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    Thème Analyse Suites 1 TS

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    benjedidiachokri
    Ce document contient 5 exercices portant sur des suites numériques. Les exercices abordent des notions comme les suites arithmétiques, géométriques, récurrence, algorithmes et convergence. Chaque exercice comporte plusieurs questions demandant de démontrer des propriétés sur les suites définies ou de déterminer leur limite.

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    Prof :Ben jedidia Chokri Thème 1 Analyse-Suites TERMINALE S

    EXERCICE 1:
    Suites homographiques
    a+U n
    Soit la suite Un définie sur N par : U 0 =1 et pour tout de N : U n+1 = ou a est un entier naturel
    1+U n
    A) On prend a=0
    1
    1.On pose Vn=
    Un
    a. Montrer que (Vn) est une suite arithmétique
    b. Exprimer Vn en fonction de n puis Un en fonction de n
    B) On prend a  0 (a=4)
    U - a
    1. On pose Wn= n
    Un + a
    1- a
    a. Montrer que (Wn) est une suite géométrique de raison q=.
    1 a
    b. Exprimer wn en fonction de n puis Un en fonction de n.
    c. Prouver que lim Un = a
    
    k=n
    1
    2. Calculer la somme Sn= 
    k=0 a +U k
    C) On prend a=2
    1.a. Vérifier que : U o  2  1
    b. Montrer que pour tout n de N : Un  1
    1
    c. Montrer que pour tout n de N U n+1  2  Un  2
    2
    1
    d. Montrer par récurrence que pour tout n de N : U n  2  ( ) n
    2
    e. Déterminer l’entier p tel que U p  2  10 3

    EXERCICE 2:
    Suite auxiliaire-Limite de suite
    1 n+1
    Soit la suite Un définie sur N* par : U1 = et pour tout de N* : U n+1 = Un
    2 2n
    1. Calculer U2 , U3.

    2.Soit n  N* on pose : Vn  Un , Wn 2n Un


    n
    a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique.
    b) Exprimer Vn en fonction de n puis Un en fonction de n.
    n-2
    U 3
    3. a. Calculer n+1 .et En déduire que pout tout n de N* avec n  2 : 0  U n    x U2
    Un 4
    b. Déterminer un entier p tel que pour n > p ; Un < 10-4.

    c. Calculer
    
    
    lim 34
    n 2
    en déduire lim Un .
    
    n
    4. On pose : Sn   Uk
    1
    a) Montrer que pour tout n de N* : Sn  5
    2
    b) Montrer par récurrence que pour tout n de N* : Sn  -
    n2  2 et Calculer lim Sn
    2n n 
    EXERCICE 3 :
    Suite arithmético-géométrique Population d’abeilles
    Un apiculteur étudie l’évolution de sa population d’abeilles. Au début de son étude, il évalue à 10
    000 le nombre de ses abeilles. Chaque année, l’apiculteur observe qu’il perd 20 % des abeilles de
    l’année précédente. Il achète 20 000 nouvelles abeilles chaque année. On note u0 le nombre
    d’abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l’étude.
    Ainsi u0 = 1 Pour tout entier naturel n non nul, un désigne le nombre d’abeilles, en dizaines de
    milliers, au bout de la nième année.
    1.Montrer que : un+1 = 0, 8un + 2.
    2. a. Écrire un algorithme permettant de calculer un, n étant donné.
    b. Recopier et remplir le tableau à l’aide de cet algorithme à 10 −3 près.

    c. Quelle conjecture quant à la convergence de la suite (un) peut-on faire ?


    3. On pose vn = un − 10
    a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    b. Exprimer vn puis un en fonction de n.
    c. L’apiculteur souhaite que le nombre d’abeilles tende vers 100 000. Son objectif sera-t-il atteint?
    EXERCICE 4 :
    Algorithme
    k=n
    1
    (un) est la suite définie pour tout nombre entier n > 1 par : un = 
    k=1 k
    1.Quel est la rôle de l’algorithme ci-contre ?

    2.Coder cet algorithme sur votre calculette, puis exécuter successivement

    cet algorithme pour A = 10, A = 50, A = 100.


    3. Donner une conjecture.
    1 1
    4. a. En remarquant que pour 1  k 6  n, on a 1  ,
    k n
    montrer que un  n
    b. Déterminer la limite de la suite (un)

    EXERCICE 5:

    1
    On considère la suite (U) définie sur N par : U 0 = et U n+1 =2U n (1-U n )
    10
    Partie A :
    1. Tracer la fonction f définie par : f(x)= 2x(1-x) ;x 0,1 et la droite D : y=x
    dans un même repère orthonormé (O,i,j).
    2. Représenter les termes U0,U1,U2,U3,U4 sur l’axe (O,i). Que peut-on conjecturer ?
    Partie B :
    1
    1.Montrer que pour tout n de N : 0  Un  .
    2
    2.Montrer que Un est croissante.
    3.En déduire que Un est convergente.
    4.Calculer lim U n
    n 

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