4m1 2019
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Sn
Montrer que pour tout n de N* 0 £ Sn - n 3 £ 2 et en déduire lim
n ®+¥ n
EXERCICE 3 : (8 points)
(O,u,v). est un repère orthonormé direct du plan
Soit A le point d’affixe 1+i. Soit f l’application du plan dans le plan
1
qui à tout point M d’affixe z , on associe le point M’ d’affixe z’ = (z + iz)
2
1.a. Montrer que M’ appartient à la droite (OA).
b. Montrer que fof(M)=M’.
c. Démontrer que MM' et OA sont orthogonaux
2. On considère l’équation E :z2-2cos q z+1=0 avec q est un réel de l'intervalle ]-p,p]
a. Résoudre dans C l’équation E.
b. Soit z = eiq ou q est un réel de l'intervalle ]-p, p] .
Déterminer et construire l’image du cercle unité par f.
c. Écrire la forme exponentielle de z’.
p
3.Soit r la rotation de centre O et d’angle .M1 le point d’affixe z1 image de M par r,
2
M2 d’affixe z2= z et M3 le point d’affixe z3=z1+z2.
a. Exprimer z1en fonction de z puis z3 en fonction de z.
b. Construire M1 ,M2 et M3 (ANNEXE 2)
et Montrer que le quadrilatère OM1M3M2 est un losange.
1 1
c. Vérifier z'-z = iz 3 et en déduire que MM' = OM 3
2 2
4.a. Démontrer que M ,M1, M3 et M2 appartiennent à un même cercle de centre O
1
si et seulement si MM' = OM .
2
b. Donner alors la mesure en radian de l’angle géométrique M’OM
ANNEXE 1: Nom :………………………Prénom :…………………….Classe :…………
ANNEXE 2 :