Exposición Con Carácter Parcial-Euclides

EXPOSICIÓN CON
CARÁCTER DE PARCIAL

ORIGEN DE LA
GEOMETRÍA

“EUCLIDES”
EUCLIDES:
MATEMÁTICO
GEÓMETRA GRIEGO
"EL PADRE DE LA
GEOMETRÍA“
-------------------
Alejandría (Egipto),
año 300 a.C. Apróx.
LOS ELEMENTOS DE
EUCLIDES

Su obra más importante es un tratado de
geometría que recibe el título de
"Los Elementos“
Euclides recopila, ordena y argumenta los
conocimientos geométrico-matemáticos de
su época, estableciendo por rigurosa
deducción lógica todo el armonioso edificio
de la geometría griega.
“Los Elementos” consta de trece libros

sobre geometría y aritmética.
LIBROS I - VI

GEOMETRÍA PLANA:
En ellos Euclides recoge las técnicas geométricas
utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se
consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas;
se incluye también la teoría general de la proporción,
atribuida tradicionalmente a Eudoxo.
LIBROS del I al VI:

• El libro I trata de triángulos, paralelas, incluye

postulados, etc.
• El libro II trata del álgebra geométrica.
• El libro III trata de la geometría del círculo.
• El libro IV de los polígonos regulares.
• El libro V incluye una nueva teoría de las
proporciones, aplicable tanto a las cantidades
conmensurables (racionales) como a
las inconmensurables (irracionales).
• El libro VI es una aplicación de la teoría a la
geometría plana.
LIBROS VII - X

Las principales propiedades de la teoría de los
números (divisibilidad, números primos),
los conceptos de conmensurabilidad de
segmentos a sus cuadrados y las cuestiones
relacionadas con las transformaciones de los
radicales dobles.
LIBROS del VII al X :
o Del VII al IX: Tratan de la teoría de los

números (aritmética), se discuten relaciones
como números primos, (Euclides prueba ya en
un teorema que no hay una cantidad finita de
números primos), mínimo común múltiplo,
progresiones geométricas, etc.
o El libro X: trata de los segmentos irracionales,
es decir, de aquellos que pueden representarse
por raíz cuadrada.
LIBROS XI - XIII

GEOMETRÍA ESPACIAL:
Se ocupan de la geometría de los sólidos, hasta
culminar en la construcción de los cinco poliedros
regulares y sus esferas circunscritas, que habían
sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.

• En el libro XII aplica un método que

abarca la medida de los círculos, esferas etc.
• "Los Elementos" es una verdadera
reflexión teórica de y sobre matemáticas.
En la práctica totalidad de su obra, que
consta de 130 definiciones, 465
proposiciones, 93 problemas y 372
teoremas.
• Euclides, además, escribió sobre música y

óptica, tiene una obra titulada "Sofismas"
que, dice Proclo, sirve para ejercitar la
inteligencia.
POSTULADOS DE EUCLIDES

Euclides construye su argumentación
basándose en un conjunto de axiomas
(principios o propiedades que se admiten
como ciertas por ser evidentes y a partir de
los cuales se deduce todo lo demás)
que llamó postulados.
Los famosos cinco postulados de Euclides,

son:
I. Dados dos puntos se pueden trazar una
recta que los une:

II. Cualquier segmento puede ser prolongado
de forma continua en una recta ilimitada en
la misma dirección.
III. Se puede trazar una circunferencia de
centro en cualquier punto y radio
cualquiera.

IV. Todos los ángulos rectos son iguales.
V. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos
internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas
dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del
lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este axioma es conocido con el nombre de axioma de
las paralelas y también se enunció más tarde así:
V. Por un punto exterior a una recta dada se puede
trazar una única paralela.

Este axioma, que al parecer no satisfacía al propio

Euclides, ha sido el más controvertido, y dio pie en los
siglos XVIII y XIX al nacimiento de las geometrías no-
Euclídeas (geometrías que no parten de los
mismos axiomas de Euclides).
TEORÍA DE NÚMEROS

Euclides también creó la teoría de números, en la
cual realizó un estudio de los números perfectos,
que son aquellos que son iguales a la suma de todos
sus submúltiplos, y a los números primos, aquellos
que son divisibles por sí mismos y la unidad y
demostró que la cantidad de números primos es
infinita, así como la definición de números primos
entre sí, el máximo divisor de ambos es uno.
Un número perfecto es un número natural que
es igual a la suma de sus divisores propios
positivos.

Así, 6 es un número perfecto porque sus
divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3.
Los siguientes números perfectos son 28, 496 y
8128.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 +
508 + 1016 + 2032 + 4064
El matemático Euclides descubrió que los cuatro
primeros números perfectos vienen dados por la
fórmula:
n = 2: 21 × (22 – 1) = 6

n = 3: 22 × (23 – 1) = 28
n = 5: 24 × (25 – 1) = 496
n = 7: 26 × (27 – 1) = 8128
Al darse cuenta de que 2n – 1 es un número primo
en cada caso, Euclides demostró que la fórmula
2n–1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre
que 2n – 1 es primo.
MUCHAS GRACIAS

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EXPOSICIÓN CON

“Los Elementos” consta de trece libros

• El libro I trata de triángulos, paralelas, incluye

o Del VII al IX: Tratan de la teoría de los

• En el libro XII aplica un método que

• Euclides, además, escribió sobre música y

Los famosos cinco postulados de Euclides,

Este axioma, que al parecer no satisfacía al propio

n = 2: 21 × (22 – 1) = 6

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