11.g.fiche Guide Ch1

L-P-Bourguiba deTunis Prof :Ben jedidia chokri
Chapitre 1 Fiche 1 Nombres complexes Classe :4 Math

Rsum du cours
Ecriture algbrique
Tout lment z de C scrit de faon unique sous la forme z = a + ib, o a et b sont des rels.
Et i un nombre vrifiant i2=-1.
Ecriture trigonomtrique
Soit z un nombre complexe non nul tel que arg (z) [2] .Alors z = z (cos + isin ).
Soit z un nombre complexe non nul tel z = a + ib, a et b des rels.
Alors arg (z) [2] . si et seulement si, cos =

a b
et sin =
a 2 + b2 a 2 + b2
Conjugu
Soit z = a + ib et z = a + ib, o a, a, b et b sont des rels.
Le conjugu de z est le nombre complexe z = a ib.
Proprits
z + z = 2 Re(z) ; z + z = 2i Im(z) ; z z = (Re(z ))2 + (Im(z) )2
z = z , si seulement si, z est rel.

z = z , si seulement si, z est imaginaire.
Affixe dun point, affixe dun vecteur
(
Le plan est muni dun repre orthonorm direct O, u , v . )
Laffixe dun point M (a,b) du plan est le nombre complexe z= a + ib not Aff (M) ou ZM.
On dit aussi que le point M (a,b) est limage de z.
Soit w un vecteur et M et N deux points tels que w = MN .
Alors laffixe du vecteur w est le nombre complexe z, not Aff ( w ), vrifiant z = zN zM.
* Soit w et w1 deux vecteurs tels que w1 est non nul.

zw
Les vecteurs w et w1 sont colinaires, si et seulement si, est rel.
zw
1
zw
Les vecteurs w et w1 sont orthogonaux, si et seulement si, est imaginaire.
zw
1
Module dun nombre complexe et Argument dun nombre complexe non nul
( )
Le plan est muni dun repre orthonorm direct O, u , v , soit z = a + ib et M (a,b) le point
daffixe z.
On appelle module de z le rel positif, not z , dfini par z = OM = a 2 + b2
On appelle argument de z et on note arg (z) toute mesure de langle u, OM . . ( )

Pour tous points M et N daffixes zM et zN, z N z M = MN.
Proprits
Soit deux nombres complexes z et z.
z = 0, si seulement si, z = 0
z + z' z + z' ; kz = k z , k R.
2 n
zz' = z z' ; z = z; z = zz ; zn = z , n * ;
1 1 z' z' 1 1
= , z 0; = ,z 0 ; = , z 0 et n Z
z z z z zn z
n
Soit z un nombre complexe non nul et k un rel non nul.

()
arg z arg (z )[2].
arg( z) + arg(z)[2].
Si k > 0 alors arg (kz) arg (z) [2] . Si k < 0 alors arg (kz) + arg (z) [2]
Soit deux nombres complexes non nuls z et z.
1 z'
arg (zz) arg (z) + arg (z) [2] . arg arg(z) [2] . arg arg( z' ) arg (z) [2] .
z z
arg (zn) n arg (z) [2] , n .
n
Pour tout nombre complexe non nul z et tout entier n, z n = z (cos n + isin n).
Angles orients et nombres complexes

Thorme
Le plan est muni dun repre orthonorm direct O, u , v . ( )
Soit A, B, C et D des points daffixes respectives zA, zB, zC et zD et tels que AB 0 et CD 0.
( ) z z
(
Alors u, AB arg (zB zA) [2] et u, AB arg D C [2] . )
zB zA
Consquence
z D z C CD
=
z B z A AB
(cos + isin ) avec AB, CD [2] . ( )
Ecriture exponentielle dun nombre complexe non nul
Notation
Pour tout rel , on note ei le nombre complexe cos + isin .
Consquences

i i
i
e = 1, e 2 = i, e 2 = i , e i = 1.
Pour tout rel et tout entier k, ei = ei( + 2k ).
Pour tout rel , ei = 1 et ei = e i et ei = ei( + ) .
Proprits
Soit deux rels et .
ei .ei = ei( + ') ,

ei
1
= e i ;
ei
ei '
( )
= ei( ') ; ei = ein , n Z .
n
Thorme et dfinition
Tout nombre complexe non nul z, scrit sous la forme z = rei, o r = z et arg (z) = [2] .
Lcriture z = rei, r > 0 est appele criture exponentielle de z.

Equation zn = a, n 1, a C*.
Thorme et dfinition
Soit a un nombre complexe non nul dargument et n un entier naturel non nul.
2 k
i +
n
Lquation z = a admet dans C, n solutions distinctes dfinies par z k = re n n ,
k {0,1,..., n 1}, o r est le rel strictement positif tel que r n = a . .
Ces solutions sont appeles les racines nimes du nombre complexe a.

Consquence
(
Le plan complexe est muni dun repre orthonorm direct O, u , v . )
Lorsque n 3, les points images des racines nimes dun nombre complexe non nul sont les
sommets dun polygone rgulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon r tel que
r n = a . Les points images des solutions de lquation z n = a ei .
Rsolution dans C, de lquation az2 + bz + c = 0, a 0.

Thorme
Soit a, b et c des nombres complexes tels que a 0.
Lquation az2 + bz + c = 0, admet dans C, deux solutions dfinies par :
b+ b+
z1 = et z 2 = , o est une racine carre du discriminant = b2 4ac.
2a 2a
Consquences
Si z1 et z2 sont les solutions de az2 + bz + c = 0, a 0, alors
b c
az2 + bz + c = a (z z1) (z z2), z1 + z2 = et z1z 2 = .
a a
Remarque :
Dterminer les nombres complexes z1 et z2 tels que :
b
z1 + z 2 = a
az + bz + c = a (z z1) (z z2) quivaut rsoudre le systme :
z .z = c
1 2 a
Nombres complexes et trigonomtrie

Thorme
Pour tout rel x et pour tout entier n, (cos x + isin x)n = cos (nx) + isin (nx). (Formule de Moivre).
eix + e ix eix + e ix
Pour tout rel x, cos x = et sin x = (formules dEuler).
2 2i
Formule Binme de Newton
k =n
Pour tous nombres complexes z et z et pour tout entier naturel (z+z)n= Ckn z k z'n k
k =0
Nombres complexes et transformations
Translation homothtie rotation
*forme complexe dune translation

Soit u un vecteur daffixe b et M daffixe z et M daffixe z.
M' = t u (M) z' = z + b
* Forme complexe dune homothtie

Soit A un point du plan complexe daffixe a, k R*, M daffixe z et M daffixe z.
M = h(A ;k) (M) (z a) = k (z a).
* Forme complexe dune rotation
Soit le point du plan complexe daffixe z , M un point daffixe z et M un point daffixe z
et un rel. Soit r( ; ) la rotation de centre et dangle .
r( ; ) (M) = M z - z = ei (z z).

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Chapitre 1 Fiche 1 Nombres complexes Classe :4 Math

Soit z un nombre complexe non nul tel z = a + ib, a et b des rels.

Alors arg (z) [2] . si et seulement si, cos =

z = z , si seulement si, z est rel.

Soit w un vecteur et M et N deux points tels que w = MN .

* Soit w et w1 deux vecteurs tels que w1 est non nul.

On appelle module de z le rel positif, not z , dfini par z = OM = a 2 + b2

On appelle argument de z et on note arg (z) toute mesure de langle u, OM . . ( )

Soit z un nombre complexe non nul et k un rel non nul.

Angles orients et nombres complexes

Pour tout rel et tout entier k, ei = ei( + 2k ).

Pour tout rel , ei = 1 et ei = e i et ei = ei( + ) .

ei .ei = ei( + ') ,

Lcriture z = rei, r > 0 est appele criture exponentielle de z.

k {0,1,..., n 1}, o r est le rel strictement positif tel que r n = a . .

Ces solutions sont appeles les racines nimes du nombre complexe a.

r n = a . Les points images des solutions de lquation z n = a ei .

Rsolution dans C, de lquation az2 + bz + c = 0, a 0.

Nombres complexes et trigonomtrie

Translation homothtie rotation

*forme complexe dune translation

* Forme complexe dune homothtie

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