Grand Oral Maths

Grand Oral Maths
Partie I : Présentation de la démonstration par récurrence

Tout d’abord je vais vous présenter et vous expliquer la démonstration par récurrence et son
fonctionnement. La démonstration par récurrence sert lorsqu’on veut démontrer qu’une propriété P
dépendant de n où n est un entier naturel, parfois différent de 0 ou 1, est vraie pour toutes les valeurs de n
. Elle contient 3 étapes : l’initialisation, l’hérédité et la conclusion.
Il y a trois étapes dans ce type de démonstration :
Dans un premier temps on suppose que la propriété est vraie pour une première valeur (souvent 0 ou 1
selon si l’on veut démontrer dans N ou N ¿), c’est l’initialisation.
On suppose ensuite que P est vrai pour un k fixé dans N ou N ¿, puis on démontre que P(k + 1) est vraie
grâce à cette supposition que l’on nomme « hypothèse de récurrence », c’est l’hérédité.
Si l’on a ces deux conditions, on peut conclure : ∀ n ∈ N ( ou N ¿ ) , P ( n ) est vraie.
Au final, le principe de récurrence est comme si on avait une suite de domino et qu’on disait : « si un
domino tombe, le suivant tombe » si l’on fait tomber le premier, tous tomberont.
Il existe plusieurs types de récurrences : les récurrences fortes et des récurrences d’ordre supérieur à 1,
même si celles que l’on utilise le plus souvent sont les récurrences d’ordre 1. Ces types de démonstration
fonctionnent de la même manière que la récurrence simple mais avec des petits changements dans les
hypothèses. Utilité ?
(Récurrences doubles :
 P ( 0 ) et P ( 1 ) sont vraies.
 Pour un entier naturel k ∈ N fixé, P ( k ) et P ( k +1 ) vraies ⟹ P ( k +2 ) vraie .
⟹ ∀ n∈ N , P ( n ) vraie .
¿
On peut élargir aux récurrences d’ordre n( n∈ N ) :
 P ( 0 ) , P ( 1 ) , P ( 2 ) , … , P ( n−1 ) sont vraies.

 Pour un entier naturel k ∈ N fixé, P ( k ) , P ( k + 1 ) , P ( k +2 ) , … , P ( k + n−1 ) vraies ⟹ P ( k +n ) vraie .
⟹ ∀ q ∈ N , P ( q ) vraie .) ça tu donnes si le jury pose des questions
Importance de l’initialisation :
L’initialisation d’une démonstration par récurrence est très importante, si nous ne l’avons pas nous ne
pouvons pas conclure. En gardant l’analogie des dominos, c’est comme si on pouvait démontrer que si
un domino tombe, le suivant tombe aussi mais qu’on ne pouvait pas lancer le premier domino. Ainsi
aucun domino ne tomberait et la proposition ne serait pas démontrée. Nous avons par exemple la
proposition : ∀ n ∈ N , 10n +1 est divisible pas 9. Nous pouvons prouver l’hérédité de cette proposition
mais pas son initialisation car elle est tout bonnement fausse. A voir
Partie II : Démonstrations
La démonstration par récurrence s’appuie sur le « principe de récurrence », un des axiomes de Peano (le
5ème de l’axiomatique de Peano).
Principe de récurrence : Si A ⊂ N et :
 0∈ A
 ∀ n ∈ N ,(n ∈ A ⟹ n+1 ∈ A)
Alors A=N .
Nous pouvons cependant démontrer celui-ci grâce à un axiome d’une théorie plus grande qui est : « toute
partie non vide de N admet un plus petit élément ». Nous allons donc le démontrer.
On procède par l’absurde :
On suppose qu’avec ces conditions, A ≠ N .
On pose l’ensemble B= {n ∈ N /n ∉ A } (l’ensemble des entiers naturels n’appartenant pas à A ).
 B≠ ∅ car A ≠ N .
 0 ∉ B car 0 ∈ A .
Donc B est une partie non vide de N et accepte un plus petit élément p ≥1.
Donc ( p−1) ∉ B, donc ( p−1 ) ∈ A , donc ( p−1+1 ) =p ∈ A . (En appliquant la deuxième condition)
Or p ∈ B, nous avons donc une contradiction, donc l’hypothèse de départ est fausse, donc A=N .
Nous avons donc démontré le principe de récurrence.
Apparait là une première limite à cette démonstration : pour prouver le principe de récurrence, nous avons
dû sortir de l’axiomatique de Peano entrer dans le cadre d'une théorie plus puissante.
Ainsi, si l’on a une propriété P(n) dépendant de n(n∈ N ) telle que :
 P ( 0 ) vraie .
 Pour un entier naturel k ∈ N fixé, P ( k ) vraie ⟹ P ( k +1 ) vraie.
En appliquant le principe de récurrence à l’ensemble A={ n ∈ N /P ( n ) est vraie } (l’ensemble des entiers
naturels n tels que P(n) est vraie), on remarque que A=N et donc que ∀ n ∈ N , P ( n ) est vraie.
En ayant démontré cela, on peut maintenant prouver la démonstration par récurrence à partir d’un entier
naturel n 0 ∈ N , ou les démonstrations d’ordre supérieur à 1. Ça tu gardes, ça indique une question pour
ton paragraphe de la page 1
Partie III : Démonstration par récurrences dans Z−¿¿

Une des choses qui m’intéressait lorsque j’ai commencé mes recherches sur la démonstration par
récurrence était : « pourquoi ne peut-on pas faire de récurrence dans l’autre sens, i.e. dans Z−¿¿, i.e.
0 →−1 →−2 →−3 … »
Après avoir trouvé la démonstration précédente, on comprend donc pourquoi : les axiomes de Peano
qu’on admet ne le permettent pas. Ces axiomes définissent les entiers naturels et non les entiers relatifs
−¿¿
négatifs. Cependant s’il on admet les axiomes équivalent dans Z , on peut prouver le principe de
récurrence dans Z−¿¿ ainsi que la démonstration par récurrence dans Z−¿¿. Nous nous retrouvons donc
devant une autre limite de la démonstration par récurrence car nous devons admettre d’autres axiomes.
Seulement, nous pouvons nous demander s’il est possible de démontrer, à partir des axiomes de Peano,
les axiomes qui nous intéressent dans Z−¿¿ au lieu de les admettre.
Pas sûr que ça rentre dans ton sujet, utilise ça en ouverture ? ou essaye d’indiquer une phrase qui
amènera à une question dessus
Partie IV : Raisonnement par récurrence en général

Maintenant je vais vous parler du raisonnement par récurrence plus généralement. On le trouve beaucoup
en mathématique, comme dit plus haut, c’est un raisonnement dont le principe est de réitérer certaines
actions. Il y a par exemple les suites définies par récurrence, les séries dans lesquelles on somme de
manière répétitives les termes d’une suite. (garde la def d’une série pour une question possible dessus)
L’ensemble N se construit aussi grâce au principe de récurrence, car comme vu plus tôt : c’est l’ensemble
des entiers qui a pour plus petit élément 0 et qui contient, pour chacun de ses éléments, l’élément suivant.
Le raisonnement par récurrence sert aussi à des choses plus complexes comme les fractions continues
grâce auxquelles on peut exprimer des nombres irrationnels sous la forme de fraction de fraction de
1
√ 2=1 =[ 1 ;2 ]
1
fraction… jusqu’à l’infini. Par exemple : 2+ ou φ=[ 1 ]. Grâce à celles-ci on peut
1
2+
2+ …
approximer certains irrationnels sous la forme de fractions de façon assez précise. Par exemple :
27 17 7 355 333 22
√ 2 ≈ ≈ ≈ ou π ≈ ≈ ≈ . Exemples sur support.
19 12 5 113 106 7
Des exemples de ces deux éléments sont sur le support.
Partie V : Séries infinies

Avec les séries on peut aller plus loin en mettant, au lieu de n , ∞ . Ainsi on obtient des séries infinies qui
∞
4∗(−1)n ∞
x
n ∞
(−1) n 2 n
permettent notamment d’exprimer π=∑ , e x =∑ , cos x=∑ x ou
n=0 2n+1 n=0 n! n=0 (2 n)!
∞ n
(−1)
sin x=∑ x 2 n+1.
n=0 (2 n+1)!
Tu cites pi, ex, cosx, sinx : juste les sommes sur support.
J’ai essayé d’arranger quelques trucs, de réduire, en gardant ta démonstration. Tu as bcp de choses à dire,
c’est intéressant mais il fallait un tri
Sinon c’est bien ;)
Dodo bien, à demain !

Grand Oral Maths

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Grand Oral Maths

Transféré par

Informations du document

Copyright

Formats disponibles

Partager ce document

Partager ou intégrer le document

Options de partage

Avez-vous trouvé ce document utile ?

Ce contenu est-il inapproprié ?

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Grand Oral Maths

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Grand Oral Maths

Partie I : Présentation de la démonstration par récurrence

Si l’on a ces deux conditions, on peut conclure : ∀ n ∈ N ( ou N ¿ ) , P ( n ) est vraie.

 P ( 0 ) , P ( 1 ) , P ( 2 ) , … , P ( n−1 ) sont vraies.

Ainsi, si l’on a une propriété P(n) dépendant de n(n∈ N ) telle que :

Partie III : Démonstration par récurrences dans Z−¿¿

Partie IV : Raisonnement par récurrence en général

Partie V : Séries infinies

Vous aimerez peut-être aussi