DEFINE QUE ES LA GEOMETRA

EUCLIDIANA
La geometra euclidiana es aquella que estudia las propiedades del
plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemticos
usan el trmino para englobar geometras de dimensiones
superiores con propiedades similares.Sin embargo, con frecuencia,
geometra eucldea es sinnimo de geometra plana y de varios
conceptos, tales como el punto, la recta, la superficie y mediante
comparacin de ngulos o longitudes.
El sistema de geometra fue desarrollado por Euclides (siglo III a.C.)
en su libro Elementos. El contenido bsico de esta obra est compuesto por: Teoremas que son deducidos
a partir de una serie de axiomas, postulados y definiciones.

RECTAS PERPENDICULARES Y PARALELAS

TEOREMA:
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solamente una recta perpendicular a
la recta dada.

TEOREMA
Por un punto dado de una recta puede pasar una y solamente una recta perpendicular a la
recta dada.

TEOREMA
Un tringulo no puede tener dos ngulos rectos.

PARALELISMO
El paralelismo es una relacin de equivalencia, o sea que cumple las propiedades:
1. Propiedad reflexiva: AB || AB
2. Propiedad simtrica: Si AB || CD entonces CD || AB
3. Propiedad transitiva: Si AB || CD y CD || EF, entonces: AB || EF

POSTULADO DE LAS PARALELAS

Se conoce como el quinto postulado de Euclides:
Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela a la recta dada.

TEOREMA
Si dos recta cortadas por una transversal forman ngulos alternos internos congruentes,
entonces son paralelas.

TEOREMA
Si dos rectas son cortadas por una transversal y forman ngulos correspondientes
congruentes, entonces son paralelas.

TEOREMA
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ngulos consecutivos interiores
son suplementarios.

MENCIONES E ILUSTRE LOS POSTULADOS DE LA TEORA

GEOMETRA EUCLIDIANA
Los postulados de Euclides hacen referencia al tratado denominado Los Elementos , escrito
por Euclides hacia el ao 300 a. C., exponiendo los conocimientos geomtricos de la Grecia
clsica deducindolos a partir de cinco postulados, considerados los ms evidentes y sencillos. 1

Los postulados de Los Elementos son:

1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.

2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una lnea recta.

 3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.

4. Todos los ngulos rectos son iguales entre s.

5. Postulado de las paralelas. Si una lnea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma
de los dos ngulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos
rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que estn los ngulos menores que dos
rectos.

Este ltimo postulado tiene un equivalente, que es el ms usado en los libros de geometra:

Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una nica paralela.

A principios del siglo XIX Gauss, Lobachevsky y Jnos Bolyai consideraron la posibilidad de
una geometra sin el quinto postulado, descubriendo la Geometra hiperblica. sta fue la
primera geometra no eucldea en aparecer histricamente y Gauss consider seriamente la
posibilidad de que fuera la geometra del espacio en que vivimos [cita requerida], planteando as la
cuestin de la estructura geomtrica del Universo, que conducira a la Teora de la relatividad
general de Einstein. Gauss incluso lleg a presentir [cita requerida] que la geometra hiperblica era
preferible, porque en ella hay unidades de longitud naturales.

En trminos actuales, estos postulados fueron enunciados por Hilbert en sus axiomas.
Representacin geomtrica de los postulados de Euclides.

Que es la geometra no euclidiana

Se denomina geometra no euclidiana o no eucldea, a cualquier forma
de geometra cuyos postulados y propiedades difieren en algn punto de los establecidos
por Euclides en su tratado Elementos. No existe un solo tipo de geometra no eucldea, sino
muchos, aunque si se restringe la discusin a espacios homogneos, en los que la curvatura del
espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden
distinguirse tres tipos de geometras:

La geometra euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero
(es decir se supone en un espacio plano por lo que la suma de los tres ngulos interiores de
un tringulo da siempre 180.).

La geometra hiperblica satisface slo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene
curvatura negativa (en esta geometra, por ejemplo, la suma de los tres ngulos interiores de
un tringulo es inferior a 180).
 La geometra elptica satisface slo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene
curvatura positiva (en esta geometra, por ejemplo, la suma de los tres ngulos interiores de un
tringulo es mayor a 180).

Todos estos son casos particulares de geometras riemannianas, en los que la curvatura es
constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrnseca de la geometra vare de un
punto a otro se tiene un caso de geometra riemanniana general, como sucede en la teora de la
relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no homognea en el espacio-tiempo,
siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual es percibido como un
campo gravitatorio atractivo.

Los tres tipos de geometras homogneas posibles, adems de la geometra euclidea de curvatura nula, existen
la geometra elptica de curvatura positiva, y la geometra hiperblica de curvatura negativa. Si se consideran geometras no-
eucldeas homogneas entonces existe una infinidad de posibles geometras, descritas por las variedades
riemannianas generales.

Menciones e ilustre los postulados de la teora geometra no euclidiana

Los conceptos primitivos geomtricos (punto, recta, plano) han surgido a partir de la necesidad
de medir distancias entre puntos o localidades, superficies y volmenes de objetos.

En civilizaciones antiguas como la de Egipto, Asiria, India, etc. ya se conocan las principales
figuras geomtricas y la nocin de ngulo. Pero fue en Grecia (Siglo VI y III a.C. principalmente)
donde tuvo su principal desarrollo. En Alejandra, entre los aos 330 y 275 a. c. vivi un hombre
que sistematiz y ampli los conocimientos geomtricos hasta entonces conocidos. Si bien
pas desapercibido (junto a su obra) en su poca, estableci, bajo la forma axiomtica, las
relaciones entre los conceptos primitivos y sus principales propiedades. De l hoy conocemos
slo su nombre, Euclides, y que escribi en trece libros denominados Stoikheia (elementos), los
axiomas y los teoremas deducidos de ellos. Desgraciadamente no han llegado hasta nosotros
toda esta bibliografa, sabemos de la existencia de ellos a travs de los comentarios que se han
hecho posteriormente.

En el primer libro se enuncian los axiomas de enlace o existencia que relacionan a los
conceptos primitivos entre s y sus principales propiedades. De ellos, para este trabajo, slo nos
interesan los cinco primeros.
 Ellos son:

1- Trazar una recta de un punto cualquiera a otro: (lo que equivale a decir, por dos punto slo
pasa una recta )

2- Prolongar por continuidad en lnea recta una lnea limitada: (aqu surge la confusin de
suponer a la recta como lnea abierta nicamente.)

3- Describir el crculo con centro y radio dado.

4- Todos los ngulos rectos son iguales.

5- Si una recta al intersecar a dos rectas en un plano, forman ngulos internos sobre un
mismo lado (ngulos conjugados internos) cuya suma sea menor que dos rectas; entonces las
rectas, si se prolongan indefinidamente, se encontrarn del lado sobre el cual la suma sea
menor que la de dos rectos.

Este axioma fue motivo de discusin casi desde su formulacin. El propio Euclides no lo utiliz
hasta el teorema 29.

Su elaboracin y la impresin de redundancia motiv la suposicin que debera demostrarse

como un teorema partiendo de los dems postulados. Slo hace poco ms de un siglo que la
idea de tomarlo como un postulado independiente de los dems gan adeptos y hace menos de
cien aos se demostr, efectivamente, que era imposible demostrarlo.

Define la geometra analtica

La geometra analtica estudia con profundidad las figuras geomtricas ejemplo: sus distancias,
sus reas, puntos de interseccin, ngulos de inclinacin, puntos de divisin, volmenes, etc. Es
un estudio ms profundo para saber con detalle todos los datos que tiene las figuras geomtricas.
(DIG)
Grfica de dos hiprbolas y sus asntotas.
La geometra analtica estudia las figuras geomtricas mediante tcnicas bsicas del anlisis
matemtico y del lgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histrico
comienza con la geometra cartesiana, contina con la aparicin de la geometra
diferencial de Carl Friedrich Gauss y ms tarde con el desarrollo de la geometra algebraica.
Actualmente la geometra analtica tiene mltiples aplicaciones ms all de las matemticas y
la ingeniera, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeacin de
estrategias y logstica en la toma de decisiones.
Las dos cuestiones fundamentales de la geometra analtica son:
1. Dado el lugar geomtrico de un sistema de coordenadas, obtener su ecuacin.
2. Dada la ecuacin en un sistema de coordenadas, determinar la grfica o lugar geomtrico
de los puntos que verifican dicha ecuacin.
Lo innovador de la geometra analtica es que representa las figuras geomtricas mediante
frmulas del tipo , donde es una funcin u otro tipo de expresin matemtica: las rectas se
expresan como ecuaciones polinmicas de grado 1 (por ejemplo, ), las circunferencias y el resto
de cnicas como ecuaciones polinmicas de grado 2 (la circunferencia , la hiprbola ), etc.

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos
nmeros, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del
plano corresponden siempre dos nmeros reales ordenados (abscisa y ordenada), y
recprocamente, a un par ordenado de nmeros corresponde un nico punto del plano.
Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunvoca entre un
concepto geomtrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los
pares ordenados de nmeros. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometra
analtica.
Con la geometra analtica se puede determinar figuras geomtricas planas por medio de
ecuaciones e inecuaciones con dos incgnitas. ste es un mtodo alternativo de resolucin de
problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el
problema.

Quien fue Euclides

Euclides
(330 a.C. - 275 a.C.) Matemtico griego.
Junto con Arqumedes y Apolonio de Perga,
posteriores a l, Euclides fue pronto incluido
en la trada de los grandes matemticos de
la Antigedad. Sin embargo, a la luz de la
inmensa influencia que su obra ejercera a
lo largo de la historia, hay que considerarlo
tambin como uno de los ms ilustres de
todos los tiempos.

Euclides

Pese a que realiz aportaciones y

correcciones de relieve, Euclides ha sido
visto a veces como un mero compilador del
saber matemtico griego. En realidad, el
gran mrito de Euclides reside en su labor
de sistematizacin: partiendo de una serie
de definiciones, postulados y axiomas,
estableci por rigurosa deduccin lgica
todo el armonioso edificio de la geometra griega. Juzgada no sin motivo como uno de los
ms altos productos de la razn humana y admirada como un sistema acabado y perfecto,
la geometra euclidiana mantendra su vigencia durante ms de veinte siglos, hasta la
aparicin, ya en el siglo XIX, de las llamadas geometras no euclidianas.

Biografa

Poco se conoce a ciencia cierta de la biografa de Euclides, pese a ser el matemtico ms

famoso de la Antigedad. Es probable que se educara en Atenas, lo que permitira explicar
su buen conocimiento de la geometra elaborada en la escuela de Platn, aunque no
parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristteles.

Euclides ense en Alejandra, donde abri una escuela que acabara siendo la ms
importante del mundo helnico, y alcanz un gran prestigio en el ejercicio de su
magisterio durante el reinado de Ptolomeo I Ster, fundador de la dinasta ptolemaica que
gobernara Egipto desde la muerte de Alejandro Magno hasta la ocupacin romana. Se
cuenta que el rey lo requiri para que le mostrara un procedimiento abreviado para
acceder al conocimiento de las matemticas, a lo que Euclides repuso que no exista una
va regia para llegar a la geometra. Este epigrama, sin embargo, se atribuye tambin al
matemtico Menecmo, como rplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno.
La tradicin ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y
modestia, y ha transmitido asimismo una ancdota relativa a su enseanza, recogida por
Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometra le pregunt qu ganara
con su aprendizaje. Euclides le explic que la adquisicin de un conocimiento es siempre
valiosa en s misma; y dado que el muchacho tena la pretensin de obtener algn
provecho de sus estudios, orden a un sirviente que le diera unas monedas.

La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusin a lo

largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al
quinto postulado, llamado de las paralelas. Segn este postulado, por un punto exterior a
una recta slo puede trazarse una paralela a dicha recta. Su condicin distinta respecto de
los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigedad, y hubo diversas
tentativas de demostrar el quinto postulado como teorema.

Los esfuerzos por hallar una demostracin resultaron infructuosos y prosiguieron hasta el
siglo XIX, cuando algunos trabajos inditos de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y las
investigaciones del matemtico ruso Nikolai Lobachevski (1792-1856) evidenciaron que
era posible definir una geometra perfectamente consistente (la geometra hiperblica) en
la que no se cumpla el quinto postulado. Se iniciaba as el desarrollo de las geometras no
euclidianas, de entre las que destaca la geometra elptica del matemtico
alemn Bernhard Riemann (1826-1866), juzgada por Albert Einstein como la que mejor
representa el modelo de espacio-tiempo relativista.
Turismo en bocas del toro
En Isla Coln se encuentra la ciudad de Bocas del Toro, capital de la provincia y famoso destino
turstico con restaurantes, bares, hoteles y hostales frecuentados usualmente por mochileros y
surfistas internacionales. El ambiente tropical propicia recorrer la isla en bicicleta, disfrutar de la
vista, practicar deportes acuticos y nadar en sus aguas cristalinas. Se puede llegar al aeropuerto
local diariamente desde la ciudad de Panam o en ferri desde el puerto en Almirante, en tierra
firme. La temporada alta de turistas inicia a partir del mes de septiembre.
Es un impactante archipilago enclavado en el Mar Caribe, que seduce por su combinacin de exticas
especies marinas, arrecifes de corales y playas de aguas turquesa-cristalinas.
Bocas del Toro, en el noroeste panameo, junto a Costa Rica, congrega nueve islas -adems de doscientos
islotes y cincuenta cayos-. La ms popular y transitada es la Isla Coln, con la ciudad de Bocas, capital de la
provincia que comparte el mismo nombre.
Es un centro turstico pintoresco y movido. La mayora de las construcciones, de madera y vivos colores,
desembocan en un muelle con salida directa al mar. En lugar de autos, tanto turistas como locales utilizan
lanchas como medio de transporte cotidiano. A pesar del continuo ir y venir de embarcaciones, las aguas
son tan transparentes que se ven peces y estrellas marinas con solo asomarse a la costa.

Isla Carenero1 es una isla larga y boscosa del Mar Caribe situada a pocos cientos de metros al este de Isla Coln, en el
archipilago de Bocas del Toro, en el noroeste del pas centroamericano de Panam. El nombre de la isla proviene del
trmino nutico careening2 llevado al espaol como Carenero. No hay carreteras en la isla.3 Administrativamente
depende de la Provincia de Bocas del Toro.