Teoremas de Euclides
Teoremas de Euclides
Teoremas de Euclides
En Los elementos de la geometría, publicación en trece volúmenes del siglo tercero antes de
nuestra era, Euclides expone, a través del método deductivo y de manera sistemática, los
conocimientos que los griegos tenían sobre aritmética y geometría.
En esta compilación enciclopédica del conocimiento geométrico hasta entonces acumulado,
Euclides trata sobre líneas, figuras planas, longitudes y áreas, círculos, proporciones, figuras
semejantes, geometría de algunos sólidos y volúmenes. En otras palabras, sistematiza cerca de
veinte siglos de trabajo escrito, cuya importancia no debe pasar inadvertida.
El método axiomático de Euclides
Con la publicación de Los elementos de la geometría (Los elementos), Euclides expone, a
través del método deductivo, de manera articulada y sistemática, todos los conocimientos
que, hasta ese momento, se tenían sobre geometría, y comienza una fuerte polémica, tanto
sobre el método mismo como acerca del quinto de sus postulados. Sorprende hoy cómo, por
tal discusión, en apariencia tonta, surgen modelos geométricos que permiten interpretaciones
acerca de la configuración del espacio-tiempo acordes con las exigencias de la teoría de la
relatividad, la epistemología, la lógica , etcétera.
En este aparte se presentan algunas de las definiciones y los primeros teoremas del tomo I
de Los elementos además de los axiomas de la geometría tal como fueron propuestos por
Euclides.
Euclides, en su afán por presentar de una manera rigurosa y formal las matemáticas griegas, no se
da cuenta de que no es posible definir todos los elementos que en una teoría matemática aparecen,
y recurre al uso de conceptos que pertenecen al lenguaje común de su cultura y su momento
para definirlos, generando, con este proceder, dos problemas: mezclar términos del lenguaje
común con los términos del lenguaje formal y recurrir a la experiencia cotidiana como medio para
dotar de significado a un sistema formalizado, y asi desde el significado mismo, impregnar de
verdad los postulados y toda definición a partir de ellos.
Euclides consideraba que además de sus cinco postulados, eran necesarias ciertas nociones o
reglas particulares para razonar, aplicables tanto a la geometría como a cualquier otra ciencia, y a
pesar de pensar en ellas como de uso común, prefirió hacerlas explícitas. Las siguientes son las
nociones comunes que formuló:
Se debe demostrar entonces que la base BG es igual a la base EZ, y que el triángulo ABG
es igual al triángulo DEZ, es decir, que los demás ángulos correspondientes son también
iguales, es decir, el ángulo ABG es igual al ángulo DEZ y el ángulo AGB es igual al ángulo
DZE.
Esto es cierto porque si se coloca o "aplica" el triángulo ABG sobre el triángulo DEZ, y se
coloca para ello el punto A sobre el punto D y la recta AB sobre la DE, entonces quedarán
colocados también el punto B sobre el punto E, de ahí que sean iguales la recta AB y la
recta DE.
Una vez aplicada la recta AB sobre la recta DE, se aplicará la recta AG sobre la recta DZ,
por ser el ángulo comprendido por BAG igual al comprendido por EDZ. De manera que el
punto G se aplicará sobre el punto Z por ser también iguales la recta AG con la recta DZ.
Pero como ya estaba aplicado al punto B sobre el punto E. luego se aplicará la base BG
sobre la base EZ.
Porque si estando ya aplicado el punto B sobre el punto E y el punto G sobre el Z, la base
BG no se aplicará sobre la base EZ, dos rectas circundarían una región, lo cual es imposible.
Por tanto, la base BG se aplicará sobre la base EZ, y son iguales y por tanto el triángulo
entero ABG se aplicará sobre todo el triángulo DEZ y será igual a él. Además, los ángulos
de uno se aplicarán a los restantes del otro y serán iguales.
En este teorema aparece por primera vez el concepto de aplicación. ¿Qué es una
aplicación y en qué condiciones es posible efectuar una aplicación? Son preguntas que no
fueron respondidas de manera explícita por Euclides.
Según se puede concluir de los textos de los teoremas, una aplicación consiste en un
movimiento mediante el cual un objeto geométrico puede llevarse sobre otro objeto
geométrico, de la misma clase que el anterior, aceptándose que por este movimiento no se
alteran ni los tamaños ni las formas de los objetos.
Así que, si al aplicar un objeto geométrico sobre otro, los dos objetos coinciden en todas
sus partes, entonces son iguales (o congruentes). Euclides demuestra así el primer
teorema de congruencia de triángulos.
TEOREMA 2
En un triángulo isósceles, los ángulos de la base son iguales entre si. y si se prolongan los dos
lados iguales, los ángulos debajo de la base entre sí.
Demostración y procedimiento:
Sea ABG el triángulo isósceles que tiene el lado AB igual al lado AG, y sean BD y GE las
prolongaciones de estos lados. Hay que demostrar que el ángulo ABG es igual al ángulo AGB,
y que el ángulo GBD es igual al ángulo BGE.
Tómese sobre la recta BD un punto cualquiera, el punto Z, por ejemplo. En la recta mayor AE,
construyase la recta AH, igual a la recta AZ y trácense las rectas ZG y HB. Ahora bien,
puesto que la recta AZ es igual a la recta AB', y la recta AB es igual a la recta AG, entonces
las rectas ZA y AG serán respectivamente iguales a las rectas AH y AB que comprenden un
ángulo común, el ángulo ZAH.
Por tanto, la base ZG será igual a la base HB y el triángulo AZG será igual al triángulo
AHB, mientras que los demás ángulos de uno serán respectivamente iguales a aquellos del
otro, es decir, el ángulo AGZ será igual al ángulo ABff, y el ángulo AZG será igual al
ángulo AHB.
Puesto que la recta entera AZ es igual a la recta entera AH y las rectas AB y AG son
iguales la una a la otra, entonces la recta restante BZ será igual a la restante GH. Como ya se
demostró que la recta ZG es igual a la recta HB, entonces las rectas BZ y ZG serán
respectivamente iguales a las rectas GH y HB.
Así mismo, el ángulo BZG será igual al ángulo GHB, siendo la recta BG su base común; y el
triángulo BZG será igual al triángulo GHB, y los demás ángulos de uno serán iguales a sus
correspondientes del otro, es decir, el ángulo ZBG será igual al ángulo HGB y el ángulo BGZ
al ángulo GBH.
Pero como se demostró que el ángulo entero es igual al ángulo entero AGZ, y que sus
ángulos parciales GBH y BGZ son iguales, entonces el ángulo restante ABG será igual al
ángulo restante AGB, que son los ángulos de la base del triángulo ABG. Se demostró, además,
que el ángulo ABG es igual al HGB, que son los ángulos subtendidos bajo la base, que es lo
que se quería demostrar.
TEOREMA 3
Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados subtendidos bajo esos ángulos también
serán iguales.
Demostración y procedimiento: Sea ABG el triángulo que tiene el ángulo ABG igual al
ángulo AGB. Es necesario demostrar que el lado AB es igual al lado AG.
Si los lados fueran desiguales, uno de los dos sería el mayor. Sea pues, AB el lado mayor.
Del lado mayor réstese el lado DB, igual al lado menor AG, y trácese el lado DG. Puesto que el
lado DB es igual al del AG, y el lado BG es común a los triángulos DBG y AGB y, además, el
ángulo ABG es igual al ángulo AGB, entonces por el teorema 1, los triángulos DBG y AGB
son iguales y por consiguiente sea iguales sus ángulos respectivos, es decir, son equivalentes el
ángulo AGB y DGB. Es» significa que el lado AB es igual al lado AG, que es lo que se quería
demostrar.
Lo que afirman los anteriores dos teoremas es que si dos lados de un triángulo son iguales,
entonces también son iguales los ángulos opuestos y viceversa.
TEOREMA 4
Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales el uno al otro, e iguales las
bases, entonces tendrán iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales.
Demostración:
Sean los dos triángulos ABG y DEZ. y sean los lados AB y AG, respectivamente iguales a
los lados DE y DZ, y la base BG igual a la base EZ'. Se trata de demostrar que los ángulos
BAG y EDZ también son iguales.
Si se aplica el triángulo ABG sobre el DEZ de modo que el punto B coincida con E y la
recta BG sobre la recta EZ, se aplicará también el punto G sobre el Z por ser iguales las
rectas BG y EZ.
Además, al aplicar la recta BG sobre la recta EZ, se aplicarán también las rectas BA y GA
sobre las rectas ED y ZD porque dos rectas que son iguales a otras dos, con los extremos en
el mismo lado de una recta se cruzan en un mismo punto. Esto significa que el ángulo BAG
es igual al ángulo EDZ, pues sus lados coinciden.
TEOREMA 5
Con tres rectas dadas tales que la suma de cualesquiera dos de ellas sea mayor que la
tercera, construir un triángulo.
Construcción y demostración: Sean A, B y G las tres rectas dadas. Defínase una recta DE,
limitada por el punto D, más infinita hacia el punto E'. Construyase ahora la recta DZ igual a
la recta A; la recta ZH', a la recta B y la recta IfT, a la recta G. Con centro en Z y radio igual
a ZD descríbase el círculo DKL. Con centro en H y radio HT describase el círculo KLT'.
Trácense ahora las rectas KZ y KH.
TEOREMA 6
Sobre una recta dada, y en uno de sus puntos, construir un ángulo igual a otro ángulo dado.
Construcción y demostración:
Sea AB la recta dada, A un punto en ella y DGE el ángulo dado. Hay que construir sobre la
recta dada y en el punto A de ella un ángulo igual a DGE.
Sobre cada una de las líneas GD y GE, tómense dos puntos cualesquiera D y E y trácese la
recta DE. Construyase ahora
el triángulo AZH', de modo que la recta GD sea igual a la recta AZ, la recta GE sea igual a la
recta HA y la recta DE a la recta ZH'. Puesto que las rectas DG y GE son respectivamente
iguales a las rectas ZA y AH y la base DE es igual a la base ZH', entonces el ángulo DGE
será igual al ángulo ZAH.
TEOREMA 7
Para que dos triángulos sean congruentes es suficiente con que tengan dos ángulos
congruentes y el lado comprendido de igual longitud.
Demostración:
Sean ABG y DEZ los dos triángulos que tienen los dos ángulos ABG y BGA iguales
respectivamente a los ángulos DEZ y EZD. Considérese primero el caso en que el lado BG es
igual al lado EZ.
Si esto es cierto, entonces el lado AB es igual al lado DE, y el lado AG igual al lado DZ'.
Esto porque si el lado AB no es igual al lado DE, uno de los dos será mayor, es decir AB, y
esto lleva a una contradicción como se verá.
Hágase la recta BH igual a la recta DE, y trácese la recta HG. Ahora bien, los lados BH y BG
serían respectivamente iguales a los lados DE y EZ; y el ángulo HBG igual al ángulo DEZ; y
por tanto la base HG será igual a la base DZ y el triángulo ABG igual al triángulo DEZ.
Significa esto que los demás ángulos de uno serán iguales a los demás ángulos del otro, esto
es, que el ángulo HGB es igual al ángulo DZE. Se supuso, sin embargo, que el ángulo DZE
es igual al ángulo AGB, luego el ángulo HGB es igual al ángulo AGB, lo cual es claramente
imposible. Por tanto, los lados AB y DE son iguales, y son iguales los ángulos ABG y
DEZ.
Supóngase ahora que el lado AB es igual al lado DE'. Entonces se puede demostrar de una
manera similar a la anterior, que los demás lados de uno de los triángulos serán iguales a los
demás del otro, a saber, el lado AG con el lado DZ y el lado BG con el lado EZ. Igualmente el
ángulo restante AG es igual al ángulo EDZ.
TEOREMA 8
Si una recta, al cruzar otras dos rectas, hace ángulos alternos iguales entre sí, entonces tales
dos rectas serán paralelas en-
Demostración:
Sea EZ la recta que cruza las dos rectas, ABy GD, con ángulos alternos AEZ y EZD,
iguales entre sí. Se trata de demostrar que la recta AB es paralela a recta GD.
Supóngase lo contrario de manera que si son prolongadas AB y GD se encontrarían, o
hacia el lado BD, o hacia el lado AG. Asúmase que se encuentran en el punto H, hacia el lado
BD. En este caso, el ángulo externo AEZ del triángulo HEZ será igual al ángulo EZH,
interno y opuesto a él. Como esto es imposible, las rectas AB y GD, prolongadas hacia el
lado BD, no se pueden cortar. De manera parecida se demuestra que tampoco se cortan
hacia el lado AG, y si no se cortan hacia ninguno de los lados entonces son paralelas.
TEOREMA 9
Si una recta cruza otras dos rectas y hace el ángulo extemo igual al ángulo interno y opuesto
en el mismo lado, o si los dos internos son iguales a dos rectos, ertoa-ces tales rectas son
paralelas entre si.
Demostración:
Sea la recta EZ que cruza las rectas AB y GD y el ángulo externo EHB ,igual al ángulo
interno HTD, o bien los ángulos BHT y HTD internos y del mismo lado, tales que, sumados,
sean iguales a dos ángulos rectos. Se trata de demostrar que la recta AB es paralela a la
recta GD.
Ahora bien, como el ángulo EHB es igual al HTD y además el ángulo EHB es igual al
ángulo AHT, entonces el ángulo AHT es igual al ángulo HTD. Como estos ángulos son
alternos, entonces la recta AB es paralela a la recta GD.
Por otro lado, si los ángulos BHT y HTD sumados son iguales a dos ángulos rectos,
entonces son también iguales a dos rectos los ángulos AHT y BHT y por tanto la suma de
los ángulos AHT y BHT será igual a la suma de los ángulos BHT y HTD.
Si se resta el ángulo común BHT, el ángulo AHT es igual al ángulo HTD. Pero como son
ángulos alternos, entonces la recta AB es paralela a la recta GD.
TEOREMA 10
Una recta que cae sobre dos rectas paralelas forma ángulos alternos iguales entre sí y un
ángulo extemo igual al ángulo interno opuesto, mientras que la suma de los ángulos internos a
un mismo lado de la recta es igual a dos ángulos rectos.
Demostración:
Sea EZ la recta que cae sobre las dos rectas paralelas AB y GD. Entonces los ángulos
altemos AHT y HTD son iguales y el ángulo externo EHB es igual al ángulo interno opuesto
HTD. Por otro lado, la suma de los ángulos internos BHT y HTD es igual a dos ángulos rectos.
Para demostrarlo, obsérvese que si el ángulo AHT no fuese igual al ángulo HTD, uno de
los dos sería el mayor. Sea AHT el ángulo mayor. Añádase el ángulo común BHT.
Entonces los ángulos AHT y BHT sumados serán mayores que los ángulos BHT y HTD.
Pero los ángulos AHT y BHT son iguales a dos ángulos rectos.
Ahora bien, dos rectas con dos ángulos internos menores que dos ángulos rectos,
prolongadas al infinito, coincidirán, luego las rectas AB y GD prolongadas al infinito coinciden,
lo que es una contradicción pues son paralelas. Es decir, el ángulo AHT es igual al ángulo
HTD.
Por otra parte, el ángulo AHT es igual al ángulo EHB, luego también el ángulo EHB será
igual al ángulo HTD. Añádase a éstos el ángulo común BHT, luego serán iguales la suma de
los ángulos EHB y BHT y la de los ángulos BHT y HTD. Pero la suma de los ángulos EHB y
BHT es igual a la de dos ángulos rectos, luego también la suma de los ángulos BHT y HTD
es igual a dos rectos, que es lo que se quería demostrar.
TEOREMA 11
Por un punto dado trazar una recta paralela a otra recta dada. Construcción y demostración:
Sea A el punto dado y BG la recta dada. Hay que trazar por el punto A, una recta paralela a
la recta BG. Tómese sobre la recta BG un punto cualquiera, el D, por ejemplo, y trácese la
recta AD. Ahora sobre la recta DA, y en el punto A de ella, construyase el ángulo DAE igual al
ángulo ADG y prolongúese la línea recta E A en AZ.
Ahora bien, puesto que la recta AD, que cae sobre las dos rectas, BG y EZ forma
ángulos alternos iguales entre sí, entonces los ángulos EAD y ADG son iguales, y la recta
EAZ será paralela a la recta BG.
TEOREMA 12
En todo triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo que se forma es igual a
los dos internos y opuestos, y la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a la de
dos ángulos rectos.
Demostración:
Sea ABC el triángulo y prolónguese uno de sus lados, el BG por ejemplo, hasta el punto D.
Se trata de demostrar que el ángulo externo, AGD, es igual a los dos ángulos internos y
opuestos, GAB y ABG, y que la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a la de
dos ángulos rectos.
Para ello, por el punto G trácese la recta GE, paralela a la recta AB. Puesto que la recta AB
es paralela a la recta GE, y sobre ellas es incidente la recta AG, entonces los ángulos
alternos BAG y AGE son iguales entre sí.
Por otra parte, puesto que la recta AB es paralela a la recta GE y sobre ellas incide la recta
BD, entonces el ángulo externo EGD es igual al ángulo interno y opuesto ABG. Pero se
demostró que el ángulo AGE es igual al ángulo BAG, luego el ángulo entero AGD es igual a
la suma de los dos internos y opuestos BAG y ABG. Añádase a éstos, el ángulo común AGB.
Según esto, la suma de los ángulos AGD y BAG es igual a la suma de los tres ángulos
ABG, BGA y GAB. Pero como la suma de los ángulos AGD y AGB es igual a la de dos
rectos,
Entonces la suma de los ángulos AGB, GBA y GAB es igual a la de dos rectos.
GEOMETRIA EUCLIDIANA