Exo7

Suites

Convergence

Exercice 1 Montrer que toute suite convergente est borne.

Indication Correction Vido
[000506]

Exercice 2 Montrer quune suite dentiers qui converge est constante partir dun certain rang. Indication Correction Vido Exercice 3 Montrer que la suite (un )nN dnie par un = (1)n + nest pas convergente. Indication Correction

[000519]

1 n
[000507]

Vido

Exercice 4 Soit (un )nN une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si (un )n converge vers un rel alors (u2n )n et (u2n+1 )n convergent vers . Si (u2n )n et (u2n+1 )n sont convergentes, il en est de mme de (un )n . Si (u2n )n et (u2n+1 )n sont convergentes, de mme limite , il en est de mme de (un )n . Indication Correction Vido Exercice 5 Soit q un entier au moins gal 2. Pour tout n N, on pose un = cos 1. Montrer que un+q = un pour tout n N. 2. Calculer unq et unq+1 . En dduire que la suite (un ) na pas de limite. 2n . q

[000505]

Indication
Exercice 6 Soit Hn = 1 +

Correction

Vido

[000524]

1 1 ++ . 2 n 1 1 ln(n + 1) ln(n) . n+1 n

1. En utilisant une intgrale, montrer que pour tout n > 0 : 2. En dduire que ln(n + 1) Hn ln(n) + 1. 3. Dterminer la limite de Hn .

4. Montrer que un = Hn ln(n) est dcroissante et positive. 5. Conclusion ?

Indication
Exercice 7

Correction

Vido

[000520]

On considre la fonction f : R R dnie par

et on dnit la suite (xn )n0

x3 2x 1 + + 9 3 9 en posant x0 = 0 et xn+1 = f (xn ) pour n N. f (x) =

1. Montrer que lquation x3 3x + 1 = 0 possde une solution unique ]0, 1/2[. 2. Montrer que lquation f (x) = x est quivalente lquation x3 3x + 1 = 0 et en dduire que est lunique solution de lquation f (x) = x dans lintervalle [0, 1/2]. 3. Montrer que la fonction f est croissante sur R+ et que f (R+ ) R+ . En dduire que la suite (xn ) est croissante. 4. Montrer que f (1/2) < 1/2 et en dduire que 0 xn < 1/2 pour tout n 0. 5. Montrer que la suite (xn )n0 converge vers .

Indication

Correction

Vido

[000539]

Limites

Exercice 8
1 Posons u2 = 1 2 2 et pour tout entier n 3,

un = 1 1 Calculer un . En dduire que lon a lim un = . 2 Indication Correction Vido

1 22

1 32

1 n2

[000563]

Exercice 9 Dterminer les limites lorsque n tend vers linni des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de prciser en quelques mots la mthode employe. 1 1 (1)n1 1. 1 ; ; ; . . . ; ; ... 2 3 n 2. 2/1 ; 4/3 ; 6/5 ; . . . ; 2n/(2n 1) ; . . . 3. 0,23 ; 0,233 ; . . . ; 0,233 3 ; . . . 2 n1 1 4. 2 + 2 + + 2 n n n (n + 1)(n + 2)(n + 3) 5. n3 1 + 3 + 5 + + (2n 1) 2n + 1 6. n+1 2 n + (1)n 7. n (1)n 8. 9. 10. 11. 12. 2n+1 + 3n+1 2n + 3n 1/2 + 1/4 + 1/8 + + 1/2n 1 1 1 (1)n 1 + ++ 3 9 27 3n n+1 n n sin(n!) n2 + 1
2

puis

2;

2 2;

2 2 2 ; ...

1+2 13. Dmontrer la formule 1 + 22 + 32 + + n2 = 1 6 n(n + 1)(2n + 1) ; en dduire limn

+32 ++n2 . n3

Correction

Vido

[000568]

Exercice 10 On considre les deux suites :

un = 1 +

1 1 1 + + + ; n N, 2! 3! n! 1 vn = un + ; n N. n!

Montrer que (un )n et (vn )n convergent vers une mme limite. Et montrer que cette limite est un lment de R\Q. Indication Correction Vido Exercice 11 Soit a > 0. On dnit la suite (un )n0 par u0 un rel vriant u0 > 0 et par la relation un+1 = On se propose de montrer que (un ) tend vers 1. Montrer que un+1 2 a = 2. Montrer que si n 1 alors un 3. 4. 5. (un 2 a)2 . 4un 2 a. 1 a un + 2 un .

[000570]

6.

a puis que la suite (un )n1 est dcroissante. En dduire que la suite (un ) converge vers a. En utilisant la relation un+1 2 a = (un+1 a)(un+1 + a) donner une majoration de un+1 a en fonction de un a. Si u1 a k et pour n 1 montrer que 2n1 k un a 2 a . 2 a Application : Calculer 10 avec une prcision de 8 chiffres aprs la virgule, en prenant u0 = 3.

Indication

Correction

Vido

[000569]

Exercice 12 Soient a et b deux rels, a < b. On considre la fonction f : [a, b] [a, b] suppose continue et une suite rcurrente (un )n dnie par : u0 [a, b] et pour tout n N, un+1 = f (un ). 1. On suppose ici que f est croissante. Montrer que (un )n est monotone et en dduire sa convergence vers une solution de lquation f (x) = x. 2. Application. Calculer la limite de la suite dnie par : u0 = 4 et pour tout n N, un+1 = 4un + 5 . un + 3

3. On suppose maintenant que f est dcroissante. Montrer que les suites (u2n )n et (u2n+1 )n sont monotones et convergentes. 4. Application. Soit 1 et pour tout n N, un+1 = (1 un )2 . 2 Calculer les limites des suites (u2n )n et (u2n+1 )n . u0 =

Indication
Exercice 13

Correction

Vido

[000571]

1. Soient a, b > 0. Montrer que

ab

a+b 2 .

2. Montrer les ingalits suivantes (b

a > 0) : a a+b 2 b et a ab b.

3. Soient u0 et v0 des rels strictement positifs avec u0 < v0 . On dnit deux suites (un ) et (vn ) de la faon suivante : un+1 = (a) Montrer que un vn quel que soit n N. un vn et vn+1 = un + vn . 2

(b) Montrer que (vn ) est une suite dcroissante. (c) Montrer que (un ) est croissante En dduire que les suites (un ) et (vn ) sont convergentes et quelles ont mme limite.

Indication
Exercice 14 Soit n 1.

Correction

Vido

[000572]

1. Montrer que lquation xk = 1 admet une unique solution, note an , dans [0, 1].
k=1 1 2. Montrer que (an )nN est dcroissante minore par 2 .

3. Montrer que (an ) converge vers 1 2.

Indication

Correction

Vido

[000574]

Retrouver cette che et dautres exercices de maths sur exo7.emath.fr

Indication pour lexercice 1 crire la dnition de la convergence dune suite (un ) avec les . Comme on a une proposition qui est vraie pour tout > 0, cest en particulier vrai pour = 1. Cela nous donne un N . Ensuite sparez la suite en deux : regardez les n < N (il ny a quun nombre ni de termes) et les n N (pour lequel on utilise notre = 1).

Indication pour lexercice 2 crire la convergence de la suite et xer = 1 2 . Une suite est stationnaire si, partir dun certain rang, elle est constante. Indication pour lexercice 3 On prendra garde ne pas parler de limite dune suite sans savoir au pralable quelle converge ! Vous pouvez utiliser le rsultat du cours suivant : Soit (un ) une suite convergeant vers la limite alors toute sous-suite (vn ) de (un ) a pour limite .

Indication pour lexercice 4 Dans lordre cest vrai, faux et vrai. Lorsque cest faux chercher un contre-exemple, lorsque cest vrai il faut le prouver.

Indication pour lexercice 5 Pour la deuxime question, raisonner par labsurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes.

Indication pour lexercice 6 1. En se rappelant que lintgrale calcule une aire montrer : 1 n+1
n+1 n

dt t

1 . n

2. Pour chacune des majorations, il sagit de faire la somme de lingalit prcdente et de sapercevoir que dun cot on calcule Hn et de lautre les termes sliminent presque tous deux deux. 3. La limite est +. 4. Calculer un+1 un . 5. Cest le thorme de Bolzano-Weierstrass.

Indication pour lexercice 7 Pour la premire question : attention on ne demande pas de calculer ! Lexistence vient du thorme des valeurs intermdiaires. Lunicit vient du fait que la fonction est strictement croissante. Pour la dernire question : il faut dune part montrer que (xn ) converge et on note sa limite et dautre part il faut montrer que = .

Indication pour lexercice 8 Remarquer que 1 k12 =

(k1)(k+1) . k.k

Puis simplier lcriture de un .

Indication pour lexercice 10 1. Montrer que (un ) est croissante et (vn ) dcroissante. 2. Montrer que (un ) est majore et (vn ) minore. Montrer que ces suites ont la mme limite. 3. Raisonner par labsurde : si la limite =
p q

alors multiplier lingalit uq

p q

vq par q! et raisonner avec des entiers.

Indication pour lexercice 11 1. Cest un calcul de rduction au mme dnominateur. 2. Pour montrer la dcroisance, montrer
un+1 un

1. a.

3. Montrer dabord que la suite converge, montrer ensuite que la limite est 4. Penser crire u2 n+1 a = (un+1 a)(un+1 + a). 5. Raisonner par rcurrence.

6. Pour u0 = 3 on a u1 = 3, 166 . . ., donc 3 demande.

10

u1 et on peut prendre k = 0.17 par exemple et n = 4 suft pour la prcision

Indication pour lexercice 12 Pour la premire question et la monotonie il faut raisonner par rcurrence. Pour la troisime question, remarquer que si f est dcroissante alors f f est croissante et appliquer la premire question.

Indication pour lexercice 13 1. Regarder ce que donne lingalit en levant au carr de chaque cot. 2. Petites manipulations des ingalits. 3. (a) Utiliser 1. (b) Utiliser 2. (c) Une suite croissante et majore converge ; une suite dcroissante et minore aussi.

Indication pour lexercice 14

k On notera fn : [0, 1] R la fonction dnie par fn (x) = n k=1 x 1.

1. Cest une tude de la fonction fn . 2. On sait que fn (an ) = 0. Montrer par un calcul que fn (an1 ) > 0, en dduire la dcroissance de (an ). En calculant fn ( 1 2 ) montrer 1 . que la suite (an ) est minore par 2 3. Une fois tablie la convergence de (an ) vers une limite , composer lingalit
1 2

< an par fn . Conclure.

Correction de lexercice 1 Soit (un ) une suite convergeant vers R. Par dnition > 0 N N n N |un | < .

Choisissons = 1, nous obtenons le N correspondant. Alors pour n N , nous avons |un | < 1 ; autrement dit 1 < un < + 1. Notons M = maxn=0,...,N 1 {un } et puis M = max(M , + 1). Alors pour tout n N un M . De mme en posant m = minn=0,...,N 1 {un } et m = min(m, 1) nous obtenons pour tout n N, un m . Correction de lexercice 2
1 Soit (un ) une suite dentiers qui converge vers R. Dans lintervalle I =] 2 , +1 2 [ de longueur 1, il existe au plus un lment de N. Donc I N est soit vide soit un singleton {a}. La convergence de (un ) scrit : > 0 N N tel que (n N |un | < ). 1 Fixons = 2 , nous obtenons un N correspondant. Et pour n

N , un I . Mais de plus un est un entier, donc N un I N.

En consquent, I N nest pas vide (par exemple uN en est un lment) donc I N = {a}. Limplication prcdente scrit maintenant : n N un = a.

Donc la suite (un ) est stationnaire (au moins) partir de N . En prime, elle est bien videmment convergente vers = a N. Correction de lexercice 3 Il est facile de se convaincre que (un ) na pas de limite, mais plus dlicat den donner une dmonstration formelle. En effet, ds lors quon ne sait pas quune suite (un ) converge, on ne peut pas crire lim un , cest un nombre qui nest pas dni. Par exemple lgalit
n

lim (1)n + 1/n = lim (1)n

n

na pas de sens. Par contre voil ce quon peut dire : Comme la suite 1/n tend vers 0 quand n , la suite un est convergente si et seulement si la suite (1)n lest. De plus, dans le cas o elles sont toutes les deux convergentes, elles ont mme limite. Cette afrmation provient tout simplement du thorme suivant Thorme : Soient (un ) et (vn ) deux suites convergeant vers deux limites et . Alors la suite (wn ) dnie par wn = un + vn est convergente (on peut donc parler de sa limite) et lim wn = + . De plus, il nest pas vrai que toute suite convergente doit forcment tre croissante et majore ou dcroissante et minore. Par exemple, (1)n /n est une suite qui converge vers 0 mais qui nest ni croissante, ni dcroissante. Voici maintenant un exemple de rdaction de lexercice. On veut montrer que la suite (un ) nest pas convergente. Supposons donc par labsurde quelle soit convergente et notons = limn un . (Cette expression a un sens puisquon suppose que un converge). Rappel. Une sous-suite de (un ) (on dit aussi suite extraite de (un )) est une suite (vn ) de la forme vn = u (n) o est une application strictement croissante de N dans N. Cette fonction correspond au choix des indices quon veut garder dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suite (un ) que les termes pour lesquels n est un multiple de trois, on pourra poser (n) = 3n, cest dire vn = u3n . Considrons maintenant les sous-suites vn = u2n et wn = u2n+1 de (un ). On a que vn = 1 + 1/2n 1 et que wn = 1 + 1/(2n + 1) 1. Or on a le thorme suivant sur les sous-suites dune suite convergente : Thorme : Soit (un ) une suite convergeant vers la limite (le thorme est encore vrai si = + ou = ). Alors, toute sous-suite (vn ) de (un ) a pour limite . Par consquent, ici, on a que lim vn = et lim wn = donc = 1 et = 1 ce qui est une contradiction. Lhypothse disant que (un ) tait convergente est donc fausse. Donc (un ) ne converge pas.

Correction de lexercice 4 1. Vrai. Toute sous-suite dune suite convergente est convergente et admet la mme limite (cest un rsultat du cours). 2. Faux. Un contre-exemple est la suite (un )n dnie par un = (1)n . Alors (u2n )n est la suite constante (donc convergente) de valeur 1, et (u2n+1 )n est constante de valeur 1. Cependant la suite (un )n nest pas convergente. 3. Vrai. La convergence de la suite (un )n vers , que nous souhaitons dmontrer, scrit : > 0 N N tel que (n N |un | < ).

Fixons > 0. Comme, par hypothse, la suite (u2 p ) p converge vers alors il existe N1 tel 2p Et de mme, pour la suite (u2 p+1 ) p il existe N2 tel que 2p + 1 N2 |u2 p+1 | < . N1 |u2 p | < .

Soit N = max(N1 , N2 ), alors n Ce qui prouve la convergence de (un )n vers . N |un | < .

Correction de lexercice 5 1. un+q = cos 2. unq = cos

2(n+q) q 2nq q

= cos

2n q

+ 2 = cos

2n q

= un .
2(nq+1) q

= cos (2n ) = 1 = u0 et unq+1 = cos

= cos

2 q

= u1 . Supposons, par labsurde que (un )

converge vers . Alors la sous-suite (unq )n converge vers comme unq = u0 = 1 pour tout n alors = 1. Dautre part la sous-suite (unq+1 )n converge aussi vers , mais unq+1 = u1 = cos 2q , donc = cos 2q . Nous obtenons une contradiction car
pour q 2, nous avons cos 2q = 1. Donc la suite (un ) ne converge pas.

Correction de lexercice 6 1. La fonction t

1 t

est dcroissante sur [n, n + 1] donc 1 n+1

n+1 n

dt t

1 n y 1/x par laire de deux

(Cest un encadrement de laire de lensemble des points (x, y) du plan tels que x [n, n + 1] et 0 rectangles.) Par calcul de lintgrale nous obtenons lingalit : 1 n+1 ln(n + 1) ln(n) 1 . n

1 1 1 ln(k) ln(k 1) obtenue 2. Hn = 1 n + n1 + + 2 + 1, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant lingalit k prcdemment : nous obtenons Hn ln(n) ln(n 1) + ln(n 1) ln(n 2) + ln(2) + ln(2) ln(1) + 1. Cette somme est tlescopique (la plupart des termes sliminent et en plus ln(1) = 0) et donne Hn ln(n) + 1. Lautre ingalit sobtient de la faon similaire en utilisant lingalit ln(k + 1) ln(k) 1 k .

3. Comme Hn

ln(n + 1) et que ln(n + 1) + quand n + alors Hn + quand n +. 0 daprs la premire question. Donc un+1 un 0.

1 4. un+1 un = Hn+1 Hn ln(n + 1) + ln(n) = n+ 1 (ln(n + 1) ln(n)) Ainsi un+1 un et la suite (un ) est dcroissante. Enn comme Hn ln(n + 1) alors Hn ln(n) et donc un 0.

5. La suite (un ) est dcroissante et minore (par 0) donc elle converge vers un rel . Ce rel sappelle la constante dEuler (daprs Leonhard Euler, 1707-1783, mathmaticien dorigine suisse). Cette constante vaut environ 0, 5772156649 . . . mais on ne sait pas si est rationnel ou irrationnel.

Correction de lexercice 7 1. La fonction polynomiale P(x) := x3 3x + 1 est continue et drivable sur R et sa drive est P (x) = 3x2 3, qui est strictement ngative sur ] 1, +1[. Par consquent P est strictement dcroissante sur ] 1, +1[. Comme P(0) = 1 > 0 et P(1/2) = 3/8 < 0 il en rsulte grce au thorme des valeurs intermdiaires quil existe un rel unique ]0, 1/2[ tel que P( ) = 0. 2. Comme f (x) x = (x3 3x + 1)/9 il en rsulte que est lunique solution de lquation f (x) = x dans ]0, 1/2[. 3. Comme f (x) = (x2 + 2)/3 > 0 pour tout x R, on en dduit que f est strictement croissante sur R. Comme f (0) = 1/9 et limx+ f (x) = +, on en dduit que f (R+ ) = [1/9, +[. Comme x1 = f (x0 ) = 1/9 > 0 alors x1 > x0 = 0 ; f tant strictement croissante sur R+ , on en dduit par rcurrence que xn+1 > xn pour tout n N ce qui prouve que la suite (xn ) est croissante. 4. Un calcul simple montre que f (1/2) < 1/2. Comme 0 = x0 < 1/2 et que f est croissante on en dduit par rcurrence que xn < 1/2 pour tout n N (en effet si xn < 1/2 alors xn+1 = f (xn ) < f (1/2) < 1/2). 5. Daprs les questions prcdentes, la suite (xn ) est croissante et majore, elle converge donc vers un nombre rel ]0, 1/2]. De plus comme xn+1 = f (xn ) pour tout n N, on en dduit par continuit de f que = f ( ). Comme f (1/2) < 1/2, On en dduit que ]0, 1/2[ et vrie lquation f ( ) = . Daprs la question 2, on en dduit que = et donc (xn ) converge vers .

Correction de lexercice 8
k Remarquons dabord que 1 k12 = 1 = . En crivant les fractions de un sous la cette forme, lcriture va se simplier k.k k2 radicalement : (2 1)(2 + 1) (3 1)(3 + 1) (k 1)(k + 1) (k)(k + 2) (n 1)(n + 1) un = 2.2 3.3 k.k (k + 1).(k + 1) n.n
2

(k1)(k+1)

Tous les termes des numrateurs se retrouvent au dnominateur (et vice-versa), sauf aux extrmits. Do : un = Donc (un ) tends vers
1 2

1 n+1 . 2 n

lorsque n tend vers +.

Correction de lexercice 9 1. 0. 2. 1. 3. 7/30. 4. 1/2. 5. 1. 6. 3/2. 7. 1. 8. 3. 9. 1 ; 2. 10. 3/4. 11. 0. 12. 0. 13. 1/3.

Correction de lexercice 10 1. La suite (un ) est strictement croissante, en effet un+1 un = vn+1 vn = un+1 un +
1 (n+1)!

> 0. La suite (vn ) est strictement dcroissante :

1 1 1 1 1 1 2 = + = ( 1). (n + 1)! n! (n + 1)! (n + 1)! n! n! n

Donc partir de n 2, la suite (vn ) est strictement dcroissante. 2. Comme un vn v2 , alors (un ) est une suite croissante et majore. Donc elle converge vers R. De mme vn un u0 , 1 donc (vn ) est une suite dcroissante et minore. Donc elle converge vers R. De plus vn un = n ! . Et donc (vn un ) tend vers 0 ce qui prouve que = . 3. Supposons que Q, nous crivons alors =
p q

avec p, q N. Nous obtenons pour n 2 : un p vn . q

Ecrivons cette galit pour n = q : uq

p q

p vq et multiplions par q! : q!uq q! q q!vq . Dans cette double ingalit toutes les

1 termes sont des entiers ! De plus vq = uq + q ! donc :

q!uq q!

p q!uq + 1. q

p p Donc lentier q! q est gal lentier q!uq ou q!uq + 1 = q!vq . Nous obtenons que = q est gal uq ou vq . Supposons par exemple que = uq , comme la suite (un ) est strictement croissante alors uq < uq+1 < < , ce qui aboutit une contradiction. Le mme raisonnement sapplique en supposant = vq car la suite (vn ) est strictement dcroissante. Pour conclure nous avons montr que nest pas un nombre rationnel.

En fait est le nombre e = exp(1).

Correction de lexercice 11 1. u2 n+1 a = 1 u2 n +a a 4 un 1 2 = 2 (u4 2au2 n +a ) 4un n

2 1 (u2 n a) 4 u2 n 2

2. Il est clair que pour n un+1 a. Soit n La suite (un )n 3. La suite (un )n
1 1

0 on a un > 0. Daprs lgalit prcdente pour n

un+1 un

0, u2 n+1 a 1 car un

0 et comme un+1 est positif alors

un+1 un

1. Calculons le quotient de un+1 par un : est donc dcroissante. est dcroissante et minore par

1 2

a 1+ u 2
n

or

a u2 n

a. Donc

1 et donc un+1

un .

a donc elle converge vers une limite > 0. Daprs la relation un+1 = 1 a un + 2 un

quand n + alors un et un+1 . la limite nous obtenons la relation = La seule solution positive est = 4. La relation u2 n+1 a = scrit aussi 1 2 + a .

a. Conclusion (un ) converge vers a.

2 (u2 n a) 2 4un

(un a)2 (un + a)2 . (un+1 a)(un+1 + a) = 4u2 n un+1 a = (un a)2 (un a)2 1 4(un+1 + a) un + a un
2 2

Donc

1 a 1+ 4(2 a) un 1 (un a)2 2 a 5. Par rcurrence pour n = 1, u1 a

k. Si la proposition est vraie rang n, alors un+1 a 1 (un a)2 2 a 1 (2 a)2 2 a 2 a k 2 a

2n

k 2 a

2n1

1 6. Soit u0 = 3, alors u1 = 2 (3 + 10 ) = 3, 166 . . .. Comme 3 10 u1 donc u1 10 0.166 . . .. Nous pouvons choisir k = 0, 17. 3 Pour que lerreur un a soit infrieure 108 il suft de calculer le terme u4 car alors lerreur (calcule par la formule de la question prcdente) est infrieure 1, 53 1010 . Nous obtenons u4 = 3, 16227766 . . . Bilan 10 = 3, 16227766 . . . avec une prcision de 8 chiffres aprs la virgule. Le nombre de chiffres exacts double chaque itration, avec u5 nous aurions (au moins) 16 chiffres exacts, et avec u6 au moins 32. . .

Correction de lexercice 12 1. Si u0 u1 alors comme f est croissante f (u0 ) f (u1 ) donc u1 u2 , ensuite f (u1 ) f (u2 ) soit u2 u3 ,... Par rcurrence on montre que (un ) est dcroissante. Comme elle est minore par a alors elle converge. Si u0 u1 alors la suite (un ) est croissante et majore par b donc converge. Notons la limite de (un )n . Comme f est continue alors ( f (un )) tend vers f ( ). De plus la limite de (un+1 )n est aussi . En passant la limite dans lexpression un+1 = f (un ) nous obtenons lgalit = f ( ).
+5 2. La fonction f dnie par f (x) = 4xx+ 3 est continue et drivable sur lintervalle [0, 4] et f ([0, 4]) [0, 4]. La fonction f est croissante (calculez sa drive). Comme u0 = 4 et u1 = 3 alors (un ) est dcroissante. Calculons la valeur de sa limite . est solution de lquation f (x) = x soit 4x + 5 = x(x + 3). Comme un 0 pour tout n alors 0. La seule solution positive de 1+ 21 lquation du second degr 4x + 5 = x(x + 3) est = 2 = 2, 7912 . . .

3. Si f est dcroissante alors f f est croissante (car x y f (x) f (y) f f (x) f f (y)). Nous appliquons la premire question avec la fonction f f . La suite (u0 , u2 = f f (u0 ), u4 = f f (u2 ), . . .) est monotone et convergente. De mme pour la suite (u1 , u3 = f f (u1 ), u5 = f f (u3 ), . . .).

10

4. La fonction f dnie par f (x) = (1 x)2 est continue et drivable de [0, 1] dans [0, 1]. Elle est dcroissante sur cet intervalle. 1 9 Nous avons u0 = 2 , u1 = 1 4 , u2 = 16 , u3 = 0, 19 . . .,... Donc la suite (u2n ) est croissante, nous savons quelle converge et notons sa limite. La suite (u2n+1 ) et dcroissante, notons sa limite. Les limites et sont des solutions de lquation f f (x) = x. Cette quation scrit (1 f (x))2 = x, ou encore (1 (1 x)2 )2 = x soit x2 (2 x)2 = x. Il y a deux solutions videntes 0 et 1. Nous factorisons le polynme x2 (2 x)2 x en x(x 1)(x )(x ) avec et les solutions de lquation x2 3x + 1 : 3 5 3+ 5 = 2 = 0, 3819 . . . et = 2 > 1. Les solutions de lquation f f (x) = x sont donc {0, 1, , }. Comme (u2n ) est 1 croissante et que u0 = 1 2 alors (u2n ) converge vers = 1 qui est le seul point xe de [0, 1] suprieur 2 . Comme (u2n+1 ) est 1 1 dcroissante et que u1 = 4 alors (u2n+1 ) converge vers = 0 qui est le seul point xe de [0, 1] infrieur 4 .

Correction de lexercice 13 1. Soient a, b > 0. On veut dmontrer que b 2 est quivalente ab ( a+ 2 ) . De plus, ab
a+b 2 .

Comme les deux membres de cette ingalit sont positifs, cette ingalit

ab

a+b 2 0

4ab

a2 + 2ab + b

a2 2ab + b2

ce qui est toujours vrai car a2 2ab + b2 = (a b)2 est un carr parfait. On a donc bien lingalit voulue. 2. Quitte changer a et b (ce qui ne change pas les moyennes arithmtique et gomtrique, et qui prserve le fait dtre compris entre a et b), on peut supposer que a b. Alors en ajoutant les deux ingalits a/2 a/2 on obtient a a/2 b/2 b/2 b/2,

a+b b. 2 De mme, comme tout est positif, en multipliant les deux ingalits a a b a b b on obtient a ab b.

3. Il faut avant tout remarquer que pour tout n, un et vn sont strictement positifs, ce qui permet de dire que les deux suites sont bien dnies. On le dmontre par rcurrence : cest clair pour u0 et v0 , et si un et vn sont strictement positifs alors leurs moyennes gomtrique (qui est un+1 ) et arithmtique (qui est vn+1 ) sont strictement positives. (a) On veut montrer que pour chaque n, un vn . Lingalit est claire pour n = 0 grce aux hypothses faites sur u0 et v0 . Si maintenant n est plus grand que 1, un est la moyenne gomtrique de un1 et vn1 et vn est la moyenne arithmtique de un1 et vn1 , donc, par 1., un vn . (b) On sait daprs 2. que un un+1 vn . En particulier, un un+1 i.e. (un ) est croissante. De mme, daprs 2., un vn+1 vn . En particulier, vn+1 vn i.e. (vn ) est dcroissante. (c) Pour tout n, on a u0 un vn v0 . (un ) est donc croissante et majore, donc converge vers une limite . Et (vn ) est dcroissante et minore et donc converge vers une limite . Nous savons maintenant que un , donc aussi un+1 , et vn ; la relation un+1 = un vn scrit la limite : = . De mme la relation vn+1 =
un +vn 2

donnerait la limite : = + . 2

Un petit calcul avec lune ou lautre de ces galits implique = . Il y a une autre mthode un peu plus longue mais toute aussi valable. Dnition Deux suites (un ) et (vn ) sont dites adjacentes si 1. un vn , 2. (un ) est croissante et (vn ) est dcroissante, 3. lim(un vn ) = 0.

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Alors, on a le thorme suivant : Thorme : Si (un ) et (vn ) sont deux suites adjacentes, elles sont toutes les deux convergentes et ont la mme limite. Pour appliquer ce thorme, vu quon sait dj que (un ) et (vn ) vrient les points 1 et 2 de la dnition, il suft de dmontrer que lim(un vn ) = 0. On a dabord que vn un 0. Or, daprs (a) vn+1 un+1 vn+1 un = vn un . 2

0 Donc, si on note wn = vn un , on a que 0 wn+1 wn /2. Donc, on peut dmontrer (par rcurrence) que 0 wn w 2n , ce qui implique que limn wn = 0. Donc vn un tend vers 0, et ceci termine de dmontrer que les deux suites (un ) et (vn ) sont convergentes et ont mme limite en utilisant le thorme sur les suites adjacentes.

Correction de lexercice 14 Notons fn : [0, 1] R la fonction dnie par : fn (x) =

k=1

xk

1.

1. La fonction fn est continue sur [0, 1]. De plus fn (0) = 1 < 0 et fn (1) = n 1 0. Daprs le thorme des valeurs intermdiaires, fn , admet un zro dans lintervalle [0, 1]. De plus elle strictement croissante (calculez sa drive) sur [0, 1] donc ce zro est unique. 2. Calculons fn (an1 ). fn (an1 ) =

k=1

ak n1 1
n1 k=1

= an n1 +

ak n1 1

= an n1 + f n1 (an1 ) = an n1 (car f n1 (an1 ) = 0 par dnition de an1 ). Nous obtenons lingalit 0 = fn (an ) < fn (an1 ) = an n1 . Or fn est strictement croissante, lingalit ci-dessus implique donc an < an1 . Nous venons de dmontrer que la suite (an )n est dcroissante. Remarquons avant daller plus loin que fn (x) est la somme dune suite gomtrique : fn (x) = 1 xn+1 2. 1x

1 valuons maintenant fn ( 2 ), laide de lexpression prcdente n+1 1(1 1 1 2) 2 = n < 0. fn ( ) = 1 2 2 1 2 1 Donc fn ( 2 ) < fn (an ) = 0 entrane 1 2

< an .
1 2

Pour rsumer, nous avons montr que la suite (an )n est strictement dcroissante et minore par 1 2. 3. Comme (an )n est dcroissante et minore par alors elle converge, nous notons sa limite : 1 < an . 2 Appliquons fn (qui est strictement croissante) cette ingalit : fn qui scrit aussi : 1 f n ( ) < 0, 2n 1. La suite ( fn ( ))n converge donc vers 0 (thorme des gendarmes). Mais nous savons aussi que fn ( ) = donc ( fn ( ))n converge vers
1 1

1 2

fn ( ) < fn (an ),

et ceci quelque soit n

1 n+1 2; 1

2 car ( n )n converge vers 0. Donc 1 1 2 = 0, do = . 1 2

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