u = 2(c0 gh) dans tout le domaine dcoulement (cest linvariant r de
Riemann qui se conserve). En reportant cette expression dans lquation de conservation de la masse,
on obtient :
h p h
+ (2c0 3 gh) = 0.
t x

qui est lquation de londe cinmatique, avec une vitesse de propagation 2c0 3 gh.
16.1.2 Solution de Whitham : prise en compte de la rugosit du fond

En 1954, Whitham a propos une mthode approche pour calculer leffet du frottement sur le
front. Loin du front, la solution de Ritter est valable. Les champs de vitesse et de hauteur donns par
2 x p 1 x p 2
u= + gh0 et h = + 2 gh0
3 t 9g t
sont donc valables jusquau point B, dabscisse x = xb (t). Pour la rgion frontale situe entre xb et xa
(position du front), Whitham suggre de ne pas rsoudre les quations mais dintgrer les quations
pour obtenir des quations globales du front (mthode de Pohlhausen). Il considre notamment que
dans la rgion frontale, la variation de vitesse est faible de telle sorte que lon peut crite u(x, t) = u(t).
Figure 16.4 : modification de la forme du front.
Notons que cette mthode intgrale ne permet pas de dterminer exactement la forme de la sur-
face libre, mais il est possible den avoir une ide en faisant un simple bilan de quantit mouvement
prs du front. En effet, en ngligeant linertie du fluide au niveau du front, on tire que le gradient de
pression doit contrebalancer le frottement
h
gh = cd u2 (t),
x
or u(t) dxa /dt. Do lon dduit lapproximation :
r
dxa 2cd p
h(x) = xa (t) x.
dt g
Pour obtenir les quations globales du fluide au niveau du front, on note que :
la vitesse au point de transition xb est ub dxb /dt, o (ub , hb ) sont les solutions de Ritter gauche
du point de transition B ;
le flux de masse M scrit hb (ub dxb /dt) ;
le flux de quantit de mouvement est hb ub (ub dxb /dt).
Lquation globale du mouvement scrit donc

dP dxb 1
= hb ub ub + F + gh2b ,
dt dt 2
o P est la quantit de mouvement et F la force de frottement :
Z xa
F = cd u2 dx cd u2 (xa xb ).
x0
Par ailleurs, puisque la vitesse est suppose constante dans la zone frontale, on a P = M ub , or

dM dxb
= hb ub ,
dt dt
avec xb = c0 (3ub /(2c0 ) 1)t et hb = h0 (1 ub /(2c0 ))2 daprs la solution de Ritter. Lintgration donne
3
ub
M = h0 c0 1 t.
2c0
Notons que Rlon peut trouver ce rsultat directement en faisant remarquer que, dans la solution de
x
Ritter M = xbf hdx (il ny a pas de variation de masse, juste un changement de la surface libre et
une vitesse front moins grande). On dduit la vitesse :
dub 1
M = gh2b cd u2b (xa xb ).
dt 2
p
Introduisant les variables sans dimension = cd /h0 (xf xa ) et = g/c0 cd t, on tire :
4 + 4 = 16(2 )2 (3 2).
On sest servi du fait que dans le front la vitesse est constante et gale xa : ub = xa ; de plus on
peut aussi interprter la vitesse du front en termes de vitesse relative en posant : xa = c0 (2 ).
On ne peut pas rsoudre directement cette quation numriquement car en = 0 le terme tend
vers une limite impropre. Il faut dterminer cette limite. Pour cela on va considrer ce qui se passe
au premier ordre en = 0. On pose = K( ) = A n et on cherche n et A. En reportant cela dans
lquation on trouve au premier ordre n = 4/3 et A = 3 32/3 /141/3 2.58916. On trouve donc
que quand 0. On peut de l rsoudre numriquement lquation avec comme condition
initiale () = K() et () = K 0 () o lon choisit trs proche de 0 (typiquement = 106 ). On
obtient la courbe reporte sur la figure 16.5.
On pourrait chercher le dveloppement asymptotique plus loin en crivant = A n + Bxm + ,
mais cela ne marche pas. On ne peut pas faire de dveloppement de Taylor en 0 car les drives
dordre 2 ou suprieures divergent. En fait, comme le montre la solution numrique, trs rapidement
devient linaire ; il ne sert donc rien de chercher un dveloppement polynmial vu que lordre 1
(x4/3 ) a une pente plus forte que 1.
Il faut plutt rechercher la solution sous la forme dune fonction rationnelle (approximation de
Pad). Recherchons donc une solution sous la forme :
Ax4/3
= .
1 + Bxn
B = 4 422/3 /59 0.81917 et n = 1/3. On obtient la courbe tiret mi-long de la figure 16.6. Si on
pousse un ordre suprieur, on obtient :
Ax4/3
= ,
1 + Bx1/3 + Cx2/3
2.5
1.5

1
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
Figure 16.5 : comparaison de la solution numrique (courbe continue) et de lapproximation asymptotique en = 0.
2.5
1.5

0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
Figure 16.6 : approximations successives de la solution.
avec C 0.204158. On obtient la courbe tiret long de la figure 16.6, donnant un accord encore
meilleur avec la courbe numrique.
On obtient ainsi lapproximation au premier ordre quand t est petit :
s r !
dxa p g
ua = = gh0 2 3.452 3 cd t .
dt h0
Aux temps trs longs, on peut recherche un nouveau dveloppement asymptotique. La solution nu-
mrique nous pousse rechercher une solution sous la forme = + . Injectant cette forme dans
lquation diffrentielle, puis prenant , on trouve que = 2. Donc, on aboutit lexpression
asymptotique : r
dxa p h0
ua = = gh0 .
dt 2cd t

16.2. RSOLUTION NUMRIQUE DU PROBLME DE RUPTURE DE BARRAGE 211
16.2 Rsolution numrique du problme de rupture de barrage
Il est possible dautres solutions analytiques ou des approximations du problme de rupture de

barrage pour des conditions aux limites plus complexes ou bien lorsquon tient compte du frottement
ou bien de la pente du canal. La figure 16.7 montre ainsi la rupture de barrage dun volume fini de
fluide le long dune pente incline de .
0.8
h( x,t )
0.6
0.4
A
B 0.2
H0
O
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x
10
0.25 t=1
8 t=8
0.2
h( x,t )
6
u( x,t )
t=4 0.15
t=2
4
t=2 0.1
2 t=1 t=4
0.05 t=8
0
0 10 20 30 40 0 10 20 30 40
x x
Figure 16.7 : approximations successives de la solution.
Assez rapidement, les solutions analytiques et les approximations se rvlent insuffisantes pour
rsoudre des problmes concrets. Il faut passer par des mthodes numriques. La principale diffi-
cult rsoudre est la gestion des discontinuits ventuelles de la solution. Plusieurs stratgies de
calcul ont t proposes, dont les diffrences portent sur :
la mthode de discrtisation des quations : mthode des lments finis, mthode des volumes
finis, etc. ;
la mthode de maillage du domaine : maillage rgulier ou rgulier en espace et temps, maillage
adaptatif (le pas de la maille sadapte la prcision dsire), mais galement nuds du maillage
advects ou non par lcoulement
rsolution des quations lagrangiennes : les nuds de la grille de calcul suivent lcoule-
ment,
rsolution des quations eulriennes : les nuds de la grille de calcul sont indpendantes
de lcoulement ;
la gestion des discontinuits : diffrentes mthodes (front tracking, shock-capturing, etc.) ont
t dveloppes pour dtecter et/ou suivre une discontinuit de la solution.
La plupart des mthodes modernes se fondent sur lutilisation de la mthode des caractristiques,
que nous avons expose brivement.
16.2.1 Rsolution par une mthode lagrangienne
On cherche rsoudre les quations de Saint-Venant dans leur forme gnrale (10.1310.14)
h hu
+ = 0,
t x
u u h p
+u = g sin g cos .
t x x %h
Cette forme est la forme eulrienne des quations. Un point dlicat dans la rsolution numrique est
d au terme non linaire dadvection uu/x. Cette difficult peut tre contourne en mettant les
quations sous une forme lagrangienne : au lieu de se placer un endroit x au temps t et regarder ce
qui se passe, on va suivre une parcelle de fluide (ici une tranche) au cours du temps.
Mise sous forme lagrangienne
Appelons a la position de cette parcelle de fluide linstant initial et on appelle X(a, t) la tra-
jectoire suivie par la particule a au cours du temps. Dans un systme lagrangien, la vitesse de cette
parcelle est simple uL = X(a, t)/t ; lindice L rappelle quil sagit dune vitesse lagrangienne. Vi-
tesses eulrienne et lagrangienne sont relies linstant t par uL = u(X(a, t), t). De mme, la hau-
teur lagrangienne est dfinie par rapport la hauteur eulrienne value le long de la trajectoire
hL = h(X(a, t), t). On va transformer la forme eulrienne des quations de Saint-Venant o les va-
riables indpendantes sont x et t en une forme lagrangienne o les variables indpendantes sont a
et t. Pour cela, quelques manipulations diffrentielles sont utiles ; la rgle de composition des diff-
rentielles nous donne ainsi

UL u X
= u(X(a, t), t) = ,
a a x (X(a, t), t) a

UL u X u
= u(X(a, t), t) = + ,
t t x t
(X(a, t), t) t
(X(a, t), t)
u u
= UL + .
x t
Le symbole |(X(a, t), t) rappelle que les drives sont values au point X(a, t) et linstant t. On fait
de mme pour la hauteur
hL h X
= ,
a x a
hL h h
= UL + .
t x t
Quand substitue ces diffrentes relations dans lquation de conservation de la masse (10.13), on
obtient :
X hL h hL uL
uL + uL + hL = 0.
a t x a a
En regroupant les termes, on obtient
X hL uL
+ hL = 0,
a t a
soit encore
X
hL = 0. (16.15)
t a
La quantit
X
m(a) = hL
a
est indpendante du temps. Notons que ce rsultat aurait galement pu obtenu en faisant remarquer
que le volume de fluide contenu dans une tranche entre X(a1 , t) et X(a2 , t) est constante
Z X(a2 , t)
h(x, t)dx = cste,
X(a1 , t)
or avec un changement de variable, cela implique

Z a2
X
hL (a, t) da = cste.
a1 a
R a2
On trouve bien que a1
m(a)da est constant.
Lquation de conservation de la quantit de mouvement sous forme lagrangienne sobtient de la
mme faon

X uL p hL
g sin + = g cos . (16.16)
a t %h a
! " # $
Comme on le voit, le terme convectif non linaire a disparu, ce qui simplifie quelque peu le problme
(mme si lquation a lair plus compliqu). Par la suite, on va rsoudre numriquement les quations
(16.1516.16) ; notons que lon ne mettra plus lindice L derrire u et h pour allger les notations
(tant entendu que ces variables sont bien lagrangiennes).
Schma numrique
Lide est de diviser un coulement en N tranches comme le montre la figure 16.8. On introduit
donc N + 1 nuds xi qui sont advects avec lcoulement. La tranche i est dlimite gauche par
le nud xi et droite par le nud xi+1 . Sa hauteur est suppose constante et gale hi ; cela revient
dire que lon remplace la surface libre par une courbe en marches descalier. Le centre de gravit
de chaque tranche se situe labscisse i = (xi + xi+1 )/2. Chaque nud est susceptible de bouger
au cours du temps et on crit xni la position du nud xi au temps t = nt, o t est un incrment de
temps.
x1 x2 x3 xi xN xN +1
1 N
h1 h2 hN
Figure 16.8 : dcoupage en tranches et approximation de la solution.

Puisque les nuds sont advects, la masse de fluide de la tranche i se conserve au cours du temps.
On a Z xi+1
h(x)dx = cste,
xi
or ici on suppose que

Z xi+1
h(x)dx hi (xi+1 xi ).
xi
n 1
Supposons que lon connaisse ui 2 , xin1 , et hin1 ; au temps t = 0, ces valeurs correspondent aux
valeurs initiales. Notons aussi que lon va considrer un lger dcalage en temps (t/2) entre la hau-
teur et la vitesse. La conservation de la masse et la dfinition de la vitesse (lagrangienne) impliquent
que lon puisse mettre jour la position des nuds de la faon suivante
n 21
xni = xin1 + ui t, (16.17)
xn1 xin1
hni = hin1 i+1 . (16.18)
xni+1 xni
La vitesse est dtermine en se servant de la conservation de la quantit de mouvement (10.14)
n 1
!
n+ 1 n 1 hn hni1 p (ui 2 ,hni )
ui 2 = ui 2 + t g sin g cos in n . (16.19)
i i1 hni
On itre ainsi de suite.

Il faut faire une remarque importante sur la manire dont nous avons discrtis les termes dif-
frentielles. Pour discrter un terme diffrentiel, la rgle de base est de se servir du dveloppement
limit dune fonction rgulire
1
f (x + x) = f (x) + xf 0 (x) + x2 f 00 (x) +
2
Cela permet dobtenir diffrentes valuations de f 0 au premier ordre et au second ordre (ou dautres
ordres encore) :
f (x + x) f (x)
f 0 (x) = + O(x) : schma aval,
x
f (x) f (x x)
f 0 (x) = + O(x) : schma amont,
x
f (x + x) + f (x x)
f 0 (x) = + O(x2 ) : schma centr.
2x
Dans le schma numrique prsent, on emploie un schma amont en temps et en espace pour la
vitesse, mais aval pour la hauteur. Dautres schmas de discrtisation sont possibles, mais tous ne
convergent pas ou ne sont pas stables. La figure 16.9 montre la grille de calcul et les nuds employs
pour le calcul de la vitesse. On dit que la discrtisation est explicite car dans le terme source, on a
crit que la contrainte la paroi p tait value au nud xi et au temps n (ou n 21 pour la vitesse) ;
on aurait pu choisir un schma implicite, o p est value au temps n + 1 (n + 21 pour la vitesse) et
n+ 21
comme p dpend la fois de h et u, il aurait fallu rsoudre une quation non linaire en ui , ce qui
complique le schma numrique (mais le rend plus stable).
La notion de stabilit peut tre en partie tudie laide de la notion de nombre de Courant qui
fixe lincrment de temps maximal de temps t ne pas dpasser pour que le calcul soit stable. La fi-
gure 16.10 montre ce qui se passe quand on choisit un incrment
de temps t trop grand [fig. 16.9(b)] :
comme la vitesse de propagation de linformation est c = gh, on ne peut pas prendre dincrment
de temps trop grand car sinon le schma choisi nest pas suffisant pour transmettre toute linfor-
mation au temps n + 1. Pour que le schma soit stable, une condition ncessaire est de choisir un
n+2
n+1
i1 i i+1
x
Figure 16.9 : grille de calcul dans le plan x t : lorsquon veut calculer ce qui se passe au nud (i, n + 1), on se sert de
linformation aux nuds (i, n) et (i 1, n).
incrment de temps vrifiant la condition de Courant 3
t < cx, (16.20)
avec x la taille des cellules dans la direction x (ici lespacement du maillage varie au cours du temps
et dans lespace, donc il faut vrifier la condition de Courant.
Pour fermer les quations de discrtisation, il faut des conditions aux limites. Sagissant dun
schma amont pour la vitesse, on a besoin de fixer la vitesse au nud x1 . Par exemple, pour une
rupture de barrage dune volume fini sur fond horizontal, on suppose que le niveau du fluide des-
cend le long de la paroi verticale, mais il reste toujours du fluide coll cette paroi. On a donc : un1
pour n 0. Pour la hauteur, on na pas de problme car ici on ne fait quexprimer la conservation de
la masse, donc le problme principal qui va se poser est de trouver la position du point frontal xN .
Un problme qui se pose lorsquon veut calculer numriquement la rupture de barrage sur un fond
horizontal lisse ( = 0 et p = 0) est limprcision de la discrtisation pour calculer la position du
front. On a en effet vu prcdemment que la position du front est donne lavance par
xf = 2c0 t,

avec c0 = ghi et hi la hauteur deau initiale. On peut donc imposer : xnN = 2c0 nt pour tout n. La
difficult est quon injecte une partie de la solution analytique pour trouver la solution numrique...
mais si on ne le fait pas, le modle nest pas trs prcis pour le calcul du front. Malheureusement,
dans la plupart des cas pratiques, on ne sait pas calculer par avance la position du front et il faut
donc recourir des approximations.
Un autre problme que nous ne mentionnons pas ici est que les quations de Saint-Venant peuvent
gnrer des chocs (ressaut hydraulique), mais les mthodes lagrangiennes sont mal adaptes pour
calculer ces discontinuits ; il existe des astuces numriques pour sen sortir, mais cest toujours au
prix dune perte dinformations et de prcision. Dans le cas de rupture de barrage sur fond lisse et
sec, le problme ne se pose pas car aucun choc ne se forme.
3. Richard Courant (18881972) tait un mathmaticien allemand. Aprs ses tudes en Allemagne, puis lETH de Zrich,
il devint professeur de mathmatiques lUniversit de Mnster (Rhnanie). Juif, il fut contraint lexil en 1933. Aprs un
passage Cambridge, il sinstalla New York, o il fonda un institut de mathmatiques mondialement reconnu, appel au-
jourdhui lInstitut Courant. Courant a une influence considrable en mathmatiques appliques (fondement des mthodes
numriques de rsolution des quations aux drives partielles et en mathmatiques physiques (onde de choc, arodyna-
mique).
n+2
t
t
n+1
n+1
n n
i1 i i+1
x i1 i i+1
x
(a) (b)
Figure 16.10 : grille de calcul dans le plan x t et report des caractristiques C et C+ . Pour chaque cellule i et i + 1 autour du
nud xn i , on trace les rseaux de caractristiques ; ces caractristiques se croisent dans un domaine color en jaune. Lorsque
le nud xn+1 i se trouve dans ce domaine, cela veut quil est influenc uniquement par ce qui se passe dans les i et i + 1 au
temps n (cas a). Sinon, cela veut dire quil faudrait connatre ce qui se passe dans les cellules voisines, par exemple i 1 et
%
i + 2, pour mener bien le calcul par la mthode des caractristiques (cas b). Dans ce dernier cas le calcul a peu de chances
dtre stable.
Exemple dapplication
Considrons un exemple o lon lche t = 0 un volume fini de fluide contenu dans un rservoir
de hauteur hi et de longueur L (voir figure 16.11). Cette gomtrie est trs proche du problme tudi
par Ritter si ce nest que le volume est fini.
hi
x=0 x
Figure 16.11 : gomtrie tudie. Paramtres du calcul : L = 1 m, N = 50 mailles, = 103 s.
On considre N mailles. Le pas initial entre chaque nud est donc x = L/N et on a t = 0 la
position de chaque nud donne par la relation
x0i = (i 1)x pour 1 i N + 1,
alors que la hauteur initiale est donne par
h0i = hi pour 1 i N,
et la vitesse initiale est

u0i = 0 pour 1 i N,
et au niveau du barrage au moment de son effacement (en x = L)

p
u0N +1 = 2ci = 2 ghi .
On se sert des relations (16.1716.19) pour trouver la position des nuds, leur vitesse, et leur hauteur
au temps n 1. On reporte sur la figure 16.12 le rsultat dun calcul avec N = 50 mailles pour le
temps t = 0,2 s et t = 1 s. On compare aussi la solution numrique avec la solution de Ritter valable
pour un volume infini, donne par les quations (16.416.5). On note le trs bon accord t = 0,2 s,
mais il y a une diffrence notable pour le temps t = 1 s, qui illustre en fait leffet de taille finie du
rservoir. On note aussi sur cette figure que le point frontal est situ trs loin des autres points, ce qui
montre quel point il est crucial de fournir au modle numrique la bonne solution au niveau du
front pour que la solution soit prcise.
1
6
5 0.8
4
0.6
h( x,t )
u( x,t )
3
0.4
2
0.2
1
0 0
0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2
(a) x x
0.6
6
5 0.5
4 0.4
u( x,t )
h( x,t )
3 0.3
2 0.2
1 0.1
0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
(b) x x
Figure 16.12 : comparaison entre la solution de Ritter (trait discontinu) et la solution numrique (chaque point noir repr-
sente un nud du calcul). (a) Calcul au temps t = 0,2 s. (b) Calcul au temps t = 1 s. Paramtres du calcul : L = 1 m, N = 50
mailles, t = 103 s. Se reporter au site web du laboratoire http://lhe.epfl.ch/MFprogramme.html pour voir le code crit avec
Mathematica.
16.2.2 Mthode des caractristiques
Parmi les mthodes de rsolution des quations de Saint-Venant sous forme eulrienne, la m-
thode des caractristiques est sans doute lune des plus intressante pour comprendre la physique
du phnomne, mais elle reste dun intrt numrique plus limit.
Mise sous forme caractristique
Lexposition complte de cette mthode ncessiterait de traiter de faon plus complte les inva-
riants de Riemann, les ondes de choc et de dtente, etc., ce qui est bien au-del de lobjectif du pr-
sent cours ; on se contentera dun expos gnral. Les quations de Saint-Venant peuvent se mettre
sous la forme :
U U
+A = B, (16.21)
t x
o lon a introduit le vecteur U = (h, u), la matrice A, et le vecteur B :

u h 0
A= et B = p .
g cos u % + gh sin

La matrice A possde deux valeurs propres i (U) = u c, avec c = gh cos (rappelons que c est la
clrit et reprsente la vitesse caractristique de propagation des ondes la surface libre), associes
aux vecteurs propres gauche vi = (c/h, 1) : vi A = i vi . Si on multiple lquation (16.21) par vi , on
tire :
U U
vi + i = vi B.
t x
Soit i la courbe dite caractristique dont lquation dans un plan x t vrifie dxi (t)/dt = i ; pour
toute fonction f prenant ses valeurs sur cette courbe, on a
df (xi (t), t) f dxi f f f

= + = + i .
dt x dt t t x
On dduit que lquation prcdente peut se mettre sous la forme simplifie :

dU
vi = vi B.
dt x=xi (t)
Ce qui nous intresserait ce niveau, cest de pouvoir faire entrer le vecteur vi dans le terme diff-
rentiel ; il faut pour cela que le produit scalaire vi dU forme une diffrentielle totale. Autrement dit,
on cherche sil existe une fonction i telle que di = vi dU = c/hdh du. On voit facilement quef-
fectivement une telle fonction existe ; elle vaut : i = u 2c. On aboutit alors la forme simplifie :

di
= vi B.
dt x=xi (t)
Linterprtation en est simple : le long des courbes caractristiques i , la variation de i = u 2c est

vi B ; si cette dernire quantit est nulle (pas de frottement et fond horizontal), alors i se conserve
le long des courbes caractristiques. Le principe de rsolution numrique sen dduit aisment. Ad-
mettons quau temps t on connaisse la solution U(x, t) ; on veut maintenant la calculer linstant
t + t (point M sur la figure 16.13). Plutt que de travailler avec les variables u et h, on travaille avec
les variables i . On peut tracer deux caractristiques 1 et 2 issues du point M ; ces caractristiques
coupent laxe x au temps t aux points P et Q.
t 1 2
1
2
t + t M
t
x
Q P P'
Figure 16.13 : principe de rsolution numrique par la mthode des caractristiques.
Au premier ordre (les sections de courbes PM et PQ sont alors des segments de droite), on i =
(vi B)t. La valeur de i en M est alors incrmente i (P ou Q) + i . Connaissant i en M, on fait
le changement de variable inverse pour retrouver u et h.
Cest le principe gnral pour rsoudre des quations diffrentielles de la forme (16.21). En pra-
tique, il faut tenir compte de problmes de stabilit numrique pour discrtiser correctement les
quations et de la possibilit dapparition de chocs. En effet, si deux caractristiques de la mme fa-
mille (1 partant de P et P par exemple, voir figure 16.13) se croisent au point M, alors on a affaire un
systme qui aurait plusieurs valeurs possibles de u et h, ce qui nest pas admissible pour une solution
continue dun point de vue physique. La seule autre possibilit est que la solution soit localement
discontinue : on dit quune onde de choc se forme. Cette formation dun choc peut se comprendre
laide de la figure 16.14 : quand une onde se dplace et se dforme non linairement, il peut arriver
quune partie de londe ait tendance vouloir aller plus vite que lautre partie. Sur la figure 16.14(c),
on note que plusieurs valeurs de hauteur seraient possibles, mais une telle solution nest pas pos-
sible car elle correspondrait une vague dferlante ; on remplace alors la solution continue par une
solution discontinue (ressaut).
(a) (b) (c)

Figure 16.14 : dformation dune onde non linaire jusqu la formation dune discontinuit (choc). (a) tat initial. (b) D-
formation de londe (trait continu) par rapport ltat initial (trait discontinu). (c) Dformation non admissible (tiret large)
conduisant la formation dun choc (trait continu).
Mise sous forme caractristique
Pour comprendre ce qui se passe considrons le cas simple dun coulement sur un fond hori-
zontal et sans rsistance ( = 0 et p = 0). On a vu que la formation caractristique des quations de
Saint-Venant est
dr dx
= 0 le long de C+ : = + ,
dt dt
ds dx
= 0 le long de C : = ,
dt dt

avec r = u + 2c, s = u 2c, + = u + c, = u c, c = gh. On considre qu t = 0 on connat ce
qui se passe en nombre fini de points espacs de x (points 1 4 sur la figure 16.15). Les pentes des
caractristiques passant par ces points sont connues et gales . Ces caractristiques se coupent
aux points 5 7. Si on remplace localement les courbes par des segments de droite, nous pouvons
calculer les coordonnes de ces points. Une fois ces coordonnes calcules, on peut se servir de lin-
variance de r et s le long des courbes caractristiques. Par exemple, pour le point 5, on a :
u5 + 2c5 = u1 + 2c1 (C+ ) et u5 2c5 = u2 2c2 (C ).
De mme pour le point 6 on a
u6 + 2c6 = u2 + 2c2 (C+ ) et u6 2c6 = u3 2c3 (C ).
On fait ainsi de suite pour dterminer les autres points. On comprend mieux la notion de domaine
dinfluence : on voit ainsi que le domaine triangulaire compris entre les points 1, 4, et 10 est entire-
ment influenc par la condition initiale t = 0 au niveau des points 1 4. On voit aussi que si lon se
place gauche du point de 5, on peut bien faire partir une caractristique C , mais il manque lin-
formation transmise par C+ ; il faut alors des conditions aux limites (par exemple, fournies le long de
x = 0) ou bien dautres conditions initiales gauche du point 1.
La principale difficult de cette mthode est que les points dintersection sont irrgulirement r-
partis dans le plan x t, ce qui impose dinterpoler les rsultats pour calculer par exemple un profil
220
C /
.2
0
+1
,
-
&'()*
CHAPITRE 16. RUPTURE DE BARRAGE COULEMENTS RAPIDEMENT VARIS
5
10
6
9
7
C+
x
1 2 3 4
x
Figure 16.15 : rseau de caractristiques.
de hauteur un instant t. De plus, lorsque de des chocs se produisent (intersection de deux caract-
ristiques C+ par exemple) En pratique, cette mthode nest plus tellement utilise de nos jours, mais
elle est trs utile pour comprendre ce qui se passe physiquement. Dans la plupart des algorithmes
modernes de rsolution des quations du mouvement (16.21), le traitement numrique est prise en
compte laide de techniques spcifiques (solveurs de Riemann, de Roe, etc.).
16.2.3 Mthode des diffrences finies

Principe
On discrtise les termes diffrentiels selon un schma de discrtisation diffusif explicite dit de
Lax 4
n n
f 1 n+1 n fi+1 + fi1
fi fi + (1 ) ,
t t 2
f f n fi1
n
i+1 ,
x 2x
avec 0 < 1 un coefficient (constant) qui contrle la stabilit de lalgorithme : plus est choisi
proche de 0, plus le schma est diffusif, cest--dire il a tendance lisser toutes les irrgularits. Plus
est proche de 1, moins il est diffusif, mais il devient instable pour = 1 et a tendance gnrer
dimportantes fluctuations pour proche de 1.
Les quations de Saint-Venant (sous forme non conservative) deviennent
hni+1 + hni1 t t
hn+1
i = hni + (1 ) uni hni+1 hni1 hni uni+1 uni1 ,
2 2x 2x
n+1 n uni+1 + uni1 n t n n
t
ui = ui + (1 ) ui ui+1 ui1 g cos hni+1 hni1
2 2x 2x
p (uni , hni )
+ g sin .

On peut ainsi mettre jour au temps n + 1 les valeurs de u et h en tout point de la grille sauf ses
extrmits : (un+1
1 , hn+1
1 ) et (un+1 n+1
N +1 , hN +1 ) doivent tre fixs indpendamment par des conditions aux
limites. Le schma est stable ds lors que la condition de Courant est vrifie
t p
(u + c) < 1, avec c = gh cos .
x
4. Peter Lax est un mathmaticien amricain dorigine hongroise, n en 1926 Budapest. Il a travaill sur le projet Manhat-
tan Los Alamos en 19451946. Professeur New York University, il est lorigine de nombreuses contributions en mathma-
tiques appliques pour rsoudre numriquement des quations diffrentielles.
Comme tous les schmas diffusifs, cet algorithme introduit de la diffusion numrique, qui peut faus-
ser les rsultats. Le schma ne peut tre employ en prsence de choc (ressaut). Cest pour ces raisons
que lon prfre des schmas plus performants. Parmi les mthodes aux diffrences finies, le schma
implicite de Preissmann dvelopp par la socit Sogreah ainsi que le schma implicite dAbbott-
Ionescu sont parmi les plus populaires.
3
Exemple dapplication
On a considr la rupture dun barrage sur fond lisse, horizontal et sec. La figure 16.16 montre
la gomtrie tudie. La grille de calcul est compos dun dcoupage en N = 100 mailles despace
rgulirement distribues entre x = 0 et L. Le barrage occupe une longueur L0 . On a choisi un coef-
ficient = 0,9. Comme le montre la figure 16.17, la solution numrique scarte trs rapidement de
la solution thorique de Ritter.
L0
hi
x
x=0
Figure 16.16 : gomtrie tudie. Paramtres du calcul : L = 2 m, N = 100 mailles, = 5 104 s.
6 1
5 0.8
4
0.6
h( x,t )
u( x,t )
3
0.4
2
0.2
1
0 0
0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2
(a) x x
1
6
5 0.8
4
0.6
h( x,t )
u( x,t )
3
0.4
2
0.2
1
0 0
0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2
(b) x x
Figure 16.17 : comparaison entre la solution de Ritter (trait discontinu) et la solution numrique (chaque point noir re-
prsente un nud du calcul). (a) Calcul au temps t = 0,01 s. (b) Calcul au temps t = 0,1 s. Paramtres du calcul :
L = 2 m, hi = 1 m, L0 = 1 m, N = 100 mailles, t = 5 104 s, = 0,9. Se reporter au site web du laboratoire
http://lhe.epfl.ch/MFprogramme.html pour voir le code crit avec Mathematica.
16.3 coulements rapidement varis

On parle de rgime rapidement vari lorsque les caractristiques de lcoulement varient sur de
courtes distances. Typiquement cela se produit lorsque :
les conditions hydrologiques changent rapidement : larrive soudaine deau provoque une aug-
mentation trs rapide de la hauteur et du dbit deau et cette augmentation est dautant plus
rapide que les pentes sont fortes ;
un obstacle (dversoir, barrage, seuil, drivation, etc.) ou une singularit (variation brutale de
section, etc.) provoque une variation brutale de la courbe de remous, souvent accompagne
dune forte dissipation (cration de ressaut, zone de recirculation, zone morte, etc.).
Les coulements rapidement varis sont souvent associs
des changements de rgime super-critique sub-critique (torrentiel/fluvial), donc des res-
sauts,
des changements de rgime sub-critique super-critique (fluvial/torrentiel), donc des
chutes,
ce qui permet de dissiper lexcdent dnergie.
En pratique, on force le dveloppement dun rgime graduellement vari pour :
augmenter la dissipation dnergie (bassin de dissipation dun barrage) ;
mesurer le dbit dans une section donne (canal jaugeur de type Parshall, Venturi) ;
matriser/assurer/contrler un dbit (dversoir, seuil, vanne).
Il nest en gnral pas possible de traiter un coulement rapidement vari autour de singularits
(largissement brutal par exemple) laide des quations de Saint Venant. Pour traiter un coulement
rapidement vari, il faut :
pour des transitions super-critique sub-critique, passer par des mthodes globales sur des
volumes de contrle (voir 14.2 sur le ressaut) ;
pour des transitions sub-critique super-critique, utiliser lapproche nergtique (calcul des
courbes de remous par le thorme de Bernoulli). Cela permet daboutir des solutions en
utilisant des formules empiriques pour dcrire les pertes de charge locales induites dans les
coulements rapidement varis. Par exemple, un largissement brutal peut tre trait avec la
formule de Borda.
Le couplage des mthodes (Saint Venant + Bernoulli) est possible selon les cas de figure.
Exemple. Dbit dun dversoir seuil pais

Les dversoirs sont des ouvrages aux formes varies : dversoir paroi mince pour mesure un
dbit (plaque mince verticale), barrage-dversoir (barrage au fil de leau avec vacuation du trop
plein), dversoir mobile (vanne clapet, vanne batardeaux, etc.) qui permet dajuster la pelle, et
dversoir seuil pais (ouvrage souvent profil).
Un seuil pais permet de contrler un dbit (voir figure 16.18).
Si le seuil est suffisamment pais 5 , la hauteur dcoulement au niveau de la crte du seuil est
ncessairement gale la hauteur critique (voir la justification au 15.3.1), cest--dire
1/3
q2
hc = ,
g
avec q le dbit par unit de largeur lamont du seuil. La charge totale au niveau du seuil vaut donc :
q2
H = hc + + p,
2gh2c
5. Un seuil pais a une paisseur de crte ` telle que ` > 3(H p).
16.3. COULEMENTS RAPIDEMENT VARIS 223
` h2
h1
hc
p
h
Figure 16.18 : passage dun seuil. Trait continu : seuil dnoy ; trait pointill : seuil noy. Attention les chelles de longueur ne
sont pas respectes.
avec p la pelle (hauteur de seuil). Dans le cas dun fluide parfait, la charge au niveau du seuil est
gale la charge calcule lamont H = u2 /(2g) + h, avec u = q/h la vitesse moyenne. En galant les
deux charges totales, on dduit :
3/2
2
q= g (H p) .
3
En pratique, lapproximation de fluide parfait nest pas trs bonne et on emploie la place la formule
empirique pour un seuil dnoy 6 :
3/2
2
q = CD g (H p) ,
3
avec CD le coefficient de dbit. Ce coefficient dpend de la gomtrie du seuil (pais, paroi mince),
de sa largeur, et de la gomtrie dcoulement (contraction ou non de la lame). Dans le cas o le seuil
est noy, la loi de dbit est alors une relation liant le dbit et la diffrence de hauteur de part et dautre
du seuil noy
1/2
2
Q = CD g (h1 h2 ) (h2 p).
3
u
t
Exemple. largissement brutal de la section

Un largissement brutal entrane une dissipation dnergie et une variation rapide de la courbe de
remous, dont on ne peut rendre compte avec les quations de Saint-Venant. On considre alors que
les quations sont valables de part et dautre de la singularit et on fournit de nouvelles quations aux
limites, par exemple en calculant la vitesse et la hauteur au niveau de la section 2 (voir figure 16.19)
partir des valeurs calcules pour la section 1 et en servant dune relation gnralise de Bernoulli
u21 u2 (u1 u2 )2
h 1 + z1 + = h 2 + z2 + 2 + ,
2g 2g 2g
o est le coefficient de perte de charge singulire (par exemple, formule de Borda : = 0,5). u
t
Exemple. Confluence de cours deau

La confluence de cours deau peut galement entraner une dissipation dnergie importante. On
considre alors que les quations sont valables lamont et laval de la confluence. La confluence
impose par ailleurs un certain nombre de relations de compatibilit :
les dbits sajoutent
Q3 = Q2 + Q1 .
6. Un seuil est dit dnoy lorsque lcoulement laval du seuil ninflue pas sur lcoulement lamont, ce qui implique que
la hauteur critique est bien atteinte au droit du seuil et/ou quun rgime supercritique stablisse au pied du seuil.
1 rgime 2
rapidement
Saint-Venant applicables vari Saint-Venant applicables
456
Figure 16.19 : changement de la largeur dun canal.
leau a la mme profondeur

h1 = h2 = h3 .
la charge se conserve
u21 u2 u3
h 1 + z1 + = h 2 + z2 + 2 = h 3 + z3 + 1 .
2g 2g 2g
En cas de chargement brutal de section ou dun brassage important de leau (par exemple
confluence en T, avec un angle 90), on peut tenir compte dune dissipation dnergie sous
forme de perte de charge singulire. Notons quen gnral la cote du fond est identique la
confluence z1 = z2 = z3 . u
t
1
3
Figure 16.20 : changement de la largeur dun canal.
Exemple. Chute deau

Un dcrochement brutal de la cote de fond entrane une chute deau. En gnral, la hauteur deau
au droit du dcrochement est
hs = hc ,
avec hc la hauteur critique (hc = (q 2 /g)1/3 pour un canal rectangulaire) et = 1 en thorie si les lignes
dcoulement taient parallles au fond, mais qui prend le plus souvent la valeur = 0,72.
16.3. COULEMENTS RAPIDEMENT VARIS 225
hs
Figure 16.21 : chute deau.

227
Chapitre 17
Phnomnes de propagation dans

leau
17.1 Phnomnes de propagation

Il existe plusieurs phnomnes de propagation de matire, de quantit de mouvement, et/ou
dnergie dans les fluides. On passe ici en revue ces phnomnes en mettant laccent sur les cas ren-
contrs en hydraulique. La caractristique gnrale de ces phnomnes est quils sont dcrits par des
quations diffrentielles (aux drives partielles) en temps et en espace.
17.1.1 Convection
La convection est un mode de transfert dun lment ou dune quantit o celle-ci est advecte
par le fluide. Par exemple, si on libre un polluant dans un cours deau, celui-ci sera gnralement
transport la mme vitesse que leau. On parle de convection ou dadvection (la convection est plus
souvent employe en thermique pour dcrire le transfert de chaleur).
Lquation la plus simple qui soit reprsentative de la convection est la suivante
f f
+u = 0, (17.1)
t x
o f (x, t) est une quantit advecte par un courant deau la vitesse constante u. Cest une quation
aux drives partielles linaire du premier ordre. Ce type dquation peut sinterprter gomtrique-
ment en crivant
f
1 t
f = n f = 0.
u
x
Cela veut dire que la solution f (x, t) = cst dessine dans le plan t x une courbe dont la normale est
parallle au vecteur n = (1, u) ; un vecteur (dt, dx) est tangent la courbe solution sil est perpendi-
culaire n. . Il existe donc en tout point de cette courbe un scalaire tel que (dt,dx) = n, soit dt =
et dx = u. En faisant le rapport de ces deux expressions, on peut faire disparatre et on a
dx dx dt df
= u ou bien encore = = .
dt u 1 0
La dernire quation sappelle lquation caractristique associe lquation aux drives partielles
(17.1). Comme u est suppose constante, cela veut dire que la solution de lquation caractristique
est x ut = cste ; toute fonction F (x ct) dont largument est x ct est solution de lquation (17.1).
Lune des caractristiques de cette solution est que la forme initiale F (x) ( t = 0) est conserve tout
le long du mouvement : elle simplement translate de ut comme le montre la figure 17.1.
228 CHAPITRE 17. PHNOMNES DE PROPAGATION DANS LEAU
f u(t2 t1 )
t1 t2
Figure 17.1 : advection dune quantit f .
17.1.2 Diffusion
La diffusion est un mode de transfert dun lment sous leffet de lagitation thermique (mouve-
ment brownien) ou bien de la turbulence. Dans un cours deau, outre le mouvement moyen, il existe
des fluctuations de vitesse qui dispersent rapidement un lment ou un fluide dans le volume.
Lquation la plus simple reprsentation de la diffusion est la suivante
f 2f
= D 2, (17.2)
t x
avec D le coefficient de diffusion et f (x, t) est ici une quantit telle que la concentration dun polluant
dans une rivire. Cest une quation aux drives partielles linaire du second ordre.
Selon les conditions initiales imposes, il existe parfois des solutions analytiques cette quation
sous la forme de solution auto-similaire tm F () avec = x/tn . Quand on substitue f par cette forme
dans lquation 17.2, on trouve que n = 21 . On note que m nest pas dtermin par lquation dif-
frentielle, mais il lest par les conditions aux limites. En gnral, dans les problmes physiques, on
impose que la quantit de matire diffuse soit constante
Z
f (x)dx = V,

Ro V est le volume
R total (suppos constant) de matire qui diffuse. Un changement de variable donne
f (x)dx = tm+1/2 F ()d = V . Il est donc ncessaire que m = 12 car V ne dpend pas de t.
Lavantage de ce changement de variable est quon transforme lquation aux drives partielles
en quation diffrentielle ordinaire linaire dordre 2, bien plus simple rsoudre. Voyons cela en
pratique dans un cas particulier o lon suppose que dans un cours deau au repos, on lche un
volume V de polluant initialement contenu en un point x = 0 ; la condition initiale est donc f (x, 0) =
(x) o est la fonction Dirac ((x) = 1 si x = 0 et (x) = 0 si x 6= 0)
F + F 0 () + 2DF 00 () = 0,
qui donne en intgrant une premire fois
F + 2DF 0 = a,
avec a une constante dintgration. Comme la solution est attendue tre symtrique en x = 0 (donc
en = 0), on a F 0 = 0 en x = 0 (F doit admettre une tangente horizontale en ce point), donc a = 0.
Une nouvelle intgration donne
x2 b x2
F () = be 4D f (x, t) = e 4Dt ,
t
17.1. PHNOMNES DE PROPAGATION 229
R x2
avec b une constante dintgration. Comme
e 4D = 2 D, on dduit que b = V /2 D, do la
solution
V x2
f (x, t) = e 4Dt . (17.3)
4Dt
0.8
0.6
f ( x,t )
0.4
0.2
0
-10 -5 0 5 10
x
Figure 17.2 : diffusion dune quantit f . Calcul avec D = 1 m2 /s et au temps t = 0,1, t = 0,5, t = 1, t = 5, et t = 10 s.
Comme le montre la figure 17.2, la forme du front de diffusion reste identique au cours du temps
(elle est en forme de cloche), quoique le front stale de plus en plus. Notons que la solution obtenue
a un intrt gnral car elle est la solution particulire du problme dit de Green. Par exemple, ad-
mettons que la condition initiale soit plus complexe : f (x, 0) = g(x). Puisque lquation diffrentielle
est linaire, la somme de deux solutions est galement solution. La solution gnrale scrit alors
Z
1 (x)2
f (x, t) = g()e 4Dt d.
4Dt
Cette intgrale signifie que la concentration f tout temps t et pour tout x est la somme des contri-
butions lmentaires induites par la distribution de source dintensit g() par unit de longueur.
17.1.3 Convection-diffusion
La convection-diffusion est la combinaison des deux phnomnes. Cest le phnomne couram-

ment rencontr en hydraulique. Par exemple, le dversement dun polluant dans une rivire conduit
un transport de ce polluant par diffusion (turbulente) et convection (advection la vitesse de leau).
Lquation caractristique est donc
df f f 2f
= +u = D 2, (17.4)
dt t x x
o D et u sont supposes constantes. On peut se ramener un problme de diffusion linaire par le

changement de variable suivant (qui revient faire un dplacement de rfrentiel et se placer dans
le rfrentiel du cours deau)
= x ut,
= t.
On a alors

= + ,
x x x

= ,

= + ,
t t t

= u + .

Lquation (17.4) devient alors
f 2f
=D 2,

qui est similaire lquation de diffusion (17.2) vue plus haut.
Un cas particulier de convection-diffusion est rencontr avec lquation de Burgers
f f 2f
+u = D 2, (17.5)
u x x
qui peut tre transforme galement en une quation de diffusion laide de la transformation de
Cole-Hopf
2D
u= ,
x
avec (x, t) une fonction auxiliaire. On a en effet
2
u 2D 2 2D
= + 2 ,
x x2 x
2u 2D 2 2D
2
= + 2 ,
x xt x t
3
u 2D 3 4D 6D 2
= 3
3
+ 2 .
t x x x2 x
On obtient alors aprs simplification

3
2 2
+ 2D 3 = 0,
t x xt x x x2
que lon peut transformer en divisant par 2 , puis en intgrant par rapport x, et enfin en multi-
pliant de nouveau par en une quation de diffusion linaire
2
= D 2.
t x
17.1.4 Onde
Au sens strict, une onde est la propagation dune perturbation produisant sur son passage une va-
riation rversible de proprits physiques locales. Elle transporte de lnergie sans transporter de ma-
tire. Par extension, une onde peut dsigner la propagation dun signal quelconque dans un fluide :
onde de choc, onde de crue, etc. Dans de tels cas, londe peut tre associe un transport de matire.
En hydraulique, on est amen distinguer les types donde selon leur dynamique :
les ondes dynamiques, o la dynamique de la perturbation est gouverne par lquation de
conservation de la quantit de mouvement. Les effets dynamiques sont prpondrants ;
les ondes cinmatiques, o la dynamique de la perturbation est rgie par lquation de conser-
vation de la masse. Les effets dynamiques sont ngligeables.
17.1. PHNOMNES DE PROPAGATION 231
17.1.5 Onde dynamique

Les ondes dynamiques se prsentent souvent sous la forme dune solution une quation diff-
rentielle de la forme dune quation aux drives partielles du second ordre :
2f 2
2 f
= c , (17.6)
t2 x2
avec c la vitesse phase. Cette forme nest pas exhaustive ; par exemple, on va voir plus loin que lqua-
tion des ondes de surface scrit :
2f f
= g ,
t2 y
avec ici f le potentiel de vitesse (u(x, y, t) = f ) et g lacclration de la gravit.
On recherche souvent les solutions sous la forme dharmoniques :
f (t) = A exp[(kx t)],
o A est lamplitude, k le nombre donde ( = 2/k est la longueur donde), la frquence angulaire.
Lquation diffrentielle est linaire, ce qui implique que toute combinaison de solutions est gale-
ment solution (principe de superposition). Il existe deux sens de propagation :
onde progressive f = f (x ct) : londe va dans le sens x > 0 ;
onde rgressive f = f (x + ct) : londe va dans le sens x < 0.
Notons par ailleurs que que lquation (17.6) peut se factoriser ainsi

2f 2
2 f
c = c + c f = 0,
t2 x2 t x t x
ce qui permet galement de transformer une quation aux drives partielles du second ordre en un
systme dquations du premier ordre

ft cfx = v,
vt + cvx = 0.
Cela permet notamment de montrer que la solution gnrale de lquation des ondes (17.6) scrit
f = a(x ct) + b(x + ct),
avec a et b deux fonctions quelconques (solution dite dAlembert).

Remarquons que dans bien des cas dintrt pratique, les quations sont linaires ; la linarit
permet dappliquer le principe de superposition. Une onde stationnaire rsulte de la superposition
dune onde rgressive et dune onde progressive de mme amplitude. Dans ce cas, la dpendance
en temps disparat. Le plus souvent, la frquence angulaire est trouve tre une fonction du nombre
donde : = (k). La relation correspondante est appele relation de dispersion car elle traduit
commet un paquet dondes de longueur donde diffrente se disperse. En effet, pour bien des phno-
mnes physiques, plus la longueur donde est petite (donc le nombre donde k grand), plus la vitesse
de phase est grande ; la fonction (k) est alors croissante.
On introduit galement la vitesse de groupe cg = 0 (k) : lorsquun groupe dondes de mme am-
plitude, mais de frquence angulaire diffrente (mais variant dans une plage troite de valeurs) se
dplace, la vitesse moyenne de propagation de lnergie est appele vitesse de groupe .
17.1.6 Onde cinmatique

Considrons le cas dun coulement permanent dans une rivire. Il existe donc une relation u(h)
en toute section de cette rivire ; par exemple u = k h si une formule la Chzy est employe.
Supposons que lcoulement soit capable de sadapter rapidement face de petites perturbations.
Cela signifie que, malgr la perturbation (par exemple, la hauteur a cru lgrement), la relation u(h)
est toujours valable. La perturbation va se propager. Daprs lquation de continuit (16.1), on a :
h hu h
= = (u + hu0 ) ,
t x x
do si lon note c(h) = u + hu0 la clrit de londe cinmatique, on tire :
h h
+ c(h) = 0.
t x
De mme, si lon multiplie cette quation par u/h, on tire :
u u
+ c(h) = 0.
t x
Vitesse et hauteur sont donc toutes deux solutions de la mme quation diffrentielle :
f f
+c = 0,
t x
Il sagit dune quation de type convectif. La solution gnrale est donc de forme f (x ct) : il sagit
dune onde progressive ( travelling wave en anglais) qui ne se propage que dans un seul sens
contrairement aux quations dynamiques.
Les ondes cinmatiques ne sont en fait que des approximations des ondes dynamiques lorsque les
proprits dynamiques de la transmission donde sont ngligeables. Leur avantage par rapport aux
ondes dynamiques rside principalement dans un traitement mathmatique allg. Les ondes de
crue dans les gros cours deau peuvent souvent tre traites dans le cadre des ondes cinmatiques.
17.2 Ondes dynamiques : ondes de surface

Les ondes dues la gravit (gradient de pression) provoque des ondes dynamiques la surface des
coulements. On parle donde de gravit ou onde de surface. Leurs caractristiques gnrales peuvent
se dduire en considrant en premire approximation que les effets visqueux sont dinfluence ngli-
geable sur la propagation de ces ondes.
17.2.1 Calcul approximatif

Une des caractristiques souvent rencontres pour les ondes est quelles transmettent une infor-
mation, une nergie, etc., mais ne sont pas associes un mouvement des particules. Ce phnomne
est bien visible la surface dun lac ou dune mer : les vagues ne sont pas associes un transport de
particule. Ainsi, une boue la surface de leau est souleve, puis rabaisse, mais reste grosso modo
la mme place.
Considrons donc une intumescence dpaisseur se dplaant la surface dune nappe deau
peu paisse (profondeur h0 ) et au repos. Si on suppose que cette onde ninduit pas de transport de
fluide durant son mouvement, alors le dbit doit tre nul d(u) = 0. Considrons lquation (10.13)
de continuit des quations de Saint Venant
h hu
+ = 0,
t x
avec h = h0 + , soit encore
u
+ h0 = 0,
t x
(compte tenu de d(u) = 0). Lquation de conservation de la quantit de mouvement (10.14) scrit :
u u h p
+ u = g .
t x x %h
17.2. ONDES DYNAMIQUES : ONDES DE SURFACE 233
En linarisant lquation (cest--dire en supprimant le terme convectif uu/x en supposant que la

vitesse induite par la vague est faible) et en considrant un fluide parfait (p = 0), on tire :
u
= g .
t x
En combinant quation de la masse et quation linarise de quantit de mouvement, on tire que :
2 2
= gh 0 ,
t2 x2
ce qui montre que la vitesse de lintumescence satisfait lquation typique des ondes dynamiques
vue (17.6) avec c = gh0 .
On peut aboutir au mme rsultat sans passer par lapproximation de Saint Venant, ce qui permet
de calculer la vitesse des ondes lorsque la profondeur deau est quelconque. Cest ce que lon va voir
maintenant en considrant les quations locales du fluide parfait au lieu des quations moyennes.
h0
Figure 17.3 : dplacement dune intumescence la surface de leau (au repos).
17.2.2 Calcul plus complet

Si lon considre un mouvement dune onde provoquant une variation de la surface libre dun
fluide parfait initialement au repos (pas de mouvement hormis celui induit par londe), les quations
du mouvement sont les quations dEuler :
u = 0,
du 1
= g p.
dt %
On introduit le potentiel des vitesses : u = . Lquation de conservation de la masse devient
alors :
2 = 0,
(appele quation de Laplace) tandis que lquation de quantit de mouvement 1
1 1
+ ( ) = g p,
t 2 %
soit encore :
1 1
+ = p,
t 2 %
avec le potentiel gravitaire (g = ) ; on reconnat une variante de lquation de Bernoulli. Re-
cherchons des solutions sous forme donde progressive :
(x, y, t) = F (x ct)G(Y ).
Le report dans lquation 2 = 0 donne :

F 00 G00
= = k 2 ,
F G
1. On sest servi de u ( u) = ( 21 u u) u u.
dont la solution gnrale est :
F = A cos(x ct) + B sin(x ct) et G = Ceky + Deky .
Pour dterminer la relation de dispersion, il faut prendre en compte lquation de Bernoulli, qui va
considre la surface libre y = h(x, t) de telle sorte que le terme de pression (p = 0) puisse tre
omis. De plus, si on ne retient que les termes de premier ordre (cest--dire on nglige ), on
tire :

= gh. (17.7)
t
De plus, la surface libre, on a la condition :
dy dh
v= =
dt dt
or v = /y et u = /x, do lon tire :
h h h
= + .
y t x x t
En diffrentiant (17.7) par rapport t, puis en reportant lexpression de h/t dtermine dans la
condition sur v la surface libre, on tire :
2
2
= g .
t y
Cest lquation des ondes de surface dun courant deau. La relation de dispersion est obtenue en
reportant lexpression de F et G. Aprs calcul, on obtient :
2 g
c2 = = tanh kh.
k k
On peut faire les remarques suivantes :

la vitesse apparat au carr, donc on peut dterminer deux vitesses (une ngative, lautre posi-
tive) avec des sens de propagation opposs ;

en eau peu profonde (cest--dire h ), on tanh kh kh, do lon tire : c = gh. Cest la
vitesse critique (correspondant Fr = 1). Toutes les ondes de surface ont la mme vitesse de
propagation quelle que soit leur longueur donde ;
p
en eau profonde (cest--dire h ), on tanh kh 1, do lon tire : c = g/(2). La vitesse
des ondes de surface dpend de la longueur donde . Ces ondes sont dsignes sous le terme
gnral de houle.
Dans le cas des cours deau, on est dans le premier cas de figure (eaux peu profondes). Si on ritre
le raisonnement prcdent pour un fluide en coulement la vitesse moyenne u, la clrit des ondes
est calcule
par rapport la vitesse moyenne u : les ondes de gravit se propagent donc la vitesse
c = u gh, soit encore : p
c = gh(Fr 1),

avec Fr = u/ gh le nombre de Froude. On tire le rsultat important :
en rgime fluvial Fr < 1, les ondes se propagent damont vers laval et daval vers lamont.
Linformation se propage dans les deux sens. Une modification de lcoulement se produit
lamont est rpercute laval et, de mme, la modification des conditions dcoulement en-
trane une modification de ce qui se passe lamont une fois que londe a remont linforma-
tion ;
en rgime torrentiel Fr > 1, les ondes se propagent damont vers laval uniquement. Linforma-
tion ne se propage que dans le sens de lcoulement. Il ny pas de contrle aval, cest lamont
qui dicte ce qui se passe dans le bief.
17.3. ONDES DYNAMIQUES : ONDES DE CHOC (MASCARET) 235
17.3 Ondes dynamiques : ondes de choc (mascaret)

Les quations du mouvement en hydraulique sont souvent des quations non linaires aux d-
rives partielles hyperboliques. Lune des proprits de ces quations est quelles peuvent propager
des discontinuits. Le mascaret est une onde avec un front raide qui se propage dans les cours deau :
typiquement lors dune mare montante, la modification du niveau de la mer amne la formation
dun mascaret. Certaines rivires comme la Dordogne Vayres (prs de Libourne) produisent rgu-
lirement des mascarets qui font la joie des surfeurs. La forme de la surface libre prs dune disconti-
nuit ne peut plus tre tudie par les quations de Saint-Venant cause de la courbure de la surface
libre et de la dissipation dnergie libre ; toutefois, la dynamique des discontinuits reste entirement
dicte par ces quations. On montre ci-aprs quon peut driver un jeu dquations, dites relations
de Rankine 2 -Hugoniot 3 , qui dcrivent la variation brutale de masse et de quantit de mouvement
au passage de la discontinuit. De faon plus gnrale, un mascaret peut se produire sur un cours
amnag lorsquon impose une variation soudaine du niveau deau (lcher deau par exemple).
On tudie la formation dun choc pour un problme le plus simple possible. On examine lqua-
tion convective non linaire:

u(x, t) + c(u ; x, t) u(x, t) = 0, (17.8)
t x
avec comme condition initiale u(x, 0) = u0 (x) et c une fonction donne de u et ventuellement x et
t. Cette quation peut aussi se mettre sous la forme
u f (u)
+ = 0, (17.9)
t x
avec f 0 (u) = c(u). Cela permet dcrire cette relation sous la forme intgrale
Z
d xR
u(x, t)dx = f (u(xL , t)) (u(xR , t)),
dt xL
o xL et xR sont les abscisses de points fixes. Si la solution admet une discontinuit en x = s(t) sur
lintervalle [xL , xR ], alors :
Z Z s Z xR
d xR d
u(x, t)dx = u(x, t)dx + u(x, t)dx ,
dt xL dt xL s
Soit encore :
Z xR Z s Z xR
d
u(x, t)dx = u(x, t)dx + u(x, t)dx + su(xL ,t) su(xR ,t).
dt xL xL t s t
En faisant tendre xR s et xL s, on tire :
sJuK = Jf (u)K,
o
JuK = u+ u = lim u lim u,
xs,x>s xs,x<s
les signes + et sont employs pour dsigner ce qui se passe droite et gauche respectivement de
la discontinuit x = s(t). Il sensuit que sil y a une discontinuit en un point x = s(t), alors on doit
avoir de part et dautre de x = s(t) :
sJuK = Jf (u)K (17.10)
Cette relation sappelle Rankine-Hugoniot.
Remarque : on a parle de forme conservative ou de loi de conservation pour dsigner des systmes
2. William John Macquorn Rankine (18201872) tait un physicien cossais. Avec le physicien allemand Rudolf Clausius
et son compatriote William Thomson (lord Kelvin), il est lorigine de la thermodynamique moderne. Rankine sintressa
plus particulirement aux applications de cette thorie pour concevoir des machines vapeur. Homme curieux, il sintressa
galement des domaines aussi varis que la botanique, la thorie de la musique, les mathmatiques, la fatigue des mtaux,
et la mcanique des sols. Sa publication scientifique a t extrmement importante.
3. Pierre-Henri Hugoniot (18511887) tait un autoditacte fru de mathmatiques et de mcanique des fluides. Il sest sp-
cialement intressement aux problmes donde de choc dans les gaz.
dquations qui se mettent sous la forme donne par lquation (17.9). Si cela a du sens dun point
de vue mathmatique, cela nen a pas ncessairement du point de vue physique. En effet, si une
grandeur appelons-la u(x, t) vrifie une quation de conservation de la forme :

u+ f (u) = 0,
t x
alors on peut crer une infinit dquations de conservation de la forme : t [g(u)]+x [h(u)] = 0 sous
la condition que g et h vrifient h0 = g 0 f 0 qui soient similaires lquation originelle. Tant que la
fonction u(x, t) est continment diffrentiable, cela namne gure de problmes. En revanche, si lon
sintresse aux solutions dites faibles (cest--dire prsentant une discontinuit), alors les solutions
ne sont pas quivalentes. Il faut donc bien utiliser lquation de conservation qui a un sens physique.
La question est naturellement : comment savoir si une quation de conservation a une origine phy-
sique ou non. En gnral, les quations utilises en physique sont tires de bilans macroscopiques.
Par exemple, lquation de conservation de la masse m implique que sur un volume de contrle V
Z
dm d
=0 dV = 0 ;
dt dt V
de l on tire que : t + (u) = 0. Or comme les solutions faibles sont toujours obtenues en rin-
tgrant les quations locales, il convient donc de se ramener au problme de formulation physique
dorigine. noter que du point de vue mathmatique, le passage dune quation de bilan macrosco-
pique une quation locale se fait sans problme ; en revanche, le processus inverse induit la perte
dunicit de la solution.
s
h1
h2
x = s(t)
Figure 17.4 : dplacement dun mascaret ( onde de choc ).
Revenons aux quations de Saint-Venant sous une forme conservative. Pour calculer la position
du choc, on crit les quations du mouvement sous une forme intgre. On intgre le systme dqua-
tion le long dun segment [x1 , x2 ] comprenant le point x = s(t). Lquation de conservation de la
masse scrit alors :
Z
d x2
hdx + [uh]xx21 = 0
dt x1
Z Z x2
d x2 1 p
hudx + [u2 h + g cos h2 ]xx21 = gh sin dx.
dt x1 2 x1
Quand on fait la dcomposition [x1 , x2 ] = [x1 , s] + [s, x2 ], puis en faisant le passage la limite x1 s
et x2 s, on obtient pour la conservation de la masse :
sJhK = JuhK,
ainsi que pour la quantit de mouvement :

1
sJhuK = Ju2 h + g cos h2 K.
2
Notons que le terme source g sin p / na aucune influence sur les conditions de Rankine-Hugniot.
On trouve donc que la quantit (flux de masse) uh se conserve travers le choc quand on exprime
cette quantit dans un repre mobile rattach au choc. La vitesse scrit alors de manire relative
17.4. ONDES DYNAMIQUES : ROLL WAVES 237
comme : u0 = u s : Ju0 hK = 0. De mme, le flux de quantit de mouvement u02 h + g cos h2 /2 se

conserve : Ju02 h + g cos h2 /2K = 0 (pour montrer cette dernire relation, il faut galement se servir de
la conservation de la masse dans le rfrentiel mobile).
Exemple. Mascaret induit par une vanne en translation.

Considrons une vanne qui linstant t = 0 se met en mouvement de translation le long dun
canal plat o leau est initialement au repos. La vitesse de cette vanne est V . On peut calculer la
vitesse de lintumescence cre par le mouvement de leau. Si on se replace dans le repre fixe, on
peut crire :
s(h2 h1 ) = V h1 ,
s(V h1 ) = gh22 /2 (h1 V 2 + gh21 /2).
En liminant s, on tire la relation :
(1 )2 (1 + ) = 2F r2 ,

o F r = V / gh2 est le nombre de Froude et = h1 /h2 . Il y a deux solutions cette quation mais une
seule 4 permet davoir > 1 (dans le cas plus gnral, cest une condition de dissipation dnergie
qui permet de choisir la bonne solution). On reporte sur la figure 17.5 les deux courbes 2F r2 et
(1 )2 (1 + ) = 2F r2 , dont lintersection nous fournit la valeur voulue et donc nous permet de
calculer la vitesse de propagation du mascaret. Notons sur ce mme graphique que si lon se place
dans le cas F r > 1, on trouverait une valeur de < 1, donc une vitesse s < 0, ce qui na pas de sens ;
en fait, dans ce cas-l, la solution est plus complexe : elle comprend une onde simple de dtente
prcde dun mascaret.
1.75
1.5
1.25
0.75
0.5
0.25
0 0.5 1 1.5 2

Figure 17.5 : trac des courbes 2F r 2 (trait discontinu) et (1 )2 (1 + ) = 2F r 2 (trait continu). On a trac 2F r 2 pour
deux valeurs de F r : F r = 0,5 (tiret long) et F r = 1,5 (tiret court).
17.4 Ondes dynamiques : roll waves

Les quations de Saint-Venant (16.616.7) scrivent sous la forme condense

U+A U = S, (17.11)
t x
avec :
u h h 0
A= ,U = , et S = p .
g cos u u g sin h
4. En effet, il faut que s > 0 or s = V ( 1)1 , do il faut que > 1.

Considrons maintenant que lon a une solution U0 = (H, U ) ces quations et quon perturbe
cette solution pour savoir si elle stable
U = U0 + U0 , (17.12)
o le vecteur U0 = (, ) est la perturbation, avec et la perturbation de la hauteur et celle de
la vitesse, respectivement. En substituant cette dcomposition dans lquation (17.11) et en gardant
uniquement les termes du premier ordre, on obtient une quation linarise gouvernant les pertur-
bations U0
U0 U0
+ A(U0 ) = S(U0 ). (17.13)
t x
Nous supposons que la solution peut scrire sous la forme
= Re(ei(nxct) ), = Re(Xei(nxct) ), (17.14)
o et X sont les amplitudes complexes respectivement de la hauteur et de la vitesse, n est le nombre

donde (qui est un rel positif ), et c une constante complexe qui reste dterminer. Le symbol i est
le nombre imaginaire. La partie relle de c peut tre interprte comme la vitesse de propagation des
perturbations tandis que sa partie imaginaire reflte le taux de croissance (ou de dcroissance) de
lamplitude. Dans le cadre de la thorie de la stabilit linaire, lcoulement est suppos devenir in-
stable ds quune solution au systme (17.13) est caractrise par une partie imaginaire de c positive.
En substituant la forme complexe (17.14) dans (17.13) fournit le systme suivant

nA11 c nA12
(p /H) ( /H) = 0, (17.15)
nA21 i H nA22 c i pU X
o Aij est la composante (i, j) de la matrice A. Ce systme admet aucune solution triviale pourvu
que son dterminant soit nul. Lquation de dispersion est obtenu en calculant le dterminant du
systme et en lexprimant en fonction de c
c2 2c = 0, (17.16)
with
A22 + A11 1 (p /H)
= r + ii = n i ,
2 2 U

(p /H) (p /H)
= r + ii = n n (A12 A21 A22 A11 ) + i A11 A12 .
U H
Nous cherchons maintenant une solution lquation (17.16) mise sous la forme
2
(c ) = rei . (17.17)
La partie imaginaire de la solution lquation (17.17) peut tre crite

i/2
c= re ci = Im(c) = i r sin . (17.18)
2
La plus grande partie imaginaire est

ci = i + r sin .
(17.19)
2
Nous cherchons maintenant quel domaine cette expression est positive : ci > 0. En prenant la racine
carre de chaque des membres de cette quation, puis considrant que 2i2 + r cos est toujours
positive, on obtient aprs rarrangement :
r > 2i2 + r cos i2 > 4i (r i i r ). (17.20)
Le critre dinstabilit est le suivant :

2
p p p
H p H p > gH cos (17.21)
H H U
17.5. ONDES CINMATIQUES : ONDES DE CRUE 239
On peut montrer que la source dnergie pour que linstabilit se dveloppe est fournie par le tra-
vail de la gravit ; lcoulement est linairement instable si la puissance des forces gravitaires excde
lnergie dissipe aux frontires par p . En prenant par exemple une contrainte de frottement la
Chzy (p = g u2 /C 2 ), on trouve que le critre dinstabilit est
F r > 2,

avec F r = u/ gh cos le nombre de Froude.
17.5 Ondes cinmatiques : ondes de crue

Dans le cas dune crue lente (typiquement ce qui se passe pour de grands bassins-versants), les
termes inertiels jouent un rle faible dans la propagation des ondes. On peut, en premire approxi-
mation, considrer quen toute section la vitesse dcoulement sadapte immdiatement tout chan-
gement de profondeur. Autrement dit, la relation u = u(h) obtenue en rgime permanent reste va-
lable.
Dans ce cas-l, dit approximation donde cinmatique , on peut calculer les caractristiques de
londe de crue laide de lquation de continuit.
Prenant lexemple dune courbe de tarage fonde
sur le nombre de Chzy, cest--dire u(h) = C h, avec C le nombre de Chzy, on tire de :
h hu
+ = 0,
t x
la relation
h h
+ c(h) = 0,
t x

avec c = u + hu0 = 23 C h la vitesse de propagation de londe : on note que londe de crue se dplace
plus rapidement que lcoulement moyen (50 % plus vite si une loi de Chzy est employe) et elle se
dplace dautant plus vite que la hauteur est grande. Pour un canal de section quelconque, on peut
montrer que la clrit des ondes est donne par :
Q
c= ,
S
avec Q le dbit total et S la section mouille (formule de Kleitz 5 -Seddon).
5. Charles Kleitz (18081886) tait un hydraulicien franais, diplm de lcole des Ponts et Chausses. Il travailla principa-
lement sur lamnagement du Rhne et son travail dingnieur lamena publier des travaux en hydraulique. En particulier,
il sintressa la propagation des crues et aux hydrogrammes de crue. Il montra notamment comment on pouvoir estimer la
vitesse de propagation dune crue en fonction de la hauteur deau et du dbit. Sa formule fut, semble-t-il, dcouverte ind-
pendamment une trentaine dannes aprs par Seddon dans son tude de la rivire Missouri.
BIBLIOGRAPHIE 241
Bibliographie
B ATCHELOR , G. 1967 An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.

B OTSIS , J. & D EVILLE , M. 2006 Mcanique des Milieux Continus: Une introduction. Lausanne: Presses
Polytechniques Fdrales de Lausanne.
R HYMING , I. 2004 Dynamique des fluides. Lausanne: Presses Polytechniques et Universitaires Ro-
mandes.
Index
largissement, 183 caractristique, 163

courbe caractristique, 218
adimensionalisation, 85 courbe de remous, 181, 199
analyse dimensionnelle, 119
angle dbit
de contact, 36 dtiage, 154
approximation de Pad, 209 de pointe, 154
dominant, 154
barrage, 150, 157, 167, 182, 183, 203, 208, 211 dbitance, 172
berge, 154 dcomposition de Reynolds, 99
bief, 153 drive
matrielle, 8, 59
clrit, 163, 168 particulaire, 8
charge hydraulique, 90, 142, 170, 197 partielle, 2
choc, 165, 235 dversoire, 222
chute, 182, 187, 224 diagramme
coefficient de Moody, 146
de frottement, 170 diamtre
de Boussinesq, 162 hydraulique, 143
de frottement, 143145 diffrentielle totale, 2
de trane, 89, 120 diffusion, 38, 228, 229
coefficient de frottement, 143 discontinuit, 235
compressible, 27 dissipation turbulente, 135
compression, 57 dune, 178, 202
condition
adhrence, 81 chelle, 86
aux limites, 81 coulement
de Courant, 214, 220 de Couette, 83, 130
non-pntration, 81 de Poiseuille, 130, 133, 139
conductivit hydraulique, 90 laminaire, 141
confluence, 224 turbulent, 136, 141
conservation effet
de lnergie cintique, 63 peau de requin, 144
de la masse, 61 largissement, 148, 223
de la quantit de mouvement, 63 nergie
constante nergie cintique turbulente, 135
de von Krmn, 102 cintique, 17
contrainte, 56, 67 interne, 69
cisaillement, 27, 57 interne massique, 69
normale, 57 pcifique, 197
convection, 227, 229 pizomtrique, 197
coordonnes potentielle, 17
cylindriques, 108 quation
couche caractristique, 227
externe, 136 dtat, 25
interne, 136 dEuler, 63, 66, 87, 108
limite, 136 dExner, 168
courbe de Bernoulli, 63, 72, 125, 144, 199, 233
242
INDEX 243
de Bresse, 182 de Kleitz-Seddon, 239

de Burgers, 230 de Leibnitz, 60
de Cauchy, 66 de Parker, 172
de Colebrook, 146 de Poiseuille, 133
de conjugaison, 189 de Toricelli, 73
de continuit, 66 de Weissbach, 149
de dispersion, 231 frottement, 143
de Fokker-Planck, 41
de Gromeka-Lamb, 68 gaz, 24
de lnergie cintique, 70 glissement, 81
de lnergie interne, 71 Green, 228
de la charge, 142
de Laplace, 52, 233 hauteur
de McKeon, 146 critique, 182, 187
de Navier-Stokes, 66, 68, 80, 108, 130, 160 dcoulement, 153
de Navier-Stokes moyenne, 101 normale, 153, 169, 175, 182
de Newton, 68 houle, 234
de Prandtl, 105
de Reynolds, 99, 101 incompressible, 27, 53
de Saint-Venant, 160, 163, 166, 181, 203 invariant
de Stokes, 87, 89 de Riemann, 205
du mouvement, 16, 80 irrotationnel, 52
moment cintique, 19 isochore, 27
quantit de mouvement, 16 isotrope, 57
quations
de Navier-Stokes, 80 lagrangien, 46
de Rankine-Hugoniot, 67 Lennard-Jones, 25
ergodicit, 99 libre parcours moyen, 29
eulrien, 46 ligne
exprience dmission, 47
de Couette, 83, 113 de courant, 47, 76
de Newton, 111 ligne de courant, 72
de Reynolds, 102 liquide, 24
de Trouton, 83 lisse, 145
lit
fermeture, 102 majeur, 154
fluide mineur, 154
newtonien, 27, 66 loi
non newtonien, 27, 66 dcoulement, 170
non visqueux, 63 de Boyle-Mariotte, 25
parfait, 63, 66, 87 de Chzy, 170172, 174, 239
flux de chaleur, 69 de Coles, 174
fonction de comportement, 66, 80
de courant, 52 de Darcy, 90
de dissipation, 71 de Darcy-Weisbach, 170172
force de Fick, 38, 90
de trane, 120 de frottement, 170
de Van der Waals, 25 de Jurin, 37
forme de Keulegan, 172
caractristique, 162, 163 de Laplace, 35
conservative, 162, 235 de Manning-Strickler, 170, 172
eulrienne, 212 de Pascal, 32
lagrangienne, 212 de Stokes, 89, 120
non conservative, 162 de tarage, 170
formule de Van der Waals, 25
de Borda, 148, 178, 222, 223 des gaz parfaits, 25
de Colebrook, 171 longueur
244 INDEX
dtablissement, 141 pente

de mlange, 102, 105, 135, 139, 173 critique, 187
dnergie, 144
mthode pente de frottement, 170, 182
auto-similaire, 96 permabilit, 90
des caractristiques, 163, 203, 217 perte
des formes autosimilaires, 203 de charge singulire, 223
mascaret, 235 perte de charge, 142, 143, 178, 222
modle dun ressaut, 189
de Prandtl, 135 rgulire, 170
de Prandtl-Kolmogorov, 135 singulire, 148
de turbulence k `, 135 Pitot, 75
de turbulence k , 135 Pohlhausen, 208
moment point critique, 24
cintique, 20 poiseuille, 28
de force, 20 poreux, 90
mouillant, 35 potentiel
moyenne de Lennard-Jones, 25
densemble, 99 gravitaire, 63, 72
temporelle, 99 potentiel des vitesse, 52
potentiel gravitaire, 67
nombre pression, 24, 32, 57
de Dborah, 27 gnralise, 67, 72, 130
de Froude, 87, 153, 161, 164, 168, 181, 239 principe
de Froude critique, 234 de la thermodynamique, 69
de Pclet, 42 problme
de Reynolds, 87, 120, 136, 143, 161 de Green, 228
de Reynolds particulaire, 89 produit
de Stokes, 87 scalaire, 9
nombre de Froude, 237 tensoriel, 9, 66
sans dimension, 118, 120 vectoriel, 76
non-glissement, 81 puissance
non-pntration, 81 dissipe, 144
puissance dissipe, 142
obstacle, 200
onde rgime
cinmatique, 205, 230, 239 critique, 198
de crue, 239 fluvial, 153, 187, 234
de gravit, 232 graduellement vari, 153
de surface, 232 inertiel, 123
dynamique, 230 permanent, 153
positive, 164 rapidement vari, 153, 222
progressive, 231 torrentiel, 153, 187, 234
rgressive, 164, 231 uniforme, 153
simple, 205 visqueux, 123
simple centre, 205 rtrcissement, 148
oprateur relation
biharmonique, 89 de Rankine-Hugoniot, 235
divergence, 5 ressaut, 59, 67, 153, 165, 187, 189, 222, 235
gradient, 4 rhopaississant, 30
laplacien, 7, 110 rhofluidifiant, 30
ripisylve, 154
primtre mouill, 153 rivire, 153
paroi rivire torrentielle, 153
lisse, 136, 139, 145 rotationnel, 52
rugueuse, 136, 139, 140, 145 rugueux, 145
pascal, 28 rupture de barrage, 123, 203
INDEX 245
sdimentation, 89 variable
section dcoulement, 153 de Riemann, 163, 205
seuil, 189, 222 viscosit, 27
dnoy, 222 longationnelle, 83
noy, 222 cinmatique, 27, 28
seuil de contrainte, 30 dynamique, 27, 28
similitude, 85, 118 turbulente, 138
singularit, 222 vitesse
solution agitation thermique, 26
auto-similaire, 96 caractristique, 164
faible, 235 dbitante, 90
solution de Ritter, 203 de cisaillement, 136
sous-couche de frottement, 136, 145
visqueuse, 136 de groupe, 231
stabilit de phase, 231
numrique, 214 volume
stockes, 28 de contrle, 59, 65
surface libre, 24 matriel, 65
systme von Krmn, 73
ferm, 59 vorticit, 50, 68
ouvert, 59
zone
taux centrale, 136, 138
de cisaillement, 52, 53 logarithmique, 136, 137, 140, 173
de dilatation, 53
de rotation, 54
temprature, 24
tenseur
de Reynolds, 101
des contraintes, 56, 67
des extra-contraintes, 56, 57
des taux de dformation, 50
Reynolds, 99
tenseur des extra-contraintes, 67
tension
capillaire, 35
de surface, 35
terme source, 163
thorme
de Bernoulli, 63, 87, 199, 222
de lnergie cintique, 69
de Reynolds, 62, 65
de transport, 64
de Vaschy-Buckingham, 121
thorie
cintique, 29
tirant deau, 153
torrent, 153
traction, 57
trajectoire, 47
transformation
de Cole-Hopf, 230
transport solide, 168
tube Pitot, 75
turbulence, 99, 139
vanne, 183, 189

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C O L E P O L Y T E C H N I Q U E

L ABORATOIRE HYDRAULIQUE ENVIRONNEMENTALE (LHE)

Ecole Polytechnique Fdrale de Lausanne

version 1.1 du 2 juillet 2007

Table des matires

1 Quelques rappels de mathmatiques 1

2 Rappel de mcanique du point et du solide rigide 15

3 Proprits des fluides et statique des fluides 23

3.3.1 Manifestation lchelle macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Les quations de bilan 45

5 Les fluides newtoniens 79

6 Analyse dimensionnelle et thorie de la similitude 117

7 coulements laminaires en charge 129

8 coulements turbulents en charge 135

8.1.5 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9 Calcul pratique des pertes de charge 141

10 coulement surface libre 153

11 Rgime permanent uniforme 169

12 Hauteur normale selon la section dcoulement 175

13 Rgime permanent non-uniforme 181

13.2.1 Canaux faible pente : courbes M1M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

14 Courbes de remous et coulement critique 187

15 quation de Bernoulli et ses applications 197

16 Rupture de barrage coulements rapidement varis 203

17 Phnomnes de propagation dans leau 227

17.4 Ondes dynamiques : roll waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Quelques rappels de mathmatiques

1.1 Drive partielle

Figure 1.1 : interprtation de la drive en termes de droite tangente

Ainsi, une petite variation de f autour de f (x0 ) est donne par :

Exemple. Par exemple, prenons :

On peut interprter df en termes de plan tangent : en effet si on interprte df z f (x0 , y0 ), dx

Figure 1.2 : interprtation des drives partielles en termes de plan tangent.

Exemple. Par exemple, dans lexemple prcdent, on a :

1.2 Quelques oprateurs

1.2.1 Oprateur gradient

ce qui est quivalent crire que

grad (f g) = g grad f + g grad g.

grad (f u) = u grad f + f grad u.

gradient dun produit scalaire (cela donne un vecteur)

grad (u v) = u grad v + v grad u + u (rot v) + v (rot u),

o reprsente le produit vectoriel et rot loprateur rotationnel.

1.2.2 Oprateur divergence

Exemple. Reprenant lexemple prcdent, on trouve que la divergence du gradient de f (x, y; t) =

Figure 1.3 : flux travers une surface de contrle.

Prenons les deux premiers termes du membre de droite, on a

Un corollaire du thorme de Green-Ostrogradski est le suivant

Quelques relations utiles de composition avec loprateur divergence :

1.2.3 Oprateur laplacien

Figure 1.4 : transmission de chaleur dans un barreau.

En dimension 1 (problme scalaire), cela snonce

1. not galement 2 car f = f

1.3 Drive totale ou drive matrielle ou drive particulaire

Exemple. Considrons le cas :

1.4 Produit tensoriel

Figure 1.5 : produit tensoriel.

1.5 Guide de survie pour le calcul des surfaces

Il faut distinguer les lments infinitsimaux (voir figure 1.6) :

Figure 1.6 : deux cas diffrents de surface infinitsimale.

1.5.1 Surfaces planes

avec tr temps de relaxation du matriau et te le temps de lexprience (ou de lobservation). Si De 1,